Igualdade de EulerEm 1752, um matemtico chamado Euler descobriu que num poliedro, o nmero de faces mais o nmero de vrtices igual ao nmero de arestas mais dois. A esta relao chamase igualdade de Euler.

n. F+n. V= n. A+2Nome do slido N. de faces N. de vrtices 12 4 N. de arestas 18 6 Faces + Vrtices 20 8 Arestas + 2 20 8

Prisma Hexagonal Pirmide Triangular (tetraedro) Paraleleppedo Rectngulo Octaedro Pirmide Pentagonal Prisma Triangular Prisma Quadrangular Prisma Pentagonal

8 4

6 8 6 5 6 7

8 6 6 6 8 10

12 12 10 9 12 15

14 14 12 11 14 17

14 14 12 11 14 17

Leonhard Euler foi um matemtico suio do sculo XVIII (17071783). Todos os alunos que fizeram o 2 ciclo ouviram falar deste matemtico. Todos conhecem a Igualdade de Euler, que apresentada aos alunos do seguinte modo: F + V = A + 2, em que as letras significam F - Faces; V - Vrtices; A - Arestas Esta igualdade tem a ver com os slidos poliedros, que como sabido so slidos geomtricos limitados apenas por superfcies planas. Quer ento dizer que, em qualquer poliedro, o nmero de Faces mais o nmero de Vrtices igual ao nmero de Arestas mais 2. No vamos apresentar nenhum exemplo. Basta pensar, por exemplo, num prisma hexagonal e verificaremos a igualdade. Mas Euler no ficou famoso apenas por esta igualdade. apontado como autor de cerca de 800 trabalhos. A Teoria dos Grafos, que teve um desenvolvimento fundamental no sculo XX , teve a sua contribuio quando resolveu o clebre problema "As Pontes de Konigsberg", actual Kalalinegrado. Esta cidade da antiga Prssia Oriental atravessada pelo rio Pregel que se ramifica formando uma ilha (Kneiphof) que estava ligada restante parte da cidade por sete pontes. Dizia-se que os habitantes da cidade, nos dias soalheiros de descanso, tentavam efectuar um percurso que os obrigasse a passar por todas as pontes, mas apenas uma vez em cada uma. Como as suas tentativas foram sempre falhadas, muitos deles acreditavam que no existia tal percurso.

Leonhard Euler, a pedido do presidente da Cmara da cidade provou que era impossvel fazer o passeio passando apenas uma

vez por cada uma das pontes. Utilizou para isso um esquema bem simples que hoje tem o nome de grafo. Nascia assim a Teoria dos Grafos.O meu colega e amigo Jos Filipe j tratou este assunto num artigo publicado h algum tempo que pode ser lido aqui. De acordo com as fontes que consultmos, Euler tinha a versatilidade de um gnio, uma vez que os seus interesses cientficos foram muitos e variados: professor de Fisiologia na faculdade de Medicina de So Petersburgo, dedicou-se astronomia, criou a teoria dos grafos, trabalhou em Cartografia,... De entre os nmeros reais mais conhecidos, temos de destacar dois que esto associados ao nome de Euler: - O nmero de Euler (e) tem um valor aproximado de 2,71828. a base dos logaritmos neperianos e define-se como o limite de (1+1/n)n quando n tende para infinito. Onde aparece a ligao de Euler a este nmero? Segundo a histria a existncia do nmero anterior, sendo tambm conhecido como constante de Neper, mas foi o matemtico suio o primeiro a utilizar a letra e para identific-lo e tambm tem o seu nome como homenagem. O Nmero de Euler um nmero irracional e tambmtranscendente e apresentamo-lo a seguir com as primeiras 200 casas decimais: e=2,71828182845904523536028747135266249775724709369995 95749669676277240 76630353547594571382178525166427427466391932003059921 817413596629043572 90033429526059563073813232862794349076323382988075319 525101901. - A constante de Euler-Mascheroni (y) tem o valor aproximado 0,57721 e define-se como sendo limite quando n tende para infinito de (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n - log n). Esta constante foi

definida pela primeira vez em 1735 por Euler e tem mltiplas aplicaes em Teoria dos Nmeros. Poderamos continuar a falar das realizaes do clebre matemtico, mas a vai o nosso desafio que tambm tem o seu nome: Construir a recta de Euler que se obtem do seguinte modo: - Construir um tringulo qualquer - Traar as suas alturas que vo cruzar-se num ponto que toma o nome de ortocentro. Assinalar esse ponto - Traar as suas medianas que vo cruzar-se num ponto que toma o nome de baricentro. Assinalar esse ponto - Traar as mediatrizes dos seus lados que se encontram no ponto que se chama circuncentro. Assinal-lo. Verificar que os trs pontos esto alinhados, traando a recta que os contem.

Leonhard Euler

Leonhard Euler, quadro a leo por Johann Georg Brucker. Nascimento Morte Nacionalidade 15 de Abril de 1707 Basileia 18 de setembro de 1783 (76 anos) So Petersburgo

Suo Campo(s) Matemtica Alma mater Universidade de Basileia Tese 1726: Dissertatio physica de sono Orientador(es) Johann Bernoulli Orientado(s) Joseph Lagrange,Johann Friedrich Hennert Frmula de Euler, Nmero de Euler,Caracterstica de Euler,Identidade de Conhecido(a) p Euler, Reta de Euler,Constante de Euler-Mascheroni,Produto de Euler, Diagrama or de Euler,ngulos de Euler, Soma de Euler,Conjectura de Euler,Equao de Euler,Equaes de Euler (fluidos),2002 Euler Assinatura

Biografia de LEONHARD

EULER

Nascido: 15 de Abril de 1707 em Basileia, Sua

Morreu: 1 de Setembro de 1783 em St Petersburg, RssiaFilho de um matemtico de Basileia tornado pastor calvinista, precocemente manifestou a sua paixo pela matemtica. Chegando idade de entrar para Universidade cedeu ao desejo do seu pai, que queria fazer dele pastor, inscrevendo-o nos cursos de Teologia e de Hebraico. A, Encontrou um dos Bernoulli, Johann, que apercebendo-se das suas inclinaes e inteligncia, se prontificou a dar-lhe, gratuitamente uma lio por semana . Outros dois Bernoulli, Daniel e Nicolas, tambm se aperceberam dos seus dotes, pelo que a sua cultura matemtica aumentou rapidamente e se tornou notria. Dedicava quase todo o seu tempo livre a estudar nmeros e equaes, no desleixando, contudo, o seu estudo da Teologia e do Hebraico, tornando-se aos dezassete anos professor destas disciplinas. O seu pai fez tudo para que, ele se dedicasse ao estudo dos problemas da metafsica, abandonando a matemtica. Mas os Bernoulli convenceram o pai a deixar que o filho seguisse as suas prprias inclinaes. Dois anos depois, Euler publicou o seu primeiro trabalho original, embora no tivesse ganho o prmio oferecido pela Academia Francesa, a qual propusera para concurso em 1727 o problema da mastreao dos navios. Candidatou-se ctedra de Matemtica no Ateneu de Basileia, tendo sido recusada a sua nomeao, pelo Conselho da Universidade. Entretanto, Daniel e Nicolas Bernoulli, que se tinha estabelecido em So Petersburgo a convite de Catarina I, propuseram-lhe um bom lugar. A Ctedra de Medicina estava livre, na capital russa. Euler no hesitou: ps-se estudar anatomia e fisiologia. Entre as suas investigaes sobre a funo auditiva sugeriram-lhe uma srie de pesquisas relativas ao som, de um ponto de vista fsico e sobretudo matemtico. Euler, que fora convidado para a ctedra de medicina, passou para a de Matemtica, sem que ningum com isso se importasse. A permaneceu praticamente toda a sua vida, excepo de um curto interregno, durante o qual se tornou presidente da Academia das Cincias de Berlim. A Geometria, entretanto logo se tornou o seu assunto preferido.

Euler serviu como Tenente Mdico na marinha Russa de 1727 a 1730. Em So Petersburgo viveu com Daniel Bernoulli e tornou-se professor de Fsica na Academia em 1730, e professor de Matemtica em 1733. A publicao de diversos artigos e do seu livro " Mechanica ", no qual apresentava pela primeira vez a dinmica Newtoniano na forma de anlise matemtica - iniciaram Euler nos caminhos de um trabalho matemtico mais incisivo. Em1741, por convite de Frederico o Grande, Euler associou-se Academia de Cincias de Berlim, onde permaneceu por 25 anos Neste perodo em Berlim escreveu cerca de 200 artigos, trs livros de anlise matemtica e uma publicao cientfica popular, " Cartas para uma princesa da Alemanha "( 3 volumes, 1768-72 ) Euler perdeu a viso do olho direito aos 31 anos, e logo aps retornar a So Petrsburgo ficou quase completamente cego, aps uma operao s cataratas. Graas sua formidvel memria, foi capaz de continuar seus trabalhos em "ptica", "lgebra" e "Movimentos Lunares". Surpreendentemente, aps 1765, produziu quase metade do seu trabalho, a despeito de estar totalmente cego. Ampliou as fronteiras da "Geometria Analtica " e da " Trigonometria Modernas ", alm de dar contribuies significativas " Geometria ", "Teoria dos Nmeros" e ao "Clculo". Na "Teoria dos Nmeros" realizou grande parte do trabalho em associao com Goldbach. Integrou o "Clculo Diferencial" de Leibnitz e o "Mtodo dos Fluxos de Newton" anlise matemtica. Na "Teoria dos Nmeros", enunciou o teorema dos nmeros primos e a lei da reciprocidade biquadrtica. Foi o mais prolfico escritor de Matemtica de todos os tempos. Seu trabalho completo engloba 886 livros e artigos. Devemos-lhe o f(x) das notaes ( 1734 ), "e" para a base dos logaritmos naturais (1727), "i" para a raz quadrada de 1 (1777), o smbolo " " para o " pi", o smbolo" " para os somatrios ( 1755 ), etc. Introduziu, tambm, as funes beta e gamma, a integrao de factores para as equaes diferenciais, etc. Estudou mecnica, teoria lunar com Cairant, o problema dos trs corpos, electricidade, acstica, a teoria das ondas luminosas, a hidrulica, a musica, etc. Lanou as bases da "Mecnica Analtica", especialmente em sua " Teoria dos Movimentos dos Corpos Rgidos " (1765) Props a soluo para o problema das pontes de Konigsberg. Foi o fundador da "Teoria dos Grafos". Uma das suas primeiras descobertas foi que alguns grafos no tm quaisquer circuitos de Euler.