simulação numérica de reinício do escoamento de fluidos ... · leandro de souza alencar....
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Leandro de Souza Alencar
Simulação Numérica de Reinício do
Escoamento de Fluidos Tixotrópicos
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Mecânica do
Departamento de Engenharia Mecânica do Centro
Técnico Científico da PUC-Rio, como requisito parcial
para o diploma de Mestrado.
Orientadora: Profa. Mônica Naccache
Rio de Janeiro
Fevereiro de 2016
Leandro de Souza Alencar
Simulação Numérica de Reinício do
Escoamento de Fluidos Tixotrópicos
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Mecânica do Departamento de Engenharia
Mecânica do Centro Técnico Científico da PUC-Rio, como
requisito parcial para o diploma de Mestrado.
Profa. Mônica Naccache Orientadora
Departamento de Engenharia Mecânica – PUC-Rio
Prof. Paulo Roberto de Souza Mendes Departamento de Engenharia Mecânica – PUC-Rio
Dr. Rafael Mendes Centro de Pesquisa e Desenvolvimento – PETROBRAS
Prof. Marcio da Silveira Carvalho
Coordenador do Centro Técnico Científico da PUC-Rio
Rio de Janeiro
Fevereiro de 2016
Todos os direitos reservados. É proibida a
reprodução total ou parcial do trabalho sem
autorização da universidade, do autor e do
orientador.
Leandro de Souza Alencar Graduou-se em Engenharia de Controle e
Automação pela Universidade Federal de Minas
Gerais (UFMG) em 2008.
Ficha Catalográfica
CDD: 621
Alencar, Leandro de Souza Simulação numérica de reinício do escoamento de fluidos tixotrópicos / Leandro de Souza Alencar; orientadora: Mônica Naccache. – 2016. 80 f. ; 30 cm Dissertação (mestrado)–Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Mecânica, 2016. Inclui bibliografia 1. Engenharia mecânica – Teses. 2. Tixotropia. 3. Simulação numérica. 4. CFD. 5. Repartida de escoamento. I. Naccache, Mônica. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Mecânica. III. Título.
Agradecimentos
A minha orientadora Mônica Nacchace pelas idéias, discussões e disponibilidade
essenciais para o desenvolvimento deste trabalho.
Ao meu ex-gerente Guilherme Peixoto por incentivar e apoiar minha inscrição ao
programa de mestrado e ao meu gerente Cezar Paulo e coordenador José Ricardo
Montesanti pela compreensão e por permitir minha liberação parcial aos estudos.
A PETROBRAS pelo apoio financeiro.
Ao meu colega Gustavo Moisés por compartilhar informações e dados
experimentais de sua pesquisa de doutorado.
Aos meus pais Marisa e Paulo pelo incentivo em buscar novos conhecimentos e
desafios e a Tatiana pelo apoio e paciência.
Resumo Alencar, Leandro de Souza; Naccache, Mônica Feijó. Simulação Numérica
de Reinício do Escoamento de Fluidos Tixotrópicos. Rio de Janeiro,
2016. 80p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia
Mecânica, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
A produção de petróleo em campos de água ultraprofunda requer linhas de
produção extensas no leito marinho onde a temperatura ambiente é baixa. O
conhecimento do comportamento tixotrópico do fluido produzido, aliado à
capacidade de simulação do problema de paradas de produção, pode permitir o
dimensionamento econômico de bombas e linhas para reiniciar a produção.
Diversos modelos que tentam explicar o comportamento tixotrópico de um fluido
existem na literatura. Os modelos que utilizam um parâmetro escalar para
representar a condição da estrutura do fluido são simples e possuem maior
aplicação prática, por isso, foram escolhidos. A equação de evolução para
tixotropia envolve uma equação diferencial não linear que deve ser acoplada à
resolução das demais equações de transporte necessárias. A utilização de uma
ferramenta de simulação numérica onde seja possível acoplar essas equações
permite ao engenheiro avaliar o problema para qualquer geometria e condição de
contorno. Neste trabalho é apresentado o algoritmo desenvolvido para permitir a
simulação tixotrópica no simulador comercial Fluent© para um fluido puramente
viscoso e incompressível. Dois cenários de repartida foram avaliados em detalhes
assim como o efeito da condição de contorno de entrada para a solução ao longo
do tempo do sistema. Uma relação do tempo para reinício com a pressão aplicada
é obtida para diferentes condições de tixotropia utilizando equações simples. A
simulação para o reinício do escoamento apresentou comportamento esperado e
qualitativamente semelhante aos resultados experimentais. Em conclusão, os
resultados apresentados comprovam o potencial uso da simulação numérica com
fluidos tixotrópicos especialmente para o problema de reinício permitindo o
dimensionamento de um sistema de produção de maneira eficiente.
Palavras-chave Tixotropia; simulação numérica; CFD; repartida de escoamento.
Abstract Alencar, Leandro de Souza; Naccache, Mônica Feijó. Numerical
Simulation of the Restart Problem for Thixotropic Fluids. Rio de
Janeiro, 2016. 80p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia
Mecânica, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
The offshore oil production in ultra-deep water fields requires long tie-backs
where seawater reaches low temperatures. The knowledge of the tixotropic
behavior of the produced fluid together with the simulation capacity to solve the
restart phenomenon, enables the economical design of pumps and lines with
reasonable precision and size to break the gel. Several mathematical models exist
in the literature that trys to explain this phenomenon, including scalar models in
which the structure of the fluid is represented by one single parameter. This type
of model is simple and with the most practical use. So it was chosen for this
thesis. A non-linear first order differential equation is used for the thixotropic
evolution relation and must be coupled with the standard transport equations. The
use of a numerical simulator that can solve this problem gives the engineer the
tool required to solve for any geometry the restart problem. In this thesis the
algorithm developed to implement the thixotropic simulation within the CFD
commercial tool Fluent© is presented for a purely viscous incompressible fluid.
Two restart cases are discussed in detail and the effect of the inlet boundary
condition is presented. A relationship between the restart time and the inlet
pressure is obtained for diferent thixotropic conditions. The simulation of the
restart problem showed an expected behaviour for thixotropic fluids with
qualitative similarities with experimental data. In conclusion, the results herein
presented prove the potencial use of CFD with thixotropic fluids enabling the
optimized design of production systems.
Keywords Thixotropy; numerical simulation; CFD; restart problem.
Sumário
1 Introdução 15
2 Revisão Bibliográfica 17 2.1 Fluido Não-Newtoniano e Tixotropia 17 2.1.1 Fluidos Puramente Viscosos e Independentes do Tempo 17 2.1.2 Fluido Viscoelástico 24 2.1.3 Fluidos Puramente Viscosos e Dependentes do Tempo 26 2.2 Trabalhos Anteriores 33
3 Formulação Matemática 36 3.1 Equações Fundamentais de Transporte 36 3.2 Discretização da Equação de Transporte Genérica 38 3.2.1 Funções de Interpolação para o Termo Advectivo 40 3.2.2 Acomplamento da Pressão e Velocidade 42 3.2.3 Discretização da Equação de Evolução da Tixotropia 42
4 Metodologia 45 4.1 Algoritmo para Resolução das Equações de Transporte no Fluent© 45 4.2 Principais Configurações no Fluent© 48 4.3 Teste de Independência de Malha 49
5 Resultados e Discussão 52 5.1 Propriedades Reológicas do Fluido Utilizado 52 5.2 Análises Qualitativas para o Reinício 53 5.2.1 Pressão de Entrada Baixa 53 5.2.2 Pressão de Entrada Alta 59 5.3 Avaliação das Configurações Iniciais 61 5.3.1 Condição de Contorno na Entrada para Lambda 61 5.3.2 Análise do Comprimento da Malha 64 5.4 Análises de Sensibilidade 68 5.4.1 Sensibilidade à Pressão de Entrada 68 5.4.2 Sensibilidade ao Parâmetro b 70 5.4.3 Sensibilidade ao Tempo de Equilíbrio 73 5.5 Validação Experimental 74
6 Conclusão 77
7 Referências bibliográficas 78
Lista de Figuras
Figura 1 Comportamento de diferentes tipos de fluidos, adaptado de Lima [3] 18
Figura 2 Viscosidade aparente e taxa de deformação para o modelo power-law (linha contínua) e viscosidade medida (linha pontilhada). 19
Figura 3 Comportamento dos Fluidos Viscoplásticos 21
Figura 4 Viscosidade por taxa de deformação para o modelo de Bingham e H-B 22
Figura 5 Viscosidade por tensão para o modelo de
Papanastasiou (linhas contínuas) para dois valores de η0 23
Figura 6 Viscosidade por tensão para o modelo utilizado no Fluent© (linha contínua) para dois valores de taxa crítica 23
Figura 7 Viscosidade por tensão para o modelo proposto por de Souza Mendes [10] 24
Figura 8 Análogo mecânico do modelo viscoelástico proposto por Maxwell e modelo viscoso 25
Figura 9 Comportamento viscoelástico – adaptado de Chhabra & Richardson [1] 25
Figura 10 Análogo mecânico do modelo de Jeffrey 26
Figura 11 Comportamento de viscosidade aparente dependente do tempo 27
Figura 12 Loop de histerese para diversos testes em sequência 28
Figura 13 Comportamento de viscosidade aparente dependente do tempo – adaptado deBarnes [12] 29
Figura 14 Teste com controle da tensão e o resultado na viscosidade 29
Figura 15 Análogo mecânico proposto por de Souza Mendes [9] 33
Figura 16 Resumo com as equações que devem ser resolvidas para o escoamento do fluido tixotrópico 38
Figura 17 Cálculo da variável nas faces 40
Figura 18 Interpolação no método de primeira ordem para obter
o valor da variável ϕl, referente a face entre as células A e B 40
Figura 19 Interpolação no método de primeira ordem, diferenças centrais e power-law para obter o valor da variável
ϕl, referente a face l entre as células A e B 41
Figura 20 Interpolação no método de segunda ordem e QUICK
para obter o valor da variável ϕl, referente a face entre as células A e B 42
Figura 21 Proposta de linearização para o termo fonte. Adaptado de [30] 43
Figura 22 Algoritmo para resolução das equações de transporte no Fluent©. Adaptado de [8] 45
Figura 23 Funções adicionais requeridas para implementar a tixotropia no Fluent© para o algoritmo segregado 46
Figura 24 Velocidade Axial média a 10cm da saída em função do número de células utilizadas na rede 50
Figura 25 Erros relativos à malha mais refinada (2160x180). 50
Figura 26 Perfil de velocidade obtida pelo cálculo analítico e no modelo do Fluent 51
Figura 27 Variação da estrutura λ do fluido para λeq igual a 0,5 em função dos parâmetros a e b 52
Figura 28 Cenário inicial apresentando a pressão aplicada na entrada e a área rachurada do duto em que a simulação é realizada (sistema axisimétrico) 53
Figura 29 Velocidade Média do Fluido 53
Figura 30 Mapa da estrutura do fluido para diferentes tempos ao longo do reinício com pressão de entrada de 1500 Pa e teq de 0,6 s 54
Figura 31 Perfil no raio para a estrutura do fluido em diferentes tempos com pressão de entrada de 1500 Pa e teq de 0,6 s 55
Figura 32 Taxa de deformação no centro em diferentes posições ao longo do comprimento 55
Figura 33 Estrutura do fluido no centro em diferentes instantes de tempo 56
Figura 34 Velocidade Média do Fluido para gradiente de λ igual a zero e λ igual a 0,2 como condição de contorno na entrada 57
Figura 35 Mapa da estrutura do fluido para diferentes tempos ao longo do reinício com condição de contorno na entrada para λ igual a 0,2 e teq de 0,6 s 58
Figura 36 Estrutura do fluido no centro em diferentes instantes de tempo para λ igual a 0,2 na entrada 59
Figura 37 Número de Reynolds e Comprimento de Entrada calculados próximo a saída ao longo do tempo para pressão aplicada alta (4500Pa) 59
Figura 38 Mapa da estrutura do fluido para diferentes tempos ao longo do reinício com pressão de entrada de 4500 Pa e teq de 0,6 s 60
Figura 39 Perfil de velocidade em diferentes instantes de tempo para pressão elevada aplicada 61
Figura 40 Velocidade média do fluido a 3,5 m da entrada para pressão de entrada de 1500 Pa e teq de 0,6 s para diferentes condições de entrada para λ 62
Figura 41 Posição média do fluido a partir da integral da velocidade média a 3,5m da entrada para diferentes condições de entrada para λ 63
Figura 42 Velocidade do fluido ao longo do comprimento para a pressão de entrada de 1500 Pa e teq de 0,6 s para diferentes condições de entrada para λ no tempo final 63
Figura 43 Estrutura do fluido para diferentes condições de entrada de λ no tempo final para a pressão aplicada de 1500 Pa e teq de 0,6 s 64
Figura 44 Velocidade média no tempo para as duas razões comprimento-diâmetro (velocidade medida na razão posição comprimento (x/L) igual a 0.975) 65
Figura 45 Velocidade Média em relação a velocidade média final para diferentes razões posição-comprimento para L/D 40 e L/D 20 65
Figura 46 Taxa de deformação no centro e velocidade média para pressão baixa aplicada e razão L/D igual a 40 e 20 66
Figura 47 Número de Reynolds e Comprimento de Entrada, para diferentes pressões aplicadas, calculados próximo a saída 67
Figura 48 Média do gradiente de velocidade axial ao longo do duto 67
Figura 49 Número de Reynolds medido na saída (x/L=0.975) para as maiores pressões aplicadas 68
Figura 50 Velocidade média do fluido em função do tempo e da pressão de entrada para teq igual a 0,6s 69
Figura 51 Velocidade média do fluido em função do tempo e da pressão de entrada para teq igual a 0,6s na escala logarítmica 69
Figura 52 Tempo para o reinício em função da pressão de entrada para dois tempos de equilíbrio 70
Figura 53 Derivada do termo tixotrópico (equação 40) para diferentes valores de b considerando λeq = 0.5 71
Figura 54 Derivada do termo tixotrópico (equação 40) para diferentes valores de a considerando λeq = 0.5 71
Figura 55 Velocidade média do fluido para a=0,5 e b igual a 0,5 e 2 72
Figura 56 Tempo para o reinício em função da pressão de entrada para dois valores de b 73
Figura 57 Velocidade média na saída (x/L=0.975) para diferentes tempos de equilíbrio 73
Figura 58 Tempo de repartida em função do tempo de equilíbrio para duas pressões de entrada (baixa e alta) 74
Figura 59 Pressão aplicada nos experimentos 75
Figura 60 Velocidade obtida a partir de dados experimentais 75
Figura 61 Velocidade média obtida pela simulação numérica 76
Figura 62 Comparativo entre dado experimental e simulado 76
Lista de Tabelas
Tabela 1 Algoritmo para o termo fonte 47
Tabela 2 Algoritmo para o termo de fluxo 47
Tabela 3 Algoritmo para o termo transiente 47
Tabela 4 Algoritmo para a viscosidade 47
Tabela 5 Algoritmo para manipular valores anteriores 47
Tabela 6 Fatores de relaxação utilizados 48
Tabela 7 Resíduos máximos (em valor absoluto) 49
Tabela 8 Diferentes malhas utilizadas 49
Tabela 9 Parâmetros Reológicos da Solução de Laponita Utilizada como Referência 52
Lista de Abreviação
m Coeficiente de consistência
Γ Coeficiente difusivo
L Comprimento do duto
k Constante de Bingham
𝛾 Deformação
D Diâmetro do duto
CFD Dinâmica de Fluidos Computacional
2-D Duas dimensões
𝜆 Estrutura do fluido
𝜆𝑒𝑞 Estrutura do fluido em equilíbrio (regime permanente)
𝑆𝜙 Fonte
H-B Herschel-Bulkley
n Índice de comportamento
𝜌 Massa específica
FVM Método dos volumes finitos
G Módulo de cisalhamento
Pe Número de Peclet
x Posição ao longo do comprimento
p Pressão aplicada
R Raio do duto
L/D Razão comprimento por diâmetro do duto
r Posição ao longo do raio do duto
�̇� Taxa de deformação
�̇�𝑐 Taxa de deformação crítica
𝑡𝑒𝑞 Tempo de equilíbrio
α Tempo de relaxamento
𝜋 Tensor tensão
𝜏 Tensor tensão viscosa
𝜏 Tensão
𝜏0 Tensão limite de escoamento
𝜙 Variável dependente
�⃗� Vetor velocidade
𝜂 Viscosidade aparente
𝜂𝑣 Viscosidade aparente (modelo de tixotropia)
𝜂𝑒𝑞 Viscosidade aparente em equilíbrio
𝜂0 Viscosidade aparente para cisalhamento nula
𝜂∞ Viscosidade aparente para cisalhamento muito alta
15
1 Introdução
O escoamento de fluidos tixotrópicos é um tema relevante em diversas áreas
da indústria. O transporte de tintas, alimentos em pasta, etc. por dutos rígidos e
linhas flexíveis dentro de uma instalação industrial requer o conhecimento do
comportamento tixotrópico destes fluidos para permitir dimensionar bombas,
tempos de parada máxima e outros de maneira econômica e eficiente. Na indústria
de petróleo a ocorrência de óleos gelificantes é também de extrema importância e
será a área alvo deste estudo.
A produção em campos de água ultraprofunda, cenário mais comum no
Brasil, implica em linhas de produção extensas no leito marinho que geram
desafios de garantia de escoamento diversos. Devido à baixa temperatura
ambiente no leito marinho, eventuais paradas de produção causam o resfriamento
dos fluidos dentro destas linhas. Especificamente para óleos parafínicos, com
tensão limite de escoamento elevada, este resfriamento promove a gelificação dos
fluidos. O reinício nestes casos pode ser possível somente com a aplicação de uma
elevada pressão pelo navio produtor para quebrar o gel formado. Desta forma, é
importante definir a pressão mínima para quebra do gel e o tempo necessário de
aplicação desta força. O conhecimento do comportamento tixotrópico deste
sistema aliado à capacidade de simulação do problema, pode permitir o
dimensionamento de bombas e linhas com classe de pressão compatível de
maneira segura e sem excessos.
Diversos modelos que tentam explicar o comportamento tixotrópico de um
fluido existem na literatura, desde sistemas complexos que descrevem o
comportamento das iterações intermolecures até sistemas algébricos simples que
modificam, por exemplo, a equação constitutiva de viscosidade utilizando um
parâmetro escalar para representar o nível estrutural do fluido. Estes modelos que
utilizam o parâmetro escalar são relativamente simples e possuem maior aplicação
prática. A dificuldade repousa em conseguir obter os parâmetros de ajuste
característicos para aquele fluido e/ou condição.
A equação de evolução para tixotropia a resolver é uma equação diferencial
de primeira ordem não linear e que deve ser acoplada à resolução das demais
equações de transporte necessárias para avaliar o escoamento de um fluido. A
16
utilização de uma ferramenta de simulação numérica onde seja possível acoplar
todas essas equações permite ao engenheiro avaliar, para qualquer geometria e
condição de contorno, um problema envolvendo um fluido tixotrópico. Desta
forma, é importante desenvolver uma metodologia para que esta ferramenta seja
capaz de utilizar uma equação de evolução, para representar corretamente o fluido
em questão.
O principal objetivo deste trabalho é desenvolver uma metodologia para
acoplar o fenômeno da tixotropia ao simulador numérico comercial Fluent© e
permitir a avaliação de escoamentos envolvendo fluidos tixotrópicos. Para isso, o
comportamento qualitativo do reinício de escoamento de um fluido qualquer será
avaliado e comparado com dados experimentais disponíveis. Além disso, é
proposta uma relação entre a pressão de entrada e alguns parâmetros reológicos
com o tempo necessário paro reinício.
Neste trabalho serão apresentados em uma breve revisão bibliográfica as
características de fluidos não newtonianos, em especial aqueles com
comportamento tixotrópico, e as equações matemáticas disponíveis que tentam
caracterizar esses fluidos. As equações de transporte necessárias e as técnicas de
discretização utilizadas para aplicar essas equações em uma ferramenta numérica
serão discutidas. Adicionalmente, a metodologia aplicada para permitir que um
simulador numérico comercialmente disponível seja capaz de representar o
comportamento tixotrópico será também descrita. Por fim, alguns resultados
experimentais serão apresentados com o objetivo de avaliar qualitativamente a
capacidade do modelo em representar o comportamento esperado.
17
2 Revisão Bibliográfica
2.1 Fluido Não-Newtoniano e Tixotropia
Em um fluido newtoniano a relação entre a tensão e a taxa de deformação é
linear e a viscosidade é normalmente representada por μ. A viscosidade depende
somente da pressão e da temperatura. Um fluido não newtoniano apresenta uma
relação não linear entre a tensão e a taxa de deformação. O termo η, denominado
de viscosidade aparente, relaciona a tensão e a taxa de deformação para fluidos
não newtonianos [1].
Quando a tensão 𝜏 é função somente da deformação 𝛾, o material é dito
puramente elástico (𝜏 = 𝜏(𝛾)). Por outro lado, quando depende somente da taxa
de deformação, é dito puramente viscoso (𝜏 = 𝜏(�̇�)). Já quando depende de
ambos, deformação e cisalhamento, é denominado viscoelástico (𝜏 = 𝜏(𝛾, �̇�)).
Outros materiais requerem relações mais complexas que dependem do tempo ou
da história de deformação do fluido. [2]
Desta forma, os fluidos não newtonianos podem ser agrupados em três
classes, conforme proposto em [1] e [2], a saber:
- Puramente viscosos e independentes do tempo;
- Viscoelásticos e dependentes do tempo;
- Puramente viscosos e dependentes do tempo.
Esta classificação, apesar de arbitrária, auxilia o estudo, a modelagem e o
entendimento dos fluidos. Um fluido real pode apresentar o comportamento de
dois ou dos três grupos, mas é geralmente possível enquadrá-lo em apenas um
destes grupos com base em sua característica dominante [1].
2.1.1 Fluidos Puramente Viscosos e Independentes do Tempo
Fluidos nos quais a taxa de deformação é determinada somente pela tensão
de cisalhamento instantânea, ou seja, que não dependem do histórico ou do tempo
de aplicação desta tensão, possuem viscosidade classificadas como independente
do tempo. A Figura 1 apresenta o comportamento da tensão pelo cisalhamento
para diferentes comportamentos: pseudoplástico, dilatante e viscoplástico.
18
Figura 1 Comportamento de diferentes tipos de fluidos, adaptado de Lima [3]
O comportamento pseudoplástico (ou shear-thinning) é caracterizado pela
redução da viscosidade aparente com o aumento da taxa de deformação e
apresenta comportamento newtoniano para taxas de cisalhamento muito elevadas
e muito baixas [1]. A viscosidade aparente tende para um valor 0, quando o
cisalhamento tende a zero, e tende para um valor para taxa muito alta,
conforme ilustrada na Figura 2.
Os fluidos dilatantes apresentam comportamento similar aos fluidos
pseudoplásticos, mas a viscosidade aumenta com o aumento do cisalhamento.
Conforme apresentado por Chhabra & Richardson, a fase líquida lubrifica as
partículas sólidas quando a taxa de deformação é baixa, o que reduz a viscosidade
aparente do material. Entretanto, o fluido se dilata com o aumento da taxa de
deformação e a fase líquida não é mais capaz de preencher todo o vazio entre as
partículas sólidas para, desta forma, evitar o contato direto entre as mesmas (reduz
o efeito da lubrificação). Este fenômeno resulta, portanto, em aumento de fricção
interna e aumento da tensão cisalhante e da viscosidade [1].
Fluidos com comportamento viscoplástico são aqueles que não se deformam
quando submetidos a tensões menores do que a tensão limite de escoamento (𝜏0).
O fluido pode apresentar comportamento elástico ou mover-se como corpo rígido.
Acima da tensão limite, a estrutura do fluido se quebra e o mesmo se comporta
como um fluido viscoso. A partir deste momento, a relação entre tensão e taxa de
deformação pode ser linear, como um fluido newtoniano, ou não linear, como um
fluido pseudoplástico [3].
𝜏
𝛾 ̇
Pseudoplástico
Newtoniano
Dilatante
Viscoplásticos
19
Diversos modelos matemáticos estão disponíveis na literatura para descrever
o comportamento dos fluidos não newtonianos puramente viscosos. A seguir são
apresentados alguns destes modelos.
2.1.1.1 Modelo Power-Law
No modelo power-law ou Ostwald e de Waele, proposto em 1925 [4], a
relação entre tensão 𝜏 e taxa de deformação �̇� é dada pela relação
𝜏 = 𝑚(�̇�)𝑛 1
onde o coeficiente de consistência (m) e o índice de comportamento (n) são
obtidos empiricamente.
Observa-se que o fluido assume comportamento dilatante quando n é maior
que a unidade, comportamento pseudoplástico quando n é menor que a unidade e
comportamento newtoniano quando n é igual a um. Desta forma, o índice de
comportamento n indica a semelhança do fluido a um comportamento
newtoniano. Já o parâmetro m está relacionado à viscosidade medida e indica a
resistência do fluido em escoar.
A Figura 2 compara a viscosidade aparente pela taxa de deformação de um
fluido qualquer (linha pontilhada) e do modelo power-law ajustado (linha
contínua).
Figura 2 Viscosidade aparente e taxa de deformação para o modelo power-law (linha
contínua) e viscosidade medida (linha pontilhada).
Adaptado de Chhabra & Richardson [1]
0,0001
0,0010
0,0100
0,1000
1,0000
10,0000
0,01 0,10 1,00 10,00 100,00 1000,00 10000,00
Vis
cosi
dad
e A
par
en
te (
Pa.
s)
Taxa de Cisalhamento (1/s)
𝜇 0
𝜇 ∞
20
O modelo power-law apresenta algumas limitações, como, por exemplo, não
ser capaz de representar corretamente a viscosidade para taxas de cisalhamento
muito baixas ou muito altas, os valores não tendem para 𝜇0 ou 𝜇∞ [4], conforme
ilustra a Figura 2. Uma grande vantagem deste modelo é permitir com facilidade
sua utilização em análises analíticas [2].
2.1.1.2 Modelo Carreau-Yasuda
O modelo Carreau-Yasuda [4], ao contrário do modelo power-law,
considera os desvios na viscosidade aparente para os extremos de taxa de
deformação conforme apresentado na Figura 2. O modelo foi inicialmente
proposto por Carreau em 1968 e modificado por Yasuda em 1981 conforme
equação 2.
𝜂 − 𝜂∞
𝜂0 − 𝜂∞= [1 + (𝜆�̇�)𝑎]
𝑛−1𝑎 2
O parâmetro 𝜆 do modelo é um índice de consistência e a é um valor
adimensional que ajusta a transição entre a região de taxa de deformação próxima
a zero (𝜂0) e a região logarítmica linear do modelo de power-law [4].
2.1.1.3 Modelo de Bingham
Os modelos de power-law ou Carreau-Yasuda não descrevem o
comportamento viscoplástico. Já o modelo de Bingham, proposto em 1922 [2],
representa o fluido como sólido para tensões abaixo da tensão limite de
escoamento e como puramente viscoso acima desta tensão. Esse comportamento é
caracterizado pela equação 3.
𝜂(�̇�) = {
𝜇 +𝜏0
�̇� 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜏 ≥ 𝜏0
∞ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜏 < 𝜏0
3
O modelo de Bingham é comumente utilizado para representar fluidos de
perfuração na indústria de petróleo, onde a viscosidade 𝜇 e a tensão limite 𝜏0 são
funções da fração de partículas sólidas no fluido, do diâmetro destas partículas e
da viscosidade da fase líquida [2].
Este modelo é capaz de representar o comportamento linear entre tensão e
taxa de deformação de um fluido viscoplástico a partir da tensão limite de
escoamento, mas não é possível modelar fluidos com comportamento dilatante ou
21
pseudoplástico. A Figura 3 ilustra o modelo de Bingham e sua caracterísitica
newtoniana para tensão maior que a tensão limite.
Figura 3 Comportamento dos Fluidos Viscoplásticos
2.1.1.4 Modelo Herschel-Bulkley
Em 1926, Herschel e Bulkley propuseram uma generalização do modelo de
Bingham, seguindo a mesma lógica do modelo power-law de 1925 [5]. As três
curvas da Figura 3 são possíveis de representar pelo modelo Herschel-Bulkley (H-
B). A relação entre tensão 𝜏 e taxa de deformação é dada pela relação
𝜏 = {
𝜏0 + 𝑚�̇�𝑛 0
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜏 ≥ 𝜏0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜏 < 𝜏0
4
onde os parâmetros m e n são os mesmos do modelo power-law (item 2.1.1.1 ).
Quando n=1 a equação 4 equivale à equação 3 (modelo de Bingham).
A viscosidade aparente é obtida partir da relação 𝜏 = �̇�η, para tensão maior
que a tensão limite de escoamento (𝜏 ≥ 𝜏0), conforme equação 5. A Figura 4
representa a viscosidade pela taxa de deformação para um fluido representado
pelo modelo de Bingham e pelo modelo de Herschel-Bulkley (H-B).
𝜂 =𝜏0
�̇�+ 𝑚�̇�𝑛−1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜏 ≥ 𝜏0 5
𝜏
𝛾 ̇
Bingham
𝜏0
H-B (n>1)
H-B (n<1)
22
Figura 4 Viscosidade por taxa de deformação para o modelo de Bingham e H-B
2.1.1.5 Modelos Regularizados de Viscosidade
Conforme a Figura 4, a viscosidade no modelo de Herschel-Bulkley (H-B)
tende a infinito para taxas de cisalhamento que tendem a zero. Em uma simulação
numérica, este comportamento deve ser aproximado por um modelo que limite o
valor máximo da viscosidade. Além disso, o comportamento de sólido, para
tensões abaixo da tensão limite de escoamento, é, na verdade, muitas vezes
representado pelo comportamento viscoso com viscosidade muito alta,
representada geralmente por 𝜂0. Desta forma, a equação de viscosidade deve ser
suavizada.
Diversas equações que tratam essa questão estão disponíveis na literatura.
Papanastasiou propôs em seu artigo [6], a partir da análise de dados empíricos de
fluidos com comportamento de Bingham quase ideal, a equação 6. Verifica-se que
esta equação não é singular, mesmo para taxa de deformação nula, ao aplicar a
regra de L’Hôpital.
𝜂 = 𝑚 +𝜏0
�̇�(1 − 𝑒−𝜂0�̇�) 6
A equação proposta por Papanastasiou pode ser modificada para adequar-se
ao comportamento de fluidos do tipo H-B conforme proposto em [7] e
apresentada na equação 7.
𝜂 = 𝑚�̇�𝑛−1 +𝜏0
�̇�(1 − 𝑒−𝜂0�̇�) 7
A Figura 5 apresenta a equação de H-B original (equação 5) e a formulação
modificada de Papanastasiou (equação 7).
1E-06
1E-04
1E-02
1E+00
1E+02
1E+04
1E+06
1E+08
1E-06 1E-03 1E+00 1E+03 1E+06 1E+09
Vis
cosi
dad
e A
par
en
te (
Pa.
s)
Taxa de cisalhamento (1/s)
Bingham
Herschel-Bulkley
τ0 = 5Pa
mH-B ou µbingham = 2 Pa.s nH-B = 0.5
23
Figura 5 Viscosidade por tensão para o modelo de Papanastasiou (linhas contínuas) para
dois valores de 𝛈𝟎
O simulador computacional de dinâmica de fluidos (CFD) Fluent© possui
outra proposta de regularização dada pelas relações a seguir [8], onde a taxa
crítica �̇�𝑐 deve ser informada pelo usuário:
Se �̇� > �̇�𝑐:
Se �̇� ≤ �̇�𝑐:
𝜂 =𝜏0
�̇�+ 𝑚�̇�n−1
𝜂 =𝜏0(2 − �̇�/�̇�𝑐 )
�̇�𝑐+ 𝑚�̇�𝑐
n−1[(2 − 𝑛) + (𝑛 − 1)�̇�/�̇�𝑐]
8
A taxa crítica possui o mesmo efeito que a viscosidade 𝜂0 no modelo de
Papanastasiou, comparando a Figura 6 à Figura 5. Por existir duas equações, deve-
se garantir que a taxa de deformação crítica é baixa o suficiente para evitar
descontinuidades grandes ao trocar de equação.
Figura 6 Viscosidade por tensão para o modelo utilizado no Fluent© (linha contínua) para
dois valores de taxa crítica
1,E-04
1,E-02
1,E+00
1,E+02
1,E+04
1,E+06
1,E+08
1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04
Vis
cosi
dad
e a
par
en
te (
Pa.
s)
Tensão (Pa)
Herschel-Bulkley
η0 = 1e6
η0 = 1e5
1,E-05
1,E-03
1,E-01
1,E+01
1,E+03
1,E+05
1,E+07
1,E-03 1,E-01 1,E+01 1,E+03 1,E+05 1,E+07
Vis
cosi
dad
e a
par
en
te (
Pa.
s)
Tensão (Pa)
Herschel-Bulkley
γc = 1e-5
γc = 1e-6
24
Em 2004, de Souza Mendes e Dutra [7] apresentaram uma proposta de
viscosidade semelhante à de Papanastasiou, dada pela equação 9. A viscosidade é
igual a 𝜂0 para taxa de deformação nula enquanto que, para Papanastasiou,
tenderia a um valor infinito.
𝜂 = 𝑚�̇�𝑛−1 +
𝜏0
�̇�(1 − 𝑒
−𝜂0�̇�𝜏0
⁄ ) 9
A equação anterior foi modificada em trabalhos posteriores por de Souza
Mendes [9] e outros [10] para a equação 10. A equação para viscosidade proposta
tende para 𝜂0 quando a taxa de deformação é nula, assim como na equação 9, e
tende para η∞ quando a taxa tende para infinito (vide Figura 7). Essa
característica de ser limitada nos dois extremos é importante para evitar erro de
ponto flutuante em simulação numérica conforme discutido em [11].
𝜂 = (𝑚�̇�𝑛−1 +
𝜏0
�̇�) (1 − 𝑒
−𝜂0�̇�𝜏0
⁄ ) + 𝜂∞ 10
Figura 7 Viscosidade por tensão para o modelo proposto por de Souza Mendes [10]
2.1.2 Fluido Viscoelástico
Os fluidos apresentados na seção anterior (item 2.1.1) possuem
comportamento reológico puramente viscoso, onde a viscosidade é dependente da
taxa de deformação. Por outro lado, alguns fluidos apresentam um comportamento
elástico pronunciado [1]. Estes fluidos, classificados como viscoelásticos, são
capazes de absorver e recuperar parte da tensão cisalhamento aplicada.
1,E-05
1,E-03
1,E-01
1,E+01
1,E+03
1,E+05
1,E+07
1,E-03 1,E-01 1,E+01 1,E+03 1,E+05 1,E+07
Vis
cosi
dad
e a
par
en
te (
Pa.
s)
Tensão (Pa)
Herschel-Bulkley
de Souza Mendes
25
O modelo proposto por Maxwell [4] foi um dos primeiros a tentar explicar
este padrão ao unir o comportamento de sólidos elásticos (lei de Hooke) ao
comportamento de fluidos viscosos, a partir da equação
𝜏 +
𝜇
𝐺
𝜕𝜏
𝜕𝑡= −𝜇�̇� 11
onde G é o módulo de cisalhamento, e o termo 𝜇/𝐺 é o de tempo de relaxamento
representado por α [4].
Em regime permanente o modelo de Maxwell indica que a tensão é
proporcional a taxa de deformação, como um fluido Newtoniano. Quanto maior a
taxa de variação no tempo da tensão, maior será a contribuição do efeito elástico
apresentado na equação 11.
A Figura 8 compara o análogo mecânico do modelo proposto por Maxwell
ao modelo puramente viscoso apresentado no item 2.1.1.
Figura 8 Análogo mecânico do modelo viscoelástico proposto por Maxwell e modelo viscoso
O experimento proposto por Chhabra & Richardson [1] ilustra o
comportamento de fluido viscoelásticos e o efeito do tempo de relaxamento λ: a
partir do fluido em repouso, aplica-se um deslocamento instantâneo e constante
(taxa de deformação nula) e mede-se a tensão. Os resultados são apresentados na
Figura 9. Quanto maior o tempo de relaxamento, mais o fluido viscoelástico se
aproxima da resposta puramente elástica.
Figura 9 Comportamento viscoelástico – adaptado de Chhabra & Richardson [1]
τ
μ G
η
τ Viscoelástico de Maxwell
Viscoso
log𝜏
𝑡(𝑠)
λ=0.5
λ=1
λ=5
Aumento do
comportamento
elástico
Aumento do
comportamento
viscoso
26
Os fluidos viscoelásticos possuem efeito de memória, onde a tensão em um
dado instante t depende da taxa de deformação aplicada no mesmo instante e das
taxas dos instantes anteriores. A partir da integral da equação 11 é possível obter a
equação 12 [4], onde é claro esse fenômeno de memória. O efeito das taxas em
tempos anteriores t’ é cada vez menor quanto mais afastado do instante atual t,
conforme representado pelo termo exponencial.
𝜏 = −∫ (𝐺𝑒−(𝑡−𝑡′)
𝜇𝐺) �̇�(𝑡′)𝑑𝑡′
𝑡
−∞
12
Outros modelos podem ser propostos ou estão disponíveis na literatura [1, 2,
4, 5]. A proposta de Jeffrey [4], por exemplo, considera também a aceleração
(segunda derivada da deformação 𝛾) conforme equação 13 e análogo mecânico
representado na Figura 10.
𝜏 +
𝜂2
𝐺
𝜕𝜏
𝜕𝑡= −𝜇 (�̇� +
𝜂2
𝐺
𝜕�̇�
𝜕𝑡) 13
Figura 10 Análogo mecânico do modelo de Jeffrey
2.1.3 Fluidos Puramente Viscosos e Dependentes do Tempo
No item 2.1.1 foram apresentados os fluidos cuja tensão depende do produto
da taxa de deformação pela viscosidade aparente. Esta viscosidade pode ser
constante (fluido Newtoniano) ou variável, a depender da taxa de por exemplo. Já
no item 2.1.2, o efeito elástico é considerado e uma equação diferencial de
primeira ordem é apresentada para relacionar a tensão com a taxa de deformação e
a viscosidade aparente. Esta viscosidade, assim como nos fluidos puramente
viscosos (item 2.1.1), não varia com o tempo. Outro tipo de comportamento não
Newtoniano é denominado tixotropia. Neste caso, a viscosidade do fluido depende
do tempo de cisalhamento, e o comportamento é reversível. O inverso deste
comportamento também pode ocorrer, i.e., a viscosidade aumentando com o
tempo de cisalhamento, e, neste caso, o fluido é denominado anti-tixotrópico.
τ
η1
η2
G
27
Fluidos tixotrópicos tem como característica a quebra da sua estrutura ao
longo do tempo com a aplicação de cisalhamento e, em repouso, essa estrutura se
regenera lentamente. A quebra dessa estrutura implica em redução da viscosidade
aparente. Estes fluidos são capazes de retornar ao seu estado inicial após a
aplicação de uma taxa ou tensão de cisalhamento. O cisalhamento pode também
resultar em um comportamento inverso ao do fluido tixotrópico, ou seja, causa
crescimento da estrutura ao aumentar a colisão entre as partículas que, quando se
aproximam, se atraem e aderem-se uma as outras. Este comportamento é dito anti-
tixotrópico [12]. A Figura 11 ilustra os dois comportamentos.
Figura 11 Comportamento de viscosidade aparente dependente do tempo
O termo tixotropia foi sugerido por Peterfi em 1927 ao unir duas palavras
gregas: thixis (agitar) e trepo (mudar) [13]. Desde o início do século 20 o
comportamento tixotrópico é discutido, mas com significativo avanço a partir de
1950. Os primeiros trabalhos nessa área iniciaram com Schalek e Szegvari que,
em 1923, verificaram que géis aquosos com Fe2O3 poderiam ser transformados
em soluções líquidas quando agitados e, após um tempo em repouso, essas
soluções retornavam ao estado gelificado [12]. A definição de tixotropia evoluiu
desde então: de mudanças reversíveis nas propriedades de um fluido escoando
para um estado gelificado quando em repouso, para incluir a dependência do
tempo com a duração da aplicação de uma tensão cisalhante em 1967 [14].
A definição atual, conforme a IUPAC (International Union of Pure and
Applied Chemistry) é: a redução da viscosidade de um fluido inicialmente em
repouso com a aplicação de um cisalhamento ao longo do tempo. Se a viscosidade
é recuperada com o tempo após a aplicação deste cisalhamento, o fluido é dito
tixotrópico [15].
τ
�̇�
Tixotropia
Anti-tixotropia
28
Com essa definição, é introduzida a dependência do tempo, ou efeito de
memória. Além disso, é importante destacar que o fluido tixotrópico deve ser
reversível e apresenta geralmente histerese conforme será visto no item 2.1.3.1.
2.1.3.1 Caracterização da Tixotropia
A caracterização da tixotropia de um fluido é complexa, pois envolve
dependência do tempo e do histórico, mudanças irreversíveis, histerese e
sedimentação [12, 14]. A seguir são apresentadas algumas técnicas para avaliar as
propriedades da tixotropia em uma dada amostra.
A técnica do loop de histerese foi proposta por Green e Wetlmann em 1943
[16] e consiste em aplicar uma taxa de deformação crescente por um tempo e
reduzir gradativamente essa taxa. Desta forma, é possível obter o gráfico de
tensão por taxa de deformação, apresentado ilustrativamente na Figura 12, para
diversos ciclos realizados em sequência.
A forma da curva deste gráfico varia a depender do tipo de fluido, tempo de
repouso até o início do experimento, etc. [17]. Embora este teste seja simples, a
taxa de deformação e o tempo estão acoplados e, desta forma, não é possível
separar cada um destes efeitos no comportamento do fluido [12].
Figura 12 Loop de histerese para diversos testes em sequência
A variação em degraus da taxa de deformação até atingir o regime
permanente, permite verificar o efeito do cisalhamento no comportamento do
fluido e separar o efeito do tempo. A reversibilidade do fluido é possível verificar
executando os passos na ordem inversa [17]. O aumento e redução da viscosidade
ao longo do tempo com a variação da taxa é mostrado na Figura 13, que
exemplifica o teste para degraus de taxa de deformação.
τ
�̇�
τ
�̇�
τ
�̇�
29
Figura 13 Comportamento de viscosidade aparente dependente do tempo – adaptado
deBarnes [12]
O controle da tensão, ao invés da taxa de deformação, permite avaliar o
comportamento do fluido quando esta tensão está abaixo da tensão limite, por
exemplo. A redução em degrau da tensão aplicada pode resultar em um leve
aumento da viscosidade até outro valor em regime permanente ou o aumento até o
fluido parar de escoar. Os comportamentos da tensão e viscosidade são ilustrados
na Figura 14. Este teste é interessante para validar modelos de tixotropia em
ensaios laboratoriais [17].
Figura 14 Teste com controle da tensão e o resultado na viscosidade
Adaptado de Mewis & Wagner [17]
Outro teste realizado é aquele em que o fluido, inicialmente em repouso, é
sujeito a uma tensão ou taxa cisalhante constante, como em um cenário de
repartida do escoamento. De acordo com Barnes [12] a maioria dos fluidos
tixotrópicos quando em repouso, apresentam comportamento viscoelástico. Desta
forma, é esperado que no teste de repartida, para um degrau na taxa de
deformação, a tensão suba rapidamente atingindo um pico de máximo e, em
seguida, reduza gradativamente (conforme Figura 13). O gráfico desta tensão de
pico por tempo de repouso pode indicar o tempo de recuperação do fluido após o
cisalhamento [17].
τ
tempo
�̇�
tempo
breakdown
buildup
Permanente
t1 t2 t1 t2
η
tempo
τ
tempo
1
τ0
2
1
2
30
2.1.3.2 Mecanismos da Tixotropia
A tixotropia pode ser explicada a partir da microestrutura do fluido, criada
como resultado das forças de atração entre as partículas deste fluido. A
microestrutura pode estar associada, por exemplo, a floculação de partículas,
alinhamento de fibras, distribuição espacial das partículas ou a associação
molecular em soluções poliméricas [12].
Essas forças de união são capazes de gerar uma rede de partículas que
podem ser rompidas pelas forças hidrodinâmicas. Desta forma, quando inicia o
escoamento, ou a aplicação de uma tensão, a estrutura se quebra em estruturas
menores ou flóculos [17]. O aumento da taxa de deformação implica em estruturas
cada vez menores. Quando a tensão é reduzida ou encerrada, as forças de adesão
permitem que a rede de partículas se reconstrua.
Quando há equilíbrio entre a taxa de quebra da estrutura, causada pelas
forças de cisalhamento, e entre a taxa de formação de novas conexões, causada
pela união dos flóculos quando se colidem, o sistema está em regime permanente
[18].
Já o efeito de histerese (conforme apresentado no item 2.1.3.1) pode ocorrer
porque diferentes subestruturas, ou flóculos, podem ser formadas a depender da
taxa e da intensidade do cisalhamento sofrido. Essas subestruturas podem se unir a
outras formando subestruturas maiores com a redução do cisalhamento e
dependem novamente da taxa e da intensidade desta redução [17]. Observa-se,
portanto, que o caminho percorrido na quebra da microestrutura do fluido pode ser
diferente do caminho de formação, o que explica a histerese na viscosidade do
fluido, por exemplo.
2.1.3.3 Modelos para a Tixotropia
Existem na literatura diversos modelos matemáticos que representam, de
alguma forma, os fenômenos característicos da tixotropia. Estes modelos podem
ser divididos em três grandes grupos, conforme proposto em [12, 14], a depender
da estratégia adotada para descrever o comportamento da microestrutura do
fluido, a saber:
31
i. Modelos fenomenológicos, que utilizam propriedades reológicas que
dependem de funções de memória;
ii. Modelos cinéticos, que descrevem de maneira direta o comportamento da
microestrutura;
iii. Modelos indiretos, que utilizam um parâmetro escalar para descrever a
microestrutura.
A estratégia básica adotada pelos modelos fenomenológicos consiste em
definir a viscosidade ou tensão como uma função que dependa diretamente do
tempo atual e do passado [14, 18]. Estes modelos foram primeiramente propostos
por Slibar & Paslay [18] a partir da equação de Bingham adaptada com a tensão
limite de escoamento variável em função da taxa de deformação e tempo. Estes
modelos descrevem o comportamento do fluido sem relacionar diretamente o
estado da microestrutura do mesmo.
Com o objetivo de descrever diretamente a microestrutura do fluido, os
modelos cinéticos foram propostos [17]. Goldberg [18] propôs descrever o
número de conexões entre as partículas do fluido pela equação diferencial
−
𝑑𝑛
𝑑𝑡= 𝑘1𝑛�̇�𝑎 − 𝑘2(𝑛0 − 𝑛)�̇�𝑏 14
onde 𝑛0 indica a quantidade de conexões no fluido totalmente estruturado, 𝑛 o
número de conexões ativas, 𝑎 e 𝑏 correspondem respectivamente ao expoente
para a taxa de quebra e construção da estrutura.
A partir do número de conexões ativas, pode-se, por exemplo, calcular o
volume efetivo ocupado pelos flóculos e assim o impacto na viscosidade com base
no arraste hidrodinâmico causado por este volume, conforme descrito por Mewis
[17] e proposto por Potanin e cols. [19].
O terceiro grupo de modelos são aqueles que utilizam um parâmetro escalar
que define a estrutura para um dado instante de tempo. Esta estratégia se mostra
mais simples [14, 18], e será a adotada nos estudos aqui apresentados. O conceito
deste parâmetro, representado pelo símbolo λ, foi inicialmente proposto por
Moore em 1959 [20] e segue a relação apresentada na equação 15, com a e b
iguais a um. O parâmetro λ representa a fração de conexões ativas e guarda,
portanto, relação direta com 𝑛 do modelo microestrutural proposto por Goodeve
(equação 14).
32
𝑑𝜆
𝑑𝑡= 𝑘1𝜆�̇�
𝑎 − 𝑘2(1 − 𝜆)�̇�𝑏 15
Os modelos cinéticos e indiretos precisam relacionar a microestrutura do
fluido, descrita pelas equações diretas ou indiretas propostas, com seu
comportamento reológico [17]. Portanto, uma relação entre o parâmetro de
estrutura (equação 15) ou o número de conexões (equação 14) com uma ou mais
propriedades reológicas deve ser proposta. O modelo de Moore, e a maioria dos
modelos propostos na literatura, relaciona a viscosidade aparente com o parâmetro
estrutural [18]. A viscosidade proposta por Moore é representada por
𝜂 = 𝜂∞ + (𝜂0 − 𝜂∞)𝜆 16
onde 𝜂0 e 𝜂∞ são os valores extremos que a viscosidade pode assumir
para, respectivamente, valores muito baixos e muito altos de taxa de deformação
[21].
Com o objetivo de representar fluidos com tensão limite de escoamento,
Hooska [22] associou o parâmetro construtivo 𝜆 na equação de Herschel-Bulkley
(vide item 2.1.1.4 ). A tensão limite de escoamento passou a ser representada por
uma tensão 𝜏0 constante e outra tensão 𝜏0𝜆 devido à tixotropia, , conforme
equação 17, obtida de [23].
𝜏 = {
(𝜏0 + 𝜆𝜏0𝜆) + (𝑘 + 𝜆 𝛥𝑘) �̇�𝑛 0
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜏 ≥ 𝜏0 + 𝜆𝜏0𝜆 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜏 < 𝜏0 + 𝜆𝜏0𝜆
17
onde k corresponde a viscosidade permanente e Δ𝑘 a viscosidade em função da
tixotropia.
O parâmetro 𝜆 no modelo proposto por Hooska é dado pela equação 18,
onde 𝜆 varia de 1 (fluido totalmente estruturado) até 0 (totalmente sem estrutura).
A semelhança da proposta de Hooska (equação 18) com a generalização do
modelo inicialmente proposto por Moore (equação 15) é clara. Oito parâmetros
são necessários para definir as relações propostas, a saber: 𝜏0, 𝜏0𝜆, 𝑘, Δ𝑘, 𝑛, 𝑘1, 𝑎
e 𝑘2. No trabalho de Lima [3] são descritos os experimentos reológicos
necessários para a caracterização destes parâmetros.
𝑑𝜆
𝑑𝑡= 𝑘1𝜆�̇�
𝑎 − 𝑘2(1 − 𝜆) 18
de Souza Mendes propôs um modelo robusto [24] que inicialmente
considera também o comportamento elástico do fluido com base no modelo
viscoelástico proposto por Maxwell (descrito no item 2.1.2 e Figura 8) e em 2011
[25] atualizou a relação proposta para o modelo de Jeffrey (vide Figura 10). O
33
análogo mecânico proposto por Jeffrey e modificado com a constante elástica e
viscosa como funções do parâmetro construtivo 𝜆 é apresentado na Figura 15.
Figura 15 Análogo mecânico proposto por de Souza Mendes [9]
A equação constitutiva para a tensão é, desta forma, obtida com base nos
deslocamentos e tensões consideradas na Figura 15 e segue a equação 19, que é
semelhante a obtida para o modelo viscoelástico de Jeffrey.
𝜏 = 𝜂𝑣(�̇� + 𝜃2�̈�) − 𝜃1�̇� 19
onde 𝜃1 =𝜂𝑠
𝐺𝑠 , 𝜃2 = 𝜃1
𝜂∞
𝜂𝑠+𝜂∞ e 𝜂𝑣 = (𝜂𝑠 + 𝜂∞).
Considerando que a viscosidade aparente 𝜂𝑣 deve variar entre um valor
muito alto 𝜂0, fluido estruturado (𝜆 = 1), e muito baixo 𝜂∞ (𝜆 = 0) e que o
módulo de elasticidade deve aumentar com a redução da estrutura do fluido [9]
(redução de 𝜆), as relações da equação 20 são propostas para a viscosidade
aparente e o módulo de elasticidade.
𝜂𝑣(𝜆) = (
𝜂0
𝜂∞)𝜆
𝜂∞
𝐺𝑆(𝜆) =𝐺𝑆
𝜆𝑚
20
O parâmetro de construção 𝜆 pode ser obtido a partir da equação de
evolução 21 proposta por de Souza Mendes [26].
𝑑𝜆
𝑑𝑡=
1
𝑡𝑒𝑞[(1 − 𝜆)𝑎 − (1 − 𝜆𝑒𝑞)
𝑎(
𝜆
𝜆𝑒𝑞)
𝑏
] 21
onde o tempo de equilíbrio 𝑡𝑒𝑞, 𝑎 e 𝑏 são constantes características do fluido e 𝜆𝑒𝑞
corresponde ao parâmetro construtivo em equilíbrio (regime permanente).
2.2 Trabalhos Anteriores
A modelagem numérica do comportamento de fluidos não newtonianos, em
especial aqueles com comportamento tixotrópico, utilizando volumes finitos
τ
η∞
Gs(λ)
γ
γe γv
η𝑠(λ)
34
(FVM, do inglês finite-volume method) foi realizada em diversos trabalhos.
Alguns destes trabalhos são apresentados a seguir.
O deslocamento de um fluido tixotrópico em um duto por um fluido
newtoniano foi avaliado por de Souza Mendes e colaboradores [26]. O algoritmo
numérico proposto é capaz de avaliar a posição da interface entre os fluidos ao
longo do tempo, sem considerar compressibilidade ou elasticidade. A interface
entre os fluidos é assumida plana e se move conforme a velocidade média do
escoamento. A equação constitutiva utilizada para a tixotropia segue a equação
21, com a e b iguais a um, o que permite obter uma relação linear entre o
parâmetro tixotrópico e a taxa de deformação. O comportamento do escoamento é
comparado para diferentes parâmetros, por exemplo, tempo de equilíbrio e
viscosidade do fluido newtoniano entrante. A proposta numérica apresentada
também permitiu verificar o comportamento de avalanche.
Wachs e colaboradores [23] propõem um modelo FVM 1.5D capaz de
representar o comportamento tixotrópico para fluido viscoplástico compressível
em problemas de repartida. No modelo 1.5-D, apenas a componente axial da
velocidade é considerada, apesar dela depender tanto da posição axial como
radial. O modelo para a tixotropia de Houska foi utilizado, mas simplificado para
obter uma relação linear entre variação de λ e taxa de deformação. Outra
simplificação realizada foi considerar que apenas a tensão limite de escoamento
varia com o parâmetro construtivo (a viscosidade é mantida constante). Wachs e
cols. mostram que, ao considerar a tixotropia e a compressibilidade de um fluido
viscoplástico em um tubo, é possível, em alguns casos, reiniciar o escoamento
para pressões menores que 4𝜏0𝐿/𝐷, onde 𝜏0 é a tensão limite, L o comprimento e
D o diâmetro do tubo. [23]
No trabalho de Ahmadpour & Sadeghy [24] é utilizado o método de FVM
para modelar o reinício da produção de um óleo gelificante, conforme algoritmo
desenvolvido por Ahmadpour em sua tese [13]. Com base no modelo 2-D de um
tubo, diferentes análises de sensibilidade são realizadas para um fluido que segue
as equações constitutivas de viscoelasticidade propostas por Dullaert & Mewis
[27]. Diferentes análises de sensibilidade são realizadas, variando parâmetros de
elasticidade, estrutura e compressibilidade, para verificar a influência destes
parâmetros no tempo de repartida até o regime permanente.
35
O trabalho de Potanin [28] apresenta uma transição para a utilização de
ferramentas computacionais disponíveis comercialmente. Um reômetro é
representado por uma ferramenta de CFD com o objetivo de reproduzir
experimentos reológicos com fluidos tixotrópicos. Uma relação linear entre a
tixotropia e a taxa de deformação é considerada, para simplificar a solução do
problema. Os resultados apresentados mostram boa coerência com os
experimentos de caracterização realizados e demonstra a validade em utilizar
ferramentas comerciais de CFD, tais como Fluent© ou Flow-3D©, na modelagem
de fluidos tixotrópicos. [28]
Além do trabalho de Potanin [28], não foram encontrados outros trabalhos
disponíveis na literatura que utilizam estas ferramentas comerciais para
escoamento de fluido tixotrópico.
Desta forma, a proposta do presente estudo, desenvolver uma metodologia e
simular o comportamento tixotrópico de um fluido em uma ferramenta de CFD,
ainda não foi tema disponível na literatura e poderá servir de insumo para
trabalhos futuros.
36
3 Formulação Matemática
3.1 Equações Fundamentais de Transporte
O escoamento de um fluido é regido pela equação de conservação de massa,
de quantidade de movimento e de energia [4]. O problema a ser modelado será o
escoamento isotérmico do fluido com o objetivo de simplificar a análise e já que é
uma hipótese realista considerar que o fluido em repouso estaria em equilíbrio
térmico com o meio ambiente. Desta maneira, somente as equações de
conservação de massa e de quantidade de movimento são necessárias para a
obtenção da solução. As equações de conservação de massa e de quantidade de
movimento são apresentadas respectivamente pelas equações 22 e 23.
𝜕𝜌
𝜕𝑡= −∇. 𝜌�⃗� 22
𝜕
𝜕𝑡(𝜌�⃗� ) = −𝜌�⃗� . ∇�⃗� − ∇⃗⃗ . 𝜋 + 𝜌𝑔 23
onde 𝜌 corresponde a massa específica do fluido que atravessa um volume de
controle a uma velocidade �⃗� , 𝜋 corresponde ao tensor tensão e 𝑔 à aceleração da
gravidade.
O problema em estudo consiste em um escoamento incompressível,
axisimétrico (2-D) e sem efeito da gravidade. Desta forma, as equações 22 e 23
podem ser simplificadas respectivamente para as equações 24 e 25, apresentadas
em notação indicial.
0 =
𝜕𝜌𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑖 24
𝜌
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑡= −𝜌𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑖+
𝜕𝜋𝑖𝑖
𝜕𝑥𝑖+
𝜕𝜋𝑖𝑗
𝜕𝑥𝑗 25
A análise do escoamento é obtida com a solução das equações 24 e 25 e
com a equação constitutiva para a tensão.
O tensor de tensões 𝜋𝑖𝑖 da equação 25 depende da tensão viscosa,
representado pelo tensor 𝜏, e da pressão p aplicada ao material conforme equação
26.
𝜋 = [
−𝑝 00 −𝑝
] + 𝜏 26
37
Já o tensor de tensão viscosa 𝜏 pode ser especificado pela relação entre a
viscosidade aparente 𝜂 e a taxa de deformação conforme equação 27 para fluido
não newtoniano puramente viscoso [29].
𝜏 = 𝜂 [0
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑟+
𝜕𝑢𝑟
𝜕𝑥𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑟+
𝜕𝑢𝑟
𝜕𝑥0
] 27
A viscosidade aparente 𝜂 é calculada conforme equação 20 (item 2.1.3.3 )
para o modelo de tixotropia proposto por de Souza Mendes e cols. [9]. A partir
das simplificações utilizadas e da definição do tensor de tensão 𝜋 (equação 25), da
tensão viscosa 𝜏 (equação 27) e da equação constitutiva para a viscosidade
(equação 20) é possível obter a relação abaixo (equação 28) para a conservação de
quantidade de movimento em função do parâmetro tixotrópico 𝜆.
𝜌
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑡+ 𝜌𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑖= −
𝜕𝑝
𝜕𝑥𝑖+
𝜕
𝜕𝑥𝑗[(
𝜂0
𝜂∞)𝜆
𝜂∞
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗] 28
O comportamento de 𝜆 segue a equação constitutiva apresentada pela
equação 21 que depende do valor de 𝜆 em equilíbrio (𝜆𝑒𝑞), além dos parâmetros
característicos do fluido (coeficientes 𝑡𝑒𝑞, 𝑎 e 𝑏). A solução de 𝜆𝑒𝑞, necessária
para resolver a equação constitutiva da tixotropia, pode ser obtida a partir da
relação representada pela equação 29, onde 𝜂𝑒𝑞 é a viscosidade do fluido em
equilíbrio.
𝜆𝑒𝑞 = (ln 𝜂𝑒𝑞 − ln 𝜂∞)/(ln 𝜂0 − ln 𝜂∞) 29
A viscosidade em equilíbrio é obtida experimentalmente da curva de
escoamento. Esse trabalho assume que essa viscosidade pode ser representada
pelo modelo regularizado proposto por de Souza Mendes e cols. [10],
substituindo 𝜂 por 𝜂𝑒𝑞 conforme equação 30.
𝜂𝑒𝑞 = (𝑚�̇�𝑛−1 +
𝜏0
�̇�) (1 − 𝑒
−η0�̇�𝜏0
⁄ ) + 𝜂∞ 30
A Figura 16 resume as equações que devem ser resolvidas e a relação entre
elas, onde fica clara a necessidade em utilizar um método iterativo. Cada uma
destas equações devem ser discretizadas para resolução a partir da ferramenta de
CFD Fluent©.
38
Figura 16 Resumo com as equações que devem ser resolvidas para o escoamento do fluido
tixotrópico
3.2 Discretização da Equação de Transporte Genérica
A discretização das equações diferenciais de transporte que regem o
escoamento apresentadas no item 3.1 , Figura 16, é necessária para a simulação
numérica. Nas ferramentas de CFD, e mais especificamente no Fluent©, o método
utilizado para discretização é o método de volumes finitos. O método de volume
finito consiste resumidamente em: (i) integrar as equações diferenciais em um
volume de controle; (ii) discretizar estas equações; (iii) resolver as equações
linearizadas por um método iterativo, até o resíduo convergir para um valor
mínimo, em cada passo de tempo. [30]
A equação 31 é uma forma genérica para as equações de transporte que
regem o escoamento, e será utilizada como base para apresentar alguns dos
métodos de discretização que podem ser aplicados.
31
onde 𝜌 é a massa específica, 𝜙 é a variável dependente, Γ é o coeficiente difusivo
e 𝑆𝜙 é o termo fonte.
Na equação 31, o termo convectivo expressa o transporte da variável 𝜙
devido ao escoamento e o termo difusivo expressa o transporte por movimento
interno do material, ou seja, por um processo de difusão. A equação de
Eq. 24
Eq. 28
Eq. 20
Eq. 29
Eq. 30
Eq. 24
Eq. 28
Eq. 20
Eq. 29
Eq. 30
𝜕𝜌𝜙
𝜕𝑡+
𝜕𝜌𝜙𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑖−
𝜕
𝜕𝑥𝑖(Γ
𝜕𝜙
𝜕𝑥𝑖) = 𝑆𝜙
Termo transiente
Termo advectivo
Termo difusivo
Termo fonte
39
conservação de massa (equação 24) é obtida com ϕ = 1, Sϕ e Γ = 0. Já a
conservação de quantidade de movimento (equação 28) é representada com ϕ =
𝑢𝑖, 𝑆𝜙 = −𝑑𝑝/𝑑𝑥𝑖 e Γ = 𝜂𝑣(𝜆) = (𝜂0
𝜂∞⁄ )
𝜆𝜂∞ .
A integral da equação 31 em um volume de controle genérico (V), aplicando
o teorema da divergência de Gauss, resulta na equação
∫
𝜕𝜌𝜙
𝜕𝑡𝑉
𝑑𝑉 + ∫ 𝜌𝜙𝑢𝑖𝑛𝑖 − Γ𝜕𝜙
𝜕𝑥𝑖𝑛𝑖
𝑠
𝑑𝑆 = ∫ 𝑆𝜙𝑉
𝑑𝑉 32
onde 𝑛𝑖 corresponde a componente normal em cada uma das faces.
A discretização de cada um dos termos da equação 32 será apresentada
resumidamente a seguir.
Diversos métodos podem ser aplicados para discretizar o termo transiente da
equação 32. Um método de primeira ordem pode consistir em aproximar o termo
transiente por uma função 𝐹(𝜙) resultando na igualdade
∫
𝜕𝜌𝜙
𝜕𝑡𝑉
𝑑𝑉 ≈ 𝐹(𝜙) = 𝑉𝜌𝜙𝑛 − 𝜙𝑛−1
∆𝑡 33
onde ∆𝑡 corresponde ao passo de tempo utilizado, 𝜙𝑛 ao valor atual do
termo dependente e 𝜙𝑛−1 ao valor obtido para o tempo anterior.
Já a integral do termo fonte da equação 32 pode ser resolvida a partir do
valor médio em um dado volume, representado por S𝜙̅̅ ̅, conforme equação 34.
∫ S𝜙𝑉
𝑑𝑉 = S𝜙̅̅ ̅𝑉 34
O valor de S𝜙̅̅ ̅ pode ser obtido com a equação de primeiro grau
S𝜙̅̅ ̅ = S𝑐 + S𝑝 𝜙 35
onde S𝑐 e S𝑝 são constantes [30].
O volume de controle genérico em destaque na Figura 17 é composto pelas
faces l, s, n e o, de comprimentos Al, As, An e Ao, respectivamente. O termo
advectivo pode ser aproximado pela equação 36 e o termo difusivo pela equação
37, com base neste volume de controle, a partir do balanço de fluxo que entra e sai
em cada uma das faces.
40
Figura 17 Cálculo da variável nas faces
∫ 𝜌𝜙𝑢𝑖𝑛𝑖𝑠
𝑑𝑆 = 𝜌(𝜙𝑙𝑢𝑙𝐴𝑙 − 𝜙𝑜𝑢𝑜𝐴𝑜 + 𝜙𝑛𝑢𝑛𝐴𝑛 − 𝜙𝑠𝑢𝑠𝐴𝑠) 36
∫ Γ𝜕𝜙
𝜕𝑥𝑖𝑛𝑖
𝑠
𝑑𝑆 = Γ𝑑𝜙
𝑑𝑥|𝑙𝐴𝑙 − Γ
𝑑𝜙
𝑑𝑥|𝑜𝐴𝑜 + Γ
𝑑𝜙
𝑑𝑥|𝑛𝐴𝑛 − Γ
𝑑𝜙
𝑑𝑥|𝑠𝐴𝑠 37
Os valores nas faces necessários para resolver as equações anteriores são
obtidos por interpolação, já que os valores das variáveis são calculados e
armazenados apenas nos centros de cada célula. Diferentes métodos podem ser
aplicados para obter estes valores.
3.2.1 Funções de Interpolação para o Termo Advectivo
No método de primeira ordem, o valor de 𝜙 na face é igual ao valor no
centro da célula a montante desta face. Desta forma, para o exemplo da Figura 18,
o valor de 𝜙𝑙, referente a face entre as células A e B será igual a 𝜙𝐴. Este método
adiciona difusão numérica que pode impactar na convergência requerida e nos
resultados obtidos.
Figura 18 Interpolação no método de primeira ordem para obter o valor da variável 𝝓𝒍,
referente a face entre as células A e B
As
Al Ao
An
Variável φ
Valor de Φ
Sentido do Fluxo
ΦA
ΦB
Cé lula A
Φl
Cé lula B
41
O método de diferenças centrais, mais preciso que o de primeira ordem,
interpola por uma reta os valores da célula a montante e a jusante. Este método
pode resultar em divergência ou oscilações para números de Peclet maiores que
dois [31]. Outro método utilizado é o método power-law que consiste em igualar o
termo convectivo ao difusivo e integrar essa igualdade ao longo do comprimento
Al da face, para escoamento 2-D, obtendo a relação apresentada na equação 38.
𝜙(𝑥) − 𝜙𝑥=0
𝜙𝑥=𝐿 − 𝜙𝑥=0=
𝑒𝑃𝑒𝑥𝐿 − 1
𝑒𝑃𝑒 − 1
38
onde Pe é o número de Peclet, dado por 𝜌𝑢𝐿 Γ𝜙⁄ .
A Figura 19 ilustra o valor de 𝜙 para a face entre duas células para os três
métodos de interpolação descritos acima: primeira ordem, diferenças centrais e
power-law.
Figura 19 Interpolação no método de primeira ordem, diferenças centrais e power-law para
obter o valor da variável 𝝓𝒍, referente a face l entre as células A e B
No método de segunda ordem, o valor da variável na face é obtido a partir
da interpolação dos valores centrais das duas células a montante, em relação ao
sentido de escoamento. Já no método QUICK, a interpolação é realizada com base
nas duas células a montante e na célula a jusante. A Figura 20 ilustra estes dois
métodos.
Valor de Φ
Sentido do Fluxo
ΦA
ΦB
Cé lula A
1
2
3
1: power-law 2: diferenças centrais 3: 1º ordem
Cé lula B
42
Figura 20 Interpolação no método de segunda ordem e QUICK para obter o valor da
variável 𝝓𝒍, referente a face entre as células A e B
3.2.2 Acomplamento da Pressão e Velocidade
Observa-se que o gradiente de pressão precisa ser calculado para resolver a
equação de quantidade de movimento (equação 28). Entretanto, no escoamento
incompressível não é possível calcular diretamente a pressão a partir das equações
fundamentais apresentadas [30]. Desta forma, é necessário resolver indiretamente
a pressão com base nas equações de quantidade de movimento e de continuidade.
Os algoritmos SIMPLE, SIMPLEC ou PISO podem, por exemplo, serem
utilizados para resolver essa questão.
Com o objetivo de controlar a taxa de variação de uma variável entre um
passo de tempo e outro, para aumentar ou evitar divergências na resolução
principalmente de problemas não lineares [8], utiliza-se o conceito de relaxamento
explícito. O novo valor de uma variável 𝜙 depende, desta forma, do valor anterior
desta variável e da variação estimada desta variável, calculada com base em um
dos métodos anteriores, normalizada por um fator ∝ conforme equação 39.
𝜙 = 𝜙𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟+∝ ∆𝜙
39
3.2.3 Discretização da Equação de Evolução da Tixotropia
A equação de evolução utilizada neste trabalho segue a forma proposta por
de Souza Mendes e cols. [32], apresentada pela equação 21. Esta equação para ser
utilizada pela ferramenta de CFD deve seguir a forma da equação genérica de
Valor de Φ
Sentido do Fluxo
Cé lula A
2 1: QUICK 2: 2º ordem
Cé lula C
ΦA
ΦB
ΦC
1
Cé lula B
43
transporte dada pela equação 31. Desta forma, o programa poderá discretizar e
resolver a expressão de evolução junto com a solução das demais equações.
Multiplicando ambos os lados da equação 21 pela massa específica
(constante neste caso) e considerando que a derivada no lado esquerdo da equação
equivale a derivada material [25], obtêm-se a equação 40.
40
O termo transiente e advectivo da equação 40 segue a forma da equação
genérica de transporte (equação 31), com termo difusivo nulo, e podem ser
facilmente discretizados e calculados pela ferramenta de CFD. Entretanto, o termo
fonte não segue a relação linear necessária dada pela equação 35. Assim, o termo
fonte desta equação precisa ser linearizado.
A expansão por série de Taylor com truncamento no termo de primeira
ordem parece ser o método mais recomendável para discretização conforme
proposto por Patankar [30]. Este método consiste em estimar o valor do termo de
fonte atual com base nos termos de ordem zero e de primeira ordem da expansão,
ambos referentes aos valores calculados na iteração anterior, conforme equação 41
e ilustrado na Figura 21.
𝑆 = 𝑆∗ +
𝑑𝑆
𝑑𝜆|∗
(𝜆 − 𝜆∗)
41
onde 𝑆∗, 𝑑𝑆 𝑑𝜆⁄ |∗ e 𝜆∗ equivalem respectivamente ao termo fonte, derivada
do termo fonte e parâmetro tixotrópico, todos avaliados na iteração anterior.
Figura 21 Proposta de linearização para o termo fonte. Adaptado de [30]
𝜌𝜕𝜆
𝜕𝑡+ 𝜌
𝜕𝜆𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑖 =
𝜌
𝑡𝑒𝑞[(1 − 𝜆)𝑎 − (1 − 𝜆𝑒𝑞)
𝑎(
𝜆
𝜆𝑒𝑞)
𝑏
]
Termo transiente
Termo advectivo
Termo fonte
44
Aplicando a equação 41 ao termo fonte da equação 40, obtêm-se a igualdade
representada pela equação abaixo.
𝑆 =
𝜌
𝑡𝑒𝑞[𝑎(𝜆 − 1)
(𝜆∗ − 1)+ (1 − 𝑎)] [−(𝜆∗ − 1)]𝑎
+𝜌
𝑡𝑒𝑞(−(𝜆∗
𝑒𝑞 − 1))𝑎[(𝑏 − 1) −
𝑏𝜆
𝜆∗ ] (𝜆∗
𝜆∗𝑒𝑞
)
𝑏
42
Separando os termos da equação 42 é possível obter os valores de 𝑆𝑐 e
𝑆𝑝 da equação 35. As equações 43 e 44 representam, respectivamente, os termos
𝑆𝑝 e 𝑆𝑐 obtidos.
S𝑝 =𝜌
𝑡𝑒𝑞
𝑎𝜆∗[−(𝜆∗ − 1)]𝑎 − 𝑏(𝜆∗ − 1)[−(𝜆∗𝑒𝑞 − 1)]
𝑎(
𝜆∗
𝜆∗𝑒𝑞)𝑏
𝜆∗(𝜆∗ − 1)
43
S𝑐 = −
𝜌
𝑡𝑒𝑞(𝜆∗ − 1)
{[(𝑎 − 1)𝜆∗ + 1][−(𝜆∗ − 1)]𝑎
− (𝑏 − 1)(𝜆∗ − 1)[−(𝜆∗𝑒𝑞 − 1)]
𝑎(
𝜆∗
𝜆∗𝑒𝑞
)
𝑏
}
44
Com os termos S𝑝 e S𝑐 calculados têm-se a equação evolutiva de tixotropia
escolhida de acordo com a forma e premissas da equação genérica de transporte
(equação 31), que pode ser resolvida pela ferramenta de CFD.
45
4 Metodologia
4.1 Algoritmo para Resolução das Equações de Transporte no Fluent©
A ferramenta de CFD Fluent© é capaz de resolver as equações de transporte
discretizadas utilizando dois métodos numéricos, a saber: por pressão ou por
densidade. No método por densidade, a equação da continuidade é resolvida junto
com a equação de quantidade de movimento e o campo de pressão é determinado
a partir de uma equação de estado. Já no método por pressão, a pressão é obtida a
partir das equações de continuidade e quantidade de movimento [8].
O método por pressão, que será utilizado para resolver o problema aqui
proposto, pode ser resolvido utilizando o algoritmo acoplado ou segregado. No
algoritmo acoplado as equações de conservação de quantidade de movimento e
continuidade são resolvidas simultaneamente. No método segregado, primeiro as
equações de quantidade de movimento são resolvidas e, em seguida, a de
continuidade e demais, tais como a de conservação de energia, turbulência ou
aquelas definidas pelo usuário. A Figura 22 apresenta a sequência de operações
para o algoritmo segregado e acoplado. Em uma simulação transiente, esta
sequência é aplicada para cada passo de tempo.
Figura 22 Algoritmo para resolução das equações de transporte no Fluent©. Adaptado de [8]
Verifica Convergência
Atualiza as Propriedades
Resolve Equações de Movimento em x, y e z
Resolve Equação da Continuidade
Atualiza Fluxo de Massa, Velocidades e Pressão
Resolve Equações de Energia, Turbulência, etc.
Convergiu
Algoritmo Segregado
Não
Convergiu
Atualiza as Propriedades
Resolve Equações de Movimento e Continuidade
Atualiza Fluxo de Massa
Resolve Equações de Energia, Turbulência, etc.
Verifica Convergência
Convergiu
Algoritmo Acoplado
Não
Convergiu
46
Apesar de o algoritmo acoplado apresentar uma taxa de convergência mais
elevada [8], o algoritmo segregado foi utilizado já que nos primeiros testes
realizados apresentou soluções mais rápidas.
O simulador Fluent© não é capaz de simular nativamente o escoamento
para fluidos tixotrópicos. Entretanto, é possível via funções escritas pelo usuário
inserir a resolução de uma equação de transporte qualquer, desde que siga a forma
apresentada no item 3.2 . A partir desta funcionalidade, a equação de transporte
para a tixotropia pode ser programada e acoplada à equação de conservação de
quantidade de movimento com a equação de viscosidade apropriada. Algumas
funções já existentes na biblioteca do Fluent© permitem este acoplamento. A
Figura 23 apresenta as funções utilizadas para permitir a simulação numérica do
escoamento de um fluido com comportamento tixotrópico.
Estas funções, escritas em linguagem C, podem ser compiladas pelo próprio
Fluent© antes de iniciar a simulação ou podem ser interpretadas durante a
simulação. Compilar as funções reduz o tempo de execução da simulação e
permitem utilizar funções mais complexas e necessárias para simular a tixotropia.
Figura 23 Funções adicionais requeridas para implementar a tixotropia no Fluent© para o
algoritmo segregado
O termo transiente, advectivo e fonte da equação de transporte para a
tixotropia (equação 40) são descritas em linguagem C utilizando respectivamente
Verifica Convergência
Atualiza as Propriedades
Resolve Equações de Movimento em x, y e z
Resolve Equação da Continuidade
Atualiza Fluxo de Massa, Velocidades e Pressão
Resolve Equações de Energia, Turbulência, etc.
Convergiu
Algoritmo Segregado
Não
Convergiu
Equação de Evolução da Tixotropia
Macro SOURCE
Macro UNSTEADY
Macro FLUX
Macro PROPERTY Macro ADJUST
47
as funções Unsteady, Flux e Source. Os algoritmos utilizados são apresentados
nas tabelas a seguir.
Tabela 1 Algoritmo para o termo fonte
Tabela 2 Algoritmo para o termo de fluxo
Tabela 3 Algoritmo para o termo transiente
A relação entre a viscosidade aparente e o termo tixotrópico, equação 20
(item 2.1.3.3), é descrita na função Property conforme lógica da Tabela 4.
Tabela 4 Algoritmo para a viscosidade
O termo fonte que foi linearizado conforme metodologia apresentada no
item 3.2.3 depende do valor da iteração anterior. A função Adjust, que é executada
ao final dos cálculos de uma iteração, foi necessária para guardar o valor atual de
algumas variáveis para a próxima iteração. O algoritmo é apresentado na Tabela
5.
Tabela 5 Algoritmo para manipular valores anteriores
DEFINE_SOURCE 1. Obter taxa de cisalhamento na célula com a função
C_STRAIN_RATE_MAG; 2. Obter valores da iteração anterior em C_UDMI 3. Calcular viscosidade de equilíbrio; 4. Calcular estrutura de equilíbrio; 5. Calcular o termo fonte; 6. Salvar derivada do termo fonte; 7. Retornar termo fonte calculado.
DEFINE_UDS_FLUX 1. Utilizar macro F_FLUX (resolve 𝜌�⃗� ) para retornar fluxo.
DEFINE_UDS_UNSTEADY 1. Obter passo de tempo atual com função RP_Get_Real; 2. Obter volume da célula atual com a função C_VOLUME; 3. Obter a massa na célula atual com a função C_R; 4. Calcular os coeficientes do termo fonte e central da
equação diferencial discretizada.
DEFINE_PROPERTY 1. Obter o valor da estrutura da célula salvo em C_UDSI; 2. Calcular e retornar o valor da viscosidade.
DEFINE_ADJUST 1. Obter ponteiros para thread (via Thread *) e célula (via
cell_t); 2. Repetir para cada thread e cada célula:
i. Salvar valor das variáveis atuais na memória com C_UDMI;
ii. Atualizar com valores das variáveis anteriores.
48
4.2 Principais Configurações no Fluent©
A simulação numérica utilizou a versão 16.0.0 do Fluent© com a opção de
precisão dupla habilitada. O método de pressão foi utilizado para resolver as
equações de transporte (pressure-based solver) para o modelo transiente
axisimétrico com geometria de duas dimensões (2-D) e as seguintes
configurações:
Condição inicial: fluido parado no duto e totalmente estruturado (λ=1).
Condições de entrada:
- Degrau de pressão aplicado no instante inicial, pressão mantida
constante em toda a simulação;
- Gradiente do escalar λ igual a zero na direção normal a entrada
conforme utilizado por Wachs e cols. [23].
Condições de saída
- Pressão constante e igual a zero;
- Gradiente do escalar λ igual a zero na direção normal a saída.
Condições na parede
- Sem escorregamento na parede (slip igual a zero);
Passo de tempo: igual a 0,0001s.
O algoritmo PISO para acoplamento da pressão e velocidade foi escolhido
por ser o mais recomendável em simulações transientes e oferecer estabilidade
mesmo para relaxamentos elevados [8]. Os fatores de relaxamento apresentados
na Tabela 6 foram utilizados e obtidos após algumas simulações preliminares
indicarem menor tempo de convergência e estabilidade para estes fatores.
Tabela 6 Fatores de relaxação utilizados
Variável Fator de
relaxamento
Pressão 0.4
Densidade 1
Forças de corpo 1
Momento 0.4
Escalar 1
Os métodos de solução utilizados para discretização, conforme descrito
brevemente no item 3.2, “Discretização da Equação de Transporte Genérica”,
foram:
49
Cálculo de pressão: 2ª ordem;
Cálculo do momento: Power-law;
Cálculo do escalar (parâmetro tixotrópico): 2ª ordem;
Cálculo dos gradientes: mínimos quadrados.
Os critérios de convergência utilizados para cada um dos resíduos das
equações de conservação de massa, momento e tixotropia são apresentados na
Tabela 7.
Tabela 7 Resíduos máximos (em valor absoluto)
Equação Resíduo
Máximo
Continuidade 1.10-3
Velocidade Axial 1.10-5
Velocidade Radial 1.10-5
Escalar 1.10-5
4.3 Teste de Independência de Malha
O impacto da malha utilizada no comportamento da simulação e nos
resultados gerados foram avaliados em regime permanente para alguns cenários
utilizando a equação 10 da tixotropia (item 2.1.1.5) com a e b iguais a 1. A
geometria de teste representa um duto de comprimento 2 m e raio de 0.05 m,
resultando em uma razão comprimento por largura de 40. A Tabela 8 apresenta a
quantidade de células em cada uma das malhas utilizadas.
Tabela 8 Diferentes malhas utilizadas
Nome da Malha
Número de Células
Comprimento Altura Total
1 100 5 500
2 200 10 2000
3 400 20 8000
4 640 32 20480
5 720 36 25920
6 1080 54 58320
7 1440 72 103680
8 2160 180 388800
Especificamente para esta análise, foi utilizada a convergência mínima de
1.10-7 para as equações de momento, continuidade e parâmetro construtivo. Os
valores de velocidade total média a 10 cm da saída (L=1.90 m) são apresentados
para cada uma das malhas utilizadas na Figura 24. A velocidade média calculada
50
para a malha mais refinada (2160x180) é aproximadamente igual aquela com
refinamento imediatamente abaixo (1440x72).
Figura 24 Velocidade Axial média a 10cm da saída em função do número de células
utilizadas na rede
A Figura 25 apresenta o erro relativo à malha mais fina para a velocidade
média (linha vermelha) e para a velocidade em cada célula ao longo do raio (linha
azul). A malha 5, de 720 por 36 células, foi escolhida. Além de possuir menos que
a metade do número de células da malha 6, resultou em erro relativo de
aproximadamente 2% em relação à malha mais fina (contra 1% para a malha 6).
Figura 25 Erros relativos à malha mais refinada (2160x180).
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
100 1000 10000 100000 1000000
Ve
l. M
éd
ia \
Ve
l. M
éd
ia M
áxim
a
Nº de Células
Velocidade Média pelo Número de Células da Malha
0%
1%
2%
3%
4%
5%
6%
7%
8%
9%
10%
100 1000 10000 100000 1000000
Erro
(%
)
Nº de Células
Erro Relativo para as Velocidades e Velocidades Médias
Erro Médio das Velocidades Erro da Velocidade Média
Malha escolhida
1
2
3
4
5
6
7 8
51
Com o objetivo de validar a malha escolhida foi utilizada a solução analítica
para escoamento de um fluido que segue o modelo de Bingham (item 2.1.1.3 )
para a viscosidade.
O perfil da velocidade 𝑢 para escoamento laminar desenvolvido e em
regime permanente para escoamento de um fluido de Bingham é dado pela
equação
𝑢(𝑟) = {𝑢 =
1
𝑘{(𝑅2 − 𝑟2)
Δ𝑝
4L+ (𝑟 − 𝑅)𝜏0} 𝑝𝑎𝑟𝑎 �̇� > �̇�𝑐
Δ𝑝
4Lk(𝑅 − 𝑟0)
2 𝑝𝑎𝑟𝑎 �̇� = �̇�𝑐
45
onde Δp representa o diferencial de pressão, R o raio do duto, L o comprimento do
duto, k a constante de Bingham e 𝑟0 a posição onde a taxa de deformação é igual a
taxa crítica, i.e., a posição em que o módulo da tensão é igual a tensão limite de
escoamento.
O resultado do cálculo analítico utilizando a equação 45 é comparado com o
resultado no Fluent com o modelo de viscosidade de Bingham implementado. A
Figura 26 apresenta os perfis de velocidade para ambos os resultados e o erro
entre eles, inferior a 2% e considerado adequado.
Figura 26 Perfil de velocidade obtida pelo cálculo analítico e no modelo do Fluent
-2,50%
-2,00%
-1,50%
-1,00%
-0,50%
0,00%
0,50%
1,00%
1,50%
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
Erro
(%
)
Ve
loci
dad
e (
m/s
)
Raio (m)
Analítico
Fluent
Erro
52
5 Resultados e Discussão
5.1 Propriedades Reológicas do Fluido Utilizado
O fluido utilizado como referência nas simulações foi uma solução de
Laponita de concentração 0,005 mol/l de sal, conforme discutido por Lima [3]. O
modelo regularizado de viscosidade proposto por de Souza Mendes [10], equação
10 do Item 2.1.1.5, foi utilizado. Os parâmetros reológicos para este modelo (vide
Tabela 9) são os mesmos que os apresentados por Lima [3] para esta solução de
Laponita.
Tabela 9 Parâmetros Reológicos da Solução de Laponita Utilizada como Referência
Parâmetro Valor
𝑚 1,9 Pa
𝑛 0,2717
𝜏0 4,6 Pa
𝜂0 1,0E+6 Pa.s
𝜂∞ 0,001 Pa.s
Os valores utilizados para a equação de evolução da tixotropia adotada, a, b
e 𝑡𝑒𝑞 da equação 21, foram definidos arbitrariamente por falta de dados
experimentais. Para o caso base, os valores de a e b foram 0,5 e o valor para o
tempo de equilíbrio (𝑡𝑒𝑞) foi igual a 0,6. A Figura 27 a seguir compara a taxa de
variação da estrutura (λ) do fluido com o tempo para o caso base (a e b iguais a
0,5) e para o caso linear (a e b iguais a 1,0).
Figura 27 Variação da estrutura λ do fluido para λeq igual a 0,5 em função dos parâmetros a
e b
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00
dλ/
dt
(1/s
)
λ
dλ/dt
linear / λeq=0.5
a=b=0.5 / λeq=0.5
53
5.2 Análises Qualitativas para o Reinício
O algoritmo apresentado no item 4.1 será testado para um cenário típico de
reinício de escoamento. O fluido se encontra em repouso e totalmente estrutura
conforme condições apresentadas no item 4.2 e, no instante inicial é aplicado um
degrau de pressão na entrada, e a velocidade média na saída próximo a saída é
medido, conforme ilustra a Figura 30.
Figura 28 Cenário inicial apresentando a pressão aplicada na entrada e a área rachurada do
duto em que a simulação é realizada (sistema axisimétrico)
Dois resultados serão apresentados, com dois valores de pressão aplicada na
entrada. No cenário de baixa pressão, a condição de contorno adotada neste
trabalho, gradiente de λ igual a zero conforme item 4.2 , é comparada com a
condição de contorno com o valor de λ igual a 0,2.
5.2.1 Pressão de Entrada Baixa
A evolução da velocidade média obtida para um degrau de pressão aplicado
no instante inicial é apresentada na figura abaixo. Observa-se que o sistema
demora a responder e a velocidade aparente do fluido aumenta somente após 6s.
Figura 29 Velocidade Média do Fluido
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00
Ve
loci
dad
e M
éd
ia (
m/s
)
Tempo (s)
Velocidade Média do Fluido
Velocidade (x/L=0.975)
54
A Figura 30 apresenta o mapa da estrutura do fluido (representada pelo
escalar λ) desde o instante inicial, com fluido aproximadamente em repouso, até o
sistema atingir regime permanente, após a aplicação de uma pressão baixa na
entrada (1500 Pa).
Figura 30 Mapa da estrutura do fluido para diferentes tempos ao longo do reinício com
pressão de entrada de 1500 Pa e teq de 0,6 s
No instante inicial, o sistema está em repouso e a estrutura do fluido é
máxima e igual a um (Figura 30A). Na teoria este fluido se comportaria como
sólido com viscosidade infinita. Entretanto, devido a limitações da simulação
considerada, é necessário simplificar este comportamento de sólido
representando-o por um fluido de alta viscosidade (no caso igual a 1.106 Pa.s)
conforme apresentado no item 2.1.1.5.
Imediatamente é aplicada uma pressão na entrada igual a 1500 Pa. Neste
momento, o fluido começa a se mover a baixíssima velocidade (devido à
representação simplificada de sólido via alta viscosidade). Este movimento causa
cisalhamento do fluido com a parede e inicia-se a quebra de sua estrutura próxima
A (t=0.5s)
B (t=10.5s)
C (t=20.5s)
D (t=30.5s)
E (t=50.5s)
F (t=60.5s)
55
à parede (Figura 30B). A estrutura do fluido nos primeiros instantes de tempo é
apresentada na Figura 31 abaixo.
Figura 31 Perfil no raio para a estrutura do fluido em diferentes tempos com pressão de
entrada de 1500 Pa e teq de 0,6 s
A velocidade do escoamento já é significativa após alguns segundos, se
comparada à velocidade final, e o fluido continua a se quebrar próximo à parede
com o aumento gradual da velocidade (Figura 30C e D). Observa-se também a
formação de um vale no parâmetro λ, que se propaga com o tempo, causado
devido às perturbações na taxa de deformação próximo à entrada (escoamento não
desenvolvido). Observa-se na Figura 32 que a taxa de deformação no centro sofre
aumento significativo a partir de 14 s na região próxima à entrada.
Figura 32 Taxa de deformação no centro em diferentes posições ao longo do comprimento
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00
Estr
utu
ra d
o F
luid
o
Tempo (s)
Estrutura do Fluido em x=3.90 (x/L=0.975)
Centro (0/5)
r=0.01m (1/5)
r=0.02m (2/5)
r=0.03m (3/5)
r=0.04m (4/5)
Parede (5/5)
1,0E-08
1,0E-07
1,0E-06
1,0E-05
1,0E-04
1,0E-03
1,0E-02
0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00
Taxa
de
Cis
alh
ame
nto
(1
/s)
Tempo (s)
Cisalhamento no Centro
x/L = 0.25
x/L = 0.5
x/L = 0.75
x/L = 0.875
x/L = 0.975
56
Com o passar do tempo, todo o fluido que estava inicialmente no duto é
removido (Figura 30E). A estrutura do fluido e a velocidade média entre o tempo
de 50,5 s (Figura 30E) e de 60,5 s (Figura 30F) sofre pouca alteração e tende ao
valor constante conforme Figura 33: o sistema atingiu regime permanente.
Figura 33 Estrutura do fluido no centro em diferentes instantes de tempo
5.2.1.1 Resultados para Valor de λ Constante na Entrada
Neste item será avaliado o resultado para um cenário com condição de
contorno de λ igual a 0,2. O objetivo é comparar este resultado com os valores
obtidos para o caso do grandiente de λ igual a zero.
A velocidade obtida para a simulação de reinício com λ na entrada igual a
0,2 é apresentada na figura abaixo
,
junto com a velocidade obtida para o cenário anterior (baixa pressão com
0,00
0,05
0,10
0,15
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00
Ve
loci
dad
e M
éd
ia (
m/s
)
Estr
utu
ra M
éd
ia λ
Tempo (s)
Velocidade Média e Estrutura Média do Fluido
λ x/L=0.25 λ x/L=0.50
λ x/L=0.75 λ x/L=0.875
λ x/L=0.975 Velocidade (x/L=0.975)
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00
Ve
loci
dad
e M
éd
a (m
/s)
Tempo (s)
Velocidade Média do Fluido para as Duas Condições de Contorno de λ
Gradiente igual a zero -Velocidade (x/L=0.975)
Valor constante igual a 0,2- Velocidade (x/L=0.975)
57
grandiente de λ igual a zero na entrada, conforme item 5.2.1 ). O valor da pressão
aplicada neste item foi ajustado para que a velocidade final em regime permanente
se aproximasse do cenário anterior. Observa-se que qualitativamente o
comportamento da velocidade final não sofre influência da condição da entrada.
Figura 34 Velocidade Média do Fluido para gradiente de λ igual a zero e λ igual a 0,2 como
condição de contorno na entrada
Verifica-se a partir da Figura 35 que o comportamento da estrutura do fluido
com o tempo segue a mesma tendência daquele observado para o cenário anterior,
com gradiente de λ igual a 0.
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00
Ve
loci
dad
e M
éd
a (m
/s)
Tempo (s)
Velocidade Média do Fluido para as Duas Condições de Contorno de λ
Gradiente igual a zero -Velocidade (x/L=0.975)
Valor constante igual a 0,2- Velocidade (x/L=0.975)
58
Figura 35 Mapa da estrutura do fluido para diferentes tempos ao longo do reinício com
condição de contorno na entrada para λ igual a 0,2 e teq de 0,6 s
Os distúrbios encontrados a partir do tempo de 20,5s para o cenário com
gradiente de λ igual a zero na entrada (Figura 30C) não são observados na
simulação com igual λ a 0,2 Figura 35C). Na região próximo à saída, onde o
sistema atinge o escoamento desenvolvido, o resultado é semelhante para os dois
casos.
Observa-se que o fluido entrante desloca aquele inicialmente em repouso ao
longo do tempo e, enquanto caminha pelo duto, sua estrutura se regenera até
atingir os valores verificados para o sistema desenvolvido (trecho final do duto,
Figura 38E e F). A Figura 36 detalha a condição de λ com o tempo em diferentes
posições e ilustra o efeito do fluido entrante no sistema, à semelhança do cenário
com gradiente de igual a zero na entrada (Figura 33).
A (t=0.5s)
B (t=10.5s)
C (t=20.5s)
D (t=30.5s)
E (t=50.5s)
F (t=60.5s)
59
Figura 36 Estrutura do fluido no centro em diferentes instantes de tempo para λ igual a 0,2
na entrada
5.2.2 Pressão de Entrada Alta
A mesma condição anterior, repartida de um fluido em repouso, é simulada
neste item para uma pressão maior de entrada (4500 Pa). Conforme discutido no
item 5.2.2, as velocidades obtidas para o regime permanente ultrapassam o limite
de escoamento laminar. Entretanto, até 6 segundos depois de aplicada a pressão,
quando a velocidade ainda é pequena, o fluxo é laminar conforme Figura 37.
Figura 37 Número de Reynolds e Comprimento de Entrada calculados próximo a saída ao
longo do tempo para pressão aplicada alta (4500Pa)
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00
Ve
loci
dad
e M
éd
ia (
m/s
)
Estr
utu
ra M
éd
ia λ
Tempo (s)
Velocidade Média e Estrutura Média do Fluido
λ x/L=0.25 λ x/L=0.50
λ x/L=0.75 λ x/L=0.875
λ x/L=0.975 Velocidade (x/L=0.975)
0
5
10
15
20
25
30
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 Co
mp
rim
en
to d
e E
ntr
ada
(m)
Nú
me
ro d
e R
eyn
old
s
Tempo (s)
Número de Reynolds e Comprimento de Entrada Próximo à Saída (x/L=0.975)
Número de Reynolds Comprimento de Entrada
60
O mapa para a estrutura do fluido ao longo do reinício com pressão de
entrada igual a 4500 Pa é apresentado na Figura 38.
Figura 38 Mapa da estrutura do fluido para diferentes tempos ao longo do reinício com
pressão de entrada de 4500 Pa e teq de 0,6 s
Em comparação ao cenário de baixa pressão (Figura 30, item 5.3.1), os
seguintes pontos são destacados em relação a partida com alta pressão aplicada:
Nos primeiros instantes de tempo (Figura 38A e B), a estrutura do
fluido é reduzida a partir da parede, onde a taxa de deformação é
mais alta. O perfil de velocidade sofre a alteração ilustrada na Figura
39 para os primeiros instantes.
Em um dado momento um vale na estrutura do fluido se forma
(Figura 38C), assim como observado para baixa pressão. Além
disso, devido às velocidades mais elevadas, observa-se oscilação na
taxa de deformação que resulta na oscilação da estrutura do fluido,
conforme trecho final da Figura 38C e Figura 38D.
A (t=0.5s)
B (t=3.0s)
C (t=4.5s)
D (t=6.5s)
E (t=16s)
F (t=26s)
61
Com o passar do tempo o fluido que entra expulsa todo o fluido
original (Figura 38E) e o sistema atinge o regime permanente
(Figura 38F).
Figura 39 Perfil de velocidade em diferentes instantes de tempo para pressão elevada
aplicada
5.3 Avaliação das Configurações Iniciais
5.3.1 Condição de Contorno na Entrada para Lambda
O problema proposto consiste em um trecho de tubulação onde um fluido
tixotrópico totalmente estruturado repousa. A condição de contorno para a
estrutura do fluido na entrada, representada pelo parâmetro λ, pode assumir uma
dentre as três opções a seguir: i) valor para λ constante ou igual a uma função
definida pelo usuário; ii) valor do fluxo de λ igual a uma constante ou função; ou
iii) outro fluido na entrada (não tixotrópico), em uma simulação multifásica. A
terceira opção, simulação multifásica, não será considerada neste momento por
extrapolar os objetivos deste trabalho.
Com o objetivo de avaliar as duas opções para a condição de contorno de λ,
as seguintes análises foram realizadas para um degrau de pressão aplicado de
1500Pa na entrada:
i. Valor da estrutura na entrada constante e igual a 0,2 e igual a 0,4;
ii. Valor do fluxo igual a zero, em semelhança à condição para a
velocidade em um escoamento desenvolvido.
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
Ve
loci
dad
e /
Ve
loci
dad
e M
áxim
a
Raio (m)
Velocidade normalizada em diferentes instantes medida na saída (x/L=0.975)
t=1s
t=2s
t=3s
t=4s
t=5s
t=6s
62
A partir da velocidade média do fluido, obtida próxima da saída para evitar
perturbações de entrada, verifica-se que a solução em regime permanente depende
da condição de contorno para a estrutura, conforme Figura 40. Os valores para λ
na entrada de 0,2 e 0,4 foram escolhidos para resultar em velocidades médias
próximas à condição de fluxo igual a zero.
Figura 40 Velocidade média do fluido a 3,5 m da entrada para pressão de entrada de 1500 Pa
e teq de 0,6 s para diferentes condições de entrada para λ
Independente das três condições de entrada para λ consideradas, a solução
para o início do escoamento aparenta ser aproximadamente a mesma. Isso ocorre
porque o fluido novo (fluido com mesma característica que aquele inicialmente da
tubulação, mas com diferente história) que entra na tubulação, afetado pela
condição de λ, ainda não deslocou significativamente o fluido original e, desta
forma, não afetou ainda o escoamento. A solução sofre pouca influência da
condição de contorno de λ até o tempo 18 s, quando o fluido novo ainda não
ocupou 5% do total do duto conforme Figura 41.
Quando o novo fluido já ocupa a maior parte do duto, observa-se que um
menor valor de λ na entrada resulta em maior velocidade final porque o fluido
novo entra com menor viscosidade. O escoamento atinge regime permanente no
tempo final aproximado de 48 segundos para as três simulações.
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00
Ve
loci
dad
e M
éd
ia (
m/s
)
Tempo (s)
Velocidade Média por Condição de Entrada de λ
∇λ = 0
λ = 0.2
λ = 0.4
63
Figura 41 Posição média do fluido a partir da integral da velocidade média a 3,5m da
entrada para diferentes condições de entrada para λ
A velocidade total no centro ao longo do comprimento é apresentada na
Figura 42 após atingir o regime permanente. Quando o fluxo de λ é imposto a
velocidade atinge o regime desenvolvido rapidamente, velocidade no centro não
varia ao longo do comprimento, o que indica ser mais adequada esta condição de
λ do que as outras opções analisadas.
Figura 42 Velocidade do fluido ao longo do comprimento para a pressão de entrada de 1500
Pa e teq de 0,6 s para diferentes condições de entrada para λ no tempo final
O desenvolvimento da estrutura do fluido ao longo do comprimento é mais
suave e tende para o estado permanente para a condição na entrada de fluxo de λ
igual a zero. Quando o valor de λ é definido para a entrada, o parâmetro
tixotrópico não atinge o estado permanente ou sofre uma variação muito brusca
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00
Dis
tân
cia
Mé
dia
Pe
rco
rrid
a (m
)
Tempo (s)
Distância Média Percorrida
∇λ = 0
λ = 0.2
λ = 0.4
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00
Ve
loci
dad
e (
m/s
)
Comprimento (m)
Velocidade no Centro (raio = 0) por Comprimento
∇λ =0
λ =0.2
λ =0.4
64
próxima à saída conforme ilustra a Figura 43. As condições de contorno para λ na
saída são iguais para os três casos analisados (fluxo igual a zero).
Figura 43 Estrutura do fluido para diferentes condições de entrada de λ no tempo final para
a pressão aplicada de 1500 Pa e teq de 0,6 s
Devido aos resultados anteriores, a condição de contorno escolhida para a
tixotropia na entrada é com fluxo de λ igual a zero. Todos os resultados
apresentados nos itens a seguir consideram esta condição. Conforme discutido,
essa condição não afeta a análise de repartida (primeiros instantes de tempo), mas
altera a evolução do fluido até atingir o regime permanente.
5.3.2 Análise do Comprimento da Malha
As primeiras simulações realizadas consideravam um duto de comprimento
de 2 m e razão comprimento-diâmetro, L/D, igual a 20. Devido à dificuldades em
obter convergência em algumas análises preliminares, a razão L/D foi dobrada.
Entretanto, foi identificado que outras questões no código e na configuração do
simulador eram causadoras deste problema após este aumento de comprimento.
De qualquer forma, o aumento da razão L/D é válido, pois pode permitir que as
perturbações de entrada, que afetam tanto a velocidade como a estrutura do fluido,
sejam suavizadas ao longo do comprimento.
A velocidade média em diferentes posições foi comparada à velocidade
média próxima à saída quando o sistema atinge o regime permanente. As pressões
aplicadas dependem da razão comprimento-diâmetro (L/D) utilizada e foram
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00
Estr
utu
ra M
éd
ia d
o F
luid
o
Comprimento (m)
Estrutura Média do Fluido por Comprimento
∇λ =0
λ =0.2
λ =0.4
65
calculadas de tal maneira que resultem em velocidades aproximadamente iguais
como pode ser observado na Figura 44.
Figura 44 Velocidade média no tempo para as duas razões comprimento-diâmetro
(velocidade medida na razão posição comprimento (x/L) igual a 0.975)
O escoamento atinge regime desenvolvido para estes cenários em ambas as
razões L/D analisadas. O resultado é apresentado na Figura 45, onde a diferença
entre a velocidade no centro em diferentes posições e a velocidade no centro
próximo à saída é ilustrada. A variação da velocidade com a posição para a razão
L/D igual a 20 é significativamente maior que com razão L/D igual a 40. Por essa
razão, o comprimento de 4 m (L/D igual a 40) foi adotado.
Figura 45 Velocidade Média em relação a velocidade média final para diferentes razões
posição-comprimento para L/D 40 e L/D 20
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00
Ve
loci
dad
e M
éd
ia (
m/s
)
Tempo (s)
Velocidade Média Próxima a Saída (x/L=0.975)
L/D=40 L/D=20
-0,2%
0,0%
0,2%
0,4%
0,6%
0,8%
1,0%
1,2%
x/L = 0.25 x/L = 0.5 x/L = 0.75 x/L = 0.875 x/L = 0.975
% V
elo
cid
ade
no
po
nto
de
saí
da
(x/L
=0,9
75
)
Razão Posição-Comprimento x/L
Velocidade no Centro em Diferentes Posições para o Tempo Final
L/D=20
L/D=40
66
A taxa de deformação no centro esperada para escoamento desenvolvido é
zero. A taxa de deformação no centro é inferior a 10-6s-1 para L/D=40 (vide Figura
46), que pode ser considerada desprezível, em todo o tempo de simulação. Com
L/D=20 a taxa de deformação atinge valores superiores a 10-5s-1, que também é
baixa, mas uma ordem de grandeza superior aquela com L/D=40.
Figura 46 Taxa de deformação no centro e velocidade média para pressão baixa aplicada e
razão L/D igual a 40 e 20
Algumas simulações foram realizadas com diferentes pressões aplicadas
para comprimento de duto igual a 4m (razão L/D igual a 40). Com o objetivo de
verificar se nestas simulações o regime é laminar e se o comprimento do duto é
suficiente para atingir escoamento desenvolvido, foi utilizado simplificadamente o
número de Reynolds para fluido newtoniano, utilizando a viscosidade na parede
(mínima) e a velocidade média no regime permanente. A partir do número de
Reynolds calculado, observa-se que o regime ultrapassa a faixa laminar (Reynolds
igual a 2300) para a maioria dos casos. A Figura 47 apresenta o número de
Reynolds e o comprimento de entrada para estas simulações.
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
1,0E-08
1,0E-07
1,0E-06
1,0E-05
1,0E-04
0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00
Ve
loci
dad
e M
éd
ia (
m/s
)
Taxa
de
Cis
alh
ame
nto
(1
/s)
Tempo (s)
Pressão Baixa - Cisalhamento no Centro e Velocidade Média Próxima a Saída (x/L=0.975)
Taxa (L/D=40) Taxa (L/D=20)
Velocidade (L/D=40) Velocidade (L/D=20)
67
Figura 47 Número de Reynolds e Comprimento de Entrada, para diferentes pressões
aplicadas, calculados próximo a saída
Somente três cenários de pressão aplicada iguais a 1500, 2000 e 2500 Pa
resultam em escoamento laminar considerando o número de Reynolds calculado.
Desta forma, apenas a análise em regime permanente destes cenários deve ser
válida. A Figura 47 mostra também que o comprimento de entrada a partir da
pressão aplicada de 2500 Pa ultrapassa o comprimento utilizado de duto (4 m).
Com a pressão mais baixa (1500 Pa), a partir de 3 m o gradiente de velocidade
não varia mais significativamente ao longo do duto, caracterizando escoamento
desenvolvido. A Figura 48 apresenta os gradientes para os três cenários de pressão
mais baixa e que apresentaram número de Reynolds inferior a 2300 (escoamento
laminar).
Figura 48 Média do gradiente de velocidade axial ao longo do duto
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
Co
mp
rim
en
to d
e E
ntr
ada
(m)
Nú
me
ro d
e R
eyn
old
s
Pressão de Aplicada (Pa)
Número de Reynolds e Comprimento de Entrada no Regime Permanente
Reynolds
Comprimento
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00
Gra
die
nte
da
velo
cid
ade
(1
/s)
Comprimento (m)
Média do Gradiente de Velocidade no Comprimento
1500Pa
2000Pa
2500Pa
68
5.4 Análises de Sensibilidade
Neste item serão apresentados alguns resultados para diferentes pressões de
entrada e tempos de equilíbrio para ilustrar relações possíveis entre estes
parâmetros e o tempo para o reinício. Apesar das velocidades atingirem valores
elevados a depender da pressão aplicada, o escoamento é laminar pelo menos para
os instantes de tempo iniciais (vide Figura 49) e que são de interesse neste item.
Figura 49 Número de Reynolds medido na saída (x/L=0.975) para as maiores pressões
aplicadas
5.4.1 Sensibilidade à Pressão de Entrada
Diferentes pressões de entrada para uma mesma condição inicial de fluido
em repouso e tempo de equilíbrio (teq igual a 0,6s) foram aplicadas e o tempo
necessário para o reinício foi calculado. As velocidades médias obtidas para os
primeiros instantes são apresentadas na Figura 50.
0
2000
4000
6000
8000
10000
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00
Nú
me
ro d
e R
eyn
old
s
Tempo (s)
Número de Reynolds para as Maiores Pressões Medido na Saída (x/L=0.975)
Pressão 6500Pa Pressão 4500Pa Pressão 3500Pa Pressão 2500Pa
69
Figura 50 Velocidade média do fluido em função do tempo e da pressão de entrada para teq
igual a 0,6s
Conforme discutido no item 5.3.1, o comportamento de sólido é
representado por um fluido de viscosidade muito alta. Desta forma, apesar da
Figura indicar que no início o sistema está parado, ao apresentar a mesma
informação em um gráfico log-linear, observa-se que não é este o caso (vide
Figura 51).
Figura 51 Velocidade média do fluido em função do tempo e da pressão de entrada para teq
igual a 0,6s na escala logarítmica
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00
Ve
loci
dad
e M
éd
ia (
m/s
)
Time (s)
Velocidade Média para Diferentes Pressões Aplicadas Medida na Saída (x/L=0.975)
10500Pa
6500Pa
4500Pa
3500Pa
2500Pa
2000Pa
1500Pa
1,0E-06
1,0E-05
1,0E-04
1,0E-03
1,0E-02
1,0E-01
1,0E+00
0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00
Ve
loci
dad
e M
éd
ia (
m/s
)
Time (s)
Velocidade Média para Diferentes Pressões Aplicadas Medida na Saída (x/L=0.975) com Escala Log-Linear
10500Pa
6500Pa
4500Pa
3500Pa
2500Pa
2000Pa
1500Pa
70
Como não há um momento no qual a velocidade deixa de ser nula para
caracterizar o início do escoamento, é necessário definir alguma premissa para
calcular o tempo de repartida. O seguinte critério foi utilizado neste e nos demais
itens deste trabalho: calcula-se por interpolação em que tempo a velocidade do
fluido atinge um centésimo de metros por segundo (0,01 m/s). Outra proposta
seria utilizar uma fração da velocidade máxima, entretanto, conforme discutido no
item 5.2.2, pode-se depender de resultados fora do regime laminar.
O resultado obtido para o tempo de repartida em função da pressão aplicada
é apresentado na Figura 52 para o tempo de equilíbrio de 0,6 s e 1,2 s.
Figura 52 Tempo para o reinício em função da pressão de entrada para dois tempos de
equilíbrio
A partir dos resultados da Figura 52, é possível aproximar com boa precisão
o tempo de repartida por uma relação de potência. Observa-se também que quanto
maior a pressão aplicada, menor é o efeito do tempo de equilíbrio e, no limite,
nenhum comportamento tixotrópico seria observado.
5.4.2 Sensibilidade ao Parâmetro b
Os resultados apresentados até o momento consideraram os parâmetros b e
a, da equação 40, iguais a 0,5. A partir da derivada da estrutura do fluido no
tempo para um valor de λeq (estrutura em equilíbrio) qualquer, é possível inferir a
influência de cada um destes parâmetros no desenvolvimento da estrutura.
A Figura 53 ilustra a taxa de quebra do fluido para diferentes valores de b
considerando λeq igual a meio. O parâmetro b afeta tanto a taxa de construção
como a de quebra, mas com maior influência na taxa de quebra.
y = 18951x-1,053
R² = 0,971
y = 47926x-1,077
R² = 0,9802
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
Tem
po
par
a R
ep
arti
da
(s)
Pressão de Entrada (Pa)
Tempo de Repartida por Pressão de Entrada
tEQ = 1.2s
tEQ = 0.6s
71
Figura 53 Derivada do termo tixotrópico (equação 40) para diferentes valores de b
considerando λeq = 0.5
Já o parâmetro a afeta pouco a taxa de quebra ou de construção do fluido. A
Figura 54 ilustra o efeito de a nestas taxas, utilizando a mesma escala que o
gráfico anterior (variando b) para facilitar comparação.
Figura 54 Derivada do termo tixotrópico (equação 40) para diferentes valores de a
considerando λeq = 0.5
Com o objetivo de avaliar qualitativamente a relevância do parâmetro b¸
será apresentada uma breve análise do comportamento de repartida do fluido
mantendo o valor de a igual a 0,5 (caso base). Como as taxas sofrem menor
influência de a do que b, somente a sensibilidade a b será apresentada.
O cenário avaliado considera o sistema partindo do repouso, com fluido
totalmente estruturado, a partir do qual é aplicada uma pressão de 4500 Pa
(cenário de alta pressão, item 5.3.2). Após atingir o regime permanente, a pressão
-6,00
-5,00
-4,00
-3,00
-2,00
-1,00
0,00
1,00
2,00
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00
dλ/
dt
(1/s
)
λ
dλ/dt para diferentes valores de b
b=0.01
b=0.5
b=2
λeq = 0.5
-6,00
-5,00
-4,00
-3,00
-2,00
-1,00
0,00
1,00
2,00
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00
dλ/
dt
(1/s
)
λ
dλ/dt para diferentes valores de a
a=0.01
a=0.5
a=2
λeq = 0.5
72
de entrada é reduzida para 2500 Pa com o objetivo de avaliar a reconstrução do
sistema. Dois valores para b foram avaliados: igual a 0,5 (caso base) e igual a 2.
Quando a pressão de 4500Pa é aplicada, o fluido de maior parâmetro b se
quebra mais rapidamente, e inicia-se o escoamento efetivo antes daquele de menor
valor de b conforme apresentado na Figura 55. No tempo igual a 16s, a pressão de
entrada é reduzida para 2500Pa e a velocidade média é reduzida a uma taxa
aproximadamente igual para ambos os valores de b utilizados. Esse
comportamento é explicado pela proximidade das taxas de construção ilustrada na
Figura 53.
Figura 55 Velocidade média do fluido para a=0,5 e b igual a 0,5 e 2
O comportamento do tempo de reinício em função da pressão para dois
valores de tempo de equilíbrio é apresentada na Figura 56. Observa-se
comportamento semelhante à variação do tempo de equilíbrio (Figura 52) e, por
essa razão, a caracterização do fluido deve ser feito com critério para evitar que
um parâmetro seja ajustado no lugar de outro.
0
1000
2000
3000
4000
5000
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00
Pre
ssão
de
En
trad
a (P
a)
Ve
loci
dad
e M
éd
ia (
m/s
)
Tempo (s)
Velocidade Média no Tempo Medida na Saída (x/L=0.975) para Alta Pressão de Entrada (4500Pa)
Velocidade b=0.05 Velocidade b=2.00 Pressão Entrada
73
Figura 56 Tempo para o reinício em função da pressão de entrada para dois valores de b
5.4.3 Sensibilidade ao Tempo de Equilíbrio
Além da pressão aplicada, as propriedades tixotrópicas do fluido também
afetam o tempo necessário para o reinício do escoamento. O aumento do tempo de
equilíbrio, por exemplo, apesar de não afetar a velocidade final de escoamento,
reduz a taxa de quebra da estrutura do fluido. Essa redução na velocidade de
quebra implica em maiores tempos de repartida para uma mesma pressão
aplicada. A velocidade para três tempos de equilíbrio é apresentada na Figura 57.
Figura 57 Velocidade média na saída (x/L=0.975) para diferentes tempos de equilíbrio
y = 18951x-1,053
R² = 0,971
y = 16953x-1,124
R² = 0,9673
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
Tem
po
par
a R
ep
arti
da
(s)
Pressão de Entrada (Pa)
Tempo de Repartida por Pressão para 2 Valores de b
b=2
b=0.5
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,00 20,00 40,00 60,00 80,00
Ve
loci
dad
e M
éd
ia
Tempo (s)
Velocidade Média para Pressão Baixa de Entrada Medida na saída (x/L=0.975)
tEq 1.2s / 1500Pa
tEq 0.6s / 1500Pa
tEq 0.3s / 1500Pa
74
A influência do tempo de equilíbrio (teq) para o tempo de repartida do fluido
é cada vez menor com o aumento da pressão aplicada. Além disso, existe uma
relação linear entre teq e o tempo de repartida, que depende da pressão aplicada,
conforme ilustra a Figura 58. O critério adotado para definir o reinício é o mesmo
do item 5.4.1. Observa-se que a extrapolação das relações obtida para um tempo
de equilíbrio igual a zero é próximo zero, conforme esperado.
Figura 58 Tempo de repartida em função do tempo de equilíbrio para duas pressões de
entrada (baixa e alta)
5.5 Validação Experimental
O objetivo deste item é comparar os resultados apresentados neste trabalho
com os dados experimentais obtidos por Gustavo Moisés (dados não publicados)
para o fluido com os parâmetros reológicos apresentados no item 5.1.
O experimento consistiu em medir a vazão de líquido na saída de um tubo
horizontal de aproximadamente 4m de comprimento e diâmetro interno de
19,05mm a partir de uma pressão de entrada aplicada. A velocidade foi medida
com um velocímetro ultrassônico posicionado próximo a saída do sistema.
Os experimentos utilizados foram aqueles com as pressões na entrada
conforme Figura 59, com as respectivas velocidades obtidas ao longo do tempo
(vide Figura 60).
y = 4,5102x - 0,0949R² = 1
y = 15,636x + 0,485R² = 1
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
35,00
0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4
Tem
po
par
a R
ep
arti
da
(s)
Tempo de Equilíbrio (s)
Tempo de Repartida por Tempo de Equilíbrio
P=1500Pa
P=4500Pa
75
Figura 59 Pressão aplicada nos experimentos
Figura 60 Velocidade obtida a partir de dados experimentais
Comportamento semelhante ao experimental foi observado nas simulações
apresentadas, especialmente no item 5.4.1 “Sensibilidade à Pressão de Entrada ”,
onde as velocidades obtidas sem normalização são apresentadas na Figura 61.
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
0,00 50,00 100,00 150,00 200,00
Pre
ssão
(P
a)
Tempo (s)
Resultados Experimentais - Pressão Aplicada
Experimento 1
Experimento 2
Experimento 3
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
0,00 50,00 100,00 150,00 200,00
Ve
loci
dad
e (
m/s
)
Tempo (s)
Resultados Experimentais - Velocidade
Experimento 1
Experimento 2
Experimento 3
76
Figura 61 Velocidade média obtida pela simulação numérica
A partir da sensibilidade para o tempo de equilíbrio (item 5.4.3) para baixa
pressão (1500 Pa), com as velocidades normalizadas pela velocidade em regime
permanente, observa-se comportamento semelhante entre a simulação numérica e
o dado experimental, especialmente para tempo de equilíbrio igual a 1,8 segundos
conforme Figura 62.
Figura 62 Comparativo entre dado experimental e simulado
Portanto, as simulações apresentam comportamento coerente com os dados
experimentais utilizados, o que valida qualitativamente o resultado obtido pela
ferramento de CFD e metodologia apresentada.
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00
Ve
loci
dad
e M
éd
ia (
m/s
)
Time (s)
Velocidade Média para Diferentes Pressões Aplicadas Medida na Saída (x/L=0.975)
2500Pa
2000Pa
1500Pa
-0,20
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00
Ve
loci
dad
e /
Ve
loci
dad
e M
áxim
a
Tempo (s)
Comparação entre Dado Experimental e Simulado (medido na saída x/L=0.975)
Experimento 3 Simulação 1500Pa e tEq=0.6s
Simulação 1500Pa e tEq=1.2s Simulação 1500Pa e tEq=1.8s
77
6 Conclusão
O algoritmo e metodologia utilizados para permitir a simulação número de
um fluido tixotrópico na ferramenta de CFD comercial Fluent© foi desenvolvida e
apresentada. Os resultados para o reinício apresentaram comportamento
representativo esperado para fluidos tixotrópicos com semelhança qualitativa com
dados experimentais. Observou-se possível relacionar a pressão aplicada, tempo
de equilíbrio e parâmetro tixotrópico com o tempo necessário para reinício do
escoamento utilizando equações simples, desde que o fluido seja completamente
caracterizado.
Como perspectiva de trabalhos futuros, é possível expandir a simulação e
metodologia apresentadas fluidos compressíveis, adequando o termo da equação
de conservação de quantidade de movimento nos moldes descritos aqui. Além
disso, sugere-se também a avaliação do reinício através do deslocamento por
fluido não tixotrópico o que permitirá melhor compreensão do fenômeno e de
cenários mais alinhados com os esperados na realidade.
Desta forma, com adição desta e outras funcionalidades no algoritmo
apresentado, estudos de engenharia para aplicações reais de repartida de fluido
podem se beneficiar desta ferramenta no futuro.
78
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