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Alessandro Tadeu Rodrigues Gomides
Avaliação de Riscos em Estratégias de Investimentos de
Longo Prazo:
Aplicação Prática em um Fundo de Pensão
EPGE/FGV
Rio de Janeiro, 29 de junho de 2004
Avaliação de Riscos em Estratégias de Investimentos de
Longo Prazo:
Aplicação Prática em um Fundo de Pensão
Avaliação de Riscos em Estratégias de Investimentos de Longo
Prazo: Aplicação Prática em um Fundo de Pensão
Alessandro Tadeu Rodrigues Gomides
Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em
Finanças e Economia Empresarial da Escola de Pós-
Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas,
como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau
de Mestre em Finanças.
Orientador: Prof. Dr. Carlos Eugênio E. Lustosa da Costa
Ph. D. in Economics, University of Chicago
Rio de Janeiro, 29 de junho de 2004.
Avaliação de Riscos em Estratégias de Investimentos de Longo
Prazo: Aplicação Prática em um Fundo de Pensão
Alessandro Tadeu Rodrigues Gomides
Dissertação submetida ao corpo docente da Escola de Pós-Graduação em Economia da
Fundação Getulio Vargas – EPGE/FGV, como parte dos requisitos necessários à obtenção do
grau de Mestre em Finanças.
Aprovada por:
_________________________________________________
Prof. Carlos Eugênio E. Lustosa da Costa – Orientador
Ph. D. in Economics, University of Chicago
__________________________________________________
Prof. Marcelo Fernandes – EPFE/FGV
Ph. D. in Management Science, Université Libre de Bruxelles
__________________________________________________
Prof. Carlos Hamilton V. de Araujo – Banco Central do Brasil
Doutor em Economia pela EPGE/FGV
Rio de Janeiro, 29 de junho de 2004
i
Este trabalho é dedicado a Juliana Rodrigues, pelos longos
anos de amor e dedicação. É dedicado também a Marina
Gomides, aguardada com alegria e grande ansiedade.
Você vem em boa hora, Marina!
ii
Este texto marca a conclusão de um projeto que demandou um grande esforço pessoal, que
seria totalmente inócuo sem a colaboração direta e indireta de muitos. Agradeço a minha
família, pelo apoio de sempre, especialmente a Sebastião Gomides. Ao me proporcionar o
primeiro contato com o mundo da economia e das finanças, ele talvez tenha sido o principal
responsável (ou culpado) indireto por este trabalho.
Agradeço a Luciana Gomides, por enfrentar com coragem as duríssimas mudanças que se
fizeram necessárias, a Maria José Gomides e Rodrigo Gomides, pela criteriosa revisão do meu
português ruim.
Devo agradecer também a Jair Ribeiro, pela compreensão nos momentos em que os
cronogramas e, principalmente, a vida ficaram realmente complicados. Por fim, agradeço ao
meu orientador, Carlos Eugênio, sempre generoso em emprestar seu conhecimento e que, com
seu temperamento gentil, foi responsável por transformar debates áridos em conversas bem
agradáveis.
Obrigado a todos.
iii
“...existe um tempo para preparar e planejar; igualmente
existe um tempo para partir para ação.”
Amyr Klink
iv
Sumário:
1 SUMÁRIO EXECUTIVO........................................................................................................................1
2 MOTIVAÇÃO .........................................................................................................................................3
3 GESTÃO DE INVESTIMENTOS: CURTO E LONGO PRAZOS........................................................4
4 AVALIAÇÃO DE RISCOS: DO VAR AO ALM................ ....................................................................5
5 CONSIDERAÇÕES ACERCA DO ALM EM FUNDOS DE PENSÃO.................................................7
5.1 FUNÇÃO-OBJETIVO.............................................................................................................................7 5.1.1 Principais variáveis....................................................................................................................8 5.1.2 A relação entre as variáveis........................................................................................................8
5.2 MODELOS DINÂMICOS ........................................................................................................................9 5.3 OUTRAS CONSIDERAÇÕES.................................................................................................................10
6 UMA ESTRUTURA A TERMO DE JUROS DE LONGO PRAZO ....................................................11
6.1 A ESTRUTURA A TERMO DA TAXA DE JUROS.....................................................................................11 6.2 CONSIDERAÇÕES SOBRE MARCAÇÃO A MERCADO DO PASSIVO..........................................................12 6.3 A DETERMINAÇÃO DA ETTJ .............................................................................................................14 6.4 A ESTRUTURA A TERMO DAS NTN-C’S .............................................................................................15
7 VALOR DE MERCADO DO PASSIVO...............................................................................................16
8 SIMULANDO O COMPORTAMENTO DE ATIVOS E PASSIVO..... ...............................................18
8.1 CENÁRIO MACROECONÔMICO...........................................................................................................20 8.1.1 Inflação....................................................................................................................................22 8.1.2 Risco-Brasil..............................................................................................................................23 8.1.3 Juros de Curto Prazo................................................................................................................25 8.1.4 Juros de Longo Prazo...............................................................................................................27
8.2 COMPORTAMENTO DAS AÇÕES..........................................................................................................28 8.3 COMPORTAMENTO DA RENDA FIXA ...................................................................................................29
8.3.1 Investimentos Indexados à Taxa de Juros Básica.......................................................................29 8.3.2 Investimentos Indexados a Índices de Preços.............................................................................29 8.3.3 Investimentos Indexados à Variação Cambial ...........................................................................30
8.4 COMPORTAMENTO DOS EMPRÉSTIMOS...............................................................................................30 8.5 COMPORTAMENTO DOS IMÓVEIS........................................................................................................31 8.6 OPERAÇÕES COM PATROCINADORAS .................................................................................................31 8.7 COMPORTAMENTO DO PASSIVO.........................................................................................................32 8.8 SIMULAÇÕES CORRELACIONADAS: A TRANSFORMAÇÃO DE CHOLESKY..............................................32 8.9 COMPORTAMENTO GERAL DO FLUXO DE CAIXA .................................................................................33
9 DEFININDO FUNÇÃO OBJETIVO E OTIMIZAÇÃO ............. .........................................................34
10 APLICAÇÃO.....................................................................................................................................36
10.1 FLUXO DO PASSIVO E PROVISÕES MATEMÁTICAS ...............................................................................36 10.2 SIMULAÇÕES ....................................................................................................................................37 10.3 OTIMIZAÇÃO ....................................................................................................................................41
11 CONCLUSÃO....................................................................................................................................45
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..........................................................................................................47
APÊNDICE 1 MOVIMENTOS DA INFLAÇÃO.................. ......................................................................49
APÊNDICE 2 MÉDIA DE LONGO PRAZO DOS JUROS REAIS............................................................50
APÊNDICE 3 MOVIMENTOS DO FATOR DE SOLVÊNCIA ........ .........................................................51
APÊNDICE 4 MOVIMENTOS DE UM TÍTULO DE RENDA FIXA... .....................................................61
v
Lista de Fórmulas:
Equação 1: Preço de um Título no Instante t.....................................................................................................11
Equação 2: Preço de um Título no Instante t=0.................................................................................................11
Equação 3: Provisões Matemáticas ..................................................................................................................16
Equação 4: Provisões Matemáticas Marcadas à Mercado..................................................................................17
Equação 5: Processo Estocástico......................................................................................................................18
Equação 6: Processo de Markov ......................................................................................................................19
Equação 7: Processo de Ito ..............................................................................................................................19
Equação 8: Processo de Wiener .......................................................................................................................20
Equação 9: Processo de Wiener Generalizado ..................................................................................................21
Equação 10: Simulação com Processo de Wiener Generalizado........................................................................21
Equação 11: Movimento Browniano Geométrico .............................................................................................22
Equação 12: Simulação da Inflação com Movimento Browniano Geométrico...................................................23
Equação 13: Processo de Difusão Martingal.....................................................................................................23
Equação 14: Simulação do Risco-Brasil...........................................................................................................24
Equação 15: Processo de Ornstein-Uhlenbeck..................................................................................................25
Equação 16: Simulação dos Juros Reais de Curto Prazo ...................................................................................26
Equação 17: Simulação dos Juros Reais de Longo Prazo..................................................................................27
Equação 18: Simulação do Prêmio de Risco por uma Difusão Martingal ..........................................................28
Equação 19: Simulação da Variação dos Preços das Ações...............................................................................28
Equação 20: Simulação das Taxas de Juros de Curto Prazo ..............................................................................29
Equação 21: Simulação Títulos Indexados IGP-M............................................................................................29
Equação 22: Simulação de Títulos Cambiais ....................................................................................................30
Equação 23: Simulação de Empréstimos ..........................................................................................................30
Equação 24: Simulação de Imóveis..................................................................................................................31
Equação 25: Simulação de Operações com Patrocinadora.................................................................................31
Equação 26: Simulação do Passivo ..................................................................................................................32
Equação 27: O Problema do Fundo de Pensão..................................................................................................34
Equação 28: Fator de Solvência .......................................................................................................................35
Equação 29: Movimento do Fator de Solvência................................................................................................35
Equação 30: Movimento do Ativo....................................................................................................................57
Equação 31: Movimento do Passivo.................................................................................................................58
Equação 32: Movimento Título de Renda Fixa pelo Lema de Ito ......................................................................62
vi
Lista de Tabelas:
Tabela 1. Premissas para Simulações: primeiros semestres...............................................................................37
Tabela 2. Premissas para Simulações: semestre intermediários .........................................................................38
Tabela 3. Premissas para Simulações: últimos semestres ..................................................................................39
Tabela 4. Valor Base dos Ativos (em R$ milhões)............................................................................................40
Tabela 5. Resultados das Simulações ...............................................................................................................40
Tabela 6. Expectativa de Retorno e Risco ........................................................................................................41
Tabela 7. Resultados da Primeira Otimização...................................................................................................42
Tabela 8. Resultados da Segunda Otimização...................................................................................................43
Tabela 9. Resultados da Otimização Final ........................................................................................................44
Tabela 10. Correlograma do IPCA mensal .......................................................................................................49
vii
Resumo:
O tema central deste trabalho é a avaliação de riscos em estratégias de investimentos de longo
prazo, onde a necessidade de um exemplo prático direcionou à aplicação de Asset Liability
Models em fundos de pensão, mais especificamente, a planos de benefício definido. Com os
instrumentos de análise apresentados, acreditamos que o investidor com um horizonte de
retorno de longo prazo tenha uma percepção mais acurada dos riscos de mercado a que está
exposto, permitindo uma seleção de carteiras mais adequada aos objetivos de gestão. Para
tanto, a inclusão de variáveis de decisão que procuram quantificar os objetivos de gestão -
indo além do modelo simplificado de média-variância - exerce papel de fundamental
importância.
Abstract:
The main subject of the present work is the risk evaluation of long run investment strategies,
where the requirement of a practical example led to the use of an Asset Liability Management
Model for pension funds, more specifically, to plans with fixed benefit. With the instruments
we adopted we believe that the investor whose investment horizon is larger has a more
accurate perception of the market risk to which she is exposed, allowing for a portfolio
selection that is more in accordance with the goals of management. To that end, the inclusion
of decisions variables that aim at quantifying the management objectives – thus going beyond
the simple mean-variance model – is of paramount importance.
1
1 SUMÁRIO EXECUTIVO
Este trabalho se insere no contexto das estratégias de investimentos de longo prazo, tratando
em sua essência, de gestão de riscos de mercado. Antes de entrar no mérito, entretanto,
passaremos por uma abordagem inicial acerca da diferença de enfoque entre estratégias de
investimentos de curto prazo e de longo prazo.
Nos últimos anos, muitos vêm sendo os avanços no sentido de aprofundar uma teoria
de carteiras de longo prazo, em complemento à já tradicional teoria moderna de carteiras.
Baseada unicamente na análise da relação média e variância, a teoria moderna de carteiras
tem seu enfoque visivelmente orientado para curto prazo e tem como horizonte de análise um
único período, com oportunidades de investimentos estáticas. Em longo prazo, entretanto,
mudam os retornos esperados, a taxa de juros, os níveis de inflação, as volatilidades e as
correlações. Adicionalmente, outras variáveis ainda podem ser incluídas e a própria medida
de risco pode ser diferente da variância.
A necessidade de utilizar um exemplo prático para ilustrar os conceitos, direcionou o
trabalho à aplicação de Asset Liability Models em fundos de pensão. Estes modelos estão
diretamente associados aos riscos de longo prazo peculiares a estas instituições e estão ligados
de forma indireta aos riscos de mercado. O risco principal é o de não haver ativos suficientes
para fazer frente às obrigações do fundo.
A principal variável tratada, neste contexto, será o fator de solvência, que é a razão
entre o ativo e o passivo. Estando intimamente associado ao fator de solvência, o nível de
contribuição é outra variável importante em nossa análise, indicando o percentual da
remuneração a ser recolhido ao fundo para obter o benefício definido. Em uma entidade com
contas equilibradas, configurações mais arriscadas de investimentos normalmente projetam
melhoria da situação patrimonial, mas aumentam a probabilidade de déficit. A obtenção de
superavits consistentes pode permitir a redução do nível de contribuição e a consecução de
déficits pode levar à necessidade de aumento do nível de contribuição. Os participantes e as
patrocinadoras do fundo, em seu turno, têm preferência pela estabilidade de seu fluxo de
pagamentos ao longo do tempo.
Uma preocupação importante está na forma de apuração do valor do ativo e do passivo
para efeito do cálculo do fator de solvência. O valor de ativos como ações e títulos de renda
fixa é facilmente apurado pelas negociações no mercado, ou por seus fatores de risco. O valor
do passivo, por sua vez, é calculado trazendo-se a valor presente o fluxo de benefícios
2
líquidos por uma taxa fixa referente à meta atuarial, o que prejudica a comparação de seus
movimentos com os movimentos do ativo.
Uma forma alternativa de eliminar este problema seria calcular o “valor de mercado”
do passivo, trazendo os fluxos a valor presente por uma estrutura a termo de longo prazo dada
pelo mercado. A melhor representação desta estrutura a termo pode ser deduzida dos cupons
das NTN-Cs, títulos de longo prazo indexados ao IGP-M, emitidos pelo Tesouro Nacional.
A partir destes pontos, desejando encontrar distribuições de probabilidades para o fator
de solvência em diversos instantes no futuro, realizamos simulações com base em valores
esperados e volatilidades dos principais fatores de risco determinantes do comportamento dos
ativos e do passivo.
A utilização de simulações, em detrimento das fórmulas fechadas de distribuição de
probabilidades, se deve principalmente às restrições táticas e legais para as composições de
carteira. Adicionalmente, trabalhando com simulações, permitimo-nos trabalhar com
volatilidade variante ao longo do tempo, da mesma forma que as correlações.
Procurando dar uma expressão funcional aos objetivos da gestão dos investimentos de
longo prazo, definimos o “problema de um fundo de pensão” como sendo encontrar a carteira
que ofereça a menor volatilidade do fator de solvência, sujeito a que o valor esperado deste
fator de solvência seja superior a uma constante determinada, no instante seguinte. A lei de
movimento do fator de solvência como função do ativo e do passivo foi deduzida pela
aplicação do Lema de Ito, partindo do pressuposto de que ambas as variáveis têm seu
comportamento representado pelo movimento Browniano geométrico.
Por fim, ao incluir variáveis de decisão que procuram quantificar os objetivos de
gestão, indo além do modelo simplificado de média-variância, concluímos que os
instrumentos de análise apresentados neste trabalho permitem, ao investidor com um
horizonte de retorno de longo prazo, uma seleção de carteiras mais adequada aos objetivos de
gestão.
3
2 MOTIVAÇÃO
O tema central deste trabalho é a avaliação de riscos em estratégias de investimentos de longo
prazo, onde a necessidade de um exemplo prático direcionou à aplicação de Asset Liability
Models em fundos de pensão, mais especificamente, a planos de benefício definido.1
Grande importância foi atribuída, entretanto, ao posicionamento destes objetivos no
contexto mais amplo do estudo de finanças, passando pela diferenciação de conceitos de
gestão de carteiras com horizonte de curto prazo, otimizando a relação risco e retorno; e com
horizonte de longo prazo, onde deve ser considerada, também, a relação entre ativos e
passivos.
Em um fundo de pensão, o principal objetivo da gestão de investimentos é garantir que
os recursos financeiros sejam suficientes para honrar o pagamento dos benefícios, ou seja, que
haja superavit ou, no mínimo, equilíbrio entre ativos e passivo. Ocorre que, dependendo da
situação atual da instituição e das preferências de seus participantes, podemos chegar a
diferentes estratégias de investimentos no que se refere, principalmente, à assunção de riscos
relacionados à situação patrimonial esperada no futuro.
Em uma entidade com contas equilibradas, configurações mais arriscadas de
investimentos normalmente projetam melhoria da situação patrimonial para o futuro, mas
também têm seus efeitos sobre a probabilidade de déficit. Adicionalmente, se por um lado a
obtenção de superavits consistentes pode permitir a redução do nível de contribuição, por
outro lado a consecução de déficits pode levar à necessidade de aumento do nível de
contribuição.
Com estas colocações, pretendemos proporcionar um primeiro contato com o
“problema dos fundos de pensão”, que tomaremos como exemplo para aplicar conceitos de
gestão que vão além da otimização da relação risco e retorno.
1 Os planos de benefício definido são aqueles onde o contratante define o benefício a receber e as contribuições são calculadas e reajustadas periodicamente, com base em premissas atuariais que remetam a este benefício.
4
3 GESTÃO DE INVESTIMENTOS : CURTO E LONGO PRAZOS
Este trabalho, em sua essência, trata de gestão de riscos, mais especificamente daqueles
associados às oscilações nos preços dos ativos. Antes de entrarmos no mérito, entretanto,
entendemos que será de grande valia uma abordagem inicial acerca da diferença de enfoque
entre estratégias de investimentos de curto prazo e de longo prazo, tema que é abordado em
CAMPBELL E VICEIRA (2002).
Nos últimos anos, muitos vêm sendo os avanços no sentido de aprofundar uma teoria de
carteiras de longo prazo em complemento à já tradicional teoria moderna de carteiras,
fundamentada a partir do trabalho de MARKOWITZ (1952), cujo enfoque, por construção, é
orientado para o curto prazo.
Ocorre que, com os avanços da capacidade computacional, rotinas baseadas nesta teoria
passaram a fazer parte do dia-a-dia das instituições ligadas a investimentos, tendo como
principal exemplo o Capital Asset Pricing Model (CAPM), amplamente utilizado como
ferramental para a determinação do “preço justo” de ativos.
Este ferramental tem como horizonte de análise um único período, onde o ambiente de
investimentos2 também é único. A longo prazo, entretanto, mudam as oportunidades de
investimentos e os retornos esperados, muda a taxa de juros, o nível de inflação, mudam as
volatilidades e as correlações.
Neste contexto quase conflitante entre gestão de investimentos de curto e longo prazo,
podemos incluir perfeitamente o gerenciamento dos riscos, na medida que as carteiras cujos
riscos desejam-se gerenciar também podem ter uma orientação voltada para curto ou para
longo prazo.
2 Entenda-se por ambiente de investimentos o conjunto de informações referentes a expectativas de retornos, volatilidades e correlações.
5
4 AVALIAÇÃO DE RISCOS: DO VaR AO ALM
Muito avanço tem sido verificado no estudo, monitoramento, controle e gerenciamento dos
riscos nos últimos anos, onde o destaque ficou por conta do Valor em Risco (VaR),3
metodologia criada pelo J. P. Morgan em 1995 para sintetizar a exposição ao risco de
mercado4 das instituições, que foi adotada como referência pelo BIS no âmbito do Acordo da
Basiléia.
O VaR tem como principal qualidade oferecer aos envolvidos no processo decisório
uma medida inteligível da exposição consolidada ao risco de mercado de uma instituição,
sendo esta qualidade, provavelmente, a principal responsável por sua rápida aceitação e
disseminação.
A extensão dos conceitos de VaR aos fundos de pensão foi uma tendência natural,
tendo como principal referência no Brasil o trabalho de RIBEIRO e LA ROCQUE (1997). Neste
trabalho, os autores elaboraram uma medida ainda mais inteligível para os envolvidos no
processo decisório deste tipo particular de instituição. Para tanto, promoveram uma visão
integrada entre o risco de mercado dos ativos (VaR) e o comportamento do passivo,
chegando, então, a uma probabilidade de déficit ou superavit.
Em GOMIDES (2003), procurando dar à estratégia de alocação de ativos uma dinâmica
mais voltada para fundos de pensão, foi desenvolvida uma adaptação da tradicional fronteira
eficiente de risco e retorno, onde o retorno esperado foi substituído pela expectativa de déficit
ou superavit. Neste instrumento, o VaR foi inserido na construção de uma segunda fronteira,
em adição àquela com os valores esperados dos déficits ou superavits para carteiras com
níveis crescentes de risco. Esta segunda fronteira, que também tem como base os mesmos
níveis de risco anteriores, nos mostra como seria a posição patrimonial em uma situação onde
os riscos estimados ocorressem de fato.
Atualmente, podemos admitir que as rotinas associadas ao cálculo do VaR já são tidas
como indispensáveis, dentro de qualquer instituição que administra seus investimentos de
forma minimamente estruturada. De acordo com JORION (1997), os processos associados ao
cálculo desta medida, analisados isoladamente, já trazem importantes benefícios à instituição,
como o maior conhecimento de caracterísitcas “comportamentais” de seus ativos, que
contribuem de forma inequívoca para o aprimoramento das decisões de investimentos.
3 Perda máxima provável em determinado período para dado nível de significância. 4 Risco de mercado é aquele inerente à variabilidade dos preços dos ativos.
6
Na medida do amadurecimento na utlilização das rotinas acima, aumentae a convicção
de sua importância; mas aumenta também a percepção de que o VaR não deve ser uma
ferramenta isolada dentro do instrumental utilizado na gestão do risco de mercado. Dentro do
contexto de longo prazo de um fundo de pensão, esta medida, analisada isoladamente, sofre
de algumas limitações (como sua natureza voltada para o curto prazo), podendo mesmo levar
a conclusões equivocadas.
Vejamos o exemplo real onde, nos primeiros meses de 2003, aumentou de forma
significativa a volatilidade dos juros inerentes aos títulos referenciados em Índices Gerais de
Preços (IGP-M e IGP-DI). Este fenômeno provocou aumento significativo do valor em risco
(VaR) das carteiras que apresentavam participação relevante em NTN-C (Notas do Tesouro
Nacional Série C), que são títulos de longo prazo5 emitidos pelo Tesouro Nacional e
indexados ao IGP-M.
Voltando ao enfoque de um fundo de pensão, ocorre que dentre os instrumentos
financeiros disponíveis no mercado brasileiro na ocasião, a NTN-C era aquele que melhor se
adequava às características destas ionstituições. No entanto, a despeito das peculiaridades a
favor das NTN-C´s dentro da estratégia de investimentos de uma entidade com estas
caracterísiticas, uma política de investimentos que adotasse o VaR como único instrumento de
avaliação do risco descartaria estes títulos como alternativa de investimento, o que configura
um forte e definitivo argumento em direção à necessidade de instrumentos adicionais de
avaliação de riscos.
Não é difícil concluir que é no horizonte de análise que se localiza o ponto exato onde
as conclusões baseadas no VaR passam a apresentar divergência. O VaR é uma medida
desenvolvida para análises de curto prazo, de modo que, no longo prazo, suas limitações se
tornam ainda mais visíveis.
A longo prazo, admitindo que as oportunidades de investimentos mudam ao longo do
tempo,6 há a necessidade de uma abordagem dinâmica, para o qual parecem mais adequados
os Asset Liability Models (ALM), cujo enfoque está no estudo conjunto do comportamento
dos ativos e passivo ao longo do tempo.
5 Na realidade, pelo simples fato de possuirem uma “duração” mais elevada associada ao horizonte de maturação mais longo, estes títulos já colaboram para o aumento do VaR das carteiras de investimentos de que fazem parte. 6 Esta é uma premissa básica sem a qual as afirmações em seqüência não são válidas. Para maiores explicações, ver capítulo introdutório de Campbell e Viceira (2002).
7
5 CONSIDERAÇÕES ACERCA DO ALM EM FUNDOS DE PENSÃO
O conceito de ALM foi desenvolvido anteriormente ao VaR, orientado inicialmente para as
carteiras de empréstimos dos bancos comerciais. Em LA ROCQUE & WERLANG (no prelo) -
que oferecem uma ótima abordagem da evolução destes conceitos - temos que os primeiros
modelos foram desenvolvidos para gerenciar o risco em termos de entradas e saídas de caixa e
seus descasamentos. Na seqüência, maior complexidade foi sendo gradativamente adicionada,
na medida em que os próprios mercados se tornavam mais complexos.
A abordagem inicial dos modelos, referente à sincronização dos fluxos de caixa,
também se aplica diretamente aos fundos de pensão com planos de benefício definido.
Podemos ter como função objetivo dos modelos encontrar uma carteira de títulos que melhor
se adeqüe ao fluxo de pagamento de benefícios no longo prazo.
5.1 Função-Objetivo
Além do casamento dos fluxos, várias são as funções-objetivo que podem ser assumidas
dentro dos Asset Liability Models em um fundo de pensão. A principal delas, que será
utilizada neste trabalho, está voltada para a obtenção de uma carteira de investimentos que
produza o fator de solvência mais adequado em determinado horizonte de tempo. Esta é uma
função objetivo associada ao risco de não haver ativos suficientes para fazer frente às
obrigações do fundo.
Algumas restrições também podem ser adicionadas ao modelo, sendo que as principais
são aquelas de ordem legal. O principal exemplo é o dos limites impostos pela legislação para
a participação em determinados segmentos, como o de renda variável.
Há também as restrições de ordem estratégica que podem ser impostas ao modelo. Em
uma função-objetivo que procura otimizar o fator de solvência em determinada data, pode ser
inserida como restrição a condição de que, em intervalos regulares ao longo deste período, o
mesmo fator de solvência não seja inferior a determinado limite. Outra variante está em impor
como condição que, para determinado fator de solvência ao final do período, a carteira de
investimentos escolhida seja aquela de menor custo.
8
O risco de que, mesmo na presença de um fator de solvência positivo (ativo >
passivo), os ativos disponíveis em determinado momento não sejam suficientemente líquidos
para honrar as obrigações, também enseja uma função-objetivo própria a ser estudada.
Em resumo, os modelos de ALM aplicados a fundos de pensão estão diretamente
associados aos riscos de longo prazo peculiares a estas instituições, e que estão ligados de
forma indireta aos riscos de mercado.
Estes riscos estão colocados de forma muito clara e objetiva em VEIGA (2003), quando
enuncia que “a principal meta de um fundo de pensão é cumprir seu estatuto”. Mais adiante
temos: “À administração do fundo cabe a gestão do estoque de ativos, de forma a assegurar o
pagamento de benefícios até a extinção do plano. Para alcançar esta meta, o fundo deve
formular uma política de investimentos que observe permanentemente duas condições:
equilíbrio e liquidez.”
5.1.1 Principais variáveis
5.1.1.1 Fator de solvência
Com base no que foi exposto, temos que a principal variável tratada em nosso estudo será o
fator de solvência (FS), que é a razão entre o ativo e o passivo. Indicadores acima de 1,0
apontam para superavit (ativo>passivo), enquanto o contrário indica déficit (ativo<passivo).
5.1.1.2 Nível de contribuição
Estando intimamente associado ao fator de solvência, o nível de contribuição (NC) é outra
variável importante em nosso escopo de análise, indicando o percentual da remuneração a ser
recolhido ao fundo para obter o benefício definido.
5.1.2 A relação entre as variáveis
Em uma entidade com contas equilibradas (FS≈1), configurações mais arriscadas de
investimentos, normalmente, projetam melhoria da situação patrimonial para o futuro, mas
aumentam a probabilidade de déficit. Se, por um lado, a obtenção de superavites consistentes
9
pode permitir a redução do nível de contribuição, por outro lado a consecução de déficits pode
levar à necessidade de aumento do nível de contribuição.
( )FSfNC =
É neste ponto que encontramos o vínculo mais forte entre a definição de uma política de
investimentos e a propensão a aceitar aumento de contribuições por parte do Conselho
Executivo, representante de participantes e patrocinadoras. Quanto maior a volatilidade do
fator de solvência, maior a probabilidade de que seja necessário alterar o nível de
contribuição.
( ) ( )FSNC σσ =
Tomemos como exemplo uma situação onde o Conselho estabeleça um limite inferior e um
limite superior para o nível de contribuição (a ≤ NC ≤ b). Em situações onde o nível de
contribuições praticado é inferior ao limite máximo determinado pelo Conselho (NC < b), há
incentivos para a configuração de investimentos mais arriscados. Neste caso, a possibilidade
de aumento das contribuições funciona como um hedge, que permite a maior exposição ao
risco de mercado.
A rigidez da política de contribuições, desta forma, garante uma postura conservadora
na administração dos investimentos. Por outro lado, reduz a possibilidade de obtenção de um
superavit que permita a redução do nível de contribuições.
5.2 Modelos Dinâmicos
O estudo dos riscos por este enfoque requer a utilização de modelos de análise dinâmicos,
cuja principal vantagem sobre os modelos estáticos está, justamente, em permitir um melhor
aproveitamento das mudanças nas oportunidades de investimentos ao longo do tempo e seus
efeitos sobre os parâmetros determinados, como solvência e liquidez.
A principal desvantagem está na necessidade de simular longas trajetórias para fatores
aleatórios, implicando em maiores dificuldades frente à necessidade de estimar o
comportamento das volatilidades, correlações e valores esperados ao longo do tempo. A
10
hipótese de manutenção destas características não é realista, mas é admissível em um primeiro
momento.
Outra dificuldade está na qualidade das séries estatísticas brasileiras para efeito de
aplicação de conceitos de análise de séries temporais. Neste contexto, ganha importância a
utilização de modelos econômicos estruturais que, não obstante, também não serão utilizados
neste trabalho.
5.3 Outras Considerações
Para que cheguemos a valores realmente confiáveis, é de fundamental importância que as
premissas atuariais utilizadas para estimar o passivo estejam muito próximos da realidade.
Uma tábua biométrica cuja expectativa de vida dos participantes seja inferior ao real perfil da
massa apontará, certamente, para estimativas de pagamentos de benefícios muito inferiores ao
que será demandado no futuro. Qualquer esforço no sentido de encontrar uma composição de
ativos que melhor se adeqüe a estas projeções equivocadas do passivo será, portanto, inócua.
Uma medida que poderia ser tomada quanto à trajetória do passivo no sentido de
aumentar a confiabilidade dos modelos, seria uma estimativa elaborada com base em
premissas mais conservadoras, como uma tábua biométrica onde a expectativa de vida seja
maior do que a da tábua atual.
Outro ponto no qual devemos nos ater, é a forma diferenciada como são trazidos a
valor presente os fluxos ativos e os fluxos passivos. Os fluxos passivos são trazidos a valor
presente pela meta atuarial, representada por uma taxa máxima de 6% acima do índice de
inflação, enquanto os fluxos ativos são trazidos ao valor presente pela curva de juros vigente
no mercado, processo conhecido como marcação a mercado.7
Esta diferenciação entre a forma de desconto de fluxos ativos e passivos confere
grande volatilidade ao fator de solvência, que vem da diferença entre o valor contábil e o
valor econômico do passivo. Nosso próximo passo será propor uma metodologia que amenize
esta dificuldade.
7 A manutenção desta diferenciação de critérios nas simulações seria importante se estivéssemos contemplando a possibilidade de saques por desligamento do participante. Não obstante, como veremos mais adiante, trabalhamos neste texto somente com passivo referente a benefícios concedidos. A parcela de benefícios concedidos refere-se às aposentadorias já concedidas e, todos concordamos, a possibilidade de um participante aposentado se desligar do plano é mínimo.
11
6 UMA ESTRUTURA A TERMO DE JUROS DE LONGO PRAZO
6.1 A Estrutura a Termo da Taxa de Juros
A Estrutura a Termo da Taxa de Juros (ETTJ) é um indicador de grande importância na
economia e desempenha um papel central na determinação de preços de ativos (ou passivos)
que possam ser representados por um fluxo de caixa. Seu preço é dado pela soma do valor
presente de todos os fluxos:
Equação 1: Preço de um Título no Instante t
( ) ( ) ( ) ( )nnt
nti
it
it
t
t
t
tt
r
FC
r
FC
r
FC
r
FCP
+
+
+
+
+
+
+
+
+++
+++
++
+=
1...
1...
11 22
21
1
1 ,
em que t + n = T, que é a data de vencimento.
Para tornar a notação mais simples, partimos do ponto onde o instante t é 0 (zero), passando a
ter:
Equação 2: Preço de um Título no Instante t=0
( ) ( ) ( ) ( )TT
Ti
i
i
r
FC
r
FC
r
FC
r
FCP
+++
+++
++
+=
1...
1...
11 22
21
1
10
ou
( )∑= +
=T
ii
i
i
r
FCP
10
1
no qual P0 é o preço no momento 0; i = 1, 2,..., T é o momento de referência; FCi é o fluxo de
caixa (positivo ou negativo) no momento i; T é o prazo de maturação (em unidades de i) e r i é
a taxa de juros spot para este prazo.
12
A ETTJ descreve a relação existente entre a taxa de juros r i e o momento i no plano
R2. Sua configuração mais comum é crescente, ou seja, r aumenta na medida em que i
aumenta.
Para explicar os diferentes formatos assumidos pela ETTJ existem hoje três teorias
predominantes. A hipótese das expectativas reza que a ETTJ reflete exatamente a expectativa
dos agentes para as taxas de juros nos diferentes intervalos de tempo. Neste caso, a inclinação
positiva da curva estaria claramente associada à expectativa de aumento das taxas de juros no
futuro.
Na hipótese da preferência por liquidez, os ativos com menor liquidez devem oferecer
um prêmio em relação àqueles com maior liquidez, então definindo o formato da ETTJ.
Admitindo que os ativos com vencimento mais curto tenham maior liquidez do que os mais
longos, seria natural que a inclinação da curva fosse predominantemente positiva.
A terceira variante é a hipótese da segmentação de mercado. Neste caso, os agentes de
mercado seriam divididos em dois segmentos: os voltados para curto prazo e os voltados para
longo prazo. Neste contexto, os juros inerentes aos títulos de diferentes prazos seriam
determinados pelos preços de equilíbrio de diferentes mercados.
Para explicar a inclinação predominante da curva com base nesta teoria devemos,
entretanto, fazer algumas adaptações que nos remeterão à hipótese de preferência por
determinado “habitat”. Sob esta hipótese os agentes têm preferência por atuar em um mercado
específico, o de juros de curto prazo ou os de longo prazo. A migração entre os diferentes
mercados dependeria da existência de suficientes prêmios entre eles.
6.2 Considerações Sobre Marcação a Mercado do Passivo
Neste ponto de nosso trabalho, o objetivo é encontrar uma estrutura a termo para prazos
longos que nos permita trazer a valor presente os fluxos de pagamentos de benefícios de
forma mais apropriada, e estimar o equivalente ao “valor de mercado do passivo”. Para tanto,
devemos nos permitir algumas liberdades, haja vista que o passivo em questão, inicialmente,
não é passível de negociação, não havendo sentido, portanto, para um “valor de mercado do
passivo”.
A própria legislação tributária incentiva que, mesmo em situações onde há a
possibilidade de saque deste passivo, a sua efetiva liquidação seja relativamente pequena. No
caso do participante se desligar da instituição patrocinadora, ele poderá sacar junto ao fundo a
13
parcela referente a suas contribuições, incorrendo em um pagamento de impostos que será
maior quanto maior for o saque.
A influência da possibilidade de resgate é uma sutileza que poderia ser ignorada sem
maiores prejuízos à análise, mas tendo em vista nosso desconhecimento sobre referências
claras sobre a questão, somos encorajados a realizar algumas ilustrações que venham a dar
maior consistência aos exercícios que se seguirão.
Façamos então uma primeira ilustração, onde o passivo do fundo de pensão passa a ser
um ativo quando observado pelo ângulo do participante. O fluxo de pagamentos a que este
participante tem direito no futuro é, de fato, um ativo de sua propriedade.
Supondo que este ativo possa ser transacionado em mercado, ou seja, que se possa
transferir o direito de propriedade sobre o fluxo de caixa em questão, qual seria o preço a ser
cobrado sobre este ativo? Por não-arbitragem, uma primeira idéia de preço seria obtida
trazendo-se a valor presente o fluxo pela taxa de juros de mercado.
O potencial comprador deste fluxo de caixa, entretanto, exigiria que fosse adicionado
um prêmio sobre esta taxa de juros, associado às incertezas quando ao seu recebimento. A
fundamentação para este prêmio vem do risco de crédito associado ao garantidor deste direito,
neste caso, o fundo de pensão. Não obstante, considerando que estamos trabalhando no campo
das hipóteses, podemos admitir a inexistência da incidência desses prêmios, o que fazemos
acreditando não estar prejudicando a análise.
O objetivo de marcar a mercado o passivo é o de promover uma melhor comparação
com o ativo, cujo valor é apurado por este critério. Esta uniformização de critérios tornaria
mais ameno o problema da volatilidade do fator de solvência abordado ao final do item
anterior, proporcionando também parâmetros de análise de qualidade superior.
Uma forma equivocada de resolver este problema seria deixar de marcar o ativo ao
valor de mercado, registrando o valor dos títulos de renda fixa pela curva de juros contratual.
Uma decisão desta natureza, de fato, permitiria uma sensível redução da volatilidade do
patrimônio, proporcionando uma sensação de segurança que aumentaria a satisfação dos
participantes, se partimos do princípio que estes são avessos ao risco (esta é uma premissa
deste trabalho).
A intenção e a capacidade de levar alguns títulos até seu vencimento é um argumento
forte no sentido de não haver uma preocupação com o risco de mercado destes ativos, mas o
fato dos riscos não serem mais visualizados, entretanto, não significa que eles foram
eliminados. “Riscos não podem ser eliminados. Eles podem, sim, ser transferidos ou, em
última instância, mascarados.” (APELFELD, 2003).
14
Há ainda a questão da portabilidade, onde as diferenças na forma de contabilização
destes títulos podem gerar sérias distorções, na medida em que influenciam de forma
significativa no montante de recursos a ser retirado. Se o valor dos títulos marcado pela curva
for superior à marcação a mercado, os recursos a serem retirados do fundo tenderão a ser
superestimados.
Para os objetivos de estudo de ALM, entretanto, a adoção da marcação a mercado é
indispensável, principalmente quando estamos interessados em pontos intermediários da
trajetória a ser simulada. Se estivermos interessados no fator de solvência em momentos
anteriores à extinção do plano, continuaríamos a ter informações inadequadas no caso de
trabalharmos com títulos corrigidos pela curva.
6.3 A Determinação da ETTJ
Feitas estas considerações, o objetivo passa a ser a construção de uma ETTJ apropriada para
trazer a valor presente os fluxos passivos. “A escolha da melhor forma de cálculo da ETTJ vai
depender do objetivo a que se destina” (FABOZZI, 2002) mas, para tanto, devemos ter em
mente alguns critérios a serem respeitados: os títulos utilizados para a construção da curva
devem ter as mesmas características básicas (mesmo indexador, por exemplo), devem
pertencer a uma mesma classe (mesmo risco de crédito, por exemplo) e serem suficientemente
líquidos.
Em um segundo momento, deveremos nos preocupar com os movimentos da ETTJ ao
longo do tempo, tema para o qual temos alguns artigos bastante esclarecedores. Em um estudo
sobre os principais fatores explicativos dos retornos dos títulos do Tesouro dos EUA e outros
títulos relacionados, LITTERMAN & SHEINKMAN (1991) apontam como sendo três os principais
fatores derivados da ETTJ que, juntos, explicam 98,4%. O primeiro fator está associado aos
deslocamentos paralelos da ETTJ, explicando 89,5% das variações nos preços. As mudanças
na inclinação da curva respondem por 8,5% e as alterações na curvatura respondem por outros
2,0%.
Em estudo semelhante voltado para o mercado brasileiro, VALLI & V ARGA (2001)
chegaram a conclusões muito próximas, quais sejam: 88,0% das variações são explicadas por
deslocamentos paralelos, 8,4% por mudanças na inclinação e 2,0% por mudanças na
curvatura.
Outro estudo de grande interesse para nossos objetivos é o de SUBRAMANIAN (2001).
Neste estudo o autor argumenta que “títulos com liquidez e títulos sem liquidez representam
15
classes de ativos heterogêneas, de modo que incluir ambos no processo de estimação da
estrutura a termo é um procedimento problemático”. Os preços dos títulos sem liquidez
normalmente embutem um prêmio, levando a uma diferenciação entre o preço praticado no
mercado e o “valor econômico” deste título, que é o que deve ser levado em conta na estrutura
a termo. O autor propõe, então, uma metodologia de estimação da ETTJ que utilize
parâmetros de ajuste de liquidez.
A metodologia de ajuste da curva, entretanto, não terá interesse direto para a proposta
de trabalho que estamos desenvolvendo, pois em nosso objeto de estudo, os “erros” incorridos
na precificação do passivo serão compensados por “erros” proporcionais na precificação dos
ativos.
Nosso interesse maior, neste caso, está na argumentação acerca da natureza distinta
entre os títulos. Estes argumentos servirão de base para a adoção de um modelo de equilíbrio
para a simulação dos movimentos da ETTJ no futuro.
6.4 A Estrutura a Termo das NTN-C’s
Para a aplicação que desejamos, a ETTJ construída com base nas NTN-C’s é a mais
adequada, seja pelo longo horizonte de tempo que alcançam, seja pelo fato de ter como
indexador um índice de inflação. Para esta afirmação lançamos mão dos argumentos de
CAMPBELL E VICEIRA (2002), que serão brevemente abordados em seqüência.
Consideremos, inicialmente, um fundo de pensão como um agente representativo do
consumidor, que deseja estabelecer uma estratégia de alocação de ativos de longo prazo. Esta
estratégia deve ter como orientação principal manter o padrão de consumo no período a partir
de sua aposentadoria, respeitando o princípio básico de que, com algumas variações de
intensidade, os consumidores têm preferência por uma cadeia de consumo bem comportada ao
longo do tempo.
Considerando que a incerteza sobre os níveis de inflação é maior quanto maior o
horizonte de análise, um investidor que deseja manter seu padrão de consumo no longo prazo
deve dedicar especial atenção a este item em seu processo decisório. Neste contexto, títulos de
longo prazo, com rendimento indexado a índices de preços, vêm atender esta demanda de
forma muito satisfatória.
Outro ponto importante em favor das NTN-C´s, para o qual os argumentos anteriores
não se aplicam de forma clara, está em seus prazos de vencimento. O fato de serem os títulos
16
com o mais longo horizonte de maturação no mercado brasileiro8 (a mais longa vence em
2031) também oferece benefício associado à redução do risco de reinvestimento, que vem da
incerteza da disponibilidade de títulos com as mesmas caracterísitcas para serem comprados
quando do vencimento dos títulos atuais, ou mesmo quando do pagamento de cupons.
De fato, não há garantia de que novos títulos com as mesmas características serão
disponibilizados no futuro. No caso das NTN-C´s, não há garantia explícita de que haverá
novas emissões de títulos com estas características, ainda que estas também ofereçam um
hedge natural ao emissor, dado que as receitas do Tesouro são indexadas à inflação.
Há que se ressaltar, neste ponto, que o fato de ter como emissor o Tesouro Nacional
também favorece estes títulos pois, por definição, esta é a instituição que oferece o menor
risco de crédito aos investidores.
7 VALOR DE MERCADO DO PASSIVO
O passivo de um plano de benefício definido, também chamado de provisões matemáticas,
pode ser representado pela soma de todos os benefícios a serem pagos ao longo do tempo
descontada de todas a contribuições a serem recebidas no mesmo período. Estes fluxos são
trazidos a valor presente descontados pela meta atuarial, normalmente representada pela
variação de um índice de inflação acrescida de juros de 6% ao ano. Sendo assim, a equação
simplificada das provisões matemáticas em determinado momento seria:
Equação 3: Provisões Matemáticas
( )∑=
+++
+−=
n
iititit
tMA
CBM
1 1
na qual Mt é a provisão matemática no momento t que se deseja analisar, Bt+i o total de
benefícios pagos no período entre o instante t+i e instante imediatamente anterior e Ct+i as
contribuições recebidas em igual período. O momento T é aquele onde o plano se extingue, de
modo que T=t+n. A variável MA é a meta atuarial no período.
8 Na realidade, existem títulos do governo com vencimento mais longo, mas tratam-se de emissões especiais.
17
Adaptando esta equação ao conceito de “marcação a mercado” que defendemos
anteriormente, teríamos o seguinte para o instante t=0:
Equação 4: Provisões Matemáticas Marcadas à Mercado
( )∑= +
−=
T
ii
i
ii
r
cbM
10
1
em que r i é a taxa de juros de mercado entre o momento t=0 e o momento i.
Para estimar benefícios e contribuições, há que se partir do cadastro detalhado do
quadro atual de participantes, ao qual devemos aplicar parâmetros de cálculo de tabelas
biométricas pré-estabelecidas. Destas tabelas constam premissas acerca da expectativa de vida
de cada indivíduo de acordo com sua idade.
A estes cálculos deve ser adicionada a possibilidade de aposentadoria por invalidez,
bem como as pensões a serem deixadas aos dependentes após o falecimento, ponto onde a
expectativa de vida deste dependente passa a ser uma informação de grande importância.
Por não serem o foco deste trabalho e por considerar insuficientes os ganhos obtidos
por um processo de simulação estocástica dos dados atuariais, adotaremos em nossos estudos
estimativas determinísticas para os fluxos de caixa futuros. Para tanto, devemos admitir a
hipótese de que os fatores de risco que regem o passivo são estatisticamente independentes
dos fatores de risco que regem o ativo. Devemos considerar, também, que a volatilidade dos
fatores de risco do ativo seja muito superior ao que se refere aos dados atuariais do passivo, o
que é uma premissa perfeitamente condizente com a realidade.
Não obstante a possibilidade de se adotar um comportamento determinístico para o
passivo sem perda de acurácia, voltamos a ressaltar a importância de se trabalhar com
premissas muito bem calibradas, sob pena de adotarmos estratégias de investimentos visando
a redução de riscos que sejam inócuas no decorrer do tempo.
18
8 SIMULANDO O COMPORTAMENTO DE ATIVOS E PASSIVO
Os modelos utilizados para reproduzir o comportamento dos ativos são processos
estocásticos. Estes processos caracterizam o comportamento de uma variável cujas mudanças
são incertas ao longo do tempo.
Equação 5: Processo Estocástico
{ } { }tT xxxx =,...,, 21 , t = 1, 2, ..., T
em que Xt é a variável aleatória X no instante t.
No tocante ao intervalo de tempo em que são apuradas as variáveis, os processos
estocásticos podem ser divididos em discretos ou contínuos. Chamamos de processos
discretos àqueles onde as variáveis aleatórias podem ser apuradas somente em intervalos de
tempo específicos, como a produção industrial mensal. Àqueles cujas variáveis podem ser
apuradas em qualquer instante do tempo, como a cotação das ações, chamamos de processos
contínuos. Adicionalmente, não importando o intervalo de tempo em que são apuradas, as
próprias variáveis aleatórias podem ser divididas em discretas e contínuas, dependendo do
conjunto de valores que possam atingir.
Neste texto, tanto os processos estocásticos quanto as próprias variáveis serão
contínuos, ainda que a realidade dos fatos nos aponte o contrário. Isto porque mesmo que
determinadas variáveis sejam apuradas somente em intervalos regulares de tempo, a forma
mais simples para simular seu comportamento é a de simulação por modelos de tempo
contínuo.
O processo estocástico mais comum para simular o comportamento das variáveis
financeiras é o de Markov. Neste processo, não há relação entre o comportamento passado da
variável e o comportamento esperado para o futuro. O único valor que influenciará o
comportamento no futuro é o valor atual da variável, ou seja, tratamos de um processo “sem
memória”.
Um exemplo forte deste processo no mercado financeiro pode ser ilustrado pelo
comportamento teórico das ações, na “hipótese fraca de eficiência do mercado”. Nesta
19
hipótese, o preço atual de uma ação resume todo seu comportamento no passado, sendo então
o único preço que influenciará o comportamento no intervalo de tempo seguinte.
Equação 6: Processo de Markov
( ) ( )tt xfxE =+1
em que
( ) 10 ≠∀=×+ ixxE tit
O problema é que, para simular o comportamento de algumas dessas variáveis, devemos
estabelecer relações com outras variáveis de orientação econômica que não obedecem,
necessariamente, a um processo de Markov. Este é o caso do risco-Brasil e da inflação, por
exemplo. Esta última pode ser determinada por um processo AR, MA ou ARMA com
defasagens superiores a 1, afastando-se, então, do conceito básico do Processo de Markov.
Não obstante, como trataremos as variáveis em intervalos de tempo de seis meses, é
admissível que estas características se percam neste intervalo, tornando viável a utilização de
processos de Markov mesmo para estas variáveis.
Adicionalmente, como na maior parte dos casos estaremos tratando de séries não
estacionárias - com média, variância e correlações podendo ser diferentes ao longo do tempo -
o mais adequado é trabalharmos com o Processo de Markov específico chamado Processo Ito.
Neste processo, os dados referentes ao valor esperado da variável, bem como sua
volatilidade, podem variar em função do próprio valor atual da variável e do tempo.
Equação 7: Processo de Ito
( ) ( ) dztXdttXdX ×+×= ,, σµ
em que
X = variável aleatória no instante t;
µ = variação esperada da variável X no período entre t e t -1;
dt = variação isntantânea de tempo;
σ = desvio-padrão estimado da variável X no instante t;
dz = processo de Wiener, caracterizado por:
20
Equação 8: Processo de Wiener
dtdz ×= ε
em que
ε = variável aleatória com distribuição normal padrão, ou seja, ε ∼ N(0,1).
A distribuição normal será uma constante dentre as hipóteses adotadas nas simulações.
Adotaremos a hipótese de normalidade para o comportamento das variáveis macroeconômicas
e da variação de preços de alguns ativos que, como já adiantamos, serão tratadas em tempo
contínuo.9
Considerando que há uma fórmula fechada para estimar as probabilidades de
ocorrência de variáveis aleatórias, cujos comportamentos obedecem a uma distribuição
normal, por quê, então, a necessidade de simulações? Poderíamos calcular a probabilidades
que desejássemos de forma analítica, sem a necessidade de procedimentos numéricos.
A resposta está nas limitações de participação de determinados segmentos de ativos no
patrimônio. Com estas restrições eliminamos cenários onde, por exemplo, o segmento de
ações responda por uma parcela superior a 50% dos investimentos. Esta possibilidade,
entretanto, seria levada em consideração se optássemos por uma solução analítica para
encontrarmos as probabilidades desejadas.
Trabalhando com simulações, permitimo-nos trabalhar com volatilidade variante ao
longo do tempo (heterocedasticidade), podendo adotar o mesmo procedimento para as
correlações.
8.1 Cenário Macroeconômico
O cenário macroeconômico para os diferentes períodos em análise será responsável pelas
variáveis endógenas do modelo. As variáveis serão o risco-Brasil, os juros reais de curto
prazo e longo prazo e a variação do INPC e do IGPM. Para cada uma destas variáveis
9 Cabe lembrar que, se os movimentos fossem tratados em intervalos discretos, a hipótese da normalidade não poderia ser adotada para todos.
21
deveremos determinar valor esperado e margem de erro (desvio-padrão) a cada intervalo de
tempo analisado, remetendo-nos, indiretamente, ao Processo de Ito.
O processo-base para as simulações será o Processo de Wiener Generalizado, que sob
determinado ponto de vista pode ser entendido como uma simplificação do Processo de Ito.10
Equação 9: Processo de Wiener Generalizado
dzdtdX ×+×= σµ
em que
X = variável aleatória no instante t;
µ = variação esperada da variável X no período entre t e t -1;
dt = variação isntantânea de tempo;
σ = desvio-padrão estimado da variável X no instante t;
dz = processo de Wiener.
Em nossas simulações o momento atual será sempre utilizado como referência inicial, de
modo que na equação anterior teremos sempre que t = 0, de modo que t + i = i .
Neste contexto, as variáveis macroeconômicas serão estimadas com base no passeio
aleatório descrito na equação abaixo e em algumas de suas variações.
Equação 10: Simulação com Processo de Wiener Generalizado
ztv ivivji ∆×+∆×=∆ ,,, σµ
na qual
vi,j = variável estimada no instante t+i, t=0 e ∀i, na simulação j, j = 1,2,...,n;
µv,i = variação esperada da variável v no período entre i e i-1;
∆t = compatibiliza os estimadores ao interalo entre o instante i e i-1;
σ v,i = desvio-padrão estimado da variável v no período entre i e i-1;
∆z = processo de Wiener.
10 A diferença é que no Processo de Wiener Generalizado o valor esperado e a variância não são colocadas como função da própria variável e do tempo, como ocorre no Processo de Ito.
22
Uma primeira variação importante desta equação é o Movimento Browniano Geométrico.
Neste porcesso, em lugar da variação de uma variável em termos absolutos, descrevemos
especificamente as taxas de variação.
Equação 11: Movimento Browniano Geométrico
dzdtX
dX ×+×= σµ
em que
X = variável aleatória no instante t;
µ = variação esperada da variável X no período entre t e t -1;
dt = variação isntantânea de tempo;
σ = desvio-padrão estimado da variável X no instante t;
dz = processo de Wiener.
O exemplo mais claro de aplicação deste processo está no comportamento das ações. De fato,
mais importante do que modelar o comportamento do preço de uma ação, é modelar sua taxa
de variação ao longo do tempo.
8.1.1 Inflação
No caso da inflação, conforme vimos anteriormente, ainda que seu movimento não seja
tradicionalemente descrito por Processos de Markov, o intervalo de tempo de seis meses das
simulações nos permite adotar estes processos, tendo em vista que este intervalo supera
intervalos razoáveis que seriam adotados como defasagens em processos AR, MA ou ARMA,
como podemos comprovar no Apêndice 1.
A inflação é a taxa de variação do índice de preços no intervalo de tempo sob análise.
Neste contexto, sendo a inflação uma taxa de variação, adotaremos para a simulação dos
índices o Movimento Browniano Geométrico.
23
Equação 12: Simulação da Inflação com Movimento Browniano Geométrico
ztI
IiIiI
i
ji ∆×+∆×=∆
−,,
1
, σπ
em que
I i,j = índice de inflação estimado no instante t+i, t=0 e ∀i, na simulação j, j = 1,2,...,n;
πI,i = inflação esperada no período entre i e i-1;
∆t = compatibiliza os estimadores ao interalo entre o instante i e i-1;
σ I,i = desvio-padrão estimado da inflação no período entre i e i-1;
∆z = processo de Wiener.
Esta metodologia será utilizada tanto para a estimativa do INPC, quanto do IGPM. As
correlações serão levadas em consideração na geração das variáveis aleatórias. As variáveis
serão, então:
ICi,j = INPC estimado no instante t+i, t=0 e ∀i, na simulação j, j = 1,2,...,n;
IGi,j = IGPM estimado no instante t+i, t=0 e ∀i, na simulação j, j = 1,2,...,n;
8.1.2 Risco-Brasil
Temos também o risco-Brasil, que em nossas simulações assumirá as características
comportamentais de uma difusão Martingal, cujo processo estocástico tem o seguinte perfil:
Equação 13: Processo de Difusão Martingal
dtdzdX ××=×= εσσ
em que
ε = variável aleatória com distribuição normal padrão, ou seja, ε ∼ N(0,1).
A principal característica de um martingal é que o valor esperado é o próprio valor atual da
variável.
24
( ) ( ) ( ) ( ) tttt XXEXXEdXEE =⇒=−⇒=⇒= ++ 11 000ε
Ocorre que, ao fazermos a adaptação do movimento para um intervalo de tempo discreto, a
probabilidade de termos um valor exatamente igual ao valor atual é pequena. Na realidade,
embora possamos assumir esta hipótese para prazos muito curtos, para intervalos de tempo
mais longos esta hipótese é inverossímil.
Neste caso, especificamente, podemos trabalhar com uma expectativa pontual para a
variável baseada nas expectativas e não na esperança matemática.
( ) ztRBRBRB iRBjieiji ∆×+∆−=∆ − ,,1, σ
jijiji RBRBRB ,1,, −−=∆
Sendo ∆t =1, temos
( ) ( ) εσ ×+−=− −− iRBjieijiji RBRBRBRB ,,1,1,
em que
RBi,j = risco-Brasil estimado no instante t+i, t=0 e ∀i, na simulação j, j = 1,2,...,n;
RBi-1,j = risco-Brasil no instante imediatamente anterior ao risco-Brasil estimado.
De acordo com a argumentação acima, substituiremos o valor da variável, no instante
imediatamente anterior, pela expectativa para seu valor naquele momento.
Assim, ao simular a variável teremos:
Equação 14: Simulação do Risco-Brasil
εσ ×=− iRBeiji RBRB ,,
onde:
RBi,j = risco-Brasil estimado no instante t+i, t=0 e ∀i, na simulação j, j = 1,2,...,n;
RBei = expectativa para o risco-Brasil no instante i;
σ RB,i = desvio-padrão estimado para o risco-Brasil no período entre i e i-1;
ε = variável aleatória com distribuição normal padrão, ou seja, ε ∼ N(0,1).
25
É claro que, ao inserirmos diretamente a expectativa para uma determinada variável estamos
incorporando, indiretamente, um termo de arrastamento dado pela diferença entre esta
expectativa e a expectativa para o momento imediatamente anterior. Esta seria uma alternativa
menos complexa em termos de modelagem, mas seria menos intuitiva do que o método
adotado. De fato, deve-se concordar que seja mais fácil pensar no risco-Brasil em termos de
valor absoluto do que propriamente em termos de variação.
Objetivamente, o risco-Brasil é dado pelo diferencial de taxas anuais entre os juros
externos e internos, resultando também em uma taxa anual. Para que esteja adequada,
devemos converter esta taxa em seu equivalente para o intervalo de tempo das simulações.
Cabe ressaltar que o risco-Brasil é uma taxa de variação. De fato, como vimos no
parágrafo anterior, ele é um diferencial de taxas de juros. Junto com outras variáveis como
juros internos e expectativa de variação cambial, o valor simulado do risco-Brasil formará o
termo de arrastamento e de volatilidade de outra variável: os investimentos em renda fixa
indexados ao câmbio. Esta variável sim, obedecerá a um Processo de Ito.
8.1.3 Juros de Curto Prazo
Na determinação das taxas de juros de curto prazo, a tendência inicial seria utilizar o conceito
de reversão à média, onde há uma pressão para a retomada de um determinado patamar a
longo prazo.
Equação 15: Processo de Ornstein-Uhlenbeck11
( ) dzdtvvdv ivjiji ×+×−×= − ,,1, σκ
na qual, além das variáveis anteriores, temos:
κ = velocidade de reversão à média;
v,i,j = variável estimado no instante t+i, t=0 e ∀i, na simulação j, j = 1,2,...,n;
v = média de longo prazo à qual a série tenderá a se reverter.
26
A adoção da reversão à média se aplica a variáveis com pequena probabilidade para valores
extremos, gerando simulações bem comportadas. De fato, em um ambiente de normalidade,
taxas reais de 100% ao ano, por exemplo, são altamente improváveis. Uma variação anual
desta natureza, entretanto, seria perfeitamente aceitável para ações ou mercadorias.
Não obstante, conforme mostramos no Apêndice 2, realizando uma regressão com os
dados de junho de 1999 até fevereiro de 2004, chegamos a uma média de longo prazo de
10,21% ao ano para as taxas de juros reais. Esta taxa é, de fato, perfeitamente compatível com
o histórico brasileiro dos últimos anos, mas vão de encontro às expectativas para os próximos
dez anos.
Por este motivo utilizaremos, para a simulação dos juros reais de curto prazo, uma
fórmula semelhante à utilizada para o risco-Brasil, lembrando que, neste caso, também
estamos tratando de uma taxa de variação.
Equação 16: Simulação dos Juros Reais de Curto Prazo
εσ ×+= ire
iji rr ,,
em que
r i,j = juro real curto prazo estimado no instante t+i, t=0 e ∀i, na simulação j, j = 1,2,...,n;
rei = expectativa para o juro real de curto prazo no instante i;
σ r,i = desvio-padrão estimado para o juro real de curto prazo no período entre i e i-1;
ε = variável aleatória com distribuição normal padrão, ou seja, ε ∼ N(0,1).
Há uma peculiaridade nesta forma de estimação que deporia contra, caso estivéssemos
tratando de taxas de juros nominais pois, mesmo que com pequena probabilidade, o modelo
permite que tenhamos resultados negativos para os juros estimados. Para juros em termos
reais, contudo, a possibilidade de valores negativos é uma situação muito mais aceitável do
que quando tratamos de juros nominais.
11 Este é o processo adotado em VASICEK (1977), onde encontramos a modelagem de estrutura a termo mais adequada ao presente trabalho. Contudo, como poderemos ver, não adotaremos uma modelagem específica para a definição da estrutura a termo.
27
8.1.4 Juros de Longo Prazo
Para os juros reais de longo prazo, o mais indicado seria trabalhar com os modelos
tradicionais de estimativa da estrutura a termo com base nas taxas de juros de curto prazo. A
referência utilizada para este fim seria o modelo de VASICEK (1977), principalmente pelo fato
de trabalharmos com taxas de juros em termos reais.12
Ocorre que, em nosso trabalho, a taxa de juros de longo prazo será utilizada para obter
o valor das provisões matemáticas, variável determinate no comportamento do fator de
solvência. Conforme o que está no Apêndice 3, podemos conferir que a adoção de uma taxa
de juros de longo prazo como função da taxa de curto nos levaria a um grau de complexidade
acima do necessário.
Neste contexto, simularemos os juros de longo prazo de forma idêntica ao de curto
prazo, porém independentemente.13 Com este procedimento poderemos incorporar,
indiretamente, a expectativa quanto à inclinação da estrutura a termo, que será dada pela
diferença entre as expectativas para a taxa de curto prazo e de longo prazo.
Equação 17: Simulação dos Juros Reais de Longo Prazo
εσ ×+= ilreiji rlrl ,,
em que
rl i,j = juro real longo prazo estimado no instante t+i, t=0 ∀i, na simulação j, j = 1,2,...,n;
rl ei = expectativa para o juro real de longo prazo no instante i;
σ rl,i = desvio-padrão estimado para o juro real de longo prazo no período entre i e i-1;
ε = variável aleatória com distribuição normal padrão, ou seja, ε ∼ N(0,1).
12 Apesar de ser um dos modelos mais simples e intuitivos para a estrutura a termo das taxas de juros, uma importante crítica ao modelo de VASICEK (1977) vem do processo de Ornstein-Uhlenbeck adotado para o comportamento dos juros. Isto porque, em sua formulação, este processo admite valores negativos para os juros. Esta é uma hipótese inverossímil para os juros nominais, mas é possível quando estamos tratando de juros reais, como neste trabalho. 13 Na realidade, consideraremos a correlação entre estas variáveis no processo de simulação. As correlações entre as variáveis serão incorporadas ao processo de geração de números aleatórios fazendo uso da Transformação de Cholesky, que será explicada mais adiante.
28
8.2 Comportamento das Ações
Para as ações o comportamento será estimado com base no prêmio de risco em relação à taxa
de juros de curto prazo, que terá um valor esperado e uma variância estimada para cada ano.
Equação 18: Simulação do Prêmio de Risco por uma Difusão Martingal
εσππ ×+= ilreiji aa ,,
em que
rl i,j = juro real de longo prazo estimado no instante t+i, t=0 e ∀i, na simulação j, j = 1,2,...,n;
rl ei = expectativa para o juro real de longo prazo no instante i;
σ rl,i = desvio-padrão estimado para o juro real de longo prazo no período entre i e i-1;
ε = variável aleatória com distribuição normal padrão, ou seja, ε ∼ N(0,1).
O comportamento das ações, então, será o resultado da conbinação do comportamento dos
juros de curto prazo e o comportamento do prêmio de risco.
A variação real das ações será dada por:
Equação 19: Simulação da Variação dos Preços das Ações
jijii
ji raa
a,,
1
, +=∆
−
π
em que
1
,
−
∆
i
ji
a
a= valorização real das ações estimado no instante t+i, t=0 e ∀i, na simulação j, j =
1,2,...,n.
29
8.3 Comportamento da Renda Fixa
8.3.1 Investimentos Indexados à Taxa de Juros Básic a
Estimado diretamente com base na taxa de juros real de curto prazo.
Equação 20: Simulação das Taxas de Juros de Curto Prazo
εσ ×+= ire
iji rr ,,
em que
r i,j = juro real curto prazo estimado no instante t+i, t=0 e ∀i, na simulação j, j = 1,2,...,n;
rei = expectativa para o juro real de curto prazo no instante i;
σ r,i = desvio-padrão estimado para o juro real de curto prazo no período entre i e i-1;
ε = variável aleatória com distribuição normal padrão, ou seja, ε ∼ N(0,1).
8.3.2 Investimentos Indexados a Índices de Preços
Estimado com base no comportamento do IGP-M associado ao comportamento da taxa de
juros de longo prazo.
Equação 21: Simulação Títulos Indexados IGP-M
1
,
1
,,,
−−
∆−
∆+=
i
ji
i
jijiji IC
IC
IG
IGrlrlp
em que
rlp i,j = rendimento real dos títulos indexados entre instante i-1 e i, ∀i, simulação j, j = 1,2,...,n;
rl i,j = taxa de juros de longo prazo entre o instante i-1 e i na simulação j;
1
,
−
∆
i
ji
IC
IC= variação do INPC entre o instante i-1 e i na simulação j;
1
,
−
∆
i
ji
IG
IG= variação do IGPM entre o instante i-1 e i na simulação j;
30
8.3.3 Investimentos Indexados à Variação Cambial
Estimado com base no comportamento do câmbio, acrescido de juros proporcionais ao risco-
Brasil.
Equação 22: Simulação de Títulos Cambiais
( ) ( )ztRBrlc
cicicjiji
i
ji ∆×+∆×+−=∆
−,,,,
1
, σµ
em que
1
,
−
∆
i
ji
c
c= varição real do câmbio entre o instante i-1 e i, ∀i, na simulação j, j = 1,2,...,n;
RBi,j = risco-Brasil no instante i, na simulação j;
rl i,j = juros de longo prazo no instante i, na simulação j;
µc,i = variação cambial esperada entre o instante i-1 e i;
∆t = compatibiliza os estimadores ao interalo entre o instante i-1 e i;
σc,i = desvio-padrão estimado estimado da variável entre o instante i-1 e i;
∆z = processo de Wiener.
8.4 Comportamento dos Empréstimos
Estimamos para os empréstimos aos participantes comportamento em linha com a meta
atuarial, apontando para um rendimento anual de 6% acima do INPC.
Equação 23: Simulação de Empréstimos
( ) ( ) ttIC
IC
IC
ICemp
i
ji
i
jiji ∆×=∆×
∆−+
∆=
−−
06,1ln06,1ln1
,
1
,,
empi,j = rendimento real dos empréstimos entre o instante i-1 e i, ∀i, na simulação j, j =
1,2,...,n;
1
,
−
∆
i
ji
IC
IC = variação do INPC entre o instante i-1 e i na simulação j;
∆t = compatibiliza os estimadores ao intervalo entre o instante i-1 e i.
31
8.5 Comportamento dos Imóveis
Para os imóveis, estimamos rendimento fixo de 2% ao ano acima da variação do INPC.
Equação 24: Simulação de Imóveis
( ) ( ) ttIC
IC
IC
ICim
i
ji
i
jiji ∆×=∆×
∆−+
∆=
−−
02,1ln02,1ln1
,
1
,,
imi,j = rendimento dos empréstimos entre o instante i-1 e i, ∀i, na simulação j, j = 1,2,...,n;
1
,
−
∆
i
ji
IC
IC= variação do INPC entre o instante i-1 e i na simulação j;
∆t = compatibiliza os estimadores ao intervalo entre o instante i-1 e i.
8.6 Operações com Patrocinadoras
O comportamento das operações com patrocinadoras foi estimado com base em um
rendimento de 6% ao ano acima do IGPM. O rendimento real, neste contexto, será dado pela
seguinte fórmula.
Equação 25: Simulação de Operações com Patrocinadora
( ) tIC
IC
IG
IGop
i
ji
i
jiji ∆×
∆−+
∆=
−− 1
,
1
,, 06,1ln
opi,j = rendimento real das operações com patrocinadoras entre o instante i-1 e i, ∀i, na
simulação j, j = 1,2,...,n;
1
,
−
∆
i
ji
IC
IC = variação do INPC entre o instante i-1 e i na simulação j;
1
,
−
∆
i
ji
IG
IG= variação do IGPM entre o instante i-1 e i na simulação j;
∆t = compatibiliza os estimadores ao interavlo entre o instante i-1 e i.
32
8.7 Comportamento do Passivo
Para simular o comportamento do passivo, traremos a valor presente o fluxo de benefícios
líquidos pela taxa de juros de longo prazo.
Equação 26: Simulação do Passivo
( )∑= +
−=
T
ii
ji
iiji
rl
cbM
1 ,
,1
em que
jiM , = provisões matemáticas no instante e i, ∀i, na simulação j, j = 1,2,...,n;
rl i,j = juros de longo prazo no instante i, na simulação j;
8.8 Simulações Correlacionadas: A Transformação de Cholesky
Devemos pedir atenção, neste ponto, para o fato de nenhuma das fórmulas anteriores
considerar a correlação existente entre as variáveis em questão. De fato, se fossem incluídos
estes termos, chegaríamos a fórmulas excessivamente complexas e pouco ilustrativas.
Neste contexto, para considerar o efeito das correlações entre as variáveis, a
alternativa utilizada neste trabalho foi aplicar a transformação de Cholesky às variáveis
aleatórias geradas no processo de simulação.
Dispondo da matriz de correlação das variáveis aleatórias que se deseja simular,
encontramos a matriz de Cholesky. A transformação se dá pela multiplicação de um vetor de
variáveis aleatórias independentes por esta matriz, de modo que o resultado será um vetor de
variáveis aleatórias correlacionadas de acordo com a matriz de correlações original.
33
8.9 Comportamento Geral do Fluxo de Caixa
Ao simular a trajetória dos segmentos de investimentos, devemos fazer algumas
considerações sobre o fluxo de caixa, além das taxas de variação anteriormente abordadas.
O investimento indexado aos juros de curto prazo (renda fixa pós-fixada) exercerá o
papel do caixa em nossas simulações. Para ele, além dos rendimentos do próprio segmento,
serão direcionados os recebimentos dos segmentos de imóveis, empréstimos e patrocinadoras.
Estabelecemos, também, que na medida em que a participação de um segmento no total dos
investimentos supere os limites estabelecidos, a diferença será redirecionada ao segmento de
renda fixa pós-fixada no período seguinte.
Neste item também incluiremos as saídas periódicas de recursos com destino ao
pagamento de benefícios.
34
9 DEFININDO FUNÇÃO OBJETIVO E OTIMIZAÇÃO
Já concordamos que o principal risco inerente ao negócio de um fundo de pensão é a
impossibilidade de cumprir suas obrigações, o que pode ser descrito pela inequação simples
onde os ativos são inferiores ao passivo.
É claro que, por um lado, ativos maiores que passivos não são sinônimo,
necessariamente, de incapacidade de pagamento. É claro que um déficit momentâneo pode ser
um simples fruto da volatilidade dos investimentos, sem conseqüências maiores para a
solvência efetiva do plano de benefícios. Da mesma forma, um plano com ativos maiores que
passivos também pode não ser sinal inequívoco de capacidade de pagamento. Basta que os
ativos não sejam suficientemente líquidos para que o cumprimento das obrigações esteja
comprometido a curto prazo.
Desta forma, no contexto das variáveis abordadas no item 4 (Considerações Acerca do
ALM em Fundos de Pensão), caminhamos rumo a uma função-objetivo que conjugue um
valor esperado superior a 1 para o fator de solvência considerando, para tanto, as diferentes
possibilidades de alocação de recursos em momentos distintos. Paralelamente, deseja-se que a
volatilidade do fator de solvência ao longo do período de análise seja reduzida, atendendo ao
desejo dos participantes em ter um fluxo de caixa bem comportado ao longo dos anos.
Em linguagem matemática, chegamos a um “Problema Central da Gestão Recursos em
um Fundo de Pensão” da seguinte forma:
Equação 27: O Problema do Fundo de Pensão
( ) 1..
.
≥FSEas
Min FSσ
A esta restrição devemos adicionar as restrições legais e estatutárias para a participação em
cada segmento de investimentos.
35
A fórmula básica do fator de solvência é:
Equação 28: Fator de Solvência
1−×== MAM
AFS
na qual
smatemática provisões
ativo
==
M
A
O movimento do fator de solvência, conforme podemos depreender do Apêndice 3, será dado
por:
Equação 29: Movimento do Fator de Solvência
( ) ( )[ ] [ ]dzDwwdtDwwDrvwFS
dFSr
Tr
Tr
T σσσ +×∑×+××∑×++−×≈ tttttt 22
Na fórmula, podemos observar que, tendo em vista que a volatilidade das provisões
matemáticas é dada, a volatilidade do fator de solvência será determinada pela volatilidade do
ativo que, em última instância, será dada pela participação de cada ativo na carteira.
Adicionalmente, percebemos que este raciocínio também se aplica na determinação do termo
de arrastamento, que também inclui os termos estocásticos tanto do ativo quanto do passivo.
36
10 APLICAÇÃO
10.1 Fluxo do Passivo e Provisões Matemáticas
Nossas estimativas se reportam a um plano de benefício definido, abrangendo o pagamento de
pensões vitalícias para cônjuge e para filhos até 21 anos. Para os cálculos de aposentadoria e
pensões por morte, utilizamos como referência de tábua biométrica a AT-83, que é mais
conservadora que a AT-49 utilizada atualmente pela Secretaria de Previdência Complementar
como parâmetro mínimo.
Para estimar as aposentadorias por invalidez foram utilizadas as tábuas Álvaro Vindas
(entrada em invalidez) e IAPB-57 (mortalidade dos inválidos). Para crescimento salarial foi
adotada como premissa taxa real de 1% ao ano, enquanto a rotatividade foi considerada como
sendo nula.
A massa utilizada na estimativa foi de 2.800 participantes, dos quais 1.300 já
aposentados. A idade dos cônjuges foi conservadoramente estimada como sendo 5 anos
inferior à idade do participante, proporcionando estimativas seguras para os pagamentos de
pensões.
Para evitar que tenhamos que utilizar premissas referentes ao desligamento de
participantes - que trariam um complicador desnecessário para nosso estudo - trabalharemos
somente com a massa de aposentados, onde a probabilidade de desligamento voluntário é
mínima.
Figura 1. Fluxo Semestral de Pagamentos de Benefícios Líquidos (R$ milhões)
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61Semestre
Be
nefíc
ios
(R$
mih
lõe
s)
37
A trajetória nitidamente declinante da curva de pagamentos semestrais de benefícios reflete o
fato de estarmos trabalharmos somente com os benefícios já concedidos, ou seja,
desconsiderando a entrada de novos aposentados.
10.2 Simulações
Como base para as simulações adotamos as seguintes premissas:
Tabela 1. Premissas para Simulações: primeiros semestres
Semestre Base +1 +2 +3 +4 +5 +6
Valor Esperado
Risco-Brasil 750 640 550 500 500 450 450
Juros Reais Curto Prazo 9,5% 9,0% 8,5% 8,5% 8,5% 8,0% 8,0%
Juros Reais Longo Prazo 9,5% 9,0% 8,5% 8,5% 8,5% 8,0% 8,0%
INPC 7,0% 7,0% 4,0% 3,5% 3,5% 3,5% 3,5%
IGPM 10,0% 10,0% 4,0% 3,5% 3,5% 3,5% 3,5%
Spread IBX Juros 6,0% 6,0% 6,0% 6,0% 6,0% 6,0% 5,0%
Spread Dólar Inflação 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%
Desvio
Risco-Brasil 40 40 40 40 40 40 40
Juros Reais de Curto Prazo 7,4% 7,1% 6,7% 6,7% 6,7% 6,3% 6,3%
Juros Reais de Longo Prazo 10,2% 9,7% 9,1% 9,1% 9,1% 8,6% 8,6%
INPC 2,0% 2,0% 2,0% 2,0% 2,0% 2,0% 2,0%
IGPM 3,7% 3,7% 3,7% 3,7% 3,7% 3,7% 3,7%
Spread IBX Juros 27,5% 27,5% 27,5% 27,5% 25,0% 25,0% 25,0%
Spread Dólar Inflação 22,0% 22,0% 22,0% 22,0% 20,0% 20,0% 20,0%
38
Tabela 2. Premissas para Simulações: semestre intermediários
Semestre +7 +8 +9 +10 +11 +12 +13
Valor Esperado
Risco-Brasil 400 400 350 300 300 300 300
Juros Reais de Curto Prazo 7,5% 7,5% 7,0% 6,0% 6,0% 6,0% 6,0%
Juros Reais de Longo Prazo 7,5% 7,5% 7,3% 6,2% 6,2% 6,2% 6,2%
INPC 3,5% 3,5% 3,5% 3,5% 3,5% 3,5% 3,5%
IGPM 3,5% 3,5% 3,5% 3,5% 3,5% 3,5% 3,5%
Spread IBX Juros 5,0% 5,0% 5,0% 5,0% 5,0% 5,0% 5,0%
Spread Dólar Inflação 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%
Desvio
Risco-Brasil 40 40 40 40 40 40 40
Juros Reais de Curto Prazo 5,9% 5,9% 5,5% 4,7% 4,7% 4,7% 4,7%
Juros Reais de Longo Prazo 8,0% 8,0% 7,8% 6,6% 6,6% 6,6% 6,6%
INPC 2,0% 2,0% 2,0% 2,0% 2,0% 2,0% 2,0%
IGPM 3,7% 3,7% 3,7% 3,7% 3,7% 3,7% 3,7%
Spread IBX Juros 25,0% 25,0% 25,0% 25,0% 25,0% 25,0% 25,0%
Spread Dólar Inflação 20,0% 20,0% 20,0% 20,0% 20,0% 20,0% 20,0%
39
Tabela 3. Premissas para Simulações: últimos semestres
+14 +15 +16 +17 +18 +19 +20
Valor Esperado
Risco-Brasil 300 300 300 300 300 300 300
Juros Reais de Curto Prazo 6,0% 6,0% 6,0% 6,0% 6,0% 6,0% 6,0%
Juros Reais de Longo Prazo 6,2% 6,2% 6,2% 6,2% 6,2% 6,2% 6,2%
INPC 3,5% 3,5% 3,5% 3,5% 3,5% 3,5% 3,5%
IGPM 3,5% 3,5% 3,5% 3,5% 3,5% 3,5% 3,5%
Spread IBX Juros 5,0% 5,0% 5,0% 5,0% 5,0% 5,0% 5,0%
Spread Dólar Inflação 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%
Desvio
Risco-Brasil 40 40 40 40 40 40 40
Juros Reais de Curto Prazo 4,7% 4,7% 4,7% 4,7% 4,7% 4,7% 4,7%
Juros Reais de Longo Prazo 6,6% 6,6% 6,6% 6,6% 6,6% 6,6% 6,6%
INPC 2,0% 2,0% 2,0% 2,0% 2,0% 2,0% 2,0%
IGPM 3,7% 3,7% 3,7% 3,7% 3,7% 3,7% 3,7%
Spread IBX Juros 25,0% 25,0% 25,0% 25,0% 25,0% 25,0% 25,0%
Spread Dólar Inflação 20,0% 20,0% 20,0% 20,0% 20,0% 20,0% 20,0%
Com base nestas premissas, serão geradas 500 séries diferentes para a taxa de variação de
cada classe de ativo. As trajetórias para estas classes de ativos serão obtidas aplicando as
séries de taxas de variação sobre o montante inicial de cada uma das classes, que foram
estimados de acordo com a tabela abaixo.
40
Tabela 4. Valor Base dos Ativos (em R$ milhões)
Total 863,5
Renda Variável 138,5
Renda Fixa 577,7
- Cambiais 0,0
- Indexados 407,3
- Pós 170,4
Imóveis 43,7
Empréstimos 54,6
Patrocinadoras 49,1
O resultado deste exercício encontra-se na tabela abaixo, onde destacamos a informação de
que, ao final do período em análise, a probabilidade de que tenhamos fator de solvência igual
ou superior a 1 é de 98%.
Tabela 5. Resultados das Simulações
Data Probabilidade
FS > 1
Média Desvio Dispersão
Final do Período 98% 1,87 0,56 30%
Final do Semestre 18 98% 1,70 0,47 27%
Final do Semestre 16 97% 1,58 0,39 24%
Final do Semestre 14 96% 1,47 0,31 21%
Final do Semestre 12 96% 1,38 0,26 19%
Final do Semestre 10 96% 1,31 0,21 16%
Final do Semestre 8 94% 1,23 0,17 13%
Final do Semestre 6 93% 1,16 0,13 11%
Final do Semestre 4 89% 1,11 0,09 8%
Final do Semestre 2 84% 1,05 0,05 5%
Total da Simulação 94% 1,38 0,38 28%
41
Partindo do princípio de que não há problemas quanto à liquidez dos ativos, podemos
considerar, então, que tratamos de um fundo solvente a longo prazo, pois a probabilidade de
déficit é pequena.
Para horizontes mais curtos, entretanto, notamos que há um espaço maior para esta
possibilidade. De fato, ao final de segundo semestre, a probabilidade de déficit é de 16%,
indicador que, embora não alarmante, é muito superior aos 2% do final do vigésimo semestre.
Gradativamente, as possibilidades de equilíbrio vão aumentando com o passar do
tempo, aumentando também a variabilidade ao redor dos valores esperados.
10.3 Otimização
Para apresentar os resultados do processo de otimização, ilustraremos os dados referentes ao
primeiro período das simulações. Neste caso, as expectativas de retorno e risco foram:
Tabela 6. Expectativa de Retorno e Risco
Risco Retorno
Renda Variável 14,86% 6,75%
RF Cambiais 8,16% 1,87%
RF Indexados 3,57% 4,31%
RF Pós 0,71% 4,31%
Imóveis 1,00% 1,00%
Empréstimos 1,00% 3,00%
Patrocinadoras 1,00% 2,91%
Partindo destes dados, procuraremos a carteira que apresente a menor volatilidade para o fator
de solvência, dado que o valor esperado do fator de solvência seja superior a um determinado
limite, que neste exercício foi estabelecido como 1, valor que remete ao equilíbrio atuarial
(ativos=passivo).14
14 Se estivéssemos preocupados com eventual concentração de ativos com falta de liquidez, de modo que o simples equilíbrio entre ativos e passivo não seja garantia de solvência, poderíamos estabelecer como limite um fator de solvência superior a 1.
42
Neste primeiro exercício, partimos de um fator de solvência de 0,75 e aumentamos
gradualmente em intervalos de 0,05 até atingir o valor de 1,20. Para cada um destes valores
iniciais, procuramos dentre as carteiras com fator de solvência esperado maior ou igual a 1,
aquela carteira que ofereça a menor volatilidade do fator de solvência.
É de se esperar que, quanto menor o fator de solvência inicial, maior será a
volatilidade da carteira necessária para que esta remeta a um valor esperado mínimo desejado
que, neste caso, é 1.
Adicionalmente, estabelecemos limites para a participação em cada um dos
segmentos15 e restringimos a possibilidade de alavancagem, ou seja, não permitimos
exposição superior a 100% ou inferior a 0.
Tabela 7. Resultados da Primeira Otimização
Volatilidade Fator de
Solvência
17,7% 17,7% 17,7% 6,4% 6,4% 6,4% 6,4% 6,4% 6,4% 6,4%
Fator de Solvência 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20
Duração do Passivo 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
Fator de Solvência
Esperado
0,86 0,91 0,97 1,00 1,06 1,12 1,17 1,23 1,28 1,34
Composição das
Carteiras
Renda Variável 80,00% 80,00% 80,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%
RF Cambiais 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%
RF Indexados 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%
RF Pós 0,00% 0,00% 0,00% 80,00% 80,00% 80,00% 80,00% 80,00% 80,00% 80,00%
Imóveis 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00%
Empréstimos 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00%
Patrocinadoras 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00%
Soma 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100%
Deste primeiro resultado podemos destacar que para os três primeiros fatores de solvência
estabelecidos como pondo de partida, não foi possível chegar ao fator de solvência esperado
longo ao final do primeiro período, mesmo posicionando-se na carteira que oferece a maior
volatilidade do fator de solvência.
15 O limite legal para a participação do segmento de renda variável em um fundo de pensão é de 50%. Nos exercícios que seguem imputamos um valor de 80% para imputar maior liberdade ao processo de escolha.
43
A partir do quarto fator de solvência inicial, temos uma mudança radical nos
resultados, na medida em que a carteira com menor volatilidade remete a um valor esperado
superior a 1 em todos os casos.
Duas explicações se destacam no que dizem respeito ao comportamento acima.
Primeiro, que a diferença de retorno entre os ativos mais arriscados e menos arriscados
restringe o intervalo entre os retornos das carteiras mais voláteis e menos voláteis. No
exemplo acima, toda a transição entre estes extremos ocorre entre o fator de solvência inicial
0,85 e 0,90, pois as restrições não são ativadas fora deste intervalo. Em segundo lugar, por
termos estabelecido limites para a participação em cada segmento, não foi possível atingir os
valores desejados de fator de solvência.
No próximo exercício, então, trabalharemos em um intervalo menor sem restrições
quanto a participação individual de cada segmento, com exceção de imóveis, empréstimos e
participantes, cuja alocação foi considerada não discricionária.
Tabela 8. Resultados da Segunda Otimização
Volatilidade Fator de
Solvência
23,9% 20,1% 16,3% 12,1% 8,5% 5,8% 5,8% 5,8% 5,8% 5,8%
Fator de Solvência 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94
Duração do Passivo 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
Fator de Solvência
Esperado
1,01 1,01 1,01 1,00 1,00 1,00 1,01 1,02 1,04 1,05
Composição das
Carteiras
Renda Variável 73,23% 54,89% 36,81% 24,69% 7,42% -6,61% -6,61% -6,61% -6,61% -6,61%
RF Cambiais -178,2% -140,5% -103,8% -62,4% -27,3% 1,38% 1,38% 1,38% 1,38% 1,38%
RF Indexados 75,40% 67,78% 61,57% 13,60% 7,72% 2,32% 2,32% 2,32% 2,32% 2,32%
RF Pós 109,6% 97,84% 85,43% 104,1% 92,2% 82,91% 82,91% 82,91% 82,91% 82,91%
Imóveis 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00%
Empréstimos 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00%
Patrocinadoras 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00%
Soma 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100%
Na próxima otimização, voltamos a restringir a possibilidade de alavancagem e escolhemos
um intervalo de fatores de solvência iniciais estreito o suficiente para mostrar a transição entra
as carteiras com maior e menor volatilidade.
44
Tabela 9. Resultados da Otimização Final
Volatilidade Fator de
Solvência
17,2% 16,0% 14,7% 13,3% 12,0% 10,7% 9,4% 8,0% 7,2% 7,2%
Fator de Solvência 0,827 0,830 0,832 0,835 0,837 0,840 0,842 0,845 0,847 0,849
Duração do Passivo 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
Fator de Solvência
Esperado
1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
Composição das
Carteiras
Renda Variável 80,00% 70,76% 59,81% 48,93% 38,11% 27,36% 16,68% 6,09% 0,00% 0,00%
RF Cambiais 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%
RF Indexados 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%
RF Pós 0,00% 9,24% 20,19% 31,07% 41,89% 52,64% 63,32% 73,91% 80,00% 80,00%
Imóveis 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00%
Empréstimos 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00%
Patrocinadoras 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00%
Soma total 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100%
A conclusão é que, se chegarmos com fator de solvência menor do que 0,827 ao início do
período de que trata a otimização, teremos grande dificuldade de atingir o equilíbrio (fator de
solvência =1) no final do intervalo, mesmo com uma carteira que resulta em volatilidade
máxima para o fator de solvência, dadas as restrições.
No outro extremo, chegando ao início do período com fator de solvência acima de
0,845, o equilíbrio está praticamente garantido no período seguinte, mesmo com a carteira
menos agressiva de todas.
45
11 CONCLUSÃO
Com os instrumentos de análise apresentados neste trabalho, acreditamos que o
investidor com um horizonte de retorno de longo prazo tenha uma percepção mais acurada
dos riscos de mercado a que está exposto, permitindo uma seleção de carteiras mais adequada
aos objetivos de gestão. Para tanto, a inclusão de variáveis de decisão que procuram
quantificar os objetivos de gestão - indo além do modelo simplificado de média-variância -
exerce papel de fundamental importância.
Tomando como referência um fundo de pensão administrador de um plano de
benefício definido - onde o objetivo fundamental é o de garantir que os recursos sejam
suficientes para honrar as obrigações com o pagamento de benefícios - as variáveis adicionais
utilizadas foram o passivo e o fator de solvência. O passivo é a representação numérica dos
compromissos com o pagamento de benefícios no futuro e sua representação contábil é o
valor presente destes fluxos trazidos por uma taxa pré-determinada: a meta atuarial. Como os
ativos são contabilizados pelo seu valor de mercado, a diferenciação entre os métodos confere
uma volatilidade adicional ao fator de solvência, que é dado pela relação entre o conjunto dos
ativos e o passivo. A opção foi pela “marcação a mercado do passivo”, trazendo a valor
presente o fluxo de benefícios pela estrutura a termo de longo prazo, dada pelos cupons das
NTN-Cs.
Simulando as trajetórias destas variáveis com base no comportamento esperado dos
principais fatores de risco, temos uma noção da distribuição da probabilidade de solvência em
instantes específicos no futuro. As trajetórias simuladas impõem limitações à composição do
ativo, excluindo carteiras com participações individuais acima de limites pré-estabelecidos,
que podem ser limites legais, estatutários, ou mesmo limites táticos. Diante destas restrições,
o processo de simulação se mostra mais eficiente do que a simples aplicação de fórmulas
fechadas de distribuição de probabilidades.
Por fim, constatadas as possíveis trajetórias para a posição patrimonial atual, a
definição de uma carteira ótima deve incluir as variáveis adicionais representativas do
objetivo de gestão. Pelos argumentos colocados ao longo do texto, ficou entendido que a
melhor representação do objetivo de gestão de um fundo de pensão é encontrar a carteira que
proporcione a menor volatilidade do fator de solvência, sujeito à condição de que o valor
esperado deste fator de solvência seja superior a uma constante, determinada como 1 no
exemplo utilizado. Um fator de solvência com valor de 1 significa que os ativos têm valor
igual ao passivo, sendo a melhor representação do equilíbrio. Valores acima de 1 significam
46
que os ativos são superiores ao passivo, remetendo a uma grande probabilidade de solvência
do plano.
Com esta abordagem, julgamos oferecer uma solução mais adequada ao que
chamamos de “o problema de um fundo de pensão” ou “o problema do investidor de longo
prazo”.
47
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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CAMPBELL, John Y. & VICEIRA, Luis M.. Strategic Asset Allocation: Portfolio Choice for
Long Term Investors. Oxford University Press, 2002.
FABOZZI, Frank J.. Interest Rates, Term Structure and Valuation Modeling. John Wiley &
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GOMIDES, Alessandro T. R.. Instrumento para Alocação Estratégica de Ativos em Fundos de
Pensão: Uma Fronteira Eficiente Modificada. CONGRESSO BRASILEIRO DOS FUNDOS DE
PENSÃO, 24, outubro de 2003, São Paulo (Trabalho Premiado).
HULL, John C.. Options, Futures and Other Derivatives. Prentice Hall, Fifth Edition, 2002.
LA ROCQUE, Eduarda & WERLANG, Sérgio. Riscos de Mercado in Coelho, F., Manual de
Riscos. Rio de Janeiro: no prelo.
LITTERMAN, Robert & SHEINKMAN , José Alexandre. Common Factors Affecting Bond
Returns. Journal of Fixed Income, v1, pp. 59-72. 1991
JORION, P.. Value-at-Risk: The New Benchmark for Controlling Market Risk. Irwin, 1997.
J. P. MORGAN. RiskMetrics Technical Document. Fourth Edition, New York: 1995.
MARKOWITZ, H.. Portfolio Selection. Journal of Finance, 7, 1, 7-91, 1952.
MURALIDHAR , Arun S.. Innovations ins Pension Fund Management. California: Stanford
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NEFTCI, Salih N.. An Introduction to Mathematics of Financial Derivatives. New York:
Academic Press, 2000.
48
RIBEIRO, Jair, LA ROCQUE, Eduarda; e SILVA , Wilson da. Monitoramento de Risco: Aplicação
do Conceito de Value-at-Risk para Fundos de Pensão. Resenha BM&F, 132 e 133. 1998.
(Trabalho premiado no XVII CONGRESSO BRASILEIRO DOS FUNDOS DE PENSÃO, 1997)
SUBRAMANIAN , K. V.. Term Structure Estimation in Illiquid Markets. Journal of Fixed
Income, 11, 2001, pp. 77-86.
VALLI , Marcos & VARGA, Gyorgy. Movimentos da Estrutura a Termo da Taxa de Juros
Brasileira e Imunização, Economia Aplicada, V.5, N.1, pp. 34-53. 2001
VEIGA, Álvaro. Medidas de Risco de Equilíbrio em Fundos de Pensão em Gestão de Riscos
no Brasil, organizado por Antônio Duarte e Gyorgy Varga, Rio de Janeiro: 2003.
49
APÊNDICE 1: MOVIMENTOS DA INFLAÇÃO
Conforme abordado no texto, a melhor forma de simular o comportamento da inflação mensal
seria por modelos AR, MA ou ARMA. De fato, analisando o correlograma da variação
mensal do IPCA em tempo contínuo, há um forte indício de que o inflação mensal sofre
grande influência da inflação do mês anterior.
Tabela 10. Correlograma do IPCA mensal
Defasagem Autocorrelação Autocorrelação
Parcial
Estatística
Q
P-valor
1 0,581 0,581 20,285 0,000
2 0,298 -0,061 25,701 0,000
3 0,238 0,136 29,221 0,000
4 0,125 -0,091 30,217 0,000
5 -0,064 -0,173 30,486 0,000
6 -0,144 -0,052 31,850 0,000
O mesmo não podemos afirmar dos meses mais defasados em relação ao mais atual, já que os
coeficientes vão ficando cada vez mais próximos de zero. Neste caso, os coeficientes são
maiores para os meses menos defasados, mas tendem a zero com uma intensidade muito
maior.
Com este exercício simples, pretendemos demonstrar que, na medida em que
trabalhamos com intervalos maiores de que um mês, a simulação do comportamento da
inflação com base em modelos AR, MA ou ARMA torna-se inadequada.
50
APÊNDICE 2: MÉDIA DE LONGO PRAZO DOS JUROS REAIS
Para estas estimativas trabalhamos com os dados de final de mês para a taxa anual do CDI,
descontada a expectativa de inflação para os doze meses seguintes. Os dados referem-se ao
período entre junho de 1999 e fevereiro de 2004. Cabe ressaltar que, para a expectativa de
inflação, a série histórica oferecida pelo Banco Central inicia-se em novembro de 2001, de
modo que, para os dados anteriores a esta data, trabalhamos com estimativas baseadas na
inflação que de fato ocorrera nos doze meses seguintes.
Preparando, então, o tratamento numérico a ser dedicado a estes dados, desdobramos o
processo de reversão à média apresentado no item 7.1.3, chegando a um processo
autoregressivo, como a seguir.
( ) ( )( )
( ) ( )( ) εσβα
εσκκρεσκκρ
εσρκ
×++=×+−+=
×+−+=
××+×−×=−=∆
+
+
+
+
iii
iii
iiii
iiiiji
rrr
rrr
rrrr
rrrrr
1
1
1
1,
1
11
no qual
α = κρ;
β = (1−κ).
O resultado desta regressão foi:
i1i r0,91755076 120,00842488 r ×+=+
Concluímos, então, que:
α = κρ = 0,0084248812;
β = (1−κ) = 0,91755076 => κ = 1 − 0,91755076 => κ κ κ κ = 0,082449= 0,082449= 0,082449= 0,082449
κρ = 0,0084248812 => 0,082449 * ρ = 0,0084248812 => ρ = ρ = ρ = ρ = 0,10210,10210,10210,1021
51
APÊNDICE 3: MOVIMENTOS DO FATOR DE SOLVÊNCIA
O Lema de Ito está para variáveis aleatórias assim como a Regra de Taylor está para as
variáveis determinísticas.
Seja X uma variável determinística qualquer e G = g(X) uma função desta variável;
para cada variação de X, teremos um movimento correspondente em G = g(X), cujo valor
aproximado será obtido pela Regra de Taylor.
( ) ( ) ...!
1...
!2
1 2
2
2
+∂∂++
∂∂+
∂∂+≈+ n
n
n
dXX
G
ndX
X
GdX
X
GXgdXXg .
Sendo ( ) ( ) ( )101001 XgdXXgXdXXXXdX =+⇒=+⇒−= , então:
( ) ( ) ...!
1...
!2
1 2
2
2
01 +∂∂++
∂∂+
∂∂+≈ n
n
n
dXX
G
ndX
X
GdX
X
GXgXg .
Sendo ( ) ( )01 XgXgdG −= , então:
( ) ( ) ...!
1...
!2
1 2
2
2
01 +∂∂++∂+
∂∂≈−= n
n
n
dXX
G
ndX
X
GdX
X
GXgXgdG .
A variável determinística X, neste caso, poderia ser determinada por qualquer função que
produza um valor final exato, do tipo:
( )yfX = em que ( ) ( )01' XXdyyfdX −== ,
de modo que
( ) ( ) ( ) ...!
1...
!2
101
2012
2
01 +−∂∂++−
∂∂+−
∂∂≈ n
n
n
XXX
G
nXX
X
GXX
X
GdG
Como base para os exemplos que se seguirão, façamos que a variável determinística X seja
uma função do tempo t, que também é uma variável determinística. Neste caso, analogamente
à fórmula anterior, teremos:
52
( )tfX = em que ( )dttfdX ′= .
Quando tratamos de uma variável aleatória, a função que determina a variável passa a ter um
segundo componente,16 o componente estocástico. Este componente é dado pela variável z,
cujo movimento é determinado pelo Processo de Wiener, considerado o componente básico
dos processos estocásticos em geral.
dtdz ε= e ε ∼N(0,1)
Neste caso, teremos:
( )ztfS ,= onde ( ) ( )
dzzS
dttS
dzz
ztfdt
tztf
dS∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂≈ ,,
De fato, a diferencial total de uma função de duas variáveis pode ser aproximada pela soma
das derivadas parciais em relação a cada uma das variáveis. Não obstante, ao tratarmos das
variáveis t e z, especificamente, notamos que sendo dz um processo de Wiener, os termos de
segunda ordem de dz serão significativos. Isto porque, ( ) ( ) =
=
22 dtEdzE ε
( )( ) ( )dtEdtE 222 εε == . Sabendo que ( )1,0N≈ε , então ( ) 1)var(2 == εεE , de modo que
( ) ( ) dtdtEdzE == 22 ε .
Assim:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]201 ,,,
21
,,, ztfdzzdttfztfztfdzzdttfztfSSdS −++×′′+−++×′≈−=
( ) dzzS
dttS
ztf∂∂+
∂∂=′ ,
( ) 2
2
2222
2
2
, dzz
Sdtdz
ztS
dzdttzS
dtt
Sdz
zS
dttS
ztf∂∂+
∂∂∂+
∂∂∂+
∂∂=
″
∂∂+
∂∂=′′
Sendo ztS
tzS
∂∂∂=
∂∂∂ 22
, então:
53
( ) 22
222
2
2"
2," dzz
Sdtdz
tzS
dtt
Sdz
zS
dttS
ztf∂∂+
∂∂∂×+
∂∂=
∂∂+
∂∂=
Substituindo, temos:
∂∂+
∂∂∂×+
∂∂+
∂∂+
∂∂≈ 2
2
222
2
2
221
dzz
Sdtdz
tzS
dtt
Sdz
zS
dttS
dS
Quando 0→dt , as diferenciais de ordem superior tendem a ser insignificantes, pois se
aproximam de zero com uma velocidade muito maior. Por este motivo, podemos descartar os
termos de dt de ordem superior a um. Isto inclui os termos dtdz, uma vez que, sendo
dtdz ε= , 5,15,0 dtdtdtdtdtdtdz εεε === , o termo dt1,5 tende a zero com velocidade
muito superior a dt, podendo ser ignorado quando 0→dt .
Adicionalmente, como já vimos, o mesmo não pode ser afirmado no que diz respeito a
dz, na medida em que dtdz →2 . Assim, temos:
dzzS
dtz
StS
dS
dtz
Sdz
zS
dttS
dS
dzz
Sdz
zS
dttS
dS
∂∂+
∂∂+
∂∂≈
∂∂+
∂∂+
∂∂≈
∂∂+
∂∂+
∂∂≈
2
2
2
2
2
2
2
21
21
21
onde
( )
( )
zS
dzzS
dSDP
z
StS
dtz
StS
dSE
S
S
∂∂=
∂∂=
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂=
σ
µ2
2
2
2
21
21
16 Passamos, então, a tratar de cálculo diferencial com mais de uma variável.
54
O Processo de Ito é um processo estocástico onde o valor esperado e a variância da função
diferencial caracterizam-se pelo fato de serem, isoladamente, funções da própria variável
aleatória17 e do tempo em questão.
( ) ( )( ) ( ) dttSdttSdS
dztSdttSdS
εσµ
σµ
,,
,,
+=
+=
Então:
( ) ( ) dzzf
dtz
ftf
dztSdttS∂∂+
∂∂+
∂∂≅+
2
2
21
,, σµ
Sendo G uma variável aleatória bidimensional dada por G=g(S,t), onde S é aleatório18 e t é
determinístico, a expansão será dada por:
( ) ( ) +
+
∂∂++
∂∂+
∂∂+≈ ...
!1
...!2
1,, 2
2
2
01n
n
n
dSS
Gn
dSS
GdS
SG
tSgtSg
dSdttS
Gdt
S
Gn
dtt
Gdt
tG n
n
n
∂∂∂+
+
∂∂++
∂∂+
∂∂+ 2
!21
...!
1...
!21 2
2
2
Como já vimos antes, quando 0→dt , 02 →dt com rapidez muito maior, os termos de
ordem igual ou superior a 2 passem a ser insignificantes na equação. Deste modo, a equação
anterior se reduz a:
( ) ( )
∂∂+
∂∂+
∂∂+≈ dt
tG
dSSG
dSSG
tSgtSg 22
2
01 !21
,, 19
17 A partir deste momento, passaremos a omitir a variável z da relação funcional. 18 Lembrar que S também é variável bidimensional S=f(z,t). 19 Na realidade, a derivada segunda da função em relação a t resultaria em zero, o que, de qualquer maneira, anularia o termo da equação.
55
Substituindo dS na equação anterior até a segunda ordem,20 teremos:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) dttG
dztSdttSS
GdztSdttS
SG
tSgtSg∂∂++
∂∂++
∂∂+≈ 2
2
2
01 ,,21
,,,, σµσµ
( ) ( ) dtt
GdztS
S
GdttS
S
GdG
∂∂+
∂∂+
∂∂≈ ,, σµ
( ) ( ) ( ) ( )( )22222
2
2
,,,2,21
dztSdtdztStSdttSSG σσµµ ++
∂∂+
Mais uma vez, lembrando que quando 0→dt , podemos eliminar os termos onde dt é de
ordem igual ou superior a 1.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dttG
dztSSG
dtdztStSSG
dztSSG
dttSSG
dG∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂≈ 22
2
2
2
2
,21
,,,, σσµσµ
Da mesma forma, como dtdz ε= e 0→dt , 5,1dtdtdtdtdz εε == , podemos eliminar
alguns termos.
( ) ( ) ( ) dttG
dztSS
GdztS
SG
dttSSG
dG∂
∂+∂∂+
∂∂+
∂∂≅ 22
2
2
,21
,, σσµ
Adicionalmente, temos que dtdz →2 .
( ) ( ) ( ) dttG
dttSSG
dztSSG
dttSSG
dG∂
∂+∂∂+
∂∂+
∂∂≈ 2
2
2
,21
,, σσµ
( ) ( ) ( )dztSSG
dttG
tSSG
tSSG
dG ,,21
, 2
2
2
σσµ∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂≈
20 Lembrar que, como dtdz →2 , não podemos descartar os termos de segunda ordem.
56
Este, em resumo, é o Lema de Ito, que nos mostra o comportamento de uma variável aleatória
(G) em função de uma outra variável aleatória (S) e do tempo.
Em uma grande quantidade de variáveis econômico-financeiras, a variável aleatória S
é dada pelo Processo de Ito conhecido como Movimento Browniano Geométrico.
dtSSdtdS
SdzSdtdS
εσµ
σµ
+=
+=
onde:
( )( ) tS
tS
StS
StS
×=×=
σσµµ
,
,
Neste contexto, se G = lnS e S segue um movimento browniano geométrico, teremos:
( ) SdzS
dtSSS
SSd σσµ 1
2
11ln 222 +
−+≈ −
dzdtSd σσµ +
−≈
2ln
2
Em outro exemplo, podemos ter G = S-1 :
SdzSdtSSSSdG σσµ 22232 22
1 −−− −
+−≈
Em nosso texto principal, a variável de interesse é o fator de solvência, que é dado pela
função de duas variáveis aleatórias correlacionadas, o ativo e o passivo (provisões
matemáticas).
1),( −×==== MAM
AFSMAgG
em que
smatemática provisões
ativo
==
M
A
e
),(),( MAgdMMdAAgdG −++=
57
Para analisar esta função sob a luz do que foi exposto, devemos ficar atentos à principal
diferença. Até o momento, trabalhamos com funções de duas variáveis, uma determinística e
uma aleatória, sendo estas, neste contexto, variáveis independentes. A partir de agora, ainda
que continuemos a trabalhar com duas variáveis, ambas serão variáveis aleatórias (A e M).
Devemos levar em conta, ainda, que estas variáveis serão correlacionadas (dependentes).
Neste caso, não devemos nos esquecer o termo da série de Taylor representativo da
correlação. Senão, vejamos: sejam A e M variáveis quaisquer e G = g(A,M) uma função destas
variáveis; para cada variação de A e/ou M, teremos um movimento correspondente em G =
g(A,M), cujo valor aproximado será obtido pela Regra de Taylor.
( )[ ]+−++×′≈ )(,)( A,MgdMMdAAgA,MgdG
( )[ ]2 M)(A,,)(2
1gdMMdAAgA,Mg −++×′′+
2
2
222
2
2
2
1
2
1dM
M
GdAdM
MA
GdA
A
GdM
M
GdA
A
GdG
∂∂+
∂∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂≈
∂∂+
∂∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂≈ 2
2
222
2
2
22
1dM
M
GdAdM
MA
GdA
A
GdM
M
GdA
A
GdG
Utilizando as conclusões já estabelecidas acerca da função de uma variável aleatória que
obedece a um movimento browniano geométrico, será simples substituir na equação acima a
função diferencial representativa do movimento do ativo, já incorporando o componente
estocástico:
Equação 30: Movimento do Ativo
AdzAdtdA AA σµ +=
ww
vw
TA
TA
tt
tt
×∑×=
×=
σ
µ
58
onde wt
é o vetor coluna onde encontramos representada a participação individual de cada
classe de ativo no total, v é o vetor da rentabilidade esperada de cada ativo e ∑ é a matriz de
variâncias e covariâncias para os retornos dos ativos.
No caso do passivo, o comportamento será dado de forma idêntica ao comportamento
de um título de renda fixa, onde o fator de risco vem da taxa de juros. Como ilustrado no
Apêndice 4, há formas mais precisas para demonstrar o comportamento de um título de renda
fixa, mas a forma mais simples e intuitiva é a representação por um movimento browniano
geométrico onde o termo de arrastamento é a taxa de juros do título.
Equação 31: Movimento do Passivo
MdzMdtdM MM σµ +=
rM =µ
rrM DMr
M σσσ −=××∂
∂= 1
em que
duração=D
Desdobrando o diferencial de FS, temos:
+∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂≈ AAAA Adz
AFS
dtt
FSA
A
FSA
AFS
dFS σσµ 22
2
2
21
MMMM MdzMFS
dtt
FSM
M
FSM
MFS σσµ
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+ 22
2
2
21
Reorganizando os fatores:
+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂≈ dt
tFS
MMFS
MMFS
AAFS
AAFS
dFS MMAA 221
21 22
2
222
2
2
σµσµ
MMAA MdzMFS
AdzAFS σσ
∂∂+
∂∂+
59
Esta equação estaria completa se as variáveis A e M fossem independentes. Havendo um
mínimo de correlação entre elas, deveremos adicionar o termo apropriado, que será dado pelas
derivadas parciais mistas de FS em relação a A e M.
( ) ( )[ ]MMMAAA MdzMdtAdzAdtxMA
FSdAdM
MAFS σµσµ +×+
∂∂∂=
∂∂∂ 22
Lembrando que os termos dt de ordem superior a um podem ser eliminados, ficamos com:
MAMA dzAMdzMA
FSdAdM
MA
FS σσ∂∂
∂=∂∂
∂ 22
Admitindo que o termo dz seja igual tanto para A quanto para M, teremos:
AMdtMA
FSdAdM
MAFS
MAσσ∂∂
∂=∂∂
∂ 22
Então:
+
∂∂+
∂∂+
∂∂≈ dt
t
FSM
M
FSA
A
FSdFS MA 2µµ
+
∂∂∂
+∂∂
+∂∂
+ dtAMMASF
MM
SFA
ASF
MAMA σσσσ2
22
2
222
2
2
21
21
MMAA MdzM
FSAdz
A
FS σσ∂∂+
∂∂+
onde
t
FSAM
MA
FSM
M
FSA
A
FSM
M
FSA
A
FSMAMAMAFS ∂
∂+
∂∂∂×+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂= 22
2
1 222
2
222
2
2
σσσσµµµ
MMAAFSFS MdzM
FSAdz
A
FSdz σσσ
∂∂+
∂∂=
60
Sendo 1−=∂
∂M
A
FS; 0
2
2
=∂
∂A
FS; 2−−=
∂∂
AMM
FS; 3
2
2
2 −=∂∂
AMM
FS e 2
2−−=
∂∂∂
MMA
FS, então,
admitindo que 0=∂
∂t
FS , teremos:
( )[ ]
( )( ) ( )[ ]MAMMAFS
MAMMAFS
MAMMAFS
MAMMAFS
FS
AM
AMAMAMAM
AMxMMAMMAMAM
σσσµµµσσσµµµ
σσσµµµ
σσσµµµ
−+−=
−+−=
−+−=
−++−=
−
−−−−
−−−−
2
21
12111
222321 222
1
Substituindo µM e σM:
[ ]rArAFS DDrFS σσσµµ ++−= 22
( ) ( )[ ]rArAFS DDrFS σσσµµ ++−= 22
O termo estocástico de FS será dado por:
( )( )MMAAFSFS
MMrAAFSFS
MMAAFSFS
dzdzFSdz
dzdzAMdz
MdzAMAdzMdz
σσσσσσ
σσσ
−=−=
−=−
−−
1
21
Substituindo σM, temos:
[ ]rrAAFSFS dzDdzFSdz σσσ += .
Assumindo que dzA é igual a dzM:
[ ]dzDFS rAFS σσσ +=
de modo que
( ) ( )[ ] [ ]dzDFSdtDDrFSdFS rArArA σσσσσµ ++++−≈ 22
61
Lembrando que ww
vw
TA
TA
tt
tt
×∑×=
×=
σ
µ, temos:
( ) ( )[ ] [ ]dzDwwFSdtDwwDrvwFSdFS rT
rT
rT σσσ +×∑×+××∑×++−×≈ tttttt 22
APÊNDICE 4: MOVIMENTOS DE UM TÍTULO DE RENDA FIXA
Há uma semelhança muito forte entre os critérios de precificação de um título de renda fixa e
um derivativo: ambos derivam do comportamento de uma variável subjacente cuja relação
funcional pode ser encontrada pelo Lema de Ito, exposto no Apêndice 3. Uma opção de
compra (“call”) de uma ação tem como variável subjacente a cotação desta ação no mercado,
enquanto para um título de renda fixa a variável determinante será a taxa de juros praticada.
Derivativo Título de Renda Fixa
Processo de Ito
dztSdttSdS ),(),( σµ +=
Movimento Browniano
Geométrico
dzSdtdS SS σµ +=
Processo de Ito
dztrdttrdr ),(),( σµ +=
Movimento Reversão à Média
( ) dzdtrdr rσθκ +−=
Pelo Lema de Ito, o preço da opção de compra variaria de acordo com o preço do ativo
subjacente de acordo com a fórmula:
dztSS
Cdt
t
CtS
S
CtS
S
CdC ),(),(
2
1),( 2
2
2
σσµ∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂= .
Tendo em vista que o ativo subjacente segue um movimento browniano geométrico, teremos:
SdzS
Cdt
t
CS
S
CS
S
CdC SSS σσµ
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂= 22
2
2
2
1
62
Para encontrarmos o valor do derivativo, devemos resolver a equação diferencial parcial
(EDP) dada, pois não é possível encontrar as derivadas parciais envolvidas na fórmula. A
fórmula fechada para a resolução desta equação foi a principal contribuição de Balck e
Scholes.
Para um título de renda fixa, utilizando também o Lema de Ito, teremos:
dztrr
Pdt
t
Ptr
r
Ptr
r
PdP ),(),(
2
1),( 2
2
2
σσµ∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂=
Este é o limite das semelhanças entre os critérios de precificação de um derivativo e de um
título de renda fixa, pois diferentemente do derivativo, há uma fórmula explícita para a
determinação do preço em relação à variável subjacente, que é a taxa de juros, que é
( )tTrT
tt eCF −−
=∑
1
. Isto permite que encontremos as derivadas parciais da EDP dada por:
( ) dzr
Pdt
t
P
r
Pr
r
PdP rr σσθκ
∂∂+
∂∂+
∂∂+−
∂∂= 2
2
2
2
1
ou, simplificadamente:
Equação 32: Movimento Título de Renda Fixa pelo Lema de Ito
dzr
Pdt
t
P
r
P
r
PdP rrr σσµ
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂= 2
2
2
2
1
Neste contexto, temos que o termo de arrastamento é dado por:
( )t
P
r
P
r
PtP rr ∂
∂+∂∂+
∂∂= 2
2
2
2
1, σµµ
e o termo estocástico:
( ) rr
PtP σσ
∂∂=,
63
Outra forma de representar o comportamento do preço seria pelo movimento browniano
geométrico dado pela fórmula
PdzPdtdP PP σµ +=
onde o termo de arrastamento será
rPrPP
PP P
t
tP =⇒×=×
=
−
µµ1
ln
P
t
P
r
P
r
P
rt
P
r
P
r
PrPP
rr
PrrP
∂∂+
∂∂+
∂∂
==⇒∂∂+
∂∂+
∂∂==
2
2
2
2
2
2 2
1
2
1σµ
µσµµ
e a volatilidade será
rPrP Pr
P
r
PP σσσσ ××
∂∂=⇒
∂∂= 1
.
Sabemos que a fórmula da duração modificada é
Pr
PD
1×∂∂=− ,
de modo que a fórmula do comportamento do preço será
dzDrPdtdP rσ−= .
em que
rP =µ e rP D σσ ×=