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INVESTIMENTOS Gestão de carteiras de obrigações Quando estudámos a teoria da carteira aprendemos a determinar o conjunto de carteiras eficientes. As carteiras eficientes podem incluir qualquer tipo de activos incluindo, como é óbvio, as obrigações. Por conseguinte, a teoria da carteira pode ser aplicada na gestão de carteiras de obrigações. Mas, para além da teoria da carteira, existem um conjunto de técnicas de gestão de carteiras de obrigações que são específicas deste tipo de activas. Neste capítulo falaremos das técnicas desenvolvidas para a gestão de carteiras de obrigações e da aplicação da teoria da carteira à gestão de carteiras de obrigações. O capítulo começa por discutir uma das maiores fontes de risco das obrigações: o risco resultante de variações não antecipadas na yield curve. Vamos ver como é que se pode medir este tipo de risco de uma obrigação e como é que um investidor se pode proteger contra o risco resultante de variações na curva de taxas de juro. De seguida, estudaremos algumas estratégias de gestão activa, incluindo a teoria da carteira. O grande desafio na utilização da teoria da carteira na gestão de carteiras de obrigações está na determinação das rentabilidades esperadas e do risco da carteira. João Rosa Lopes 1

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Elementos de estudo sobre gestao de carteiras obrigacoes

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Gesto de carteiras de obrigaes

INVESTIMENTOS

Gesto de carteiras de obrigaesQuando estudmos a teoria da carteira aprendemos a determinar o conjunto de carteiras eficientes. As carteiras eficientes podem incluir qualquer tipo de activos incluindo, como bvio, as obrigaes. Por conseguinte, a teoria da carteira pode ser aplicada na gesto de carteiras de obrigaes. Mas, para alm da teoria da carteira, existem um conjunto de tcnicas de gesto de carteiras de obrigaes que so especficas deste tipo de activas. Neste captulo falaremos das tcnicas desenvolvidas para a gesto de carteiras de obrigaes e da aplicao da teoria da carteira gesto de carteiras de obrigaes.

O captulo comea por discutir uma das maiores fontes de risco das obrigaes: o risco resultante de variaes no antecipadas na yield curve. Vamos ver como que se pode medir este tipo de risco de uma obrigao e como que um investidor se pode proteger contra o risco resultante de variaes na curva de taxas de juro.

De seguida, estudaremos algumas estratgias de gesto activa, incluindo a teoria da carteira. O grande desafio na utilizao da teoria da carteira na gesto de carteiras de obrigaes est na determinao das rentabilidades esperadas e do risco da carteira.

1. Sensibilidade da rentabilidade a variaes na yield Curve

Mesmo quando uma obrigao especifica os cash-flows futuros, a rentabilidade da obrigao num dado perodo de tempo uma varivel aleatria. As duas fontes de risco mais importantes so o risco de crdito (default risk) e o risco da taxa de juro o risco da taxa de juro decorre da incerteza relativamente s taxas de juro futuras. Este risco medido pela variabilidade dos preos dos produtos financeiros que resulta de variaes no antecipadas nas taxas de juro futuras. Este risco est associado s alteraes nas condies de mercado, no resultando das caractersticas do emitente.

Uma segunda componente do risco da taxa de juro resulta do facto de haver incerteza quanto taxa a que ser possvel reinvestir os cash-flows obtidos ao longo da vida da obrigao. Este risco frequentemente designado por risco de reinvestimento.

O risco de crdito est associado incerteza quanto evoluo futura dos cash-flows que o emitente paga. Em situaes de ruptura financeira da empresa que emitiu as obrigaes, a empresa pode no conseguir pagar todos os cash-flows prometidos aos obrigacionistas. Este tipo de risco explica a diferena entre as taxas de juro oferecidas por ttulos do Estado e por ttulos de empresas. Os ttulos do Estado so considerados sem risco de crdito, os das empresas tm sempre algum risco. Por conseguinte, muito importante avaliar a probabilidade de default da empresa emitente.

A rentabilidade de uma obrigao num dado perodo depende do juro pago e da variao do preo da obrigao nesse perodo. As variaes no preo da obrigao de t para t + 1 podem resultar simplesmente da passagem do tempo (sem variaes nas taxas de juro esperadas) ou resultar de alteraes nas taxas de juro.

S para vermos a intuio para o facto de a passagem do tempo levar a alteraes no preo das obrigaes consideremos uma obrigao de cupo zero a trs anos e vejamos como que o preo da obrigao varia ao longo do tempo, se a taxa de juro se mantiver.Vamos admitir que a taxa spot 10% para todas as maturidades (a yield curve plana) e que o valor nominal 1000 euros. A tabela seguinte apresenta a evoluo do preo ao longo do tempo, se a yield curve no sofrer alteraes:

Que argumento que usmos para concluir que o preo da obrigao a trs anos em t = 1 826.45? Porque, nesse momento do tempo, ela equivalente a uma obrigao de cupo zero a dois anos.Repare-se que medida que nos aproximamos da maturidade o preo aproxima-se do valor nominal, o que no espanta porque quanto mais nos aproximarmos de t = 3 maior o valor actualizado do cash-flow 1000.

As variaes de preo apresentadas na tabela anterior so antecipadas. Repare-se que se no houver alterao no antecipada nas taxas de juro no h incerteza na rentabilidade que se vai obter (seria sempre 10%).

Mas o preo das obrigaes tambm pode variar por ocorrerem variaes no antecipadas nas taxas de juro (ou seja, haver uma deslocao no antecipada da yield curve). Vamos admitir, por exemplo, que decorrido um ano houve uma alterao das taxas spot das diferentes maturidades para 12%. Isso implicaria que o preo da obrigao no final do primeiro perodo seria:

A diferena 797.19 - 826.45 = -29.26 uma variao de preo no antecipada, que ocorreu por causa da variao no antecipada na curva das taxas de juro. Note-se que, como a taxa de juro spot aumentou, o preo da obrigao baixou. A razo simples: o investidor pode agora comprar uma obrigao de cupo zero com valor nominal 1000 e maturidade de dois anos pelo preo 797.19. Como a obrigao em causa oferece exactamente o mesmo cash-flow que a obrigao de dois anos, tem de ter o mesmo preo. A Figura 11.1 representa graficamente o preo da obrigao como funo da taxa de juro.

Figura 1: Relao entre o preo da obrigao e a taxa de juro.

A Figura 1 representa graficamente o preo da obrigao como funo da taxa de juro.

Repare-se que o aumento no antecipado na taxa de juro faz com que a rentabilidade realizada no primeiro perodo seja apenas:

Este decrscimo na rentabilidade realizada explicado pela descida no antecipada no preo da obrigao (-29.26). Uma pergunta: se no houver alteraes adicionais na yield curve, qual a taxa de rentabilidade realizada nos perodos 2 e 31?

claro que, se em t = 1 a taxa spot para as vrias maturidades tivesse descido, haveria mais-valias no antecipadas (o preo subiria mais do que o antecipado) e, por conseguinte, a taxa de rentabilidade realizada no primeiro perodo seria superior a 10%.

Este pequeno exemplo mostra que, havendo variaes no antecipadas nas taxas de juro, a taxa de rentabilidade realizada num dado perodo uma varivel aleatria. Mas sendo assim como que podemos medir o risco de uma obrigao? A seco seguinte apresenta uma medida do risco de uma obrigao: a durao.

1.1 Durao

J sabemos que o preo de uma obrigao depende da taxa de juro. Mas qual a sensibilidade do preo das obrigaes, e consequentemente da sua rentabilidade, a variaes na taxa de juro? Nesta seco vamos falar da durao. A durao uma medida da sensibilidade do preo de uma obrigao s variaes na taxa de juro .

Mas antes de definirmos durao conveniente recordarmos um conceito muito importante: a elasticidade.

A elasticidade uma medida da sensibilidade de uma varivel relativamente s variaes de uma outra varivel. Suponhamos que y = f (x), a elasticidade de y relativamente a x indica-nos qual a variao percentual em y, quando x aumenta de 1%. Se considerarmos variaes discretas a elasticidade dada por:

enquanto que, para variaes infinitesimais, a elasticidade dado por:

A durao de uma obrigao indica-nos o decrscimo percentual no preo de uma obrigao, quando (1 + r) aumenta de 1 %. Por outras palavras, a durao o simtrico da elasticidade2 do preo de uma obrigao relativamente a (1 + r):

Durao de uma obrigao de cupo zero Vamos comear por calcular a durao de uma obrigao de cupo zero com maturidade T e valor nominal V. O preo da obrigao em t = O dado por:

onde a taxa de juro a taxa spot, mas para simplificar a notao escrevemos r em vez de r0,T.

Como que varia o preo se a taxa de juro se alterar?

Ora isto implica que:

Ou seja, -T a elasticidade do preo relativamente variao de 1 mais a taxa de juro. Se (1 + r) aumentar 1% o preo da obrigao decresce T%.Mas isto significa que, para uma obrigao de cupo zero, a durao igual maturidade, D = T. Por exemplo, se tivermos uma obrigao de cupo zero com maturidade de trs anos e (1 + r) aumentar de 1%, o preo dessa obrigao decresce 3%.

Repare-se que a variao percentual no antecipada no preo a rentabilidade no antecipada. Conhecendo a durao e a variao percentual em (1 + r) muito simples calcular a rentabilidade no antecipada. De facto, - D indica-nos a variao percentual no preo quando (1 + r) varia 1%, logo se (1 + r) variar x%,, a variao percentual no preo ser D.x. Por outras palavras,

onde Ru a rentabilidade no antecipada.

Durao de Macaulay Como calcular a durao de uma obrigao que oferece cash-flows em vrios momentos do tempo? A resposta a esta pergunta depende da estrutura temporal das taxas de juro e da forma como as taxas spot das vrias maturidades variarem (como que a curva de taxas de juro desloca). Comecemos por considerar um caso relativamente simples: as taxas spot so as mesmas para todas as maturidades, ou seja, a yield curve plana; e as variaes nas taxas spot so iguais para todas as maturidades, ou seja, o deslocamento da yield curve paralelo. Nestas circunstncias, o preo de uma obrigao com maturidade T, e que oferece o fluxo de cash-flows CFl, CF2,, CFT igual a:

onde r a taxa spot que comum a todas as maturidades, ou seja, r = r0,1 = r0,2 =... = r0,TA pergunta a que temos de responder : se (1+r) aumentar de 1 % qual o decrscimo percentual em P0? Repare-se que estamos a admitir que a taxa spot sofre a mesma variao percentual para todas as maturidades. Ora a derivada do preo relativamente a (1 + r) :

o que implica que a elasticidade do preo relativamente a (1+r) :

Ora isto equivalente a dizer que a durao da obrigao igual a:

Ou seja, a durao de uma obrigao uma mdia ponderada da maturidade de cada um dos seus pagamentos (CF1 tem maturidade 1, CF2 tem maturidade 2, ... , CFT tem maturidade T). A ponderao dada a cada uma das maturidades igual proporo do valor da obrigao que explicada pelo pagamento que ocorre naquela maturidade. Por exemplo, o peso dado a t = 2 :

mas isto indica-nos o contributo, em termos proporcionais, do cash-flows recebido em t = 2 para o preo da obrigao.O resultado analtico que obtivemos, para a durao de um obrigao que oferece um fluxo de cash-flows, extremamente intuitivo se recordarmos que uma obrigao com um fluxo de cash-flows (CF1, CF2,,CFT) equivalente a uma carteira de obrigaes de cupo zero com maturidades de 1,2. T perodos. A durao da carteira de obrigaes de cupo zero igual mdia ponderada das duraes de cada uma das obrigaes que compe a carteira, ou seja, igual mdia ponderada das suas maturidades.

A medida de durao definida pela expresso acima conhecida por durao de Macaulay. importante no esquecer as hipteses por detrs desta frmula: a yield curve plana e a variao nas taxas de juro corresponde a uma deslocao paralela de toda a yield curve.

evidente que, quando uma obrigao paga juros, a sua durao inferior maturidade da obrigao. Enquanto que a maturidade nos indica o momento em que recebido o ltimo pagamento prometido pela obrigao, a durao diz-nos em mdia quanto tempo demora a receber o fluxo de cash-flows prometidos pela obrigao. Se a obrigao pagar cash-flows antes da maturidade, a sua durao inferior a T. O exemplo seguinte ilustra esta ideia.

Exemplo 1 Consideremos uma obrigao com maturidade de 3 anos, com valor nominal de 1000 e com taxa de cupo 10%, sendo os juros pagos anualmente. Qual a durao desta obrigao?

Podemos comear por calcular o preo da obrigao:

A durao :

Repare-se que a durao inferior a 3 anos, mas no muito menor porque o peso dos cash-flows recebidos no terceiro perodo bastante grande.

A durao da obrigao seria bastante diferente se 50% do capital fosse reembolsado em t = 2. Esta alterao anteciparia parte do reembolso, o que faria baixar a durao da obrigao. O leitor pode confirmar que, nestas condies, o preo da obrigao seria 1037.56 e a durao seria 2,435.A durao depende claramente da maturidade, T, do cash-flow em cada perodo e da taxa de juro. Como que estes factores fazem variar a durao?

Em primeiro lugar, se o cupo aumentar, o peso dos perodos mais prximos no preo vai aumentar; Mas isso significa que a durao menor. Para alm disso, se a taxa de juro aumentar, os perodos que ficam mais distantes vo ter um peso mais pequeno (o futuro mais descontado). Mas isso significa que a durao menor. Por ltimo, em geral, quanto maior for a maturidade maior a durao. Durao de Fisher-Weil

A frmula da durao de Macaulay admite que a yield curve plana e que as deslocaes na yield curve so paralelas. Mas se assumirmos outras hipteses relativamente yield curve e aos seus movimentos obtemos outros resultados.

Se considerarmos que as taxas spot podem variar com a maturidade (a yield curve pode no ser plana), mas que as variaes em termos percentuais das taxas spot so todas iguais, e calcularmos a elasticidade do preo relativamente a essa variao na yield curve obtemos a frmula de durao de Fisher-Weil. Esta frmula bastante semelhante frmula de Macaulay, excepto que agora os cash-flows de perodos diferentes so descontados usando taxas spot eventualmente diferentes. A durao de Fisher- Weil dada por:

curioso notar que se r0,1 = r0,2 = ... = r0,T a durao de Fisher- Weil igual durao de Macaulay. Isto lgico, nesse caso a yield curve plana e, por conseguinte estamos nas condies em que a frmula de Macaulay vlida. Contudo, se a yield curve no for plana, a durao de Fisher-Weil mais adequada.

Para alm das duas frmulas da durao apresentadas h muitas outras, que fazem hipteses diferentes sobre o padro de alterao da yield curve.

1.2 Limitaes da durao como medida de risco Como vimos a durao uma medida da sensibilidade da rentabilidade no antecipada s variaes na taxa de juro e, por conseguinte, indica-nos o risco de uma obrigao relativamente a variaes da taxa de juro.

Uma limitao da durao que a medida de durao a utilizar depende daquilo que se assume relativamente aos deslocamentos da yield curve. Por exemplo, a durao de Macaulay s adequada se a yield curve for plana e os deslocamentos da yield curve forem paralelos.

Outra limitao da durao como medida de risco que a durao s um dos factores que influenciam a variabilidade na rentabilidade no antecipada. O outro factor a variabilidade na taxa de juro. Para um mesmo valor da elasticidade, quanto maior for a volatilidade das taxas de juro, maior o risco da obrigao. Para exemplificar consideremos a comparao entre obrigaes de curta e longa durao. Verifica-se que as taxas spot de curto prazo apresentam uma maior volatilidade que as taxas spot de longo prazo. Mas ento no necessariamente verdade que as obrigaes de longa durao sejam mais arriscadas.

A terceira limitao da durao que ela mede apenas o risco relativamente a variaes na taxa de juro. Mas h outras fontes de risco de uma obrigao. O risco de crdito uma delas.

A ltima limitao da durao que ela nos indica a variao percentual do preo apenas de forma aproximada, e os erros de aproximao podem ser significativos para variaes discretas na taxa de juro. Na seco seguinte veremos com calcular de forma mais aproximada as variaes no preo.

1.3 Convexidade

A durao s uma medida adequada quando as variaes nas taxas de juro so pequenas. De facto, a medida que calculmos usa a ideia de derivada, ou seja admite variaes infinitesimais. O problema que a relao entre o preo e a taxa de juro no linear. Isto implica que, se houver variaes discretas na taxa de juro, o impacto no preo vai ser bastante diferente do que o obtido usando a derivada. Quando usamos s a durao estamos a calcular uma aproximao linear da variao no preo. A Figura 2 ilustra esta ideia. Quando a taxa de juro varia de r0 para r0 + (r, a variao no preo (P0. Se usarmos a durao para estimar a variao no preo, estamos a calcular a variao que ocorreria no preo se a relao entre a taxa de juro e o preo fosse linear: Ou seja, estamos a deslocar-nos ao longo da recta tangente curva do preo, em vez de nos deslocarmos ao longo da curva. Para variaes infinitesimais em r, no h qualquer problema porque na vizinhana do ponto ro a recta tangente aproxima muito bem a curva do preo. Mas, para variaes grandes em ro cometemos um erro de aproximao grande se usarmos a durao para estimar a variao no preo. O erro de aproximao a diferena entre (PD e (PO.

Figura 2: Durao e variao no preo da obrigao.

O facto de a durao no ser adequada para variaes elevadas na taxa de juro leva a que se introduza um termo de correco, frequentemente designado por convexidade. O nome deste termo devido ao facto de a variao percentual do preo ser uma funo convexa da variao percentual em (1 + r). Quando usamos a durao e a convexidade estamos a aproximar a curva do preo por um polinmio de grau 2.A rentabilidade no antecipada dada por:

onde C igual a:

Vejamos um exemplo que ilustra a diferena entre usar s a durao e usar a durao e a convexidade.

Exemplo 2 Consideremos uma obrigao de cupo zero, com valor nominal de 1000 e maturidade de 10 anos, e vejamos o impacto de a taxa juro se alterar de 10% para 12%. Calculemos primeiro a variao percentual no preo (clculo exacto). Os preos da obrigao para cada uma das taxas de juro so:

Logo a variao percentual :

Qual o valor aproximado da variao percentual se usarmos s a durao?

Comecemos por calcular a variao percentual em (1 + r)

Logo:

Por conseguinte, h um erro de aproximao igual a - .18182

Qual o valor aproximado da variao percentual se usarmos a durao e a convexidade? A convexidade neste exemplo :

Logo:

Note-se que embora ainda exista um erro de aproximao ele muito mais pequeno do que quando a convexidade no era levada em considerao.De onde vem a expresso da convexidade? O que estamos a fazer considerar uma aproximao de segundo grau funo que relaciona o preo com a taxa de juro. Designemos por P((1+r)) a funo que relaciona preo com um mais a taxa de juro. Aplicando a frmula de Taylor a esta funo obtemos:

onde h a variao em (1 + r). A expresso anterior equivalente a:

Ou ainda:

Agora basta substituir as expresses do preo, da derivada de primeira e segunda ordem da funo preo e fazer as contas. Ora

substituindo obtemos:

2 Medidas de proteco contra alterao nas taxas de Juro J sabemos que as obrigaes esto sujeitas ao risco da taxa de juro - se a taxa de juro -variar de forma no antecipada o preo da obrigao tambm vai sofrer variaes no antecipadas. Por conseguinte, haver ganhos ou perdas de capital no antecipadas.

Consideremos um indivduo que tem de fazer face a um certo fluxo de pagamentos no futuro e quer usar os cash-flows obtidos com uma carteira de obrigaes para fazer face a esses pagamentos. Como que este agente se pode proteger contra o risco da taxa de juro?

Para sociedades gestoras de fundos de penses estes assuntos so extremamente relevantes. De facto, estas empresas tm de pagar anuidades s pessoas que investiram nesses fundos e j atingiram a idade de reforma. Variaes na taxa de juro podem por em causa a capacidade destas empresas cumprirem os pagamentos prometidos. por isso que elas tentam encontrar maneiras de eliminar o risco da taxa de juro.

2.1 Exact Matching

Exact Matching significa encontrar ao custo mnimo uma carteira que gere cash-flow ao longo do tempo exactamente iguais aos pagamentos que o indivduo necessita fazer. Vejamos um exemplo:

T=lt=2t=3

Pagamentos 100015002000

Carteira A 100015002000

Carteira B 145015501490

r =5% 45050-510

A carteira A uma carteira que gera cash-flows exactamente iguais aos pagamentos A carteira B apresenta cash- flows em excesso do que seria necessrio nos perodos e 2, mas um cash-flows demasiado pequeno no terceiro perodo. Se os montantes e excesso nos perodos iniciais forem suficientes para satisfazer o pagamento adicional I perodo 3, a carteira B tambm pode ser utilizada. Por exemplo, se for possvel investir os montantes poupados nos dois primeiros perodos a uma taxa de 5% a carteira consegue satisfazer o fluxo de pagamentos 450(1.05)2 + 50(1.05) = 548.63 > 510.

Neste caso h o risco de a taxa de reinvestimento ser diferente do previsto, podendo eventualmente impossibilitar o cumprimento dos pagamentos.

A estratgia de exact matching, na verso em que o matching perfeito, uma estratgia passiva, isto , uma vez escolhido o portfolio que faz o matching, mesmo que ocorram variaes na taxa de juro no necessrio refazer a escolha do portfolio par satisfazer os pagamentos.

No entanto, h vrias razes que fazem com que, na prtica, no se deva seguir uma estratgia completamente passiva. Por um lado, os pagamentos prometidos pela obrigao podem no se concretizar de acordo com o prometido, se houver risco c crdito, ou se as obrigaes inclurem uma opo de reembolso antecipado. Pelo outro lado, se o matching estiver dependente da rentabilidade dos cash-flows excedentrios h tambm o risco de reinvestimento.

2.2 Imunizao

Esta estratgia consiste em igualar a durao dos activos durao dos passivos. Se os activos e passivos tiverem a mesma durao, e a durao for de facto uma boa medida da sensibilidade a variaes na taxa de juro, ento alteraes na taxa de juro afectariam da mesma maneira o valor actualizado dos activos e dos passivos.

Para vermos a intuio por detrs da imunizao suponhamos que h um nico pagamento que tem que ser feito daqui a 4 anos. claro que se investirmos numa obrigao de cupo zero com maturidade de 4 anos, e com um valor nominal igual ao do pagamento, no haver qualquer risco de o pagamento no ser cumprido.

Uma alternativa adquirir uma obrigao que tenha uma maturidade superior a 4 anos, mas que tenha uma durao igual a 4 anos. Se a taxa de juro descer os cupes recebidos vo ser reinvestidos a uma taxa de juro mais baixa, logo o valor agregado dos juros quando chegarmos ao perodo 4 vai ser mais baixo do que se esperava. Contudo, h um efeito que joga em sentido contrrio. Se a taxa de juro baixar o preo a que a obrigao vai ser vendida no perodo 4 vai ser mais elevado do que se esperava. Os dois efeitos so de sinal contrrio e de magnitudes aproximadamente iguais.

Se a taxa de juro aumentar, os cupes vo ser reinvestidos a uma taxa de juro mais elevada. Logo o valor acumulado dos juros em t = 4 vai ser mais elevado do que se esperava. Em contrapartida, o preo a que a obrigao vai ser vendida no momento t = 4 vai ser mais baixo do que se esperava. Os dois efeitos no se compensam exactamente, mas fica perto disso!Exemplo 3 Admita-se que um investidor tem de fazer um pagamento de 831.12 no momento t = 4. A taxa spot actual de 10% para todas as maturidades e vamos admitir que os deslocamentos da yield curve so paralelos. Para r = 0.1 o valor actualizado do pagamento 567.67. Se o investidor investir agora 567.67 num activo com uma taxa de rentabilidade de 10% e a taxa de juro no variar ele conseguir efectuar o pagamento - (note-se que ter de reinvestir quaisquer juros recebidos taxa de 10%). O problema que a taxa de juro pode variar. Nesse caso, a nica forma de estar protegido escolher um activo com durao de 4 anos.

Consideremos uma obrigao com maturidade de 5 anos e valor nominal de 500 Admita que a obrigao paga juros anualmente e a taxa de cupo 13.766%.

Note-se que o valor actual desta obrigao 567.67 e a sua durao 4 anos (como a yield curve plana e os deslocamentos paralelos a durao de Macaulay a apropriada):

O que acontece ao valor dos cash-flows recebidos com a obrigao em t = 4 se a taxa de juro se alterar? A tabela seguinte apresenta o que acontece em trs cenrios diferentes r = 9%, r = 10% e r = 11 %:

Repare-se que o valor dos cash-flows recebidos com a obrigao em t = 4 praticamente o mesmo quer a taxa de juro seja 9, 10 ou 11%. Isto explica-se pelo facto de efeito de reinvestimento e do efeito preo se compensarem aproximadamente.

Note-se que a medida da durao que deve ser usada na escolha de portfolio imunizado deve ser aquela que melhor se adequa ao tipo de deslocamentos previstos na yield curve.

Na construo do portfolio imunizado pode levar-se em conta a convexidade. Isso aumenta a proteco contra variaes na estrutura temporal das taxas de juro. Mas claro que h trade-off, porque mais difcil arranjar portfolios em que a durao e convexidade so ambas as mesmas que a durao e convexidade dos passivos.

Uma propriedade que verificada para a maioria das medidas de durao que a durao de uma carteira de obrigaes igual mdia ponderada das duraes da; obrigaes que compe a carteira. Ou seja:

Uma implicao desta propriedade que h muitas formas de construir uma carteira com uma determinada durao. Por exemplo, se tivermos 5 obrigaes em que D1 = 6, D2 = 8, D3 = 10, D4 = 12 e D5 = 14 e quisermos uma carteira com durao igual a 10, h imensas formas de o conseguir. Podemos investir s na obrigao 3, podemos investir em propores iguais nos cinco activos, podemos investir em propores iguais nos activos 2 e 4, e por a adiante.

Muitas vezes, a imunizao apresentada como uma estratgia passiva. Isto falso. Porqu? Ns sabemos que a durao depende da taxa de juro e da maturidade. Isto implica que, mesmo que inicialmente se tenham activos e passivos com a mesma durao, alteraes na taxa de juro podem fazer com que os activos e passivos deixem de ter a mesma durao. Para alm disso, mesmo que no haja alteraes na yield curve, a simples passagem do tempo pode fazer com que a durao de activos e passivos se torne diferente, a no ser que os cash-flows sejam exactamente iguais. Por conseguinte, a imunizao uma estratgia activa. Ao longo do tempo, e cada vez que haja uma alterao na yield curve, necessrio reimunizar.3 Indexao

Uma estratgia bastante popular entre gestores de carteiras de obrigaes a replicao de um ndice. A popularidade desta estratgia prende-se com o facto de, no passado, ter havido poucos fundos de obrigaes a obter performances superiores s obtidas pelos principais ndices de obrigaes.

No caso das obrigaes no fcil conseguir uma carteira com a mesma composio do ndice de obrigaes seleccionado. De facto, existem muitas obrigaes que no so praticamente transaccionadas, o que torna muito difcil a constituio de uma carteira com a mesma composio do ndice. Por esta razo, o que se faz na prtica classificar as obrigaes em vrias categorias que levem em conta as vrias caractersticas das obrigaes (governo, empresas, o rating da obrigao, a durao, o cupo, ... ). Conhecendo a percentagem de obrigaes no ndice em cada uma das categorias definidas, constri-se depois uma carteira que tenha aproximadamente a mesma percentagem de obrigaes em cada categoria que a percentagem dessa categoria no ndice.

4 A teoria da carteira na gesto de carteiras de obrigaes

Para aplicar a teoria da carteira necessrio calcular as rentabilidades esperadas e a matriz de varincias e covarincias das rentabilidades dos vrios activos. Nesta seco vamos ver como que estes parmetros podem ser estimados no caso das obrigaes. Como veremos as obrigaes apresentam alguns problemas especficos que devem ser levados em considerao na estimao. Mas, exceptuando os problemas de estimao, no h nada de novo na aplicao da teoria da carteira. Um investidor avesso ao risco nunca escolher uma carteira de activos ineficiente. Por conseguinte, para um determinado nvel de risco, escolher a carteira que maximiza a rentabilidade esperada.

4.1 Estimao da rentabilidade esperada

A rentabilidade esperada de um obrigao durante o prximo perodo dada por:

onde Po o preo corrente, P1 o preo no final do perodo e J1 so os juros pagos pela obrigao durante o perodo. Comecemos por considerar o caso das obrigaes do estado. Neste caso, os juros esperados so iguais aos prometidos, por conseguinte:

E (R) = J1/P0 + E(P1)/P0 -1O que mostra que a estimao da rentabilidade esperada depende da estimao de preo esperado no final do perodo. Como o preo esperado em t = 1, depende da yield curve naquele momento do tempo, a estimao da rentabilidade esperada baseada na previso de quais vo ser as taxas spot para as diferentes maturidades em t = 1.

A previso da curva de taxas de juro em t = 1 pode ser feita em dois passos.

No primeiro passo podemos pensar na previso que implicitamente o mercado faz de estrutura temporal das taxas de juro em t = 1. No segundo passo, o investidor deve questionar-se sobre a razoabilidade da previso que o mercado faz.

Para inferirmos qual a previso que o mercado faz da yield curve no final de perodo, precisamos de pressupor uma das teorias explicativas da estrutura temporal das taxas de juro, e no caso de se admitirem prmios de liquidez necessrio quantificar esses prmios.

Suponhamos que a teoria das expectativas puras vlida. Com base na teoria das expectativas puras todas as obrigaes sem risco de crdito, independentemente da sua maturidade, devem oferecer a mesma taxa de rentabilidade. Se no houver obrigaes subavaliadas ou sobreavaliadas, a taxa de rentabilidade esperada no prximo perodo deve coincidir com a taxa spot a um perodo, seja qual for a maturidade da obrigao.

Mas, se houver obrigaes cujo preo difere do seu valor, obrigaes distintas podem ter taxas de rentabilidade esperadas diferentes devido existncia de desajustamentos nos preos. Consideremos um exemplo que ilustra estas ideias. Exemplo 4 O quadro seguinte apresenta as taxas spot correntes para vrias maturidades.

Ora isto significa que o valor esperado da taxa spot a um perodo em t = 1 E(r1,2) = 0.0801. Para alm disso, o valor esperado taxa spot a dois perodos em t = 1

E assim sucessivamente. Consideremos uma obrigao com 4 anos at maturidade, com valor nominal 100 e que paga 5 em juros em cada perodo. O valor da obrigao em t = O :

O preo esperado em t = 1 :

Se o preo de mercado em t = 0 for igual ao valor da obrigao 90.23, a taxa de rentabilidade esperada no perodo 1 :

que precisamente a taxa spot para aquele perodo. Contudo, se o preo corrente da obrigao divergir do seu valor, e admitirmos que em t = 1, j est restabelecido o preo de equilbrio, a taxa de rentabilidade esperada desta obrigao no ser 6%. Por exemplo, se Po = 89, a taxa de rentabilidade esperada :

4.2 Estimao da matriz de varincias e covarincias

At h pouco tempo no existiam dados fiveis sobre os preos de muitas obrigaes. Esta , provavelmente, uma das razes que explica o facto de a teoria da carteira ser menos aplicada nas obrigaes que nas aces. Contudo, hoje em dia, j existem dados sobre os preos de transaco de muitas obrigaes e, por isso, a aplicao da teoria da carteira comea a ser possvel.

Para estimar a covarincia de um activo com o resto dos activos da carteira normal usarem-se as rentabilidades por perodo observadas no passado. Contudo, no caso das obrigaes, h um aspecto que tem de ser levado em conta: medida que o tempo assa a durao da obrigao cada vez menor. Isto implica que, se a amostra se referir a um perodo relativamente alargado, o risco da obrigao muda bastante ao longo desse perodo! Isto sugere que no apropriado estimar-se a matriz de varincias e covarincias, com base nas sries temporais das rentabilidades observadas em cada um dos perodos para cada uma das obrigaes.

Uma forma de ultrapassar este problema consiste em construir sries temporais para a rentabilidade de obrigaes de cupo zero com maturidade constante em todo o perodo da amostra. Suponhamos que as rentabilidades calculadas so mensais e que a amostra de 36 meses. Podemos construir uma srie temporal da rentabilidade mensal de obrigaes de cupo zero que no incio do ms tm um tempo at maturidade de 2 anos. Repare-se que as obrigaes usadas para calcular a rentabilidade em dois meses distintos da amostra no so as mesmas obrigaes. Depois de conhecidas as sries temporais da rentabilidade de obrigaes com maturidades distintas, a estimao da matriz de varincias e covarincias pode ser feita da forma habitual.

PAGE 2Joo Rosa Lopes