Aula 09

Regras de derivação: constante, potência, multiplicação por uma

constante, soma e diferença, exponencial

Introdução

Se tivéssemos que usar a definição de derivada toda

vez que quiséssemos calcular uma derivada, o

cálculo seria uma disciplina extremamente difícil e

tediosa. Felizmente isto não é necessário; nesta aula

e na próxima, apresentaremos algumas regras que

facilitam grandemente o processo de derivação.

Derivadas de Funções Polinomiais e Exponenciais

O gráfico da função constante é a reta

horizontal , cuja inclinação é zero; logo

devemos ter .( ) 0f x

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO CONSTANTE

0d

cdx

Função constante

( )f x c

y c

Função Potência

REGRA DA POTÊNCIA ( VERSÃO GERAL)

Se n for um número real qualquer, então:

1n ndx n x

dx

Exemplos

Exemplo 1

6(a) Se ( ) , então f x x f x

4(b) Se , então y t y

100(c) Se , então y x y

3(d) d

rdr

6 16x 56x

4 14x 34x

100 1100x 99100x

3 13x 23x

2

1(a) ( )f x

x

Derive:

3 2(b) y x

Exemplo 2

34

1(c) ( )f x

x

5 3

2(d) ( )

xf x

x

6

9 2(e) ( )

xf x

x

2( )f x x 2 12f x x 32x 3

2

x

2

3y x 2

132

3y x

1

32

3x

1

3

2

3x

3

2

3 x

3

43

4

1f x x

x

3

143

4f x x

7

43

4x

74

3

4 x

2

53

5

22

xf x x

x

21

522.

5f x x

3

54

5x

5 3

4

5 x

1

1 1 166 9 18

2

9

xf x x x

x

11

181

18f x x

18 17

1

18 x

Exemplo 3

Ache as equações da reta tangente e da reta normal

à curva no ponto (1,1).

Solução.

xxy

Equação da Reta Tangente no ponto 1 1 1 1x y f f x

1 3

2 2f x x x x x x 1

23 3

2 2

x xf x

3 1 31

2 2f 1 1 1 1f

3 3 11 1 1 1 1

2 2 2

xy f f x y x y

1Equação da Reta Normal no ponto 1 1 1

1x y f x

f

11 1

1y f x

f

1

1 132

y x

21 1

3y x

2 5

3 3

xy

REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR CONSTANTE

Se k for uma constante e f uma função derivável,

então:

(2) ( )kf p ( ) ( )

limx p

kf x kf p

x p

( ) ( )limx p

f x f pk

x p

( )kf p

( ) ( ) ( )d d

kf x k f x k f xdx dx

Demonstração:

Exemplos

4(a) 3d

xdx

Exemplo 4

(b)d

xdx

3

(c)6

d x

dx

Determine:

43d

xdr

33 4x 312x

1d

xdr

1 1 1

31

6

dx

dr

213

6x

2

2

x

REGRA DA SOMA

Se f e g forem ambas deriváveis, então:

Demonstração:

(1) ( )f g p ( ) ( ) ( ) ( )

limx p

f x g x f p g p

x p

( ) ( ) ( ) ( )

limx p

f x f p g x g p

x p x p

( ) ( )

limx p

f x f p

x p

( ) ( )limx p

g x g p

x p

( )f p ( )g p

( ) ( )d d d

f x g x f x g x f x g xdx dx dx

Exemplos

8 5 4 3(b) 12 4 10 6 5d

x x x x xdx

Exemplo 5

3 2(a) 5 4 12 8d

x x xdx

Determine:

5 41( ) 3 2

3

dc x x x

dx

22

1( )

dd x x

dx x

215 8 12x x

7 4 3 28 60 16 30 6x x x x

4 3415 1

3x x

12 2 2

dx x x

dx

13 2

12 2

2x x x

3

2 12

2x

x x

Funções Exponenciais

Definição do número e

h 0

1 é o número tal que lim 1

hee

h

Geometricamente, isso significa que, de todas as possíveis funções exponenciais y=ax, a função f(x)=ex é aquela cuja reta tangente em (0,1) tem inclinação f´(0) = 1 .

DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

x xde e

dx

A função exponencial f(x)=ex tem como propriedade o fato de que sua derivada é ela mesma. O significado geométrico desse fato é que a inclinação da reta tangente à curva y=ex é igual à coordenada y do ponto.

Exemplos

Se ,ache e .xf(x) e x f f

Exemplo 8

Exemplo 9

Em que ponto da curva y=ex sua reta tangente é paralela à reta y=2x ?

Problemas de Aplicação(Opcional)

Circulação de um Jornal

Estima-se que daqui a t anos a circulação de um jornal será C(t)=100t²+400t+5000.

(a)Encontre uma expressão para a taxa de variação da circulação com o tempo daqui a t anos.

(b)Qual será a taxa de variação da circulação com o tempo daqui a 5 anos? A circulação estará aumentando ou diminuindo nesta ocasião?

Solução(a) A taxa de variação é dada pela derivada da função. Logo:

100 ² 400 5000C t t t 200 400C t t

b A taxa de variação da circulação com o tempo daqui a 5anos

é dada por C 5 , isto é:

5 200 5 400 1400C

Como a taxa de variação da circulação com o tempo daqui a 5anos

é positiva, 1400, significa que a circulação do jornal estará aumentando

à uma taxa de 1400 unidades ao ano.

Poluição do Ar

Um estudo ambiental realizado em um certo bairro revela que daqui a t anos a concentração de monóxido de carbono no ar será Q(t)=0,05t²+0,1t+3,4 partes por milhão.

(a)Encontre a expressão para a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono no ar com o tempo daqui a t anos?

(b) Qual será a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono no ar com o tempo daqui a 2 anos?

2

( ) 3,420 10

t tQ t

Solução(a) A expresssão para taxa de variação é dada por:

²3, 4

20 10

t tQ t 2 1 1 1

20 10 10 10 10

t t tQ t

b A taxa devariação da concentração de monóxido de carbono no ar com

o tempo daqui a 2 anos é dada por 2 , isto é:Q

2 1 32 0,3

10 10Q

Como a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono no ar,

daqui a 2 anos é positiva, 0,3, significa que estará aumentando à uma taxa

de 0,3 partes por milhão ao ano.

RECEITA ANUAL

A receita anual bruta de uma certa

empresa foi R(t)=0,1t²+10t+20

milhares de reais t anos após a empresa

ter sido fundada no ano de 200. A que

taxa a receita anual bruta da empresa

estava variando com o tempo em 2004?

A receita estava aumentando ou

diminuindo naquele momento?

2

( ) 10 2010

tR t t

Solução A  taxa de variação da receita anual bruta da empresa é dada por, :R t

²10 20

10

tR t t 5

5

tR t

t

Em 2004, 4, logo:t

4 54 0,8 2,5 3,3

5 4R

Como a taxa de variação da receita, em 2004 é positica, 3,3,

significa que estará aumentando à uma taxa de 3,3 milhares

de reais ao ano.

FÍSICO-QUÍMICA

De acordo com a fórmula de Debye da

físico-química, a polarização

orientacional P de um gás é dada pela

equação onde ,k e N

são constantes positivas e T é a

temperatura do gás. Determine a taxa

de variação de P com T.

24

3 3P N

kT

SoluçãoA  taxa de variação de em relaçã a é dada por, .

Como:

dPP T

dT

24

3 3

NP T

kT

24 1

9

N

k T

214

9

NT

k

Temos que:

2

241

9

NdP

dTT

k

2

2

4 1

9

d

k T

P

T

N

d

2

2

4

9

N

kT

dP

dT

LISTA DE EXERCÍCIOS

Sugestão: Mostrar para os alunos os exercícios da lista

correspondentes a esta aula.