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Curso Tecnologia Automação Industrial FMA – Profa Gisele – 1º semestre/2015

Aula 9: Matrizes

Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Exemplo: Tomando os dados referentes à altura, peso e idade de um grupo de 4 pessoas, temos:

Altura (m) Peso (kg) Idade (anos)

Pessoa 1 1,70 70 23

Pessoa 2 1,75 60 45

Pessoa 3 1,60 52 25

Pessoa 4 1,81 72 30

Assim obtemos a matriz:

307281,1

255260,1

456075,1

237070,1

I) Definição:

Sejam m 1 e n 1 dois números inteiros. Uma matriz real m n é uma dupla seqüência de números reais, distribuídos em m linhas (horizontal) e n colunas (vertical), formando uma tabela que se indica por:

...a a a

...a a a

a ... a a

mnm2m1

2n2221

1n1211

ou

a ... a a

a . .. a a

a ... a a

mnm2m1

2n2221

1n1211

ou

a ... a a

a ... a a

...a a a

mnm2m1

2n22 21

1n1211

Abreviadamente: Indicamos por A = (aij) m n a matriz A com m linhas e n colunas onde, nesta ordem, i indica a linha e j indica a coluna

Exemplo: A =(aij) 23 =

10 4 1

8 5 2

A matriz A tem 2 linhas e 3 colunas, assim podemos indicar: A = (aij) 23 aij : termo geral, é o elemento que ocupa a i-ésima linha e j-ésima coluna

2

Indicamos por M m n () o conjunto das matrizes reais m n Podemos construir uma matriz a partir de uma “lei” de formação, a qual é dada em função da posição que o elemento ocupará na matriz. Exemplos:

1) Determinar a matriz A = (aij) 23 sendo aij = 2i + 3j –1

2) Determine a matriz A= (a ij ) 14x em que aij = i 2 -j 2

3) Determine a matriz B= (b ij ) 33x em que bij =

jise

jise

0

1

II) Tipos de matrizes:

1) Matriz quadrada: m = n, ou seja, o número de linhas é igual ao número de colunas.

Exemplo: A =

4 1-

3 2

Quando tivermos uma matriz quadrada do tipo nxn , dizemos que a mátria é quadrada de ordem n.

Exemplo: matriz quadrada de ordem 2; matriz quadrada de ordem 3 etc.

Na matriz quadrada destacamos a diagonal principal e a diagonal secundária , a diagonal principal é composta pelos elementos aij para os quais i = j, a diagonal secundária é aquela composta dos elementos aij, para os quais i+ j = n + 1. 2) Matriz identidade: matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os

demais elementos são todos iguais a zero. Indicamos tal matriz por In .

Exemplo: I 3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

; I 2 =

10

01 ; I 4 =

1000

0100

0010

0001

3) Matriz Diagonal :é toda matriz quadrada em que os elementos não pertencentes à diagonal principal são iguais a zero

44

33

22

11

000

000

000

000

a

a

a

a

Exemplos:

300

020

001

;

40

03 ;

100

050

000

3

4) Matriz Triangular: é toda matriz quadrada em que os elementos situados acima ( ou abaixo) da diagonal principal são todos nulos

Exemplos:

415

031

001

;

2000

8500

7630

6543

5) Matriz linha: m = 1 Exemplo: B = ( -2 ½ 0 4 )

6) Matriz coluna: n = 1

Exemplo: C =

4-

0

2

1

7) Matriz Nula : é a matriz quadrada ou não que tem todos os elementos nulos.

Representamos por O mxn .

O 23x =

00

00

00

O 33x =

000

000

000

Igualdade de Matrizes Sejam as matrizes Am x n e Bm x n . Dizemos que A = B se e somente se aij = bij, ou seja, os elementos de mesmo índice são correspondentes. Exemplos:

1) Seja A =

2 4 1-

3 5 2 e B =

2 4 1-

3zy y x - x , determine x, y e z sabendo que A = B.

2) Sabendo que

2

12 4

x

x

y

y =

21

11 determine x e y

3) Se A = (a ij ) 23x com a ij =

jiseji

jiseji e B =

sp

pr

qp2 e A = B, determine os valores de p,q e r

4

III) Operações com Matrizes

1) Adição (A + B)

Sejam A = (aij) e B = (bij) matrizes m n. A adição de A com B, indicada A + B, será a matriz C cujo termo geral é dado por: cij = aij + bij

Exemplo: A =

0 3 1

5 4- 3 B =

9 10 2-

1 7 5

Propriedades:

- Comutativa: A + B = B + A - Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C - Elemento neutro: Existe uma matriz O chamada de matriz nula, pois é composta por zeros, tal que:

A + O = O + A = A - Existência da matriz oposta: Dada uma matriz A Existe uma matriz B = –A, tal que:

A + (–A) = O

2) Subtração A – B = A + (- B ) Exemplo: Calcular A – B sendo A e B as matrizes do exemplo anterior

3) Multiplicação de um matriz por um número

Dados a matriz A = (aij)m n e um número real , o produto de por A é a matriz real m n dada por:

A =

a ... a a

a ... a a

a ... a a

mnm2m1

2n2221

1n1211

Exemplo: Calcule 2. A sendo A =

0 3 1

5 4- 3

5

Propriedades:

- ( . ) A = ( A)

- ( + ) A = A + A

- (A + B) = A + B - 1. A = A

4) Multiplicação

Sejam A = (aij) m n e a matriz B = (bij) n p. O produto A . B (também indicado AB) é matriz C = (cij) m p cujo termo geral cij é obtido somando-se a multiplicação ordenada dos elementos da i-ésima linha pela j-ésima coluna. Observação (IMPORTANTE): Só definimos o produto de duas matrizes quando o número de colunas da 1a for igual ao número de linhas da 2a .

A m n . B n p = C m p Exemplo: 1) Calcular A . B e A . C sendo:

A =

0 3 1

5 4- 3 , B =

6 7

2 0

5 2-

e C =

4

0

1-

Propriedades:

- A (BC) = (AB) C (associativa) - A ( B + C ) = AB + AC (distributiva à esquerda) - (A + B ) C = AC + BC (distributiva à direita) - A . In = Im . A = A (elemento neutro)

- (A) B = A (B) = (A B) Falsas propriedades do produto de matrizes

1) A.B=B.A em que A e B são matrizes quaisquer (FALSO)

Há casos em que A.B = B. A. Exemplo:

A =

30

21 ; B =

10

34

A. B = B . A

30

14 Nesse caso dizemos que A e B são comutáveis.

6

2) Se A . B = O A = 0 ou B= 0 (FALSO)

Exemplo: Efetue o produto de A por B em que A=

00

21 e B =

43

86

3) Se A.B = A . C B = C A O (FALSO)

Exemplo: A =

63

42 : B =

32

01 e C =

10

43

Matriz transposta (At )

Se A = (aij) m n sua transposta será At = (bji) tal que bji = aij , ou seja, a transposta é obtida transformando-se as linhas em colunas e vice-versa.

Exemplo: A =

1- 0 5

4 2- 3 e At =

1- 4

0 2-

5 3

Propriedades da matriz Transposta:

1) (A t ) t = A

2) ( A+B) t = A t + B t

3) ( A ) t = . A t ; R

4) (A. B) t = B t . A t Obs: 1) Quando At = A dizemos que a matriz A é simétrica.

Exemplo: A =

0 4 5

4 7 3

5 3 1

A é matriz simétrica

Observe que os elementos situados em posições simétricas em relação à diagonal principal são iguais e os

elementos da diagonal principal podem ser quaisquer números

7

2) Quando At = - A dizemos que a matriz A é anti-simétrica

Exemplo: B = [ 0 2 − 3−2 0 − 1 3 1 0

] B é matriz antisimétrica

Observe que os elementos situados em posições simétricas em relação à diagonal principal são opostos e os

elementos da diagonal principal só podem ser iguais a zero.

Matriz Inversa

Dada a matriz quadrada A de ordem n, chama-se matriz inversa de A à matriz A 1 tal que

A . A 1 = A 1 . A = I n

Exemplo: A inversa da matriz A =

74

21 é a matriz A 1 =

14

27

Obs: Nem todas as matrizes quadradas admitem inversas. Quando a matriz admite inversa, dizemos que ele é inversível. Calcule, se existirem, a matriz inversa das matrizes:

1) A =

10

22

1

; B =

63

21; C=

310

025

101

Lista 1 Exercícios sobre matrizes

1) Dada a matriz A =

40203

26530

42432

03471

, determine

a) o número de elementos dessa matriz b) a ordem (tipo) dessa matriz

c) os elementos a 21 ; a 34 ; a 41

d) os elementos da 3ª linha e) os elementos da 4ª coluna

8

2) Sendo A= (a ij ) uma matriz de ordem 4x3, determine:

a) o número de elementos da matriz

b) que valores assume o índice i do elemento genérico a ij

c) que valores assume o índice j do elemento genérico a ij

d) quantos elementos tem uma linha de A e) quantos elementos tem uma coluna de A

3) Escreva todos os elementos da matriz A= (a ij ) mxn , em cada caso:

a) A = (a ij ) 23x ,em que a ij = i – 2j

b) A = (a ij ) 22x , em que a ij = i2 – 3j

c) A = (a ij ) 32x , em que a ij = i . ( -1) j1

d) A = (a ij ) 24x , em que a ij = ij

e) A = (a ij ) 24x , em que a ij = i j

f) A = (a ij ) 24x , em que a ij = ( -i ) j

4) Escreva todos os elementos da matriz quadrada, em cada caso:

a) A= (a ij ) 33x onde a ij =

jise

jise

jise

0

1

2

b) B = ( b ij ) 44x onde b ij =

jiseji

jiseji232

c) C = ( c ij ) 22x onde c ij =

jisej

jisei

d) D= (d ij ) 32x tal que a ij =

jiseji

jisei

jisejij

2

2

5) Dada a matriz A =

430

33

253

2401

e considerando B = ( b ij ) 34x tal que b ij = a ji , determine:

a) b 12 b) b 34 c) b 33 d) b 23

6) Dadas as matrizes A= (a ij ) 34x tal que a ij = j

i e B = ( b ij ) 34x tal que b ij = ij, determine os seguintes

elementos de C = ( c ij ) 34x :

a) c 11 = a 1111 b

b) c 323232 ba

c) c 33 = -2 a 3333 3 b

9

7) Dadas as matrizes A =

0203

12

1

6

110

e B =

11212

3161

Determine: a) A + B b) A – B c) -3 A + 2 B

d) BA5

6

3

2

e) A - 2

B

8) Determine xR tal que

41

53

3

62

7

4 2

2 x

xx

x

x

=

x

x

1

22

0 2

9) Dados os tipos das matrizes A e B, determine os tipos das matrizes A.B e B.A, se existirem

a) A 32x e B 23x

b) A 4234 xx Be

c) A 3333 xx Be

d) A 33x e B 23x

e) A 24x e B 22x

10) Calcule os produtos das seguintes matrizes:

a)

231

312.

43

21

b)

20

32.

12

01

c)

23

21.

50

13

12

d)

25

30

12

.212

031

e)

5

6

5

.320

521

f)

1

2.63

g)

06

13

21

.503

10

h)

3

2.

12

05

11) Dadas as matrizes A =

54

21 e B =

12

32

1

3

2

, calcule:

a) AB b) BA

c) A2 d) B2 e) ( A+B)2 f) A2 + 2 AB + B2 g) A2 + 2 BA + B2

12) Resolva as seguintes equações matriciais:

a)

5

3.

31

12

b

a

b)

10

1

7

.

110

101

011

z

y

x

13) Resolver as seguintes equações matriciais:

a)

121

242.

1

2X

b)

3

8.

13

21X

14) Verifique se as matrizes A =

22

11 e B =

14

21 são comutáveis

15) Dadas as matrizes A=

22

11 e B =

y

x

6

2, determine x e y para que A e B comutem.

16) Determine as transpostas das seguintes matrizes:

a) A =

2954

1531

b) B =

3

2

2

c) C =

602

104

532

11

17) Determine, em cada caso, os valores das incógnitas de modo que a matriz A seja simétrica ( A é simétrica se At = A)

a) A =

12

102

73

cb

a

b) B =

39

6 2a

c) C =

ca

b

a

a

251

)3(164

560

1422

c) D =

127

)(21

)()(3

cb

caba

18) Determine, em caso, os valores das incógnitas de modo que a matriz A seja antissimétrica:

a) A =

00

10

04

c

b

a

b) B =

02

1 a

19) Considere a matriz A=

yyy

zxx

zx

9

7422

. Determine A sabendo que A é uma matriz simétrica.

20) Considere a matriz B =

0332

104

220

zyxz

xzy

zyzx

. Determine B sabendo que B é uma matriz

antissimétrica 21) Determine a matriz inversa de A, se existir:

a) A=

43

75; b) A =

021

210

132

22) Considere a matriz A=

45

34. Determine a matriz B =

dc

ba de modo que A. B = I 2

23) Determine, em cada caso, os valores de x e y, sabendo que as matrizes A e B são inversas:

12

a) A =

11

12 e B=

y

x

1

1

b) A =

20

32

1 e B=

yx

32

c) A =

021

130

212

e B =

63

221

52

y

x

24) Um fabricante de determinado produto produz três modelos: A, B e C. Cada modelo é manufaturado parcialmente na fábrica F1 em Formosa e depois na fábrica F2 nos Estados Unidos. O custo total de cada produto é a soma do custo de produção com o custo de transporte que estão representados nas tabelas abaixo:

F1 – FORMOSA

modelo Custo de produção Custo de transporte

A 32 40

B 50 80

C 70 20

F2 – ESTADOS UNIDOS

modelo Custo de produção Custo de transporte

A 40 60

B 50 50

C 130 20

a) Represente em matriz as tabelas F1 e F2 b) Calcule o custo total de produção de cada produto

25)Joga-se pesticida nas plantas para eliminar insetos daninhos. Entretanto, parte do pesticida é absorvida pela planta. Os pesticidas são absorvidos pelos herbívoros que comem essas plantas. Para determinarmos a quantidade de pesticida absorvida por um herbívoro, vamos proceder da maneira descrita a seguir. Suponha que tenhamos três tipos de pesticidas e quatro tipos de plantas. Denote por a ij a quantidade de

pesticida i ( em miligramas) que foi absorvida pela planta j. Esta informação pode ser representada pela matriz A:

13

A =

4 6 1 4

5 2 2 3

3 4 3 2

onde as linhas representam os pesticidas 1, 2 e 3 respectivamente e as colunas

representam as plantas 1, 2, 3 e 4 respectivamente. Suponha agora que temos três herbívoros e denote por bij o número de plantas do tipo i que um herbívoro do tipo j come por mês. Esta informação pode ser representada pela matriz B:

B =

20 16 40

10 12 30

15 15 28

8 12 20

onde as linhas representam as plantas 1, 2, 3 e 4 respectivamente e as colunas

representam os herbívoros 1, 2 e 3 respectivamente. Pergunta-se: Quantos mg do pesticida 2 foram absorvidos pelo herbívoro 3?

26) Uma empresa fabrica três produtos: P 1 , P 2 e P 3 conforme mostra a Tabela A abaixo, e os custos e lucros

de cada produto estão representados pela tabela B: Tabela A

Produtos Mês

P 1 P 2 P 3

Janeiro 2 1 3

Fevereiro 0 0 1

Março 4 5 2

Tabela B

Reais Produtos

Custo Lucro

P 1 1 0

P 2 2 1

P 3 3 2

Com base nas informações, calcule o lucro obtido em março.

Gabarito – Lista 1 - Matrizes

14

1) a) 20; b) 4x5; c) 2;5;-3; d) 0,3,-5,6,2; e) -3,2,6,0 2) a) 12; b) 1 i 4; c) 1 j3; d) 3; e) 4

3) a) A =

11

20

31

; b) A =

21

52; c) A =

222

111; d) A =

164

93

42

11

; e) A =

16

1

4

19

1

3

14

1

2

111

; f) A =

164

93

42

11

4) a) A =

211

021

002

; b) B =

2765

42254

452323

4625102

; c) C =

21

21

5) a) 3; b) não existe; c) -4; d) -3 6) a) 2; b) -9/2; c) 25

7) a)

11413/7

2/76/771; b)

11013/5

2/56/551; c)

21823

2/92/392; d)

5/615/1965/645/98

15/4945/4915/985/6; e)

2/142/13/2

13/12/32/1

8) x=2 9) a) A. B :2x2 ; B.A : 3x3

b) A. B :não existe ; B.A : 2x3 c) A. B :3x3 ; B.A : 3x3 d) A. B :3x2 ; B.A : não existe e) A. B :4x2 ; B.A : não existe

10) a)

171510

774; b)

84

32; c)

1915

40

65

; d)

56

102; e)

27

18

f) 12 ; g) 633 ;h)

7

10

11) a)

36/29

2/53/11; b)

82/5

6/233/4

12) a)

1

2; b)

1

9

2

15

13) a) 121 ; b)

3

2

14) A e B comutam 15) x = 3 e y = -1

17) a) a = 2 , b = -7 , c = ½ b) a = 3 ou a= -3 c) a = 0 ou a = 1; b = 3 ou b = 1 , c = Rc d) a =2, b = -3 , c = 5

18) a) a = 0, b = -4, c = 1 b) impossível pois a11 0

19) A =

818

144

842

20) A =

012

100

200

21) A 1 =

53

74 ; A 1 =

211

412

724

22) B =

45

34

23) x=1 e y = -2; x =0 e y = ½; x=4 e y =-5 25) 174 mg

Fontes:

1) Matemática –Volume Único : Gelson Iezzi e outros. Atual Editora 2) Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares: Manoel B. Rodrigues/ Álvaro Z. Aranha . Editora Policarpo