aula 01 - erros

Aritmtica de Ponto Flutuante (APF) Truncamento Arredondamento Overflow e Underflow Erros Erros de arredondamento e truncamento em um sistema APF Erro nas operaes de APF Operao de soma em APF Multiplicao Diviso Resumo

Noes Bsicas sobre Erros

Andr Nagamine

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA - UESB

3 de maro de 2015


Aritmtica de Ponto Flutuante - APF

Existe uma forma padronizada com o qual o computadorarmazena os nmeros. O sistema mais utilizado chamado deAritmtica de Ponto Flutuante - APF, tanto para armazenarquanto para realizar operaes.

Um nmero x em APF tem a seguinte forma:

x = (0,d1d2 . . . dt) eonde:

a base numricat o nmero de dgitos da mantissa; 0 dj 1,j = 1, . . . , t , d1 6= 0e um expoente variando no intervalo [m,M] onde ointervalo depende da capacidade da mquina usada.

Exemplos: ...





x = (0,d1d2 . . . dt) eonde:

a base numrica

t o nmero de dgitos da mantissa; 0 dj 1,j = 1, . . . , t , d1 6= 0e um expoente variando no intervalo [m,M] onde ointervalo depende da capacidade da mquina usada.

Exemplos: ...





x = (0,d1d2 . . . dt) eonde:

a base numricat o nmero de dgitos da mantissa; 0 dj 1,j = 1, . . . , t , d1 6= 0

e um expoente variando no intervalo [m,M] onde ointervalo depende da capacidade da mquina usada.

Exemplos: ...





x = (0,d1d2 . . . dt) eonde:

a base numricat o nmero de dgitos da mantissa; 0 dj 1,j = 1, . . . , t , d1 6= 0e um expoente variando no intervalo [m,M] onde ointervalo depende da capacidade da mquina usada.

Exemplos: ...


Notao:

usaremos a notao

x f (, t ,m,M)

para indicar o sistema de aritmtica de ponto flutuante ao qualx pertence.Consideremos uma mquina que trabalha no sistemaf (10,3,5,5). Ento qualquer nmero x nesse sistema serrepresentado por:

(0,d1d2d3) 10e, 0 dj 9, e [5,5]

Pergunta: qual o menor e o maior valor (em mdulo) nessesistema?

Obs.: em um computador a quantidade de dgitos usada pararepresentar os nmeros sempre finita.


Notao: usaremos a notao

x f (, t ,m,M)

para indicar o sistema de aritmtica de ponto flutuante ao qualx pertence.

Consideremos uma mquina que trabalha no sistemaf (10,3,5,5). Ento qualquer nmero x nesse sistema serrepresentado por:

(0,d1d2d3) 10e, 0 dj 9, e [5,5]





x f (, t ,m,M)

para indicar o sistema de aritmtica de ponto flutuante ao qualx pertence.Consideremos uma mquina que trabalha no sistemaf (10,3,5,5).

Ento qualquer nmero x nesse sistema serrepresentado por:

(0,d1d2d3) 10e, 0 dj 9, e [5,5]





x f (, t ,m,M)

para indicar o sistema de aritmtica de ponto flutuante ao qualx pertence.Consideremos uma mquina que trabalha no sistemaf (10,3,5,5). Ento qualquer nmero x nesse sistema serrepresentado por:

(0,d1d2d3) 10e, 0 dj 9, e [5,5]




Truncamento

Considere o problema de representar o nmero x = 235,89 no

sistema f (10,3,5,5).

Como a mantissa deve ter tamanho

t = 3, na operao de truncamento despreza-se os dois

ltimos dgitos, ou seja:

x = 0,235 103.


Truncamento

Considere o problema de representar o nmero x = 235,89 no

sistema f (10,3,5,5). Como a mantissa deve ter tamanhot = 3, na operao de truncamento despreza-se os dois

ltimos dgitos, ou seja:

x = 0,235 103.


Arredondamento

No arredondamento verifica-se a magnitude do dgito mais aesquerda que est fora da mantissa. Se este nmero for menordo que 5 ento o ltimo dgito direita na mantissa permanececomo est, caso contrrio acrescenta-se esse nmero umaunidade.

No exemplo, anterior temos:

x = 0,236 103.


Arredondamento

No arredondamento verifica-se a magnitude do dgito mais aesquerda que est fora da mantissa. Se este nmero for menordo que 5 ento o ltimo dgito direita na mantissa permanececomo est, caso contrrio acrescenta-se esse nmero umaunidade. No exemplo, anterior temos:

x = 0,236 103.


Overflow e Underflow

Overflow ocorre quando o nmero a ser representado maiordo que aquele em que a mquina tem capacidade derepresentar. Por exemplo, suponha que o sistema dado porf (10,3,3,3) e que queremos representar nesse sistema onmero x = 930450.

Analogamente underflow ocorre quando o nmero a serrepresentado menor do que aquele em que a mquina temcapacidade de representar. Por exemplo, no sistema acima,no possvel representar o nmero x = 0,00002.


Erros

Definio (Erro Absoluto)

o mdulo da diferena entre o valor exato de um nmero x e

o seu valor aproximado x, ou seja

EAx = |x x |

Na prtica o que se faz estabelecer uma estimativa para oerro absoluto da forma:

EAx = |x x | <

onde valor da estimativa.


Exemplo: Usando uma aproximao de pi no intervalopi (3,14, 3,15), temos que:

EAx = |x x | < 0,01.


Erro relativo

Consideremos um nmero x = 2112,9 com EAx < 0,2, ouseja, x (2112,7, 2113,1).Consideremos um nmero y = 5,3 com EAy < 0,2, isto ,y (5,1, 5,5).

Podemos dizer que os nmeros tm a mesma preciso?Para responder a essa pergunta definimos a noo de errorelativo.

O erro relativo definido como sendo o quociente entre o erro

absoluto e o valor aproximado, ou seja,

ERx =EAx|x | .


Erro relativo

Consideremos um nmero x = 2112,9 com EAx < 0,2, ouseja, x (2112,7, 2113,1).

Consideremos um nmero y = 5,3 com EAy < 0,2, isto ,y (5,1, 5,5).




ERx =EAx|x | .


Erro relativo





ERx =EAx|x | .


Erro relativo


Podemos dizer que os nmeros tm a mesma preciso?

Para responder a essa pergunta definimos a noo de errorelativo.



ERx =EAx|x | .


Erro relativo





ERx =EAx|x | .


Na prtica, como EAx nem sempre pode ser obtido, fazemosuma estimativa para o erro relativo baseado na estimativa parao erro absoluto,

ERx =|x x ||x |

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