simulação bidimensional de escoamento de um fluido...
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Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Engenharia Química
Coordenação de Graduação
Trabalho de Conclusão de Curso
“Simulação bidimensional de escoamento de um fluido
incompressível ao redor de uma seção circular, utilizando
CFD.”
Aluno: Julia Satie Saito RA: 061852 Supervisor: Roger Josef Zemp
Campinas – SP dezembro de 2014
SUMÁRIO
1. RESUMO ........................................................................................................................................ 1
2. INTRODUÇÃO .............................................................................................................................. 2
3. REVISÃO DA LITERATURA ..................................................................................................... 5
4. OBJETIVO DO TRABALHO ...................................................................................................... 7
5. METODOLOGIA .......................................................................................................................... 8
5. METODOLOGIA .......................................................................................................................... 8
6. RESULTADOS............................................................................................................................. 10
6.1 Definição da malha................................................................................................................. 10
6.2 Simulação de escoamento ao redor de uma seção circular estacionária ........................... 14
6.3 Simulação de escoamento ao redor de uma seção circular com movimento forçado ...... 19
7. CONCLUSÕES ............................................................................................................................ 25
8. REFERÊNCIAS ........................................................................................................................... 26
NOTA:
Este trabalho foi desenvolvido como parte da pesquisa de iniciação científica no Programa de Formação de
Recursos Humanos da Agência Nacional do Petróleo da UNICAMP, PRH-15/ANP, sob orientação do Prof.
Dr. Celso Kazuyuki Morooka, do Departamento de Engenharia de Petróleo da UNICAMP
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1. RESUMO
Dutos submarinos são utilizados nas operações marítimas de perfuração de poços e de
produção de petróleo e gás natural. Estes dutos podem estar apoiados no leito marinho
transportando o petróleo de um poço produtor até uma unidade de produção flutuante na superfície
do mar. São denominados de dutos submarinos ou linhas de escoamento enquanto apoiados no leito
marinho, e quando se encontrar suspenso, interligando o fundo do mar à unidade produtora na
superfície, são denominados de risers.
Estes dutos estão sujeitos à correnteza marítima, ondas e ao movimento induzido pela
unidade flutuante à qual estão conectados. Sua interação com a água do mar gera duas componentes
de força no duto: a força de arrasto (FD) e a transversal (FL), respectivamente, nas direções de
incidência e perpendicular da água em relação ao duto. A força transversal faz o duto oscilar na
direção perpendicular à velocidade de incidência do fluido, fenômeno conhecido como Vibração
Induzida por Vórtices (VIV), em sincronização com o desprendimento de vórtices. Esta vibração é
importante para o projeto de dutos, pois pode acelerar o processo de fadiga do duto, ocasionando
falhas.
Neste trabalho, aplica-se a dinâmica de fluidos computacional (Computacional Fluid
Dynamic – CFD) para solução do escoamento bidimensional ao redor de uma seção de um duto
submarino. Consideram-se duas situações: a primeira com seção transversal estacionária, e a
segunda, com a seção com um movimento forçado induzido na direção transversal ao escoamento
incidente. Coeficientes hidrodinâmicos de arrasto (CD) e de força transversal (CL), assim como o
número de Strouhal (St) para o escoamento são calculados, e comparações e análise dos resultados
com a literatura são realizados. Observa-se dos resultados de que um incremento grande é
observado no CL quando a freqüência de movimento forçado da seção é maior do que a freqüência
de desprendimento de vórtice para o cilindro estacionário. A partir dos resultados obtidos, é
possível aplicá-los na indústria do petróleo, no projeto de equipamentos que ficam submersos,
podendo otimizá-lo e aumentar sua vida útil, além de ser possível tornar estes equipamentos mais
seguros e com menos chance de falhas.
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2. INTRODUÇÃO
O setor petrolífero no Brasil encontra-se em ascensão, devido à descoberta de petróleo
comercial na camada do pré-sal, nas bacias de Santos (SP) e de Campos (RJ). Desse modo, as
pesquisas relacionadas à perfuração de poços, à exploração, extração e transporte do petróleo e gás
natural, em águas profundas e ultra-profundas, são cada vez mais relevantes. A descoberta de
petróleo no pré-sal surge como um desafio devido à grande profundidade que os poços se
encontram, chegando a até 2.000 metros de lamina d’água e ainda mais 5.000 metros de rochas,
superando a profundidade dos poços até então perfurados no Brasil.
Figura 1: Profundidade de poços brasileiros ao longo dos anos.
Em diversas áreas de produção de petróleo, como a perfuração de poços, a extração e o
transporte do petróleo contido no fundo do mar, são utilizados dutos submersos cilíndricos de aço,
como mostra a Figura 2.
124 m 1997
293 m 1983
492 m 1998
781 m 1992
1027 m 1994
1853 m 1999
1886 m 2003
Até 7000 m
5000 m de rocha
2140 m 2006
Enchova Piraúna Marimbá Marlim Marlim Roncador Roncador B. de Santos Pré-sal
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Figura 2: Esquema de produção de petróleo.
Estes dutos, quando fazem a interligação entre o fundo do mar com a unidade de produção
flutuante, são chamados de risers. Os poços do pré-sal podem alcançar até 2000 metros de
profundidade e, com isso, o tamanho dos risers utilizados para a extração de petróleo é muito
grande, o que resulta num peso-próprio muito elevado, podendo causar danos na unidade de
produção. Para minimizar a força que o riser exerce sobre a plataforma ou navio, pode-se utilizar
bóias de subsuperfície, estruturas cilíndricas localizadas a aproximadamente 100 metros da
superfície, e que suporta grande parte da força peso do riser, interligando-o à unidade de produção
através de outra estrutura cilíndrica, chamada de jumper flexível. Dutos submarinos, colocados ao
longo do leito marinho, muitas vezes com a extensão de dezenas a centenas de quilômetros, fazem
também o transporte do óleo ou gás (chamados de oleodutos ou gasodutos), do alto mar a um
terminal na costa litorânea.
Todas estas estruturas submersas, com seção circular uniforme, estão expostas à correnteza e
ondas do mar, além do movimento da unidade de produção flutuante. Estes parâmetros fazem o
duto interagir com a água do mar, originando diferenças de pressão que, conforme Sumer e Fredsøe
(1997), resultam em alterações periódicas na parede do duto, gerando o desprendimento alternado
de vórtices e resultando na variação periódica das componentes de força no cilindro, isto é, das
forças de arrasto (FD) e transversal (FL) paralela e perpendicular à direção do escoamento incidente.
A força transversal faz o duto sofrer vibrações, fenômeno conhecido como Vibração Induzida por
Vórtices (VIV) e de extrema importância para o projeto das tubulações submarinas visto que pode
onda
vento
Superfície do mar
Unidade flutuante de produção
correnteza
riser vertical
bóia de subsuperfície
jumper flexível
100 m
Fundo do mar
poço de petróleo
manifold
duto submarino
árvore de natal molhada
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provocar sua fadiga precoce, resultando em graves acidentes com conseqüências econômicas,
ambientais e humanas.
As forças de arrasto e transversal são adimensionalizadas em função da densidade do fluido,
do diâmetro e comprimento do duto e do quadrado da velocidade de incidência do fluido, resultando
nos coeficientes de arrasto (CD) e de força transversal (CL), respectivamente.
De acordo com Wendt (2009), os aspectos físicos de qualquer escoamento fluido são
governados por três princípios fundamentais: a conservação da massa; a Segunda Lei de Newton; e
a conservação da energia. Estes princípios podem ser expressos em expressões matemáticas que em
suas formas gerais são geralmente expressas em equações diferenciais parciais. A Dinâmica de
Fluidos Computacional (Computational Fluid Dynamics – CFD) é uma ferramenta que substitui
estas equações por números e utiliza-os avançando no tempo e no espaço para obter uma descrição
numérica final do escoamento fluido de interesse.
Através do CFD é possível simular o escoamento de fluidos através da aplicação de métodos
numéricos computacionais nas equações fundamentais da mecânica de fluidos. Esta técnica é
utilizada em alguns aspectos do projeto de dutos submarinos e risers, como por exemplo, na
previsão de esforços hidrodinâmicos devido à correnteza e ondas do mar, sendo, portanto, utilizada
em complemento aos métodos numéricos baseados em modelos semi-empíricos da mecânica de
fluidos que se fundamentam com resultados extraídos de experimentos em laboratórios.
O desenvolvimento da modelagem numérica é apresentado com uma análise de malha
computacional e, a partir dele, as simulações do escoamento externo ao redor de um cilindro liso de
seção circular são realizadas de maneira que a análise seja feita num plano bidimensional
considerando, portanto, uma seção transversal circular. Duas situações são estudadas, sendo a
primeira considerando que a seção está estacionária, ou seja, não se move em nenhuma direção, e a
segunda com a seção sob ação de um movimento forçado na direção transversal ao escoamento
incidente. Os coeficientes hidrodinâmicos CD e CL são calculados de acordo com as forças obtidas
pela solução do programa.
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3. REVISÃO DA LITERATURA
Quando há escoamento de fluidos de baixa viscosidade (altos números de Reynolds), ao
redor de um corpo, a viscosidade tem efeito sensível sobre uma pequena camada adjacente à
superfície de um corpo, onde a velocidade varia rapidamente desde um valor nulo, próximo à
parede do corpo, até um valor característico do escoamento, chamada de camada limite. Fora desta
camada, as forças viscosas são pequena e podem ser consideradas desprezíveis. Para determinadas
velocidades do escoamento, a camada limite se desprende do corpo e forma-se uma esteira de
vórtices. Um maior detalhamento desta situação é descrito em Lopes (2006).
A partir da superfície do corpo, a velocidade da camada limite cresce desde zero até 99% da
velocidade de escoamento do fluido. Nesta camada, há predominância dos efeitos da viscosidade,
enquanto que fora dela estes efeitos são praticamente nulos. Quanto maior a velocidade do
escoamento, menor serão o comprimento, a espessura da camada limite laminar e da sub-camada
laminar. A pressão na camada limite é determinada pelo escoamento, de modo que em uma seção
da camada limite normal à superfície do corpo, a pressão pode ser considerada constante e igual a
do escoamento circundante.
Quando o escoamento se dá sobre a superfície de um cilindro posicionado transversalmente
ao escoamento, como na Figura 3, o campo de pressões deixa de ser constante. As partículas fluidas
aumentam de velocidade entre A e B (diminuição da pressão) e diminuem entre B e C (aumento da
pressão).
Figura 3: Escoamento ao redor de um cilindro.
Ao longo da camada limite, há perda de energia cinética por atrito, devido à viscosidade do
fluido e, conseqüentemente, a energia resultante pode ser insuficiente para suportar o aumento de
pressão necessário para chegar até C. Devido a isto, surge um movimento contrário à passagem do
fluido, que causa o descolamento da camada limite no ponto de separação, gerando um par de
vórtices estacionários, até aproximadamente Re=40. A partir deste valor, o desprendimento de
vórtices ocorre de forma periódica e alternada, com uma freqüência conhecida como freqüência de
Strouhal ou de shedding. A Figura 4 mostra como o comportamento do escoamento varia com a
faixa de Reynolds que o cilindro está localizado.
A
B
C
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Figura 4: Formação de vórtices de acordo com a faixa de Reynolds. Retirado de
Pantazoupoulos (1994).
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4. OBJETIVO DO TRABALHO
O objetivo deste trabalho é estudar os fundamentos envolvidos no comportamento estático e
dinâmico de uma estrutura submersa no mar, de geometria circular na sua seção transversal, como
risers e boias de subsuperfície. O comportamento dinâmico é analisado considerando um
movimento senoidal forçado da estrutura, na direção transversal à incidência da correnteza.
Simulações numéricas foram feitas através da fluidodinâmica computacional (CFD), e os resultados
foram avaliados e comparados com a literatura.
Para garantir os objetivos aqui descritos, primeiramente é necessário conhecer os
fundamentos básicos de mecânica dos fluidos, pois é a partir das equações descritas por Navier-
Stokes que se baseará a resolução descrita pelo software utilizado (ANSYS-CFX®
). Além disso, o
conhecimento de mecânica de fluidos também é necessário para analisar alguns parâmetros básicos
e importantes do escoamento, que neste caso utiliza um fluido incompressível no escoamento
externo.
O conhecimento básico de programação também é necessário para que seja possível
introduzir algumas equações nos dados de entrada do software computacional, como a equação do
movimento forçado, por exemplo. Conhecimentos de programação também são importantes para a
transformada rápida de Fourier, calculada através do software MATLAB®
e utilizada para
determinar a frequência de uma força oscilatória.
Os resultados aqui analisados e descritos são importantes não apenas para a indústria de
petróleo, na exploração e produção de poços submarinos, mas também podem ser avaliados em
trocadores de calor, importantes equipamentos utilizados em indústrias químicas, uma vez que os
tubos encontrados no interior destes equipamentos também estão sujeitos a um escoamento externo
e, portanto, também podem sofrer vibração devido a este escoamento.
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5. METODOLOGIA
O software utilizado para fazer as simulações foi o ANSYS®. Para criação da geometria de
domínio fluido e geração de malha, utilizou-se o ANSYS Workbench. Já a simulação de
escoamento é feita pelo ANSYS-CFX®, que se divide em três sessões: CFX-Pre, para definição dos
parâmetros de análise (condições de contorno e do fluido); CFX-Solver, para solução do sistema de
equações; e, finalmente, CFX-Post, para pós-processamento e visualização dos resultados.
A análise é considerada bidimensional. Para isso, a geometria foi desenhada de modo que a
espessura ortogonal seja tão pequena para que haja apenas um elemento de malha nesta direção.
Para a geração da geometria, é feito um corte transversal, tomando um pequeno corte de fluido,
como mostrado na Figura 5. A partir da geometria gerada, a malha computacional é feita dividindo
a geometria em pequenos elementos, chamados de volumes de controle, para que a solução do
problema seja resolvida com base no método dos volumes finitos. Para isso, os elementos de malha
devem ser cuidadosamente escolhidos para que a solução do programa seja feito adequadamente, se
aproximando do caso real. As equações de Navier-Stokes são resolvidas para cada volume de
controle, descrevendo os processos de transferência de massa, de calor e de momento.
Figura 5: Malha computacional utilizada nas simulações.
Duto Submarino Transversal
Correnteza
z
y
x Arrasto
MALHA COMPUTACIONAL
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Primeiramente, um estudo sobre a adequação da malha ao escoamento foi feito, testando
diferentes malhas para que não sobrecarregasse as simulações em relação ao tempo e espaço
computacional, porém representando bem o escoamento.
Definida a malha a ser utilizada, foi feita uma bateria de simulações considerando a seção
circular estacionária, para diferentes números de Reynolds (Re), variando-se a velocidade de
incidência do fluido. A partir dos resultados gerados de forças de arrasto (FD) e transversal (FL), é
possível obter do histórico de tempo destas forças os coeficientes hidrodinâmicos de arrasto (CD) e
de força transversal (CL), além do número de Strouhal.
Após as simulações com a seção circular estacionária, um movimento senoidal foi imposto
na direção transversal da seção, variando-se inicialmente a freqüência do movimento e
posteriormente a amplitude do movimento, para analisar as mudanças que ocorrem. Após a bateria
de simulações com duas diferentes amplitudes e uma faixa de freqüências, o número de Reynolds é
alterado, mantendo uma mesma amplitude e variando-se a freqüência de movimento, de modo que
seja possível observar a variação do coeficiente de força transversal (CL) com a freqüência e a
amplitude do movimento e também a velocidade de incidência do fluido.
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6. RESULTADOS
6.1 Definição da malha
A seção foi definida com um diâmetro de D=0,114m, e a distância à montante, à direita e à
esquerda da seção no plano bidimensional foi definida como dez vezes o tamanho do diâmetro da
mesma, ou seja, 1,14m, de modo que não haja nenhuma influência na camada limite e,
conseqüentemente, no desprendimento de vórtices. A distância à jusante é definida como vinte e
três vezes o diâmetro da seção, 2,622m, para que não haja influência da esteira de vórtices na
formação de novos. A geometria está ilustrada na Figura 6.
Figura 6: Geometria do domínio utilizada nas simulações.
O software utilizado resolve apenas problemas em três dimensões. Portanto, para que este
problema seja considerado como bidimensional, foi desenhada uma malha de espessura L muito
pequena, L=D/20=0,006m, de modo que haja apenas um elemento de volume finito na direção
perpendicular ao escoamento.
Para finalmente definir a malha, ou seja, o tamanho dos elementos de volume finitos, o
procedimento é feito no CFX-Mesh. Para sua definição, é necessário que haja independência de
malha, ou seja, o resultado deve permanecer praticamente inalterado, conforme o refinamento.
Partindo de uma malha grosseira, com elementos grandes, e refinando-a cada vez mais, caso haja
variação no resultado, a malha é considerada inadequada e é necessário refiná-la ainda mais até que
a independência seja atingida. Por outro lado, não deve imediatamente adotar uma malha muito
refinada, pois isto exigirá um maior esforço computacional, sendo necessário além de maior tempo
para realizar as simulações, também maior espaço em disco.
10D
23D
10D 10D
0,00 0,50 1,00 [m]
Domínio fluido Secção circular do
cilindro
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A região bem próxima à seção, que representa a parede do duto cilíndrico, é de extrema
importância, pois é onde ocorrem formação e desprendimento da camada limite, e devido a isto,
deve ser mais refinada que as demais regiões. Para este caso em particular, foi adotada a condição
de y+, definida pelo programa como uma distância adimensional a partir da parede, em função da
distância entre a parede e o nó mais próximo a ela (y), do diâmetro da seção circular (D) e o número
de Reynolds (Re), e calculada a partir da equação 1, conforme descrito por ANSYS (2006).
14/1380 ReDyy (1)
onde Re é função da velocidade do (u), da massa específica (ρ) e da viscosidade dinâmica (μ) do
fluido, conforme mostra a equação 2.
DuRe (2)
Para realizar as simulações turbulentas, o modelo de turbulência utilizado foi o Shear Stress
Transport (SST) o qual, segundo ANSYS (2006), deve adotar o valor de y+ como sendo menor ou
igual a 2, Portanto, para utilizar apenas uma malha e realizar diversas simulações numa ampla faixa
de número de Reynolds, foi considerado um número máximo de Reynolds de Remáx=1x106, e a
partir dos valores de Remáx e y+, a distância entre a parede e o primeiro nó foi calculada como sendo
∆y=5,47x10-6
m. Assim para todos os valores de número de Reynolds simulados abaixo de Remáx, a
distância entre a parede e o primeiro nó (∆y) estará de acordo com a condição y+≤ 2.
A partir da condição de y+, a convergência dos resultados foi testada considerando, em
todas as simulações, as mesmas propriedades físicas, condições de contorno e de solver, para que os
resultados possam ser comparados. O fluido considerado em todas as simulações foi água, a 25°C, e
tem suas propriedades definidas na biblioteca do software, ρ=997 kg/m3
e μ=0,0008899 Pa.s. As
condições de contorno adotadas são:
• Parede (Wall): condição adotada em torno da seção circular de diâmetro D=0,114m. Trata a
fronteira como uma parede lisa em que não há deslizamento, ou seja, a velocidade é igual à
velocidade da parede que, como se encontra estacionária, é nula.
• Entrada (Opening): condição adotada na face arredondada com raio igual a 10D e localizada à
montante da seção circular. Nesta face, o programa assume que o fluido pode estar tanto
entrando quanto saindo do domínio, e foram prescritos os componentes de velocidade
cartesiana: u=1,5659m/s, v=0m/s e w=0m/s. A intensidade de turbulência é média.
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• Saídas (Opening): condição adotada nas faces lateral e posterior (jusante da seção circular).
Nestas faces novamente o fluido pode estar tanto entrando quanto saindo do domínio e foi
adotada a pressão estática de 0 Pa para o fluido.
• Simetria (Simmetry): condição adotada na face inferior e superior do domínio fluido. Nestas
faces a velocidade normal à face (componente w) é nula e as velocidades no plano do
escoamento (componentes u e v) são iguais aos valores resultantes ao longo da simulação.
O passo de tempo (timestep) é o intervalo de tempo em que o programa resolverá as
equações de mecânica de fluidos para cada volume de controle e foi adotado como 0,005s. Também
adotou-se o máximo de 10 iterações para cada passo de tempo.
É necessário definir um conjunto de valores iniciais, como a velocidade do fluido e a
pressão relativa, para iniciar o processo iterativo. Assim, os componentes cartesianos de velocidade
são u=1,5659 m/s, v=0 m/s e w=0 m/s e a pressão relativa P=0 Pa.
Para comparar os resultados obtidos em cada uma das malhas, foi analisado tanto o
comportamento qualitativo do escoamento, em um mesmo instante de tempo, e também foi feita
uma análise quantitativa, calculando os coeficientes de arrasto (CD) e de força transversal (CL) e o
número de Strouhal (St), a partir das forças de arrasto (FD) e transversal (FL), segundo as equações
3, 4 e 5.
2
21 DLu
FC D
D
(3)
2
21 DLu
FC L
L
(4)
O coeficiente de arrasto (CD) é calculado com o valor da média da força de arrasto, FD,
enquanto que o coeficiente de força transversal (CL) é calculado a partir da amplitude de pico da
força transversal, FL, ambas as forças consideradas em estado estacionário.
O número de Strouhal (St) é calculado a partir da freqüência de desprendimento de vórtices
(fs), que foi considerada como sendo a mesma freqüência da força transversal (FL).
u
DfSt s (5)
O primeiro teste parte de uma malha bem simples, resultando num escoamento simétrico e
sem a ocorrência de desprendimento de vórtices. No segundo teste, a malha foi refinada ao redor de
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seção circular e, do mesmo modo, não apresentou desprendimento de vórtices. A partir do terceiro
teste, com uma malha mais refinada ao redor de seção circular e na esteira de vórtices, o
desprendimento de vórtices foi observado. Diminuindo ainda mais o tamanho dos elementos nas
mesmas regiões, o quarto teste apresentou mudanças no comportamento do escoamento e também
houve uma alteração notável entre este teste e os anteriores, se comparados os coeficientes
hidrodinâmicos calculados entre eles. Para o quinto teste, utilizou-se elementos ainda menores nas
regiões de interesse, porém não houve mudança significativa no comportamento do escoamento e
dos coeficientes hidrodinâmicos, em relação ao quarto teste. Os coeficientes calculados para todos
os testes, com suas respectivas descrições, encontram-se na Tabela 1.
Tabela 1: Valores calculados dos coeficientes hidrodinâmicos nos testes feitos para a
construção da malha.
Teste Nº de nós Nº de elementos CD CL St
01 6470 5880 0,53 0,01 -
02 9218 8142 0,35 0,08 0,281
03 27044 24932 0,35 0,33 0,276
04 84000 55154 0,70 0,41 0,239
05 105478 76588 0,69 0,42 0,243
Para reduzir o esforço computacional, a malha utilizada no Teste 04 da Tabela 1 foi
escolhida, devido à menor quantidade de elementos a partir do momento em que a convergência dos
resultados foi alcançada. A vista superior da malha está mostrada na Figura 7.
O tempo de execução dos cálculos através do software durou cerca de dois dias para as
simulações considerando a seção estacionária. Para a seção com movimento forçado, o tempo de
execução dos cálculos é ainda maior, alcançando até sete dias para obter os resultados. Este tempo
de execução é médio, para um AMD Athlon™ 64 X2 Dual-Core Processador 5000+, 2.61GHz,
3.43GB de RAM.
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Figura 7: Malha de elementos aplicados para o domínio fluido nas simulações realizadas.
6.2 Simulação de escoamento ao redor de uma seção circular estacionária
Simulações de escoamento externo ao redor de uma seção circular considerada estacionária,
ou seja, sem movimento, são muito estudadas e, neste trabalho, foram feitas para diferentes valores
de número de Reynolds. Para isto, manteve-se a mesma malha de elementos, conforme descrita
anteriormente e, como o fluido considerado é o mesmo para todas as simulações, as alterações nos
números de Reynolds foram obtidas através da variação da velocidade de incidência do fluido (u).
A faixa estudada de número de Reynolds variou de 2000 a 800000, que corresponde ao Re de uma
velocidade entre u=0,02m/s até u=6,26m/s.
Segundo ANSYS (2006), o escoamento deve ser considerado laminar para valores de
Reynolds menores que 20000, decorrente de uma velocidade de correnteza de u=0,16m/s. Neste
caso, a escolha de um modelo de turbulência laminar na configuração do programa consiste na
desconsideração do modelo de turbulência na simulação. Nos casos de número de Reynolds maiores
que 20000, o modelo de turbulência adotado foi o SST, conforme já mencionado anteriormente. De
acordo com Stravopoulos et al (2005), o modelo SST é um híbrido dos modelos k-ε e k-ω de
turbulência, o qual reduz a deficiência de ambos os modelos pois caracteriza um limitador para a
equação de viscosidade turbulenta, levando em conta o transporte das tensões cisalhantes
turbulentas, que são deficientes em outros modelos de turbulência. Desse modo, o modelo SST
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utiliza basicamente o modelo k-ω nas regiões próximas à parede e o modelo k-ε nas regiões mais
afastadas da mesma. Ainda, segundo ANSYS (2006), este modelo é recomendado para simulações
que exijam alta precisão na camada limite, como no caso estudado. Aprofundando mais o estudo,
observou-se que para valores muito alto de Reynolds, na ordem de 400000 (u≥3,13m/s), o modelo
de turbulência SST deve ser combinado com um modelo de transição chamado de γ-θ. Este modelo
de transição é baseado em duas equações de transporte. Uma delas, é de intermitência, e a outra do
critério de início da transição em termos do número de Reynolds da espessura do momento, Reδ*,
definido pela equação 6.
uRe
*
* (6)
onde a espessura do momento, δ*, é o deslocamento que a superfície precisaria receber para que o
fluxo de momento linear resultante fosse o mesmo, na hipótese da velocidade do fluido ser nula,
calculada pela equação 7.
dyu
u
e
0
* 1 (7)
Conforme uma simulação é feita, o programa calcula diversas variáveis para cada volume de
controle e em cada passo de tempo. A Figura 8 mostra o histórico de tempo obtido através do
cálculo do programa das forças de arrasto (FD) e transversal (FL), respectivamente. Estas forças
foram obtidas de uma simulação com escoamento incidente de u=1,5m/s, que resulta em
Re=191580 e o tempo total de simulação foi de 15 segundos.
Através da figura, pode-se observar que as duas forças em questão são oscilatórias no tempo
e a amplitude da força oscilatória transversal é cerca de 20 vezes maior que a amplitude da força de
arrasto. Entretanto, em relação ao módulo, a força de arrasto é maior que a força transversal.
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Figura 8: Histórico de tempo das forças de arrasto (FD) e transversal (FL), com Re=191580.
Para obter a frequência das forças de arrasto e transversal, foi feita a transformada rápida de
Fourier (Fast Fourier Transform, FFT), através do software MATLAB®, como mostrado na Figura
9.
Figura 9: Transformada de Fourier das forças de arrastro e transversal, para Re=191580.
A partir da figura, pode-se observar que os resultados foram obtidos de acordo com as
afirmações de Bishop e Hassan (1964), ou seja, a frequência da força de arrasto é duas vezes maior
Frequência (Hz)
0
0.01
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0 2 4 6 8 10 Frequência (Hz)
FFT da Força Transversal (N.s)
FFT da Força de Arrasto (N.s)
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que a frequência da força transversal. A freqüência da força transversal está relacionada com a
freqüência de desprendimento de vórtices.
Os resultados obtidos para diferentes números de Reynolds nas simulações de escoamento
externo ao redor de uma seção circular estacionária estão mostrados na Tabela 2.
Tabela 2: Resultados obtidos na simulação numérica para seção circular estacionária.
u (m/s) Re FD (N) CD FL (N) CL fs (Hz) St Turbulência
6,26 800000 4,70 0,37 2,06 0,16 15,61 0,28 SST c/ γ-θ
3,91 500000 3,10 0,62 0,98 0,20 9,78 0,28 SST c/ γ-θ
3,13 400000 1,80 0,57 0,64 0,20 7,81 0,28 SST c/ γ-θ
2,00 255440 0,88 0,68 0,52 0,40 4,29 0,24 SST
1,57 200000 0,56 0,70 0,33 0,41 3,31 0,24 SST
1,50 191580 0,52 0,71 0,30 0,41 3,17 0,24 SST
1,00 127720 0,25 0,77 0,17 0,54 2,08 0,24 SST
0,50 63860 0,08 1,01 0,09 1,06 1,02 0,23 SST
0,16 20000 0,01 1,37 0,01 1,53 0,31 0,22 SST
0,06 8000 0,00 1,88 0,00 1,77 0,13 0,24 Laminar
0,02 2000 0,00 1,71 0,00 1,80 0,04 0,25 Laminar
De acordo com Shapiro (1961), a força de arrasto provocada pelo escoamento de fluido ao
redor de corpos com diferentes formas geométricas é proporcional ao quadrado da velocidade,
conforme observado nos resultados mostrados na Tabela 2.
O coeficiente de arrasto (CD) foi calculado para cada um dos casos simulados e o resultado
foi comparado com a literatura, conforme mostra a Figura 10.
Figura 10: Coeficiente de arrasto (CD) obtido das simulações em comparação com a literatura
(Fox et al, 2006).
10-1
100
101
102
10-1 100 101 102 103 104 105 106
Coeficiente de Arrasto(CD)
Número de Reynolds (Re)
Resultados da Simulação
- 18 -
Através da figura é possível observar que o coeficiente de arrasto diminui com o aumento do
número de Reynolds. Na região compreendida de número de Reynolds entre 105
e 106, essa
diminuição é mais acentuada devido à crise do arrasto. Em analogia com o estudo de Aguiar e
Rubine (2005), que é feito para uma esfera, pode-se interpretar que para valores de Reynolds
maiores de 20 há separação da camada limite, gerando uma esteira de vórtices. Esta separação
diminui significativamente a pressão à jusante do cilindro e a diferença das pressões à montante e à
jusante passam a dominar o arrasto. A crise do arrasto ocorre quando a camada limite torna-se
turbulenta, pois a turbulência faz com que a camada resista melhor à tendência de separação e o
ponto de descolamento da camada limite move-se para a parte mais posterior do cilindro,
diminuindo a área da esteira. Isto reduz a área do cilindro submetida a baixas pressões e causa uma
diminuição da resistência do fluido, ou seja, da força de arrasto. Este decaimento brusco de CD não
é evidente nas simulações como observado nos resultados experimentais da literatura, em geral.
Entretanto, a diminuição deste coeficiente nos valores do número de Re próximos a esta região é
bastante notável.
O coeficiente de força transversal (CL) também foi calculado para cada um dos casos
simulados e o resultado foi comparado com a literatura, conforme mostra a Figura 11Figura 10.
Figura 11: Coeficiente de força transversal (CL) obtido das simulações em comparação com a
literatura (Pantazoupoulos, 1994).
Pode-se perceber que os valores de pico do coeficiente de força transversal, calculados
através dos dados obtidos da simulação, se ajustam aos valores de pico da literatura, que
consideram um cilindro estacionário e com baixa intensidade de turbulência de escoamento e
rugosidade de superfície. O coeficiente transversal, assim como o de arrasto, também diminui com
Número de Reynolds (Re)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1 ,2
1,4
10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7
amplitude rms
amplitude média amplitude de pico simulação atual
áreas sombreadas em rms
1,80 1,77 1,53
Coef
icie
nte
Tra
nsv
ersa
l (C
L)
- 19 -
o aumento do número de Reynolds. Também apresenta uma queda mais acentuada em valores
próximos a Re=105.
O valor do número de Strouhal (St) foi calculado de acordo com a freqüência da força
transversal (FL), e está comparado com valores obtidos da literatura na Figura 12.
Figura 12: Número de Strohal (St) obtido das simulações em comparação com a literatura
(Roshko, 1961).
É possível perceber que os dados obtidos para St nas simulações se encontram próximos dos
dados experimentais obtidos da literatura na faixa de Re entre 104 e 10
6. Conforme os resultados da
literatura, o número de Strouhal para valores de Re próximos de 106, apresenta um leve acréscimo,
concordando com os resultados obtidos.
6.3 Simulação de escoamento ao redor de uma seção circular com movimento forçado
A consideração de seção circular estacionária é utilizada para fins de simplificação e
validação dos resultados com a literatura. Uma vez feita a validação, a realização de simulações
considerando uma seção circular e com movimento aproxima o caso com os aspectos reais.
De acordo com Iwan e Blevins (1974) apud Pantazoupoulus (1994), não tem nenhuma
distinção nos fundamentos de mecânica de fluidos entre um cilindro com movimento forçado e um
cilindro movimentado elasticamente (considerando o cilindro preso por molas), se assumir que a
força entre o cilindro e o fluido depende apenas da média ponderada da velocidade e da aceleração
do fluido relativa ao cilindro. Segundo Stansby (1976) apud Pantazoupoulus (1994), para investigar
a relação entre a freqüência de desprendimento de vórtices, a freqüência de oscilação do cilindro e a
amplitude de oscilação, é melhor movimentar o cilindro mecanicamente. Neste trabalho o
movimento é forçado, apenas na direção transversal, segundo a equação 8:
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
10 4
10 5
10 6
10 7
Ribner & Etkin
Relf & Simmons
Delany & Sorensen
Roshko
Resultados da simulação
Número de Reynolds (Re)
Nú
mer
o d
e S
trou
hal
(St)
- 20 -
)2(sen tfAmov e (8)
Na equação 8, A é a amplitude e fe é a freqüência de oscilação do movimento. A Figura 13
mostra o esquema do movimento forçado da seção transversal circular.
Figura 13: Esquema para o movimento forçado da seção circular na direção
transversal.
A malha utilizada é a mesma utilizada nas simulações considerando a seção estacionária. As
simulações com a seção móvel foram feitas através da deformação da malha, primeiramente
considerando o número de Reynolds fixo em Re=191580, mantendo a velocidade de escoamento
em u=1,5m/s, e a amplitude do movimento também fixa em A=0,1D=0,0114m, realizando
simulações numa determinada faixa de freqüências de movimento.
Após esta bateria de simulações, a amplitude foi alterada para A=0,15D=0,0171m, e as
simulações foram realizadas considerando o mesmo Re=191580 e a mesma faixa de freqüências.
Finalmente, o número de Reynolds foi alterado para Re=63860, alterando a velocidade do
escoamento para u=0,5m/s, e as simulações foram realizadas para apenas uma amplitude de
movimento A=0,1D e a mesma faixa de freqüências simuladas anteriormente.
Dessa maneira, é possível observar como o número de Reynolds, a amplitude e a freqüência
do movimento influenciam no coeficiente de força transversal CL e, conseqüentemente, na força
transversal FL, responsável pela Vibração Induzida por Vórtices.
Para uma seção estacionária, com Re=191580, a freqüência de desprendimento de vórtices
(fs) é de 3,17Hz, como já observado pela Figura 9. Com a amplitude do movimento constante em
A=0,1D=0,0114m, a freqüência de oscilação foi variada em diversos valores desde abaixo de fs até
acima deste valor. As Figura 14 e Figura 15 mostram o resultado obtido do histórico de tempo das
forças de arrasto e transversal de duas simulações com o mesmo número de Reynolds e a mesma
amplitude de movimento (A=0,0114m), distinguindo-se nas freqüências de oscilação, que
encontram-se, respectivamente, abaixo e acima da freqüência de desprendimento de vórtices de uma
seção estacionária (fs).
A
D
velocidade do
escoamento, u y
x
mov
- 21 -
Figura 14: Histórico de tempo das forças de arrasto e transversal, para uma velocidade de
correnteza de u=1,5m/s e movimento forçado de A=0,0114m e fe=2Hz.
Figura 15: Histórico de tempo das forças de arrasto e transversal, para uma velocidade de
correnteza de u=1,5m/s e movimento forçado de A=0,0114m e fe=6Hz.
Através dos resultados obtidos, pode-se observar que a média da força de arrasto está muito
próxima nos dois casos mostrados nas Figura 14 e Figura 15, e também nos outros casos simulados,
para diferentes freqüências de oscilação. Por outro lado, a amplitude máxima da força transversal,
através da qual é calculado o coeficiente CL, apresentou grandes variações. A força transversal, em
geral, apresentou-se composta de uma superposição de duas componentes senoidais com diferentes
amplitudes e freqüências.
Para aprofundar o estudo na força transversal, foi realizada a transformada de Fourier (Fast
Fourier Transform, FFT) destas forças para os dois casos mostrados nas Figura 14 e Figura 15. Os
resultados da FFT estão mostrados na Figura 16.
0
0,51
0 1 2 3 4 5 6 7Tempo (s)
Força de Arrasto (N)
-1,5
0
1,5
0 1 2 3 4 5 6 7Tempo (s)
Força Transversal (N)
-0,020
0,02
0 1 2 3 4 5 6 7Tempo (s)
Movimento (m)
0
0,51
0 1 2 3 4 5 6 7Tempo (s)
Força de Arrasto (N)
-1,5
0
1,5
0 1 2 3 4 5 6 7Tempo (s)
Força Transversal (N)
-0,020
0,02
0 1 2 3 4 5 6 7Tempo (s)
Movimento (m)
0
0,5
1
0 1 2 3 4
5 6 7 Tempo (s)
Força de Arrasto (N)
-1,5
0
1,5
1 2 3 4 5 6 7
Força Transversal (N)
-0,02
0
0,02
0 1 2 3 4 5 6 7 Tempo
(s)
Movimento (m)
Tempo (s)
- 22 -
(a) (b)
Figura 16: FFT da força transversal (FL), para uma velocidade de correnteza de u=1,5m/s e
movimento forçado de A=0,0114m e (a) fe=2Hz e (b) fe=6Hz.
No resultado obtido, pode-se constatar que a força transversal apresenta duas freqüências, a
qual uma corresponde à freqüência do movimento forçado (fe) e a outra à freqüência de
desprendimento de vórtices para uma condição de seção estacionária (fs=3,17Hz). Quando estas
duas freqüências têm valores próximos entre si, a força transversal apresenta apenas uma
freqüência.
Ainda através da Figura 16: FFT da força transversal (FL), para uma velocidade de
correnteza de u=1,5m/s e movimento forçado de A=0,0114m e (a) fe=2Hz e (b) fe=6Hz. pode-se
observar que quando fe é menor que fs, a menor amplitude de pico está localizada na freqüência do
movimento forçado, fe. Por outro lado, quando fe é maior que fs, a menor amplitude de pico passa a
ser correspondente a freqüência de desprendimento de vórtices para uma condição estacionaria, fs.
A Figura 17 mostra a variação dos coeficientes de força transversal, calculados a partir da
amplitude de pico da força transversal (FL), retirada de seu histórico de tempo, desconsiderando-se
a parte transiente inicial. Os coeficientes CL variam em função da razão entre as freqüências de
movimento forçado e de desprendimento de vórtices na condição de seção estacionária. A variação
dos coeficientes CL em função desta razão estão apresentados para duas diferentes amplitudes de
movimento forçado, mantido um Re fixo.
0
0.2
0.4
0.6
0 2 4 6 Frequência (Hz)
FF
T d
e F
L (
N.s
)
0
0.2
0.4
0.6
0 2 4 6
FF
T d
e F
L (
N.s
)
Frequência (Hz)
- 23 -
Figura 17: Coeficiente de força transversal (CL) em função da razão fe/fs, para duas diferentes
amplitudes de movimentos e Re=191580.
Para uma seção na condição estacionária, o coeficiente de força transversal é igual a 0,41,
conforme mostra a Tabela 2: Resultados obtidos na simulação numérica para seção circular
estacionária. Valores próximo a este são obtidos para as simulações cuja freqüência de movimento
forçado é baixa e o valor de CL é aumentado conforme a razão fe/fs aumenta. Portanto, para razões
fe/fs abaixo de 1, o valor de CL é baixo. Quando a razão fe/fs aproxima da unidade, há um súbito
aumento de CL, que continua a crescer cada vez mais para razões fe/fs maiores que 1.
O aumento repentino do coeficiente de força transversal nas regiões de fe/fs próximas a
unidade também é observado no trabalho de Carberry et al (2005). Como o número de Reynolds e a
razão A/D analisados no presente estudo são diferentes daqueles analisados no trabalho de Carberry
et al (2005), os resultados qualitativos não podem ser comparados, mas a tendência qualitativa de
variação do coeficiente de força transversal em relação a razão fe/fs é semelhante em ambos os
casos.
Através da Figura 11, observa-se que para números de Reynolds menores, o valor de CL
tende a aumentar, para escoamentos considerando a seção na condição estacionária. Para a seção
circular sob movimento forçado, os valores de CL também foram analisados em relação a freqüência
de movimento forçado. Mantendo constante a amplitude do movimento forçado em A=0,1D, o
coeficiente de força transversal também segue a mesma tendência de variação com a freqüência de
movimento forçado, se analisado diferentes números de Reynolds, como mostra a Figura 18.
1,0
2,0
3,0
0 0,5 1,0 1,5 2,0 fe/fs
A/D=0.10
A/D=0.15
CL
- 24 -
Figura 18: Coeficiente de força transversal (CL) em função da razão fe/fs, para dois diferentes
números de Reynolds e A/D=0,1.
Através dos dados coletados, pode-se observar que o coeficiente de força transversal (CL)
varia de maneira similar com a razão de frequencias fe/fs. desse modo, mantendo-se fixo um número
de Reynolds e uma amplitude de movimento forçado, o CL sempre apresentou um valor
praticamente constante e próximo ao valor de CL obtido nas simulações considerando a seção
estacionária para razões fe/fs baixas. Quando fe/fs, ao valor de CL dá um salto, independente do
número de Reynolds ou amplitude de movimento forçado, e a partir daí continua a crescer com o
aumento da razão fe/fs.
Mantendo a amplitude e frequência de movimento forçado fixa, o CL aumentou com a
diminuição do número de Reynolds, assim como aconteceu nas simulações em que foram
consideradas a seção estacionária.
1,0
2,0
3,0
0 0,5 1,0 1,5 2,0
fe/fs
CL
Re=63860
Re=191580
- 25 -
7. CONCLUSÕES
Simulações numéricas de escoamento externo ao redor de uma seção circular foram
realizadas para uma faixa do número de Reynolds entre 103
até 106. Considerando a seção circular
na condição estacionária, em geral, os coeficientes hidrodinâmicos obtidos pela simulação numérica
apresentaram-se coerentes com os dados disponíveis na literatura.
Quando colocado um movimento forçado na direção transversal da seção, ainda exposto a
um escoamento de correnteza uniforme incidente, com um número de Reynolds relativamente alto e
com baixa amplitude de movimento de oscilação da seção, a força transversal ao escoamento
incidente oscila com duas frequências. Uma delas corresponde à freqüência do movimento forçado
(fe), e a outra à freqüência de desprendimento de vórtices para uma seção estacionária (fs). Quando o
movimento apresenta a mesma freqüência de desprendimento dos vórtices (“lock-in”), a força
transversal passa a oscilar com apenas uma freqüência e com amplitude bem elevada.
Analisando o coeficiente de força transversal CL em função da razão fe/fs, pode-se observar
um aumento diretamente proporcional. Para baixas razões fe/fs, este aumento é praticamente
despercebido, porém, quando a razão atinge a unidade, o coeficiente CL apresenta um aumento
brusco em seu valor, seguindo tendência apresentada também na literatura. Finalmente, para a
região de razão fe/fs maiores do que a unidade, o coeficiente CL tende também a aumentar, numa
taxa relativamente alta, com o aumento desta razão.
Comparando duas amplitudes de movimento forçado, mantendo-se o mesmo número de
Reynolds e a mesma frequencia de movimento forçado, pode-se observar que o coeficiente de força
transversal calculado foi maior para o caso de amplitude de movimento forçado maior.
Além disso, comparando-se os números de Reynolds, mantendo-se a mesma amplitude e
frequência de movimento forçado, observou-se que o coeficiente de força transversal aumentou
com a diminuição do número de Reynolds, assim como acontece quando a seção é considerada
estacionária.
- 26 -
8. REFERÊNCIAS
[1] AGUIAR, C.E., RUBINE, G., “A Aerodinâmica da bola de futebol”. Revista Brasileira de
Ensino de Física. Vol. 26, n.4, p 297-308, 2004.
[2] ANSYS CFX – Release 11.0, 2006.
[3] BISHOP, R. E. D., HASSAN, A. Y., “The lift and drag forces on a circular cylinder oscillating
in a flowing fluid”, Phil. Trans. Royal Society, London, A 277, 51-75, 1964.
[4] CARBERRY, J., SHERIDAN, J., and ROCKWELL, D. (2005) Controlled Oscillations of a
Cylinder: Forces and Wake Modes. Journal of Fluid Mechanics, vol. 538, United Kingdom, pp.
31-69.
[5] FOX, R. W., MC DONALD, A. T., PRITCHARD, P. J. (2006), Mecânica dos Fluidos, 6ª ed.,
Livros Técnicos e Científicos.
[6] LOPES, R. K. D., “Análise de Estruturas Sujeitas a Vibrações Induzidas por Vórtices”. Tese
de Mestrado, 2006.
[7] PANTAZOUPOULOS, M.S., “Vortex-Induced Vibration Parameters: Critical Review.”
OMAE 1994.
[8] ROSHKO, A., “Experiments on the flow past a circular cylinder at very high Reynolds
number”. J. Fluid Mech. 10(3) 345-356, 1961.
[9] SHAPIRO, A.H., “Shape and flow: the fluid dynamics of drag”. Soubleday and Co., Inc.,
Garden City, N.Y., 1961.
[10] STRAVOPOULUS, M., CHARESWORTH,D., DIXON, M., “The Application of CFD for
Vortex Induced Vibration Analysis of Marine Risers In Projects Marine 2005”, 2005.
[11] SUMER, B. M., FREDSOE, J. “Hydrodynamics around Cylindrical Structures”, World
Scientific, Singapore, 1997.
[12] WENDT, J. F. (Ed.), “Computational Fluid Dynamics: An Introduction”, 332p, Springer-
Verlag, 3rd
Ed., Berlin, 2009.