derivação e integração
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Um resumo básico sobre as operações de derivação e integração. Fiz para estudar para a disciTRANSCRIPT
1
Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
Universidade Federal do ABC
Funções de Uma Variável
Derivação
Definição:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1. ( )
2. ( )
3. ( )
4. ( )
5. ( )
6. ( )
7. ( )
8. ( )
9. ( )
10. ( )
11., ( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( )
12.0 ( )
( )1
( ) ( ) ( ) ( )
, ( )-
13. Regra da Cadeia
Na notação de Newton:
( ) , ( ( )- ( ( )) ( )
Na notação de Leibniz:
Teorema sobre continuidade e derivabilidade
Se f for derivável em p, então f será contínua em p.
Ou, equivalentemente, a contra-positiva:
Se f não for contínua em p, então f não é derivável em p.
Integração
1. ∫
( )
2
Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
Universidade Federal do ABC
2. ∫
3. ∫
4. ∫
5. ∫
6. ∫
7. ∫
8. ∫
9. ∫ ( )
( )
10. ∫ ( )
( )
11. ∫
12. ∫
13. ∫
√
Teorema fundamental do Cálculo
1. Se f é contínua em [a,b], então a função g, definida por
( ) ∫ ( )
( )
é contínua em [a,b] e derivável em (a,b) e g’(x) = f (x).
2. Se f é contínua em [a,b], então
∫ ( )
( ) ( )
onde F é qualquer primitiva de f, id est, uma função tal que F’ = f.
Áreas
A área S limitada pela região da reta x = b, x = a, y = 0 e y = f (x), onde f (x) é contínua
em [a,b], é
∫ ( )
A área S da região limitada pelas curvas y = f (x), y = g (x), e pelas retas y = b e y = a,
onde f e g são contínuas e f (x) ≥ g (x) para todo x em [a,b], é
∫ , ( ) ( )-
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Bacharelado em Ciência e Tecnologia
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Integração por partes
∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )
Exercícios
1. Seja ( ) . Prove que ( ) .
Pela definição de derivada temos:
( )
( )
Resolução do limite em vermelho:
Tomando: , temos então
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
( ) ( ) ( )
Quando , então:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[
( ) ]
Portanto, ( )
4
Rodrigo Thiago Passos Silva
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Universidade Federal do ABC
2. Seja ( ) . Prove que ( )
.
Pela definição de derivada:
( )
( )
.
/
. /
(
)
(
)
*
(
)
+
[
(
)
]
[
(
)
]
[
(
)
]
[
(
)
]
[
(
)
]
3. Seja ( ) ( ) . f é contínua e diferenciável em 1?
f é contínua em 1 se
( ) ( )
Calculando o limite, utilizando os limites laterais:
( )
( )
( )
Portanto, existe ( ) e é igual a ( ), então a função é contínua no ponto 1.
f é diferenciável no ponto 1 se o limite ( ) ( )
existir.
Para
( ) ( )
( )( )
( )
5
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Para
( ) ( )
Conclusão:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
e portanto, f não é diferenciável no ponto 1.
4. Seja ( ) ( ) . f é contínua e derivável em 0?
f é derivável no ponto 0 se o limite ( ) ( )
existir.
Para
( ) ( )
Para
( ) ( )
Conclusão:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
e, portanto, f é diferenciável no ponto 0. Logo, se é diferenciável, é também contínua no
mesmo ponto.
5. Use as regras de derivação para calcular f’(x).
1. ( )
( )
( ) ( ) ( )( )
, -
( ) ( )
, -
2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
3. ( ) √
√
( )
√
√
4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
, ( ) - ( ) ( ) (
)
6
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5. ( ) , ( )- ( ) ( ) * , ( )-+ ( )* , (
)-+ ( ) , ( )- * , ( )-+ , ( )-
( ) , ( )- , ( )- , ( ) ( ) -
( ) , ( )- , ( )- ,
- ( ) , (
)- ( ) , ( )-
6. Calcule:
1. ∫ .
/ ∫( )
2. ∫ .
/ ∫( )
3. ∫( √
) ∫(
)
√
4. ∫ .
/ ∫( )
5. ∫ ( )
( )
6. ∫ ( )
( ( ))
( )
7. ∫
∫.
/
8. ∫( )
7. Calcule:
1. ∫ ( )
0 ( )
1
(
) .
/
√
2. ∫ ( )
, -
3. ∫
√
∫
*
+
, √ - ( √ ) ( √ )
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4. ∫
∫ .
/
∫ ( )
0
1
0
1
.
/ .
/
5. ∫
∫ .
/
∫ ( )
,
- ,
-
.
/ .
/
8. Calcule, usando mudança de variável:
1. ∫
Fazendo , temos:
( )
Portanto:
∫
∫
∫
, -
( )
2. ∫ √
Fazendo , temos
( )
Portanto:
∫ √
∫ √
∫ √
[
√ ]
(
√
√ )
(
√
√ )
√
√
√ √
3. ∫ √
Fazendo , temos
( )
Portanto:
∫ √
∫ √
∫ √
Observação:
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∫√ ∫√ (√ )
√ (√ )
(√ )
| √ (√ )
|
√ (√ )
(√ )
√
Regra geral:
∫√
√
| √ |
onde,
. √ /
4. ∫ √
Fazendo: , temos
( )
Portanto:
∫ √
∫ ( ) √
∫ ( )
∫ (
)
[
]
(
)
5. ∫ ( )
Fazendo , temos
( )
Portanto:
∫ ( )
∫
∫
*
+
(
)
6. ∫
Tomando , temos que
( )
Portanto:
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∫
∫
∫
, -
( )
(
)
9. Calcule (usando integração por partes):
1. ∫
Fazendo ( ) ( ) e ( ) ( )
Fórmula: ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )
∫ ∫ ( )
2. ∫
Fazendo ( ) ( ) e ( ) ( )
Fórmula: ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )
∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )
Calculando ∫ ( ) por partes:
Fazendo ( ) ( ) e ( ) ( )
∫ ( ) ∫
Portanto:
∫
10. Calcule:
1. ∫
10
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O grau do numerador é estritamente menor do que o do denominador, portanto, existe A
e B, tal que
( ) ( )
( )( )
Então:
( ) ( )
Fazendo , temos: ( )
Fazendo , temos: ( )
Logo:
∫
∫(
)
2. ∫
Fazendo a divisão
, temos quociente ( ) e resto ( ) .
Como ( ) ( ) ( ) ( ), então ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
Logo,
e
∫
∫(
) ∫(
)
Calculando, agora, os valores de A e B:
( ) ( )
( )( )
Tem-se:
( ) ( )
Fazendo , temos: ( ) ( )
Fazendo , temos: ( ) ( )
Portanto:
Por consequência:
∫(
) ∫(
)
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Voltando à integral que se quer calcular:
∫
( )
3. ∫
( )
Fazendo , tem-se
( )
∫
( ) ∫
( )
∫
∫(
)
Portanto:
∫
( )
( )
( )
4. ∫
Fazendo a divisão dos polinômios, obtêm-se ( ) e ( ) .
Portanto,
( )( )
A fração
equivale a
( )( ) e pode ser escrita da forma
Logo,
( )( ) ( ) ( )
( )( )
e,
( )( ) ( ) ( )
Fazendo temos ( )( )
Fazendo temos ( )( )
Fazendo temos ( )( )
Então:
Calculando a integral:
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∫
∫ *
+
5. ∫
∫
∫
( ) ∫
( )
Fazendo , teremos
( )
Então:
∫
( ) ∫
( )
∫
∫(
)
( ) ( )