iii workshop de Álgebra da ufg cac · Ávila, geraldo. variáveis complexas e aplicações. 3ª...
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III Workshop de Álgebra da UFG – CAC Raízes da Unidade
Naura Delfina Vaz da Silva - [email protected]
Suenir Aparecida da Silva - [email protected]
Igor dos Santos Lima (Orientador) - [email protected]
Resumo
Este trabalho é parte do estudo da disciplina de Cálculo em uma Variável Complexa. Vamos estabelecer alguns conceitos de raízes da unidade e fazer uma ligação com a Teoria de Grupos, mostrando que o conjunto das raízes n-ésimas da unidade formam um grupo multiplicativo.
Introdução
Pondo 𝝎 = (𝒄𝒐𝒔𝟐𝝅
𝒏 + 𝒊𝒔𝒆𝒏
𝟐𝝅
𝒏) e utilizando a fórmula De Moivre,
vemos que as raízes n-ésimas da unidade são dadas por: 𝟏,𝝎,𝝎𝟐, 𝝎𝟑, … ,𝝎𝒏−𝟏
Definição (Grupo): Seja 𝑮 ≠ ∅ um conjunto. Defina sobre G a seguinte operação (função):
*: 𝑮 x 𝑮 → 𝑮, definida por 𝒙, 𝒚 → 𝒙 ∗ 𝒚.
Dizemos que 𝑮, juntamente com a operação *, é um grupo se as seguintes propriedades estão satisfeitas:
1) (associatividade): ∀ 𝒂, 𝒃 𝒆 𝒄 ∈ 𝑮; 𝒂 ∗ 𝒃 ∗ 𝒄 = 𝒂 ∗ 𝒃 ∗ 𝒄
2) (elemento neutro): ∃ 𝒆𝑮 ∈ 𝑮 : ∀ 𝒂 ∈ 𝑮; 𝒂 ∗ 𝒆𝑮 = 𝒆𝑮 * 𝒂 = 𝒂
3) (elemento inverso): ∀ 𝒂 ∈ 𝑮, ∃ 𝒂−𝟏 ∈ 𝑮; 𝒂 * 𝒂−𝟏 = 𝒂−𝟏* 𝒂 = 𝒆𝑮
Vamos mostrar que as raízes n-ésimas da unidade formam um grupo multiplicativo (operação denotada por *). Consideremos
𝑮 = 𝟏,𝝎,𝝎𝟐, 𝝎𝟑, … ,𝝎𝒏−𝟏 .
Valem as seguintes propriedades:
1) Associatividade de números complexos;
2) Existência de elemento neutro: 𝟏 ∗ 𝝎𝒕 = 𝝎𝒕 ∗ 𝟏 = 𝝎𝒕,
∀ 𝟏 ≤ t ≤ n-1;
1) Existência de elemento inverso: 𝝎𝒕*𝝎𝒏−𝒕 = 𝝎𝒏 = 1, ∀ 𝟏 ≤ t ≤ n-1.
𝑮 é um grupo abeliano, conforme definição a seguir, pois
𝝎𝒕 *𝝎𝒔 = 𝝎𝒕+𝒔= 𝝎𝒔+𝒕 = 𝝎𝒔 * 𝝎𝒕.
Definição (Grupo Abeliano): Seja 𝑮 um grupo. Dizemos que 𝑮 é abeliano (ou comutativo) quando ∀𝒂, 𝒃 ∈ 𝑮 tem-se 𝒂 ∗ 𝒃 = 𝒃 ∗ 𝒂.
Para facilitar a compreensão vamos trabalhar com um subgrupo de 𝑮.
Definição (Subgrupo): Sejam 𝑮 um grupo e 𝑯 ⊆ 𝑮 um subconjunto não vazio. Dizemos que 𝑯 é um subgrupo de 𝑮, denotado por 𝑯 ≤ 𝑮, se 𝑯, juntamente com a operação de 𝑮 restrita à 𝑯, for um grupo. Equivalentemente, ∅ ≠ 𝑯 ≤ 𝑮 ⇔ 𝑯 for fechado para operação e para inversão.
Fechado para operação: ∀ 𝒉𝟏, 𝒉𝟐 ∈ 𝑯 ⇒ 𝒉𝟏*𝒉𝟐 ∈ 𝑯.
Fechado para inversão: ∀ 𝒉 ∈ 𝑯 ⇒ 𝒉−𝟏 ∈ 𝑯.
Vamos tomar n = 6. Considere o seguinte subconjunto 𝑯 de
𝑮 = 𝝎𝟎, 𝝎𝟏 , 𝝎𝟐 , 𝝎𝟑 , 𝝎𝟒 , 𝝎𝟓 𝐝𝐞𝐟𝐢𝐧𝐢𝐝𝐨 𝐩𝐨𝐫
𝑯 = 𝟏 = 𝝎𝟎, 𝝎𝟐 , 𝝎𝟒 .
Note que 𝝎𝟎 operado com 𝝎𝟐 ou 𝝎𝟒 resulta em 𝝎𝟐 ou 𝝎𝟒, respectivamente. Além disso,
𝝎𝟐 ∗ 𝝎𝟐 = 𝝎𝟒 ; 𝝎𝟐 ∗ 𝝎𝟒 = 𝝎𝟒 ∗ 𝝎𝟐 = 𝝎𝟔= 𝟏;
𝝎𝟒 ∗ 𝝎𝟒 = 𝝎𝟖 = 𝝎𝟐 * 𝝎𝟔 = 𝝎𝟐;
𝝎𝟎 −𝟏 = 𝝎𝟎, 𝝎𝟐 −𝟏 = 𝝎𝟒 e 𝝎𝟒 −𝟏 = 𝝎𝟐
Portanto, 𝑯 é fechado para operação e para inversão, logo 𝑯 ≤ 𝑮.
Bibliografia
DOMINGUES, Higino H. Álgebra Moderna. 4ª ed. reformada. São
Paulo: Atual, 2003.
BOYER, C. B. História da Matemática. Edgard Blucher, São Paulo,
1974.
ÁVILA, Geraldo. Variáveis Complexas e Aplicações. 3ª ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2013.
O matemático Leonardo Euler mostrou que as equações do tipo 𝒛𝒏 = ω tinham n soluções dentro do conjunto dos números complexos. Vários matemáticos tentaram provar esta conjectura.
Em 1746, Jean Le Rond d’Alembert publicou algo que considerou uma prova deste fato.
Porém, foi Carl Friedrich Gauss, em 1799, que mostrou que tal prova era “insatisfatória e ilusória” e apresentou uma demonstração correta.
Preliminares
Primeiramente vamos definir alguns conceitos dos números
complexos:
um número complexo é um número da forma a + bi, onde a e b
são números reais.
o seu conjugado é da forma a – bi.
e pode ser representado na forma polar: z = 𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽),
onde 𝒓 = |z| e 𝜽 é o ângulo entre o eixo real e o vetor z.
E agora vamos definir e mostrar uma conexão entre as Raízes da Unidade e a Teoria de Grupos.
Definição (Raízes n-ésimas da Unidade): Qualquer solução da equação 𝒛𝒏 = 𝟏 é dita uma raiz n-ésima da unidade.
Podemos mostrar que as raízes n-ésimas da unidade estão localizadas sobre a circunferência unitária no plano complexo e que nesse plano formam os vértices de um polígono regular de n lados.
A fórmula geral da solução de 𝒛𝒏 = 𝟏 é da seguinte forma
𝒛𝒌 = (𝒄𝒐𝒔𝟐𝒌𝝅
𝒏 + 𝒊𝒔𝒆𝒏
𝟐𝒌𝝅
𝒏), onde 𝒌 é inteiro e 𝟎 ≤ 𝒌 ≤ 𝒏 − 𝟏.
Fórmula De Moivre: (𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏 𝜽)𝒏 = 𝒄𝒐𝒔(𝒏𝜽) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝒏𝜽)