SOLUO NUMRICA DO ESCOAMENTO LAMINAR PLENAMENTE

DESENVOLVIDO NO INTERIOR DE DUTOS

Francisco Magalhes Costa

Programa de Ps-Graduao em Engenharia Mecnica

Universidade Federal de Santa Catarina UFSC mfranciscomagalhaescosta@gmail.com

Professor Orientador: Clovis R. Maliska

Departamento de Engenharia Mecnica

Universidade Federal de Santa Catarina UFSC maliska@sinmec.ufsc.br

RESUMO

O software TRANSCAL resolve a equao da energia com gerao de calor, que possui a

mesma equao diferencial do problema do escoamento 2D plenamente desenvolvido em

dutos. O objetivo principal desse trabalho a soluo numrica do campo da componente de

velocidade pela analogia com o campo temperatura na direo do eixo de dutos. A equao

obtida ser uma equao de Poisson, que ser resolvida numericamente mediante emprego

do software Transcal, desenvolvido pelo Sinmec. A equao governante do problema de

difuso de calor bidimensional resolvida numericamente utilizando o mtodo dos volumes

finitos com uma formulao totalmente implcita. Objetiva-se sugerir as etapas a serem

seguidas da simulao numrica como ferramenta de anlise de um escoamento em um duto

com geometria genrica. Desde as simplificaes em relao ao sistema fsico real, estudo de

malhas at a etapa de ps-processamento e anlise dos dados produzidos pelo software, so

descritos neste texto.

Palavras-chave: Transcal, difuso, volumes finitos,

ABSTRACT

The Transcal software solves the energy equation with heat generation, which has the same

differential equation 2D flow problem of fully developed ducts. The main objective of this

work is the numerical solution of the velocity component of the field by analogy with the

temperature field in the direction of the axis of ducts. The obtained equation is a Poisson

equation, which is solved numerically by use of TRANSCAL software developed by SINMEC.

The governing equation of two-dimensional heat diffusion problem is solved numerically

using the finite volume method with a fully implicit formulation. It objective to suggest steps

to be followed the numerical simulation as an analysis tool of a flow in a duct with generic

geometry. Since the simplifications compared to actual physical system, mesh study to post-

processing step and analysis of data produced by the software that are described in this text.

Keywords: Transcal, diffusion, finite volumes

2

1. INTRODUO

Uma rea importante no ensino de vrios ramos de engenharia aquele referente

transferncia de calor. Com relao a esta rea, em particular, existe no mercado uma farta

oferta de livros-texto de preo acessvel. Dentre estes, podem ser citados (BEJAN, 1993),

(BEJAN, 1995), (KREITH e BOHN, 2001), (INCROPERA e DeWITT, 2002) e (KAVIANY,

2002). Em contraste com a ampla disponibilidade de livros-texto na rea de transferncia de

calor, escassos so os softwares destinados ao ensino desta matria.

Repetidas buscas na Internet possibilitam afirmar que praticamente inexistem

softwares destinados ao ensino de transferncia de calor. Duas excees a essa regra so o

Transcal Verso 1.1 desenvolvido por (MALISKA, 1998) e o CFD Sinflow (PIERITZ et al.,

2002) e (PIERITZ et al., 2003), destinados ao estudo bidimensional de conduo de calor e

escoamento. Uma dentre as vrias caractersticas favorveis do Transcal a facilidade de uso,

o que o torna um poderoso aliado de alunos no estudo de disciplinas ligadas transferncia de

calor. Conforme os autores, ele utilizado para induzir o raciocnio investigativo sobre os

fenmenos fsicos envolvidos atravs da simulao e visualizao de fenmenos simples e

educativos. Por resolver problemas de conduo de calor bidimensionais transientes (ou em

regime permanente), com (ou sem) gerao de calor e em domnios arbitrrios, praticamente

todos os problemas que se discutem em sala de aula podem ser resolvidos e investigados com

o auxlio do software.

Neste trabalho apresentou-se a soluo numrica do escoamento de fluidos

compressveis, o interesse o estudo numrico do escoamento laminar plenamente

desenvolvido no interior de dutos com diferentes sees (quadrada, retangular, etc.) e a

comparao dos mesmos com os resultados analticos encontrados na literatura. A soluo

numrica ser realizada por analogia das equaes da conduo do calor bidimesional e a

equao do escoamento interno laminar na regio plenamente desenvolvida.

Esse estudo consiste em gerar uma malha contendo os pontos do domnio de

interesse e sobre este so resolvidas as equaes de Navier-Stokes (quantidade de

movimento), conservao da massa, juntamente com a relao de estado e a equao da

energia em coordenadas cartesianas.

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

z

w

y

w

x

wg

z

p

Dt

Dw

z

v

y

v

x

vg

y

p

Dt

Dv

z

u

y

u

x

ug

x

p

Dt

Du

z

y

x

(1)

0

z

w

y

v

x

u (2)

z

w

y

v

x

u

z

T

y

T

x

TK

Dt

uD

2

2

2

2

2

2~ (3)

No duto a soluo corresponde a um perfil de velocidade parablico e simtrico

devido aos efeitos viscosos para baixo nmero de Reynolds, onde as velocidades na parede

so nulas, aumentando na direo do centro do duto os quais esto de acordo com a literatura.

O campo de velocidade apresenta perturbaes junto superfcie, pois o gradiente de presso

adverso dificulta a convergncia nesta regio; isto pode ser melhorado pelo refino da malha

ou pelo estabelecimento de condies de contorno fisicamente mais apropriadas.

Figura 01: Escoamento na regio de entrada de um tubo

A figura 01 mostra um escoamento laminar na regio de entrada de um tubo circular.

Uma camada limite desenvolve-se ao longo das paredes do duto. A superfcie do tubo exerce

uma fora de cisalhamento retardante sobre o escoamento; assim a velocidade do fluido nas

proximidades da parede reduzida. O efeito da superfcie slida sentido cada vez mais para

dentro do escoamento. Suficientemente longe da entrada do tubo a camada limite em

desenvolvimento atinge a linha de centro do mesmo e o escoamento torna-se inteiramente

viscoso.

Quando isto acontece a forma do perfil de velocidades no se altera com o avano do

escoamento diz-se que o mesmo encontra- se completamente desenvolvido. A distncia a

4

jusante, a partir da entrada, at o local em que o escoamento se torna completamente

desenvolvido chamada de comprimento de entrada.

2 FORMULAO DO MODELO FSICO E MATEMTICO

2.1 Descrio do modelo fsico do problema

O problema aqui considerado o escoamento de um fluido atravs de uma tubulao

de seco transversal. O primeiro passo ser definir a geometria do problema (retangular,

quadrada,) estudado e suas dimenses (Largura x Altura). Em seguida, definir as condies de

contorno para a temperatura (Norte, sul, leste, Oeste) ao passo final definir tamanho

especfico do nmero de volumes nas direes (I x J).

importante ressaltar que, nesse estudo, foi realizada uma comparao entre perfis de

velocidade completamente desenvolvidos. Foi preciso adotar diferentes casos variando a malha

desde baixo nmero de clulas de volume controle at malhas exageradamente grande para captar

um perfil de velocidade num ponto em que este estivesse plenamente desenvolvido, com

percentual de erro menor possvel. Para o escoamento laminar a velocidade mxima do

escoamento atingida no centro do duto e corresponde duas vezes a velocidade mdia do

mesmo.

Figura 02: Comportamento da velocidade u no escoamento do fluido

Alm disso, pode-se calcular a velocidade mdia pela seguinte expresso:

(4)

Com objetivo de se extrair o mximo de informaes do problema e tornar fcil a

compreenso do problema no final da simulao plota-se um grfico comparativo do fator

( hDf Re* ) calculado versus o fator de ( hDf Re* ) definido na literatura (tabela 1).

mxu

U

2

u

V

mx

5

Tabela 1-Nmero de Poiseuille para diferentes sees de dutos.Fonte: Bejan (2013) pag.: 107.

2.2 Descrio do modelo matemtico do problema

A formulao do modelo matemtico e como se d a analogia entre as duas equaes

podem ser entendidas com o uso das equaes abaixo e baseando-se nas seguintes hipteses

e simplificaes. Considere um duto retilneo de seo transversal genrica cujo sistema de

referncia est definido em x, y. Assumindo que o escoamento se encontra em regime

permanente e que as propriedades do fluido se mantem inalterada e a fora do campo

negligencivel, as equaes que modelam o problema so a da conservao da massa (5), as

de Navier-Stokes nas direes x, (6) e y (7) e equao da energia com termo fonte (8), dadas,

respectivamente por:

0

y

v

x

u (5)

2

2

2

2

2

2

2

2

10

10

y

v

x

vv

x

p

y

u

x

uv

x

p

(6) e (7)

y

v

x

uq

y

T

x

TK "'

2

2

2

2

(8)

6

Onde a densidade; T a temperatura em uma dada posio; u e v so as velocidades; k a condutividade do

e ( "'q ) o termo fonte do meio.

A equao (8) pode ser entendida mais facilmente atravs de um prvio estudo sobre

fenmenos de transporte, o que pode ser feito, seguido de um estudo especfico sobre

transferncia de calor e mtodos numricos, tema disponvel, por exemplo, em (VERSTEEG

e MALALASEKERA, 1995) e em (MALISKA, 2004). No TRANSCAL a equao (8)

discretizada e resolvida numericamente usando o mtodo dos volumes finitos atravs de uma

formulao totalmente implcita.

Comparando agora as escalas das velocidades (u , v ), percebe-se que medida que o

comprimento na direo do escoamento L aumenta, v cada vez menor, enquanto permanece

com a mesma escala. Baseado nisto razovel se esperar que a partir de um certo

comprimento L >> D, v ser bem menor, assim, v = 0.

Utilizando est hiptese na equao da continuidade observa-se que x

u

= 0.

Assumindo as hipteses anteriormente definidas e agora pela anlise de escalas podemos

chegar as equaes que sero usadas para analogia entre equao de energia com gerao de

calor que possui a mesma equao diferencial do problema escoamento em 2D plenamente

desenvolvido em duto. Para o escoamento plenamente desenvolvido hidrodinamicamente

tem-se:

2

2

2

21

y

u

x

u

x

p

. Alm disso, podemos definir em funo do operador nabla ( ),

a forma do laplaciano do campo vetorial velocidade:

u2 =x

p

1 (9)

A equao (9) uma tpica equao de Poisson. Assim como ela, a equao da

conduo de Calor bidimensional, dada por:

K

q

y

T

x

T '''2

2

2

2

(10)

Que para facilitar analogia podemos reescrever a expresso em funo do operador Nabla ( )

e assim definir o Laplaciano do campo da Temperatura, como:

T2

K

q ''' (11)

7

O que torna fcil perceber a semelhana entre os dois campos definidos, conclui-se que:

x

p

1=

K

q ''' (12)

Se o domnio assim como as condies de contorno das equaes (9) e (12) forem os

mesmos, as solues de u e T so exatamente as mesmas. Logo, para se resolver a equao (9)

pode-se resolver uma equao de conduo de calor equivalente. De fato, para se obter as

solues desse trabalho foi empregado o software Transcal, software desenvolvido para

problemas de conduo de calor.

2.3 Gradiente de Presso e fator de atrito no escoamento plenamente desenvolvido

Com frequncia o engenheiro est interessado na queda de presso necessria para

manter um escoamento interno, pois esse parmetro determina a exigncia de potncia. Para

determinara queda de presso conveniente trabalhar com o fator de atrito de Mood (ou

Darcy) que um parado adimensional definido pela expresso:

2/

)/(2

m

h

u

Dxpf

(13)

Se mu a velocidade mdia e D h o dimetro hidrulico, o nmero de Reynolds baseado em D h fica:

hm

h

DuD

2

Re (14)

Anteriormente definido o fator de atrito local, e com a definio do nmero de

Reynolds podemos encontrar o produto ( f * hDRe ):

m

hm

m

h

h

u

D

x

pDu

u

Dxpf

hD

*2

1)

2/

)/((Re*

2

2

(15)

Onde:

f : fator de atrito

hD : Dimetro hidrulico

Re : Nmero de Reynolds baseado no dimetro hidrulico mu : velocidade de escoamento dentro de um duto

: viscosidade dinmica

P: presso

O produto ( f * hDRe ): segundo Bejan (2004) funo apenas da geometria do tubo.

Dessa forma, pode-se especificar para a obteno da soluo numrica que:

8

11

x

p

(16)

Da analogia com o problema de conduo de calor equao (12), tem-se que, para

que haja equivalncia:

x

p

1=

K

q ''' (11),

K

q '''-

x

p

1=1, assim temos:

T2 u2 = 1 (17)

Para concluir esta seo deve mencionar uma diferena de escala entre o escoamento

externo e o escoamento interno desenvolvido. Enquanto no escoamento externo sobre uma

superfcie o comprimento caracterstico a distncia superficial percorrida pelo escoamento

(L), no escoamento interno hidrodinamicamente desenvolvido, fica claro que o comprimento

caracterstico associado o espaamento do duto, D.

3. RESULTADOS E DISCUSSES

3.1 Geometria Quadrada

Assumindo a dimenso unitria para o lado do quadrado L=1m, e Dh=1, em seguida

realizando a simulao para 6 casos diferentes para obter um resultado aproximado de

( hDf Re. ) para cada caso e seus respectivos erros (%). A velocidade mdia foi encontrada de

acordo com o que foi definido pelo modelo fsico (eq. 4). Abaixo geometria definida, volume

controle utilizado.

Figura 3: Seo Quadrada com volume de 2500 unidades

Fonte: Software Transcal (1998)

9

Nesta caixa deve-se informar, na ordem, a temperatura inicial (To) e os limites em

que variam a temperatura no escoamento. So introduzidas as condies de contorno de

temperatura nas fronteiras norte, sul, leste e oeste, conforme mostrado na figura 4.

Figura 4: Condioes de Contorno para T=T0.

Fonte: Software Transcal (1998).

Na caixa abaixo deve-se informar, na ordem, as propriedades fsicas (constante):

condutividade trmica (k), a densidade ( ) e o calor especfico (Cp) do meio. Alm disso,

define-se o termo forte gerao de calor (q). Para todos os casos simulados as propriedades

fsicas do material foram assumidas de acordo com os valores que se encontram na figura 5.

Figura 5: Propriedades Fsicas do material introduzidas .

Fonte: Softwares Transcal (1998)

Deve-se informar, ainda, o intervalo de tempo e o nmero de passos no tempo, que o

nmero de avanos (incrementos) do intervalo de tempo estipulado e as tolerncias

10

Figura 6: Parmetros de simulao .

Fonte: Softwares Transcal (1998)

O quadro 1 mostra os dados de entrada e sada aps simulao no software Transcal.

Quadro 1: Valores de ( hDf Re. ) para diferentes malhas geradas na geometria quadrada (1x1)

Evoluo do perfil de temperatura para caso geometria quadrada (1x1)

Malha: 5 x5 Malha: 10 x 10 Malha: 20 x 20

Malha: 30x30 Malha: 40x40 Malha: 50 x 50

11

O grfico 1 facilitar a visualizao de convergncia do termo (f. ReDh (calculado)) para o

valor analtico encontrado na literatura em funo do nmero de clulas por volume de

controle.

Grfico 1: Valores de (f. ReDh (calculado)) x (f. ReDh (analtico)

A figura 7 mostra respectivamente, as isolinhas da soluo de (um) e o perfil de

temperatura obtido no Transcal. A malha empregada cartesiana, apresentando (50x50)

volumes nas direes x e y.

Figura 7 : Linhas Isotermas de velocidade na geometria quadrada para 2500 unidades de volumes.

Fonte: Software Transcal (1998).

3.3 Geometria

A largura do retngulo fixada em L= 4 m, ao passo que sua altura, em H=1 m, e

Dh=1,6 em seguida realizando a simulao para 6 casos diferentes para obter um resultado

aproximado de ( hDf Re. ) para cada caso e seus respectivos erros (%). A velocidade mdia foi

encontrada de acordo com o que foi definido pelo modelo fsico (eq.4). Abaixo modelo da

geometria utilizada.

12

Figura 8: Geometria retangular com volume de 2500 unidades de volume.

Fonte: Software Transcal (1998)

Os dados adicionais, propriedades fsicas, parmetros de simulao e condies contorno

do escoamento nesta geometria, foram os mesmos definidos anteriormente para simulao na

geometria quadrada. O quadro 2 mostra os dados de entrada e sada aps simulao no

software Transcal.

Quadro 2: Valores de ( hDf Re. ) para diferentes malhas geradas na geometria retangular (4x1)

Evoluo do perfil de Temperatura Para Caso Geometria Retangular (4x1)

Malha: 30 x 30

Malha: 10 x 10

Malha: 5 x 5

Malha: 20 x 20

Malha: 5 x 5

13

Para facilitar a visualizao de convergncia do termo (f. ReDh (calculado)) para o valor

analtico encontrado na literatura em funo do nmero de clulas por volume de controle foi

demonstrado graficamente o resumo da simulao.

Grfico 2: Valores de (f. ReDh (calculado)) x (f. ReDh (analtico) gerados na geometria retangular (4x1)

A figura 8 mostra, respectivamente, o perfil de temperatura e as suas isolinhas da

soluo de (um,), obtidas no Transcal. A malha empregada cartesiana, apresentando (50x50)

volumes nas direes x e y.

Figura 8: Linhas Isotermas de velocidade na geometria retangular para 2500 unidades de volumes.

Fonte: Software Transcal (1998).

Malha: 40 x 40 Malha: 50 x 50

14

4. CONCLUSO

Avaliou-se nesse trabalho analogia entre o perfil de temperaturas e o perfil de velocidades

produzidos nas diferentes configuraes de malhas, at a obteno de uma configurao em

que as velocidades no mudassem significativamente com o refino da malha.

O modelo matemtico foi resolvido numericamente a partir de um software Transcal que

resolveu um problema de conduo de calor equivalente. Houve boa concordncia entre os

resultados aqui obtidos e os disponveis na literatura para ambas geometrias. Alm disso,

aplicando-se condies de contorno apropriadas, o resultado do termo (f.ReDh) calculado, tende

a convergir conforme esperado.

Com base nos resultados apresentados tem-se para malhas cada vez mais refinada menor ser

o erro apresentado pelas diferenas significativas em relao s outras. Conclui-se tambm

que a partir de certo ponto utilizao de malhas mais refinada, seria desnecessria, pois a

partir do caso 4 a variao do erro percentual da velocidade no ponto avaliado no

significativa, com o refino da malha, perfil no se altera, porm, o campo de velocidades

descrito de maneira mais consistente.

5. REFERNCIAS:

BEJAN, A., 1993. Heat transfer. New York: John Wiley & Sons

BEJAN, A.,1995. Convection heat transfer. New York: John Wiley & Sons

INCROPERA, F. P.; DEWITT, D. P.2002. Heat and mass transfer. New York: John Wiley &

Sons

KAVIANY, M., 2002. Principles of heat transfer. New York: John Wiley & Sons

KREITH, F.; BOHN, M. S., 2001. Principles of heat transfer. Australia: Brooks/Cole

MALISKA, C. R. Transcal V 1.1 (1998). Disponvel em

MALISKA, C. R., 2004. Transferncia de calor e mecnica dos fluidos computacional. Rio de

Janeiro: LTC Editora

PIERITZ, R. A.; ANDRADE, R. F.; MENDES, R. Projeto CFD SinFlow, Disponvel em:

PIERITZ, R. A. et al.; 2003 CFD Studio: an educational software for CFD analysis.

Engenharia Trmica, Curitiba, n. 4, p. 9-16.MALISKA, C.R., 1995. Transferncia de Calor e

15

Mecnica dos Fluidos Computacional: Fundamentos, Coordenadas Generalizadas, LTC

Editora, Brasil.

VERSTEEG, H. K.; MALALASEKERA, W., 1995. An introduction to computational fluid

dynamics: the finite volume method. Harlow: Pearson Education.