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Aula 9
Mais ondas de matéria I
Física Geral F-428
1
2
Resumo da aula passada:
• Dualidade onda-partícula e o princípio da
complementaridade;
• Comprimento de onda de de Broglie: = h/p
• Função de onda (x,y,z,t)
• A função de onda que descreverá a partícula é uma
solução de uma equação diferencial: a equação de
Schrödinger:
• De função de onda obteremos a densidade de
probabilidade de encontrar a partícula
)t,(Ψ)(U)t,(Ψmt
)t,(Ψi rrr
r
22
2
2|),(|),( trtr
3
Radiação Eletromagnética
Partículas
t.sintz,y,x, rkEE
0
tkxsintz,y,x, 0EE
I eintensidad , Poyting de vetor S
kp
hνE
kp
hνE
???????
_____________________________________________________
ondas
fótons
4
Introduzimos a função de onda
tz,y,x,Ψ
a qual é uma solução de uma equação diferencial,
a equação de Schrödinger.
,
• Uma partícula microscópica será descrita pela chamada função de
onda , também chamada amplitude de probabilidade , à
qual podemos aplicar:
A função de onda (x,y,z,t):
),(Ψ tr
)t,(Ψ)t,(Ψ)t,(Ψ rrr
21
2|)t,(Ψ|)t,( rr
• Princípio da superposição:
• Interpretação probabilística: (Max Born)
1),( 3 V
rdtr
A função de onda carrega a informação máxima
que podemos ter sobre o sistema em questão. 5
Max Born
Densidade de probabilidade:
Condição de normalização:
• Embora tenha obtido alguns sucessos notáveis,
a teoria quântica desenvolvida entre 1900 ~ 1920
tinha sérios defeitos. Era uma mistura arbitrária
de física clássica com novos postulados, alheios e
contraditórios à própria física clássica.
A equação de Schrödinger
Alguns meses depois, Schrödinger apresentou a equação de onda,
dando início à Mecânica Quântica moderna.
• Em 1926, Schrödinger foi convidado a dar um seminário na
Universidade de Zurique sobre a teoria de de Broglie.
Durante o seminário, um dos ouvintes perguntou como ele
podia falar abertamente sobre uma onda associada ao elétron,
se não havia nenhuma equação de onda !
Erwin Schrödinger
prêmio Nobel: 1933
6
• Os fenômenos ondulatórios, independentemente da sua origem,
têm a sua evolução temporal descrita por equações de onda do
tipo:
0),(),(1 2
2
2
2
trF
t
trF
c
onde é a variável dinâmica de interesse; por exemplo, o
campo elétrico ou o campo magnético de uma onda eletromagnética.
),( trF
• Se quisermos investigar a evolução temporal da densidade de
probabilidade , devemos estudar como
varia no tempo. No que segue, vamos fazer essa análise apenas
para partículas com massa!
)t,(Ψ r
A equação de Schrödinger
2|)t,(Ψ|)t,( rr
7
Em geral, podemos dizer que para uma onda plana temos:
)t(iexpΨ)t,(Ψ rkr
0
Derivando com relação a t :
)t,(Ψit
)t,(Ψr
r
Tomando o gradiente de , e depois a sua divergência:
)t,(Ψ)t,(Ψ)]t,(Ψ[
)t,(Ψi)t,(Ψ
rkrr
rkr
22
)t,(Ψ r
t,Ψ r
A equação de Schrödinger
8
)t,(EΨ)t,(Ψt
)t,(Ψi rr
r
Então:
A equação de Schrödinger
)t,(Ψit
)t,(Ψr
r
)t,(EΨ)t,(Ψm
)t,(Ψm
)t,(Ψm
rrp
rk
r
222
2222
2
)t,(Ψ)t,(Ψ rkr 22
)t,(Ψmt
)t,(Ψi r
r
22
2
Equação de Schrödinger da partícula livre (E = Ecin ; U = 0) :
9
Mas, no caso geral, não–relativístico:
)t,(Ψ)(U)t,(Ψm
)t,(EΨ)(Um
E rrrp
rrp
22
22
A equação de Schrödinger
UEEEE cinpotcin
)t,(Ψ)(U)t,(Ψmt
)t,(Ψi rrr
r
22
2
Equação de Schrödinger :
(Postulada!)
10
(Equação de Schrödinger dependente do tempo)
Os casos que vamos tratar aqui Onda de variáveis separáveis:
)tiexp()()t,(Ψ rr
)t,(Ψ )(U)t,(Ψmt
)t,(Ψi rrr
r
22
2
)()(U)(m
)(E)( rrrrr
22
2
Substituindo essa expressão na Equação de Schrödinger:
e cancelando as exponenciais dependentes do tempo, obteremos:
(Equação de Schrödinger independente do tempo)
A equação de Schrödinger
02
22
rrr
UEm
11
(casos de E constante)
A partícula livre em 1-D
0
2 2
22
xU;x xUEdx
xd
m
Para encontrar a solução geral de:
devemos resolver inicialmente:
22
22
2
2 220
mEUEmkcom;)x(k
dx
)x(d
cinEE)x(Ucomo 0
)tiexp(t,Ψ rr
2
2
m
12
)t,()(U)t,(mt
)t,(Ψi rrr
r
22
2
A partícula livre em 1-D
Solução geral: )ikxexp(B)ikxexp(A)x(
B)i(AB';B)(AA'com;kxsinBkxcosA)x(
como: sincos)exp( ii
ωtkxi expt,xΨ Onda propagante para a esquerda:
Onda propagante para a direita:
ωtkxi-expBωtkxiexpA)t,(Ψ r
)tiexp()()t,(Ψ rr
02
2
2
xkdx
xd
13
ωtkxi expt,xΨ
A partícula livre em 1-D
Façamos: A = 0 e B = 0 ikxexp)x( 0
e m
k)k(onde)tkx(iexp)tx,(Ψ 0
2
2
m
k
m
p
22
222 pois:
x-paraconstante!ΨΨ|)tx,(Ψ|)tx,( 20
2
A densidade de probabilidade para encontrar a partícula será:
),( tx
x0
20
• Ou seja: uma partícula livre
pode ser encontrada em
qualquer ponto sobre o eixo x,
com a mesma probabilidade.
ikx-expB ikxexpAx)(
14
• É inerente à Mecânica Quântica e se aplica sempre aos pares das
chamadas variáveis incompatíveis. Essas são variáveis que não
podem ser medidas simultaneamente com precisão ilimitada!
• Ex.: a posição e o momento linear de uma partícula quântica:
2
2
2
z
y
x
pz
py
px
Em 3-D:
O princípio da incerteza de Heisenberg
Werner Heisenberg
(1901- 1976)
15
O potencial degrau
0U
1 2
E
I) E > U0 :
2
222
222
22
2
211
212
12
200
200
0UEmkonde;xk
dx
xd;xse
mEkonde;xk
dx
xd;xse
0 x
2
222 2
0
UEmkonde;xk
dx
xd
2
0cin UEE
16
E > U0 :
202
222
2
2111
UE2mkonde;)xikexp(Dx)(ikexpCx
2mEkonde;)xikexp(Bx)(ikexpAx
2
1
O potencial degrau
1 2
0x
Soluções gerais:
x < 0 :
x > 0 :
mas : D = 0 , pois não há onda refletida para x > 0.
I R
T R
17
21
1
21
21
2
kk
k
A
C
kk
kk
A
B
; amplitude de reflexão
; amplitude de transmissão
2
21
21
2
1
2
inc
trans
2
21
21
2
inc
ref
)(
4
kk
kk
A
C
k
k
J
JT
kk
kk
A
B
J
JR
1 TR
O potencial degrau
:contínuasfunçõessãoeComodx
d
O que leva a:
00
00
xx
dx
dψ
dx
dψ
)x()x(
18
E poderemos definir:
0U
1 2
E
20
2222
22
2
211
212
12
E)2m(Uonde;xψκ
dx
xψd;xse
2mEkonde;xψk
dx
xψd;xse
2200
00
O potencial degrau
0 x
II) E < U0 :
2
22
2
2 UE2mkonde;xψk
dx
xψd
0
19
202
22
2
2111
E)2m(Uκ:onde;)xκexp(Dx)κ(expCx
2mEkonde;)xikexp(Bx)(ikexpAx
22
1
E < U0 :
O potencial degrau
0x
x < 0 :
x > 0 :
1 2
0
20
21
21
ik
ik
A
B
; amplitude de reflexão
0T;1*
*2
inc
ref AA
BB
A
B
J
JR
)xexp(C)x( 22
Comprimento de penetração
E)m(UL
0
2
12
wavemechanics-step
O potencial degrau
contínuas funçõessãodx
dψeComo
21
A barreira de potencial
0U
1 2
E
L
3
2
21
233
232
32
2
222
222
22
2
211
212
12
20
200
200
mEkkonde;)x(k
dx
)x(d;Lxse
)Um(Ekonde;)x(k
dx
)x(d;xLse
mEkonde;)x(k
dx
)x(d;xse
0
0 xI) E > U0 :
22
2
22
2
2 UE2mkonde;xψk
dx
xψd
0
E > U0 :
2
21
233
2
222
2
211
2
2
2
mEkkonde;)xikexp(F)xikexp(E)x(
)Um(Ekonde;)xikexp(D)xikexp(C)x(
mEkonde;)xikexp(B)xikexp(A)x(
33
022
11
A barreira de potencial
1 2 3
0 23
0U
1 2
E
L
3
2
21
233
232
32
2
222
222
22
2
211
212
12
20
200
200
mEkkonde;)x(k
dx
)x(d;Lxse
E)m(Uonde;)x(
dx
)x(d;xLse
mEkonde;)x(k
dx
)x(d;xse
0
0 x
II) E < U0 :
A barreira de potencial
24
2
22
2
2 UE2mkonde;xψk
dx
xψd
0
E < U0 :
2
21
233
2
22222
2
211
2
2
2
mEkkonde;)xikexp(F)xikexp(E)x(
E)m(Uonde;)xexp(D)xexp(C)x(
mEkonde;)xikexp(B)xikexp(A)x(
33
0
11
A barreira de potencial
1 2 3
0 25
)2exp()]([exp 2 LLT 2
2
)Em(U0
)2exp(11 LTR
Coeficiente de transmissão ou taxa de tunelamento:
; onde
wavemechanics-barrier
A barreira de potencial
contínuas funçõessãodx
de Como
Coeficiente de reflexão
*
*
AA
EET
26
O microscópio de varredura
wavemechanics-stm
Prêmio Nobel 1986:
Heinrich Rohrer, Gerd
Binnig e Ernst Ruska
E. Ruska
27
Até agora...
Vimos, até agora, três postulados da Mecânica Quântica:
a) Toda partícula possui uma função de onda (x,y,z,t) associada a
ela.
b) A forma e a evolução temporal desta (x,y,z,t) é determinada pela
equação de Schrödinger.
c) Em uma dimensão, dada a função (x,t), a densidade de
probabilidade da partícula ser encontrada em torno de um ponto x
(entre x e x+dx), num dado instante t, é dada por:
2tx,Ψtx,
28
A Equação de Schrödinger e a Quantização de
Energia
• Para uma partícula clássica confinada a
uma região limitada do espaço, a teoria de
Schrödinger prevê que a energia total da
partícula é quantizada.
• Quando a partícula não estiver confinada
em uma região limitada, a teoria prevê que a
sua energia total pode apresentar qualquer
valor.
29
Elétron confinado
• O confinamento de uma onda leva à quantização,
ou seja, à existência de estados ligados discretos,
com energias discretas.
Analogia:
Ondas estacionárias em uma corda estados estacionários
30
Átomo de
hidrogênio
0 L
U(x)
x
U0
Poço
quadrado
Exemplos de Potenciais:
• Armadilhas em 1, 2 e 3 dimensões. • Átomos.
31
Potencial do oscilador harmônico
Ener
gia
cres
cen
te
02
22
)(UE)(m
rrr
No caso de partícula confinada:
Equação de Schrödinger
independente do tempo
0 )(UE r
Sempre que teremos estados ligados que são
quantizados: apenas estados com
certas energias são possíveis.
32
Partícula em uma “Caixa”(=“poço”)
Vamos resolver a equação de Schrödinger para uma partícula
confinada a uma caixa de paredes “impenetráveis”. Isto é, uma
partícula sujeita a um potencial de forma:
U(x) = 0, para 0 < x < L
U(x) = ∞, para x < 0 ou x > L
• Como o potencial é infinito, a partícula deve se encontrar
rigorosamente no interior da caixa, portanto, devemos ter:
(x) = 0 , para x = 0 e x = L (condição de contorno).
0 L
U(x)
x
33
No interior da caixa:
ou:
A solução geral desta equação pode ser escrita como:
A condição de contorno: 0 0
A condição de contorno: (L) = 0 :
xE
dx
xd
m
2
22
2
xkx
mE
dx
xd
2
22
2 2
2
2;
mEk
)cos()sen( kxBkxAx
k xAx sen
0sen)( k LAL nk L L
nkn
02
22
)()](UE[)(m
rrr
0 L
U(x)
x
34
Escrita em termos dos comprimentos de onda:
que corresponde à condição de formação de ondas estacionárias.
As funções de onda serão dadas por:
• Para cada n temos uma ψn(x); onde n é um número quântico.
• Como temos um sistema unidimensional, ψn(x) é completamente
determinada por apenas um número quântico.
L
xnAxkAx nnnn
sensen
... 2, ,1;2
nn
Ln
Lnk
n
n
2
35
Veja que L=n/2
Funções de onda
L
xnAxkAx nnnn
sensen ,....3,2,1; n
1n 2n 3n 4n
5n 6n 7nn
Ln
2
0 L x
36
As energias (cinéticas) associadas a
estas funções são dadas por:
m
kE
2
)( 2
2
2
222
82n
mL
h
m
kE n
n
E1 1
4E1 2
9E1 3
16E1 4
25E1 5
L
nkn
37
• O sistema pode passar de um estado n para um n’, de energia
menor, emitindo um fóton de frequência :
O estado de energia mais baixa é
chamado de estado fundamental.
'nn EEEh
O sistema
pode também
sofrer uma
transição para
um estado de
energia maior,
absorvendo um
fóton. E1 1
E2 2
E3 3
E4 4
E
E1 1
E2 2
E3 3
E4 4
E
2
2
222
82n
mL
h
m
kE n
n
38
Resumo da aula:
• Equação de Schrödinger;
• Resolvemos a equação de Schrödinger para
situações simples (potencial degrau, barreira de
potencial);
• Resolvemos a equação de Schrödinger
confinada em um poço de potencial infinito em
uma dimensão (1D) energias discretas.