simulação computacional de escoamento de co2 em impelidor de

SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DE ESCOAMENTO DE CO2 EM IMPELIDOR

DE COMPRESSOR CENTRÍFUGO

Leonardo Bianco dos Santos

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-

graduação em Engenharia Mecânica, COPPE, da

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessários à obtenção do

título de Mestre em Engenharia Mecânica.

Orientadores: Átila Pantaleão Silva Freire

Su Jian

Rio de Janeiro

Setembro de 2015

2




DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO

LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA

(COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE

DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE

EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.

Examinada por:

________________________________________________

Prof. Átila Pantaleão Silva Freire, Ph.D.

________________________________________________

Prof. Su Jian, D.Sc.

________________________________________________

Prof. Manuel Ernani de Carvalho Cruz, Ph.D.

________________________________________________

Dr. José Luiz Horacio Faccini, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

SETEMBRO DE 2015

iii

Santos, Leonardo Bianco dos

Simulação Computacional De Escoamento De CO2 Em

Impelidor De Compressor Centrífugo / Leonardo Bianco dos

Santos – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2015.

XVII, 132 p.: il.; 29,7 cm.

Orientadores: Átila Pantaleão Silva Freire

Su Jian

Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de

Engenharia Mecânica, 2015.

Referências Bibliográficas: p. 127-132.

1. Compressor Centrífugo. 2. Fluidodinâmica

Computacional. 3. Escoamento Turbulento. 4. Termodinâmica.

5. CO2. I. Freire, Átila Panatelão Silva et al. II. Universidade

Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia

Mecânica. III. Título.

iv

Soli Deo gloria

v

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar, agradeço a Deus, pela a sua infinita misericórdia que me

permitiu chegar até aqui.

Foi um longo período de trabalho e renúncia, onde todo o apoio e incentivo foram

fundamentais. Agradeço à minha família pelo apoio, carinho e incentivo, em especial

minha esposa e meus pais que sofreram com os meus períodos de ausência por diversas

oportunidades.

À Universidade Federal do Rio de Janeiro e ao Programa de Engenharia Mecânica

da COPPE que me acolheram para a realização desta dissertação de mestrado. Lembro

com gratidão de todos os professores e funcionários do Departamento de Engenharia

Mecânica que foram fundamentais para a minha formação. Além da equipe do LASME,

especialmente ao futuro engenheiro mecânico Felipe Duarte pelo apoio nas simulações

em CFD e nas atividades de pós-processamento.

Não posso me furtar de mencionar o precioso suporte que recebi dos especialistas

em CFD Eng. Karolline Ropelato e do Eng. Ismael Daoud através das diversas

discussões técnicas que tivemos ao longo das simulações em CFD: Sem estas discussões

o resultado final teria sido inferior.

Quero agradecer também à PETROBRAS por ter permitido o meu ingresso e

permanência neste curso de mestrado.

Finalmente, registro a minha gratidão aos professores Su Jian e Átila pela

orientação, confiança, contribuição e apoio ao longo deste projeto.

vi

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)




Setembro/2015

Orientadores: Átila Pantaleão Silva Freire Su Jian

Programa: Engenharia Mecânica

Este trabalho apresenta uma aplicação de ferramenta de fluidodinâmica

computacional (CFD) na avaliação de escoamento turbulento de dióxido de carbono

(CO2) no interior de um impelidor de compressor centrífugo. O programa ANSYS

FLUENT 15.0 foi utilizado para investigar os fenômenos fluidodinâmicos que ocorrem

ao longo do canal do impelidor através de dois modelos de turbulência com aplicação

consagrada em turbomáquinas, a saber, k-ω SST e k-ε RNG. O experimento apresentado

e descrito por Eckardt foi usado para a validação da simulação computacional com

fluido ar, pois os seus dados se encontram disponíveis na literatura. Em seguida, foram

feitas análises deste impelidor operando com novo fluido de trabalho (CO2) para

avaliação do impacto no seu desempenho. As propriedades do CO2 foram obtidas

através de duas equações de estados, isto é, Peng-Robinson (equação com aplicação

geral) e Span-Wagner (desenvolvida especificamente para previsão de propriedades do

CO2 desenvolvida incluindo dados empíricos) com diferentes níveis de acurácia. As

curvas de desempenho do impelidor foram obtidas para cada modelo de turbulência e os

resultados comparados com dados experimentais.

vii

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

COMPUTATIONAL FLOW SIMULATION OF CO2 IN CENTRIFUGAL

COMPRESSOR IMPELLER


September/2015

Advisors: Átila Pantaleão Silva Freire

Su Jian

Department: Mechanical Engineering

This works presents an application of computational fluid dynamics to turbulent

carbon dioxide (CO2) fluid flow evaluation through centrifugal compressor impeller.

ANSYS FLUENT® 15.0 was used to investigate fluid dynamics phenomena that occur

along to the impeller channel according to the turbulent models most adopted in the

turbomachinery analysis applications, such as, k-ω SST e k-ε RNG. To validate the

computational simulation, it was reproduced the ECKARDT´s experiment (impeller

geometry and operational conditions) available in the literature. According to this

verification, it was changed the work fluid, i.e., air (original work fluid) to CO2, to the

performance impeller analysis. Furthermore, the CO2 properties were obtained from

both equation of state Peng-Robinson (general application) and Span-Wagner

(specifically developed for predicting the properties of CO2 developed including

empirical data) with different levels of accuracy. The performance curves were obtained

for each impeller turbulence model and the results compared with experimental data.

viii

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS ...................................................................................................... x

LISTA DE TABELAS .................................................................................................. xiii

LISTA DE SÍMBOLOS ................................................................................................ xiv

CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO ..................................................................................... 1

1.1 DESCRIÇÃO .................................................................................................... 1

1.2 MOTIVAÇÃO E RELEVÂNCIA ..................................................................... 1

1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ................................................................. 6

CAPÍTULO 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............................................................. 8

2.1 MÉTODOS PARA PROJETO DE UMA TURBOMÁQUINA ........................ 8

2.1.1 MÉTODO UNIDIMENSIONAL .................................................................. 8

2.1.2 MÉTODO BIDIMENSIONAL ..................................................................... 9

2.1.3 MÉTODO TRIDIMENSIONAL................................................................. 10

2.2 MODELAGEM DE PROBLEMAS EM TURBOMÁQUINAS ..................... 11

2.3 DESEMPENHO DE TURBOMÁQUINAS COM CO2 .................................. 14

CAPÍTULO 3 MODELAGEM MATEMÁTICA ....................................................... 19

3.1 EQUAÇÕES GOVERNANTES DO PROBLEMA ........................................ 19

3.1.1 EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO .......................................................... 19

3.1.2 EQUAÇÕES DE ESTADO ..................................................................... 22

3.2 DIÓXIDO DE CARBONO (CO2) ................................................................... 27

3.2.1 COMPORTAMENTO DE GÁS REAL ...................................................... 28

3.2.2 ESTIMATIVA DE PROPRIEDADES DO CO2 ......................................... 29

3.2.3 COMPORTAMENTO DAS PROPRIEDADES DO CO2 .......................... 30

CAPÍTULO 4 COMPRESSOR CENTRÍFUGO ......................................................... 35

4.1 CURVAS CARACTERÍSTICAS .................................................................... 35

4.1.2 CONDIÇÃO DE ESTAGNAÇÃO ............................................................ 39

4.2 TEORIA DE SEMELHANÇA APLICADA À TURBOMÁQUINAS ........... 41

4.3 ESCOAMENTO DENTRO DO IMPELIDOR CENTRÍFUGO ..................... 46

4.3.1 INSTABILIDADE DO ESCOAMENTO NO IMPELIDOR...................... 47

4.3.2 ESCOAMENTO SECUNDÁRIO ............................................................... 49

4.3.3 FOLGAS “CLEARANCE” E VAZAMENTOS “LEAKAGE” ................. 51

ix

CAPÍTULO 5 MÉTODO COMPUTACIONAL ......................................................... 53

5.1 FERRAMENTA COMPUTACIONAL .......................................................... 53

5.2 MALHAS ......................................................................................................... 54

5.3 MÉTODOS NUMÉRICOS: MODELOS DE VOLUMES FINITOS ............. 56

5.4 MODELOS DE TURBULÊNCIA .................................................................. 59

5.5 ALGORITMO PARA ACOPLAMENTO PRESSÃO-VELOCIDADE ......... 68

5.6 VERIFICAÇÃO E VALIDAÇÃO (V&V) ...................................................... 70

CAPÍTULO 6 RESULTADOS ................................................................................... 72

6.1 SIMULAÇÃO CFD DO IMPELIDOR ECKARDT (CASO AR) ................... 72

6.1.1 PROCEDIMENTO DE SIMULAÇÃO ................................................... 73

6.1.2 MALHA .................................................................................................. 74

6.1.3 RESULTADOS DA SIMULAÇÃO DE IMPELIDOR COM AR .......... 77

6.1.4 PÓS- PROCESSAMENTO DE RESULTADOS .................................... 80

6.2 SIMULAÇÃO CFD DE IMPELIDOR ECKARDT (CASO CO2) .................. 90

6.2.1 DEFINIÇÃO DOS PONTOS DE OPERAÇÃO DO IMPELIDOR ........ 91

6.2.2 RESULTADOS DA SIMULAÇÃO DE IMPELIDOR COM CO2....... 105

CAPÍTULO 7 CONCLUSÕES ................................................................................. 123

7.1 CONCLUSÕES ............................................................................................. 123

7.2 CONTRIBUIÇÕES ....................................................................................... 125

7.3 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ......................................... 125

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 127

x

LISTA DE FIGURAS

1.1 Conjunto Impelidor (tipo aberto) e difusor de compressor centrífugo........ 2

1.2 Escoamento axial e radial em turbomáquina............................................... 2

1.3 Compressor centrífugo de simples estágio com rotor em balanço.............. 3

1.4 Mapas de escoamento no interior de um impelidor.................................... 4

2.1 Análise bidimensional de tubo de corrente................................................. 10

3.1 Sistemas de coordenadas para um corpo em rotação.................................. 19

3.2 Triângulos de velocidade na entrada e saída do impelidor......................... 20

3.3 Representação do efeito de Coriolis............................................................ 21

3.4 Diagrama de fases de CO2........................................................................... 23

3.5 Variação do calor específico com a temperatura e pressão de CO2............ 30

3.6 Variação da condutividade térmica com a temperatura e pressão de CO2.. 31

3.7 Variação da viscosidade molecular com a temperatura e pressão de CO2.. 31

4.1 Mapa Operacional de um impelidor em vazão mássica.............................. 35

4.2 Compressor com volume de controle.......................................................... 36

4.3 Processo de compressão em único estágio.................................................. 40

4.4 Curvas características para as condições dinamicamente semelhantes....... 42

4.5 Impelidores de compressor centrífugo de múltiplos estágios..................... 44

4.6 Natureza do escoamento no interior de um rotor........................................ 46

4.7 Escoamento real em rotor de compressor centrífugo.................................. 47

4.8 Estrutura Jato-esteira em impelidor............................................................. 48

4.9 Escoamento secundário em rotor................................................................ 50

4.10 Escoamento com vazamentos em rotor de máquina radial......................... 52

5.1 Figuras geométrica para malhas tridimensionais........................................ 54

5.2 Exemplo de malha estruturada (a) e não estruturada (b)............................. 55

5.3 Plano discretizado....................................................................................... 56

5.4 Malha sobre impelidor do tipo aberto......................................................... 59

5.5 Fluxograma de algoritmos de acoplamento pressão-velocidade................. 69

5.6 Fluxograma para Validação e Verificação.................................................. 71

6.1 Corte transversal de impelidor Eckardt....................................................... 73

6.2 Canal de impelidor com superfícies de contorno........................................ 75

xi

6.3 Seção completa de impelidor com malha 701.874 elementos.................... 76

6.4 Curvas de razão de pressão simuladas........................................................ 77

6.5 Curvas de eficiência isentrópica simuladas................................................. 78

6.6 Valor médio da pressão no plano meridional.............................................. 81

6.7 Perfil da pressão no bordo de ataque........................................................... 82

6.8 Perfil da pressão no bordo de fuga.............................................................. 82

6.9 Carregamento da pá na altura de 50% de altura.......................................... 83

6.10 Perfil do número de Mach ao longo da pá.................................................. 84

6.11 Perfil do número de Mach relativo ao longo da pá..................................... 84

6.12 Ângulos α & β no bordo de ataque ao longo da pá..................................... 85

6.13 Gráfico correlacionando as perdas com α2.................................................. 86

6.14 Linhas de corrente para 20% da altura normalizada da pá.......................... 87



6.17 Perspectiva tridimensional das linhas de corrente ao longo da pá.............. 89

6.18 Variação da entropia na entrada, saída e ao longo da pá do impelidor....... 90

6.19 Caso de avaliação no diagrama temperatura-entropia do CO2.................... 91

6.20 Número de Mach relativo na região do bordo de ataque com o shroud..... 94

6.21 Pressão estática na região do bordo de ataque com o shroud..................... 94

6.22 Perfil de camada limite ao longo perfil aerodinâmico................................ 97

6.23 Regiões de operação de difusor................................................................... 98

6.24 Geometria padrão de difusor cônico........................................................... 98

6.25 Escoamento com stall no difusor................................................................ 99

6.26 Escoamento com stall transiente no difusor................................................ 99

6.27 Exemplo de malha aplicada ao difusor....................................................... 100

6.28 Perfil de velocidade absoluta no difusor em operação com CO2................ 101

6.29 Destaque na saída dos vetores de velocidade absoluta do difusor em operação

com CO com CO2...................................................................................................... 102

6.30 Vetores de velocidade absoluta do difusor em operação com CO2............. 103

6.31 Perfil de número de Mach no difusor em operação com CO2..................... 104

6.32 Perfil de entropia no difusor em operação com CO2................................... 104

6.33 Curvas de razão de pressão simuladas para CO2 no impelidor................... 109

xii

6.34 Intervalos de operação pela variação nas condições de operação............... 110

6.35 Perfil da pressão no bordo de ataque para CO2 no impelidor..................... 113

6.36 Perfil da pressão no bordo de fuga para CO2 no impelidor........................ 113

6.37 Carregamento da pá na altura de 50%......................................................... 114

6.38 Perfil do número de Mach ao longo da pá para CO2 no impelidor............. 116

6.39 Perfil do número de Mach relativo ao longo da pá para CO2 no impelidor 116

6.40 Ângulos α & β no bordo de ataque ao longo da pá..................................... 117

6.41 Linhas de corrente para 20% da altura da pá para CO2............................... 118



6.44 Perspectiva tridimensional das linhas de corrente ao longo da pá.............. 120

6.45 Processo de Compressão de CO2 no diagrama T-S.................................... 121

6.46 Variação da entropia na entrada, saída e ao longo da pá do impelidor....... 121

xiii

LISTA DE TABELAS

6.1 Qualidade de malha pela ortogonalidade.................................................... 75

6.2 Qualidade de malha pela deformação máxima dos elementos.................... 75

6.3 Resultados de simulações de refinamento de Malha................................... 76

6.4 Simulações de impelidor Eckardt para caso Ar e rotação de 14.000 RPM. 77

6.5 Parâmetros ao longo do impelidor com modelo de turbulência SST.......... 79

6.6 Comparativo de parâmetros aos resultados de MOURA............................ 79

6.7 Similaridade entre pontos no impelidor Eckardt para Ar e CO2................. 92

6.8 Qualidade de malha pela ortogonalidade máxima dos elementos............... 106

6.9 Qualidade de malha pela deformação máxima dos elementos.................... 106

6.10 Teste de malhas no impelidor Eckardt para CO2........................................ 107

6.11 Teste de modelos de turbulência com equação de estado Peng-Robinson. 108

6.12 Teste de modelos de turbulência com equação de estado Span-Wagner.... 108

6.13 Parâmetros ao longo do impelidor para o CO2............................................ 111

xiv

LISTA DE SÍMBOLOS

A área [m2]

a velocidade do som [m/s]

b largura do impelidor ou altura de pá [m]

B força de corpo [N]

cp calor específico à pressão constante [kJ/kgK]

cv calor específico a volume constante [kJ/kgK]

C constante determinada empiricamente

D constante determinada empiricamente

d diâmetro [m]

e energia interna específica total [kJ/kg]

F força [N]

f função arbitrária

g aceleração da gravidade - 9,81 m/s2

h entalpia específica [kJ/kg]

H head [kJ/kg]

K constante

k energia cinética turbulenta [m2/s2]

L comprimento [m]

M número de Mach

m massa [kg]

m vazão mássica [kg/s]

N rotação [rpm]

n expoente politrópico

xv

P pressão [Pa]

Q vazão volumétrica [m3/s]

Q taxa de calor [kJ/s]

q troca de calor específico [kJ/kg]

Re Número de Reynolds

R constante do gás [kJ/kg K]

Rp razão de pressão

r raio [m]

Sij tensor da taxa de deformação desviatória

s entropia [kJ/kgK]

T temperatura [K]

t tempo [s]

U velocidade periférica do impelidor [m/s]

u energia interna específica [kJ/kg]

v volume específico [m3/kg]

V volume [m3]

V velocidade absoluta [m/s]

w trabalho específico [J/kg]

W velocidade relativa [m/s]

W trabalho [W]

U velocidade tangencial [m/s]

Z altura [m]

Z fator de compressibilidade

α ângulo de escoamento absoluto em relação à direção tangencial

α´ ângulo de escoamento absoluto em relação à direção radial

xvi

α relação de volumes específicos

∆ expoente de ponto crítico

β ângulo de escoamento relativo em relação à direção tangencial

β´ ângulo de escoamento relativo em relação à direção radial

βT compressibilidade isotérmica

βP compressibilidade isobárica

k relação de calores específicos ou coeficiente isotrópico

k energia cinética turbulenta [m2/s2]

η eficiência

Ө parâmetro adimensional de vazio, ângulo do plano meridional

Φ termo de dissipação

µ fator de escorregamento

µ viscosidade [m2/s]

ρ densidade [kg/m3]

ε taxa de dissipação de energia cinética

geração de entropia [kJ/kg K s]

τ tensor tensão

τij tensor de Reynolds

ψ coeficiente de ponto crítico

ω fator acêntrico

ω vorticidade secundária

ω frequência de turbulenta

φ coeficiente de vazão

Ω velocidade angular

δij delta de KRONECKER

xvii

Subscritos

e entrada

h hub

m componente meridional

N extremidade

n processo politrópico

P superfície de pressão

p politrópico

r direção radial

r propriedade reduzida

s processo ideal ou isoentrópico

s saída

stg estágio

u componente tangencial

t turbulento

vc volume de controle

0 estado de estagnação

1 – 2 localização no impelidor

1

CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO

1.1 Descrição

A proposta da dissertação é avaliar o impacto da variação da composição do gás

de operação no desempenho de um compressor centrífugo. Esta avaliação usará os

resultados obtidos da simulação numérica computacional com o uso de um programa

comercial: ANSYS FLUENT®. Essa simulação usará distintamente dois fluidos de

trabalho escoando num único impelidor: Ar e Dióxido de Carbono. A base da simulação

numérica será fundamentada no Método de Volumes Finitos, que fornecerá os dados

para a comparação dos resultados experimentais coletados na literatura no caso Ar.

Estes dados gerados permitirão construir as curvas de desempenho razão de compressão

e eficiência isentrópica em função da vazão mássica, para cada escoamento simulado

para avaliação do compressor.

1.2 Motivação e Relevância

O pré-sal é a maior descoberta petrolífera mundial dos últimos cinquenta anos. O

petróleo do pré-sal está alojado em reservatórios situados abaixo de extensa e espessa

camada de sal presente em extensa parte do litoral brasileiro, em águas profundas e

ultraprofundas, localizados sob 3 a 4 km de rochas abaixo do leito marinho. Estima-se o

potencial de ocorrência entre 70 a 100 bilhões de barris de óleo equivalente – boe

(somatório de petróleo e gás natural), o que colocaria o Brasil entre os principais países

produtores (RICCOMINI et al, 2012).

Essa descoberta trouxe diversas oportunidades e desafios na sua exploração.

Entre os desafios destaca-se o elevado montante de dióxido de carbono (CO2) presente

na composição do óleo a ser extraído, uma vez que o CO2 possui grande impacto no

meio ambiente e na saúde do homem ao ser liberado na atmosfera, por exemplo, o efeito

estufa. Como solução adotada pela PETROBRAS, esse gás separado do hidrocarboneto

é comprimido a altas pressões, entre 320 e 450 bar, para ser injetado novamente no

poço.

2

Figura 1.1 – Conjunto Impelidor (tipo aberto) e difusor de compressor centrífugo

(BENINI et al, 2003).

Este serviço é executado por turbomáquinas, que são equipamentos onde a

energia é transferida ou retirada de um escoamento contínuo de fluido pela ação

dinâmica de um ou mais conjuntos de paletas (pás) em movimento,

(LAKSHIMINARAYANA, 1996). Podemos classificá-las quanto à orientação do fluxo

em seu interior: Axiais quando o fluxo é axial e Centrífugas para o fluxo radial, figura

1.2. As máquinas que transferem energia a um escoamento compressível são

denominadas de compressores. Na indústria de Óleo e Gás, o compressor centrífugo

desempenha relevante papel.

Figura 1.2 – Escoamento axial e radial em turbomáquina (SOROKES et al, 2006).

3

O processo físico que ocorre no interior de um compressor centrífugo de único

estágio pode ser descrito em duas etapas: No impelidor, órgão rotativo munido de pás, o

gás é aspirado e a energia do acionador é transferida ao escoamento. Parte dessa energia

é transferida na forma de entalpia (relacionada com a elevação de pressão), e parte sob a

forma de energia cinética. Em seguida o gás escoa para o difusor, órgão estacionário,

que em função de sua geometria provoca a conversão da energia cinética do escoamento

em entalpia, acarretando numa suplementar elevação de pressão (RODRIGUES, 1991).

Figura 1.3 - Compressor centrífugo de simples estágio com rotor em balanço

(RODRIGUES, 1991).

Segundo BOYCE (1993), os fatores que influenciam no desempenho de um

compressor centrífugo são: Composição do gás, as condições de entrada, o formato das

pás, escorregamento do escoamento nas pás (slip), difusores e perdas. BOYCE (1972)

trata as perdas como tipicamente expressas em termos de calor ou entalpia e as divide

em dois grupos principais conforme local de ocorrência: Impelidor e Difusor. No

Impelidor as principais perdas são por: Choque, perdas de incidência (incidence loss),

perdas por atrito no disco (disk friction loss), perdas por difusão nas pás (diffusion

blading loss), perdas pelas folgas (clearance loss) e perda por atrito (skin friction loss);

enquanto, no difusor, enumeram-se: perdas por recirculação (recirculating loss), perdas

por turbilhonamento (wake mixing loss), perdas no difusor sem pás (vaneless diffuser

loss), perdas no difusor com pás (vaned diffuser loss) e perdas na saída (exit loss).

As perdas são irreversibilidades responsáveis pela geração de entropia num dado

processo. Na avaliação do desempenho, a eficiência do serviço de compressão pode ser

mensurada pela relação entre o trabalho ideal e o real do compressor, (BEJAN, 1988).

4

O trabalho ideal ocorre com geração de entropia nula, enquanto o processo real decorre

das não-idealidades do processo representadas pela geração de entropia nula,

(RODRIGUES, 1991). Entretanto, a variação de entropia não pode ser mensurada

diretamente e sua avaliação deverá ser obtida indiretamente, através de outras

propriedades termodinâmicas ou fluidodinâmicas. Os mecanismos dissipativos viscosos

e turbulentos resultam em aumento de entropia num escoamento.

A turbulência é sempre dissipativa, pois o mecanismo de alongamento dos

vórtices transfere energia e vorticidade para o aumento das menores escalas, até que o

gradiente se torne tão grande que ele se espalhe ou dissipe pela viscosidade. Portanto, o

escoamento turbulento requer um constante suprimento de energia para compensação

das perdas viscosas, (LAKSHIMINARAYANA, 1996).

(1) Escoamento visto no plano do hub (2) Escoamento visto no plano shroud

Figura 1.4 - Mapas de escoamento no interior de um impelidor (BOYCE, 1993).

Pode-se caracterizar um escoamento como sendo laminar ou turbulento através

do número de Reynolds. Sendo Reynolds alto, a inércia do fluido supera as tensões

viscosas e um movimento laminar torna-se instável. A turbulência é uma condição

irregular do escoamento, nas quais várias propriedades e/ou quantidades apresentam

variação randômica com o tempo e as coordenadas espaciais, de modo que distintos

5

valores médios estocásticos podem ser avaliados. A maioria dos escoamentos

encontrados na prática de engenharia e na natureza são turbulentos. Algumas

características do escoamento turbulento são: Aleatoriedade, não-linearidade,

difusividade, tridimensionalidade e características dissipativas.

Segundo KUNDU e COHEN (2004), um escoamento turbulento satisfaz

instantaneamente as equações de Navier-Stokes. As variáveis num escoamento

turbulento não são determinísticas e devem ser tratadas como variáveis estocásticas ou

randômicas. Apesar deste comportamento aleatório das variáveis o interesse,

usualmente, está em se obter as características gerais de um escoamento tais como seus

valores médios. Diante deste fato, deriva-se as equações de movimento para um estado

médio e se examina qual efeito pode haver no escoamento motivado pelas flutuações

turbulentas.

A composição do fluido de trabalho é outro aspecto fundamental a ser avaliado

no serviço de compressão (BOYCE, 1972). Nos campos do Pré-Sal, o serviço de

compressão de CO2 possui papel fundamental na operação das plataformas. Entretanto a

sua condição de operação conduz o fluido ao seu estado supercrítico, caracterizado por

condições de entalpia e densidade semelhantes às do ponto crítico, e pressão

ligeiramente superior à pressão crítica. A região supercrítica é usualmente visualizada

nos diagramas p-h e p-v e situada sobre o ponto crítico. Nessa região, o fluido apresenta

propriedades intermediárias entre um gás e um líquido, pois apresenta densidade

demasiadamente alta para ser tratado como gás (característica similar ao de um líquido

de baixa densidade), incluindo baixa viscosidade e alta difusividade que são

propriedades típicas de um gás (LEAL, 2012).

As propriedades do dióxido de carbono foram extensivamente estudadas no

passado motivadas pela sua ampla ocorrência e importância, tanto para engenharia,

quanto para fins científicos. Apesar de seu interesse na engenharia, o comportamento

desse fluido escoando no interior de uma turbomáquina, por exemplo, é pouco

conhecido principalmente para elevadas pressões (acima de 200 bar) e na região crítica

(73,8 bar e 30,95 oC). Segundo BALTADJIEV(2012), uma prática comum dos

fabricantes de compressores é o tratamento modular. Neste procedimento utilizam-se

projetos pré-definidos e interdependentes dos componentes de um compressor, ou seja,

famílias de impelidores e difusores são associadas a famílias de carcaças. Os

impelidores são classificados por diâmetro, espessura e velocidade enquanto o aspecto

ou formato das pás é estudado e projetado para os gases industriais usuais. Existem

6

novas aplicações que dependem do perfeito domínio dos fenômenos que ocorrem no

escoamento deste fluido no interior do compressor, incluindo o seu impelidor. Como

exemplo, os projetos de ciclos de potência com CO2 supercrítico, (RINALDI et al,

2014).

1.3 Organização do Trabalho

O escoamento no interior do impelidor de um compressor centrífugo envolve

fenômenos difíceis de modelar. Esta modelagem envolve interação de distintas áreas do

conhecimento, tais como, termodinâmica, mecânica dos fluidos, transferência de calor,

matemática pura e aplicada, análise numérica, entre outros. Este trabalho pretende

analisar os principais fenômenos que influenciam o desempenho de um compressor

centrífugo operando com fluido de trabalho não convencional para indústria (CO2) ao

longo de um canal de impelidor, com utilização das ferramentas de CFD disponíveis

comercialmente.

No capítulo 2 é procedida a revisão bibliográfica apresentando a contribuição

dada por diversos autores para a evolução dos seguintes tópicos relacionados aos

compressores centrífugos: Emprego de ferramentas computacionais (CFD), Modelagem

aerotermodinâmica, comportamento de CO2 não ideal e a fenomenologia de escoamento

compressível.

O capítulo 3 apresenta a fundamentação matemática utilizada ao longo da

dissertação. Primeiramente, é apresentada a modelagem fluidodinâmica do problema

através das equações de conservação, ajustadas para um sistema relativo de

coordenadas. Descrevem-se ainda as principais equações de estados, aplicadas para

cálculo das propriedades do CO2, discutindo como consequência e de forma qualitativa

os seus diferentes níveis de precisão. Finalmente, são discutidas as oportunidades de

aplicação do CO2 e os aspectos termodinâmicos que devem ser observados quando

utilizado como fluido de trabalho no serviço de compressão.

O capítulo 4 aborda a operação do compressor centrífugo através de curvas

características e os principais fenômenos no desempenho do compressor. É ainda

apresentada uma metodologia de identificação de uma nova curva, através de análise

dimensional e similaridade de pontos. Além disso, são relacionados e discutidos os

principais fenômenos fluidodinâmicos que influenciam no seu desempenho.

7

O capítulo 5 traz a metodologia utilizada para modelagem computacional do

problema investigado, com as principais etapas percorridas: a ferramenta computacional

utilizada (ANSYS FLUENT®), o método de volumes finitos que foi adotado para a

resolução das equações que modelam o problema e o algoritmo de acoplamento

pressão-velocidade. A seguir são abordados os principais modelos de turbulência,

destacando-se os modelos k-ε e k-ω SST, utilizados para simulações e análises em

turbomáquinas. Demonstra-se para estes modelos de turbulência, o seu ajuste para

aplicação em escoamentos compressíveis através das médias ponderadas em massa,

denominadas médias de Favre.

No capítulo 6 é apresentada a validação e verificação (V&V) da modelagem do

impelidor, incluindo geometria e malha, com a simulação do caso proposto por Eckardt

para o fluido de trabalho ar. Os resultados dessas simulações são apresentados de forma

comparativa com os dados disponíveis na literatura. Objetivando as simulações do

escoamento do CO2 no impelidor Eckardt, foram feitas simulações num difusor

(equipamento estático de geometria mais simples) para se determinar e/ou confirmar as

condições de contorno a serem usadas no compressor. As simulações realizadas

demostraram o impacto causado pela alteração do fluido de trabalho em relação ao

projeto original.

O capítulo 7 traz as conclusões, contribuições e sugestões para complementar as

análises realizadas neste trabalho, com foco na modelagem e análise de turbomáquinas.

8

CAPÍTULO 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 Métodos para Projeto de uma Turbomáquina

A evolução nos métodos numéricos tem sido um dos principais contribuintes

para o avanço da tecnologia aerodinâmica do compressor centrífugo, e grande parte

desta evolução foi resultado direto dos avanços na tecnologia dos computadores. Com a

evolução na tecnologia de processamento dos computadores, foi possível realizar

cálculos matemáticos mais complexos em menos tempo. O resultado foi a sofisticação

na modelagem de componentes individuais ou do compressor inteiro, (SOROKES e

KUZDZAL, 2010).

Ao traçar uma visão panorâmica da evolução do desenvolvimento do

compressor centrífugo ao longo dos anos, KRAIN (2003) descreve como o ganho no

desempenho esteve e está associado à evolução no entendimento do complexo

escoamento que ocorre em seu interior, seja no aperfeiçoamento dos modelos teóricos,

seja experimentalmente. Destacando o impulso dado pelo aumento na capacidade de

processamento computacional que permite soluções para escoamentos viscosos ou não

viscosos no estágio atual, que é a resolução de regimes transientes tridimensionais (3D),

com a possibilidade de resolução de diversos problemas para escoamento de fluidos nos

diferentes componentes do compressor.

2.1.1 Método unidimensional

A abordagem mais comum utilizando modelos unidimensionais é o chamado

método do triângulo de velocidades que é associada a formulações com base na equação

de Euler para turbomáquinas, equação de Bernoulli, equações de conservação da massa

e conservação do momento angular. Outros modelos de desempenho empírico são

também usados para determinação das velocidades meridionais, tangenciais e relativas,

além dos ângulos de escoamento em vários locais-chave dentro de um estágio

centrífugo. Esta técnica foi discutida de forma extensiva por MOURA (2007). Esta

metodologia se concentra principalmente na região de entrada e saída de cada

9

componente, e pouco entre as regiões intermediárias desses componentes. Antes do

final de 1950 todos os projetos eram concluídos usando essa abordagem, aliada a testes

de desenvolvimento. Inclui-se ainda a conhecida técnica de tentativa e erro como parte

do processo de concepção, (SOROKES e KUZDZAL, 2010). É possível perceber que

esta metodologia não era eficaz em termos de custos de desenvolvimento de produtos

do compressor, mas era a única técnica disponível naquele período.

Apesar de suas limitações, esta metodologia possui méritos na análise de

compressores pela sua simplicidade sendo ainda utilizada atualmente. Por exemplo,

ROBERTS et al (2005) examinam o desempenho de um compressor centrífugo

operando com diversos fluidos de trabalho: Ar (k=1.4), Argônio (k=1.67) e Dióxido de

Carbono (k=1.29). Nesta avaliação verifica-se a relevância do coeficiente isentrópico k

nas características de operação dessa máquina. A pesquisa é primeiramente conduzida

experimentalmente e verificada em CFD para demonstrar que as mudanças no

desempenho podem ser razoavelmente previstas, baseadas principalmente no

escoamento isentrópico unidimensional (1D). Argumentos de similaridade podem ser

utilizados para demonstrar que o expoente isentrópico por si próprio é um critério de

similaridade. As características de uma turbomáquina, mesmo quando apropriadamente

adimensionalizadas poderão, em princípio, variar com o k dos fluidos de trabalho,

especialmente, a razão de pressão num dado compressor. Discute-se ainda através de

argumentos de similaridade para um gás ideal, que o desempenho de uma turbomáquina

é de fato uma função de quatro parâmetros adimensionais: velocidade específica,

coeficiente de vazão, número de Reynolds e a razão de calores específicos.

2.1.2 Método bidimensional

Introduzido comercialmente no final de 1950, o método bidimensional permitiu

aprofundar o nível de percepção dos projetistas no desenvolvimento e análise de

componentes aerodinâmicos. Ao contrário dos códigos unidimensionais, os códigos

bidimensionais requerem definição do percurso de todo o escoamento, incluindo o perfil

do cubo (hub) e da parede do compressor (shroud), bem como a definição do ângulo da

pá ou palheta e sua espessura.

O método mais comum de 2D é a abordagem de linha de corrente, que divide a

passagem do escoamento em tubos de correntes de vazão mássica constante. As

10

velocidades são calculadas com base nas curvaturas locais do perfil meridional (ou hub-

shroud) e a vazão mássica através da área do tubo de corrente. Alguns destes códigos

também são sensíveis à curvatura na direção pá a pá (blade-to-blade).

Figura 2.1 - Análise bidimensional de tubo de corrente (SOROKES e KUZDZAL,

2010).

2.1.3 Método tridimensional

A dinâmica de fluidos computacional tridimensional (CFD) é uma das técnicas

de análise mais rigorosas, que podem ser usadas para calcular o escoamento através de

componentes aerodinâmicos. Disponíveis de forma mais ampla para a indústria de

compressores industriais no final de 1980, tais códigos permitiram um grande passo na

capacidade de compreender a física do fluxo dentro do impelidor e dos componentes

estacionários (difusor entre eles), bem como as interações entre estes, (KIM et al, 2014).

As análises de CFD são realizadas usando malhas computacionais que dividem o

escoamento em pequenos poliedros (por exemplo, hexaedros ou tetraedros), equivalente

aerodinâmico à análise de elementos finitos. Consequentemente esses códigos podem,

através da discretização geométrica do componente aerodinâmico sob investigação,

proporcionar uma aproximação muito mais abrangente da física do escoamento do que

qualquer um dos métodos apresentados anteriormente. Como resultado, o uso de tais

metodologias mais sofisticadas pode levar a modelos aerodinâmicos melhores. E

portanto de desempenho superior, pois aspectos indesejáveis do campo de escoamento

podem ser identificados e eliminados ou minimizados.

11

2.2 Modelagem de Problemas em Turbomáquinas

Apesar da modelagem e simulação de escoamento em regime transiente e

tridimensional ser uma das tarefas mais exigentes computacionalmente em aplicações

de CFD, os seus efeitos podem desempenhar um papel significativo para a melhoria da

eficiência de um compressor e a redução do custo de operação pela redução no consumo

de energia. BELARDINI (2003) cita diversos métodos para a modelagem de fenômenos

temporais e tridimensionais em turbomáquinas. Basicamente, três abordagens podem

ser adotadas: Modelos estacionários, quasi-transientes e os transientes. Dentro dessas

abordagens relacionadas ao tempo, as equações de Navier-Stokes são resolvidas num

eixo rotativo tendo a discretização numérica da equação governante em volumes finitos

com célula centrada. A turbulência deve ser modelada conforme o problema

investigado, por exemplo, o tipo de componente. O autor ainda reforça que um modelo

de turbulência robusto é fundamental para entender o desenvolvimento da camada

limite e do efeito de interações viscosas e na taxa de transferência de calor para modelar

adequadamente o escoamento.

VASSILIEV et al (2005) sumarizam a experiência acumulada por um dos

principais fabricantes de turbomáquinas em simulação CFD através das seguintes

etapas: I) Validação do modelo numérico: Os modelos turbulentos são apresentados e a

escolha dentre as diversas opções é discutida; II) Automação do cálculo numérico: A

malha escolhida desempenha um papel crucial nos resultados da modelagem e III)

Exemplos de aplicação. Na escolha do modelo turbulento mais apropriado, os autores

subdividem o escoamento em três tipos básicos: Camada limite em uma placa plana,

difusores simétricos e jatos simétricos. Esses escoamentos básicos permitem verificar a

precisão dos modelos regiões importantes, como a camada limite próxima à parede,

zonas de separação (difusores) e camadas cisalhantes (shear layers). Os modelos usados

foram os seguintes: Modelo k-ε, Modelo k-ε RNG, Modelo Spalart-Allmaras e

Realizável k-ε.

A modelagem da turbulência possui um papel chave nas simulações em

fluidodinâmica computacional, (MENTER, 2003). O autor descreve a influência das

formulações dos modelos de turbulência em aplicações de turbomáquinas, ressaltando

que diferem substancialmente para os diversos tipos de máquinas. Ressalta ainda que,

todos os tipos de máquinas têm encontrado situações onde a formulação e aplicação

12

adequada do modelo de turbulência foi um fator-chave na previsão precisa das

características da máquina. Escoamentos com maior sensibilidade à modelagem da

turbulência e a sua adequada aplicação são escoamentos com transferência de calor. Um

exemplo é o escoamento em torno das paletas de uma turbina, com ou sem filme de

arrefecimento. Usualmente, os escoamentos em turbomáquinas encontram todos os

efeitos complexos para os quais a adequada formulação, seleção e aplicação de modelos

de turbulência são importantes: Camada limite com gradiente de pressão adverso e

separação, interação choque-camada limite, pontos de estagnação, transição laminar-

turbulento, vórtices e escoamentos transientes. Neste artigo o autor sugere para

escoamentos com gradientes de pressão adversos e separação induzida por pressão, não

utilizar o modelo k- ε. Os modelos mais avançados, como o Spalart-Allmaras ou o

modelo SST fornecerão respostas mais realistas, além disso, recomenda-se atenção com

os escoamentos em regiões de estagnação.

KIM (2006) apresenta uma simplificação da equação apresentada por SPAN e

WAGNER (1996) usando a mesma equação fundamental de Helmholtz para energia

livre. A equação de estado de Span e Wagner contém 42 termos, entre eles, oito termos

com exponenciais complexas, que a torna difícil para a computação. O procedimento de

simplificação é feito a partir de um conjunto incial de termos selecionados de forma

arbitrária, onde um algoritmo de busca procura por um melhor conjunto de termos

seguido por trocas com os não escolhidos. Os novos termos são novamente escolhidos

aleatoriamente, após certo número de tentativas que aumentam o número de termos para

intercâmbio. Assim, a equação de estado que incialmante possuia 42 termos, após

otimização, é reduzida a 30 termos. Comparando os resultados dessa equação otimizada,

em termos da média dos erros em três regiões, obteve-se a seguinte conclusão: A

equação de estado de Span e Wagner apresenta o melhor desempenho nas regiões de gás

e líquido, mas na região crítica a previsão de KIM é superior. Sabendo-se que o objetivo

da equação de Span-Wagner é prever com precisão as propriedades na região crítica, a

metodologia apresentada neste artigo é promissora.

Uma previsão acurada no desempenho aerotermodinâmico do compressor

centrífugo é essencial no estabelecimento das condições de teste para verificação e

aceitação de um novo equipamento para operação continua. SANDBERG (2005)

compara os resultados obtidos num teste de plena carga, conforme ASME PTC-10

(1997) Tipo 1 em fábrica, contra os resultados previstos por diferentes equações de

estados numa ampla gama de condições de pressão e temperatura. Os resultados desta

13

investigação demonstraram que algumas equações de estado oferecem melhor previsão

das propriedades termodinâmicas e dos parâmetros de desempenho do compressor

quando comparado a outras. Sabe-se que as propriedades do gás a pressões

relativamente baixas na região de alta temperatura para a direita do envelope de fase,

deverão ser muito próximas às de um gás ideal para a maioria dos gases. Com o

aumento da pressão, no entanto, essas propriedades tendem a desviar-se do

comportamento ideal e uma equação de estado para o gás real é necessária, para prever

com precisão diversas propriedades termodinâmicas. As equações de estado avaliadas

pelo autor foram: Redlich-Kwong (RK), Benedict-Webb-Rubin-Starling (BWRSE)

modificado por Lin e Hopke, Lee-Kesler (LKP) modificado pelo Plocker, e Peng-

Robinson (PR). Das quatro equações de estado examinadas, as equações BWRSE e

LKP proporcionaram predições superiores às equações de estado de PR e RK para uma

grande variedade de gases e misturas de gases, através de uma vasta gama de pressões

reduzidas e temperaturas. Embora esta avaliação esteja limitada a moléculas

relativamente simples, não polares, é válida para um grande número de aplicações

industriais, em particular as que envolvem hidrocarbonetos leves.

YAN et al (2010) analisa a importância do conhecimento das propriedades

pressão-volume-temperatura na concepção e funcionamento de muitos processos

envolvidos na captura e armazenamento de CO2. Os autores fizeram uma pesquisa

bibliográfica para os dados experimentais disponíveis e os modelos teóricos associados,

com as propriedades termodinâmicas de misturas de CO2. Foram identificadas algumas

lacunas entre os dados experimentais disponíveis e os requisitos de projeto e operação

do sistema. Os autores identificaram ainda que os dados experimentais disponíveis para

as misturas multicomponentes de CO2 também são escassos. Muitas equações de estado

estão disponíveis para cálculos termodinâmicos de misturas de CO2: As equações

cúbicas de estado tem a estrutura mais simples e são capazes de resultados razoáveis

para as propriedades do gás, tal como Peng-Robinson; Equações mais complexas de

estado, tal como Lee-Kesler, normalmente dão melhores resultados para a propriedade

de volume, mas não necessariamente na região de equilíbrio líquido-vapor.

A pesquisa realizada nos laboratórios de turbomáquinas tem dois objetivos

principais: (I) melhorar a eficiência de máquinas de alta velocidade de rotação e (II)

aumentar a confiabilidade do sistema. BOYCE et al (1976) abrangem ambas as áreas,

com destaque para as melhorias nas características de compressores centrífugos com as

várias técnicas desenvolvidas nos laboratórios, para descrever o escoamento em

14

impelidores centrífugos. Embora extremamente difícil de entender, o escoamento em

impelidores é uma área muito importante da pesquisa para elevar o desempenho do

compressor. Ressalta-se que a eficiência do compressor tem forte influência sobre a

seleção do acionador desta máquina. A limitada compreensão do escoamento no

impelidor é uma grave desvantagem no projeto do compressor e este deve ser

particularmente entendido quando altas taxas de compressão por estágio, alta eficiência,

e grandes margens entre surge-“stall” forem desejadas na operação da máquina. Os

métodos teóricos falham na análise do escoamento próximo as regiões críticas do

impelidor, tais como topo e bordas de pás e pontos de reversões de escoamento, por

serem locais de maior incidência de perdas.

2.3 Desempenho de Turbomáquinas com CO2

PECNIK e COLONNA (2011) apresentam um estudo de CFD tridimensional

para um compressor centrífugo operando com CO2, em região termodinâmica

ligeiramente acima do ponto crítico. A geometria investigada é baseada no compressor

experimental da Sandia National Laboratories, Albuquerque, Novo México. O projeto

aerodinâmico de turbomáquinas, operando na região próxima ao ponto crítico pode ser

beneficiado pelas simulações de escoamento de alta fidelidade. No artigo, a equação de

estado de Span e Wagner foi escolhida para obter as propriedades termodinâmicas

necessárias do CO2 supercrítico. O número de parâmetros desta equação de estado

permite cálculos precisos de todas as propriedades termodinâmicas relevantes, com a

maior precisão possível, o que é necessário para o projeto e análise em aplicações

técnicas avançadas, bem como para fins científicos. Embora estas equações sejam muito

complexas e dispendiosas computacionalmente para uma solução de uso geral de

Navier- Stokes. No experimento apresentado, o comportamento fortemente não-ideal do

CO2 na região supercrítica foi estudado por um modelo de RANS (Reynolds-Averaged

Navier-Stokes), em malhas poliédricas arbitrárias não estruturadas baseadas em volumes

finitos com integração de tempo implícita.

O trabalho apresentado por KAWASHIMA et al (1994) descreve o projeto de

um compressor de CO2 para uma planta de fertilizantes para pressão de 182 bar. Foram

destacados alguns desafios em sua consecução particularmente a alta densidade do gás.

Portanto, desde que o estado do gás ao final da compressão esteja próximo do ponto

15

crítico a avaliação das propriedades do gás nesta zona é considerada difícil de realizar

com boa precisão. No caso particular de um compressor para serviço de CO2, onde o

gás pode se tornar muito denso na descarga com a densidade em torno de um terço da

água, é necessário levar em consideração os efeitos de inércia e amortecimento do

fluido semelhantemente ao tratamento de uma bomba. Esta abordagem, segundo os

autores, é para se evitar um grande erro na estimativa das frequências naturais no

projeto do impelidor.

KIM et al (2014) avaliam um escoamento tridimensional dentro do difusor e

rotor de um compressor centrífugo com a intenção de analisar a eficiência e razão de

pressão desta máquina através de algumas variáveis desse escoamento, tais como

velocidade, pressão e viscosidade. O intuito dos autores foi investigar as principais

causas que explicariam o potencial ganho de eficiência na operação próxima ao ponto

crítico, quando comparado com outras possíveis regiões de operação distantes a este

ponto. Com este intento, dois pontos experimentais foram simulados através de

ferramenta computacional comercial CFX: um ponto distante do ponto crítico, Caso 1

(83 bar e 313,2 K), para evitar a forte variação no valor das propriedades e outro

próximo ao ponto crítico, Caso 2 (74,5 bar e 305, 7 K), num compressor com baixa

velocidade de rotação (4620 RPM) e razão de pressão (1:1,1 – 1:1,2). Os modelos de

turbulência adotados foram k-ε e k-ω SST com intensidade de turbulência de 5%. Um

esquema de segunda ordem foi usado para o termo advectivo e a convergência foi

alcançada para um resíduo de 10-4. A malha utilizada sobre o difusor e o rotor foi

composta por elementos do tipo tetraédrico totalizando cinco milhões de elementos

aproximadamente, e refinada próxima à parede para um intervalo de y+ entre 30 e 100.

A validação da análise numérica foi efetuada pela simulação de água como fluido de

trabalho e os resultados comparados com os dados experimentais fornecidos pelo

fabricante do compressor. Os erros de simulação obtidos foram apresentados dentro dos

seguintes intervalos: para eficiência entre 2,5 e 9,5% e para o head 7,9% e 10,3%. O

fator de compressibilidade calculado pelo NIST REFPROP nas condições de admissão

do Caso 1 e Caso 2 demonstra o comportamento intermediário do CO2 supercrítico

entre limites compressíveis e incompressíveis. É possível concluir dos resultados dos

casos simulados que o fluido próximo ao seu ponto crítico apresentou um valor inferior

para o fator de compressibilidade, próximo ao de um escoamento incompressível,

desejável para aplicação em ciclos de potência de redução no trabalho de compressão.

16

MONJE et al (2014), utilizando um compressor centrífugo, abordam aspectos de

projeto com objetivo de elevar a eficiência de operação de seus diversos componentes:

difusor, indutor, impelidor e voluta. A pesquisa utilizou a ferramenta de CFD ANSYS

FLUENT® para análise de um escoamento de CO2 unidimensional (1D) e

tridimensional (3D) neste equipamento. A escolha das condições de entrada recebeu

especial tratamento, pois a proximidade ao ponto crítico pode causar na entrada do

impelidor uma condição de saturação que é indesejável aerodinamicamente pela perda

de carga e mecanicamente pelo desgaste acelerado de diversos componentes. Um

número de Mach de referência é obtido isentropicamente para se identificar o estado

ideal onde a condensação possa ocorrer. Este número de Mach é, portanto, identificado

como Margem de Aceleração para a Condensação. A simulação utilizou a pressão

estática de 75 bar e temperatura de 40 oC como condições de contorno na entrada e o

modelo de turbulência de k – ω SST por ser mais apropriado para modelar o gradiente

de pressão adversa com o devido refinamento de malha na região da parede para y+≈1.

A simulação no artigo utilizou a abordagem do Plano de Simples Referência (Single

Reference Frame - SRF), onde o domínio fluido é unido a um plano de referência

relativa com dada rotação e deslocamento das fronteiras da parede.

RINALDI et al (2014) destacam o recente interesse nos projetos de

turbomáquinas operando com gases de comportamento não ideal e a limitação da

análise unidimensional (1D), usualmente utilizada nas fases preliminares no projeto da

máquina. Uma adequada análise do campo de escoamento permite melhorar a

aerodinâmica da pá e consequente desempenho deste equipamento. O artigo propõe

metodologias para simulação de escoamento compressível tridimensional através de

fluidodinâmica computacional para um compressor conhecido operando dentro de uma

faixa de rotação de 45 kRPM a 55 kRPM, tendo em vista as dificuldades na análise e

simulação do escoamento pela variação não linear das propriedades termofísicas na

região do ponto crítico. Os autores utilizaram código numérico de desenvolvimento

próprio, baseado em formulação de volume finito central de malha poliédrica não

estruturada. Na modelagem do escoamento foi considerado o regime permanente, a

discretização é efetuada nas equações em suas formas de conservação, aonde as parcelas

convectivas utilizam esquemas de interpolação least-squares gradient com precisão de

segunda ordem. O fechamento do sistema de equações utiliza o modelo de turbulência

k-ω SST padrão para as máquinas. Para reter o comportamento real do fluido foi

acoplada a equação de estado de Span-Wagner por sua elevada precisão na região

17

investigada pelos autores. A topologia de malha estruturada do tipo O foi utilizada na

região em torno da pá com refinamento de malha na região das paredes para um y+ igual

a um (1), e uma malha não estruturada do tipo prismática no restante do domínio.

Apesar da possibilidade de condensação e por falta de um modelo de nucleação acurado

próximo ao ponto crítico, o modelo de única fase foi adotado.

Tendo o objetivo de avaliar a precisão do valor das propriedades termodinâmicas

usadas para projeto, operação e modelo de validação de um ciclo fechado de Brayton de

CO2 para propulsão de embarcação, CLEMENTONI e COX (2014) propõe uma

comparação entre os valores calculados por NIST REFPROP, que implementa

correlações desenvolvidas por SPAN e WAGNER (1996), e valores obtidos

experimentalmente de uma bancada de teste. Devido à sua importância para o projeto do

compressor de CO2 e seu impacto na eficiência desse ciclo termodinâmico, a densidade

no ponto crítico foi a principal propriedade calculada e aferida no trabalho. O

procedimento adotado foi testar 25 pontos no diagrama temperatura-entropia (T-S) do

CO2. Entre estes pontos 15 foram aferidos abaixo de 42 oC. Na sucção do compressor

foi adotado um intervalo de temperaturas entre 36 e 41 oC e pressão entre 83,7 e 97,8

bar. A diferença entre a densidade calculada através do REFPROP e a aferida variou

entre -2% e 3%, com a maior diferença ocorrendo na região próxima à linha pseudo-

crítica (6,9 bar abaixo do ponto crítico) onde 11 pontos apresentaram diferença superior

a 1,5%. E, a densidade no ponto crítico (31,9 oC e 74,1 bar) foi mensurada em 3%. Na

região superior ao ponto crítico foi verificado que os valores preditos para a densidade

estiveram acima de 2% dos valores experimentais.

Os diferentes objetivos de estudo servem para orientar na escolha da melhor

metodologia de análise fluidodinâmica num compressor centrífugo, pois mesmo

considerando um técnica menos acurada ZHAO et al (2014) optam por uma abordagem

unidimensional na otimização de um projeto mecânico e fluidotérmico de um impelidor

e difusor operando com CO2. A modelagem unidimensional desse compressor foi

acoplada ao banco de dados do NIST REFPROP para obtenção das propriedades dessa

substância numa sub-rotina de programação. Os autores utilizam o mesmo código

numérico utilizado por RINALDI et al (2014) para uma malha não estruturada com

topologia do tipo O-H sendo O em torno da pá e H no restante do domínio. O

refinamento de malha indicou que número superior a 900.000 elementos não apresenta

diferença de resultados significativos e na região próxima de parede um ajuste de malha

para y+ entre 20 e 50. O modelo de turbulência utilizado foi k-ε e as condições de

18

entrada para pressão estática em 70 bar e temperatura estática 305 K para uma pressão

máxima de descarga de 150 bar. O número de Mach variou entre 0,4 e 0,6 e foi

monitorado para acompanhamento das regiões com potencial de condensação pela

aceleração e consequente queda de pressão localizada, tal como, ocorre no bordo de

ataque e no bordo de fuga da pá.

19

CAPÍTULO 3 MODELAGEM MATEMÁTICA

O problema a ser estudado consiste em modelar o escoamento num impelidor

aberto de compressor centrífugo, conforme ilustrado pela figura 1.1. Será utilizado o

Método de Volumes Finitos e através desta simulação serão calculados os parâmetros

na sua descarga. A solução será comparada com o resultado dos modelos de turbulência

k-ω SST e k-ε e as equações de estado de Peng-Robinson e Span-Wagner.

3.1 Equações Governantes do Problema

3.1.1 Equações de conservação

As equações de conservação foram adaptadas para um sistema não inercial de

coordenadas que é o mais conveniente para rotores de turbomáquinas. As vantagens

deste sistema são as seguintes: O escoamento relativo é permanente na maioria dos

casos, as condições de contorno são fáceis de serem aplicadas e o perfil de velocidade e

camada limite são similares aos observados num sistema estacionário.

Figura 3.1 - Sistemas de coordenadas para um corpo em rotação (BAUNGARTNER,

2008).

20

De acordo com este sistema de coordenadas é possível projetar a velocidade

absoluta em duas componentes: velocidade relativa à pá e a velocidade

tangencial, de acordo com a figura abaixo:

Figura 3.2 - Triângulos de velocidade na entrada e saída do impelidor (ROMUALDO,

2011).

Portanto, as equações de conservação da massa (3.2), de momento linear (3.3) e

de energia (3.4) são expressas em termos de velocidade relativa e velocidade

tangencial , conforme abaixo:

= + , (3.1)

Com,

= × = . (3.1.1)

Resultando nas seguintes equações de conservação em notação indicial:

+ = 0 . (3.2)

+ + 2 + !! − ##= − $ + %& ' + − 23 )*

, (3.3)

e,

+,+- = −$./ + 0/1 + 2 + 3 ∙ 56-3-7 + 89:; . (3.4)

21

Com,

/ = , (3.4.1)

2 = 2&<< , (3.4.2)

< = 12' + ) − 13/ . (3.4.3)

Onde Pe é a pressão estática, k(T) a condutividade térmica e 89:; a transmissão energia

via radiação. O termo K∆2, representa a dissipação mecânica, e ρΦ, a dissipação de

energia mecânica em calor por deformação (atrito). O termo ∆ é conhecido como tensor

de expansão isotrópica e Sij taxa de deformação desviatório.

Observa-se na equação da quantidade de movimento (3.3) que esta mudança no

sistema de coordenadas evidencia dois novos termos !! − ##e 2sendo estes as pseudo forças Centrífuga e Coriolis, respectivamente. A

‘‘força” Centrífuga pode ser equivalente em seus efeitos a contribuição da pressão, em

um fluido com massa específica uniforme num escoamento permanente e não viscoso,

(BATCHELOR, 1967). Conforme demonstra LAKSHIMINARAYANA B. (1996), a

“força” de Coriolis introduz o gradiente de pressão assim como o gradiente de

velocidade na direção tangencial do compressor centrífugo. Como ilustração para o

efeito de Coriolis, considera-se o vetor de velocidade angular apontando para fora da

superfície no hemisfério norte com uma partícula em viagem para o hemisfério norte

tendendo a ser desviada de sua direção para direita, figura 3.3. Enquanto numa viagem

em direção ao hemisfério sul sua direção seria desviada para a esquerda.

Figura 3.3 – Representação do efeito de Coriolis (KUNDU e CHOEN, 2004).

22

O escoamento ao longo dos impelidores centrífugos é de natureza compressível,

logo se torna necessária ainda uma equação de estado que relacione a massa específica

com a pressão e a temperatura. Tendo a massa específica variação considerável com a

pressão, então a equação de estado, que relaciona a massa específica com a temperatura

e a pressão, é a equação empregada para o fechamento do problema. A equação de

estado é então a equação evolutiva para a pressão, enquanto que a equação da

continuidade o é para a massa específica. Neste caso, a temperatura é obtida a partir da

equação da conservação de energia e o campo de velocidades calculado das equações de

conservação da quantidade de movimento para cada direção, BAUNGARTNER (2008).

3.1.2 Equações de estado

Uma equação de estado representa a expressão matemática que define a relação

entre as propriedades pressão (P), temperatura (T) e volume (V) de um fluido. A partir

de uma das grandezas é possível obter informações como função das outras duas. A

equação de estado que possui menor grau de complexidade é a equação dos gases

ideais, que é um modelo mais simples vindo da teoria cinética para analisar o

comportamento de um gás:

$ = >- . (3.5)

Um gás é composto por partículas (moléculas, átomos, elétrons, etc), que

possuem movimento aleatório de maior ou menor intensidade. Devido à estrutura

eletrônica dessas partículas, um campo de força é gerado por cada partícula permeando

o espaço ao seu redor provocando uma interação entre elas. A força resultante dentro

deste campo é chamada de força intermolecular, (ANDERSON, 1991). No entanto, se

as partículas de gás estão suficientemente afastadas, a influência das forças

intermoleculares é pequena e pode ser desprezada, por exemplo, gases com estados

distantes e abaixo do seu ponto crítico, BEJAN (1988). Com este comportamento, o gás

recebea denominação de gás ideal. Entretanto, muitos gases se desviam da idealidade

em virtude do volume que o mesmo ocupa e das interações intermoleculares que

exercem. Quando um gás se desvia da idealidade, não podem ser desprezadas as forças

de interação atrativas e repulsivas que contribuem para alterações do seu estado. As

23

forças repulsivas contribuem para a expansão do gás e as forças atrativas contribuem

para a sua compressão, influenciando nos valores das variáveis pressão e volume,

(QUAGLIANO e VALLARINO, 1979).

Figura 3.4 – Diagrama de fases de CO2, (KIM et al , 2014).

O presente trabalho avaliará o comportamento do CO2 através de três equações

de estado conforme será descrito a seguir:

(i) Peng-Robinson

Desde o aparecimento da equação de Van der Waals em 1873, vários autores

propuseram variações para esta relação semiempírica. Equações semiempíricas de

estado geralmente expressam a pressão como soma de dois termos, a saber, pressão PR

de repulsão e pressão de atração PA:

$ = $? + $@ . (3.6)

A equação de Van der Waals é um exemplo com termo da pressão de repulsão por:

$? = >-A − B . (3.7)

A pressão de atração pode ser expressa como:

$@ = − CDA . (3.8)

24

Em que g(v) é uma função do volume v molar e a constante b o volume de

exclusão de uma esfera sólida imaginária empregada para representar um átomo. O

parâmetro a pode ser considerado como medida da força de atração intermolecular.

Peng e Robinson em 1976 publicaram um artigo onde apresentaram uma nova

equação de estado cúbica, que quando devidamente expandida contém termos de

volume de primeira, segunda e terceira potência:

$ = >- − B − EC + B + B − B (3.9)

que pode ser reescrita:

FG − 1 − HF1 + I − 3H1 − 2HF − IH − H1 − HG = 0 (3.10)

onde

C = 0,45724>1-N1$N B = 0,07780>-N$N

E = %1 + 6 '1 − -?PQ)*1

6 = 0,37464 + 1,5422S− 0,26992S1

I = C$>1-1 H = B$>- F = $>-

PENG e ROBINSON (1976) descrevem ainda em seu artigo que no estudo das

equações semiempíricas tendo a forma da equação de Van der Waals, a escolha de uma

função apropriada para g(v) torna a previsão do fator de compressibilidade crítico

próximo a um valor mais realista.

A aplicabilidade da equação 3.9 a pressões muito elevadas é afetada pela

magnitude de b/vc (no denominador do primeiro termo), onde vc é o volume crítico

previsto. É evidente que o tratamento do fator de escala adimensional para o parâmetro

de energia k como uma função do fator acêntrico ω em adição a temperatura reduzida

TR, melhora significativamente o prognóstico de pressões de vapor para uma substância

pura e, consequentemente, as relações de equilíbrio para as misturas.

O fator acêntrico ω é utilizado para modelar adequadamente o comportamento

termodinâmico de gases com estruturas moleculares complexas, representado através do

nível de esferecidade do campo de força e polaridade da partícula fluida, (BEJAN,

1998). Esse parâmetro permite avaliar se o comportamento de um determinado fluido se

desvia do princípio dos estados correspondentes. Conforme demonstrado por

25

WHILHEMSEN et al (2011), a equação de Peng-Robinson possui boa acurácia na

previsão das propriedades de CO2 frente à equações desenvolvidas específicamente para

esse gás, tal como Span-Wagner.

(ii) Span-Wagner

SPAN e WAGNER (1996) investigaram a qualidade da descrição da

propriedade volume molar utilizando algumas equações de estado desenvolvidas até

àquela época e concluíram que nenhuma das equações estudadas descreviam o

comportamento do CO2 de forma satisfatória no ponto crítico, (LEAL, 2012). Diante

desta constatação, desenvolveram uma nova equação explícita em termos da energia

livre de Helmholtz, na sua forma adimensional, para descrever o comportamento de

propriedades termodinâmicas como volume, entalpia, entropia, calores específicos etc:

E, U = EV, U + E9, U , (3.11)

Com,

E = I, ->- . (3.12)

Os primeiros termos do lado direito da equação acima representam a

contribuição do gas ideal, denotado pelo sobrescrito(0), e a contribuição residual do

fluido através do sobrescrito(r). As duas vairáveis independentes são a massa específica

reduzida δ e o inverso da temperatura reduzida τ, (BALTADJIEV, 2012).

= N , (3.13)

U = -N- . (3.14)

A expressão da parte ideal é:

EV, U = ln + CYV + C1VU + CGV ln U +ZCV ln [1 − ,\] _ abcd . (3.15)

E a expressão da parte residual é:

E9, U = ∑ f;_Ug_hgcY +∑ f;_Ug_,\ijGdgcb +∑ f;_Ug_,\k_i\l_Q\m]\n_QGogcGp +∑ f∆r_Ug_,\s_i\YQ\t_9\YQd1gcdV . (3.16)

26

Os coeficiente CV, uV , f , C, B , v, I, H, w ,+ e outros podem ser encontrados

no artigo original de Span e Wagner. Os últimos termos (n=40 à 42) representam o

efeito do ponto critico, com ∆ sendo uma função exponencial que amortece a sua

influência fora da região crítica e possui a expressão:

∆= x1 − U + I5 − 117 PQyz1 + H5 − 117:_ . (3.17)

SPAN e WAGNER (1996) revisaram os conjuntos de dados disponíveis sobre as

medições das propriedades do CO2 que datam de 1903, e os dividiu em três categorias:

conjuntos de dados utilizados para o desenvolvimento de correlações empíricas,

conjuntos de dados adequados para a comparação e os conjuntos de dados que não

atendam aos níveis exigidos de incerteza (ou o nível de incerteza não pôde ser

determinada). Isto assegura que a formulação resultante pode modelar propriedades

derivadas, sem diminuir a precisão devido ao inadequado tratamento dos dados,

(BALTADJIEV, 2012).

(iii) Lee-Kesler

A mecânica estatística mostra que a equação de estado de um gás real para

pressões não muito elevadas, pode ser expressa por uma série de potências de 1/Vm. Os

coeficientes são chamados de coeficientes viriais e são obtidos a partir de dados

experimentais, conforme exemplo abaixo:

F = $>- = 1 + H + w1 . (3.18)

Lee-Kesler calcula Z como uma função de temperatura reduzida (Tr) e pressão

reduzida (Pr). A expansão virial calcula o fator de compressibilidade utilizando uma

expansão da série infinita de cada termo, que representa não-idealidades específicas. Na

maioria dos casos, a expansão virial é truncada após o segundo ou treceiro termo, na

qual B e C são as espécies de funções específicas de temperatura. A baixa pressão, o

termo final (C/V2), geralmente, pode ser removida sem perda significativa de precisão.

BALTADJIEV (2012) propôs um modelo baseado na equação de estado de Lee-

Kesler, cujo objetivo foi melhorar a precisão dos modelos de gases reais existentes,

particularmente em regiões de vapor superaquecido e de líquido sub-resfriado. O

modelo baseia-se nos três parâmetros do princípio dos estados correspondentes, onde as

27

propriedades termodinâmicas são representadas como uma função linear do fator

acêntrico à temperatura constante reduzida Tr = T/Tc, e pressão reduzida Pr = P/Pc. O

fator acêntrico é um parâmetro adimensional que serve como uma medida para a “não

esfericidade” da molécula de uma dada substância. A forma da função do fator de

compressibilidade é:

F = FV + SS9 F9 − FV . (3.19)

O fator de compressibilidade verdadeiro do fluido Z é a soma do fator de

compressibilidade de um fluido simples, denotada por Z(0) com fator de

compressibilidade de um fluido de referência Z(r). Os termos Z(0) e Z(r) são representados

pela mesma equação derivada empiricamente, em termos de pressão e temperatura

reduzida, mas com diferentes conjuntos de coeficientes. A forma geral da equação é:

F9 = $9A9-9 = 1 + HA9 + wA91 + +A9p + |d-9GA91 v + ~A91 ,\Q . (3.20)

Com,

A9 = NA>-N -9 = --N 9 = N H = BY − B1-9 − BG-91 − Bd-9G w = |Y − |1-9 + |G-9G

+ = Y + 1-9

3.2 Dióxido de Carbono (CO2)

É possível verificar o aumento no interesse de estudar a operação de

turbomáquinas com dióxido de carbono (CO2) como fluido de trabalho, através do

elevado número de artigos apresentados versando sobre o tema no último ASME TUBO

ocorrido em Düsseldorf na Alemanha em 2014 (simpósio de referência para

equipamentos dinâmicos no mundo). Um dos principais objetivos em estudar a

operação, projeto e teste de máquinas com este fluido de trabalho deve-se, por exemplo,

ao crescente interesse em utilizá-lo para ciclos termodinâmicos de potência.

O ciclo de potência de CO2 supercrítico é considerado um dos mais promissores

sistemas de geração de potência elétrica na atualidade, por apresentar elevada eficiência

28

em moderadas temperaturas e compacidades. Com um fluido de trabalho não tóxico,

não inflamável e de versátil aplicação, o ciclo poderia ser usado nas áreas de energia

solar, nuclear e termelétrica, (MONJE et al, 2014). A elevada eficiência é possível

devido ao pequeno trabalho de compressão exigido, quando comparado a outros ciclos

de potência, devido à elevada densidade do fluido no ponto crítico. Uma das principais

desvantagens desse sistema é a baixa eficiência das turbomáquinas (65% contra 80%

tipicamente alcançado por um compressor centrífugo) quando empregadas para o

serviço de compressão de CO2 nas condições necessárias de temperatura e pressão

próximas ao ponto crítico. Um específico desenvolvimento no projeto dessa máquina

pode ser decisivo para o avanço neste ciclo de geração de potência, (RINALDI et al,

2014).

3.2.1 Comportamento de gás real

O estado não ideal de um fluido dá origem a um conjunto de propriedades

derivadas que impactam nas equações que regem um escoamento compressível

(BALTADJIEV et al, 2014). A análise do comportamento destas propriedades pode

ajudar a entender diversos fenômenos envolvendo um gás real fornecendo, por exemplo,

informações sobre o processo de compressão desse gás, tais como as derivadas parciais

de Z em relação à pressão (p) e temperatura (T) que determinam as propriedades de

compressibilidade isotérmica e isobárica de um fluido submetido a esse processo

termodinâmico:

v = −1A A = 1 − 1F F = 1 (3.21)

e,

v = −1A A- = 1- − 1F F- .(3.22)Também são úteis para explicar o comportamento do gás real através da entalpia ℎ = -, e energia interna = -, A, respectivamente, (BEJAN, 1988):

ℎ = w - + A1 − v- (3.23)

29

e,

= w - + 'v-v − 1)A .(3.24)Pode-se notar destas relações que se o fator de compressibilidade Z em relação à pressão

e temperatura não é constante, tanto a entalpia quanto a energia interna do gás real não

dependem mais apenas da temperatura, possível no modelo para gás ideal.

3.2.2 Estimativa de propriedades do CO2

O valor das propriedades do gás é fator determinante para a correta análise do

processo termodinâmico. Diversas ferramentas estão disponíveis no mercado para

auxílio nesta tarefa, entre elas, o REFPROP (acrônimo de REFerence fluid PROPerties).

Esta ferramenta foi desenvolvida pelo National Institute of Standards and Technology

(NIST) para calculas as propriedade termodinâmicas e de transporte dos mais

importantes fluidos e suas misturas em uso na indústria. Essas propriedades podem ser

apresentadas em forma de tabelas ou gráficos, ou mesmo, obtidas através de sub-rotinas

programáveis em FORTRAN.

O REFPROP usa três modelos para os cálculos das propriedades

termodinâmicas da substância pura: Equação de estado de energia de Helmholtz, a

equação de Benedict-Webb-Rubin modificada e um modelo de estado de

correspondência. Enquanto, por exemplo, a viscosidade e a condutividade térmica são

ainda modeladas com correlações específicas do fluido. A precisão dos valores obtidos

através deste programa foi objeto do artigo de CLEMENTONI e COX (2014), e

discutido na revisão bibliográfica desta dissertação.

É oportuno ainda observar que o ANSYS FLUENT®, programa utilizado nas

simulações computacionais para este trabalho, permite habilitar em sua biblioteca o

REFPROP através de “User-Defined Functions” (UDF´s), que será mencionada no

capítulo 5, para execução de simulações de gases reais que, em especial para o dióxido

de carbono (CO2), ainda utiliza a equação de estado de Span-Wagner para os seus

cálculos.

30

3.2.3 Comportamento das propriedades do CO2

Todo fluido possui um ponto crítico termodinâmico, a determinada pressão e

temperatura, onde a distinção entre vapor e líquido desaparece, FATIMA (2010).

Qualquer fluido que esteja submetido acima desse ponto de pressão e temperatura é

chamado de fluido supercrítico. As mais significativas variações de propriedades

ocorrem nesta região. Por exemplo, o calor específico que experimenta um forte

crescimento localizado, figura 3.5, com o seu pico de máximo valor para o CO2 sendo

suavizado logo após a pressão e temperatura crítica. Nota-se ainda que, tanto para altas

quanto para baixas pressões e temperaturas em relação ao ponto crítico, a propriedade

demonstra uma tendência para o comportamento de gás ideal, ou seja, é possível medir

a sua variação em função somente da temperatura.

Figura 3.5 – Variação do calor específico com a temperatura e pressão de CO2

(FÁTIMA, 2010).

Semelhante comportamento é também observado tanto para a condutividade

térmica figura 3.6, quanto para a viscosidade molecular, figura 3.7, que possuem

significativas alterações no ponto crítico. A medida que a pressão se afasta da pressão

crítica esta alteração nas propriedades é mitigada, (FÁTIMA, 2010).

31

Figura 3.6 - Variação da condutividade térmica com a temperatura e pressão de CO2

(FÁTIMA, 2010).

Figura 3.7 - Variação da viscosidade molecular com a temperatura e pressão de CO2

(FÁTIMA, 2010).

Diante do comportamento anômalo apresentado nas figuras 3.6 e 3.7, constata-se

que as equações clássicas de estado não conseguem descrever as propriedades de CO2

em torno da região do ponto crítico. Suas estruturas analíticas são incapazes de

representar esse comportamento. Por esta razão, um esforço foi feito para desenvolver

32

equações especiais de estado para a região de ponto crítico. Uma descrição apresentada

por BEJAN (1988) discute a modelagem dessa região através de duas equações de

estado distintas: uma cobrindo a região não crítica F(T,ρ) e a outra descrevendo a região

crítica F(P/T)(1/T,µ/T), onde F denota a função de Helmholtz de energia livre e µ o

potencial químico. Uma importante característica é que ambas as variáveis

independentes são iguais nas fases coexistentes. A função é dividida em uma parte

regular (P/T)b e outra não analítica (P/T)s. Ao mesmo tempo assume-se que (P/T)s é

exclusivamente influenciada pela anomalia de ponto crítico. Introduzindo novas

variáveis r e θ (parâmetros de escala) em vez de 1/T e µ/T, definidas nas seguintes

relações:

&-~mi1 − u1 (3.25)

e

1- + | &- ~1 − B1u1 .(3.26)

A parte (P/T)s fica

- ~1\∝Yu + 1\k∆1u ,(3.27)Aqui, b e c são parâmetros livres, enquanto ∆, β, δ e α são os expoentes do ponto crítico,

desenvolvidos observando-se para modelagem o comportamento exponencial

apresentado na região crítica, figura 3.5. A estrutura da equação 3.27 é semelhante à

utilizada por SPAN e WAGNER e é tida como uma das mais robustas para descrição do

comportamento do CO2. A equação de estado é completamente definida se alguns

parâmetros forem conhecidos: Expoente universal ∆ e dois outros expoentes do ponto

crítico, por exemplo, δ e α. Além dos valores ρc, Pc and Tc do fluido. Tendo estas

informações, as propriedades cp, cv, ρ, hfg, pressão de vapor e a velocidade do som

podem ser derivadas.

(i) Condutibilidade térmica (k)

Utiliza-se para correta previsão de seu comportamento o modelo de duas

equações

6, - = 6r, - + 6, U ,(3.28)

33

onde o termo kb não sofre qualquer anomalia no ponto crítico e é determinado por

extrapolação na região longe do ponto crítico. A parte ks descreve exclusivamente a

elevação no ponto crítico, sendo representada pela lei de potência:

6N , U = IU\ ,(3.29)Onde A é um coeficiente da lei de potência e ψ um coeficiente de ponto crítico. Os

resultados experimentais concordam bem com as previsões teóricas desse modelo,

(BEJAN, 1988).

(ii) Compressibilidade isotérmica (βT)

O ponto crítico de uma substância pura é definido matematicamente por:

A = 0 ,(3.30)e

'11A) = 0 .(3.31)A compressibilidade isotérmica (βT) é uma das propriedades mais importantes para

previsão de comportamento incomum em condição supercrítica. Esta propriedade possui

significativa importância para o serviço de compressão, pois um fluido de trabalho num

dado estado com alto valor de βT indica que grandes flutuações de massa específica

podem ser geradas, a baixo custo de energia. Ou seja, do ponto de vista macroscópico a

compressão do fluido é facilitada. Do ponto de vista molecular, uma grande

compressibilidade isotérmica significa que há espaço suficiente entre as moléculas para

a compressão do sistema. Não obstante, ao se comparar as equações 3.30 e 3.31 com a

equação 3.21, pode-se verificar que o valor dessa propriedade tende ao infinito na

região crítica. Em conclusão a este comportamento de βT na região do ponto crítico, que

possui relação com o alto gradiente da massa específica, a evolução de um processo de

compressão no domínio P-T é dificultada ou mesmo não admitida na vizinhança do

ponto crítico, (CANSELL et al,1998).

Esta análise teve objetivo de apenas exemplificar alguns aspectos importantes

para a simulação computacional empreendida neste estudo, e não esgota todo o espectro

de informações necessárias para discutir o estado e propriedades do fluido nesta região.

34

Estudos recentes em dinâmica de gás concluíram, com base em uma análise de

sensibilidade usando vários fluidos, que o comportamento do gás real é fortemente

influenciado pelo calor específico isocórico e pelo fator acêntrico, que são as duas

medidas qualitativas da complexidade molecular. Aqui, complexidade molecular indica

o efeito de ambos na configuração molecular e suas interações através de campo de

força, (HARINCK, 2009).

35

CAPÍTULO 4 COMPRESSOR CENTRÍFUGO

Este capítulo concentra-se nos aspectos de operação da máquina que serão

necessários para as análises e simulações apresentadas nos próximos capítulos. Para

informações pertinentes ao projeto unidimensional e a análise termodinâmica

relacionados ao processo de compressão indica-se a leitura do trabalho de MOURA

(2007).

4.1 Curvas Características

A ideia de relacionar a quantidade de energia transferida ao fluido (head) com a

vazão circulante através do impelidor é tão antiga quanto às próprias turbomáquinas,

(RODRIGUES, 1991). E evidencia a influência de diversos elementos sobre o

desempenho do compressor, servindo assim como orientação para o projeto da máquina.

De acordo com a teoria de Euler há na verdade, uma correspondência entre energia

efetivamente transferida ao fluido e a vazão volumétrica descarregada pelo impelidor,

ou seja:

= 1 . (4.1)

Figura 4.1 - Mapa Operacional de um impelidor em vazão mássica (ECKARDT, 1980).

36

Partindo da equação 4.1 serão apresentadas diversas relações que permitirão

integrar de forma mais objetiva aspectos geométricos com os operacionais para

construção de uma curva de operação. Destarte, utilizando as equações descritas no

capítulo 3 para a conservação de energia num volume de controle em torno da carcaça

de uma máquina figura 4.2, o fluxo líquido permanente de energia em seu interior pode

ser expresso por:

Figura 4.2 – Compressor com volume de controle (ROMUALDO, 2011).

N +N +Z .ℎ. + .12 + DF.. +Z ℎ + 12 + DF = 0 , (4.2)

Sendo transmissão de energia via calor, transmissão de energia via trabalho, a

energia interna (u) e a energia potencial do escoamento associadas ao campo de forças

(pv) representadas pela entalpia (h), a energia cinética (V2/2) e a energia potencial

gravitacional (gZ), todas referidas à unidade de massa. E, para o balanço de entropia

neste mesmo regime, dentro deste volume de controle, pela seguinte expressão:

Z- +Z ... −Z + N = 0 . (4.3)

Os termos .. e representam, respectivamente, as taxas de transferência de

entropia para o interior ou o exterior do volume de controle que acompanha a vazão

mássica. O termo Qj/Tj representa a taxa de transferência de entropia associada à

transferência de calor e, finalmente, o termo de geração de entropia devido às

irreversibilidades no interior do volume de controle, N. Considerando um regime internamente reversível e permanente, desprezando-se

as variações de cota e de velocidade e após as devidas operações entre as equações 4.2 e

4.3, é possível obter a expressão para o trabalho específico:

37

#g9. =− A 1Y . (4.4)

Sabe-se da segunda lei da termodinâmica que durante um processo reversível

adiabático a entropia permanece constante, enquanto as propriedades mensuráveis

pressão (P) e volume específico (v) variam. Logo, torna-se interessante analisar a

entropia como função de P e v, ou = $, A: = $ A + A A . (4.5)

De acordo com o processo reversível e adiabático descrito acima, encontra-se

$ $ + A A = 0 . (4.6)

Recorrendo ainda às relações de Maxwell:

-A = −$ (4.7)

e

-$ = A . (4.8)

Substituindo as equações 4.7 e 4.8 na equação 4.6

−A- $ + $- A = 0 , (4.9)

ou seja, durante um processo isentrópico a relação entre P e v é dada por:

$$ + 6 AA = 0 , (4.10)

onde k é o expoente isentrópico

6 = − A$ $A , (4.11)

e, finalmente, é possível obter a expressão:

$A = |fCf, . (4.12)

Admitindo-se um processo de compressão reversível e adiabático de um gás perfeito,

com a suposição adicional da invariabilidade do expoente isentrópico k, da equação 4.4

tem-se que:

38

= #g9. =− A =− 66 − 1>-Y $1$YP − 11

Y (4.13)

Ou ainda

= #g9. =− A =− 66 − 1>-Y %AYA1\Y − 1*1

Y . (4.14)

A equação 4.14 revela que a relação de volumes depende, para uma dada energia

transferida, da temperatura de sucção e da natureza do gás. Tendo desenvolvido esta

expressão para as condições de operação do sistema, falta ainda relacionar os aspectos

geométricos do compressor. E, a partir da equação de Euler, que é um desenvolvimento

da formulação matemática da lei de conservação do momento angular, onde a taxa de

variação do momento angular com um volume movendo-se com o fluido com as forças

de superfície e as forças de corpo atuando sobre o volume de controle são equalizadas.

Mas, antes, partindo da equação da conservação do momento angular:

× ¡Is.¢ +£ ×¤As.¥ = × ¦¦ ∙ §s.¢ + £ × ¦As.¥ , (4.15)

onde F e B são as forças de superfície e de corpo respectivamente. Assumindo as

hipóteses simplificadoras de regime permanente e força de superfície nula deduz-se que

= Y Y − 1 1 , (4.16)

onde U1 e U2 são as velocidades tangenciais nos raios de sucção e descarga. VU1 e VU2

são as projeções tangenciais da velocidade absoluta. Utilizando relações trigonométricas

aplicadas ao triângulo de velocidades, figura 3.2, na extremidade de saída da pá é

possível obter:

= 11 − 1 1I1 cot v1 , (4.17)

sendo A2 a área de saída do impelidor e β2 o ângulo de inclinação da pá na saída do

impelidor. Retornando às equações de conservação é possível obter através da equação

da continuidade, equação 3.2, em regime permanente:

YAY = 1A1 . (4.18)

Equação 4.18 expressa nas condições de entrada (1) e saída (2). A partir de onde se

pode exprimir a equação 4.17 de forma mais conveniente:

39

= 11 − 1 A1AY YI1 cot v1 (4.19)

Levando o resultado dado pela a equação 4.19 na equação 4.1 para que se estabeleça

uma relação entre a energia cedida pela máquina e o volume que entra, tem-se que:

= Y . (4.20)

Finalmente, igualando as equações 4.13 e 4.20:

Y = 66 − 1>-Y $1$YP − 1 . (4.21)

logo,

$1$Y = ¬6 − 16 1>-Y Y + 1 P

. (4.22)

Considerando as propriedades constantes a equação 4.22 reduz-se a

$1$Y = Y . (4.23)

As equações 4.13 e 4.17 podem ser combinadas para relacionar as condições de

operação e da geometria do rotor do compressor no serviço de aumento na pressão do

fluido no interior do compressor. O desempenho do compressor está assim interligado à

geometria do compressor de forma mais evidente.

4.1.1 Condição de estagnação

O escoamento compressível em turbomáquinas sofre grande alteração de

velocidade entre os estágios, como resultado das alterações de pressão causadas pelos

processos de expansão ou compressão, MOURA (2007). A combinação entre os termos

de entalpia (h) e a energia cinética (V2/2), para qualquer ponto no escoamento, é

chamado de entalpia de estagnação,

ℎV = ℎ + 12 . (4.24)

40

Esta propriedade é constante num escoamento, quando não há realização de

trabalho ou uma transferência de calor, embora processos irreversíveis possam ocorrer,

(COHEN et al, 1972).

Na figura 4.3, pode-se notar que o estado de estagnação é representado pelo

ponto 01, provocado por uma desaceleração irreversível. Numa desaceleração reversível

o ponto de estagnação seria o ponto 01s e a mudança de estado seria chamado

isentrópico.

Figura 4.3 - Processo de compressão em único estágio (MOURA, 2007).

Pode-se de forma simples, através da condição de estagnação, verificar que a

diferença de entalpias representa a quantidade total de energia recebida pelo gás. Da

equação da entalpia de estagnação deriva-se uma expressão para a temperatura e a

pressão de estagnação. Para escoamento de gás ideal

ℎ = w- , (4.25)

e,

w = 6>6 − 1 . (4.26)

Cp representa o calor específico a pressão constante e R é a constante universal dos

gases. Destas duas relações e da equação 4.24 a temperatura de estagnação To pode ser

definida como:

-® = - + 121w , (4.27)

e dividindo por T

41

-V- = 1 + 12 6 − 1 16>- = 1 + 12 6 − 1¯1 , (4.28)

sendo M o número de Mach. Finalmente, é possível obter a pressão de estagnação po da

relação conhecida entre pressão e temperatura:

V = -V- P = 1 + 6 − 12 ¯1 P

. (4.29)

E, recorrendo à lei dos gases perfeitos, a massa específica de estagnação (ρo) é dada por:

V = -V- PP = 1 + 6 − 12 ¯1 PP

. (4.30)

As equações 4.28, 4.29 e 4.30 evidenciam a importância do número de Mach na

operação do compressor e na análise de similaridade entre pontos utilizada neste

trabalho.

4.2 Teoria de Semelhança Aplicada à Turbomáquinas

A análise dimensional permite uma compreensão mais abrangente do

comportamento das turbomáquinas, AUNGIER (2000). A análise dimensional é uma

técnica com o objetivo de estabelecer relações entre variáveis que influenciam um

determinado fenômeno físico observado. Estas relações entre as variáveis possuem

algumas importantes aplicações em turbomáquinas:

(a) previsão do desempenho de um protótipo a partir de testes realizados em um

modelo em escala (similaridade) e testes de desempenho em máquina

operando em condições diferentes às de projeto, por exemplo, com gás

diferente;

(b) a determinação do tipo mais apropriado de máquina, com base na máxima

eficiência.

Nesta análise o teorema dos π é considerado como base na formação de grupos

adimensionais: onde se estabelece que dadas n variáveis (por exemplo, ρ e µ) as quais

podem ser expressas dimensionalmemente em função de m grandezas fundamentais,

forme (n-k) grupos adimensionais independentes. Em problemas de mecânica dos

fluidos, normalmente temos o sistema formado pelas seguintes grandezas fundamentais:

massa (M), comprimento (L) e tempo (T).

42

Os compressores são construídos para um determinado conjunto de condições de

serviço (gás, pressões, temperatura de sucção) e de desempenho (vazão, eficiência, por

exemplo) bem definidos. Para verificar se o compressor atende às condições desejadas

de projeto, fazem-se testes na própria oficina do fabricante. Frequentemente, não é

possível reproduzir num teste as condições reais de operação do compressor, por

exemplo, quando da indisponibilidade na fábrica do gás de trabalho. Portanto, são

necessários meios de planejar um teste com a possibilidade de extrapolar os valores

obtidos para as condições de projeto e futuro trabalho no campo. Com este intento são

necessárias algumas premissas (que podem incluir aspectos geométricos, cinemáticos e

dinâmicos) para estabelecer essa necessária equivalência entre os dois conjuntos de

condições (projeto e teste) do compressor para garantir o seu desempenho.

Figura 4.4 - Curvas características para as condições dinamicamente semelhantes,

(BRENNEN, 1994).

O desempenho de uma turbomáquina para operação com escoamento

incompressível, é convenientemente e usualmente expresso em termos de head (H),

eficiência (η) e potência (P). Estes parâmetros indicam que a operação de um

compressor relaciona propriedades do fluido, tais como massa específica ρ, viscosidade

µ, condições de entrada e saída do fluido de pressão e temperatura (P e T), com

características geométricas como o diâmetro do impelidor D e variáveis de controle

como a rotação da máquina (N) e a vazão mássica ( ). Segundo DIXON (1998), deve-

se ainda considerar outras propriedades que permitam caracterizar melhor um

escoamento compressível, a saber: a velocidade do som na condição de estagnação de

43

entrada da máquina (a01) e a razão de calores específicos (k) ou Cp / Cv. Portanto, as

variáveis de interesse para este problema podem ser relacionadas como:

∆ℎV, °, $ = &, ±, +, , VY, CVY, 6 . (4.31)

Observa-se que na equação 4.31 a variação do head (H) foi substituída pela

entalpia de estagnação isentrópica. Sabendo-se que há mudança de a0 e ρ0 através da

máquina sugere sugere-se que os valores destas variáveis sejam selecionados na entrada,

denotado pelo índice 1. Expressando três relações funcionais separadas, cada uma das

quais contendo oito variáveis e, mais uma vez, a escolhendo ρ01, N e D como fatores

comuns destas três relações, obtemos cinco grupos adimensionais,

∆ℎV±1+1 , °, $VY±G+p = ² VY±+G VY±+1& ,±+CVY , 6³ . (4.32)

Sendo ainda possível provar pela lei dos gases ideais que:

∆ℎVCVY1 ≈ $V1$VY , (4.33)

e,

$µ = $VY±G+p = w∆-V¶VY+1±+·±+1 = ∆-V-VY . (4.34)

Para finalmente obter:

V1VY , °, ∆-V-VY = x VY±+G , ±+CVY , >,, 6 . (4.35)

O parâmetro k pode ser excluído do procedimento por ser adimensional e

consequentemente não formar combinação com os demais, (RODRIGUES, 1991). Isso

significa que a sua influência sobre o desempenho do compressor não poderá ser

compensada por outros parâmetros. WHITFIELD e BAINES (1990) esclarecem ainda

que o elevado número de Reynolds do escoamento no interior da máquina mitiga

qualquer impacto na sua variação para avaliação do desempenho de um compressor.

Com isso, é também sugerido retirar o número de Reynolds da lista de parâmetros

adimensionais que caracterizam o seu desempenho. Tendo em vistas estas observações

tem-se:

44

V1VY , °, ∆-V-VY = x VY±+G , ±+CVY . (4.36)

Desta relação enfatiza-se que os principais grupos utilizados na avaliação de

similaridade de compressores são:

a) Coeficiente de Vazão: Associado com a manutenção dos ângulos de

inclinação das velocidades de escoamento.

¸ = VY±+G = Y±+G , (4.37)

onde D é o diâmetro, N a velocidade de rotação e Y a vazão.

Figura 4.5: Impelidores de compressor centrífugo de múltiplos estágios (SOROKES e

KUZDZAL, 2010).

b) Número de Mach: Estabelece uma relação entre as forças elásticas e as

forças de inércia.

¯: = ±+CVY = ±+¹6>-Y (4.38)

com R representando a constante do gás, k o expoente adiabático e T1 a temperatura de

sucção. Assume-se que há uma relação constante entre as forças envolvidas no

escoamento para a nova condição em relação às condições originais de operação ou de

projeto quando os números de Mach nas condições locais de funcionamento são iguais,

e os desvios são considerados insignificantes, quando certos limites do número Mach

são respeitados. Estes desvios são admitidos e restringidos por normas internacionais,

por exemplo, ASME PTC 10 que regula testes de compressores dinâmicos.

45

A partir de uma simplificação dos resultados da análise dimensional efetuada

nesta seção é possível estabelecer algumas relações funcionais que fornecem uma

excelente base para expressar as curvas características do compressor centrífugo:

Y1 = ±Y±1 (4.39)

e

Y1 = ±Y±11 (4.40)

Com

°Y = °1 . (4.41)

Mas, antes, deve-se notar que a variação de rotação provocará a variação dos números

de Mach e Reynolds, de forma que os dois pontos associados pelo método não guardam

entre si completa similaridade. Entretanto, sendo um pouco mais rigoroso para

compressores de múltiplos estágios é necessário ainda considerar a relação de volumes

específicos α, (RODRIGUES, 1991):

E = AYA1 . (4.42)

Logo,

EY = E1 . (4.43)

A condição de operação de uma turbomáquina será dinamicamente semelhante

(similaridade) em duas rotações diferentes, se todas as velocidades dos fluidos dentro da

máquina, em pontos correspondentes, estão na mesma direção e proporcionais à

velocidade da pá. Se cada um destes pontos com suas diferentes características de head

e vazão representam operação dinamicamente semelhante da máquina, espera-se que

grupos adimensionais das variáveis envolvidas, ignorando efeitos do Número de

Reynolds, tenham o mesmo valor para ambos os pontos. Das equações 4.13, 4.40 e

4.43, uma rotação similar é obtida através da equação:

±Y±1

1 = ºFY>-Y PP\Y »EYP\Y − 1¼½ºF1>2 QQ\Y »E1Q\Y − 1¼½ . (4.44)

46

4.3 Escoamento dentro do Impelidor Centrífugo

Atualmente para a turbomáquina, os efeitos tridimensionais (figura 4.6) são

dificilmente desprezados e sua incorporação no projeto ou análise é essencial para uma

melhor concepção das máquinas e para uma precisa previsão de desempenho,

(LAKSHIMINARAYANA, 1996). O campo do escoamento em seu interior é

complexo, tridimensional e turbulento, sob a influência relevante da curvatura das pás e

da rotação.

A tridimensionalidade do escoamento é causada por efeitos viscosos e não

viscosos. Os métodos quase viscosos incorporam os efeitos líquidos reais de forma

aproximada ou global. Essa tridimensionalidade pode ser explicada, por exemplo, pelo

escoamento secundário que surge devido à camada limite viscosa. Mas mesmo de

natureza viscosa o seu efeito pode ser tratado pela teoria do escoamento não viscoso. A

teoria de escoamento não viscoso tridimensional tem sido desenvolvida para predizer a

natureza do escoamento tridimensional, pela sua simplicidade e relativa precisão,

(LAKSHIMINARAYANA, 1996).

Figura 4.6 - Natureza do escoamento no interior de um rotor, (HARTMANN, 1982).

As acelerações centrípeta e de Coriolis, evidenciadas no tratamento do sistema

de coordenadas para velocidade relativa no capítulo 3, também exercem efeito na

tridimensionalidade do escoamento com influência no aumento ou queda de pressão na

operação da máquina, bem como também nas perdas. Essas acelerações introduzem um

fluxo radial para fora da camada limite, resultando na distorção dessas camadas. Uma

47

importante teoria geral que detalha o escoamento tridimensional em turbomáquinas em

regime subsônico e supersônico foi apresentada e desenvolvida por WU (1952).

4.3.1 Instabilidade do escoamento no impelidor

O escoamento ao longo de superfícies curvas é conhecido por afetar a

estabilidade do fluxo na camada limite e, por conseguinte, a transição entre o regime

laminar e turbulento e a estrutura do regime turbulento, CUMPSTY (1989).

A estabilidade ou instabilidade de um escoamento próximo de uma parede pode

ser compreendida e analisada simplificadamente através de um escoamento não viscoso

e estável num impelidor de formato radial. Considerando uma partícula de fluido num

estado de equilíbrio dentro da camada limite na superfície de sucção, esta sofre o efeito

de um gradiente de pressão normal à superfície da pá equilbrado com a aceleração de

Coriolis na velocidade radial local. Admitindo-se agora que esta partícula seja

ligeiramente deslocada da parede no sentido de afastamento, enquanto a sua velocidade

é mantida paralela à parede; Essa partícula passará para uma região em que encontra

outras partículas em equilíbrio numa velocidade superior à sua de modo que o gradiente

local de pressão normal à superfície deve ser suficientemente maior para equilibrar a

aceleração de Coriolis e assim o fluxo é mantido estável. Entretanto num escoamento

real a presença de visosidade altera a lógica apresentada, pois o escoamento viscoso

desacelera a particula pelas tensões turbulentas de cisalhamento criando uma

instabilidade que exerce influência na separação da camada limite no impelidor,

(ECKARDT, 1976).

Figura 4.7 - Escoamento real em rotor de compressor centrífugo (BORER et al, 1997).

48

A natureza do escoamento na saída do impelidor tem efeitos diretos sobre o

desempenho do difusor e, por consequência, o desempenho geral do compressor. O

fenômeno de separação da camada limite possui relação direta com o fenômeno de

esteira que ocorre a partir do shroud, sendo uma das principais causas da região de

baixa velocidade meridional e baixa pressão de impelidores de diversos tipos. Segundo

BORER et al (1997), a esteira projetada pela pá pode ainda provocar uma pulsação de

pela variação da pressão na descarga da máquina, danosa à integridade do equipamento.

É possível analisar várias características do escoamento de impelidores utilizando

modelos adequados de turbulência, conforme discutido na revisão bibliográfica desta

dissertação, e identificar a posição da esteira.

Figura 4.8 – Estrutura Jato-esteira em impelidor (BRENNEN, 1994).

A teoria clássica de jato-esteira sugere que uma esteira deveria ser maior em

pequenos escoamentos, isto é, a esteira da pá que é a acumulação de escoamento

secundário dentro de um impelidor é sempre maior em pequenos escoamentos e menor

em altos escoamentos, figura 4.7, (MOORE et al, 1977). No entanto, em escoamentos

maiores a velocidade na saída do rotor seria maior. E velocidade maior resulta numa

grande pressão dinâmica e, por conseguinte, um diferencial maior entre a pressão total

no escoamento principal e a pressão estática na esteira da pá. Em consequência, a

elevada amplitude de pulsação no bloqueio (choke) é simplesmente um reflexo da

elevada relação de pressões estáticas, (CHOI E KANG, 1999).

49

Finalmente, MOORE et al (1977) afirmam que a distribuição do escoamento na

descarga de um impelidor centrífugo é fortemente influenciada pelo escoamento

secundário, conforme mostra a figura 4.8.

4.3.2 Escoamento secundário

O escoamento secundário é produzido quando uma componente da vorticidade é

desenvolvida a partir do desvio de um escoamento cisalhado, (LAKSHMINARAYANA

e HORLOCK, 1973). Exemplos deste fenômeno ocorrem quando um escoamento

desenvolvido entra numa curva, ou quando um escoamento ocorre sobre um aerofólio

de espessura finita, ou quando uma camada limite normal encontra um obstáculo sobre a

superfície na qual está fluindo.

Na equação 3.3 de conservação da quantidade de movimento desprezando

efeitos viscosos, a variação da velocidade no sentido normal assumindo o escoamento

incompressível, o gradiente de pressão na direção normal é equilibrado num dado ponto

pela aceleração centrípeta. Ou, matematicamente

f = 1> , (4.45)

onde p (pressão), n (vetor direção normal), ρ (massa específica), R (raio de curvatura) e

u (velocidade tangencial). No entanto, caso a influência da camada limite seja

considerada (efeitos viscosos), o gradiente de pressão normal à parede sofrerá um

desequilíbrio com a aceleração centrípeta e, portanto, uma linha de corrente que passa

através da camada cisalhante irá ser desviada, desenvolvendo desse modo uma deflexão

na direção da entrada. Esta deflexão, que é o desvio a partir do escoamento principal ou

primário, é chamada escoamento secundário. O escoamento secundário dá origem aos

vórtices secundários, que possuem significante efeito no desempenho da turbomáquina.

A teoria do escoamento secundário considera apenas a convecção do fluido de baixa

pressão de estagnação, sem considerar sua origem, para avaliar os seus efeitos relativos

ao trabalho CUMPSTY (1989).

Os efeitos do escoamento secundário podem ser assim resumidos:

1- Introduz componentes da velocidade do escoamento cruzado resultando em

um campo de escoamento tridimensional;

50

2- O escoamento secundário tende a formar vórtices, que irão eventualmente

iniciar uma região de separação próxima à superfície da parede de admissão

do escoamento. Seus efeitos no desempenho são, portanto, relevantes;

3- As perdas de eficiência, incluindo vazamentos, possuem percentual entre 2 a

4% no desempenho da turbomáquina;

4- A interação de rotor-estator, devido ao escoamento secundário, resulta em

escoamento instável do campo de pressão em pás subsequentes. Essa

interação pode resultar em vibração e ruído.

Figura 4.9 - Escoamento secundário em rotor (BRENNEN, 1994).

Uma expressão para a vorticidade secundária na pá com velocidade angular Ω

pode ser derivada do rotacional da equação 3.3. Em aplicações de máquinas, a

componente de vorticidade absoluta (ω) ao longo da direção da velocidade relativa (W),

de acordo com a expressão desenvolvida por LAKSHMINARAYANA e HORLOCK

(1973) desprezando os termos de viscosidade para simplificação é dada por:

ω = 2ω> − 2 × ω1 − 1G 11 B f − f B , (4.46)

Onde b e n são as componentes tangenciais e normais respectivamente. Simplificando

mais ao considerar um escoamento incompressível e homogêneo, a vorticidade

secundária é dada por:

51

SY

1 = 2S>1Y − 2 × S ∙ 1 1

Y . (4.47)

Os índices 1 e 2 representam a entrada e saída do escoamento respectivamente. Tendo

em vista esta simplificação, três fontes do escoamento secundário podem ser

reconhecidas:

1- A primeira fonte é a curvatura meridional (a mudança de caminho do

escoamento da direção axial para a radial) na presença de ω;

2- A segunda fonte é a convexidade da pá na presença de ω;

3- A terceira fonte é devida diretamente ao efeito da rotação.

Ainda dentro da discussão da relativa importância da curvatura e da rotação

como influências para o escoamento secundário, estas podem ser previstas e avaliadas

de forma direta e simplificada através do número de Rossby:

>® = ># , (4.48)

Onde W é a velocidade relativa, ω é a rotação e Rn o raio de curvatura da pá.

Este número adimensional, muito utilizado para analisar fenômenos geofísicos, é

uma relação entre as “forças” centrípeta e de Coriolis. Ou seja, um pequeno número de

Rossby revela a predominância do efeito da “força” de Coriolis, enquanto um valor

elevado significa a preponderância das forças de inércia e centrípeta.

MOORE et al (1977) analisando o trabalho de LAKSHMINARAYANA e

HORLOCK (1973) afirmam que a formação do escoamento secundário dependendo da

geometria do impelidor, será governada pela a rotação para pequenos escoamentos, e

pela curvatura para elevados escoamentos. Por exemplo, valores superiores a ¼ do

número de Rossby indicam uma predominância do escoamento secundário no impelidor

pela preponderância do efeito centrípeto no escoamento.

4.3.3 Folgas “Clearance” e vazamentos “Leakage”

Em todos os rotores, existe uma folga entre o rotor e o estator da turbomáquina

aonde ocorre um vazamento. A natureza, a magnitude e a formação da vorticidade por

este vazamento dependem do tipo de máquina, pá, parâmetros do escoamento e do tipo

do fluido.

52

AUNGIER (2001) afirma que a vazão mássica através desta folga não participa

no processo de conversão de energia e depende das dimensões da folga existente. Além

disso, quando os efeitos viscosos estão presentes, a dimensão deste espaço desempenha

um papel importante nas perdas, pois tende a evoluir para um vórtice. A vorticidade

poderá surgir pela formação de jato pelo vazamento através da folga num ângulo

diferente do escoamento principal, conforme representado pela figura 4.10. A interação

entre o vazamento e outros fenômenos do escoamento é um fenômeno complexo. Na

maioria das turbomáquinas, o vazamento tem um efeito mais pronunciado e, portanto,

mais importante que o escoamento secundário na região de borda das pás/rotor.

Figura 4.10 - Escoamento com vazamentos em rotor de máquina radial (BRENNEN,

1994).

A mistura dos fenômenos de convecção, arrasto, vorticidade, difusão e

vazamento apresentam grande tridimensionalidade para o campo de escoamento. E a

influência destes não se restringe à vizinhança da borda de saída do impelidor, mas se

espalha para o seu interior em aproximadamente 10-30% da extensão da borda,

dependendo do tipo de turbomáquina, razão de aspecto e etc. A perda em eficiência

produzida pode variar entre 2% a 4%, ou mais, dependendo da turbomáquina,

(LAKSHMINARAYANA, 1996).

53

CAPÍTULO 5 MÉTODO COMPUTACIONAL

A fluidodinâmica computacional (CFD) transformou-se numa parte integral no

processo de projeto de turbomáquinas sendo uma ferramenta viável para compreender

características físicas complexas dos perfis de escoamento associados aos vários

componentes dos equipamentos, (MOURA, 2007). A Fluidodinâmica Computacional é

a análise de sistemas envolvendo escoamento de fluidos, transferência de calor e

fenômenos associados, tais como, reações químicas e disponível em três distintos

métodos de solução numérica: volumes finitos, elementos finitos e métodos espectrais.

Os seguintes softwares de CFD usam o método de volumes finitos: CFX, FLUENT,

PHOENICS e STAR-CD.

5.1 Ferramenta computacional

No presente trabalho as simulações foram executadas no FLUENT®, um dos

pacotes do programa comercial da empresa ANSYS, Inc. com sede nos EUA e com

grande participação e experiência no mercado de software para Fluidodinâmica

Computacional (CFD).

A ferramenta computacional ANSYS FLUENT® é escrita na linguagem C com

base no método de volumes finitos para modelagem física de fenômenos de escoamento,

turbulência, transferência de calor e reações para aplicações industriais. Algumas

aplicações específicas incluem a capacidade de modelar a combustão dentro de um

cilindro, aeroacústica, turbomáquinas e sistemas polifásicos. A integração da ANSYS

FLUENT® pelo Workbench, interface gráfica, permite dentro do mesmo ambiente o

acesso a vários programas para modificação/criação de geometria, geração de malha,

simulação (solver) e pós-processamento.

O FLUENT possui ainda a flexibilidade de inclusão de novas funções através do

“User-Defined Functions” (UDF´s) conforme a necessidade de modelagem ou a

alteração de modelos/parâmetros já existentes. Esta flexibilidade foi decisiva na escolha

da ferramenta, uma vez que outros programas disponíveis de código fechado, como, por

exemplo, o CFX não dispõe de tal recurso. Além deste recurso, destaca-se ainda da

54

Revisão Bibliográfica a sua adoção como ferramenta de simulação em muitos artigos,

tais como, MONJE et al. (2014) e CLEMENTONI e COX (2014), onde o desempenho

de turbomáquinas, e, em especial, compressores centrífugos obtiveram bons resultados.

O FLUENT permite habilitar através de UDF um banco de dados do REFPROP, onde é

possível obter as propriedades de diversos fluidos incluindo o dióxido de carbono (CO2)

objeto deste trabalho utilizando a equação de Span-Wagner para cálculo das

propriedades. Sem este recurso, a inclusão da equação de Span-Wagner tornar-se-ia

uma tarefa de complexidade que excederia os propósitos desse trabalho.

5.2 Malhas

A geração da malha é uma das etapas mais importante na preparação da

simulação de um componente de turbomáquina, pois ela definirá quais são as principais

regiões de interesse do domínio, (MOURA, 2007). Em particular, regiões próximas às

paredes, na folga da ponta da palheta, no entorno da palheta onde a camada limite

turbulenta é calculada são regiões onde se deve buscar maior refinamento da região.

A malha é a discretização de um domínio geométrico através de formas (células

ou elementos) menores e simplificadas para se aplicar um modelo de solução numérica

das derivadas espaciais e temporais. A malha pode ser composta por diversos formatos

geométricos, entre eles, triangular, tetraédrica, ou elementos prismáticos, piramidais e

hexaédricos conforme figura 5.1:

Figura 5.1 - Figuras geométrica para malhas tridimensionais (ANSYS, 2012).

55

É difícil definir, a priori, o tamanho da malha. A malha necessária depende da

finalidade da simulação. Se o objetivo principal for o cálculo das forças de pressão

estática, uma malha grosseira é capaz de uma boa solução, em particular, quando uma

resolução exata da camada de limite não é necessária. Entretanto, simulações de

escoamentos não viscosos 2D para única pá possui resultados razoáveis com malha de

3.000 células (considerado baixo para outras aplicações), para escoamentos não

viscosos 3D é desejável cerca de 40.000 células, (DENTON e DAWES, 1999). Em

simulações 3D em torno de única pá com uma adequada função de parede, espera-se

uma malha normalmente com cerca de 100.000 células. Uma rápida simulação em 3D

onde não é essencial resolver todos os escoamentos e vórtices também deveria possuir

pelo menos 100.000 células. Entretanto, uma função de parede com malha 3D com

objetivo de resolver os escoamentos secundários deverá possuir em torno de 400.000

células, (DENTON e DAWES, 1999).

Em simulações numéricas de turbomáquinas, malhas hexaédricas estruturadas

em multi-bloco são mais utilizadas quando objeto de estudo é a trajetória do

escoamento. A malha estruturada, figura 5.2, na maioria dos simuladores, requer menos

memória, proporciona precisão superior e permite uma resolução da camada limite

melhor, (FERZIGER e PERIC, 2002). Regiões cujas células possuem uma razão de

aspecto maior, por exemplo, em torno do bordo de fuga, a malha estruturada também

fornece uma melhor resolução. Muitos programas possuem ferramentas de geração de

malha automáticas para seções da pá com malha estruturada para evitar excessiva

inteverção do projetista/usuário.

Figura 5.2 – Exemplo de malha estruturada (a) e não estruturada (b)

(MALALASEKERA e VERSTEEG, 2007).

56

5.3 Métodos Numéricos: Modelos de Volumes Finitos

O FLUENT está baseado no método de volumes finitos, onde o domínio e as

equações de conservação são discretizados em um conjunto de volumes de controles

para formar um sistema equações algébricas. Este sistema de equações algébricas é

resolvido por métodos numéricos através de computador. O programa executa a

simulação a partir dos dados informados, avaliando a cada rodada se o erro de alguma

variável está abaixo do limite máximo imposto. Ele irá finalizar a simulação somente se

o erro de todas as variáveis estiver num nível aceitável definido preliminarmente, se o

número de iterações chegarem ao número máximo de iterações definido ou se for

detectado algum erro ou falha que impeça continuar a simulação, (MOURA, 2007).

Figura 5.3 - Plano discretizado (MALALASEKERA e VERSTEEG, 2007).

O método dos volumes finitos pode ser utilizado para resolver problemas que

tenham pelo menos uma coordenada espacial, isto é, um método desenvolvido

basicamente para resolver problemas de valor de contorno apesar de também ser

utilizada para problemas de valor inicial, (LAGE e PINTO, 1997). A aproximação

discreta de uma equação de conservação pelo método dos volumes finitos tem por

objetivo dividir o domínio de cálculo num certo número de subdomínios, nos quais as

leis físicas de conservação sejam válidas, dentro de certo grau de aproximação.

O Método de Volumes Finitos utilizado nesta dissertação tem como conceito

chave o princípio de conservação de uma grandeza física expressa por equações

governantes num volume de controle, conforme equação 5.1. A discretização em

Volumes Finitos aborda melhor esta ideia, pois trabalha com a forma integral das

equações de conservação sobre os volumes, ao invés de apenas substituir derivadas por

expressões algébricas, como ocorre na discretização por diferenças finitas. Essas

57

expressões algébricas são obtidas seguindo algumas etapas que serão apresentadas

simplificadamente. Iniciando o processo com a integração sobre o volume de controle

da equação de conservação 3.3:

¿ + div¿Ã =s¥s¥ divÄ∇¿ + <¿s¥ s¥ , (5.1)

onde ϕ é propriedade de transporte, Γ o termo difusivo, Sϕ o termo fonte e u vetor

velocidade. Aplicando o teorema de divergência de Gauss nos temos convectivo (2o

termo) e difusivo (3º termo) da equação 5.1 encontramos:

¿¥

+ Æ ∙ ¿Ã I@ = Æ ∙ Γ∇¿I@ + <È¥ , (5.2)

onde a ordem de integração e diferenciação do primeiro termo (transiente) da equação

5.2 foi alterada para ilustrar fisicamente a taxa de variação total de uma propriedade

física do fluido, (MALALASEKERA e VERSTEEG, 2007). Assumindo de forma

aproximada que as integrais da equação 5.2 resultam no somatório do fluxo de cada face

do volume de controle para o segundo e terceiro termos, enquanto as integrais dos

primeiro e quarto termos são aproximados pela variação do volume, ou seja:

¿ ∆ + Z ÉÃÉ¿É ∙ §ÉÊËÌÍÎÏ

É = Z ÄÈ∇¿É ∙ §ÉÊËÌÍÎÏ

É + <È/ , (5.3)

com o subscrito f representando a face do volume de controle. Considerando ainda um

fluxo normal nas faces e utilizando um esquema de diferenciação (que pode ser do tipo

para frente, para trás ou central) para resolução das derivadas, como exemplo, aplicando

apenas no primeiro termo da equação 5.3 encontra-se:

¿g∆g − ¿g∆ ∆ + Z É¿ÉÉIÉÉ:N. = Z ÄÉ∇¿Ð,ÉIÉÉ:N. + <È∆ . (5.4)

É necessário ressaltar que cada derivada da equação 5.3 é resolvida por diferenciação

numérica que utiliza série de Taylor. O tipo de esquema de diferenciação é definido pela

posição relativa entre os pontos escolhidos para cálculo. A ordem do esquema depende

do truncamento da série observando a ordem resultante do termo ∆x, como é

demonstrado:

58

¿ + / = ¿ + ¿Ñ ∆ + '1¿1)Ñ

∆12 +⋯ , (5.5)

ou

¿Ñ = ¿ + / − ¿∆ − '1¿1)Ñ

∆2 + ,f|C . (5.6)

Neste exemplo é obtida uma diferenciação de primeira ordem, quanto maior a ordem

menor o erro incorrido pelo modelo numérico. Em relação às propriedades de

transporte, o seu valor é obtido por interpolação entre os pontos. Tanto a ordem de

diferenciação quanto a interpolação das propriedades possuem influência decisiva na

acurácia do modelo numérico utilizado no problema. Finalmente, após todas as etapas

apresentadas para discretização da equação 3.3 é possível ser construído um sistema de

equações lineares através da equação 5.4, que omitindo o termo transiente, passa ter o

formato:

C¿ +ZC#r¿#r#r = B . (5.7)

Em teoria, quando o número de células computacionais for infinitamente grande,

os resultados numéricos obtidos podem ser iguais aos de uma solução analítica exata

independente do método utilizado para diferenciação. No entanto, o aumento no número

de células impõe um aumento no tamanho do sistema de equações algébricas a ser

resolvido pelo computador e esta elevação não pode superar a capacidade de

processamento de dados do equipamento utilizado na simulação. Esta limitação imposta

influencia na precisão da solução, uma vez que a malha não será suficientemente

refinada. Um método numérico é considerado convergente se a solução das equações

discretizadas tendem para a solução exata da equação diferencial com o espaçamento da

malha tendendo a zero, (FERZIGER e PERIC, 2002).

Os métodos numéricos devem também possuir algumas propriedades para

apresentar uma boa solução, MALALASEKERA e VERSTEEG (2007) citam

principalmente: o principio de conservação e transportividade das propriedades, mas

outras características como consistência, estabilidade, convergência e precisão da

solução também são relevantes. Destaca-se que um resultado numérico é considerado

convergente se a solução do sistema de equações discretizadas tende a solução exata da

59

equação diferencial com o espaçamento da malha tendendo a zero, (FERZIGER e

PERIC, 2002).

Figura 5.4 - Malha sobre impelidor do tipo aberto (MOORE e PALAZZOLO, 2001).

A solução para um problema de escoamento (velocidade, pressão, temperatura,

etc), é definida por nós dentro de cada célula que compõem uma malha. Malhas ideais

são frequentemente não-uniformes, onde é possível refiná-las em áreas onde ocorrem

altos gradientes da variável em observação e mais grosseiras em regiões com pequenos

gradientes, relativamente. FERZIGER e PERIC (2002) tecem algumas considerações

sobre malhas: Caso a geometria seja regular (por exemplo, corpos retangulares ou

circulares), escolher a malha é simples, pois as linhas de malha normalmente seguem as

direções das coordenadas; Entretanto, para geometrias complexas a escolha não é

trivial. A malha está sujeita as restrições impostas pelo método de discretização, por

exemplo, caso o algoritmo esteja projetado para malhas ortogonais curvilíneas, malhas

não-ortogonais não podem ser utilizadas. Caso os volumes de controle sejam

quadriláteros ou hexaédricos, malhas constituídas em triângulos e tetraedros não podem

ser usadas. Portanto, quando a geometria é complexa e as restrições não puderem ser

atendidas ajustes na malha precisam ser executados.

5.4 Modelos de Turbulência

Os modelos de turbulência são fundamentais para garantir que a modelagem em

CFD represente com fidelidade o problema investigado. Sabe-se que as soluções das

equações de Navier-Stokes assumem uma natureza caótica em alto número de

60

Reynolds, tornando-se altamente sensíveis tanto às condições iniciais quanto às de

contorno. Na prática, o efeito desta sensibilidade é verificado nas incertezas das

variáveis do escoamento em qualquer ponto quanto ao tempo e ao espaço. Portanto,

estas variáveis podem ser vistas como aleatórias com função de densidade de

probabilidade associada, permitindo o uso de técnicas estatísticas para a descrição e

análise do escoamento. Entretanto sabe-se que as equações de Navier-Stokes são

determinísticas e esta incerteza entra devido à combinação da natureza não linear das

equações e da impossibilidade prática de descrever completamente e exatamente as

condições de um escoamento real.

Dentro dos inúmeros modelos para apreender a física de um escoamento

turbulento a de maior emprego é das médias de Reynolds (RANS). Os modelos de

turbulência baseados nas equações de RANS são conhecidos como Modelos Estatísticos

de Turbulência devido ao procedimento de média estatística empregado para se obter as

equações de Navier-Stokes (N-S), (MOURA, 2007). Neste procedimento a variável é

decomposta numa soma de dois termos, a saber, o primeiro termo da direita é a sua

média enquanto o termo seguinte trata das flutuações, conforme abaixo:

Ó, = Ó, + íÕÓ, . (5.8)

Nesta etapa do trabalho e sem perda de generalidade a média será temporal como segue:

Ó, = 1- g

g Ó, , -Y ≪ - ≪ -1 , (5.9)

quando comparada à expressão de RANS com a de N-S, verifica-se que existem termos

adicionais, devido à correlação entre as componentes das velocidades flutuantes, −ρØÕÙÕÚÚÚÚÚÚ, denominado tensor de Reynolds. Este termo cria o chamado problema

fundamental da turbulência, (WILCOX, 2006), que para se calcular todas as

propriedades médias do escoamento turbulento é necessário modelos para seu cômputo.

A hipótese de Boussinesq é uma das alternativas usadas para a sua determinação, onde

relaciona a tensão de Reynolds com os gradientes de velocidade média:

−ρØÕÙÕÚÚÚÚÚÚ, = &g %∂∂ + ∂∂* − 236 = 2&g< − 236 , (5.10)

Onde, µt é a viscosidade turbulenta e k a energia cinética turbulenta:

61

6 = 12 Õ1ÚÚÚÚ + AÕ1ÚÚÚÚ + Õ1ÚÚÚÚÚ = 12ØÕÙÕÚÚÚÚÚÚ . (5.11)

Para escoamentos em que os efeitos de compressibilidade são importantes, deve-

se introduzir uma equação para a conservação de energia e uma equação de estado.

Assim como as médias de Reynolds dá origem ao tensor de Reynolds, espera-se que

uma média semelhante conduza a um vetor fluxo de calor turbulento, WILCOX (2006).

Dentro desta abordagem espera-se também que novas correlações relacionadas com a

compressibilidade surjam em todas as equações de movimento. Portanto, além das

flutuações de velocidade e pressão, também se deve levar em consideração as flutuações

de densidade e temperatura.

O problema é ainda mais complexo para a equação de momento em que o tensor

de Reynolds ρuiuj originado a partir da média de tempo aparece na aceleração

convectiva. Claramente, uma correlação tripla envolvendo Õ, Õ, e Õaparece,

aumentando assim a complexidade da criação de aproximações de fechamento

adequadas. O problema de estabelecer uma forma apropriada da equação média de

tempo pode ser simplificado usando o procedimento de cálculo da velocidade média

ponderada pela massa específica sugerida por FAVRE (1965), definida por:

Ü = 1 Þß→á 1- â, â, Ug

g , (5.12)

Ondeãé a media de Reynolds para massa específica. Além disso, pode-se demostrar

que em termos das médias de Reynolds:

Ü = ØÚÚÚÚ . (5.13)

A média de Favre torna-se evidente quando é expandido o lado direito da

equação acima pelo método das médias de Reynolds:

Ü = + ÕØÕÚÚÚÚÚÚ . (5.14)

Verificar-se-á, através da simplificação da equação 5.13, que a equação 5.18,

terá a mesma aparência da equação da conservação da massa. Favre decompõe a

velocidade instantânea tendo um termo para média mássicaÜ para flutuação ÕÕ:

62

= Ü + ÕÕ . (5.15)

E, operando cada lado da equação acima multiplicando por ρ seguido da média

temporal de Reynolds obtém-se:

ØÚÚÚÚÚ = Ü + ØÕÕÚÚÚÚÚ . (5.16)

Mas de acordo com a equação 5.13, conclui-se que:

ØÕÕÚÚÚÚÚ = 0 . (5.17)

Operando de forma semelhante às efetuadas para as médias de Reynolds as

equações de conservação conforme método sugerido por FAVRE (1965) e

demonstradas por WILCOX (2006), encontra-se:

∂∂t + ∂∂ Ü = 0 , (5.18)

Ü + ∂∂ ÜÜ = − $ + ∂∂ U − ÙÕÕØÕÕÚÚÚÚÚÚÚÚÚ , (5.19)

e

% , + ÜÜ2 + ØÕØÕÚÚÚÚÚÚÚ2 * + %Ü ℎå + ÜÜ2 + Ü ØÕØÕÚÚÚÚÚÚÚ2 *= %−8æç − ÙÕÕℎÕÕÚÚÚÚÚÚÚÚÚ + UÙØØÕÕÚÚÚÚÚÚÚ − ÙÕÕ 12ØÕÕØÕÕÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚ*+ »ÜU − ØÕÕÙÕÕÚÚÚÚÚÚÚÚÚ¼

. (5.20)

Onde o prefixo “~” denota a média de Favre com “e” representando a energia interna

específica, “h” a entalpia específica, “τij” o tensor tensão e “qLj” a transmissão de energia

via calor. Deve-se comentar que a média de Favre é apenas uma simplificação

matemática e não possui significado físico. E, a hipótese de Boussinesq continua válida

para este procedimento em escoamentos compressíveis.

Diversos modelos de turbulência utilizam a hipótese de Boussinesq, tais como,

Spalart - Allmaras e de k- ω. A vantagem desta abordagem é o baixo custo

computacional associado ao cálculo da viscosidade turbulenta. No caso do modelo de

Spalart - Allmaras, como será descrito a seguir, apenas uma equação de transporte

63

adicional, que representa a viscosidade turbulenta, é resolvida. No caso do modelo, por

exemplo, k-ε e k- ω, duas equações de trasponte adicionais são resolvidas: Uma para a

energia cinética turbulenta e outra para a taxa de dissipação específica com a

viscosidade turbulenta µt sendo calculada como função de k e de ω para o modelo k- ω.

A hipótese de Boussinesq assume que a viscosidade turbulenta é uma propriedade

isotrópica, mas tal hipótese não modela perfeitamente todos os escoamentos reais (ver

item iv deste tópico).

Apresar disso, os modelos baseados na hipótese de Boussinesq em muitos

problemas possuem um bom desempenho, e o custo do cálculo do modelo de tensões de

Reynolds não se justifica. No entanto, o modelo de tensões de Reynolds é claramente

superior em situações em que a anisotropia da turbulência tem um efeito dominante

sobre a média de escoamento, tal como, escoamentos rotacionais e secundários.

(i) Spalart-Allmaras

O modelo Spalart-Allmaras (1992) envolve uma equação de transporte para o

parâmetro de viscosidade cinemática turbulenta νSa e uma especificação de escala de

comprimento por meio de uma fórmula algébrica fornecendo cálculos econômicos para

a camada limite aerodinâmica. A viscosidade dinâmica turbulenta µt está relacionada

com νSa através da equação 5.21. Outro termo contido nesta equação é a função de

amortecimento de parede èYque tende a unidade para elevados números de Reynolds,

de modo que o parâmetro de viscosidade cinemática turbulenta νSa é apenas igual à

viscosidade turbulenta cinemática éÜ neste caso. Na parede a função de amortecimento

tende para zero. Os termos è1e ê também são funções de amortecimento de parede.

&g = é¢:èY . (5.21)

Essas constantes do modelo somadas a mais três contidas nas funções de parede

foram ajustadas para os escoamentos externos aerodinâmicos e o modelo foi provado

dando bom desempenho em camadas limite com gradientes de pressão adversos, que

são importantes para a previsão de escoamentos com “stall”. A sua adequação a

aplicações com aerofólios permite que o modelo Spalart-Allmaras atraia um número

crescente de adeptos entre a comunidade de turbomáquinas. Maior vantagem deste

modelo em simulações de escoamentos em turbomáquinas está na boa relação custo

64

computacional e acurácia. A equação de Spalart-Allmaras adotando as média de Favre

segundo OLIVER (2009) é:

é¢: + ∂∂ Üé¢:= |rY<¢:é¢: + 1 ∂∂ ¬& + é¢: ∂é¢:∂ + |r1 ∂é¢:∂ ∂é¢:∂ − |êYê é¢: 1

, (5.22)

ou em palavras:

Taxa Temp. do Parâmetro

de Viscosidade

νSa

+ Transporte Convectivo

de νSa =

Transporte de νSa por difusão

Turbulenta

+ Taxa de

Produção de νSa

- Taxa de

Dissipação de νSa

Onde,

<¢: = Ω + é¢:611 è1

Ω = ¹2ΩìΩì

è1 = 1 − í1 + íèY

èY = íGíG + |èYG

í = é¢:éÜ

ê = D' 1 + |êGîDî + |êGî )

D = + |ê1î + = é¢:<:611

(ii) SST k-ω

O ponto de partida para o desenvolvimento do modelo de SST (Shear Stress

Transport) foi a necessidade de previsão acurada de escoamentos aeronáuticos com

fortes gradientes de pressão adverso e separação, (MENTER et al, 2003). O modelo k-ω

é substancialmente mais preciso do que k-ε nas camadas próximas à parede, e, portanto,

tem sido bem sucedido para os escoamentos com gradientes de pressão adversos

moderados, mas falha para escoamentos com pressão de separação induzida. Além

disso, a equação k-ω mostra uma forte sensibilidade para os valores de ω no escoamento

fora da camada limite.

65

A forma encontrada para combinar as vantagens destes dois modelos de duas

equações foi através de uma formulação mista baseada em função de ajustagem que

seleciona automaticamente as zonas de uso de k-ε e de k-ω. Assim, em regiões próximas

as da parede, k-ω é selecionado automaticamente, enquanto que no escoamento livre a

seleção é direcionada para k-ε. Isso é feito através de uma função F1, que assume

valores entre zero e um de forma a selecionar automaticamente um ou outro modelo

conjugando as melhores caracteríticas de cada modelo. OLIVER (2009) ressalta que o

cálculo das tensões de Reynolds e k são as mesmas que no modelo k- ω original de

Wilcox, mas a equação de ε é substituída por ε = kω. O termo ω é a frequência de

turbulenta. Isso resulta em:

6 + ∂∂ Ü6= 2&g<ï − 23 6 ∂Ü∂ − v∗ωk + ∂∂ %& + & ∂k∂*

, (5.23)

S + ∂∂ ÜS= Eég 2&g<ï − 23 6 ∂Ü∂ − βω1

+ ∂∂ %& + ó& ∂ω∂* + 21 − ôYó1 1S ∂k∂ ∙ ∂ω∂ . (5.24)

Onde,

<ï =12 'Ü + Ü) − 13<ï &g = C6CCS,Ωô1 &g = C6CCS,Ωô1

Ω = õ2ΩìΩì ô1 = CfℎCD11

CD1 = C ' 2√60.09ωd , 500éÜ1ω)

= ôY÷Y + 1 − ôY÷1Tendo que d é a distância da parede mais próxima. As constantes Y, 1, óY, ó1, vY, v1, v∗, 6,CY são os parâmetros de calibração do SST e as

constantes &V,-®e< são os parâmetros de calibração na lei de Sutherland, na qual é

sugerida uma função para a viscosidade conforme a equação 5.25 em OLIVER (2009)

66

& = &V '-å-V)ùQ -V − <-å + < . (5.25)

(iii) k-ε

A questão enfrentada no início do desenvolvimento da teoria de turbulência

envolveu a forma de determinar energia cinética turbulenta (k), mas a resposta veio

através do traço do tensor de Reynolds que é proporcional à flutuação de energia

cinética turbulenta por unidade de volume ou, por vezes, somente, energia cinética

turbulenta:

U = −ØÕØÕÚÚÚÚÚÚ = Õ1ÚÚÚÚ + AÕ1ÚÚÚÚ + Õ1ÚÚÚÚÚ = −26 . (5.26)

Fazendo a substituição do tensor de Reynolds pela energia cinética turbulenta na

equação de transporte do tensor de Reynolds obtém-se a equação 5.30 - Detalhes da

transformação da equação de transporte do tensor de Reynolds em transporte da energia

cinética é apresentado por WILCOX (1998). Mas se evidencia no desenvolvimento da

equação de transporte do tensor de Reynolds um termo dissipativo (ε) expresso por:

= é ØÕ ØÕ6ÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚ

. (5.27)

A dissipação é a taxa na qual a energia de turbulência cinética é convertida em

energia térmica interna, ou, igual a taxa média na qual o trabalho é realizado por uma

parte flutuante do tensor deformação contra as tensões viscosas. A equação exata de

transporte da dissipação é por:

2é ØÕÙ Ù 5±Ø7ÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚ = 0 , (5.28)

onde N(ui) é o operador de Navier-Stokes, ou seja, a própria equação de Navier-Stokes.

WILCOX (1998) relaciona através de argumentos dimensionais a dissipação,

viscosidade turbulenta e a escala de comprimento necessário para essa modelagem de

turbulência por dua equações:

& = wú61û . (5.29)

67

Apesar da intensa utilização do modelo k-ω SST para modelagem de turbulência

o modelo k- ε possui larga tradição em seu uso para escoamento em turbomáquinas,

tendo em vista o modelo jato-esteira para previsão de desempenho, JAPIKSE (1985). E,

em escoamentos onde ocorre convecção e difusão com diferenças significativas entre

produção e dissipação de turbulência, tais como, escoamentos com recirculação.

Finalmente, as equações de transporte de ambos os parâmetros podem ser resumidas

por:

6 + ∂∂ Ü6 = 2&g<ï − 23 6 ∂Ü∂ − ϵ+ ∂∂ %& + & ∂k∂* , (5.30)

û + ∂∂ Üû= wû1 û6 2&g<ï − 23 6 ∂Ü∂ − wû2 û26+ ∂∂ %& + & ∂ε∂*

. (5.31)

Onde wþY, wþ1, wú , þe são os parâmetros de calibração:

wþY = 1.44 wþ1 = 1.92 wú = 0.09

= 1.0 þ = 1.3

û = w&S62

Þ = wú6ùQû

A produção e a dissipação da energia cinética turbulenta ficam intimamente

relacionadas em termos proporcionais, ou seja, para uma grande produção ocorre uma

dissipação proporcional. A adoção dessas formas garante que ε aumente rapidamente se

k aumentar rapidamente e que ela diminui suficientemente rápido para evitar valores

negativos, não físicos, de energia cinética turbulenta k. O fator ε/k em termos de

produção e de destruição torna estes termos dimensionalmente correto na equação ε, e,

as constantes C1ε e C2ε permite a correta proporcionalidade entre os termos do k- e ε-

da equação.

(iv) Anisotropia nos modelos de Turbulência

A teoria estatística de turbulência está preocupada com as funções de correlação

do campo vetorial turbulento de velocidade. Uma vez que o campo vetorial de

velocidade são geralmente funções tensoriais do vetor posição e de tempo,

68

(MALALASEKERA e VERSTEEG, 2007). Naturalmente essas funções têm formas

complexas e são difíceis de medir e calcular, consequentemente, desde o seu início, a

teoria estatística da turbulência foi discutida no contexto de um modelo isotrópico e

homogêneo. BIFERALE e PROCACCIA (2005), afirmam que noção de turbulência

isotrópica foi introduzida pela primeira vez em 1935, onde no escoamento turbulento os

valores médios estatísticos de cada função do campo de velocidade e os seus derivados

é invariante na rotação de qualquer dos eixos. Esta simplificação matemática reduz

drasticamente a complexidade da teoria. Portanto, a maior parte do trabalho teórico em

turbulência nos últimos 60 anos foi limitada ao modelo isotrópico.

Experimentalmente, no entanto, sabe-se que o modelo de isotropia para a

turbulência é tido apenas como uma aproximação com grau de justificação variável,

(BIFERALE e PROCACCIA, 2005). Em todos os escoamentos reais sempre existe

alguma anisotropia em todas as escalas, pois as propriedades estatísticas do campo de

velocidades são afetadas pela geometria dos contornos ou pelos mecanismos motrizes,

que são rotacionalmente invariantes. Portanto, uma descrição realista de turbulência não

pode ser puramente isotrópica e deve conter alguns elementos anisotrópicos. No

entanto, uma vez considerada a anisotropia, enfrenta-se o problema do aumento drástico

na complexidade da teoria. O número de variáveis necessárias para descrever as

quantidades estatísticas comuns, tais como, funções de correlação e funções de estrutura

do campo de velocidade elevam-se fortemente.

5.5 Algoritmo para acoplamento Pressão-Velocidade

O desenvolvimento dos métodos de solução para os problemas de convecção-

difusão exige assumir que o campo de velocidade é de alguma forma conhecida. Em

geral, o campo de velocidades, no entanto não é conhecido e emerge como parte da

solução global do processo junto com todas as outras variáveis de escoamento. Nos

escoamentos compressíveis onde a massa específica varia principalmente com a

pressão, a equação de estado pode fazer o fechamento do sistema de equações de

conservação e ainda fornecer o valor da pressão. Surge aqui mais uma questão a ser

abordada nos problemas com resolução por CFD que envolve o acoplamento entre a

pressão e velocidade.

69

Dois algoritmos para o acoplamento pressão-velocidade estão disponíveis no

ANSYS FLUENT: Um modelo segregado (Pressure-Based Solver) através dos

algoritmos SIMPLE, SIMPLER, SIMPLEC e PISO e outro modelo acoplado através

dos algoritmos (Pressure-Based Solver Coupled e Density-Based). Estas duas

abordagens estão representadas nos fluxogramas abaixo junto com a abordagem baseada

na densidade (density-based) e discutida na solução do caso ECKARDT para o caso de

validação com fluido de trabalho Ar:

Figura 5.5 – Fluxograma de algoritmos de acoplamento pressão-velocidade, (ANSYS,

2012).

O algoritmo pressão-velocidade acoplado (Pressure-Based coupled) foi

introduzido em 2006, e seu uso reduz o tempo global de simulação através da resolução

de equações de momento linear e de continuidade simultaneamente embora haja um

relativo aumento nos requisitos de memória associados para a sua utilização. Assim, no

algoritmo acoplado, dois ou três passos no algoritmo de solução segregado são

substituídos por um único passo em que o sistema acoplado de equações é resolvido. As

demais equações são resolvidas de forma dissociadas como no algoritmo segregado.

70

Uma vez que as equações de momento linear e de continuidade são resolvidas de forma

acopladas, a taxa de convergência da solução melhora significativamente quando

comparada com o algoritmo segregado. No entanto, a memória requerida aumenta em

1,5-2 vezes ao pelo algoritmo segregado, pois todas as equações de continuidade e

quantidade de movimento devem ser armazenadas na memória durante a solução para

os campos de velocidade e de pressão em lugar de apenas uma única equação, como é o

caso do algoritmo segregado.

O acoplamento pressão-velocidade (pressure-based) emprega um algoritmo

onde a pressão é derivada da continuidade e das equações de quantidade de movimento,

de tal forma, que o campo de velocidade, corrigido pela pressão, satisfaz a continuidade.

Uma vez que comportamento das equações governantes é não linear e acoplado uns aos

outros, o processo de solução envolve iterações em que todo o conjunto de equações

que governam o escoamento é resolvido repetidamente até a convergência da solução.

Este acoplamento permite, como será visto no capítulo de simulações do caso impelidor

CO2, a estabilidade e convergência das simulações.

Finalmente, comenta-se ainda que para análise de escoamento compressível, é

necessário resolver não só a continuidade e equação de conservação de quantidade de

movimento, mas também a equação de conservação de energia e uma equação de

estado. A equação de estado relaciona massa específica, temperatura e pressão. A

equação da energia para escoamentos incompressíveis importa a convecção e condução

de calor, (FERZIGER e PERIC, 2002). Enquanto, nos escoamentos compressíveis, a

dissipação viscosa (termos K∆2 e ρΦ da equação abaixo) pode ser uma fonte de calor

significativa e a conversão da energia interna em energia cinética (vice-versa), por meio

de dilatação do escoamento também importante, ou seja, todos os termos desta equação

3.4 devem ser mantidos, conforme expressa no capítulo 3.

5.6 Verificação e Validação (V&V)

A Validação e Verificação (V&V) é o objetivo final da atividade de engenharia e

de interesse científico, são definidas como processos para determinar o grau em que um

modelo é uma representação precisa do mundo real a partir da perspectiva das

utilizações previstas de um modelo, ASME V&V (2009). No entanto, a validação deve

ser precedida de um código de verificação e de uma verificação da solução. O código de

71

verificação estabelece a precisão do modelo matemático incorporado, ou seja, se o

código é livre de erros para as simulações de interesse. A verificação da solução estima

a precisão numérica de um cálculo específico.

A atividade de fluidodinâmica computacional (CFD) é uma área da engenharia

que incorpora a metodologia descrita de V&V. Neste trabalho de CFD, a avaliação do

escoamento de CO2 no interior do impelidor passou antes pela validação do modelo

numérico utilizado para a reprodução do experimento de ECKARDT (1980) com o

fluido de trabalho ar, aonde foi possível verificar o erro obtido na simulação (δmodelo e

δnumérico) em comparação com os dados experimentais. Neste processo de validação,

representado pela figura 5.6, o resultado da simulação computacional do impelidor

operando nas condições originais (fluido de trabalho ar) é comparado para os seguintes

parâmetros: razão de compressão, eficiência isentrópica e vazão mássica.

A preocupação de V & V é avaliar a precisão de uma simulação computacional

seguindo a lógica abaixo:

Figura 5.6 – Fluxograma para Validação e Verificação (ASME V&V, 2009).

72

CAPÍTULO 6 RESULTADOS

Após a breve exposição sobre a importância da verificação e validação (V&V)

para um problema com modelagem numérica, apresenta-se o experimento conduzido

por ECKARDT na década de oitenta para rotores de compressores centrífugos. Os

mapas de desempenho destes rotores, assim como a investigação dos efeitos locais têm

sido amplamente utilizados ao longo dos anos para testar a precisão e a robustez dos

códigos CFD para turbomáquinas. Atualmente, existem inúmeras iniciativas com o

propósito específico de desenvolver impelidores para operação com CO2, como

publicado por MONJE et al (2014), KIM et al (2014) e RINALDI et al (2014).

6.1 Simulação CFD do Impelidor Eckardt (Caso Ar)

O estudo realizado por ECKARDT (1980) para um impelidor de compressor

centrífugo, conhecido como o rotor Eckardt, está inserido numa série de três artigos

publicados entre as décadas de setenta e oitenta, onde foram discutidas as experiências

em dois impelidores com 20 pás cada para um compressor centrífugo, conhecidos como

Rotor O e Rotor A. O Rotor A, utilizado neste trabalho para simulação computacional,

possui 20 pás e a linha média principal possui forma elíptica (em seções cilíndricas). A

curvatura para trás das pás começa no R/R2 = 0,8 e termina na saída de pá com um

ângulo de recuo de 300. O compressor opera com velocidade de 14.000 RPM e a vazão

mássica de projeto é 4,54 kg/s. A pressão total de entrada é de 101,3 kPa e a

temperatura total é 288,1 K, (CHOI e KANG, 1999).

É necessário ainda esclarecer que o artigo de CHOI e KANG (1999) possui

relevância no procedimento de validação deste capítulo. Estes autores compilaram e

publicaram os resultados levantados por ECKARDT (1980) no ponto próximo à saída

do impelidor, ou seja, a sua avaliação considera apenas o impelidor; Enquanto o artigo

original de Eckardt apresenta o perfil da razão de pressão estática e o perfil de eficiência

isentrópico medidos ao longo da largura do difusor. CHOI e KANG (1999) tiraram um

valor médio espacial desses valores para criar os gráficos de desempenho logo após a

73

saída do impelidor, com isso, permite a avalição do compressor sem utilizar o difusor

(órgão que não é objeto deste trabalho).

Figura 6.1 - Corte transversal de impelidor Eckardt CHOI e KANG (1999).

6.1.1 Procedimento de Simulação

Na modelagem do impelidor as superfícies da parede do compressor (shroud) e

do difusor foram tratadas como estacionárias de revolução, uma única estrutura rotativa

foi empregada em todo o domínio de escoamento, permitindo, assim, a utilização de

processos de modelagem do estado estacionário. O mesmo fluido de trabalho foi

utilizado (ar), e, este modelado como um gás ideal. Após revisão bibliográfica, foi

decidido que o escoamento turbulento seria modelado através dos modelos de k-ε RNG

e k-ω SST. O simulador (solver) foi baseado no algoritmo do tipo density-based e

implícito para o cálculo de escoamento uma vez que um número de Mach subsônico era

esperado na passagem da pá (especialmente perto do bordo de fuga).

Foi adotada a metodologia de resolução de density-based, onde a equação de

continuidade é usada para obter o campo de massa específica, enquanto o campo de

pressão é determinado a partir da equação de estado. Portanto, as equações que regem a

continuidade, o momento linear, e, se necessário, a energia são resolvidas ao mesmo

tempo (isto é, acoplados). As equações não lineares discretizadas são linearizadas para

produzir um sistema de equações para as variáveis dependentes em cada célula

computacional, conforme visto no capítulo 5. A maneira pela qual as equações

governantes são linearizadas pode ter a forma "implícita" ou "explícita" em relação à

74

variável dependente (ou conjunto de variáveis) de interesse. No caso da implícita,

adotada nesta simulação, para uma dada variável, o valor desconhecido em cada célula é

calculado usando uma relação que inclui ambos os valores existentes e desconhecidos

de células vizinhas. Portanto cada variável desconhecida aparece em mais do que uma

equação no sistema, e estas equações podem ser resolvidas simultaneamente para dar as

quantidades desconhecidas.

O problema do impelidor operando com fluido Ar foi modelado como

escoamento permanente com tratamento pseudo-transiente. Da literatura existente,

MALALASEKERA e VERSTEEG (2007) observa uma similaridade entre os modelos

matemáticos de uma equação sub-relaxada em regime permanente e a uma equação em

regime transiente da conservação de quantidade de movimento. Esta similaridade

permite que os cálculos de um escoamento em regime permanente serem interpretados

como soluções “transientes” com passos de tempo variando espacialmente. A

abordagem pseudo-transiente é útil para situações em que as equações governantes dão

origem a problemas de estabilidade sem que se recorra ao modelo transiente reduzindo

assim esforço computacional.

6.1.2 Malha

Utilizando o programa disponível no pacote ANSYS para refino de malha,

utilizou-se a função sizing em determinadas arestas da geometria. Essa função permite

que o usuário varie o número de elementos ou o tamanho de cada elemento usado nas

arestas selecionadas. Assim, optou-se pela primeira opção, já que aumentar o número de

elementos por aresta torna a malha mais refinada. Foram utilizadas duas funções sizing.

A primeira era referente às 12 arestas que compõem a entrada e a saída do impelidor.

Ressaltar-se que, para a malha de 500 mil elementos, utilizou-se um fator de

crescimento (bias factor) de valor 8,5. Esse parâmetro regula a taxa de crescimento

entre os elementos que compõem a malha no canal. Ele foi utilizado para manter mais

densamente povoado de elementos a região do canal mais próxima à entrada do

impelido e nas bordas da pá. Ressalta-se ainda que houve a tentativa de utilizar um fator

de crescimento dos elementos para a malha de 700 mil, porém isso comprometia a

qualidade da malha. A qualidade malha gerada e refinada considerou os seguintes

critérios recomendados pelo próprio desenvolvedor do programa:

75

Tabela 6.1 - Qualidade de malha pela ortogonalidade – Adaptado ANSYS.

Ortogonalidade Excelente Muito bom Bom Aceitável Ruim Inaceitável 0 - 0,001 0,001 - 0,14 0,15 - 0,20 0,20 - 0,69 0,70 -0,95 0,95 - 1,00

Tabela 6.2 - Qualidade de malha pela deformação máxima dos elementos – Adaptado

ANSYS.

Deformação Excelente Muito bom Bom Aceitável Ruim Inaceitável 0 - 0,25 0,25 - 0,50 0,50 - 0,80 0,80 - 0,94 0,95 - 0,97 0,98 - 1,00

Dentre as malhas testadas (242.546, 501.499 e 701.874 elementos) a

ortogonalidade esteve abaixo de 0,21 (considerado bom) e a deformação abaixo de 0,92

(considerado aceitável). Nos testes de malhas os resultados mais consistentes e estáveis

quando comparados com os artigos de ECKARDT (1980) e CHOI e KANG (1999)

foram obtidos com malhas tetraédricas, tendo sido adotada essa malha. Buscando

reduzir o esforço computacional, principalmente, para as simulações dos pontos de

operação para o caso de CO2, o rotor foi particionado pelo número de pás (20) através

das condições de periodicidade por seção (canal) e de contorno com a pressão total na

entrada e a vazão mássica imposta na saída, conforme figura 6.2:

Figura 6.2 - Canal de impelidor com superfícies de contorno.

76

Em semelhança ao trabalho de MOURA (2007) e considerando a complexidade

da geometria do impelidor foi definida uma topologia do tipo H-J-C-L-Grid, que é a

mais recomendada para não haver diferenças significativas das malhas de uma região a

outra. Além disso, foi também incluído O-Grid para a região do impelidor para facilitar

o refinamento da malha ao redor da pá que é uma região com elevados os gradientes de

velocidade.

Figura 6.3 - Seção completa de impelidor com malha 701.874 elementos.

Neste estudo é assumido que a independência de malha é alcançada quando a

diferença entre os valores calculados e obtidos dos artigos de EKARDT (1980) e CHOI

e KANG (1999) da razão de pressão e a eficiência politrópica fossem inferiores a 5%,

conforme simulações executadas no ponto de projeto (14.000 RPM e vazão de 4,54

kg/s):

Tabela 6.3 - Resultados de simulações de refinamento de Malha.

Malha Vazão (kg/s) rpm Tubulência r c ɳk 242.546 4,54 14000 k-ω (SST) 1,954 94,79 242.546 4,54 14000 k-ε (RNG) 1,950 95,40 501.499 4,54 14000 k-ε (RNG) 1,955 95,20 501.499 4,54 14000 k-ω (SST) 1,952 95,73 701.874 4,54 14000 k-ε (RNG) 1,955 95,18 701.874 4,54 14000 k-ω (SST) 1,951 95,70

77

Observando os resultados acima e antecipando os desafios que deveriam ser

enfrentados no escoamento de CO2 quanto ao esforço computacional foi decidido por

prosseguir com as simulações de escoamento com a malha de 242.456 elementos.

6.1.3 Resultados da Simulação de Impelidor com Ar

Comparando os resultados obtidos na simulação com os artigos de CHOI e

KANG (1999) que compilaram e publicaram os resultados levantados por ECKARDT

(1980):

Tabela 6.4 – Simulações de impelidor Eckardt para caso Ar e rotação de 14.000 RPM.

Vazão (kg/s)

r c (Choi e Kang)

r c (SST)

r c (k-e RNG)

ηk (Choi e Kang)

ηk (SST)

ηk

(k-e RNG) 3,63 2,010 2,008 1,997 92,50 94,30 94,90 4,54 1,960 1,954 1,950 93,00 94,79 95,40 5,45 1,880 1,852 1,850 90,50 91,40 91,83 6,36 1,650 1,660 1,632 83,00 85,03 86,44

Verifica-se que o erro entre a razão de pressão apresentado entre no artigo de

Choi e Kang e o simulado no trabalho foi inferior à 2% para o modelo k-ε RNG (pior

caso).

Figura 6.4: Curvas de razão de pressão simuladas.

Curva de Operação Eckardt (14000 RPM)

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2

2,1

2 4 6 8

Vazão mássica (kg/s)

Raz

ão d

e P

ress

ões

(P2/

P1)

Choi & Kang

SST

k-e (RNG)

78

É possível notar que existe uma diferença superior aos valores da eficiência

isentrópica de 4% para o modelo k-ε RNG (pior caso). Isto é explicado pela geometria

do impelidor que foi construída sem folga entre o shroud (ou a parede do compressor) e

a ponta externa da pá (ou impelidor), pois essa informação não estava disponível no

artigo de Eckardt. Resultando numa eficiência isentrópica ligeiramente superior à

obtida na bancada experimental. Outro aspecto a ser destacado ao analisar as

eficiências, a diferença entre os valores obtidos por Choi e Kang e os simulados (SST e

k-ε RNG) quando comparados aos valores publicados por Eckardt é explicada devido à

região onde está sendo calculada, pois a região objeto deste estudo encontra-se próxima

à saída do impelidor. Eckardt obtém a eficiência ao longo do difusor em região que

sofre influência do fenômeno de jato-esteira com impacto neste parâmetro. E, por esta

razão os dados publicados no artigo original não foram compilados na apresentação

neste trabalho.

Figura 6.5 - Curvas de eficiência isentrópica simuladas.

Apresentam-se ainda os resultados de alguns parâmetros ao longo do impelidor

obtidos por este trabalho, tabela 6-6, para cada parâmetro na simulação do caso de

projeto com vazão de 4,54 kg/s e rotação de 14000 RPM e os desvios percentuais

quando comparado com o apresentado por MOURA (2007), tabela 6-7:

Curva de Eficiência Eckardt (14000 RPM)

82

84

86

88

90

92

94

96

2 4 6 8


Eff

. Ise

ntró

pica

(%

)

Choi & Kang

SST

k-e (RNG)

79

Tabela 6.5 – Parâmetros ao longo do impelidor com modelo de turbulência SST.

Parâmetro Entrada Bordo de Ataque Bordo de Fuga Saída

Pressão Total (bar) 1,013 1,015 1,969 1,954

Temperatura Total (oC) 15,00 15,75 78,41 78,82

Entalpia total (kJ/kg) -9,99 -9,04 53,776 53,873

Entropia (J/kg.K) -36,374 -34,009 -25,430 -21,430

Mach absoluto 0,224 0,264 0,685 0,599

Mach relativo 0,517 0,519 0,367 0,463

U (m/s) 154,40 155,32 292,67 331,32

Cm (m/s) 75,78 83,05 92,45 76,34

Cu (m/s) -0,11 -8,12 -213,38 -189,85

C 76,11 88,58 236,74 207,86

Wu (m/s) 154,29 147,20 79,29 141,47

W (m/s) 172,82 170,56 127,07 164,79

Tabela 6.6 – Comparativos de parâmetros aos resultados de MOURA (2007).


Pressão Total (∆%) 0,00% 0,20% 0,30% 0,46%

Temperatura Total (∆%) 0,00% 0,94% 0,87% 0,73%

Entalpia total (∆%) 0,50% 1,53% 1,00% 1,31%

Entropia (∆%) 6,25% 6,20% 6,48% 0,96%

Mach absoluto (∆%) 0,45% 0,76% 0,29% 2,04%

Mach relativo (∆%) 1,57% 1,37% 1,10% 4,51%

U (∆%) 0,03% 0,23% 0,00% 0,00%

Cm (∆%) 0,25% 0,87% 2,93% 0,12%

Cu (∆%) 15,38% 6,13% 4,70% 3,73%

C (∆%) 0,65% 0,27% 3,63% 2,34%

Wu (∆%) 0,02% 0,60% 15,28% 5,50%

W (∆%) 0,17% 0,63% 6,72% 6,02%

80

Estes resultados são produtos de relatório gerado no pós-processamento através

da fermenta computacional CFX que ainda permitm demonstrar um pouco da

similaridade entre os resultados. De acordo com os resultados obtidos nas simulações o

k-ω SST foi adotado como modelo de turbulência para o pós-processamento.

6.1.4 Pós- Processamento de resultados

Após a convergência das simulações, os dados foram tratados no CFD-POST do

CFX e no próprio FLUENT que permitem processar os resultados da simulação e

levantar os diversos perfis de velocidade, pressão, número de Mach ou qualquer outra

variável que se queira conhecer os resultados em diferentes planos ou em visualização

3D. Ressalta-se ainda que o CFD-POST possui mais recursos mais sofisticados de

processamento de imagens aos do FLUENT.

O CFD-POST é customizado para as simulações de turbomáquinas. Por conta

disso, ele cria automaticamente diversos gráficos normalmente usados para a avaliação

de uma simulação de uma turbomáquina além de compilar numa tabela os dados de

desempenho (trabalho, head, razão de pressão, razão de temperatura, eficiência), os

principais números adimensionais como número de Mach, ou, outros parâmetros,

velocidades total e pressão estática daquele elemento ou conjunto de elementos

simulados. Destaca-se, entretanto que foram encontradas dificuldades na interface entre

o FLUENT e o CFD-POST, pois existem diferenças entre a denominação dos diversos

parâmetros criados e lido por cada programa, resultando em diversas oportunidades de

conflito que limitou o uso em toda a sua potencialidade dessa ferramenta de pós-

processamento e que será abordada devidamente adiante.

Considerando os resultados discutidos na seção 6.1.3 e mantendo a metodologia

utilizada por MAURO (2007) para a apresentação dos resultados: Nesta seção serão

mostrados os gráficos obtidos na simulação do compressor de ECKARDT usando o

modelo SST no ponto de projeto da máquina (vazão mássica de 4,54 kg/s e rotação de

14000 RPM e modelo de turbulência SST).

(i) Pressão e Temperatura

A figura 6.6 mostra o valor médio da pressão no plano meridional ponderada

pela massa. Note que as isobáricas são perpendiculares à curvatura do plano meridional

81

devido à viscosidade e à mudança de direção do fluxo axial para radial, tal fato, cria um

gradiente de pressão do cubo (hub) para o shroud. Ainda na mesma figura, observa-se

que o valor médio de pressão é inferior na entrada pelo “vácuo” criado na sução do

equipamento consequência do aumento de velocidade do gás admitido, enquanto na

saída do impelidor a queda justifica-se pelos efeitos discutidos no capítulo 4 por

consequência da rotação e curvatura da pá.

Figura 6.6 - Valor médio da pressão no plano meridional.

A pá possui duas regiões importantes: o bordo de ataque na extremidade para

admissão do gás e que possui neste problema a rotação da direita para a esquerda; E o

bordo de fuga que fica na extremidade de descarga do gás e que possui rotação da

esquerda para a direita. Observando as figuras 6.7 e 6.8 cada região da pá possui um

lado de menor pressão denominado “lado de sucção” e o de maior “lado de pressão”.

Observando ainda as mesmas, distinguem-se com facilidade o lado de sucção nos

bordos de ataque e de fuga e o lado de pressão estando na posição oposta da pá com

valor da pressão superior. Destaca-se ainda que o máximo valor de pressão no bordo de

fuga não ocorre na parede da pá, mas em região vizinha a esta devido à formação de

esteira na região próxima da descarga. Todos os resultados estão coerentes com a teoria.

82

Figura 6.7 - Perfil da pressão no bordo de ataque.

Figura 6.8 - Perfil da pressão no bordo de fuga.

83

Este diferencial de pressão existente em cada lado pá cria um carregamento

importante para o projeto do mecânico da pá. Em função deste esforço é possível e

talvez necessário modificar o projeto aerodinâmico da pá. Na figura 6.9 é mostrado o

resultado CFD-POST para 50% da altura da pá.

Figura 6.9 - Carregamento da pá na altura de 50% de altura

(ii) Número de Mach Absoluto e Relativo

Verifica-se também que o número de Mach tanto o relativo quanto o absoluto

pelas figuras 6.10 e 6.11 ficaram abaixo de 1 ao longo de todo impelidor, mostrando

que não existirá problema de bloqueio e que o ponto de projeto está longe de ocorrer

choque, que esta “folga” poderá diminuir à medida que este parâmetro adimensional

aumenta. O número de Mach relativo, isto é, obtido a partir da velocidade relativa, tem

o valor na entrada de 0,517, mas sofre um decréscimo ao longo da pá devido à variação

do ângulo da pá. E, ao final, este valor eleva-se é até 0,463 em consequência do

acréscimo de energia cinética do gás pelo impelidor. CUMPSTY (1989) recomenda

que a razão entre o Mach médio na saída (0,599) e o Mach relativo na entrada (0,517)

deve ficar entre 1,15 e 1,4. Recorrendo à tabela 6-5, obtém-se 1,16.

84

Figura 6.10 - Perfil do número de Mach ao longo da pá.

Figura 6.11 - Perfil do número de Mach relativo ao longo da pá.

É possível ainda inferir outro aspecto relevante no projeto deste impelidor de

posse dos valores de Mach, a relação entre as velocidades relativas na saída e na entrada

no shroud (W2/W1s). CAME e ROBINSON (1999) e CUMPSTY (1989) recomendam

85

para este critério de projeto os valores entre 0,45 e 0,6. Este parâmetro possui relação

com a difusão relativa no impelidor e o ângulo da velocidade absoluta na saída do

impelidor através da largura na saída do impelidor. O desequilíbrio nos processos

difusivos podem causar uma queda de eficiência através da separação da camada limite

e aumento das perdas por atrito e por turbilhonamento (mixing losses) na saída do

impelidor, (ROMUALDO, 2011). Nesta simulação foi obtido o valor de 0,69, ou seja,

15% acima do recomendável. Este aspecto se refletirá numa zona de instabilidade na

saída do impelidor conforme será visto com as figuras das linhas de correntes.

(iii) Ângulos α & β e Velocidade Absoluta

ROMUALDO (2011) discorre sobre a importância dos ângulos α e β no

desempenho do compressor (Figura 3.2) para o torque, head, potência etc. Sabe-se que

o ângulo β é fixado a partir do momento em que se define o projeto mecânico do

impelidor, enquanto o ângulo α é função das características operacionais do compressor,

tais como, rotação, vazão, etc. Portanto, uma variação de rotação no compressor,

concorre com uma variação do ângulo α, e, por consequência, altera o triângulo de

velocidades.

Figura 6.12 - Ângulos α & β no bordo de ataque ao longo da pá.

86

Figura 6.13 - Gráfico correlacionando as perdas com α2 (MOURA, 2007).

A figura 6.12 mostra a variação dos ângulos α (45º e 60 º) e β (20º e 45º) com as

médias em torno de 60 º para α e 30º para β. Aproveitando a análise apresentada por

MOURA (2007) e conforme CAME e ROBINSON (1999), esse ângulo deve se situar

entre 69º e 73º para minimizar as perdas por turbilhonamento (mixing losses).

Calculando o ângulo α através dos valores informados pela tabela 6-5 e de

acordo com estes autores para o calculo desse parâmetro, obtém-se um valor

ligeiramente inferior ao 69o, mas ainda na região descendente da curva da figura 6.13

com maiores valores para as perdas por turbilhonamento.

Tendo em vistas os resultados acima é possível visualizar e analisar as linhas de

correntes ao longo do impelidor. O CFD-POST gera os vetores tangentes de velocidade

para 20, 50 e 80% da altura normalizada da pá, mostrados nas figuras 6.15, 6.16 e 6.17.

Apresentam-se a linhas de correntes sem as setas que definiriam o sentido, mas que por

falha de interface (FLUENT – CFD-POST CFX) não foi possível de gerar, mas

informa-se que sentido do escoamento é da esquerda para direita com o formato das

linhas (mais ou menos retas) representado um crescente na formação de regiões de

estagnação e recirculação.

87

Figura 6.14 - Linhas de corrente para 20% da altura normalizada da pá.


88


Observa-se ainda das figuras 6.15, 6.16 e 6.17, conforme esperado, o valor da

velocidade foi maior no bordo de ataque e no bordo de fuga (na região do cubo). Além

disso, à medida que vai aumentando a altura da pá percebe-se que pontos de baixa

velocidade com o ápice sendo atingido na região de 80% da altura normalizada da pá.

Na região próxima da carcaça do compressor (shroud) ocorrem os vórtices e

esteiras comportamento do escoamento identificado no trabalho de Eckard através da

estrutura jato-esteira, que leva a diminuição da área de passagem do gás. Esse fenômeno

é conhecido como separação jato-esteira com as maiores perdas a serem representadas

na figura 6.18 da entropia.

Finaliza-se com a visualização, figura 6.17, tridimensional das linhas de corrente

ao longo da pá representando o comportamento do fluido de trabalho. E, mais uma vez,

tem-se a oportunidade de se observar o comportamento do escoamento, principalmente,

na saída da pá com zona de instabilidade no fluxo.

89

Figura 6.17 - Perspectiva tridimensional das linhas de corrente ao longo da pá.

(iv) Perdas (Entropia)

A partir de gráfico gerado no FLUENT em sua secção de pós-processamento,

confirma-se a geração de entropia ao longo do impelidor, particularmente, na figura

6.18 temos representados a pá com a entrada e saída do impelidor. Considerando-se

toda a discussão apresentada em termos de perdas num processo de compressão real

nota-se a evolução crescente de entropia, ou em números, na entrada (sucção) -36,37

J/kg.K e na saída (descarga) -21,43 J/kg.K.

Integrando com o resultado apresentado para as linhas de correntes, onde os

fenômenos que influência as perdas (esteiras, vórtices, recirculações internas e etc)

demonstram-se mais significativos ao longo do impelidor nas posições de 80% da altura

normalizada da pá. Além disso, pode-se visualizar que existe uma perda concentrada ao

longo da parede, tanto no lado de sucção quanto no de pressão. Esse resultado é devido

ao atrito do gás na parede: A figura 6.18 apresenta ainda que a maior perda ocorre na

região próxima ao shroud (representada aqui na aresta inferior da pá).

90

Figura 6.18 – Variação da entropia na entrada, saída e ao longo da pá do

impelidor.

6.2 Simulação CFD de Impelidor Eckardt (Caso CO2)

Nesta seção do capítulo se propõe fazer algumas investigações para se avaliar a

influência no compressor quando se substitui o fluido de trabalho: O mesmo impelidor

Eckardt utilizado nas simulações anteriores com novas condições operacionais.

O uso de ferramenta computacional tipo CFD permitirá nova análise do

impelidor mesmo que não haja validação experimental para a nova condição

operacional. Esta atividade está amparada na validação das simulações, apresentadas na

seção anterior, contra os resultados apresentados por CHOI e KANG (1999) e MOURA

(2007). Além disso, a identificação dos pontos similares fora empreendida para definir a

nova rotação que permite equivalência entre os pontos simulados para operação com ar

e os novos com CO2.

91

6.2.1 Definição dos Pontos de Operação do Impelidor

Inicialmente, o objetivo foi explorar as particularidades das simulações em três

regiões distintas no diagrama temperatura e entropia (T-S) do dióxido de carbono: caso

1 na região subcrítica (14,81 atm e 20 oC), caso 2 na região próxima à crítica (70 atm e

30 oC) e caso 3 na região supercrítica (250 atm e 50 oC) respectivamente. Destes três

casos foi decido pelo primeiro, pois os testes executados próximo ao ponto crítico (caso

2) divergiram sistematicamente apesar do uso da equação de estado de Span-Wagner.

Ressaltando mais uma vez que as propriedades de fluidos perto do ponto crítico exibem

fortes variações estas variações tornam desafiadora a simulação nesta região conforme

apresentado no capítulo 3 que discutiu o comportamento das propriedades de CO2.

Figura 6.19 – Caso de avaliação no diagrama temperatura-entropia do CO2.

Diante do comportamento adverso das propriedades do ponto de vista da

modelagem e método numérico de resolução, diversos autores procuraram fazer suas

avaliações na região supercrítica evitando essa zona de transição, por exemplo, os

trabalhos publicados por SEONG et al (2014) e BALTADJIEV et al (2014). Nesta

região (caso 3) algumas simulações foram executadas, mas com resultados pouco

relevantes do ponto de vista dos fenômenos que buscavam ser evidenciados e do longo

92

tempo de processamento requerido (em média duas semanas por ponto). Uma

interessante avaliação na região acima da crítica seria avaliar a possibilidade de

condensação e sua modelagem talvez com modelo bifásico.

(i) Similaridade de pontos

Após identificação da região de interesse para a simulação no diagrama de

temperatura e entropia (T-S) do dióxido de carbono: caso 1. Foi necessário identificar a

rotação para manutenção da similaridade entre os pontos de operação do impelidor com

ar e com CO2 conforme procedimento discutido no capítulo sobre compressor

centrífugo e apresentado na tabela 6-7.

Apesar de larga aplicação da análise adimensional (similaridade) em teste de

máquinas, por exemplo, ROBERT et al (2005) observa que a correspondência dos

parâmetros adimensionais em determinado compressor utilizando dois fluidos de

trabalho diferentes não resultará necessariamente na mesma razão de pressão e

eficiência, apesar de não quantificar o efeito e, implicitamente, supor que ele é pequeno.

Uma vez que, por exemplo, são toleradas diferenças (pequenas) dos números de

Reynolds e de Mach, entre os casos avaliados. WHITFIELD e BAINES (1990)

orientam que para o número de Reynolds, considerando o seu alto valor no interior da

máquina em operação, qualquer impacto na sua variação é mitigado. Concentrando,

portanto maior atenção às variações no número de Mach.

A norma ASME PTC 10 utilizada para teste de desempenho fornece método

aproximado para predizer a velocidade em que o compressor deve ser acionado para

produzir a mesma relação de pressão com gás diferente. O método pode ser modificado

para prever aproximadamente a razão de pressão que resultaria utilizando um do fluido

de trabalho substituto na mesma rotação.

Tabela 6.7 – Similaridade entre pontos no impelidor Eckardt para Ar e CO2.

Caso Fluido Rotação (RPM)

Vazão (kg/s) Fluido

Rotação (RPM)

Vazão (kg/s)

1 Ar 14000 3,630 CO2 10089 29,340

2 Ar 14000 4,540 CO2 10103 36,660

3 Ar 14000 5,450 CO2 10078 44,000

4 Ar 14000 6,360 CO2 10062 55,000

93

Dos valores informados na tabela 6-7, foi utilizada a rotação de 10.083 RPM

obtida pela média aritmética dos pontos considerados a pequena variação (4% máxima)

entre as rotações de cada ponto e a melhor visualização do mapa operacional ao final

deste trabalho justificou esta decisão. Ressalta-se ainda que estes valores são válidos

para as seguintes condições de CO2: pressão na sucção de 14,81 atm e 20oC.

(ii) Ocorrência de condensação de CO2

Na escolha dos casos operacionais, outro aspecto ainda considerado na decisão

das condições de entrada do compressor foi evitar a possibilidade de coincidir pela

proximidade com o ponto crítico das condições de saturação nas regiões de passagem

no impelidor devido ao processo de aceleração local.

A saturação manifestará um processo de condensação que é aerodinamicamente

e mecanicamente indesejável devido ao aumento das perdas de pressão e desgaste

acelerado dos componentes rotativos, por analogia, semelhante ao bombeamento com

cavitação. Assim, para determinadas condições dadas na entrada do compressor, é

possível identificar o local de ocorrência da condensação, (MONJE et al, 2014).

As figuras 6.20 e 6.21 apresentam os resultados gráficos de uma simulação com

vazão acima do caso 4 da tabela 6-7 (próximo do choke), aonde é possível observar na

borda de ataque a pá uma região de aceleração local evidenciado pelo número de Mach

máximo (1,14) e conforme esperado na figura 6.20 observação a queda apreciável de

pressão correspondente (8,11 atm). Apesar da queda na pressão, é possível ainda operar

sem a possibilidade de formação de condensado, pois observando ainda a temperatura

(não representada graficamente, mas assumindo o valor de -5,00oC) na mesma região de

aceleração fica fora da linha de saturação. Portanto, este ponto permite que se façam as

simulações sem que seja necessário o uso, por exemplo, de modelos de escoamento

bifásicos.

Três tipos de mecanismos de perda estão associados à condensação em

turbomáquinas, a saber, perdas devido ao atrito entre as gotículas de líquido e a fase

gasosa, perda por quebra ou desgaste do equipamento resultante dos impactos das

gotículas com as pás em movimento e perda que ocorre durante a formação da fase

líquida sob condições de não equilíbrio. As regiões de baixa pressão propícias para a

condensação estão localizadas, principalmente, no bordo de ataque e no bordo de fuga

do impelidor conforme figura 6.22. A formação de condensado no bordo de fuga pode

94

ainda influenciar o estado de escoamento na admissão do difusor podendo criar novas

regiões de condensação dentro do compressor, (ZHAO et al (2014).

Figura 6.20 – Número de Mach relativo na região do bordo de ataque com o shroud.

Figura 6.21 – Pressão estática na região do bordo de ataque com o shroud.

95

O problema da condensação em turbomáquinas é conhecido para turbinas a

vapor, onde quantidade significativa do fluxo sofre uma mudança de fase à medida que

expande através dos estágios da turbina, (BALTADJIEV, 2014). No entanto, tal evento,

é raro em compressores, pois o processo de compressão ocorre usualmente fora da

região de mudança de fases. Apesar disso as condições de condensação podem ser

alcançadas devido à aceleração local do fluxo próximo do bordo de ataque do impulsor:

Nesta região a pressão estática e a temperatura do fluido decrescem.

(iii) Teste preliminar em difusor

Diferentemente do observado nas simulações com fluido de trabalho ar, a

simulação do impelidor em operação com fluido de trabalho CO2 demonstrou um

caráter significativamente transiente manifestado através do monitoramento das

variáveis pressão e vazão. Tendo em vista este comportamento transiente do

escoamento de CO2 no impelidor nas condições propostas por este trabalho (item i de

similaridade de pontos), foram investigadas as mesmas condições de escoamento

(pressão e temperatura de sução, vazão mássica e composição) num equipamento de

geometria mais simples (difusor). A simulação de escoamento de CO2 através de difusor

teve como objetivo fornecer informações básicas, principalmente qualitativas, que

poderiam ser usadas para auxiliar na definição ou validação dos pontos de operação do

impelidor em conjunto com o procedimento de definição dos pontos de similaridade de

operação, item i desta seção.

O projeto de turbomáquina, particularmente compressor, operando em condição

ainda não conhecida incluindo com o dióxido de carbono supercrítico busca

simplificações que possam auxiliar na compreensão do escoamento, e que exibam

diferenças no que diz respeito a uma condição convencional (por exemplo, com o fluido

de trabalho ar). Esta simplificação foi possível na análise dos fenômenos físicos que

ocorrem ao longo de um escoamento num difusor, principalmente pela ausência de

rotação, quando comparado com a complexa dinâmica de escoamento num impelidor de

compressor centrífugo, (MONJE, et al, 2013).

a) Modelagem físico-matemática do difusor

Sabe-se que o processo de difusão está relacionado com a capacidade de

converter energia cinética em entalpia com vistas para o acréscimo de pressão estática

96

através da redução da velocidade de escoamento. Esse acrécimo de pressão estática cria

um gradiente de pressão positivo que se opõe ao fluxo; Resultado numa desaceleração e

rápido crescimento da camada limite, ou seja, condição propícia para a sua separação

das paredes do difusor e formação de grandes vórtices instáveis com significativa

assimetria e instabilidade do fluxo de saída no difusor. Essa separação nas paredes é

chamada de stall e possui forte influência na degradação no desempenho do

equipamento para elevação de pressão. O fenônemo de stall no difusor é função das

condições de entrada e de saída do difusor, do número de Reynold e de Mach do

escoamento e da geometria difusor (geralmente o fator mais relevante).

Da teoria da camada limite obtém-se o sistema de equações após processo de

adimensionalização das equações de conservação:

+ A = 0 , (6.1)

+ A = −1 $ + é 11 , (6.2)

e

$ = 0 . (6.3)

É importante observar do sistema de equações que a pressão é a mesma que da

região de escoamento potencial. Portanto, o valor do gradiente de pressão na

extremidade da camada limite pode ser obtido da equação de Euller para escoamento

externo à camada limite:

−1 $ = . . (6.4)

Com Ue sendo a velocidade na região de escoamento potencial. Ressalta-se que as

condições utilizadas para obtenção das equações da camada limite não serem aplicáveis

na zona de separação estas equações, estas permitem descrever o fenômeno até a

vizinhança de ocorrência do ponto de separação. Logo, como é observado na operação

do difusor, a velocidade do escoamento é desacelerada (Ue<0) o gradiente de pressão

torna-se desfavorável e a espessura da camada limite cresce até a possibilidade de

descolamento (ver figura abaixo):

97

Figura 6.22 – Perfil de camada limite ao longo perfil aerodinâmico KUNDU e

COHEN (2004)

A conversão de energia está baseada geralmente em mudança de geometria

(dutos ou área entre pás de equipamento dinâmico), conforme é possível se apreender

das equações da continuidade e da conservação de energia para escoamento

incompressível e com transferência de energia via de trabalho e calor nulos (W e Q

iguais à zero):

ZA

+ZA

= 0 (6.5)

e

Zm h + V12 + gZ

+Zm h + V12 + gZ

= 0 . (6.6)

Apesar disso, o processo difusivo também pode ocorrer sem mudança de

geometria, tal como, ocorre no escoamento sobre um aerofólio. Apesar da aplicação de

difusores na indústria, são poucas as referências de sua operação com CO2, tal como o

impelidor de compressor.

A figura 6.24 ilustra os possíveis regimes nos quais um difusor pode operar

considerando os seguintes parâmetros para a antecipação do comportamento do

escoamento:

2u = 2 tan\Y √I> − 1 1ætz . (6.7)

com

98

I> = +1+g1 . (6.7.1)

Figura 6.23 – Regiões de operação de difusor MONJE (2014).

Tendo o difusor o seguinte formato geométrico:

Figura 6.24 – Geometria padrão de difusor cônico, MONJE et al (2013).

Onde Dth é o diâmetro na garganta do difusor, L o comprimento do trecho cônico, Dout o

diâmetro na saída e 2Ө ângulo de divergência. Os valores destes parâmetros

adimensionais possuem valores que levam a mesma região de operação da figura 6.27 e

semelhantes aos do impelidor quando foram definidos a operação do difusor para AR

igual à 4 e L/Dth igual à 14.

Ressalta-se que a região inferior à linha AA possui pequeno stall “no apreciable

stall” no escoamento, que conforme a figura é alcançada para moderados ângulos de

99

divergência e comprimentos não dimensionais, ou seja, a razão do comprimento (L)

pelo diâmetro (Dth). O escoamento nesta região do gráfico segue os contornos do

difusor com a possibilidade de se identificar pequenas regiões de separação de

comportamento errático localizadas geralmente na extremidade do equipamento com

pouca ou nenhuma reversão no fluxo, (BLEVINS, 2003).

Figura 6.25 – Escoamento com stall no difusor, (BLEVINS, 2003).

Aumentando o ângulo de divergência do difusor, para um dado comprimento

adimensional (L/Dth), uma segunda região de transição pode ser observada até a linha

BB na qual é caracterizado um fluxo bidimensional completamente separado em suas

paredes. O escomaneto passa a ser aleatório com forte oscilação de pressão e vazão,

além de apresentar regiões de estagnação com fluxo reverso.

Figura 6.26 – Escoamento com stall transiente no difusor, (BLEVINS, 2003).

b) Simulação computacional

• Malha e modelagem

Na simulação do escoamento de CO2 no difusor foram criadas malhas com

10.000 e 50.000 elementos. No difusor utilizou metodologia similar ao empregado no

impelidor Eckardt para o caso ar, ou seja, aplicação de função sizing (no total três). A

100

primeira função foi aplicada na parede e na seção de simetria, a segunda função, na

entrada e a terceira, na saída. Além disso, na segunda e terceira funções aplicou-se um

fator de crescimento (bia fator) para captura da camada limite. Na figura abaixo se

observa a malha com apenas parte da geometria aproveitando a simetria para redução de

esforço computacional:

Figura 6.27 – Exemplo de malha aplicada ao difusor, (MONJE, 2013).

Conforme representado, as simulações foram beneficiadas pela geometria com

simetria axial para redução do custo computacional. E, devido à simplicidade da

geometria uma malha estruturada de elemento quadrático foi selecionada.

O modelo físico de escoamento foi construído com o modelo de turbulência

semelhante ao utilizado para a simulção do impelidor do compressor k-ω SST e as

equaçãos de estado de Peng-Robinson e Span-Wagner. As propriedades do CO2 foram

semelhantes às utilizadas no impelidor, a saber, 14,81 atm e 200C na entrada do difusor

excessão necessaria para garantir a estabilidade e convergência da simulação foi definir

a condição de contorno do tipo pressão de entrada e pressão de saída (pressure-inlet &

pressure-outlet).

A condição de contorno de pressão na entrada e vazão mássica (pressure-inlet &

mass-inlet), utilizada nas simulações do impelidor, não obteve convergência em

nenhum caso testado. Considerando a pressão de descarga obtida nas simulações

preliminares do impelidor com o fluido de trabalho CO2 foi imposto o mesmo delta de

pressão (∆P) em 1,6 atm na descarga do difusor. O algoritmo de acoplamento pressão-

velocidade COUPLED pelo desempenho (convergência e estabilidade) demontrado nas

simulações preliminares do impelidor com CO2.

Deferindo da modelagem de escoamento permanente utilizada na simulação do

impelidor Eckardt operando com Ar como fluido de trabalho, foi necessário utilizar a

modelagem transiente pela presença de forte instabilidade no escoamento e identificada

de forma prévia pela teoria (stall transitório, figura 6.27) com passo de tempo de 10-4

(parâmetro definido pelo inverso da rotação - RPM - do impelidor) antecipando

procedimento necessário na simulação do impelidor com CO2 como fluido de trabalho.

101

• Resultados para o difusor operando com CO2

Os casos simulados no difusor foram selecionados pelas suas marcantes

características transientes no impelidores, tais como, os casos de menor vazão 29,34

kg/s e 36,66 kg/s definidos por similaridades de como os pontos de operação de menor

vazão para a rotação de 14000 RPM do artigo de validação deste trabalho 3,63 kg/s e

4,54 kg/s respectivamente. Utilizando a ferramenta de pós-processamento do FLUENT,

os gráficos apresentam resultados pós-processados para o caso com vazão de CO2 em

36,66 kg/s, ou seja, por similaridade, o equivalente à de 4,54 kg/s com ar.

O perfil de escoamento no difusor está de acordo com as condições de operação

impostas e coerente com a teoria apresentada, representada pela figura 6.27, ou seja, um

comportamento transiente e pulsante pode ser visto no perfil de velocidades sobre as

paredes do difusor conforme visto nas figuras 6.29, 6.30 e 6.31.

Figura 6.28 – Perfil de velocidade absoluta no difusor em operação com CO2.

Nota-se, uma importante zona de separação no difusor representada pela região

em azul com redução na velocidade absoluta (~25 m/s). Aproximando-se da descarga

do gás, figuras 6.30 e 6.31, observam-se com destaque a recirculação e estrangulamento

do escoamento na região próxima à parede do difusor com o regime de grande stall

transitório. Regime diferente do desejado para uma adequada operação do equipamento

102

com escoamento plenamente desenvolvido, pois a região de instabilidade está afetando

a sua região central (na linha central de simetria da geometria construída) onde o

escoamento deveria estar plenamente desenvolvido.

Figura 6.29 – Destaque na saída dos vetores de velocidade absoluta do difusor em

operação com CO2.

Na figura 6.31 destaca-se ainda mais a região de saída do difusor, onde há

retorno de fluxo próximo à sua parede. Na figura 6.32 observamos uma abrupta queda

do número de Mach absoluto e, conforme destacado e esperado, na figura 6.33 processo

com geração de entropia exatamente na região de formação de stall com formação de

esteireira com separação da camada limite.

A figura 6.29 permite ainda visualizar que o escoamento é estrangulado para a

região central do difusor com reduzida área útil de operação com forte desaceleração do

escoamento.

103

Figura 6.30 – Vetores de velocidade absoluta do difusor em operação com CO2.

Estas imagens servem para uma previsão qualitativa do desempenho do

impelidor conforme será visto no item 6.2.2 “Resultados da Simulação de Impelidor

com CO2”, ou seja, forte instabilidade na operação do compressor neste ponto de

operação. Esta instabilidade, figura 6.31, é explicada pela zona de recirculação que

estrangula o escoamento e a separação da camada limite na saída do difusor explica o

comportamento transiente de operação no ponto escolhido para simulação do

desempenho do compressor e indesejável para o compressor pela perda de eficiência e

pressão que provoca.

Comenta-se ainda que foram testados alguns pontos (pressão, temperatura e

vazão) acima do ponto crítico para avaliação escoamento de CO2, por exemplo, 250 atm

e 77 oC, mas sem alcançar convergência ou resultados relevantes para apresentação

tanto para as equações de estado de Peng-Robinson, quanto para equação de Span-

Wagner mesmo utilizando a condição de contorno pressão na entrada-pressão na saída

que é recomendada pelo fabricante do programa para se obter uma simulação mais

estável.

104

Figura 6.31 – Perfil de número de Mach no difusor em operação com CO2.

Figura 6.32 – Perfil de entropia no difusor em operação com CO2.

105

6.2.2 Resultados da Simulação de Impelidor com CO2

Prosseguindo nesta etapa do trabalho com as análises iniciadas na seção anterior

de avaliação de desempenho de impelidor em operação com Ar e aproveitando o caso

disponível na literatura para verificação e validação de simulação computacional;

Analisa-se a influência no desempenho de um impelidor quando substituído o gás de

trabalho. No capítulo de introdução já fora mencionada esta prática de tratamento

modular pelos fabricantes de compressores, ou seja, procedimento que utiliza projetos

pré-definidos e interdependentes dos componentes de um compressor com famílias de

impelidores e difusores associados a famílias de carcaças para uma ampla gama de

condições operacionais incluindo operação com diferentes tipos de fluidos,

(BALTADJIEV, 2012).

(i) Procedimento de Simulação

Este trabalho aproveita a geometria criada por MOURA (2007) para reproduzir o

experimento de ECKADT (1980). MOURA (2007) usou o programa de código fechado

ANSYS CFX para efetuar as simulações em 3D do impelidor projetado pelo método

unidimensional para a melhoria do projeto unidimensional com profunda investigação

para determinação de quais condições de contorno aplicar para a simulação de um

impelidor de um compressor centrífugo. A condição de contorno do tipo pressão na

entrada e vazão mássica na saída (pressure-inlet & mass-inlet) foi aplicada seguindo

essas análises efetuadas. Deve-se informar ainda que a condição pressão na entrada e

pressão na saida fora também aplicada na simulação do fluido de trabalho Ar, mas que

no caso do CO2 não apresentou estabiliade com persistente divergência nas simulações.

O algoritmo pressão-velocidade acoplado (Pressure-Based coupled) utilizado

resolve as equações de momentum e de continuidade simultaneamente embora haja um

relativo aumento nos requisitos de memória associados para a sua utilização. Este

acoplamento permitiu que as simulações do caso impelidor CO2 fossem estáveis e

obtivessem convergência. Foram utilizados métodos de discretização de segunda ordem

para elevar a precisão das simulações para ambas as equações de estado.

O modelo físico de escoamento foi construído com os modelos de turbulência k-

ε RNG com tratamento de parede (enhanced wall treatment) para compensar o pouco

refinamento de malha executado e k-ω SST. As equaçãos de estado utilizadas foram

106

equações as de Peng-Robinson e Span-Wagner. Deferindo da modelagem de

escoamento permanente utilizada na simulação do impelidor Eckardt operando com Ar

como fluido de trabalho, foi necessário utilizar a modelagem transiente pela presença de

forte instabilidade no escoamento e identificada com passo de tempo de 10-4 (parâmetro

definido pelo inverso da rotação em RPM do impelidor).

(ii) Malha

Em semelhança ao trabalho de MOURA (2007) e tendo a complexidade da

geometria do impelidor foi mantida a topologia do tipo H-J-C-L-Grid, que é a mais

recomendada para não haver diferenças significativas das malhas de uma região a outra.

Além disso, foi ainda mantido O-Grid para a região do impelidor para facilitar o

refinamento da malha ao redor da pá, região com elevados os gradientes de velocidade.

Utilizando o mesmo programa de malha disponível no pacote ANSYS para

refino de malha, utilizou-se ainda a função sizing em determinadas arestas da geometria

incluindo a pá. Para a simulação com CO2 foram testadas duas malhas com a equação

de estado Peng-Robinson, menos custosa computacionalmente, chamadas malha 1

(108.000 elementos) e malha 2 (242.546 elementos). Utilizou-se um fator de

crescimento (bias factor) de valor 4,0 para malha 2. A qualidade malha gerada e

refinada considerou os seguintes critérios recomendados pelo próprio desenvolvedor do

programa:

Tabela 6.8 – Qualidade de malha pela ortogonalidade máxima dos elementos –

Adaptado ANSYS.

Ortogonalidade Excelente Muito bom Bom Aceitável Ruim Inaceitável 0 - 0,001 0,001 - 0,14 0,15 - 0,20 0,20 - 0,69 0,70 -0,95 0,95 - 1,00

Tabela 6.9 – Qualidade de malha pela deformação máxima dos elementos – Adaptado

ANSYS.

Deformação Excelente Muito bom Bom Aceitável Ruim Inaceitável 0 - 0,25 0,25 - 0,50 0,50 - 0,80 0,80 - 0,94 0,95 - 0,97 0,98 - 1,00

107

Dentre as malhas testadas com 108.000 e 242.546 elementos a ortogonalidade

esteve abaixo de 0,45 (considerado aceitável) e a deformação abaixo de 0,94

(considerado aceitável). Nos testes de malhas os resultados mais consistentes e estáveis

quando comparados com os artigos de ECKARDT (1980) e CHOI e KANG (1999)

foram obtidos com malhas tetraédricas. Neste estudo ainda foi assumido que a

independência de malha é alcançada quando a diferença entre os valores calculados ça e

simulados possuem diferença de até 5%, tal como, obtidos dos artigos de EKARDT

(1980) e CHOI e KANG (1999) da razão de pressão. Abaixo as simulações executadas

no ponto de projeto 36,66 kg/s:

Tabela 6.10 – Teste de malhas no impelidor Eckardt para CO2.

Malha 1 Malha 2 Turbulência Vazão (kg/s) r c r c |%|

k-ε RNG 29,34 1,87 1,84 1,7% k-ω (SST) 29,34 1,89 1,85 2,1% k-ε RNG 36,66 1,83 1,82 0,5% k-ω (SST) 36,66 1,84 1,83 0,4% k-ε RNG 44,00 1,80 1,79 0,6% k-ω (SST) 44,00 1,79 1,81 1,1% k-ε RNG 51,34 1,76 1,76 0,2% k-ω (SST) 51,34 1,76 1,77 0,5%

Observando os resultados acima, ressaltam-se os desafios pelo número de pontos

a serem testados na simulação com a equação de estado de Span-Wagner em termos de

custo computacional. Agravado pelo reduzido passo de tempo de 10-4 que contribui

significativamente nos longos períodos de simulação. Portanto, foi decidido prosseguir

com as simulações de escoamento com a malha de 242.456 elementos apesar ter sido

evidenciado na revisão bibliográfica trabalhos com até 2.000.000 elementos, mas estes

trabalhos não são suficientemente claros quanto ao âmbito de aplicação da malha: todo

o impelidor ou somente uma seção deste, como utilizado neste trabalho. Destaca-se

ainda que uma das premissas da similaridade entre pontos é considerar que a eficiência

seja mantida, mesmo que desvios ocorram, portanto nenhum tratamento foi dado para

este parâmetro.

(iii) Resultados da Simulação CFD

108

Na figura 4.1 do mapa operacional do compressor ECKARDT (1980) é possível

obter através de análise de similaridade a pressões de descarga desse compressor

operando com CO2, mesmo procedimento permitido pela norma de testes de

compressores ASME PTC 10. Seguindo este procedimento, foram identificadas as

pressões de descarga e de posse desta informação foi possível fazer uma análise dos

modelos de turbulência para definir o modelo mais apropriado para análise deste

escoamento conforme tabelas 6-11 e 6-11, onde se observa na coluna mapa os valores

obtidos pela metodologia de similaridade, enquanto a demais colunas são obtidas por

CFD com Peng-Robinson e Sapn-Wagner.

Tabela 6.11 – Teste de modelos de turbulência com equação de estado Peng-Robinson.

Mapa k-ε RNG k-ω SST

Pd Pd |%| Pd |%|

27,33 28,32 3,60% 27,97 2,3% 26,99 27,70 2,64% 27,18 0,7% 26,16 26,99 3,18% 26,49 1,3% 24,62 26,20 6,43% 26,08 5,9%

Tabela 6.12 – Teste de modelos de turbulência com equação de estado Span-Wagner.

Mapa k-ε RNG k-ω SST

Pd Pd |%| Pd |%|

27,33 28,27 3,4% 28,14 3,0% 26,99 27,98 3,7% 27,40 1,5% 26,16 27,19 3,9% 26,89 2,8% 24,62 26,15 6,2% 26,12 6,1%

De posse dos desvios percentuais, o modelo SST comprova sua eficácia para

escoamentos que sofrem forte anisotropia em superfícies com mudança de direção,

como ocorre no escoamento no interior do impelidor (MOURA, 2007). Enfatizando

ainda a sua eficácia em escoamento de característica transiente.

Interessante notar que apesar do SST oferecer bons resultados, tanto este quanto

o modelo de turbulência k-ε RNG apresentaram desempenho ruim nos pontos de

operação próximo ao choke (desvio em torno de 6,1%) quando a separação da camada

109

limite torna-se mais significativa. Outro aspecto interessante a destacar, uma vez que a

atividade de refinamento de malha não ter sido esgotada para o escoamento de CO2,

seria mais indicado o uso do modelo de turbulência k-ε com função de parede para

captar a maior taxa de crescimento da camada limite quando comparada com o ar,

segundo MONJE et al (2014). Mas, observando as tabelas 6-11 e 6-12 pode-se verificar

que a recomendação não proporcionou um resultado mais significativo.

Figura 6.33 – Curvas de razão de pressão simuladas para CO2 no impelidor.

É possível notar que a equação de Span-Wagner com o modelo de turbulência

SST possui o melhor desempenho quando comparada com a curva de similaridade. Não

obstante, um desvio acentuado nos pontos de máxima vazão (próximo ao choke) é ainda

percebido e será discutido no item de pós-processamento dos resultados, aonde será

possível visualizar de forma mais adequada o comportamento do gás no interior do

impelidor. O elevado do número de Mach absoluto na saída (próximo de 0,9) mostra

ainda que poderá existir problema de entupimento (choke) e queda acentuada da

eficiência com impacto na razão de pressão e restrição no intervalo de operação do

compressor. O intuito é visualizar os fenômenos que influenciam no desempenho do

compressor em seu impelidor, tais como, jato-esteira com recirculação interna.

Curva de Operação Eckardt CO 2 (10082 RPM)

1,700

1,750

1,800

1,850

1,900

25 30 35 40 45 50 55


Raz

ão d

e pr

essõ

es (

P2/

P1)

Peng-Robinson SST

Peng-Robinson RNG

Span-Wagner SST

Span-Wagner RNG

Similaridade

110

Fazendo uma comparação entre as figuras 6.4 e 6.34, apesar de sutil pelo uso da

base mássica da vazão, é possível ainda evidenciar através da figura 6.35 que a elevação

das pressões na entrada, o aumento do peso molecular e o fator de compressibilidade do

gás restringem o intervalo de operação desta máquina em conjunto com o número de

Mach discutido de forma breve no parágrafo acima, (SOROKES, 2011).

Figura 6.34 – Intervalos de operação pela variação nas condições de operação .

A curva de operação com Peng-Robinson com modelo de turbulência SST

também demonstrou desempenho interessante, demonstrando que na região de

subcrítica pode ser utilizada com benefício de menor custo computacional. Enquanto a

equação de Span-Wagner pode ser utilizada com foco em avaliação na região crítica e

acima deste caso haja limitação de processamento computacional.

Apresentam-se ainda os resultados de alguns parâmetros ao longo do impelidor

obtidos por este trabalho para cada parâmetro na simulação do caso de projeto com a

equação de estado de Span-Wagner com vazão de 36,66 kg/s e rotação de 10083 RPM

equivalente ao ponto de projeto do impelidor para Ar (4,54 kg/s e 14000 RPM):

Curvas de Operação Eckardt

1,50

1,70

1,90

2,10

0,05 0,10 0,15 0,20

Coeficiente de vazão

Raz

aõ d

e P

ress

ão (P

2/P1)

Eckardt Ar GasIdeal SST

Eckadt CO2 Span-Wagner SST

111

Tabela 6.13 – Parâmetros ao longo do impelidor para o CO2.


Pressão Total (bar) 15,07 15,13 29,38 27,70

Temperatura Total (oC) 296,37 314,15 353,02 343,59

Entalpia total (kJ/kg) 482,06 507,10 534,37 525,02

Entropia (kJ/kg.K) 2,17 2,18 2,24 2,33

Mach absoluto 0,184 0,216 0,564 0,610

Mach relativo 0,517 0,520 0,369 0,325

U (m/s) 110,96 111,52 210,73 238,19

Cm (m/s) 31,89 40,07 30,27 23,67

Cu (m/s) -22,62 -53,82 -176,77 -153,23

C 52,14 81,69 189,22 156,65

Wu (m/s) 88,34 57,70 33,96 84,96

W (m/s) 95,96 78,34 44,36 88,22

Comparando-se os números de Mach entre o simulado na operação com Ar

(tabela 6-5) e com CO2 (tabela 6-13) para o caso de projeto foi observado um desvio

pequeno no número de Mach relativo menor que 2%, mas com forte desvio nos saída

(42%) devido à aproximação da condição de choke da máquina conforme figura 6.35 e a

consequente instabilidade de operação nesse ponto.

Os resultados acima discutidos são produtos de relatório gerado no pós-

processamento através da ferramenta computacional CFX e no FLUENT.

(iv) Pós- Processamento de resultados

Após a convergência das simulações, os dados foram tratados no CFD-POST do

CFX e no próprio FLUENT que permitem processar os resultados da simulação e

levantar os diversos perfis de velocidade, pressão, número de Mach ou qualquer outra

variável que se queira conhecer os resultados em diferentes planos ou em visualização

3D. Ressalta-se ainda que o CFD-POST possui mais recursos que o FLUENT.

112

O CFD-POST é customizado para as simulações de turbomáquinas. Por conta

disso, ele cria automaticamente diversos gráficos normalmente usados para a avaliação

de uma simulação de uma turbomáquina além de compilar numa tabela os dados de

desempenho (trabalho, head, razão de pressão, razão de temperatura, eficiência), os

principais números adimensionais como número de Mach, ou, outros parâmetros,

velocidades total e pressão estática daquele elemento ou conjunto de elementos

simulados.

Considerando os resultados discutidos no item 6.1 e a metodologia adotada para

a apresentação dos resultados: Nesta seção serão mostrados os gráficos obtidos na

simulação CO2 no compressor de ECKARDT usando a equação de San-Wagner e o

modelo SST no ponto de projeto da máquina (vazão mássica de 36,66 kg/s e rotação de

10.082 RPM). Deve-se ressaltar que no difusor foi identificado uma significativa zona

de separação e esteira na saída do difusor neste ponto tido como operacional para o

impelidor. Este comportamento também é esperado neste ponto operacional do

compressor.

a) Pressão e Temperatura:

Pode ser observado nas figuras 6.36 e 6.37 o lado de sucção nos bordos de

ataque e de fuga e o lado de pressão estando na posição oposta da pá com o valor da

pressão sendo nitidamente maior ao de lado de sucção. Esses resultados estão em

conformidade com a teoria e compatíveis com a direção da rotação.

Os lados de maior pressão possuem picos maiores aos observados no caso

apresentado pelas figuras 6.7 e 6.8. Este pico possui relação direta com a nova condição

de operação de maior pressão, apesar das relações de pressões serem relativamente

próximas em média de ± 5% para as novas condições de operação.

Este pico de pressão quando analisado em conjunto figura 6.35, onde foi

evidenciado que a operação do impelidor com gás de maior peso molecular e número de

Mach pode proporcionar uma redução no intervalo de operação, podem trazer sérios

riscos à integridade do equipamento pela proximidade e possibilidade do equipamento

operar na região de choke.

113

Figura 6.35 – Perfil da pressão no bordo de ataque para CO2 no impelidor.

Figura 6.36 – Perfil da pressão no bordo de fuga para CO2 no impelidor.

114

SOROKES et al (2006), discutem sobre o fenômeno de choke e da operação em

tempo prolongado nesta região, ou seja, possíveis falha envolvendo fraturas no

impelidor. Esta falha é resultado das forças dinâmicas causadas pela combinação de

incidência no bordo de ataque e uma distribuição de pressão não uniforme.

Este diferencial de pressão cria um carregamento importante e que por

consequência das novas pressões eleva mais o carregamento da pá a ser considerado em

seu projeto mecânico. Recomenda-se análise por fluidodinâmica computacional (CFD)

e análise de elementos finitos (FEA) para fornecer uma imagem mais clara das forças

impostas ao impelidor operando fora de seu intervalo de projeto original. Na figura

6.38 é mostrado o resultado CFD-POST para 50% da altura da pá. Este valor ficou 46%

maior ao observado na figura 6.9

Figura 6.37 – Carregamento da pá na altura de 50%.

b) Número de Mach Absoluto e Relativo:

As figuras 6.39 a 6.40 mostrando o efeito das linhas de corrente da velocidade

consistentes com o esperado, pois mostram a existência de esteiras que se tornam

115

maiores na parte mais alta da pá do impelidor, perto do shroud. É nessa região que

passa a ocorrer o fenômeno de separação jato-esteira que contribui bastante para a

queda de eficiência do impelidor.

Esse resultado também é consistente com o maior número de Mach na saída.

Devido à ocorrência de ao forte estrangulamento que existe a passagem do fluido

devido à formação de esteiras (figuras 6.41, 6,42 e 6.43), pois o fluido tende a acelerar

nessa região, aumentando o número de Mach. Todo projeto de impelidor procura

diminuir as esteiras que se formam nessa região, mas a mudança na condição de projeto

implicou num valor de Mach acima do verificado no caso original.

Verifica-se também que o número de Mach absoluto ficou abaixo 0,9, mas o

número de Mach relativo na borda de ataque ficou próximo de 1,01: Alguns fabricantes

limitam a capacidade de sobrecarga da pá com base em valores calculados para número

de Mach relativo na entrada. Tipicamente, o limite é calculado para o número de Mach

em 1,0. No entanto, conservadoramente, alguns fabricantes definem o limite de

sobrecarga em 0,96 ou inferior. Ressalta-se a análise sugerida de fluido-estrutura para

previsão de falhas deste impelidor operando na nova condição de pressão, vazão e tipo

de gás, SOROKES et al (2006).

O número de Mach relativo tem o valor na entrada de 0,396, mas sofre um

decréscimo ao longo da pá devido a variação do ângulo da pá. E, ao final, este valor

elevado até 0,328 em consequência da elevação da velocidade pelo acréscimo de

energia cinética do gás pelo impelidor. CUMPSTY (1989) recomenda que a razão entre

o Mach médio na saída (0,592) e o Mach relativo na entrada (0,395) deve ficar entre

1,15 e 1,4. Recorrendo à tabela 6.13, obtém-se 1,49 acima do recomentado.

Na avaliação da relação entre as velocidades relativas na saída e na entrada no

shroud (W2/W1s) foi obtido o valor de 0,8 através da relação entre os números de Mach

relativos na saída e na entrada do shoroud e acima do recomendado por CAME e

ROBINSON (1999) e CUMPSTY (1989), ou seja, entre 0,45 e 0,6. Este valor está

coerente com o observado nas linhas de correntes nas figuras 6.44 e 6.45, uma vez que

um forte turbilhonamento e separação da camada limite estão presente na saída do

impelidor.

116

Figura 6.38 – Perfil do número de Mach ao longo da pá para CO2 no impelidor.

Figura 6.39 – Perfil do número de Mach relativo ao longo da pá para CO2 no impelidor.

117

c) Ângulos α & β e Velocidade Absoluta

O gráfico 6.41 mostra a variação dos ângulos α (-10º e 0º) e β (20º e 45º) com as

médias em torno de 70 º para α e 35º para β. Importante verificar o forte desvio na

entrada e saída da pá mensurado pelo o ângulo α formado entre as componentes da

velocidade absoluta (V) e tangencial (U). Em relação ao ângulo na entrada, é possível

também verificar que há uma defasagem entre o ângulo do gás na entrada e o ângulo da

pá em rotação que ocasiona perdas por incidência, conforme indicado na figura 6.46 no

tópico sore entropia. Além disso, na saída o forte desfio apresentado no gráfico é

justificado pelo turbilhonamento e recirculação do gás neste região figura 6.43.

CAME e ROBINSON (1999) recomendam que o ângulo α deva se situar entre

69º e 73º para minimizar as perdas por turbilhonamento (mixing losses). Foi verificado

um valor médio de 70o ao longo da pá, mas nas suas extremidades a curva possui perfil

ascendente e descendente respectivamente que por consequência excedem este intervalo

recomendado, conforme já discutido, pela incidência na entrada e turbilhonamento na

saída.

Figura 6.40 – Ângulos α & β no bordo de ataque ao longo da pá.

118

Tendo em vistas os resultados acima é possível visualizar e analisar a linha de

corrente da velocidade ao longo do impelidor. O CFD-POST gera os vetores dessa

velocidade para 20, 50 e 80% da altura normalizada da pá, mostrados nas figuras 6.42 a

6.44. Aqui se apresentam a linhas de correntes sem as setas que definiriam o vetor, mas

que por falha de interface (FLUENT – CFD-POST CFX), a exemplo das simulações

executadas com o ar, não foi possível de gerar, mas informa-se que a direção do fluxo é

da esquerda para direita.

Figura 6.41 – Linhas de corrente para 20% da altura da pá para CO2.

Observa-se dos gráficos 6.42, 6.43 e 6,44, e, conforme esperado, o valor da

velocidade foi maior no bordo de ataque. Diferentemente ao observado no caso

simulado com ar, nota-se uma região de desaceleração do gás já na região próxima ao

cubo (hub), aonde não se espera que ocorra forte influência da zona de separação e

esteira. O alto valor do número de Mach mostrado indica que poderá existir problema

de entupimento e que o ponto de projeto está próximo do choke. Esta desvantagem

evidencia de forma prática o observado na figura 6.34 da reduzida faixa de operação em

que o compressor está submetido.

119



120

Na altura de 80% (figura 6.43), as linhas de corrente da velocidade estão

bastante consistentes com o esperado, pois mostram a existência de esteiras que se

tornam maiores na parte mais alta da pá do impelidor, perto do shroud. É nessa região

que passa a ocorrer o fenômeno de separação jato-esteira que contribui bastante para a

queda de eficiência do impelidor. Verifica-se que as maiores variações da entropia

figura 6.46 estão justamente nas regiões onde ocorrem os fenômenos de turbulência.

Finaliza-se com a visualização tridimensional das linhas de corrente da

velocidade ao longo da pá representando o comportamento do fluido de trabalho. E,

mais uma vez, tem-se a oportunidade de se observar o comportamento do escoamento,

principalmente, na saída da pá com zona de instabilidade no fluxo.

Figura 6.44 – Perspectiva tridimensional das linhas de corrente ao longo da pá.

d) PERDAS (Entropia)

Nas figuras 6.46 e 6.47 temos o processo de compressão real indicado pela seta e

a pá com a entrada e saída do impelidor respectivamente. Considerando as perdas do

processo de compressão real nota-se a evolução crescente de entropia da entrada

(sucção) 2,17 kJ/kg.K e na saída (descarga) -2,24 kJ/kg.K. Os resultados são

121

consistentes com o processo de compressão real simulado e que ocorre visualizado no

diagrama temperatura e entropia (T-S).

Figura 6.45 – Processo de Compressão de CO2 no diagrama T-S.

Figura 6.46 – Variação da entropia na entrada, saída e ao longo da pá do

impelidor.

122

O resultado apresentado para as linhas de correntes permitem visualizar os

fenômenos que relacionados com as perdas por esteira, turbilhonamento e incidência na

entrada que se demonstram mais significativos na saída do impelido e ao longo do

impelidor nas posições de 50% e 80% da altura normalizada da pá. Além disso, pode-se

visualizar que existe uma perda concentrada por incidência, mais especificamente, na

extremidade da pá na entrada. A incidência é definida como a diferença entre o ângulo

do fluxo relativo do gás que se aproxima da pá do impelidor em rotação e o

ângulo de pá do impelidor, (SOROKES, 2011). O fenômeno pode ser identificado na

figura 6.47 região da pá com o shroud.

123

CAPÍTULO 7 CONCLUSÕES

O objetivo desta dissertação de mestrado foi avaliar o desempenho de um

compressor centrífugo operando em condição diferente ao seu projeto original,

aplicando uma ferramenta de fluidodinâmica computacional (CFD) na simulação de

escoamento de gás com comportamento real no interior de impelidor. No

empreendimento deste projeto, foram aplicados conhecimentos de diversas áreas, tais

como, mecânica dos fluidos, turbulência, termodinâmica, matemática aplicada e

métodos numéricos para a resolução de equações diferenciais parciais.

7.1 Conclusões

Tendo em vista os elevados custos de fabricação e teste de um novo compressor

centrífugo, este trabalho reforça o uso de uma ferramenta computacional do tipo CFD

no projeto de um compressor dada a sua utilidade e versatilidade. Essa análise permite

redução no tempo de concepção e dos custos envolvidos no seu desenvolvimento, pois a

metodologia de tentativa e erro torna-se desnecessária para o projeto na fase de

concepção, (KIM et al, 2014). Não obstante, é necessário observar alguns preceitos

importantes para uma simulação aderente à realidade investigada: geometria fiel às

dimensões dos componentes da máquina, malha adequada (aspectos relativos à

qualidade e topologia, por exemplo) e refinada nas regiões de maiores gradientes de

velocidade e de pressão, onde a qualidade destes deve ser controlada.

Aspectos fundamentais ainda observados no planejamento e ao longo das

simulações foram a definição das condições de contorno e dos algoritmos de resolução

dos problemas. A convergência e estabilidade das simulações do impelidor operando

tanto com Ar quanto com CO2, foram alcançadas utilizando as condições de pressão-

entrada e vazão-mássica-saída, apesar de considerada inferior em termos de robustez

pelo fabricante do programa. No difusor a simulação foi possível apenas na condição

pressão-entrada e pressão-saída para o escoamento de CO2. Dois tipos de métodos de

resolução foram utilizados para as simulações: density-based em regime permanente

com sub-relaxação pseudo-transiente para o impelidor operando com ar, e o método

pressure-based acoplado para regime transiente no caso de impelidor com CO2 apesar

124

do número de Mach acima de 0,3 que indicaria o uso de simulador density-based,

devido ao forte caráter instável do escoamento.

As simulações foram executadas para diversas malhas, cujo número de

elementos (240.000 a 700.000) era variado seguindo os critérios de qualidade

recomendados pelo fabricante do programa. Os resultados encontrados foram utilizados

no levantamento das curvas de desempenho características do compressor para

comparação com dados experimentais disponíveis na literatura. Para o caso de validação

usando os dados de ECKARDT (1980) com fluido de trabalho ar, foi necessário fazer

alguns ajustes na geometria do impelidor para aproveitar seu aspecto periódico e reduzir

o esforço computacional principalmente nas simulações com malha de maior número de

elementos e uma equação de estado mais robusta (Span-Wagner).

As simulações utilizaram as propriedades do gás obtidas através de duas

equações de estado, Span-Wagner e Peng-Robinson, que demonstraram desempenho

semelhante na faixa de operação explorada. Este aspecto deve ser enfatizado, uma vez

que a equação desenvolvida por SPAN e WAGNER (1996) demanda grande esforço

computacional, onde cada ponto operacional simulado consumia aproximadamente duas

semanas até a sua convergência (em computador de quatro núcleos). Desempenho

distinto ao obtido pela equação de PENG e ROBINSON (1976), aonde o tempo de

simulação incluía apenas alguns dias (três) para convergência. Portanto, recomenda-se

para simulação com CO2 abaixo do ponto crítico uma equação de estado menos

sofisticada, tal como, Peng-Robinson ou Lee-Kesler, de acordo com a revisão

bibliográfica (BALTADJIEV, 2012) e (SANDBERG, 2005).

Os modelos de turbulência adotados para modelagem do escoamento do gás de

comportamento ideal (ar) e para o de comportamento real (CO2) foram k-ε RNG e k-ω

SST. Estes dois modelos de turbulência tem ampla aplicação em simulações de

turbomáquinas, mas o modelo de turbulência k-ω SST foi validado para este problema

por apresenta os resultados com maior exatidão entre os dois avaliados, quando

comparado com os dados experimentais de desempenho (razão de pressão e de

eficiência isentrópica) do impelidor Eckardt em operação com ar. E também no caso do

CO2 onde o efeito de separação jato-esteira é maior. A extensão do domínio para reter

os fenômenos de turbulência na saída do impelidor que interferem diretamente na sua

eficiência, portanto domínio deve ser suficientemente grande para poder captar as

esteiras formadas que fazem o fluido retornar para o impelidor, criando uma região de

125

estagnação. É fundamental o projetista fazer uma análise crítica dos resultados para

avaliar se eles estão coerentes com o esperado, (MOURA, 2007).

7.2 Contribuições

Inúmeras iniciativas são empreendidas atualmente no mundo para desenvolver

um compressor de CO2 para aplicação em ciclos de potência com fluido supercrítico (S-

CO2) RINALDI et al (2014); Entretanto, todas envolvem o projeto, fabricação e teste

de um protótipo. A proposta apresentada explorou parte de uma prática industrial que

envolve aproveitar um projeto de máquina conhecido para uso em novas condições

operacionais. Portanto, foram executadas diferentes simulações com o intuito de avaliar

o impacto de diversos parâmetros termodinâmicos e geométricos no desempenho do

impelidor para identificar possíveis ajustes no projeto unidimensional, antes de se

construir um protótipo. Esta metodologia inclui ainda verificar escoamento no interior

de equipamento mais simples para fazer inferências sobre possíveis pontos

operacionais. Os resultados apresentados podem ser aproveitados em áreas distintas

como no diagnóstico de problemas de desempenho em compressores de CO2 e avaliação

de projeto de máquina. A avaliação das duas importantes equações de estados

disponíveis para cálculo de propriedades de CO2 contribuiu para validar seu intervalo de

aplicação. Objeto ainda de diversas pesquisas e desenvolvimentos o regime transiente

também foi simulado.

7.3 Sugestões para Trabalhos Futuros

O presente trabalho abre caminho para o desenvolvimento de estudos

aprofundados na área de avaliação de projetos de compressores de gases com

comportamento não ideal, por exemplo, sistemas de compressão de CO2 em

plataformas. De forma complementar, o presente estudo, que fez uso de geometria pré-

definida (Eckardt), pode ser expandido através da análise de diversas outras condições

operacionais ou de projeto, tais como:

126

1. Estudar a precisão da equação de Span-Wagner para misturas de CO2 com

hidrocarboneto e avaliar outras equações de estado na região subcrítica e crítica com

esta composição que é comum na indústria em diversas aplicações;

2. Pesquisar um método mais estável para análise numérica representando ambas as

regiões subcríticas e supercríticas;

3. Investigar condição de operação com escoamento bifásico pela condensação e

mecanismo de nucleação no interior do impelidor e sua influência na interação

fluido-estrutura. Além disso, estudar um modelo numérico mais adequado para a

região de condensação para a análise precisa em CFD;

4. Investigar outros pontos de interesse operacional no diagrama temperatura e

entropia (T-S) para diferentes rotações e vazões mássicas percorrendo todo o

envelope operacional do compressor para analisar o seu comportamento;

5. Simular todos os casos apresentados neste trabalho investigando a influência no

desempenho do compressor com folga entre a pá e o shroud;

6. A análise da operação em conjunto impelidor e difusor em simulações 1D e 3D

combinadas para estudo de desempenho global de compressor centrífugo e para

auxiliar na aplicação de ferramentas de otimização para evidenciar aspectos mais

relevantes nos projetos destes equipamentos no futuro, uma vez o esforço que está

sendo empreendido a nível internacional para desenvolver este equipamento,

conforme apresentado na revisão bibliográfica.

Finalmente, embora os modelos e metodologias aqui discutidos ainda demandem

melhorias, eles podem fornecer razoável visão desempenho na predição e informações

sobre o campo de escoamento que possam ser usadas em projeto de compressor de gás

não usual, (RINALDI et al, 2014).

127

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