aula 13 - capítulo 38 fótons e ondas de...

Aula 13 - Capítulo 38 Fótons e Ondas de Matéria

Física 4Ref. Halliday – Volume4

Profa. Keli F. Seidel

Sumário

Elétrons e Ondas de Matéria

A Equação de Schrödinger

Determinação da Densidade de Probabilidade ||2




Sabemos que a luz possui um caráter dual, onda-partícula.

Umas das perguntas feitas por cientistas da época, após esta descoberta foi...

...E a matéria, possui também um caráter dual “partícula-onda”?



Em 1924, Louis de Broglie propôs um novo raciocínio:

Se um feixe luminoso é uma onda, mas transfere energia e momento à matéria através de pacotes de energia (fótons) ...

...então...

Porque não podemos pensar em um elétron (ou qualquer outra partícula), como uma onda de matéria???



Einstein propôs a ideia de que um fóton possui momento linear

(Comprimento de onda de “de Broglie” ou Comprimento de onda da matéria)

Essa ideia foi comprovada experimentalmente em 1927, nos laboratórios Bell (Aberdeen, Escócia), num experimento de fenda dupla onde observou-se a difração de elétrons.

Assim, de Broglie (1924) sugeriu que a mesma equação definida por Einstein fosse aplicada aos elétrons para determinar o comprimento de onda de uma partícula (elétron)



O fenômeno de interferência e difração também foram observados em feixes de prótons, nêutrons e outros tipos de átomos;

Em 1994, o fenômeno foi comprovado com moléculas de Iodo (I2 – 500.000 vezes maior que o e-)

Em 1999, o efeito também foi observado em moléculas de fulerenos C60 e C70 (~1 nm de diâmetro e centenas de milhares de vezes mais pesadas que um elétron).

Analogia da estruturaMolécula de C

60



Podemos observar este fenômeno para qualquer tamanho de partícula?

Quando as partículas analisadas passam a ser muito grandes, esse efeito associado à natureza ondulatória do corpo se torna tão pequeno que não pode ser observado (nem mesmo pelos melhores equipamentos que possam medir tal fenômeno).



Física clássica ...partículas passando por fenda dupla!!! Situação: por exemplo, bolas de ping-pong (ou bolas de gude)

passando por fendas de largura igual ou maior que o diâmetro da bola;

Ref. da imagem: https://www.youtube.com/watch?v=fwXQjRBLwsQ

O vídeo é em inglês, mas é super interessante!



“Mundo” Quântico ...partículas passando por fenda dupla!!!Situação: por exemplo, elétrons passando por fendas com largura

igual ou maior que o diâmetro do elétron;



“Mundo” Quântico ...partículas passando por fenda dupla!!!É possível observar a DIFRAÇÃO DE ELÉTRONS ...Mas, e se

interferirmos no experimento para observar em qual fenda o elétron passa???

Se interferir no experimento, não se observa mais o comportamento ondulatório!



VÍDEO: youtubeExperimento com difração de elétrons

https://www.youtube.com/watch?v=hv12oB_uyFs (note neste vídeo que no início o resultado parece que será uma distribuição aleatória dos elétrons na tela. Com o passar do tempo começa a aparecer o padrão de

interferência)

Explicação sobre a difração de elétronshttps://www.youtube.com/watch?v=daviRMAAt4E (alunos da

UTFPR explicando)https://www.youtube.com/watch?v=Aj5f1U6GEX8 (ótima ilustração /

vídeo em inglês)https://www.youtube.com/watch?v=rkgLzo6qhQg



Exemplo 38-5 – Qual é o comprimento de onda de “de Broglie” de um elétron com uma energia cinética de 120 eV?



Exemplo 38-5 – Qual é o comprimento de onda de “de Broglie” de um elétron com uma energia cinética de 120 eV?

Note que K << E0 = 0,511MeV, então podemos usar a aproximação clássica.



Vimos então que a matéria (partículas) também possui um comportamento ondulatório.

A pergunta agora é ...

Como será feito o tratamento matemático para uma onda de matéria?



Já estudamos que no caso de uma onda luminosa ou sonora podemos representar sua variação no tempo e no espaço através de alguma grandeza.

Por exemplo: campo elétrico E (x, y, z, t);

Porém, que grandeza devemos associar a uma onda de matéria?

Essa grandeza é chamada de função de onda (x, y, z, t) É uma onda que, além de transportar energia e momento, também transporta massa e (possivelmente) carga elétrica.

Também pode ser uma função complexa:

Onde = 2f.



O que significa a Função de Onda?Descreve a distribuição de probabilidade de uma partícula o espaço, afinal, a onda de matéria é uma onda de probabilidade.

Obs.: é fácil imaginar esta situação pensando em um único elétron em torno do núcleo. A trajetória do elétron nós sabemos definir, mas a exata posição dele sobre essa trajetória não é possível afirmar. Podemos afirmar apenas qual é a probabilidade de ser encontrada numa determinada posição;

Imaginar a ideia do experimento de Young - trocando o feixe luminoso por um feixe de elétrons (análise do caráter corpuscular) ;



Comparação - Experimento de Young - trocando o feixe luminoso por um feixe de elétrons

Qual a probabilidade do detector indicar a presença de um elétron (partícula) em um intervalo de tempo específico?

Detector de elétrons

Feixe de elétrons



A probabilidade de que o detector indique a presença de um elétron (partícula) em um intervalo de tempo específico é proporcional a ||2

||2 é chamado de densidade de probabilidade

lembrando que ||2 = .*

onde * é o complexo conjugado. Afinal, lembre-se que pode ser uma função complexa.



Assim, se a análise for feito num volume V, temos que:

A probabilidade (por unidade de tempo) de uma partícula ser detectada em um pequeno volume com centro em um dado ponto é

proporcional ao valor de ||2 nesse ponto.



Lembre-se que:

Ondas mecânicas obedecem às Leis de Newton

Ondas eletromagnéticas obedecem às Equações de Maxwell

Ondas de Matéria obedecem à Equação de Schrödinger(descrição de partículas de escala atômica ou subatômica)



Mas, como sabemos o “perfil” da função de onda que descreve uma partícula livre???

- A verdade é que a equação de Schrödinger nos fornece essa solução!!

Erwin Schrödinger apresentou essa equação em 1926, que é a equação fundamental da mecânica quântica (recebeu o Prêmio Nobel em 1933, junto a Dirac).

A equação de Schrödinger para uma partícula com energia definida E, é:

, onde:



Situação:

-Partícula Livre, ou seja, U(x) = 0, não há nenhuma força atuando sobre a partícula. Movimento unidimensional.- Sob estas condições, qual é o perfil da função de onda?

...quadro e giz...

Aplicação: Determinação da densidade de probabilidade


Já estudamos sobre ...Determinação da densidade de probabilidade ||2 ;Vamos analisar uma aplicação agora.

Situação: Vamos descrever uma partícula livre, ou seja, nesta situação não há

nenhuma força atuando sobre a partícula. Como não há nenhuma força atuando sobre a partícula, vamos

supor que podemos calcular o momento linear com precisão;Qual é a probabilidade de encontrar uma partícula livre (movimento

unidimensional) num qualquer ponto x entre “mais infinito” e “ menos infinito”?

...(descrição no próximo slide)...


Determinação da densidade de probabilidade ||2 ;Supondo uma função de onda em função de x, dada por:


Portanto, não há uma posição mais

provável para encontrar a

partícula ao longo do eixo x. Porque?


Determinação da densidade de probabilidade ||2 ;

Porque isso ocorre???


O Princípio de Incerteza de Heisenberg


O Físico alemão Heisenberg desenvolveu as “relações/princípio de incerteza de Heisenberg”, que estabelece que:

Não é possível medir, simultaneamente, a posição e a quantidade de movimento de uma partícula com precisão ilimitada!



O Físico alemão Heisenberg desenvolveu as “relações de incerteza de Heisenberg”, que estabelece que:

**Na análise gráfica sobre a densidade de probabilidade =1, supomos que não há nenhuma força agindo sobre a partícula (U(x)=0). Assim, sabemos com 100% de precisão o momento da partícula, mas nada sabemos sobre a sua posição (justificativa do gráfico 38.12!)

Não é possível medir, simultaneamente, a posição e a quantidade de movimento de uma partícula com precisão ilimitada!

Se: px 0 x .



O Físico alemão Heisenberg desenvolveu as “relações de incerteza de Heisenberg”, que estabelece que:

Princípio de Incerteza de Heisenberg para a energia e o intervalo de tempo

Princípio de Incerteza de Heisenberg para a posição e o momento linear



Exemplo 38-6 (Halliday): Um elétron está se movendo ao longo do eixo x, e sua velocidade,

medida com uma precisão de 0,50%, é 2,05x106 m/s. Qual é a menor indeterminação (de acordo com o princípio de incerteza de Heisenberg da teoria quântica) com a qual pode ser medida simultaneamente a posição do elétron no eixo x?

Voltando à Equação de Schrödinger ...


Vimos que é possível descrever o estado de uma partícula através de uma função de onda;

Porém, o que acontece se quisermos escrever o “estado” de um “gato” através de uma função de onda?

Experimento do gato de Schrödinger!

Experimento mental ...


Experimento imaginário proposto por Erwin Schrödinger em 1937;

Para os amantes dos animais ...não se

preocupe, sou apenas um gato imaginário!




-Ao lado do detector é colocado um átomo radioativo que apresente a seguinte característica: ele tem 50% de probabilidade de emitir uma partícula alfa a cada hora.-Se houver o decaimento radioativo, o detector é acionado e o martelo quebra o vidro!- Se o vidro, com veneno dentro, for quebrado, o gato morre!

O gato de Schrödinger!




Se tentarmos descrever o que ocorreu no interior da caixa, através das leis da mecânica quântica, o gato viria descrito por uma função de onda extremamente complexa resultado da superposição de dois estados, combinando 50% de "gato vivo" e 50% de "gato morto". Ou seja, aplicando-se o formalismo quântico, o gato estaria por sua vez 'vivo' e 'morto'; correspondente a dois estados indistinguíveis!




-O senso comum nos predispõe que o gato não pode estar vivo e morto. Mas a mecânica quântica afirma que, se ninguém olhar o interior da caixa, o gato se encontrará numa superposição dos dois estados possíveis: vivo e morto (“onda de probabilidade”)-Porém, se abrirmos a caixa e realizarmos uma medida, o observador interage com o sistema e o altera, rompendo a superposição dos dois estados, com o que o sistema decai em um dos dois estados possíveis (colapso da função de onda).




Essa superposição de estados é uma consequência da natureza ondulatória da matéria, e sua aplicação à descrição mecânica quântica dos sistemas físicos é que permite explicar o comportamento das “partículas elementares e dos átomos”. A aplicação disso aos sistemas macroscópicos como o gato nos levaria ao paradoxo proposto por Schrödinger.

http://www.feiradeciencias.com.br/sala23/23_MA14.asp



“Gedankenexperiment” - Interprete agora o resultado da difração de elétrons fazendo uma analogia ao “gato de Schrödinger” …

- sem ninguém observar, quais são os estados possíveis do elétron?- e se observar, a função de onda colapsa para um dos estados?

Para pensar ...


Muitos resultados da Física Quântica “fogem” do nosso senso comum!!!

Alguns paradoxos podem aparecer quando queremos utilizar a Física Quântica em situações macroscópicas (como no “gato de Schrödinger”);

Richard Feymann, prêmio Nobel de Física, já dizia: "quem não ficar pasmado com a física quântica é porque não a compreendeu".

...


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