aula 8 - distribuicao normal

PROBABILIDADE E ESTATSTICA Profa. Dra. Yara de Souza Tadano [email protected]

Aula 8 Distribuio Normal 11/2014

Aulas 5 Probabilidade Probabilidade e Estatstica 3/41

Vamos apresentar distribuies de probabilidades para variveis aleatrias contnuas.

Para ilustrar a correspondncia entre rea e probabilidade, vamos aprender as

.

Em seguida, as , que ocorrem frequentemente em aplicaes reais e tm papel importante nos mtodos de inferncia estatstica.


Distribuio Normal

Se uma varivel aleatria contnua tem uma distribuio com um grfico simtrico e em forma de sino, e que pode ser descrito pela equao a seguir, dizemos que ela tem

y = e12x

"

#$

%

&'2

2Depende

apenas de e


Distribuio Normal Padro

A tem as seguintes

propriedades:

1. Seu grfico tem forma de sino;

2. Sua mdia igual a 0 ( = 0);

3. Seu desvio-padro igual a 1 ( = 1).


Distribuies Uniformes

O foco ser o estudo da Distribuio de Probabilidade Normal, porm iremos comear com a

, que nos dar informaes para compreender estas duas propriedades importantes:

1. A rea sob o grfico de uma distribuio de probabilidades igual a 1;

2. H uma correspondncia entre rea e probabilidade (ou frequncia relativa), de modo que algumas propriedades podem ser encontradas pela identificao das reas correspondentes.


Distribuio Uniforme

Uma varivel aleatria contnua tem uma se seus valores se espalham uniformemente

sobre a faixa de valores possveis.

O grfico de uma Distribuio Uniforme resulta em uma forma retangular.


EXEMPLO

A companhia de Energia fornece eletricidade com nveis de voltagem que so uniformemente distribudos entre 123 e 125 volts. Isto , qualquer quantidade de voltagem entre 123 e 125 volts possvel, e todos os possveis valores so equiprovveis. Se selecionamos aleatoriamente um dos nveis de voltagem e representarmos seu valor pela varivel aleatria x, ento x tem uma distribuio que tem um grfico como:


EXEMPLO

Um grfico de uma distribuio de probabilidade contnua, como este, chamado de .


EXEMPLO

Dada a distribuio uniforme do nvel de voltagem, ache a

probabilidade de que um nvel de voltagem selecionado

aleatoriamente seja maior do que 124,5 volts.


Curva de Densidade

Uma curva de densidade deve satisfazer os seguintes requisitos:

1. A rea sob a curva tem que ser igual a 1.

2. Cada ponto na curva tem que ter uma altura vertical maior ou igual a 0, ou seja, a curva no pode estar abaixo do eixo x.


rea Probabilidade

Como a rea total sob a curva de densidade igual a 1, e x i s t e u m a c o r r e s p o n d n c i a e n t r e e

.

No caso da Distribuio Uniforme, a rea abaixo da curva, que facilmente calculada por: rea = Base Altura, corresponder probabilidade referente a esta rea.


rea Probabilidade

Como a curva de densidade de uma Distribuio Normal tem a forma de sino, mais difcil acharmos a rea, porm o princpio bsico o mesmo:

H uma correspondncia entre

e



A distribuio normal padro uma distribuio de probabilidade normal com mdia = 0 e desvio-padro = 1, e a rea total sob a curva de densidade 1.

-3 -2 -1 0 1 2 3 Escore z



No fcil a determinao de reas para a curva de densidade da distribuio normal padro, ento necessitamos de valores j calculados previamente e que constam na seguinte tabela:



Ao usar a Tabela da distribuio normal padro, temos que:

1. A tabela refere-se apenas , que tem mdia 0 e desvio padro 1;

2. A tabela apresentada em duas pginas, uma para e a outra para ;

3. Cada valor no corpo da tabela a at uma reta vertical sobre um valor

especfico do escore z;



4. Ao trabalhar com um grfico, entre escores z e reas.

Escore z

Distncia na escala horizontal da distribuio normal

padro; refere-se coluna esquerda e linha do topo da

tabela.

rea Regio sob a curva; refere-se

aos valores no corpo da tabela.



z ,00 ,01 -3,4 0,0003 0,0003 -3,3 0,0005 0,0005 -3,2 0,0007 0,0007 -3,1 0,0010 0,0009

rea


EXEMPLO 1

Uma companhia de instrumentos cientficos de preciso fabrica termmetros que devem informar temperaturas de 0oC no ponto de congelamento da gua. Testes em uma grande amostra desses instrumentos revelam que, no ponto de congelamento da gua, alguns termmetros indicam temperaturas abaixo de 0oC e alguns do temperaturas acima de 0oC. Suponha que a leitura mdia seja 0oC e que o desvio-padro das leituras seja 1,00oC. Suponha, tambm, que as leituras sejam normalmente distribudas. Se um termmetro selecionado aleatoriamente, ache a probabilidade de que, no ponto de congelamento da gua, a leitura seja menor que 1,27oC.


EXEMPLO 1

Gostaramos de saber agora, qual a probabilidade de selecionarmos aleatoriamente um termmetro que apresente leitura (no ponto de congelamento da gua) superior a -1,23oC.

Agora, determine a probabilidade de selecionarmos aleatoriamente um termmetro que apresente letirua (no ponto de congelamento da gua) entre -2,00oC e 1,50oC.


O ltimo resultado do exemplo 1, pode ser generalizado como a seguinte regra:

A rea correspondente regio entre dois escores z especficos pode ser encontrada achando-se

.


Com uma distribuio de probabilidade contnua, tal como a distribuio normal, a probabilidade de se obter qualquer valor nico exato 0 (P(z=a) = 0).

De modo que:

P (a z b) = P (a < z < b)

Ento, a probabilidade de se obter um escore z no igual probabilidade de se obter um escore z

.


Escores z reas conhecidas

Em muitos casos, temos que:

Dada uma rea (ou probabilidade), achar o escore z correspondente.


Escores z reas conhecidas Procedimento para a determinao de um Escore z a partir

de uma rea conhecida.

1. Desenhe uma curva em forma de sino e identifique a regio sob a curva que corresponde probabilidade dada. Se a regio no uma regio acumulada esquerda, trabalhe com regies conhecidas que sejam regies acumuladas esquerda.

2. Usando a rea acumulada esquerda, localize a probabilidade mais prxima no corpo da tabela da distribuio normal padro e identifique o escore z correspondente.


Escores z reas conhecidas

Se um valor desejado de rea na tabela, selecione o valor ;

Se um valor est a entre dois valores da tabela, selecione o ;

Para escores z , podemos usar como uma aproximao para a rea acumulada esquerda;

Para escores z , podemos usar como uma aproximao para a rea acumulada esquerda.


EXEMPLO 2

Use os mesmos termmetros do exemplo anterior, com leituras de temperatura no ponto de congelamento da gua normalmente distribudas, com mdia de 0oC e desvio-padro de 1oC.

Ache a temperatura correspondente a P95, o 95o percentil. Isto , ache a temperatura que separa os 95% inferiores dos 5% superiores.

Ache, agora, as temperaturas separando os 2,5% inferiores e os 2,5% superiores.


Valores Crticos

Para uma distribuio normal, um valor crtico um escore z na fronteira que separa os escores z que tm ocorrncia provvel daqueles que tm ocorrncia improvvel.

Valores crticos comuns so z = -1,96 e z = 1,96.

Os valores abaixo de 1,96 so improvveis de acontecer, pois ocorrem em apenas 2,5% dos dados, e os valores acima de z = 1,96 tambm so improvveis de acontecer, pois tambm ocorrem em apenas 2,5% das leituras.


Valores Crticos

Na expresso z, faa = 0,025 e ache o valor de z0,025.

A notao de z0,025 usada para representar o escore z com uma rea de 0,025 sua direita.

Recorrendo tabela da distribuio normal, podemos observar que z0,025 = 1,96.


Valores Crticos

Para encontrar o valor de z , usando a tabela de distribuio normal padro, use o valor 1 .


Aplicaes da distribuio normal

pouco comum encontrarmos situaes que seguem uma distribuio normal padro.

As distribuies normais tpicas envolvem mdias diferentes de 0 e desvios-padro diferentes de 1.

Nestes casos, devemos ser capazes de encontrar probabilidades correspondentes a valores da varivel x e, dado algum valor de probabilidade, devemos ser capazes de encontrar o valor correspondente da varivel x.



Para trabalhar com distribuies normais no padronizadas, simplesmente iremos padronizar os valores para usar os mesmo procedimentos aprendidos at aqui.

Se convertermos valores para escores z padronizados usando a frmula a seguir, os procedimentos usados sero os mesmos usados para a distribuio normal padro.

z = x

Arredonde os escores z para 2 casas decimais



Procedimento para achar reas com uma distribuio normal no padronizada:

1. Esboce a curva normal, marque a mdia e os valores especficos de x e, ento, sombreie a regio que representa a probabilidade desejada;

2. Para cada valor relevante de x que representa um limite da regio sombreada, converta o valor em seu escore z equivalente;

3. Consulte a tabela para achar a rea da regio sombreada.


EXEMPLO 3

Uma porta tpica de uma casa tem uma altura de 2 metros. Dado que as alturas de homens so normalmente distribudas, com mdia de 1,725 m e desvio-padro de 7 cm,.

Ache a porcentagem de homens que passaro por uma porta-padro sem se curvar e sem bater a cabea.

Essa porcentagem alta o bastante para que se continue a usar 2 metros como padro de altura?


EXEMPLO 3

O valor do escore z 3,93, dando uma rea de 0,9999.

Conclui-se que a proporo de homens que podem passar pelas portas com altura-padro de 2 m 0,9999 ou 99,99%.

Muitos poucos homens no podero passar sem abaixarem ou baterem a cabea. Essa porcentagem alta o suficiente para justificar o suo de 2 m como altura-padro para portas.


EXEMPLO 4

Os pesos ao nascer nos Estados Unidos so distribudos normalmente, com mdia de 3420 g e desvio-padro de 495 g. O Hospital Geral de Newport exige tratamento especial para bebs que nasam com menos de 2450 g (no usualmente leves) ou mais de 4390 g (no usualmente pesados). Qual a porcentagem de bebs que no requerem tratamento especial por terem pesos ao nascer entre 2450 g e 4390g? Sob essas condies, muitos bebs precisam de cuidados especiais?


EXEMPLO 4

Expressando o resultado em porcentagem, podemos concluir que 95% dos bebs no exigem cuidados especiais por terem pesos entre 2450 g e 4390 g. Segue que 5% dos bebs requerem tratamento especial por serem no usualmente leves ou pesados.

A taxa de 5%, provavelmente, no muito alta para hospitais tpicos.


reas conhecidas

No confunda escores z e reas;

Escolha o lado correto (direito/esquerdo) do grfico;

Um escore z tem que ser negativo sempre que se localizar na metade esquerda da distribuio normal;

reas (ou probabilidades) so valores positivos ou nulos, mas NUNCA negativos.


reas conhecidas

Procedimento para achar valores a partir de reas conhecidas

1. Esboce o grfico da distribuio normal, introduza a probabilidade ou porcentagem dada na regio apropriada do grfico e identifique o(s) valor(es) x de interesse;

2. Use a Tabela para achar o escore z correspondente rea mais prxima e, em seguida, identifique o escore z correspondente;


reas conhecidas

3. Usando a frmula de converso de valores para escore z, encontre o valor de x;

4. Consulte o esboo da curva para verificar se a soluo faz sentido no contexto do grfico e no contexto do problema.

z = x


EXEMPLO 5

No planejamento de um ambiente, um critrio comum que se ajuste a 95% da populao. Qual a altura de uma porta se 95% dos homens devem passar por ela sem se abaixar e sem bater a cabea?

Isto , ache o 95 percentil das alturas dos homens, que so normalmente distribudas, com mdia de 1,75m e desvio-padro de 0,07 m.


EXEMPLO 5

O resultado : x = 1,87 m.

Isto significa que uma altura de porta de 1,87 permitiria que 95% dos homens passassem sem se curvar ou bater a cabea. Assim, 5% dos homens no passariam por uma porta com altura de 1,87 m.

Como muitos homens passam por portas com muita frequncia, esta taxa de 5%, provavelmente, no seria prtica.


EXEMPLO 6

O Hospital Geral de Newport deseja redefinir os pesos ao nascer mnimo e mximo que exigem tratamento especial por serem no usualmente baixos ou altos. Depois de considerar fatores relevantes, um comit recomenda um tratamento especial para os 3% inferiores e os 1% superiores dos pesos ao nascer. Ajude o comit a identificar os pesos ao nascer que separam os 3% inferiores e os 1% superiores.

Os pesos ao nascer, nos Estados Unidos, so normalmente distribudos, com mdia de 3420 g e desvio-padro de 495g.


EXEMPLO 6

O Resultado nos indica que:

O peso ao nascer de 2489 g (arredondado) separa os 3% inferiores dos pesos ao nascer, e 4573 (arredondado) separa o 1% superior dos pesos ao nascer.

Agora, o hospital tem critrios bem definidos para determinar se um beb recm-nascido deve receber tratamento especial relativo a um peso ao nascer no usualmente baixo ou alto.

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