Aula Teórica 2

Difusividade e Fluxo Difusivo.Pressão, força de pressão, energia de

pressão.

O que é a velocidade ?• A velocidade num escoamento é o caudal

volúmico por unidade de área.

• Velocidade “zero” significa deslocamento médio das moléculas nulo.

• Cada molécula (num gás) tem a sua velocidade e cada grupo de moléculas (num líquido) tem a sua velocidade e não são nulos...

• O movimento não descrito pela velocidade é contabilizado na difusividade.

dA

dQun

Difusão

(a) (b) (c)

(a) (b) (c)

As figuras abaixo representam dois fluidos, um branco e um preto). A figura superior representa as moléculas e a inferior a vista macroscópica. Na situação a) existe um diafragma a separá-los. Quando se retira o diafragma inicia-se a mistura b). Quando o gradiente é nulo a probabilidade de uma molécula preta passar para a esquerda é igual à de uma outra passar para a direita e o fluxo resultante é nulo.

Difusividade

Cx Cx+∆x

Ver texto sobre propriedades dos fluidos e do campo de velocidades

bllld ucc l

clcc lll

Mas,

l

cul bd

.

A difusividade é o produto do comprimento do deslocamento pela diferença entre a velocidade de uma porção de fluido e a usada na advecção.

Quando retirarmos o diafragma as moléculas passam de um lado para o outro. O saldo do fluxo é o fluxo difusivo.

O fluxo de moléculas de um tipo para cada um dos lados é proporcional à concentração e à velocidade de cada molécula. O saldo é dado por:

Difusividade

• A difusividade é definida como:• Onde é a velocidade não resolvida na nossa

definição de velocidade (browniana no caso do escoamento laminar e flutuação turbulenta no caso do escoamento turbulento) e é a distância percorrida pela porção de fluido que se desloca a essa velocidade, até adquirir uma nova velocidade por ter chocado com outra porção de fluido (no mínimo uma molécula).

• A difusividade tem sempre dimensões:

bul.

l

bu

12 TL

Fluxo Difusivo

• É o fluxo produzido pela difusividade:

• O fluxo difusivo através de uma superfície é no sentido contrário da componente do gradiente perpendicular a essa superfície.

• O fluxo difusivo é nulo quando o gradiente da propriedade é nulo.

A

jjA

Dif dAnx

cdAnc .

E no caso da quantidade de movimento?

• Se uma porção de fluido (e.g. molécula) desce da zona de maior velocidade para a de menor, vai aumentar a velocidade nessa zona. Nesse caso uma porção igual de fluido subirá e irá reduzir a velocidade em cima.

• Na presença velocidade aleatória e de gradiente de velocidades, o fluido mais rápido arrasta o mais lento. De acordo com a Lei de Newton, a uma aceleração corresponde uma força, que neste caso é uma força de atrito.

• À difusividade de quantidade de movimento chama-se viscosidade, que pode também ser vista como a relação entre a tensão de corte (atrito) e a taxa de deformação de um elemento de fluido (gradiente de velocidade).

• Escoamento com gradiente de velocidade.

Fluxo difusivo de Quantidade de Movimento e Tensão de Corte

• O movimento aleatório não representado pela velocidade origina um fluxo de quantidade de movimento que é sentido como uma força (força de corte). Esta força aumenta com o gradiente de velocidade e depende da quantidade de massa que é necessário acelerar e da taxa a que a massa se move.

τ(y)

τ(y+Δy)

y

u

y

u

Nesta equação as unidades da viscosidade (dinâmica) são (força/área)/segundo = >N/m2/s,Poiseuille no SI)

Viscosidade

y

u

A viscosidade cinemática tem dimensões m2/s. A dinâmica tem dimensões mais complicadas porque a difusão de quantidade de movimento é a difusividade de velocidade, multiplicada pela massa....

Taxa de deformação e gradiente de velocidades

dy

du

dt

d

y

u

t

y

tu

tanΔy

ΔuΔt

Por isto se diz que a viscosidade é a relação entre a tensão e a taxa de deformação.

Viscosidade da água e do ar

)(10*2.110

)(1010115125

1132

1262

skgmPoiseuillesm

skgmPoiseuillesm

ArAr

OHOH

• A Água é cerca de 100 vezes mais viscosa do que o Ar.

• Mas a Viscosidade cinemática do Ar é 10 vezes maior do que a da Água.

• Qual é que é mais fácil de parar?

E o que é a pressão?

• É uma medida da força que resulta dos choques entre as moléculas de um fluido e as moléculas vizinhas (moléculas do fluido ou paredes do recipiente).

Quando o volume ocupado por um gás aumenta, a probabilidade de choque por unidade de área baixa e a pressão baixa.

Porque aumenta com a profundidade de um fluido?

• Porque a força exercida por uma molécula é resultado da sua quantidade de movimento, mas também do seu peso. Quando desce converte energia potencial em cinética e quando sobre perde.

• A força exercida pela molécula de cima sobre a de baixo é maior do que a exercida pela de baixo sobre a de cima.

Porque baixa a pressão quando a velocidade do fluido aumenta?

• A força resultante do choque de duas moléculas depende das diferenças de velocidades. Se a velocidade média for nula só depende da energia cinética associada à temperatura.

• Se tivermos escoamento a força resultante do choque é proporcional à quantidade de movimento calculada a partir da velocidade browniana da molécula subtraída da diferença de velocidades entre as moléculas.

• As moléculas da linha da frente têm velocidade superior à das da linha de trás. Como consequência a quantidade de movimento associada ao choque baixa e por isso a pressão baixa.

• Se considerarmos uma terceira linha de moléculas mais à frente, com maior velocidade (gradiente de velocidade positivo) a pressão é ainda menor. Como consequência as moléculas da linha do meio aumentam de velocidade.

• Poderemos por isso dizer que é o gradiente de pressão que determina a aceleração do fluido.

Aceleração e Gradiente de pressão

• Quando temos gradiente de pressão produzimos aceleração. Se registarmos uma aceleração então estamos perante um sistema onde a resultante das forças é diferente de zero.

• A Mecânica dos Fluidos baseia-se na Lei de Newton que relaciona forças e acelerações e na lei de conservação da massa.

Forças e acelerações

• Quando a aceleração é elevada, a força também é!!!

• Porque voa um avião?

Patm

Patm

Porque é que a pressão só baixa se houver escoamento? i.e. Não basta ter uma contracção

para produzir a diferença de pressão!

• Se tivermos uma contracção sem escoamento a pressão é atmosférica em todos os pontos. • Para criarmos um gradiente de pressão temos que criar uma onda de choques entre

moléculas e por isso temos que ter uma fase transiente.• Temos duas possibilidades:

– Removemos moléculas na saída baixando a pressão do lado de fora e fazendo com que os choques das moléculas no interior sejam mais intensos do que os que gerados pelas moléculas do lado de fora, resultando daqui um movimento a partir da saída e uma depressão que se propaga para o interior ou,

– Aumentamos a pressão do dado de dentro (empurrando mais moléculas para dentro da conduta) gerando uma onda exactamente no sentido contrário.

• Este processo é descrito em termos macroscópicos pela lei de Newton, que estabelece a relação entre força e aceleração. Se conhecermos a força poderemos calcular a aceleração e vice-versa.

• A Equação de transporte de quantidade de movimento não é mais do que a lei de Newton aplicada a uma massa que tem a capacidade de fluir, gerando deformação do fluido e por isso forças de corte.

Energia de Pressão

• A Pressão é definida como “Força/Área”.• O Trabalho é a “Força*Deslocamento da força”• O Volume é “Área * Comprimento”• Se aplicarmos uma força sobre um fluido que se desloca

produzimos um trabalho que é a força vezes o seu deslocamento (velocidade do fluido * tempo).

• Então:– Energia=Força * (velocidade*tempo) = (Pressão* Área)*

(velocidade*tempo) =Pressão*Volume– Então Pressão é Energia / Volume.

• A Pressão mede o trabalho necessário para colocar a unidade de volume de fluido àquela pressão.

Sumário• A difusividade é a consequência do conceito de meio contínuo e

de velocidade do fluido.• Associado à difusividade está associado um fluxo difusivo

proporcional ao simétrico do gradiente.• No caso da quantidade de movimento a difusividade é designada

por viscosidade e relaciona tensão (fluxo difusivo) e taxa de deformação (gradiente de velocidades).

• A pressão resulta dos choques entre moléculas. A aceleração resulta do gradiente de pressão.

• A pressão pode também ser vista como energia por unidade de volume. Efectivamente é a energia necessária para colocar a unidade de volume de fluido àquela pressão.