CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Aula: 07

Temática: Aplicações de integrais definidas II

Hoje estudaremos mais algumas aplicações das integrais definidas

em Química e Economia.

Química

A disciplina de química também possui algumas aplicações úteis de integral

definida. Vejamos!

Exemplo

Uma das rotas de produção de ácido sulfúrico ( 42SOH ) é a oxidação do

enxofre (S) em 3SO e a reação deste com água ( OH2 ) conforme a reação:

4232 SOHSOOH →+

A taxa de conversão de 3SO em 42SOH em função do tempo é dada pela

função 1-t he2)t(f −= . Calcule o tempo necessário para que 95% do 3SO se

converta em 42SOH .

Solução:

Estamos interessados em descobrir o tempo necessário para que 95% de uma

substância se converta em outra, ou, de modo análogo, o tempo necessário

para que a reação química consuma a massa de uma substância até que reste

apenas 5% dela. Matematicamente:

)0(n)t(ndt)t(ft

0

−=∫

onde n(t) é a razão entre a massa da substância reagente que resta no tempo t

e a massa da substância no início da reação, e n(0) representa 100% da

substância no início da reação. Então:

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

[ ]t0tt

0

t e2105,0)0(n)t(ndte2 −−−=−→−=∫

min3,23h39,0t1e475,0 t==→−=

−

As reações químicas processadas industrialmente normalmente apresentam

taxas de reação do tipo caimento exponencial conforme o gráfico:

Isto impede que as reações químicas apresentem rendimentos teóricos de até

100% que muitas vezes são estimados pela teoria.

Economia

Valor futuro de um fluxo de renda

O valor futuro de um fluxo de renda nos fornece um meio de prever quanto

dinheiro será acumulado após depósitos constantes durante certo tempo,

conhecida a taxa de juros da aplicação. O montante acumulado através de

juros compostos sobre um aporte principal após um tempo t é dado por:

rtePA =

onde P é o valor do aporte principal (em R$) e r é a taxa de juros

continuamente composta.

Se R(t1) for o fluxo de renda em R$/mês em um instante t1 qualquer, o aporte P

equivalente a esta taxa será:

t)t(RP 1 ∆=

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

onde t∆ é o tempo em meses entre cada aplicação.

Desta forma, temos que o valor acumulado de um depósito no tempo t1 até um

tempo final T será:

[ ] )tT(r1

1et)t(RA −= ∆

Por analogia, o valor acumulado de um depósito no tempo t2 até T será

[ ] )tT(r2

2et)t(R − ∆ , e somando todos os rendimentos de depósitos em um tempo

qualquer até tn temos:

[ ] [ ] [ ] )tT(rn

)tT(r2

)tT(r1

n21 et)t(R...et)t(Ret)t(RA −−−+++= ∆∆∆

Lembre-se que, como aprendemos na aula 2, esta expressão é equivalente a

soma de Riemann dos aportes entre os tempos 0 e T. Fazendo n variar até o

infinito obtemos:

∫−

=

T

0

rtrT dte)t(ReA

Se o fluxo de renda for constante e igual ao produto Pm ⋅ , onde m é o número

de depósitos por mês e P é o valor do depósito, temos:

∫−

=

T

0

rtrT dtePmeA

Exemplo

Uma senhora deseja criar hoje um fundo para garantir os estudos de seu neto

de 3 anos de idade quando este tiver 21 anos. Se ela deposita R$ 100,00

mensalmente em uma aplicação que rende 1% ao mês, quanto dinheiro o neto

dela terá disponível aos 21 anos?

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Solução:

Vamos chamar de A o montante em R$ acumulado ao final de um tempo T em

meses. Então:

( )1er

mP

t

eePmdtmPeeA rT

T

0

T

0

rtrTrtrT

−=

−== ∫

−−

A senhora faz um depósito por mês, portanto 1m = . A taxa de juros é 01,0r =

e o valor depositado mensalmente é 00,100$RP = . O tempo total de

poupança será meses21612)321(T =×−= . Então:

( ) 38,711.76$R1e01,0

1001A 21601,0 =−⋅

⋅=

⋅

Hoje você viu como aplicações do nosso dia-a-dia devem bastante às

ferramentas fornecidas pelas integrais definidas. Na próxima aula

aprenderemos a calcular o valor médio de uma função Até lá!