aula 05

ATRFB – RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO PROFESSORA: KARINE WALDRICH

Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 1

1. Aula 4: Estatística Descritiva. ........................................................... 2

1.1 Conceitos Iniciais ........................................................................ 2 1.2 Medidas de Posição ..................................................................... 6 1.2.1 Média ..................................................................................... 6 1.2.2 Moda ...................................................................................... 7 1.2.3 Mediana ................................................................................. 9

1.3 Medidas de Dispersão ................................................................ 12 1.3.1 Desvio Padrão ...................................................................... 13 1.3.2 Variância ............................................................................. 16 1.3.3 Coeficiente de Variação ....................................................... 17 1.3.4 Variação relativa .................................................................. 17

2. Exercícios comentados ................................................................... 18

3. Memorex ........................................................................................ 60

4. Lista das questões abordadas em aula ........................................... 63

5. Gabarito ......................................................................................... 71

Aula 5



1. Aula 5: Estatística Descritiva. Boa tarde, colegas. A Estatística Descritiva (também chamada de Estatística Básica) está meio “fora de moda” na ESAF. Antigamente (quero dizer, até mais ou menos o concurso da Receita Federal de 2005), a ESAF cobrava questões de Estatística Básica muito trabalhosas. Eram cálculos imensos. Na prova da Receita de 2005 muitos alunos foram eliminados não por não saberem a matéria, e sim porque não deu tempo de fazer a prova! Isso mudou. A moda atual é a Estatística Avançada, o que aconteceu após o concurso da Receita Federal de 2009. As questões de Estatística Básica ficaram mais simples, com menos cálculos. Na aula de hoje, veremos todas as questões recentes da ESAF de Estatística Básica, e também algumas antigas. Também veremos questões interessantes de outras bancas. Ah, respondendo a algumas dúvidas que chegaram para mim por e-mail, não acredito que a ESAF cobre, para Analista, questões de Estatística Avançada (como Distribuições de Probabilidade, por exemplo). Podemos ver, pelo edital de AFRFB, que ela é específica quando quer cobrar estes assuntos, o que não aconteceu no edital de Analista. Boa aula! 1.1 Conceitos Iniciais Pessoal, Estatística nada mais é do que uma maneira de transformar dados em informações. Se eu digo assim: “Tenho 3 primos com 10 anos e 3 primos com 20 anos”. A Estatística é capaz de me dizer que a média de idade é de 15 anos. Entendem? Um conceito muito importante em Estatística são os tipos de dados. Os dados podem ser:



• Qualitativos (ou categóricos ou de atributos): podem ser separados em diferentes categorias que se distinguem por alguma característica não-numérica. Ex: sexo dos atletas profissionais.

• Quantitativos: consistem em números que representam contagens ou medidas. Ex: o peso de modelos.

• Contínuos: resultam de infinitos valores possíveis que correspondem a alguma escala contínua que cobre um intervalo de valores sem vazios, interrupções ou saltos. Ex: quantidade de leite de vacas.

• Discretos: surgem quando o número de valores possíveis é ou um número finito ou uma quantidade enumerável. Ex: os números de ovos que galinhas botam.

• Nominais: dados que consistem em nomes, rótulos ou categorias, apenas. Os dados não podem ser ordenados (tal como do menor para o maior). Ex: respostas Sim, Não ou Indeciso, de um questionário.

• Por postos: também chamada de Ordinal. Os dados podem ser arranjados em alguma ordem, mas diferenças entre os valores dos dados ou não podem ser determinadas ou não são significativas. Ex: Notas em um curso, em uma escala A, B, C, D e E. Pode-se colocar as notas em ordem crescente (a nota A é maior que a B, assim por diante). Mas não se pode subtrair B de A.

Existem dois tipos de Estatísticas:

• Estatística Descritiva: o objetivo é resumir ou descrever as características importantes de um grupo de dados.

• Estatística Inferencial ou Avançada: quando usa-se dados amostrais para fazer inferências (generalizações) sobre uma população.

Mais algumas definições são importantes:

• População: é a coleção completa de todos os elementos a serem estudados.

• Censo: é um conjunto de dados obtidos de todos os membros da população.

• Amostra: um subconjunto de membros selecionados da população. • Experimento aleatório: fenômenos que, quando repetidos inúmeras

vezes em processos semelhantes, possuem resultados imprevisíveis. O lançamento de um dado e de uma moeda são considerados exemplos de experimentos aleatórios, no caso dos dados podemos ter seis resultados diferentes {1, 2, 3, 4, 5, 6} e no lançamento da moeda, dois {cara, coroa}.

Algo muito importante em Estatística é saber identificar a maneira como o examinador dispôs os dados. Ele pode ter colocado na forma de dados brutos. Por exemplo: 10, 20, 20, 10, 20, 10.



Lembram que eu falei lá em cima que “Tenho 3 primos com 10 anos e 3 primos com 20 anos”? Então, os dados brutos acima são as idades dos primos, só que sem qualquer tabulação. É como se eu tivesse vendo os tais primos, enfileirados de qualquer forma, e anotando numa prancheta. Se eu quiser arrumar um pouco mais os dados, colocando-os em ordem crescente ou decrescente, terei um rol: 10, 10, 10, 20, 20, 20. Ou então posso organizá-los numa tabela. Então terei dados tabulados: Idade (anos) Número de

primos 10 3 20 3

Posso fazer também uma distribuição de freqüências. Na distribuição de freqüências, os dados estão em intervalos, como abaixo: Faixa etária

(anos) Número de

primos 10 |----- 20 3 20 |----- 30 3

Na distribuição de freqüências, eu não posso afirmar que o meu primo tem exatamente 10 ou 20 anos. Os dados estão dispostos em classes: a primeira classe vai da idade de 10 anos até quase 20 anos. O símbolo do meio, |-----, significa intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. “Fechado à esquerda” indica que inclui o limite inferior, ou seja, os 10 anos. Já a segunda classe, que também é fechada à esquerda, vai de 20 a 30 anos. A diferença 30 – 20 (ou seja, o “tamanho” de cada classe) é chamada de amplitude da classe. Uma definição muito importante em uma distribuição de frequências é o Ponto Médio da classe (PM). Ele é calculado da seguinte forma: PM = Limite inferior + Limite Superior 2 No nosso caso, o PM = 10 + 20 = 15. 2 Mais adiante iremos ver a aplicação prática do PM, não se preocupem, ok?



Outra definição importante que devemos entender é a dos tipos de frequências.

Existem 4 tipos de frequência. Duas têm a ver com a maneira como os dados são mostrados:

• Frequência Absoluta: é a freqüência em número de elementos (como a frequência fi que vimos até agora);

• Frequência Relativa: é a freqüência em percentual de elementos; E duas referem-se à classe:

• Frequência Simples: é a frequência daquela classe especificamente (como a frequência fi, que vimos até agora);

• Frequência Acumulada: são as frequências simples somadas até determinada classe.

Assim, essas frequências podem ser combinadas. A frequência fi, que viemos utilizando até agora, é a Frequência Absoluta Simples (ou Frequência Simples Absoluta). Se ela estivesse na forma percentual (em relação a n), seria a Frequência Relativa Simples, assim por diante. A tabela abaixo explica melhor. Coloquei em amarelo as duas frequências mais utilizadas (a frequência absoluta simples e a frequência absoluta acumulada).

Freqüência Absoluta (f) Relativa (F) Simples Freqüência absoluta

simples:

Símbolo: fi

Indica o número de elementos em cada

classe.

Freqüência relativa simples:

Símbolo: Fi

Indica o percentual de elementos da

classe, em relação ao total.

Acumulada Freqüência absoluta acumulada (temos

dois tipos):

Crescente: fac

Indica o número de elementos somados até determinada

classe, começando da primeira classe. Ou seja, se queremos

Freqüência relativa acumulada (temos

dois tipos):

Crescente: Frc

Indica o percentual de elementos somados até determinada




saber a fac da terceira classe, devemos fazer

f1 + f2 + f3

Decrescente: fad

Indica o número de elementos somados até determinada

classe, começando da última classe. Ou seja, se queremos

saber a fac da antepenúltima classe,

devemos fazer fn + fn-1 + fn-2

saber a Frc da terceira classe, devemos fazer

F1 + F2 + F3

Decrescente: Frd


classe, começando da última classe. Ou seja, se queremos

saber a Frc da antepenúltima classe,

devemos fazer Fn + Fn-1 + Fn-2

Agora vamos entrar no estudo das medidas estatísticas propriamente ditas. 1.2 Medidas de Posição 1.2.1 Média A média é a medida de posição mais usada. Quem nunca precisou calcular as médias das notas para passar de ano no colégio ou na faculdade??? Rs Existe uma equação de média para dados em forma de rol, para dados em forma tabulada e para distribuição de frequências. Ih!!!!!!! Vocês devem estar pensando que deverão “decorar” três equações, não é? Eu digo... não! Uma equação é derivada da outra, então basta que vocês decorem para a distribuição de frequências... Para as outras, basta uma leve “adaptação” rs. Bem, vamos a elas? Temos, para o rol, a equação abaixo, lembrando que n é o número total de elementos do rol.

ixxn

= ∑

Não se assustem com o somatório. Ele indica que todos os elementos do rol serão somados, apenas isso. Adiante veremos a equação acima sendo aplicada... Já para os dados tabulados, temos:



i if xx

n= ∑

Nesse caso, n é a soma de todas as freqüências. Aqui, teremos casa frequência multiplicada pelo dado o qual estamos lidando (na tabela que mostrei acima, seria a frequência multiplicada pela idade de cada primo). E para a distribuição de freqüências, temos:

.i if PMx

n= ∑

Percebam que as três equações são bem parecidas! Para passar da equação para média do rol para a equação para média dos dados tabulados, basta acrescentar a freqüência absoluta simples. E para passar de equação dos dados tabulados para uma distribuição de freqüências, basta trocar o Xi pelo PMi, que é o nosso conhecido Ponto Médio da classe. Isso vai acontecer sempre, em todas as equações. Sempre que quisermos passar de equação do rol para dados tabulados e para distribuição de frequências faremos essas substituições, ou seja: ROL --> DADOS TABULADOS: acrescentar fi. DADOS TABULADOS --> DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS: trocar xi por PMi.- 1.2.2 Moda A moda, em grossas palavras, indica o item com maior quantidade de elementos em um rol, dado tabulado ou distribuição de freqüências. Por exemplo, no rol abaixo: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3 A moda é o 2, pois existem 4 elementos “2” no rol. Para os dados tabulados, é mais fácil ainda, não precisa nem somar, basta ver na tabela. Por exemplo, abaixo temos o número de casas por cores em uma rua:

Cor Número de primos

Azul 3 Branco 5 Rosa 4 Bege 1



Nessa rua, a moda é a casa na cor branca, pois a maior parte dos elementos do conjunto de casas da rua são brancas. Para a distribuição de freqüências, a moda requer o conhecimento de uma equação, ou melhor, de duas equações... Isso porque a moda de uma distribuição de freqüências pode ser calculada de duas maneiras, cada um produzindo um resultado. Cada equação leva o nome do seu autor: Czuber e King. Ou seja, temos a Moda de Czuber (lê-se quizuba) e a Moda de King. Quando a questão só pede a moda, sem dizer qual tipo, entendemos que ela está falando da Moda de Czuber, ok?

lim inf .a

Mo ha p

∆= + ∆ + ∆

Lim inf é o limite inferior da classe modal. Classe modal é a classe que contiver maior frequência. Explicando o que significa cada ∆ : a∆ = diferença anterior = frequência da classe modal – frequência da classe

anterior (se nao existir é 0) p∆ = diferença posterior = frequência da classe modal – frequência da classe

posterior (se nao existir é 0) h é a amplitude da classe, que já vimos. É o limite superior – limite inferior. A Moda de Czuber é também chamada de moda dos deltas. Reparem que essa equação foi fornecida pelo enunciado, mas com os deltas substituídos pelas expansões acima. Temos também a Moda de King:

lim inf .p

p a

fMo h

f f

= + +

Explicando o que significa cada frequência: fp = é a frequência da classe posterior à classe modal. fa = é a frequência da classe anterior à classe modal.



A Moda de King é conhecida como moda das freqüências. Quando a questão pedir simplesmente a Moda, sem especificar qual, ela está falando da Moda de Czuber. 1.2.3 Mediana A mediana indica o elemento que ocupa a posição central do conjunto. Por exemplo, no rol abaixo, com 7 elementos: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3 A mediana desse rol é o “2”, pois esse elemento ocupa a posição central do rol. Vejam:

1 1 2 2 2 3 3

1º elemento

2º elemento

3º elemento

4º elemento

= Elemento central

= MEDIANA

5º elemen

to

6º elemento

7º elemento

Ok, para esse rol foi fácil achar a mediana, utilizando a sua plena definição, que é a de elemento central. Afinal é um rol de apenas 7 elementos. Inclusive, para o rol temos duas equações para o cálculo da mediana: uma para ser usada em caso de rol com n ímpar (como foi o caso do rol acima), e outra para ser usada em caso de rol com n par. Em caso de rol com n ímpar, temos: Posição central = n + 1 2 A mediana é o elemento correspondente à posição central encontrada. Por exemplo, no rol acima, temos: 7 + 1 = 8/2 = 4 --------------------> Mediana é o 4º elemento = 2 2 No caso de rol com n par, temos duas posições centrais a serem consideradas: Posição central 1 = n_ 2 Posição central 2 = a vizinha posterior.



A mediana, neste caso, é: Mediana = Elemento Posição Central 1 + Elemento Posição Central 2 2 Por exemplo, no seguinte rol, com 10 elementos: 342, 345, 354, 354, 356, 378, 400, 432, 444, 444 Posição central 1 = 10/2 = 5 -------------------> Elemento correspondente = 356 Posição central 2 = 6 -------------------> Elemento correspondente = 378 Mediana = 356 + 378 = 367 2 Pessoal, a moda dos dados tabulados é feita exatamente da mesma maneira do que do rol. Não vou detalhar muito aqui para não ser redundante, mas farei uma questão adiante em que mostro o cálculo para vocês. É bem simples, não se preocupem. Para o cálculo da mediana de uma distribuição de frequências, existe uma equação que pode ser decorada. Mas, na verdade, ela é fruto de um raciocínio, que acho interessante que vocês saibam. Vejam só a distribuição de frequências abaixo: Faixa etária

(anos) Número de parentes na

família 0 |----- 10 4 10 |----- 20 3 20 |----- 30 4 40 |----- 50 5 50 |----- 60 3 60 |----- 70 1

Esse conjunto possui 20 elementos (n = 20). A mediana será o elemento correspondente à posição central, ou seja, n/2 = 20/ 2 = 10. Então, nosso foco será na classe em que se encontra o 10º elemento. Se vocês perceberem, a primeira classe vai até o 4º elemento, na segunda classe temos do 5º até o 7º elemento, na terceira classe temos do 8º elemento até o 11º elemento. Ou seja, o 10º elemento se encontra na terceira classe.



Agora, então, vamos focar na terceira classe, para encontrar o valor da mediana. Para isso, faremos nada mais nada menos do que uma “Regra de Três”. Vejam: A terceira classe vai de 20 a 30 anos. Chamamos o “20” de limite inferior da classe, e o “30” de limite superior. A diferença entre 20 e 30 anos é de 10 anos, e já sabemos que isso se chama a amplitude da classe (h). A classe inteira possui 4 elementos, e queremos saber qual o valor correspondente ao 3 elemento da classe (que é o 10º elemento da distribuição de frequências inteira). O raciocínio é o seguinte:

4 elementos 20 ------------------------------- 30 20 ---------------------- X --- 30 3 elementos

O “X” corresponde à mediana. Ela está entre 20 e 30, e corresponde ao 3º elemento da classe, que possui, ao total 4 elementos, indo do 20 ao 30. Portanto, colocando em forma de regra de três, temos: 4 elementos ------------ que correspondem a 10 anos (30 – 20) o 3º elemento ---------- corresponde a X anos 4 ------------ 10 3 ------------ X 4X = 30 X = 7,5 Assim, o terceiro elemento corresponde à idade de 7,5 anos, dentro da classe. Para sabermos a mediana, precisamos somar com o limite inferior da classe, que é de 20 anos. Ou seja, a mediana desta distribuição de frequências é de 20 + 7,5 = 27,5 anos. Pelo desenho, temos:

4 elementos 20 ------------------------------- 30 20 ---------------------- 27,5 -- 30 3 elementos Md



Essa regrinha de três que fizemos aqui, em estatística, tem nome especial, eu diria assustador. Ela se chama Interpolação da Ogiva. Não se preocupem em decorar isso, só saibam que é essa regrinha de três que fizemos. Para encontrar a mediana, fazemos uma interpolação da Ogiva para o elemento n/2. Vou passar a equação para o cálculo da mediana para vocês terem como consulta, mas peço que vocês não tentem decorá-la simplesmente, afinal ela é resultado do raciocínio que tivemos acima. É mais interessante que vocês entendam como a mediana é calculada do que simplesmente decorem uma equação, porque na hora da prova vocês terão tanta coisa para decorar e saber que é de 90% a chance de esquecerem a equação... Md = limite inferior + (n/2 – fac anterior).h fi 1.3 Medidas de Dispersão Veremos agora as medidas de dispersão mais utilizadas. Mas, antes de tudo: por que “medidas de posição” e “medidas de dispersão”? Qual a diferença? As medidas de posição indicam valores que, de alguma forma, podem representar um conjunto de dados. Já vimos que a média representa o valor intermediário entre todos, a moda é o valor mais comum e a mediana é o item central. Já as medidas de dispersão indicam a heterogeneidade dos itens! Por exemplo, vamos ver 2 rol diferentes: ROL 1: 1, 1, 2, 3, 3 A média desse rol é 2, certo? Rol 2 1, 1, 2, 2, 4 A média desse rol também é 2. Mas vejam como os itens são mais heterogêneos. No primeiro rol, a média está bem “próxima” de todos os itens: com mais ou menos 1 (2 –1, ou 2 + 1), chegamos a qualquer valor do rol. Já no segundo rol, temos um valor que se distancia em 2 unidades da média... Os itens são bem mais “dispersos”... Com certeza, mesmo tendo médias iguais, as medidas de dispersão do segundo rol serão maiores...



Ficou claro esse entendimento inicial? Então vamos passar para as medidas propriamente ditas... 1.3.1 Desvio Padrão O desvio padrão é também chamado de dispersão absoluta. Uma maneira legal de vocês enxergarem a importância do desvio padrão é através da curva normal. Ela foi criada por um cientista chamado Gauss, que estudou e viu que muitas classificações na natureza poderiam ser representadas por essa curva, por exemplo, a altura de um adulto. Vejam abaixo:

Na curva normal, que também é chamada de curva do sino (porque ela parece um sino), a média é igual à moda e à mediana (no desenho, é indicada pelo símbolo µ). Vamos supor que µ seja a média de altura de um adulto, e que essa média seja de 170cm, ou seja, 1,70m. O símbolo σ indica o desvio padrão. Nessa curva, o desvio indica o número de itens inseridos no “sino” de acordo com seu afastamento da média. Vejam só: na área compreendida entre µ - 1σ e µ + 1σ, podem ser encontrados 68,26% dos itens da distribuição. Supondo que σ seja igual a 5cm, temos que, em uma população, 68,26% os adultos possua altura entre 170 – 5 cm e 170 + 5 cm, ou seja, 1,65m e 1,75m. Se afastando um pouco mais da média, temos que, entre µ - 2σ e µ + 2σ, são encontrados 95,46% dos itens da distribuição. Ou seja, no nosso exemplo da altura das pessoas, temos que 95,46% dos adultos possuem altura entre 1,60m (170cm – 10cm) e 1,80m (170cm + 10cm). Indo adiante, a curva normal indica que, entre µ - 3σ e µ + 3σ, são encontrados 99,73% da população. Ou seja, apenas 0,27% dos itens da distribuição se encontram fora desse intervalo. No nosso exemplo, é como se 99,73% das dos adultos tivessem altura entre 1,55m e 1,85m.



Vocês entenderam? Por favor, hein pessoal, se alguém é maior do que 1,85m ou menor do que 1,55m... não fiquem se achando “anormais” viu?? Rs... Foi só um exemplo que criei, e ainda por cima com dados absolutamente hipotéticos, sem qualquer embasamento científico... rs Bom, agora que vimos uma aplicação do desvio padrão, vamos aprender a calculá-lo. Dessa vez, não tem como fugir, ele é encontrado através de uma equação. Quer dizer... de uma não... de 12 equações!! Oh, não... 12 equações para decorar... Calma, pessoal!!! Da mesma forma como para média, temos uma equação para rol, outra para dados tabulados e outra para distribuição de freqüências. Além disso, temos equações diferentes para itens pertencentes a uma amostra e itens pertencentes a uma população. Mas todas as equações são “interligadas”: sabendo uma, sabemos todas! Não se esqueçam disso... Ah, alguns estudiosos de estatística diferenciam a maneira como a média e o desvio padrão da amostra são conhecidos, em relação à média e ao desvio padrão da população. Para estes estudiosos, temos: = média amostral

S = desvio padrão amostral µ = média populacional σ = desvio padrão populacional Se a questão não diferenciar, nós também não iremos fazê-lo, ok? Assim, para o caso de uma população, temos a seguinte equação para o rol:

σ = 2( )Xi X

n

− ∑

Para os dados tabulados, temos:

σ = 2( )if Xi X

n

− ∑

E para a distribuição de freqüências, temos:

σ = 2( )i if PM X

n

− ∑



Já para o caso de uma amostra, temos a seguinte equação para o rol. Reparem que a diferença para a equação anterior é o “-1” no denominador.

S = 2( )

1

Xi X

n

− −

∑

Para os dados tabulados, temos (reparem o “-1”):

S = 2( )

1if Xi X

n

− −

∑

E para a distribuição de freqüências, temos (novamente, com “-1” no denominador):

S = 2( )

1i if PM X

n

− −

∑

Essas 6 equações que vimos são equações simplificadas. Existem outras equações, que chamados de “desenvolvidas”. Elas são, a primeira vista, maiores, mais complicadas. Mas na hora de resolver questões, é o contrário. Vocês verão que usamos muito mais as equações desenvolvidas do que as equações simplificadas que vimos acima. Isso porque as equações desenvolvidas não utilizam a média. Nas equações simplificadas, é preciso calcular a média para depois calcular o desvio padrão. Já com as equações desenvolvidas, isso não é necessário. Então, temos a equação desenvolvida para o rol (população) abaixo:

σ = 2

2 ( )1 iXXin n

−

∑∑

Para os dados tabulados, temos (adicionando fi):

σ = 2

2 ( )1 i i

i

f Xf Xi

n n

−

∑∑



E para a distribuição de freqüências, temos (trocando Xi por PMi):

σ = 2

2 ( )1 i i

i i

f PMf PM

n n

−

∑∑

Analogamente às equações simplificadas que vimos acima, para a amostra basta adicionar o “-1”. Assim, temos, para o rol (amostra):

S = 2

2 ( )11

iXXin n

−

−

∑∑

Para os dados tabulados, temos (adicionando fi):

S = 2

2 ( )11

i i

i

f Xf Xi

n n

−

−

∑∑

E para a distribuição de freqüências, temos (trocando Xi por PMi):

S = 2

2 ( )11

i i

i i

f PMf PM

n n

−

−

∑∑

Observação importante:

Agora, passaremos para a variância... Depois do que vimos para o desvio padrão, ela fica fácil, fácil!!! 1.3.2 Variância A variância, em meios práticos, não consegue ser tão clara como o desvio padrão. Então, vamos focar no seu cálculo, que é algo extremamente simples. Já vimos várias equações de desvio padrão. E sabem qual é a equação da variância? Variância = σ2 = S2

Se a questão nada disser, temos POPULAÇÃO, e usamos as equações para população (sem o “-1”)



Fácil, não acham? A variância nada mais é do que o quadrado do desvio padrão. Então, se em todas as equações de desvio padrão tínhamos a raiz quadrada, basta tirarmos as equações da raiz para termos as equações da variância. 1.3.3 Coeficiente de Variação O coeficiente de variação é também chamado de dispersão relativa (lembram-se de que o desvio padrão é também chamado de dispersão absoluta?). Ele é uma medida adimensional. Ou seja, ele não possui unidade, ao contrário da média e do desvio padrão. O cálculo do coeficiente de variação é algo simples, e envolve o desvio padrão e a média, seguindo a equação abaixo:

CV = S

x (para a amostra)

CV = σµ (para a população)

1.3.4 Variação relativa A variação relativa advém do coeficiente de variação, segundo a equação abaixo:

Vr = CV2



2. Exercícios comentados Questão 1 – ESAF/MPOG/APO/2010 Ana é nutricionista e está determinando o peso médio – em quilos (kg) – de todos seus 50 clientes. Enquanto Ana está somando os pesos de seus clientes, para calcular a média aritmética entre eles, sem perceber, ela troca os dígitos de um dos pesos; ou seja, o peso XY kg foi trocado por YX kg. Essa troca involuntária de dígitos alterou a verdadeira média dos pesos dos 50 clientes; a média aritmética ficou acrescida de 0,9 kg. Sabendo-se que os pesos dos 50 clientes de Ana estão entre 28 e 48 kg, então o número que teve os dígitos trocados é, em quilos, igual a: a) 38 b) 45 c) 36 d) 40 e) 46 Começamos com uma questão que é mais de Lógica do que de Média (Estatística). Não disse para vocês que a ESAF está “raciocinando” mais? Pois bem, temos uma nutricionista que trocou os pesos. Se ela não tivesse trocado, teríamos:

ixxn

= ∑

50icertox

x = ∑

Assim, temos:

50icertox x=∑

Como ela trocou, temos:

0,950ierradox

x + = ∑

Multiplicando a equação acima em cruz, temos:

50 45ierradox x= +∑

Assim, pela equação acima, podemos ver que a troca de números gerou uma soma errada dos pesos, 45kgs maior do que a soma certa dos pesos.



Portanto, temos que ver qual troca entre números de 28 até 48 que geram uma diferença de 45. O peso correto, que procuramos, é da forma DU (D = dezena e U = unidade). D pode ser 2, 3 ou 4 (já que o peso pode ir de 28 a 48). Como o número foi trocado, a nutricionista anotou o número UD. Temos que a diferença UD – DU = 45. Ou seja:

UD -DU 45 Lembram como faz uma subtração? Para fazer a subtração acima, primeiro faremos “U para chegar a D”. O resultado de “U para chegar a D” deve ser igual a 5. Sabemos que D pode ser 2, 3 ou 4. Ou seja, para chegar a 2, 3 ou 4 e dar 5, teremos que “pegar uma unidade emprestada” da dezena, da seguinte forma:

U12 -DU 45 Neste caso, U = 12 – 5 = 7. Fazendo o mesmo com o 3:

U13 -DU 45 Neste caso, U = 13 – 5 = 8. Fazendo o mesmo com o 4:

U14 -DU 45 Neste caso, U = 14 – 5 = 9. Assim, temos:

• Se D = 2, U = 7. Temos os números 72 – 27 = 45. • Se D = 3, U = 8. Temos os números 83 – 38 = 45.



• Se D = 4, U = 9. Temos os números 94 – 49 = 45. O enunciado diz que os pesos estão entre 28 e 48, por isso a opção acima está descartada (o peso é 49). A primeira opção também não é possível, pois resulta num peso 27. Sobra a opção de peso 38, com D = 3 e U = 8. Resposta: Letra A. Questão 2 – ESAF/SEFAZ-SP/APOFP/2009 Determine a mediana das seguintes observações: 17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9. a) 13,5 b) 17 c) 14,5 d) 15,5 e) 14 Nesta questão, temos a mediana de um rol. O primeiro passo para o cálculo da mediana de um rol é organizar os números em ordem crescente, transformando os dados brutos (fora de ordem) em rol (ordenados). Assim: 3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13, 14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 34, 42 São 23 termos. Vimos que, num rol de n ímpar, a mediana é dada por (n+1)/2. Ou seja, (23+1)/2 = 24/2 = 12. Assim, contamos qual é o 12º termo: 3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13, 14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 34, 42 A mediana do rol é, portanto, 17. Resposta: Letra B. Questão 3 – ESAF/RFB/AFRFB/2009



Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa amostra, marque a única opção correta: 29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28. (A) A média e a mediana das idades são iguais a 27. (B) A moda e a média das idades são iguais a 27. (C) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08. (D) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074. (E) A moda e a mediana das idades são iguais a 27. Essa questão mistura os conhecimentos de medidas de posição e medidas de dispersão (no caso, o desvio padrão). É uma amostra e está em forma de dados brutos, pois os valores não estão em ordem (nem crescente nem decrescente). Vamos transformar num rol, colocando os dados em ordem? 23, 23, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 26, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 28, 28, 28, 28, 29, 29, 29, 30, 31, 32, 32, 33, 34, 35, 36, 39, 41. Pronto. Agora os dados estão em ordem. Para calcular a média, devemos somar os valores e dividir pelo número de itens da amostra. Temos:

= 1052 n = 37. A média é 1052/37 = 28,43. A moda é o valor que mais aparece, ou seja, 27. E a mediana do rol. Temos uma quantidade impar de valores. Ou seja, para calcular, fazemos (n + 1)/2 = (37 + 1)/2 = 38/2 = 19. O elemento correspondente a essa posição central é o número 27. Ou seja, a mediana é igual a 27. Só com isso já conseguimos achar a resposta (letra E), sem nem calcular o desvio padrão. Mas estamos aqui para aprender, certo? Vamos calculá-lo, então? Já adianto que vai dar um super-trabalho, essa questão foi feita para que não se calcule o desvio, pois são muitos valores. Primeiramente, o enunciado fala de amostra. Como é um rol, poderíamos usar a equação para o rol, não é mesmo? Mas percebam que são muitos valores repetidos. Para facilitar o nosso cálculo, o melhor é transformar o rol em uma



tabela de dados tabulados. A equação do desvio padrão para amostra de dados tabulados é a seguinte:

S = 2

2 ( )11

i i

i

f Xf Xi

n n

−

−

∑∑

Então, devemos transformar o rol em dados tabulados e encontrar todos os termos pedidos na equação. Veja abaixo: Númer

o (xi)

Quantidade de vezes

que aparece no

rol = Frequência

= fi

xi2 fi.xi fi.xi2

23 2 529 46 1058

24 3 576 72 1728

25 4 625 100 2500

26 5 676 130 3380

27 6 729 162 4374

28 4 784 112 3136

29 3 841 87 2523

30 1 900 30 900

31 1 961 31 961

32 2 1024 64 2048

33 1 1089 33 1089

34 1 1156 34 1156

35 1 1225 35 1225

36 1 1296 36 1296

39 1 1521 39 1521

41 1 1681 41 1681

TOTAL 37 15613 1052 30576 Colocando os valores acima na equação de dados tabulados, temos:

S = 2

2 ( )11

i i

i

f Xf Xi

n n

−

−

∑∑



1 1052²30576

37 1 37

1 110670430576

36 37

130576 29910,92

37 1

1665,081

36

18,47

− −

−

− −

Para extrair a raiz não-quadrada sem ajuda de calculadora, fazemos os seguintes passos: PASSO 1: achar um quadrado perfeito próximo. Qual o quadrado perfeito mais próximo de 18,47 ? Temos que 42 = 16. PASSO 2: vamos trabalhar com: 18,47 = a raiz que queremos; 4 = quadrado perfeito mais próximo; 2 = raiz mais próxima. PASSO 3: fazer uma divisão:

Assim:

16 18,47 34,47

4,308752 4 8x

+= =

NO NUMERADOR: A RAIZ QUE EU QUERO + QUADRADO PERFEITO MAIS PRÓXIMO NO DENOMINADOR: 2 (SEMPRE) X A RAIZ MAIS PRÓXIMA



Temos que 18,47 é aproximadamente 4,30875. Pela calculadora, encontramos 4,2976. Logo, o desvio padrão é de 4,30. Resposta: Letra E. Questão 4 – ESAF/RFB/AFRFB/2009 A tabela mostra a distribuição de freqüências relativas populacionais (f’) de uma variável X: X f' – 2

6a

1 1a 2 3a Sabendo que “a” é um número real, então a média e a variância de X são, respectivamente: (A) 45,35,0

2 =−=xx

e σµ

(B) 45,35,02 −==xx

e σµ (C) 10

2 ==xx

e σµ

(D) 7,35,0 2 =−=xx

e σµ (E) 7,35,0 2 ==

xxe σµ

Mais uma questão que mistura medidas de posição e de dispersão. Mas, agora, temos a variância. A questão fala em frequência relativa, que vimos na teoria. A frequência relativa é uma frequência que, somada, dará 100%. Ou seja, 6a+1a+3a = 100% = 1. Assim, podemos fazer os cálculos com o próprio “a”, considerando que é uma frequência simples. Estamos falando de dados tabulados de uma população, logo a equação é:

σ = 2

2 ( )1 i i

i

f Xf Xi

n n

−

∑∑

Númer

o fi xi2 fi.xi fi.xi2



(xi)

-2 6a 4 -12a 24a

1 1a 1 1a 1a

2 3a 4 6a 12a

TOTAL n = 10a -5a 37a A média é encontrada pela equação: µ = -5a/10a = -0,5 A variância é o quadrado do desvio padrão, ou seja:

σ² = 2

2 ( )1 i ii

f Xf Xi

n n

−

∑∑

σ2 = (37a – (-5a)2/10a)/10a = (37a – 2,5a)/10a = 34,5a/10a = 3,45 Dessa forma, a resposta é a letra A. Resposta: Letra A. Questão 5 – ESAF/ENAP/Estatístico/2006 Considere os seguintes conjuntos de observações referentes a cinco diferentes variáveis: A {1; 1; 1; 1; 1; 50}, B {1, 1, 1, 1; 50; 50}, C {1, 1, 1, 50, 50, 50}, D {1, 1, 50, 50, 50, 50}, E {1, 50, 50, 50, 50, 50}. O conjunto de observações que apresenta a maior variabilidade, medida pelo desvio-padrão, é o referente à variável (A) A. (B) B. (C) E. (D) D. (E) C. Nessa questão não precisamos nem fazer contas. Basta utilizar o conhecimento teórico que temos sobre o desvio padrão.



Já sabemos que o desvio padrão é uma medida de dispersão que mede a heterogeneidade de um conjunto de dados em relação à média. E o que faz o desvio padrão ser alto? Ora, o fato de o conjunto possuir vários elementos diferentes! Conjuntos com elementos semelhantes possuem desvio padrão baixo... Dentre os conjuntos, qual possui o maior número de itens diferentes? O conjunto C, certo? Pois ele é a resposta... Apenas um comentário em relação à pegadinha da ESAF, realmente é uma banca muito safada! Porque diabos colocar o conjunto C na alternativa E e vice-versa??? Tenho certeza que muita gente marcou a alternativa C por engano... Resposta: Letra E Questão 6 – ESAF/IRB/Analista/2006 O grau ao qual os dados numéricos tendem a dispersar-se em torno de um valor médio chama-se (A) média. (B) variação ou dispersão dos dados. (C) mediana. (D) correlação ou dispersão. (E) moda. Mais uma questão teórica da ESAF. O enunciado fala em “dispersar-se”... ou seja, estamos falando de medidas de dispersão. De cara, podemos eliminar as alternativas A, C e E, que falam sobre medidas de posição. A alternativa D fala em correlação. Correlação é a relação de interdependência existente entre duas variáveis. Por exemplo, se eu digo: “O número de acidentes nas estradas aumenta conforme diminui o preço da bebida”. Nesse exemplo, há uma correlação existente entre “número de acidentes” e “preço da bebida”. Assim, a correlação não tem a ver com dispersão. A letra B é a que indica o que estudamos: dispersão de dados, variância... enfim, a dispersão é maior quanto maior for a variação dos dados. Resposta: Letra B Questão 7 – FCC/BACEN/Analista/2006



O histograma de freqüências absolutas a seguir foi elaborado com base nas informações contidas na revista “O Empreiteiro”, de junho de 2005, que demonstra o comportamento das empresas construtoras do ramo da construção civil no Brasil que obtiveram faturamento em 2004 maior ou igual a 15 milhões de reais e menor ou igual a 120 milhões de reais

Com base nestas informações, obteve-se a média aritmética do faturamento das empresas deste estudo, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Com relação ao total de empresas deste histograma, o valor encontrado para esta média pertence ao intervalo de classe que contém

(A) 24% das empresas. (B) 16% das empresas. (C) 9% das empresas. (D) 7% das empresas. (E) 5% das empresas.

Questão sobre distribuição de frequências. Vocês devem estar se perguntando porque eu estou falando em distribuições de frequências, se o enunciado da questão mostra um gráfico que ele chama de histograma. Ocorre que o histograma é a representação gráfica da distribuição de frequencias. Cada coluna do gráfico compreende um intervalo, que são justamente as classes da distribuição. Acima de cada coluna, há um número, que é a frequência da classe. Assim, podemos transformar o histograma do enunciado na seguinte distribuição de frequências:



R$ (milhões) Frequências 15 |----- 30 31 30 |----- 45 24 45 |----- 60 16 60 |----- 75 9 75 |----- 90 5

90 |----- 105 7 105 |---- 120 8 Podemos calcular PM, o Ponto Médio da Classe. Ele é calculado da seguinte forma: PM = Limite inferior + Limite Superior 2 Por exemplo, o Ponto Médio da primeira classe é: 30 45

37,52+

=

Reparem que o enunciado diz: “Considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo”. O enunciado apenas reafirma uma premissa básica do cálculo da média aritmética de uma distribuição de frequências. Para a distribuição, o cálculo de x considera que a frequência coincide com o PM do intervalo. Por isso, a equação da média considera apenas o valor de PM. Para o cálculo, precisamos do valor de .i i

f PM∑ . Para isso, da mesma forma

como fizemos nos dados tabulados, podemos colocar mais duas colunas na tabela da distribuição. Uma para o cálculo de PM, e outra para o produto da frequência fi pelo PM: R$ (milhões) Frequências PM



(fi)

15 |----- 30 31 15 30

22,52+

=

30 |----- 45 24 30 45

37,52+

=

45 |----- 60 16 45 60

52,52+

=

60 |----- 75 9 60 75

67,52+

=

75 |----- 90 5 75 90

82,52+

=

90 |----- 105 7 90 105

97,52+

=

105 |---- 120 8 105 120

112,52+

=

Uma maneira mais rápida de calcular PM é calculando o seu valor para a primeira classe e, para as outras, somar ao valor do PM anterior o valor da amplitude da classe. Para essa distribuição, a amplitude é Limite Superior – Limite Inferior = 15. Assim, o PM da segunda classe é o valor do PM da primeira classe + 15. O valor do PM da terceira classe é o valor do PM da segunda classe + 15. Vamos refazer o PM desse jeito na tabela abaixo: R$ (milhões) Frequências

(fi) PMi

15 |----- 30 31 15 30

22,52+

=

30 |----- 45 24 22,5 15 37,5+ = 45 |----- 60 16 37,5 15 52,5+ = 60 |----- 75 9 52,5 15 67,5+ = 75 |----- 90 5 67,5 15 82,5+ =

90 |----- 105 7 82,5 15 97,5+ = 105 |---- 120 8 97,5 15 112,5+ = A partir de PMi e fi, fazemos a multiplicação fi.PM para cada classe: R$ (milhões) Frequências

(fi) PM fi.PM

15 |----- 30 31 22,5 697,5 30 |----- 45 24 37,5 900



45 |----- 60 16 52,5 840 60 |----- 75 9 67,5 607,5 75 |----- 90 5 82,5 412,5

90 |----- 105 7 97,5 682,5 105 |---- 120 8 112,5 900

n = 31+24+16+9+5+7+8 =

100

.if PM∑ =

697,5+900+840+607,5+412,5+682,5+

900 = 5040

O valor da média é:

. 504050,4

100i if PM

xn

= = =∑

O enunciado pergunta qual o intervalo de classe que contém o valor encontrado para a média. A média, de 50,4, pertence ao intervalo de classe 45 |----- 60, que contém 16 empresas. Em termos percentuais, este intervalo contém:

16

0,16 16%100

= =

Assim, a média pertence ao intervalo que contém 16% das empresas. Resposta: Letra B. Questão 8 – FCC/TRT 1a Região/Analista (Estatística)/2011 Em dezembro de 2010, a distribuição dos valores dos salários recebidos pelos empregados de uma empresa é apresentada pela tabela de frequências relativas abaixo, em que todos os intervalos de classe têm a mesma amplitude.

Sabe-se que C = R$ 2.500,00 e que o valor da mediana, obtido por interpolação linear, é igual a R$ 2.820,00. Então, utilizando



interpolação linear, obtém-se o valor do primeiro quartil da distribuição que é igual a (A) R$ 1.600,00. (B) R$ 1.700,00. (C) R$ 1.800,00. (D) R$ 1.900,00. (E) R$ 2.000,00. Essa questão utiliza a mediana para o cálculo do quartil. Se a mediana é o valor que ocupa a posição central (também chamada de decil, n/2), o quartil é o valor que ocupa a posição 1/4 da distribuição de frequências, ou seja, n/4. Assim, temos: primeiro quartil = posição n/4 segundo quartil = posição 2n/4 = n/2 = mediana terceiro quartil = posição 3n/4 A questão pede o valor do primeiro quartil. Não são dadas informações sobre os intervalos das classes, a não ser que C =2500. Temos:

Salários Frequência Relativa

A -----| B 15 B -----| C 25

2500 -----| D 31,25 D -----| E 16,25 E -----| F 12,5 TOTAL 100

Já sabemos que a Frequência Relativa é aquela em termos percentuais. Para questões em que não são dadas informações sobre o valor de n, podemos assumir que n vale 100. Assim, a frequência absoluta simples é igual a frequência relativa:

Salários fi A -----| B 15 B -----| C 25

2500 -----| D 31,25 D -----| E 16,25 E -----| F 12,5



TOTAL 100 A mediana é de 2820. Já sabemos que ela ocupa a posição n/2, ou seja, 100/2 = 50. Vamos fazer a frequência acumulada crescente, e veremos que a mediana ocupa a 3a classe:

Salários fi Fac (frequência acumulada crescente)

A -----| B 15 15 B -----| C 25 15+25=40

2500 -----| D 31,25 40+31,25= 71,25

D -----| E 16,25 71,25+16,25= 87,5

E -----| F 12,5 87,5+12,5= 100

TOTAL 100 100

A terceira classe é a classe correspondente à fração da mediana. Precisamos encontrar qual o intervalo da classe, e usaremos a mediana fornecida para isso. A terceira classe começa em 2500, e termina em D. Portanto, a diferença D – 2500 está para fi = 31,25, assim como a diferença 2820 – 2500 (da mediana) está para 50 – 40:

D - 2500 (Diferença entre D e 2500) ------------ 31,25 (frequência da classe) 320 ------------------------------------------------------- 10 (posição de n/2 dentro da classe. n/2 é 50, e a classe começa em 40. Portanto, dentro da classe, n/2 ocupa a posição 10)

10D – 25000 = 320.31,25

10D = 25000 + 10000

D = 3500

O enunciado diz que todas as classes possuem a mesma amplitude. A classe em que se encontra o quartil (n/4 = 100/4 = 25) é a segunda classe. Essa classe, portanto, começa no 1500 e vai até o 2500:

O elemento 50 encontra-se nesta classe



Salários fi Fac (frequência acumulada crescente)

A -----| B 15 15 1500 -----| 2500 25 15+25=40 2500 -----| 3500 31,25 40+31,25=

71,25 D -----| E 16,25 71,25+16,25

= 87,5 E -----| F 12,5 87,5+12,5=

100 TOTAL 100 100

Agora, fazemos a mesma Regra de Três para encontrar o valor do quartil, que é n/4 = 25. A diferença entre 2500 e 1500 é de 1000, e, na segunda classe, estão contidos 25 elementos. Como a classe começa em 15, o elemento 15 é o 10º elemento da classe, e esse elemento é proporcional ao valor do quartil. 1000 (Diferença entre 2500 e 1500) ---------------- 25 (frequência da classe) X ------------------------------------------------------- 10 (posição de n/4 dentro da classe. n/4 é 25, e a classe começa em 15. Portanto, dentro da classe, n/4 ocupa a posição 10)

25X = 10000

X = 400

Como a classe começa em 1500, o quartil é 1500 + 400 = 1900.

Resposta: Letra D. Questão 9 – FCC/TRT 1a Região/Analista (Estatística)/2011 Em um período de 200 dias úteis, observou-se em uma repartição pública a autuação de processos apresentando uma certa característica. A fórmula fk = 10 + 45 K - 10 K2 fornece a informação do número de dias úteis (fk) em que se verificou a autuação de K destes processos, sendo que K assume somente os valores 0, 1, 2, 3 e 4. Calculando, para o período considerado, os respectivos valores da média aritmética (quantidade de processos autuados por dia), da mediana e da moda, a soma destes 3 valores é (A) 7,75.

O elemento 25, que é o quartil, encontra-se nesta classe O elemento 50, que é a mediana, encontra-se nesta classe



(B) 7,25. (C) 6,75. (D) 6,50. (E) 6,25. Essa questão pede o cálculo da média, moda e mediana para dados tabulados. Sabemos que se refere a dados tabulados pois o enunciado diz: A fórmula fk = 10 + 45 K - 10 K2 fornece a informação do número de dias úteis (fk) em que se verificou a autuação de K destes processos, sendo que K assume somente os valores 0, 1, 2, 3 e 4. Ou seja, K, que é o número de autuação de processos, pode variar de 0 a 4. Já a frequência absoluta simples fk é calculada, para cada K, com base em uma equação: fk = 10 + 45 K - 10 K2. Vamos montar a tabela dos dados tabulados: Autuação de processos

(K)

Número de dias úteis (fk)

0 f0 = 10 + 45(0) - 10 (0)2 f0 = 10

1 f1 = 10 + 45(1) - 10 (1)2 f1 = 45

2 f2 = 10 + 45(2) - 10 (2)2 f2 = 60

3 f3 = 10 + 45(3) - 10 (3)2 f3 = 55

4 f4 = 10 + 45(4) - 10 (4)2 f4 = 30

n = 200 Com a tabela acima, podemos passar ao cálculo da média, moda e mediana, como pedido no enunciado. Primeiramente, calculamos a média. A equação da média para dados tabulados é:

i if xx

n= ∑

Vamos calcular fi.xi para cada i: Autuação de processos

(K)


fi.xi

0 f0 = 10 + 45(0) - 10 (0)2 f0 = 10

0.10 = 0



1 f1 = 10 + 45(1) - 10 (1)2 f1 = 45

1.45 = 45

2 f2 = 10 + 45(2) - 10 (2)2 f2 = 60

2.60 = 120

3 f3 = 10 + 45(3) - 10 (3)2 f3 = 55

3.55 = 165

4 f4 = 10 + 45(4) - 10 (4)2 f4 = 30

4.30 = 120

n = 200 i if x∑ = 0 + 45 + 120

+ 165 + 120 = 450 Assim:

i if xx

n= ∑ =

4502,25

200=

Passamos à moda. A moda de dados tabulados é o item com maior frequência. No caso da questão, o item com maior frequência é o K = 2, com f2 = 60. Portanto, a moda Mo = 2. Por último, a mediana. O cálculo da mediana para dados tabulados e para rol varia se n é par ou ímpar (Importante: para distribuição de frequências não importa, a mediana é sempre calculada via interpolação da ogiva, como já fizemos). Nesta questão, n = 200 que é par. Portanto, temos duas posições centrais a serem consideradas: Posição central 1 = n_ = 200/2 = 100 2 Posição central 2 = a vizinha posterior = 101 Vamos ver, calculando a Fac, em que elementos estão essas posições: Autuação de processos

(K)


Número de dias úteis acumulado (Fac)

0 f0 = 10 10 1 f1 = 45 55 2 f2 = 60 115 3 f3 = 55 170 4 f4 = 30 200 n = 200

Como as duas posições estão na mesma classe mediana (do k = 2), a mediana é igual a 2. Se fossem classes diferentes, teríamos de usar a equação:



Mediana = Elemento Posição Central 1 + Elemento Posição Central 2 2 Portanto, temos: Me = 2,25 Mo = 2 Md = 2 Soma = 6,25. Resposta: Letra E. Questão 10 – FCC/TRT 4a Região/Analista Judiciário/2010

Um levantamento realizado em um setor de um órgão público, durante 250 dias úteis, forneceu a distribuição dos números de processos analisados apresentada no gráfico abaixo. No eixo horizontal constam as quantidades detectadas de processos e as colunas representam as respectivas quantidades de dias. Com relação a este levantamento, a média aritmética (número de processos por dia), a mediana e a moda são iguais, respectivamente, a (A) 3,48; 3,50 e 4,00. (B) 3,48; 4,00 e 4,00. (C) 4,35; 3,50 e 3,50. (D) 4,35; 3,50 e 4,00. (E) 4,00; 4,00 e 4,00. Esse é um tipo clássico de questão, que pede as medidas de posição com base num gráfico (que pode ser transformado numa tabela de dados tabulados ou numa distribuição de frequências). Percebam que não estamos falando de uma distribuição de frequências, e sim de dados tabulados.



Primeiramente, vamos fazer a transformação do gráfico na tabela. Talvez, mesmo nas questões vistas anteriormente, vocês possam ter dúvida sobre qual dos eixos representa a frequência. Um macete é pensar que a frequência não segue uma ordem numérica, ao contrário dos intervalos das classes. Ou seja, enquanto o número de processos vai de 1 a 6, a frequência é “solta” (20, 30, 70, 80... etc). Assim, o histograma assume a seguinte forma:

Número de Processos

Quantidade de dias

1 20 2 30 3 70 4 80 5 40 6 10 n = 250

Vamos a média. A equação já sabemos (equação da média para dados tabulados):

i if xx

n= ∑

É preciso calcular o termo fixi, para cada classe: Número de Processos

(xi)

Quantidade de dias

(fi)

fixi

1 20 20 2 30 60 3 70 210 4 80 320 5 40 200 6 10 60 n = 250 870

Assim, temos que:

8703,48

250i if x

xn

= = =∑



Para o cálculo da moda, basta ver em que número de processos está a maior frequência:

Número de Processos

Quantidade de dias

1 20 2 30 3 70 4 80 5 40 6 10 250

Ou seja, para esses dados, a moda é que haja 4 processos por dia. Agora vamos resolver a mediana. Começaremos encontrando a posição central. Já que n é par (250), utilizaremos a equação Posição Central = n/2. Assim, a posição central está no item 125. A sua vizinha posterior é a 126. Ambas se encontram no número de processos igual a 4 por dia, vejam só: Número de Processos

Quantidade de dias

Fac

1 20 20 2 30 50 3 70 120 4 80 200 5 40 240 6 10 250

TOTAL 250 A equação da mediana que usaríamos agora seria Md = (Elemento Posição Central 1 + Elemento Posição Central 2)/2. Mas nem é necessário fazer, pois como ambas as posições estão na quarta linha (correspondente a 4 processos por dia), (4 + 4)/2 = 4. Ou seja, a mediana é igual a 4. Temos, então: Me = 3,48 Mo = 4,0 Md = 4,0 Resposta: Letra B. Questão 11 – FCC/TRT 23a Região (MT)/Analista (Estatística) /2011

Em um setor de um órgão público, verificou-se a existência de 6 valores de salário entre seus 32 funcionários. A tabela abaixo fornece



a quantidade de funcionários que recebe cada valor de salário, em que (3X - 2Y) = 0.

Com relação aos valores destes salários, a soma da média aritmética com a mediana e com a moda é igual a

(A) R$ 11.375,00.

(B) R$ 10.875,00.

(C) R$ 10.500,00.

(D) R$ 10.375,00.

(E) R$ 9.675,00. Questão de média, moda e mediana para dados tabulados. Primeiramente, colocarei a tabela, do formato dado, para o formato que costumamos usar. Eu sempre faço isso na prova antes de começar a resolver a questão. É mais fácil seguir o padrão que estamos acostumados (se não tomar muito tempo, claro).

Salários Quantidade de

funcionários 1500 X 2000 Y 3000 Y 4000 2,5X 5000 X 6000 0,5X TOTAL 32

Além disso, o enunciado traz a seguinte relação: 3X – 2Y = 0 Ou seja, podemos ter Y em função de X: 2Y = 3X � Y = 3X/2 = 1,5X



Utilizando esta relação na tabela acima, temos: Salários Quantidade

de funcionários

1500 X 2000 Y = 1,5X 3000 Y = 1,5X 4000 2,5X 5000 X 6000 0,5X TOTAL 8X = 32 Assim, descobrimos o valor de X: 8X = 32 X = 4 Substituímos o valor de X na tabela para saber a quantidade exata de funcionários: Salários Quantidade

de funcionários

Quantidade de funcionários

1500 X X = 4 2000 Y = 1,5X 1,5X = 1,5.(4) = 6 3000 Y = 1,5X 1,5X = 1,5.(4) = 6 4000 2,5X 2,5X = 2,5.(4) = 10 5000 X X = 4 6000 0,5X 0,5X = 0,5.(4) = 2 TOTAL 8X = 32 8X = 32 Agora, passamos aos cálculos pedidos no enunciado: MODA: a moda é o salário de maior frequência: Salários Quantidade

de funcionários

Quantidade de funcionários

1500 X X = 4 2000 Y = 1,5X 1,5X = 1,5.(4)

= 6 3000 Y = 1,5X 1,5X = 1,5.(4)

= 6 4000 2,5X 2,5X =



2,5.(4) = 10 5000 X X = 4 6000 0,5X 0,5X =

0,5.(4) = 2 TOTAL 8X = 32 8X = 32 A maior frequência é a de 10 funcionários, ganhando 4000. Por isso, essa é a Moda. MÉDIA ARITMÉTICA: a média aritmética dos dados tabulados é:

Usamos a tabela para calcular: Salários (xi) Quantidade

de funcionários

Quantidade de funcionários (fi)

Xi.fi

1500 X X = 4 4.1500 = 6000

2000 Y = 1,5X 1,5X = 1,5.(4) = 6

6.2000 = 12000

3000 Y = 1,5X 1,5X = 1,5.(4) = 6

6.3000 = 18000

4000 2,5X 2,5X = 2,5.(4) = 10

10.4000 = 40000

5000 X X = 4 4.5000 = 20000

6000 0,5X 0,5X = 0,5.(4) = 2

2.6000 = 12000

TOTAL 8X = 32 8X = 32 108000 Assim, a média é 108000/32 = 3375. MEDIANA: a mediana é o salário no ponto central. Temos 32 funcionários. Ou seja, o ponto central é o salário do funcionário número 16, e o seguinte, número 17. Reparem que um está na terceira classe e outra está na quarta classe:



Salários (xi) Quantidade de funcionários

Quantidade de funcionários (fi)

Frequência acumulada

1500 X X = 4 4 2000 Y = 1,5X 1,5X =

1,5.(4) = 6 4 + 6 = 10

3000 Y = 1,5X 1,5X = 1,5.(4) = 6

10 + 6 = 16

4000 2,5X 2,5X = 2,5.(4) = 10

16 + 10 = 26

5000 X X = 4 26 + 4 = 30 6000 0,5X 0,5X = 0,5.(4)

= 2 30 + 2 = 32

TOTAL 8X = 32 8X = 32 Para vocês verem com clareza, fiz a tabela abaixo, que diz o salário de cada funcionário: Funcionário Salário Funcionário 1 1500 Funcionário 2 1500 Funcionário 3 1500 Funcionário 4 1500 Funcionário 5 2000 Funcionário 6 2000 Funcionário 7 2000 Funcionário 8 2000 Funcionário 9 2000 Funcionário 10 2000 Funcionário 11 3000 Funcionário 12 3000 Funcionário 13 3000 Funcionário 14 3000 Funcionário 15 3000 Funcionário 16 3000 Funcionário 17 4000 Funcionário 18 4000 Funcionário 19 4000 Funcionário 20 4000 Funcionário 21 4000 Funcionário 22 4000 Funcionário 23 4000 Funcionário 24 4000 Funcionário 25 4000 Funcionário 26 4000 Funcionário 27 5000



Funcionário 28 5000 Funcionário 29 5000 Funcionário 30 5000 Funcionário 31 6000 Funcionário 32 6000 Portanto, a Mediana é (3000+4000)/2 = 2500 Somando tudo: Moda + Média Aritmética + Mediana = 4000 + 3375 + 3000 = 10875. Resposta: Letra B. Questão 12 – FCC/INFRAERO/Estatístico/2011 A tabela de frequências relativas abaixo corresponde à distribuição da renda mensal das pessoas que adquiriram pacotes de excursão de uma empresa de turismo em 2010. O valor da média aritmética da renda (Me) foi obtido considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. O valor da mediana (Md) foi obtido pelo método da interpolação linear.

O valor da moda (Mo), obtido pela relação de Pearson: Mo = 3Md - 2Me, é igual a

(A) R$ 4.250,00. (B) R$ 4.500,00. (C) R$ 4.750,00. (D) R$ 5.000,00. (E) R$ 5.250,00.

Essa questão é uma variação das questões anteriores. A questão fala em Moda de Pearson. Não vimos essa Moda, mas nem seria necessário, pois o enunciado traz a equação para o cálculo: Mo = 3Md - 2Me

Muitas vezes as questões trazem “novidades” apenas para assustar os concurseiros inexperientes.



Mas, não é motivo de preocupação, pois as novidades são trazidas com suas definições e equações. Portanto, é só aplicar o que sabemos e incluir, nos cálculos, as definições e equações trazidas pelo enunciado.

Vamos começar os cálculos, iniciando pela média:

Renda (R$) Frequência Relativa

2500 |----- 3500 K 3500 |----- 4500 2K + 0,125 4500 |----- 5500 3K + 0,150 5500 |----- 6500 4K + 0,075 6500 |----- 7500 5K - 0,100

1 A questão fornece a Frequência Relativa como função de um valor K. A soma de todas as frequências é igual a 1. Já vimos que, quando a questão não traz o valor de n, podemos assumir que este valor é igual a 100, e a Frequência Relativa é igual a fi. No caso da questão, vamos assumir que n = 1. Ou seja, todas as Frequências Relativas, somadas, devem resultar em 1. Com isso, encontraremos um valor possível para K:

Frequência Relativa K

2K + 0,125 3K + 0,150 4K + 0,075 5K - 0,100

K + 2K + 0,125 + 3K + 0,150 + 4K + 0,075 + 5K - 0,100 = 1

K + 2K + 0,125 + 3K + 0,150 + 4K + 0,075 + 5K - 0,100 = 1 15K + 0,25 = 1 15K = 1 – 0,25 15K = 0,75 K = 0,05 Assim, a distribuição de frequências fica:



Renda (R$) Frequência (fi) 2500 |----- 3500 K = 0,05 3500 |----- 4500 2(0,05) + 0,125 = 0,225 4500 |----- 5500 3(0,05) + 0,150 = 0,3 5500 |----- 6500 4(0,05) + 0,075 = 0,275 6500 |----- 7500 5(0,05) - 0,100 = 0,15

1 Passamos, então, ao cálculo do Ponto Médio da classe. Como a amplitude é constante e igual a 1000, vamos calcular o valor do primeiro Ponto Médio, para depois somar 1000 para os outros:

Renda (R$) Frequência (fi)

PMi

2500 |----- 3500 0,05 (2500+3500)/2 = 3000

3500 |----- 4500 0,225 4000

4500 |----- 5500 0,3 5000

5500 |----- 6500 0,275 6000

6500 |----- 7500 0,15 7000

1

Com o valor de PM, fazemos a multiplicação fi.PMi:

Renda (R$) Frequência (fi)

PMi fi.PMi

2500 |----- 3500 0,05 (2500+3500)/2 = 3000

150

3500 |----- 4500 0,225 4000 900

4500 |----- 5500 0,3 5000 1500

5500 |----- 6500 0,275 6000 1650

6500 |----- 7500 0,15 7000 1050

1 .i if PM∑ = 150 + 900 +

1500 + 1650 + 1050 = 5250

. 52505250

1i if PM

xn

= = =∑

Portanto, a média é de 5250.

Passemos ao cálculo da mediana. A mediana ocorre na classe em que n/2. Como n = 1, n/2 = 0,5. Vamos calcular a Fac, para saber em que classe se encontra a mediana:



Renda (R$) Frequência

(fi) Frequência

(Fac) 2500 |----- 3500 0,05 0,05 3500 |----- 4500 0,225 0,275 4500 |----- 5500 0,3 0,575 5500 |----- 6500 0,275 0,85 6500 |----- 7500 0,15 1

1 1 A classe mediana é 4500 |----- 5500. Fazemos a mesma Regra de Três para encontrar o valor da mediana, que é n/2 = 0,500. A diferença entre 5500 e 4500 é de 1000, e na terceira classe estão contidos 0,3 elementos. Como a classe começa em 0,275, o elemento 0,5 é o 0,5-0,275=0,225 elemento da classe. 1000 (Diferença entre 5500 e 4500) ---------------- 0,3 (frequência da classe) X ------------------------------------------------------- 0,225 (posição de n/4 dentro da classe. n/4 é 25, e a classe começa em 15. Portanto, dentro da classe, n/4 ocupa a posição 10)

0,3X = 225

X = 750.

Como a classe começa em 4500, a mediana é 4500 + 750 = 5250.

Agora, finalmente, conseguimos responder à pergunta do enunciado. O valor da moda (Mo), obtido pela relação de Pearson: Mo = 3Md - 2Me é?

Mo = 3(5250) – 2(5250) = 5250.

Resposta: Letra E.

Questão 13 – FCC/TRT 23a Região (MT)/Analista Judiciário (Estatística)/2011 Uma tabela de frequências absolutas refere-se à distribuição dos 80 preços unitários de venda de uma determinada peça no mercado. Analisando esta tabela, observam-se as seguintes informações: I. Os intervalos de classe, fechados à direita e abertos à esquerda, apresentam a mesma amplitude igual a R$ 0,40.



II. O valor da mediana, obtido por interpolação linear, pertence ao intervalo [3,20; 3,60) e é igual a R$ 3,35. III. 30 preços unitários são iguais ou superiores a R$ 3,60. A porcentagem de preços unitários inferiores a R$ 3,20 é igual a

(A) 42,5%. (B) 45,0%. (C) 46,0%. (D) 46,5%. (E) 47,5%.

Essa questão dá várias informações sobre uma distribuição de freqüências. A pergunta feita é a porcentagem de preços unitários inferiores a R$ 3,20. Vamos montar a distribuição de frequências, seguindo os ditames do enunciado: I. Os intervalos de classe, fechados à direita e abertos à esquerda, apresentam a mesma amplitude igual a R$ 0,40. II. O valor da mediana, obtido por interpolação linear, pertence ao intervalo [3,20; 3,60) e é igual a R$ 3,35. Começamos fazendo uma distribuição de frequencias com amplitude de 0,40 e que vai além de 3,60, pois já sabemos que nessa classe está a mediana. Abaixo da classe mediana temos um certo número de classes (não sabemos quantos) mas que totalizam um número de 30 preços. O número total de preços é de 80.

Salários (R$) Frequência 0,0-----| 0,4 0,4-----| 0,8 0,8-----| 1,2 1,2-----| 1,6 1,6-----| 2,0 2,0-----| 2,4 2,4-----| 2,8 2,8-----| 3,2 3,2-----| 3,6 3,6-----| 4,0 4,0-----| 4,4 4,4-----| 4,8 4,8-----| 5,2

...

... TOTAL n = 80

Classe Mediana, com Md = 3,35

30 preços estão nessas classes

O enunciado quer saber quantos preços são inferiores a 3,2



O que a questão quer saber é a quantidade de preços inferiores a R$ 3,20. O formato pedido é em termos percentuais em relação ao todo, ou seja, pede-se: Porcentagem de preços unitários inferiores a 3,20 = número de preços unitários inferiores a 3,20/número total de preços

O número total de preços é dado no enunciado, são 80 preços ao todo: Porcentagem de preços unitários inferiores a 3,20 = número de preços unitários inferiores a 3,20 80

Percebam que foi dado o número total de preços, e o número de preços acima da classe mediana. Assim, colocando numa “régua”, temos:

A mediana marca o ponto central, ou seja, ela divide a distribuição em duas: acima dela há 40 preços e abaixo dela há também 40 preços. Dentro da classe mediana temos, portanto, duas “partes”: a parte inferior à mediana, representada por 40 – X, e a parte superior à mediana, representada por 40 – 30 = 10. Vejam melhor na régua:

Agora, basta fazer uma Regra de Três, da mesma forma que fazemos para encontrar a mediana (lembram da “Interpolação da Ogiva”? É a mesma coisa, com a diferença que quando fazemos a Interpolação temos a frequência e queremos a mediana, e nessa questão temos a mediana e queremos a frequência). A Regra de Três é a seguinte: 40 – X ------------- 0,15 10 ------------- 0,25 Multiplicando em cruz:

0,0 0,15 0,25

40 40

0,0 3,2 Md = 3,35 3,6

X 30

40 40

0,0 3,2 Md = 3,35 3,6

X 40 – X 40 - 30 30



10.0,15 = 0,25.(40 – X) 1,5 = 10 – 0,25.X X = 34 Assim, temos 34 preços inferiores a 3,20. Isso representa 34/40 = 42,5% do total. Resposta: Letra A. Questão 14 – FCC/TRT 23a Região/Analista (Estatística)/2011 A média aritmética dos salários de todos os empregados de uma empresa é igual a R$ 2.000,00 com um coeficiente de variação igual a 10%. A partir de uma certa data é concedido um reajuste de 10% e um adicional fixo de R$ 300,00 para estes salários. Então, é correto afirmar que (A) o novo coeficiente de variação continua sendo igual a 10%. (B) a nova variância é igual a 242% da variância anterior. (C) o novo desvio padrão é igual a R$ 250,00. (D) o novo desvio padrão supera o anterior em R$ 20,00. (E) o novo desvio padrão é igual ao anterior acrescido de 21%. Essa questão compara duas situações. Inicialmente, tem-se: µ =2000

CV = 0,1σµ=

Assim, temos:

0,1.2000 200σ = = A questão diz que é dado um aumento a todos os funcionários. Um dos aumentos é proporcional aos salários. E outro é em valor fixo, independente do salário. Ambos os aumentos afetam a média. Isso porque ela é uma medida de posição. Assim, se multiplicamos um conjunto de dados por uma constante, a média fica multiplicada por essa constante.



Conjunto de dados X com Média Y e Desvio Padrão Z

Conjunto de dados XI = aX + b

Nova Média YI = aY + b

Novo desvio padrão ZI = aZ

E, se, da mesma forma, adicionamos um valor a um conjunto de dados, a média fica somada desse valor. No entanto, o desvio padrão só é afetado pelo aumento proporcional à média. O aumento de 300 reais não afeta o desvio padrão. Se o aumento fosse de 1.000.000 de reais, o desvio ainda sim não seria afetado. As únicas operações que afetam o desvio padrão são a multiplicação e a divisão do conjunto de dados. Ou seja, se o conjunto é multiplicado por 1,2, o desvio padrão também é multiplicado por 1,2. É exatamente o que ocorre nesta questão. O conjunto de dados é aumentado em 10%. Isso significa que o desvio padrão também é aumentado em 10%. Resumindo o que falamos:

Vamos analisar as alternativas. (A) o novo coeficiente de variação continua sendo igual a 10%. O coeficiente de variação inicial era:

CVinicial =

2000,1

2000=

A média foi afetada pelas duas operações. Portanto, a nova média sofreu um aumento de 10% e foi adicionada de 300:

1,1 300

1,1(2000) 300 2500

final inicial

final

µ µ

µ

= +

= + = Já o desvio padrão não sofreu a soma, apenas o aumento proporcional:



1,1

1,1(200) 220

final inicial

final

σ σ

σ

=

= =

O novo CV é:

CVfinal =

2200,088

2500=

Alternativa errada. (B) a nova variância é igual a 242% da variância anterior. Aproveitaremos para aprender outra medida de dispersão, a variância. A variância não é muito utilizada em estatística descritiva (o objeto desta aula). Ela é mais aplicada em estatística inferencial (falaremos nas próximas aulas). A equação da variância é simples. Ela é o quadrado do desvio padrão: Variância = S2 (para amostra)

Variância = 2σ (para população). Assim, se o desvio padrão inicial (antes do aumento) era de 200, a variância era de:

Variânciainicial = 2

inicialσ = 2002 = 40000 O desvio padrão passou para 220. Da mesma forma, a variância aumenta:

Variânciafinal = 2 2220 48400finalσ = =

Assim:

484001,21

40000final

inicial

Variância

Variância= =

Assim, a nova variância é igual a 121% da variância anterior. Alternativa errada. (C) o novo desvio padrão é igual a R$ 250,00.



Falso, pois o novo desvio é igual a 220. (D) o novo desvio padrão supera o anterior em R$ 20,00. Verdadeiro, pois o novo desvio é 220. (E) o novo desvio padrão é igual ao anterior acrescido de 21%. Falso, o novo desvio é o anterior acrescido do aumento proporcional de 10%. Resposta: Letra D. Questão 15 – FMP/TCE-RS/Auditor Público Externo – Ciências Econômicas/2011 Uma empresa compra um lote de produtos do exterior, ao preço médio de US$ 100,00 e desvio padrão de US$ 20,00. Convertendo o valor para reais, considerando uma taxa de câmbio de R$ 2,00/US$, e as afirmações: I. o preço médio, calculado em R$, será de R$ 200,00 e desvio padrão R$ 40,00. II. o preço médio, calculado em R$, será de R$ 200,00 e desvio padrão de R$ 80,00. III. o preço médio, calculado em R$, será R$ 200,00 e o desvio padrão R$ 20,00. IV. o coeficiente de variação, calculado em R$, será 2 vezes maior do que aquele calculado em US$. É correto afirmar que: (A) apenas I é correta. (B) apenas II é correta. (C) apenas III é correta. (D) apenas I e IV são corretas. (E) apenas II e IV são corretas. Para converter os dados para reais, multiplicamos por 2. Já sabemos que tanto a média quanto o desvio são afetados por operações de multiplicação. Assim, para converter a média para reais, multiplicamos a média pela taxa de conversão. Se eram US$ 100, passam a ser US$ 100 x 2 = R$ 200. Da mesma forma o desvio. Se era de US$ 20, passa a ser de R$ 20x2 = 40. O coeficiente de variação, CV = σ/µ, era de 20/100 = 0,2 e passa a ser de 40/200 = 0,2.



Assim, apenas alternativa I está correta. Resposta: Letra A. Questão 16 – FMP/TCE-RS/Auditor Público Externo – Administração/2011 A média e o desvio padrão dos salários dos empregados de determinada empresa são, respectivamente, R$ 1.000,00 e R$ 200,00. Está previsto para o próximo ano um aumento salarial de 5%, mais uma parcela fixa de R$ 70,00. O coeficiente de variação do novo salário desses empregados será: (A) 0,1875. (B) 5,3333. (C) 0,2500. (D) 4,0000. (E) 0,2000. A média será afetada pela parcela fixa e pelo aumento percentual. Ou seja, a nova média será de 1000 + 1000.5% + 70 = 1000 + 50 + 70 = 1120. Já o desvio só é afetado pelo aumento proporcional. Ou seja, o novo desvio é de 200 + 200.5% = 200 + 10 = 210. CV = σ/µ = 210/1120 = 0,1875. Resposta: Letra A. Questão 17 – FCC/BACEN/Analista/2006

Em um colégio, a média aritmética das alturas dos 120 rapazes é de m centímetros com uma variância de d2 centímetros quadrados (d > 0). A média aritmética das alturas das 80 moças é de (m – 8) centímetros com um desvio padrão igual a 20d/21 centímetros. Se o correspondente coeficiente de variação encontrado para o grupo de rapazes é igual ao coeficiente de variação encontrado para o grupo de moças, tem-se que a média aritmética dos dois grupos reunidos é de

(A) 162,0 cm (B) 164,6 cm (C) 164,8 cm (D) 166,4 cm (E) 168,2 cm

Essa questão fala mais especificamente da variância.



Pede-se a média aritmética das alturas dos grupos de moças e rapazes, reunidos. Ou seja, pede-se:

min minmin

min

minmin

120 80

200

imasculino ife ino imasculino ife inomasculinoefe ino

masculino fe ino

imasculino ife inomasculinoefe ino

x x x xx

n n

x xx

+ += = =

+ +

+=

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

A questão diz que a média aritmética da altura dos rapazes é:

120imasculino imasculino

masculino

masculino

x xx m

n= = =∑ ∑

Assim, 120imasculinox m=∑ .

E a média da altura das moças é:

min minmin

min

880

ife ino ife inofe ino

fe ino

x xx m

n= = = −∑ ∑

Então: min 80( 8)ife inox m= −∑

Voltando à equação do minmasculinoefe inox :

min120 80( 8) 200 640

200 200masculinoefe ino

m m mx

+ − −= =

Portanto, precisamos descobrir o valor de m. A variância dos rapazes é: S2 = d2 Logo, o desvio padrão é S = d. O desvio padrão das moças é 20d/21. Como os coeficientes de variação são iguais, podemos colocar na equação: CVmasculino = CVfeminino



min

min

masculino fe ino

masculino fe ino

S S

x x=

Vamos substituir todas as incógnitas:

2021

8

201 21

8

208

21

20 21 8.2121

8.21 168

dd

m m

m m

mm

m m

m

=−

=−

= −

= −

= =

Com o valor de m, voltamos à equação que montamos:

min

min

200 640200

200(168) 640 32960164,8

200 200

masculinoefe ino

masculinoefe ino

mx

x

−=

−= = =

Resposta: Letra C. Questão 18 – FCC/TRT 1a Região/Analista (Estatística)/2011 A soma dos valores de todos os 50 elementos de uma população X é igual a 2.750. O coeficiente de variação para esta população apresenta o valor de 20%. Então, o valor da soma dos quadrados de todos os elementos de X é (A) 157.300. (B) 154.275. (C) 151.250. (D) 80.025. (E) 8.800. A soma dos quadrados de todos os elementos de X é:



2Xi∑

A questão fornece a soma de todos os valores dos 50 elementos de uma população X. Ou seja, ela fornece:

iX∑ =2750

n = 50 CV = 0,2 O valor de iX∑ e n são usados na equação da média:

ix

nµ = ∑

Percebam que tanto iX∑ quanto 2Xi∑ são utilizados na equação do desvio

padrão desenvolvida para o rol (população):

σ = 2

2 ( )1 iXXin n

−

∑∑

Assim, como também foi fornecido o valor do CV, vamos colocar a média e o desvio na equação. Assim, descobriremos o valor de 2Xi∑ :

CV = σµ=

22 ( )1

0,20

i

i

XXi

n n

x

n

−

=

∑∑

∑

CV = σµ=

22 ( )1

0,20

i

i

XXi

n n

x

n

−

=

∑∑

∑



221 (2750)

50 500,20

275050

Xi

− =∑

Como existe uma incógnita dentro da raiz, vamos elevar toda a equação ao quadrado:

22

2

22

2

222

2 22

2 2 22

1 (2750)50 50

0,20275050

1 (2750)50 50

0,04275050

1 (2750) 27500,04.

50 50 50

(2750) 27500,04.

50 50

(2750) 2750 27500,04. 1,04.

50 50 50

Xi

Xi

Xi

Xi

Xi

− =

−

=

− =

− =

= + = =

∑

∑

∑

∑

∑ 157300

Resposta: Letra A. Questão 19 – FCC/TRT 1a Região/Analista (Estatística)/2011 Um histograma representa a distribuição dos preços unitários de venda de um determinado equipamento no mercado. No eixo das ordenadas estão assinaladas as respectivas densidades de frequência para cada intervalo em (R$)−1. Define-se densidade de frequência de um intervalo de classe como sendo o quociente da divisão da respectiva frequência relativa pela correspondente amplitude do intervalo. Um intervalo de classe do histograma corresponde aos preços unitários maiores ou iguais a R$ 32,00 e inferiores a R$ 44,50 com uma densidade de frequência igual a 1,6 × 10−2 (R$)−1. Se todos os intervalos de classe do histograma têm a mesma frequência



relativa, então um intervalo de classe com densidade de frequência igual a 5,0 × 10−3 (R$)−1 apresenta uma amplitude de (A) R$ 64,00. (B) R$ 48,00. (C) R$ 40,00. (D) R$ 32,00. (E) R$ 24,00. Essa questão é bem diferente, e trabalha as frequências, que vimos no início da teoria da aula. Ela começa falando de um histograma, que representa a distribuição de preços unitários. Mas, ao invés de termos frequências no eixo das ordenadas (eixo y) temos algo que a questão denomina de densidades de frequências, que a divisão entre:

Densidade de Frequência = Frequência Relativa

Amplitude do Intervalo

O enunciado também diz que um dos intervalos de classe do Histograma corresponde a preços 32≤P<44,50 e a densidade de frequência é 1,6 × 10−2 (R$)−1. Outra informação do enunciado é que todas as classes possuem a mesma frequência relativa. Ou seja, enquanto, normalmente, o que varia em cada classe é a frequência, enquanto a amplitude, normalmente, permanece constante. Nessa questão, o examinador inverteu o padrão. Vamos construir a distribuição de frequências, conforme as instruções do enunciado: Preços (R$) Frequência

Relativa (FR = sempre a mesma)

Amplitude de classe

(h = varia)

Densidade de Frequência (FR/h, varia)

? |----- ? ? ? ? 32 |----- 44,5 ? 44,5 – 32 =

12,5 1,6.10-2

? |----- ? ? X (pergunta do

enunciado)

5,0.10-3

total = 100



A pergunta do enunciado é qual a amplitude de uma classe com densidade de frequência de 5,0.10-3. Para encontrar a resposta, vamos utilizar os dados da classe em que o enunciado deu as informações para encontrar a frequência relativa, que é a mesma para todas as classes. Com a frequência relativa e a densidade de frequência, encontramos a amplitude da classe. Para a classe 32 |----- 44,5, temos:



1,6.10-2 = 12,5

RF

FR = 20.10-2 = 0,2 Agora, utilizamos esse valor de FR para encontrar a amplitude da outra classe, cuja densidade de frequência é 5,0.10-3:



5,0.10-3 = 0,2

classeh

hclasse = 3

0,25.10−

= 40

Resposta: Letra C. Ficamos por aqui. Na próxima aula, veremos Estatística Avançada. Abraços, Karine



3. Memorex PM = Limite inferior + Limite Superior 2

Freqüência Absoluta (f) Relativa (F) Simples Freqüência relativa

simples:

Símbolo: fi

Indica o número de elementos em cada

classe.

Freqüência relativa simples:

Símbolo: Fi

Indica o percentual de elementos da classe, em relação ao total.

Acumulada Freqüência absoluta acumulada (temos dois

tipos):

Crescente: fac

Indica o número de elementos somados até

determinada classe, começando da primeira

classe. Ou seja, se queremos saber a fac da terceira classe, devemos

fazer f1 + f2 + f3

Decrescente: fad

Indica o número de elementos somados até

determinada classe, começando da última classe. Ou seja, se

queremos saber a fac da antepenúltima classe,

devemos fazer fn + fn-1 + fn-2

Freqüência relativa acumulada (temos

dois tipos):

Crescente: Frc



saber a Frc da terceira classe, devemos fazer

F1 + F2 + F3

Decrescente: Frd


classe, começando da última classe. Ou seja, se queremos saber a Frc da antepenúltima classe, devemos fazer

Fn + Fn-1 + Fn-2

Média



Rol Dados Tabulados Distribuição de Frequência

Moda

Rol Dados Tabulados

Distribuição de Frequência

Item mais

frequente

Item mais frequente

Moda de Czuber:

= diferença anterior = frequência da classe modal – frequência da classe anterior (se nao existir é 0)

= diferença posterior = frequência da classe modal – frequência da classe posterior (se nao existir é 0) Moda de King:

fp = é a frequência da classe posterior à classe modal. fa = é a frequência da classe anterior à classe modal.

Mediana

Rol Dados Tabulados

Distribuição de Frequências

n impar -> PC = (n + 1)/2 Md = elemento correspondente

Igual Rol Md = lim inf + (n/2 – fac anterior).h fi

1) Aplicar para a classe correspondente à fração da

mediana

2) É uma interpolação da ogiva para o elemento n/2

n par -> dois PCs PC1 = n/2

PC2 = a vizinha posterior Md = (Elemento PC1 +

Elemento PC2)/2

Desvio Padrão – Equações Simplificadas

População Amostra



Rol

σ =

S =

Dados Tabulados

σ =

S =

Distribuição de Frequências

σ =

S =

Desvio Padrão – Equações Desenvolvidas

População Amostra Rol

σ = 2

2 ( )1 iXXin n

−

∑∑ S = 2

2 ( )11

iXXin n

−

−

∑∑

Dados

Tabulados

σ = 2

2 ( )1 i i

i

f Xf Xi

n n

−

∑∑

S = 2

2 ( )11

i i

i

f Xf Xi

n n

−

−

∑∑

Dist. de

Frequências

σ = 2

2 ( )1 i i

i i

f PMf PM

n n

−

∑∑

S =

22 ( )1

1i i

i i

f PMf PM

n n

−

−

∑∑

Variância = σ2 = S2

Coeficiente de Variação = CV = S

x =

σµ

Variação relativa = Vr = CV2

Se a questão nada disser, temos POPULAÇÃO, e usamos as equações para população (sem o “-1”).



4. Lista das questões abordadas em aula Questão 1 – ESAF/MPOG/APO/2010 Ana é nutricionista e está determinando o peso médio – em quilos (kg) – de todos seus 50 clientes. Enquanto Ana está somando os pesos de seus clientes, para calcular a média aritmética entre eles, sem perceber, ela troca os dígitos de um dos pesos; ou seja, o peso XY kg foi trocado por YX kg. Essa troca involuntária de dígitos alterou a verdadeira média dos pesos dos 50 clientes; a média aritmética ficou acrescida de 0,9 kg. Sabendo-se que os pesos dos 50 clientes de Ana estão entre 28 e 48 kg, então o número que teve os dígitos trocados é, em quilos, igual a: a) 38 b) 45 c) 36 d) 40 e) 46 Questão 2 – ESAF/SEFAZ-SP/APOFP/2009 Determine a mediana das seguintes observações: 17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9. a) 13,5 b) 17 c) 14,5 d) 15,5 e) 14 Questão 3 – ESAF/RFB/AFRFB/2009 Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa amostra, marque a única opção correta: 29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28. (A) A média e a mediana das idades são iguais a 27. (B) A moda e a média das idades são iguais a 27. (C) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08. (D) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074. (E) A moda e a mediana das idades são iguais a 27.



Questão 4 – ESAF/RFB/AFRFB/2009 A tabela mostra a distribuição de freqüências relativas populacionais (f’) de uma variável X: X f' – 2

6a

1 1a 2 3a Sabendo que “a” é um número real, então a média e a variância de X são, respectivamente: (A) 45,35,0

2 =−=xx

e σµ (B) 45,35,0

2 −==xx

e σµ

(C) 102 ==xx

e σµ

(D) 7,35,0 2 =−=xx

e σµ

(E) 7,35,0 2 ==xx

e σµ

Questão 5 – ESAF/ENAP/Estatístico/2006 Considere os seguintes conjuntos de observações referentes a cinco diferentes variáveis: A {1; 1; 1; 1; 1; 50}, B {1, 1, 1, 1; 50; 50}, C {1, 1, 1, 50, 50, 50}, D {1, 1, 50, 50, 50, 50}, E {1, 50, 50, 50, 50, 50}. O conjunto de observações que apresenta a maior variabilidade, medida pelo desvio-padrão, é o referente à variável (A) A. (B) B. (C) E. (D) D. (E) C. Questão 6 – ESAF/IRB/Analista/2006 O grau ao qual os dados numéricos tendem a dispersar-se em torno de um valor médio chama-se (A) média. (B) variação ou dispersão dos dados.



(C) mediana. (D) correlação ou dispersão. (E) moda. Questão 7 – FCC/BACEN/Analista/2006

O histograma de freqüências absolutas a seguir foi elaborado com base nas informações contidas na revista “O Empreiteiro”, de junho de 2005, que demonstra o comportamento das empresas construtoras do ramo da construção civil no Brasil que obtiveram faturamento em 2004 maior ou igual a 15 milhões de reais e menor ou igual a 120 milhões de reais

Com base nestas informações, obteve-se a média aritmética do faturamento das empresas deste estudo, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Com relação ao total de empresas deste histograma, o valor encontrado para esta média pertence ao intervalo de classe que contém

(F) 24% das empresas. (G) 16% das empresas. (H) 9% das empresas. (I) 7% das empresas. (J) 5% das empresas.

Questão 8 – FCC/TRT 1a Região/Analista (Estatística)/2011 Em dezembro de 2010, a distribuição dos valores dos salários recebidos pelos empregados de uma empresa é apresentada pela tabela de frequências relativas abaixo, em que todos os intervalos de classe têm a mesma amplitude.



Sabe-se que C = R$ 2.500,00 e que o valor da mediana, obtido por interpolação linear, é igual a R$ 2.820,00. Então, utilizando interpolação linear, obtém-se o valor do primeiro quartil da distribuição que é igual a (A) R$ 1.600,00. (B) R$ 1.700,00. (C) R$ 1.800,00. (D) R$ 1.900,00. (E) R$ 2.000,00. Questão 9 – FCC/TRT 1a Região/Analista (Estatística)/2011 Em um período de 200 dias úteis, observou-se em uma repartição pública a autuação de processos apresentando uma certa característica. A fórmula fk = 10 + 45 K - 10 K2 fornece a informação do número de dias úteis (fk) em que se verificou a autuação de K destes processos, sendo que K assume somente os valores 0, 1, 2, 3 e 4. Calculando, para o período considerado, os respectivos valores da média aritmética (quantidade de processos autuados por dia), da mediana e da moda, a soma destes 3 valores é (A) 7,75. (B) 7,25. (C) 6,75. (D) 6,50. (E) 6,25. Questão 10 – FCC/TRT 4a Região/Analista Judiciário/2010

Um levantamento realizado em um setor de um órgão público, durante 250 dias úteis, forneceu a distribuição dos números de processos analisados apresentada no gráfico abaixo. No eixo horizontal constam



as quantidades detectadas de processos e as colunas representam as respectivas quantidades de dias. Com relação a este levantamento, a média aritmética (número de processos por dia), a mediana e a moda são iguais, respectivamente, a (A) 3,48; 3,50 e 4,00. (B) 3,48; 4,00 e 4,00. (C) 4,35; 3,50 e 3,50. (D) 4,35; 3,50 e 4,00. (E) 4,00; 4,00 e 4,00.

Questão 11 – FCC/TRT 23a Região (MT)/Analista (Estatística) /2011

Em um setor de um órgão público, verificou-se a existência de 6 valores de salário entre seus 32 funcionários. A tabela abaixo fornece a quantidade de funcionários que recebe cada valor de salário, em que (3X - 2Y) = 0.

Com relação aos valores destes salários, a soma da média aritmética com a mediana e com a moda é igual a

(A) R$ 11.375,00.

(B) R$ 10.875,00.

(C) R$ 10.500,00.

(D) R$ 10.375,00.

(E) R$ 9.675,00. Questão 12 – FCC/INFRAERO/Estatístico/2011 A tabela de frequências relativas abaixo corresponde à distribuição da renda mensal das pessoas que adquiriram pacotes de excursão de uma empresa de turismo em 2010. O valor da média aritmética da renda (Me) foi obtido considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. O valor da mediana (Md) foi obtido pelo método da interpolação linear.



O valor da moda (Mo), obtido pela relação de Pearson: Mo = 3Md - 2Me, é igual a

(F) R$ 4.250,00. (G) R$ 4.500,00. (H) R$ 4.750,00. (I) R$ 5.000,00. (J) R$ 5.250,00.

Questão 13 – FCC/TRT 23a Região (MT)/Analista Judiciário (Estatística)/2011 Uma tabela de frequências absolutas refere-se à distribuição dos 80 preços unitários de venda de uma determinada peça no mercado. Analisando esta tabela, observam-se as seguintes informações: I. Os intervalos de classe, fechados à direita e abertos à esquerda, apresentam a mesma amplitude igual a R$ 0,40. II. O valor da mediana, obtido por interpolação linear, pertence ao intervalo [3,20; 3,60) e é igual a R$ 3,35. III. 30 preços unitários são iguais ou superiores a R$ 3,60. A porcentagem de preços unitários inferiores a R$ 3,20 é igual a

(A) 42,5%. (B) 45,0%. (C) 46,0%. (D) 46,5%. (E) 47,5%.

Questão 14 – FCC/TRT 23a Região/Analista (Estatística)/2011 A média aritmética dos salários de todos os empregados de uma empresa é igual a R$ 2.000,00 com um coeficiente de variação igual a 10%. A partir de uma certa data é concedido um reajuste de 10% e um adicional fixo de R$ 300,00 para estes salários. Então, é correto afirmar que (A) o novo coeficiente de variação continua sendo igual a 10%. (B) a nova variância é igual a 242% da variância anterior. (C) o novo desvio padrão é igual a R$ 250,00. (D) o novo desvio padrão supera o anterior em R$ 20,00. (E) o novo desvio padrão é igual ao anterior acrescido de 21%.



Questão 15 – FMP/TCE-RS/Auditor Público Externo – Ciências Econômicas/2011 Uma empresa compra um lote de produtos do exterior, ao preço médio de US$ 100,00 e desvio padrão de US$ 20,00. Convertendo o valor para reais, considerando uma taxa de câmbio de R$ 2,00/US$, e as afirmações: I. o preço médio, calculado em R$, será de R$ 200,00 e desvio padrão R$ 40,00. II. o preço médio, calculado em R$, será de R$ 200,00 e desvio padrão de R$ 80,00. III. o preço médio, calculado em R$, será R$ 200,00 e o desvio padrão R$ 20,00. IV. o coeficiente de variação, calculado em R$, será 2 vezes maior do que aquele calculado em US$. É correto afirmar que: (A) apenas I é correta. (B) apenas II é correta. (C) apenas III é correta. (D) apenas I e IV são corretas. (E) apenas II e IV são corretas. Questão 16 – FMP/TCE-RS/Auditor Público Externo – Administração/2011 A média e o desvio padrão dos salários dos empregados de determinada empresa são, respectivamente, R$ 1.000,00 e R$ 200,00. Está previsto para o próximo ano um aumento salarial de 5%, mais uma parcela fixa de R$ 70,00. O coeficiente de variação do novo salário desses empregados será: (A) 0,1875. (B) 5,3333. (C) 0,2500. (D) 4,0000. (E) 0,2000. Questão 17 – FCC/BACEN/Analista/2006

Em um colégio, a média aritmética das alturas dos 120 rapazes é de m centímetros com uma variância de d2 centímetros quadrados (d > 0). A média aritmética das alturas das 80 moças é de (m – 8) centímetros com um desvio padrão igual a 20d/21 centímetros. Se o correspondente coeficiente de variação encontrado para o grupo de rapazes é igual ao coeficiente de variação encontrado para o grupo de moças, tem-se que a média aritmética dos dois grupos reunidos é de



(F) 162,0 cm (G) 164,6 cm (H) 164,8 cm (I) 166,4 cm (J) 168,2 cm

Questão 18 – FCC/TRT 1a Região/Analista (Estatística)/2011 A soma dos valores de todos os 50 elementos de uma população X é igual a 2.750. O coeficiente de variação para esta população apresenta o valor de 20%. Então, o valor da soma dos quadrados de todos os elementos de X é (A) 157.300. (B) 154.275. (C) 151.250. (D) 80.025. (E) 8.800. Questão 19 – FCC/TRT 1a Região/Analista (Estatística)/2011 Um histograma representa a distribuição dos preços unitários de venda de um determinado equipamento no mercado. No eixo das ordenadas estão assinaladas as respectivas densidades de frequência para cada intervalo em (R$)−1. Define-se densidade de frequência de um intervalo de classe como sendo o quociente da divisão da respectiva frequência relativa pela correspondente amplitude do intervalo. Um intervalo de classe do histograma corresponde aos preços unitários maiores ou iguais a R$ 32,00 e inferiores a R$ 44,50 com uma densidade de frequência igual a 1,6 × 10−2 (R$)−1. Se todos os intervalos de classe do histograma têm a mesma frequência relativa, então um intervalo de classe com densidade de frequência igual a 5,0 × 10−3 (R$)−1 apresenta uma amplitude de (A) R$ 64,00. (B) R$ 48,00. (C) R$ 40,00. (D) R$ 32,00. (E) R$ 24,00.



5. Gabarito 1 – A 2 – B 3 – E 4 – A 5 – E 6 – B 7 – B 8 – D 9 – E 10 – B 11 – B 12 – E 13 – A 14 – D 15 – A 16 – A 17 – C 18 – A 19 – C

aula 05

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