Instrumentação para

Medição

Erros e Incertezas

FGA 2014

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 2

Erros

Sempre que se mede ocorre um erro

Devemos, sempre, tentar minimizar o seu valor•

Utilizando instrumentos calibrados•

Calculando a medida através da média de várias medições

O erro não é

anulável•

Temos sempre, pelo menos, a incerteza associada à

resolução do indicador do instrumento

•

Assim, o resultado de uma medição deve sempre indicar a incerteza

que lhe está

associada

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 3

Erros

Erro ou erro de medição (2.16)

Valor medido de uma grandeza menos um valor de referência

•

Quando há

um valor de referência único, o que ocorre se uma calibração é

efectuada por meio de um padrão de medição com incerteza de medição desprezável

•

Neste caso, o erro é

conhecido!

•

Se a mensuranda

é

supostamente representada por um único valor

verdadeiro•

ou um intervalo

de valores verdadeiros de amplitude desprezável

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 4

Erros

O erro pode ser dividido em duas componentes:

Erro sistemático (2.17)•

Componente do erro de medição que em medições repetidas permanece constante ou varia de uma forma previsível

•

O erro sistemático e as suas causas podem ser conhecidos ou desconhecidos

•

Deve aplicar-se uma correcção

para compensar um erro sistemático conhecido

•

Calibração

Erro aleatório (2.19)•

Componente do erro de medição que em medições repetidas varia de forma imprevisível

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 5

Incerteza

Incerteza de medição (2.26)

Parâmetro não-negativo

que caracteriza a dispersão dos valores da grandeza que são atribuídos à

mensuranda

a partir das informações usadas

•

O parâmetro pode ser, por exemplo, um desvio-padrão, denominado incerteza-padrão, ou a metade da largura de um intervalo, para um nível de confiança determinado

•

A medida deve ser entendida como a melhor estimativa

do valor da mensuranda

•

A incerteza compreende em geral muitas componentes que podem ser caracterizadas por desvios-padrão

•

Todas as incertezas, incluindo componentes associadas a correcções e valores atribuídos a padrões, contribuem para a dispersão

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 6

Erros e Incertezas

Tipos de erro e sua consideração no cálculo da medida e respectiva

incertezaErro

Erro aleatórioErro sistemático

Erro sistemático

conhecido

Erro sistemático

desconhecido

Correcção Erro residual

Resultado da medição Incerteza da medição

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 7

Erros e Incertezas

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 8

Erros e Incertezas

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 9

Estimação da Incerteza

Vai ser seguida a bordagem proposta pelo GUM•

GUM: Evaluation of measurement data —

Guide to the expression of uncertainty in measurement

•

O GUM é

o documento base utilizado internacionalmente pelos laboratórios de metrologia para a avaliação da incerteza nas medições

A incerteza será

estimada •

utilizando um modelo matemático da medição•

considerando todas as componentes de incerteza•

combinado e propagando estatisticamente as várias componentes

incerteza-padrão

combinada (2.31)•

aplicando um factor de expansão (2.38) adequado

incerteza expandida (2.35), intervalo com o nível de confiança pretendido

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 10

Função de Medição

Em muitos casos a mensuranda

Y

não é

medida directamente

É

determinada a partir de N

grandezas Xi

através de uma função de medição

•

As grandezas de entrada (2.50) Xi

podem ser mensurandas

que dependem de outras grandezas de entrada...

A estimativa do valor de Y, y, é

obtida de f

usando estimativas dos valores de Xi

, xi

)...,,,( 21 NXXXfY

)...,,,( 21 Nxxxfy

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 11

Função de Medição

A estimativa do valor de Xi

, xi

, é

obtida pela média aritmética de n

observações de Xi

, Xi,k

O desvio padrão de y

incerteza-padrão

combinada (2.31), uc (y)

é

determinado a partir dos desvios padrão de cada estimativa xi

incerteza-padrão

(2.30), u(xi

)

n

kkiii X

nXx

1,

1

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 12

Incerteza-Padrão

Avaliação de Tipo A (2.28)

Usualmente, a melhor estimativa do valor esperado μq

de uma variável aleatória q

é

obtida pela média aritmética de n

observações independentes de q, qk

A melhor estimativa da variância σ

2

de q

é

dada pela variância experimental das observações, s2(qk

)

n

kkq

nq

1

1

2

1

2 )(1

1)( qqn

qsn

jjk

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 13

Incerteza-Padrão

Avaliação de Tipo A (2.28)

A melhor estimativa da variância da média de q,

, é, assim, dada por:

O desvio padrão experimental da média, , quantifica quão bem a média de q

estima o valor esperado de q, μq

•

Assim, para uma grandeza de entrada Xi

, determinada de n

observações Xi,k

, a incerteza padrão u(xi

) é

determinada como

e é

chamada de incerteza padrão do tipo A

nq

22 )(

nqsqs k )()(

22

)(qs

)()( ii Xsxu

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 14

Incerteza-Padrão

Avaliação de Tipo B (2.29)

Neste caso, a incerteza padrão u(xi

)

será

determinada recorrendo a outro tipo de informação:

•

Especificações fornecidas pelos fabricantes dos equipamentos de medição utilizados

•

Informação fornecida em certificados de calibração ou outros

•

Incertezas atribuídas a dados de referência extraídos da literatura

•

...

É

assumida uma função de densidade de probabilidade•

a incerteza padrão u(xi

) é, neste caso, chamada de incerteza padrão do tipo B

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 15

Incerteza-Padrão

Avaliação de Tipo B (2.29)

Funções de densidade de probabilidade mais usadas•

Distribuição normal

)( ixu

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 16

Incerteza-Padrão

Avaliação de Tipo B (2.29)

Funções de densidade de probabilidade mais usadas•

Distribuição uniforme ou rectangular

•

Se (a+

- a-

) = 2a

Xa- a+

a a

a/2 12/)()(

2/)(

aaxu

aax

i

i

3)( axu i

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 17

Incerteza-Padrão Combinada

Como combinar as diferentes incertezas padrão u(xi

)

de modo a obter uc (y)?

Se as observações das diferentes grandezas Xi

forem estatisticamente independentes

Se a função de medição for linearizável

com pequeno erro em torno de Y=f(X1

, X2

, ..., XN

)

•

•

Com as derivadas parciais de f

calculadas em x1

, x2

, ..., xN

•

NN

XXfX

XfX

XfY

...22

11

)()( 2

1

22

i

N

i i

xuxfyu

c(ver o GUM para outros casos)

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 18

Incerteza Expandida de Medição

A incerteza-padrão

combinada, uc (y), deverá

ser multiplicada por um factor de expansão, k, de modo a obter-se a incerteza expandida, U

A medida será

expressa por Y = y ±

U

U

define um intervalo em torno de y

cobrindo uma fracção significativa da distribuição dos valores que podem ser razoavelmente atribuídos à

mensuranda

U

= k

uc (y)•

Geralmente, k

estará

compreendido entre 2 e 3•

Assumindo que a distribuição caracterizada por y e uc (y) é

essencialmente normal

•

k

= 2

intervalo com nível de confiança de ≈95%•

k

= 3

intervalo com nível de confiança de ≈99%

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 19

Incerteza Expandida de Medição

Como estimar k

para um nível de confiança pretendido?

Pelo teorema do Limite Central, sendo uc (y)

obtida por uma combinação linear, a distribuição de Y

será

essencialmente normal

Se a variância experimental das observações, s2(Xi,k

), for obtida com um número razoável de observações (n>10), a incerteza associada ao valor estimado de uc (y)

será

baixa

Nesse caso, será

possível estimar k

= kp

, com kp

deduzido directamente da distribuição normal, sendo p

o nível de confiança•

Up

= kp

uc (y)(ver o anexo G do GUM

para outros casos)

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 20

Incerteza Expandida de Medição

Valores do factor de expansão, kp

, para um nível de confiança p, com uma distribuição normal

p

[%] kp

68,27 1

90 1,645

95 1,960

95,45 2

99 2,576

99,73 3

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 21

Exemplo de Aplicação

Medição da massa volúmica de uma esfera de rolamento

ρ

= M/V [kg/m3]•

M medido directamente com uma balança calibrada no local

•

12 medições efectuadas em g

•

V

calculado a partir da medida do diâmetro da esfera, D•

D nominal de 10 mm•

D medido com um micrómetro digital•

12 medições efectuadas em mm

• 33

3

6234

34 DDRV

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 22

Exemplo de Aplicação

Características da Balança

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 23

Exemplo de Aplicação

Características do Micrómetro

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 24

Exemplo de Aplicação

Resumo das Características

Balança•

Resolução: 0,001 g•

Repetibilidade: 0,001 g•

Desvio padrão das medições

•

Linearidade: ±0,002 g•

Verificada em 3 pontos (início, meio e fim de escala) durante a calibração

•

≈

a exactidão, distribuição normal, com k

= 2

Micrómetro•

Resolução: 0,0001 mm•

Exactidão: ±0,5 µm•

Distribuição uniforme

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 25

Exemplo de Aplicação

Resultado das 12 Medições de Massa [g]

M1 4,189 M7 4,190

M2 4,188 M8 4,189

M3 4,189 M9 4,190

M4 4,190 M10 4,189

M5 4,188 M11 4,189

M6 4,190 M12 4,190

g1075378,0)(g18925,4

3

kMSMm

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 26

Exemplo de Aplicação

Incertezas a considerar na medição da massa

Resolução da balança•

Tipo B com distribuição uniforme

Repetibilidade da balança•

A massa da esfera não varia•

Tipo A com distribuição normal•

σ

fornecido pelo fabricante

g108868,23105,0)( 4

3

Rmu

g108868,212101)()( 4

3

nMmu A

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 27

Exemplo de Aplicação

Incertezas a considerar na medição da massa

Exactidão da balança•

Tipo B com distribuição normal

Incerteza-padrão

combinada

Incerteza expandida, com k

= 2

Medida da massa

g1012002,0)( 3Emu

g100801,1)()()()( 3222 EAR mumumumu C

g0022,0)()( CmukmU

g0022,01893,4 M

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 28

Exemplo de Aplicação

Resultado das 12 Medições de Diâmetro [mm]

D1 10,0003 D7 9,9993

D2 9,9992 D8 10,0009

D3 9,9996 D9 10,0009

D4 10,0001 D10 10,0000

D5 10,0009 D11 10,0006

D6 10,0009 D12 9,9993

mm108402,6)(mm000167,10

4

kDSDd

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 29

Exemplo de Aplicação

Incertezas a considerar na medição do diâmetro

Resolução do micrómetro•

Tipo B com distribuição uniforme

Repetibilidade da medição•

A esfera não é

geometricamente perfeita•

Tipo A com distribuição normal, n=12

mm108868,23105,0)( 5

4

Rdu

mm109746,1)()( 4nDSdu k

A

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 30

Exemplo de Aplicação

Incertezas a considerar na medição do diâmetro

Exactidão do micrómetro•

Tipo B com distribuição uniforme

Incerteza-padrão

combinada

Incerteza expandida, com k

= 2

Medida do diâmetro

mm108868,23

105)( 44

Edu

mm105094,3)()()()( 4222 EAR dudududu C

mm1070,0)()( 3 CdukdU

mm00070,000017,10 D

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 31

Exemplo de Aplicação

Determinação do Volume da esfera

Função de medição, Y=f(X1

)

Incerteza-padrão

combinada

Incerteza expandida, com k

= 2

Medida do volume

322

222

mm0551,0)(2

)()(

CCC dudduDfvu

dD

3mm11,0)()( CvukvU

3mm11,062,523 V

333 mm6249,52366

dvDV

MIEM – Inst. para Medição FGA 2014 32

Exemplo de Aplicação

Determinação da Massa Volúmica da esfera

Função de medição, Y=f(X1

,X2

)

Incerteza-padrão

combinada

Incerteza expandida, com k

= 2:

Medida da massa volúmica:

322

22

2

2

2

2

2

kg/m2281,2)()(1

)()()(

CC

CCC

vuvmmu

v

vuVfmu

Mfu

vVmM

vVmM

3kg/m5,4)( U3kg/m5,45,8000

39

3

kg/m478,80001062,523101893,4

vm

VM