Calcule a derivada de cada uma das funes abaixo:

Sejam e . Encontre a equao da reta tangente ao grfico de p(x)=f(x).g(x) quando x=1.

Seja P um ponto da curva no primeiro quadrante. Mostre que o tringulo determinado pelo eixo x, a tangente em P e pela reta que liga P origem issceles e calcule a sua rea.

Determine todos os pontos da curva a tangente paralela reta 2y+3x+1=0

em que

Ache as equaes das retas tangente e normal curva no ponto (1,2).

Calcule a derivada de cada uma das funes abaixo:

Seja .

, de modo tal que

Assumindo que f e g so derivveis, encontre a derivada da funo p.

Sugesto: Escreva e derive utilizando a regra da derivada do produto e a Regra da Cadeia.

Encontre a derivada de f(x)=tg x, utilizando o Exerccio 2.

Encontre a derivada de sendo n um nmero natural.

,

Sabendo que a velocidade a derivada da posio com relao ao tempo e que a acelerao a derivada da velocidade com relao ao tempo, se a acelerao constante, a posio deve ser dada por uma funo do tempo de qual tipo?

Encontre uma funo cuja derivada

seja . Em seguida, encontre outra que tenha a mesma derivada. Quantas funes, com essa propriedade, possvel encontrar?

Encontre uma funo cuja derivada coincida com ela. Em seguida, encontre outra funo com a mesma propriedade. Quantas funes, com essa propriedade, possvel encontrar?

Encontre a equao da reta tangente e da reta normal ao grfico de abscissa 2. no ponto de

Da Fsica, sabemos que a corrente I, que atravessa um circuito, uma funo do tempo e dada por: , onde a carga Q de um capacitor, que inicia a descarga no instante t=0, dada por

R e C so constantes positivas que dependem do circuito. Determine a corrente I, em funo do tempo.

Uma partcula est em um movimento harmnico simples se a equao do seu movimento dada pela frmula velocidade dessa partcula. . Encontre a equao da

Sendo u uma funo de x, isto , u=u(x), exprima cada uma das seguintes derivadas em termos

de u e de

:

Determine uma funo y=f(x) tal que

Sua resposta, em cada caso, nica? Justifique. Observao: Cada uma das equaes apresentadas denominada uma equao diferencial.

Utilizando a Regra da Cadeia, encontre a derivada das funes abaixo: a) f(x)=cotg x b) g(x)=sec x c) h(x)=cossec x

Linearidade

Regra do produto Regra do quociente

Regra da Cadeia

onde (f g)(x) est definido como f(g(x))

[editar] Derivadas de funes simples

[editar] Derivadas de funes exponenciais e logartmicas

[editar] Derivadas de funes trigonomtricasAs igualdades abaixo no so independentes. A frmula para a derivada da tangente, por exemplo, resulta das frmulas para as derivadas do seno e do co-seno e da frmula para a derivada do quociente:

, ou, dito de outra maneira, , ou, dito de outra maneira, , ou, dito de outra maneira,

;

, ou, dito de outra maneira, .

. Ou seja, . . Isso a mesma coisa que dizer que . . Dito de outra maneira, isso significa que ; . Ou seja,

[editar] Derivadas de funes hiperblicas

Regras gerais para derivadas de funes 1. Multiplicao por escalar (kf) '(x) = k f '(x) 2. Soma de funes (f+g) '(x) = f '(x) + g '(x) 3. Diferena de funes (fg) '(x) = f '(x) g '(x)

4. Produto de funes (f.g) '(x) = f(x).g '(x) + f '(x).g(x) 5. Diviso de funes, quando o denominador g=g(x) no nulo, ento

Neste caso, a ordem das funes f e g, no pode ser mudada.

Exerccio: Determinar as regras de derivao para as funes: a. b. c. d. e. w(x)=f(x)+g(x)+h(x) w(x)=f1(x) +...+ fn(x) w(x)=f(x) g(x) h(x) w(x)=f1(x) ... fn(x) w(x)=f(x) g(x) h(x)

Regra da cadeia As regras j apresentadas permitem derivar funes que podem ser representadas por expresses com termos simples, o que ocorre com funes conhecidas, mas tais regras no se aplicam a funes mais complexas, como por exemplo, f(x)=(4x+1)100 pois, praticamente impossvel derivar um produto com 100 termos pela regra usual. No entanto, podemos expressar esta funo como a composta de duas funes mais simples, motivo pelo qual, aprenderemos a derivar qualquer funo formada pela composio de funes com derivadas conhecidas. A seguir apresentamos a Regra da Cadeia, que nos d a derivada da funo composta.

Teorema: Sejam f e g funes diferenciveis e h a funo composta definida por h(x)=f(g(x)). Se u=g(x) derivvel no ponto x e se y=f(u) derivvel no ponto u=g(x), ento a funo composta h derivvel no ponto x e a sua derivada dada por: h '(x) = f '(g(x)) g '(x) Uma notao muito utilizada :

[f(u(x))] ' = f '(u) u '(x)

Outras notaes comuns, como y=h(x)=f(g(x)), sendo u=g(x) e y=f(u), nos do as expresses equivalentes:

Dxy = Duy Dxu,

yx = yu ux,

Exemplo: Para f(x)=(4x+1)100, tomamos u(x)=4x+1 e v(u)=u100 para escrever f(x)=v(u(x)) e pela regra da cadeia: f '(x) = [v(u(x))] ' = v '(u(x)) u '(x) logo f '(x) = 400 u99 = 400(4x+1)99

Derivada da funo inversa: Seja y=f(x) uma funo inversvel, derivvel em um ponto x tal que a derivada de f no se anula e g(y)=g(f(x)) a funo inversa de f. Ento g derivvel em y=f(x) e a derivada de g dada por: g '(y) = 1/f '(x) Este resultado uma aplicao imediata da regra da cadeia, pois se g a inversa de f, temos que x=g(f(x)) e derivando em relao varivel x em ambos os membros da igualdade, teremos: 1 = g '(f(x)) f '(x) = g '(y) f '(x)

Exemplo: Seja a funo real definida por y=f(x)=x+3x. Mostrar que a derivada da funo inversa de f=f(x) dada por: g '(y) = 1/(2x+3)

Derivada de potncia de funo: Se f(x)=[u(x)]p onde u=u(x) uma funo derivvel e p um nmero real, ento f '(x) = p [u(x)]p-1 u '(x)

Exemplo: Seja f(x)=[sen(2x)]7, definida para x real. Mostrar que a derivada, dada por:

f '(x) = 14 [sen(2x)]6cos(2x)

Derivadas de funo elevada a outra funo: Se f(x)=[u(x)]v(x), onde u e v so funes derivveis num intervalo I da reta real e para todo x no intervalo I, se tem que u(x)>0, ento: f '(x) = u(x)v(x)[(v(x).u '(x)/u(x)) + v '(x).ln(u(x))] ou sem a varivel x, como: f ' = uv [v u '/u + v ' ln(u)]

Exemplo: Seja f(x)=xx, definida para x>0. Mostrar que a derivada, dada por: f '(x) = xx [1 + ln(x)]

Projeto para um trabalho 1. 2. 3. 4. Construir a circunferncia x+y=1 e a hiprbole cannica xy=1; Na circunferncia, identificar o seno, o cosseno e a tangente; Na hiprbole, identificar o seno hiperblico e o cosseno hiperblico; Definir o seno hiperblico, o cosseno hiperblico e a tangente hiperblica em funo das funes exponenciais f(x)=exp(x) e g(x)=exp(x); 5. Apresentar uma srie de identidades trigonomtricas circulares clssicas; 6. Apresentar uma srie de identidades trigonomtricas hiperblicas; 7. Obter as derivadas das funes seno hiperblico, cosseno hiperblico e tangente hiperblica, comparando os resultados obtidos com as derivadas de seno, cosseno e tangente circulares.

Derivadas de Ordem Superior Seja f uma funo derivvel. Se f ' tambm for derivvel, ento a derivada de f ' denominada derivada segunda de f e representada por f (f duas linhas). Se f" uma funo derivvel, a sua derivada dada por f ' ' ', denominada derivada terceira de f. A derivada de ordem n dada por f(n) obtida pela derivada da derivada de ordem n-1 de f. Algumas notaes para algumas derivadas de ordem superior: f(n) = Derivada de ordem n da funo f f(o) = Derivada de ordem zero para f

Derivadas de funes Implcitas As funes abordadas at agora, foram sempre apresentadas na forma explcita y=f(x) em que podemos determinar y em termos de x. Por exemplo, y=f(x)=esen(x) pode ser derivada pelas regras comuns. Muitas vezes, trabalhamos com equaes em x e y, como por exemplo: x + y = 1 ou xy + sen(xy) = 3 onde nem sempre se pode explicitar para a varivel y ser definida em funo de x. As equaes acima, definem relaes entre y e x, mas nem sempre se pode definir y como uma nica funo de x. Assim, poderemos explicitar y na primeira, porm no explicitaremos y na segunda, por ser impossvel.

Para x+y=1, duas solues possveis so:

e obtemos as derivadas pelos processos comuns. No caso em que temos xy+sen(xy)=3, no possvel extrair o valor de y em funo de x e isto nos fora a pensar na possibilidade da existncia da derivada f ', mesmo que no exista uma funo y=f(x). Construiremos outro processo que nos poupe trabalho. No trabalharemos agora com a funo xy+sen(xy)=3, por ser muito complicada, mas tomaremos a relao: x+y=1. Admitindo que existe y=f(x) definida implicitamente com x em algum intervalo real I, tal que f possua derivada neste intervalo, ento para cada x em I, poderemos escrever: x + f(x) = 1 Derivando ambos os membros da igualdade em relao a x, obtemos: 2x + 2 f(x) f '(x) = 0 Temos ento uma relao entre x, f e f ', dada por: f '(x) = x/f(x) desde que f(x) seja diferente de zero no ponto sob considerao, assim:

Exerccio: Derivar implicitamente a funo y=f(x), definida pela relao: x3y + xy + x + y + xy3 = 6

Regra de L'Hpital A regra de L'Hpital apresenta um mtodo geral para levantar indeterminaes de limites dos tipos 0/0 ou infinito/infinito. Esse mtodo dado pelo: Teorema (L'Hpital): Sejam f e g funes derivveis em um intervalo I=(a,b), exceto possivelmente no ponto a de I. Se para todo x diferente de a em I, a derivada de g no se anula, Lim f(x)=0 e Lim g(x)=0 quando x a, e, alm disso Lim x a ento, tambm temos que Lim x a f(x) =L g(x) f '(x) =L g '(x)

Exemplo: Para obter o limite Lim x 0 sen(x) x

L=

usamos a Regra de L'Hpital. Derivamos as funes do numerador e do denominador (no a derivada do quociente!) e calculamos o novo limite. Dessa forma: Lim L= x 0 sen(x) x Lim = x 0 cos(x) =1 1

O teorema acima continua vlido para limites laterais e limites no infinito, definindo f e g em intervalos adequados. vlido tambm se ao invs do nmero L, o limite for infinito. Quando temos formas indeterminadas, podemos reescrever as mesmas para poder aplicar a Regra de L'Hpital.

Exemplo: Para obter o limite L=Lim[x.log(x)] quando x 0, podemos escrever este limite na forma de uma frao e usar a Regra de L'Hpital. Realmente, Lim Lim L= [x log(x)] = x 0 x 0 log(x) 1/x Lim = x 0 1/x = -1/x Lim -x = 0 x 0

Frmula de Taylor A frmula de Taylor um mtodo de aproximar uma funo por um polinmio algbrico, com um erro que pode ser estimado. Se f uma funo real definida sobre um intervalo (a,b), f admitindo derivadas at a ordem n+1 em x=c de (a,b). O polinmio de Taylor de ordem n associado funo f em x=c, denotado por Pnf, definido como:

Aqui Pn(c)=f(c). Dado o polinmio de Taylor de grau n de uma funo f, o resto Rn f(x) a diferena entre f=f(x) e Pn f(x), isto : Rnf(x) = f(x) - Pnf(x) Este resto dado por f(n+1)(z) Rnf(x) = (n+1)! (x-c)n+1

sendo que z um nmero que est entre x e c. Esta ltima expresso a forma de Lagrange para o resto.

Exerccio: Obter o polinmio de Taylor de grau 10 da funo real definida por f(x)=cos(x), desenvolvido em torno do ponto c=0.

Construda por Snia F.L.Toffoli e Ulysses Sodr Atualizada em 14/out/2004.