aulas 11 e 12

Probabilidade e EstatsticaFuncao de uma Variavel Aleatoria

Patrcia, Iraponil e Areli

UAEst/CCT/UFCG

Probabilidade e Estatstica

Funcao de Uma Variavel Aleatoria

Em alguns problemas que envolvem a aplicacao da teoria dasprobabilidades, surge a necessidade de expressar um determi-nado fenomeno como uma funcao de uma ou mais variaveisaleatorias.




O fato de uma funcao de uma variavel aleatoria tambem seruma variavel aleatoria e intuitivamente aceitavel.




O fato de uma funcao de uma variavel aleatoria tambem seruma variavel aleatoria e intuitivamente aceitavel.

Neste momento, passaremos ao estudo de tecnicas cujo ob-jetivo e obter a f.p. pY ou a f.d.p. fY da nova v.a.Y = H(X) utilizando respectivamente a f.p. pX ou a f.d.pfX da v.a. X.


Eventos Equivalentes

Seja E um experimento e seja S um espaco amostral associadoa E. Seja X uma variavel aleatoria definida em S. Suponha quey = H(x) seja uma funcao real de x. Entao, Y = H(X) e umavariavel aleatoria. Definiremos RY como o contradomnio davariavel aleatoria Y , o conjunto de todos os possveis valoresde Y .


Eventos Equivalentes

Seja E um experimento e seja S um espaco amostral associadoa E. Seja X uma variavel aleatoria definida em S. Suponha quey = H(x) seja uma funcao real de x. Entao, Y = H(X) e umavariavel aleatoria. Definiremos RY como o contradomnio davariavel aleatoria Y , o conjunto de todos os possveis valoresde Y .

Seja C um evento (subconjunto) associado ao contradomnioRY , de Y . Seja B RX definido assim:

B = {x RX : H(x) C}.

Ou seja, B e o conjunto de todos os valores de X, tais queH(X) C. Se B e C forem relacionados desse modo, osdenominaremos eventos equivalentes.


Probabilidade de Eventos Equivalentes

Seja X uma variavel aleatoria definida no espaco amostral S.Seja RX o contradomnio de X. Seja H uma funcao real econsidere a variavel aleatoria Y = H(X) com contradomnioRY . Para qualquer evento C RY , definiremos P (C) como

P (C) = P ({x RX : H(x) C}) .


Probabilidade de Eventos Equivalentes

Seja X uma variavel aleatoria definida no espaco amostral S.Seja RX o contradomnio de X. Seja H uma funcao real econsidere a variavel aleatoria Y = H(X) com contradomnioRY . Para qualquer evento C RY , definiremos P (C) como

P (C) = P ({x RX : H(x) C}) .

Ou seja, a probabilidade de um evento associado ao contra-domnio de Y e definida como a probabilidade do evento equi-valente (em termos de X), como indicado pela equacao acima.


Casos Possveis

CASO 1:X e uma v.a. discreta, Y = H(X) tambem sera umav.a. discreta.


Casos Possveis


CASO 2: X e uma v.a. contnua e Y = H(X) uma v.a.discreta.


Casos Possveis


CASO 2: X e uma v.a. contnua e Y = H(X) uma v.a.discreta.

CASO 3: X e uma v.a. contnua e Y = H(X) uma v.a.contnua.


CASO 1: X discreta e Y = H(X) discreta

Se X e uma variavel aleatoria discreta e Y = H(X), nessecaso segue-se imediatamente que Y sera tambem uma variavelaleatoria discreta.




Se Y e uma variavel aleatoria discreta, entao qual sera suadistribuicao de probabilidade?




Se Y e uma variavel aleatoria discreta, entao qual sera suadistribuicao de probabilidade?

A funcao de probabilidade da nova v.a. Y , digamos pY (y),e dada por

pY (y) = P (Y = y) =

x:y=H(x)

pX(x), y RY .



EXEMPLO 1: Suponha que a variavel aleatoria X tome os tres va-lores -1, 0 e 1, com probabilidades 1/3, 1/2 e 1/6, respectivamente.Seja Y = 3X+1. Obtenha a distribuicao de probabilidade da novav.a. Y .



EXEMPLO 1: Suponha que a variavel aleatoria X tome os tres va-lores -1, 0 e 1, com probabilidades 1/3, 1/2 e 1/6, respectivamente.Seja Y = 3X+1. Obtenha a distribuicao de probabilidade da novav.a. Y .

EXEMPLO 2: Admita que a v.a. X tenha a seguinte funcao deprobabilidade p(x) = P (X = x) = (1/2)x, em que x = 1, 2,...,n,...Seja

Y = H(X) =

{1, se X for par,0, se X for mpar.

Qual e a distribuicao de probabilidade da nova v.a Y ?


CASO 2: X contnua e Y = H(X) discreta

Se X for uma v.a. contnua, Y = H(X) pode ser uma v.a.discreta.

EXEMPLO 3: Seja que X uma v.a. contnua com distribuicaouniforme no intervalo [-5, 15]. Considere uma nova v.a. Y =1 se X 0, e Y = 1 se X < 0. Qual a distribuicao deprobabilidade da nova v.a Y .


CASO 3: X contnua e Y = H(X) contnua

Este e o mais importante dos casos. SeX for uma v.a. contnuacom f.d.p. f e H for uma funcao contnua, entao Y = H(X)sera uma v.a. contnua.




O objetivo sera obter a f.d.p. g da v.a. Y .





O procedimento geral sera:

1 Obter G, a funcao de distribuicao acumulada (f.d.a.) de Y , naqual G(y) = P (Y y);

2 Derivar G(y) em relacao a y, a fim de obter a f.d.p. g(y);





O procedimento geral sera:

1 Obter G, a funcao de distribuicao acumulada (f.d.a.) de Y , naqual G(y) = P (Y y);

2 Derivar G(y) em relacao a y, a fim de obter a f.d.p. g(y);

3 Determinar aqueles valores de y no contradomnio de Y , paraos quais g(y) > 0.



EXEMPLO 4: Suponhamos que X tenha f.d.p.

f(x) =

{2x se 0 < x < 10 c.c

(a) Se Y = H(X) = 3X + 1, encontre a f.d.p. de Y .



EXEMPLO 4: Suponhamos que X tenha f.d.p.

f(x) =

{2x se 0 < x < 10 c.c

(a) Se Y = H(X) = 3X + 1, encontre a f.d.p. de Y .

(b) Se Z = H(Y ) = eX , encontre a f.d.p. de Z.



Teorema 1

SejaX uma variavel aleatoria contnua com f.d.p. f , onde f(x) > 0,para a < x < b. Suponha-se que y = H(x) seja uma funcao de xestritamente monotona (ou crescente ou decrescente). Admita-seque essa funcao seja derivavel (e, portanto, contnua) para todo x.Entao a variavel aleatoria Y , definida como Y = H(X) possui af.d.p. dada por

g(y) = f(x)

dxdy ,

em que x e expresso em termos de y, ou seja, x = H1(y).



OBSERVACOES:

Se y = H(x) for uma funcao crescente, entao g(y) sera nao-nula para aqueles valores de y que satisfacam

H(a) < y < H(b).



OBSERVACOES:


H(a) < y < H(b).

Se y = H(x) for uma funcao decrescente, entao g(y) sera nao-nula para aqueles valores de y que satisfacam

H(b) < y < H(a).



OBSERVACOES:


H(a) < y < H(b).

Se y = H(x) for uma funcao decrescente, entao g(y) sera nao-nula para aqueles valores de y que satisfacam

H(b) < y < H(a).

Se y = H(x) nao for uma funcao monotona de x, nao po-deremos aplicar diretamente o processo descrito no Teorema1.



EXEMPLO 5: Refazer o Exemplo 4 utilizando o Teorema 1.



EXEMPLO 5: Refazer o Exemplo 4 utilizando o Teorema 1.

EXEMPLO 6: Suponha que Y = X2, onde X e uma variavelaleatoria com f.d.p. dada por

f(x) =

{1/2 se 1 < x < 10 c.c

Calcule a f.d.p. de Y .


Aplicacao

Para medir velocidades do ar, utiliza-se um tubo (conhecido comotubo estatico de Pilot), o qual permite que se meca a pressaodiferencial. Esta pressao diferencial e dada por P = (1/2)dV 2, emque d e a densidade do ar e V e a velocidade do vento (mph).Obtenha a fdp de P , quando V for uma variavel aleatoriauniformemente distribuda no intervalo (10,20).


Exerccios Sugeridos

5.1 a 5.5; 5.7; 5.8; 5.11 a 5.13 (Livro Texto)


Hora da chamada...

Eleanor Roosevelt

Voce precisa fazer aquilo que pensa quenao e capaz de fazer.


Bibliografia

Probabilidade, Aplicacoes a` Estatstica (2a edicao). Paul L. Me-yer (1995). LTC.

Estatstica Basica (7a edicao). Wilton O. Bussab e Pedro A.Morettin (2011). Editora Saraiva.


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