derivação e integração

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1 Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelado em Ciência e Tecnologia Universidade Federal do ABC Funções de Uma Variável Derivação Definição: () ( ) () () () () 1. ( ) 2. ( ) 3. ( ) 4. ( ) 5. ( ) 6. ( ) 7. ( ) 8. ( ) 9. ( ) 10. ( ) 11.,()()- () () ()() 12.0 () () 1 ()()() () ,()- 13. Regra da Cadeia Na notação de Newton: ( ) ,(()- (()) () Na notação de Leibniz: Teorema sobre continuidade e derivabilidade Se f for derivável em p, então f será contínua em p. Ou, equivalentemente, a contra-positiva: Se f não for contínua em p, então f não é derivável em p. Integração 1. ( )

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Um resumo básico sobre as operações de derivação e integração. Fiz para estudar para a disci

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Page 1: Derivação e integração

1

Rodrigo Thiago Passos Silva

Bacharelado em Ciência e Tecnologia

Universidade Federal do ABC

Funções de Uma Variável

Derivação

Definição:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

1. ( )

2. ( )

3. ( )

4. ( )

5. ( )

6. ( )

7. ( )

8. ( )

9. ( )

10. ( )

11., ( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( )

12.0 ( )

( )1

( ) ( ) ( ) ( )

, ( )-

13. Regra da Cadeia

Na notação de Newton:

( ) , ( ( )- ( ( )) ( )

Na notação de Leibniz:

Teorema sobre continuidade e derivabilidade

Se f for derivável em p, então f será contínua em p.

Ou, equivalentemente, a contra-positiva:

Se f não for contínua em p, então f não é derivável em p.

Integração

1. ∫

( )

Page 2: Derivação e integração

2

Rodrigo Thiago Passos Silva

Bacharelado em Ciência e Tecnologia

Universidade Federal do ABC

2. ∫

3. ∫

4. ∫

5. ∫

6. ∫

7. ∫

8. ∫

9. ∫ ( )

( )

10. ∫ ( )

( )

11. ∫

12. ∫

13. ∫

Teorema fundamental do Cálculo

1. Se f é contínua em [a,b], então a função g, definida por

( ) ∫ ( )

( )

é contínua em [a,b] e derivável em (a,b) e g’(x) = f (x).

2. Se f é contínua em [a,b], então

∫ ( )

( ) ( )

onde F é qualquer primitiva de f, id est, uma função tal que F’ = f.

Áreas

A área S limitada pela região da reta x = b, x = a, y = 0 e y = f (x), onde f (x) é contínua

em [a,b], é

∫ ( )

A área S da região limitada pelas curvas y = f (x), y = g (x), e pelas retas y = b e y = a,

onde f e g são contínuas e f (x) ≥ g (x) para todo x em [a,b], é

∫ , ( ) ( )-

Page 3: Derivação e integração

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Rodrigo Thiago Passos Silva

Bacharelado em Ciência e Tecnologia

Universidade Federal do ABC

Integração por partes

∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

Exercícios

1. Seja ( ) . Prove que ( ) .

Pela definição de derivada temos:

( )

( )

Resolução do limite em vermelho:

Tomando: , temos então

Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:

( ) ( ) ( )

Quando , então:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

[

( ) ]

Portanto, ( )

Page 4: Derivação e integração

4

Rodrigo Thiago Passos Silva

Bacharelado em Ciência e Tecnologia

Universidade Federal do ABC

2. Seja ( ) . Prove que ( )

.

Pela definição de derivada:

( )

( )

.

/

. /

(

)

(

)

*

(

)

+

[

(

)

]

[

(

)

]

[

(

)

]

[

(

)

]

[

(

)

]

3. Seja ( ) ( ) . f é contínua e diferenciável em 1?

f é contínua em 1 se

( ) ( )

Calculando o limite, utilizando os limites laterais:

( )

( )

( )

Portanto, existe ( ) e é igual a ( ), então a função é contínua no ponto 1.

f é diferenciável no ponto 1 se o limite ( ) ( )

existir.

Para

( ) ( )

( )( )

( )

Page 5: Derivação e integração

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Rodrigo Thiago Passos Silva

Bacharelado em Ciência e Tecnologia

Universidade Federal do ABC

Para

( ) ( )

Conclusão:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

e portanto, f não é diferenciável no ponto 1.

4. Seja ( ) ( ) . f é contínua e derivável em 0?

f é derivável no ponto 0 se o limite ( ) ( )

existir.

Para

( ) ( )

Para

( ) ( )

Conclusão:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

e, portanto, f é diferenciável no ponto 0. Logo, se é diferenciável, é também contínua no

mesmo ponto.

5. Use as regras de derivação para calcular f’(x).

1. ( )

( )

( ) ( ) ( )( )

, -

( ) ( )

, -

2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

3. ( ) √

( )

4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

, ( ) - ( ) ( ) (

)

Page 6: Derivação e integração

6

Rodrigo Thiago Passos Silva

Bacharelado em Ciência e Tecnologia

Universidade Federal do ABC

5. ( ) , ( )- ( ) ( ) * , ( )-+ ( )* , (

)-+ ( ) , ( )- * , ( )-+ , ( )-

( ) , ( )- , ( )- , ( ) ( ) -

( ) , ( )- , ( )- ,

- ( ) , (

)- ( ) , ( )-

6. Calcule:

1. ∫ .

/ ∫( )

2. ∫ .

/ ∫( )

3. ∫( √

) ∫(

)

4. ∫ .

/ ∫( )

5. ∫ ( )

( )

6. ∫ ( )

( ( ))

( )

7. ∫

∫.

/

8. ∫( )

7. Calcule:

1. ∫ ( )

0 ( )

1

(

) .

/

2. ∫ ( )

, -

3. ∫

*

+

, √ - ( √ ) ( √ )

Page 7: Derivação e integração

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Rodrigo Thiago Passos Silva

Bacharelado em Ciência e Tecnologia

Universidade Federal do ABC

4. ∫

∫ .

/

∫ ( )

0

1

0

1

.

/ .

/

5. ∫

∫ .

/

∫ ( )

,

- ,

-

.

/ .

/

8. Calcule, usando mudança de variável:

1. ∫

Fazendo , temos:

( )

Portanto:

, -

( )

2. ∫ √

Fazendo , temos

( )

Portanto:

∫ √

∫ √

∫ √

[

√ ]

(

√ )

(

√ )

√ √

3. ∫ √

Fazendo , temos

( )

Portanto:

∫ √

∫ √

∫ √

Observação:

Page 8: Derivação e integração

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Rodrigo Thiago Passos Silva

Bacharelado em Ciência e Tecnologia

Universidade Federal do ABC

∫√ ∫√ (√ )

√ (√ )

(√ )

| √ (√ )

|

√ (√ )

(√ )

Regra geral:

∫√

| √ |

onde,

. √ /

4. ∫ √

Fazendo: , temos

( )

Portanto:

∫ √

∫ ( ) √

∫ ( )

∫ (

)

[

]

(

)

5. ∫ ( )

Fazendo , temos

( )

Portanto:

∫ ( )

*

+

(

)

6. ∫

Tomando , temos que

( )

Portanto:

Page 9: Derivação e integração

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Rodrigo Thiago Passos Silva

Bacharelado em Ciência e Tecnologia

Universidade Federal do ABC

, -

( )

(

)

9. Calcule (usando integração por partes):

1. ∫

Fazendo ( ) ( ) e ( ) ( )

Fórmula: ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

∫ ∫ ( )

2. ∫

Fazendo ( ) ( ) e ( ) ( )

Fórmula: ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )

Calculando ∫ ( ) por partes:

Fazendo ( ) ( ) e ( ) ( )

∫ ( ) ∫

Portanto:

10. Calcule:

1. ∫

Page 10: Derivação e integração

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Rodrigo Thiago Passos Silva

Bacharelado em Ciência e Tecnologia

Universidade Federal do ABC

O grau do numerador é estritamente menor do que o do denominador, portanto, existe A

e B, tal que

( ) ( )

( )( )

Então:

( ) ( )

Fazendo , temos: ( )

Fazendo , temos: ( )

Logo:

∫(

)

2. ∫

Fazendo a divisão

, temos quociente ( ) e resto ( ) .

Como ( ) ( ) ( ) ( ), então ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

Logo,

e

∫(

) ∫(

)

Calculando, agora, os valores de A e B:

( ) ( )

( )( )

Tem-se:

( ) ( )

Fazendo , temos: ( ) ( )

Fazendo , temos: ( ) ( )

Portanto:

Por consequência:

∫(

) ∫(

)

Page 11: Derivação e integração

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Rodrigo Thiago Passos Silva

Bacharelado em Ciência e Tecnologia

Universidade Federal do ABC

Voltando à integral que se quer calcular:

( )

3. ∫

( )

Fazendo , tem-se

( )

( ) ∫

( )

∫(

)

Portanto:

( )

( )

( )

4. ∫

Fazendo a divisão dos polinômios, obtêm-se ( ) e ( ) .

Portanto,

( )( )

A fração

equivale a

( )( ) e pode ser escrita da forma

Logo,

( )( ) ( ) ( )

( )( )

e,

( )( ) ( ) ( )

Fazendo temos ( )( )

Fazendo temos ( )( )

Fazendo temos ( )( )

Então:

Calculando a integral:

Page 12: Derivação e integração

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Rodrigo Thiago Passos Silva

Bacharelado em Ciência e Tecnologia

Universidade Federal do ABC

∫ *

+

5. ∫

( ) ∫

( )

Fazendo , teremos

( )

Então:

( ) ∫

( )

∫(

)

( ) ( )