aula 07 - argumentos

Lógica Matemática para concursos – Dudu cearense

AULA 07

ARGUMENTOS

Estou de volta!

Terminarei, enfim, as aulas sobre lógica matemática, com um tema que, na verdade, é um resumo de tudo o que visto até agora: argumento. Pois bem, como manda o ditado “como era no princípio...”, vamos retroceder à primeira aula e resgatar aquela nossa 1ª questão.

(MPOG-2003) Ana é artista ou Carlos é carioca. Se Jorge é juiz, então Breno não é bonito. Se Carlos é carioca, então Breno é bonito. Ora, Jorge é juiz. Logo: a) Jorge é juiz e Breno é bonito b) Carlos é carioca ou Breno é bonito c) Breno é bonito e Ana é artista d) Ana não é artista e Carlos é carioca e) Ana é artista e Carlos não é carioca

No enunciado, há uma série de proposições:

P1: Ana é artista ou Carlos é carioca P2: Se Jorge é juiz, então Breno não é bonito P3: Se Carlos é carioca, então Breno é bonito P4: Jorge é juiz

Na ocasião, tínhamos atribuído para cada proposição simples do enunciado o seguinte:

p: Ana é artista

q: Carlos é carioca

r: Jorge é juiz

t: Breno é bonito Reescrevendo tal enunciado em linguagem simbólica:

p v q r → ~t q → t r (p v q) ^ (r → ~t) ^ (q → t) ^ r


Vejam que existe todo um enunciado, e uma uma resposta: “Ana é artista e Carlos não é carioca” (p ^ ~q). Quer dizer, existe um argumento, uma sequência determinada (finita) de proposições que gera uma proposição final. Podemos representar assim:

(p v q) ^ (r → ~t) ^ (q → t) ^ r → (p ^ ~q)

Denomina-se as proposições P1, P2, P3 e P4 de premissas do argumento, e a proposição

final de conclusão do argumento, a qual denomina-se de Q. O nosso Q, para a referida questão, é a proposição (p ^ ~q).

P1, P2, P3 ,P4, ...., Pn → Q

Temos, então, como escrever a representação geral de um argumento:

P1, P2, P3 ,P4, ...., Pn | Q E lemos de uma das seguintes maneiras:

P1, P2, P3 ,P4, ...., Pn acarretam Q Q decorre de P1, P2, P3 ,P4, ...., Pn Q se deduz de P1, P2, P3 ,P4, ...., Pn Q se infere de P1, P2, P3 ,P4, ...., Pn

Se tivermos duas premissas e uma conclusão em um argumento, chamaremos isso de

silogismo. Pois é, você deve está lembrado agora daquela regra de implicação lógica, lá da Aula 04, chamada silogismo hipotético, não é verdade? É por isso que assim a chamamos!

VALIDADE DE UM ARGUMENTO Note que, na maioria de questões de lógica matemática, sempre temos, lá no final, uma

expresão do tipo “ora... logo”, “pode-se concluir”, “se... então”, ou mesmo uma das maneiras de se lê um argumento, ditas anteriormente. Ora, toda questão, com essas expressões ditas no final do seu enunciado, leva-nos a concluir que trata-se de um argumento. Assim, ao responder a estas questões, estaremos sempre a marcar a opção (a, b, c, d ou e) que torne válido o argumento.

Na nossa questão do MPOG-2003, quando marcamos o item “e) Ana é artista e Carlos não é carioca”, estamos escolhendo uma conclusão para as premissas que deixa o argumento válido. Não entendeu? Pois vai entender! Colocarei a tabela-verdade desta questão novamente, para você não ter que ir até a Aula 05. Veja:


linha P q r t ~t p v q r → ~t q → t (p v q) ^ (r → ~t) ^ (q → t) 1) V V V V F V F V F 2) V V V F V V V F F 3) V V F F V V V F F 4) V F F F V V V V F 5) F V V V F V F V F 6) F F V V F F F V F 7) F F F V F F V V F 8) V F V V F V F V F 9) V V F V F V V V F

10) F F V F V F V V F 11) F V F F V V V F F 12) V F V F V V V V V 13) F V F V F V V V F 14) F V V F V V V F F 15) V F F V F V V V F 16) F F F F V F V V F

Você está vendo a linha 12... percebeu? Claro! Quer dizer, relembrou o que eu já havia

dito na Aula 05? Tenho certeza que sim!

Na linha 12, temos um argumento válido, pois temos

(p v q), (r → ~t), (q → t) (premissas)

(p v q) ^ (r → ~t) ^ (q → t) (conclusão)

todos com valores lógicos verdadeiros. Aliás, é única linha onde isso se verifica.

Então, amigos, estávamos, na resolução desta questão, atrás da linha 12, na qual se verifica a validade do argumento, como também os valores lógicos das proposições simples p, q, r e t.

linha p q r t 12) V F V F

Podemos, então, dizer que um argumento é válido se e somente se a conclusão é verdadeira todas a vezes que as premissas são verdadeiras. Não entendeu? Vou dizer com outras palavras: um argumento é válido se e somente se a conclusão for V todas as vezes que as premissas tiverem valor lógico V. É o que vemos na linha 12 da tabela.

Em tempo, é essa a característica do argumento válido: a verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão. Ao contrário do argumento válido, um argumento não-válido chamamos de sofisma.


A Lógica Matemática só se preocupa com a validade (V) ou não (F) do argumento, não importando os valores lógicos (V ou F) das premissas e da conclusão. Foi o que tinha adiantado, com outras palavras, na Aula 04. Lá eu disse que na resolução de provas de concurso, na maioria das vezes, estamos atrás do atributo tautológico ou contraditório de uma proposição. Quando vamos escolher um item para gabaritar em uma questão de lógica, estaremos atrás da verdade ou falsidade da proposição composta (leia-se argumento).

Ademais, o argumento válido nos leva a afirmar que, quando as premissas são verdadeiras, a conclusão não pode ser falsa.

Êta, quanto conceito! Não penso assim. Você pode perguntar: “será necessário?”. E eu respondo: sim, pode ser que alguma questão venha a abordá-los. Se caso isso ocorra, estaremos preparados. Fato é que algumas bancas costumam exagerar nos enunciados das questões para confundir os candidatos (ou até mesmo tomá-los o tempo, que é precioso!) com um monte de conceitos. Foi o que fez o CESPE em 2004, na prova de papiloscopista.

“Denomina-se contradição uma proposição que é sempre falsa. Uma forma de argumentação lógica considerada válida é embasada na regra da contradição, ou seja, no caso de uma proposição ¬R verdadeira (ou R verdadeira), caso se obtenha uma contradição, então conclui-se que R é verdadeira (ou ¬R é verdadeira)”.

Porém, creio que você venha a fixar todos esses conceitos, porque, além de mostrá-los, já fiz uma exposição prática de todos eles.

Vamos em frente!

Um argumento P1, P2, P3 ,P4, ...., Pn | Q só é válido se e somente se a condicional é tautológica. Temos:

(P1 ^ P2 ^ P3 ^ ,P4, ...., Pn) → Q

E para não se falar mais nisso, a regra é clara: todas as premissas e a conclusão do argumento devem ser verdadeiras para a condicional ser verificada, isto é, as premissas implicam logicamente a conclusão se a condicional é tautológica. Pronto! Você já deve ter fixado bem esse assunto. Se não, basta ir até a tabela verdade anterior e verificar todos os conceitos já ditos.

Moral de toda a história: as questões de lógica, quando não pedem uma proposição equivalente, exige que se verifique se algum argumento é válido. Para isso, usamos, muitas vezes, o método dedutivo. ISSO É O RESUMO DE TUDO O QUE VIMOS ATÉ AQUI.

Legal, não? Pois é, estamos aptos a resolver qualquer questão de lógica matemática agora. Você pode dizer então: “e que venham as questões...!”. Como eu acho que você já deve está dizendo isso, vou trazer mais dois exercícios e os resolverei. Umbora lá, resolvê-los!

(AFC/TCU-1999) Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Bia. Se Beatriz briga com Bia, então Bia vai ao bar. Se Bia vai ao bar, então Beto briga com Bia. Ora, Beto não briga com Bia. Logo,


a) Bia não vai ao bar e Beatriz briga com Bia b) Bia vai ao bar e Beatriz briga com Bia c) Beatriz não briga com Bia e Beraldo não briga com Beatriz d) Beatriz briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz e) Beatriz não briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz Representando primeiro as proposições simples: p: Beraldo briga com Beatriz q: Beatriz briga com Bia r: Bia vai ao bar t: Beto briga com Bia Agora, difente de antes, ao invés de proposição, chamaremos de premissas a representação do enunciado, para uma melhor distinção entre as proposições do problema. Escrevendo as premissas em linguagem simbólica: p → q q → r r → t ~t (p → q) ^ (q → r) ^ (r → t) ^ ~t Ora amigos, como eu já falei, temos que admitir que uma destas premissas é verdadeira. E obviamente admitiremos, sempre que possível, uma proposição simples com tal. Pois bem, então vamos admitir, para o nosso problema a premissa ~t como verdadeira.

(p → q) ^ (q → r) ^ (r → t) Ok! Veja que eu retirei a premissa ~t do enunciado simbólico, pois foi esta que admitimos como verdadeira. Estamos pronto agora para resolver a referida questão pelo nosso conhecido método dedutivo. Aliás, isso nós já fazíamos antes. Usando o método dedutivo: (p → q) ^ (q → r) ^ (r → t) (admitindo que “t” tem valor falso) (p → q) ^ (q → r) ^ (r → F) (silogismo hipotético) (p → q) ^ (q → F) (silogismo hipotético) p → F (equivalente) ~p v F (disjunção) ~p Ora, você chegou a esta conclusão! Aí você pergunta: e agora, eu fiz as contas de maneira errada? Não, está tudo certo. Uma conclusão possível para o problema é ~p. Mas quando olhamos para as respostas, não vemos nenhuma conclusão dizendo apenas que “Beraldo não briga com Beatriz”.


Aí é que está o conhecimento do candidato. Se já sabemos dos valores lógicos de t (falso) e p (falso), então vamos atrás das premissas do problema para encontrar os valores lógicos de q e r. Temos a seguinte premissa: r → t. Como sabemos que t é falso, então r → F. Hoje aprendemos que todas as premissas precisam ser verdadeiras para a conclusão ser também verdadeira. Deste modo, para a premissa r → F ser verdadeira, r deverá ter valor lógico falso, de acordo com a condicional. Igualmente, como descobrimos que r é falso, então a premissa q → r pode ser escrita q → F. Então, para q → F ser uma premissa verdadeira, q deverá ter valor lógico falso. Pronto, questão parcialmente resolvida, vamos conferir os itens: a) Bia não vai ao bar e Beatriz briga com Bia

~r ^ q = ~F ^ F = V ^ F = FALSO b) Bia vai ao bar e Beatriz briga com Bia

r ^ q = F ^ F = FALSO c) Beatriz não briga com Bia e Beraldo não briga com Beatriz

~q ^ ~p = ~F ^ ~F = V ^ V = VERDADEIRO d) Beatriz briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz

q ^ p = F ^ F = FALSO e) Beatriz não briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz ~q ^ p = ~F ^ F = V ^ F = FALSO Resposta letra c). Êta, questãozinha arretada! É nada, é muito fácil. Quer ver? Tínhamos no início o seguinte: (p → q) ^ (q → r) ^ (r → t) Sabíamos, de início, que o valor lógico de t era falso. Se você substitui na 3ª premissa, já saberá logo o valor lógico de r, falso. E vai seguindo... pegando agora o valor lógico de r e substituindo na 2ª premissa, descobrindo o valor de q, falso... até saber que p é verdadeiro.

Você pode está me perguntando: “e pra que serve o método dedutivo, se poderia ter feito logo direto, substituindo os valores lógicos já conhecidos nas premissas”?

PRESTE ATENÇÃO! Em questões de concursos, nem sempre vem esse “encadeamento” de condicionais que facilitam sobremaneira a resolução do problema. Mas, é perfeitamente possível resolvê-las através destes conceitos básicos da lógica matemática. Aliás, muitas questões podem ser resolvidas desta maneira, economizando o precioso tempo, porém é necessário que a pessoa conheça “de-cabeça” todas as operações lógicas fundamentais (negação, conjunção, disjunção etc.). Vai ter ocasiões em que aparecerão determinadas questões “quase impossíveis” de se resolver pelo método dedutivo, pois, como nesta, você ficará se perguntando “o


que foi que eu fiz?”. Olhem lá, hein! Fiquem atententos! Foi por isso que falei lá no início desta aula:

“As questões de lógica, quando não pedem uma proposição equivalente, exige que se verifique se algum argumento é válido. Para isso, usamos, muitas vezes, o método dedutivo”.

A expressão “muitas vezes” significa que nem sempre será conveniente resolver questões de lógica matemática pelo método dedutivo.

Em outros momentos, também aparecerão certas questões com o mesmo problema de não se encontrar a resposta pelo método dedutivo. E você vai perguntar na hora da prova: “e agora, José?”. E quando ocorrerá este último caso? Darei a dica agora, resolvendo uma questãozinha. Ademais, o método dedutivo pode sempre ser usado sem mais problemas.

(AFC-2002) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo, a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês. b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês. c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol. d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano. e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.

Resolução Representando primeiro as proposições simples: p: lara fala italiano q: Ana fala alemão r: Ching fala chinês t: Débora fala dinamarquês y: Elton fala espanhol z: Francisco fala francês Escrevendo as premissas em linguagem simbólica ~p → q p → (r v t) t → y y ↔ ~(~z) (~p → q) ^ (p → (r v t)) ^ (t → y) ^ (y ↔ ~(~z)) Nas questões até aqui resolvidas pelo método dedutivo, tínhamos apenas uma proposição simples encerrando o enunciado, a qual considerávamos como verdadeira, e a partir daí começavamos a


resolver o problema. Confira a última e observe que lá está escrito “Ora, Beto não briga com Bia. Logo”. Voltando para a questão do AFC-2002, você deve ter ficado assustado com o tamanho da proposição. Mas não se assuste. No enunciado, lá no final, temos “Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês (~z ^ ~r). Logo”. Quando temos uma proposição composta encerrando um enunciado, e as demais proposições todas compostas, resolvemos a questão através dos operadores lógicos fundamentais, considerando a última proposição como verdadeira, no nosso caso (~z ^ ~r). Vamos por etapas, pegando as premissas de trás pra frente. Primeiro, se (~z ^ ~r) é verdadeira, pela conjunção, ~z e ~r devem ser obrigatoriamente verdadeiras. Se ~z e ~r são ambas verdadeiras, então z e r, ambas, tem valor lógico falso. Prosseguindo.... temos a premissa (y ↔ ~(~z)), que é a mesma (y ↔ z). Se z é falso, então, pela bicondicional, y é falso. Olhando a outra premissa (t → y), se y é falso, t também é falso. A segunda premissa é (p → (r v t)) . Sabemos que o valores de r e t são, ambos, falso. Assim, escrevemos (p → (F v F)). Temos que, pela disjunção exclusiva, (p → F). Logo, pela condicional, p é falso. A última premissa é (~p → q). Se p é falso, ~p é verdadeiro. Aí escrevemos (V → q), que, de acordo com a condicional, para ser toda a proposição verdadeira, o q deverá ser verdadeiro. Encontrado todos os valores lógicos de p, q, r, t, y e z, vamos testar em cada enunciado a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês.

~p ^ ~t = ~F ^ ~F = V ^ V = VERDADEIRO b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês.

~r ^ t = ~F ^ F = V ^ F = FALSO c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol.

~z ^ y = ~F ^ F = V ^ F = FALSO d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano.

~q v p = ~V v F = F v F = FALSO e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.

q ^ t = V ^ F = FALSO Resposta letra a).

Fácil, não?! Até porque a banca examinadora colocou a resposta logo no item a), o que acaba economizando um bom tempo para sua resolução.

Não tema esse tipo de questão, pois quando você fizer a mão, verá que as contas não são tão trabalhosas assim.


Querem mais? Perdoem-me, agora é com vocês. Vou deixar 3 questões (na próxima página) para vocês resolverem, as quais abordarei na próxima aula. Agora em diante é só exercícios...!

Tenho que ir, pois também sou filho de Deus.

Fui! Exercícios

(AFC-1997) Ou Celso compra um carro, ou Ana vai à África, ou Rui vai a Roma. Se Ana vai à África, então Luís compra um livro. Se Luís compra um livro, então Rui vai a Roma. Ora, Rui não vai a Roma, logo: a) Celso compra um carro e Ana não vai à África b) Celso não compra um carro e Luís não compra o livro c) Ana não vai à África e Luís compra um livro d) Ana vai à África ou Luís compra um livro e) Ana vai à África e Rui não vai a Roma (AFC/TCU-1999) Se Flávia é filha de Fernanda, então Ana não é filha de Alice. Ou Ana é filha de Alice, ou Ênia é filha de Elisa. Se Paula não é filha de Paulete, então Flávia é filha de Fernanda. Ora, nem Ênia é filha de Elisa nem Inês é filha de Isa. a) Paula é filha de Paulete e Flávia é filha de Fernanda. b) Paula é filha de Paulete e Ana é filha de Alice. c) Paula não é filha de Paulete e Ana é filha de Alice. d) Ênia é filha de Elisa ou Flávia é filha de Fernanda. e) Se Ana é filha de Alice, Flávia é filha de Fernanda. (AFT-2003) Investigando uma fraude bancária, um famoso detetive colheu evidências que o convenceram da verdade das seguintes afirmações: 1) Se Homero é culpado, então João é culpado. 2) Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados. 3) Se Adolfo é inocente, então João é inocente. 4) Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado. As evidências colhidas pelo famoso detetive indicam, portanto, que: a) Homero, João e Adolfo são inocentes. b) Homero, João e Adolfo são culpados. c) Homero é culpado, mas João e Adolfo são inocentes. d) Homero e João são inocentes, mas Adolfo é culpado. e) Homero e Adolfo são culpados, mas João é inocente.

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