UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

CENTRO DE EDUCAO

PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM EDUCAO MATEMTICA

E TECNOLGICA

CURSO DE MESTRADO

Bruno Leite Ferreira

RESOLUO DE PROBLEMAS DE GEOMETRIA GRFICA

EM AMBIENTE COMPUTACIONAL:

o caso da interseo entre planos

Recife

2011

Bruno Leite Ferreira

RESOLUO DE PROBLEMAS DE GEOMETRIA GRFICA

EM AMBIENTE COMPUTACIONAL:

o caso da interseo entre planos

Dissertao apresentado ao Programa de

Ps-Graduao em Educao Matemtica

e Tecnolgica, como requisito parcial para

obteno de ttulo de Mestre em

Educao Matemtica e Tecnolgica.

Orientador: Prof. Dr. Franck Bellemain

Recife

2011

Bruno Leite Ferreira

Resoluo de Problemas de Geometria Grfica em Ambiente Computacional:

o caso da interseo entre planos

Comisso Examinadora

1 Examinador/Presidente Prof. Dr. Franck Bellemain UFPE

2 Examinador Prof. Dr. Paula Moreira Baltar Bellemain UFPE

3 Examinador Prof. Dr. Ana Magda Alencar Correia UFPE

Recife, 24 de Fevereiro 2011

Dedico minha famlia, pois sem eles no estaria aqui, em especial meu pai Luiz Ferreira da Silva que sempre torceu pelo meu sucesso. A ngela Velasco por toda sua contribuio sociedade e a comunidade cientfica.

A Escola de Servos Kayrs, comunidade que contribuiu direta e indiretamente na minha constituio enquanto profissional e cidado.

AGRADECIMENTOS

Agradeo a Deus, por todas as provaes que tem me colocado a fim de me mostrar que sou capaz de ir alm do que eu acredite suportar. Por ter colocado em minha vida inmeras pessoas que me fizeram sentir o Seu Amor de maneira mais concreta, a citar:

Meus familiares, Luiz, Dione, Iara, Gugu, Bia, Lucinha, Tassiana, Joo Guilherme e Luiz Felipe, que me ajudaram a superar desafios e dificuldades mesmo que sem perceberem. Meus amigos da Escola de Servos Kayrs, que me apoiaram e incentivaram rumo a mais essas conquista.

Simone e Ana Cludia, que acompanharam e compartilham a caminhada na carreira acadmica, alm de dividir a cruz em nossas partilhas de vida. Brayan e tia Snia, que se tornaram muitas vezes meu refgio como uma segunda famlia. Saulo e Talita, que sempre presentes se dispuseram ajudar tanto na dissertao quanto na vida pessoal; A Ana Lira, que sempre me acolheu e se disponibilizou a ajudar. A Frei Dennys e Juliana que me ajudando a manter o equilbrio nos aspectos espiritual e psicolgico. A Barata que soube compreender minha ausncia e ainda me ajudou na reta final de entrega da dissertao.

Professores do programa de ps-graduao EDUMATEC da UFPE Srgio, que me mostrou que para ser docente no essencial ter uma variedade de tecnologias e infraestrutura mas sim amor e vocao pela profisso. Ana e Carlos, que me ajudaram entender melhor o desenvolvimento cognitivo do aluno. Patrcia e Iranete, que me ensinaram a ir alm das minhas foras, pois acreditam em nossas capacidades enquanto mestrandos, mesmo quando no acreditamos em ns mesmos. Dora, por ter me incentivado e apoiado em todo mestrado. Vernica, por suas contribuies nas aulas de Seminrios. Rute e Gilda, que com toda dinamicidade me ajudaram a ver pesquisa em educao por outros olhares. Claude, professora convidada para ministrar a disciplina de TAD ensinando a teoria que me inspirou minha anlise de maneira prtica. Paula Baltar, que enriqueceu minha formao quanto a Didtica da Matemtica com seus comentrios e questionamentos. Franck Bellemain, que abraou minhas ideias, enquanto orientador, me guiando nessa longa jornada compreendendo minhas limitaes.

Ana Magda, que foi como uma me em toda minha trajetria acadmica desde a graduao, me orientando, aconselhando e partilhando. Iolanda, Mario Duarte e Alcy, exemplos de professores e pesquisadores que me servem de inspirao enquanto gemetras.

Colegas e amigos do mestrado, em especial Fabiana, Cris, Flvia, Ricardo, que dividiram medos, angstias, trabalhos, experincias, farras, alegrias e muitas risadas. Ktia, que foi minha co-co-orientadora me ajudando a organizar meu projeto. Juliana, por todas as conversas e ajuda em minha metodologia. Lcia Duro e Gracivane que me aconselharam e ajudaram antes mesmo do incio do meu mestrado.

Colegas e amigos da especializao, em especial Grazi, Sil, Sildivane Eduardo, Paulo e Andra, que dividiram suas experincias pessoais e acadmicas contribuindo na minha formao enquanto docente e pessoa.

Lilian Dbora, que divide os mesmos anseios desde a graduao, seguindo o perodo no departamento de Expresso Grfica e no mestrado, sempre preocupada tentando me acalmar nos momentos de tenso. Andiara e Thyana, que sempre se dispuseram a ajudar, alm de me tranquilizarem nos momentos de tenso com suas brincadeiras e conselhos. Max contribuindo com as correes do texto final da dissertao. Nbia e Lda, ex-alunas que acompanharam minha trajetria e me arremetem, pelos exemplos, ao incio da descoberta pela docncia.

Meus novos colegas de trabalho do CAp/UFPE que torceram por mim, em especial a Fabiana, por mesmo sem saber serviu de exemplo enquanto professora, pesquisadora e pessoa. Marcus Flvio pelas brincadeiras, apoio e incentivo; e Z Carlos, diretor do colgio nesse perodo, por ter compreendido minhas ausncias em decorrncia do mestrado, pelas orientaes e pelo exemplo de gestor.

Aos sujeitos da pesquisa (no citarei nomes por questes ticas), que com muita disponibilidade e senso de humor tornaram a pesquisa possvel e mais agradvel.

ngela Velasco que se colocou disponvel, mesmo em situaes adversas, colaborando com materiais e informaes para a dissertao, bem como Rodrigo Seabra, Eduardo Toledo, Vnia Valente e Danuza Gani, que disponibilizaram materiais (teses, dissertaes, formulrios) para a realizao da presente pesquisa.

Acredito que Deus coloca em nossas vidas pessoas de diferentes personalidades e virtudes para que possamos encontrar em cada uma delas uma faceta de Sua divindade. Por isso, agradeo a cada uma delas por ser presena real de Deus em minha vida e expresso do Seu Amor.

RESUMO Os Parmetros Curriculares Nacionais (PCN) de Matemtica pressupem para a educao fundamental, dentro do bloco de Espao e Forma, a interpretao e representao de posio e de movimentao no espao. Entretanto, por diversas razes, o ensino da Geometria Grfica, disciplina que desenvolve habilidades de visualizao espacial necessrias para os requisitos citados dos PCN, tem se enfraquecido na educao bsica, tendo como consequncia, entre outras, levar ao ensino superior alunos com baixo nvel dessa habilidade. Investigaes na rea da Expresso Grfica e da Educao Matemtica levantam trs tipos de dificuldades: epistemolgicas, didticas e cognitivas. Referente ao uso de tecnologias computacionais, estudos apontam que essas dificuldades podem ser superadas. Porm, o simples uso do computador no garante que ocorram aprendizagens. Nessa direo, propomos investigar os efeitos do uso de um programa de modelagem computacional por alunos de graduao para resolver uma situao problema de Geometria Grfica Tridimensional. Como hiptese inicial, pressupomos que ao utilizarem o programa as dificuldades com relao visualizao espacial diminuem, contribuindo para os alunos resolverem o problema corretamente. Para nossa investigao, iniciamos com o estudo da Geometria Grfica Tridimensional, enfocando a questo da representao desde a fisiologia da viso at os mtodos de ensino utilizados. Aps o estudo histrico e metodolgico do mtodo de Monge, enfocamos as questes didtico-pedaggicas, abordando as dificuldades de aprendizagem dos alunos. Utilizamos a teoria das Situaes Didticas de Brousseau como norteadora da organizao do nosso experimento, preocupando-se com a noo de meio (milieu) e sua importncia na construo de situao de aprendizagem. Em nossa metodologia realizamos uma anlise a priori para a escolha do programa de modelagem, bem como do problema. Foram sujeitos da pesquisa oito alunos do curso de licenciatura em Expresso Grfica da UFPE, matriculados na disciplina de Geometria Grfica Tridimensional I. O Contedo escolhido foi interseo entre planos. Como instrumento de coleta de dados, utilizamos um teste de visualizao espacial, no incio do semestre. A situao problema foi aplicada em dois ambientes, em prancheta, com uso dos instrumentos tradicionais de desenho e em laboratrio de informtica, usando uma ferramenta computacional selecionada, alm de entrevistas semiestruturadas aps cada aplicao da situao problema. Como tcnica de anlise utilizamos a anlise de contedo a partir do levantamento de tcnicas utilizadas na resoluo do problema e nas fases de resoluo de problemas em GGT, fases inspiradas de Barros & Santos e Polya. Como resultado, percebemos que o uso do programa de modelagem minimizou as dificuldades quanto visualizao espacial, apesar deste fato no garantir o avano da resoluo do problema em comparao com o uso dos instrumentos tradicionais de desenho. Isso se deve dificuldade com relao ao prprio contedo. Em contrapartida, os alunos realizaram a fase de retrospecto em todo processo operacional, o que antes no ocorria ou somente ocorria no final da resoluo. Alm disso, a etapa de Explorao proporcionou a elaborao de maior nmero de tcnicas com uso da ferramenta computacional, dando-nos a oportunidade de identificar a gnese das dificuldades dos alunos para, futuramente, elaborar metodologias que minimizem essas dificuldades, conduzindo o aluno a uma aprendizagem efetiva dos conhecimentos em jogo. Palavras-chave: Geometria Grfica Tridimensional; resoluo de problemas; programa de modelagem.

RSUM Les programmes nationaux d'enseignement (PCN) des mathmatiques prsuppose pour l'enseignement fondamental, dans le bloc de contenus Espace et Forme , l'interprtation et la reprsentation de positions et mouvement dans l'espace. Pour diverses raisons, l'enseignement de la gomtrie graphique, discipline que dveloppe les aptitudes de visualisation spatiale ncessaire aux exigences des PCNs cits, a perdu de l'espace dans l'enseignement fondamental, permettant des lves ayant ces aptitudes peu dveloppes d'accder l'enseignement suprieur. Des recherches dans le domaine de l'expression graphique et de l'enseignement des mathmatiques mettent en vidence trois types de difficult : pistmologiques, didactiques et cognitives. Relativement l'utilisation de technologies informatiques, des tudes montrent que ces difficults peuvent tre dpasses, pourtant la simple utilisation de l'ordinateur ne garantit qu'il y ait des apprentissages. Dans ce sens, nous avons propos d'tudier les effets de l'utilisation par des lves d'universit d'un logiciel de modelage pour rsoudre une situation problme de Gomtrie Graphique Tri-dimensionnelle. Comme hypothse initiale, nous avons suppos que par l'utilisation du programme, les difficults relatives la visualisation spatiale diminuerai et contribuerai ce que les lves rsolvent le problme correctement. Pour notre recherche, nous commenons par l'tude de la Gomtrie Graphique, nous focalisant sur la question de la reprsentation graphique de la physiologie de la vision aux mthodes d'enseignement en oeuvre. Aprs l'tude historique et mthodologique des principes gomtriques de Monge, nous avons abord les questions didactiques-pdagogiques, nous intressant particulirement aux difficults d'apprentissage des lves. La thorie des situations didactiques de Guy Brousseau nous a servi de guide pour l'organisation de notre exprimentation, nous proccupant particulirement de la notion de milieu et son importance dans la construction de situation d'apprentissage. Pour notre mthodologie, nous avons ralis une analyse a priori pour le choix du logiciel de modelage et de la situation problme. Huit lves du cours de licenciatura en Expression Graphique de l'UFPE faisant la disciplina de Gomtrie Graphique Tri-Dimensionnelle I. Le contenu choisi a t l'intersection entre plans. Comme instrument de collecte des donnes, nous avons utilis un test de visualisation spatiale au dbut du semestre ; une situation-problme applique dans deux environnements : planchette avec l'utilisation des instruments classiques de dessin et en laboratoire d'informatique avec le logiciel de modelage slectionn ; et des interviews semi-structures aprs chaque mise en oeuvre de la situation problme. Comme technique d'analyse, nous avons mis en oeuvre l'analyse de contenu partir de la mise en vidence de techniques utilises de la rsolution de problme et des phases de rsolutions de problme en GGT, phases inspires de Barros & Santos et Polya. Comme rsultat, nous avons observ que l'utilisation d'un logiciel de modelage a rduit les difficults de visualisation spatiale, mais ce fait n'a pas garanti l'avance dans la rsolution de problme en comparaison avec l'utilisation des instruments classiques de dessin. Ceci vient de la difficult avec le contenu lui-mme. En contrepartie, les lves ont effectu la phase de rtrospective dans tout le processus oprationnel, ce qui n'est pas le cas ou seulement la fin de la rsolution dans l'environnement classique. De plus, l'tape d'exploration a provoqu l'laboration d'un plus grand nombre de techniques dans l'environnement informatique donnant la possibilit d'identifier la gense des difficults des lves et, dans le futur, laborer des mthodes que minimisent ces difficults, amenant les lves un apprentissage effectif des connaissances en jeu. Mots-cls: gomtrie graphique tri-dimensionelle, rsolution de problmes, programme de modlisation.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 formao da imagem no olho humano. .................................................... 16

Figura 2 Estereoscpica. ........................................................................................ 17

Figura 3 Esquema projeo cnica. ....................................................................... 20

Figura 4 A ltima ceia de Leonardo da Vinci.. ........................................................ 20

Figura 5 Plana baixa e fachada do Palcio Iseppo Porto. ...................................... 21

Figura 6 Esquema projeo cilndrica. ................................................................... 21

Figura 7: Perspectiva de projeo de um tringulo em pi1 e pi2.. .............................. 23

Figura 8: Composio da pura e projeo cotada. ................................................. 24

Figura 9 Perspectiva de uma reta e um plano de cota constante projetados em pi1

................................................................................................................... 25

Figura 10 Perspectiva de uma reta e um plano bsicos projetados em pi1. ........... 25

Figura 11: Perspectiva de reta e plano quaisquer projetados em pi1.. ....................... 26

Figura 12 Perspectiva da projeo de uma reta e um plano e seus intervalos. ..... 26

Figura 13 Perspectiva cnica de 3 fugas, Cavaleira e Isomtrica respectivamente.

................................................................................................................... 27

Figura 14 Vistas mongeanas. ................................................................................. 27

Figura 15: (1) prisma reto; (2) prisma oblquo. .......................................................... 27

Figura 16 Projeo cotada do tringulo MNO.. ...................................................... 28

Figura 17 pura e perspectiva da rcc de MNO. ...................................................... 29

Figura 18 pura e perspectiva da projeo em vista bsica da face MNO. ........... 29

Figura 19 pura e perspectiva da V.G. do plano MNO. .......................................... 30

Figura 20: Processo de soluo de problemas em GGT ........................................... 34

Figura 21: Tringulo didtico. .................................................................................... 35

Figura 22: Exemplo de questo do TVZ. ................................................................... 48

Figura 23: Aparncia do Rhinoceros.. ....................................................................... 59

Figura 24- interseo entre os planos e . ............................................................. 60

Figura 25 Planos e cortados por um plano horizontal .. ................................. 61

Figura 26 Interseo entre os planos e determinada pelo encontro das rcc. ... 61

Figura 27 A esquerda projeo do plano determinado por um polgono, a direita

projeo do plano determinado pela sua reta de mximo declive. .......... 63

Figura 28 Representao em pura da interseo entre dois planos utilizando

projeo secundria. .................................................................................. 65

Figura 29 Representao em pura da interseo entre dois planos utilizando

apenas projeo principal. .......................................................................... 66

Figura 30 representao dos planos da situao problema escolhida.. ................. 68

Figura 31 Apresentao do problema no Rhino. .................................................... 68

Figura 32 Resoluo em pura da interseo entre trs planos.. .......................... 69

Figura 33 Resoluo do problema no Rhino. ......................................................... 70

Figura 34 Visibilidade determinada pelo sujeito S1. ............................................... 74

Figura 35 Visibilidade determinada pelo sujeito S2.. .............................................. 74

Figura 36 determinao de visibilidade entre dois planos. ..................................... 75

Figura 37 Modelo diagrama de tarefas. .................................................................. 80

Figura 38 Levantamentos das tcnicas da situao problema com uso do

computador.. ............................................................................................... 80

Figura 39 Levantamento das tcnicas utilizadas na situao problema em

prancheta.................................................................................................... 82

Figura 40 Comparativo do cumprimento de subtarefas de T2 entre os dois

ambientes. .................................................................................................. 83

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 Categorizao dos programas quanto ao objetivo. ................................ 55

Quadro 2 Categorizao dos programas ao tipo de apresentao. ....................... 55

Quadro 3 Categorizao dos programas quanto ao tipo. ....................................... 57

Quadro 4 Variveis Didticas de um problema de Interseo entre Planos. ......... 62

Quadro 5 Variveis das ferramentas. ..................................................................... 66

Quadro 6 Dificuldades apresentadas pelos sujeitos na resoluo do problema nos

dois ambientes. ........................................................................................ 76

Quadro 7: Organizao pontual de T1 em ambiente computacional. ..................... 78

Quadro 8 Organizao pontual de T2 em ambiente computacional. ...................... 79

Quadro 9 Organizao pontual de T2 em ambiente com prancheta. ..................... 82

Quadro 10 Comparao entre a fase de retrospecto nos dois ambientes. ............ 87

LISTA DE GRFICOS

Grfico 1 Comparativo de tempo entre as tarefas T1 e T2 do ambiente

computacional. ......................................................................................... 81

Grfico 2 Comparativo de tempo entre resoluo em prancheta e computador. ... 84

Grfico 3 Relao entre as categorias de dificuldades por sujeitos. ...................... 84

Grfico 4 Acertos no Teste TVZ. ............................................................................ 85

SUMRIO

AGRADECIMENTOS .................................................................................................. 4

LISTA DE FIGURAS ................................................................................................... 8

LISTA DE QUADROS ............................................................................................... 10

LISTA DE GRFICOS ............................................................................................... 10

SUMRIO.................................................................................................................. 11

INTRODUO .......................................................................................................... 13

CAPTULO 1 PROBLEMTICA DA REPRESENTACO DO OBJETO NO

ESPAO ................................................................................................................... 16

1.1 VISO E FORMAO DA IMAGEM .............................................................. 16

1.2 HABILIDADE DE VISUALIZAO ESPACIAL ............................................... 18

1.3 ORIGEM DA GEOMETRIA GRFICA TRIDIMENSIONAL (GGT) ................. 19

1.3.1 O Mtodo de Monge ........................................................................ 23

CAPTULO 2 ENSINO DA GGT ............................................................................. 31

2.1 PARA QUE ENSINAR? .................................................................................. 31

2.2 RESOLUO DE PROBLEMAS EM GGT ..................................................... 31

2.3 DIFICULDADES DE APRENDIZAGEM .......................................................... 34

2.4 TEORIA DAS SITUAES DIDTICAS ........................................................ 38

2.5 CONTRIBUIO DAS MDIAS COMPUTACIONAIS NO ENSINO DA GGT . 40

2.6 ENSINO DA GGT NA UFPE ........................................................................... 44

CAPTULO 3 DESENVOLVIMENTO METODOLGICO ....................................... 46

3.1 SUJEITOS ...................................................................................................... 46

3.2 INSTRUMENTO DE COLETA DE DADOS ..................................................... 47

3.2.1 TVZ .................................................................................................. 48

3.2.2 Situao Problema em Prancheta/Computador ............................... 49

3.2.3 Entrevista Semiestruturada .............................................................. 50

3.3 TRATAMENTO DOS DADOS ......................................................................... 50

CAPTULO 5 ANLISES ........................................................................................ 54

4.1 ANLISE A PRIORI ........................................................................................ 54

4.1.1 Levantamento dos programas utilizados no Ensino da GGT ........... 54

4.1.2 Levantamento dos Conceitos e Variveis Didticas para escolha

da Situao Problema ...................................................................... 59

4.2 ANLISE DAS RESOLUES DO PROBLEMA ........................................... 70

4.2.1 Comandos utilizados na resoluo do problema com o Rhino ........ 71

4.2.2 Fase de visualizao........................................................................ 73

4.2.3 Fase de Concepo e Operacionalizao ....................................... 77

4.2.4 Fase de Retrospecto ........................................................................ 87

CONSIDERAES FINAIS ...................................................................................... 89

REFERNCIAS ......................................................................................................... 93

APNDICE A Termo de Consentimento Livre e Esclarecido ................................. 98

APNDICE B Problema Proposto na Prancheta .................................................... 99

APNDICE C Ficha para Resoluo Descritiva ................................................... 100

APNDICE D Modelo de Resoluo Grfica ....................................................... 101

APNDICE E Modelo de Resoluo Descritiva ................................................... 102

APENDICE F Entrevista Semiestruturada ........................................................... 103

ANEXO 1 Programa da disciplina de GGT1 do curso de Licenciatura em

Expresso Grfica da UFPE para o primeiro semestre de 2010. ............................ 104

13

INTRODUO

A Geometria est presente em nosso cotidiano e nas mais diversas reas de

conhecimento, desde os elementos da natureza at projetos de engenharia de alta

complexidade. No entanto, a Geometria no est naquilo que vemos, pois ela

abstrata. Desse modo, para o seu entendimento e apropriao, precisamos

desenvolver habilidades que se utilizem tambm da abstrao, tais como a

visualizao espacial, atrelada ao domnio da manipulao e transformao das

representaes geomtricas.

Historicamente, o modo de representar seja nas artes ou na arquitetura, por

exemplo, sofre diferentes transformaes influenciadas pela poca, no que se refere

ao momento histrico em que uma sociedade est inserida, e/ou a evoluo do

conhecimento. Desde as pinturas rupestres do perodo pr-histrico, passando pelas

pinturas em perspectivas do Renascimento, aos sofisticados projetos de arquitetura

e engenharia, percebemos como o homem transforma as representaes

adaptando-as de acordo de sua necessidade de visualizar e/ou reproduzir.

Na Matemtica, as representaes grficas so utilizadas como importante

recurso na elaborao de demonstrao de propriedades geomtricas, pois elas

tambm facilitam a visualizao de determinado contexto matemtico.

Os mtodos de representao foram ao longo dos anos deixando de ser

tcnicas utilizadas apenas por artistas, passando a ser sistematizadas como campos

tericos, na origem de diversas reas da matemtica e das cincias, como a

Geometria Projetiva, desenvolvida pelo francs Jean Victor Poncelet (1788-1867).

A Geometria Projetiva fundamenta a maioria dos sistemas de representao

utilizados atualmente. considerado como Sistema de Representao, todo

conjunto de mtodos e representaes que expressem um objeto, revelando os

dados quantitativos e qualitativos necessrios e suficientes para que se possa

reconstruir esse objeto tal como ele .

Destacamos entre eles o primeiro Sistema de Representao conhecido,

sistematizado por Gaspard Monge (1746-1818). Monge denominou seu mtodo de

geometria descritiva. Para ns, tal termo no traduz sua aplicao, visto no ser uma Geometria. Preferimos, ao invs disso, a utilizao do termo Mtodo de Monge

ou Sistema Mongeano.

14

Costa (1996a) utiliza o termo Geometria Grfica para o:

[...] estudo, atravs do desenho, de qualquer propriedade de forma. Poder ser bidimensional, estudando apenas figuras planas diretamente no plano do desenho, ou tridimensional, utilizando os sistemas de representao para estudar formas de trs dimenses em desenhos planos (COSTA, 1996a, p.14).

Os Parmetros Curriculares Nacionais Brasileiros (BRASIL, 1997), prope

para a educao fundamental, dentro do bloco de Espao e Forma, o

desenvolvimento de tais habilidades. As aulas de Geometria Grfica, seja na

disciplina de Desenho Geomtrico ou Matemtica, um dos ambientes favorveis

para o desenvolvimento da visualizao espacial.

No entanto, com o Movimento da Matemtica Moderna, o Desenho, enquanto

disciplina obrigatria foi retirada do currculo da escola bsica (ZUIN, 1997),

refletindo no abandono do estudo da Geometria, como tambm do seu estudo

grfico.

Tal fato reflete-se no ensino superior, em cursos que demandam a

visualizao espacial como engenharias, arquitetura, licenciatura em expresso

grfica, design, entre outros nos quais, seus estudantes apresentam deficincias,

tanto com relao a elementos bsicos da geometria, quanto habilidade de

visualizao espacial.

Esforos vm sendo realizados na rea de Expresso Grfica para minimizar

essas deficincias, seja a nvel bsico ou superior. Exemplos claros podem ser

observados nos Anais do GRAPHICA (Internacional Conference on Graphics

Engineering for Arts and Design e Simpsio Nacional de Geometria Descritiva e

Desenho Tcnico) onde a questo sistematicamente discutida (BARROS E

SANTOS, 2007; SEABRA, 2009; AMEIDA et al 2009, entre outros)

Neste cenrio, o uso de novas tecnologias atrelado a metodologias de ensino

vem demonstrando atravs da experincia, as contribuies no processo de ensino

aprendizagem, tanto por parte dos professores na apresentao e ensino do

contedo, quanto pelos alunos explorando e pondo em prtica os conceitos

abordados na disciplina.

Diante deste quadro, propomos investigar os efeitos do uso de um programa

de modelagem computacional por alunos de graduao para resolver uma situao

problema de Geometria Grfica Tridimensional (GGT). Como hiptese inicial,

pressupomos que ao utilizarem o programa, as dificuldades com relao

15

visualizao espacial diminuem, contribuindo para os alunos resolverem o problema

corretamente.

Estabelecemos como objetivos especficos:

Perceber potencialidades e limitaes quanto ao uso de uma mdia

computacional na resoluo de problemas em GGT;

Reconhecer diferenas e semelhanas entre as tcnicas utilizadas na

resoluo de um mesmo problema de GGT em dois ambientes;

Identificar as dificuldades dos alunos em resolver problemas de GGT nos

aspectos epistemolgicos, cognitivos e didticos.

16

CAPTULO 1 PROBLEMTICA DA REPRESENTACO DO OBJETO

NO ESPAO

1

Para discutirmos sobre esta problemtica, precisamos entender que o

processo cognitivo de observar e analisar um objeto, sobretudo do ponto de vista

geomtrico, diferente de observar a analisar sua representao. Este fato est

intrinsecamente ligado fisiologia da viso, formao da imagem, a fatores

cognitivos e aos mtodos utilizados para representar.

1.1 VISO E FORMAO DA IMAGEM

A viso responsvel por cerca de setenta e cinco por cento de nossa

percepo (RAMOS, 2006) e a partir dela que podemos reconhecer formas e

propriedades geomtricas apenas pela observao.

A percepo visual (viso) de um objeto depende da luz que incide sobre ele.

Noo do contorno, volume e textura depende da quantidade de luz ausente ou

presente sobre o objeto. A formao da imagem se d pela incidncia de raios

projetantes de luz que vo do objeto ao olho humano, atravessando a crnea,

passando pela pupila, responsvel pelo controle de entrada de luz no olho, depois o

cristalino e projeta na retina a imagem invertida do objeto (Figura 1).

Figura 1 formao da imagem no olho humano. Fonte: o autor.

O nervo ptico transmite impulsos nervosos para crebro interpretando a

imagem na posio correta. A viso tridimensional formada pelo processo de fuso

das imagens produzidas em cada olho realizado pelo crebro. Esse par de imagens

17

chamado de par estereoscpico (MALARD et al 2008, p. 6), nos permitindo

perceber profundidade e relevo dos objetos.

Podemos ver o fenmeno da estereoscpica aplicado ao denominado cinema

3D, onde uma pessoa assiste ao filme com a sensao da tridimensionalidade. A

tecnologia do cinema 3D tem como objetivo projetar na tela imagens distintas para o

olho esquerdo e o olho direito do observador. Em geral, o observador utiliza culos

que filtram as imagens (filtros polarizantes, coloridos, etc).

A Figura 2 ilustra a simulao da projeo de um filme 3D em uma tela de

cinema (linha verde). Cada projetor emite imagens polarizadas na tela e o

espectador utiliza um par de culos, onde filtrada em cada lente, uma das

imagens. O crebro funde as duas imagens dando o efeito de viso tridimensional.

Figura 2 Estereoscpica. Fonte: o autor.

Apesar da importncia do olho humano na tarefa do ver, o crebro capaz de desenvolver habilidades que auxiliam uma pessoa a ver algo mesmo que mentalmente, sem a presena fsica do objeto. Podemos, por exemplo, explicar a

algum como ir a uma farmcia a partir de casa, fornecendo-lhe as coordenadas das

ruas, referindo quantas quadras ter que andar, se dobrar a esquerda ou a direita,

sem que essa pessoa tenha, ao menos, andado por essas ruas. Porm, quando a

regio do percurso conhecida, a visualizao da trajetria se torna mais fcil.

Do mesmo modo, quando pensamos em um cubo, nos vem a cabea a sua

imagem. Podemos contar mentalmente seu nmero de faces, vrtices e arestas sem

t-lo em mos, visto que sua forma familiar, pois esta encontra-se presente em

nosso cotidiano. Porm, se pedirmos para imaginar um icosaedro, alguns podem at

mesmo saber que se trata de um poliedro regular e conseguir formular uma imagem

mental (talvez no to clara). No entanto, nem todos conseguem realizar operaes

mentais dessa forma, de modo que se consiga obter seus dados quanto ao nmero

18

total de faces, arestas e vrtices, uma vez que sua representao mais complexa

e menos familiar.

Na Geometria, o estudante, professor ou pesquisador, necessita dessa

habilidade de visualizar algo que no se v e realizar operaes mentais para

compreender suas propriedades, pois no se trata de uma cincia concreta mas

sim, abstrata. Tanto a Geometria Bidimensional quanto a Tridimensional requer da

pessoa um pensamento abstrato, uns mais complexos que outros. Tal habilidade

no inerente ao sujeito, mas desenvolvida ao longo do crescimento cognitivo.

1.2 HABILIDADE DE VISUALIZAO ESPACIAL

A visualizao espacial uma importante habilidade cognitiva humana

utilizada em mais de oitenta profisses (SORBY, 1999), assim como para qualquer

indivduo que realiza atividades mais simples no que se refere localizao

espacial, abstrao, percepo do espao e distncia relativa, entre outros requisitos

necessrios para a vida cotidiana.

A habilidade ou inteligncia espacial envolve pensar em imagens, bem como

a capacidade de perceber, transformar e recriar diferentes aspectos do mundo visual

e espacial (SEABRA, 2004). Seabra (2004) afirma que indivduos com alta

habilidade de visualizao espacial possuem, via de regra, sensibilidade aguada

para detalhes, esboam ideias graficamente e se orientam facilmente no espao

tridimensional. Tais caractersticas so essenciais para engenheiros, arquitetos,

fsicos, matemticos, pilotos, projetistas, gegrafos, mdicos e muitos outros.

Esta capacidade, segundo Choi (2001 apud SEABRA, 2009, pag. 28),

compreende trs categorias distintas, quais sejam: (1) rotao mental, na qual o

indivduo consegue manipular um objeto mentalmente, podendo rotacionar, mudar

de posio ou at mesmo torcer ou inverter um objeto, quando por exemplo, vemos

um objeto e tentamos imaginar este em outra posio; (2) percepo espacial, a

qual possibilita o indivduo realizar relaes espaciais a partir de informaes

visuais; (3) visualizao espacial, possibilita o indivduo no s ver mentalmente um objeto ou situao, mas capaz de manipular problemas complexos, ou seja,

no se trata de uma visualizao esttica, mas da compreenso do todo o processo

para se resolver um problema.

19

Percebemos que essas categorias no ocorrem isoladamente, mas quase

que simultaneamente variando uma ou outra de acordo com o acontecimento

relacionado.

Nesta direo, entendemos que a habilidade de visualizao espacial nos

possibilita encontrar solues para problemas a partir de operaes mentais, mesmo

sem o suporte de materiais concretos. De todo modo, o desenvolvimento dessa

habilidade depende tambm da apropriao das propriedades dos contedos

envolvidos no problema. Especificamente no estudo da Geometria, tal habilidade se

faz necessria para a interpretao de suas representaes grficas, bem como na

resoluo de problemas de Geometria Grfica.

1.3 ORIGEM DA GEOMETRIA GRFICA TRIDIMENSIONAL (GGT)

O homem ao longo da histria encontrou maneiras de representar o mundo

que o rodeava a partir de diferentes reas de conhecimento, seja pelas artes ou

pelas cincias, encontrando assim, em seu grupo social um estilo prprio de

expresso do seu tempo e espao.

Na idade Mdia, arquitetos e artistas utilizavam em suas obras conceitos

empricos de perspectiva. J no Perodo do Renascimento, os arquitetos

Brunelleschi e Alberti elaboraram tcnicas de representao conhecidas como

perspectiva cnica (BOYER, 1996), que obtida do mesmo modo que a viso

humana, tendo por elementos, um ponto de vista (S), uma superfcie de projeo (pi) e um objeto. As intersees dos raios projetantes, que partem de S com uma

superfcie, determinam os pontos da perspectiva (Figura 3). Essa projetao recebe

o nome de Perspectiva Cnica, por conta do conjunto de projetantes formarem uma

superfcie cnica.

20

Figura 3 Esquema projeo cnica. Fonte: o autor.

A partir da perspectiva, pode-se ver um ambiente similar viso monocular

(imagem produzida por um olho), representando espaos e formas tridimensionais

em um plano. A Erro! Fonte de referncia no encontrada. ilustra uma perspectiva

na pintura renascentista do pintor Leonardo da Vinci.

Figura 4 A ltima ceia de Leonardo da Vinci. Fonte: http://www.webdesignblog.com.br/70-million-by-

hold-your-horses/, acessado em julho de 2011.

Tambm na arquitetura, conceitos empricos de projeo foram utilizados

para representar as construes (Figura 5). Os estudos posteriores em Geometria

Projetiva justificam tais representaes em que a posio do ponto de vista,

encontra-se infinitamente afastado do plano de projeo que, por consequncia,

torna todos os raios projetantes paralelos entre si (Figura 6). Essa projeo

S

pi

21

denominada Perspectiva Cilndrica, por conta das projetantes formarem uma

superfcie cilndrica.

Figura 5 Plana baixa e fachada do Palcio

Iseppo Porto. Fonte: http://hermes.ucs.br/ccet/deme/

emsoares/inipes/palladio/

Figura 6 Esquema projeo cilndrica. Fonte: o autor.

Descartes (1596-1650) foi o primeiro a utilizar a associao entre duas

projees no estudo de uma curva reversa (no plana). Porm, todo seu estudo foi

realizado sem utilizar ilustraes. Posteriormente Descarte, estudos sobre

Estereotomia cincia do corte de figuras espaciais tiveram importncia

fundamental no estudo da representao das formas tridimensionais no plano. Essa

tcnica consiste em dar, separadamente, a forma de cada elemento que dever

compor a construo (GANI, 2004, p.40-42).

Philibert Delorme (1510 1570) foi o primeiro a recorrer ao raciocnio

geomtrico para justificar as regras de estereotomia e do Desenho Arquitetnico

atravs do tratado Le premier tome de lArchitecture. Em sua obra, ele trata o mtodo com um olhar essencialmente prtico, no se detendo a questes tericas.

Houve outros gemetras que abordaram o tema, sem, no entanto, causarem muitas

mudanas conceituais com relao Delorme (ibid, p.43).

Grard Desargues (1591 1661), que era gemetra e arquiteto, detinha-se a

questes da Geometria pura e de suas aplicaes s tcnicas grficas. Escreveu

estudos sobre perspectiva, corte de pedras, relgio de sol e o Brouillon project dune atteinte aux vnements des rencontres du Cne avec un Plan, sua obra mais

conhecida, que trata das sees cnicas e considerada a precursora da Geometria

Projetiva (ibid, p. 46). Nessa obra, Desargues baseia-se em princpios tericos,

voltados para generalizaes, apresentando apenas um exemplo, deixando ao leitor

pi

22

a interpretao grfica dos demais casos. Por esse motivo a obra de Desargues no

teve muito sucesso entre os arquitetos e engenheiros da poca.

A ideia de Desargues foi retomada por Amde-Franois Frzier (16821773)

que escreveu a obra La Thorie et la Pratique de la Coupe des Pierres et des Bois

pour la constructions des Voutes ou Trait de strotomie lusage de larchitecture, versando sobre princpios tanto tericos como prticos, consagrando a importncia

dos estudos tericos de Geometria e Mecnica como bases slidas da Arquitetura.

Contudo, no chegou a estabelecer princpios bem definidos (ibid, p. 50).

No incio do sculo XIX, Gaspard Monge, matemtico francs, desenvolveu o

mtodo de representao responsvel pela expanso da maquinaria do sculo XIX

considerado como o primeiro Sistema de Representao. Um mtodo atravs do

qual toda e qualquer situao espacial pudesse ser expressa atravs de um

desenho plano e cada representao plana pudesse ser traduzida na conjuntura

espacial que lhe deu origem. Essa transformao reversvel tornou possvel a

deduo de medidas e formas do espao por intermdio de um desenho plano

(GANI, 2004). Seu mtodo foi apresentado aos franceses pelo nome de gomtrie

descriptive (geometria descritiva), sendo inicialmente utilizado na engenharia militar

e mantido em segredo durante aproximadamente 25 anos. S posteriormente, foi

inserido nos currculos escolares.

Os ensinamentos de Monge foram compilados em nove lies na obra

Geometrie Descriptive, publicada por Hachette em 1799 (BELHOSTE & TATON,

1992), no qual Monge exps uma teoria para em seguida colocar o aluno diante de

solues de problemas exemplares. Logo aps, props novos problemas para que

os aprendizes buscassem suas prprias solues (ibid, p. 33).

Compreendemos que o sistema descrito por Monge no se trata de uma

Geometria, mas sim de um mtodo de representao no plano de objetos e

operaes geomtricas espaciais. Posterior a Monge, o gemetra francs Jean

Victor Poncelet (1788-1867) desenvolveu em 1822 a Geometria Projetiva, que

amplia os conceitos da Geometria Euclidiana com do Princpio da Continuidade e da

Dualidade, preservando seus entes elementares (ponto, reta e plano). Isso nos leva

a corroborar Gani (2004, p.9) que compreende que o mtodo no se reduz a sua

utilizao, mas do entendimento das teorias que justificam o mtodo.

23

Antes de aprofundarmos nosso estudo apresentaremos os princpios bsicos

do mtodo de Monge, para que nosso leitor possa compreender posteriormente as

resolues do problema utilizado em nossa pesquisa.

1.3.1 O Mtodo de Monge

Em seu mtodo, Monge toma por base projees cilndricas ortogonais,

considerando uma como projeo principal no plano denominado pi1. A distncia de

um ponto ao plano principal chama-se cota. Como um plano divide o espao em dois

semiespao, um considerado de cota positiva, o outro de cota negativa e todos os

pontos contidos em pi1 de cota nula.

Pela projeo principal pode-se obter projees secundrias, traando planos

perpendiculares a pi1 ou a qualquer outro plano secundrio existente. A reta de

interseo entre dois planos de projeo recebe o nome de Linha de Terra (LT),

tambm denominada pelo nome dos planos que se interceptam, como por exemplo,

pi1pi2 (LT entre os planos pi1 e pi2). Essa nomenclatura geralmente usada quando

se trabalha com mais de uma LT. A projeo da reta projetante em qualquer plano

paralelo a ela denomina-se linha de chamada. Podemos observar na Figura 7 os

elementos do Sistema Mongeano.

Figura 7: Perspectiva de projeo de um tringulo em pi1 e pi2. Fonte: o autor.

Para representar um objeto tridimensional em duas dimenses, rebate-se os

planos de projeo secundrios sobre pi1, obtendo assim a pura (Figura 8). A sua

24

apresentao deve conter no mnimo duas projees ou uma projeo de dados

analticos.

Figura 8: Composio da pura e projeo cotada. Fonte: o autor.

No Mtodo clssico de Monge, o estudo da posio relativa de ponto, reta e

plano realizado em funo de dois planos de projeo. Deste modo, o espao

dividido em quatro semiespaos (Diedros). A distncia de um ponto a qualquer plano

secundrio perpendicular a pi1 chamado de afastamento.

As vistas mongeanas apresentam cdigos de representao diferentes das

outras perspectivas, pois mostram as arestas que no esto sendo vistas, que so

representadas por uma linha tracejada. Todas as arestas visveis so representadas

por uma linha contnua, as linhas de chamada por uma linha contnua fina e as

linhas de terra por uma linha contnua grossa.

1.3.1.1 Posio relativa de reta e plano

Abordaremos esses princpios por se fazerem necessrios para o

entendimento da resoluo do problema em nossa pesquisa. Basicamente, uma reta

e um plano podem ocupar trs posies com relao inclinao tomando como

referencial um plano de projeo, a citar:

De cota constante: quando a inclinao igual a zero. Por consequncia,

todos os pontos da reta ou do plano tm a mesma cota, assumindo, a reta ou o

plano, a posio paralela pi1. Quando esto sob essa posio so projetados em

Verdadeira Grandeza (V.G.), isto , suas projees tm as medidas reais do objeto.

A Figura 9 ilustra a projeo de uma reta de cota constante (rcc), determinada pelo

25

segmento AB e um plano de cota constante, determinado pelo polgono CDEF,

ambos projetados no plano principal;

Figura 9 Perspectiva de uma reta e um plano de cota constante projetados em pi1. Fonte: o autor.

Bsica: quando a inclinao ortogonal. Ao se tratar de uma reta, sua

projeo se degenera em um ponto, quando for um plano sua projeo uma reta.

A Figura 10 ilustra como se projeta a vista bsica de uma reta e um plano

determinados por um segmento e uma face respectivamente, onde todas as

projees dos pontos da reta coincidem com sua vista bsica e todas as projees

dos pontos do plano pertencem vista bsica, representada pelo segmento de reta.

Figura 10 Perspectiva de uma reta e um plano bsicos projetados em pi1. Fonte: do autor.

Qualquer: quando a reta ou o plano apresenta inclinao diferente de zero ou

noventa graus com relao ao plano de projeo, ou seja, no esto nem paralelos,

nem ortogonais ao plano. A Figura 11 ilustra uma reta qualquer e um plano qualquer,

determinados por um segmento e uma face, respectivamente, projetados no plano

principal de projeo. Podemos observar que a medida das projees, seja linear ou

superficial, sempre menor que a medida real.

26

Figura 11: Perspectiva de reta e plano quaisquer projetados em pi1. Fonte: o autor.

Todos os pontos de uma reta qualquer apresentam cotas distintas uns dos

outros, isto , no h ponto que possua cota igual a outro na mesma reta.

Analogamente, um plano contm infinitas rcc, cada qual com cotas distintas entre si.

A projeo de um segmento da reta cuja diferena entre as cotas igual a

uma (1) unidade d-se o nome de intervalo de reta. Do mesmo modo, chamamos de

intervalo de plano a projeo da distncia entre duas rcc, de um plano cuja diferena

entre suas cotas uma (1) unidade (Figura 12).

Figura 12 Perspectiva da projeo de uma reta e um plano e seus intervalos. Fonte: o autor.

A partir do Mtodo de Monge, as representaes dos objetos tridimensionais

expressam com exatido as suas medidas, de modo que qualquer pessoa que

conhea os cdigos de representao pode reconstruir um dado objeto. Outros

Sistemas de Representao tomam por base o mtodo de Monge, a citar alguns

mtodos de Perspectiva Cnica. Entretanto, a interpretao desses cdigos no

ocorre facilmente, requerendo do indivduo uma visualizao espacial e raciocnio

geomtrico para leitura e tratamento das imagens.

Outros conceitos e propriedades projetivas e geomtricas esto envolvidos no

mtodo de Monge, em questes que apresentam construes mais complexas como

problemas de distncia entre retas, ou ngulos entre planos, por exemplo. Por conta

27

dessa complexidade e de outros fatores, os alunos se distanciam muitas vezes da

abstrao se detendo nas execues de mtodos.

importante destacar que no mtodo de Monge o objeto colocado em

relao ao plano de projeo de modo que duas dimenses (largura e comprimento,

por exemplo) sejam projetadas em V.G. Por esse motivo, na representao de um

objeto so utilizados duas projees ou outros dados que complementem as

informaes com relao terceira dimenso, o que torna ainda mais complexo de

compreender o que est representado, pois se distancia do modo como

enxergamos. As figuras Figura 13 e Figura 14 ilustram respectivamente projees de

um slido que mostram as trs dimenses representadas e trs projees de um

objeto, mostrando apenas duas dimenses cada.

Figura 13 Perspectiva cnica de 3 fugas, Cavaleira e Isomtrica respectivamente. Fonte: o autor.

Figura 14 Vistas mongeanas. Fonte: o autor.

Em contraponto, as projees que apresentam as trs dimenses no

garantem, por si s, uma nica interpretao. A Figura 15 ilustra um prisma

representado por uma projeo cilndrica. Entretanto, se imaginarmos um

paraleleppedo retngulo (ordoedro) envolvendo o prisma, poderamos imaginar

duas formas distintas, um prisma reto (1) e um prisma oblquo.

Figura 15: (1) prisma reto; (2) prisma oblquo. Fonte: o autor com base em COSTA (1996).

Atualmente, o estudo do Mtodo de Monge amplia-se ao que Costa (1996)

chama de Geometria Grfica Tridimensional (GGT), que o estudo, atravs do

K = 1

28

desenho plano, de qualquer propriedade de forma tridimensional, utilizando os

Sistemas de Representao (Costa, 1996, p. 14).

Como uma das principais utilidades do mtodo de Monge determinar a

Verdadeira Grandeza de faces e arestas, apresentamos um problema simples de

GGT, para que o leitor perceba as diferenas no representar uma situao no

espao e interpretar essas representaes de modo que se possa compreend-la.

Como determinar a verdadeira grandeza de um tringulo que se encontra na

posio qualquer em relao ao plano de projeo principal, dado a sua projeo

cotada em pi1?

Para se projetar uma face em V.G. o plano de projeo encontrar-se-

paralelo a ela. Desde modo, se a face est na posio qualquer em relao ao plano

de projeo principal pi1 (Figura 18), o plano em que ser projetado em V.G. tambm

qualquer. Sabendo que todo plano de projeo secundrio deve ser perpendicular

a outro existente, no temos como encontrar um plano paralelo face diretamente

por pi1. Desse modo, se colocarmos a face em vista bsica em um plano secundrio

pi2, podemos traar um terceiro plano (pi3) paralelo face e perpendicular a pi2.

Encontramos a direo em que a face se projeta em vista bsica a partir da

rcc, pois o plano secundrio perpendicular a ela (Figura 19). Projetamos a face em

pi2 obtendo sua vista bsica (Figura 20).

Paralelo face, consequentemente, vista bsica, traamos um terceiro

plano pi3, obtendo a projeo da face em V.G. (Figura 21).

Figura 16 Projeo cotada do tringulo MNO. Fonte: o autor.

29

Figura 17 pura e perspectiva da rcc de MNO. Fonte:o autor.

Figura 18 pura e perspectiva da projeo em vista bsica da face MNO. Fonte: o autor.

M1

N1 O1

M1

N1 O1

N2

O2

M2

30

Figura 19 pura e perspectiva da V.G. do plano MNO. Fonte: o autor.

Diante do exposto, percebemos que compreender a GGT no uma tarefa

simples, pois envolve fatores que vo alm da apropriao dos cdigos de

representao, como tambm fatores cognitivos, epistemolgicos e didticos. Nessa

direo, trataremos na seo seguinte do ensino da GGT, as dificuldades de

aprendizagem e as metodologias utilizadas no ensino da mesma.

N1 O1

N2

O2

M1 M2

N3

O3

M3

31

CAPTULO 2 ENSINO DA GGT

2

2.1 PARA QUE ENSINAR?

Os Parmetros Curriculares Nacionais de Matemtica (BRASIL, 1997, p. 51)

apontam como contedos conceituais e procedimentais para o bloco de Espao e

Forma, dentre outros, a interpretao e representao de posio e de

movimentao no espao a partir da anlise de maquetes, esboos, croquis e

itinerrios e a construo e representao de formas geomtricas. Isso nos mostra

que princpios bsicos da GGT j esto, a princpio, inseridos no ensino de

Matemtica desde o ensino bsico e no so reservados apenas ao ensino tcnico

e/ou superior.

Valente (2003) aponta como objetivo da disciplina de GGT:

[...] o desenvolvimento das seguintes competncias: visualizao espacial; capacidade de representar elementos tridimensionais no plano, indicando corretamente sua forma, tamanho e posio relativa; capacidade de interpretar representaes grficas no plano e resolver problemas geomtricos espaciais em pura. (Valente, 2003, p. 27).

Tal afirmativa corrobora o fato da disciplina ajudar o aluno a desenvolver

determinados conceitos geomtricos por outros olhares dentro da Matemtica.

Contudo, os alunos encontram dificuldades de diversas naturezas (conceituais,

cognitivas, didticas) para alcanar esses objetivos.

Nesta direo, alguns tericos se debruam a estudar metodologias de ensino

que nos ajude a entender como o aluno aprende, bem como que condies

favorveis aprendizagem podem ser possibilitadas. Dentre as metodologias,

destacamos a resoluo de problemas como estratgia de ensino.

2.2 RESOLUO DE PROBLEMAS EM GGT

A resoluo de problemas uma atividade privilegiada para favorecer o aluno

a construir o seu conhecimento. Os problemas a serem resolvidos devem favorecer

a utilizao de conhecimentos antigos assim como a construo de novos. Do ponto

de vista da didtica e da cognio, a resoluo de problemas traz as questes de

conflito cognitivo, de acomodao, assimilao e equilibrao. Essas questes so

32

abordadas por Piaget em sua psicognese cognitiva em que o sujeito sofre

desequilbrios quando se depara com novas situaes e o processo de re-

equilibrao produz conhecimento.

Segundo Torbert (1975), a compreenso sobre algo ocorre: pela interferncia

de terceiros, seja por instruo ou ensino ou pela experincia adquirida com a

interao com o ambiente. No ensino, os problemas propostos devem instigar o

aluno a relacion-los com experincias anteriores, para assim torn-los

significativos.

George Polya (1887-1985), matemtico hngaro, escreveu How to solve it

(1945), traduzido para o portugus como A arte de resolver problemas (POLYA,

2006). Neste livro, Polya classifica os problemas pelo seu mtodo de resoluo,

dividindo em quatro etapas:

Compreenso do problema nesta fase o aluno interpreta o enunciado, onde

ocorre a devoluo do problema ao aluno. O professor deve ter a

preocupao de no elaborar questes nem muito fceis, provocando o

desinteresse por parte do aluno, nem muito difceis, provocando a sua

desistncia;

Estabelecimento de um plano nessa fase que o aluno entra em contato

com todas as experincias anteriores que trazem significado ao problema. O

aluno recorre aos campos conceituais envolvidos de modo a criar uma

estratgia, ou caminho metodolgico. Porm, este plano no ainda ntido e

definido;

Execuo do plano neste momento o aluno coloca em prtica os planos

elaborados anteriormente, verificando se a sua execuo leva ao caminho

planejado ou a algum resultado; a fase em que mais ocorrem os erros.

importante destacar que muitos alunos se perdem nessa fase, principalmente

quando o plano elaborado no provm dos mesmos, vindo por orientao do

professor ou de outro colega, ou quando a compreenso do problema no

est clara o suficiente. Isso nos mostra a fragilidade do domnio de conceitos

e propriedades envolvidas no problema;

Retrospecto nesta fase os alunos compararam os resultados encontrados

com o enunciado do problema, alm de revisarem todo o caminho percorrido

na resoluo. Esta fase um momento bastante importante, pois o aluno tem

a oportunidade de consolidar os conhecimentos adquiridos, seja pela reviso

33

da resoluo, por uma conversa com outro colega ou pela institucionalizao

do contedo por parte do professor.

Para Polya (2006), em cada etapa o aluno volta etapa anterior para

confirmar suas conjecturas. Todavia, elas no se sucedem rigorosamente. O aluno

pode ter um estalo, passando pelas fases iniciais, resolvendo o problema, como tambm pode fazer inmeros planos e no ter compreendido, e em outro momento a

soluo surge. O autor afirma ainda que para o problema ser resolvido o aluno

precisa estar envolvido com a situao e querer resolver o problema.

Segundo Valente (2003), os elementos-chave da aprendizagem por resoluo

de problemas so: a formulao de hipteses, que podem ser exploradas atravs de

investigao autodirigida, o teste dessas hipteses e a reviso destas questes pela

aplicao de seus conhecimentos.

Outros autores que falam especificamente sobre a resoluo de problemas

em GGT Barros & Santos (2000). Estes afirmam que a principal razo da

dificuldade por parte dos alunos com a disciplina a baixa capacidade de

visualizao espacial , e que tal dificuldade pode ser trabalhada pela resoluo de

exerccios abstratos e aplicados. Os autores descrevem trs fases na resoluo de

problemas em GGT, quais sejam:

Visualizao nessa fase, assim como na primeira fase de Polya, o aluno

interpreta a questo, necessitando dos conhecimentos do mtodo de

representao e da Habilidade de Visualizao Espacial (HVE). Por esse

motivo, muitos alunos tm dificuldades, pois param no primeiro obstculo que

a falta de HVE. Nesta fase o aluno interpreta as representaes

bidimensionais em modelos mentais tridimensionais;

Concepo considerada a fase mais complexa, correspondente fase de

estabelecimento do Plano de Polya, onde o aluno no s precisa visualizar,

mas realizar vrias operaes e transformaes mentais para delimitao do

caminho a seguir para resoluo do problema. Toda concepo feita a partir

de representaes mentais 3D. Isso acarreta que nem todo plano concebido

nessa fase seja executvel, pois depende dos mecanismos oferecidos pelo

sistema de representao envolvido. Alguns alunos apoiam-se tambm em

representaes concretas para a concepo, utilizando desenhos em

perspectiva, materiais didticos, bem como ferramentas computacionais.

34

Operacionalizao esta fase corresponde execuo do plano de Polya, no

qual ocorre a codificao das estratgias elaboradas na fase anterior, a partir

de representaes em pura (2D). Os erros mais frequentes nessa fase so

devidos a no concepo da estratgia, no intuito apenas de reproduzir

mecanismos decorados de questes anteriores, sem necessariamente refletir

sobre os conhecimentos geomtricos envolvidos.

O que ir garantir o aprendizado do aluno no ser consequncia da simples

passagem por essas fases, mas sim pela confrontao das conjeturas com suas

aplicaes no decorrer na resoluo. Essa confrontao corresponde fase de

retrospecto de Polya. A Figura 20 mostra o diagrama das fases e o caminho que

percorrido na resoluo de problemas em GGT.

Figura 20: Processo de soluo de problemas em GGT. Fonte: BARROS & SANTOS, 2000, p.261.

O aluno, ao percorrer essas fases pode se deparar com dificuldades de

diferentes fatores, de cunho epistemolgico (fase concepo e operacionalizao),

cognitivo (visualizao e concepo) e didticos (nas trs fases).

Entendemos que as fases propostas tanto por Polya como por Barros &

Santos podem no s servir de caminho metodolgico a ser percorrido pelo aluno,

mas tambm de base para estudos didticos. O professor pode observar as fases

presentes nas resolues de problemas dos seus alunos com o objetivo de

identificar as falhas em cada fase, encontrando a origem dos erros.

2.3 DIFICULDADES DE APRENDIZAGEM

O erro a expresso de um conhecimento. Conhecimento que talvez

funcionou em alguma situao, que foi estabilizado, mas que incompleto ou que

tem um domnio de funcionamento que no inclui aquele do problema a ser

resolvido. Uma das evolues importantes da compreenso da aprendizagem

justamente ter que considerar o erro como a manifestao de algum conhecimento.

35

Segundo Astolfi (1999), a aprendizagem influenciada por trs fatores:

epistemolgicos, psicolgicos e didticos. Ele apresenta de maneira esquemtica o

tringulo didtico clssico (Figura 21), onde aparecem associados em um mesmo

sistema o Saber (S), o Aprendiz (A) e o Professor (P) para visualizar logicamente a

ocorrncia dos erros. Segundo o autor, o erro no visto como algo negativo, mas

como indicativo para a superao das dificuldades que leva a aprendizagem.

Figura 21: Tringulo didtico. Fonte do autor baseado em Astolfi (1999)1.

As dificuldades de origem didticas referem-se s consequncias de escolhas

didticas, dos dispositivos e mtodos de ensino. As dificuldades de origem

epistemolgica dizem respeito a dificuldades que o aprendiz encontra na construo

conceitual e que podem ser associadas a dificuldades que os matemticos,

gemetras encontram na elaborao dos mesmos conceitos. As dificuldades de

origem psicolgica dizem respeito s caractersticas cognitivas daquele que

aprende. Piaget (1979), por exemplo, considera que dependendo das fases do

desenvolvimento cognitivo da criana, ele pode ou no desenvolver certos

conhecimentos.

No podemos olhar cada grupo de dificuldades separadamente, pois todas

esto interligadas, os fatores epistemolgicos interferem no didtico, como o didtico

pode interferir no cognitivo.

Uma das causas das dificuldades dos alunos em GGT a falta de base dos

conhecimentos geomtricos. Na escola bsica, os contedos de Desenho e

1 Reproduzimos o mesmo diagrama de Astolfi substituindo o termo obstculo por dificuldades,

visto o primeiro termo levar a uma discusso que no nosso foco.

36

Geometria quando trabalhados, resumem-se, via de regra, a receitas de traados e

memorizao de frmulas de rea e volume de prismas, pirmides, cilindros, cones

e esferas.

No Brasil, pesquisas apontam a importncia do ensino das construes

geomtricas, auxiliando a construo do conhecimento em geometria e/ou mostram

as dificuldades encontradas pelos alunos, nos cursos superiores, nos quais a

Geometria e as construes geomtricas so pr-requisitos imprescindveis (LIBLIK

& PINHEIRO, 1996; ZUIN, 1997; DIAS, 1998; ZUIN, 2000; PERES & ZUIN, 2001).

Raymond Duval (1995) descreve sobre o papel dos registros de

representao semitica para apreenso do conhecimento matemtico. Segundo o

autor, a Geometria envolve trs categorias de processos cognitivos: a visualizao

que a explorao de uma situao complexa, a construo de configuraes de

um modelo matemtico representado e, o raciocnio, que o processo que conduz a

explicao.

O autor ressalta que h quatro maneiras de apreenses (interpretaes

autnomas) na descoberta dos problemas de geometria. So elas: Sequencial,

solicitada nas tarefas de construo ou descrio da figura; Perceptiva, a

interpretao das formas da figura; Discursiva, a interpretao dos elementos da

figura; e Operatria, dependem das modificaes possveis que a figura pode sofrer,

as quais o autor classifica em trs: Modificao mereolgica, relao das

subdivises de uma figura com o todo; Modificao tica, transformao de uma

figura em outra considerada imagem; e Modificao posicional, deslocamento em

relao a um referencial.

Segundo o autor, organizar problemas matemticos que envolvam os

mesmos conhecimentos determina uma categorizao cognitiva indispensvel ao

aprendizado da demonstrao, que a conscientizao dos conceitos a partir de

dedues feitas pelo aluno. Assim, Duval (ibid) indica trs nveis de problemas: no

primeiro , o assunto do problema est diretamente ligado ao enunciado, a resoluo

direta, no necessria uma apreenso discursiva explcita. No segundo nvel,

necessria uma apreenso discursiva, o assunto no est diretamente ligado ao

enunciado. No terceiro nvel, a resoluo dos problemas exige mais que uma

apreenso discursiva, o aluno tem que recorrer aos esquemas formais lgicos

especficos, tais como o raciocnio disjuntivo e o raciocnio por contraposio.

37

Almeida et al (2009, p. 1222), mapeando as dificuldades de visualizao de

alunos de engenharia da UFPE, levantam a hiptese que:

[...] as dificuldades residem, provavelmente, nas transformaes das propriedades do objeto, decorrentes do sistema de representao adotado, gerando uma visualizao incorreta do modelo. Considerando, como afirma Fischbein (1993) que o desenvolvimento cognitivo em Geometria necessita articular harmonicamente a componente conceitual e figural do objeto, entendemos que muito dos erros e dificuldades apresentados alunos so provenientes dessa desarmonia entre as propriedades do objeto e a imagem que vem traduzidas na representao bidimensional, podendo, no entanto, ter origem em outros fatores como, por exemplo, em metodologias adotadas nos contratos didticos etc. (Almeida et al, 2009, p. 1222)

Como resultado da pesquisa aponta, os alunos apresentam limitaes com o

prprio sistema de representao, dificuldades de transformaes do objeto e suas

propriedades;. No entanto, outros fatores podem ser geradores dos erros, como

falhas no processo de aprendizagem, o nvel do desenvolvimento do pensamento

geomtrico em que se encontra o aluno, a ideia que est presente no seu raciocnio

sobre o tema abordado, etc. Destacam a dificuldade por parte dos alunos com o

sistema Mongeano por conta da necessidade de articulao entre as projees,

demandando um maior nvel cognitivo do que quando se trabalha com

representaes em perspectiva, alm da dissociao entre o conceito e a

representao. Consideram ainda como causa dos erros mais frequentes a falta do

domnio do mtodo, a representao errada do objeto e a falta da formao nas

sries iniciais, alm da falta de tempo nas aulas.

Pesquisas sobre Habilidade de Visualizao Espacial (HVE) aprofundam o

estudo da mensurao desta habilidade a partir de testes e, segundo Velasco

(2002), so classificados em duas categorias: testes de Rotao Mental, que

priorizam a rapidez na execuo de tarefas que envolvam a rotao mental de

objetos, com base na comparao de representaes de referncia com outras

apresentadas rotacionadas. So aplicados com durao de tempo reduzido; e os

testes de Visualizao Espacial, que priorizam a preciso na execuo das mesmas,

envolvendo a construo mental de imagens tridimensionais e no a velocidade na

realizao das tarefas. So aplicados com intervalos maiores de tempo.

Seabra (2009) cita algumas categorias de testes: Mental Rotation Test (MRT)

(VANDENBERG & KUSE, 1978), o Mental Cutting Test (MCT) que um subconjunto

do Special Aptitude Test in Spatial Relations (CEEB, 1939) e o Test de Visualizacin

38

(TVZ) que foi desenvolvido a partir de modelos psicomtricos e descobertas da

psicologia cognitiva por Gerardo Prieto Adanez (ADANEZ; VELASCO, 2002).

Percebemos que a influncia do meio um importante fator no processo de

ensino aprendizagem. Nesse cenrio, precisamos entender o problema como uma

situao colocada para o aluno resolver e que esta situao elaborada pelo

professor, enquanto mediador do processo de ensino-aprendizagem. Destacamos a

Teoria das Situaes Didticas de Brousseau como instrumento metodolgico na

elaborao de problemas.

2.4 TEORIA DAS SITUAES DIDTICAS

A Teoria das Situaes Didticas foi descrita pelo francs Guy Brousseau

pela qual busca responder ao seguinte questionamento:

Que condies podem ser propiciadas para que um sujeito qualquer tenha a necessidade de um conhecimento matemtico determinado para tomar certas decises? (BROUSSEAU, 2008, p. 18)

Para tal, o autor prope que para interferir na aprendizagem do aluno

devemos modelar o meio, ou seja, no apenas o local em o sujeito est inserido,

mas as ferramentas que o mesmo ir utilizar, bem como os procedimentos que

realizar. Brousseau descreve uma situao como

[...] um modelo de interao de um sujeito com um meio especfico que determina um certo conhecimento, como recurso de que o sujeito dispe para alcanar ou conservar, nesse meio, um estado favorvel. (BROUSSEAU, 2008, p. 19)

Ou seja, para que haja uma situao necessrio que o sujeito esteja

interagindo com o meio que est inserido. Quando em uma situao h algum que

tem a inteno de ensinar e outra(s) de aprender caracterizamos uma situao

didtica, nela est includo o professor e o sistema educacional.

Brousseau (2008, p. 25) classifica as situaes didticas em quatro tipos:

Situao de ao: o sujeito no tem conscincia de suas decises e

que relaes matemticas esto envolvidas no problema,

caracterizando o modelo implcito;

Situao de formulao: o sujeito aplica o teorema-em-ato, ou seja,

consegue resolver o problema, porm no sabe explicar o porqu da

39

resposta. Ela pode ocorrer de maneira imediata (entre os sujeitos), ou

mediata (por parte do meio);

Situao de validao: o sujeito precisa provar sua estratgia,

entender os porqus.

Institucionalizao: aqui o professor tem seu papel mais ativo,

quando transpe o conhecimento utilizado pelo aluno para resolver um

problema em um saber daquela instituio.

S podemos dizer que um sujeito realmente aprendeu, quando ele capaz de

utilizar aquele conhecimento em uma situao fora do contexto de ensino. Por isso,

Brousseau defende que uma boa situao didtica rica em situaes adidticas,

ou seja, o aluno assume a responsabilidade do problema. Quanto menos existir a

necessidade do professor interferir na resoluo de um problema, mais o aluno vai

mobilizar conhecimentos prvios para resolv-lo.

Para que o professor possa conduzir o aluno a uma situao didtica, este

deve a partir das variveis cognitivas2 que pode determinar e escolher as variveis

didticas.

Vejamos um exemplo: Um professor ao preparar um problema sobre simetria

axial pode escolher a varivel cognitiva posio de eixo de simetria para

determinar que conhecimentos quer trabalhar com seus alunos. Os valores que essa

varivel pode ter seriam: horizontal, vertical, secante ao objeto, no secante, entre

outros. Por se tratar de uma varivel que o professor pode determinar, esta se

caracteriza como uma varivel didtica.

Brousseau afirma que:

A aprendizagem por adaptao implica que as variveis sejam escolhidas de modo que o conhecimento que queremos que seja descoberto seja significativamente mais vantajoso que qualquer outro. (BROUSSEAU, 2008, 46)

Por isso, o professor deve investigar as possveis estratgias de resoluo

para a escolha das suas variveis didticas. papel do professor modificar o meio

para que o aluno sofra um desequilbrio, forando-o a adaptar/modificar seus conhecimentos para encontrar um novo equilbrio nesse novo meio. Porm, o aluno s possuir um conhecimento verdadeiro quando em uma nova situao ou

2 Aquela que se encontra em uma situao tal que pela escolha de valores diferentes, pode

alterar o conhecimento apropriado para resolve-la. (BROUSSEAU, 2008, p.35)

40

mais ampla no se apresentar como sendo insuficiente para resolver aquela

situao.

Nessa direo, podemos verificar em uma determinada situao, a partir das

variveis didticas escolhidas, como estudantes de GGT resolvem um problema,

encontrando possveis conhecimentos falsos que precisam ser resignificados.

Ou seja, olharmos para as fases de resoluo de problemas expostas

anteriormente como sistematizao da situao didtica, tentando colocar o aluno

como agente da ao, de modo que ele possa realizar em um curto perodo de

tempo, aquilo que pesquisadores passaram anos para descobrir.

As novas tecnologias representam algumas das possibilidades de se

modificar o meio e proporcionar condies de superao de dificuldades de

aprendizagem.

2.5 CONTRIBUIO DAS MDIAS COMPUTACIONAIS NO ENSINO DA GGT

Nas ltimas dcadas, a disseminao das tecnologias tem se tornado

crescente, integrando cada vez mais nosso cotidiano. No mundo urbano difcil

imaginar alguma profisso que no utilize alguma das novas tecnologias, desde o

carto de crdito aos computadores que cabem na palma da mo. De fato, aprender

a acompanhar os avanos tecnolgicos e utiliz-las em prol do desenvolvimento

social e cientfico tem sido o grande desafio para as diferentes reas dos saberes.

Para a Educao, a utilizao das novas tecnologias no processo de ensino e

aprendizagem tem se tornado tema difundido em diversos congressos que debatem

sobre o assunto. Aumenta a cada ano o nmero de cursos de graduao e ps-

graduao voltados para a pesquisa e uso das mesmas, bem como suas reas de

atuao.

Como exemplo disso, temos profisses como arquitetura, engenharia, design,

dentre outras que trabalham com a expresso grfica, as quais utilizavam em seus

projetos e produes materiais concretos, como papel, lpis, nanquim, tintas, telas.

Hoje, toda a parte de planejamento e projeto informatizada, sem no entanto,

extinguir todas as prticas tradicionais.

Surgem novas metodologias de projeto como o Building Information Modeling

(BIM) que representam uma nova gerao de ferramentas do CAD, de modo que o

41

arquiteto ou engenheiro possa a partir de uma modelagem 3D gerar vrias pranchas

com plantas baixas, fachadas e cortes integrados.

Deste modo, a insero das novas tecnologias na formao desses

profissionais se torna imprescindvel, visto que o estudante se depara com os

mesmos instrumentos que encontrar no mercado de trabalho e haver a

necessidade de estar atualizado s novas tendncias.

Rego (2000) destaca que, alm das perspectivas e mtodo mongeano, as

tecnologias da Grfica Computacional se tornou uma terceira sistematizao da

representao grfica utilizada no processo de projetao. Dentre elas, destacam-se

os programas de auxlio projetao (programas CAD) caracterizados por uma

maneira diferente de interao entre o usurio e o instrumento. O conhecimento das

caractersticas e potencialidades das ferramentas CAD e das redes informatizadas

demonstra uma aplicabilidade inquestionvel que se evidencia pelo aumento de

produtividade e qualidade do projeto. Segundo Rego:

As ferramentas CAD e os recursos de redes digitais esto hoje numa estreita relao e torna-se cada vez mais frequente o emprego simultneo das mesmas: as ferramentas CAD como um instrumento de desenvolvimento, comunicao e documentao da proposta projetual e as redes informatizadas como recurso de acesso a dados, compartilhamento de equipamentos e gerenciamento integral da atividade (REGO, 2000, p.62).

Alm das ferramentas do CAD, existem os programas de animaes que do

movimento ao objeto modelado ou parte deste, fazendo a simulao de um

observador se locomovendo por dentro ou em torno do modelo. Tais ferramentas

so consideradas instrumentos importantes para avaliar as formas do espao (ibid).

A maior vantagem em empreg-las consiste na rapidez com que as numerosas

variveis podem ser testadas, mas cabe ao projetista a anlise dos resultados.

No desenvolvimento das hipermdias destaca-se o investimento por parte de

empresas e pesquisadores da realidade virtual que um recurso que dispe da

visualizao tridimensional e da animao e permite a interao entre o observador

e o espao modelado atravs da simulao, possibilitando a imerso do observador

no ambiente criado. Tal tecnologia se utiliza da Linguagem para Modelagem em

Realidade Virtual (Virtual Reality Modelling Language - VRML), entre outras (ibid). O

trabalho de SEABRA (2009) prope a especificao e o desenvolvimento de uma

ferramenta didtica para apoio ao ensino de GGT baseada em tcnicas de

Realidade Virtual, em especial a estereoscpica.

42

Amplamente disseminado, o Cabri-Gomtre, software educativo de

geometria dinmica voltado para o ensino da Geometria Plana e a verso 3D voltado

para o ensino da Geometria Espacial, utilizado para o ensino da GGT, por conta

dinamicidade e pelo seu desenvolvimento ser voltado para o trabalho das

propriedades geomtricas (GUIMARES et al, 2009).

Ferreira (2008) utiliza um software de modelagem (Rhinoceros) como

ferramenta de ensino, com o intuito de trabalhar os mtodos descritivos, atrelando a

ferramenta com os contedos disciplinares.

Outro trabalho desenvolvido, este no voltado para o treinamento da

visualizao espacial, o de Velasco & Adnez (2009). Foram aplicados exerccios

eletrnicos na disciplina de Desenho Tcnico envolvendo os assuntos trabalhados e

para avaliao foram feitos testes de visualizao espacial, observando-se uma

melhora moderada na mdia dos alunos.

Carvalho (2004), no intudo de realizar um estudo relacional entre a utilizao

da mdia tradicional (prancheta, papel, lpis) e Digital (computador) na concepo do

Projeto Arquitetnico, concluiu que os sujeitos analisados utilizam diferentes

processos cognitivos nas duas mdias, levando-nos a entender que uma no

substitui a outra, porm so complementares.

Rodrigues (2001) avalia o uso de recursos computacionais para o

desenvolvimento do pensamento geomtrico e conclui que a ferramenta estimula

pesquisadores interessados na busca de novas alternativas que auxiliem os alunos

a "pensar geometricamente".

Deste modo, as ferramentas computacionais devem ser utilizadas como

auxiliadores do desenvolvimento das habilidades espaciais, como destaca

Rodrigues & Delmas (2009), valorizando o raciocnio baseado nos conhecimentos

tericos sobre os conceitos e propriedades inerentes aos elementos e s suas

relaes, envolvidos na situao problemtica. Porm, no despreza as suas

colaboraes no que diz respeito, tanto a resoluo de problemas, quanto ao

processo de ensino-aprendizagem.

A partir das vrias pesquisas levantadas sobre as diferentes tecnologias

utilizadas no ensino da GGT, Alves et al (2009) aponta como contribuies os

seguintes itens:

Aps o domnio dos comandos e da aplicao da capacidade de abstrao, o

usurio realiza a modelagem com rapidez e eficincia;

43

A peculiaridade existente nos aplicativos que, aps a modelagem, o modelo

produzido poder servir de parmetro para outros modelamentos,

reutilizando-o para fazer possveis alteraes;

Possibilita rotacion-lo para observar detalhadamente a sua conformao.

Isso se diferencia do desenho auxiliado com os instrumentos tradicionais em

que a representao esttica do papel no pode ser rotacionada.

Obteno das vistas grficas ocorre de maneira automtica. Assim, o

desenvolvimento da visualizao espacial pode ser trabalhado atravs das

vistas ortogrficas concomitantemente com as alteraes feitas pela forma

modelada, identificando as mudanas ocorridas, o posicionamento das retas e

dos planos em relao Linha de Terra (ALVES, 2008).

O autor salienta que o uso sem critrios do recurso de converso automtica

de modelos 3D em desenhos 2D elimina etapas importantes para o aprendizado,

pois no leva o aluno a uma anlise crtica reflexiva sobre o que se est sendo feito,

levando-o a chegar no resultado final do problema. Porm, nem sempre o significado

dos passos dados ao longo do procedimento realizado compreendido.

Consideramos tambm que o domnio da ferramenta computacional no

suficiente para o desenvolvimento do pensamento espacial, mas sim do conjunto de

raciocnios geomtricos envolvidos no campo conceitual correspondente.

Tal fato justifica a necessidade de um planejamento prvio, por parte do

professor, quanto ao processo de ensino e utilizao da ferramenta computacional.

A este respeito, Gregio (2008) salienta que o professor deve refletir sobre os limites

e possibilidades do programa, para saber selecion-lo, e tal fato no uma tarefa

fcil. Balacheff e Kaput (1996) apresentam trs caractersticas de ambientes

informatizados construtivistas. So eles: meio dinmico, meio interativo e meio para

modelagem ou simulao. Esses pesquisadores investigaram o impacto da

tecnologia em diferentes domnios da Matemtica, como a Aritmtica, a lgebra, a

Geometria, a Estatstica e o Clculo. Diante do presente quadro apresentamos como

ocorre o ensino da GGT na UFPE.

44

2.6 ENSINO DA GGT NA UFPE

Atualmente o ensino da GGT no Brasil reflete a influncia da obra Elementos

de Geometria Descritiva da Coleo F.I.C., bastante disseminado pelas suas aplicaes prticas. Porm, a sua utilizao acaba recaindo na replicao de

receitas levando o aluno muitas vezes memorizao de procedimentos sem a preocupao de compreender a situao no espao.

Gani (2004) afirma que:

[...] as publicaes didticas destinadas ao ensino da Geometria descritiva nas Artes e Engenharias procuraram minimizar o contedo terico e se depararam com a dificuldade de representar aquilo que se desconhece. Para compensar tanta abstrao, faziam consideraes de Geometria geral [...] Gani (2004, p.11).

Especificamente na UFPE, o ensino da GGT segue as diretrizes da coleo

dos Professores Mario Costa e Alcy Costa, intitulada Geometria Grfica

Tridimensional, separados em trs volumes. O primeiro, destinado ao estudo dos

sistemas de representao, o segundo, correspondente aos estudos de Monge

referente ao estudo do ponto, reta e plano e o terceiro voltado para o estudo da

Geometria Projetiva. Os dois primeiros volumes so os mais utilizados nos

diferentes cursos. A disciplina de GGT est no programa dos cursos das

Engenharias, Arquitetura, Design, Matemtica e licenciatura em Expresso Grfica.

A licenciatura em Expresso Grfica o nico curso da universidade que

aprofunda os estudos da GGT distribudos em trs disciplinas. A primeira (GGT1),

voltada para o estudo do ponto, reta e plano, a segunda (GGT2), para o estudo dos

poliedros e a terceira (GGT3) para o estudo das superfcies. Contedos de GGT so

tambm abordados em outras disciplinas de cunho prtico, como Sistemas de

Representao, Desenho Topogrfico, Desenho Mecnico, Desenho Arquitetnico,

entre outros.

No Anexo 1, apresentamos o programa da disciplina de GGT1, a qual

escolhemos para realizar nossa pesquisa em virtude dos contedos abordados

servirem de base para disciplinas subsequentes.

A metodologia utilizada na disciplina baseia-se no segundo volume da

coleo de Costa (1984) que trs uma parte terica subdividida em quatro captulos,

sessenta problemas resolvidos e sessenta problemas no resolvidos distribudos por

toda obra.

45

Nesta direo, pretendemos fazer um levantamento de softwares utilizados no

ensino da GGT, selecionar um para ser utilizado em nosso experimento na

resoluo de problemas em GGT, com o intuito de observar como os alunos

resolvem problemas com a ferramenta computacional.

46

CAPTULO 3 DESENVOLVIMENTO METODOLGICO

Aps a reviso da literatura, realizamos uma anlise a priori a partir do

levantamento dos softwares utilizados no ensino da GGT, com o intuito de

selecionar um para uso em nosso experimento e do levantamento dos contedos

abordados da disciplina, nos direcionando escolha de um contedo, ao

levantamento dos conceitos trabalhados no mesmo, bem como das variveis

didticas envolvidas em um problema deste mesmo contedo. Partimos das

questes do livro de Costa (1984), para escolha de situao problema3 utilizada em

nossa pesquisa, por ser o adotado na disciplina, a qual os sujeitos esto inseridos.

3.1 SUJEITOS

Elegemos os alunos do curso de graduao em Licenciatura em Expresso

Grfica da Universidade Federal de Pernambuco por dois fatores: primeiro, por ser

uma profisso que necessita de uma boa visualizao espacial; e, segundo, por se

tratar de licenciandos, pois ao pesquisarmos como esses alunos resolvem

problemas de Geometria Grfica Tridimensional podemos interferir, futuramente, a

partir de novas pesquisas, em sua formao docente e na formao do ensino

bsico.

Os sujeitos selecionados so formados por alunos que cursaram a disciplina

de Geometria Grfica Tridimensional 1 no primeiro semestre do ano de 2010. Tal

disciplina tem por objetivo a utilizao de projees ortogonais para resoluo

grfica de problemas de posio entre pontos, retas e planos, de problemas

mtricos com segmentos lineares e ngulos e determinao de lugares geomtricos

no plano e no espao. Apresenta como pr-requisitos as disciplinas de Geometria

Grfica Bidimensional e Sistemas de Representao. Como dados precedentes, os

3 Entendemos aqui por situao problema todo exerccio que possua uma aplicao prtica,

sem necessariamente utilizar, em seu enunciado, termos matemticos, de modo que o prprio aluno possa fazer as associaes da realidade com os conceitos matemticos e resolver o problema sem a ajuda do professor.

47

alunos devem apresentar algum conhecimento quanto s construes em Desenho

Geomtrico e s normas e procedimentos dos sistemas de representao.

No foram excludos da pesquisa alunos repetentes. Deste modo,

pretendemos observar como um aluno que j teve contato com o contedo resolve o

problema. Os dados com relao repetncia foram solicitados coordenao do

curso.

Todos os sujeitos assinaram um termo de livre consentimento (Apndice A)

concordando em realizar as atividades da pesquisa, sendo esclarecidos dos

procedimentos de cada uma, bem como sobre ao uso dos dados recolhidos serem

utilizados na publicao da dissertao e que suas identidades sero mantidas em

sigilo. Por esse motivo, cada sujeito foi identificado por um cdigo (S