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Fundamentos de Gestão de Carteiras

Tópicos de Resolução dos Exercícios

Raquel M. Gaspar

Janeiro 2017

Estas soluções não são isentas de erros e/ou typos. Agradece-se aos alunos que durante o

estudo identifiquem essas gralhas que as assinalem e entreguem à docente, no dia do exame,

uma lista. Obrigada!

1 – Teoria Média Variância

1.1 Rendimento e Risco

Exercício 1.1

a) A rendibilidade esperada é a soma ponderada das rendibilidades, ponderada pela probabilidade de ocorrência de cada cenário.

16% 0.25 + 12% 0.5 + 8% 0.25 = 12% ; = 6%; = 14%; = 12% .

O desvio-padrão é a raiz quadrada da soma do quadrado das rendibilidades menos a rendibilidade media, ponderado pela probabilidade.

= [(16% 12%)2 0.25 + (12% 12%)2 0.5 + (8% 12%)2 0.25]1/2 = 81/2 = 2.83%

= 21/2 = 1.41%; = 181/2 = 4.24%; = 10.71/2 = 3.27% .

b) A covariância entre os ativos 1 e 2 vem

= (16 12) (4 6) 0.25 + (12 12) (6 6) 0.5 + (8 12) (8 6) 0.25 = 4

Procedendo de igual forma para todos os pares de ativos, temos:

1 2 3 4

1 8 4 12 0

2 4 2 6 0

3 12 6 18 0

4 0 0 0 10.7 A correlação entre os ativos 1 e 2 é:

.

A matriz de correlações para todos os pares de ativos é:

1R 2R 3R 4R

2

1 2 3 4

1 1 1 1 0

2 1 1 1 0

3 1 1 1 0

4 0 0 0 1 c) Carteira Rendibilidade Esperada

A 1/2 12% + 1/2 6% = 9% B 13% C 12% D 10% E 13%

F 1/3 12% + 1/3 6% + 1/3 14% = 10.67% G 10.67% H 12.67%

I 1/4 12% + 1/4 6% + 1/4 14% + 1/4 12% = 11%

Carteira Variância

A (1/2)2 8 + (1/2)2 2 + 2 1/2 1/2 ( 4) = 0.5 B 12.5 C 4.6 D 2 E 7

F (1/3)2 8 + (1/3)2 2 + (1/3)2 18 + 2 1/3 1/3 ( 4)

+ 2 1/3 1/3 12 + 2 1/3 1/3 ( 6) = 3.6 G 2 H 6.7

I (1/4)2 8 + (1/4)2 2 + (1/4)2 18 + (1/4)2 10.7

+ 2 1/4 1/4 ( 4) + 2 1/4 1/4 12 + 2 1/4

1/4 0 + 2 1/4 1/4 ( 6) + 2 1/4 1/4 0 + 2 1/4

1/4 0 = 2.7

d) Todas as correlações são extremas, -1, 0 ou 1. Ver nos slides das aulas a representação gráfica de carteiras de 2 ativos. No caso dos 2 ativos, é importante saber não só a representação gráfica mas também a dedução analítica da expressão e interpretação. Para os casos de carteiras de 3 e 4 ativos é necessário saber que o conjunto de todas as carteiras possíveis passa a ser uma área limitada (pelo teorema do envelope) por uma hipérbole que representa-se a fronteira de carteiras eficientes.

Exercício 1.2

a) A fórmula da variância de uma carteira homogénea que consta do formulário pode ser reescrita como:

sendo a media das variâncias dos ativos individuais, a média das covariâncias entre todos

os pares de ativos e N o número de ativos da carteira.

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Sabemos que a media das variâncias é 50, logo = 50 e como a média das covariâncias é 10

temos = 10. A variância de carteiras homogéneas para as carteiras pedidas é:

N 5 10 20 50 100

18 14 12 10.8 10.4

b) A variância da carteira de risco mínimo é igual à média das covariâncias, logo a carteira de

risco mínimo tem um risco de . Ter um risco apenas 10% superior ao

da carteira de risco mínimo é ter .

Para saber qual o número de ativos de uma carteira que respeite esta condição temos que resolver:

Logo, a carteira deverá ter pelo menos 20 ativos.

Exercício 1.3

a) Se considerarmos carteiras de apenas um ativo então média das variâncias das carteiras será

idêntica à média das variâncias dos ativos individuais, . No entanto, em carteiras

homogéneas com grande número de ativos, a variância das carteiras tenderá para a média das

covariâncias entre todos os pares de ativos da carteira, .

Assim sendo, a “fracção da variância da carteira que pode ser diversificado através de uma

carteira suficientemente grande” é dada pelo seguinte rácio:

É este rácio que em Itália é de 60% e na Bélgica 80%.

b) Igualando o rácio acima às percentagens dadas e resolvendo em ordem a temos

para os ativos italianos e para os belgas.

Como a medias das variâncias individuais, , em qualquer dos países é de 50, temos que a

covariância média em Itália é de e na Bélgica de

. Como temos as variâncias médias e covariâncias médias dos

dois países basta-nos utilizar a fórmula da variância de carteiras homogéneas para obter:

Número de Ativos (N) Itália : Bélgica :

5 26 18 20 21.5 12

4

100 20.3 10.4

Exercício 1.4

Como vimos no Exercício 1.2 uma fórmula alternativa de escrever a variância de carteiras

homogéneas é .

Da análise da tabela sabemos a variância média, e a covariância média,

já que há medida que o número de ativos aumenta temos .

Com estes dados sabemos, e para descobrir o número de activos da carteira com variância média inferior a 8 temos que resolver:

Assim sendo, o número mínimo de ativos é 42.

Exercício 1.5

À partida sabemos que e . Também nos é dito que os activos A e B estão

combinados de forma a anular o risco da carteira. Ora, isso diz-nos que AB=-1. Então, o peso de cada ativo na carteira vai ser:

Como , temos

Ou seja, xA=62,5% e xB=37,5%, dado que nos interessa a solução em que xA > 0 e xB > 0.

2 46.619p

7.058ij2lim p ij

N

5

1.2 Oportunidades de Investimento e Fronteiras Eficientes

Exercício 1.6

a) Do Exercício 1.1 temos , , e

. Também sabemos que .

Logo, o conjunto de oportunidades de investimento é composto por dois segmentos de recta. Analiticamente temos: Graficamente temos:

A solução final, vem:

b) A carteira que tem risco mínimo é uma carteira que tem risco nulo, ou seja, .

Graficamente (ver gráfico acima) corresponde ao ponto C. Portanto, temos que:

Logo, a carteira é composta em 33% pelo activo 1 e em 67% do activo 2. A rendibilidade esperada vai ser de:

c) As carteiras situadas no segmento de recta CB dominam as carteiras situadas no segmento de recta AC porque perante duas carteiras com o mesmo risco, os investidores preferem a carteira com maior taxa de rentabilidade esperada. Assim, as carteiras eficientes são as que se situam no segmento de recta CB.

1 12%R 2 6%R

0p

B

A

C = 8%

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Exercício 1.7

a) Para resolver esta alínea vamos começar por determinar as rendibilidades esperadas, as variâncias e a covariância. Assim, temos que:

Daqui pode-se ver que as rendibilidades dos dois ativos estão positiva e perfeitamente correlacionadas, de modo que o conjunto de oportunidades de investimento, combinando os

ativos 1 e 2, é dado por uma recta que passa nos pontos e .

Analiticamente temos: Graficamente temos:

b) Admitindo que não há operações de short-selling, pode-se ver no gráfico anterior que a carteira com risco mínimo vai ser constituída somente pelo ativo 2. Consequentemente

Se admitirmos operações de short-selling, i.e., se admitirmos endividamento, vamos ter:

c) Como é sabido a fronteira eficiente coincide com o conjunto de oportunidades de investimento e como é dito no enunciado os investidores preferem mais rendimento a menos e

1 1

2 2

120 14 8 14%

31

16 12 8 12%3

R E R

R E R

( 24,14) ( 32 / 3,12)

2 p 232

12%, ( rendimento esperado) , (risco)3

pR R

Graficamente, temos que:

2

1

8%

%122 R

%141 R

2 1

pR

p

8%

7

são avessos ao risco. Então as carteiras eficientes são todas as carteiras que estão situadas na

recta .

Exercício 1.8

Como vimos no Exercício 1.7 o conjunto de oportunidades de investimento gerado por dois ativos positiva e negativamente correlacionados é dado por duas rectas. Para derivar as equações, comecemos pela equação do desvio-padrão nesse caso.

Substituindo agora o na fórmula da rendibilidade esperada de uma carteira de dois ativos

temos:

O primeiro termo do lado direito da equação é a ordenada na origem, enquanto o segundo representa do declive, que, tanto pode ser positivo quanto negativo, dando origem às duas rectas esperadas.

Exercício 1.9

a) Ver slides das aulas e resoluções anteriores. b) (i) Quando ρ é 1, a combinação menos arriscadas dos ativos 1 e 2 é investir 100% no ativo 2

(assumindo que não há short sales). Logo . O risco desta carteira é obviamente

equivalente ao risco do próprio ativo dois .

(ii) Quando ρ é -1, é possível achar uma combinação dos dois ativos que elimina totalmente o risco. Através da fórmula da variância de dois ativos e igualando a zero, podemos facilmente descobrir que na carteira de variância mínima temos

e .

Como esta combinação elimina totalmente o risco, temos .

1X

1 20, 1X X

8

(iii) Quando ρ é 0, sabemos que existe uma combinação dos dois ativos que minimiza o risco, mas onde o risco não é 0%. Assim sendo temos que começar por escrever a fórmula do risco de uma

carteira de dois ativos .

Derivando e igualando a zero podemos achar o ponto e risco mínimo, mas mais fácil ainda é

achar o risco mínimo através da variância mínima. A variância é ,

derivando e igualando a zero temos

.

No caso concreto deste exercício, com os dados da tabela temos

e .

Para obter o risco mínimo basta substituir estes valores

.

Exercício 1.10

Se a rendibilidade do ativo sem risco for de 10% o ativo sem risco é o único ativo eficiente. O ativo 1 tem a mesma rendibilidade esperada, mas com risco e o ativo 2 tem menor rendibilidade esperada apesar de ser um ativo de risco.

Exercício 1.11

Para determinarmos a única carteira eficiente composta só por ativos de risco, temos que maximizar o índice de Sharpe de carteiras compostas pelos ativos A,B,C sujeito à restrição que a soma, em módulo, das proporções investidas nos diversos ativos tem que somar um (definição de Lintner). É sabido que das condições de primeira ordem do problema de maximização resulta o seguinte sistema:

A carteira eficiente composta só por ativos de risco, e usando a definição de Lintner para as vendas a descoberto é, para cada um dos RF sugeridos:

RF = 6% RF = 8% RF = 10%

Z1 3.510067 1.852348 0.194631

Z2 1.043624 0.526845 0.010070

Z3 0.348993 0.214765 0.080537

9

X1 0.715950 0.714100 0.682350

X2 0.212870 0.203100 0.035290

X3 0.711800 0.082790 0.282350

Carteira Eficiente (tangente)

Rendibilidade Esperada

6.105%

6.419%

11.812%

Volatilidade 0.737% 0.802% 2.971%

OBS: No ficheiro de excel estão ainda resolvidos o caso de vendas a descoberto sem qualquer

tipo de limitação.

Exercício 1.12

Uma vez que as carteiras A e B são eficientes, sabemos que se pode deduzir toda a fronteira

através de combinações de A e B. Uma vez que XB = 1 XA é fácil deduzir qual a combinação de A e B que tem variância mínima (MV). Para isso basta derivar a formula da variância da carteira em

ordem a e igualar a zero. A solução vem

A rendibilidade esperada e o risco da carteira de variância mínima são, respectivamente,

e

Para determinar a expressão algébrica da fronteira eficiente (FE) temos que considere todas as combinações de A e B, ou seja qualquer carteira p que resolva o seguinte sistema:

A FE é descrita pelo sistema acima para rendibilidades esperadas superiores à rendibilidade

esperada da carteiras de variância mínima, .

Como as vendas a descoberto não estão limitadas contínua para além do ponto de maior risco (ver representação gráfica abaixo).

AX

11 1

3GMV GMVB AX X

7.33%MVR 3.83%MV

7.33%pR

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Representação Gráfica

1.3 Critérios de Segurança

Exercício 1.13

a) Dado que as rendibilidades das carteiras A e B que nos dão a fronteira eficiente e seguem uma distribuição normal. Então sabemos que:

Graficamente, serão todas as carteiras na parte de dentro da hipérbole (incluído a própria hipérbole) mas que verificam a restrição acima (i.e. que se encontram acima da reta

).

5% 1.0343p pR

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b) Neste caso temos

O problema de otimização acima, é em tudo semelhante a maximizar um “Índice de Sharpe”

(para um “ ” ). Das condições de primeira ordem obtemos os pesos da carteira que

minimiza a probabilidade de retornos abaixo de 5%.

Neste caso, a carteira que minimiza a probabilidade de retornos inferiores a 5% é, então, a combinação de A e B em que se investe 71.43% em A e o resto em B.

c) O RAR (return-at-risk) associado a um é dado por

Note-se que , onde

representa a função de distribuição na Normal standardizada.

Assim a restrição é dada por .

Sabemos ainda que o verificará a restrição em igualdade no caso das distribuições

contínuas, como é o caso da distribuição Gaussiana. Logo, na realidade temos

.

--- solução incompleta ---

OBS: espera-se que o aluno saiba identificar a solução graficamente. A dedução analítica

exata é complexa e encontra-se fora do âmbito de FGC

5%fR

15%

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d) Critério subjacente à alínea a) é o Telser, à alínea b) o de Roy e à c) o de Kataoka.

e) Caso as rendibilidades não sejam Gaussianas, as probabilidades subjecentes aos critérios não dependerão apenas da rendibilidade esperada e volatilidade, não sendo, por isso representáveis graficamente no plano da teoria média-variância.

Exercício 1.14

OBS: Ver ficheiro de excel

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1.4 Alargamento do Universo de Seleção

Exercício 1.15

Por diversificação entende-se a combinação de títulos de risco diferente numa carteira no

sentido de manter o rendimento e diminuir o risco total da carteira.

No limite, com = -1, a diversificação é máxima porque os títulos respondem de forma inversa

ao rendimento de mercado.

Por sua vez, a diversificação internacional acontece quando o número de títulos da carteira (N)

tende para infinito. Ou seja, só assim é possível reduzir o risco da carteira a um valor mínimo

coincidente com a covariância média, porque:

Se multiplicando e dividindo por

temos:

.

E quando N o primeiro termo tende para zero e o segundo pata a covariância média, ou

seja, a variância da carteira, , tende para a covariância média.

Exercício 1.16

a) Determinemos, primeiro, as rendibilidades “brutas” (i.e. 1+rendibilidade habitual) cambiais do ponto de vista de cada um dos investidores:

Período

(1 + RX)

(Investidor Americano)

(1 + R*X)

(Investidor Inglês)

1 2.5/3 = 0.833 3/2.5 = 1.200

2 2.5/2.5 = 1.000 2.5/2.5 = 1.000

3 2/2.5 = 0.800 2.5/2 = 1.250

4 1.5/2 = 0.750 2/1.5 = 1.333

5 2.5/1.5 = 1.667 1.5/2.5 = 0.600

A rendibilidade total, para o investidor Americano, de um investimento no Reino Unido vem dada

por (1 + RX)(1 + RUK) 1.

De igual modo, a rendibilidade total para o investidor inglês, de um investimento nos Estados

Unidos, é: (1 + R*X)(1 + RUS) 1.

1N

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Rendibilidades Totais para o Investidor Americano

Período Investimento EUA Investimento Reino Unido

1 10% (0.833)(1.05) 1 = 12.5%

2 15% (1)(0.95) 1 = 5.0%

3 5% (0.8)(1.15) 1 = 8.0%

4 12% (0.75)(1.08) 1 = 19.0%

5 6% (1.667)(1.1) 1 = 83.3%

Média 7.6% 7.76%

Rendibilidades Totais para o Investidor Inglês

Período Investimento UK Investimento EUS

1 5% (1.2)(1.1) 1 = 32.0%

2 5% (1)(1.15) 1 = 15.0%

3 15% (1.25)(0.95) 1 = 18.75%

4 8% (1.333)(1.12) 1 = 49.3%

5 10% (0.6)(1.06) 1 = 36.4%

Média 6.6% 15.73%

b) Para o Investidor Americano

Para o investidor Inglês

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Exercício 1.17

Podemos utilizar a seguinte desigualdade

Se se verificar a desigualdade, então o investimento no estrangeiro será atrativo do ponto de vista

de um investidor americano. e são dados do enunciado.

Das tabelas obtemos:

N N,US

Austria 26.19 0.142 France 25.54 0.385 Japan 23.28 0.235 U.K. 22.01 0.564

Das tabelas podemos obter: US = 13.59. Como RF = 6%, temos:

Austria 0.305 0.129 France 0.392 0.350 Japan 0.343 0.214 U.K. 0.409 0.513 Para todos os países excepto UK, a desigualdade verifica-se pelo que, para investidor Americano,

todos os outros países são atrativos.

Exercício 1.18

Para responder temos que achar a carteira de variância mínima. Como só temos dois ativos:

sendo X1 a proporção investida no ativo 1 e X2 = 1 - X1.

Para as ações, US = 13.59, N = 16.70 e N,US = 0.423. Logo, a carteira de variância mínima é:

Para as obrigações, US = 6.92, N = 12.87 e N,US = 0.527. So the minimum-risk portfolio is:

Para os bilhetes do tesouro, US = 1.01, N = 10.01 e N,US = 0.220. So the minimum-risk portfolio is:

USR NR

N F

N

R R

22 1 2 12

1 2 21 2 1 2 122

GMVX

2

2 2

19.0 15.39 19.0 0.4230.6771 67.71%

15.39 19.0 2 15.39 19.0 0.423

GMVUSX

1 0.3229 32.29%GMV GMVN USX X

0.9924 99.24%GMVUSX

1 0.0076 0.76%GMV GMVN USX X

0.9673 96.73%GMVUSX 1 0.0327 3.27%GMV GMV

N USX X