Departamento de Engenharia Mecânica

Faculdade de Ciências e Tecnologia

Universidade de Coimbra

1

Luis Adriano Oliveira

Distribuição de Pressão num Fluido

18Distribuição de Pressão num Fluido

Supõe-se uma única incógnita: p=p(x,y,z,t)

Fluido em repouso não resiste a tensões tangenciais, mas sim a normais

Suporte matemático: 2.ª lei de Newton F m.a=

Pressão p: tensão normal a um plano qq. que delimita um elemento de fluido em equilíbrio mecânico e térmico macroscópico (p/ Termodin.).

Convenção: p>0 se compressão

Escala microscópica: choques intermoleculares

19Lei de Pascal

Ausência de forças de corte: orientação do plano influencia p? R: NÃO!

1 1

2 2

3 3

p Fp Fp F

⇒⇒⇒

+ Peso EQUILÍBRIO

Equilíbrio no plano yoz:

1 3

3 2

p .dx.dz p .dx.dl.sin1p .dx.dl.cos [ .g. .dx.dy.dz] p dx.dy2

= α

α + ρ =1 2 3p p p= = (escalar)

Se houver tensões de corte: ( )1 2 3 xx yy zz1p p p p3

≠ ≠ ⇒ = − σ +σ +σ

20Compressibilidade : Variação de ρ originada por variação de p

Líquidos: consideram-se incompressíveis

pkv / vδ

= −δ

Quantificação:

k : módulo de elasticidade

Toda a matéria é compressível…No entanto...Fluidos:

Gases :

- Incompressíveis, se variação de ρ pequena (isotérm, subsón.)

- Compressíveis- se massa de gás grande com p, T variáv. (Atmosf.)- esc. supersónicos, … (fortes variações de p)

21Força de pressão sobre um elemento de fluido

p constante força total (líquida) nula

Força de pressão variação espacial de p

Força líquida segundo xx:

Segundo as três direcções:

p

pp

p

p ppdydz p dx dydz dxdydzx x∂ ∂ − + = − ∂ ∂

(unid. de vol.)p pp p pˆ ˆ ˆdf i j k dxdydz f grad px y z

∂ ∂ ∂= − − − ⇒ = − ∂ ∂ ∂

dx dy

dzp pp dxx∂

+∂

22Equações de Navier-stokes

(unidade de volume)

Forças q/ actuam s/elemento de fluido

- de contacto (p, τ)

- de campo (externas, uniformem/ distrib.)

- gravidade :

grav gravdf .g.dxdy.dz f .g= ρ ⇒ = ρ (unidade de volume)

- viscosidade :2 2 2

2visc 2 2 2

V V Vf Vx y z

∂ ∂ ∂= µ∇ = µ + + ∂ ∂ ∂

Navier-stokes (unidade de volume) :

ρ c.teµ c.te

2.a grad p .g . Vρ = − +ρ +µ∇

23Incógnita : pressão

( ) 2grad p . g a . V= ρ − +µ∇

Tópicos a desenvolver :

1 - Hidrostática [repouso ou mov. uniforme (aceleração nula)]

2 - Translação em bloco 3 - Rotação em bloco

4 - Escoamento irrotacional incompressível 5 - Caso geral

Pressão- Absoluta (vazio)

- Relativa ou efectiva

24Hidrostática (ou mov. uniforme, questão de sist. ref.)

( ) 2grad p . g a . V= ρ − +µ∇ Eq. Fundamental

1 - Sup. isobáricas perpendiculares, em cada ponto, a

2 - Coord. Cartesianas, z :

- variação da pressão independente da forma dos limites do domínio

grad p .g= ρ

g

0

z0 z

pˆg g.k g p p gdzz∂

= − ⇒ = −ρ ⇒ = − ρ∂ ∫

- pressão só varia na vertical e aumenta com a profundidade

- dois pontos ao mesmo nível, ligados pelo mesmo fluido, têm pressão =

25Líquidos e gases “incompressíveis”

“gás perfeito”

T=T(z)?

0

z0 z

p p gdz= − ρ∫tec.ρ =

( )0 0p p g z z= −ρ −

0dh dz p p .g.h= − ⇒ = +ρ

Gases compressíveis

p pRTRT

= ⇒ ρ =ρ

p gz∂

= −ρ∂

Λ

2 2 2

1 1 1

p z z2p z z1

dp p dp g dz p g dzg lndz RT p R T p R T

= − ⇒ = − ⇒ = −∫ ∫ ∫

26

a) - Estratosfera

2

1

z2z1

p g dzlnp R T

= − ∫

2 11

g (z z )RT

2 1p p .e

− − =

b) - Troposfera

te1(z 11 Km) : T c. T> = =

gRb

0 00

bz(0 z 11 Km) : T T b.z p p 1T

≤ ≤ = − = −

0z 0 p p= → =

Ambos os casos são enquadráveis na “evolução politrópica”:

ten

p c.=ρ

(gás não necessariamente perfeito), n=c.ten 1 Estrat.= ⇒n 1 Rb Tr.

n g−

= ⇒

Referência : Atmosfera Standard

27Forças Hidrostáticas em Superfícies Submersas

Superfície

Superf. submersa, fluido em repouso : Pressão Força à sup.

Curva

PlanaHorizontal

Inclinada

Pressão unif. ao longo do plano (C. Grav. do plano)

C.P. : Centro de Pressões

( ponto de aplicação da força )

C.P. C.G.≡

28Forças Hidrostáticas em Superfícies Submersas (cont.)

Sup. plana inclinada:

( )

( )

( ) ( )

0A A

0 0 CGA A

0 CG 0 CG CGA

F dF p gh dA

p A gsin dA p A gsin y dA

p A gsin A ydA p gh A p A

= = +ρ =

= +ρ θ ξ = +ρ θ ξ − =

= +ρ θ ξ − = +ρ =

∫ ∫∫ ∫

∫F plano da superfície

F não depende direct. de θ nem da forma da superf.

Localização de (C.P.) :F

Distribuição de p não unif. ao longo de A CP CG≠

29Forças Hidrostáticas em Superfícies Submersas (cont.)

Momentos em relação a xx :

( )

( )CP 0A A

0 CGA A2

CG A A

F.y ydF y p g sin . dA

p ydA g sin y y dA

g sin ydA g sin y dA

= = +ρ θ ξ =

= +ρ θ ξ − =

= ρ θξ −ρ θ

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫ xxCP

CG

Iy g sinp .A

= −ρ θ

Momentos em relação a yy :

CP AF.x x.dF ........= =∫

xyCP

CG

Ix g sin

p .A= −ρ θ

CPy 0<

Profund. yCP 0

Simetria

xCP = 0

30

Superfícies CurvasA A

F dF F dF≠ =∫ ∫

Alternativa : = duas componentes horizontais + uma comp. verticalF

Componente Horizontal

Equilíbrio ( )x xP F 0 F P+ − = ⇒ =

Igualdade vectorial (CP ao nível do CP da projecção vertical)

Sup. inters. em + que um ponto por xx:

x xAB : F 0 ; BC : F 0> <

31Superfícies Curvas (cont.)

Corolários :

- Corpo fechado -compte. horiz. é nula (projecções anulam-se)

Equilíbrio:

- Perímetro da sup. curva assenta sobre plano vertical:apenas existe comp.te horiz. ao plano.

- Perímetro da sup. curva assenta sobre plano horiz.:não existe comp.te horizontal.

Componente Vertical

y yW F 0 F W− = ⇒ =

- Igualdade vectorial (define linha de acção: CG de W) - Fluido de peso W real ou fictício

AB BC

32ImpulsãoArquimedes :

Um corpo imerso num fluido sofre impulsão igualao peso do volume de fluido deslocado.

- Um corpo flutuante desloca uma quantidade de fluido de peso igualao seu.

- Corpo imerso em fluidos estratificados:

Corolários :

- Impulsão não tem componente horizontal.

- Centro de Impulsão (C.I.) é o C.G. do fluido deslocado (não do corpo)

- Impulsão pode exceder peso do fluido presente

1 1 2 2Im pulsao V V= ω +ω

1 2 1 2C.I. e C.I. de verticais dist int asω ≠ ω ⇒

33Estabilidade de corpos no seio de fluidos

Peso < Impulsão corpo sobePeso > Impulsão corpo descePeso = Impulsão equilíbrio

Equilíbrio

Corpo completamente imerso:

EstávelInstávelIndiferente

Binário restaurador:w.x (=P.x)

- Equil. Estável, se C.I. acima de C.G.

- Equil. Indiferente, se C.I. C.G.≡

Corpo flutuante:

Equil. estável possível,ainda que C.G. acima de C.I.:estável, se Metacentro (M) acima de C.G.indiferente, se M C.G.≡

34Movimento em Bloco

Em cada ponto, linhas isobáricas perpendiculares a

Bloco: ausência de mov. relativo ausência de tensões tangenciais

(X,Y,Z): referencial de inércia(x,y,z): referencial não-inercialMov. do corpo: translação+rotação em torno de O

: veloc. de O em relação ao refer. de inércia

( ) ( )2grad p . g a . V grad p . g a= ρ − +µ∇ ⇒ = ρ −

( )g a−

0V

00

DrV VDt

= +

( )( )

yx zx y z

x y z x y k

00 000 0 0

0 0 0 0 0 0 0

DrDr DrDr D ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆr i r j r k i j kDt Dt Dt Dt Dt

ˆ ˆ ˆdi dj dk ˆ ˆ ˆr r r r i r j r k rdt dt dt

= + + = + + +

+ + + = ΩΛ + + = ΩΛ

35Movimento em Bloco (conclusão)

translação

( )0 0 00 0 0

DV Dr DVDV d da r r rDt Dt Dt dt Dt dt

Ω Ω= = +ΩΛ + Λ = +ΩΛ ΩΛ + Λ

centrípeta linear

Translação em Bloco com Aceleração Uniforme

x

z

aarctgg a

θ =+

( ) ( )2 2z x

dpdp gradp.ds gradp ds g a ds g a ads

= = = ρ − ⇒ = ρ + +

( )grad p . g a= ρ −

( )x zˆ ˆgradp a i a g k= −ρ −ρ +

( ) ( )x z 0 x zp pa a g p p .a .x . a g zx z∂ ∂

= −ρ = −ρ + ⇒ = −ρ −ρ +∂ ∂

36Rotação em Bloco com Velocidade Angular Constante

( ) ( )2 2 20

1ˆˆgrad p . g a r.r gk p p r gz2

= ρ − = ρ Ω −ρ ⇒ = + ρΩ −ρ

( )00 0

DV da r rDt dt

Ω= +ΩΛ ΩΛ + Λ

0 0r . r sin rΩΛ = Ω ϕ = Ω

( )ˆˆ ˆr, , zθ

2 ˆa r.r= −Ω

Isobáricas : p=p1=c.te2 2

0 1p p rzg 2g− Ω

= +ρ

(da forma a+br2)

Sup. Livre (p1=p0) : 2 2 2 2r Rz h2g 2g

Ω Ω= =

37Esc. Irrotacional Incompressível - Eq. de BERNOULLI

( ) ( ) ( )2

2 VV grad divV rot rotV V.grad V grad V rotV2

∇ ≡ − ≡ − Λ

2.a grad p .g . Vρ = − +ρ +µ∇ 0t∂=

∂

2 2 2V V Vˆ.grad grad grad p gk grad p gz 02 2 2

ρ ρρ = = − −ρ ⇒ + +ρ =

2

teV p gz c.2

ρ+ +ρ =

Bernoulli

Três formas de energia / volume : cinética, pressão, potencial

p. estática (p)+p. dinâmica (ρV2/2)=p. de estagnação (p0)

38Caso Geral

1) - p única incógnita : sistema linear do 1.º grau

( ) 2V V.grad V grad p .g . Vt

∂ρ + = − +ρ +µ∇ ∂

[ ]

2 2 2

x 2 2 2

y

p u u u u u u uu v w .gx t x y z x y z

p v v v vu v w .g ...y t x y z

p ... ...z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= −ρ + + + +ρ +µ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= −ρ + + + +ρ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂= −ρ +

∂

2) - p não única incógnita : sistema não-linear integração numérica

39Manómetros

Classificação quanto a :

1) - Tipo de pressão medida :

- de pressão absoluta (Ex. : barómetro)- de pressão efectiva (maioria dos manómetros industriais)- diferenciais (dif. de pressão . Medição de velocidades, caudais, …)

2) - Princípio de funcionamento :

- de líquido

- metálicos : forças de pressão pressão

- eléctricos : pressão var. caract. eléctr. sinal calib. ampl. regist.

deformações elásticascalibração

40Manómetros de líquido

Duas referências fundamentais :*

*

p0

p2

p1

∆h

h2

h1

1 0 1

2 0 2

p p ghp p gh

= +ρ= +ρ

( )2 1 2 1p p g h h p g. h− = ρ − ⇒ ∆ = ρ ∆

1) :

2) : Dois pontos, ao mesmo nível, ligados pelo mesmo fluido, têm, no equilíbrio, a mesma pressão

41Manómetros de líquido (cont.)

Piezómetro

- Altura piezométrica: p/(ρg)+z

- Manómetro e conduta: o mesmo líquido

- Se z=0 em 1, a altura piezométrica é dada directamente por h

Manómetro em U

B B Aa1 atm. B

a e2 1 3 atm. B A 3 B Aa a3 2 A

g

p p x

p p p p x y p x y

p p y

ω = ρ > ω

= +ω

= = +ω −ω ⇒ = ω −ω

= −ω eA B 3 Bp xω ω ⇒ ≅ ω

42Manómetros (cont.)

Manómetros em U podem medir pressões diferenciais:

( )1 A 2

2 1 B 2 1 A 2 2

p p a hp p p a h p a h

= +ω +

= = +ω +ω = +ω +ω

( )A B 1 2p p h− = ω −ω

Manómetros metálicos

Manómetro de Bourdon

43Manómetros (concl.)

Manómetros eléctricos

Medição da pressão estática

44Tubo de Pitot com tomadas de pressão estática

( )0 s2s 0

2 p p1p V p V2

−+ ρ ≅ ⇒ ≅

ρBernoulli:

V 0 s

ps

p0