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PACOTE DE TEORIA E EXERCÍCIOS PARA CEF

PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1

Aula demonstrativa Apresentação ..................................................................................................................................................... 2

Juros Simples - Introdução ..................................................................................................................... 3

Juros ................................................................................................................................................................ 3

Formas de Representação da Taxa de Juros .................................................................................... 5

Elementos da Operação de Juros ......................................................................................................... 5

Regimes de Capitalização ........................................................................................................................ 6

Capitalização Simples ................................................................................................................................ 7

Capitalização Composta ........................................................................................................................... 7

Juros Simples ............................................................................................................................................... 8

Homogeneização entre a taxa e o prazo de capitalização ........................................................ 10

Taxas Proporcionais ................................................................................................................................. 10

Juros Simples Ordinários (Comerciais) e Exatos .......................................................................... 11

Relação das questões comentadas .................................................................................................... 32

Gabaritos ...................................................................................................................................................... 37


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Apresentação Olá pessoal!

Saiu o edital da Caixa Econômica Federal, organizado pela Fundação

CESGRANRIO. Esta é a aula demonstrativa de Matemática do pacote de teoria e exercícios.

Antes de iniciar a aula, permitam-me uma breve apresentação.

Meu nome é Guilherme Neves. Sou matemático e comecei a lecionar em cursos preparatórios para concursos aos 17 anos de idade, antes mesmo de iniciar o

meu curso de Bacharelado em Matemática na UFPE. Minha vida como professor sempre esteve conectada com os concursos públicos nas matérias de índole

matemática (matemática financeira, estatística e raciocínio lógico). Sou autor do livro Raciocínio Lógico Essencial – Editora Campus-Elsevier.

O curso seguirá o seguinte cronograma (baseado no edital publicado).

Aula 0 Juros Simples

Aula 1 Descontos Simples

Aula 2 Juros Compostos e Taxas de Juros.Descontos Compostos.

Aula 3 Cálculo financeiro. Equivalência. Anuidades e Séries de Pagamentos

Aula 4 Métodos de Amortização e Avaliação de Alternativas de Investimentos.

Para quem nunca fez cursos com a nossa equipe, as aulas têm a seguinte estrutura:

- Teoria completa

- Exercícios resolvidos dando ênfase para concursos recentes da banca organizadora (no nosso caso, CESGRANRIO).

- Colocamos no final de cada aula a lista das questões comentadas com os

respectivos gabaritos.

- Fórum de dúvidas

Espero que você goste desta aula demonstrativa e tenha certeza que me

esforçarei bastante para te deixar mais perto da tão sonhada vaga.


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Juros Simples - Introdução

A Matemática Financeira é uma ciência que não se preocupa apenas com o

cálculo dos juros simples e compostos. Esta é a função de um dos capítulos iniciais da matemática comercial.

A Matemática Financeira é o elo entre os métodos matemáticos e os

fenômenos financeiro-econômicos. É uma ciência que se preocupa com a construção de modelos gerais, representação de variáveis monetárias na linha

do tempo. Matemática Financeira é a disciplina que estuda o entendimento dos modelos de aplicação, avaliação de investimentos e captação de recursos.

A operação básica da matemática financeira é a operação de empréstimo.

Alguém dispõe de certo capital, empresta-o por certo período de tempo. Após esse período, recebe o seu capital acrescido de uma remuneração pelo

empréstimo. A essa remuneração denominamos juro.

Existem diversas razões que justificam o pagamento dos juros na operação de empréstimo. O primeiro deles é o custo de oportunidade. Obviamente, quando

alguém disponibiliza certa quantia para ser emprestada, deixará de investir o capital em outros projetos. Portanto, o não-uso deste capital deverá ser

remunerado.

Deve-se levar em consideração a perda do poder de compra na linha do tempo. Com o aumento generalizado de preços causado pela inflação, quem

empresta o dinheiro quer preservar o poder de compra. O elemento que será responsável por preservar o valor do dinheiro no tempo é o juro.

Os bancos em geral têm despesas administrativas e obviamente têm o interesse de repassar essas despesas para os devedores.

Um aspecto de destaque é o de considerar os valores em seu momento no

tempo. A valoração que fazemos de algo está diretamente associada ao momento em que ocorre.

Juros

O juro é o dinheiro pago pelo dinheiro emprestado. É o custo do capital de

terceiros colocado à nossa disposição.

Alguém que dispõe de um capital C (denominado principal, capital inicial, valor atual), empresta-o a outrem por certo período de tempo, e após esse período

recebe o seu capital de volta. Esse capital ao ser devolvido deverá ser

remunerado. Essa remuneração é chamada de juro.

Ao emprestarmos uma quantia em dinheiro, por determinado período de tempo, costumamos cobrar o juro, de tal modo que, no fim do prazo


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estipulado, disponhamos não só da quantia emprestada, como também de um

acréscimo que compense a não-utilização do capital financeiro, por nossa parte, durante o período em que foi emprestado.

A soma capital + juros é chamada de montante e será representada por M.

Os juros são fixados através de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: dia, mês, bimestre, trimestre, semestre, ano,... .

Utilizamos, usualmente, a letra i para denotar a taxa de juros. A letra i é a

inicial da palavra inglesa interest, que significa juros.

O elemento que faz a equivalência dos valores ao longo do tempo é o juro, que

representa a remuneração do capital. Exemplo:

Veremos ao longo deste curso, que não é permitido em Matemática Financeira operar com quantias em épocas diferentes.

O objetivo da Matemática Financeira é permitir a comparação de valores em

diversas datas de pagamento ou recebimento e o elemento chave para a

comparação destes valores é a taxa de juros.

Imagine que o Banco Agi Ota cobra uma taxa de 6% ao mês no uso do cheque especial. E em determinado mês, Alberto precisou pegar emprestado do banco

R$ 15.000,00. Que valor ele deve depositar na sua conta daqui a um mês para saldar a dívida?

Vimos anteriormente que ao pegar alguma quantia emprestada, além de

devolver o principal, deve-se remunerar o capital.

E quanto será a remuneração? Quem responderá essa pergunta é a taxa de juros.

Se a taxa de juros é de 6% ao mês e a quantia emprestada é de R$ 15.000,00, então para saldar a dívida deve-se pagar os R$ 15.000,00 e mais

os juros cobrados pelo banco. O juro que deverá ser pago daqui a um mês

será 6% de R$ 15.000,00. Ou seja,


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O valor total que Alberto deve depositar na sua conta para saldar a dívida é

igual a .

Formas de Representação da Taxa de Juros

É importante observar que no cálculo anterior, a taxa de juros 6% foi

transformada em fração decimal para permitir a operação. Assim, as taxas de juros terão duas representações:

i) Sob a forma de porcentagem (taxa percentual): 6% ao ano = 6% a.a.

ii) Sob a forma de fração decimal (taxa unitária):

A representação em percentagem é a comumente utilizada; entretanto, todos os cálculos e desenvolvimentos de fórmulas serão feitos através

da notação em fração decimal.

Elementos da Operação de Juros

Na situação descrita acima, podemos perceber os principais elementos de uma

operação de juros.

Imagine que o Banco Agi Ota cobra uma taxa de 6% ao mês no uso do cheque especial. E em determinado mês, Alberto precisou pegar

emprestado do banco R$ 15.000,00. Que valor Alberto deve depositar na sua conta daqui a um mês para saldar a dívida?

Capital (C) Pode ser chamado de principal, capital inicial, valor

presente, valor atual, montante inicial, valor de aquisição, valor à vista.

No nosso exemplo, é o dinheiro que Alberto pegou emprestado do banco.

Temos então, no nosso problema, que o capital é igual a R$ 15.000,00.

Juros (J) Também chamado de rendimento. Quando uma pessoa

empresta a outra um valor monetário, durante certo tempo, é cobrado um

valor pelo uso do dinheiro. Esse valor é denominado juro.

Pelos cálculos que fizemos:

Taxa de juros (i) A taxa de juros representa os juros numa certa unidade

de tempo. A taxa obrigatoriamente deverá explicitar a unidade de tempo. Por exemplo, se Alberto vai ao banco tomar um empréstimo e o gerente diz:


6

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- Ok! O seu empréstimo foi liberado! E a taxa de juros que nós cobramos é de apenas 8%.

Ora, a informação desse gerente está incompleta. Pois se os juros forem de 8% ao ano... Ótimo! E se essa taxa de juros for ao dia? PÉSSIMO! Portanto,

perceba que a indicação da unidade da taxa de juros é FUNDAMENTAL.

Tempo (n) Quando falamos em tempo, leia-se NÚMERO DE PERÍODOS.

No nosso exemplo, se Alberto ficasse devendo ao banco por 3 meses, o número de períodos seria igual a 3. Agora, imagine a seguinte situação. Toma-

se um empréstimo com a taxa de 7,5% a.b. (ao bimestre). Se Alberto demorar 6 meses para efetuar o pagamento da dívida, o seu “n”, ou seja, o seu tempo

não será igual a 6. O seu tempo será igual a 3!!! Pois a taxa é bimestral, e em um período de 6 meses temos 3 bimestres. No nosso caso, a taxa era mensal

e Alberto usou o cheque especial durante apenas um mês.

Montante (M) Pode ser chamado de montante, montante final, valor

futuro. É o valor de resgate. Obviamente o montante é maior do que o capital inicial. O montante é, em suma, o capital mais os juros.

As operações de empréstimo são feitas geralmente por intermédio de um

banco que, de um lado, capta dinheiro de interessados em aplicar seus recursos e, de outro, empresta esse dinheiro aos tomadores interessados no

empréstimo.

Regimes de Capitalização

Denominamos regimes de capitalização aos diferentes processos como os juros são gerados e agregados ao capital aplicado.

Os juros são normalmente classificados em simples ou compostos,

dependendo do processo de cálculo utilizado. Ou seja, se um capital for aplicado a certa taxa por período, por vários intervalos ou períodos de tempo,

o valor do montante pode ser calculado segundo duas convenções de cálculo, chamadas de regimes de capitalização: capitalização simples (juros

simples) e capitalização composta (juros compostos).

A definição e a fórmula que demos para MONTANTE, independe do

processo de capitalização. Ou seja, não interessa se o regime adotado é o simples ou o composto, sempre teremos:

Vejamos dois exemplos para entender os esses dois tipos de capitalização.


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Capitalização Simples

De acordo com esse regime, os juros gerados em cada período são sempre os mesmos.

Nessa hipótese, os juros pagos de cada período são calculados sempre

em função do capital inicial empregado.

Vejamos um exemplo numérico visando a fixação desse conceito.

Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros simples durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o

período de aplicação.

Como a própria leitura da taxa indica: 20% ao ano (vinte por cento ao ano).

Cada ano, de juros, receberei 20%. 20% de quem? Do capital aplicado – R$ 10.000,00. A taxa de juros, no regime simples, sempre incide sobre o

capital inicial.

Os juros gerados no primeiro ano são

.

Os juros gerados no segundo ano são

.

Os juros gerados no terceiro ano são

.

Os juros gerados no quarto ano são

.

Os juros gerados no quinto ano são

.

Na CAPITALIZAÇÃO SIMPLES os juros gerados em cada período são sempre os mesmos, ou seja, a taxa incide apenas sobre o capital inicial.

Dessa forma, o montante após os 5 anos vale R$ 10.000,00 (capital

aplicado) mais 5 vezes R$ 2.000,00 (juros). Conclusão: o montante é igual a R$ 20.000,00 (lembre-se que o montante é o capital inicial

mais o juro).

Capitalização Composta

No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo

período. Daí que surge a expressão “juros sobre juros”.

Imagine a seguinte situação: Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros

compostos durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de cada aplicação.

Os juros gerados no primeiro ano são

e o montante após

o primeiro ano é 10.000 + 2.000 = 12.000.


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Os juros gerados no segundo ano são

e o montante após

o segundo ano é 12.000+2.400=14.400.

Os juros gerados no terceiro ano são

e o montante após o

terceiro ano é 14.400 + 2.880 = 17.280.

Os juros gerados no quarto ano são

e o montante após o

quarto ano é 17.280 + 3.456 = 20.736.

Os juros gerados no quinto ano são

e o montante após

o quinto ano é 20.736 + 4.147,20 = 24.883,20.

Observação: Se a operação de juros for efetuada em apenas um período, o montante será igual nos dois regimes.

No nosso exemplo, se parássemos a aplicação no primeiro mês, teríamos um

montante de R$ 12.000,00 nos dois regimes de capitalização.

Observe ainda que o dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do que a juros simples.

Juros Simples

Como vimos anteriormente, juros simples são aqueles calculados sempre sobre

o capital inicial, sem incorporar à sua base de cálculo os juros auferidos nos períodos anteriores. Ou seja, os juros não são capitalizados.

Vejamos outro exemplo para entendermos bem a fórmula de juros simples.

Imagine que você aplique R$ 5.000,00 à taxa de juros simples de 3% ao mês. Então, ao final do primeiro mês de aplicação, o juro produzido será:

Ou seja, para calcular o juro produzido no primeiro mês, basta

multiplicar a taxa de juros pelo capital inicial.

Como, sob o regime de capitalização simples, os juros produzidos em cada período são sempre iguais, podemos concluir que, se esse capital fosse

aplicado por 10 meses, produziria juros de:

150 x 10 = 1.500.

A partir desse exemplo, é fácil compreender a fórmula para o cálculo do juro simples.

Adotaremos as seguintes notações:





C Capital inicial

i taxa de juros simples

n tempo de aplicação

J juro simples produzido durante o período de aplicação.

M montante ao final da aplicação

O juro produzido no primeiro período de aplicação é igual ao produto do capital inicial (C) pela taxa de juros (i), como foi feito no nosso

exemplo. E, consequentemente, o juro produzido em n períodos de aplicação será:

J C i n (1)

E, lembrando também que o montante é a soma do capital com os juros

produzidos, temos a seguinte fórmula abaixo:

M C J (2)

Substituindo a fórmula (1) na fórmula (2), temos então a seguinte expressão:

M C C i n

Em álgebra, C significa 1 C , portanto,

1M C C i n

Colocando o C em evidência,

(1 )M C i n (3)

É de suma importância memorizar as três fórmulas abaixo.

J C i n (1)

M C J (2)

(1 )M C i n (3)

E devemos estar atentos ao seguinte fato:

Deve-se utilizar a taxa na forma unitária. Assim, por exemplo, se a taxa

for de 30% , utilizamos

.

J





Homogeneização entre a taxa e o prazo de capitalização

A taxa de juros deverá estar explicitada na mesma unidade de tempo

apresentada pelo prazo de capitalização. Ou seja, deve existir concordância entre as unidades da taxa de juros e do tempo.

Assim, se a taxa for mensal, o tempo deverá ser expresso em meses;

Se a taxa for bimestral, o tempo deverá ser expresso em bimestres;

E assim sucessivamente. Exemplos

i=3% a.m.

n=150 dias.

A taxa está expressa em meses e o tempo em dias. Para que haja concordância entre as unidades, deveremos escolher uma unidade comum e

transformar um dos objetos.

O mês comercial é de 30 dias. Portanto, para transformar o tempo de 150 dias para meses, basta dividir por 30.

i=3% a.m.

n= 5 meses

Para efetuar a transformação da taxa, no regime de juros simples, utilizaremos o conceito de taxas proporcionais.

Transformar a taxa significa encontrar uma taxa equivalente, ou seja, que para

um mesmo período, os juros gerados sejam o mesmo. No regime de capitalização simples, taxas proporcionais são equivalentes.

Taxas Proporcionais

Duas taxas são proporcionais quando a razão entre elas é igual à razão entre

os respectivos períodos expressos na mesma unidade de tempo.

A definição de taxas proporcionais não está condicionada ao regime de capitalização. Portanto, teremos taxas proporcionais tanto no regime de

capitalização simples quanto no regime de capitalização composta. O fato importante é que no regime de capitalização simples as taxas

proporcionais são equivalentes.





Simbolicamente, dizemos que a taxa referente ao período é proporcional à

taxa referente ao período se

Para exemplificar, no regime de juros simples, um capital aplicado por 1 ano (12 meses) a uma taxa de 36% ao ano produz o mesmo montante quando o

mesmo capital é aplicado a uma taxa de 3% ao mês por 12 meses.

Neste exemplo,dizemos que 3% ao mês é proporcional a 36% ao ano, pois como 1 ano é o mesmo que 12 meses, tem-se:

Poderíamos ter adotado a seguinte linha de raciocínio. Como 1 ano é 12 vezes

maior do que o período de 1 mês, então a taxa anual proporcional é 12 vezes maior do que a taxa mensal.

Exemplo: Determinar a taxa diária proporcional a 3% ao mês.

Aplicando a definição de taxas proporcionais (lembre-se que o mês comercial

possui 30 dias).

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Poderíamos ter adotado a seguinte linha de raciocínio. Como 1 dia é 30 vezes

menor do que o período de 1 mês, então a taxa diária proporcional é 30 vezes menor.

Juros Simples Ordinários (Comerciais) e Exatos

Na prática, usualmente, é adotado o juro simples ordinário (utiliza o ano

comercial com 360 dias e meses com 30 dias). O juro simples exato (utiliza o ano civil com 365 dias) somente é usado quando para isso for expresso

explicitamente na operação.





Os juros são considerados ordinários ou comerciais quando utilizam o ano comercial para estabelecer a homogeneidade entre a taxa e o tempo. Logo,

em juros ordinários, consideramos que todos os meses têm 30 dias e o ano tem 360 dias.

Juros exatos são aqueles em que se utiliza o calendário civil para

verificarmos a quantidade de dias entre duas datas. Logo, quando o mês tem 31 dias deveremos considerar o total e não 30 dias.

Para facilitar o cálculo de juros nestas modalidades, é fundamental efetuarmos

o cálculo com taxa anual e o tempo expresso em dias. Para calcular a taxa equivalente diária devemos dividir a taxa anual pelo número total de dias do

ano comercial (360 dias) ou ano exato (365 ou 366 dias).

Devemos ficar atentos ao fato de o ano ser ou não bissexto no caso de juros

exatos.

Podemos “criar” dois processos mnemônicos para saber quais anos são bissextos ou não.

Para começar, os anos bissextos obrigatoriamente são pares.

Um ano é dito bissexto se for múltiplo de 4, exceto os que são

múltiplos de 100, a não ser que sejam múltiplos de 400.

Dica: Para verificar se um número é divisível por 4 basta dividir os últimos dois dígitos do número por 4.

Assim, 1998 não é divisível por 4 e, portanto, não é bissexto.

Uma maneira mais “lúdica” de memorizar é o seguinte:

Os anos pares ou são anos de Olimpíada ou são anos de Copa do Mundo.

Os anos bissextos são os anos de Olimpíadas!!!

Como em 1998 houve a Copa do Mundo da França, o ano não foi bissexto.

01. (Analista – Contabilidade – FINEP 2011/CESGRANRIO) Uma aplicação de

R$ 23.390,00 resultou, em quatro meses, no montante de R$ 26.383,92. A taxa mensal de juros simples que permitiu esse resultado foi

(A) 4,14%

(B) 3,20% (C) 3,18%

(D) 3,10% (E) 2,88%





Resolução

Se uma pessoa aplica R$ 23.390,00 e resgata um montante de R$ 26.383,92,

quanto ela ganhou de juro?

Basta calcular a diferença entre o montante e o valor aplicado.

Temos os seguintes dados:

Para calcular a taxa mensal, vamos aplicar a fórmula de juros simples.

Para transformar esta taxa para a forma percentual, devemos multiplicar o

resultado por 100%.

Letra B

02. (Petrobras – Auditor Jr – 2010 CESGRANRIO) O Banco WS emprestou a

um de seus clientes a quantia de R$ 12.000,00, a uma taxa de 5% ao mês, no regime de juros simples, para pagamento único no final de 90 dias. De acordo

com as condições do empréstimo, o cliente deverá pagar ao Banco, em reais, o montante total de

a) 12.600,00 b) 12.800,00

c) 13.200,00 d) 13.600,00

e) 13.800,00

Resolução

A questão é muito clara: o regime é de juros simples, o capital é de R$

12.000,00, a taxa é de 5% ao mês e o prazo é de 90 dias (3 meses).





Lembre-se que SEMPRE deve haver conformidade entre as unidades da taxa de juros e do tempo. Como a taxa é mensal, o tempo deve ser trabalhado em

meses.

Vamos calcular o juro simples utilizando a sua fórmula básica.

O montante é a soma do capital inicial com o juro. Portanto:

Letra E

03. (BACEN 2010 CESGRANRIO) Um aplicador vai obter de resgate em um

título o valor de R$ 30.000,00. Sabendo-se que a operação rendeu juros simples de 5% ao mês, por um período de 6 meses, o valor original da

aplicação foi, em reais, de a) 21.066,67

b) 21.500,00

c) 22.222,66 d) 23.076,93

e) 23.599,99

Resolução

Observe que o período de aplicação e taxa de juros já estão em conformidade em termos de unidade.

Sabemos que o montante no regime de capitalização simples é dado por

O montante é igual a R$ 30.000,00, a taxa de juros é de 5% = 0,05 ao mês e o tempo de aplicação é de 6 meses.

Letra D

04. (Técnico de Administração e Controle Júnior – Petrobras

2008/CESGRANRIO) Se o capital for igual a 2/3 do montante e o prazo de aplicação for de 2 anos, qual será a taxa de juros simples considerada?





(A) 1,04% a.m.

(B) 16,67% a.m. (C) 25% a.m.

(D) 16,67% a.a. (E) 25% a.a.

Resolução

Para facilitar nossos cálculos, vamos estipular um valor para o montante. Já

que o capital é 2/3 do montante, então escolherei um montante que seja múltiplo de 3. Vamos considerar que o montante seja de R$ 90,00. Desta

forma:

O capital aplicado é, portanto, de R$ 60,00. Como o juro é a diferença entre o

montante e o capital aplicado, então:

Sabemos, portanto que:

Estamos prontos para aplicar a fórmula de juros simples. Note que como o tempo dado é em anos, a taxa calculada será anual.

Letra E


2008/CESGRANRIO) Calcule o prazo, em meses, de uma aplicação de R$20.000,00 que propiciou juros de R$ 9.240,00 à taxa de juros simples de

26,4% ao ano. (A) 21

(B) 12 (C) 5

(D) 4,41 (E) 1,75

Resolução





A questão pede o prazo em meses. A taxa dada foi de 26,4% ao ano. Para

calcular a taxa mensal, basta dividir a taxa anual por 12. Assim:

O capital aplicado foi de R$ 20.000,00 e os juros auferidos são iguais a R$ 9.240,00. Vamos aplicar a fórmula de juros simples.

Letra A

06. (PETROBRAS 2010/CESGRANRIO) Hugo emprestou certa quantia a Inácio a juros simples, com taxa mensal de 6%. Inácio quitou sua dívida em um

único pagamento feito 4 meses depois. Se os juros pagos por Inácio foram de R$ 156,00, a quantia emprestada por Hugo foi

(A) menor do que R$ 500,00.

(B) maior do que R$ 500,00 e menor do que R$ 1.000,00. (C) maior do que R$ 1.000,00 e menor do que R$ 2.000,00.

(D) maior do que R$ 2.000,00 e menor do que R$ 2.500,00. (E) maior do que R$ 2.500,00.

Resolução

Vamos aplicar diretamente a fórmula dos juros simples.

Letra B

07. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um capital no valor de R$ 12.500,00 é aplicado a juros simples, durante 12 meses, apresentando um montante igual

a R$ 15.000,00. Um outro capital é aplicado, durante 15 meses, a juros simples a uma taxa igual à da aplicação anterior, produzindo juros no total de

R$ 5.250,00. O valor do segundo capital supera o valor do primeiro em a) R$ 10.000,00

b) R$ 8.500,00

c) R$ 7.500,00 d) R$ 6.000,00

e) R$ 5.850,00

Resolução





Primeira aplicação:

Um capital de R$ 12.500,00 gera um montante de R$ 15.000,00, logo o juro do período é de R$ 2.500,00.

Sabemos a relação de juro simples:

Segunda aplicação:

O segundo capital supera o primeiro em 21.000 – 12.500 = 8.500

Letra B

08. (CVM 2003 FCC) Em determinada data, uma pessoa aplica R$ 10.000,00 à

taxa de juros simples de 2% ao mês. Decorridos 2 meses, outra pessoa aplica R$ 8.000,00 à taxa de juros simples de 4% ao mês. No momento em que o

montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa for igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, o total dos juros

correspondente à aplicação da primeira pessoa será de a) R$ 4.400,00

b) R$ 4.000,00 c) R$ 3.600,00

d) R$ 3.200,00 e) R$ 2.800,00

Resolução

Vamos analisar separadamente as duas aplicações.

1ª pessoa





Aplicou R$ 10.000,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês. Lembremos a fórmula do montante:

1 (1 )M C i n

Chamando de M1 o montante da primeira pessoa, ele será dado por:

1

1

10.000 (1 0,02 )

10.000 200

M n

M n

2ª pessoa

Aplicou R$ 8.000,00 à taxa de juros simples de 4% ao mês. O problema é quanto ao tempo de capitalização. A segunda pessoa

começou a aplicar o seu dinheiro 2 meses após a primeira pessoa. Se o tempo de aplicação da primeira pessoa é igual a n, o tempo de

aplicação da segunda pessoa será n-2. Ou seja, nas fórmulas de juros

simples, ao invés de colocarmos n para o tempo, colocaremos n-2.

Assim, chamando de M2 o montante da segunda pessoa, ele será dado por:

“No momento em que o montante referente ao valor aplicado pela primeira

pessoa for igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, o total dos juros correspondente à aplicação da primeira pessoa será

de...” Devemos, portanto, igualar os montantes calculados anteriormente.

2 1M M

Essa ainda não é a resposta do problema. A questão pediu “o total dos juros correspondente à aplicação da primeira pessoa”.





Lembremos que a primeira pessoa aplicou R$ 10.000,00 à taxa de 2% ao mês

durante 22 meses (observe que se estivéssemos calculando o juro correspondente a segunda pessoa, deveríamos utilizar 20 meses!).

Portanto, o juro será 10.000 0,02 22

4.400

J C i n

J

J

Letra A

09. (AFTE-RO 2010 FCC) Dois capitais foram aplicados a uma taxa de juros

simples de 2% ao mês. O primeiro capital ficou aplicado durante o prazo de um ano e o segundo, durante 8 meses. A soma dos dois capitais e a soma dos

correspondentes juros são iguais a R$ 27.000,00 e R$ 5.280,00, respectivamente. O valor do módulo da diferença entre os dois capitais é igual

a

a) R$ 2.000,00 b) R$ 2.500,00

c) R$ 3.000,00 d) R$ 4.000,00

e) R$ 5.000,00

Resolução

Chamemos o primeiro capital de C1 e o segundo capital de C2. Já que a soma

dos dois capitais é igual a R$ 27.000,00, podemos escrever que

1 2 27.000C C

Lembre-se que o juro simples é calculado de acordo com a fórmula

J C i n , em que C é o capital aplicado, i é a taxa de juros e n é o número

de períodos.

Assim, o juro do primeiro capital será 1 1 1 10,02 12 0,24J C J C

E o juro do segundo capital será

2 2 2 20,02 8 0,16J C J C

A segunda equação pode ser escrita da seguinte forma:

1 2 5.280J J

1 20,24 0,16 5.280C C





Para não trabalhar com números decimais (e facilitar um pouco nossas

contas), podemos multiplicar ambos os membros dessa equação por 100.

1 224 16 528.000C C

Acabamos de formar o seguinte sistema linear:

1 2

1 2

27.000

24 16 528.000

C C

C C

Faremos, por exemplo, pelo método da substituição. Basta isolar na primeira

equação o termo C2.

2 127.000C C

Substitui-se essa expressão na segunda equação:

1 124 16 (27.000 ) 528.000C C

1 124 432.000 16 528.000C C

18 528.000 432.000C

18 96.000C

1 12.000C

E como a soma dos dois capitais é igual a 27.000, o segundo capital será:

2 27.000 12.000C

2 15.000C

O valor do módulo da diferença entre os dois capitais é igual a 15.000 – 12.000 = 3.000.

Letra C

10. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Um investidor aplica

um capital a juros simples, durante 10 meses, apresentando montante no valor de R$ 30.000,00 no final do período. Caso este capital tivesse sido

aplicado durante 16 meses a juros simples, e com a mesma taxa de juros anterior, o valor do montante no final deste período teria sido de R$

33.600,00. O valor do capital aplicado pelo investidor é igual a (A) R$ 21.000,00.

(B) R$ 22.500,00. (C) R$ 23.600,00.

(D) R$ 24.000,00. (E) R$ 25.000,00.





Resolução

Sabemos que o montante é a soma do capital com os juros. Logo,

No regime simples, o juro é calculado da seguinte maneira:

Vejamos a primeira aplicação:

1ª aplicação:

Como n = 10 meses,

Lembre-se que em álgebra C significa C vezes 1.

Podemos colocar o C em evidência.

Vamos guardar esta equação.

2ª aplicação:

Como n = 16 meses,

Lembre-se que em álgebra C significa C vezes 1.

Podemos colocar o C em evidência.

Na primeira aplicação, descobrimos que





Podemos igualar as expressões:

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos:

Vamos dividir ambos os membros por 100 para simplificar.

Voltando à equação descrita acima:

Letra D

11. (SEFAZ-RJ 2011/FGV) Um indivíduo deixa de pagar um título no valor de

R$ 2.000,00, atrasando o pagamento em três meses. A taxa de juros, juros simples, é de 35% ao ano. Ao pagar o título, seu valor é

a) R$ 2.250,00. b) R$ 2.325,00.

c) R$ 2.175,00. d) R$ 2.155,00

e) R$ 4.100,00

Resolução

A situação do problema é muito direta: há uma dívida de R$ 2.000,00, que será paga 3 meses após a data de vencimento a uma taxa de 35% ao ano

(juros simples).

Como a taxa é anual, o tempo deve ser dado em anos. Como o ano possui 12 meses, então o tempo será igual a 3/12 = 1/4 de ano.





Vamos calcular o valor do juro simples.

Como o montante é a soma do capital com o juro, então:

O valor da dívida, três meses após o vencimento, será igual a R$ 2.175,00.

Letra C

12. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) O valor a ser pago por um empréstimo de R$

4.500,00, a uma taxa de juros simples de 0,5% ao dia, ao final de 78 dias é de:

a) R$ 6.255,00

b) R$ 5.500,00 c) R$ 6.500,00

d) R$ 4.855,00 e) R$ 4.675,00

Resolução

Temos todas as informações necessárias para o cálculo dos juros simples: o

capital, a taxa e o tempo. Além disso, a taxa e o tempo já conformidade em

relação à unidade.

Lembremos a fórmula de juros simples:

Temos que o capital é igual a R$ 4.500,00, a taxa é igual a

ao dia e o tempo é igual a 78 dias.

O valor a ser pago é o montante (capital + juros).





Letra A

13. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um capital é aplicado durante 120 dias a uma taxa

de juros simples ordinários de 15% ao ano, produzindo um montante de R$ 8.400,00. Nestas condições, o capital aplicado, desprezando os centavos é:

a) R$ 6.500,00

b) R$ 7.850,00 c) R$ 8.017,00

d) R$ 8.820,00 e) R$ 8.000,00

Resolução

As unidades de tempo de referência do período de aplicação e da taxa devem ser iguais, porém a taxa de juros e o período de aplicação não estão expressos

na mesma unidade. Devemos traçar a nossa estratégia: escolher uma unidade comum para a taxa e para o período de capitalização.

Lembre-se que juro ordinário é um sinônimo de juro comercial. Desta forma,

consideramos que cada mês tem 30 dias e o ano possui 360 (12 x 30) dias.

Ora, se o ano comercial possui 360 dias, então os 120 dias do problema

representam:

Agora temos homogeneidade entre as unidades. A taxa de juros é igual a 15% = 0,15 ao ano e o tempo de aplicação é igual a 1/3 do ano. Lembremos a

fórmula do montante simples:

O montante fornecido é igual a R$ 8.400,00.

Desta forma, o capital aplicado é igual a R$ 8.000,00.





Letra E

14. (Vestibular FGV 2002) Um capital aplicado a juros simples, à taxa de 2,5%

ao mês, triplica em: a) 75 meses

b) 80 meses c) 85 meses

d) 90 meses e) 95 meses

Resolução

Dizer que um capital triplica é o mesmo que dizer que o montante final é igual

ao triplo do capital inicial.

Lembrando que o montante é a soma do juro com o capital:

Vamos substituir na expressão acima a fórmula de juros simples.

A taxa fornecida pelo enunciado é igual a 2,5% ao mês.

Como efetuar esta divisão? Ora, o denominador possui 3 casas decimais.

Vamos então igualar a quantidade de casas decimais e, em seguida, apagar as

vírgulas.

Letra B





15. (SEFAZ-RJ 2011/FGV) O número de anos para que um capital quadruplique de valor, a uma taxa de 5% ao mês, juros simples, é de

a) 7,50

b) 3,80 c) 4,50

d) 5,00 e) 6,00

Resolução

Dizer que um capital quadruplica é o mesmo que dizer que o montante final é igual ao quádruplo do capital inicial.

Lembrando que o montante é a soma do juro com o capital:

Vamos substituir na expressão acima a fórmula de juros simples.

A taxa fornecida pelo enunciado é igual a 5% ao mês.

Como efetuar esta divisão? Ora, o denominador possui 2 casas decimais.

Vamos então igualar a quantidade de casas decimais e, em seguida, apagar as vírgulas.





Letra D

16. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) A taxa de juros simples de 0,05% ao dia equivale à

taxa semestral de: a) 15,00%

b) 1,50% c) 18,00%

d) 9,00% e) 12,00%

Resolução

No regime de capitalização simples as taxas proporcionais são

equivalentes.

Duas taxas são proporcionais quando a razão entre elas é igual à razão entre os respectivos períodos expressos na mesma unidade de tempo.

Simbolicamente, dizemos que a taxa referente ao período é proporcional à

taxa referente ao período se

Queremos comparar a taxa diária com a taxa semestral. Lembre-se que um semestre é a metade de um ano. Como o ano comercial tem 360 dias, um

semestre tem 180 dias.

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Poderíamos ter resolvido utilizando o raciocínio seguinte: como um semestre

tem 180 dias, então a taxa semestral será igual a taxa diária multiplicada por 180.

Letra D





17. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) Um montante inicial foi aplicado a uma taxa de juros simples de 5% ao mês durante 2 meses e depois reaplicado a uma taxa de

juros simples de 10% ao mês durante 2 meses, resultando em R$ 13.200,00. O valor do montante inicial era de:

a) R$ 18.500,00

b) R$ 13.000,00 c) R$ 12.330,00

d) R$ 11.000,00 e) R$ 10.000,00

Resolução

Têm-se duas aplicações a juros simples sucessivas. Digamos que o capital inicial aplicado seja igual a C. Desta forma, aplicando C reais durante 2 meses

a uma taxa de 5% ao mês, o montante será igual a:

Este montante M1 será o capital de uma nova aplicação. Aplicaremos M1 reais durante dois meses a uma taxa de 10% ao mês. O novo montante será igual

a:

O montante final é igual a R$ 13.200,00. Portanto:

O capital inicial é de R$ 10.000,00.

Letra E





18. (Vestibular FGV 2001) Um vidro de perfume é vendido à vista por R$48,00

ou a prazo, em dois pagamentos de R$25,00 cada um, o primeiro no ato da compra e o outro um mês depois. A taxa mensal de juros do financiamento é

aproximadamente igual a: A) 6,7%

B) 7,7% C) 8,7%

D) 9,7% E) 10,7%

Resolução

O valor à vista é de R$ 48,00. Se o indivíduo dá uma entrada de R$ 25,00,

então ficou devendo R$ 23,00. Mas o pagamento feito um mês depois foi de

R$ 25,00. Assim, o juro cobrado foi de R$ 2,00. Observe que a taxa de juros só incide no valor devido e não sobre o valor já pago.

Letra C

19. (BESC 2004/FGV) Um artigo é vendido, à vista, por R$ 150,00 ou em dois pagamentos de R$ 80,00 cada um: o primeiro, no ato da compra e o segundo,

um mês após a compra. Os que optam pelo pagamento parcelado pagam juros mensais de taxa aproximadamente igual a:

a) 14,29% b) 13,33%

c) 9,86% d) 7,14%

e) 6,67%

Resolução


então ficou devendo R$ 70,00. Mas o pagamento feito um mês depois foi de R$ 80,00. Assim, o juro cobrado foi de R$ 10,00.





Letra A

20. (SEFAZ-MS 2006/FGV) Um artigo custa, à vista, R$ 200,00 e pode ser comprado a prazo com uma entrada de R$ 100,00 e um pagamento de R$

120,00 um mês após a compra. Os que compram a prazo pagam juros mensais de taxa:

a) 5% b) 10%

c) 20% d) 25%

e) 30%

Resolução


então ficou devendo R$ 100,00. Mas o pagamento feito um mês depois foi de R$ 120,00. Assim, o juro cobrado foi de R$ 20,00.

Letra C

21. (Auditor da Receita Estadual/AP 2010/FGV) Em certa loja, um artigo pode ser comprado por R$ 172,00 à vista ou em duas prestações de R$ 92,00, uma

no ato da compra e outra 30 dias depois. A taxa de juros (embutida) que a loja está cobrando nesta operação é de:

(A) 15% (B) 13%

(C) 11% (D) 9%

(E) 7%

Resolução

O artigo custa R$ 172,00. Como o indivíduo deu uma entrada de R$ 92,00,

então ele ficou devendo .

Simplificando a conversa: Há uma dívida de 80 reais (capital inicial) a ser paga

em 30 dias (1 mês). O valor pago em um mês foi de R$ 92,00. Portanto, o cliente pagou R$ 12,00 de juros em um mês.





Vamos aplicar a fórmula de juros simples.

Letra A

Um abraço e até a próxima aula.

Guilherme Neves





Relação das questões comentadas

01. (Analista – Contabilidade – FINEP 2011/CESGRANRIO) Uma aplicação de R$ 23.390,00 resultou, em quatro meses, no montante de R$ 26.383,92. A

taxa mensal de juros simples que permitiu esse resultado foi (A) 4,14%

(B) 3,20% (C) 3,18%

(D) 3,10% (E) 2,88%

02. (Petrobras – Auditor Jr – 2010 CESGRANRIO) O Banco WS emprestou a

um de seus clientes a quantia de R$ 12.000,00, a uma taxa de 5% ao mês, no regime de juros simples, para pagamento único no final de 90 dias. De acordo

com as condições do empréstimo, o cliente deverá pagar ao Banco, em reais, o

montante total de a) 12.600,00

b) 12.800,00 c) 13.200,00

d) 13.600,00 e) 13.800,00

03. (BACEN 2010 CESGRANRIO) Um aplicador vai obter de resgate em um

título o valor de R$ 30.000,00. Sabendo-se que a operação rendeu juros simples de 5% ao mês, por um período de 6 meses, o valor original da

aplicação foi, em reais, de a) 21.066,67

b) 21.500,00 c) 22.222,66

d) 23.076,93

e) 23.599,99

04. (Técnico de Administração e Controle Júnior – Petrobras 2008/CESGRANRIO) Se o capital for igual a 2/3 do montante e o prazo de

aplicação for de 2 anos, qual será a taxa de juros simples considerada? (A) 1,04% a.m.

(B) 16,67% a.m. (C) 25% a.m.

(D) 16,67% a.a. (E) 25% a.a.


2008/CESGRANRIO) Calcule o prazo, em meses, de uma aplicação de R$20.000,00 que propiciou juros de R$ 9.240,00 à taxa de juros simples de

26,4% ao ano.

(A) 21 (B) 12

(C) 5





(D) 4,41

(E) 1,75

06. (PETROBRAS 2010/CESGRANRIO) Hugo emprestou certa quantia a Inácio a juros simples, com taxa mensal de 6%. Inácio quitou sua dívida em um

único pagamento feito 4 meses depois. Se os juros pagos por Inácio foram de R$ 156,00, a quantia emprestada por Hugo foi

(A) menor do que R$ 500,00. (B) maior do que R$ 500,00 e menor do que R$ 1.000,00.

(C) maior do que R$ 1.000,00 e menor do que R$ 2.000,00. (D) maior do que R$ 2.000,00 e menor do que R$ 2.500,00.

(E) maior do que R$ 2.500,00.

07. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um capital no valor de R$ 12.500,00 é

aplicado a juros simples, durante 12 meses, apresentando um montante igual a R$ 15.000,00. Um outro capital é aplicado, durante 15 meses, a juros

simples a uma taxa igual à da aplicação anterior, produzindo juros no total de R$ 5.250,00. O valor do segundo capital supera o valor do primeiro em

a) R$ 10.000,00 b) R$ 8.500,00

c) R$ 7.500,00 d) R$ 6.000,00

e) R$ 5.850,00

08. (CVM 2003 FCC) Em determinada data, uma pessoa aplica R$ 10.000,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês. Decorridos 2 meses, outra pessoa aplica

R$ 8.000,00 à taxa de juros simples de 4% ao mês. No momento em que o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa for igual ao

montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, o total dos juros

correspondente à aplicação da primeira pessoa será de a) R$ 4.400,00

b) R$ 4.000,00 c) R$ 3.600,00

d) R$ 3.200,00 e) R$ 2.800,00

09. (AFTE-RO 2010 FCC) Dois capitais foram aplicados a uma taxa de juros

simples de 2% ao mês. O primeiro capital ficou aplicado durante o prazo de um ano e o segundo, durante 8 meses. A soma dos dois capitais e a soma dos

correspondentes juros são iguais a R$ 27.000,00 e R$ 5.280,00, respectivamente. O valor do módulo da diferença entre os dois capitais é igual

a

a) R$ 2.000,00

b) R$ 2.500,00 c) R$ 3.000,00

d) R$ 4.000,00 e) R$ 5.000,00





10. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Um investidor aplica um capital a juros simples, durante 10 meses, apresentando montante no

valor de R$ 30.000,00 no final do período. Caso este capital tivesse sido aplicado durante 16 meses a juros simples, e com a mesma taxa de juros

anterior, o valor do montante no final deste período teria sido de R$ 33.600,00. O valor do capital aplicado pelo investidor é igual a

(A) R$ 21.000,00. (B) R$ 22.500,00.

(C) R$ 23.600,00. (D) R$ 24.000,00.

(E) R$ 25.000,00.

11. (SEFAZ-RJ 2011/FGV) Um indivíduo deixa de pagar um título no valor de

R$ 2.000,00, atrasando o pagamento em três meses. A taxa de juros, juros

simples, é de 35% ao ano. Ao pagar o título, seu valor é

a) R$ 2.250,00. b) R$ 2.325,00.

c) R$ 2.175,00. d) R$ 2.155,00

e) R$ 4.100,00

12. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) O valor a ser pago por um empréstimo de R$ 4.500,00, a uma taxa de juros simples de 0,5% ao dia, ao final de 78 dias é

de:

a) R$ 6.255,00 b) R$ 5.500,00

c) R$ 6.500,00

d) R$ 4.855,00 e) R$ 4.675,00

13. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um capital é aplicado durante 120 dias a uma taxa

de juros simples ordinários de 15% ao ano, produzindo um montante de R$ 8.400,00. Nestas condições, o capital aplicado, desprezando os centavos é:

a) R$ 6.500,00 b) R$ 7.850,00

c) R$ 8.017,00 d) R$ 8.820,00

e) R$ 8.000,00

14. (Vestibular FGV 2002) Um capital aplicado a juros simples, à taxa de 2,5% ao mês, triplica em:

a) 75 meses b) 80 meses

c) 85 meses





d) 90 meses

e) 95 meses

15. (SEFAZ-RJ 2011/FGV) O número de anos para que um capital quadruplique de valor, a uma taxa de 5% ao mês, juros simples, é de

a) 7,50

b) 3,80 c) 4,50

d) 5,00 e) 6,00

16. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) A taxa de juros simples de 0,05% ao dia equivale à

taxa semestral de:

a) 15,00% b) 1,50%

c) 18,00% d) 9,00%

e) 12,00%

17. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) Um montante inicial foi aplicado a uma taxa de juros simples de 5% ao mês durante 2 meses e depois reaplicado a uma taxa de

juros simples de 10% ao mês durante 2 meses, resultando em R$ 13.200,00. O valor do montante inicial era de:

a) R$ 18.500,00

b) R$ 13.000,00 c) R$ 12.330,00

d) R$ 11.000,00

e) R$ 10.000,00

18. (Vestibular FGV 2001) Um vidro de perfume é vendido à vista por R$48,00 ou a prazo, em dois pagamentos de R$25,00 cada um, o primeiro no ato da

compra e o outro um mês depois. A taxa mensal de juros do financiamento é aproximadamente igual a:

A) 6,7% B) 7,7%

C) 8,7% D) 9,7%

E) 10,7%

19. (BESC 2004/FGV) Um artigo é vendido, à vista, por R$ 150,00 ou em dois pagamentos de R$ 80,00 cada um: o primeiro, no ato da compra e o segundo,

um mês após a compra. Os que optam pelo pagamento parcelado pagam juros

mensais de taxa aproximadamente igual a: a) 14,29%

b) 13,33% c) 9,86%





d) 7,14%

e) 6,67%

20. (SEFAZ-MS 2006/FGV) Um artigo custa, à vista, R$ 200,00 e pode ser comprado a prazo com uma entrada de R$ 100,00 e um pagamento de R$

120,00 um mês após a compra. Os que compram a prazo pagam juros mensais de taxa:

a) 5% b) 10%

c) 20% d) 25%

e) 30%

21. (Auditor da Receita Estadual/AP 2010/FGV) Em certa loja, um artigo pode

ser comprado por R$ 172,00 à vista ou em duas prestações de R$ 92,00, uma no ato da compra e outra 30 dias depois. A taxa de juros (embutida) que a loja

está cobrando nesta operação é de: (A) 15%

(B) 13% (C) 11%

(D) 9% (E) 7%





Gabaritos

01. B

02. E

03. D

04. E

05. A

06. B

07. B

08. A

09. C

10. D

11. C

12. A

13. E

14. B

15. D

16. D

17. E

18. C

19. A

20. C

21. A

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