aula 8 - pontes

7/24/2019 Aula 8 - Pontes

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CAPTULO 7


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PROJETO E ANLISE DE PONTES SRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA

190

CAPTULO 7SOLICITAES SECCIONAIS NO VIGAMENTO PRINCIPAL DAS PONTES

_____________________________________________________________________

7.1 IntroduoAs diversas etapas do clculo do vigamento principal sero explicadas mediante

o clculo de uma Ponte Exemplo, descrita a seguir:

Trata-se de uma ponte rodoviria, em concreto armado, constituda por trs voscontnuos de 18 m e dois balanos de 4 m, totalizando o comprimento de 62 m. A seotransversal composta por duas vigas principais de altura constante de 1,90 m eespessura variando de 0,40 m no vo para 0,80 m nos apoios. Estas vigas so ligadas

pela laje e por transversinas de apoio e intermediria. A ponte est inserida em rodoviade 1 classe, possuindo duas pistas de rolamento de 3,60 m, dois acostamentos de 2,50

m e dois guarda-rodas de 0,40 m, perfazendo uma largura total de 13 m.

Os materiais adotados no projeto da ponte apresentam as seguintescaractersticas:

Concreto estrutural: fck= 20 MPa;

Ao: CA-50 A (fyk= 500 MPa);

Aparelhos de apoio: Borracha Neoprene Fretada.

Dados adicionais: Cobrimento adotado para as armaes: c =3,0 cm;

Trem-Tipo adotado: TB- 450 kN (NBR-7188);

Guarda-Rodas: Barreira Tipo New-Jersey (Padro DNIT);

Pavimentao: asfltica.

O sistema construtivo da ponte o de estrutura moldada no local sobreescoramento direto.

As Figuras 7.1 e 7.2 apresentam os desenhos de elevao e corte em planta,sees transversais nos vos e nos apoios, detalhes das cortinas, abas e alargamentos dasvigas, junto aos apoios extremos e intermedirios da Ponte Exemplo.


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191

ELEVAOEM

CORTE

CORTEEMP

LANTA

VER

DETALHEA

VER

DETALHE

B

1800

40

40

40

40

40

120

300

25

40

300

300

120

200

20

400

300

13

15225

40

40

40

20

40 120

40

20

300

15

20

300

300

20

900

20

20

DETALHEA

DETALHEB

30

20

30

200

2080

300

300

30

20

30

2080

300

Figura 7.1 - Forma em corte da ponte em elevao e corte em planta

(dimenses em cm)


4/45


192

3

2

SEO TRANSVERSAL NO VO

DETALHE DA CORTINA DETALHE DA ABA CORTINA

H=25

A

A

CORTE A-A

300

40

5

40

15

13

12

15

40

381

5

5

120

137

137

620

360250

1300

360

300

190

250 40

50 15

20

85

60

25

2525

25

120

300

20

40

300

190

50 25

60

40

40

190

300300

137

500

20

80

15

20

15

80

40

1300

40250250 360360

38

15

25

13

120

5 12

120

5

SEO TRANSVERSAL NO APOIO

Figura 7.2 - Sees transversais e detalhes da cortina e abas laterais(dimenses em cm)


5/45


193

7.2

Clculo das Cargas Permanentes

7.2.1 Peso Prprio Estrutural (g1)

O peso prprio estrutural corresponde ao peso de todo o concreto das peas

estruturais da ponte (lajes, vigas, transversinas e cortinas).

Peso especfico de concreto armado - c= 25 kN/m3

a) Carga distribuda para uma viga:

c1 Sg = (7.1)

onde:

S a rea da seo transversal;

g1 a carga por metro linear.

Como se trata de ponte em concreto armado, com seo transversal constitudapor duas vigas ligadas pela laje, as cargas permanentes so calculadas para meia seotransversal, que corresponde parcela absorvida por uma viga. Este procedimento adotado para estar em conformidade com o clculo das cargas mveis que feito porviga.

A Figura 7.3 mostra meia seo transversal dividida em trapzios e retngulospara a seqncia de clculo das caractersticas geomtricas:

0,

15

0,

10

1,

52

0,

13

6,50

xy

1,20

b

3,00

w

Figura 7.3 - Seo transversal dividida em trapzios e retngulos(dimenses em cm)


6/45


194

Clculo de x:

m696,1x23,0

13,03x

10,013,013,0

00,3x=

=

+

m304,1x0,3y ==

Dividindo-se a meia seo transversal em trapzios e retngulos tem-se:

0,

15

0,

10

1,

52

0,

13

6,50

6,50

5,196

2,896+b

x+b +1,2=1,696+1,2+b

6,5-y=6,5-1,305=5,196bw

w

bw

w w

Figura 7.4 - Seo lquida de concreto (dimenses em cm)

Este procedimento bastante prtico, principalmente quando necessrioconhecer todas as caractersticas geomtricas (S, Vs, Vi, J, Ws, Wi) das diversas seestransversais, caso das obras em concreto protendido.

Seo do vo bw= 0,40 m

52,140,013,02

40,0296,310,0

2

196,55,615,05,6S vo +

++

++=

m408,2S vo =

Seo do apoio bw= 0,80 m

52,180,013,02

80,0696,310,0

2

196,55,615,05,6S apoio +

++

++=

m068,3S apoio =

Carga distribuda da seo corrente (g1):

mkN02,60g

mkN25m408,2g 13

21 ==


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195

b) Cargas concentradas (para uma viga)

b.1) Transversinas intermedirias

kN24,21P2520,0

2

20,637,1P =

=

b.2) Transversinas de apoio

( ) kN21,23P2552,180,020,020,02

00,537,1P =

+

=

b.3) Variao da espessura da viga principal

Por simplicidade de clculo, reduzem-se as cargas distribudas lineares,referentes aos acrscimos da espessura da alma da viga, em cargas concentradas:

q - qapoio vo

L /3 =200

P P

q vo(g )

L /3 =30021

L /31 L /32

1

Figura 7.5 - Variao do carregamento em funo do espessamento da alma(dimenses em cm)

( )2

LqqP voapoio = (7.2)

Variao da seo Transversal da viga no balano:

( ) kN50,16P20,2

25408,2068,3P ==

Variao da seo Transversal da viga no vo:

( ) kN75,24P2

0,325408,2068,3P ==

b.4) Cortina + Aba

A Figura 7.6 ilustra as dimenses da cortina e da aba.


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196

pa0,

20

0,

25

pc

pb

0,250,25

1,

90

pd

0,

40

0,

20

0,

40

1,

50

2,500,50

pe

pf

Figura 7.6 - Cargas da cortina e abas laterais

(dimenses em m)

Parede frontal

kN19,77252

00,1390,125,0Pa ==

Dente de apoio

kN40,12252

00,1225,0

2

45,020,0Pb =

+=

Viga inferior

kN19,10252

00,1325,025,0Pc ==

Aba da Cortina

kN30,132525,05,22

50,120,0Pd =

+=

kN70,42525,050,050,1Pe ==

kN00,12250,340,040,0Pf ==

kN78,129PTotal cortina =

A Figura 7.7 apresenta o resumo das cargas devidas ao peso prprio estrutural(g1).


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197

24,75 kN23,21 kN

16,50 kN

129,78 kN

24,75 kN23,21 kN

24,75 kN

4,00 9,009,009,00

21,24 kN21,24 kN

g = 60,20 kN/m1

0,67 1,0 1,0 1,0

Figura 7.7 - Resumo do carregamento de peso prprio estrutural (g1)

Obs:Nas obras em concreto protendido, o peso prprio estrutural a cargamobilizada com a implantao da protenso.

7.2.2

Sobrecarga Permanente (g2)

A sobrecarga permanente constituda pelo peso da pavimentao, guarda-rodas, guarda-corpo, laje de transio e aterro sobre a laje de transio. No caso deviadutos urbanos, a sobrecarga permanente pode incluir tambm cargas de postes deiluminao, tubulaes, passeios, etc.

a) Carga distribuda

a.1) A Figura 7.8 indica as dimenses do guarda-rodas (New-Jersey - DNIT)

mkN81,32587,0175,0Pa ==

mkN79,025

2

40,087,005,0Pb =

+=

mkN80,5pm

kN20,1252

15,040,0175,0Pc ==

+=

kN80,5P:Total rodasguarda =

pa

pb

pc

17,5517,5

25

15

40

87

Figura 7.8 - Carga do guarda-rodas


10/45


198

a.2) Pavimentao Asfltica

A Figura 7.9 mostra o detalhe da espessura do pavimento asfltico da PonteExemplo.

125

610

Figura 7.9 - Dimenses do pavimento asfltico

(dimenses em cm)

mkN24asfalto =

kN44,122410,62

12,005,0Pasfalto =

+=

Logo,

kN24,1844,1280,5g 2 =+=

b) Cargas Concentradas

b.1) Laje de transio

Para efeito do clculo das cargas, admite-se que a laje de transio funcionecomo bi-apoiada sobre o solo e sobre o dente da cortina. A Figura 7.10 ilustra adistribuio da carga na laje de acesso.

apoio no terreno

3,0 m

apoio na cortina

pp

Q

Figura 7.10 - Distribuio da carga na laje de acesso

kN75,45pmkN25

2

20,12

2

0,320,0P transdelajetranslaje ==


11/45


199

b.2) Aterro sobre a laje de transio

A camada de aterro localizada sobre a laje de acesso considerada como umacarga concentrada aplicada no ponto mdio da laje.

3,0 m

p

p

Q

0,

40

0,

20

Aterro

Figura 7.11 - Sobrecarga de aterro na laje de acesso

(cotas em m)

mkN18solo =

kN88,65PmkN18

2

20,12

2

0,340,0P AterroAterro ==

b.3) Guarda-rodas sobre a aba da cortina

Deve ser considerada tambm a carga do guarda-rodas sobre a laje de transio.

kN40,1738,5P ==

Carga total no extremo do balano

kN03,12940,1788,6575,45P =++=

A Figura 7.12 apresenta o resumo das cargas devidas sobrecarga permanente(g2).


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200

129,03 kN

4,00 9,0018,00

18,24 kN / m

Figura 7.12 - Resumo da sobrecarga permanente (g2)(dimenses em m)

7.3 Clculo das Solicitaes Seccionais no Vigamento Principaldevidas s Cargas Permanentes

Nas obras em concreto protendido, a carga correspondente ao peso prprioestrutural mobilizada com a implantao da protenso. Desta forma, necessria averificao do estado de tenses nas fibras extremas da seo de concreto, devido soma dos carregamentos de peso prprio e protenso. Assim, necessitam-se dassolicitaes isoladas destes carregamentos, para analisar o estado de tenses noconcreto, correspondente ao conjunta destes.

Nas vigas em concreto armado no h interesse no clculo isolado dos esforosseccionais devido ao peso prprio estrutural e sobrecarga permanente. Por isto, osesforos seccionais so determinados para o valor total das cargas permanentes (g1 +g2).

A Figura 7.13 resume as cargas permanentes atuantes sobre a viga.

24,75 kN23,21 kN

16,50 kN

258,81 kN

24,75 kN23,21 kN

24,75 kN

4,00 9,009,009,00

21,24 kN

21,24 kN

78,44 kN/m

1,000,67 1,01,0

1 2

Figura 7.13 - Resumo dos carregamentos g1+ g2(cotas em m)

O clculo dos esforos atuantes pode ser feito pelo mtodo de Cross,apresentado a seguir:

- Definio do Sistema Principal


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14/45


202

9,00

21,24 kN1,00 1,00

L=18,00

9,00

bal.M

78,45 kN / m

24,75 kN 24,75 kN

Figura 7.15 - Carregamento das hastes 1-2

(cotas em m)

( )kNm50,673.1M67,05,160,473,258

2

0,444,78M bal

2bal =

++=

a) Carga distribuda

kNm82,176.3m8

0,1844,78

8

Lqmm 34

2

3421 ==

=

==

b) Cargas concentradas

A Figura 7.15 mostra o desenho esquemtico da haste bsica (2-3) com cargaconcentrada atuante.

a bP

L

Figura 7.16 - Carga concentrada nas hastes 1-2(simtrica da haste 3-4)

+

=

L

bi

L2

baPm21 (7.4)

Alargamento de viga direita:

kNm73,220,18

0,17

10,182

00,1700,175,24

mm 3421 =

+

==


15/45


203

Alargamento de viga esquerda:

kNm34,120,18

0,11

0,182

00,10,1775,24mm 3421 =

+

==

Transversina de vo

kNm69,710,18

0,91

0,182

0,90,924,21mm 3421 =

+

==

c) Momento Aplicado

A Figura 7.17 mostra o desenho esquemtico da transmisso do momento dobalano.

bal.m

ponto fixo

21m'

Figura 7.17 - Transmisso do momento do balano

( ) kNm75,836m50,673.15,0M5,0m 21bal

21 ===

Logo:

kNm83,446.275,83669,7134,1273,2282,176.3m21 =+++=

Haste 2- 3

9,00

21,24 kN1,00 1,00

9,00

bal.M

78,45 kN / m

24,75 kN 24,75 kN

N2

N3

Figura 7.18 - Carregamento das hastes 2-3(cotas em m)


16/45


204

a) Carga distribuda

( )kNm88,117.2

12

0,1844,78

12

Lqmm 3223 =

=

=

b) Cargas concentradasOs momentos atuantes nos apoios devidos s cargas concentradas so definidos

por:

aPm23 = (7.5)

bPm32 = (7.6)

Alargamento de viga esquerda

kNm08,220,180,170,175,24m

2

23 =

=

kNm30,10,18

0,11775,24m

2

32 =

=

Alargamento de viga direita

kNm30,1m23 =

kNm08,22m32 =

Transversina de vo:

kNm79,470,18

0,90,924,21mm

2

3223 =

==

kNm05,189.279,4730,108,2288,117.2m23 ==

kNm05,189.279,4708,2230,188,117.2m32 +=++++=

O resumo dos fatores de carga de 2 espcie est representado na Figura 7.19.

2 31 4

m' = + 2446,83 kN /m21

m' = - 2189,05 kN /m23 m' = + 2189,05 kN /m

m' = - 2446,83 kN /m21

23

Figura 7.19 - Resumo dos fatores de carga de 2 espcie

Seguindo o mtodo de Cross, os momentos no equilibrados nos ns so:


17/45


205

kNm78,25705,189.283,446.2M 2 ==

kNm78,25783,446.205,189.2M3 ==

A Figura 7.20 apresenta a soluo iterativa do processo de Cross.

+257,8 - 257,8

0,5710,429 0,4290,571

-2189,1+2446,8 -2446,8+2189,1

-147,1 = 0,5-110,6 -73,6

+94,6+142,2+189,2

-54,0-40,6-27,0

+7,7+11,6+15,4

-2,2-4,4-3,3

+1,3 +0,9+0,6

-0,4-0,3

-2292+2292 -2292+2292

Figura 7.20 - Iterao de Cross(unidades em kNm)

Tem-se, portanto, o seguinte diagrama de momentos fletores:

-1674 kN

-2292 kN -2292 kN

-1674 kN

R = 1319,4 kN30R = 1540,4 kN20R = 1540,4 kN10R = 1319,4 kN0

Figura 7.21 - Diagrama de momentos fletores das cargas permanentes

Os momentos fletores e esforos cortantes nas sees dos dcimos dos vos daPonte Exemploesto indicados no Quadro 7.1. Estes valores no correspondem aos doclculo manual por Cross, que teve exclusivamente o carter de recordao da

hiperesttica clssica.


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206

Na verdade, os valores do Quadro 7.1 foram obtidos atravs da modelagem daviga da Ponte Exemplo no programa SALT UFRJ, que leva em considerao asvariaes de inrcia devidas aos alargamentos das vigas, em planta, junto aos apoios.Este refinamento prtica corrente nos projetos atuais fez com que houvesse umacrscimo de aproximadamente de 6,17 % nos valores dos momentos fletores dos

apoios intermedirios. Em conseqncia, os valores dos esforos cortantes tambmsofreram pequenas diferenas em relao aos obtidos pelo clculo por Cross. NoCaptulo 9, o dimensionamento flexo e ao cisalhamento ser feito com base nassolicitaes obtidas pela modelagem feita pelo programa SALT UFRJ.

Quadro 7.1 - Momentos fletores e solicitaes cortantes nos dcimos de vo

Seo M (kNm) V (kN)

S1/2 - bal -674,60 -415,70S0esq -1673,86 -589,00S0dir -1673,85 698,29

S1 -563,78 532,37S2 267,48 391,25S3 844,72 250,13S4 1167,95 109,01S5 1237,16 -32,11S6 1014,20 -194,43S7 537,22 -335,55S8 -193,78 -476,67S9 -1178,79 -617,79

Sesq10 -2442,62 -783,71Sdir10 -2442,62 741,00S11 -1255,66 575,08S12 -347,53 433,96S13 306,59 292,84S14 706,70 151,72S15 852,78 -10,60

7.4 Distribuio Transversal das Cargas Mveis

Os mtodos de distribuio transversal das cargas tm, por finalidade, adeterminao da parcela da carga total sobre a laje que solicita cada viga da seotransversal. Este assunto tem sido motivo de um grande nmero de pesquisas e

publicaes. O texto dos itens 7.4.1.1 7.4.1.3 a reproduo de artigo do autor emconjunto com o Professor Eduardo Valeriano Alves, a Engenheira Mayra SoaresPerlingeiro e o Professor Ricardo Valeriano.

7.4.1 Seo Transversal em Vigas Mltiplas

A utilizao de tabuleiros de vigas mltiplas de concreto armado ou protendidoem pontes e viadutos extremamente difundida no Brasil, em funo das vantagenseconmicas e construtivas desta soluo, como mostrado no Captulo 5. A anliseestrutural deste tipo de obra efetuada usualmente em duas etapas. Na primeira delas,tratada neste livro, desenvolve-se a anlise da superestrutura, separando-a dos demais


19/45


207

elementos integrantes do conjunto estrutural, a segunda etapa desenvolve-se a anlise dameso e infra-estrutura. A Figura 7.22 ilustra a seo transversal tipo I e o corte em

planta, de uma ponte constituda por quatro vigas com transversinas de apoio e de vo.

TRANSVERSINA

VIGAS LONGITUDINAIS

V1 V2 V3 V4

V1

V2

V3

V4

Figura 7.22 - Seo transversal e corte em planta no tabuleiro em vigas mltiplas

A partir de uma carga aplicada no tabuleiro, conforme ilustra a Figura 7.23, faz-se a distribuio do carregamento para as longarinas, de tal forma que o somatrio dasreaes de apoio, representada na expresso (7.7), seja exatamente o valor da cargaaplicada. A distncia e representa a excentricidade da carga ao centro elstico daseo Transversal.

e

P

P1 P2 P3 P4

Figura 7.23 - Distribuio da carga mvel concentrada

4321 PPPPP +++= (7.7)


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208

7.4.1.1

Mtodos de Anlise de Tabuleiros de Pontes em VigasMltiplas

Na etapa de anlise da superestrutura, faz-se, em geral, uma simplificao domodelo estrutural. Assimila-se o modelo estrutural da grelha, formada por longarinas e

transversinas, a um modelo menos rigoroso, representado por vigas bi-apoiadas. Paraque esta simplificao seja feita, aplicam-se mtodos tradicionais, atravs dos quais sodeterminadas as parcelas de carregamento correspondentes a cada uma das longarinas.

No prximo item so apresentados, a seguir, os fundamentos tericos desses mtodos,apontando suas principais limitaes, para efeito de automatizao da anlise.

7.4.1.2 Mtodos para Anlise Simplificada

Na obteno de solicitaes e reaes de apoio em tabuleiros de vigas mltiplas,so utilizados tradicionalmente quatro mtodos aproximados de clculo. As descriessucintas destes mtodos so apresentadas nos itens seguintes, aps uma sinopse dos

estudos iniciais que os precederam.

a) Sntese da evoluo dos mtodos aproximados [1]

Em funo da sua elevada hiperestaticidade, a anlise do comportamentoestrutural de grelhas constituiu-se no passado em uma tarefa complexa para os

projetistas. Iss motivou o desenvolvimento de diversos processos simplificados declculo manual.

Em 1893, Zschetzsche, com base no mtodo das foras, desenvolveu umtrabalho, no qual no obteve xitos maiores em aplicaes prticas, face s dificuldades

e complexidades numricas de clculo [2].

Em 1912, Arnstein voltou a abordar o problema, tambm utilizando-se domtodo das foras, no tendo,entretanto,alcanado muito sucesso pelas mesmas razesanteriores. No mesmo ano, Kgler efetuou o estudo de uma ponte, obtendo algumasconcluses importantes e Lossier, baseando-se na teoria de vigas contnuas sobre apoioselsticos, apresentou tambm um trabalho [3].

Em 1914, Huber aplicou pela primeira vez a teoria de placas ortotrpicas para aresoluo do problema. Nessa mesma poca, Saliger, Frank e Knorr trabalharam nocampo da pesquisa experimental e obtiveram resultados relevantes que contribuiram

para o melhor conhecimento do assunto [4].

Em 1922, Thullie analisou o problema das grelhas, tomando para astransversinas uma rigidez infinita [5].

Em 1925, Petermann, adotando como incgnita os momentos nos ns dasgrelhas, deparou-se tambm com dificuldades numricas [6].

Em 1926, Faltus simulou, pela primeira vez, o efeito de todas as transversinas dotabuleiro, representando-as por uma transversina fictcia nica. Alcanou, assim,bonsresultados para a distribuio de cargas no meio do vo [7].


21/45


209

Em 1927, Bleich e Melan, desprezando a rigidez torsional dos elementos dagrelha, chegaram a um sistema de equaes diferenciais parciais e apresentaram asoluo destas [8].

Em 1928, Gennter incluiu as rijezas torsionais ao estudo anterior, mas, em

virtude das dificuldades numricas apreciveis, no alcanou resultados positivos naresoluo das equaes diferenciais parciais [9].

Em 1930, Ostenfeld, utilizando o mtodo dos deslocamentos e considerandocada n como apoio indeslocvel, chegou tambm um sistema de equaes. Nomesmo ano Krall, baseando-se na teoria de vigas sobre apoios elsticos, apresentou umtrabalho sobre a repartio transversal de cargas [10].

Em 1938, Leonhardt apresentou um importante trabalho sobre grelhas apoiadasem dois bordos. Neste trabalho, foram estudados os coeficientes de distribuiotransversal, desprezando-se a toro do conjunto e considerando a laje apenas como

uma parcela colaborante na inrcia das vigas. Em 1940, o mesmo autor estendeu omtodo s grelhas engastadas e contnuas, concluindo ento o conhecido "Mtodo deLeonhardt". Posteriormente, em 1950, o mtodo foi mais uma vez aperfeioado porLeonhardt, com auxlio de Andr [11].

Em 1940, Courbon desenvolveu o mtodo dos coeficientes de distribuiotransversal para grelhas constitudas por transversinas com rigidez infinita. Este mtodotambm atribudo a Engesser, sendo assim conhecido como "Mtodo de Engesser-Courbon" [12].

Em 1946, Guyon deu continuidade ao estudo de Huber para grelhas compostas

por elementos sem rigidez torsional. Com a hiptese de um elevado nmero delongarinas e transversinas a grelha foi assimilada a um sistema contnuo (placaortotrpica). Em 1950, Massonet prosseguiu com os estudos de Guyon, incluindo arigidez toro das vigas. Com esse aporte, concluiu o "Mtodo dos Coeficientes deDistribuio Transversal de Guyon-Massonet". Em 1955, o mtodo foi aperfeioado porRowe que introduziu a considerao da influncia do coeficiente de Poisson.Posteriormente, em 1965, o mtodo veio a ser ampliado por Bars [13].

Em 1951, no Brasil, Ferraz apresentou um trabalho, no qual se utilizou defunes ortogonais para soluo das equaes diferenciais do problema de uma placaortotrpica equivalente a uma grelha [14].

Em 1956, Homberg e Weinmeister abordaram a questo sem considerar efeitosde toro. Posteriormente em 1962, Homberg e Trenks, apresentaram um trabalho noqual os efeitos de toro foram includos [15].

b) Mtodos sem considerao da toro nas vigas

b.1) Mtodo de Engesser-Courbon [16]

Alm das hipteses bsicas relativas Teoria das Estruturas (comportamentolinear elstico, pequenos deslocamentos, sees planas, Princpio de Saint-Venant),foram consideradas ainda as abaixo descritas:


22/45


210

As longarinas so paralelas, de inrcia constante e so ligadas entre siperpendicurlamente por transversinas e possuem inrcia constante;

As transversinas esto simplesmente apoiadas nas longarinas e admite-se queestas possuem rigidez infinita flexo, desprezando-se suas deformaes em

relao s deformaes das longarinas;

Desprezam-se os efeitos de toro.

Assim, com base nestas hipteses, as transversinas comportam-se como barrasrgidas, permanecendo com seus eixos retilneos aps a deformao do conjunto.

Admitindo-se a proporcionalidade entre o produto "flecha (y) rigidez (J)" e asreaes das longarinas (R), tem-se para as cargas aplicadas nas transversinas:

( )bxaJyJR iiii += (7.8)

A soluo do problema consiste na determinao dos valores de Ri, a partir doequilbrio do conjunto. Assim, uma vez equacionados os valores de "a" e "b", obtm-se:

( )

++=

e

1n

1ni261

n

PRi (7.9)

onde:

P a carga atuante na transversina;

n o nmero total de longarinas;

i a longarina genrica;

e a abscissa do ponto de aplicao da carga P;

o espaamento entre as longarinas.

A equao (7.9) a expresso geral para uma reao Ri relativa ao apoio,constitudo por uma longarina genrica i, com (i = 1, ... ,n). Considera-se ainda que aslongarinas sejam idnticas e igualmente espaadas entre si.

Assim, a totalidade da carga P absorvida pelas longarinas, (como se nohouvesse transversinas no tabuleiro) segundo um coeficiente de repartio transversal,rie, dado por:

( )

++=

e

1n

1ni261

n

1rie (7.10)

Uma vez conhecidos os coeficientes rie, torna-se possvel obter as solicitaes ereaes de apoio nas longarinas, atravs do carregamento das linhas de influncia de

reao rie (na transversal) e, posteriormente, do carregamento das linhas de influnciadas longarinas na direo longitudinal.

O mtodo tambm permite o estudo de casos mais genricos, onde as longarinasso desiguais (em inrcia) e desigualmente espaadas. Para isso, a origem do eixo x o


23/45


211

centro de gravidade das sees das longarinas, afetadas de massas proporcionais sinrcias correspondentes.

Os resultados obtidos por este mtodo so mais satisfatrios quanto menor for ovalor do parmetro expresso por:

T

L

mb

nL

L2

1

= (7.11)

onde:

L o comprimento do tabuleiro;

b a largura do tabuleiro;

n o nmero de longarinas;

m o nmero de transversinas;

L a rigidez mdia de longarinas (EJ);

T a rigidez mdia de transversinas ( JE ).

Para casos de carga ( )hP aplicada nas longarinas (h), substitui-se a carga ( )hPpor um sistema equivalente, constitudo por diversas cargas ( )...etc,P,P 2h1h , aplicadasnos pontos de cruzamento da longarina carregada (h), com as transversinas queconstituem a grelha. Aps a substituio, procede-se da forma descrita no caso decargas aplicadas nas transversinas.

b.2) Mtodo de Leonhardt [17]

Neste mtodo, alm das hipteses bsicas da Teoria das Estruturas, foram aindaadmitidas as seguintes:

Todas as transversinas do tabuleiro so representadas por uma nicatransversina fictcia, apoiada no meio dos vos das diversas longarinas;

Esta transversina fictcia considerada como simplesmente apoiada naslongarinas;

Desprezam-se os efeitos de toro.

Sob a ao de uma carga Pkunitria, o conjunto se deforma, originando reaes

nkikk2k1 r,,r,,r,r KK , denominadas "coeficientes de repartio transversal", onde ikr areao correspondente longarina "i", quando a carga unitria atua na transversina "k".

Uma vez obtidos os coeficientes ikr , a determinao dos esforos seccionais ereaes de apoio nas longarinas pode ser feita ento, de forma idntica do mtodo deEngesser-Courbon. A deformabilidade do conjunto, e, portanto, os valores doscoeficientes ikr , dependem, nos casos normais, das seguintes grandezas:


24/45


212

Da relao entre inrcias da transversina ( )J e longarinas ( )J , expressa peloparmetro , onde:

J

J_

= (7.12)

Da relao entre o afastamento recproco das longarinas ( ) e o vo ( )L ,expressa pelo parmetro , onde:

L

= (7.13)

Assim, os coeficientes de repartio transversal sero funo do grau de rigidezda estrutura, expresso pelo parmetro , onde:

( )

3_

3 2

L

J

J

2

=

= (7.14)

Tomando-se como parmetro de entrada, podem-se obter os coeficientes derepartio transversal, tabelados para diversos casos [17], inclusive aqueles comlongarinas externas com rigidez diferente das internas. Podem ainda ser analisadoscasos especiais, com diferentes tipos de vinculao nas longarinas.

c) Mtodos que consideram a rigidez toro das vigas

c.1) Mtodo de Guyon-Massonet [16 , 17]

Este mtodo baseia-se na teoria geral das lajes ortotrpicas, na qual se admitemas seguintes hipteses bsicas:

A espessura da placa constante e pequena em relao s demais dimenses;

As deformaes so puramente elsticas onde vlida a lei de Hooke e osdeslocamentos so pequenos em relao espessura da laje;

Pontos alinhados segundo uma normal superfcie mdia da laje

indeformada, encontram-se tambm linearmente dispostos em uma normal superfcie mdia na configurao deformada;

Pontos situados na superfcie mdia da laje deslocam-se somentenormalmente mesma;

Em relao ao material, admite-se que as propriedades elsticas sejamconstantes, podendo ser diferentes nas duas direes ortogonais.

O estudo do problema foi desenvolvido, a partir destas hipteses decomportamento da placa ortotrpica, baseando-se ainda nas premissas abaixo

enunciadas:


25/45


213

O tabuleiro como um todo, composto por laje, longarinas e transversinas substitudo por uma placa ortotrpica equivalente. Tal associao se faz,admitindo-se que os espaamentos entre longarinas e transversinas sosuficientemente pequenos para que se possa assimilar o tabuleiro a umsistema estrutural contnuo (placa);

A distribuio de qualquer carregamento no sistema equivalente aproximada atravs da expresso:

( )

=L

xsenpxp (7.15)

Esta expresso define um carregamento senoidal aplicado em uma faixagenrica, situada na direo paralela ao eixo longitudinal do tabuleiro.

Considerando-se o exposto, o funcionamento esttico do tabuleiro passa a ser

ento representado pela equao diferencial indicada em (7.16).

( )y,xpy

wp

yx

wpp2

x

wp

4

4

y22

4

yx4

4

x =

+

+

(7.16)

sendo:

Rigidez flexo das longarinasx

x I

EJp = (7.17)

Rigidez flexo das transversinasy

_

y IJEp = (7.18)

Parmetro de toroyx

yx

pp2

pp

+

+= (7.19)

Para o clculo exato, seria necessrio solucionar a equao (7.16), satisfazendoas condies de contorno correspondentes. Guyon e Massonet conduziram a soluo do

problema de forma a obter uma srie de tabelas e grficos, nos quais podem serencontrados os valores dos ndices de repartio transversal X , que dependem

fundamentalmente dos seguintes parmetros:

Do coeficiente de travejamento :

4

y

x

P

P

L

b= (7.20)

sendo:

b a semi-largura da placa equivalente;

L o comprimento da placa equivalente;


26/45


214

xP e yP j definidos em (7.17) e (7.18), respectivamente.

Do parmetro de toro definido em (7.19);

Da posio da carga, definida por sua excentricidade (frao da semi-

largura);

Da posio da viga que se quer obter o ndice X (frao da semi-largura).

Uma vez obtidos os ndices de repartio transversal, o estudo das longarinaspode ser realizado atravs do carregamento das direes transversal e longitudinal dotabuleiro.

d) Mtodo de Homberg -Trenks [15]

O mtodo baseia-se na teoria das grelhas. Consideram-se a rigidez flexo das

transversinas e longarinas e a rigidez torsional somente das longarinas. A essncia domtodo baseia-se na ortogonalizao dos hiperestticos.

Uma grelha simplesmente apoiada com "m" longarinas e "t" transversinas 2t(m-1) vezes hiperesttica. Atravs da ortogonalizao dos hiperestticos, a matriz2t(m-1) transforma-se em "t" matrizes independentes, cada uma associada a 2(m-1)equaes e incgnitas.

Nos casos estudados (nmero ilimitado de longarinas), a ortogonalizao possvel com grupos de cargas e de momentos, sendo necessrio que as longarinaspossuam inrcia flexo J e toro J constantes, e que as transversinas sejamidnticas e igualmente espaadas entre si.

Forma-se o sistema principal estaticamente determinado, seccionando-se aslongarinas em (m-1) pontos. Em cada seo so aplicados os elementos dos grupos decarga e de momentos ( )nh , que so regidos pela seguinte lei:

( ) ( )

=

L

xnsen h0nnh , com Lx0 (7.21)

onde:

h = [1,2, ...,t] so as abscissas de uma transversina;

n = [1,2, ...,t] o nmero de termos da srie;

L o comprimento do vo das longarinas.

Os resultados deste trabalho foram apresentados na forma de tabelas, quepermitem sua utilizao a partir do conhecimento dos seguintes parmetros de entrada:

Rigidez flexo da grelha:J

J

a2

LZ

_3

= (7.22)


27/45


215

Rigidez toro da grelha:T

_

T GJ

JE

a8

LZ

= (7.23)

onde:

L o comprimento do vo das longarinas;a o espaamento entre longarinas;

J a inrcia flexo das longarinas;

J a inrcia flexo das transversinas;

TJ a inrcia toro das longarinas.

As tabelas so disponveis para um nmero infinito de longarinas e valores de Z,compreendidos entre 0 e .

7.4.1.3

Mtodos Computacionais

a) Evoluo: Dos Mtodos Clssicos ao Mtodo dos Elementos Finitos

Diversos mtodos analticos e numricos aproximados, desenvolvidos antes daera computacional, vieram a ser posteriormente adaptados para serem utilizados emcomputadores. Este o caso do Mtodo das Diferenas Finitas e tambm de Mtodosclssicos, como o dos Mnimos Quadrados e o Mtodo de Ritz. Em contraste com estesmtodos anteriormente citados, o Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) essencialmente um produto da era dos computadores digitais [18]. Tambm,contrariamente queles mtodos, o MEF pode ser programado para abordar problemasextremamente complexos, tais como no-linearidade fsica e geomtrica, condies decontorno intrincadas, etc. Assim, em funo da extensa aplicabilidade deste mtodo econsiderando-se ainda sua utilizao neste tpico, apresenta-se uma descrio sucintado mesmo.

So apresentados a seguir, os mtodos de distribuio transversal de cargas emdois grandes grupos, indicando-se os principais mtodos para resoluo deste problema.

1 - Homberg -Weinmeister

2 - Figueiro FerrazMtodos aproximados 3 - Leonhardt(Anlise como grelha) 4 - Anlise em programas de

computador para estruturas reticulares

MtodosdeAnlise

1 - Guyon - Massonet

Mtodos contnuos(Anlise como laje ortotrpica)

2 - Programas de computador paraestruturas prismticas laminares.3 - Programas de computador para o

mtodo dos elementos finitos.


28/45


216

7.4.1.4

Campo de Aplicao dos Mtodos Aproximados eComparao Numrica

a) Campo de Aplicao

Esses mtodos, j descritos anteriormente, no levam em considerao apresena da laje na distribuio transversal da carga, pois utilizam o modelo de grelhaplana e fornecem resultados precisos para tabuleiros compostos por um nmeroreduzido de vigas principais e transversinas intermedirias. A presena da laje s levada em conta no clculo da inrcia e rea das vigas e transversinas, aumentando suasrijezas. A largura da mesa colaborante obtida atravs das prescries das normasvigentes. Muitos desses mtodos so apresentados sob a forma de tabelas que fornecemas linhas de influncia de reaes das vigas principais. Essas linhas so calculadas paraa seo do meio do vo do tabuleiro e admite-se que so vlidas ao longo de todo o seucomprimento. Este procedimento a favor da segurana, pois medida que se aproximados apoios a distribuio transversal mais efetiva diminuindo a solicitao por viga.

Os mtodos que no consideram no clculo a inrcia toro das vigas principaistornam o trabalho de confeco das tabelas mais simples, pois diminui o grau dehiperestaticidade da grelha.

Os mtodos aproximados conduzem a resultados conservadores, implicando emum maior consumo de armaduras nas vigas. Eles so indicados para a fase deanteprojeto ou para o projeto final de pontes com pequeno nmero de vigas, onde aeconomia de armaduras ativas e passivas desprezvel.

Como indicao para o campo de aplicao dos mtodos aproximados semgrande prejuzo da preciso tem-se:

5assintransverdeN

5vigasdeN

O modelo de Clculo em grelha apresentado na Figura 7.24:

VIGAS PRINCIPAIS

( LONGITUDINAL )

APOIO

TRANSVERSINA

Figura 7.24 - Modelo de grelha

O grau de hiperestaticidade da grelha (G) pode ser definido considerando ainrcia toro das vigas principais ou no:

Desprezando-se a inrcia toro das vigas principais (transversinassimplesmente apoiadas nas vigas):

( ) m2nG = (7.24)


29/45


217

onde:

n o nmero de vigas;

m o nmero de transversinas.

Levando-se em conta a inrcia toro das vigas principais. (Engastamentoelstico das transversinas nas vigas)

( ) ( )1nm2mn2nmG =+=

b) Comparao Numrica

Faz-se, a seguir, uma comparao numrica entre o mtodo de Engesser-Courbon e o mtodo de Homberg-Weinmeister, para o caso de uma ponte com seotransversal da superestrutura composta por trs vigas pr-moldadas com 30,0 m de vo,ligadas por uma transversina intermediria e por transversinas de apoio. So calculadas

as linhas de influncia de reao das vigas, no meio do vo, para efetuar a distribuiotransversal de cargas. A Figura 7.25 indica esquematicamente as caractersticasgeomtricas das peas estruturais.

15,00 15,00

V1

V2

V3

b

=6

,00

L=30,00

3,00

3,00

J =1,50mviga4-

J =1,00mtrans4-

Figura 7.25 - Modelo do exemplo

(cotas em m)

Mtodo de Engesser-Courbon

O mtodo de Engesser-Courbon admite que a rigidez das transversinas sejainfinita, com isto, a soluo do problema torna-se bastante simples. Esta hiptese estfundamentada no pequeno valor dos vos das transversinas quando comparado ao vodas vigas. A Figura 5.26 exemplifica graficamente o problema.


30/45


218

X1

e

P

iR

J =trans

-

Figura 7.26 - Modelo de distribuio transversal por Courbon

A expresso geral do mtodo de Engesser-Courbon :

{

( )

43421

aargcdamomentodoParcela

i

i

aargcdaParcela

i2x

xep

n

PR

= (7.25)

onde:

p o valor da carga aplicada;

n o nmero de longarinas ou vigas principais;

e a excentricidade da carga em relao ao centro elstico;x a distncia de cada longarina ao centro elstico.

Como o mtodo de Engesser-Courbon considera a rigidez da transversinainfinita, o mesmo s deve ser aplicado com razovel aproximao se 30 . Aexpresso (7.26) define o parmetro :

30,0m

n

J

J

b

L

L2

b4

trans

viga

= (7.26)

onde:L o comprimento do vo das vigas;

b a largura da grelha;

Jviga a inrcia flexo das vigas principais;

Jtrans a inrcia flexo das transversinas;

n o nmero de vigas principais;

m o nmero de transversinas intermedirias.

A verificao do campo de validade do mtodo de Engesser-Courbon, para oexemplo da Figura 7.25, realizvel a expresso (7.26), calculando-se o parmetro :


31/45


219

30,022,01

3

0,1

5,1

0,6

0,30

0,302

0,64


32/45


220

Carga P = 1 tf na viga V3

X1=3,0

e=3,0P =1,0 tf C.G

X3=3,0R1 R2 R3

Figura 7.29 - Carga P= 1 tf na viga V3(cotas em m)

tf333,03

1R2 ==

( ) ( )tf833,0

0,30,3

0,30,31

3

1R

223 =

+

+=

A Figura 7.30 ilustra as linhas de influncia de reao de apoio definidas para as

longarinas no meio do vo longitudinal. Nota-se que a linha de influncia da viga V3pode ser obtida por simetria correspondente a da viga V1.

LIR

viga 1-0,

167

0,

333

0,8

33

V1

LIR

-0,

167

0,

333

0,8

33

V3

viga3

LIR

0,333

V2

viga20,333 0,333

Figura 7.30 - Linhas de influncia de distribuio transversal pelo mtodo deCourbon

( ) ( ) t167,00,30,3 0,30,30,131

R 221 =+=


33/45


221

Mtodo de Homberg/Weinmeister

Homberg e Weinmeister organizaram tabelas para a distribuio transversal decargas (1956) para tabuleiros com at 9 vigas principais na seo transversal. O mtodo

permite levar em conta a inrcia toro das vigas principais.

Parmetros de entrada nas tabelas:

=

=

J

J

a2

Lz

J

Jr

q3

r

onde:

Jr a inrcia flexo da viga extrema;

J a inrcia da viga central;

L o comprimento do vo da viga principal;

a a distncia entre eixo das vigas;

Jq a inrcia flexo da transversinas.

A Figura 7.31 ilustra esquematicamente o modelo para aplicar a distribuiotransversal pelo mtodo de Homberg.

a

VIGAS CENTRAIS

a a

TRANSVERSINAS VIGA EXTREMA

LAJE

SEO TRANSVERSAL

L

TRANSVERSINA

CORTE LONGITUDINAL

Figura 7.31 - Modelo para distribuio transversal pelo mtodo de Homberg

O Quadro 7.2 mostra um trecho da tabela de Homberg e a Figura7.32 ilustra adistribuio de forma literal.


34/45


222

Quadro 7.2 - Tabela de Homberg para tabuleiro de 3 vigas na seo transversal

Viga a Viga b Viga c

z 80 100r 1,0 1,2 1,5 2,0 1,0 1,2 1,5 2,0

Trager a (viga a)

Baa 0,8347 0,8542 0,8762 0,9010 0,8344 0,8540 0,8759 0,9008Bab 0,3306 0,3499 0,3715 0,3960 0,3311 0,3505 0,3722 0,3968Bac -0,1653 -0,1458 -0,1238 -0,0990 -0,1656 -0,1460 -0,1241 -0,0992

Trager b (viga b)

Bba 0,3306 0,2915 0,2477 0,1980 0,3311 0,2921 0,2481 0,1984Bbb 0,3388 0,3003 0,2570 0,2079 0,3377 0,2991 0,2556 0,2063Bbc 0,3306 0,2915 0,2477 0,1980 0,3311 0,2921 0,2481 0,1984

onde:

B a reao na viga

i a viga correspondente

j a posio da carga

logo:

Bij a reao da viga i para P = 1,0 em j .

LIR

Bab

Va

BacBaa

Figura 7.32 - Linha de influncia transversal para a viga V1

Resolvendo o exemplo anterior pelo mtodo de Homberg/Weinmeister, tem-se:

00,15,1

5,1

J

Jr r ===

80Z33,835,1

0,1

0,32

0,30

J

Jq

a2

lZ

33

==

=

=


35/45


223

Consultando a tabela do Quadro 7.2, os valores para a definio das linhas deinfluncia das sees transversais, ilustradas na Figura 7.33, so:

Baa= 0,8347 Bba= 0,3306

Viga A Bab= 0,3306 Viga B Bbb= 0,3388Bac=- 0,1653 Bbc= 0,3306

LIR

-0,

1653

0,

3306

0,

8347

Va

LIR

-0,

1653

0,

3306

0,

8347

Va

LIR

0,

3306

Vb

0,

3306

0,

3306

Figura 7.33 - Linhas de influncia da seo transversal pelo mtodo de Homberg

Comparando-se as Figuras 7.30 e 7.33, verifica-se que os resultados, obtidospelos dois mtodos, so muitos prximos.

7.4.1.5 Modelagem do Exemplo Anterior pelo Mtodo de

Anlise em Computador atravs do Modelo de GrelhaApresenta-se na Figura 7.34, a modelagem do tabuleiro do exemplo, em

elementos de grelha, para anlise pelo programa de computador SALT da UFRJ. Oprograma SALT analisa estruturas em elementos de barra, bem como estruturas emelementos de placa (lajes).


36/45


224

41 2 3 47 10

55 6 7 88 11

69 10 11 12

9

12

13

14

15

18

17

1

2

3

14

13

Y

XN

Suporte (eixo global)

Figura 7.34 - Modelo para anlise em programa de elementos finitos

7.4.2

Tabuleiros de Pontes Compostos por Seo Transversal emCaixo Celular

Em estruturas cujas sees transversais sejam compostas por caixesunicelulares ou multicelulares, cada viga recebe P/n da carga aplicada sobre a seo.Isto se deve elevada rigidez toro dos caixes. As Figuras 7.35 e 7.36 ilustram adistribuio transversal da carga nestas sees

0,

50

LIRVA

0,

50

0,

50A B

0,

50

eP

P2

V Va b

P2

Figura 7.35 - Distribuio transversal de superestrutura de ponte em caixo deuma clula


37/45


225

A

P

P

3

V Va cV b

0,

333

0,

333

0,

333

P

3

P

3

LIR

e

Figura 7.36 - Distribuio transversal de superestrutura de ponte emcaixo de duas clulas

importante salientar, que o momento eP absorvido pelo fluxo de tensescisalhantes que se desenvolve no caixo e no por carga e descarga nas vigas.

7.4.3

Distribuio Transversal de Tabuleiros de Pontes Compostosde Seo Transversal em Duas Vigas Ligadas pela Laje e porTransversinas

Neste tipo de seo transversal, indicada na Figura 7.37, despreza-se, a favor dasegurana, a contribuio da laje e das transversinas na distribuio transversal.

P

P.b

L

V Va b

a b

L

Figura 7.37 - Distribuio transversal em ponte composta por duas vigas ligadaspela laje e por transversinas


38/45


226

Conforme mostra a Figura 7.38, o modelo de clculo considera a ligaolaje/vigarotulada, ou seja, considera a laje bi-apoiada nas vigas.

V V

VA1,00

A B

Rtula

LIR

Rtula

Figura 7.38 - Linha de influncia transversal da viga VA

Para efeito de carregamento da viga, posiciona-se o trem-tipo no ponto maisdesfavorvel, isto , com o pra-lama encostado no guarda-rodas, e no se carrega area negativa da linha de influncia.

Retornando Ponte Exemplo, pode-se agora carreg-la com o trem-tipo TB 450kN, conforme ilustra Figura 7.39.

75 kN

EIXOD

A

VIGA

V1

EIXOD

A

VIGA

V2

230 600 280

GUARDA-RODAS

GUARDA-RODAS

40 50

4020

Figura 7.39 - Trem-Tipo TB-450 kN em planta.

(dimenses em cm)

A NBR- 7187 define o coeficiente de impacto vertical , no seu item 7.2.1.2,como sendo:

a) Pontes rodovirias

00,1L007,04,1 = (7.27)


39/45


227

b) Pontes ferrovirias

( ) 20,1L25,2L601600001,0 += (7.28)

Na Ponte Exemplo, tem-se:

274,10,18007,04,1 ==

Para facilitar os clculos do carregamento das linhas de influncia, adota-se umtrem-tipo simplificado, onde na rea do caminho tipo (3,00 x 6,00 m) aplica-se a cargade 5 kN / m2. Com isso, as cargas concentradas das rodas do caminho tipo soreduzidas, conforme mostra a Figura 7.40. Este procedimento atualmente deixa de tersentido, uma vez que os programas de computador disponveis no mercado j executamo conjunto de linhas de influncia de forma exata.

kN60P

6

5)0,30,6(750P =

=

5 kN / m

40940 280

40

60 kN / roda

Figura 7.40 - Trem-tipo simplificado

A Figura 7.41 mostra o trem-tipo carregando a linha de influncia transversal daPonte Exemplo.

6,60 3,203,20

2,00 0,50

60 kN

6,40

-0,

485

1,

485

1,

424

1,

348

1,

045

1,

000

0,

970

0,50

0,40

5 kN / m

Figura 7.41 - Carregamento da linha de influncia transversal, por viga, pormetro, para a viga V1


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228

O trem-tipo longitudinal determinado pelo produto de cada carga do trem-tipotransversal por sua respectiva ordenada na linha de influncia. A carga de multido definida pelo produto da carga distribuda de 5 kN/m pela rea da linha de influnciasob sua atuao. A partir da Figura 7.41, tem-se o seguinte trem-tipo longitudinal:

kN92,182274,1)045,1348,1(60P =+=

m/kN63,42274,12

40,9424,15p ==

O trem-tipo longitudinal simplificado encontra-se ilustrado na Figura 7.42.

182,92 kN

1,5 1,5 42,63 kNm

Figura 7.42 - Trem-tipo longitudinal simplificado da viga

7.5 Solicitaes devidas s Cargas Mveis no Sentido Longitudinal

As solicitaes seccionais mximas e mnimas nas vigas principais, devidas scargas mveis, so determinadas atravs das linhas de influncia destas solicitaes.

7.5.1 Conceito de Linha de Influncia

Quando uma carga concentrada se desloca ao longo de uma viga contnua, uma

determinada seo desta viga fica sujeita a diferentes solicitaes seccionais, em funodas diversas posies assumidas pela carga na viga. A lei de variao das solicitaesseccionais em uma determinada seo, para diversas posies da carga concentradasobre a viga, representada graficamente por meio das linhas de influncia dassolicitaes seccionais.

7.5.2 Definio de Linha de Influncia:

Linha de influncia de uma solicitao seccional qualquer, em uma dada seo, a linha cujas ordenadas representam os valores assumidos por esta solicitao na seoconsiderada, quando uma carga unitria assume diversas posies sobre a viga.

Na linha de influncia da seo S5, apresentada na Figura 7.43, a ordenada y1corresponde ao valor do momento fletor em S5, quando a carga P=1 est posicionada emS4. A ordenada y2corresponde ao valor do momento fletor em S5, quando a carga P=1est posicionada no extremo do balano esquerdo.

LIMSy1

P=1

S +

y2

0

S4 S5

S10

5

Figura 7.43 - Linha de influncia de momento fletor na seo S5


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229

O conhecimento das linhas de influncia de grande importncia no projeto depontes, pois o dimensionamento do vigamento principal feito para as solicitaesmximas em cada seo e so as linhas de influncia que permitem visualizar as

posies mais desfavorveis das cargas mveis, para obteno destas solicitaesmximas.

As solicitaes seccionais, devidas s cargas mveis, so obtidas pelocarregamento das linhas de influncia com o trem tipo calculado. As ordenadas daslinhas de influncia podem ser obtidas por qualquer dos mtodos da hiperestticaclssica (Mtodo das Foras, Mtodo das Deformaes), porm para clculos manuais,o processo mais indicado o processo de CROSS.

Apresenta-se a seguir a deduo das ordenadas das linhas de influncia demomentos fletores, esforos cortantes e reaes de apoio de uma viga contnua de trsvos e dois balanos, simtrica e de inrcia constante, com relao entre os vos dada

por L: 1,2 L: L, portanto, diferente da Ponte Exemplo. Nesta deduo foi adotado o

Mtodo das Foras.

7.5.3

Deduo das Ordenadas das Linhas de Influncia de umaViga Contnua Simtrica, com Inrcia Constante e Compostapor Trs Vos e Dois Balanos

7.5.3.1

Ordenadas das Linhas de Momentos Fletores dosHiperestticos

As vigas principais (longarinas) das pontes rodovirias ou ferrovirias sodimensionadas flexo simples e ao cisalhamento em dcimos de vos, por isso, torna-se necessrio o conhecimento das ordenadas das linhas de influncia de momentosfletores e solicitaes cortantes de todas estas sees.

Como ser visto adiante, as ordenadas das linhas de influncia de todas as seessituadas nos vos das vigas (S1 S9e S11 S19) so funo das ordenadas das linhas deinfluncia de momentos fletores nos apoios (

10SLIM e

20SLIM ).

A Figura 7.44 ilustra esquematicamente uma ponte com trs vos e doisbalanos laterais. Para obteno das ordenadas das linhas de influncia dos momentos

nos apoios utiliza-se o Mtodo dos Esforos ou Mtodo das Foras.

L3L2L1L

S10 S30S20S0

J const

BaLL

BaL

Figura 7.44 - Sistema estrutural da viga daPonte Exemplo


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230

A primeira etapa a formao do sistema principal (SP), que uma estruturaderivada da estrutura original de clculo conhecido (normalmente isosttica) emecanicamente equivalente a estrutura original. Nas vigas contnuas, o sistema principalmais adequado aquele que obtido rotulando-se os apoios intermedirios das vigas,mostrado na Figura 7.45.

J const

X1 X2

1 2

Figura 7.45 - Sistema principal do mtodo dos esforos

As rtulas tornam o sistema isosttico e, portanto, de clculo conhecido. Osmomentos X1 e X2 (hiperestticos) tornam o sistema principal (estrutura derivada)mecanicamente equivalente estrutura original (mesmas solicitaes e deformaes).

As incgnitas do problema so justamente os hiperestticos X1e X2(momentossobre os apoios). Deve-se, portanto, determinar todos os valores assumidos por X1e X2quando uma carga concentrada e unitria se desloca sobre a viga, desde sua extremidadeesquerda at sua extremidade direita.

A Figura 7.46 ilustra a atuao do carregamento externo e dos hiperestticos X1e X2 no sistema principal.

Atuao do carregamento externo no S.P. (DM0)

X

P=1 tf

Atuao do hiperesttico X1no S.P. (DM1)

1,00

X1=1 tfm X1=1 tfm

Atuao do hiperesttico X2no S.P. (DM2)

1,00

X2=1 tfm X2=1 tfm

Figura 7.46 - Aplicao dos hiperestticos unitrios no sistema principal


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231

O sistema de equaes, que resolve o problema, traduz a nulidade da rotaorelativa das hastes (tramos da viga) sobre os apoios.

Equao de compatibilidade

0XX 21211110 =++ (7.29)

0XX 22212120 =++ (7.30)

A equao (7.29) representa a nulidade da rotao relativa das hastes sobre oapoio 1 e a equao (7.30) representa a nulidade da rotao relativa sobre o apoio 2.

O significado fsico das parcelas que compem as equaes de compatibilidade,apresentado na Figura 7.47, pode ser escrito como:

10 a rotao relativa das hastes sobre o apoio 1 devido ao carregamentoexterno, atuando no S.P.;

20 a rotao relativa das hastes sobre o apoio 2 devido ao carregamentoexterno, atuando no S.P.;

11 a rotao relativa das hastes sobre o apoio 1 devido ao hiperesttico X1= 1, atuando no S.P.;



21 a rotao relativa das hastes sobre o apoio 2 devido ao hiperesttico X1= 1, atuando no S.P..


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232

P=1 tf

P=1 tf

2010

10

11

12

21

X1=1 tfm

22

Elstica

Elstica

X2=1 tfm

Figura 7.47 - Visualizao da deformada do sistema principal para os diversos

carregamentos atuantes

Em seguida, calculam-se as rotaes relativas sobre os apoios, isto , 10, 20,11, 22, 21e 12. Sabe-se pelo teorema dos trabalhos virtuais que:

... o trabalho virtual total das foras externas que sobre ele atuam igual ao

trabalho virtual das foras internas nele atuantes... [ ]

43421

321

INT

EXT

FVirtualTrabalho

__

FVirtualTrabalho

__

J.E

dx.M.MM = (7.31)

Como 1M= a equao (7.31) modificada para

dxEJ

MM= (7.32)


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Para simplificao do trabalho, a integral acima foi tabelada por diversosautores. As rotaes relativas 11, 22, 12e 21so determinadas independentemente da

posio da carga P=1 tf. O clculo feito de acordo com os diagramas DM1e DM2da

Figura 7.46 e com auxlio das tabelas de integrao de diagramas. O sistema estruturalpara a gerao das linhas de influncia ilustrado na Figura 7.48:

L3L2L1L

J const

L2 = 1,2 L1

BalL

Bal

Figura 7.48 - Sistema estrutural para gerao das linhas de influncia

Clculo de 11

=

=

11

11

L4000,0L2,1113

1

L33333,0L113

1

11111L73333,040000,03333,0 +=+=

Clculo de 22

Por simetria, tem-se:

122 L73333,0+=

Clculo de 12= 21

11 L20000,0L2,1116

1=

12112 L20000,0+==

Substituindo-se os valores de 11, 22, 21e 12nas equaes de compatibilidade(7.29) e (7.30), define-se o sistema de equaes:

( ) ( )( ) ( )

+

=+ 102111

XL733330XL20000

XL2000,0XL73333,0

aula 8 - pontes

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