André Gustavo Campos Pereira

Joaquim Elias de Freitas

Roosewelt Fonseca Soares

Cálculo ID I S C I P L I N A

Funções contínuas

Autores

aula

02

Aula 02  Cálculo ICopyright © 2007 Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização expressa da

UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

Divisão de Serviços TécnicosCatalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede”

Governo Federal

Presidente da RepúblicaLuiz Inácio Lula da Silva

Ministro da EducaçãoFernando Haddad

Secretário de Educação a Distância – SEEDCarlos Eduardo Bielschowsky

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

ReitorJosé Ivonildo do Rêgo

Vice-ReitoraÂngela Maria Paiva Cruz

Secretária de Educação a DistânciaVera Lúcia do Amaral

Secretaria de Educação a Distância- SEDIS

Coordenadora da Produção dos MateriaisMarta Maria Castanho Almeida Pernambuco

Coordenador de EdiçãoAry Sergio Braga Olinisky

Projeto GráficoIvana Lima

Revisores de Estrutura e LinguagemEugenio Tavares BorgesJânio Gustavo BarbosaThalyta Mabel Nobre Barbosa

Revisora das Normas da ABNT

Verônica Pinheiro da Silva

Revisoras de Língua Portuguesa

Janaina Tomaz CapistranoSandra Cristinne Xavier da Câmara

Revisores Técnicos

Leonardo Chagas da SilvaThaísa Maria Simplício Lemos

Revisora TipográficaNouraide Queiroz

IlustradoraCarolina Costa

Editoração de ImagensAdauto HarleyCarolina Costa

Diagramadores

Bruno de Souza MeloDimetrius de Carvalho Ferreira

Ivana LimaJohann Jean Evangelista de Melo

Adaptação para Módulo MatemáticoAndré Quintiliano Bezerra da SilvaKalinne Rayana Cavalcanti Pereira

Thaísa Maria Simplício Lemos

ColaboradoraViviane Simioli Medeiros Campos

Imagens UtilizadasBanco de Imagens Sedis - UFRN

Fotografias - Adauto HarleyStock.XCHG - www.sxc.hu

Pereira, André Gustavo Campos Cálculo I / André Gustavo Campos Pereira, Joaquim Elias de Freitas, Roosewelt Fonseca Soares. – Natal, RN: EDUFRN Editora da UFRN, 2008.

220 p.

1. Cálculo. 2. Funções reais. 3. Reta real. 4. Funções compostas. I. Freitas, Joaquim Elias de. II Soares, Roosewelt Fonseca. III. Título.

ISBN: 978-85-7273-398-4

CDD 515RN/UF/BCZM 2008/12 CDU 517.2/.3

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CDD 515RN/UF/BCZM 2008/12 CDU 517.2/.3

Apresentação

Na aula 1 (Limite e funções reais em um ponto), falamos de limites de funções num dado ponto, o qual poderia ou não pertencer ao domínio da função. Vimos exemplos de funções definidas no ponto, mas cujo limite era diferente do valor da função.

Nesta aula, trataremos dos casos em que o limite coincide com o valor da função no ponto. Essa propriedade é chamada continuidade.

ObjetivosAo final desta aula, esperamos que você: tenha uma idéia de continuidade de uma função; saiba mostrar a continuidade de algumas funções simples; e seja capaz de utilizar suas propriedades.

Aula 02  Cálculo I2 Aula 02  Cálculo I

1

14 16 Tempo (h)

status

300

Volume (mL)

Tempo (min)1

Continuidade de uma função realO que nos vem à cabeça quando alguém fala em continuidade?

Por exemplo: “João estudou cálculo continuamente das 14h às 16h”; ou “durante um minuto um copo foi enchido continuamente com um certo líquido”.

No primeiro exemplo, será que João parou de estudar em algum momento? E, no segundo, será que o copo parou de ser enchido por algum instante de tempo e perto de 1 minuto alguém o encheu de uma só vez?

Para se ter uma idéia, vamos imaginar que estamos observando João estudar das 14h às 16h. Vamos desenhar um gráfico da seguinte forma: em cada instante de tempo, se ele estiver estudando, marcamos o valor 1 e, se ele não estiver estudando, marcarmos o valor 0. Assim, depois de transcorrido o tempo (chegamos às 16h), obtemos o Gráfico 1.

Gráfico � - Representação do tempo de estudo

Por status do estudo, entendemos que em 1 ele está estudando e em 0 ele não está estudando.

E se observássemos o processo de enchimento do copo (vamos imaginar um copo de 300 mL) e colocássemos um medidor de volume para acompanhar esse processo, enviando on-line os dados observados para um computador que traçaria automaticamente o gráfico do volume no tempo. Supondo que a velocidade fosse constante, obteríamos o Gráfico 2 seguinte.

Gráfico 2 - Representação do processo de enchimento do copo

Aula 02  Cálculo I Aula 02  Cálculo I �

3

2

1

1 2

Note que os dois gráficos foram desenhados sem tirar o lápis do papel. Essa é uma característica dos gráficos que representam funções contínuas: eles não possuem interrupções, ou seja, buracos nem saltos.

A pergunta então é: o que faz com que o gráfico de uma função não tenha buracos (no desenho de seu gráfico foi necessário tirar o lápis do papel)?

Vamos analisar três casos:

1. os limites laterais existem e são diferentes;os limites laterais existem e são diferentes;

2. os limites laterais existem e são iguais, mas diferentes do valor da função no ponto;os limites laterais existem e são iguais, mas diferentes do valor da função no ponto;

3. os limites laterais existem, são iguais e também coincidem com o valor da funçãoos limites laterais existem, são iguais e também coincidem com o valor da função no ponto.

Vamos lá!

Caso � - Seja f : [0, 2]→ R definida por f(x) =

x 0 ≤ x < 1x+ 1 1 ≤ x ≤ 2

.

. Quando desenhamos o gráfico dessa função, temos:

Gráfico � - Representação da função f(x) =

x 0 ≤ x < 1x+ 1 1 ≤ x ≤ 2

Ora, mas essa função não é contínua no ponto x = 1, pois neste temos um salto, ou seja, precisamos tirar o lápis do papel para desenhar o gráfico!

Aula 02  Cálculo I� Aula 02  Cálculo I

2

1

1 2

2

1

1 2

Caso 2 - Seja f : [0, 2]→ R definida por f(x) =

x 0 ≤ x < 12 x = 1x 1 < x ≤ 2

.

. Quando desenhamos o gráfico dessa função, temos:

Gráfico � - Representação da função f(x) =

x 0 ≤ x < 12 x = 1x 1 < x ≤ 2

Ora, mas essa função também não é contínua no ponto x = 1,, pois neste temos um buraco, ou seja, precisamos tirar o lápis do papel para fazer o pontinho (1,2) e depois voltar com o lápis para desenhar o restante do gráfico!

Caso � - Seja f : [0, 2]→ R definida por f(x) =

x 0 ≤ x < 11 x = 1x 1 < x ≤ 2

.

. Quando desenhamos o gráfico dessa função, temos:

Gráfico 5 - Gráfico da função f(x) =

x 0 ≤ x < 11 x = 1x 1 < x ≤ 2

Aula 02  Cálculo I Aula 02  Cálculo I 5

Note agora que não precisamos tirar o lápis do papel para desenhar o Gráfico 5, nem mesmo no ponto x = 1,, que está destacado. Nesse ponto, temos a existência dos limites laterais, ambos iguais a 1. Portanto, o limite também existe e é igual a 1 e, mais, o valor da função nesse ponto também vale 1. Resumindo: o limite da função no ponto existe e é igual ao valor da função no ponto.

Imagine-se soldando dois pedaços de fio. Primeiro, você tem que juntá-los (fazer o limite existir); mesmo juntos ainda existe um vazio entre eles (a função naquele ponto ainda não está definida) e, com isso, ainda não representam uma peça única. Quando colocar o pingo de solda entre os fios, acontecerá a conexão (o limite existirá e será igual ao valor da função no ponto) entre as duas peças, que passam a formar uma peça única de fio.

Agora, creio que temos a idéia intuitiva de continuidade em um ponto e podemos, então, formalizá-la

Definição 1

Seja f : (a, b)→ R uma função e c ∈ (a, b),, isto é, a função está definida no ponto c. Dizemos que f é contínua em c se o limite de f(x),, quando x tende a c, existe e esse limite é igual ao valor da função no ponto c. Em outras palavras, dizemos que f é contínua em c, se:

1. o limite deo limite de f(x),, quando x tende a c, existe, ou seja, limx→c

f(x). existe;

2. a função está definida no pontoa função está definida no ponto c, ou seja, existe f(c);;

3. limx→c

f(x) = f(c)..

Exemplo 1Verifique se a função f : R→ R definida por f(x) = x2 + 3 é contínua no ponto x = 2.

Solução

1. Verificamos no exemplo 3 da aula 1 que o limite à direita e à esquerda no pontoVerificamos no exemplo 3 da aula 1 que o limite à direita e à esquerda no ponto x = 2 existem e são iguais a 7, logo, o limite no ponto x = 2 existe e vale 7, ou seja, limx→2

f(x) = 7.

Aula 02  Cálculo I� Aula 02  Cálculo I

2. ComoComo x = 2 pertence ao domínio, então, f está definida no ponto 2 e f(2) = 22 + 3 = 7.

3. Pelos itens anteriores, concluímos quePelos itens anteriores, concluímos que limx→2

f(x) = 7 = f(2)..

Portanto, por definição, temos que f é contínua no ponto x = 2.

Definição 2

Seja f : (a, b)→ R dizemos que f é contínua se f é contínua em todo ponto de seu domínio.

Mas o intervalo (a, b),, domínio da f, não tem infinitos pontos? Tem!

Temos, então, que analisar a existência do limite e, caso o limite exista, comparar com o valor da função no ponto nos infinitos pontos de (a, b),.

E como vou conseguir garantir que a função é contínua em todos os pontos, se não calcular as três condições que me garantam a continuidade para cada um deles?

Da seguinte maneira: escolhemos um ponto qualquer do domínio, por exemplo, x = c.. Como não demos valor específico para c, então, tudo que concluirmos para esse valor genérico valerá para qualquer outro valor, concorda?

É assim que funciona, vamos testar?

Exemplo 2Verifique se a função do exemplo 1 é contínua em todos os pontos do domínio.

Solução

Seja a ∈ R,, verifiquemos se as três condições para continuidade são satisfeitas, ou seja, se o limite no ponto a existe, se a função está definida nesse ponto e se ambos são iguais.

1. Calculemos os limites laterais para verificar a existência do limite.Calculemos os limites laterais para verificar a existência do limite.

a) À direita

Aula 02  Cálculo I Aula 02  Cálculo I �

Para mostrar que o limite lateral à direita no ponto a existe, precisamos fazer ∆x se aproximar de zero e verificar o que ocorre com f(a+∆x).. Calculemos f(a+∆x)..

f(a+∆x) = (a+∆x)2 + 3 = a2 + 2a∆x+∆x2 + 3 = a2 + 3 + 2a∆x+∆x2

Neste ponto, é que precisamos garantir que qualquer que seja a forma pela qual ∆x se aproxime de zero, f(a+∆x). sempre se aproximará de um mesmo valor.

Note, porém, que o ponto a foi dado, ou seja, ele já está estipulado (ele é um número fixo, não varia mais, é uma constante), logo, pelo que argumentamos na aula passada, quando ∆x se aproximar de zero, 2 a∆ x,∆x2 também se aproximarão de zero e, portanto, f(a+∆x) = a2 + 3 + 2a∆x+∆x2 se aproximará de a2 + 3.. Ou seja, o limite à direita existe e vale a2 + 3..

b) À esquerda

Para mostrar que o limite lateral à esquerda no ponto a existe, precisamos fazer ∆x se aproximar de zero e verificar o que ocorre com f(a−∆x).. Calculemos f(a−∆x)..

f(a−∆x) = (a−∆x)2 + 3 = a2 − 2a∆x+∆x2 + 3 = a2 + 3− 2a∆x+∆x2

Neste ponto, é que precisamos garantir que qualquer que seja a forma pela qual ∆x se aproxime de zero, f(a−∆x). sempre se aproximará de um mesmo valor.

Pelo mesmo argumento utilizado anteriormente, quando ∆x se aproximar de zero, 2a∆x,∆x2 também se aproximarão de zero e, portanto, f(a+∆x) = a2 + 3− 2a∆x+∆x2 se aproximará de a2 + 3.. Ou seja, o limite à esquerda existe e vale a2 + 3..

Pelo fato dos limites laterais no ponto a existirem e terem o mesmo valor, garantimos que a função tem limite no ponto a e este vale a2 + 3., ou seja, lim

x→af(x) = a2 + 3.

2. ComoComo a ∈ R e a ∈ R é o domínio da f, então, f(a) está definida (existe) e vale f(a) = a2 + 3..

3. De 1 e 2, temos queDe 1 e 2, temos que limx→a

f(x) = a2 + 3. .

E com isso concluímos que a função é contínua no ponto a ∈ R.. Ora, mas não sabemos quem é o ponto a ∈ R.. Veremos a seguir que pode ser qualquer valor, pois se definirmos, por exemplo, que a = 2,, temos que:

1.

a) o limite à esquerda no pontoo limite à esquerda no ponto a = 2, vale 22 + 3 = 4 + 3 = 7;

b) o limite à direita no pontoo limite à direita no ponto a = 2, vale 22 + 3 = 4 + 3 = 7;;

c) por a e b, temos que o limite no pontopor a e b, temos que o limite no ponto a = 2, vale 7.

Aula 02  Cálculo I� Aula 02  Cálculo I

Atividade 1

�

2

�

�

5

2. Como 3 pertence ao domínio da f, então, f(2) está definida (existe) e vale f(2) = 22 + 3 = 7..

3. De 1 e 2, temos que limx→2

f(x) = 7 = f(2) ..

E com isso concluímos que a função é contínua no ponto a = 2,.

Esse raciocínio se repetirá, bastando para isso substituir o valor desejado no valor genérico, pois já foi provado que a função é contínua.

Agora é sua vez de tentar.

Mostre que a função f(x) =

3x x ≤ 1x+ 2 x > 1

é contínua no ponto x = 1.

Mostre que a função f : R→ R definida por f(x) = x3

é contínua em todos os pontos do domínio.

Lembrete - reveja a aula sobre binômio de Newton da disciplina Análise Combinatória e Probabilidade, se necessário, para se convencer de que: (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3..

Aproveite e mostre que a função f : R→ R definida por f(x) = xn

é contínua em todos os pontos do domínio, qualquer que seja a potência natural n. (Este exercício é um pouquinho mais trabalhoso do que o primeiro, mas se você não sentiu dificuldade ao fazê-lo, este não será problema.)

Se f : R→ R é contínua no ponto a = 2, e f(2) = 32,, calcule limx→2

f(x).

Mostre queMostre que f : R→ R definida por f(x) = K (função constante) é contínua.

Aula 02  Cálculo I Aula 02  Cálculo I �

Propriedades das funções contínuas

Sejam f, g : A→ R funções contínuas definidas sobre o mesmo domínio, então:

a) (f + g)(x) = f(x) + g(x) também é contínua;

b) (f − g)(x) = f(x)− g(x) também é contínua;

c) (f.g)(x) = f(x)g(x) também é contínua;

d) se g(x) = 0 para todo x ∈ A,, então, vale f

g

(x) =

f(x)g(x)

,, que também é contínua.

Exemplo 3Supondo que você tenha feito todos os exercícios da atividade proposta anteriormente,

fica até sem sentido eu perguntar quanto vale o seguinte limite:

limx→3

�2x3 + 5x+ 6

Solução

Considere as seguintes funções:

f, g, h, k, l : R→ R definidas por f(x) = 2, g(x) = x3, h(x) = 5, k(x) = x e l(x) = 6..

Pelo que vimos nos exercícios, todas essas funções são contínuas e, pelas propriedades soma e produto de funções contínuas, confirma-se que são contínuas, logo, a função p(x) = f(x)g(x) + h(x)k(x) + l(x) = 2x3 + 5x + 6 é contínua, o que implica limx→3

�2x3 + 5x+ 6

= lim

x→3p(x) = p(3) = 2(3)3 + 5 · 3 + 6 = 75..

Quando a função é contínua, calcular o limite fica “mamão com açúcar”!!!

Outra propriedade interessante de funções contínuas diz respeito à composta de funções contínuas.

e) sejam f : A ⊂ R→ R e g : B ⊂ R→ R funções contínuas tais que f(A) ⊂ B,, então, g ◦ f : A ⊂ R→ R também é contínua.

Aula 02  Cálculo I�0 Aula 02  Cálculo I

Exemplo 4Considere f, g : R→ R funções contínuas definidas por f(x) = 3x + 2

e g(x) = 5x2 + 4x.. Mostre que as funções h, k : R→ R definidas por h(x) = 3(5x2 + 4x) + 2 = 15x2 + 12x+ 2 e

k(x) = 5(3x+ 2)2 + 4(3x+ 2)x = 5(9x2 + 12x+ 4) + 12x+ 8

= 45x2 + 60x+ 20 + 12x+ 8

= 45x2 + 72x+ 28 são contínuas.

Solução

Note que podemos escrever

h(x) = (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(5x2 + 4x) = 3(5x2 + 4x) + 2 = 15x2 + 12x+ 2 e

k(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 2) = 5(3x + 2)2 + 4(3x + 2),, ou seja, tanto a h

quanto a k são compostas de funções contínuas, portanto, pela propriedade e. são contínuas.

Apresentaremos agora mais uma propriedade de limite de uma função (o teorema do confronto ou, como é mais conhecido, o teorema do sanduíche), o qual usaremos para encerrar esta aula com um exemplo mais elaborado.

Essa propriedade é bem natural, diz essencialmente que se uma quantidade está entre dois valores e se fizermos os valores dos extremos tender para o mesmo valor, então, obrigatoriamente o valor que se encontra no meio tem que assumir também esse último valor.

Mais uma propriedade de limite de funções: o teorema do confronto. Sejam f, g, h : R→ R funções que satisfazem f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x em algum intervalo aberto que contenha o ponto c. Se f, h tiverem o mesmo limite quando x tende a c, digamos

limx→c

f(x) = limx→c

h(x) = L,,

então, g também tem esse limite quando x tende a c, isto é,

limx→c

g(x) = L..

Finalizaremos esta aula mostrando que a função sen(x) é contínua em todos os pontos. Para tanto, usaremos um fato que, embora simples, dificilmente paramos para analisar, a saber:

|sen(x)− sen(y)| ≤ |x− y|

para quaisquer valores valores de x, y. Se você não acredita, faça alguns cálculos para se convencer. Entretanto, nas suas tentativas limite-se a valores de x, y cuja diferença não exceda

(1)

Aula 02  Cálculo I Aula 02  Cálculo I ��

2, pois como o seno sempre está entre -1 e 1 a diferença máxima será 2. Lembre também de usar o valor aproximado do π = 3, 14 para seus cálculos não ficarem muito extensos.

Para mostrar que sen(x) é contínua em todos os pontos, seja a um ponto qualquer do domínio do seno e mostremos que o limite à direita e à esquerda no ponto a existem e que esses valores coincidem com o valor da função no ponto a.

n Limite à esquerda

Para mostrar que o limite lateral à esquerda no ponto a existe, precisamos fazer ∆x se aproximar de zero e verificar o que ocorre com sen(a−∆x).. Usaremos o teorema do confronto para nos auxiliar neste estudo. Vimos na aula 7 (Inequações algébricas e intervalos), da disciplina Pré-Cálculo que o módulo de qualquer quantidade é sempre maior ou igual a zero, certo? Assim,

0 ≤ |sen(a−∆x)− sen(a)|,

Sabemos pela (1) que |sen(x)− sen(y)| ≤ |x− y| para quaisquer valores de x, y, em particular, para x = a+∆x e y = a , ou seja,

|sen(a−∆x)− sen(a)| ≤ |a−∆x− a| = |∆x|..

Juntando essas duas informações, temos

0 ≤ |sen(a−∆x)− sen(a)| ≤ |a−∆x− a| = |∆x|..

Aplicando o teorema do confronto, temos que ao fazer ∆x se aproximar de zero, os extremos se aproximarão de zero, o que vai implicar que a quantidade do meio também se aproximará de zero, mas dizer que |sen(a−∆x)− sen(a)| se aproxima de zero é dizer que sen(a−∆x) se aproxima do valor sen(a).. Note que isso acontece independentemente de como o ∆x se aproxima de zero. Logo, o limite à esquerda de sen(x) quando x tende a a existe e vale sen(a)..

n Limite à direita

Se procedermos da mesma forma para o limite à direita, chegaremos no ponto em que

0 ≤ |sen(a+∆x)− sen(a)| ≤ |a+∆x− a| = |∆x|

e pelo mesmo argumento concluiremos que o limite à direita de sen(x), quando x tende a a, existe e vale sen(a)..

Com essas duas informações, teremos que o limite de sen(x), quando x tende a a, existe e vale sen(a)., ou seja,

limx→a

sen(x) = sen(a)..

Aula 02  Cálculo I�2 Aula 02  Cálculo I

Atividade 2

Resumo

Ora, sen(a). é o valor da função sen(x) no ponto a, logo mostramos que o limite de sen(x) no ponto a, existe e é igual ao valor da função sen(x) no ponto a, mas isso significa que a função sen(x) é contínua no ponto a. Como a foi um ponto qualquer do domínio, teremos que isso vale para qualquer ponto do domínio, logo a função sen(x) é contínua.

Que tal experimentar esse tipo de argumentação?

Sabendo que a função cos(x) satisfaz

|cos(x)− cos(y)| ≤ |x− y|

para quaisquer valores de x, y, mostre que cos(x) é contínua em todos os pontos.

(2)

Nesta aula, estudamos continuidade de uma função, propriedade que geometricamente significa que seu gráfico é desenhado sem tirarmos o lápis do papel. Tomando como base essa propriedade geométrica, vimos que uma função é contínua em um ponto quando o limite da função naquele ponto existe e coincide com o valor da função nesse mesmo ponto. Em seguida, vimos que a soma, produto e quociente (respeitando uma condição) e composta de funções contínuas também constituem uma função contínua.

Aula 02  Cálculo I Aula 02  Cálculo I ��

�

2

�

Auto-avaliaçãoVocê já deve ter ouvido a frase: “Na natureza, a evolução não se dá por saltos”. Como você interpreta essa frase à luz da continuidade?

Você poderia imaginar uma situação prática em que o processo se dê de modo contínuo?

Identifique na disciplina Física e Meio Ambiente algumas situações cujo comportamento ocorra de forma contínua.

ReferênciasANDRADE, Rubens L. de; LIMA, Ronaldo F. de. Pré-cálculo. Natal: Editora da UFRN, 2006.

ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. v. 1.

BARRETO, Ciclamio Leite; BORBA, Gilvan Luiz; MEDEIROS, Rui Tertuliano de. Física e meio ambiente. Natal: Editora da UFRN, 2006.

Aula 02  Cálculo I�� Aula 02  Cálculo I

Anotações

Aula 02  Cálculo I Aula 02  Cálculo I �5

Anotações

Aula 02  Cálculo I��

Anotações

Aula 02  Cálculo I