303o de o escoamento laminar plenamente desenvolvido no ineterior de dutos _1_)

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SOLUÇÃO DE O ESCOAMENTO LAMINAR PLENAMENTE DESENVOLVIDO NOINETERIOR DE DUTOS

Luis H.R. Cisterna

Resumo – Neste trabalho apresenta-se a solução para um escoamento laminar plenamente desenvolvido no interior de um duto com diferentes seções, usando osoftware Transcal. As soluções são obtidas por meio da analogia entre as equaçõesda condução, resolvidas no Transcal e as equações que descrevem a física doescoamento laminar plenamente desenvolvido no duto.

Palavras clave – Escoamento laminar plenamente desenvolvido no duto, Analogiadas equações, Transcal.

1 INTRODUÇÃO

O estudo do campo develocidade em um escoamento laminar plenamente desenvolvido é muitasvezes acoplado ao estudo detransferência de calor por difusão pura.É comum dividir-se o escoamento em

duas regiões, região de entrada (RE) eregião de escoamento plenamentedesenvolvido (RPD), conformemostrado na figura 1. Tendo opresente trabalho como foco a regiãode escoamento plenamentedesenvolvido.

O objetivo principal destetrabalho é utilizar um softwareeducacional de difusão de calor, oTranscal para o cálculo do grupoadimensional Re

Dh f , que é o produto

entre o fator de atrito da tubulação e onúmero de Reynolds baseado nodiâmetro hidráulico. As geometrias

utilizadas para este cálculo foram acircular, quadrada, retangular e seçãocircular. Os resultados obtidos sãocomparados com os resultadosanalíticos do problema.

2 MODELO FÍSICO

As equações, que descrevem a

física de um escoamento laminar plenamente desenvolvido no interior de um duto com qualquer seção, sãobaseadas nas seguintesconsiderações e simplificações:

• Escoamento plenamentedesenvolvido

• Escoamento laminar

• Regime permanente

• Propriedade física do fluidouniforme e constante

• Fluido incompressível

• Força do campo negligenciável

O modelo simplificado querepresenta a física de um escoamentolaminar no duto qualquer é só uma



simplificação da equação de Navier –Stokes em x:

- (1)

E o grupo adimensional válidopara qualquer seção é:

1 #$

(2)

Onde: : fator de atritoHdiâmetro hidráulico

Número de Reynolds baseadono diâmetro hidráulico velocidade de escoamento dentrode um duto viscosidade dinâmicaP: pressão

3 ANALOGIA DAS EQUAÇÕES

Como o trabalho para encontrar ovalor de

de forma analítica é

muito complexo, pode-se fazer umaanalogia entre o escoamento laminar plenamente desenvolvido e a equaçãoda energia para um escoamentodentro de um duto em regimepermanente, com propriedadesconstantes, geração de calor e semdissipação viscosa e outros efeitos.

Desta maneira, a analogia fica:

$ JI (3)

$ #

JI (4)

Supondo que:

1Cap 3.3 Hydraulic Diameter and Pressure Drop.

Livro: Convection Heat Transfer, Bejan.

#

1 (5)

Então:

$ $ 1 (6)

Com isso, pode-se realizar umaanalogia entre o laplaciano davelocidade para o escoamentoplenamente desenvolvido no interior de duto e o laplaciano da temperaturapara uma placa com a mesma seçãodo duto.

As condições de contorno do

problema são similares, tal que nafronteira:

7 "

Com esta analogia, percebe-seque o problema de escoamento podeser solucionado por um problemasemelhante ao de transferência decalor, para o qual se utilizou o software

Transcal2

.

4 RESULTADOS

Para a obtenção dos resultadosde XW0, foram resolvidos problemasde difusão de calor com a ajuda dosoftware Transcal O problema tevecomo condição inicial o regimepermanente e condições de contorno

especificadas para cada tipo degeometria analisada.

4.1 SEÇÃO CIRCULAR

2O programa Transcal foi desenvolvido pelo

laboratório de simulação numérica em mecânica

dos fluidos (SINMEC) da Universidade Federal de

Santa Catarina (UFSC).



Para o cálculo da seção circular,foi utilizada uma malha de 50 x 20 eum diâmetro de DH = 2. Foramutilizadas duas metodologias

diferentes para o cálculo de : naprimeira a velocidade média utilizadafoi a velocidade máxima dividida por 2(fórmula 7). No segundo caso, avelocidade média, foi encontrada deacordo com a fórmula 8. A tabela 1mostra os dados de entrada doprograma. As figuras 1 e 2 mostram,respectivamente, o perfil detemperatura obtido no Transcal e osvalores da temperatura máxima emínima.

é $ (7)

(8)

Tabela 1: Dados de entrada do problema

DADOS

i 50

j 20

De 2

At 3,14159

DH 2

Figura 1: Perfil de temperatura

Figura 2: Temperatura máxima encontrada

Com base nestes dados eutilizando as fórmulas 7 e 8.

Encontram-se os seguintes resultados:

Tabela 2: Resultados obtidos

4.2 SEÇÃO QUADRADA

Para o cálculo da seçãoquadrada, foi utilizada uma malha de20 x 20 e dimensões de 1 x 1. Avelocidade média foi encontrada deacordo com a fórmula 8. A tabela 3mostra os dados de entrada doprograma. As figuras 3 e 4 mostram,respectivamente, o perfil de

temperatura obtido no Transcal e osvalores da temperatura máxima emínima.

Resultado 1 Resultado 2

U 0,1215 0,1269

fRe 16,46 15,76

fRe* 16 16

Erro 2,9% 1,5%



Tabela 3: Dados de entrada do problema

DADOS

I 20

j 20

H (base) 1

W (altura) 1

At 1

DH 1



Com base nos valores de

obtidos no Transcal e o valor , se faz uma planilha de cálculopara determinar o valor de U e .Estes valores são apresentados natabela 4.


Resultados

U 0,0355

fRe 14,1

fRe* 14,2

Erro 0,7%

4.3 SEÇÃO RETANGULAR

Para o cálculo da seçãoretangular, foi utilizada uma malha de20 x 20 e dimensões de 4 x 1. Avelocidade média foi encontrada deacordo com a fórmula 8. A tabela 5

mostra os dados de entrada doprograma. As figuras 5 e 6 mostram,respectivamente, o perfil detemperatura obtido no Transcal e osvalores da temperatura máxima emínima.

Tabela 5: Dados de entrada do programa

DADOS

i 20

j 20H (base) 4

W (altura) 1

At 4

DH 1,6





Com base nos valores de obtidos no Transcal e o valor

1, se faz uma planilha de cálculopara determinar o valor de U e .Estes valores são apresentados natabela 6.


Resultados

U 0,0711

fRe 18,0

fRe* 18,3

Erro 1,6%

4.5 SEÇÃO ANEL CIRCULAR

Para o cálculo da primeira seçãode anel circular, foi utilizada umamalha de 20 x 20 e um raio externo de1. O raio interno foi variado de 0,01 a0,9. A velocidade média foi encontradade acordo com a fórmula 8. A tabela 7

mostra os dados de entrada doprograma. As figuras 7 e 8 mostram,respectivamente, o perfil detemperatura obtido no Transcal e osvalores da temperatura máxima emínima para um raio interno de 0,4.

Tabela 7: Dados de entrada do programa

DADOS

i 20

j 20

De 2



Com base nos valores de obtidos no Transcal e no valor paracada raio interno, se faz uma planilhade cálculo para determinar o valor deU e . Estes valores sãoapresentados na tabela 8.




Resultados

Ri 0,9 0,4 0,2 0,01

At 0,099 0,439 0,402 0,523

U 0,003307 0,0805 0,111 0,119

fRe 6,047 8,94 11,5 16,5

fRe*3S/R S/R S/R 16

Erro - - - 3,12%

Com base na tabela acima,percebe-se que o erro encontrado foide 3,12% para o raio interno de 0,01.Para os outros raios não é possívelcalcular o erro, pois não existem dadosem literatura tabelados para estesvalores, já que a forma geométrica não

é mais um círculo completo. Issoocorreu porque para os cálculos de foi utilizado apenas uma fatia docírculo.

5 PLACA PLANA

Para realizar o estudocaracterístico deste escoamentoatravés do Transcal, devemos levar

em conta algumas consideraçõescomo:. O fluído possui propriedades

constantes, ou seja, é um fluídoincompressível;

. A região analisada é plenamentedesenvolvida;

. O escoamento ocorre entre duasplacas planas infinitas;

. O problema possui um fluxoprescrito;

. O fluido admitido para este caso éa água.

3S/R = Sem referência

5.1 EQUAÇÕES E ANALOGIA

Levando-se em conta que no

regime plenamente desenvolvidotérmico os efeitos advectivos detransferência de calor são muitomaiores do que os difusivos, atravésda equação da energia chega-se aseguinte relação de Nu:

(9)

Onde: - coeficiente de transferência de

calor por convecção; - diâmetro hidráulico; – condutividade térmica do meio.

Para a determinação do númerode Nu, devemos determinar ocoeficiente de transferência h, assimsabendo-se que este coeficiente é

uma relação entre o fluxo de calor ′′ eum de referência, chega-se a

seguinte equação:

′′

(10)

Onde:

′′ – fluxo de calor entre a parede e ofluído;" – temperatura da parede; – temperatura de mistura;

Assim para determinar ocoeficiente de transferência devemosconhecer o fluxo de calor, que é obtidoatravés da seguinte equação:

′′ . (11)

Onde:



– gradiente físico de variação da

temperatura.

Para a quantificação do número

de Nusselt, levamos em conta queeste número representa aadimensionalização do gradiente físicoque existe na parede do duto. Portantoa o componente do fluxo de calor representa a variação de temperaturapróxima a parede e o componente representa a distância física entre ospontos onde esta diferença detemperatura está determinada.

Assim reescrevendo a equação(9) temos:

(12)

Analisando a equação a ser resolvida (12) nota-se que precisamoso dado da temperatura média , queserá obtido através dos dados de

saída dosoftware

(temperaturamédia), através da distribuição detemperaturas do Transcal . Atemperatura média será calculada daseguinte maneira:

Tm

(13)

Sendo:Ti – temperatura no elemento i ;

Ai – área do elemento i ; At – área total da seção transversal.

Para a utilização do programa,escolhe-se uma geometria que seaproxime de um duto gerado atravésde duas placas planas infinitas, ouseja, gera-se uma geometria

cartesiana com largura bem maior doque a altura.

5.2 DADOS DE ENTRADA

As propriedades do materialforam consideradas para a água aTinicial = 20 ºC, com uma geração decalor unitária. As propriedades físicasda água a 20 °C são apresentadas natabela abaixo.

Tabela 9: Propriedades físicas da água

DADOS DO FLUIDO4

K 0,59[W/mK]

cp 4182[J/mK]

ρ 998,2[Kg/m3]

T 293[K]

As condições de contorno foramajustadas da seguinte maneira: nas

fronteiras Leste e Oeste com = 0 e

nas fronteiras Norte e Sul com =100. Abaixo, segue a tabela com osdados de entrada do programa:

Tabela 10: Dados de entrada

DADOS DE ENTRADA

i 50

j 5

H 1

W 10

q” 100[W/m2]

Utilizou-se um número máximo

de iterações de 20.000 e tolerânciaigual a 10-5.

Os resultados obtidos comestes parâmetros são apresentados nafigura 9 e na tabela 11.

4Propriedades retiradas do livro: Properties of

water and steam, Ernst Schmidt



Figura 9: Escoamento entre placas planas


ResultadosTs 295,31[K]

Tm 293,6[K]

DH 2[m]

NuH 8,240

NuH* 8,235

Erro 0,06%

6 CONCLUSÃO

Os resultados mostram uma pequenadiferença entre a simulação numéricado perfil de temperatura para atransferência de calor num placa comgeometria similar aos resultadosanalíticos de um escoamento dentrode um duto com essa geometria.Para a seção circular pode-seressaltar que os resultados obtidos por o metodo dois são muito mais exatos

que os obtidos pelo perfil de Hagen-Poiseville, o que debe-se que ometodo dois pega o valor davelocidade em 2500 pontosdistribuidos simétricamente na seçao.Em realçao à seção quadrada eretangular os resultados obtidos sãomuito próximos aos analíticos, lo quemostra a exatitud do programa. Pode-

se observar que o anel circular a 60°quando a raio interno é praticamentezero os resultados se aproximam auma seção circular completa, dado

que as condições de fronteiras queforam impostas ao perfil de 60°consideram um desacoplamento de aseçao circular.O resultado obtido para o cálculo donúmero de Nussel em dois placasplanas paralelas, só tem um erro de0,06%, o que mostra que a escolha dea malha e do número de iteraçoes foi ocorreto.

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] Bejan, A., Convection Heat

Transfer , 3 Edition.

[2] Ernst Schmidt., Properties of water and steam.

[3] Necati Özisik., Transferencia de

Calor..

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