aula_3 (2)

1

Projeto de Sistemas de Controle - Mtodo do Lugar das Razes 7.1. Introduo

7.2. Consideraes Preliminares do Projeto

7.3. Compensao por Avano de Fase

7.4. Compensao por Atraso de Fase

Prof. Andr Marcato

Livro Texto: Engenharia de Controle Moderno Quarta Edio Editora Pearson Prentice Hall Autor: Katsuhiko OGATA

Aula 3

So dispositivos inseridos no sistema com a

finalidade de satisfazer determinadas

especificaes. Exemplos:

Compensador de avano de fase

Compensador de atraso de fase

Compensador de atraso e avano de fase

Controladores PID

Os sistemas de controle so projetados para

realizar tarefas que atendam restries. Estas

restries so dadas pelas especificaes de

desempenho. Exemplos:

Mximo sobre-sinal

Tempo de acomodao da resposta ao degrau

Erro estacionrio numa entrada em rampa

Preciso

Estabilidade relativa

Velocidade de resposta

Introduo

Especificaes de desempenho

Projeto pelo mtodo do lugar das razes

Compensao de Sistemas

Compensao em Srie e Paralelo

Compensadores

Procedimentos de Projeto

Pelo mtodo tentativa e erro, estabelece-se um modelo matemtico para

o sistema de controle e ajusta-se os parmetros do compensador.

Etapa que mais consome tempo: Verificao do desempenho. Anlise atravs do MATLAB a cada vez que os parmetros so ajustados.

Prottipo

Teste do sistema em malha aberta

Se a estabilidade absoluta do sistema em malha fechada estiver assegura, fecha-se a malha e realiza-se novo teste

O desempenho real geralmente diverge do projetado teoricamente devido no-linearidades, efeito de carga entre componentes,

parmetros distribudos, etc.

Alteraes no prottipos e novos testes.

Dispositivo fsico com funo de transferncia projetada para

atender determinadas configuraes de desempenho. Podem ser

dispositivos eletrnicos (AmpOp); redes RC eltricas, mecnicas, pneumticas, hidrulicas ou combinao destas;

amplificadores. A escolha da tecnologia depende do tipo da planta

(ex. existncia de risco de exploso).

Redesenhar o lugar das razes do sistema pela

adio de plos e zeros na funo de

transferncia de malha aberta, forando o novo

lugar das razes a passar pelos plos de malha

fechada desejados no plano s.

Aula 3

Consideraes Preliminares do

Projeto

Modificao da dinmica da planta apesar de ser simples, as vezes no possvel em situaes prticas (a planta pode ser fixa e no permitir modificaes.

Nesta apresentao, sero abordadas modificaes pela insero de um compensador.

A compensao fica reduzida ao projeto de um filtro, cujas caractersticas tendem a compensar os efeitos indesejveis e inalterveis da planta.

Compensadores srie por avano; por atraso; por atraso e avano(sees 7.3 a 7.5). Problema: Escolha criteriosa dos plos e zeros do compensador Gc

Tcnica de compensao paralelo (seo 7.6.)

Aula 3

Mtodo do Lugar das Razes (LR)

O grfico do LR pode indicar no ser possvel alcanar o desempenho desejado apenas pelo ajuste do ganho.

Para alcanar as especificaes de desempenho pode ser necessrio redesenhar o LR a partir da insero de um compensador apropriado.

Aps o estudo do efeito da adio de plos e/ou zeros no LR, pode-se determinar a localizao dos plos e/ou zeros do compensador que vo remodelar o LR conforme desejado.

Aula 3

Efeitos da Adio de Plos

A adio de um plo funo de transferncia de malha aberta, tem o efeito de deslocar o LR para direita.

Diminuio da estabilidade relativa

Acomodao da resposta fica mais lenta

Aula 3

Efeitos da Adio de Zeros

Desloca o LR para a esquerda

Sistema fica mais estvel

Acomodao da resposta mais rpida

Aula 3

Reviso Captulo 3

Seo 3.8

Sistemas Eltricos e Eletrnicos

Aula 3

Sistemas Eltricos e

Eletrnicos

Leis de Kirchhoff das correntes e

tenses

Um modelo matemtico de um

circuito eltrico pode ser obtido pela

aplicao de uma ou ambas as Leis

de Kirchhoff

Aula 3

Circuito RLC

Aplicando Laplace (condies iniciais nulas): Funo de Transferncia

Aula 3

Representao no Espao de Estados

Aula 3

Funo de Transferncia de

Elementos em Cascata(1)

Aula 3



Aula 3

Impedncias Complexas (1)

Para obter as funes de transferncia de circuitos eltricos,

possvel escrever diretamente a transformada de laplace das

equaes, sem a necessidade de escrever as equaes diferenciais.

Aula 3

Impedncias Complexas (2)

Aula 3

Impedncias Complexas Exemplo (1)

Aula 3

Exemplo 3.10. (1)

Aula 3

Exemplo 3.10. (2)

Aula 3

Exemplo 3.10. (3)

Aula 3

Funes de Transferncia de

Elementos sem Carga em Cascata

Aula 3

Exemplo (1)

Aula 3

Exemplo (2)

Aula 3

Controladores Eletrnicos

Aula 3

Amplificadores Operacionais (1)

Aula 3


Aula 3

Amplificador Inversor (1)

Aula 3

Amplificador Inversor (2)

Aula 3

Amplificador No-Inversor

Aula 3

Exemplo 3.11. (1)

Aula 3

Exemplo 3.11. (2)

Aula 3

Uso da Impedncia para Obteno

das Funes de Transferncia (1)

Aula 3

Uso da Impedncia para Obteno

das Funes de Transferncia (2)

Aula 3

Exemplo 3.12. (1)

Aula 3

Exemplo 3.12. (2)

Aula 3

Redes de Avano ou Atraso Com

Amplificadores Operacionais

Aula 3

Circuito Operacional Utilizado Como

Compensador de Avano ou Atraso (1)

Aula 3



Aula 3

Controlador PID com Amplificadores

Operacionais (1)

Aula 3

Controlador PID com


Aula 3


Operacionais (3)

Aula 3


Operacionais (4)

Aula 3


Operacionais (5)

Aula 3

Circuitos Operacionais que podem ser

Utilizados como Compensadores (1)

Aula 3



Aula 3

FIM DA REVISO

Aula 3

Compensao por Avano de Fase (1)

Aula 3


Aula 3

Tcnicas de Compensao (1)

Aula 3

Tcnicas de Compensao (2)

Aula 3

Exemplo 7.1. (1)

54

Aula 3

Exemplo 7.1. (2)

55

Aula 3

Exemplo 7.1. (3)

56

Aula 3

Exemplo 7.1. (4)

57

Dado que a FT de malha aberta do sistema original G(s), a FT de malha

aberta do sistema compensado ser:

Existem muitos valores para T e a que

resultaro na contribuio angular desejada

aos plos de malha fechada.

Aula 3

Exemplo 7.1. (5) Procedimento para obter o maior possvel valor de a

58

1. Trace uma reta horizontal passando por P. Reta PA

2. Trace uma reta conectando o ponto P a origem.

3. Trace a bissetriz PB do ngulo entre as retas PA e PO

4. Desenhe duas retas PC e PD que formem ngulos f/2 com a reta PB

5. As intersees de PC e PD com o eixo real negativo fornecem as

localizaes necessrias para o plo e o zero da rede de avano de

fase.

6. O ganho de malha aberta ser determinado pela condio de mdulo

Aula 3

Exemplo 7.1. (6)

59

Aula 3

Exemplo 7.1. (7)

60

Aula 3

Exemplo 7.1. (8)

61

Aula 3

Exemplo 7.1. (9)

62

Aula 3

Exemplo 7.1. (10)

63

Aula 3

Compensao por Atraso de Fase (1)

Aula 3


Foi utilizado b no lugar de a

Aula 3


Esta tcnica utilizada quando o sistema apresenta caracterstica de:

1. Resposta transitria satisfatrias

2. Regime permanente insatisfatrias

A compensao consiste em aumentar o ganho de malha aberta, sem alterar as relevantemente a resposta transitria

Aula 3


O LR nas proximidades do plos dominantes de malha fechada no deve ser modificado significativamente, mas o ganho de malha aberta deve ser aumentado o quanto necessrio

Aula 3


Para evitar uma modificao considervel no LR, a contribuio angular da rede de atraso de fase deve ser limitada a um valor pequeno (geralmente, em torno de 5%).

Plo e zero da rede de atraso prximos um do outro e prximos a origem do plano s.

Com isto, os plos de malha fechada do sistema compensado sero apenas um pouco deslocados das posies originais.

As caractersticas transitrias sero apenas um pouco alteradas.

Aula 3


Se o plo e zero do compensador estiverem muito prximos e considerando que um dos plos dominantes seja s = s1, os mdulos de

________________ sero quase iguais:

Aula 3


Aula 3

Procedimento de Projeto (1)

1. Desenhe o LR do sistema no compensado e localize os plos dominantes de malha fechada sobre o LR.

2. Suponha que a FT do compensador de atraso de fase seja:

Aula 3

Procedimento de Projeto (2)

3. Calcule a particular constante de erro esttico especificada no problema.

4. Determine o acrscimo no coeficiente de erro esttico necessrio.

5. Determine o plo e zero do compensador que produzam o aumento necessrio no valor de erro esttico, sem modificar o LR.

6. Desenhe o novo LR e posicione os plos dominantes de malha fechada.

7. Ajuste o ganho Kc do compensador.

Aula 3

Exemplo 7.2. (1)

Aula 3

Exemplo 7.2. (2) - LR

Aula 3

Exemplo 7.2. (3) Plos Dominantes Malha Fechada

Aula 3

Exemplo 7.2. (4) - Objetivos

Aula 3

Exemplo 7.2. (5)

Aula 3

Exemplo 7.2. (6)

Aula 3

Exemplo 7.2. (7)

Aula 3

Exemplo 7.2. (8)

Aula 3

Matlab 7.2.

Aula 3

Exemplo 7.2. (9)

Aula 3

Exemplo 7.2. (10)

Aula 3

Exemplo 7.2. (11)

Aula 3

Matlab

Aula 3

Exemplo 7.2. (12)

Aula 3

Matlab

Aula 3

Exemplo 7.2. (13)

Aula 3

Compensao por Avano e Atraso (1)

Compensao por Avano de Fase:

Aumenta a velocidade de resposta bem como a estabilidade do sistema

Compensao por Atraso de Fase

Melhora a preciso do sistema em regime permanente mas diminui a velocidade de resposta

Aula 3


Aula 3


T1

T1 g

T2

T2 b

Aula 3


Aula 3


Consideram-se dois casos:

Aula 3


a combinao de um projeto de avano e um projeto de atraso (procedimentos vistos anteriormente)

1. Com base nas especificaes de desempenho, determine a localizao desejada dos plos dominantes

2. Determine a deficincia angular f

3. Determine T1 e g partir de f. Em seguida, determine Kc para atender a condio de mdulo. Suponha que num passo posterior, ser escolhido um T2 de forma que o mdulo para parte de atraso de fase seja igual a unidade.

Aula 3


4. Se a constante de erro Kv tiver sido especificada, determine o valor de b que a satisfaa. Com o valor de b assim calculado, determine o valor de T2 de tal forma que a variao angular seja pequena e o mdulo da etapa de avano seja 1.

J foram especificados no passo 3.

Aula 3


1. Com base nas especificaes de desempenho, determine a localizao desejada dos plos dominantes

2. Equao modificada para:

Aula 3


3. Determine a contribuio angular f para a poro de avano de fase do controlador.

4. Determine o valor de T2 de modo que a poro de atraso de fase do controlador tenha mdulo 1 e determine os valores de T1 e b de acordo com as equaes abaixo

5. Com o valor de b determinado, calcule o valor de T2 para que a poro de atraso do controlador tenha mdulo 1 e sua influencia angular seja pequena.

O Valor de bT2 no deve ser muito grande para

que seja fisicamente realizvel.

Aula 3

Exemplo 7.3. (1)

Aula 3

Objetivos:

Exemplo 7.3. (2)

Aula 3

Exemplo 7.3. (3)

f Parte de avano do compensador de

fase deve contribuir com 55o

Existem diversas possibilidades de escolha para o plo e zero da poro de avano do compensador. Neste exemplo ser escolhido o

ponto -0,5 para posicionar-se o zero (pois desta forma, ele coincide

com um plo do sistema original).

Por um clculo atravs de anlise grfica, verifica-se que o plo deve situar-se em 5,021.

Aula 3

Exemplo 7.3. (4)

Clculo de Kc com base na condio de mdulo:

Determina-se o valor de b para satisfazer a constante de erro esttico de velocidade:

Aula 3

Exemplo 7.3. (5)

Escolhe-se valor de T2 de tal modo que:

Aula 3

Exemplo 7.3. (6)

Aula 3

Exemplo 7.3. (7)

Aula 3

Exemplo 7.3. (8) Grfico do Lugar das Razes do Sistema Compensado

Aula 3

Exemplo 7.3. (9) LG Prximo a Origem

Aula 3

Exemplo 7.3. (10) Resposta ao Degrau

Aula 3

Exemplo 7.3. (11) Resposta Rampa

Aula 3

Exemplo 7.4. (1)

Aula 3

Exemplo 7.4. (2)

Aula 3

Exemplo 7.4. (3)

Aula 3

Exemplo 7.4. (4)

Aula 3

Exemplo 7.4. (5)

Aula 3

Exemplo 7.4. (6)

Aula 3

Exemplo 7.4. (7)

Aula 3

Exemplo 7.4. (8)

Aula 3

Compensao em Paralelo

O controlador (ou compensador) fica na malha interna

O projeto fica mais complicado?

No! Pois a equao caracterstica pode ser reescrita de forma que fique da mesma forma da equao caracterstica do sistema compensado em srie.

Aula 3

Princpio Bsico de um Sistema

Compensado em Paralelo

Compensao em Srie

Aula 3



Compensao em Paralelo

Aula 3



Gf

Aula 3

Exemplo 7.5. (1)

Aula 3

Exemplo 7.5. (2)

Aula 3

Exemplo 7.5. (3)

Aula 3

Exemplo 7.5. (4)

Aula 3

Exemplo 7.5. (5)

Aula 3

Exemplo 7.5. (6)

Aula 3

Exemplo 7.5. (7)

Aula 3

Exemplo 7.5. (8)

Aula 3

Exemplo 7.5. (9)

Aula 3

Exemplo 7.5. (10)

aula_3 (2)

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