aula-8 fótons e ondas de matéria iii curso de física geral f-428
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Aula-8Fótons e ondas de matéria III
Curso de Física Geral F-428
• Embora tenha obtido alguns sucessos notáveis, a velha teoria quântica (1900 ~ 1920) tinha sérios defeitos. Era uma mistura arbitrária de física clássica com novos postulados, alheios e contraditórios à própria física clássica.
A equação de Schrödinger
Alguns meses depois, Schrödinger apresentou a equação de onda, dando início a mecânica quântica moderna.
• Em 1926, Schrödinger foi convidado a dar um seminário na universidade de Zurich sobre a teoria de de Broglie.
Durante o seminário um dos ouvintes perguntou como ele podia falar abertamente sobre uma onda associada ao elétron, se não havia nenhuma equação de onda !
Erwin Schrödinger
A equação de Schrödinger não pode ser deduzida, assim como não podem ser deduzidas as equações da dinâmica de Newton. Ela só pode ser postulada.
A forma escolhida deveria incorporar o sucesso das teorias anteriores. Fatalmente, ela também levaria a novas previsões(e interpretações) que poderiam ser testadas.
“ Nossa mecânica clássica talvez seja completamente análoga à óptica geométrica e por isso falha, estando em desacordo com a realidade… Portanto é preciso estabelecer uma mecânica ondulatória…” - Schrödinger, 1926.
A equação de Schrödinger
• Os fenômenos ondulatórios, independentemente da sua origem, têm a sua evolução temporal descrita por equações de onda do tipo:
onde é a variável dinâmica de interesse; por exemplo: o campo elétrico ou o campo magnético da radiação EM.
),( trF
• Se quisermos investigar a evolução temporal da densidade de probabilidade , devemos estudar como varia no tempo. No que segue, vamos fazer essa análise apenas para partículas massivas!
),( tr
A equação de Schrödinger
2|),(|),( trtr
Em geral podemos dizer que para uma onda plana temos:
)(exp),( 0 trkitr
Derivando com relação a t :
),(),(
trit
tr
Tomando o gradiente de e depois a sua divergência
),(),()],([
),(),(22 trktrtr
trkitr
),( tr
),( tr
A equação de Schrödinger
),(),(),(
trEtrt
tri
Então:
e
),(),(2
),(2
),(2
2222
2
trEtrm
ptr
m
ktr
m
Equação de Schrödinger da partícula livre (E = Ek ; V = 0) :
A equação de Schrödinger
Mas, no caso geral , não – relativístico:
),()(),(2
),()(2
22
trrVtrm
ptrErV
mp
E
),()(),(2
),( 22
trrVtrmt
tri
Equação de Schrödinger (Postulada!)
A equação de Schrödinger
Onda estacionária:
)exp()(),( tirtr
),()(),(2
),( 22
trrVtrmt
tri
)()()(2
)()( 22
rrVrm
rEr
substituindo na Eq. de Schrödinger:
obtemos:
Equação de Schrödinger independente do tempo.
A equação de Schrödinger
A partícula livre em 1-D
0)(;)()(
2 2
22
rVxEdx
xd
m
Para encontrar a solução geral de:
2
22 ),(2
),(x
txmt
txi
devemos resolver inicialmente:
ou:2
222
2 2onde;0)(
)(
mE
kxkdx
xd
A partícula livre em 1-D Solução geral: )exp()exp()( ikxBikxAx
)(';)('com;sincos)( BAiBBAAkxBkxAx
como: sincos)exp( ii
)](exp[),( tkxitx Onda propagante para a esquerda:
)(exp),( tkxitx Onda propagante para a direita:
A partícula livre em 1-D
Façamos: A = 0 e B = 0
)exp()( 0 ikxx
e m
kktkxitx
2)(onde)(exp),(
2
0
m
k
m
p
22
222 pois:
x-paraConstante!|),(|),( 20
2 txtx
A densidade de probabilidade para encontrar a partícula será:
),( tx
x0
20
• Ou seja, uma partícula livre pode ser encontrada em qualquer ponto sobre o eixo x, com a mesma probabilidade.
(p/ direita)
2
20
2
2
)]([2
))((exp
)]([2
1|),(|),(
tx
txx
txtxtx
tmk
xtx 000 )(
40
2
22
0 )(4
1)(xmt
xtx
x)(0 tx
)(tx
2|),(| tx
• Seja um “pacote de ondas”:
kx
21
0
wavemechanics-freepacketO princípio da incerteza
dktkkxikAtx ])([exp)(2
1),(
Densidade de probab.:
onde:
e
Propriedade da distribuição gaussiana:
O princípio da incerteza
221
21
000
pxkxk
x
Como: xtxx )(0
• Relação conhecida como princípio da incerteza de Heisenberg!
Não podemos determinar a posição e o momento linear de uma partícula quântica com precisão arbitrária em ambas as medidas!
Werner Heisenberg
• Apesar de termos mostrado essa propriedade partindo de uma distribuição gaussiana (pacote de ondas), ela é inerente à mecânica quântica. Ela se aplica sempre aos pares das chamadas variáveis incompatíveis. Essas são variáveis que não podem ser medidas simultaneamente!
2
2
2
z
y
x
pz
py
pxEm 3-D:
O princípio da incerteza
Prob.1:
a) Uma bola de gude, com 25 g, está numa caixa que tem 10 cm de lado. Achar a incerteza mínima no seu momento linear p e na sua velocidade v.
b) Resolver o mesmo problema, para um elétron confinado numa região de comprimento de 1 Å , que é da ordem de grandeza do diâmetro de um átomo.
Prob.1:
a) Uma bola de gude, com 25 g, está numa caixa que tem 10 cm de lado. Achar a incerteza mínima no seu momento linear p e na sua velocidade v. b) Resolver o mesmo problema, para um elétron confinado numa região de comprimento de 1 Å , que é da ordem de grandeza do diâmetro de um átomo.
)/(1028.5)(40
).(1063.6 2927
min, scmgcm
sergpb
x
min,min, bx
bbx vmp )/(1011.2
)(25)(40
).(1063.6 3027
min, scmgcm
sergvb
x
)10(4
).()10(
210 min,
cm
serghppcmpxcmx b
xbx
bx
bb
a)
b) elétron num átomo:
e
bxe
xbx
ex
e
m
pvp
cm
serghpcmx
min,9min,min,9
8min,8 10;10
)10(4
).(10
cs
cm
gs
cmg
vs
cmgp e
xex 019.0)(108.5
)(101.9
)(1028.5;)(1028.5 7
28
11
min,20min,
vm
L
Prob. 2:
Mostre que o número de onda angular k, de uma partícula livre
não-relativística de massa m, pode ser escrito na forma abaixo,
onde K é a energia cinética da partícula. h
mKk
22
m
k
m
pKkp
22;
222
h
mKmKk
mKk
22222
2
onde é a densidade de probabilidade
A corrente de probabilidade
Da equação de Schrödinger pode-se mostrar que:
dxtxJd
ttx ),(),(
2|),(|),( txtx
e
é a corrente de probabilidade. No caso estacionário, há conservação da corrente de probabilidade!
.const)( xJ
O potencial degrau
0V
1 2
E
I) E > V0 :
202
22222
22
2211
212
12
)(2onde;0)(
)(;0se
2onde;0)(
)(;0se
VEmkxk
dx
xdx
mEkxk
dx
xdx
0 x
E > V0 :
202
2222
221111
)(2onde;)exp()exp()(
2onde;)exp()exp()(
VEmkxikDxikCx
mEkxikBxikAx
O potencial degrau
1 20
x
Soluções gerais:
x < 0 :
x > 0 :
mas : D = 0 , pois não há onda refletida para x > 0.
I R
T R
21
1
21
21
2kk
kAC
kkkk
AB
; amplitude de reflexão
; amplitude de transmissão
mk
vvCJvBJvAJ ii
onde||,||,|| 22
trans12
ref12
inc
221
21
2
1
2
inc
trans
2
21
21
2
inc
ref
)(4
kkkk
AC
kk
J
JT
kkkk
AB
J
JR
O potencial degrau
)0()0(contínuasfunçõessãoeComo xJxJdx
d
daí:
0V
1 2
E
202
22222
22
2211
212
12
)(2onde;0)(
)(;0se
2onde;0)(
)(;0se
EVmx
dx
xdx
mEkxk
dx
xdx
O potencial degrau
0 x
II) E < V0 :
202
2222
221111
)(2:onde;)exp()exp()(
2onde;)exp()exp()(
EVmxDxCx
mEkxikBxikAx
E < V0 :
O potencial degrau
0x
x < 0 :
x > 0 :
1 2
0
1
21
21
21 tan,)2exp(k
iik
ik
A
B
; amplitude de reflexão
m
kvvBJvAJ i
i
onde,||,|| 12
ref12
inc
0T;12
inc
ref A
B
J
JR
)exp()( 22 xCx
Comprimento de penetração
)(2 0
12 EVm
wavemechanics-step
O potencial degrau
)0()0(contínuasfunçõessãoeComo xJxJdx
d
A barreira de potencial
0V
1 2
E
L
3
221
233
232
32
202
22222
22
2211
212
12
2onde;0)(
)(;se
)(2onde;0)(
)(;0se
2onde;0)(
)(;0se
mEkkxk
dx
xdLx
VEmkxk
dx
xdxL
mEkxk
dx
xdx
0 x
I) E > V0 :
E > V0 :
221
23333
202
2222
221111
2onde;)exp()exp()(
)(2onde;)exp()exp()(
2onde;)exp()exp()(
mEkkxikFxikEx
VEmkxikDxikCx
mEkxikBxikAx
A barreira de potencial
1 2 3
0
0V
1 2
E
L
3
221
233
232
32
202
22222
22
2211
212
12
2onde;0)(
)(;se
)(2onde;0)(
)(;0se
2onde;0)(
)(;0se
mEkkxk
dx
xdLx
EVmx
dx
xdxL
mEkxk
dx
xdx
A barreira de potencial
0 x
II) E < V0 :
E < V0 :
221
23333
202
2222
221111
2onde;)exp()exp()(
)(2onde;)exp()exp()(
2onde;)exp()exp()(
mEkkxikFxikEx
EVmxDxCx
mEkxikBxikAx
A barreira de potencial
1 2 3
0
)2(exp LT 2
0 )(2
EVm
Coeficiente de transmissão ou taxa de tunelamento:
; onde
wavemechanics-barrier
A barreira de potencial
)0()0(contínuasfunçõessãoeComo xJxJdx
d
Coeficiente de reflexão
Prob. 3:
a) Um feixe de prótons de 5,0 eV incide em uma barreira de energia potencial de 6,0 eV de altura e 0,70 nm de largura, com uma intensidade correspondente a uma corrente elétrica de 1000 A. Quanto tempo é preciso esperar (em média) para que um próton atravesse a barreira?
b) Quanto tempo é preciso esperar se o feixe contém elétrons em vez de prótons?
Prob. 3: a) Um feixe de prótons de 5,0 eV incide em uma barreira de energia potencial de 6,0 eV de altura e 0,70 nm de largura, com uma intensidade correspondente a uma corrente elétrica de 1000 A. Quanto tempo é preciso esperar (em média) para que um próton atravesse a barreira? b) Quanto tempo é preciso esperar se o feixe contém elétrons em vez de prótons?
No tempo de espera t* para 1 próton tunelar: r t* T = 1 ; )2(exp LT
anosst 104111* 101037,3 (maior que a idade do universo ! )
Taxa de incidência de prótons: r = 1000(C/s) / 1,610-19(C) 6,251023 s-
1
a)
b) Feixe de elétrons:
2/511.0 cMeVme
)56)(511.0(8).(1240
)70,0(2exp
)(1025,6
1123
* eVeVMevnmeV
nm
ste
ste9* 101.2 !
)56)(938(8
).(1240
)70,0(2exp
)(1025,6
1)(82exp
11232
2* eVeVMev
nmeV
nm
sh
EVmL
rt bp
onde: mp = 938 MeV/c2 ; me = 0.511 MeV/c2
hc = 1240 eV nm
O microscópio de varredura
wavemechanics-stm
Nobel Laureates 1986: Heinrich Rohrer , Gerd Binnig e Ernst Ruska