1201

Módulo 5

Atividades Adicionais Matemática

1. (FGV) O sistema

2x + 3y < 125x + 2y < 15x > 0 e y > 0

tem como solução gráfica a seguinte região hachurada:

a)

b)

c)

d)

e)

2. (FUVEST) O conjunto dos pontos (x; y) do plano car-tesiano, cujas coordenadas satisfazem a equação (x2 + y2 + 1)(2x + 3y – 1)(3x – 2y + 3) = 0, pode ser re-presentado, graficamente, por:a)

b)

c)

d)

e)

3. (FAAP)a) Representar no sistema cartesiano ortogonal Oxy

a região dos pontos P = (x; y), definida pelas condi-ções simultâneas:

x2 + y2< 64x + y > 4x > 0 e y > 0

b) Calcular a área da região representada.

2201

4. (VUNESP) Esboce um gráfico e indique por meio de hachuras o conjunto dos pontos P(x; y) ∈ R2 que sa-tisfazem o seguinte sistema de desigualdades:

0 < xy < 1x2 + y2 < 2

5. (FEI) Assinale a alternativa cujo gráfico seja a repre-sentação do conjunto de restrições:

123

x < 2yy < 3xx < 15

a)

d)

b)

e)

c)

6. Uma fábrica de brinquedos produz dois tipos de ca-minhões de brinquedo: um modelo básico e um mo-delo de luxo. Na fabricação de cada modelo básico empregam-se duas horas para montá-lo e mais duas horas para o acabamento, ao passo que para montar cada modelo de luxo se gastam duas horas e mais quatro horas para o acabamento. A companhia tem 2 máquinas para montar e 3 para acabamento, cada uma das quais trabalha 40 horas por semana. Obtêm-se lucros de 3 e 4 reais na venda de cada modelo básico e de luxo, respectivamente. Supondo que se vendam todos os caminhões fabricados, quantos caminhões de cada modelo se devem fabricar para maximizar os lucros?a) 20 de cada modelo.b) 40 do modelo básico e nenhum de luxo.c) 30 do modelo básico e 10 de luxo.d) 10 do modelo básico e 30 de luxo.e) 40 do modelo de luxo e nenhum básico.

7. Usando as informações dadas no problema anterior, suponha que o lucro sobre cada modelo básico seja R$ 4,00 e que o lucro sobre cada modelo de luxo seja

R$ 4,00. Quantos de cada um se deve fabricar para maximizar os lucros?

a) 20 de cada modelo.b) 40 do modelo básico e nenhum de luxo.c) 30 do modelo básico e 10 de luxo.d) 10 do modelo básico e 30 de luxo.e) Todas as alternativas anteriores estão corretas.

8. Um quilograma de fígado contém 0,1 unidade de pro-teína e 0,04 unidades de ferro. Um quilograma de car-ne contém 0,3 unidades de proteína e 0,016 unidades de ferro. Ambos custam R$ 1,00 por quilograma. Um estudante precisa consumir diariamente, no mínimo, 0,5 unidades de proteína e 0,048 unidades de ferro. Determine a quantidade de fígado e de carne que um estudante deve consumir por dia para satisfazer as suas necessidades mínimas de proteína e ferro, de modo que o custo total seja o menor possível.

9. O senhor Barn tem uma granja de 100 acres e quer plantar duas culturas, A e B, cujos gastos com semen-tes e outros somam, respectivamente, R$ 10,00 por acre e R$ 40,00 por acre. O lucro esperado da cultura A é de R$ 40,00 por acre, e de R$ 120,00 por acre para a cultura B. Na cultura A emprega-se o trabalho de 2 dias-homem por acre, e na cultura B emprega-se o trabalho de 3 dias-homem por acre. Se o senhor Barn dispõe de um capital de R$ 1.100,00 e de 160 dias--homem de trabalho para investir em sua granja, quantos acres de cada cultura deve plantar para asse-gurar um lucro máximo? Que quantidade de terra deve permanecer ociosa para maximizar seu lucro?

10. (CESGRANRIO) Se an = n!(n2 – 1)(n + 1)!

, então a1984 é

igual a:

a) 11 985

b) 1 984c) 1 983

d) 1 9851 9842 – 1

e) 1 9842 – 11 984

11. (PUC-RS) Se (n – 1)!(n + 1)! – n!

= 181

, então n é igual a:

a) 13b) 11c) 9d) 8e) 6

3201

12. (ITA) É falsa ou verdadeira a afirmação:

“Se mp

⎛⎜⎝ ⎛

⎜⎝

=

mp – 1

⎛⎜⎝ ⎛

⎜⎝

, então m é necessariamente ímpar”?

13. (FUVEST) Lembrando que np

⎛⎜⎝ ⎛

⎜⎝

=

n!p!(n – p)!

:

a) calcule 64

⎛⎜⎝ ⎛

⎜⎝

.

b) simplifique a fração

124

⎛⎜⎝ ⎛

⎜⎝

125

⎛⎜⎝ ⎛

⎜⎝

.

c) determine os inteiros n e p de modo que:

np

⎛⎜⎝ ⎛

⎜⎝

1

=

np + 1

⎛⎜⎝ ⎛

⎜⎝

2 =

np + 2

⎛⎜⎝ ⎛

⎜⎝

3

14. (ITA) A condição para que nk

⎛⎜⎝ ⎛

⎜⎝

seja o dobro de

nk – 1

⎛⎜⎝ ⎛

⎜⎝

é que:

a) n + 1 seja múltiplo de 3.b) n seja divisível por 3.c) n – 1 seja par.d) n = 2k.e) n.d.a.

15. (COVEST-PE) Determine o termo independente de x

no desenvolvimento de 2x2 – 1x3

⎛⎜⎝ ⎛

⎜⎝5

.

16. (MACK) Determinar r de modo que o quinto termo

do desenvolvimento xn + 1xn

⎛⎜⎝ ⎛

⎜⎝r

seja independente

de x, sabendo-se que n e r são inteiros positivos.

17. (MAUÁ) Determinar o valor de b – a, sabendo-se que (3 – 1)5 = a3 – b e que a e b são racionais.

18. (SANTA CASA) O 3o e o 4o termos do desenvolvi-

mento do binômio ⎛⎜⎝

x – 23

+ 1x ⎛

⎜⎝5

são iguais. O maior

valor real de x que satisfaz a condição dada é:

a) –3b) –1

c) 13

d) 1e) 3

19. (ITA) No desenvolvimento de (1 + 3x)m, a razão en-tre os coeficientes dos termos do terceiro e primeiro graus em x é 6(m – 1). O valor de m é:

a) 3 d) 8b) 4 e) 10c) 6

20. (FGV) Se a bc d

= 0, então o valor do determinante

a b 00 d 1c 0 2

é:

a) 0b) bcc) 2 bcd) 3 bce) b2c2

21. (MACK) Seja a matriz

A = a – bb – cc – a

d – ee – ff – d

g – hh – ii – g

,

cujos elementos são quaisquer números reais. Nessas condições, det A vale sempre:

a) a + d + gb) b + e + hc) zerod) c + f + ie) a + b + c

22. (PUC-C) O determinante da matriz

M =

a b c d

b k k2 k3

c k2 k3 k4

d k3 k4 k5

é:

a) nulo.b) 1.c) k.d) k5.e) Todas as respostas anteriores estão erradas.

23. (VUNESP) Se o determinante de uma matriz quadrada A, de ordem 3, é 5, então o determinante da matriz 4 A é igual a:

a) 320b) 100c) 60d) 15e) 5

4201

24. (VUNESP) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso médio p(x), em quilograma, era dado pelo determinante da matriz A, onde

A = 1 –1 1

3 0 –x

0 223

Com base na fórmula p(x) = det A, determine:

a) o peso médio de uma criança de 5 anos.b) a idade mais provável de uma criança cujo peso é

30 kg.

25. (UNICAMP) Seja a um número real e seja:

p(x) = det

3 – x –1 2

0 a – x –1

0 4 1 – x

a) Para a = 1, encontre todas as raízes da equação p(x) = 0.

b) Encontre os valores de a para os quais a equação p(x) = 0 tem uma única raiz real.

26. (MACK) O sistema

123

2x + 3y + 4z = 03x + 2y = 4ax + by + z = –1

apresenta

uma única solução.

Então temos, obrigatoriamente:

a) ab ≠ 0 d) 12b – 8a ≠ 5b) a + b ≠ 0 e) ab = 0c) 12a – 8b ≠ 5

27. (VUNESP) O sistema

123

ax + by = cdx + ey = f

com a, b, c, d, e, f

racionais e a bd e

≠ 0 é tal que:

a) não pode ter solução (x0; y0), onde x0, y0 são inteiros.b) tem solução (x0; y0), onde x0, y0 são racionais.c) pode ter solução (x0; y0), onde x0 ou y0 é irracional.d) não pode ter (0; 0) como solução.e) pode ter uma infinidade de soluções.

28. (ITA) Considere o sistema:

(P)

14243

x + z + w = 0x + ky + k2w = 1x + (k + 1)z + w = 1x + z + kw = 2

Podemos afirmar que (P) é possível e determinado quando:

a) k ≠ 0b) k ≠ 1c) k ≠ –1d) k ≠ 0 e k ≠ –1e) n.d.a.

29. (UFPE) O sistema linear a seguir admite pelo menos duas soluções distintas. Qual o valor de m?

123

–5x – 4y + mz = –9x + 2y – 3z = 5–x + y + 2z = 3

30. (UFAM) Determine o valor de k de modo que o sis-tema a seguir seja possível e indeterminado.

123

2x + 3y – z = 1x + y + kz = 23x + 4y + 2z = k

31. (FUVEST) Considere o sistema:

123

x – my = 1 – m(1 + m)x + y = 1

a) Prove que o sistema admite solução única para cada número real m.

b) Determine m para que o valor de x seja o maior possível.

32. (FUVEST) Considere o sistema linear nas incógnitas x, y, z, w:

14243

2x + my = –2x + y = –1y + (m – 1)z + 2w = 2z – w = 1

a) Para que valores de m o sistema tem uma única solução?

b) Para que valores de m o sistema não tem solução?c) Para m = 2, calcule o valor de 2x + y – z – 2w.

33. (FUVEST) O determinante da inversa da matriz

1 0 1

–1 –2 015

4 3

⎛⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎛

⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝

é:

a) – 525

d) 552

b) – 485

e) 548

c) – 548

5201

34. (ITA) Sejam m e n números reais com m ≠ n e as matrizes:

A = 2 13 5

⎛⎜⎝ ⎛

⎜⎝

, B = –1 1 0 1

⎛⎜⎝ ⎛

⎜⎝

Para que a matriz mA + nB seja não inversível é ne-cessário que:

a) m e n sejam positivos.b) m e n sejam negativos.c) m e n tenham sinais contrários.d) n2 = 7 m2.e) n.d.a.

35. (ITA) Dizemos que duas matrizes n × n, A e B, são semelhantes se existe uma matriz n × n inversível, P, tal que B = P–1AP. Se A e B são matrizes semelhantes quaisquer, então:

a) B é sempre inversível.b) se A é simétrica, então B também é simétrica.c) B2 é semelhante a A.d) se C é semelhante a A, então BC é semelhante a A2.e) det(λI – B) = det(λI – A), onde λ é um real qualquer.

36. (FUVEST) Uma caixa automática de banco só traba-lha com notas de 5 e 10 cruzados novos. Um usuário deseja fazer um saque de NCz$ 100,00. De quantas maneiras diferentes a caixa eletrônica poderá fazer esse pagamento?

a) 5b) 6c) 11d) 15e) 20

37. (FGV) Entre as cidades A e B, há 6 estradas e, entre B e a cidade C, há 4. Não há estrada ligando diretamente A e C. De quantas maneiras pode-se ir e voltar de A e C, sem usar uma mesma estrada mais de uma vez?

a) 552b) 360c) 18d) 80e) 20

38. (MACK) Os números dos telefones de uma cidade são constituídos de 6 dígitos. Sabendo que o pri-meiro dígito nunca pode ser zero, se os números dos telefones passarem a ser de 7 dígitos, o aumento possível na quantidade de telefones será:

a) 81 ⋅ 103

b) 90 ⋅ 103

c) 81 ⋅ 104

d) 81 ⋅ 105

e) 90 ⋅ 105

39. (FUVEST) Quantos são os números inteiros positi-vos de 5 algarismos que não tem algarismos adja-centes iguais?

a) 59

b) 9 ⋅ 84

c) 8 ⋅ 94

d) 85

e) 95

40. (FATEC) Um desenhista recebeu uma encomenda para criar uma bandeira para um clube, com me-didas determinadas e verificando as seguintes con-dições:

•abandeiradevetercincofaixasdemesmalargura;•cadaumadasfaixasdeveserpintadacomumasó

das cores azul, vermelho ou branco;•nãodevehaverduasfaixasvizinhaspintadascom

uma mesma cor;•astrêscoresdevemaparecernabandeira.

O número de bandeiras distintas que podem ser fei-tas, nessas condições, é:

a) 16b) 24c) 48d) 42e) 96

41. (FGV) Um edifício possui cinco portas de entrada. De quantas maneiras diferentes estas portas po-dem ser abertas?

a) 5b) 10c) 31d) 21e) n.d.a.

42. (FGV) Um inspetor visita seis máquinas diferentes durante o dia. A fim de evitar que os operários sai-bam quando ele os irá inspecionar, o inspetor varia a ordem de suas visitas. Essas visitas poderão ser feitas em:

a) 6 diferentes ordensb) 12 diferentes ordensc) 36 diferentes ordensd) 365 diferentes ordense) 720 diferentes ordens

43. (FCC) Quanto aos anagramas da palavra ENIGMA, sejam as afirmações: I. O número total deles é 720. II. O número dos que terminam com a letra A é 25. III. O número dos que começam com EN é 24.

6201

Então, apenas:

a) a afirmação I é verdadeira.b) a afirmação II é verdadeira.c) a afirmação III é verdadeira.d) as afirmações I e II são verdadeiras.e) as afirmações I e III são verdadeiras.

44. (PUC) O novo sistema de placas de veiculos utiliza um grupo de 3 letras (dentre 26 letras) e um grupo de 4 algarismos (por exemplo: ABC – 1023). Uma placa dessas será “palíndroma” se os dois grupos que a constituem forem “palindromos”. O grupo ABA é “palíndromo” pois as leituras da esquerda para direita e da direita para a esquerda são iguais; da mesma forma, o grupo 1331 é “palindromo”.Quantas placas “palindromas” distintas, poderão ser construidas?

45. (PUC) Um casal e seus três filhos devem sentar-se lado a lado para serem fotografados. Se o casal não quer ser separado, de quantos modos distintos pode o fotógrafo acomodar a família para tirar uma foto?

a) 12 d) 48b) 24 e) 96c) 36

46. (IME) Ligando as cidades A e B existem duas estra-das principais.

Dez estradas secundárias de mão dupla ligam as duas estradas principais como mostra a figura. Quantos caminhos, sem autointerseções, existem de A até B?

Obs: Caminho sem autointerseções é um caminho que não passa por um ponto duas ou mais vezes.

47. (FUVEST) A figura a seguir representa parte do mapa de uma cidade onde estão assinalados as casas de João (A) e de Maria (B), a escola (C) e um possível caminho que João percorre para, passando pela casa de Maria, chegar à escola.

Qual o número total de caminhos distintos que João poderá percorrer, caminhando somente para norte ou leste, para ir de sua casa à escola, passando pela casa de Maria?

48. (VUNESP) No código Morse, usado em telegrafia, as letras e os algarismos são representados por sequên-cias cujos termos podem ser traços ou pontos, permi-tindo-se repetições: A = . – , B = – . . . , C = . . . – – –, etc. Usando-se sequências de no mínimo 2 e no máximo 5 termos, podem-se representar as 26 letras do alfa-beto e os 10 algarismos? Justifique.

49. (FGV) Suponha que uma senha (password) utilizada numa rede de computadores seja constituída de 5 le-tras, escolhidas entre as 26 do alfabeto latino, sendo permitida a repetição de letras.

a) Quantas senhas diferentes podem ser construídas?b) Quantas senhas podem ser construídas com pelo

menos duas letras repetidas?Obs.: Não é necessário efetuar os cálculos, basta deixá-los indicados.

50. (FUVEST) Considere os números obtidos do número 12 345 efetuando-se todas as permutações de seus algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, qual o lugar ocupado pelo número 43 521?

51. (UFRGS) A figura abaixo representa um cubo de centro O.

E

G

O

D

F

A

H

C

B

Considere as seguintes afirmações. I. O ponto O pertence ao plano BDE. II. O ponto O pertence ao plano ACG. III. Qualquer plano contendo os pontos O e E tam-

bém contém C.Quais estão corretas?a) Apenas I.b) Apenas II.c) Apenas I e II.d) Apenas I e III.e) Apenas II e III.

7201

59. (FUVEST) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6 cm são leva-dos juntos à fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo reto de arestas 8 cm, 8 cm e x cm. O valor de x é:

a) 16b) 17c) 18d) 19e) 20

60. (FUVEST) A uma caixa-d‘água de forma cúbica com 1 metro de lado está aclopado um cano cilíndrico com 4 cm de diâmetro e 50 m de comprimento. Num certo instante, a caixa está cheia de água e o cano vazio. Solta-se água pelo cano até que fique cheio. Qual o valor aproximado da altura da água na caixa no instante em que o cano ficou cheio?

a) 90 cmb) 92 cmc) 94 cmd) 96 cme) 98 cm

61. (FUVEST) Em um bloco retangular (isto é, paralele-

pípedo reto-retângulo) de volume 278

, as medidas

das arestas concorrentes em um mesmo vértice estão em progressão geométrica. Se a medida da aresta maior é 2, a medida da aresta menor é:

a) 78

b) 88

c) 98

d) 108

e) 118

62. (ITA) Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altura mede 3 cm e que sua área lateral é o dobro da área de sua base. O volume desse prisma, em cm3, é:

a) 273b) 132c) 12d) 543e) 175

52. (MACK) Considere as afirmações: I. Três retas paralelas distintas podem determinar

1 ou 3 planos. II. Duas retas, s e t, distintas são paralelas a um plano

α; então elas podem ser reversas. III. Se uma reta é perpendicular a uma reta paralela a

um plano, então ela é perpendicular ao plano.Então:a) todas são verdadeiras.b) todas são falsas.c) somente I e II são verdadeiras.d) somente I e III são verdadeiras.e) somente II e III são verdadeiras.

53. (FUVEST) Dados um plano α e uma reta r, podemos afirmar que:a) existe um plano β que contém r e é perpendi-

cular a α.b) existe um único plano β que contém r e é per-

pendicular a α.c) existe um plano β que contém r e é paralelo a α.d) existe um único plano β que contém r e é para-

lelo a α.e) qualquer plano β que contém r intercepta o

plano α.

54. (FUVEST) Sejam r e s duas retas distintas. Podemos afirmar que sempre:a) existe uma reta perpendicular a r e a s;b) r e s determinam um único plano;c) existe um plano que contém s e não intercepta r;d) existe uma reta que é paralela a r e a s;e) existe um plano que contém r e um único ponto de s.

55. (FUVEST) Uma reta r não é paralela e nem pertence a um plano α. Provar que existe uma reta s em α que é perpendicular a r.

56. (FUVEST) São dados: um plano α, uma reta r contida em α e uma reta s perpendicular a r, mas não a α. Demonstrar que a projeção ortogonal de s sobre α é perpendicular a r.

57. (VUNESP) No espaço tridimensional consideram-se duas retas r e s e os conjuntos A, de todos os planos por r; B, de todos os planos por s. Descrever o con-junto A ∩ B, nos seguintes casos:a) r e s são paralelas.b) r e s são reversas.

58. (FUVEST) Seja r uma reta do espaço e P um ponto fora dela. Demonstre que os pés das perpendicula-res, tiradas de P a cada um dos planos que passam por r, estão situados em um mesmo plano.

8201

63. (FUVEST) No papalelepípedo reto-retângulo mos-trado na figura, AB = 2 cm e AD = AE = 1 cm. Seja X um ponto de A—B e x a medida de A—X.

a) Para que valor de x, CX = XH?b) Para que valor de x, CX̂H é reto?

64. (FUVEST) Considere um cubo ABCDEFGH de lado 1 unidade de comprimento, como na figura.

M e N são os pontos médios de A—B e C—D, respectiva-mente. Para cada ponto P da reta AE, seja Q o ponto de intersecção das retas PM e BF.

a) Prove que o ΔPQN é isósceles.b) A que distância do ponto A deve estar o ponto P

para que o ΔPQN seja retângulo?

65. (UFRJ) Uma barra de sabão ABCDEFGH, com a forma de um paralelepípedo retângular, foi cortada pelo plano que contém os pontos C, D, F e G, como é mostrado na figura 1. O sólido ABCDEFG obtido foi cortado, mais uma vez, pelo plano que contém os pontos M, N, P e Q que são, respectivamente, os pontos médios das arestas A—D, B—C, C—G e D—F, como ilustrado na figura 2.

Calcule a razão entre o volume do sólido CDMNPQ resultante desse segundo corte (ilustrado na figura 3) e o volume da barra de sabão original.

66. (FUVEST) Um bloco retangular (isto é, um paralele-pípedo reto-retângulo) de base quadrada, de lado

4 cm e altura 203 cm, com 2

3 de seu volume cheio

de água, está inclinado sobre uma das arestas da base, formando um ângulo de 30° com o solo (ver seção lateral abaixo).

Determine a altura h do nível da água em relação ao solo.

67. Sendo A(x) = 3x2 – 5 + 7x,B(x) = 2x3 – 1,C(x) = 7x2 – 5x + 1 – 6x2 + 2x eD(x) = 3x3 + 7x2 – 5x,

calcule e diga qual é o grau dos polinômios a seguir:

a) A(x) + B(x)b) B(x) – C(x)c) B(x)(A(x) + C(x))d) (B(x))2 – 4A(x)C(x)e) xB(x) – 2x2C(x) + x – 6x3 + 2x2

68. (UFBA) Sendo P(x) = (m –1)x3 + x2 + x – 1 um polinô-mio de grau 2 e Q(x) = kx3 + x2 + 2x + 2 um polinô-mio que tem –1 como raiz, verifique se cada senten-ça a seguir é verdadeira ou falsa.(01) km = 1.(02) P(x) ⋅ Q(x) é polinômio de grau 6.(04) P(x) tem duas raízes reais.(08) x ⋅ P(x) – Q(x) = 2 + 3x.(16) O quociente da divisão de Q(x) por x + 1 é x2 + 2.(32) O resto da divisão de Q(x) por P(x) é 3x + 2.Dê como resposta a soma dos números correspon-dentes às sentenças verdadeiras.

69. (FUVEST) O grau dos polinômios f, g e h é 3. O nú-mero natural n pode ser o grau do polinômio não nulo f ⋅ (g + h) se, e somente se:

a) n = 6 d) 3 < n < 9b) n = 9 e) 3 < n < 6c) 0 < n < 6

9201

70. (UFF) O resto da divisão de x3 + 2x2 + a por x2 + 1 é um polinômio cujo termo independente é 8. Deter-mine o valor do número real a.

71. (FGV) Seja Q(x) o quociente da divisão do polinômio P(x) = x6 – 1 pelo polinômio d(x) = x – 1. Então:

a) Q(0) = 0b) Q(0) 0c) Q(1) = 0d) Q(–1) = 1e) Q(1) = 6

72. (UFPI) Se o polinômio x5 – 2x4 + ax3 + bx2 – 2x + 1 for divisível por x2 – 2x + 1, qual o valor de a + b?

a) 2 d) –2b) 3 e) –1c) 4

73. (FUVEST) Considere um polinômio não nulo P(x) tal que [P(x)]3 = x2 ⋅ [P(x)] = x ⋅ [P(x2)] para todo x real. Determine:

a) o grau de P(x).b) P(x).

74. (FUVEST) O polinômio P é tal que P(x) + xP(2 – x) = x2 + 3 para todo x real.

a) Determine P(0), P(1) e P(2).b) Demonstre que o grau de P é 1.

75. (FUVEST) P(x) é um polinômio de grau > 2 e tal que P(1) = 2 e P(2) = 1. Sejam D(x) = (x – 2)(x – 1) e Q(x) o quociente da divisão de P(x) por D(x).

a) Determine o resto da divisão de P(x) por D(x).b) Sabendo-se que o termo independente de P(x) é

igual a 8, determine o termo independente de Q(x).

10201

Respostas das Atividades Adicionais

Matemática

1. a

2. d

3. a)

b) 8(2π – 1)

4.

5. d

6. a

7. e

8. 813

kg de fígado e 1913

kg de carne por dia.

9. 62 acres da cultura A e 12 acres da cultura B, deixando 26 acres desocupados.

10. c

11. c

12. Verdadeira.

13. a) 15

b) 58

c) Para que n

p

⎛⎜⎝ ⎛

⎜⎝

, n

p + 1

⎛⎜⎝ ⎛

⎜⎝

e n

p + 2

⎛⎜⎝ ⎛

⎜⎝

estejam definidos,

devemos ter n, p ∈ N e n > p + 2.Na resolução do sistema a seguir usamos:(p + 1)! = (p + 1)p!(p + 2)! = (p + 2)(p + 1)!

(n – p)! = (n – p)(n – p – 1)!(n – p – 1)! = (n – p – 1)(n – p – 2)!

n

p

⎛⎜⎝ ⎛

⎜⎝

1

=

n

p + 1

⎛⎜⎝ ⎛

⎜⎝

2 =

n

p + 2

⎛⎜⎝ ⎛

⎜⎝

3 ⇔

n

p

⎛⎜⎝ ⎛

⎜⎝

1

=

n

p + 1

⎛⎜⎝ ⎛

⎜⎝

2 n

p + 1

⎛⎜⎝ ⎛

⎜⎝

2 =

n

p + 2

⎛⎜⎝ ⎛

⎜⎝

3

⇔

n!p!(n – p)!

= n!

2(p + 1)! (n – p – 1)!n!

2(p + 1)! (n – p – 1)! =

n!3(p + 2)! (n – p – 2)!

⇔

1n – p

= 1

2(p + 1)1

2(n – p – 1) =

13(p + 2)

⇔

n – 3p = 22n – 5p = 8

⇔

n = 14p = 4

Como n = 14 e p = 4 satisfazem as condições n, p ∈ N e n > p + 2, temos que n = 14 e p = 4.

14. a

15. 80

16. 8

17. 32

18. e

19. c

20. d

21. c

22. a

23. a

24. a) 18 kgb) 11 anos

25. a) 3; 1 + 2i; 1 – 2ib) –3 a < 5

26. d

27. b

28. e

29. 13

11201

30. 3

31. a) Sabemos, pela Regra de Cramer, que o sistema dado admite solução única se, e somente se,

1 –m (1 + m) 1

≠ 0 ⇔ 1 + m(1 + m) ≠ 0 ⇔ m2 + m + 1 ≠ 0.

Como m2 + m + 1 = 0 não tem solução real, concluímos que o sistema admite solução única para todo m ∈ R.

b) m = –12

32. a) m ≠ 2 e m ≠ –1.b) m = –1.c) 2x + y – z – 2w = –4.

33. c

34. c

35. e

36. c

37. b

38. d

39. e

40. d

41. c

42. e

43. e

44. 67 600

45. d

46. 211

47. 150

48. O número de sequências com no mínimo 2 termos e no máximo 5 termos é 22 + 23 + 24 + 25 = 60, que é mais do que suficiente para representar as 26 letras e os 10 alga-rismos.

49. a) 265

b) 265 – 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22

50. 90o

51. e

52. c

53. a

54. a

55. Se r não é paralela a α, então r ⊥ α ou r ⊥ α.I) r ⊥ α: Seja r ∩ α = {P}. Se r ⊥ α, então r é perpendicular

a qualquer reta contida em α passando por P. Logo existe uma reta s tal que s ⊂ α e s ⊥ r.

II) r ⊥ α: Sejam r ∩ α = {P} e t uma reta tal que P ∉ t, t ⊥ α e t ∩ r ≠ ∅. Consideremos o plano β = (t, r).Seja β ∩ α = u e consideremos a reta s ⊂ α, s ⊥ u com P ∈ s. Segue que t ⊥ u, pois t ⊥ α. Nessas condições, pelo teorema das três perpendiculares, temos s ⊥ r.

56. Temos que r ⊂ α, s ⊥ r, s não é perpendicular a α e seja s‘ = projαs. Vamos mostrar que r ⊥ s‘. Temos dois casos a considerar:I) Supondo s ≠ s‘: seja β o plano que contém s e é per-

pendicular a α. Temos que s‘ = α ∩ β.Seja P ∈ s, P ∉ α e P‘ = proj.αP. Assim P

←→P‘ ⊥ s‘.

Como P←→

P‘ ⊥ α temos P←→

P‘ ⊥ r.Assim, de r ⊥ P

←→P‘, r ⊥ s e P

←→P‘ ∩ s = {P}, concluímos que

r ⊥ β, pois se uma reta é ortogonal a duas retas concor-rentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano.Logo, de r ⊥ β, s‘ ⊂ β e r ∩ s‘ = {Q}, temos r ⊥ s‘.

II) Supondo s = s‘, temos, de s ⊥ r e s‘ = s, que r ⊥ s‘.

57. a) Se r e s são paralelas distintas, existe um plano, que é único, passando por r e s. Nesse caso, A ∩ B é um con-junto unitário, cujo elemento é o plano rs. Se r e s são paralelas coincidentes, então A ∩ B = A = B.

b) Se r e s são reversas, não existe um plano passando por r e s simultaneamente. Logo A ∩ B = ∅.

58. Seja P‘ a projeção ortogonal de P sobre r e considere pontos A e B sobre r tais que AP‘ = BP‘, A ≠ B. Então ΔPP‘A ≅ ΔPP‘B pelo caso LAL, logo AP = BP. Se X é um pé de perpendi-cular de P a um plano α que passa por r, temos que P—X ⊥ α, logo m(PX̂A) = m(PX̂B) = 90°. Como AP = BP e P—X é comum, pelo Teorema de Pitágoras, AX = BX e o triângulo ABX é isósceles. Assim, a mediana P‘—X é perpendicular a r. Como P—P‘ ⊥ r, X está no plano perpendicular a r passando por P.

59. d

60. c

61. c

62. a

63. a) 34

cm

b) 1 cm

64. a)

m(AM̂P) = m(BM̂Q)Â ≅ B̂ (retos)

AM = MB = 12

ALA⇒ ΔPAM ≅ ΔQBM

Como M—N // A—D (AMND é retângulo) e A—D é perpen-dicular ao plano contendo os pontos A, P, M e Q, concluí-mos que M—N é perpendicular a P—Q. Mas PM = MQ, logo M—N é a mediariz de P—Q, de onde se conclui que PN = QN, ou seja ΔPQN é isósceles.

b) 3

2

12201

65. 18

66. 21 cm

67. a) 3b) 3c) 5d) 6e) Não é definido o grau.

68. 1 + 4 + 16 + 32 = 53.

69. e

70. 10

71. e

72. a

73. a) 1b) ±x

74. a) P(0) = 3; P(1) = 2; P(2) = 1.

b) Uma maneira:

É fácil verificar que P(x) não é o polinômio nulo, logo, como ∂P(x) = ∂P(2 – x), ∂[xP(2 – x)] = ∂(x) + ∂P(2 – x) = ∂P + 1.

Assim, ∂(x2 + 3) = ∂[(P(x) + xP(2 – x)] = ∂[xP(2 – x)] = ∂P + 1, ou seja, 2 = ∂P + 1 ⇔ ∂P = 1.

Outra maneira:Para todo x real, P(x) + xP(2 – x) = x2 + 3 ou, de forma equivalente, P(2 – x) + (2 – x)P(2 – (2 – x)) = (2 – x)2 + 3⇔ P(2 – x) + (2 – x)P(x) = x2 – 4x + 7.Portanto, para todo x real, x(P(2 – x) + (2 – x)P(x)) – (P(x) + xP(2 – x)) = x(x2 – 4x + 7) – (x2 + 3) ⇔ –(x – 1)2P(x)= (x – 1)2(x – 3).Como P é um polinômio, P(x) = –x + 3 e ∂P = 1.

75. a) Temos que:P(x) = Q(x) ⋅ D(x) + R(x), em que R(x) = ax + b⇔ P(x) + Q(x)(x – 2)(x – 1) + ax + bComo P(1) = 2 e P(2) = 1, vem que:P(1) = Q(1)(1 – 2)(1 – 1) + a + b = 2 ⇔ a + b = 2 eP(2) = Q(2)(2 – 2)(2 – 1) + 2a + b = 1 ⇔ 2a + b = 1

Assim: a + b = 22a + b = 1

⇔

b = 2 – a2a + (2 – a) = 1

⇔

a = –1b = 3

Dessa forma, R(x) = –x + 3.

b) Seja q o termo independente de Q(x) e P(x)= Q(x)(x – 1)(x – 2) – x + 3⇔ P(x) = Q(x)(x2 – 3x + 2) – x + 3.

No produto entre Q(x) e D(x) = x2 – 3x + 2, o único ter-mo independente de x aparece quando fazemos q ⋅ 2. Assim, como o termo independente de x em P(x) é 8, devemos ter:

q ⋅ 2 + 3 = 8 ⇔ q = 52