Simulação numérica de escoamentos tri-fásicos em reservatórios de petróleo

Proposta de Tese de Doutorado

Paula Aida Sesini

Orientador: Alvaro Luiz Gayoso de Azeredo Coutinho

junho de 2004

1

1. Introdução A simulação de reservatórios de petróleo tem sido motivo de amplos estudos nos últimos anos devido a sua fundamental importância para a indústria petrolífera. O conhecimento do comportamento do reservatório durante sua exploração fornece dados determinantes como a localização de poços, injeção de água, tempo de produção, etc. Desta maneira é possível predizer a produtividade de um reservatório, desde um ponto de vista econômico. Os reservatórios são compostos por rochas porosas impregnadas com petróleo e em geral contêm camadas de gás natural, hidrocarbonetos e água sob grandes pressões. O petróleo pode ser extraído através de um processo chamado de recuperação primária, no qual, após a perfuração de um poço, a pressão interna impulsiona o gás, os hidrocarbonetos ou a água. No caso em que as pressões internas são baixas ou quando a pressão inicial diminui devido a um certo tempo de extração, podem ser usadas algumas técnicas de recuperação chamadas de recuperação avançada. Exemplos de estas técnicas são a injeção de água, a injeção de um componente químico miscível, etc. O comportamento de um reservatório de petróleo pode ser considerado um problema de escoamento multifásico em meios porosos apresentando três fases: água, óleo e gás. Diferentes modelos matemáticos tem sido desenvolvidos para descrever este tipo de escoamento. O modelo mais complexo é o chamado modelo composicional que considera o caso muito geral no qual existem N espécies químicas, ou componentes, as quais podem estar presentes em qualquer uma das três fases. Esta descrição do problema é necessária no caso de sistemas que contém óleo altamente volátil. A maioria dos reservatórios de petróleo contém óleo de baixa volatilidade e por este motivo, entre outros, o modelo mais freqüentemente usado é o chamado black-oil. Este modelo pode ser aplicado para descrever um sistema com óleo, composto essencialmente por metano e componentes pesados, usando dados extraídos de um teste de vaporização diferencial convencional aplicado a amostras de óleo de reservatório (Peaceman, 1977; Bear, 1972). O black-oil é um modelo composicional simplificado, de três componentes água, óleo e gás, que considera os efeitos de compressibilidade e transferência de massa entre as fases. Este modelo é aplicável tanto para a modelagem da recuperação primária (queda de pressão) como da recuperação avançada no caso da injeção de água (Trangenstein and Bell, 1989). O escoamento trifásico em reservatórios também pode ser representado por um modelo mais simplificado que o black-oil, o qual não considera os efeitos de compressibilidade e transferência de massa entre as fases. Este modelo tem sido motivo de numerosos estudos devido à necessidade de um melhor entendimento dos modelos matemáticos do escoamento no meio poroso, para otimizar os métodos de recuperação de óleo de reservatórios e de remoção de contaminantes de aqüíferos (Guzmán, 1995; Juanes, 2003; Abreu, 2003). O modelo black-oil, tanto como o modelo mais simplificado do escoamento trifásico, são descritos por um sistema de equações diferenciais parciais. Estas equações representam a conservação de massa de cada uma das componentes. As velocidades de cada uma das fases são calculadas usando a lei de Darcy estendida para o caso do escoamento multi-fásico. As saturações das fases estão relacionadas por uma equação de fechamento. As pressões de capilaridade tanto como as permeabilidades relativas são expressas por modelos dependentes das saturações das fases e as condições iniciais e de contorno são definidas dependendo de cada problema.

2

Os casos reais de escoamento multi-fásico em reservatórios se caracterizam por fatores como a heterogeneidade do meio, fraturas da rocha, geometrias complexas e condições de contorno dependentes do tempo. Devido à complexidade do problema se torna difícil o cálculo de uma solução analítica e, portanto surge a necessidade do uso de métodos numéricos que permitem obter uma solução aproximada. Os modelos matemáticos que descrevem o escoamento em meios porosos são compostos por equações diferenciais parciais não lineares, acopladas e dependentes do tempo. Por estes motivos, um problema importante em simulação de reservatórios é o desenvolvimento de métodos estáveis, eficientes, robustos e precisos para a solução deste tipo de sistemas de equações acopladas (Li et al., 2003). Existem diferentes métodos de solução em simulação de reservatórios. O método totalmente implícito, descrito em (Douglas et al., 1959), resolve todas as equações acopladas não-lineares simultaneamente. Este método é estável e pode usar grandes passos de tempo sem perder a estabilidade. Porém é um método que requer um alto custo computacional e grande espaço de memória. Uma outra alternativa consiste em resolver o sistema de equações de forma seqüencial (MacDonald and Coats, 1970). Isto é: resolver cada uma das equações do sistema separadamente e implicitamente. Este método é menos estável que o totalmente implícito mais por outro lado é mais eficiente devido a que requer menos espaço de memória e custo computacional. Recentemente Li et al., (2003) revisitaram o método seqüencial para resolver o modelo black-oil usando malhas não-estruturadas. Usaram o método CVFA (control volume function approximation) para discretizar as equações governantes. Concluíram que este método pode reduzir altamente o custo computacional e o tamanho da memória para simulação de reservatórios com malha não-estruturada. Por outro lado, Juanes (2003) apresentou uma alternativa diferente de integração no tempo. Ele propõe uma solução simultânea das duas equações de saturação (da água e do gás), usando o método multi-escala para a discretização das equações governantes. Obteve resultados satisfatórios para problemas unidimensionais. As equações que descrevem o escoamento em meios porosos, além de serem acopladas e não lineares, se caracterizam pelo transporte predominantemente advectivo, para o caso de efeito de capilaridade pequeno, e pela solução apresentando frentes de choques que se movem. É sabido que, devido a estas características do problema, os métodos numéricos clássicos aplicados ao problema do escoamento no meio poroso produzem soluções com oscilações espúrias no domínio todo e alta difusão numérica. Outro problema que apresenta o escoamento em meios porosos é o cálculo preciso da velocidade através da lei de Darcy. Nesta introdução não pretendemos fazer uma revisão completa da bibliografia, o qual é parte das atividades que serão realizadas até o final do trabalho. Portanto aqui citamos somente alguns trabalhos mais relevantes. Tradicionalmente a alternativa para resolver as dificuldades devidas ao transporte predominantemente advectivo e ao cálculo preciso da velocidade em meios porosos tem sido os métodos de elementos finitos mistos ou híbridos (Chavent et al., 1990; Brezzi and Fortin, 1991; Durlofsky, 1993), os quais permitem soluções satisfatórias e apresentam melhores soluções para a velocidade total que outras aproximações padrão (Durlofsky, 1994; Ewing, 1996). Alguns trabalhos mais recentes que estudam este método aplicado à simulação de reservatórios são os de Peszynska et al. (2000) e Wheeler and Peszynska (2002).

3

Outra alternativa para a simulação do problema em meios porosos tem sido os métodos que usam volumes finitos para a discretização das equações governantes. Exemplos destes métodos são o CVFE (controle volume finite element) (MacDonald and Coats, 1970; Fung et al., 1992) e o CVFA (control volume function approximation) (Li et al., 2003). A principal diferença entre estes dois métodos consiste em que, para a interpolação, o CVFA usa funções não polinomiais em vez de funções polinomiais usadas pelo CVFE. Nos últimos anos tem sido pesquisadas diversas alternativas para o problema da simulação de reservatórios, tornando mais conveniente a aplicação de métodos de elementos finitos estabilizados. A idéia básica destes métodos consiste na introdução de uma difusão artificial que age somente na direção das linhas de corrente. Estes métodos foram desenvolvidos para resolver o problema do transporte dominantemente advectivo em mecânica de fluidos (Hughes and Brooks, 1979). Exemplos de métodos de elementos finitos estabilizados são o método SUPG (streamline upwind Petrov-Galerkin) (Brooks and Hughes, 1982), o método GLS (Galerkin least-squares) (Hughes et al., 1989) e o método ASGS (algebraic subgrid scale) (Hughes, 1995). Estes métodos são sempre acompanhados de uma técnica de captura de choque para controlar as instabilidades produzidas nas regiões de altos gradientes e de frentes de choque que se movem. Um exemplo de aplicação do método SUPG com operador de captura de choque e descontinuidades CAU ao escoamento em meios porosos é apresentado no trabalho de Coutinho e Alves (1999). Neste trabalho é simulado o efeito não-linear de viscous-fingering no escoamento miscível, obtendo resultados satisfatórios. Juanes and Patzek (2001) aplicaram o método de elementos finitos estabilizado multi-escala ao problema de injeção de traçadores (escoamento miscível) tanto como ao problema de águas subterrâneas (escoamento imiscível bifásico) para casos unidimensionais. Usaram uma difusão artificial no nível da sub-escala para a captura de choques, obtendo resultados razoáveis. Posteriormente Coutinho et al. (2003) realizaram uma comparação de esquemas de estabilização para a simulação por elementos finitos de escoamentos imiscíveis bifásicos em meios porosos. Estudaram exemplos bidimensionais obtendo bons resultados. Recentemente Juanes (2003) tem aplicado o método estabilizado multi-escala ao problema do escoamento trifásico incompressível, sem considerar o efeito de transferência de massa entre as fases. Estudou casos unidimensionais, obtendo boas soluções. Neste trabalho usamos o método de elementos finitos para resolver o problema do escoamento multifásico em meios porosos no caso do modelo black-oil, tanto como no caso do modelo trifásico simplificado. Escolhemos este método devido principalmente a sua forte base matemática e à flexibilidade que apresenta para tratar geometrias complexas. O objetivo deste trabalho consiste em desenvolver um simulador de reservatórios de petróleo que trate problemas de escoamento trifásico. A primeira etapa consistirá em implementar um modelo simples que considere fluidos incompressíveis e que não ocorra transferência de massa entre as fases. Uma vez compreendidas e estudadas as dificuldades desta primeira etapa implementaremos o modelo black-oil. Em ambos os casos aplicaremos o método de Galerkin clássico para resolver a equação da pressão, enquanto que para resolver as equações de saturação, as quais apresentam transporte predominantemente advectivo, usaremos o método de elementos finitos estabilizados SUPG com operador de captura de choque e descontinuidades CAU. Quanto à integração no tempo propomos dois esquemas diferentes, com o intuito de comparar a performance computacional, estabilidade e precisão dos mesmos. Um destes esquemas é um método seqüencial muito similar ao apresentado em (Li et al., 2003). O segundo é um esquema que resolve inicialmente a equação da pressão, como no caso do método seqüencial, e em

4

seguida resolve as duas equações da saturação simultaneamente, de maneira similar ao esquema apresentado em (Juanes, 2003). Implementaremos estes esquemas de integração com base nos estúdios realizados sobre leis de conservação, apresentados nos capítulos 2 e 3 deste trabalho. Desta maneira, o esquema de integração das equações de saturação de forma simultânea pode ser implementado usando uma técnica muito similar àquela usada para a solução das equações de Euler (ver capítulo 2), devido à semelhança na estrutura das equações dos dois problemas. Da mesma forma, o esquema de integração sequencial pode ser implementado como uma extensão da implementação do escoamento bifásico (ver capítulo 3). Esta proposta de trabalho está organizada da seguinte forma. A seção 2 apresenta as equações governantes do modelo black-oil. Com objetivo de realizar comparações com outros trabalhos da literatura descrevemos dois sistemas diferentes de equações equivalentes. Um destes esquemas corresponde a uma formulação simultânea das equações de saturação enquanto que o outro sistema consiste em uma formulação seqüencial destas equações. Em seguida são apresentados também dois sistemas diferentes de equações equivalentes correspondentes a um modelo mais simples, o qual considera fluidos incompressíveis e que não ocorre transferência de massa entre as fases. Na seção 3 apresentamos a formulação semi-discreta de elementos finitos aplicada a este último modelo simplificado. Aplica-se esta formulação aos dois esquemas de equações equivalentes tratados. No caso do esquema com formulação simultânea das equações de saturação propomos uma formulação análoga àquela usada para resolver as equações de Euler, enquanto que no caso do esquema com formulação seqüencial das equações de saturação a aplicação da formulação de elementos finitos consiste numa extensão da técnica usada para resolver o caso do escoamento bifásico. Na seção 4 apresentamos os esquemas de integração propostos para resolver os sistemas de equações resultantes da aplicação da formulação de elementos finitos. Em ambos casos, propomos um algoritmo multi-corretor bloco-iterativo. A diferença consiste em que no caso do esquema de integração das equações de saturação de forma simultânea estas equações são resolvidas num único bloco usando uma técnica muito similar àquela usada para a solução das equações de Euler (ver capítulo 2). Por outro lado no caso do esquema de integração seqüencial cada equação de saturação é resolvida em um bloco separado como uma extensão da implementação do escoamento bifásico (ver capítulo 3). Finalmente a seção 5 apresenta o cronograma de atividades programadas para realizar os objetivos do trabalho proposto.

2. Equações governantes Nesta seção apresentamos tanto as equações governantes do modelo black-oil como as do modelo trifásico simplificado. No modelo black-oil se assume que não existe transferência de massa entre a fase água e as outras duas fases, óleo e gás. O componente gás pode ser encontrado tanto na fase gás como dissolvido na fase óleo, enquanto que o componente óleo existe somente na fase óleo. O sistema de hidrocarbonetos é considerado de duas componentes: óleo e gás. A primeira é o líquido residual à pressão atmosférica depois de uma vaporização diferencial, entanto que a segunda é o fluido restante no meio poroso. O modelo black-oil é descrito pelas equações de conservação de massa de cada uma das componentes. Estas equações, em um domínio 2RΩ∈ com um contorno Γ em um intervalo de tempo [0, T] podem ser escritas da seguinte maneira (Peaceman,1977):

)()( ww

WSww

w

WS sBt

qB

ρφρ∂∂

=+⋅∇− v em Ω × [0, T] (1)

)()( oo

OSoo

o

OS sBt

qB

ρφρ∂∂

=+⋅∇− v em Ω × [0, T] (2)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

∂∂

=++⋅∇− )()( oo

GSsog

g

GSgo

o

GSsog

g

GS sB

Rs

Btq

BR

Bρρ

φρρ

vv em Ω × [0, T] (3)

onde os subíndices w, o e g (em minúsculas) se referem às fases da água, óleo e gás enquanto que os subíndices W, O e G (em maiúsculas) se referem às componentes água, óleo e gás respectivamente. Nestas equações φ é a porosidade, ρIS é a densidade da componente I em condições padrão1 enquanto que Bi,vi, qi e si são o fator de volume de formação, a velocidade, a taxa de injeção de massa nos poços e a saturação correspondentes à fase i respectivamente. O fator volume de formação, Bi, expressa a relação entre o volume da fase i em condições do reservatório e o volume do componente I em condições padrão. Portanto:

ISii VVTpB /),( = (

4)

solubilidade do gás, Rso, é definida como o volume de gás (medido em condições

Apadrão) dissolvido para uma dada pressão e temperatura do reservatório em uma unidade de volume de óleo (medido em condições padrão). Isto é:

1 Devido a que os reservatórios podem ter diferentes condições, todos os volumes são referidos a condições padrão as quais são: PSC=1 atm=14.5 psi, TSC=60oF = 15oC.

5

OSGSso VVTpR /),( = (5) A velocidade vi de cada fase é definida pela lei de Darcy como segue:

( zK

v ∇−∇−= gpk

iii

rii ρ

µ) i = w, o, g. (6)

onde K é o tensor de permeabilidade absoluta dependente somente da posição e kri, µi, pi e ρi são a permeabilidade relativa, a viscosidade, a pressão e a densidade correspondentes à fase i respectivamente; g é a constante gravitacional e z∇ é o vetor unitário na direção da profundidade. As saturações da água, do óleo e do gás satisfazem a seguinte condição:

1=++ gow sss (

7)

s pressões de fase estão relacionadas com as pressões de capilaridade pcow e pcgo da

(8)

anto as permeabilidades relativas como as pressões de capilaridade apresentam uma

ubstituindo as equações de fechamento (5), (6) e (7) nas equações de conservação (1),

este trabalho consideramos condições de contorno de não penetrabilidade do fluxo.

i , i = w, o, g,

Aseguinte maneira:

wocow ppp −= (9) ogcgo ppp −=

Tdependência não linear devido ao fato que é aceito, como fato empírico, que estas propriedades são unicamente funções das saturações das fases. Para representar estas grandezas são usados modelos baseados em medições de laboratório. Curvas típicas no caso do escoamento bifásico são mostradas em (Peaceman,1977). Por outro lado, no caso do escoamento trifásico estas curvas são mais difíceis de obter e requerem interação entre experimentos de laboratório e de campo. S(2) e (3) se obtém um sistema de três equações diferenciais parciais com três incógnitas, podendo se escolher diferentes conjuntos de variáveis independentes. Diversos estudos (Wu and Forsyth, 2001) mostram que a escolha das variáveis primitivas de um modelo multifásico tem um impacto significativo sobre a performance computacional. A seleção ótima destas variáveis depende, na maior parte das vezes, do problema particular que está sendo tratado. Portanto é conveniente realizar a escolha das variáveis levando em consideração: a eficiência computacional, a robustez e a simplicidade no cálculo de outras variáveis secundárias e da atualização das equações linearizadas. N

0. =n Γ∈x (10) v

6

As condições iniciais dependem do estado do reservatório, o qual pode se encontrar em

, (11)

= , (12)

0 xws= , (13)

No estado satu onsiorrespondentes são:

(14)

O sistema de equações dstema de equações equivalente, o qual é composto por uma equação para a pressão e

as variáveis do roblema escolhidas são po, sw e sg:

estado não-saturado ou saturado. O reservatório está em estado não-saturado quando todo o gás se dissolve na fase óleo e não existe fase gás. Ao contrário, o reservatório está em estado saturado quando as três fases água, óleo e gás existem simultaneamente. Para o estado não-saturado consideramos como variáveis do problema po, sw e pb, onde pb é a pressão do ponto de bolha2. As condições iniciais para este caso são:

)()0,( 0 xx oo pp = Γ∈x

)()0,( 0 xx bb p Γ∈x

(xws

p

)()0, Γ∈x

rado c deramos como incógnitas po, sw e so e as condições iniciais

c

)()0,( 0 xx oo pp = , x Γ∈

(15)

)()0,( 0 xx ww ss = , Γ∈x

, (16)

)()0,( 0 xx oo ss = Γ∈x

e conservação (1), (2) e (3) pode ser transformado em um

siduas equações para as saturações. Neste trabalho apresentamos diferentes esquemas para o sistema equivalente de equações governantes com o motivo de poder realizar comparações com métodos desenvolvidos em outros trabalhos. Estes são: • Esquema com formulação simultânea das equações de saturação no qual p - Equação da pressão:

( )sooo

g

ggg

ooo

www

otT t

cQ∂

−=⋅∇ vT φ

RBB

BB

BB

BB

p

∇⋅−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇⋅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇⋅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇⋅−

∂

vvvv 111 (17)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−=

o

so

o

go

g

g

g

g

o

o

o

o

w

w

w

wt dp

dRBBs

dpdB

Bs

dpdB

Bs

dpdB

Bsc (18)

2 Pressão de ponto de bolha: é a pressão mínima requerida para o gás dissolver no óleo.

7

GS

osog

GS

gg

OS

oo

WS

wwT

qRBqBqBqBQρρρρ

−++=

- Equação da saturação da água:

(19)

[ −+⋅∇+∂ w ffs ((Kv ρρλφ ]

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇⋅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∇+∇+−⋅∇+

∇−+∂

www

www

WS

ww

gg

cgogw

w

cwogow

gwgwooww

BB

BtsBqB

sds

dps

dsdpf

gt

11

))((

))()T

v

K

z

φρ

λλλ

ρρλ

(20)

- Equação da saturação do gás:

[ +⋅∇+∂

+∂ g

o

o

sogg ftBt

vTφφ ]

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇⋅−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇⋅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∇+−∇⋅∇+

⋅∇+∇−+−∂∂

o

soog

ggg

o

soog

ggg

GS

gg

gg

cgooww

w

cwowg

oo

sogogowgwg

BRB

BB

BR

tsB

BtsB

qB

sds

dps

dsdpf

BRB

gfsRBs

vv

K

vzK

11

))((

))()((

φφρ

λλλ

ρρλρρλ

(21)

As equações (18) e (19) podem também ser apresentadas usando uma formulação simultânea, obtida de maneira análoga ao caso do escoamento trifásico incompressível

uanes, 2003). (J - Formulação simultânea das equações de saturação (18) e (19):

QUDAUDFCFM =∇⋅∇+∇⋅∇+⋅∇+⋅∇+∂

)()( 2121t U∂ (22)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

o

gso

o

gso

BBR

BBR

φφ

φ

)1(

0M (23)

(24) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

gB000

C

8

⎥ (25) ⎦

⎤⎢⎣

⎡=

gg BB00

A

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

g

w

ss

U

⎦∇−+−+ zK gf ogowgwg ))()((T ρρλρρλ

(26)

⎤⎢⎣

⎡ ∇−+−+=

vzKv

Ff

gff

g

gwgwooww ))()((T1

ρρλρρλ (27)

⎥

⎥⎦

∇z (28) ⎥⎤

⎢⎢

⎣

⎡−+−+= KvF g

BRf

BfR

gogwooo

soo

o

oso ))()((0

T2 ρρλρρλ

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

+−=

g

cgoowg

w

cwowg

g

cgogw

w

cwogow

dsdp

fds

dpf

dsdp

fds

dpf

))((

))((

1

λλλ

λλλ

KK

KKD (29)

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

g

cgogo

o

so

w

cwooo

o

so

dsdp

fBR

dsdp

fBR

λλ KKD00

2

⎥⎥⎞⎛∂∂

⎠⎝⎠ w

RsBB

1φ (31)

(30)

⎥⎥

dos para o

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝∂

−∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇⋅−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

∇⋅−⎟⎟⎞

⎜⎜⎝

⎛∂∂

−

=

oosog

so

o

og

ggg

ggg

GS

gg

www

wwWS

ww

BtsRB

tBBB

BtsB

qB

BBt

sBqB

11

11

φφρ

φρ

v

vQ

• Esquema com formulação seqüencial. Neste caso são considerados dois estareservatório de petróleo:

Estado saturado: existem as três fases água, óleo e gás. As variáveis escolhidas do

q

oproblema são po, sw e so e a equação da pressão é a mesma equação (15) apresentada para o caso da formulação simultânea: - E uação da saturação da água:

9

[ ]

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇⋅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∇+∇+−⋅∇+

∇−+−+⋅∇+∂∂

www

www

WS

ww

gg

cgogw

w

cwogow

gwgwoowww

BB

BtsBqB

sds

dps

dsdpf

gfft

s

11

))((

))()((T

v

K

zKv

φρ

λλλ

ρρλρρλφ

(

32)

Equação da saturação do óleo: -

[ ]

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇⋅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇+∇⋅∇+

∇−+−+⋅∇+∂∂

ooo

ooo

OS

oo

oo

cgogw

w

cwooo

gogwooooo

BB

BtsBqB

sds

dps

dsdpf

gffts

11

)(

))()((T

v

K

zKv

φρ

λλ

ρρλρρλφ

(33)

stado não-saturado: existem somente duas fases água e óleo entanto que o

omponente gás só existe dissolvido na fase óleo. As variáveis escolhidas do problema

o Ecsão po, sw e pb aonde pb é a pressão do ponto de bolha. Neste caso a equação da pressão e a equação da saturação da água são iguais ao caso do estado saturado. A equação da pressão do ponto de bolha é obtida a partir da equação de conservação do componente gás nas condições do estado não-saturado: - Equação da pressão do ponto de bolha:

[ ]

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇⋅−∇⋅−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∇⋅∇−

∇−+⋅∇−∂∂

−=

∂∂⎟

⎞⎜⎛∂ bbsoo pdpdRs 1φ

⎟⎠

⎜⎝

+∂

oooso

so

ow

w

cwooo

wooooo

oboo

bso

BBR

Rs

dsdpf

gffts

tBdpBs

tdp

1)(

))((T

vvK

zKv

λ

ρρλφ

φ

(34)

Considerando fluidos incompressíveis e que não ocorre transferência de massa entre as

ses o sistema de equações governantes pode ser simplificado da seguinte maneira:

(35)

R

fa • Esquema com formulação simultânea das equações de saturação: - Equação da pressão:

TQ=⋅∇ Tv

10

ggoowwT qqqQ ρρρ ++= (36)

Formulação simultânea das equações de saturação: -

QUDFU=∇⋅∇+⋅∇+

∂∂ )(

t (37)

(38)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

g

w

ss

U

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∇−+−+

∇−+−+=

zKv

zKvF

gff

gff

ogowgwgg

gwgwooww

))()((

))()((

T

T

ρρλρρλφφ

ρρλρρλφφ (39)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+=

g

cgoow

g

w

cwow

g

g

cgog

w

w

cwogo

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dsdpf

-ds

dpfds

dpfds

dpf-

)(

)(

λλφ

λφ

λφ

λλφ

KK

KKD

⎡

(40)

wwqρ

(41)

• Esquema com formulação seqüencial. Neste caso a equação da pressão é a mesma quação (30) apresentada para o caso da formulação simultânea:

⎥⎦

⎢⎣

=gg qρ

Q ⎤

e - Equação da saturação da água:

[ oowww ffs ρλφ −+⋅∇+

∂ ((T Kv ]

ww

gg

cgogw

w

cwogow

gwgw

q

sds

dps

dsdpf

gt

ρ

λλλ

ρρλρ

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∇+∇+−⋅∇+

∇−+∂

))((

))()

K

z

(42)

- Equação da saturação do gás:

11

[ ]

gg

gg

cgooww

w

cwowg

ogowgwggg

q

sds

dps

dsdpf

gfft

s

ρ

λλλ

ρρλρρλφ

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∇+−∇⋅∇+

∇−+−+⋅∇+∂

∂

))(

))()((T

K

zKv

(43)

Na seção seguinte veremos as formulações semidiscretas de elementos finitos aplicadas aos esquemas de equações governantes do modelo simplificado do escoamento trifásico. Estes casos serão os primeiros a ser implementados conforme é apresentado no cronograma de atividades.

12

3. Formulação semidiscreta de elementos finitos Nesta seção apresentamos a formulação variacional semidiscreta de elementos finitos aplicada às equações governantes que descrevem o escoamento trifásico. Porém neste documento mostramos somente os casos de escoamento trifásico incompressível: o caso com formulação simultânea e o caso com formulação seqüencial das equações de saturação da água e do gás. O desenvolvimento das restantes formulações variacionais correspondentes aos outros esquemas de equações governantes do modelo black-oil será realizado como parte das atividades programadas para o período seguinte. A formulação semidiscreta de elementos finitos consiste em uma discretização de elementos finitos no espaço seguida de uma discretização de diferenças finitas no tempo.

3.1 Esquema com formulação simultânea das equações de saturação Consideramos um domínio computacional Ω dividido em nel elementos Ωe, e=1,2...,nel, onde Ω= Ωnel

e 1=∪ e e Ωi∩Ωj=ø. Os espaços das funções de interpolação para a pressão ph, para as saturações da água e do gás Sh e os espaços das funções de peso wh e Vh correspondentes a estas aproximações são respectivamente definidos como segue:

ptpPpppp hee

hhhhh =Ω∈ΩΩ∈= )()],([/)],([/ 1H in (44) Γd

kk

ee

hh gP =Ω∈ΩΩ∈= eUUHUUS .,)]([/,)]([/ h21h21hh in (45) Γgk

0)],([/)],([/ h1hhh =Ω∈ΩΩ∈= wPwwww e

ehh H in Γ (46)

0.,)]([/,)]([/ h21h21hh =Ω∈ΩΩ∈= k

ee

hh P eWWHWWV in gkΓ (47) onde Hh(Ω) é um espaço de funções de dimensão finita sobre Ω, P1(Ωe) representa polinômios de primeira ordem em Ωe, H1h(Ω) é um espaço de funções de dimensão finita sobre Ω e P1(Ωe) representa polinômios de primeira ordem em Ωe. Γgk é o contorno de Ω com condições prescritas de Dirichlet. Considerando uma discretização padrão de Ω em elementos finitos a formulação de Galerkin para a equação da pressão é definida como,

Ω=Ω⋅∇ ∫∫ ΩΩdQwdw T

hT

h v (48)

A equação da saturação (35) alternativamente pode ser escrita da seguinte maneira:

0, =++ yyxxt ,, UAUAU em Ω × [0, T] (49) onde as matrizes jacobianas Ai, para i=x,y são definidas como se segue:

12

UFA∂∂

= ii (50)

e o vetor Fi é definido da seguinte maneira:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∇+∇−+−+

∇+∇−+−+=

)())()((

)())()((

T

T

yiyxixogowgwg

ig

yiyxixgwgwoow

iw

i

kkgff

kkgff

zzv

zzvF

ρρλρρλφφ

ρρλρρλφφ (51)

onde kix, kiy são os coeficientes do tensor de permeabilidade absoluta K, e são as componentes do vetor unitário na direção da profundidade e v

xz∇ yz∇Tx e vTy são as

componentes da velocidade total vT. Desta maneira, a formulação SUPG aplicada à equação da saturação (47) adicionando um operador de captura de choque (LeBeau & Tezduyar, 1991) é definida da seguinte forma,

0)(]).[()(

).(

11=Ω

∂∂

∂∂

∑ ∫+Ω∂∂

+∂∂

∂∂

∑ ∫

+Ω∂∂

+∂∂

∫

=Ω

=Ω

Ω

dxx

dxtx

dxt

i

h

i

hnel

ei

hhi

h

k

hnel

e

thk

i

hhi

hh

eeUWUAUWτA

UAUW

δ (52)

Na equação (50) a primeira integral é a formulação de Galerkin, a primeira somatória de integrais no nível de elemento é o termo de estabilização SUPG e a segunda somatória representa o termo de captura de choque adicionado à formulação variacional para evitar a presença de oscilações espúrias em torno das regiões de choque. A matriz de estabilização τ pode ser definida por matrizes diagonais. Esta forma de estabilização foi inicialmente introduzida por Hughes & Tezduyar (1984) e mais tarde melhorada por Aliabadi & Tezduyar (1995). A matriz τ = τI depende do parâmetro τ que é definido como,

)](,0max[ δττζττ −+= al (53)

al CFLτ

ατ

)21(32

+= (54)

λτ

2h

a = (55)

2λδτδ = (56)

13

onde τl é o parâmetro de estabilização correspondente aos termos dependentes do tempo, τa o parâmetro de estabilização correspondente aos termos advectivos, τδ o parâmetro de estabilização para descontar os efeitos do operador de captura de choque e h um parâmetro dependente da malha definido como 1/2, onde é a área do elemento. O parâmetro ζ é um coeficiente usado no algoritmo de integração no tempo e CFL é o número de Courant-Friedrichs-Lewy, definidos como,

CFLCFLα

αζ21

2+

= (57)

htCFL ∆

=λ (58)

onde λ é o maior autovalor das matrizes Ai a ser determinado, α é um parâmetro que controla a estabilidade e precisão do algoritmo de integração no tempo e ∆t é o passo de tempo. Neste trabalho adotaremos α=0.5. O parâmetro de captura de choque δ pode ser definido de forma similar a como é apresentado em Le Beau et al., (1993) (δCD) ou como em Almeida & Galeão (1996) (δCAU) da seguinte maneira:

21

2

2

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∇

∂∂

=h

h

i

CDi

U

UA

ξ

δ

(59)

hCAU UUR

ξ

δ∇

=)(

(60)

wha

hi

tQUDvUUR +∇+⋅∇+

∂∂

= )()( φ (61)

yy

xx

yy

xx hhhh

h

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∇UUUUU

2211 ξξξξξ (62)

se ||∇ ξUh || ≠ 0, ao contrário δ=0. As componentes ∂xj/∂ξl são os termos da matriz de transformação entre as coordenadas físicas e as coordenadas locais dos elementos (ξl).

3.2 Esquema com formulação seqüencial das equações de saturação Consideramos um domínio Ω dividido em nel elementos, Ωe, e=1, 2,…,nel, onde Ω= Ω

nele 1=∪

e e Ωi∩Ωj=ø. Os espaços das funções de interpolação para a pressão ph, a saturação da

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água swh, a saturação do gás sg

h e o espaço das funções de peso wh são respectivamente definidas por:

ptpPpppp hee

hhhhh =Ω∈ΩΩ∈= )()],([/)],([/ 11H in (63) Γd

hwi

hw

ee

hw

hhww

hw stsPssss =Ω∈ΩΩ∈= )()],([/)],([/ 11h H in (64) Γ i

hgi

hg

ee

hg

hhg

hg

hg stsPssss =Ω∈ΩΩ∈= )()],([/)],([/ 11H in (65) Γi

0)],([/)],([/ h1h1hh =Ω∈ΩΩ∈= wPwwww e

ehh H in Γ (66)

onde H1h(Ω) é um espaço de funções de dimensão finita sobre Ω, P1(Ωe) representa polinômios de primeira ordem em Ωe. Considerando uma discretização padrão de Ω em elementos finitos, a formulação de Galerkin para a equação da pressão, da mesma forma que no caso da formulação simultânea, é escrita como,

Ω=Ω⋅∇ ∫∫ ΩΩdQwdw T

hT

h v (67)

A formulação SUPG para as equações de saturação de cada fase (água e gás) é:

0)(

),()),((

nel

1e

nel

1e

*

=Ω∇∇+

Ω+Ω

∑∫

∑∫∫

=Ω

=ΩΩ

dsws

dsLwLdsLw

hi

hhi

hai

hi

hi

hii

hai

hi

hi

h

e

e

δ

τ vv i=w,g. (68)

O operador diferencial para cada fase é definido por: ),( vhai

hisL

ihgig

hwiw

hai

hih

aihii Qsst

ssL +∇+∇+⋅∇+∂∂

= )(),( DDvv φ (69)

onde as velocidades aparentes e são definidas respectivamente por: awv agv

D))()((T ∇−+−+= gff gwgwoowwaw ρρλρρλKvv (70)

D))()((T ∇−+−+= gff ogowgwggag ρρλρρλKvv (71) as matrizes de difusão , , e são definidas respectivamente por: wwD wgD gwD ggD

ww

cwogowww s

dsdpf ∇+−= )( λλKD (72)

gg

cgogwwg s

dsdp

f ∇= λKD (73)

ww

cwowggw s

dsdpf ∇= λKD (74)

15

gg

cgoowggg s

dsdp

f ∇+−= )( λλKD (75)

e o termo fonte para cada fase é definido por: iQ

iii qQ ρ−= (76) O operador diferencial para cada fase é definido como segue: )(* h

i wL

hhai

hi wwL ∇⋅= v* (77)

De forma semelhante ao caso da formulação simultânea, na equação (65) a primeira integral é a formulação de Galerkin, a primeira somatória de integrais no nível de elemento é o termo de estabilização SUPG e a segunda somatória representa o termo de captura de choque adicionado à formulação variacional para evitar a presença de oscilações espúrias em torno das regiões de choque. O parâmetro de estabilização para cada fase iτ é definido por:

1

2

)(−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

hs

chi

hai

i

vτ (78)

onde h é um parâmetro dependente da malha e c2 é um coeficiente constante. Neste trabalho adotaremos o parâmetro de captura de choque CAU introduzido por Galeão e Carmo4, o qual apresenta a seguinte forma:

hi

hi

ii s

sRh

∇=

)(αδ (79)

onde i=w,g, αi é um parâmetro que depende do número de Peclet. é o resíduo para cada fase definido por:

)( hisR

whgig

hwiw

hai

hih

i QsstssR +∇+∇+⋅∇+∂∂

= )()( DDvφ (80)

É importante notar que o parâmetro de captura de choque é nulo quando h

is∇ é zero. Na seção seguinte veremos diferentes esquemas propostos para a integração no tempo dos sistemas de equações obtidos da formulação de elementos finitos. Nesta proposta apresentamos somente os casos correspondentes ao modelo incompressível e sem transferência de massa entre as fases.

16

4. Esquemas de integração no tempo Como mostrado na seção 2 o objetivo é resolver diferentes esquemas de equações governantes. Nesta proposta descrevemos os esquemas de integração no tempo que aplicaremos aos diferentes sistemas de equações governantes do caso de fluidos incompressíveis. Estes esquemas serão os primeiros a serem implementados, enquanto os restantes serão tratados como parte das atividades seguintes à apresentação desta proposta.

• Esquema de integração com solução simultânea das equações de saturação: As equações algébricas obtidas da formulação de elementos finitos são aproximadas pela regra trapezoidal generalizada (Hughes, 1987). Para resolver os sistemas de equações resultantes usaremos um algoritmo multi-corretor bloco-iterativo composto por três blocos. Inicialmente se resolve a equação da pressão. No segundo bloco se calcula o campo de velocidades usando uma técnica de pós-processamento. Em seguida se resolve o sistema de equações da saturação usando um algoritmo Preditor-Multicorretor muito parecido ao apresentado em Aliabadi and Tezduyar (1995). Uma vez calculadas a pressão e as saturações se atualizam as variáveis e este processo iterativo continua até se satisfazer algum critério de convergência. • Esquema de integração seqüencial:

Da mesma maneira que no caso do esquema anterior usaremos a regra trapezoidal generalizada (Hughes, 1987) para a discretização no tempo das equações. Como resultado desta aproximação se obtém o seguinte algoritmo multi-corretor bloco-iterativo:

• Bloco 1: Resolve a equação da pressão • Bloco 2: Calcula o campo de velocidades • Bloco 3: Resolve a equação da saturação da água • Bloco 4: Resolve a equação da saturação do gás • Atualiza as variáveis

O processo iterativo continua até se satisfazer algum critério de convergência.

Na seção seguinte apresentamos o cronograma de atividades que serão realizadas até o final do período para cumprir com os objetivos desta proposta de trabalho.

17

5. Cronograma de atividades

Nesta proposta temos apresentado as equações governantes do modelo black-oil para simulação de reservatórios de petróleo. Temos descrito diferentes esquemas de equações governantes equivalentes com objetivo de realizar comparações da precisão, estabilidade e performance computacional dos mesmos. Para o caso do modelo black-oil descrevemos uma formulação simultânea e uma formulação seqüencial. A sua vez, esta última foi decomposta em dois casos: estado saturado e estado não saturado do reservatório. De mesma forma para o caso do modelo trifásico incompressível sem transferência de massa entre as fases apresentamos uma formulação simultânea e uma formulação seqüencial. Temos aplicado somente a formulação de elementos finitos aos esquemas de equações governantes do modelo incompressível sem transferência de massa entre as fases. Da mesma forma temos apresentado os esquemas de integração no tempo para o caso deste modelo mais simples. Para a realização dos objetivos desta proposta de trabalho é necessário realizar uma série de atividades, que serão realizadas até o final do período. As mesmas são enunciadas na lista seguinte:

• Aplicação da formulação de elementos finitos aos esquemas de equações equivalentes propostos para descrever o modelo black-oil – julho 2004.

• Definir os esquemas de integração no tempo para todos os esquemas de

equações equivalentes do modelo black-oil – julho 2004. • Implementação do modelo trifásico incompressível como extensão do código

do miscível (descrito no capítulo 3-3.1.2) com resolução simultânea das equações de saturação – novembro 2004.

• Implementação do modelo trifásico incompressível como extensão do código

do miscível (descrito no capítulo 3-3.1.2) com resolução seqüencial das equações de saturação – novembro 2004.

• Implementação do modelo black-oil como extensão do código do bifásico

(descrito no capítulo 3-3.1.1) com resolução simultânea das equações de saturação – abril 2005.

• Implementação do modelo black-oil como extensão do código do bifásico

(descrito no capítulo 3-3.1.1) com resolução seqüencial das equações de saturação – abril 2005.

• Exemplos numéricos para validação do código – setembro 2005.

• Redação da tese – março 2006.

• Data prevista para defesa – março 2006

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21

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