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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

CAMPUS CURITIBA DEPARTAMENTO DE PESQUISA E PÓS GRADUAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA E DE MATERIAIS – PPGEM

HENDY TISSERANT RODRIGUES

SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO BIFÁSICO GÁS-LÍQUIDO NO PADRÃO DE

GOLFADAS UTILIZANDO UM MODELO LAGRANGEANO DE SEGUIMENTO DE PISTÕES

CURITIBA OUTUBRO - 2009




Dissertação apresentada como requisito parcial

à obtenção do título de Mestre em Engenharia,

do Programa de Pós-Graduação em

Engenharia Mecânica e de Materiais, Área de

Concentração em Engenharia Térmica, do

Departamento de Pesquisa e Pós-Graduação,

do Campus de Curitiba, da UTFPR.

Orientador: Prof. Rigoberto E. M. Morales, Dr.

Co-orientador: Prof. Eugênio S. Rosa, PhD.

CURITIBA OUTUBRO - 2009

TERMO DE APROVAÇÃO




Esta Dissertação foi julgada para a obtenção do título de Mestre em Engenharia, e

aprovada em sua versão final pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia

Mecânica e de Materiais, área de concentração em Engenharia Térmica.

_________________________________

Prof. Giuseppe Pintaúde, Dr.Eng.

Coordenador de curso

Banca Examinadora

______________________________ ______________________________

Prof. Rigoberto E. M. Morales, Dr. Eng. Prof. Eugênio Spanó Rosa, PhD

PPGEM/UTFPR DE/FEM/UNICAMP

______________________________ ______________________________

José Roberto Fagundes Netto, PhD Prof. Cezar Otaviano R. Negrão, PhD

PETROBRAS/CENPES PPGEM/UTFPR

Curitiba, 3 de Fevereiro de 2010

iii

AGRADECIMENTOS

Agradeço ao LACIT/PPGEM/UTFPR e ao 2PFG/FEM/UNICAMP pela

possibilidade de realização desse trabalho. Agradeço à Petrobras e ANP pelo

suporte técnico e financeiro para o desenvolvimento do tema.

Agradeço aos professores Rigoberto E. M. Morales, Eugênio S. Rosa e

Ricardo A. Mazza pelo apoio, incentivo, troca de informações e amizade ao longo

dos últimos anos.

Dedico esse trabalho à minha esposa Joyce, pelo apoio e carinho

incondicional, e aos meus pais, pelo cuidado e preocupação em todos os momentos.

Agradeço a Deus por tudo que tem proporcionado em minha vida.

iv

RODRIGUES, Hendy Tisserant, Simulação numérica do escoamento bifásico gás-

líquido no padrão de golfadas utilizando um modelo lagrangeano de seguimento de

pistões, 2009, Dissertação (Mestrado em Engenharia) - Programa de Pós-graduação

em Engenharia Mecânica e de Materiais, Universidade Tecnológica Federal do

Paraná, Curitiba, 180p.

RESUMO

No escoamento bifásico de líquido e gás em tubulações, tem-se com grande

freqüência a ocorrência do padrão de golfadas. Esse padrão de escoamento tem

como característica a sucessão intermitente no tempo e no espaço de duas

estruturas distintas: bolha alongada e pistão de líquido. O presente trabalho

apresenta a modelagem matemática lagrangeana unidimensional do escoamento

em golfadas, onde as equações de conservação da massa e quantidade de

movimento são aplicadas a cada bolha e pistão, tornando-os elementos

computacionais definidos por volumes de controle discretos que evoluem ao longo

da tubulação. O modelo leva em conta efeitos desprezados em trabalhos anteriores,

como a variação da fração de líquido no pistão e a intermitência intrínseca do

escoamento, obtida através da introdução aleatória de bolhas e pistões na entrada

da tubulação. As equações diferenciais obtidas na modelagem são discretizadas

através do método de diferenças finitas. O sistema de equações algébricas

resultantes da discretização é resolvido utilizando o algoritmo TDMA. São calculados

parâmetros característicos do escoamento em golfadas, como os comprimentos e

velocidades das bolhas e pistões e a queda de pressão. Essas variáveis são

monitoradas através de valores médios ou distribuições em determinados pontos da

tubulação e seguindo-se uma célula ao longo de sua passagem pela tubulação. Os

resultados numéricos obtidos são comparados a dados experimentais, fornecidos

pelo 2PFG/FEM/UNICAMP, para o escoamento de ar-água, ar-glicerina e N2-óleo

em um duto horizontal, inclinado e vertical.

Palavras-chave: Escoamento intermitente em golfadas, modelo de seguimento de

pistões, escoamento bifásico.

v

RODRIGUES, Hendy Tisserant, Simulação numérica do escoamento bifásico gás-

líquido no padrão de golfadas utilizando um modelo lagrangeano de seguimento de

pistões, 2009, Dissertação (Mestrado em Engenharia) - Programa de Pós-graduação

em Engenharia Mecânica e de Materiais, Universidade Tecnológica Federal do

Paraná, Curitiba, 180p.

ABSTRACT

In two-phase gas-liquid flow through pipelines the slug flow pattern frequently

occurs. This flow pattern is characterized by an intermittent, in space and time,

succession of two distinct structures: elongated bubble and liquid slug. This work

presents the one-dimensional Lagrangean mathematical model for slug flow. The

mass and momentum conservation equations are applied for each bubble and slug,

which become computational elements defined by discrete control volumes that

evolve through the pipe. The model takes into account some effects neglected in

previous works such as the slug liquid fraction variation and the inherent

intermittence, obtained by the random introduction of bubbles and slugs at the pipe

inlet. The differential equations obtained in the mathematical model are discretized

using the finite difference method and the resulting linear system is solved with the

TDMA algorithm. Typical parameters of slug flow are calculated, such as the bubbles

and slugs lengths and velocities and pressure drop. These variables are monitored

through its mean values or distributions in determined locations along the pipe, or by

the following of one bubble passage through the pipe. Numerical results are

compared against experimental results from 2PFG/FEM/UNICAMP for air-water, air-

glycerin and nitrogen-oil flows in horizontal, inclined and vertical pipes.

Keywords: Slug flow, slug tracking model, two-phase flow.

vi

SUMÁRIO

AGRADECIMENTOS..............................................................................................................................III

RESUMO................................................................................................................................................ IV

ABSTRACT............................................................................................................................................. V

SUMÁRIO............................................................................................................................................... VI

LISTA DE FIGURAS.............................................................................................................................. IX

LISTA DE TABELAS ............................................................................................................................ XII

LISTA DE SÍMBOLOS......................................................................................................................... XIII

1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 1

1.1 OBJETIVOS .............................................................................................................................. 5 1.2 JUSTIFICATIVAS........................................................................................................................ 6 1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO........................................................................................................ 6

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA.......................................................................................................... 8

2.1 ESTUDOS ANTERIORES SOBRE ESCOAMENTO EM GOLFADAS ....................................................... 8 2.1.1 Modelos estacionários..................................................................................................... 13 2.1.2 Modelos transientes......................................................................................................... 15

2.2 DEFINIÇÃO DE PARÂMETROS IMPORTANTES ASSOCIADOS AO ESCOAMENTO BIFÁSICO EM GOLFADAS

19 2.3 EQUAÇÕES DE FECHAMENTO .................................................................................................. 22

2.3.1 Velocidade de translação das bolhas de gás.................................................................. 23 2.3.2 Fração de líquido no pistão ............................................................................................. 24 2.3.3 Freqüência da célula unitária .......................................................................................... 26

3 MODELAGEM MATEMÁTICA..................................................................................................... 28

3.1 EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO APLICADAS A UMA CÉLULA GENÉRICA ......................................... 28 3.1.1 Conservação da massa na célula ................................................................................... 30 3.1.2 Conservação da quantidade de movimento no pistão .................................................... 40 3.1.3 Acoplamentos entre o pistão e as bolhas adjacentes ..................................................... 43

3.2 EQUAÇÕES AUXILIARES........................................................................................................... 49 3.2.1 Deslocamento da frente da bolha.................................................................................... 50 3.2.2 Deslocamento da traseira da bolha................................................................................. 51 3.2.3 Definição do atrito............................................................................................................ 51 3.2.4 Velocidade do filme de líquido......................................................................................... 53

3.3 MODELAGEM DAS SINGULARIDADES......................................................................................... 54

vii

3.3.1 Coalescência de bolhas .................................................................................................. 54

4 MÉTODO DE SOLUÇÃO NUMÉRICA ........................................................................................ 57

4.1 DISCRETIZAÇÃO DAS EQUAÇÕES ACOPLADAS........................................................................... 57 4.2 DISCRETIZAÇÃO DAS EQUAÇÕES AUXILIARES ........................................................................... 64 4.3 CONDIÇÕES INICIAIS E DE CONTORNO...................................................................................... 65 4.4 PROCESSO DE ENTRADA DE BOLHAS E PISTÕES NO DOMÍNIO DE CÁLCULO ................................. 67

4.4.1 Cálculo das variáveis na entrada de uma nova célula .................................................... 69 4.5 PROCESSO DE SAÍDA DE BOLHAS E PISTÕES DO DOMÍNIO DE CÁLCULO....................................... 79 4.6 PROCESSO DE INÍCIO DA SIMULAÇÃO ....................................................................................... 82 4.7 ALGORITMO DE SIMULAÇÃO..................................................................................................... 83 4.8 SONDAS VIRTUAIS .................................................................................................................. 86 4.9 SIMULAÇÕES PRELIMINARES ................................................................................................... 87

4.9.1 Análise do passo de tempo ............................................................................................. 87 4.9.2 Análise das constantes do fator de esteira ..................................................................... 90 4.9.3 Análise da condição de contorno aleatória versus condição periódica........................... 94

5 RESULTADOS PARA O ESCOAMENTO HORIZONTAL .......................................................... 98

5.1 CONFIGURAÇÕES EXPERIMENTAIS........................................................................................... 98 5.2 COMPARAÇÃO ENTRE AS SIMULAÇÕES E OS RESULTADOS EXPERIMENTAIS ................................ 99

5.2.1 Resultados para o escoamento de ar e água ................................................................. 99 5.2.2 Resultados para o escoamento de ar e glicerina .......................................................... 106 5.2.3 Resultados para o escoamento de N2 e óleo SAE 20-50 ............................................. 111

6 RESULTADOS PARA O ESCOAMENTO VERTICAL E INCLINADO ..................................... 116

6.1 CONFIGURAÇÕES EXPERIMENTAIS......................................................................................... 116 6.2 COMPARAÇÃO ENTRE AS SIMULAÇÕES E RESULTADOS EXPERIMENTAIS ................................... 117

6.2.1 Resultados para o escoamento de ar e água na vertical .............................................. 117 6.2.2 Resultados para o escoamento de N2 e óleo SAE 20-50 na vertical ............................ 123 6.2.3 Resultados para o escoamento de ar e água inclinado ................................................ 128

7 CONCLUSÕES .......................................................................................................................... 133

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS................................................................................................... 136

APÊNDICE A – RESULTADOS PARA DIVERSAS CONDIÇÕES DE ESCOAMENTO................... 142

AR E ÁGUA NA HORIZONTAL................................................................................................................ 142 AR E GLICERINA NA HORIZONTAL ........................................................................................................ 149 NITROGÊNIO E ÓLEO SAE 20-50 NA HORIZONTAL ............................................................................... 156 AR E ÁGUA NA VERTICAL .................................................................................................................... 160 NITROGÊNIO E ÓLEO SAE 20-50 NA VERTICAL .................................................................................... 164 AR E ÁGUA INCLINADO ....................................................................................................................... 166

viii

APÊNDICE B – RESUMO DE CORRELAÇÕES PARA CÁLCULO DAS VARIÁVEIS DE FECHAMENTO ................................................................................................................................... 170

APÊNDICE C – MODELOS DE DOIS FLUIDOS E DRIFT FLUX...................................................... 176

MODELO DE DOIS FLUIDOS (TWO-FLUID MODEL) .................................................................................. 176 MODELO DE DRIFT FLUX..................................................................................................................... 178

ix

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1.1 – PADRÕES DE ESCOAMENTO BIFÁSICO LÍQUIDO-GÁS EM TUBULAÇÕES HORIZONTAIS (LÍQUIDO EM

BRANCO E GÁS EM CINZA): A) BOLHAS DISPERSAS, B) GOLFADAS E C) ESTRATIFICADO .................................. 2 FIGURA 1.2 – PADRÕES DE ESCOAMENTO BIFÁSICO LÍQUIDO-GÁS EM TUBULAÇÕES VERTICAIS (LÍQUIDO EM

BRANCO E GÁS EM CINZA): A) BOLHAS DISPERSAS, B) GOLFADAS, C) AGITADO E D) ANULAR ......................... 2 FIGURA 1.3 – REPRESENTAÇÃO DAS PRINCIPAIS VARIÁVEIS DO ESCOAMENTO EM GOLFADAS.................................. 3 FIGURA 2.1 – REPRESENTAÇÃO DO ESCOAMENTO EM GOLFADAS A) HORIZONTAL OU INCLINADO E B) VERTICAL.... 9 FIGURA 2.2 – REPRESENTAÇÃO DAS LINHAS DE CORRENTE NO LÍQUIDO EM UM REFERENCIAL A) SE MOVENDO COM

A BOLHA E B) ESTACIONÁRIO, E C) REPRESENTAÇÃO DOS PERFIS DE VELOCIDADE NO LÍQUIDO .................... 10 FIGURA 2.3 – LINHAS DE CORRENTE PARA O ESCOAMENTO VERTICAL ................................................................... 12 FIGURA 2.4 – REPRESENTAÇÃO DA QUEDA DE PRESSÃO AO LONGO DO ESCOAMENTO EM GOLFADAS .................... 13 FIGURA 2.5 – VOLUME DE CONTROLE AO LONGO DE UM TRECHO DE TUBULAÇÃO ................................................. 22 FIGURA 3.1 – REPRESENTAÇÃO DA J-ÉSIMA CÉLULA GENÉRICA DO ESCOAMENTO EM GOLFADAS .......................... 29 FIGURA 3.2 – VOLUME DE CONTROLE DEFINIDO PELAS FRONTEIRAS DO PISTÃO .................................................... 31 FIGURA 3.3 – VOLUME DE CONTROLE DEFINIDO PELAS FRONTEIRAS DO FILME E BOLHA ALONGADA..................... 35 FIGURA 3.4 – FORÇAS QUE ATUAM NO VOLUME DE CONTROLE DEFINIDO PELO PISTÃO.......................................... 43 FIGURA 3.5 – REPRESENTAÇÃO DO VOLUME DE CONTROLE NO ACOPLAMENTO DA TRASEIRA DO PISTÃO COM A

FRENTE DA BOLHA ........................................................................................................................................ 44 FIGURA 3.6 – REPRESENTAÇÃO DO VOLUME DE CONTROLE NO ACOPLAMENTO ENTRE A FRENTE DO PISTÃO E A

TRASEIRA DA BOLHA..................................................................................................................................... 45 FIGURA 3.7 – REPRESENTAÇÃO DO VOLUME DE CONTROLE NO ACOPLAMENTO ENTRE A FRENTE DO PISTÃO E A

FRENTE DA BOLHA ........................................................................................................................................ 47 FIGURA 3.8 – REPRESENTAÇÃO DO VOLUME DE CONTROLE NA INTERFACE ENTRE O PISTÃO E A BOLHA QUE O

SEGUE ........................................................................................................................................................... 53 FIGURA 3.9 – COALESCÊNCIA DE BOLHAS .............................................................................................................. 56 FIGURA 4.1 – REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DO ESCOAMENTO AO LONGO DO TUBO EM DIFERENTES INSTANTES

DE TEMPO E A DEFINIÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO E INICIAL............................................................. 66 FIGURA 4.2 – REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DO PROCESSO DE ENTRADA DE PISTÃO DE LÍQUIDO E BOLHAS DE

GÁS NO DOMÍNIO COMPUTACIONAL .............................................................................................................. 68 FIGURA 4.3 – REPRESENTAÇÃO DA GEOMETRIA UTILIZADA NA INTEGRAÇÃO DO PERFIL DA BOLHA ...................... 72 FIGURA 4.4 – FLUXOGRAMA PARA CÁLCULO DOS PARÂMETROS DA NOVA CÉLULA QUE SERÁ INSERIDA NA

TUBULAÇÃO.................................................................................................................................................. 74 FIGURA 4.5 – REPRESENTAÇÃO DE DISTRIBUIÇÕES EXPERIMENTAIS ...................................................................... 75 FIGURA 4.6 – REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DO PROCESSO DE SAÍDA DE BOLHAS E PISTÕES DO DOMÍNIO

COMPUTACIONAL.......................................................................................................................................... 82 FIGURA 4.7 – REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DA CONDIÇÃO INICIAL................................................................... 83 FIGURA 4.8 – ALGORITMO GERAL DE SIMULAÇÃO ................................................................................................. 85

x

FIGURA 4.9 – VARIAÇÃO DO TEMPO DE SIMULAÇÃO E DO RESÍDUO RELATIVO EM FUNÇÃO DO PASSO DE TEMPO

UTILIZADO. ................................................................................................................................................... 90 FIGURA 4.10 – EVOLUÇÃO DOS COMPRIMENTOS DE BOLHAS E PISTÕES, TAXA DE COALESCÊNCIAS E VELOCIDADE

DA BOLHA AO LONGO DO TUBO PARA DIVERSOS VALORES DAS CONSTANTES DE ESTEIRA NO ESCOAMENTO DE

AR E ÁGUA .................................................................................................................................................... 92 FIGURA 4.11 – EVOLUÇÃO DOS COMPRIMENTOS DE BOLHAS E PISTÕES, TAXA DE COALESCÊNCIAS E VELOCIDADE

DA BOLHA AO LONGO DO TUBO PARA DIVERSOS VALORES DAS CONSTANTES DE ESTEIRA NO ESCOAMENTO DE

AR E GLICERINA ............................................................................................................................................ 93 FIGURA 4.12 – RESULTADOS PARA UMA CÉLULA SEGUIDA AO LONGO DE SUA PASSAGEM PELO TUBO COM AS

CONDIÇÕES DE CONTORNO PERIÓDICA E INTERMITENTE ............................................................................... 96 FIGURA 4.13 – TAXA DE COALESCÊNCIA AO LONGO DO TUBO PARA AS CONDIÇÕES DE CONTORNO PERIÓDICA E

INTERMITENTE .............................................................................................................................................. 96 FIGURA 4.14 – FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA OS COMPRIMENTOS DE BOLHAS E PISTÕES E PARA A

VELOCIDADE DA BOLHA EXPERIMENTAIS E SIMULADOS UTILIZANDO-SE AS CONDIÇÕES DE ENTRADA

PERIÓDICA E ALEATÓRIA............................................................................................................................... 97 FIGURA 5.1 – REPRESENTAÇÃO DAS SEÇÕES DE TESTE EXPERIMENTAL E NUMÉRICA PARA O ESCOAMENTO DE AR E

ÁGUA NA HORIZONTAL ............................................................................................................................... 100 FIGURA 5.2 – RESULTADOS MÉDIOS PARA O ESCOAMENTO HORIZONTAL DE AR E ÁGUA NA CONDIÇÃO A@W#2 102 FIGURA 5.3 – RESULTADOS MÉDIOS PARA O ESCOAMENTO HORIZONTAL DE AR E ÁGUA NA CONDIÇÃO A@W#4 102 FIGURA 5.4 – RESULTADO DAS FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA O ESCOAMENTO HORIZONTAL DE

AR E ÁGUA NA CONDIÇÃO A@W#2 ............................................................................................................ 104 FIGURA 5.5 - RESULTADO DAS FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA O ESCOAMENTO HORIZONTAL DE AR

E ÁGUA NA CONDIÇÃO A@W#4 ................................................................................................................. 105 FIGURA 5.6 – REPRESENTAÇÃO DAS SEÇÕES DE TESTE EXPERIMENTAL E NUMÉRICA PARA O ESCOAMENTO DE AR E

GLICERINA NA HORIZONTAL ....................................................................................................................... 106 FIGURA 5.7 – RESULTADOS MÉDIOS PARA O ESCOAMENTO HORIZONTAL DE AR E SOLUÇÃO DE GLICERINA NA

CONDIÇÃO A@G#2 .................................................................................................................................... 107 FIGURA 5.8 – RESULTADOS MÉDIOS PARA O ESCOAMENTO HORIZONTAL DE AR E SOLUÇÃO DE GLICERINA NA

CONDIÇÃO A@G#4 .................................................................................................................................... 107 FIGURA 5.9 – RESULTADO DAS FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA O ESCOAMENTO HORIZONTAL DE

AR E SOLUÇÃO DE GLICERINA NA CONDIÇÃO A@G#2 ................................................................................ 109 FIGURA 5.10 – RESULTADO DAS FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA O ESCOAMENTO HORIZONTAL DE

AR E SOLUÇÃO DE GLICERINA NA CONDIÇÃO A@G#4 ................................................................................ 110 FIGURA 5.11 – REPRESENTAÇÃO DAS SEÇÕES DE TESTE EXPERIMENTAL E NUMÉRICA PARA O ESCOAMENTO DE

NITROGÊNIO E ÓLEO SAE 20-50 NA HORIZONTAL....................................................................................... 111 FIGURA 5.12 - RESULTADOS MÉDIOS PARA O ESCOAMENTO HORIZONTAL DE NITROGÊNIO E ÓLEO SAE 20-50

N@O#1...................................................................................................................................................... 112 FIGURA 5.13 – RESULTADOS MÉDIOS PARA O ESCOAMENTO HORIZONTAL DE NITROGÊNIO E ÓLEO SAE 20-50

N@O#4...................................................................................................................................................... 113

xi

FIGURA 5.14 – RESULTADO DAS FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA O ESCOAMENTO HORIZONTAL DE

NITROGÊNIO E ÓLEO SAE 20-50 NA CONDIÇÃO N@O#1 ............................................................................ 114 FIGURA 5.15 – RESULTADO DAS FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA O ESCOAMENTO HORIZONTAL DE

NITROGÊNIO E ÓLEO SAE 20-50 NA CONDIÇÃO N@O#4 ............................................................................ 115 FIGURA 6.1 – REPRESENTAÇÃO DAS SEÇÕES DE TESTE EXPERIMENTAL E NUMÉRICA PARA O ESCOAMENTO DE AR E

ÁGUA NA VERTICAL .................................................................................................................................... 117 FIGURA 6.2 – RESULTADOS MÉDIOS PARA O ESCOAMENTO VERTICAL DE AR E ÁGUA NA CONDIÇÃO A@WV#2.. 119 FIGURA 6.3 – RESULTADOS MÉDIOS PARA O ESCOAMENTO VERTICAL DE AR E ÁGUA NA CONDIÇÃO A@WV#8.. 119 FIGURA 6.4 – RESULTADO DAS FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA O ESCOAMENTO VERTICAL DE AR E

ÁGUA NA CONDIÇÃO A@WV#2 ................................................................................................................. 121 FIGURA 6.5 – RESULTADO DAS FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA O ESCOAMENTO VERTICAL DE AR E

ÁGUA NA CONDIÇÃO A@WV#8 ................................................................................................................. 122 FIGURA 6.6 – REPRESENTAÇÃO DAS SEÇÕES DE TESTE EXPERIMENTAL E NUMÉRICA PARA O ESCOAMENTO DE

NITROGÊNIO E ÓLEO SAE 20-50 NA VERTICAL ........................................................................................... 123 FIGURA 6.7 – RESULTADOS MÉDIOS PARA O ESCOAMENTO VERTICAL DE NITROGÊNIO E ÓLEO SAE 20-50 NA

CONDIÇÃO N@OV#2 ................................................................................................................................. 124 FIGURA 6.8 – RESULTADOS MÉDIOS PARA O ESCOAMENTO VERTICAL DE NITROGÊNIO E ÓLEO SAE 20-50 NA

CONDIÇÃO N@OV#6 ................................................................................................................................. 125 FIGURA 6.9 – RESULTADO DAS FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA O ESCOAMENTO VERTICAL DE

NITROGÊNIO E ÓLEO SAE 20-50 NA CONDIÇÃO N@OV#2 ......................................................................... 126 FIGURA 6.10 – RESULTADO DAS FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA O ESCOAMENTO VERTICAL DE

NITROGÊNIO E ÓLEO SAE 20-50 NA CONDIÇÃO N@OV#6 ......................................................................... 127 FIGURA 6.11 – REPRESENTAÇÃO DAS SEÇÕES DE TESTE EXPERIMENTAL E NUMÉRICA PARA O ESCOAMENTO DE AR E

ÁGUA INCLINADO........................................................................................................................................ 128 FIGURA 6.12 RESULTADOS MÉDIOS PARA O ESCOAMENTO INCLINADO DE AR E ÁGUA NA CONDIÇÃO A@WI#2 .. 129 FIGURA 6.13 – RESULTADOS MÉDIOS PARA O ESCOAMENTO INCLINADO DE AR E ÁGUA NA CONDIÇÃO A@WI#5 129 FIGURA 6.14 – RESULTADO DAS FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA O ESCOAMENTO INCLINADO DE AR

E ÁGUA NA CONDIÇÃO A@WI#2 ................................................................................................................ 131 FIGURA 6.15 – RESULTADO DAS FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA O ESCOAMENTO INCLINADO DE AR

E ÁGUA NA CONDIÇÃO A@WI#5 ................................................................................................................ 132

xii

LISTA DE TABELAS

TABELA 4.1 – DEFINIÇÃO DOS PARÂMETROS UTILIZADOS NAS SIMULAÇÕES PRELIMINARES.................................. 87 TABELA 5.1 – DEFINIÇÃO DAS CONFIGURAÇÕES EXPERIMENTAIS .......................................................................... 98 TABELA 5.2 – DEFINIÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O ESCOAMENTO DE AR E ÁGUA ........................... 99 TABELA 5.3 – DEFINIÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O ESCOAMENTO DE AR E GLICERINA.................... 99 TABELA 5.4 – DEFINIÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O ESCOAMENTO DE NITROGÊNIO E ÓLEO ............. 99 TABELA 6.1 – DEFINIÇÃO DAS CONFIGURAÇÕES EXPERIMENTAIS ........................................................................ 116 TABELA 6.2 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA AR E ÁGUA NA VERTICAL ........................................................... 116 TABELA 6.3 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA NITROGÊNIO E ÓLEO SAE 20-50 ................................................ 116 TABELA 6.4 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA AR E ÁGUA INCLINADO............................................................... 117

xiii

LISTA DE SÍMBOLOS

A Área

C Coeficiente de atrito

C0 Constante da velocidade da bolha

D Diâmetro

F Força

f Freqüência

Fr Número de Froude

g Aceleração da gravidade

h Constante de esteira

j Numeração das células

J Velocidade superficial

L Comprimento

M Massa

m Vazão mássica

n Número de bolhas dentro do tubo

P Pressão

Q Vazão volumétrica

R Fração volumétrica da fase

Re Número de Reynolds

S Perímetro

t Tempo

U Velocidade absoluta

x Coordenada da frente do pistão

y Coordenada da frente da bolha

β Fator de intermitência

Δ Variação

ρ Massa específica

μ Viscosidade dinâmica

σ Tensão superficial

xiv

τ Tensão cisalhante

θ Ângulo de inclinação do tubo com a horizontal

Sub-índices

B Região da bolha alongada

D Deslizamento

G Fase gasosa

L Fase líquida

S Região do pistão de líquido (slug)

T Translação da bolha alongada

U Unidade

Capítulo 1 Introdução

1

1 INTRODUÇÃO

Escoamentos multifásicos ocorrem com grande freqüência tanto na natureza

como em aplicações industriais. Exemplos de sua ocorrência na natureza estão no

transporte de sedimentos em rios e correntes marinhas, e movimentação de massas

térmicas na atmosfera terrestre. Em aplicações industriais, escoamentos multifásicos

podem ocorrer em geradores de vapor, condensadores e no transporte de misturas

em tubulações.

Um caso particular de escoamentos multifásicos são os escoamentos

bifásicos de líquido e gás, nos quais o escoamento pode se arranjar

geometricamente em diversos padrões, a depender das condições do escoamento,

como vazões das fases, configurações geométricas e propriedades dos fluidos. Nas

Figuras 1.1 e 1.2 são representados os padrões de ocorrência mais comum nos

escoamentos em dutos horizontais e verticais. Na Figura 1.1 são mostrados os

padrões: bolhas dispersas, golfadas (slug flow) e estratificado, enquanto na Figura

1.2 são mostrados os padrões: bolhas dispersas, golfadas (slug flow), agitado (churn

flow) e anular.

O escoamento estratificado ocorre em dutos horizontais sob determinadas

condições de vazão de líquido e gás. Aumentando-se a vazão de líquido o

escoamento se torna instável até transacionar para o escoamento em golfadas, que

permanece para uma grande faixa de vazões de gás. Com o aumento ainda maior

da vazão de líquido, a turbulência associada quebra as bolhas alongadas formando

bolhas dispersas.

No caso do escoamento em dutos verticais, para baixas vazões de gás ocorre

o escoamento em bolhas dispersas. Aumentando-se a vazão de gás as bolhas

começam a coalescer, formando as bolhas alongadas (escoamento em golfadas).

Em altas vazões de gás o escoamento passa por uma transição (também chamado

de escoamento agitado) até atingir o padrão anular.


2

a)

b)

c)

Figura 1.1 – Padrões de escoamento bifásico líquido-gás em tubulações horizontais

(líquido em branco e gás em cinza): a) Bolhas dispersas, b) golfadas e c)

estratificado

a) b) c) d) Figura 1.2 – Padrões de escoamento bifásico líquido-gás em tubulações verticais

(líquido em branco e gás em cinza): a) Bolhas dispersas, b) golfadas, c) agitado e d)

anular

Dentre os padrões de escoamento apresentados, o escoamento em golfadas

ocorre em uma grande faixa de vazões de líquido e gás. Dessa forma, em diversas

atividades industriais, o correto tratamento desse padrão de escoamento é de suma

importância.


3

O escoamento em golfadas é caracterizado pela sucessão de duas regiões

distintas: o pistão de líquido e a bolha alongada. O pistão de líquido é composto por

uma região com grande quantidade de líquido, e pode conter pequenas bolhas de

gás dispersas. Porém, mesmo com a presença de bolhas dispersas, o pistão ainda

se caracteriza como uma barreira entre as duas bolhas de gás adjacentes. Para o

escoamento horizontal, a região da bolha alongada é considerada um escoamento

estratificado, com líquido na região inferior e gás na região superior. No caso do

escoamento vertical, na região da bolha o escoamento é anular com líquido no

exterior e gás no interior. Tanto no escoamento horizontal como no vertical, a região

de líquido que escoa ao lado da bolha é chamada de filme de líquido, e é

considerada livre de gás disperso.

A Figura 1.3 apresenta uma célula unitária do escoamento em golfadas,

contendo uma bolha com comprimento BL e um pistão com comprimento SL . Para a

caracterização desse tipo de escoamento, é importante também quantificar as

velocidades do líquido no pistão, LSU , do líquido no filme, LBU , e de translação da

bolha, TU , além da pressão do gás no interior da bolha, GBP .

Figura 1.3 – Representação das principais variáveis do escoamento em golfadas

O escoamento em golfadas ocorre de maneira intermitente, pois a repetição

das estruturas bolha alongada e pistão de líquido não é periódica no tempo e nem

no espaço. Ou seja, todas as bolhas e pistões que passam por um referencial fixo

apresentam comprimentos e velocidades diferentes. Acredita-se que a intermitência


4

é independente da forma de entrada das duas fases na tubulação. Ou seja, mesmo

que as fases sejam injetadas na tubulação de forma periódica ou contínua, o

escoamento se torna intermitente ao longo da tubulação.

Os primeiros estudos sobre o escoamento em golfadas foram realizados por

Wallis (1969), que definiu o conceito de célula unitária. Logo depois, Dukler e

Hubbard (1975) e Fernandes et al. (1983) realizaram estudos experimentais e

desenvolveram modelos simplificados para o escoamento em golfadas na horizontal

e vertical, respectivamente. Mais tarde, Taitel e Barnea (1990) propuseram um

modelo genérico para qualquer ângulo da tubulação. Esses trabalhos são

conhecidos como os modelos de estado estacionário, pois desconsideram a

intermitência do escoamento, e calculam os parâmetros como se as bolhas e pistões

se repetissem periodicamente no tempo e no espaço.

Mais recentemente, com o desenvolvimento computacional, modelos de

simulação numérica surgiram com o intuito de obter resultados mais realistas,

levando em conta a intermitência do escoamento. Uma classe de modelos surgiu

baseada nos modelos de dois fluidos e drift flux, que utilizam uma malha euleriana

ao longo da tubulação e a solução numérica das equações diferenciais de

conservação da massa e quantidade de movimento para cada fase. Esses modelos

apresentam um custo computacional muito alto e apresentam instabilidades na

solução das equações de acordo com o arranjo das fases.

Outra classe de modelos que surgiu recentemente são os modelos

lagrangeanos de seguimento de pistões (slug tracking). Nessa classe de modelos,

são obtidas equações para volumes de controle definidos geometricamente pelos

pistões e bolhas, e esses volumes de controle são seguidos ao longo da simulação.

Como os volumes de controle têm a mesma ordem de grandeza das bolhas e

pistões, a simulação apresenta um menor custo computacional. Existem diversos

modelos de seguimento de pistões na literatura, iniciando-se por Barnea e Taitel

(1993), depois Zheng et al. (1994), Nydal e Banerjee (1995), Taitel e Barnea (2000),

Grenier (1997), Franklin e Rosa (2004), Ujang et al. (2006) e Rodrigues (2006).

Dentre os diversos modelos de seguimento de pistões propostos na literatura,

são utilizadas diferentes simplificações na modelagem. Efeitos importantes, como a

consideração do pistão de líquido aerado e a variação da fração de líquido no pistão,

ou a característica intermitente do escoamento, não são tratados com muita


5

relevância. Além disso, não são encontrados modelos para simulação do

escoamento inclinado ou vertical, e sua comparação com resultados experimentais.

1.1 Objetivos

O objetivo do presente trabalho é o desenvolvimento de um modelo

unidimensional utilizando o método de seguimento de pistões (slug tracking) com a

finalidade de simular o escoamento bifásico em golfadas em dutos horizontais,

inclinados e verticais.

No desenvolvimento do modelo foram considerados os efeitos de inércia do

pistão de líquido, troca de quantidade de movimento entre os pistões e as bolhas,

efeito do filme de líquido na variação da quantidade de movimento em uma célula, e

efeito da variação da fração de líquido no pistão.

O modelo apresentado é genérico para qualquer ângulo de inclinação da

tubulação. As equações diferenciais obtidas na modelagem matemática são

discretizadas através do método de diferenças finitas com o esquema semi-implícito

de Crank-Nicholson, gerando um sistema linear que é resolvido numericamente a

cada passo de tempo. O modelo foi implementado em um programa computacional

na linguagem FORTRAN.

A intermitência do escoamento é introduzida no modelo através da condição

de entrada das bolhas e pistões na tubulação. Sempre que uma nova célula vai

entrar na tubulação, os parâmetros dessa célula são sorteados de listas de valores

independentes para cada variável. Dessa forma, cada nova célula apresenta valores

diferentes para cada variável.

Como dados de saída das simulações, tem-se o monitoramento das variáveis

importantes em algumas posições ao longo da tubulação, ou o acompanhamento de

uma célula ao longo de sua passagem pela tubulação. Isso permite a avaliação dos

valores médios ou as distribuições das variáveis. Os resultados obtidos são

comparados com dados experimentais para escoamentos horizontais de ar e água,

ar e glicerina e nitrogênio e óleo, verticais de ar e água e nitrogênio e óleo, e

inclinados de ar e água.


6

1.2 Justificativas

O escoamento no padrão de golfadas ocorre em diversos tipos de aplicações

industriais. Uma dessas aplicações em que o escoamento em golfadas tem grande

ocorrência é a indústria petrolífera. Esse padrão de escoamento é característico nas

linhas de produção, que transportam o petróleo desde o poço até a unidade

estacionária de produção (UEP), onde as fases são separadas e processadas.

A variação intrínseca de vazão e pressão do escoamento em golfadas

interfere na planta de processamento, pois ora tem-se a chegada de apenas líquido,

e ora tem-se a chegada de grande quantidade de gás, o que afeta os parâmetros no

dimensionamento da planta. Além disso, a freqüência de alternância das regiões do

pistão de líquido e da bolha alongada em determinada região da linha de produção

causa vibrações. A freqüência dessas vibrações deve ser monitorada, e deve-se

atentar para o risco de ressonância e possíveis danos. Devido a esses fatores,

torna-se importante a modelagem do escoamento em golfadas e o entendimento dos

fenômenos que ocorrem, de forma a prever situações e se evitar danos ou perda de

produção.

Do ponto de vista acadêmico, este trabalho faz parte de um esforço realizado

pelo LACIT/UTFPR e 2PFG/FEM/UNICAMP, financiado pela Petrobras, no sentido

de estudar e caracterizar o escoamento bifásico de líquido e gás. Nos últimos anos,

tem-se realizado estudos experimentais e numéricos com essa finalidade. O modelo

aqui apresentado deve ser implementado em um programa computacional dando

origem a um simulador de escoamento bifásico, com interface amigável ao usuário,

de forma que possa ser utilizado por engenheiros de campo em análises de

elevação e escoamento.

1.3 Estrutura do trabalho

O presente trabalho está dividido em sete capítulos. O primeiro capítulo

apresenta a introdução ao tema, bem como os objetivos e justificativas do trabalho.

No segundo capítulo é apresentada uma revisão bibliográfica sobre o escoamento

em golfadas. São apresentados alguns conceitos desse padrão de escoamento,


7

modelos propostos para a simulação do escoamento em golfadas e a revisão das

equações de fechamento para a velocidade de translação das bolhas, fração de

líquido no pistão e freqüência da célula unitária. O apêndice C apresenta os modelos

numéricos de dois fluidos e drift flux, e o apêndice B apresenta um resumo das

correlações existentes na literatura para o cálculo das variáveis de fechamento.

O terceiro capítulo apresenta a modelagem matemática unidimensional do

escoamento em golfadas. São aplicadas as equações de conservação da massa e

quantidade de movimento a uma célula genérica do escoamento, e, ao final do

desenvolvimento, são obtidas duas equações diferenciais para a velocidade do

pistão e para a pressão do gás na bolha. Além disso, são apresentadas equações

auxiliares, utilizadas para descrever o movimento das bolhas e pistões a partir das

velocidades e pressões.

No capítulo 4 é apresentado o método de solução numérica, com a

discretização das equações diferenciais e implementação em um sistema linear. É

apresentado também o algoritmo de simulação e a definição das condições iniciais,

de contorno, e de entrada e saída de bolhas e pistões na simulação. São

apresentadas também simulações preliminares com o objetivo de se definir

parâmetros para a realização das simulações, como o passo de tempo, a definição

das constantes do fator de esteira e a comparação entre as condições de contorno

periódica e aleatória.

Os capítulos 5 e 6 apresentam a comparação entre resultados experimentais

e numéricos para diversas condições de escoamento. O capítulo 5 apresenta os

resultados para escoamento horizontal de ar e água, ar e glicerina e nitrogênio e

óleo SAE 20-50, enquanto o capítulo 6 apresenta resultados para escoamento

vertical de ar e água e nitrogênio e óleo SAE 20-50, e resultados para o escoamento

inclinado de ar e água. Nesses capítulos são apresentados apenas alguns

resultados do banco de simulações, e os demais resultados são apresentados no

apêndice A.

O capítulo 7 apresenta as conclusões do trabalho e recomendações para

trabalhos futuros.

Capítulo 2 Revisão bibliográfica 8

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Nesse capítulo é apresentada a revisão da bibliografia utilizada na

modelagem do escoamento em golfadas para a implementação em um modelo de

seguimento de pistões (slug tracking). Inicialmente, são apresentados estudos que

evidenciam alguns conceitos e características importantes do escoamento em

golfadas. Em seguida, são revisados os modelos para se calcular parâmetros do

escoamento em golfadas, como os modelos de estado estacionário e os modelos de

simulação numérica transientes. Na seqüência são desenvolvidos parâmetros e

conceitos importantes para escoamentos bifásicos em geral. Por fim, são

apresentadas as equações geralmente utilizadas no cálculo das variáveis de

fechamento dos modelos de escoamento em golfadas: velocidade de translação das

bolhas de gás, fração de líquido no pistão e freqüência da célula unitária.

2.1 Estudos anteriores sobre escoamento em golfadas

Nessa seção serão apresentadas algumas características básicas do

escoamento no padrão de golfadas, que resultam de estudos experimentais e

numéricos apresentados na literatura.

A principal característica desse padrão de escoamento é a repetição

intermitente, no espaço e no tempo, de duas estruturas distintas: bolha alongada e

pistão de líquido. A bolha alongada escoa ao lado de um filme de líquido em uma

geometria anular (na vertical) ou estratificada (na horizontal). O pistão de líquido

possui pequena concentração de gás na forma de pequenas bolhas dispersas.

No escoamento vertical a bolha alongada possui simetria em relação ao eixo

central do tubo, enquanto no escoamento horizontal a bolha alongada é deslocada

para cima devido ao efeito da gravidade, e encosta-se à parede do tubo. No

escoamento inclinado as características são semelhantes às do escoamento

horizontal até determinado ângulo de inclinação crítico em que a bolha alongada

deixa de tocar a parede do tubo. Esse ângulo crítico é desconhecido, pois depende

de diversos parâmetros do escoamento (vazões, geometria, propriedades dos


fluidos, condições de operação). Além disso, no escoamento vertical o pistão de

líquido é mais aerado do que no escoamento horizontal.

Imagens fotográficas do escoamento em golfadas são encontradas nos

trabalhos de Fagundes Netto (1999) para o escoamento horizontal e Talvy et al.

(2000) para o escoamento vertical. De forma ilustrativa, as imagens apresentadas

pelos autores são representadas nas Figuras 2.1a e 2.1b. Nota-se que a frente da

bolha alongada tem formato cilíndrico, pois a bolha tende a minimizar o arrasto de

forma. Na traseira da bolha percebe-se um formato mais complexo, com

desprendimento de pequenas bolhas e uma esteira.

a)

Bolha alongada

Pistão de líquido

b)

Figura 2.1 – Representação do escoamento em golfadas a) horizontal ou inclinado e

b) vertical

O estudo do movimento do líquido ao redor da bolha alongada é importante,

pois auxilia a entender como o escoamento em golfadas ocorre. Diversos autores

estudaram o movimento do líquido ao redor da bolha alongada, tanto

experimentalmente, com a medição das velocidades, como numericamente, através

da simulação do escoamento ao redor da bolha.

Mao e Dukler (1989) realizaram um estudo experimental e mediram diversos

parâmetros do escoamento vertical, como as velocidades e comprimentos de bolhas


e pistões, frações de vazio e as tensões cisalhantes na parede. Bugg et al. (1998)

implementaram um modelo numérico bidimensional baseado em diferenças finitas

para determinar as linhas de corrente ao redor da bolha. Taha e Cui (2006) também

obtiveram as linhas de corrente ao redor de uma bolha alongada numericamente,

porém, utilizaram o programa comercial Fluent para uma análise tridimensional.

Polonsky et al. (1999), van Hout et al. (2002) e Nogueira et al. (2006) utilizaram a

técnica de PIV (particle image velocimetry) para a visualização do escoamento ao

redor da bolha em seus experimentos.

Alguns resultados apresentados por esses autores são esquematizados nas

Figuras 2.2 e 2.3. As Figuras 2.2a e 2.3a apresentam as linhas de corrente a partir

de um referencial que se move junto com a bolha alongada. O escoamento é suave

ao redor do nariz da bolha devido ao formato cilíndrico. No entanto, na traseira da

bolha forma-se uma esteira onde ocorrem recirculações que geram o

desprendimento de pequenas bolhas.

xy

xya)

b)

c)

Figura 2.2 – Representação das linhas de corrente no líquido em um referencial a)

se movendo com a bolha e b) estacionário, e c) representação dos perfis de

velocidade no líquido

As Figuras 2.2b e 2.3b apresentam as linhas de corrente a partir de um

referencial estacionário, e percebe-se que a bolha alongada empurra o líquido que


está à sua frente. No escoamento vertical, o líquido que passa pelo filme é acelerado

para trás e, ao chegar ao pistão seguinte, se desacelera e muda de direção,

causando a recirculação. Além disso, no escoamento horizontal, a velocidade do

líquido no filme é sempre positiva, enquanto no escoamento vertical a velocidade do

filme pode ser negativa devido ao efeito gravitacional.

Nas Figuras 2.2c e 2.3c estão apresentados os perfis de velocidade do líquido

no filme e no pistão a partir de um referencial estacionário. O líquido em contato com

a parede é estacionário, mas na região do filme, as camadas superiores são

arrastadas pela interface com a bolha alongada de forma semelhante ao

escoamento de Couette. No caso do escoamento vertical, mesmo a bolha se

movendo para cima, na fronteira do gás com o filme de líquido a velocidade é

negativa. No pistão, o perfil de velocidades necessita de uma distância para se

recuperar da aceleração abrupta e atingir o perfil característico de regime

permanente. É importante ressaltar que os desenhos apresentados são apenas

ilustrativos.


x

x

y

y

a) b) c)

Figura 2.3 – Linhas de corrente para o escoamento vertical

Outro parâmetro importante no escoamento em golfadas é o comportamento

da pressão ao longo da célula unitária. Dukler e Hubbard (1975) mediram a variação

temporal da pressão entre determinada posição no tubo e a saída no escoamento

horizontal. Pinto e Campos (1996) utilizaram um medidor de pressão diferencial em

uma posição do tubo no escoamento vertical.

Os resultados obtidos por Dukler e Hubbard (1975) e Pinto e Campos (1996)

são resumidos através da Figura 2.4, que apresenta as bolhas 1 e 2, com pressões

1P e 2P , separadas por um pistão. A pressão ao longo da bolha alongada é

constante, e, no pistão de líquido, há uma variação de pressão, SPΔ , devido ao atrito

nas paredes e força gravitacional (no escoamento vertical ou inclinado). No entanto,

logo no início do pistão existe uma variação de pressão mais acentuada. Dukler e

Hubbard (1975) chamaram essa variação de MixPΔ , que surge devido à mistura do

líquido que vem do filme e é incorporado ao pistão seguinte. O termo MixPΔ está

relacionado à expansão súbita de um jato de líquido, que é um fenômeno complexo


devido à geometria em que a expansão ocorre. Mais tarde, Taitel e Barnea (1990b)

concluíram que a variação de pressão MixPΔ também pode ser calculada a partir das

forças gravitacionais e de atrito que atuam no filme de líquido.

1

P1

Pre

ssão

P2

x

ΔPS

LB LS

LMix

ΔPMix

P3

2 3

Figura 2.4 – Representação da queda de pressão ao longo do escoamento em

golfadas

Os estudos apresentados anteriormente tiveram como motivação o

conhecimento de parâmetros específicos do escoamento em golfadas, como queda

de pressão ou perfis de velocidades. Esses parâmetros são importantes, pois

servem de base para a correta modelagem do fenômeno. Outros trabalhos foram

realizados com o intuito de modelar o escoamento para o cálculo de variáveis

importantes para utilização em projetos de engenharia. A seguir são apresentados

alguns modelos com essa característica.

2.1.1 Modelos estacionários

Os primeiros modelos propostos para calcular parâmetros de interesse do

escoamento em golfadas são os modelos chamados de estado estacionário ou

modelos de célula unitária. Essa definição é devido à consideração de que o

escoamento é estacionário e periódico, ou seja, uma única célula (bolha e pistão) se

repete tanto no tempo como no espaço. Com essa simplificação, todos os cálculos


são realizados para uma única célula e extrapolados para todo o comprimento do

tubo.

Um dos primeiros estudos foi realizado por Wallis (1969), que definiu o

conceito de célula unitária. O autor utilizou correlações existentes na época para

calcular a velocidade da bolha e propôs uma forma simples de se calcular a queda

de pressão gravitacional e por atrito.

Em seguida, Dukler e Hubbard (1975) realizaram um estudo experimental do

escoamento em golfadas na horizontal. Os autores apresentam características do

escoamento que são aceitas até hoje, como a queda de pressão devido à

aceleração do líquido que passa do filme para o pistão que o segue. A partir do

modelo proposto por eles pode-se calcular os parâmetros de interesse, como

comprimentos de bolha e pistão e queda de pressão na célula. No entanto, esse

modelo despreza a intermitência (aleatoriedade) do escoamento e necessita de

algumas equações adicionais de fechamento, como a freqüência da célula e a

fração de líquido no pistão.

Fernandes et al. (1983) realizaram um estudo do escoamento em golfadas na

vertical. O trabalho segue a linha proposta por Dukler e Hubbard (1975), porém inclui

algumas características importantes ao escoamento vertical. Os autores também

propõem uma rede de equações para a solução do escoamento, porém são

necessárias equações de fechamento.

Mais recentemente, Taitel e Barnea (1990a) apresentam um modelo

estacionário mais genérico para o escoamento em golfadas. Os autores apresentam

a modelagem genérica para o escoamento horizontal, vertical e inclinado. Além

disso, os autores propõem três modelos para levar em consideração o formato da

bolha alongada (também chamado de modelo de bolha), o que não havia sido feito

pelos autores anteriores. No entanto, mesmo sendo o trabalho mais completo sobre

a modelagem em estado estacionário, ainda são necessárias equações de

fechamento.

Os modelos de estado estacionário possuem grandes restrições e

simplificações. Porém, a sua resolução é muito simples (apenas equações

algébricas) e resulta no cálculo de valores médios “razoáveis” de propriedades

físicas do escoamento em golfadas, o que explica sua grande aceitação e utilização

na indústria.


2.1.2 Modelos transientes

Com o desenvolvimento dos computadores, surgiram novas metodologias

para o cálculo dos parâmetros no escoamento bifásico durante processos

transientes. As três principais metodologias são as de dois fluidos, drift flux e

seguimento de pistões (slug tracking). Uma revisão dos modelos de dois fluidos e

drift flux é apresentada no apêndice C e, a seguir, é apresentada a revisão dos

modelos de seguimento de pistões.

Nos modelos de seguimento de pistões, cada pistão e bolha do escoamento

são considerados objetos distintos, que são propagados ao longo da tubulação.

Dessa forma, cada volume de controle computacional tem comprimento da ordem

dos comprimentos de bolhas e pistões, o que diminui consideravelmente o número

de equações a serem resolvidas e diminui erros na solução numérica.

Um dos primeiros trabalhos desenvolvidos com a metodologia de seguimento

de pistões foi o de Barnea e Taitel (1993). Os autores apresentam um modelo bem

simplificado, em que o líquido e o gás são considerados como incompressíveis, os

pistões não possuem bolhas de gás dispersas, e a fração de líquido no filme abaixo

da bolha é constante. Devido a essas considerações, todos os pistões possuem a

mesma velocidade, e a traseira da bolha tem a mesma velocidade de translação que

a frente da bolha. A velocidade de translação da frente da bolha é calculada, a cada

passo de tempo e para cada célula, em função da velocidade do pistão à sua frente

e uma correção devido ao comprimento do pistão à frente da bolha devido à esteira

(quanto menor o pistão, maior é a velocidade da bolha). Dessa forma, pistões

pequenos tendem a desaparecer, devido às coalescências.

Como condição de entrada das células na tubulação, os autores testaram a

entrada de uma população de pistões seguindo uma distribuição uniforme ou uma

distribuição normal, porém, obtiveram resultados semelhantes para as duas

condições. Os comprimentos das bolhas na entrada são calculados de forma

proporcional aos comprimentos dos pistões. Além disso, no modelo apresentado,

nenhuma consideração foi feita com relação à queda de pressão ou à variação de

quantidade de movimento nos pistões. Os autores testaram o modelo em uma

tubulação vertical e para o avanço das frentes das bolhas foi utilizado o método de

discretização por diferenças finitas explícito no tempo.


Em seguida, Zheng et al. (1994) aprimoraram o modelo de Barnea e Taitel

(1993) para a simulação do escoamento em terrenos acidentados (hilly terrain), com

variação discreta na inclinação em determinados locais da tubulação. As inovações

desse modelo são a consideração dos pistões aerados, com a fração de líquido no

pistão calculada em função da velocidade do pistão (que continuava sendo igual

para todos os pistões) e a adição de modelos para a geração e dissipação de

pistões durante a passagem em uma mudança brusca de inclinação.

Logo depois, Nydal e Banerjee (1995) apresentaram um modelo considerando

o pistão como não-aerado, a fração de líquido no filme variável e o gás

compressível. Os autores utilizam quatro equações para calcular os parâmetros ao

longo do tempo, através de uma discretização explícita no tempo: equação de

conservação da quantidade de movimento no pistão de líquido para o cálculo da

velocidade do pistão, equação de conservação da massa na bolha para o cálculo da

pressão do interior da bolha, equação de conservação da massa de líquido no filme

para calcular a altura do filme, e equação de conservação da quantidade de

movimento no filme para calcular a velocidade do filme. As velocidades das frentes

das bolhas são calculadas em função da velocidade do pistão. Os autores aplicam o

modelo ao escoamento em terrenos acidentados, e introduzem uma população de

pistões na entrada do tubo distribuídos uniformemente.

Mais tarde, Taitel e Barnea (1998) propuseram um novo modelo de

seguimento de pistões, considerando diversos efeitos que haviam sido

negligenciados. Nesse modelo, o gás é considerado como compressível e ideal, a

fração de líquido no filme é variável e considerada igual à altura de filme de

equilíbrio, a fração de líquido no pistão é calculada em função da velocidade do

pistão (que agora é variável devido à expansão do gás) e a queda de pressão é

calculada. Os valores das velocidades dos pistões e das pressões nas bolhas são

calculados através de um sistema linear de equações que surgem devido à

aplicação do balanço de quantidade de movimento na célula, desprezando-se os

termos de variação e fluxo de quantidade de movimento (ou seja, a somatória de

forças na célula é nula), e do “balanço de volume” entre dois pistões adjacentes, que

representa a variação da velocidade superficial de um pistão até outro devido à

expansão do gás.


Os autores apresentam resultados para esse modelo apenas no escoamento

horizontal, e com entrada de todos os pistões com mesmo comprimento. Pouco

tempo depois, Taitel e Barnea (2000) estenderam o seu modelo para o escoamento

em terrenos acidentados, incorporando os mecanismos de geração e

desaparecimento de pistões apresentado em Zheng et al. (1994).

Nydal et al. (2003) apresentaram um modelo semelhante ao apresentado por

Nydal e Banerjee (1995), porém, incorporaram a aeração do pistão e um modelo

para simular processos de pigging (limpeza de tubulações utilizando-se uma esfera

com diâmetro semelhante ao da tubulação). Nesse caso, a esfera é considerada

como um pistão, com alguns atributos modificados. Além disso, os autores

apresentam comparações com experimentos em tubulações com mudança de

inclinação, como risers.

Mais recentemente, Al-Safran et al. (2004) utilizaram o modelo proposto em

Taitel e Barnea (2000) e compararam os resultados das simulações com dados

experimentais obtidos no TUFFP (Tulsa University Fluid Flow Projects) para dois

casos de escoamento em terrenos acidentados. Segundo os autores, a comparação

dos resultados é boa.

Grenier (1997) apresentou um modelo de seguimento de pistões, que foi

reapresentado por Franklin e Rosa (2004), e segue alguns conceitos do modelo de

Nydal e Banerjee (1995). O gás é considerado compressível e ideal, o pistão é não-

aerado e a fração de líquido no filme é constante. O modelo é baseado na aplicação

das equações de conservação da massa e quantidade de movimento na forma

integral a volumes de controle que seguem as bolhas e pistões. A equação de

conservação da quantidade de movimento é aplicada ao pistão de líquido, sem

desconsiderar os termos de variação e fluxo da quantidade de movimento no pistão,

resultando em uma equação para a variação temporal da velocidade do pistão.

Franklin e Rosa (2004) mostraram que o termo de fluxo de quantidade de

movimento pode ser escrito como a soma dos termos de queda de pressão devido à

aceleração do líquido que passa do filme para o pistão e devido à diferença de

pressão hidrostática entre o filme na traseira da bolha e o pistão. A equação de

conservação da massa é aplicada à fase de gás na célula resultando em uma

equação para a variação temporal da pressão no interior da bolha. A entrada das


bolhas e pistões na tubulação é realizada de maneira periódica (todas as bolhas e

pistões possuem os mesmos comprimentos).

Mais recentemente, Ujang et al. (2006) propuseram seu modelo de

seguimento de pistões. Os autores consideraram o gás como incompressível e o

pistão é aerado, porém as velocidades do líquido e do gás no pistão são iguais. A

fração de líquido no filme é calculada através do balanço de quantidade de

movimento em regime estacionário e a transferência de gás da bolha para o pistão

seguinte é modelada através de uma equação experimental. As variáveis primárias

são a massa de gás e o comprimento de cada objeto (bolha ou pistão) e a

discretização é explícita no tempo. Os autores propõem uma forma de inserção de

bolhas a partir de uma distribuição não-correlacionada de Poisson, baseada em

dados experimentais. O modelo só é válido para o escoamento horizontal, devido às

correlações utilizadas para modelar a transferência de gás da bolha para o pistão

seguinte.

Finalmente, Rodrigues (2006) utilizou o modelo proposto por Franklin e Rosa

(2004), porém, o pistão de líquido foi considerado como aerado e a equação de

conservação da quantidade de movimento foi aplicada a toda a célula,

considerando-se os termos de variação de quantidade de movimento e fluxo de

quantidade de movimento no filme de líquido. Além disso, o autor propôs um modelo

para a inserção das células de forma intermitente (aleatória), com uma população de

bolhas e pistões calculados com base em uma distribuição normal para a velocidade

das bolhas na entrada.

No entanto, os resultados mostraram que os termos de inércia do filme de

líquido não são relevantes, e o modelo de intermitência utilizado introduzia a

intermitência somente em uma variável, a velocidade da bolha. Além disso, alguns

resultados para o escoamento vertical foram apresentados, porém, sem muitos

dados experimentais para comparação.

O presente trabalho é uma evolução do trabalho de Rodrigues (2006). Na

modelagem apresentada, as variáveis principais são as velocidades do líquido nos

pistões e as pressões no interior das bolhas, que são resultado da resolução de um

sistema de equações resolvido a cada passo de tempo. As frações de líquido no

pistão e no filme são consideradas variáveis no tempo e a entrada de bolhas e

pistões é realizada a partir de populações independentes para os comprimentos de


bolhas, comprimentos de pistões e velocidades superficiais de cada célula. Além

disso, são apresentados resultados e comparações para escoamentos horizontais e

verticais de ar e água, ar e solução de glicerina, e nitrogênio e óleo SAE20-50.

2.2 Definição de parâmetros importantes associados ao escoamento bifásico

em golfadas

Em escoamentos bifásicos, a diferenciação entre as velocidades de cada

fase, velocidade da mistura e velocidade superficial de cada fase, e a relação

dessas velocidades com as vazões volumétricas de cada fase são importantes. Em

uma seção transversal genérica de um escoamento bifásico, existe uma área

ocupada pelo líquido, LA , e uma área ocupada pelo gás, GA . As velocidades locais

das fases de líquido e gás são calculadas, respectivamente, por:

e GLL G

L G

QQU UA A

= = , (2.1)

onde LQ e GQ são as vazões volumétricas de líquido e gás na seção transversal

analisada. Além disso, define-se a fração de uma fase como a razão entre a área

ocupada por essa fase e a área de seção transversal, e, dessa forma:

e GLL G

AAR RA A

= = , (2.2)

onde A é a área da seção transversal. Substituindo-se as definições da Equação

(2.2), as velocidades de cada fase são escritas como:

e GLL G

L G

QQU UR A R A

= = . (2.3)


Uma variável mais comum de se utilizar é a velocidade superficial da fase.

Essa velocidade é definida como a velocidade que a fase teria se estivesse

escoando sozinha na tubulação, e é escrita como:

e GLL G

QQJ JA A

= = , (2.4)

onde LJ e GJ são as velocidades superficiais de líquido e gás.

A vazão volumétrica total na seção transversal é dada por:

L GQ Q Q= + , (2.5)

e, dessa forma, define-se a velocidade média da mistura (ou velocidade de mistura)

na seção transversal como:

L GQ QQJA A

+= = , (2.6)

e utilizando-se a Equação (2.4) obtém-se:

L GJ J J= + , (2.7)

ou seja, a velocidade da mistura é a somatória das velocidades superficiais de cada

fase. Além dessas definições mais importantes, é definida ainda a velocidade de

deslizamento de cada fase, como a diferença entre a velocidade da fase e a

velocidade da mistura, por exemplo, para o gás:

GD GU U J= − , (2.8)

e a velocidade relativa, como a diferença entre as velocidades das duas fases, por

exemplo, para o gás:


GR G LU U U= − . (2.9)

Combinando-se as Equações (2.8) e (2.9) obtém-se uma relação entre as

velocidades de deslizamento e relativa em função da fração de líquido:

GD L GRU R U= . (2.10)

As velocidades superficiais de líquido e gás, LJ e GJ , são variáveis de grande

utilização em escoamentos bifásicos, pois são facilmente relacionadas à vazão

volumétrica das fases. No escoamento de líquido e gás, geralmente, o líquido é

tratado como incompressível, e o gás como compressível. Dessa forma, a vazão

volumétrica do líquido (e, conseqüentemente, a velocidade superficial) é constante

ao longo de todo o escoamento. Por outro lado, a vazão volumétrica do gás varia ao

longo do escoamento, de acordo com a pressão. A Figura 2.5 apresenta um volume

de controle genérico englobando uma longa seção de uma tubulação com

escoamento bifásico de líquido e gás. A equação de conservação da massa de gás

em regime permanente aplicada a esse volume de controle resulta em:

1 1 2 2G G G GQ Qρ ρ= , (2.11)

onde Gρ é a massa específica do gás e GQ é a vazão volumétrica do gás, e os sub-

índices 1 e 2 referem-se às seções da tubulação mostradas na Figura 2.5.

Utilizando-se as definições de velocidade superficial, Equação (2.4), obtém-se:

1 1 2 2G G G GJ Jρ ρ= . (2.12)

Além disso, é comum considerar-se o gás como ideal, e, dessa forma, a equação de

estado para escoamento isotérmico resulta em:

cteG

G

Pρ

= , (2.13)


onde GP é a pressão do gás. Dessa forma, a Equação (2.12) é reescrita como:

1 1 2 2G G G GP J P J= , (2.14)

ou:

12 1

2

GG G

G

PJ JP

= , (2.15)

e a velocidade superficial do gás em qualquer seção do escoamento é calculada em

função da velocidade superficial em outra seção corrigida pela razão entre as

pressões. A Equação (2.15) mostra que, quando ocorre variação de pressão, a

velocidade superficial do gás também varia. No entanto, para pequenas variações

de pressão, a variação na velocidade superficial do gás também será pequena, e,

em alguns casos, desconsiderada.

ρG1 G1Q ρG2 G2Q1 2

Figura 2.5 – Volume de controle ao longo de um trecho de tubulação

2.3 Equações de fechamento

Tanto nos modelos estacionários quanto nos transientes, são necessárias

equações de fechamento. Nessa seção é apresentada uma revisão das equações

de fechamento para a velocidade das bolhas de gás, para a fração de líquido no

pistão e para a freqüência da célula unitária.


2.3.1 Velocidade de translação das bolhas de gás

As bolhas de gás no escoamento em golfadas são as bolhas alongadas e as

pequenas bolhas que podem aparecer dispersas no interior do pistão de líquido. A

seguir a forma como as velocidades dessas bolhas são calculadas é apresentada.

A velocidade das bolhas dispersas no interior do pistão de líquido GSU pode

ser escrita em função da velocidade da mistura no pistão, J , como:

GS GDU J U= + , (2.16)

onde GDU é a velocidade de deslizamento das bolhas dispersas, ou em função da

velocidade do líquido no pistão, LSU , como:

GS LS GRU U U= + , (2.17)

onde GRU é a velocidade relativa das bolhas dispersas no pistão. Uma relação para

a velocidade relativa das bolhas dispersas no escoamento vertical foi proposta por

Zuber e Hench apud Fernandes et al. (1983) e tem a forma:

( ) 0,250,5

21,53 L GGR LS

L

gU R

σ ρ ρρ

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦, (2.18)

onde σ é a tensão superficial entre o líquido e o gás, g é a aceleração da gravidade

e Lρ e Gρ são as massas específicas do líquido e do gás. Uma relação semelhante

pode ser obtida para a velocidade de deslizamento das bolhas dispersas utilizando-

se a Equação (2.10).

A velocidade de translação da bolha alongada tem um comportamento

diferente das bolhas dispersas, devido ao seu formato (é comum utilizar-se o termo

“bolha de Taylor” para se referenciar as bolhas alongadas do escoamento em

golfadas na vertical). Por isso, a velocidade de translação da bolha alongada não é

descrita conforme a Equação (2.17), mas é calculada a partir da superposição de

três efeitos, de acordo com a seguinte equação:


( )( )0 1T DU C J U h= + + , (2.19)

onde TU é a velocidade de translação da bolha alongada, J , a velocidade da

mistura no pistão à sua frente, 0C , a constante de influência do líquido em

movimento, DU , a velocidade de deslizamento e h , a constante que caracteriza a

influência da esteira da bolha precedente. A definição da Equação (2.19) é baseada

em três efeitos que ocorrem, a princípio, no escoamento vertical. No entanto,

equações semelhantes à (2.19) têm sido utilizadas para o escoamento horizontal.

Quando uma bolha está inserida em um líquido estacionário, a bolha se

movimenta devido às forças de empuxo. Esse efeito é caracterizado pela velocidade

de deslizamento, dada por DU . Além disso, se o líquido em que a bolha está inserida

estiver em movimento, a velocidade de ascensão da bolha é aumentada. A

constante 0C quantifica a relação entre a velocidade da mistura a frente da bolha e a

velocidade da bolha. Finalmente, em uma seqüência de bolhas, a esteira da bolha

precedente pode influenciar a velocidade da bolha seguinte. Esse efeito é

quantificado pela constante de esteira, h .

Diversos estudos têm sido realizados para a definição das constantes para

cálculo da velocidade da bolha. Alguns modelos estão apresentados na Tabela B.1

do apêndice B. De modo geral, considera-se que a velocidade da bolha alongada é

aproximadamente igual à velocidade máxima (na seção transversal) do pistão à sua

frente. Dessa forma, em escoamentos turbulentos, a constante 0C é

aproximadamente 1,2, enquanto em escoamentos laminares é próxima de 2.

Além disso, no escoamento horizontal, nota-se um número de Froude

(número adimensional que representa a razão entre as forças de inércia e

gravitacionais) crítico no qual a velocidade da bolha tem uma grande variação. Isso

se deve a movimentação vertical da frente da bolha, que tende a desencostar do

tubo quando o número de Froude é muito alto.

2.3.2 Fração de líquido no pistão

A fração de líquido no pistão, LSR , também conhecida por hold-up de líquido,

é um parâmetro importante no escoamento em golfadas. Seu conhecimento é


necessário para o cálculo correto da fração de líquido na região do filme de líquido,

uma vez que todo o gás presente na célula unitária está dividido entre a bolha

alongada e as pequenas bolhas dispersas no pistão. Além disso, a fração de líquido

no pistão é um fator primordial para o cálculo da queda de pressão devido à força da

gravidade, no escoamento vertical ou inclinado.

Após algumas observações experimentais, nota-se que no escoamento

vertical ascendente o pistão de líquido contém muitas bolhas dispersas, ao contrário

do escoamento horizontal. Esse comportamento é esperado, pois no escoamento

vertical o filme de líquido ao redor da bolha alongada tem velocidade negativa, ou

seja, está escoando em direção oposta ao pistão de líquido que o segue. No

momento em que o líquido passa do filme ao pistão de líquido seguinte, uma zona

de grande agitação é formada. Essa agitação é responsável pela remoção de

pequenas porções de gás da traseira da bolha, formando bolhas dispersas no

pistão. O mesmo fenômeno não acontece no escoamento horizontal, pois o líquido

no filme escoa na mesma direção da bolha.

Um problema ainda em aberto é a determinação da fração de líquido no

pistão em diversas inclinações de escoamento e de seu comportamento em

singularidades do tubo, como mudanças de inclinação e curvas de raio curto.

As pequenas bolhas dispersas no pistão podem, ainda, apresentar uma

distribuição axial ou radial. No escoamento horizontal, devido à atuação da

gravidade, as pequenas bolhas tendem a escoar pela parte superior do tubo,

enquanto no escoamento vertical a maior concentração de bolhas está na parte

central. Além disso, devido à grande agitação formada na região próxima à bolha

que precede o pistão (principalmente no escoamento vertical), a concentração de

bolhas nessa região é maior. Isso acontece, pois uma parte das pequenas bolhas

que se desprende da bolha alongada acaba voltando para a mesma. A Tabela B.2

do apêndice B apresenta alguns modelos para se calcular a fração de líquido no

pistão.


2.3.3 Freqüência da célula unitária

A freqüência de ocorrência das estruturas no escoamento bifásico líquido-gás

intermitente em golfadas é definida como o inverso do tempo de passagem de uma

célula, como:

1

U

ft

=Δ

, (2.20)

onde UtΔ é o tempo de passagem da célula unitária. Esse parâmetro é importante

para a modelagem do escoamento, pois se relaciona com a velocidade de

translação da bolha e comprimentos de pistão e líquido. De acordo com equações

dos modelos estacionários, a freqüência da célula unitária pode ser calculada como:

( )1, , TT T

U B S

UU Uf f fL L L

ββ −= = = , (2.21)

onde β é o fator de intermitência, definido como:

B

S B

LL L

β =+

. (2.22)

Portanto, conhecendo-se a freqüência do escoamento e algum outro

parâmetro pode-se, a partir das equações acima, obter uma estimativa dos

comprimentos médios característicos.

Além disso, a escolha do material das tubulações onde a mistura bifásica

escoa depende da freqüência do escoamento, pois é necessário evitar materiais

cuja freqüência natural de vibração seja próxima à freqüência de passagem das

células.

Existem diversos modelos para cálculo da freqüência em função de

parâmetros conhecidos do escoamento. Os mais antigos baseiam-se em resultados

de experimentos. A partir do ajuste de dados obtidos experimentalmente em função

de parâmetros conhecidos, foram propostas correlações para o cálculo da


freqüência. As correlações podem ser simples, com o cálculo da freqüência em

função de LJ e GJ , ou mais elaboradas, considerando as configurações geométricas

e reológicas do escoamento.

Uma outra forma para o cálculo da freqüência em escoamentos horizontais

surge a partir da modelagem da formação de pistões a partir do escoamento

estratificado. Essa metodologia é mais consistente fisicamente, porém, apresenta

maior dificuldade de implementação. A Tabela B.3 do apêndice B apresenta alguns

modelos para o cálculo da freqüência da célula. É importante notar que os últimos 4

modelos apresentados na Tabela B.3 são modelos baseados na transição do

escoamento estratificado para o escoamento em golfadas.

Capítulo 3 Modelagem matemática 28

3 MODELAGEM MATEMÁTICA

Esse capítulo apresenta a modelagem matemática do escoamento em

golfadas visando à implementação em um modelo de seguimento de pistões. As

equações de conservação da massa e quantidade de movimento na forma integral e

unidimensional são aplicadas a volumes de controle móveis e deformáveis que

envolvem o pistão e a região da bolha de gás e filme de líquido. O desenvolvimento

dessas equações resulta em duas equações diferenciais em relação ao tempo

acopladas, para as variáveis LSU , velocidade média do líquido no pistão, e GBP , a

pressão na bolha, para a j-ésima célula (pistão seguido de uma bolha) genérica do

escoamento. Equações auxiliares necessárias para modelar o deslocamento da

frente e traseira da bolha ao longo do tubo em função de LSU e GBP , modelar as

forças de atrito na parede e calcular a velocidade do filme de líquido são

apresentadas. A modelagem das singularidades que ocorrem no escoamento em

golfadas também é apresentada.

As hipóteses utilizadas na modelagem são:

• Modelo unidimensional.

• Líquido incompressível.

• Gás ideal.

• Escoamento isotérmico e sem mudança de fase.

• Quantidade de movimento associada ao gás e à região do filme de líquido

desprezível.

• Pressão do gás não varia axialmente no interior de uma bolha alongada.

• Concentração de bolhas de gás em cada pistão não varia axialmente.

• Filme de líquido não aerado.

• Forças interfaciais entre o gás e o líquido desprezadas.

3.1 Equações de conservação aplicadas a uma célula genérica

Nessa seção as equações de conservação da massa e de quantidade de

movimento são aplicadas a volumes de controle que envolvem a j-ésima célula do


escoamento, representada na Figura 3.1. O comprimento do pistão de líquido j é

SjL , o comprimento da bolha é BjL , a pressão do gás no interior da bolha j é GBjP ,

LSjU e GSjU são as velocidades médias do líquido e do gás, respectivamente, no

pistão j , LBjU é a velocidade média do líquido no filme e θ é o ângulo de inclinação

do tubo com a horizontal.

A equação de conservação da massa é aplicada às fases de líquido e de gás

em toda a célula, enquanto a equação de conservação da quantidade de movimento

é aplicada apenas à fase de líquido no interior do pistão. Para facilitar a modelagem,

primeiramente a equação de conservação da massa é aplicada às fases de líquido e

de gás no pistão, e, na seqüência, às fases de líquido e de gás na região da bolha

alongada e filme de líquido. Em seguida, a equação de conservação da quantidade

de movimento é aplicada ao pistão. Ao final da modelagem, duas equações

diferenciais em relação ao tempo são obtidas para as variáveis LSjU e GBjP .

j ésima célula

LSj

LBj

ULSj

ULBj

PGBj

UGSj

Figura 3.1 – Representação da j-ésima célula genérica do escoamento em golfadas

A equação de conservação da massa na forma integral aplicada a um volume

de controle é dada por:

0VC SC

dV V dAt

ρ ρ∂+ ⋅ =

∂ ∫ ∫ , (3.1)


onde ρ é a massa específica, V é a velocidade, A é a área superficial do volume

de controle, V é o volume e t é o tempo. O primeiro termo da Equação (3.1) é a

variação temporal da massa no interior do volume de controle, e o segundo termo é

o fluxo líquido de massa que cruza a superfície de controle.

A equação de conservação da quantidade de movimento unidimensional na

forma integral em relação a um referencial inercial é:

VC SC

udV uV dA Ft

ρ ρ∂+ ⋅ =

∂ ∑∫ ∫ , (3.2)

onde u é a componente axial da velocidade e F∑ representa as forças externas

que atuam no volume de controle. A seguir as Equações (3.1) e (3.2) são aplicadas

ao escoamento em golfadas.

3.1.1 Conservação da massa na célula

A seguir, a equação de conservação da massa é aplicada para as fases de

líquido e de gás presente nas regiões do pistão e da bolha e filme. O objetivo é obter

uma equação que relacione a pressão do gás na bolha, GBP , com a velocidade do

líquido no pistão, LSU .

Líquido no pistão

A Figura 3.2 apresenta o volume de controle (tracejado) definido pelas

fronteiras do pistão j , ou seja, a parede do tubo na direção radial, e as coordenadas

jx e jy na direção axial. São apresentados, também, os fluxos de massa de líquido

e gás que cruzam as fronteiras do volume de controle nas coordenadas jx e jy .


yj LSj

xj

mLxj

mGxj

mGyj

mLyj

.

.

.

.

Figura 3.2 – Volume de controle definido pelas fronteiras do pistão

A equação de conservação da massa para a fase de líquido no interior do

volume de controle apresentado na Figura 3.2 é:

( ) 0j jL LSj Sj L LSxj LSxj L LSyj LSyj

dx dyd AR L AR U AR Udt dt dt

ρ ρ ρ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, (3.3)

onde A é a área da seção transversal do tubo, Sj j jL x y= − é o comprimento do

pistão, LSjR é a fração volumétrica de líquido média no pistão, definida pela razão

entre o volume de líquido e o volume total do pistão, LSxjR e LSyjR são as frações de

líquido nas fronteiras jx e jy , respectivamente, definidas como a razão entre a área

de líquido e a área da seção transversal do tubo, Lρ é a massa específica do

líquido, LSxjU e LSyjU são as velocidades do líquido nas fronteiras jx e jy ,

respectivamente, jdx dt e jdy dt são as velocidades das fronteiras jx e jy ,

respectivamente, e t é o tempo.

O primeiro termo da Equação (3.3) representa a variação da massa de líquido

no interior do pistão, enquanto os segundo e terceiro termos representam a

contribuição dos fluxos de massa de líquido através da superfície de controle.

As frações de líquido nas fronteiras do pistão, LSxjR e LSyjR , são ligeiramente

diferentes entre si. No entanto, a consideração dessa diferença tornaria a

modelagem complexa. Por isso, nesse trabalho, é considerado que as frações de

líquido nas fronteiras são iguais entre si e iguais à fração de líquido média ao longo


do pistão. Essa aproximação significa que as bolhas dispersas estão uniformemente

distribuídas axialmente ao longo do pistão. Dessa forma:

LSxj LSyj LSjR R R= = . (3.4)

Substituindo-se essa definição e dividindo-se por L Aρ , a Equação (3.3) se torna:

SjLSj

dLR

dt( )LSj j j

Sj LSj LSxj LSyj LSj

dR dx dyL R U U R

dt dt dt⎛ ⎞

+ + − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

0= . (3.5)

Desenvolvendo-se a Equação (3.5) e reorganizando obtém-se:

Sj LSjLSxj LSyj

LSj

L dRU U

R dt− = − . (3.6)

A Equação (3.6) indica que as velocidades do líquido nas fronteiras do pistão não

são iguais entre si, devido à variação temporal da fração de líquido média no pistão.

Essa equação possui duas incógnitas, LSxjU e LSyjU , e, para ser resolvida, uma

equação adicional deve ser utilizada. Aproximando-se a velocidade média do líquido

no pistão, LSjU , como a média aritmética das velocidades do líquido nas fronteiras:

2

LSxj LSyjLSj

U UU

+= , (3.7)

e resolvendo-se em conjunto com a Equação (3.6), as velocidades nas fronteiras do

pistão são expressas em função da velocidade média do pistão e da taxa de

variação de LSjR :

2

Sj LSjLSxj LSj

LSj

L dRU U

R dt= − , (3.8)


e:

2

Sj LSjLSyj LSj

LSj

L dRU U

R dt= + . (3.9)

Nas Equações (3.8) e (3.9) está implícita a conservação da massa de líquido no

pistão. A seguir, uma análise semelhante será realizada para a fase de gás.

Gás no pistão

A equação de conservação da massa para a fase de gás no volume de controle da

Figura 3.2 é:

( ) ( )

( )

11 1

1 0

jGSj LSj Sj GBj LSxj GSxj

jGBj LSyj GSyj

dxd A R L A R Udt dt

dyA R U

dt

ρ ρ

ρ

+

⎛ ⎞⎡ ⎤− + − − −⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎛ ⎞

− − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

, (3.10)

onde GSxjU e GSyjU são as velocidades do gás no pistão junto às fronteiras jx e jy ,

respectivamente, GSjρ é a massa específica média do gás ao longo do pistão, GBjρ e

1GBjρ + são as massas específicas do gás no interior das bolhas j e 1j + ,

respectivamente.

O primeiro termo da Equação (3.10) representa a variação da massa de gás

no interior do pistão, enquanto os segundo e terceiro termos representam os fluxos

mássicos de gás que cruzam a superfície de controle. É importante ressaltar que a

massa específica do gás, ao contrário da massa específica do líquido, é variável em

relação ao tempo e ao espaço.

A Equação (3.10) é de difícil resolução, pois a massa específica do gás que

cruza a superfície de controle é diferente da massa específica média ao longo do

pistão. No entanto, essa diferença é muito pequena, devido à ordem de grandeza do

comprimento do pistão em relação à tubulação. Assim, utiliza-se a aproximação:


1GSj GBj GBjρ ρ ρ+∼ ∼ . (3.11)

Dividindo-se a Equação (3.10) pela área do tubo e pela massa específica do gás na

bolha j , GBjρ , desenvolvendo-se os termos da derivada e considerando-se as

simplificações das Equações (3.4) e (3.11), obtém-se:

( ) ( )

( ) ( )

11 1

1 1 0

Sj LSj GBjLSj Sj Sj LSj

GBj

j jLSj GSxj LSj GSyj

dL dR dR L L R

dt dt dt

dx dyR U R U

dt dt

ρρ

− − + − +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. (3.12)

Dividindo-se a Equação (3.12) por ( )1 LSjR− e reorganizando os termos, obtém-se:

( ) 01

Sj Sj LSj Sj GBj SjGSxj GSyj

GBjLSj

dL L dR L d dLU U

dt dt dt dtRρ

ρ− + + − − =

−, (3.13)

e evidenciando-se as velocidades do gás no pistão:

( )1 1

1LSj GBj

GSxj GSyj SjGBjLSj

dR dU U L

dt dtRρ

ρ

⎡ ⎤− = −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦. (3.14)

A Equação (3.14) é similar à Equação (3.6) obtida no balanço de massa de líquido

no pistão. Da mesma forma, é necessária uma segunda equação para se calcular as

velocidades do gás nas fronteiras do pistão em função da velocidade de gás média.

Definindo-se a velocidade de gás média no pistão, GSjU , como a média aritmética

das velocidades do gás nas fronteiras:

2

GSxj GSyjGSj

U UU

+= , (3.15)

e combinando-se com a Equação (3.14) obtém-se:


( )

1 12 1Sj LSj GSj

GSxj GSjGSjLSj

L dR dU U

dt dtRρ

ρ

⎡ ⎤= + −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦, (3.16)

e:

( )

1 12 1Sj LSj GSj

GSyj GSjGSjLSj

L dR dU U

dt dtRρ

ρ

⎡ ⎤= − −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦. (3.17)

As Equações (3.16) e (3.17) garantem a conservação da massa de gás no pistão de

líquido. A seguir serão obtidas as equações para a região da bolha.

Líquido no filme

Na seção anterior as equações de conservação da massa de gás e líquido no

pistão foram obtidas. Os resultados foram expressos através das velocidades que

essas fases têm nas fronteiras que o pistão faz com as bolhas adjacentes. Essas

velocidades serão utilizadas a seguir, nos balanços de massa de líquido no filme e

de gás na bolha alongada.

A Figura 3.3 apresenta um volume de controle (tracejado) definido pelas

fronteiras da bolha alongada e filme de líquido, ou seja, a parede do tubo na direção

radial e as coordenadas 1jx − e jy na direção longitudinal. São apresentados,

também, os fluxos mássicos de líquido e gás que cruzam as fronteiras do volume de

controle.

yj

LBjxj-1

mLxj-1

mGxj-1

mGyj

mLyj

.

.

.

.

Figura 3.3 – Volume de controle definido pelas fronteiras do filme e bolha alongada


A equação de conservação da massa para a fase líquida do volume de

controle apresentado na Figura 3.3 é:

( ) 11 1 0j j

L LBj Bj L LSyj LSyj L LSxj LSxj

dy dxd AR L AR U AR Udt dt dt

ρ ρ ρ −− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠, (3.18)

onde LBjR é a fração volumétrica de líquido média na região da bolha e filme,

definida pela razão entre o volume de líquido no filme e o volume total da seção de

comprimento 1Bj j jL y x −= − . Desenvolvendo-se os termos da derivada da Equação

(3.18), dividindo-a por L Aρ e substituindo-se a definição da Equação (3.4) e o

resultado das Equações (3.8) e (3.9) para as velocidades do líquido nas fronteiras do

pistão (dessa forma a equação de conservação da massa de líquido no pistão é

satisfeita), a Equação (3.18) se torna:

1

1 1 11 1

1

2

02

j j LBj Sj LSj jLBj Bj LSj LSj

LSj

Sj LSj jLSj LSj

LSj

dy dx dR L dR dyR L R U

dt dt dt R dt dt

L dR dxR U

R dt dt

−

− − −− −

−

⎛ ⎞⎛ ⎞− + + + − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞− − − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

. (3.19)

Reorganizando-se a Equação (3.19) e evidenciando-se os termos comuns obtém-se:

( ) ( ) 1

1

1 11 12 2

j j LBjLSj LBj LSj LBj Bj

Sj LSj Sj LSjLSj LSj LSj LSj

dy dx dRR R R R L

dt dt dtL dR L dR

R U R Udt dt

−−

− −− −

− − − − −

− − = −. (3.20)

A Equação (3.20) é a conservação de massa de líquido no filme e no pistão. Nota-se

que o lado esquerdo dessa equação apresenta somente parâmetros, e o lado direito

apresenta parâmetros cinemáticos.


Gás na bolha

A equação de conservação da massa de gás para o volume de controle que

envolve a bolha, representado na Figura 3.3 é:

( ) ( )

( ) 11 1

1 1

1 0

jGBj LBj Bj GBj LSyj GSyj

jGBj LSxj GSxj

dyd A R L A R Udt dt

dxA R U

dt

ρ ρ

ρ −− −

⎛ ⎞⎡ ⎤− + − − −⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎛ ⎞

− − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

. (3.21)

Utilizando-se a aproximação da Equação (3.4) para as frações de líquido nas

fronteiras, e dividindo-se a Equação (3.21) por GBj Aρ :

( ) ( )

( ) ( ) 11 1

11 1

1 1 0

Bj LBj GBjLBj Bj Bj LBj

GBj

j jLSj GSyj LSj GSxj

dL dR dR L L R

dt dt dt

dy dxR U R U

dt dt

ρρ

−− −

− − + − +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. (3.22)

Desenvolvendo-se a Equação (3.22) e evidenciando-se os termos comuns, obtém-

se:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

11

1 1

1 1 1 1

11 1 1 0

j j LBjLBj LSj LBj LSj Bj

GBjBj LBj LSj GSjy LSj GSxj

GBj

dy dx dRR R R R L

dt dt dtd

L R R U R Udtρ

ρ

−−

− −

− − + − − − + − +

+ − + − − − =. (3.23)

Substituindo-se, ainda, os resultados das Equações (3.16) e (3.17) para as

velocidades do gás nas fronteiras e reorganizando, obtém-se:


( ) ( )

( ) ( )

( )

1 1 11

1 11 1

1

2 21 11 1

2 2

11

j j LBj Sj LSj Sj LSjLSj LBj LSj LBj Bj

Sj GBj Sj GBjLSj GSj LSj GSj

GBj GBj

GBjBj LBj

GBj

dy dx dR L dR L dRR R R R L

dt dt dt dt dtL d L d

R U R Udt dt

dL R

dt

ρ ρρ ρ

ρρ

− − −−

− −− −

−

− − − − − − =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + + − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −

. (3.24)

A Equação (3.24) representa a conservação da massa de gás na região da bolha.

Nota-se que o lado esquerdo da Equação (3.24) possui informações geométricas da

célula que são coincidentes com os da Equação (3.20), e o lado direito apresenta

relações cinemáticas para o gás na célula. A seguir as Equações (3.20) e (3.24)

serão combinadas.

Equações combinadas

Os lados esquerdos das Equações (3.20) e (3.24) são iguais. Dessa forma,

essas equações podem ser combinadas, o que resulta em:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

11 11 1

1

1 12

11 1 0

2

LBj LSjGBj Sj GBjLSj LSj LSj LSj Bj

GBj GBj

LSjSj GBjLSj GSj LSj GSj

GBj

R Rd L dR U R U L

dt dt

RL dR U R U

dt

ρ ρρ ρ

ρρ

− −

−− −− −

−

− −− + + +

−+ − − − =

. (3.25)

A Equação (3.25) apresenta as derivadas em relação ao tempo das massas

específicas do gás no interior das bolhas j e 1j − . Porém, como simplificação,

considera-se a diferença entre esses termos pequena. Assim, utiliza-se a

simplificação:

1GBj GBjd ddt dt

ρ ρ− ∼ . (3.26)


Além disso, a velocidade média do gás no pistão é escrita em função da velocidade

média do líquido no pistão, de acordo com a revisão bibliográfica apresentada no

Capítulo 2. Dessa forma:

DSjGSj LSj

LSj

UU U

R= + , (3.27)

onde DSjU é a velocidade de deslizamento das bolhas dispersas no pistão de líquido.

Substituindo-se essas definições, a Equação (3.25) se torna:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

111 1

1

11 1

1

1 1 12 2

1 1 0

LBj LSj LSjGBj Sj SjLSj LSj LSj LSj Bj

GBj GBj GBj

DSj DSjLSj LSj LSj LSj

LSj LSj

R R Rd L LR U R U L

dt

U UR U R U

R R

ρρ ρ ρ

−−− −

−

−− −

−

⎡ ⎤− − −− + + + +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ − + − − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. (3.28)

O gás presente na bolha é considerado como ideal à temperatura constante. Dessa

forma, sua massa específica e pressão são relacionadas por:

1 1G G

G G

d dPdt P dtρ

ρ= . (3.29)

Substituindo a definição (3.29), a Equação (3.28) é reorganizada como:

( ) ( ) ( )111

1

11

1

1 1 12 2

1 1

LBj LSj LSjGBj Sj SjLSj LSj Bj

GBj GBj GBj

LSj LSjDSj DSj

LSj LSj

R R RdP L LU U L

dt P P P

R RU U

R R

−−−

−

−−

−

⎡ ⎤− − −− = + + +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −

+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. (3.30)

A Equação (3.30) representa o balanço da conservação da massa na célula unitária.

Observa-se que a diferença das velocidades do líquido nos pistões adjacentes é

devida a expansão do gás da bolha entre os pistões (primeiro termo do lado direito)

e a diferença de velocidade das bolhas dispersas nos pistões (segundo e terceiro


termos do lado direito). Essa equação possui como incógnitas as velocidades do

líquido nos pistões j e 1j − , LSjU e 1LSjU − , e a derivada em relação ao tempo da

pressão do gás no interior da bolha j , GBjP .

3.1.2 Conservação da quantidade de movimento no pistão

A equação de conservação da quantidade de movimento para a fase líquida

do pistão é apresentada a seguir. É importante ressaltar que a quantidade de

movimento relativa à fase de gás foi desprezada, devido à grande diferença entre as

massas específicas do gás e do líquido. A equação de conservação da quantidade

de movimento aplicada à fase líquida do volume de controle definido pelo pistão

(Figura 3.2) é:

( )Sj L LSj Sj LSj LSxj Lxj LSyj LyjdF AR L U U m U mdt

ρ= + −∑ , (3.31)

onde os fluxos de massa de líquido que cruzam a superfície de controle nas

coordenadas jx e jy , respectivamente, são dados por:

jLxj L LSxj LSxj

dxm AR U

dtρ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠, (3.32)

e:

jLyj L LSyj LSyj

dym AR U

dtρ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠, (3.33)

e o termo do lado esquerdo da Equação (3.31) representa a somatória de forças

atuantes no pistão, que serão discutidas mais à frente. Substituindo-se as Equações

(3.32) e (3.33) na Equação (3.31) encontra-se:


( ) j

Sj L LSj Sj LSj LSxj L LSxj LSxj

jLSyj L LSyj LSyj

dxdF AR L U U AR Udt dt

dyU AR U

dt

ρ ρ

ρ

⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

− −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑. (3.34)

O primeiro termo do lado direito da Equação (3.34) é o acúmulo de quantidade de

movimento no interior do volume, enquanto o segundo e terceiro termos são os

fluxos de quantidade de movimento que cruzam as fronteiras. Expandindo-se a

derivada no primeiro termo do lado direito da Equação (3.34), utilizando-se a

simplificação da Equação (3.4) para as frações de líquido, e desenvolvendo-se,

obtém-se:

( )2 2

Sj LSj Sj LSjLSj Sj LSj LSj Sj LSj

L

j jLSj LSxj LSyj LSj LSxj LSyj

F dU dL dRR L R U L U

A dt dt dtdx dy

R U U R U Udt dt

ρ= + + +

⎛ ⎞+ − − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑. (3.35)

As velocidades do líquido no pistão que aparecem nos termos de fluxo de

quantidade de movimento na Equação (3.35) são as velocidades locais nas

fronteiras jx e jy , enquanto a velocidade do líquido no termo de acúmulo de

quantidade de movimento é a velocidade média. Na seção anterior, a diferenças

entre esses valores foram apresentadas, e as Equações (3.8) e (3.9) foram

desenvolvidas. Substituindo-se essas equações na Equação (3.35), o quarto termo

do lado direito é escrito como:

( )2 2 2 LSjLSj LSxj LSyj Sj LSj

dRR U U L U

dt− = − , (3.36)

e o quinto termo do lado direito é:

2

j j Sj Sj LSj j jLSj LSxj LSyj LSj LSj

LSj

dx dy dL L dR dx dyR U U R U

dt dt dt R dt dt dt⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− = − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

. (3.37)


Substituindo-se as Equações (3.36) e (3.37) na Equação (3.35) obtém-se:

Sj LSj SjLSj Sj LSj LSj

L

F dU dLR L R U

A dt dtρ= +∑ 2LSj LSj

Sj LSj Sj LSj

SjLSj LSj

dR dRL U L U

dt dt

dLR U

dt

+ − −

−2

Sj LSj j j

LSj

L dR dx dyR dt dt dt

⎡ ⎤⎛ ⎞− +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎝ ⎠⎥⎣ ⎦

. (3.38)

Cancelando-se os termos iguais e agrupando-se os termos semelhantes, obtém-se:

2

Sj LSj Sj j j LSjLSj Sj Sj LSj

L

F dU L dx dy dRR L L U

A dt dt dt dtρ⎡ ⎤⎛ ⎞

= + + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ . (3.39)

O termo do lado esquerdo da Equação (3.39) é o somatório das forças externas que

atuam no pistão, apresentadas na Figura 3.4 e definidas por:

( ) senSj LS LS LSj Sj L LSj Sjyj xjF P P A DL AR L gτ π ρ θ= − − −∑ . (3.40)

O primeiro termo do lado direito da Equação (3.40) corresponde à diferença das

pressões estáticas exercidas nas faces jy e jx do pistão. O segundo termo do lado

direito é a força de atrito exercida pela parede do tubo no líquido, e o terceiro termo

do lado direito é a força devido ao peso do líquido no volume de controle. Devido

aos resultados da equação de conservação da massa, é interessante que as

pressões que aparecem no primeiro termo do lado direito da Equação (3.40) sejam

relacionadas com as pressões do gás no interior das bolhas adjacentes ao pistão,

GBjP e 1GBjP + . O acoplamento dessas pressões é realizado na seção seguinte.


PLS j|y

PLS j|x

τ πLSj

SjDL

A

xj

y j

.

.

A

ρθ

LLSj SjAR L gsen

Figura 3.4 – Forças que atuam no volume de controle definido pelo pistão

3.1.3 Acoplamentos entre o pistão e as bolhas adjacentes

Nessa seção, são utilizadas as equações de conservação da massa e

quantidade de movimento aplicadas a volumes de controle infinitesimais, localizados

nas fronteiras entre o pistão j e as bolhas j e 1j + . Dessa forma, é possível

escrever as pressões das fronteiras do pistão de líquido em função das pressões do

gás no interior das bolhas.

Na Figura 3.5 está representado o volume de controle (tracejado) que envolve

o acoplamento entre a frente da bolha j e a traseira do pistão j . Esse volume é

indeformável e suas fronteiras se movem com velocidade jdy dt . Aplicando-se a

equação de conservação da massa a esse volume de controle e anulando-se os

termos de acúmulo obtém-se:

j jL LSyj LSyj L LByj LByj Lyj

dy dyAR U AR U m

dt dtρ ρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠, (3.41)

onde LByjR e LByjU são a fração de líquido e a velocidade do filme no início da bolha

alongada.


myj.

LSj

x j

yj

PGBj

PLS|yj

Figura 3.5 – Representação do volume de controle no acoplamento da traseira do

pistão com a frente da bolha

Aplicando-se a equação de conservação da quantidade de movimento ao

mesmo volume de controle obtém-se:

( ) ( )GBj LS Lyj LSyj Lyj LByj Lyj LSyj LByjyjP P A m U m U m U U− = − = − . (3.42)

O lado esquerdo da Equação (3.42) apresenta a relação entre as pressões no pistão

e na bolha. Porém, de acordo com os resultados experimentais para a variação de

pressão apresentados no Capítulo 2 (Revisão bibliográfica), a pressão na traseira do

pistão é a mesma pressão no interior da bolha, ou seja, não há uma variação brusca

de pressão. Dessa forma, o lado esquerdo da Equação (3.42) deve ser nulo. Isso só

é verdadeiro se o lado direito também for nulo, e LSyj LByjU U= . No Capítulo 2 também

foram mostradas linhas de corrente do líquido ao redor da bolha. Pode-se dizer que,

devido à curvatura do nariz da bolha, o escoamento é como o início de uma

contração suave e sem recirculações. Assim, a variação da velocidade é pequena, e

considera-se que não há salto de velocidade e pressão na traseira do pistão,

portanto:

LS GBjyjP P= . (3.43)

Na Figura 3.6 está representado o volume de controle que envolve a região

do acoplamento entre o pistão j e a bolha 1j + . O volume de controle é


indeformável e suas fronteiras se movem com velocidade igual a da traseira da

bolha, jdx dt .

mLxj.

LSj

x j

yj PGBj+1

PLS|xj

Figura 3.6 – Representação do volume de controle no acoplamento entre a frente do

pistão e a traseira da bolha

Aplicando-se a equação de conservação da massa ao volume representado

na Figura 3.6 e anulando-se os termos de acúmulo obtém-se:

1 1j j

L LSxj LSxj L LBj LBj Lxj

dx dxAR U AR U m

dt dtρ ρ + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠, (3.44)

onde 1LBjR + e 1LBjU + são a fração de líquido e a velocidade do líquido no filme da

bolha 1j + .

A equação de conservação da quantidade de movimento aplicada ao mesmo

volume de controle é:

( ) ( ) ( )1 1 11LS GBj HS HB Lxj LBj Lxj LSxj Lxj LBj LSxjxj xj jP P A F F m U m U m U U+ + ++

− + − = − = − , (3.45)

onde o segundo termo do lado esquerdo representa a diferença entre as pressões

hidrostáticas no pistão e na bolha. Esse termo aparece apenas nessa equação, pois

a variação da seção transversal preenchida com líquido varia bruscamente na

traseira da bolha, o que não acontece no acoplamento na frente da bolha.


A Equação (3.45) apresenta a relação entre a pressão na frente do pistão j e

na bolha 1j + . Analisando-se os resultados experimentais para a queda de pressão

obtidos na literatura e apresentados no Capítulo 2 nota-se que a diferença de

pressão 1LS GBjxjP P +− não é pequena. Aliás, essa diferença de pressão foi definida

como sendo MixPΔ . Substituindo-se 1LS GBjxjP P +− por MixPΔ na Equação (3.45) obtém-

se:

( ) ( )Mix 1 1Lxj LBj LSxj HS HBxj jP A m U U F F+ +

Δ ⋅ = − − − . (3.46)

A Equação (3.45) pode ser utilizada para relacionar as pressões no pistão e na

bolha à sua frente. Porém, o primeiro termo do lado direito da Equação (3.46) não é

de fácil implementação, pois está relacionado à expansão do filme para o pistão.

Como a modelagem apresentada é unidimensional, alguns efeitos devidos à

geometria tridimensional da expansão não são capturados. Assim, seria necessária

a utilização de constantes de ajuste na Equação (3.46). Na prática, essas constantes

não existem para a geometria da traseira da bolha em movimento, o que torna essa

abordagem inviável.

Para contornar o problema da Equação (3.46), o presente trabalho utilizará a

abordagem apresentada por Taitel e Barnea (1990b). Os autores identificam uma

forma alternativa de calcular a queda de pressão devido à mistura. Apesar do

modelo considerar o escoamento estacionário, pode ser utilizado como uma

aproximação no modelo de seguimento de pistões.

A Figura 3.7 apresenta um volume de controle que envolve o acoplamento

entre a frente do pistão j e a frente da bolha 1j + . Desprezando-se os termos de

acúmulo e os fluxos de quantidade de movimento no filme de líquido, a equação de

conservação da quantidade de movimento é dada por:

( )1 1 1 1 1 1 1 sen 0Bj LS GBj LBj LBj Bj L LBj BjxjF P P A S L AR L gτ ρ θ+ + + + + + += − − − =∑ . (3.47)


Na Equação (3.47) o segundo e terceiro termos são referentes ao atrito na parede

do filme de líquido e a força gravitacional, 1LBjτ + é a tensão cisalhante na parede e

1LBjS + é o perímetro molhado médio no filme.

LBjx j

yj+1

PGBj+1

PLS|xj

Figura 3.7 – Representação do volume de controle no acoplamento entre a frente do

pistão e a frente da bolha

A Equação (3.47) apresenta uma relação entre as pressões na frente do

pistão j e na bolha 1j + . Essa relação é baseada apenas em forças de atrito e

gravitacionais, que são de compreensão mais fácil que o fenômeno de ressalto

hidráulico. Por isso, a forma da Equação (3.47) foi a escolhida para esse trabalho.

Evidenciando-se o termo da pressão que atua no pistão de líquido, obtém-se:

1 1 1 1 1Mix 1

senLBj LBj Bj L LBj BjLS GBjxj

S L AR L gP P P

Aτ ρ β+ + + + +

+

+Δ = − = . (3.48)

Esse resultado foi demonstrado originalmente por Taitel e Barnea (1990b). Os

resultados das Equações (3.43) e (3.48) devem ser substituídos na Equação (3.40),

o que resulta:

( )

( )1 1 1 1

1 1 sen

Sj GBj GBj LSj Sj LBj LBj Bj

L LSj Sj LBj Bj

F P P A DL S L

A R L R L g

τ π τ

ρ θ

+ + + +

+ +

= − − − −

− +

∑. (3.49)


Substituindo-se as forças da Equação (3.49), a Equação (3.39) se torna:

( ) ( )1 1 1 11 1 sen

2

GBj GBj LSj Sj LBj LBj BjLSj Sj LBj Bj

L L L

LSj Sj j j LSjLSj Sj Sj LSj

P P DL S LR L R L g

A A

dU L dx dy dRR L L U

dt dt dt dt

τ π τθ

ρ ρ ρ+ + + +

+ +

−− − − + =

⎡ ⎤⎛ ⎞= + + −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

. (3.50)

A Equação (3.50) é a equação de conservação da quantidade de movimento do

líquido no pistão. A Equação (3.50) pode ser escrita como:

( )

12 21 1 1 1

1 1

2 2

sen2

LSj Sj BjGBj GBj L LSj Sj LSj L LSj LBj L LBj LBj

Sj j j LSjLSj Sj LBj Bj L Sj LSj L

dU L LP P R L C U C s U

dt D DL dx dy dR

R L R L g L Udt dt dt

ρ ρ ρ

ρ θ ρ

++ + + +

+ +

− = + + +

⎡ ⎤⎛ ⎞+ + + + −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

, (3.51)

onde as tensões de cisalhamento na parede do pistão e do filme de líquido, LSjτ e

1LBjτ + , foram substituídas por expressões em função dos fatores de atrito de Fanning

e das velocidades:

21

2

LSjLSj

L LSj

CU

τ

ρ= , (3.52)

e:

11

21

12

LBjLBj

L LBj

CU

τ

ρ

++

+

= . (3.53)

O cálculo dos fatores de atrito é apresentado na seção 3.2.3. O perímetro médio do

filme de líquido, 1LBjS + , foi adimensionalizado através de:


11

LBjLBj

Ss

Dπ+

+ = . (3.54)

O cálculo dos coeficientes de atrito e do perímetro médio do filme de líquido

adimensional é apresentado na seção 3.2.3.

A Equação (3.51) é a forma final da equação de conservação da quantidade

de movimento aplicada à fase de líquido no pistão. Essa equação indica que a

diferença entre as pressões do gás no interior de duas bolhas consecutivas é devido

a vários efeitos, representados pelo lado direito da equação. O primeiro termo é a

variação da quantidade de movimento do líquido no interior do pistão, ou, também

chamado de inércia do pistão, os segundo e terceiro termos são as forças de atrito

que atuam na parede do pistão e do filme de líquido, respectivamente, o quarto

termo é a força gravitacional no líquido do pistão e filme e o quinto termo é a

variação da quantidade de movimento no pistão devido à variação temporal da

fração de líquido no pistão.

As Equações (3.30) e (3.51) formam um sistema acoplado de duas equações

e duas incógnitas, LSjU e GBjP , para cada célula, que é resolvido numericamente a

cada passo de tempo. O método numérico utilizado é apresentado no Capítulo 4.

3.2 Equações auxiliares

As equações de conservação da massa e da quantidade de movimento,

Equações (3.30) e (3.51) estão acopladas. A sua resolução requer que sejam

conhecidos os deslocamentos das células em cada passo de tempo, requerendo o

cálculo da variação de jx e jy , jdx dt e jdy dt , em função de LSjU e GBjP . Essa

seção apresenta as equações necessárias a esse cálculo. Além disso, são

apresentadas equações auxiliares para o cálculo do fator de atrito e da velocidade

do filme de líquido, que são necessárias para a resolução da equação de

conservação da quantidade de movimento.


3.2.1 Deslocamento da frente da bolha

A variação temporal da fronteira jy , jdy dt , é a velocidade de translação da

bolha alongada. Como apresentado no capítulo 2 (revisão bibliográfica), a

velocidade de translação da bolha é calculada em função da velocidade do pistão,

LSjU , como:

( )( )0 1 1Tj LSj jU C U C gD h= + + , (3.55)

onde 0C , 1C e jh são constantes. A constante 0C quantifica a influência da

velocidade do pistão, e um valor de 0 ~ 1,2C é aceito para escoamentos turbulentos

na vertical, enquanto 0 ~ 2C é aceito para escoamentos laminares. A constante 1C é

relacionada à velocidade que uma bolha teria se o líquido a sua frente fosse

estagnado. A constante jh é o fator de esteira, que aumenta a velocidade da bolha

quando ela está próxima da bolha precedente, devido à mistura que ocorre na parte

inicial do pistão. Essa constante é modelada por:

exp Sjj w w

Lh a b

D⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

, (3.56)

onde wa e wb são duas constantes de ajuste experimentais.

Após o cálculo de LSjU , calcula-se a velocidade de translação da bolha TjU

através da Equação (3.55), e, como:

jTj

dyU

dt= , (3.57)

e resolve-se numericamente para o deslocamento da bolha ao longo de um passo

de tempo.


3.2.2 Deslocamento da traseira da bolha

O deslocamento da traseira da bolha também deve ser conhecido para

completar o movimento da bolha. Essa equação deve respeitar a conservação da

massa. Assim, utiliza-se a Equação (3.20). Evidenciando-se a velocidade de

deslocamento da traseira da bolha, 1jdx dt− , obtém-se:

( ) 1 1

1

1

1 11 1

1

1

2 2

2 2

j LBj Sj LSj Sj LSjGBj GSj Bj

j

GBj GSj

GBj Bj GBj Sj GSj Sj GSjGSj GSj GSj GSj

GBj GBj GBj

GBj GSj

dy dR L dR L dRR R Ldx dt dt dt dt

dt R R

dP L R L R L RR U R U

dt P P PR R

− −

−

−

− −− −

−

−

− − − −= +

−

⎛ ⎞+ + + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠+−

. (3.58)

No presente trabalho a fração de líquido de cada filme, LBjR , é constante ao longo do

tempo (porém cada bolha possui uma fração de líquido diferente), e, assim, pode-se

escrever:

( ) 1 11

1

1 1 1 1

1

1

2 2 2 2

j Bj GBj GBjGBj GSj GSj GSj GSj GSj

j GBj

GBj GSj

Sj GSj Sj GSj GBj Sj LSj Sj LSj

GBj GBj

GBj GSj

dy L R dPR R R U R U

dx dt P dtdt R R

L R L R dP L dR L dRP P dt dt dt

R R

− −−

−

− − − −

−

−

− + + −= +

−

⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠+−

. (3.59)

A Equação (3.59) também é discretizada e resolvida numericamente a cada passo

de tempo.

3.2.3 Definição do atrito

Na modelagem da equação de conservação da quantidade de movimento no

pistão foram definidos os coeficientes de atrito de Fanning, de acordo com as

Equações (3.52) e (3.53). Esses coeficientes são calculados pela relação de Blasius

como:


1

0,25

16 Re , se Re 1000

0,079Re , se Re 1000LSj LSj

LSjLSj LSj

C−

−

⎧ <⎪= ⎨>⎪⎩

, (3.60)

e:

0,250,079 ReLBj LBjC −= , (3.61)

onde ReLSj é o número de Reynolds do pistão de líquido, definido como:

Re L LSjLSj

L

U Dρμ

= , (3.62)

e ReLBj é o número de Reynolds do filme de líquido:

Re L LBj HjLBj

L

U Dρμ

= , (3.63)

calculado a partir do diâmetro hidráulico do filme, que é dado por:

4 LBj LBjHj

LBj LBj

R A RD D

s D sπ= = , (3.64)

e da velocidade média do filme de líquido, definida na seção seguinte.

Na equação de conservação da quantidade de movimento também foi

utilizado o perímetro molhado adimensional do filme de líquido, LBjs , que é calculado

de forma aproximada por:

1, se 90º0,5269 0, 2365, se 0ºLBj

LBj

sR

θθ

⎧= ⎨ +⎩

∼∼

, (3.65)


conforme a equação proposta por Fagundes Netto (1999) para a definição de LBjs no

escoamento horizontal. Essa equação é válida para frações de líquido no filme entre

0,2 e 0,8.

3.2.4 Velocidade do filme de líquido

A velocidade média do filme de líquido é necessária para o cálculo do atrito

no filme. A Figura 3.8 apresenta um volume de controle que engloba a frente da

bolha, desde o pistão de líquido até uma coordenada do filme em que a velocidade é

igual à velocidade média.

UTj

ULSj

ULBj

jésima célula

Figura 3.8 – Representação do volume de controle na interface entre o pistão e a

bolha que o segue

Esse volume de controle é indeformável e se movimenta com velocidade igual

à velocidade de translação da bolha, TjU . Assim, a equação de conservação da

massa para esse volume de controle é:

( ) ( )Lyj L LSj LSj Tj L LBj LBj Tjm AR U U AR U Uρ ρ= − = − (3.66)

Isolando-se a velocidade do filme, LBjU , obtém-se:

( )TLSj

LBj Tj LSj jLBj

RU U U U

R= + − (3.67)


As Equações (3.57), (3.59), (3.60), (3.61), (3.65) e (3.67) são as equações

não acopladas que devem ser calculadas após o cálculo de LSjU e GBjP em um

tempo novo, e completam o sistema a ser resolvido numericamente para todas as

células do escoamento. No entanto, existem algumas singularidades no modelo, que

resultam da entrada, saída e coalescência das bolhas. A seção a seguir apresenta a

modelagem dessas singularidades.

3.3 Modelagem das singularidades

Diversas singularidades do modelo de seguimento de pistões devem ser

abordadas. Nesta seção é apresentada a modelagem das coalescências entre

bolhas. A entrada e saída de bolhas, bem como as condições de contorno utilizadas

no modelo são apresentas em um capítulo específico, o Capítulo 4.

3.3.1 Coalescência de bolhas

A coalescência de bolhas ocorre no momento em que a frente de uma bolha

toca a traseira da bolha a sua frente, como mostrado na Figura 3.9. Nesse instante,

o comprimento da nova bolha j (representado pelo sobrescrito N ), representada na

Figura 3.9b deve ser calculado em função dos parâmetros antigos (representados

pelo sobrescrito O ). Considera-se que toda a massa de líquido contida no pistão

1j − antigo e nos filmes das bolhas j e 1j + antigos se re-arranja no pistão 1j −

novo e no filme da bolha j nova, ou:

1 1 1O O O N NLSj LBj LBj LSj LBjM M M M M− + −+ + = + , (3.68)

onde LM representa a massa de líquido. Além disso, da geometria das células, tem-

se que:

1 1 1O O O N NSj Bj Bj Sj BjL L L L L− + −+ + = + . (3.69)


Considerando-se, ainda, que a fração de líquido no pistão 1j − permanece

inalterada:

1 1O NLSj LSjR R− −= , (3.70)

e substituindo-se as massas por L LM ALρ= , onde L é um comprimento, o

comprimento novo da bolha j se torna:

( ) ( )1 1 1 1

1

O O O O O OBj LBj LSj Bj LBj LSjN

Bj N OLBj LSj

L R R L R RL

R R− + + −

−

− + −=

−. (3.71)

A única incógnita na Equação (3.71) é a nova fração de líquido no filme da bolha j .

Considera-se, então, que essa fração de líquido é igual à fração de líquido mínima

entre as frações de líquido antigas nos filmes das bolhas j e 1j + , ou:

( )1Mínimo ,N O OLBj LBj LBjR R R += . (3.72)

Após resolvida a Equação (3.71), o comprimento novo do pistão 1j − é:

1 1 1N O O O NSj Sj Bj Bj BjL L L L L− − += + + − . (3.73)


LBj-1

LBj-1

O

N

O

N

O

N

O O

N

LSj-1 LBj

LBj

LBj+1 LSj+1

LSj

j+1OjO

jN j+1N

j+2Oj-1O

j-1N

a)

b)

Figura 3.9 – Coalescência de bolhas

Capítulo 4 Método de solução numérica 57

4 MÉTODO DE SOLUÇÃO NUMÉRICA

Este capítulo apresenta o método utilizado para simular o escoamento em

golfadas a partir da modelagem matemática apresentada. Inicialmente é

apresentada a discretização em relação ao tempo das equações acopladas e a sua

implementação em um sistema linear de equações que, depois de resolvido

numericamente, retorna os valores de LSjU e GBjP em um tempo novo para todas as

células do tubo. São discretizadas também as equações auxiliares utilizadas para o

cálculo do deslocamento das frentes dos pistões ( jx ) e das bolhas ( jy ). O algoritmo

geral da simulação também é apresentado.

Na seqüência, são apresentadas as condições iniciais e de contorno, e os

processos realizados na entrada e saída de bolhas e pistões na tubulação. Ênfase é

dada à forma como são calculados os parâmetros de cada nova célula que entra na

tubulação, pois nesse cálculo são incorporados os efeitos intermitentes na

simulação.

Por fim, são apresentados os conceitos das sondas virtuais, e os resultados

de simulações preliminares, que tem como objetivo definir alguns parâmetros do

simulador.

4.1 Discretização das equações acopladas

Esta seção apresenta a discretização, através do método das diferenças

finitas, das equações diferenciais acopladas obtidas na modelagem matemática. As

duas equações principais a serem resolvidas são a conservação da massa de

líquido e gás na célula e da quantidade de movimento no líquido presente no pistão,

repetidas a seguir por conveniência:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

111

1

11

1

1 1 12 2

1 1

LBj LSj LSjGBj Sj SjLSj LSj Bj

GBj GBj GBj

LSj LSjDSj DSj

LSj LSj

R R RdP L LU U L

dt P P P

R RU U

R R

−−−

−

−−

−

⎡ ⎤− − −− = + + +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

− −+ −

, (3.30)


e:

( )

12 21 1 1 1

1 1

2 2

sen2

LSj Sj BjGBj GBj L LSj Sj LSj L LSj LBj L LBj LBj

Sj j j LSjLSj Sj LBj Bj L Sj LSj L

dU L LP P R L C U C s U

dt D DL dx dy dR

R L R L g L Udt dt dt

ρ ρ ρ

ρ θ ρ

++ + + +

+ +

− = + + +

⎡ ⎤⎛ ⎞+ + + + −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

. (3.51)

As Equações (3.30) e (3.51) são reescritas de forma simplificada como:

1 11

12 2GBj Bj GBj Sj GSj Sj GSj

LSj LSj DSjGBj GBj GBj

dH L R L R L RU U U

dt H H H− −

−−

⎛ ⎞− = + + + Δ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠, (4.1)

e:

( )21 1

12LSj SjGBj GBj LSj Sj LSj LSj Sj Gj j

L

dU LH H R L C U P P I

dt D ρ+ +− = + + Δ + Δ + Δ , (4.2)

onde as pressões no interior das bolhas, GBP , foram substituídas pelo fator de

pressão:

GBjGBj

L

PH

ρ= . (4.3)

A definição da Equação (4.3) é necessária para a estabilidade numérica, pois se

apenas o valor da pressão fosse utilizado, a matriz a ser resolvida seria mal

condicionada, devido à grande diferença na ordem de grandeza de seus elementos.

Além da Equação (4.3), as frações de líquido foram substituídas pelas frações de

gás, que são calculadas como:

1 11 , 1 e 1GBj LSj GSj LSj GSj LSjR R R R R R− −= − = − = − . (4.4)

Os termos novos que surgem nas Equações (4.1) e (4.2) são:


( ) ( )1

11

1 1LSj LSjDSj DSj DSj

LSj LSj

R RU U U

R R−

−−

− −Δ = − , (4.5)

que agrupa os termos referentes à velocidade do gás no interior do pistão,

1 21 1 1 12 Bj

Sj LBj LBj L LBj

LP C s U

Dρ +

+ + + +Δ = , (4.6)

que representa a queda de pressão devido ao atrito entre a parede do tubo e o

líquido no filme,

( )1 1 senGj LSj Sj LBj Bj LP R L R L gρ θ+ +Δ = + , (4.7)

que é a queda de pressão devido a força gravitacional que atua no líquido presente

no pistão de líquido j e no filme de líquido 1j + , e:

2Sj j j LSj

j Sj LSj L

L dx dy dRI L U

dt dt dtρ

⎡ ⎤⎛ ⎞Δ = + −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦, (4.8)

que representa a variação da quantidade de movimento no interior do pistão devido

à variação temporal da fração de líquido no pistão.

As Equações (4.1) e (4.2) são discretizadas em relação ao tempo, pois a

discretização em relação ao espaço já foi realizada implicitamente na modelagem

matemática, devido à integração das propriedades ao longo de cada célula. A

discretização em relação ao tempo é realizada através do método de diferenças

finitas, utilizando o esquema semi-implícito de Crank-Nicholson, apenas para as

variáveis principais, LSU e GBP , e as demais variáveis são utilizadas com os seus

valores já conhecidos (em um tempo antigo). Assim, o esquema de Crank-Nicholson

utilizado não é puro. Dessa forma, discretizando-se a Equação (4.1), obtém-se:

1 1 1 1

12 2 2 2

N O N O N OLSj LSj LSj LSj GBj GBj Bj GBj Sj GSj Sj GSj

DjO O OGBj GBj GBj

U U U U H H L R L R L RU

t H H H− − − −

−

⎛ ⎞+ + −− = + + + Δ⎜ ⎟⎜ ⎟Δ ⎝ ⎠

, (4.9)


onde os sobrescritos N e O indicam que o valor das variáveis é avaliado nos

tempos novo ( t t+ Δ ) e antigo ( t ), respectivamente. Esses índices são utilizados

apenas para identificar as variáveis principais, U e P , e as demais variáveis, que

não apresentam nenhum dos dois índices, devem ser avaliadas no tempo antigo.

Reorganizando-se a Equação (4.9) de forma que as variáveis avaliadas no

tempo novo fiquem isoladas, obtém-se:

1 11 1

1

1 1

1

2

22

Bj GBj Sj GSj Sj GSjN N N OLSj GBj LSj LSjO O O

GBj GBj GBj

OBj GBj Sj GSj Sj GSj GBjO

LSj DjOGBj

L R L R L RU H U U

H t H t H t

L R L R L R HU U

t t t H

− −− −

−

− −

−

⎛ ⎞− + + + + = −⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠

⎛ ⎞− + + + − Δ⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠

. (4.10)

Da mesma forma, a discretização da equação da quantidade de movimento,

Equação (4.2), resulta em:

( )

1 1

1

2 2

12

N O N O N OGBj GBj GBj GBj LSj LSj

LSj Sj

Sj N OLSj LSj LSj Sj Gj j

L

H H H H U UR L

t

LC U U P P I

D ρ

+ +

+

⎛ ⎞+ + −− = +⎜ ⎟⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

+ + Δ + Δ + Δ

, (4.11)

que, separando-se os termos avaliados no tempo novo dos termos avaliados no

tempo antigo, resulta em:

( )

1

1 1

24

2 2

LSj Sj SjN N O N OGBj LSj LSj LSj GBj GBj

OLSj Sj LSjO

GBj Sj Gj jL

R L LH U C U H H

t D

R L UH P P I

t ρ

+

+ +

⎛ ⎞− + + + = −⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

− + − Δ + Δ + ΔΔ

. (4.12)

As Equações (4.10) e (4.12) referem-se à célula genérica j . Porém, elas

devem ser aplicadas a todas as células no interior do domínio computacional, de 1

até n . Para a célula 1 obtém-se:


1 1 1 1 0 01 1 0 0

1 1 0

1 1 1 1 0 0 11 1

0

1 1 11 1 1 1 2 1

1 12

2

2 2 ;

2 4

2

N N N OB GB S GS S GSGB LS LS LSO O O

GB GB GB

OO B GB S GS S GS GBLS DO

GB

N N O N OLS S SGB LS LS LS GB GB

O LS SGB

L R L R L RH U U UH t H t H t

L R L R L R HU Ut t t H

R L LH U C U H Ht D

R LH

⎛ ⎞+ + + = + −⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠

− + + + − ΔΔ Δ Δ

⎛ ⎞− + + + = −⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

− + ( )12 1 1

2OLS

S GL

U P P It ρ

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪

− Δ + Δ + Δ⎪ Δ⎩

. (4.13)

É importante notar que a velocidade do líquido no pistão 0, 0NLSU , aparece do lado

direito da equação, pois é uma condição de contorno do modelo, e deve ser

conhecida a priori. Da mesma forma, para a célula 2 obtém-se:

2 2 2 2 1 11 2 2 1

2 2 1

2 2 2 2 1 1 22 2

1

2 2 22 2 2 2 3 2

23

2

2 2 ;

2 4

2

N N N OB GB S GS S GSLS GB LS LSO O O

GB GB GB

OO B GB S GS S GS GBLS DO

GB

N N O N OLS S SGB LS LS LS GB GB

O LS SGB

L R L R L RU H U UH t H t H t


R L LH U C U H Ht D

R LH

⎛ ⎞− + + + + = −⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠

− + + + − ΔΔ Δ Δ

⎛ ⎞− + + + = −⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

− + ( )2 23 2 2

2OLS

S GL

U P P It ρ

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪

− Δ + Δ + Δ⎪ Δ⎩

, (4.14)

e assim por diante até a última célula no interior do tubo, célula n , que assume a

forma:

1 11 1

1

1 1

1

2

2 2 ;

2 4

N N N OBn GBn Sn GSn Sn GSnLSn GBn LSn LSnO O O

GBn GBn GBn

OO Bn GBn Sn GSn Sn GSn GBnLSn DnO

GBn

N N O OLSn Sn SnGBn LSn LSn LSn GBn GBn

L R L R L RU H U UH t H t H t


R L LH U C U H Ht D

− −− −

−

− −

−

⎛ ⎞− + + + + = −⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠

− + + + − ΔΔ Δ Δ

⎛ ⎞− + + = −⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

( )

1

1 12 2

N

OO LSn Sn LSnGBn Sn Gn n

L

R L UH P P It ρ

+

+ +

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪ −⎪⎪⎪

− + − Δ + Δ + Δ⎪ Δ⎩

. (4.15)


Na Equação (4.15), nota-se a outra condição de contorno do modelo, que é o fator

de pressão na saída do tubo, 1NGBnH + . A definição das condições de contorno é

apresentada nas seções seguintes.

O sistema de equações obtido pela aplicação das Equações (4.13) a (4.15)

pode ser representado através de:

A X B⋅ = (4.16)

onde A é a matriz de coeficientes, X é o vetor de incógnitas e B é o vetor de

termos independentes, que são escritos como:


1 1 1 1 0 0

1 1 0

1 1 11 1

1 1

1

2 1 0 0

21 4 0 0

,20 0 1

20 0 1 4

B GB S GS S GSO O OGB GB GB

OLS S SLS LS

Bn GBn Sn GSn Sn GSnO O OGBn GBn GBn

OLSn Sn SnLSn LSn

L R L R L RH t H t H t

R L LC Ut D

AL R L R L RH t H t H t

R L LC Ut D

X

− −

−

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥Δ Δ Δ⎢ ⎥⎢ ⎥

− +⎢ ⎥Δ⎢ ⎥= ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥+ +

Δ Δ Δ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− +

Δ⎣ ⎦

=

( )

1 1 1 1 0 0 10 0 1 1

0

1 1 1 11 2 2 1 1

1

1 11

2 2

2 2

,2

ON O O B GB S GS S GS GBLS LS LS DO

GBN O

O OGB LS S LSGB GB S GN

LLS

NGBn O O Bn GBn Sn GSn Sn GSn GB

LSn LSnNLSn

L R L R L R HU U U Ut t t H

H R L UH H P P ItU

BH L R L R L R HU U

t t tU

ρ

− −−

+ − + + + − ΔΔ Δ Δ

⎡ ⎤− + − Δ + Δ + Δ⎢ ⎥ Δ⎢ ⎥

⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥ − + + +⎢ ⎥ Δ Δ Δ⎣ ⎦

( )

1

1 1 1

2

2 2

On

DnOGBn

OO N O LSn Sn LSnGBn GBn GBn Sn Gn n

L

UH

R L UH H H P P It ρ

−

+ + +

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− Δ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− − + − Δ + Δ + Δ⎢ ⎥Δ⎣ ⎦

(4.17)


A matriz de coeficientes, A , é tri-diagonal, ou seja, possui elementos não

nulos apenas na diagonal principal e nas duas diagonais secundárias. Por isso, o

sistema é resolvido de forma simples através do algoritmo TDMA (Tridiagonal Matrix

Algorithm). O TDMA é um método direto, e um sistema com 2n equações é

resolvido em apenas 4n operações, onde n é o número de bolhas no interior da

tubulação. No modelo apresentado, o sistema representado pela Equação (4.17) é

resolvido a cada passo de tempo, e resulta nos valores de NLSU e N

GBP para cada

pistão e bolha no domínio computacional.

4.2 Discretização das equações auxiliares

As equações auxiliares são não-acopladas e devem ser resolvidas após o

conhecimento dos valores de NLSjU e N

GBjP , e determinam o deslocamento das frentes

dos pistões e bolhas. Essas equações foram apresentadas no capítulo de

modelagem matemática, e são reescritas a seguir por conveniência:

jTj

dyU

dt= , (4.18)

e:

( ) 1 11

1

1 1 1 1

1

1

2 2 2 2

j Bj GBj GBjGBj GSj GSj GSj GSj GSj

j GBj

GBj GSj

Sj GSj Sj GSj GBj Sj LSj Sj LSj

GBj GBj

GBj GSj

dy L R dPR R R U R U

dx dt P dtdt R R

L R L R dP L dR L dRP P dt dt dt

R R

− −−

−

− − − −

−

−

− + + −= +

−

⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠+−

. (4.19)

A discretização das equações auxiliares através do método de diferenças finitas

proporciona:

N N Oj Tj jy U t y= Δ + , (4.20)


para o deslocamento das frentes das bolhas ao longo de um passo de tempo, tΔ , e:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

11 1

1 11

1 11 1

1

1

2 2

2 2

O OSj SjO N N O N O

GBj GSj Tj LSj LSj LSj LSjN Oj j O

GBj GSj

O O O O OBj GBj Sj GSj Sj GSjN O O O O O

GBj GBj GSj GSj GSj GSjN N NGBj GBj GBj

OGBj GSj

L LR R tU R R R R

x xR R

L R L R L RP P t R U R U

P P PR R

−− −

− −−

− −− −

−

−

− Δ − − − −= + +

−

⎛ ⎞− + + + Δ −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠+−

, (4.21)

para o deslocamento das traseiras das bolhas ao longo de um passo de tempo.

4.3 Condições iniciais e de contorno

O processo numérico de resolução do sistema de equações (4.17) consiste

em uma marcha no tempo a partir de um instante inicial. Portanto, as propriedades

do escoamento e os valores de LSU e GBP devem ser conhecidos para todas as

células no interior da tubulação nesse instante inicial. A princípio, no início da

simulação, poder-se-ia ter diversas células no interior da tubulação. No entanto, isso

traz o inconveniente de como os parâmetros relativos a essas células seriam

conhecidos em 0t = .

Portanto, para tornar a condição inicial mais simples, no presente trabalho

considera-se que, em 0t = , a tubulação está completamente cheia de líquido e a

primeira bolha está posicionada em 0z = pronta para entrar na tubulação. Dessa

forma, só existe uma célula no interior da tubulação, com um pistão do tamanho da

própria tubulação, e a bolha começando a entrar. Assim, os parâmetros dessa única

célula podem ser facilmente calculados através de metodologias para o escoamento

monofásico que está ocorrendo nesse instante.

Essa consideração é compatível com um caso real em que a tubulação está

escoando somente líquido e, em determinado momento, inicia-se o escoamento de

gás.

Quanto às condições de contorno, nota-se que o sistema de equações

apresentado, Equação (4.17), requer o conhecimento da velocidade do líquido no


pistão 0, 0NLSU , e a pressão na bolha 1j n= + , 1GBnP + . Os valores dessas duas

variáveis devem ser fornecidos para o sistema de equações em todos os passos de

tempo, e podem ser constantes ou variar ao longo da simulação.

A atribuição de valores para 0NLSU e 1GBnP + , a princípio, parece ser uma tarefa

simples. No entanto, existem alguns inconvenientes.

O primeiro deles é que se deve ter sempre um pistão na entrada da tubulação

(o pistão 0) e uma bolha na saída da tubulação (a bolha n+1). No entanto, pela

característica intrínseca de alternância do escoamento, isso não é possível.

Portanto, devem ser tomadas medidas para conviver com essas alternâncias, como

as apresentadas na seção seguinte.

O segundo inconveniente é que o valor de 0NLSU é dependente das

velocidades superficiais, e, consequentemente, das vazões, de líquido e gás na

entrada da tubulação. Dessa forma, a definição de um valor para 0NLSU resulta

indiretamente na definição da vazão de fluidos na entrada do tubo. Portanto, deve-se

ter cuidado nos valores utilizados para essa variável. A próxima seção apresenta a

forma como 0NLSU é calculado.

Em resumo, a Figura 4.1 apresenta as condições iniciais e de contorno da

simulação.

0

t

zLCon

diçã

o de

con

torn

o pa

ra a

vel

ocid

ade:

U(t,

0)=c

onhe

cido

LS

Condição

decontorno

paraa

pressão:P(t,L)=conhecido

GB

Condição inicial (escoamento monofásico):U (0,z)=conhecidoP (0,z)=conhecido

LS

GB Figura 4.1 – Representação esquemática do escoamento ao longo do tubo em

diferentes instantes de tempo e a definição das condições de contorno e inicial


4.4 Processo de entrada de bolhas e pistões no domínio de cálculo

Os modelos de seguimento de pistões não são projetados para prever a

transição de nenhum outro padrão de escoamento para o padrão de golfadas. Da

mesma forma, no interior da tubulação, não são previstas transições do escoamento

em golfadas para outros padrões. Isso implica que, tanto na entrada da tubulação

como na saída, deve-se garantir a ocorrência do padrão de golfadas. A seguir são

definidas as formas como as bolhas e pistões são inseridas ou retiradas da

tubulação.

A Figura 4.2 apresenta a evolução temporal das células na entrada do tubo.

No instante nt , a bolha 1 está com sua frente, 1y , exatamente em 0z = . Nesse

instante, as seguintes propriedades para a célula 0 devem ser definidas: 0LSU , 0SL ,

0BL , 0LSR e 0GSR (a forma de cálculo desses parâmetros é apresentada na subseção

seguinte). A bolha 1 já faz parte do domínio de cálculo, e o seu deslocamento,

comprimento e demais parâmetros são regidos pela solução do sistema de

equações.

No tempo 1nt + , a bolha 1 se deslocou, e somente o valor de 0LSU deve ser

atualizado (pois é uma condição de contorno para o sistema de equações a cada

passo de tempo). Esse procedimento continua no tempo 2nt + , quando a traseira da

bolha já está dentro do tubo, e, durante esse período, o comprimento do pistão 0

permanece constante.

No tempo 3nt + o pistão 0 continua entrando no tubo, e seu comprimento ainda

é constante. Esse procedimento continua até o tempo 4nt + , quando a frente da bolha

0 chega à coordenada 0z = . Nesse instante, as células 1 até n são renumeradas, e

a célula 0 passa a ser a célula 1. Em seguida, o processo volta para a posição

descrita em nt , quando a nova célula 0 deve ser criada e os valores das

propriedades da célula 0 devem ser definidos.


0

t

zz=0

tn

tn+1

tn+2

tn+3

tn+4

PGB1PGB0ULS0

y0

y0

y0

y0

y0

x0

x0

x0

x0

x0

LS0

LS0

LS0

LS0

LS0

LB0

LB0

LB0

LB0

LB0

y1

y1

y1

y1

y1

x1

x1

x1

x1

ULS0

ULS0

ULS0

ULS0

ULS1 ULS2

ULS2

ULS2

ULS1

ULS1

ULS1

ULS1

PGB0

PGB0

PGB0

PGB0

PGB2

PGB2

PGB2

PGB2

PGB1

PGB1

PGB1

PGB1

Figura 4.2 – Representação esquemática do processo de entrada de pistão de

líquido e bolhas de gás no domínio computacional

Condições a serem respeitadas na entrada do domínio (pseudo-algoritmo):

• Enquanto a bolha 1 está entrando no tubo ( 1 0y > e 0 0x < )

o Todas as propriedades da célula são obtidas da resolução do sistema de

equações

o 0BL = cte

o 0SL = cte

o 0LSU = informado

• Enquanto o pistão 0 está entrando ( 0 0x > e 0 0y < )

o 1BL = calculado na solução do modelo


o 0SL = cte

o 0BL = cte (Considera-se que o valor de 0BL é aquele que foi determinado

quando o nariz da bolha 1j = atingiu 0z = . Por esta razão a pressão da

bolha está sendo atualizada, mas o seu comprimento 0BL não)

o 0LSU = informado

• No instante em que a bolha começa a entrar no tubo ( 0 0Ny > e 0 0Oy < )

o Renumeração das células

o Leitura/cálculo das propriedades para a célula 0

4.4.1 Cálculo das variáveis na entrada de uma nova célula

Quando uma nova célula é inserida na entrada da tubulação (como

apresentado na seção 4.4), é necessário o cálculo dos parâmetros geométricos da

célula, isto é: 0SL , 0BL , 0LSR e 0GBR , além da velocidade do líquido no pistão, 0LSU .

Na parte inicial dessa subseção será apresentada a forma como essas variáveis

foram obtidas no presente trabalho, a partir de distribuições baseadas em dados

experimentais. Ao final da subseção são apresentadas formas alternativas para

cálculo desses valores quando não se tem dados experimentais disponíveis e

utilizam-se correlações de fechamento.

Velocidade do líquido no pistão

O valor da velocidade do líquido no pistão, 0LSU , é calculado em função das

velocidades superficiais do gás e do líquido na entrada, 0GJ e 0LJ , como:

( )0 0 0 0 01LS L G R LSU J J U R= + − − , (4.22)

onde 0LSR é o valor da fração de líquido no pistão 0, e 0RU é a velocidade relativa

das bolhas dispersas no pistão em relação à velocidade do líquido, definida como:


14 3

40 022 senR S

L

gU Rσ ρ θρ

⎛ ⎞Δ= ⎜ ⎟

⎝ ⎠. (4.23)

onde σ é a tensão superficial entre o líquido e o gás e θ é a inclinação da

tubulação. Nota-se das Equações (4.22) e (4.23) que os valores de 0LSR , 0GJ e 0LJ

devem ser conhecidos para o cálculo de 0LSU .

No presente trabalho, os valores de 0GJ e 0LJ são conhecidos

experimentalmente na entrada da tubulação. O valor de 0LSR é obtido através do

processo descrito mais adiante.

Comprimentos do pistão e da bolha

No presente trabalho os comprimentos do pistão e da bolha são conhecidos

experimentalmente na entrada da tubulação.

Fração de líquido no pistão e na bolha

Para se calcular os valores das frações de líquido e gás no pistão e na bolha

na entrada da tubulação, considera-se válido o modelo de estado estacionário

apresentado por Taitel e Barnea (1990). O trabalho apresentado pelos autores

baseia-se em duas equações. A primeira delas é a conservação da massa na célula,

que pode ser arranjada da forma:

( )( )0 0 0 0 0 0 0 00

0 0

1G LS L G R LS TGB

T

J R J J U R UR

Uβ

β− − + + −

= , (4.24)

onde a fração de gás na bolha, GBR , foi explicitada, e a velocidade de translação da

bolha, 0TU , é calculada como:

0 0 0 1T LSU C U C gD= + , (4.25)


como apresentado no capítulo de revisão bibliográfica e desprezando-se o efeito de

esteira.

Nota-se que a Equação (4.24) é função da fração de líquido no pistão, 0LSR , e

os comprimentos do pistão e da bolha estão agrupados através do fator de

intermitência, definido como:

B

B S

LL L

β =+

. (4.26)

É importante ressaltar que a Equação (4.24), como apresentada em trabalhos

anteriores, é utilizada para se calcular o valor do fator de intermitência, β , em

função das frações de líquido no pistão e no filme já conhecidas. Da forma como foi

implementada no presente trabalho, para se calcular a fração de gás na região da

bolha, pode-se obter resultados incoerentes se as estimativas para a fração de

líquido no pistão e do fator de intermitência não estiverem corretas.

A segunda equação apresentada por Taitel e Barnea (1990) é uma equação

diferencial obtida através da conservação de quantidade de movimento no filme de

líquido, mais conhecida como “modelo de bolha”. Essa equação relaciona a altura do

filme de líquido em função do comprimento da bolha, e é apresentada a seguir com

a notação utilizada originalmente pelos autores:

( )

( ) ( ) ( )( )( )22

1 1 sen

1cos

1

f f G Gi i L G

f G f Gf

f ft L S t b SL G L f G G

f f ff

S S S gA A A Adh

dR dRu u R u u Rdz g v vR dh dhR

τ τ τ ρ ρ β

ρ ρ β ρ ρ

⎛ ⎞− − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠=− − −

− − −−

, (4.27)

onde fh é a altura do filme de líquido, que é função do comprimento z ao longo da

bolha, como apresentado na Figura 4.3. Os termos no numerador da Equação (4.27)

referem-se às forças de atrito no líquido, atrito no gás, atrito na interface e força

gravitacional. Os termos no denominador são referentes à variação da pressão

hidrostática do líquido e do gás, e à variação da quantidade de movimento do líquido


e do gás. No trabalho de Taitel e Barnea (1990) são apresentadas as formas para o

cálculo de cada termo da Equação (4.27) para diversas condições de escoamento.

Todos os termos da Equação (4.27) são avaliados localmente como função

do comprimento z . A integração da Equação (4.27) de 0z = até Bz L= resulta no

perfil da bolha e na altura de filme de líquido média. A fração de gás média na bolha

0GBR é calculada em função da altura do filme de líquido média, conhecendo-se a

geometria da bolha na seção transversal, estratificado no escoamento horizontal ou

anular no escoamento vertical.

Para a integração da Equação (4.27) é necessário conhecer o critério de

parada, ou seja, o comprimento da bolha 0BL . Além disso, essa equação ainda é

função da fração de líquido no pistão, 0LSR .

Dessa forma, têm-se duas incógnitas, 0LSR e 0GBR , e duas Equações, (4.24) e

(4.27). Portanto, pode-se solucionar o sistema através de algum método específico.

Figura 4.3 – Representação da geometria utilizada na integração do perfil da bolha

A partir do exposto acima, o processo de cálculo das variáveis na entrada da

tubulação é representado na Figura 4.4. Quando uma nova célula deve ser inserida

na tubulação, a velocidade superficial do líquido, 0LJ , é obtida dos dados

experimentais. Os valores das variáveis 0GJ , 0BL e 0SL podem ser obtidos de duas

formas. A primeira é através de dados médios experimentais, como o valor de 0LJ . A

segunda forma é através de listas com distribuições independentes para cada

variável, como descrito na subseção seguinte.


Na seqüência, o valor da fração de líquido, 0LSR , deve ser estimado. A partir

dessa estimativa, e do conhecimento das demais variáveis, calcula-se o valor da

fração de gás na bolha, 0GBR , através do balanço de massa e do modelo de bolha,

Equações (4.24) e (4.27), respectivamente. Se o valor de 0GBR for diferente nos dois

cálculos, um novo valor de 0LSR deve ser estimado. Quando os dois valores de 0GBR

forem iguais (dentro de determinada margem de erro), o processo é finalizado e

obtém-se o valor das variáveis necessárias para a nova célula.

Um problema que pode surgir nessa metodologia é que, como exposto

anteriormente, os valores obtidos para 0GBR podem ser incoerentes ( 0 1GBR > ou

0 0GBR < ). Isso ocorre devido à aleatoriedade na escolha dos comprimentos de

bolhas e pistões, e, consequentemente, do fator de intermitência. Por isso, deve-se

ter cuidado nos resultados obtidos para 0GBR , e, em alguns casos, deve-se descartar

o resultado.


Figura 4.4 – Fluxograma para cálculo dos parâmetros da nova célula que será

inserida na tubulação

Valores aleatórios

Na subseção anterior foi apresentado o processo de cálculo das variáveis na

entrada de uma nova célula. Foi considerado que os valores médios de 0BL , 0SL e

0GJ eram conhecidos experimentalmente. No entanto, de acordo com resultados de

medidas experimentais, como os apresentados na Figura 4.5 para os comprimentos

de bolha e pistão e velocidade de translação da bolha, nota-se que essas variáveis

apresentam uma grande distribuição em torno do valor médio. Essas distribuições

experimentais são caracterizadas por um valor médio e um desvio padrão.

Estima-se um valor de RLS0

JL0 conhecido dos dados de entrada

LB0, LS0 e JG0 escolhidos aleatoriamente de distribuições

Nova célula deve ser inserida na tubulação

Calcula-se RGB0 através do balanço de massa, Eq. (4.24)

Calcula-se RGB0 através do modelo de bolha, Eq. (4.27)

Calcula-se o valor de UT0, Eq. (4.25)

Valores para a nova célula:

LB0, LS0, RGB0 e RLS0

RGB0 do modelo de bolha é igual ao RGB0 do

balanço de massa? SimNão


0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0 20 40 60 80 100LB/D

PDF

0,00

0,03

0,06

0,09

0,12

0 10 20 30 40LS/D

PDF

0

1

2

3

4

1,5 2,0 2,5 3,0UT (m/s)

PDF

Figura 4.5 – Representação de distribuições experimentais

O que se propôs para esse trabalho, é que os valores de 0BL , 0SL e 0GJ que

são calculados na entrada da simulação também sejam distribuídos, e, ainda, as

distribuições dessas variáveis devem ser independentes. Além disso, espera-se que

tanto o valor médio como os desvios padrão de cada variável na entrada da

simulação sejam semelhantes ao dos experimentos. Baseado na análise de curvas

como a da Figura 4.5 para diversas condições de escoamento, foi definido que os

comprimentos de bolha e velocidade de translação apresentam distribuição normal,

enquanto os comprimentos de pistão têm distribuição log-normal.

Para que isso ocorra, foram geradas listas de valores para 0BL , 0SL e 0GJ , de

forma que os valores médios e o desvio padrão dessas variáveis sejam iguais aos

dos experimentais. Essas listas são independentes entre si, e seguem uma

distribuição normal para 0BL e 0GJ , e log-normal para 0SL . No momento em que uma

nova célula entra na tubulação, um valor de cada lista é sorteado e atribuído à

célula.

Nos dados experimentais obtém-se facilmente os valores médios e desvios

padrão para os comprimentos de bolha e pistão e para a velocidade de translação

das bolhas, mas não se tem a medida das distribuições para a velocidade superficial

do gás, 0GJ . No entanto, essa variável pode ser relacionada com a velocidade de

translação da bolha, 0TU . A seguir, é apresentada a forma como essas variáveis são

relacionadas, e, mais adiante, como as listas de valores são obtidas.

A variável 0GJ pode ser relacionada com a velocidade de translação da bolha

através de:

( )0 0 0 0 1 .T L GU C J J C g D= + + , (4.28)


Além disso, a velocidade superficial do líquido é considerada constante, devido à

incompressibilidade do líquido. Portanto, conhecendo-se o coeficiente de variação

(desvio padrão dividido pela média) de 0TU , pode-se calcular o coeficiente de

variação de 0GJ por:

0

JG UT T

G T G

s s UJ U C J

= . (4.29)

Conhecendo-se experimentalmente os valores médios e dos coeficientes de

variação de 0BL , 0SL e 0GJ , é necessária a geração das listas de valores distribuídos

dessas variáveis. A seguir, o procedimento para obtenção dessas listas é

apresentado.

Geração das listas aleatórias distribuídas

Para a obtenção das listas de valores distribuídos das variáveis, foi utilizada a

transformação proposta por Box e Muller (1958), na qual uma lista de dados

aleatórios com distribuição normal pode ser gerada a partir de duas listas

independentes de valores aleatórios com distribuição uniforme (entre 0 e 1). O

programa computacional Microsoft Excel® é capaz de gerar essas listas uniformes,

através da função ALEATÓRIO().

Se 1U e 2U são duas listas geradas pela função citada, uma terceira lista é

calculada por:

2 1cos(2 ) 2 ln( )N U Uπ= − , (4.30)

onde N é uma lista de valores aleatórios com distribuição normal padrão (média 0 e

desvio padrão 1).

Em seguida, deve-se utilizar essa lista com distribuição normal padrão e obter

listas com distribuição normal (para 0BL e 0GJ ) e log-normal (para 0SL ) em função

das médias e desvios padrão experimentais.


Para a geração de listas normais com média μ e desvio padrão s genéricos,

aplica-se para cada valor da lista normal padrão a transformação:

i iN sϕ μ= + , (4.31)

onde iN são os valores da lista normal padrão e ϕi são os valores da lista com

média e desvio padrão desejados.

Na geração de uma lista log-normal de valores com média μ e desvio padrão

s genéricos, utiliza-se a transformação:

( )0 50%exp lni iNψ σ μ= +⎡ ⎤⎣ ⎦ , (4.32)

onde:

2 2

00 50%ln 1 , exp

2s x σσ μμ

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞= + = −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦. (4.33)

e ψi são os valores da lista com distribuição log-normal com média e desvio padrão

desejados.

Após a obtenção das 3 listas independentes para 0BL , 0SL e 0GJ , a cada nova

célula que entra na tubulação, um valor de cada variável é sorteado dessas listas e

utilizado como dado de entrada da simulação.

Formas alternativas para o cálculo dos parâmetros da nova célula

Quando não se tem os dados experimentais na entrada da tubulação, outras

equações devem ser utilizadas para calcular as variáveis 0BL , 0SL , 0GBR e 0LSR . A

seguir algumas dessas equações são apresentadas.

De forma geral, o processo de definição das variáveis ainda segue o

fluxograma descrito na Figura 4.4. No entanto, devem-se obter os valores de 0BL ,

0SL e 0GJ de alguma outra forma. Além disso, uma correlação pode ser utilizada


para se calcular o valor de 0LSR , ou até, no caso mais simples para escoamento

horizontal, se definir o pistão como não aerado, e RLS0=1.

O valor da velocidade superficial do gás, 0GJ , está relacionado à vazão

volumétrica de gás, que é um dado conhecido. No entanto, é necessário o valor de

0GJ na entrada, e, experimentalmente pode-se conhecer a vazão na entrada ou na

saída da tubulação. Se a vazão for conhecida na saída, deve-se corrigir a velocidade

superficial de gás da saída para a entrada do tubo pela variação da pressão, através

de:

( ) ( ) ( )0 0

( 0)G G G

P z LJ J z J z L

P z=

= = = ==

. (4.34)

As próximas variáveis que devem ser calculadas são os comprimentos da

bolha e do pistão. Uma forma de se obter essas variáveis é através do conhecimento

da freqüência da célula unitária, f, e do fator de intermitência, β. Existem diversas

correlações para o cálculo da freqüência, como apresentado na seção de revisão

bibliográfica. Quanto ao fator de intermitência, trabalhos recentes como o de Rosa

(2006) tem mostrado que existe correlação entre β e a razão entre JG e J.

Sabendo-se os valores de f e β, as seguintes equações cinemáticas podem

ser utilizadas:

( )1, ,T T

U B S BU UL L L L

f fββ

β−

= = = , (4.35)

para o cálculo de LB e LS. Essas equações também são válidas para o modelo de

estado estacionário.

Por fim, devem-se obter os valores das frações de líquido no pistão e gás na

bolha, 0LSR e 0GBR . Pode-se novamente utilizar o processo apresentado na Figura

4.4, com a estimativa de 0LSR e a comparação dos dois valores de 0GBR calculados.

Por outro lado, pode-se utilizar alguma correlação para o cálculo de 0LSR , como

apresentado no capítulo de revisão bibliográfica, ou considerar-se RLS0=1. Dessa


forma, utiliza-se apenas a equação de conservação da massa para o cálculo de

0GBR .

Existem diversas outras formas de cálculo das variáveis 0BL , 0SL , 0GBR e 0LSR ,

a depender de quais variáveis são conhecidas ou estimadas através de correlações.

É necessária sempre a combinação das variáveis conhecidas com as equações

cinemáticas (4.37) e equações do balanço de massa e modelo de bolha.

Como mais um exemplo, pode-se utilizar uma correlação para 0LSR e se obter

experimentalmente o valor de 0SL . Nesse caso, deve-se iniciar a integração

numérica do modelo de bolha, e a cada incremento da variável z, calcula-se o 0GBR

médio do modelo de bolha. Calcula-se também o valor de 0GBR médio na equação de

conservação da massa, utilizando-se LB=z. Quando os dois valores de 0GBR forem

iguais, o processo finaliza, com o valor de 0GBR obtido e o comprimento da bolha é

igual ao último valor de z incrementado.

No presente trabalho, verificou-se que os valores de 0LSR obtidos das

correlações não são confiáveis. Por isso optou-se pelo cálculo de 0LSR e 0GBR

através das equações de conservação da massa e modelos de bolha. Para a

definição dos comprimentos de bolha e pistão, foi escolhido utilizar os valores

experimentais, após um tratamento para gerar distribuições aleatórias.

4.5 Processo de saída de bolhas e pistões do domínio de cálculo

A Figura 4.6 apresenta o processo de retirada de células do tubo. No tempo

nt , a bolha n está com sua frente, ny , exatamente na posição z L= . Nesse

momento, é considerado que a pressão nessa bolha é igual à pressão de saída,

geralmente a atmosférica, e n atmP P= . A partir desse momento, o sistema de

equações acopladas é resolvido apenas da célula 1 até a 1n − , e não até a célula n .

Isso ocorre, pois não faz sentido calcular a variação da quantidade de movimento do

pistão n , que não pertence mais ao domínio de cálculo. Além disso, a pressão no

interior da bolha deixa de ser incógnita e passa a ser conhecida e constante.


Como não são calculados os parâmetros da célula n (comprimentos,

velocidades, frações de líquido e gás), também não é calculada a velocidade da

frente da bolha n , ny , e a velocidade da traseira da bolha n , 1nx − . Porém, para que a

bolha n efetivamente deixe o tubo, é necessária a definição da velocidade da

fronteira 1nx − . Para que a bolha n não exerça nenhuma influência no escoamento a

montante, considera-se que a velocidade da sua traseira é igual à velocidade da

frente da bolha 1n − , ou 1 1n nx y− −= , o que implica que o comprimento do pistão 1n −

permanece constante durante a saída da bolha n .

Esse processo é representado na Figura 4.6 nos tempos 1nt + até o tempo 2nt + ,

quando a frente do pistão 1n − chega a z L= . Nesse instante, a última célula é

eliminada do domínio de cálculo, e a célula 1n − passa a ser a célula n , como

representado em '2nt + .

A partir do instante '2nt + até o instante 3nt + , um pistão está deixando o tubo.

Durante esse tempo, o sistema de equações acopladas deve ser resolvido desde a

célula 1 até a célula n . Porém, o modelo numérico necessita que uma bolha sempre

esteja na saída do tubo, para que a condição de contorno ( 1GBnP + ) seja aplicada.

Uma das possibilidades é considerar que a frente do pistão n permanece

estagnada em z L= e há uma ‘bolha’ em z L≥ garantindo a pressão constante.

Nesse caso, o comprimento do pistão n diminui com o tempo até chegar a 0SnL = ,

para que uma nova bolha comece a sair. No entanto, esse procedimento pode levar

à desestabilização do sistema de equações, pois o último termo da diagonal

principal da matriz de coeficientes, que é proporcional ao comprimento do pistão,

apresenta um valor tendendo a zero porque o comprimento do pistão diminui

continuamente.

Em vista deste potencial problema numérico buscou-se uma segunda

alternativa de aplicação da condição de contorno sem que o comprimento do pistão

varie. Considerando-se que o comprimento do pistão n , SnL , permaneça constante

também quando o pistão está saindo do tubo, o comprimento do tubo, L , é

aumentado artificialmente até a frente do pistão ( 'n SnL y L= + ).


Porém, a condição de contorno para a pressão é rigorosamente definida em

z L= como sendo GB atmP P= e, portanto será necessário conhecer o valor da pressão

'atmP em 'z L= que irá produzir em z L= uma pressão GB atmP P= . O valor de '

atmP deve

ser definido em função de atmP , e das parcelas referentes à queda de pressão devido

ao atrito e ao peso do pistão na região z L> , ou:

( )' 22 sen ,natm atm n L n L Sn n n Sn

CfP P x L U gR x y LD

ρ ρ θ⎛ ⎞= − − + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

. (4.36)

De acordo com a Equação (4.36), 'atm atmP P≤ . O valor de '

atmP é artificialmente criado a

fim de que em z L= a pressão seja atmP . Quando a frente da bolha n chega a z L= ,

volta-se ao processo iniciado em nt .

Condições a serem respeitadas na saída do domínio (pseudo-algoritmo):

• Enquanto uma bolha sai do tubo ( ny L> e 1nx L− < )

o O sistema é resolvido até a célula 1n − com a condição de contorno de

pressão na bolha n ( GBn atmP P= )

o 1SnL − = cte

• Enquanto um pistão está saindo do tubo ( nx L> e ny L< )

o O sistema é resolvido até a célula n

o SnL = cte

o Condição de contorno para a pressão na célula 1n + é 'atmP , definida pela

Equação (4.36)

• No instante em que o pistão 1n − chega em z L= ( 1Nnx L− > e 1

Onx L− < )

o Célula n é eliminada do domínio de cálculo

o Célula 1n − passa a ser n


0

t

zz=L

tn

tn+1

tn+2

tn+2

tn+3

PGBnPGBn-1PGBn-2

PGBn-2

PGBn-2

PGBn-1

PGBn-1

ULSn-1ULSn-2

yn-2

yn-2

yn-2

yn-1

yn-1

xn-3

xn-3

xn-3

xn-2

xn-2

xn-2

xn-2

xn-2

xn-1

xn-1

yn-1 yn

yn

LSn-1

LSn-1

LSn-1

LSn

LSn

yn-1

yn-1

yn

yn

xn-1

xn-1

xn-1

xn

xn

ULSn-2

ULSn-2

ULSn-1

ULSn-1

ULSn-1

ULSn-1

ULSn

ULSn

PGBn-1

PGBn-1

PGBn

PGBn

PGBn

PGBn

Figura 4.6 – Representação esquemática do processo de saída de bolhas e pistões

do domínio computacional

4.6 Processo de início da simulação

Como condição inicial do modelo deve-se definir os valores das propriedades

de todas as células (comprimentos, velocidades, pressões) no interior do tubo. Para

facilitar o processo, considerou-se que no início da simulação o tubo está cheio de

líquido, e a primeira bolha está prestes a entrar no tubo ( 1 0y = ), como definido na

Figura 4.7.

Dessa forma, devem-se conhecer apenas as propriedades da célula 1. A

primeira bolha do tubo comporta-se da mesma forma que uma bolha que está


iniciando sua entrada no tubo, como descrito na seção 4.4, e as propriedades da

célula 0 devem ser definidas nesse instante de tempo.

Porém, além disso, deve-se definir a velocidade do pistão na célula 1. A

velocidade no pistão 1 é uma função das vazões de gás e líquido na entrada do

tubo. Se a vazão de gás local, na entrada do tubo é conhecida, o problema está

resolvido. Porém, se a vazão de gás na saída é conhecida, a vazão na entrada é

calculada a partir das pressões na saída e na entrada. A pressão na entrada do tubo

pode ser calculada através da queda de pressão por atrito e gravitacional no

escoamento monofásico ao longo do tubo.

No entanto, a queda de pressão por atrito depende da velocidade do

escoamento, que não é conhecida (pois depende da vazão de gás). Para resolver

esse problema, utiliza-se um processo iterativo no qual, através de uma estimativa

inicial para a vazão de gás, calcula-se a velocidade e a queda de pressão ao longo

do tubo. Com a queda de pressão calculada, pode-se corrigir a vazão de gás pela

pressão na entrada. Esse processo é realizado até a convergência da velocidade e

pressão na entrada.

0

t

zz=0 z=L

t=0 PGB1PGB0ULS0

y0 x0LS0LB0 y1 x1

ULS1 ULS1

Figura 4.7 – Representação esquemática da condição inicial

4.7 Algoritmo de simulação

A Figura 4.8 apresenta o algoritmo geral de simulação. No início do processo,

o tubo está cheio de líquido, e a primeira bolha está prestes a entrar no tubo. Nesse

momento, é necessário calcular o comprimento dessa bolha e as frações de líquido

no pistão (que tem comprimento igual ao do tubo) e na bolha. Essa célula é

numerada como 1.


A cada nova iteração do programa, são verificadas a entrada, saída e

coalescência de bolhas. Se alguma dessas singularidades ocorrer, sub-rotinas

específicas são chamadas. A seguir, as variáveis do tempo antigo são igualadas às

variáveis do tempo novo, e todos os termos necessários à resolução do sistema

acoplado são calculados. Em seguida, o sistema é resolvido, obtendo-se os valores

das velocidades do líquido nos pistões e as pressões do gás nas bolhas no tempo

novo.

As equações auxiliares são resolvidas na seqüência, e os deslocamentos dos

pistões e das bolhas ao longo de um passo de tempo são calculados. Após a

movimentação das células, são armazenados os valores das variáveis nas sondas

virtuais implementadas no modelo, que serão apresentadas na seção seguinte.

Após o movimento das células, é necessário verificar se a primeira bolha

entrou totalmente no tubo. Se isso ocorrer, os parâmetros relativos à nova célula

(célula 0) devem ser calculados.

Por fim, o critério de parada é analisado. Nesse trabalho, utiliza-se o número

de bolhas que saem do tubo como critério, e se ele não é satisfeito, o tempo é

incrementado de um passo de tempo e uma nova iteração inicia. Caso contrário,

todos os valores armazenados nas sondas virtuais são salvos em arquivos de saída

dos resultados e o programa é finalizado.


Entrada de uma bolha?L >LS0 SIni

Saída de uma bolha?x >Ln-1

Coalescência de bolhas?y>x (j=1, 2,...,n-1)j j

Atualização das variáveisO N

n n-1

t t+ tΔ Renumeraçãodas células

Renumeraçãodas células

Cálculo daspropriedades para

a célula 0

Cálculo daspropriedades para

a célula 1

Salvaresultados FIM

INÍCIO

Cálculo dos termos da matriz

Resolução das equações acopladas(Utiliza o )TDMA

Resolução das equações auxiliares(Deslocamento das frente de bolhas e pistões)

Passagem pelas sondas virtuais(Armazenamento dos dados)

Entrada da célula 0?x >00

Número de bolhas que saíram do tuboé igual ao especificado?

Sim

Sim

Sim

Sim

Sim

Não

Não

Não

Não

Não

Figura 4.8 – Algoritmo geral de simulação


4.8 Sondas virtuais

Nos modelos de seguimento de pistões é possível implementar diversas

sondas virtuais para monitorar a solução do escoamento em golfadas. No presente

trabalho foram utilizadas as seguintes sondas virtuais:

• Sondas eulerianas: Ao longo do tubo são implementadas 8 sondas eulerianas,

que armazenam o valor de todos os parâmetros de todas as células que

cruzam determinada seção da tubulação. Através desses resultados, obtêm-

se os valores médios de todas as variáveis ao longo do tempo em cada

posição do tubo, bem como as funções densidade de probabilidade (PDF,

Probability Density Functions), que mostram as distribuições das variáveis;

• Sonda lagrangeana (seguindo uma célula): É possível acompanhar uma

determinada célula ao longo de toda a sua passagem pela tubulação,

armazenando-se o valor de todos os parâmetros a cada passo de tempo.

Essa sonda é interessante para avaliar as oscilações típicas do escoamento

em golfadas;

• Sondas eulerianas na entrada e na saída: Duas sondas eulerianas

posicionadas na entrada e na saída do tubo são implementadas. Essas

sondas, além de armazenar as variáveis importantes do escoamento,

calculam e armazenam os valores dos fluxos de massa de líquido que estão

entrando e saindo no tubo. Esses resultados são utilizados em conjunto com

os resultados obtidos pela sonda virtual de massa global, que será

apresentada na seqüência. Além disso, a sonda euleriana na entrada do tubo

mostra as variações de pressão que ocorrem no início da simulação, quando

o tubo ainda está sendo preenchido com bolhas;

• Sonda de massa global: A cada passo de tempo, essa sonda armazena o valor

da massa global de líquido que está presente no tubo. Através de um balanço

de massa de líquido no tubo inteiro, a variação dos valores obtidos através

dessa sonda deve corresponder à diferença de fluxos de massa que entram e

saem do tubo, obtidos nas sondas eulerianas na entrada e saída do tubo;

• Sonda de fotos: É possível armazenar os valores das variáveis para todas as

células no tubo em determinado instante de tempo, como em uma foto. Essa


sonda é capaz de armazenar várias fotos, em diferentes instantes de tempo, e

é interessante para avaliar a evolução de diversas células ao longo do tubo

em alguns instantes de tempo.

4.9 Simulações preliminares

Nessa seção, os resultados de algumas simulações preliminares são

apresentados. Esses resultados têm como objetivo a definição de parâmetros

importantes para as simulações, como o passo de tempo, as constantes utilizadas

no modelo para o fator de esteira, e a utilização da condição de contorno

intermitente em detrimento da condição de contorno periódica.

As simulações preliminares foram realizadas utilizando-se as configurações

apresentadas na Tabela 4.1. É importante ressaltar que as simulações preliminares

foram realizadas com a condição de entrada de bolhas e pistões aleatória, a não ser

na seção 4.9.3 onde as condições de entrada são analisadas.

Tabela 4.1 – Definição dos parâmetros utilizados nas simulações preliminares Ar e água (A@W) Ar e glicerina (A@G)

Comprimento do tubo (m) 20,098 20,098

Diâmetro do tubo (m) 0,026 0,026

Inclinação do tubo (º) 0 0

Viscosidade do líquido (Pa.s) 0,000855 0,0238

Densidade do líquido (kg/m3) 1000 1190

Velocidade superficial do líquido (m/s) 0,5 0,5

Velocidade superficial do gás na saída (m/s) 0,5 0,5

4.9.1 Análise do passo de tempo

O passo de tempo utilizado na simulação numérica influencia o tempo de

simulação computacional e a qualidade da simulação. Para definição do passo de

tempo a ser utilizado, foram analisados passos de tempo variando entre 0,01s e

0,00001s para o escoamento de ar e água, e armazenados os tempos de simulação

em um PC Intel® Pentium® 4 CPU 3.60GHz com 1.00GB de RAM. Os resultados são

apresentados na Figura 4.9.


Para analisar a qualidade da simulação, foi definido um resíduo relativo de

massa de líquido na tubulação, que é apresentado a seguir. A equação de

conservação da massa de líquido aplicada a toda a tubulação é:

Sai Entra 0LL L

dM m mdt

+ − = , (4.37)

onde LM é a massa de líquido na tubulação, SaiLm é o fluxo mássico de líquido que

sai da tubulação em z L= e EntraLm é o fluxo mássico de líquido que entra na

tubulação, em 0z = . Discretizando-se a Equação (4.37) através do método das

diferenças finitas e utilizando-se o esquema semi-implícito de Crank-Nicholson,

obtém-se:

Sai Sai Entra Entra

2 2

N O N ON OL L L LL L

Lm m m mM M

tε+ +−

+ − =Δ

, (4.38)

onde o sobrescrito N representa as variáveis em um tempo novo, e O representa as

variáveis em um tempo antigo. Note que a o lado direito da Equação (4.38) não é

nulo, devido a erros numéricos na simulação. Normalmente, quanto menor o passo

de tempo, tΔ , os erros numéricos são menores. Na Equação (4.38) chamou-se esse

erro de resíduo da massa de líquido, Lε . Esse resíduo é absoluto, e tem unidade de

kg s . No entanto, utilizou-se como medida para analisar a qualidade da simulação o

resíduo relativo da massa de líquido, definido por:

RelRef

LL

L

εεε

= , (4.39)

onde RefLε é um resíduo de massa de líquido de referência. O resíduo de referência

deve ser calculado em função de parâmetros conhecidos do escoamento, e decidiu-

se pela utilização de:

RefL L LJ Aε ρ= , (4.40)


que representa o fluxo médio de massa de líquido na tubulação, e LJ é a velocidade

superficial do líquido ao longo da tubulação.

Portanto, dividindo-se a Equação (4.38) pela Equação (4.40) e reorganizando,

obtém-se:

( ) Sai Sai Sai Sai Entra Entra Entra Entra

Rel 2

N O N N O O N N O OL L L L L L L L L L

LL L

L R R R U R U R U R UJ t J

ε− + − −

= +Δ

, (4.41)

que é o resíduo relativo da massa de líquido na tubulação, onde L é o comprimento

da tubulação, LR é a fração de líquido ao longo de todo o tubo, definida pela razão

do volume de líquido e o volume da tubulação, SaiLR e EntraLR são as frações de

líquido nas áreas de seção transversal na saída e entrada da tubulação, e SaiLU e

EntraLU são as velocidades do líquido na saída e entrada da tubulação.

A cada passo de tempo, o resíduo relativo é calculado, e ao final da

simulação, o seu valor RMS (root mean square) é calculado através de:

2RMS

1

1 N

L LiiN

ε ε=

= ∑ , (4.42)

onde N é o número de passos de tempo utilizado. O valor RMS é utilizado, pois o

valor médio é muito pequeno, devido aos pequenos erros se anularem ao longo da

simulação.

A Figura 4.9 apresenta os resultados obtidos para o resíduo relativo para os

passos de tempo utilizados. Nota-se que quanto menor o passo de tempo, menor é

o resíduo relativo, porém, maior é o tempo necessário para a simulação. Com base

nos resultados apresentados, escolheu-se, para o restante das simulações, o passo

de tempo de 0,0001tΔ = , pois obtém-se um resíduo relativo da ordem de 10-3, com

tempos de simulação na ordem de minutos.

A grosso modo, pode-se dizer que um resíduo relativo da ordem de 10-3

implica que a cada 1 kg s de fluxo de líquido que entra na tubulação, ocorre um erro

numérico de 0,001 kg s . É importante ressaltar que os resultados apresentados


foram obtidos após 600 bolhas saírem do tubo, o que garante uma população de

bolhas e pistões grande o suficiente para que os valores médios obtidos sejam

representativos.

1,E+01

1,E+02

1,E+03

1,E+04

1,E+05

1,E-05 1,E-04 1,E-03 1,E-02Passo de tempo, s

Tem

po d

e si

mul

ação

(CPU

), s

1,E-04

1,E-03

1,E-02

1,E-01

1,E-05 1,E-04 1,E-03 1,E-02Passo de tempo, s

RM

S do

resí

duo

rela

tivo

Figura 4.9 – Variação do tempo de simulação e do resíduo relativo em função do

passo de tempo utilizado.

4.9.2 Análise das constantes do fator de esteira

Um fator importante para os resultados das simulações são as constantes

utilizadas na equação do fator de esteira, apresentado no capítulo de revisão

bibliográfica e repetido a seguir por conveniência:

exp Sw w

Lh a bD

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

. (4.43)

A constante wa , que multiplica a função exponencial, está relacionada com a

velocidade máxima que uma bolha tem quando se aproxima da bolha à sua frente.

Por outro lado, a constante wb está relacionada ao tamanho do pistão em que o

efeito de esteira começa a ser importante.

Diversos valores para as constantes wa e wb existem na literatura, porém,

elas foram obtidas em diferentes condições experimentais. Foram testados

diferentes valores para as constantes de esteira no escoamento de ar e água e ar e

glicerina. A Figura 4.10 apresenta os resultados médios ao longo do tubo para os

comprimentos de bolhas e pistões, taxa de coalescência e velocidade da bolha

alongada. Nota-se que a variação das constantes de esteira influenciam


significativamente na coalescência de bolhas, e, conseqüentemente, no aumento

dos comprimentos de bolhas e pistões.

Na ausência do fator de esteira, os comprimentos praticamente não variam.

Por outro lado, quando o fator de esteira proposto por Grenier (1997) é utilizado,

ocorrem mais coalescências na simulação do que nos resultados experimentais. Por

esse motivo, valores intermediários para as constantes foram testados. Baseado nos

resultados apresentadas na Figura 4.10 adotou-se os valores de 0,4wa = e 1,0wb =

para todas as simulações de ar e água.

Ainda na Figura 4.10 pode-se notar alguns detalhes. Os comprimentos de

bolha na entrada do tubo simulados e experimental são um pouco diferentes. Isso

ocorre porque foi utilizado como condição de entrada a freqüência do escoamento, e

não diretamente o comprimento da bolha. Além disso, os dados para a velocidade

da bolha também apresentam uma grande variação nos dados experimentais, o que

não ocorre na simulação. Nesse caso, acredita-se que o escoamento próximo da

entrada do tubo, nos experimentos, ainda está em desenvolvimento para o padrão

de golfadas. Dessa forma, a velocidade das bolhas é muito alta, pois o processo de

coalescência é intenso. Outro detalhe é que no escoamento em desenvolvimento a

velocidade da bolha não pode ser correlacionada com a velocidade do líquido, como

é feito para o escoamento em golfadas. Como a simulação considera que o

escoamento é em golfadas, os valores de velocidade das bolhas calculados é

diferente dos experimentais.

Para o escoamento de ar e glicerina, espera-se que os valores para o fator de

esteira sejam diferentes, pois as propriedades físicas (densidade e viscosidade) da

glicerina são diferentes da água. A mesma análise apresentada anteriormente foi

realizada para o escoamento de ar e glicerina, e os resultados para os valores

médios dos comprimentos de bolhas e pistões, taxas de coalescências e velocidade

das bolhas são apresentados na Figura 4.11. Nota-se que, nos resultados

experimentais, ocorrem poucas coalescências. Por isso, nas simulações para o

escoamento de ar e glicerina, decidiu-se não utilizar o fator de esteira. Nota-se

também uma diferença na velocidade de bolha entre as simulações e o

experimental. Isso ocorre devido ao valor da constante C0 utilizado na simulação,

que, nesse caso, não se ajustou ao valor experimental.


10

15

20

25

30

0 200 400 600

L/D

LB/D

0

5

10

15

20

0 200 400 600

L/D

LS/D

0.000

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0 200 400 600

L/D

R

aw=0.4, bw= 0.5 (Grenier)aw=0.4, bw= 0.8aw=0.4, bw=1.0aw=0.4, bw=1.2aw=0.3, bw=0.5aw=0.2, bw=0.5aw=0.1, bw=0.5Sem este iraExperim ental

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

1.35

1.40

1.45

1.50

0 200 400 600

L/DU

T

Figura 4.10 – Evolução dos comprimentos de bolhas e pistões, taxa de coalescências e velocidade da bolha ao longo do tubo

para diversos valores das constantes de esteira no escoamento de ar e água


9

12

15

18

21

0 200 400 600

L/D

LB/D

5

10

15

20

0 200 400 600

L/D

LS/D

0.000

0.001

0.001

0.002

0.002

0.003

0.003

0 200 400 600

L/D

R

aw=0.4, bw= 0.5 (Grenier)aw=0.4, bw= 0.8aw=0.4, bw=1.0aw=0.4, bw=1.2aw=0.3, bw=0.5aw=0.2, bw=0.5aw=0.1, bw=0.5Sem este iraExperim ental

1.15

1.20

1.25

1.30

1.35

0 200 400 600

L/D

UT

Figura 4.11 – Evolução dos comprimentos de bolhas e pistões, taxa de coalescências e velocidade da bolha ao longo do tubo

para diversos valores das constantes de esteira no escoamento de ar e glicerina


4.9.3 Análise da condição de contorno aleatória versus condição periódica

Nesse trabalho duas condições de entrada de células foram consideradas. Na

condição periódica, todas as células que entram no tubo possuem os mesmos

comprimentos de bolhas e pistões, além das mesmas frações de líquido no pistão e

no filme. Na condição de contorno intermitente cada célula que entra no tubo possui

parâmetros diferentes, sorteados através de distribuições independentes para os

comprimentos de bolhas e pistões e velocidades superficiais de gás. A seguir são

apresentadas as comparações de resultados utilizando-se as duas condições de

contorno.

Na Figura 4.12 são apresentadas as variações dos comprimentos de bolha e

pistão, velocidade da bolha e pressão para uma única célula seguida ao longo de

sua passagem ao longo do tubo, nas simulações com as duas condições de entrada.

Nota-se que os comprimentos de bolha e pistão apresentam uma variação bem

maior na simulação com condição de contorno intermitente, principalmente devido à

coalescências da bolha que foi seguida.

A coalescência é percebida no aumento instantâneo do comprimento da bolha

em determinados pontos do tubo. O comprimento do pistão também aumenta, pois

na coalescência, o líquido que estava no pistão entre as bolhas que coalesceram é

redistribuído para os pistões adjacentes, que apresentam um aumento acelerado,

porém não instantâneo.

Através desses resultados mostra-se que a condição de contorno intermitente

introduz uma instabilidade no escoamento e facilita a ocorrência de coalescências.

Além disso, são apresentadas as variação da velocidade da bolha e pressão.

Nota-se que, na média, os resultados são semelhantes. No entanto, na simulação

com a condição de contorno intermitente, essas variáveis apresentam oscilações

grandes. Esse efeito também é resultante da variação na condição de entrada.

De forma geral, pode-se dizer que a condição de contorno intermitente facilita

a ocorrência de coalescências, e, além disso, distribui melhor as coalescências ao

longo do tubo. Isso pode ser mais bem visualizado através da Figura 4.13, que

apresenta a taxa de coalescência ao longo do tubo para as duas condições de

contorno.


Na condição periódica, como todas as células que entram no tubo são iguais,

as coalescências ocorrem todas em uma mesma posição ao longo do tubo. Por isso

a taxa de coalescência é alta apenas nessa região. Nos resultados para a condição

intermitente, a taxa de coalescência é maior na entrada do tubo, quando existe uma

grande variação nos comprimentos de bolha e pistão, e vai diminuindo ao longo do

tubo, conforme as coalescências vão ocorrendo e as bolhas e pistões começam a ter

comprimentos estáveis. Esse comportamento é coerente com o verificado

experimentalmente.

A Figura 4.14 apresenta as funções densidade de probabilidade para os

comprimentos de bolha utilizando-se as duas condições de contorno. Nota-se que,

apesar dos valores médios serem semelhantes, as distribuições apresentam

grandes diferenças. Isso ocorre também com os comprimentos de pistão

apresentados na Figura 4.14 e com as velocidades de translação da bolha,

apresentadas na Figura 4.14. Esses resultados mostram que a utilização da

condição intermitente é vantajosa em relação à periódica, pois a simulação captura

os efeitos aleatórios do escoamento, o que aumenta a interação entre bolhas.

Pelo exposto acima, no restante desse trabalho, as simulações realizadas

para diversas configurações geométricas e de propriedades dos fluidos, somente a

condição de contorno intermitente foi considerada.


0

10

20

30

40

50

60

0 200 400 600L/ D

LB/D Periód ico

Intermitente

0

5

10

15

20

25

30

0 200 400 600L/ D

LS/D Periód ico

Intermitente

0,7

0,9

1,1

1,3

1,5

1,7

0 200 400 600L/ D

UT

[m/s

]

Periód icoIntermitente

97

99

101

103

105

107

0 200 400 600L/ D

P [k

Pa]

Periód icoIntermitente

Figura 4.12 – Resultados para uma célula seguida ao longo de sua passagem pelo

tubo com as condições de contorno periódica e intermitente

0,00000,00050,00100,00150,00200,00250,00300,00350,00400,00450,0050

0 200 400 600L/ D

Taxa

de

coal

escê

ncia

ExperimentalIntermitentePeriód ico

Figura 4.13 – Taxa de coalescência ao longo do tubo para as condições de contorno

periódica e intermitente


0 40 80LB/ D

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20PD

F

0 20 40LS/ D

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 0.5 1 1.5UT (m/ s)

05

101520253035

ExperimentalIntermitentePeriodico

Figura 4.14 – Funções densidade de probabilidade para os comprimentos de bolhas

e pistões e para a velocidade da bolha experimentais e simulados utilizando-se as

condições de entrada periódica e aleatória

Capítulo 5 Resultados para o escoamento horizontal 98

5 RESULTADOS PARA O ESCOAMENTO HORIZONTAL

Nesse capítulo são apresentados os resultados obtidos na simulação do

escoamento em golfadas na horizontal. As simulações foram realizadas utilizando-se

as configurações geométricas e os fluidos semelhantes aos utilizados nos

experimentos realizados pelo 2PFG (Two-phase flow group) da FEM/UNICAMP.

Essas configurações são descritas na seção 5.1. Na seção 5.2 são apresentadas

comparações entre os valores médios e as funções densidade de probabilidade ao

longo do tubo dos resultados obtidos na simulação e nos experimentos realizados

pelo 2PFG/FEM/UNICAMP e descritos em Rosa (2006).

5.1 Configurações experimentais

As configurações da simulação foram semelhantes às utilizadas nos

experimentos de Rosa (2006) para o escoamento de ar e água, ar e glicerina, e

nitrogênio e óleo SAE 20-50, que estão representadas na Tabela 5.1. Foram

utilizados 6 casos para cada par de fluidos nos escoamento de ar e água e ar e

glicerina, e 4 casos para o escoamento de nitrogênio e óleo SAE 20-50, com

velocidades superficiais de líquido e gás diferentes. A sigla A@W (Air at water) é

usada para identificar o escoamento de ar e água, enquanto a sigla A@G (Air at

gliceryn) é utilizada para identificar o escoamento de ar e solução de glicerina e

N@O (Nitrogen at oil) é utilizada para o escoamento de nitrogênio e óleo.

Tabela 5.1 – Definição das configurações experimentais Ar e água (A@W) Ar e glicerina (A@G) N2 e Óleo SAE 20-50

Comprimento do tubo (m) 20,098 (773 D) 20,098 (773 D) 26,26 (911,8 D) Diâmetro do tubo (m) 0,026 0,026 0,0288 Inclinação do tubo (º) 0 0 0

Viscosidade do líquido (Pa.s) 0,000855 0,0238 0,230 – 0,360 Densidade do líquido (kg/m3) 1000 1190 880 Estação de medição #1 (m) ~ 0 ~ 0 ~ 0 Estação de medição #2 (m) 3,588 (138 D) 3,588 (138 D) 6,595 (229 D) Estação de medição #3 (m) 9,568 (368 D) 9,568 (368 D) 14,77 (513 D) Estação de medição #4 (m) 16,9 (650 D) 16,9 (650 D) -

As condições de escoamento – velocidades superficiais de líquido e gás na

saída, e freqüência de entrada das bolhas na tubulação – utilizadas nos escoamento


de ar e água, ar e glicerina e nitrogênio e óleo estão apresentados nas Tabelas 5.2,

5.3 e 5.4, respectivamente.

Tabela 5.2 – Definição das condições de contorno para o escoamento de ar e água JL (m/s) JG (m/s) f (Hz)

A@W#1 0,33 0,64 0,740 A@W#2 0,33 1,31 0,814 A@W#3 0,33 1,62 0,705 A@W#4 0,52 0,52 2,890 A@W#5 0,67 0,67 4,470 A@W#6 0,66 1,30 2,440

Tabela 5.3 – Definição das condições de contorno para o escoamento de ar e

glicerina JL (m/s) JG (m/s) f (Hz)

A@G#1 0,33 0,67 0,870 A@G#2 0,33 1,33 0,780 A@G#3 0,33 1,67 0,914 A@G#4 0,50 0,51 1,760 A@G#5 0,67 0,67 3,850 A@G#6 0,67 1,35 2,720

Tabela 5.4 – Definição das condições de contorno para o escoamento de nitrogênio

e óleo JL (m/s) JG (m/s) f (Hz)

N@O#1 0,17 0,45 2,36 N@O#4 0,34 0,32 5,07 N@O#6 0,34 0,86 2,50 N@O#9 0,68 0,36 7,51

5.2 Comparação entre as simulações e os resultados experimentais

5.2.1 Resultados para o escoamento de ar e água

Nessa seção são apresentados os resultados para o escoamento de ar e

água na horizontal para as condições A@W#2 e A@W#4, e os resultados para as

demais condições são apresentados no Apêndice A. As seções de teste

experimental e numérica para a configuração de ar e água na horizontal estão

mostradas na Figura 5.1.


Figura 5.1 – Representação das seções de teste experimental e numérica para o

escoamento de ar e água na horizontal

Valores médios ao longo do tubo

As Figuras 5.2 e 5.3 apresentam os valores médios ao longo da tubulação da

simulação e dos experimentos. São apresentadas as variações dos comprimentos

de bolha e pistão, velocidade de translação das bolhas e pressão. A variação dos

comprimentos de bolhas e pistões está ligada a dois efeitos: expansão do gás e

interação (coalescência) de bolhas. O efeito de expansão do gás está relacionado à

queda de pressão ao longo da linha, enquanto a interação está relacionada à

intermitência intrínseca do escoamento. Quando somente o efeito de expansão está

presente, o volume de gás nas bolhas aumenta de forma gradual, e,

conseqüentemente, também aumentam os comprimentos. Como os comprimentos

dos filmes de líquido abaixo das bolhas também aumentam, os comprimentos dos

pistões diminuem, pois os pistões perdem parte do líquido para o filme. Por outro

lado, se os efeitos de interação entre as bolhas são fortes, ocorre um crescimento

grande dos comprimentos de bolha, uma vez que a cada coalescência, a bolha

praticamente dobra o seu comprimento. Nesse caso, os comprimentos de pistões

tendem a aumentar também, pois na coalescência, o líquido do pistão que

desapareceu é redistribuído para os outros pistões. Além disso, a interação entre as

bolhas é afetada pela distância entre duas bolhas adjacentes (ou seja, o

comprimento do pistão que as separa), e, quanto menor o tamanho do pistão, maior

é a interação.

De forma geral, nos resultados para ar e água na horizontal, a queda de

pressão não é grande, diminuindo os efeitos de expansão. Por outro lado, devido à

baixa viscosidade da água, os efeitos de interação entre as bolhas são grandes, o

que gera muitas coalescências. Dessa forma, se os dados na entrada do tubo forem

corretos, espera-se que a simulação capture as coalescências ao longo do tubo.


Porém, a quantidade de coalescências e a sua distribuição de ocorrência ao longo

do tubo também são importantes.

Nos resultados apresentados a seguir, os comprimentos de bolhas e pistões

simulados na entrada do tubo são semelhantes aos experimentos, com exceção de

uma pequena diferença nos comprimentos de bolhas para o caso A@W#4. No caso

A@W#2 a simulação não capturou adequadamente os efeitos de interação das

bolhas, gerando menos coalescências, o que mostra um crescimento menor dos

comprimentos simulados em relação ao experimental. A pequena ocorrência de

coalescências está relacionada também ao alto comprimento médio de pistões

(~10D), que impede que as bolhas coalescam ao longo do tempo que levam para

percorrer o tubo. Já no caso A@W#4 nota-se um efeito mais pronunciado da

coalescência das bolhas, e o crescimento dos comprimentos de bolhas e pistões ao

longo do tubo, justamente porque o comprimento médio dos pistões é menor (~5D),

e os resultados ficam mais próximos dos experimentais. Quanto à variação das

velocidades das bolhas ao longo do tubo, devido aos efeitos de expansão, a

velocidade da bolha tende a aumentar. Porém, quando ocorrem coalescências, a

velocidade média tende a diminuir, já que na coalescência, a bolha mais rápida

coalesce com a mais lenta, prevalecendo a velocidade da mais lenta. No entanto,

essas variações são muito pequenas tanto nos resultados experimentais como nas

simulações. Por fim, os resultados para a queda de pressão são mais dependentes

das propriedades dos fluidos envolvidos, e não apresentam variação grande para os

diversos casos.


0 200 400 600L/D

0

40

80

120

L B/D

ExperimentalSlug tracking

0 200 400 600L/D

0

5

10

15

20

L S/D

0 200 400 600L/D

0.0

1.0

2.0

3.0

UT [

m/s

]

0 200 400 600L/D

0

30

60

90

120

P [k

Pa]

Figura 5.2 – Resultados médios para o escoamento horizontal de ar e água na

condição A@W#2

0 200 400 600L/D

0

5

10

15

20

25

L B/D


0 200 400 600L/D

0

5

10

15

20

L S/D

0 200 400 600L/D

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

UT [

m/s

]

0 200 400 600L/D

0

30

60

90

120

P [k

Pa]

Figura 5.3 – Resultados médios para o escoamento horizontal de ar e água na

condição A@W#4


Distribuições ao longo do tubo

Nas Figuras 5.4 e 5.5 são apresentadas as funções densidade de

probabilidade dos comprimentos de bolhas e pistões e velocidades de translação

das bolhas. São apresentados os resultados para as estações de medição 2, 3 e 4.

Os resultados são parecidos com os apresentados nos gráficos de médias,

porém pode-se analisar a distribuição das variáveis. No caso A@W2, nota-se que os

comprimentos de bolhas e pistões apresentam uma distribuição bi-modal,

principalmente próximo da entrada do tubo. Essa característica atrapalha o

simulador, que utiliza como condição de entrada uma distribuição normal ou log-

normal baseada no valor médio dos comprimentos experimentais na entrada. Dessa

forma, grande parte dos pistões pequenos que aparecem nos experimentos gera

coalescências. Já na simulação, não são considerados esses pistões pequenos, o

que diminui as coalescências. Já no caso A@W4 o comportamento das distribuições

experimentais é mais próximo de uma distribuição normal, o que torna os dados

utilizados na entrada do simulador mais confiáveis. Dessa forma, as coalescências

geradas na simulação são mais parecidas com as experimentais. Ainda, tanto nos

comprimentos de pistão como de bolha, a ordem de grandeza da distribuição (desvio

padrão) é semelhante na simulação e experimentos, o que reflete diretamente os

dados utilizados como condição de entrada da simulação. Nos resultados para

velocidade de translação das bolhas, ao longo da tubulação, as distribuições

experimentais ficam mais apertadas, como se a interação entre as bolhas

uniformizasse as velocidades. Na simulação esse efeito não ocorre, e a distribuição

na entrada tende a permanecer até a saída do tubo.


0.000

0.005

0.010

0.015

PDF

- Est

ação

3

0 50 100 150 200LB/D

0.000

0.005

0.010

0.015

PDF

- Est

ação

2

0.000

0.005

0.010

0.015PD

F - E

staç

ão 4

ExperimentalSlug Tracking

0.000

0.025

0.050

0.075

0.100

PDF

- Est

ação

3

0 10 20 30 40 50LS/D

0.000

0.025

0.050

0.075

0.100

PDF

- Est

ação

2

0.000

0.025

0.050

0.075

0.100

PDF

- Est

ação

40

1

2

3

4

PDF

- Est

ação

3

0 1 2 3 4UT (m/s)

0

1

2

3

4

PDF

- Est

ação

2

0

1

2

3

4

PDF

- Est

ação

4

Figura 5.4 – Resultado das funções densidade de probabilidade para o escoamento horizontal de ar e água na condição

A@W#2


0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

PDF

- Est

ação

3

0 10 20 30 40 50LB/D

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

PDF

- Est

ação

2

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

PDF

- Est

ação

4ExperimentalSlug Tracking

0.00

0.05

0.10

0.15

PDF

- Est

ação

3

0 10 20 30 40LS/D

0.00

0.05

0.10

0.15PD

F - E

staç

ão 2

0.00

0.05

0.10

0.15

PDF

- Est

ação

40

2

4

6

PDF

- Est

ação

3

0 0.5 1 1.5 2UT (m/s)

0

2

4

6

PDF

- Est

ação

2

0

2

4

6

PDF

- Est

ação

4

Figura 5.5 - Resultado das funções densidade de probabilidade para o escoamento horizontal de ar e água na condição

A@W#4


5.2.2 Resultados para o escoamento de ar e glicerina


glicerina na horizontal para as condições A@G#2 e A@G#4, e os resultados para as


experimental e numérica para a configuração de ar e glicerina na horizontal estão



escoamento de ar e glicerina na horizontal


Nas Figuras 5.7 e 5.8 são apresentados os resultados médios para o

escoamento de ar e glicerina. No caso do escoamento de glicerina, a interação entre

as bolhas não é tão forte como na água, devido à maior viscosidade da glicerina, o

que diminui as coalescências. Por outro lado, a queda de pressão ao longo do tubo

é maior, o que aumenta o efeito de expansão do gás. O efeito de expansão do gás é

mais fácil de se simular corretamente, e, dessa forma, quando os comprimentos de

bolhas e pistões simulados na entrada são corretos, eles tendem a permanecer

corretos ao longo do tubo. A velocidade de translação das bolhas também apresenta

pequena variação ao longo do tubo, tanto nos experimentos como nas simulações, à

exceção do caso A@G#2, em que as velocidades simuladas apresentam grande

variação, talvez devido a uma instabilidade numérica. Nota-se, também, que a queda

de pressão simulada tende a ser levemente menor que a experimental, o que gera

alguns erros na variação dos comprimentos devido à expansão do gás.


0 200 400 600L/D

0

40

80

120

L B/D


0 200 400 600L/D

0

5

10

15

20

L S/D

0 200 400 600L/D

0.0

1.0

2.0

3.0

UT [

m/s

]

0 200 400 600L/D

0

35

70

105

140

P [k

Pa]

Figura 5.7 – Resultados médios para o escoamento horizontal de ar e solução de

glicerina na condição A@G#2

0 200 400 600L/D

0

4

8

12

16

20

L B/D


0 200 400 600L/D

0

5

10

15

L S/D

0 200 400 600L/D

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

UT [

m/s

]

0 200 400 600L/D

0

35

70

105

140

P [k

Pa]

Figura 5.8 – Resultados médios para o escoamento horizontal de ar e solução de



Distribuições das variáveis ao longo do tubo

Nas Figuras 5.9 e 5.10 são apresentadas as funções densidade de

probabilidade para o escoamento de ar e glicerina na horizontal. Nota-se que nos

resultados experimentais para o caso A@G#2 as distribuições são bi-modais e não

podem ser caracterizadas por curvas normais. Isso gera pouca confiabilidade nos

valores utilizados como condição de entrada, e pode ser responsável pelos maus

resultados médios. No caso A@G#4 as distribuições experimentais são mais bem

comportadas, o que dá mais confiabilidade à condição de entrada. Dessa forma,

para esses casos, as distribuições simuladas são mais coerentes com as

experimentais. A pequena defasagem entre as distribuições experimentais e

simuladas deve-se também à diferença entre as quedas de pressão simulada e

experimental, o que gera um erro no efeito de expansão do gás. Com relação às

distribuições para as velocidades de translação das bolhas, na maioria dos casos os

desvios padrão são parecidos, porém no caso A@G#2 eles são bem diferentes.

Novamente, esse caso foi afetado pelas distribuições experimentais estranhas.


0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

PDF

- Est

ação

3

0 50 100 150 200LB/D

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

PDF

- Est

ação

2

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020PD

F - E

staç

ão 4


0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

PDF

- Est

ação

3

0 10 20 30 40LS/D

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20PD

F - E

staç

ão 2

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

PDF

- Est

ação

40

1

2

3

4

PDF

- Est

ação

3

0 1 2 3 4 5UT (m/s)

0

1

2

3

4

PDF

- Est

ação

2

0

1

2

3

4

PDF

- Est

ação

4

Figura 5.9 – Resultado das funções densidade de probabilidade para o escoamento horizontal de ar e solução de glicerina na

condição A@G#2


0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

PDF

- Est

ação

3

0 10 20 30LB/D

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

PDF

- Est

ação

2

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

PDF

- Est

ação

4 ExperimentalSlug Tracking

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

PDF

- Est

ação

3

0 10 20LS/D

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20PD

F - E

staç

ão 2

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

PDF

- Est

ação

40

2

4

6

8

10

PDF

- Est

ação

3

0 0.5 1 1.5UT (m/s)

0

2

4

6

8

10

PDF

- Est

ação

2

0

2

4

6

8

10

PDF

- Est

ação

4

Figura 5.10 – Resultado das funções densidade de probabilidade para o escoamento horizontal de ar e solução de glicerina na

condição A@G#4


5.2.3 Resultados para o escoamento de N2 e óleo SAE 20-50

Nessa seção são apresentados os resultados para o escoamento de

nitrogênio e óleo SAE 20-50 na horizontal para as condições N@O#1 e N@O#4, e

os resultados para as demais condições são apresentados no Apêndice A. As

seções de teste experimental e numérica para a configuração de nitrogênio e óleo

SAE 20-50 na horizontal estão mostradas na Figura 5.11. Nesse caso, a estação de

medição experimental localizada em L=130D não foi utilizada como condição de

entrada porque o escoamento ainda não estava totalmente no padrão de golfadas.


escoamento de nitrogênio e óleo SAE 20-50 na horizontal


As Figuras 5.12 e 5.13 apresentam os resultados médios para o escoamento

horizontal de nitrogênio e óleo SAE 20-50. Como a viscosidade do óleo é muito alta,

espera-se que a interação entre bolhas seja fraca. Além disso, a queda de pressão

deve ser alta, devido ao atrito.

Nos resultados apresentados, a simulação mostra um crescimento de bolhas

e pistões menor que o experimental. Isso pode estar relacionado ao erro que se

percebe na queda de pressão, que é transmitido para a expansão do gás. Por outro

lado, nota-se que tanto na simulação como nos experimentos, os comprimentos de

pistão também aumentam, o que indica coalescência. Essas coalescências são

justificadas porque com a grande expansão do gás as bolhas acabam por coalescer

devido ao seu grande crescimento. Nota-se também um grande erro no cálculo dos

comprimentos na entrada do tubo. Esse erro está relacionado a dificuldade que se

teve de ajustar alguns parâmetros nos dados experimentais na entrada do tubo,


principalmente a constante C0 para cálculo da velocidade da bolha. Nos

experimentos, foi observado que em cada estação de medição, o valor de C0 é

diferente. Os efeitos de coalescência não foram captados pela simulação devido aos

comprimentos de pistão na entrada serem maiores que os experimentais, e as

coalescências ocorrem com maior freqüência quando os comprimentos de pistão

são menores.

Dessa forma, o crescimento dos comprimentos de bolhas e pistões está mais

relacionado à expansão do gás devido à queda de pressão. Nesse caso, também

devido à alta viscosidade, a queda de pressão ao longo do tubo é alta, o que gera

um grande crescimento do comprimento das bolhas. Em todos os casos a variação

dos comprimentos de bolha e pistão simulados foi parecida com os experimentais,

no entanto, os valores na entrada do tubo não foram muito próximos, o que acabou

se propagando para o resto do tubo. Também nota-se que a velocidade das bolhas

tem uma grande variação ao longo do tubo, tanto nos experimentos como na

simulação. Por fim, a queda de pressão simulada ficou acima da queda de pressão

experimental.

0 200 400L/D

0

10

20

30

L B/D


0 200 400L/D

0

2

4

6

8

L S/D

0 200 400L/D

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

UT [

m/s

]

0 200 400L/D

0

35

70

105

140

175

P [k

Pa]

Figura 5.12 - Resultados médios para o escoamento horizontal de nitrogênio e óleo

SAE 20-50 N@O#1


0 200 400L/D

0

4

8

12

L B/D


0 200 400L/D

0

2

4

6

8

L S/D

0 200 400L/D

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

UT [

m/s

]

0 200 400L/D

0

60

120

180

240

P [k

Pa]

Figura 5.13 – Resultados médios para o escoamento horizontal de nitrogênio e óleo

SAE 20-50 N@O#4

Distribuições ao longo do tubo

As funções densidade de probabilidade para o escoamento de nitrogênio e

óleo são apresentadas nas Figuras 5.14 e 5.15. De forma geral, nota-se que as

distribuições simuladas e experimentais são parecidas. Porém, nota-se que as

distribuições experimentais para os comprimentos de bolha tendem para uma

distribuição log-normal, enquanto a simulada foi baseada em uma distribuição

normal, o que acaba prejudicando a simulação. Quanto aos comprimentos de pistão

e a velocidade das bolhas, as distribuições simuladas e experimentais são

semelhantes. As distribuições para os comprimentos de pistão apresentam erros

maiores na estação 3, justamente devido às coalescências que não ocoreram na

simulação. Por outro lado, os resultados para as velocidades das bolhas são muito

bons.


0.00

0.02

0.04

0.06

0.08PD

F - E

staç

ão 3

0 20 40 60LB/D

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

PDF

- Est

ação


0.0

0.1

0.2

0.3

PDF

- Est

ação

30 5 10 15 20

LS/D0.0

0.1

0.2

0.3

PDF

- Est

ação

2

0

1

2

3

4

PDF

- Est

ação

3

0 0.5 1 1.5 2 2.5UT (m/s)

0

4

8

12

PDF

- Est

ação

2

Figura 5.14 – Resultado das funções densidade de probabilidade para o escoamento horizontal de nitrogênio e óleo SAE 20-50

na condição N@O#1


0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

PDF

- Est

ação

3

0 10 20 30 40LB/D

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

PDF

- Est

ação


0.0

0.1

0.2

0.3

PDF

- Est

ação

30 10 20 30

LS/D0.0

0.1

0.2

0.3

PDF

- Est

ação

2

0

2

4

6

8

10

PDF

- Est

ação

3

0 1 2 3UT (m/s)

0

2

4

6

8

10

PDF

- Est

ação

2

Figura 5.15 – Resultado das funções densidade de probabilidade para o escoamento horizontal de nitrogênio e óleo SAE 20-50

na condição N@O#4

Capítulo 6 Resultados para o escoamento vertical e inclinado 116

6 RESULTADOS PARA O ESCOAMENTO VERTICAL E INCLINADO

Nesse capítulo são apresentados os resultados obtidos nas simulações para

o escoamento vertical e inclinado. Na seção 6.1 são apresentadas as configurações

experimentais, que foram utilizadas também na simulação. A seção 6.2 apresenta a

comparação entre as simulações e os resultados experimentais, na qual são

apresentadas as comparações para os valores médios e as funções densidade de

probabilidade das variáveis ao longo do tubo.

6.1 Configurações experimentais

As configurações experimentais utilizadas nos escoamentos na vertical e

inclinados estão apresentadas na Tabela 6.1, enquanto as Tabelas 6.2, 6.3 e 6.4

apresentam as condições de velocidades superficiais e freqüência de entrada para

cada caso.

Tabela 6.1 – Definição das configurações experimentais

Ar e água (A@WV)

N2 e óleo SAE 20-50 (N@OV)

Ar e água inclinado (A@WI)

Comprimento do tubo (m) 5,811 (223,5 D) 5,587 (194 D) 5,811 (223,5 D) Diâmetro do tubo (m) 0,026 0,0288 0,026 Inclinação do tubo (º) 90 90 60

Viscosidade do líquido (Pa.s) 0,000855 0,2205 – 0,224 0,000855 Densidade do líquido (kg/m3) 1000 880 1000 Estação de medição #1 (m) ~ 0 ~ 0 ~ 0 Estação de medição #2 (m) 4,693 (180,5 D) 4,061 (141 D) 4,693 (180,5 D)

Tabela 6.2 – Condições de contorno para ar e água na vertical JL (m/s) JG (m/s) f (Hz)

A@WV#2 0,33 0,46 1,93 A@WV#5 0,30 1,42 1,91 A@WV#8 0,61 0,83 3,19

A@WV#10 0,88 0,60 4,42

Tabela 6.3 – Condições de contorno para nitrogênio e óleo SAE 20-50 JL (m/s) JG (m/s) f (Hz)

N@OV#2 0,17 0,45 3,09 N@OV#6 0,34 0,56 4,93 N@OV#8 0,18 0,90 3,61


Tabela 6.4 – Condições de contorno para ar e água inclinado JL (m/s) JG (m/s) f (Hz)

A@WI#2 0,32 0,68 1,90 A@WI#5 0,59 0,42 2,81 A@WI#8 1,20 0,40 5,10 A@WI#10 1,21 1,40 5,93

6.2 Comparação entre as simulações e resultados experimentais

6.2.1 Resultados para o escoamento de ar e água na vertical


água na vertical para as condições A@WV#2 e A@WV#8, e os resultados para as


experimental e numérica para a configuração de ar e água na vertical estão



escoamento de ar e água na vertical


Nas Figuras 6.2 e 6.3 são apresentadas as comparações entre as simulações

e os experimentos para os valores médios. No escoamento vertical a queda de

pressão está muito ligada ao termo gravitacional, o que aumenta a expansão do gás.

Dessa forma a queda de pressão simulada fica muito próxima da experimental, pois

a queda de pressão gravitacional não depende dos comprimentos, mas sim da

vazão.

Com relação aos comprimentos de bolha, em todos as condições a

comparação entre simulação e experimento é boa. Nesses casos, os comprimentos

de bolha na entrada do tubo são calculados corretamente e, ao longo do tubo, a


simulação descreve bem os fenômenos de expansão do gás no interior das bolhas e

coalescência de bolhas, que resultam no aumento do comprimento médio das

bolhas ao longo do tubo.

Quanto aos comprimentos de pistão, todos os resultados apresentam as

mesmas características. Na entrada do tubo, os comprimentos de pistão médios

simulados têm um valor um pouco abaixo dos experimentais. Além disso, ao longo

do tubo, o grande aumento dos pistões visto nos experimentos não é apresentado

também na simulação, resultando em um erro maior nas proximidades da saída do

tubo. Nota-se uma grande ocorrência de coalescência, por isso o aumento dos

comprimentos de pistões. No entanto, apesar dos comprimentos de bolhas variarem

da mesma forma que os experimentais, os comprimentos de pistão não aumentam

tanto. Isso pode indicar que se deve modelar melhor o que ocorre com as bolhas e

pistões no momento da coalescência, como a correta distribuição das massas de

líquido e gás.

Analisando-se as velocidades de bolhas médias e pressões médias, a

comparação entre a simulação e o experimento é boa em todas as condições. Esse

resultado mostra que essas variáveis não sofrem tanta influência dos comprimentos

de bolhas e pistões.


0 100 200L/D

0

5

10

15

20

L B/D


0 100 200L/D

0

5

10

15

20

L S/D

0 100 200L/D

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

UT [

m/s

]

0 100 200L/D

0

35

70

105

140

P [k

Pa]

Figura 6.2 – Resultados médios para o escoamento vertical de ar e água na

condição A@WV#2

0 100 200L/D

0

10

20

30

L B/D


0 100 200L/D

0

5

10

15

20

L S/D

0 100 200L/D

0.0

1.0

2.0

3.0

UT [

m/s

]

0 100 200L/D

0

40

80

120

160

P [k

Pa]

Figura 6.3 – Resultados médios para o escoamento vertical de ar e água na

condição A@WV#8


Distribuição das variáveis ao longo do tubo

Além dos valores médios das variáveis na entrada e nas proximidades da

saída do tubo, as funções densidade de probabilidade dessas variáveis nesses

pontos também podem ser analisadas. Esses resultados são apresentados nas

Figuras 6.4 e 6.5.

Considerando-se os resultados para os comprimentos de bolha, novamente

percebe-se um bom acordo entre os resultados simulados e experimentais. Porém,

de forma geral, os resultados para todas as condições apresentam bom acordo das

distribuições, inclusive analisando-se a amplitude dos comprimentos de bolha que

ocorrem nos pontos mostrados.

Os resultados para os comprimentos de pistão mostram que, na entrada,

apesar da pequena diferença nos valores médios, as distribuições estão

semelhantes às experimentais. No entanto, próximo da saída do tubo, as

distribuições experimentais ficam mais deslocadas para a direita, e com ocorrência

de comprimentos de pistão maiores que os simulados, fato já observado nos valores

médios.

Quanto aos resultados para as velocidades de bolha, na entrada do tubo as

distribuições são muito parecidas. Porém, nas proximidades da saída do tubo, as

distribuições experimentais tendem a ter desvios maiores que as distribuições

simuladas, apesar dos valores médios simulados estarem em acordo com os

experimentos.


0.00

0.04

0.08

0.12

0.16PD

F - E

staç

ão 2

4 8 12 16 20LB/D

0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

PDF

- Est

ação


0.00

0.05

0.10

0.15

PDF

- Est

ação

20 10 20 30 40 50

LS/D0.00

0.05

0.10

0.15

PDF

- Est

ação

1

0

1

2

3

4

5

PDF

- Est

ação

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5UT (m/s)

0

1

2

3

4

5

PDF

- Est

ação

1

Figura 6.4 – Resultado das funções densidade de probabilidade para o escoamento vertical de ar e água na condição

A@WV#2


0.00

0.05

0.10

0.15

PDF

- Est

ação

2

0 10 20 30 40LB/D

0.00

0.05

0.10

0.15

PDF

- Est

ação


0.00

0.05

0.10

0.15

PDF

- Est

ação

20 10 20 30 40 50

LS/D0.00

0.05

0.10

0.15

PDF

- Est

ação

1

0

1

2

3

PDF

- Est

ação

2

0 1 2 3 4UT (m/s)

0

1

2

3

PDF

- Est

ação

1

Figura 6.5 – Resultado das funções densidade de probabilidade para o escoamento vertical de ar e água na condição

A@WV#8


6.2.2 Resultados para o escoamento de N2 e óleo SAE 20-50 na vertical

Nessa seção são apresentados os resultados para o escoamento de

nitrogênio e óleo SAE 20-50 na vertical para as condições N@OV#2 e N@OV#6, e

os resultados para as demais condições são apresentados no Apêndice A. As

seções de teste experimental e numérica para a configuração de nitrogênio e óleo

SAE 20-50 na vertical estão mostradas na Figura 6.6.


escoamento de nitrogênio e óleo SAE 20-50 na vertical


Nas Figuras 6.7 e 6.8 são apresentados os valores médios na entrada e

próximo da saída do tubo. Com relação aos comprimentos de bolha, na entrada do

tubo os valores médios simulados são semelhantes dos experimentais. Próximo da

saída do tubo, existe uma pequena diferença entre os resultados simulados e

experimentais nas condições N@OV#2 e N@OV#6, em que os resultados simulados

apresentam valores menores que os experimentais. Isso mostra que a simulação

não capturou as coalescências que ocorreram nos experimentos.

Analisando-se os resultados para os comprimentos médios dos pistões, nota-

se novamente que, na entrada do tubo, os resultados simulados são bons, enquanto

na saída do tubo há uma diferença em relação aos experimentais. Além disso, nota-

se que nos experimentos, os comprimentos de pistão aumentam ao longo do tubo,

enquanto nas simulações, eles diminuem. Esse resultado pode ser explicado pela

coalescência de bolhas nos experimentos, que tende a aumentar bastante os

comprimentos de bolhas e pistões. Nas simulações, não acontecem tantas


coalescências, portanto os comprimentos de bolha não aumentam e os

comprimentos de pistão até diminuem ao longo do tubo.

Os resultados médios para as velocidades de bolhas e pressões mostram,

novamente, que essas variáveis não são tão influenciadas pelos erros nos

comprimentos de pistões e bolhas. Dessa forma, os resultados simulados e

experimentais ficam bem próximos, tanto na entrada do tubo, quanto próximo da

saída.

0 50 100 150L/D

0

5

10

15

20

L B/D


0 50 100 150L/D

0

2.5

5

7.5

10

L S/D

0 50 100 150L/D

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

UT [

m/s

]

0 50 100 150L/D

0

50

100

150

200

P [k

Pa]

Figura 6.7 – Resultados médios para o escoamento vertical de nitrogênio e óleo SAE

20-50 na condição N@OV#2


0 50 100 150L/D

0

5

10

15

L B/D


0 50 100 150L/D

0

2.5

5

7.5

10

L S/D

0 50 100 150L/D

0.0

1.0

2.0

3.0

UT [

m/s

]

0 50 100 150L/D

0

50

100

150

200

250

P [k

Pa]

Figura 6.8 – Resultados médios para o escoamento vertical de nitrogênio e óleo SAE

20-50 na condição N@OV#6


As funções densidade de probabilidade são apresentadas nas Figuras 6.9 e

6.10. Para os comprimentos de bolhas e pistões, as distribuições da simulação na

entrada do tubo são muito semelhantes às distribuições experimentais. No entanto,

nas proximidades da saída, as distribuições experimentais apresentam desvio maior

que as simuladas, além de um deslocamento do valor médio para a direita. Esses

resultados são típicos da ocorrência de coalescências ao longo do tubo, que geram

uma distribuição maior das variáveis apresentadas. Nesse caso, a simulação não

capturou essas coalescências de maneira correta. Quanto às velocidades de bolhas,

na condição N@OV#2 as distribuições simuladas e experimental, tanto na entrada

como próximo da saída do tubo, são semelhantes. Isso mostra que a velocidades da

bolha não parece sofrer muita variação para essas condições. Na condição

N@OV#6, logo na entrada do tubo a distribuição simulada já está deslocada em

relação à experimental, o que acaba se repetindo e até aumentando nas

distribuições próximo da saída do tubo.


0.00

0.04

0.08

0.12

0.16PD

F - E

staç

ão 2

0 5 10 15 20 25LB/D

0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

PDF

- Est

ação


0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

PDF

- Est

ação

20 10 20

LS/D0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

PDF

- Est

ação

1

0

1

2

3

4

PDF

- Est

ação

2

0 0.5 1 1.5 2UT (m/s)

0

1

2

3

4

PDF

- Est

ação

1

Figura 6.9 – Resultado das funções densidade de probabilidade para o escoamento vertical de nitrogênio e óleo SAE 20-50 na

condição N@OV#2


0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

PDF

- Est

ação

2

0 10 20 30LB/D

0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

PDF

- Est

ação


0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

PDF

- Est

ação

20 10 20 30

LS/D0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

PDF

- Est

ação

1

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

PDF

- Est

ação

2

0 1 2 3 4UT (m/s)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

PDF

- Est

ação

1

Figura 6.10 – Resultado das funções densidade de probabilidade para o escoamento vertical de nitrogênio e óleo SAE 20-50

na condição N@OV#6


6.2.3 Resultados para o escoamento de ar e água inclinado


água inclinado para as condições A@WI#2 e A@WI#5, e os resultados para as


experimental e numérica para a configuração de ar e água inclinado estão



escoamento de ar e água inclinado


Nas Figuras 6.12 e 6.13 são apresentados os resultados para os valores

médios. Para os comprimentos de bolhas, no caso A@WI#5, e os resultados

simulados são bem próximos dos experimentais. No caso A@WI#2 existe uma

pequena diferença entre a simulação e o experimento na entrada do tubo. Com

relação aos comprimentos de pistão, nas condições A@WI#2 e A@WI#5, os valores

na entrada do tubo apresentam uma pequena diferença com os valores

experimentais. Além disso, ao longo do tubo, o caso A@WI#5 apresenta uma

variação do comprimento médio dos pistões semelhante à experimental, ou seja, o

mesmo erro apresentado na entrada do tubo se repete nas proximidades da saída.

Para o caso A@WI#2 a variação dos comprimentos de pistão ao longo do tubo não

é tão grande como na simulação, o que gera um aumento da diferença entre

simulação e experimento próximo da saída do tubo.

As velocidades de bolhas e pressões apresentam resultados simulados

parecidos com os resultados experimentais.


0 100 200L/D

0

10

20

30

L B/D


0 100 200L/D

0

5

10

15

20

L S/D

0 100 200L/D

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

UT [

m/s

]

0 100 200L/D

0

35

70

105

140

P [k

Pa]

Figura 6.12 Resultados médios para o escoamento inclinado de ar e água na

condição A@WI#2

0 100 200L/D

0

5

10

15

L B/D


0 100 200L/D

0

5

10

15

20

L S/D

0 100 200L/D

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

UT [

m/s

]

0 100 200L/D

0

50

100

150

P [k

Pa]

Figura 6.13 – Resultados médios para o escoamento inclinado de ar e água na

condição A@WI#5



As funções densidade de probabilidade são apresentadas nas Figuras 6.14 e

6.15. Analisando-se os resultados para os comprimentos de bolhas, nota-se que as

distribuições simuladas e experimentais são bem parecidas. Com relação aos

comprimentos de pistões, em geral, as distribuições para todos os casos na

proximidade da saída do tubo apresentam um deslocamento dos resultados

experimentais em relação aos simulados. Quanto às velocidades de bolhas, nota-se

que já na entrada do tubo as distribuições simuladas e experimentais apresentam

algumas diferenças, tanto nos valores médios como nas distribuições. Essa

característica é notada também na saída do tubo, em que os resultados

experimentais apresentam um alargamento das distribuições, provavelmente devido

à interações entre as bolhas ao longo do tubo.


0.00

0.04

0.08

0.12PD

F - E

staç

ão 2

0 10 20 30LB/D

0.00

0.04

0.08

0.12

PDF

- Est

ação


0.00

0.04

0.08

0.12

PDF

- Est

ação

20 10 20 30 40

LS/D0.00

0.04

0.08

0.12

PDF

- Est

ação

1

0

2

4

6

PDF

- Est

ação

2

0 1 2 3UT (m/s)

0

2

4

6

PDF

- Est

ação

1

Figura 6.14 – Resultado das funções densidade de probabilidade para o escoamento inclinado de ar e água na condição

A@WI#2


0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

PDF

- Est

ação

2

0 5 10 15 20LB/D

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

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- Est

ação


0.00

0.05

0.10

0.15

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- Est

ação

20 10 20 30 40

LS/D0.00

0.05

0.10

0.15

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- Est

ação

1

0

2

4

6

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- Est

ação

2

0 0.5 1 1.5 2UT (m/s)

0

2

4

6

PDF

- Est

ação

1

Figura 6.15 – Resultado das funções densidade de probabilidade para o escoamento inclinado de ar e água na condição

A@WI#5

Capítulo 7 Conclusões 133

7 CONCLUSÕES

Nesse trabalho, foi apresentado um modelo de seguimento de pistões

considerando-se a influência da inércia do pistão de líquido, fluxos de quantidade de

movimento através das células e influência do filme de líquido que escoa ao lado da

bolha alongada. As condições de contorno e o processo de inserção de células na

tubulação foram trabalhados de forma a estimular a interação entre bolhas

consecutivas, na tentativa de capturar a intermitência intrínseca do escoamento.

Para isso, foi implementado um processo de inserção de células baseado em

distribuições, ou seja, cada célula que entra no domínio computacional apresenta

características diferentes.

A implementação da modelagem com as condições de contorno se mostrou

eficiente na captura dos principais efeitos característicos do escoamento em

golfadas, responsáveis pelas variações dos comprimentos: expansão do gás ao

longo do escoamento devido à queda de pressão e interação entre bolhas. Para

validação da metodologia, foram simulados diversos casos de escoamento

previamente analisados experimentalmente, para escoamentos horizontais,

inclinados e verticais, utilizando-se fluidos com grande variação de viscosidade,

como água, glicerina e óleo.

Os resultados foram analisados em termos de parâmetros médios e

distribuições das variáveis em posições ao longo da tubulação. A evolução desses

parâmetros ao longo da tubulação permite a visualização dos efeitos concorrentes

de expansão do gás e interação entre bolhas.

Os resultados obtidos das simulações para o escoamento em golfadas são

avaliadas em três etapas: cálculo adequado das condições de entrada das células,

cálculo correto da queda de pressão ao longo do tubo e conseqüente expansão do

gás ao longo da tubulação, e correta modelagem da interação entre as bolhas.

Observou-se que na evolução do escoamento ao longo da tubulação, os

efeitos de expansão do gás e interação das bolhas são concorrentes, mas também

interdependentes, uma vez que a interação entre as bolhas também é influenciada

pelo efeito de esteira. O efeito de esteira é função dos comprimentos dos pistões,

que por sua vez dependem das condições de entrada e da expansão do gás.


A variação dos comprimentos devido à expansão do gás ao longo da

tubulação é um fenômeno de modelagem mais simples, pois depende basicamente

da variação da pressão. A interação entre as bolhas é um fenômeno mais complexo

de se modelar, justamente pela aleatoriedade do fenômeno. Por isso, em alguns

casos, os resultados simulados não se adequaram aos dados experimentais.

De forma geral, se não houver interação entre bolhas, a tendência é de

crescimento do comprimento das bolhas ao longo da tubulação, de acordo com o

aumento no volume do gás. Ocorre, também, pequena diminuição do comprimento

dos pistões, pois parte do líquido que estava nos pistões é transferido para a região

do filme do líquido, que aumenta junto com a bolha.

Quando a interação entre as bolhas provoca várias coalescências, o

comprimento das bolhas apresenta um crescimento muito maior ao longo da

tubulação. Porém, nesse caso, os comprimentos dos pistões também aumentam,

pois a cada coalescência o volume de líquido originário de um pistão é transferido

para os demais pistões.

Observou-se que o escoamento de ar e água (baixa viscosidade) apresenta

maiores taxas de coalescência. Conforme a viscosidade aumenta (no escoamento

de glicerina ou óleo) as coalescências diminuem e a queda de pressão aumenta, o

que intensifica o efeito da expansão do gás.

No escoamento vertical, a queda de pressão é muito maior que no horizontal,

o que gera um efeito maior de expansão do gás e mascara possíveis efeitos de

interação das bolhas. Os resultados obtidos para o escoamento inclinado de ar e

água foram muito semelhantes aos resultados para o escoamento vertical. Isso

mostra que, para a inclinação utilizada (60º) o escoamento já se comporta da

mesma forma que no vertical.

De forma geral, o trabalho apresenta uma contribuição para o

desenvolvimento de simuladores do escoamento no padrão de golfadas, focando

principalmente na interação entre as bolhas. A metodologia utilizada se mostrou

eficiente na caracterização da entrada de células e captura da coalescência.

Alguns pontos que não foram abordados nesse trabalho e podem ser focados

em trabalhos futuros são:

• Estudo aprofundado dos modelos de esteira. Esse efeito é crucial para

modelar corretamente as coalescências. No entanto, um modelo genérico


para a função de esteira deve ser função de diversas propriedades dos

fluidos e condições de escoamento.

• Estudos mais criteriosos para a geração das listas utilizadas como

condição de entrada da simulação.

• Modelagem do escoamento em tubulações com variações de inclinação,

que é o caso mais comum na indústria.

• Simulação e comparação com dados de tubulações de maiores

comprimentos e diâmetros.

• Modelagem de escoamentos com mudança de fase, ou seja, conforme a

pressão cai ocorre a passagem para a fase gás de parte do líquido. Esse

fenômeno é muito comum, e apresenta um novo efeito para o

crescimento dos pistões e bolhas, concorrente com a expansão do gás e

coalescência.

• Definição de parâmetros para transição do escoamento para outros

padrões, que podem ocorrer ao longo da tubulação.

Referências bibliográficas 136

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Wallis G. B., (1969) “One dimensional two-phase flow”. New York, McGraw-Hill.

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Apêndice A – Resultados para diversas condições de escoamento 142

APÊNDICE A – RESULTADOS PARA DIVERSAS CONDIÇÕES DE

ESCOAMENTO

Esse Apêndice apresenta os resultados médios e distribuições obtidas em

diversas configurações experimentais que não foram apresentadas nos capítulos de

resultados. De forma geral, os resultados aqui apresentados são semelhantes aos

do capítulo de resultados.

Ar e água na horizontal

0 200 400 600L/D

0

20

40

60

L B/D


0 200 400 600L/D

0

10

20

30L S

/D

0 200 400 600L/D

0.0

0.5

1.0

1.5

UT [

m/s

]

0 200 400 600L/D

0

30

60

90

120

P [k

Pa]

Figura A. 1 – Resultados médios para o escoamento horizontal de ar e água na

condição A@W#1


0 200 400 600L/D

0

40

80

120

160

L B/D


0 200 400 600L/D

0

5

10

15

20

L S/D

0 200 400 600L/D

0.0

1.0

2.0

3.0

UT [

m/s

]

0 200 400 600L/D

0

35

70

105

140

P [k

Pa]


condição A@W#3

0 200 400 600L/D

0

5

10

15

20

25

L B/D


0 200 400 600L/D

0

5

10

15

20

L S/D

0 200 400 600L/D

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

UT [

m/s

]

0 200 400 600L/D

0

30

60

90

120

P [k

Pa]


condição A@W#5


0 200 400 600L/D

0

20

40

60

L B/D


0 200 400 600L/D

0

5

10

15

20

L S/D

0 200 400 600L/D

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

UT [

m/s

]

0 200 400 600L/D

0

35

70

105

140

P [k

Pa]


condição A@W#6


0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

PDF

- Est

ação

3

0 20 40 60 80 100LB/D

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

PDF

- Est

ação

2

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04PD

F - E

staç

ão 4 Experimental

Slug Tracking

0.00

0.03

0.06

0.09

PDF

- Est

ação

3

0 10 20 30 40LS/D

0.00

0.03

0.06

0.09PD

F - E

staç

ão 2

0.00

0.03

0.06

0.09

PDF

- Est

ação

40

4

8

12

PDF

- Est

ação

3

0 0.5 1 1.5 2UT (m/s)

0

4

8

12

PDF

- Est

ação

2

0

4

8

12

PDF

- Est

ação

4

Figura A. 5 - Resultado das funções densidade de probabilidade para o escoamento horizontal de ar e água na condição AW#1


0.000

0.005

0.010

0.015

PDF

- Est

ação

3

0 100 200 300LB/D

0.000

0.005

0.010

0.015

PDF

- Est

ação

2

0.000

0.005

0.010

0.015

PDF

- Est

ação

4


0.000

0.025

0.050

0.075

0.100

PDF

- Est

ação

3

0 20 40 60 80LS/D

0.000

0.025

0.050

0.075

0.100PD

F - E

staç

ão 2

0.000

0.025

0.050

0.075

0.100

PDF

- Est

ação

40

1

2

3

PDF

- Est

ação

3

0 2 4 6 8 10UT (m/s)

0

1

2

3

PDF

- Est

ação

2

0

1

2

3

PDF

- Est

ação

4

Figura A. 6 – Resultado das funções densidade de probabilidade para o escoamento horizontal de ar e água na condição

A@W#3


0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

PDF

- Est

ação

3

0 10 20 30 40 50LB/D

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

PDF

- Est

ação

2

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

PDF

- Est

ação

4


0.00

0.05

0.10

0.15

PDF

- Est

ação

3

0 10 20 30LS/D

0.00

0.05

0.10

0.15PD

F - E

staç

ão 2

0.00

0.05

0.10

0.15

PDF

- Est

ação

40

2

4

6

8

PDF

- Est

ação

3

0 0.5 1 1.5 2UT (m/s)

0

2

4

6

8

PDF

- Est

ação

2

0

2

4

6

8

PDF

- Est

ação

4


A@W#5


0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

PDF

- Est

ação

3

0 20 40 60 80 100LB/D

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

PDF

- Est

ação

2

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

PDF

- Est

ação

4


0.00

0.04

0.08

0.12

PDF

- Est

ação

3

0 10 20 30 40LS/D

0.00

0.04

0.08

0.12PD

F - E

staç

ão 2

0.00

0.04

0.08

0.12

PDF

- Est

ação

40

1

2

3

4

PDF

- Est

ação

3

0 1 2 3UT (m/s)

0

1

2

3

4

PDF

- Est

ação

2

0

1

2

3

4

PDF

- Est

ação

4


A@W#6


Ar e glicerina na horizontal

0 200 400 600L/D

0

10

20

30

40

L B/D


0 200 400 600L/D

0

5

10

15

20

L S/D

0 200 400 600L/D

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

UT [

m/s

]

0 200 400 600L/D

0

35

70

105

140P

[kPa

]

Figura A. 9 – Resultados médios para o escoamento horizontal de ar e solução de



0 200 400 600L/D

0

50

100

150

200

L B/D


0 200 400 600L/D

0

5

10

15

20

L S/D

0 200 400 600L/D

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

UT [

m/s

]

0 200 400 600L/D

0

35

70

105

140

P [k

Pa]



0 200 400 600L/D

0

4

8

12

16

20

L B/D


0 200 400 600L/D

0

5

10

15

L S/D

0 200 400 600L/D

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

UT [

m/s

]

0 200 400 600L/D

0

35

70

105

140

P [k

Pa]




0 200 400 600L/D

0

10

20

30

40

L B/D


0 200 400 600L/D

0

5

10

15

L S/D

0 200 400 600L/D

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

UT [

m/s

]

0 200 400 600L/D

0

35

70

105

140

P [k

Pa]




0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

PDF

- Est

ação

3

0 20 40 60 80LB/D

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

PDF

- Est

ação

2

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04PD

F - E

staç

ão 4 Experimental

Slug Tracking

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

PDF

- Est

ação

3

0 5 10 15 20 25LS/D

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

PDF

- Est

ação

2

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

PDF

- Est

ação

40

2

4

6

8

10

PDF

- Est

ação

3

0 0.5 1 1.5UT (m/s)

0

4

8

12

PDF

- Est

ação

2

0

2

4

6

8

PDF

- Est

ação

4

Figura A. 13 – Resultado das funções densidade de probabilidade para o escoamento horizontal de ar e solução de glicerina na

condição A@G#1


0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

PDF

- Est

ação

3

0 100 200 300LB/D

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

PDF

- Est

ação

2

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

PDF

- Est

ação


0.00

0.05

0.10

0.15

PDF

- Est

ação

3

0 10 20 30 40 50LS/D

0.00

0.05

0.10

0.15PD

F - E

staç

ão 2

0.00

0.05

0.10

0.15

PDF

- Est

ação

40

1

2

3

4

PDF

- Est

ação

3

0 2 4 6 8UT (m/s)

0

1

2

3

4

PDF

- Est

ação

2

0

1

2

3

4

PDF

- Est

ação

4


condição A@G#3


0.00

0.05

0.10

0.15

PDF

- Est

ação

3

0 10 20 30LB/D

0.00

0.05

0.10

0.15

PDF

- Est

ação

2

0.00

0.05

0.10

0.15

PDF

- Est

ação


0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

PDF

- Est

ação

3

0 5 10 15LS/D

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25PD

F - E

staç

ão 2

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

PDF

- Est

ação

40

2

4

6

PDF

- Est

ação

3

0 0.5 1 1.5 2UT (m/s)

0

2

4

6

PDF

- Est

ação

2

0

2

4

6

PDF

- Est

ação

4


condição A@G#5


0.00

0.02

0.04

0.06

PDF

- Est

ação

3

0 20 40 60LB/D

0.00

0.02

0.04

0.06

PDF

- Est

ação

2

0.00

0.02

0.04

0.06

PDF

- Est

ação


0.0

0.1

0.2

0.3

PDF

- Est

ação

3

0 5 10 15 20LS/D

0.0

0.1

0.2

0.3PD

F - E

staç

ão 2

0.0

0.1

0.2

0.3

PDF

- Est

ação

40

1

2

3

PDF

- Est

ação

3

0 1 2 3UT (m/s)

0

1

2

3

PDF

- Est

ação

2

0

1

2

3

PDF

- Est

ação

4


condição A@G#6


Nitrogênio e óleo SAE 20-50 na horizontal

0 200 400L/D

0

20

40

60

L B/D


0 200 400L/D

0

5

10

15

20

L S/D

0 200 400L/D

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

UT [

m/s

]

0 200 400L/D

0

60

120

180P

[kPa

]

Figura A. 17 – Resultados médios para o escoamento horizontal de nitrogênio e óleo

SAE 20-50 N@O#6


0 200 400L/D

0

4

8

12

16

20

L B/D


0 200 400L/D

0

5

10

15

20

L S/D

0 200 400L/D

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

UT [

m/s

]

0 200 400L/D

0

60

120

180

240

P [k

Pa]

Figura A. 18 – Resultados médios para o escoamento horizontal de nitrogênio e óleo

SAE 20-50 N@O#9


0.00

0.01

0.02

0.03

0.04PD

F - E

staç

ão 3

0 50 100 150 200LB/D

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

PDF

- Est

ação


0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

PDF

- Est

ação

30 10 20 30 40 50

LS/D0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

PDF

- Est

ação

2

0

1

2

3

4

PDF

- Est

ação

3

0 2 4 6UT (m/s)

0

1

2

3

4

PDF

- Est

ação

2

Figura A. 19 – Resultado das funções densidade de probabilidade para o escoamento horizontal de nitrogênio e óleo SAE 20-

50 na condição N@O#6


0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

PDF

- Est

ação

3

0 10 20 30 40LB/D

0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

PDF

- Est

ação


0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

PDF

- Est

ação

30 10 20 30 40

LS/D0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

PDF

- Est

ação

2

0

1

2

3

4

5

PDF

- Est

ação

3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5UT (m/s)

0

1

2

3

4

5

PDF

- Est

ação

2

Figura A. 20 – Resultado das funções densidade de probabilidade para o escoamento horizontal de nitrogênio e óleo SAE 20-

50 na condição N@O#9


Ar e água na vertical

0 100 200L/D

0

20

40

60

L B/D


0 100 200L/D

0

5

10

15

20

25

L S/D

0 100 200L/D

0.00.51.01.52.02.53.03.54.0

UT [

m/s

]

0 100 200L/D

0

50

100

150P

[kPa

]

Figura A. 21 – Resultados médios para o escoamento vertical de ar e água na

condição A@WV#5


0 100 200L/D

0

5

10

15

L B/D


0 100 200L/D

0

5

10

15

20

L S/D

0 100 200L/D

0.0

1.0

2.0

3.0

UT [

m/s

]

0 100 200L/D

0

40

80

120

160

P [k

Pa]

Figura A. 22 – Resultados médios para o escoamento vertical de ar e água na

condição A@WV#10


0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05PD

F - E

staç

ão 2

0 40 80 120LB/D

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

PDF

- Est

ação


0.00

0.04

0.08

0.12

PDF

- Est

ação

20 10 20 30 40

LS/D0.00

0.04

0.08

0.12

PDF

- Est

ação

1

0.0

0.5

1.0

1.5

PDF

- Est

ação

2

0 1 2 3 4 5UT (m/s)

0.0

0.5

1.0

1.5

PDF

- Est

ação

1

Figura A. 23 – Resultado das funções densidade de probabilidade para o escoamento vertical de ar e água na condição

A@WV#5


0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

PDF

- Est

ação

2

0 10 20 30LB/D

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

PDF

- Est

ação


0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

PDF

- Est

ação

20 10 20 30 40

LS/D0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

PDF

- Est

ação

1

0

1

2

3

4

5

PDF

- Est

ação

2

0 1 2 3UT (m/s)

0

1

2

3

4

5

PDF

- Est

ação

1

Figura A. 24 – Resultado das funções densidade de probabilidade para o escoamento vertical de ar e água na condição

A@WV#10


Nitrogênio e óleo SAE 20-50 na vertical

0 50 100 150L/D

0

5

10

15

20

25

30

L B/D


0 50 100 150L/D

0

2.5

5

7.5

10

L S/D

0 50 100 150L/D

0.0

1.0

2.0

3.0

UT [

m/s

]

0 50 100 150L/D

0

50

100

150

200

250P

[kPa

]

Figura A. 25 – Resultados médios para o escoamento vertical de nitrogênio e óleo

SAE 20-50 na condição N@OV#8


0.00

0.02

0.04

0.06

0.08PD

F - E

staç

ão 2

0 20 40 60LB/D

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

PDF

- Est

ação


0.0

0.1

0.2

0.3

PDF

- Est

ação

20 5 10 15

LS/D0.0

0.1

0.2

0.3

PDF

- Est

ação

1

0.0

0.4

0.8

1.2

PDF

- Est

ação

2

0 1 2 3 4UT (m/s)

0.0

0.4

0.8

1.2

PDF

- Est

ação

1

Figura A. 26 – Resultado das funções densidade de probabilidade para o escoamento vertical de nitrogênio e óleo SAE 20-50

na condição N@OV#8


Ar e água inclinado

0 100 200L/D

0

2.5

5

7.5

10L B

/D


0 100 200L/D

0

5

10

15

20

L S/D

0 100 200L/D

0.0

1.0

2.0

3.0

UT [

m/s

]

0 100 200L/D

0

40

80

120

160

P [k

Pa]

Figura A. 27 – Resultados médios para o escoamento inclinado de ar e água na

condição A@WI#8


0 100 200L/D

0

10

20

30

L B/D


0 100 200L/D

0

5

10

15

20

L S/D

0 100 200L/D

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

UT [

m/s

]

0 100 200L/D

0

40

80

120

160

P [k

Pa]

Figura A. 28 – Resultados médios para o escoamento inclinado de ar e água na

condição A@WI#10


0.0

0.4

0.8

1.2PD

F - E

staç

ão 2

0 5 10 15LB/D

0.0

0.4

0.8

1.2

PDF

- Est

ação


0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

PDF

- Est

ação

20 10 20 30 40 50

LS/D0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

PDF

- Est

ação

1

0

1

2

3

4

5

PDF

- Est

ação

2

0 2 4 6UT (m/s)

0

1

2

3

4

5

PDF

- Est

ação

1

Figura A. 29 – Resultado das funções densidade de probabilidade para o escoamento inclinado de ar e água na condição

A@WI#8


0.00

0.05

0.10

0.15

PDF

- Est

ação

2

0 10 20 30 40 50LB/D

0.00

0.05

0.10

0.15

PDF

- Est

ação


0.00

0.04

0.08

0.12

PDF

- Est

ação

20 10 20 30 40

LS/D0.00

0.04

0.08

0.12

PDF

- Est

ação

1

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

PDF

- Est

ação

2

0 2 4 6UT (m/s)

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

PDF

- Est

ação

1

Figura A. 30 – Resultado das funções densidade de probabilidade para o escoamento inclinado de ar e água na condição

A@WI#10

Apêndice B - Resumo de correlações para cálculo das variáveis de fechamento

170

APÊNDICE B – RESUMO DE CORRELAÇÕES PARA CÁLCULO DAS

VARIÁVEIS DE FECHAMENTO

Esse apêndice está conectado ao exposto no capítulo 2, de revisão

bibliográfica. Aqui é apresentado um resumo das correlações existentes na literatura

para o cálculo das equações de fechamento para a velocidade de translação das

bolhas, fração de líquido no pistão e freqüência da célula unitária. As Tabelas B.1,

B.2 e B.3 apresentam o resumo das correlações.


171

Tabela B. 1 – Valores das constantes para o cálculo da velocidade da bolha alongada

Autores 0C /DU gD h Observações

Davies e Taylor (1950) - 0,328 - Experimental, vertical.

Nicklin et al. (1962) 1,2 0,351 - Experimental, vertical.

Moissis e Griffith (1962) - - ( )8exp 1,06 SL D− Experimental, vertical.

Benjamin (1968) - 0,542 - Analítico, horizontal.

Dukler e Hubbard (1975) ( )1,022 0,021ln ReM+ 0 - Analítico, horizontal,

ReM JDρ μ= .

Ferré (1979) 1,10; 2, 261,30;2, 26 8, 281,02; 8, 28

M

M

M

FrFr

Fr

≤⎧⎪ < <⎨⎪ ≥⎩

0, 44; 2, 260;2,26 8, 283; 8, 28

M

M

M

FrFr

Fr

≤⎧⎪ ≤ <⎨⎪ ≥⎩

- Experimental, horizontal,

MFr J gD= .

Weber (1981) - 0,56

1,760,54Eo

− - Experimental, vertical,

2Eo gDρ σ= Δ .

Bendiksen (1984) ( )21,05 0,15 sen ; 3,51,2; 3,5

L

L

FrFr

θ⎧ + <⎪⎨

≥⎪⎩

0,54cos 0,35sen ; 3,50,35sen ; 3,5

L

L

FrFr

θ θθ

+ <⎧⎨ ≥⎩

- Experimental, diversas

inclinações,

L LFr J gD= .

Dukler et al. (1985) 1,225 0 - Analítico, horizontal e

vertical.

Théron (1989) ( )20, 231,3 0,13 senβ− +

Γ 0,80,5 cos 0,35senβ β⎛ ⎞− + +⎜ ⎟

⎝ Γ ⎠

- Experimental, diversas

inclinações, 3,5crítFr = ,

( )101 cos M crítFr FrθΓ = +.


172

Taitel e Barnea (1993) - -

Stab

5,5exp 6 SLL

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

Experimental, vertical,

10 15stabL D = ∼

Manolis (1995) 1,033; 2,861, 216; 2,86

M

M

FrFr

<⎧⎨ ≥⎩

0, 477; 2,860; 2,86

M

M

FrFr

<⎧⎨ ≥⎩

- Experimental, horizontal.

Woods e Hanratty (1996) 1,1; 3,11, 2; 3,1

M

M

FrFr

<⎧⎨ ≥⎩

0,52; 3,10; 3,1

M

M

FrFr

<⎧⎨ ≥⎩

- Experimental, horizontal.

Grenier (1997) - - ( )0, 4exp 0,5 SL D− Experimental, horizontal.

Petalas e Aziz (1998) ( ) 0,0311,64 0,12sen ReMβ −+ - - Experimental, horizontal e

vertical.

Fagundes Netto (1999) - - 0

crít

1 exp 0,16S S

S

L LL D

υ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

Experimental, horizontal,

0 0, 22υ = , crít 6,3SL D= .


173

Tabela B. 2 – Modelos para a fração de líquido no pistão

Autores LSR Observações

Gregory et al. (1978) ( )

11,391 8,66J−

⎡ ⎤+⎣ ⎦ Experimental, horizontal.

Malnes (1982) ( ) 11 0,251 1 83 M LFr Bo−− −− + Experimental, horizontal, MFr J gD= , 2

L LBo gD ρ σ= .

Fershneider (1983) ( )

2221 Lj ABo gDβ ρ ρ

−−−⎡ ⎤+ Δ⎢ ⎥⎣ ⎦

Experimental, horizontal, 25A = , 0,1β = .

Barnea e Brauner

(1985) ( )

20,1 1,2ˆ1 0,058 0,605 Re 0,725S MBo Fr⎡ ⎤− −⎣ ⎦ Analítico, vertical.

Andreussi (1993) ( ) ( )0 1 1MF F Fr F+ + Experimental, horizontal, ( )( )20 máx 0;2,6 1 2 0,025F D⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ,

( )3

41 2400 1 sen 3F Boθ −= − .

Marcano et al. (1998) ( ) 121,001 0,0179 0,0011J J−

+ + Experimental, horizontal.

Gomez et al. (2000) ( )6exp 0,45 2,48 10 ReSθ −⎡ ⎤− + ⋅⎣ ⎦ Experimental, diversas inclinações, 0 1,57 radianosθ< < .

Abdul Majeed (2000) ( )1,009 C J A− ⋅ Experimental, horizontal e levemente inclinado, 0,006 1,3377 G LC μ μ= + ,

1, se 01 sen , se 0

AA

θθ θ

= ≤⎧⎨ = − >⎩

.

Zhang et al. (2003)

( )

1

13,16

sm

L G

Tgρ ρ σ

−⎡ ⎤⎢ ⎥+⎢ ⎥−⎣ ⎦

Analítico, diversas inclinações,

( )( )212 4

L LF T F Fssm S

e S

u u j uf dT jC L

ρ αρ

− −⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎣ ⎦.


174

Tabela B. 3 – Modelos para a freqüência da célula

Autores f Observações

Gregory e Scott (1969) ( ) 1,20,0266 2,02 D Frλ +⎡ ⎤⎣ ⎦ Experimental, horizontal, LJ Jλ = , Fr J gD= .

Heywood e Richardson

(1979) ( ) 1,02

0,0434 2,02 D Frλ +⎡ ⎤⎣ ⎦ Experimental, horizontal.

Correlação Shell,

apud Zabaras (2000) ( ) ( )min

20,1 0,0641,17

sl sg slFr Fr Fr Frg N A N N ND

⎧ ⎫⎡ ⎤+ + −⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

Experimental, horizontal,

e sl sgFr L Fr GN J gD N J gD= = ,

( ) ( )min

0,81 2,340,048 e 0,73

sl slFr Fr FrN N A N= = .

Zabaras (2000) ( ) ( ) 1,20,250,0226 0,836 2,75sen 19,75LJ gD J Jθ+ +⎡ ⎤⎣ ⎦

Experimental, diversas inclinações.

Sakaguchi et al. (2001) 10,317 1,61 0,333 3,040,5641,38 0,166 2

16100 0,087G G GL L L

L L L

J J JD J DD JJ J J gD

μ ρρ ρμ σ μ ρ

−− −−⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥+⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦, experimental,

vertical.

Taitel e Dukler (1977) Método numérico transiente baseado na discretização espacial e temporal das equações de conservação da quantidade de

movimento no líquido e gás do escoamento estratificado. No processo transiente é calculado o tempo necessário para que uma

onda do escoamento estratificado encoste-se à parede superior do tubo, formando um pistão. Segundo os autores, o tempo

decorrido na solução numérica é proporcional à freqüência do escoamento.

Tronconi (1990) 0,61 G G

L G

uh

ρρ

Analítico, horizontal, Gu e Gh são a velocidade e altura do gás no

escoamento estratificado em equilíbrio.


175

Hill e Wood (1990) ( )2.680.275 103600

LRL GJ JD

⋅+⎛ ⎞ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Experimental, horizontal, LR é a fração de líquido no escoamento

estratificado em equilíbrio.

Hill e Wood (1994) ( )( )

9.91209 ' 0.20524 '

0.3

24.729 0.00766 24.721 13600 1 0.05

H HL G

G

e e J JD J D

− + + +⎛ ⎞⎜ ⎟ −⎝ ⎠

Experimental, horizontal, ( )( )' 1 1 0.068e LH Jα= − − e LR é a fração de líquido no escoamento estratificado em equilíbrio.

Apêndice C - Modelos de Dois Fluidos e Drift Flux

176

APÊNDICE C – MODELOS DE DOIS FLUIDOS E DRIFT FLUX

Modelo de dois fluidos (two-fluid model)

O modelo de Dois Fluidos foi apresentado inicialmente por Ishii (1975) e será

apresentado aqui de forma sucinta, como mostrado em Shoham (2006). O modelo

trata o líquido e o gás como se escoassem de forma separada na tubulação, de

acordo com a Figura C.1. A maior hipótese utilizada é a de escoamento

unidimensional, fazendo-se as velocidades no líquido e no gás possuir um perfil

uniforme.

UL

UG

dz

z

AL

AG

Figura C. 1 – Esquema do escoamento para o modelo de Dois Fluidos

No modelo, aplicam-se as equações de conservação da massa e quantidade

de movimento a um volume de controle diferencial na direção axial, de acordo com a

Figura C.1. As equações de conservação da massa para as fases de líquido e gás

são:

( ) ( )L L L L L LA A U At z

ρ ρ∂ ∂+ = Γ

∂ ∂ (C.1)

e:

( ) ( )G G G G G GA A U At z

ρ ρ∂ ∂+ = Γ

∂ ∂, (C.2)

Onde ρL e ρG são as massas específicas de líquido e gás, respectivamente, AL e AG

são as seções transversais preenchidas com líquido e gás, respectivamente, UL e UG


177

são as velocidades médias de líquido e gás, respectivamente, e LΓ e GΓ

representam a transferência de massa entre as fases de líquido e gás por unidade

de comprimento da tubulação. Por definição 0LΓ > quando líquido é gerado, e,

devido à conservação da massa, L GΓ = −Γ . As equações de conservação da

quantidade de movimento para o líquido e gás são:

( ) ( )

( )

2

ˆ

sen

L L LL L LL

L L LL L I I L L IL

A UA UAU

t zP A AS S A g P

z z

ρρ

τ τ ρ θ

∂∂+ − Γ =

∂ ∂∂ ∂

= − + − − +∂ ∂

, (C.3)

e:

( ) ( )

( )

2

ˆ

sen

G G GG G GG

G G GG G I I G G IG

A UA UAU

t zP A AS S A g P

z z

ρρ

τ τ ρ θ

∂∂+ − Γ =

∂ ∂∂ ∂

= − − − − +∂ ∂

, (C.4)

onde Lτ e Gτ são as tensões de cisalhamento na parede nas fases de líquido e gás,

e Iτ é a tensão na interface, LS , GS e IS são os perímetros do líquido, gás e

interface, ˆGU U= se 0LΓ > e ˆ

LU U= se 0LΓ < , e ILP e IGP são as pressões do

líquido e do gás na interface.

Dessa forma, o modelo de Dois Fluidos possui 4 equações e 4 incógnitas: LU ,

GU , LA (ou GA ) e IP . O domínio computacional é discretizado e as Equações (C.1),

(C.2), (C.3) e (C.4) são resolvidas numericamente utilizando, geralmente, o método

de volumes finitos.

Bendiksen et al. (1991) apresentam a implementação do modelo de Dois

Fluidos no programa computacional OLGA, que foi um dos primeiros programas para

cálculo de parâmetros transientes no escoamento bifásico, e até hoje é largamente

utilizado na indústria petrolífera. O modelo apresentado por Bendiksen et al. (1991)

apresenta uma pequena particularidade para os escoamentos estratificados e

anulares que podem conter pequenas partículas de líquido dispersas na região do


178

gás. Nesse caso, uma nova equação de conservação da massa é aplicada apenas

às partículas, porém, a equação de conservação da quantidade de movimento

continua sendo aplicada à mistura gás/partículas de líquido.

Em seguida, Henau e Raithby (1995) apresentaram um modelo de Dois

Fluidos aplicado especificamente para o escoamento em golfadas. A partir dos

resultados de LU , GU e LA para cada posição axial do modelo de Dois Fluidos, os

autores resolvem um sub-modelo de escoamento em golfadas (baseado no modelo

estacionário de Dukler e Hubbard, 1975). Para isso, é necessária a utilização de

relações constitutivas para a tensão cisalhante na interface, coeficiente de arrasto

entre o líquido e o gás e para o coeficiente da força de massa virtual.

Mais recentemente, Issa e Kempf (2003) apresentaram resultados para um

modelo de Dois Fluidos aplicado à formação do escoamento em golfadas a partir de

um escoamento estratificado. Depois de formado, o escoamento em golfadas

continua a ser simulado, porém, sem a utilização de um sub-modelo como em

Henau e Raithby (1995). O modelo só é válido para escoamento horizontais ou

levemente inclinados e, segundo os autores, os resultados das simulações são bons

em comparação com resultados experimentais.

De forma geral, os modelos de Dois Fluidos apresentam alguns problemas

quanto à estabilidade e convergência dos resultados, principalmente se em algum

local da tubulação a fração do líquido ou do gás torna-se nula. Por isso, deve-se

realizar um tratamento cuidadoso das equações resultantes. Além disso, testes de

malha revelam que para uma solução independente da malha, esta deve ser muito

refinada, o que torna a simulação inviável para tubulações de grandes extensões.

Por fim, o modelo é muito sensível às equações constitutivas utilizadas.

Modelo de drift flux

O modelo de Drift Flux surgiu como alternativa ao modelo de Dois Fluidos, na

modelagem de escoamento em que a diferença entre as velocidades das fases é

pequena, característica de escoamentos dispersos, como representado na Figura

C.1. O modelo de Drift Flux gera uma equação a menos que o modelo de Dois

Fluidos, ou seja, 3 equações (se considerássemos o escoamento com transferência


179

de calor, o modelo geraria 4 equações, contra 6 do modelo de Dois Fluidos). A

seguir é apresentado o modelo de acordo com o apresentado em Shoham (2006).

G

dz

z

c

Figura C. 2 – Esquema do escoamento para o modelo de Drift Flux

A Figura C.1 apresenta o escoamento utilizado para a apresentação do

modelo, e G é o fluxo mássico total por unidade de área ( L L L G G GG R U R Uρ ρ= + ), e c

é a concentração de gás no escoamento ( G G Mc R ρ ρ= ). Aplicando-se a equação de

conservação da massa para a fase de gás no volume de controle infinitesimal da

Figura C.1, obtém-se:

( ) ( )G G G G G GA A U At z

ρ ρ∂ ∂+ = Γ

∂ ∂. (C.5)

É possível também aplicar a equação de conservação da massa para a mistura:

( ) ( ) 0M A AGt z

ρ∂ ∂+ =

∂ ∂, (C.6)

onde Mρ é a massa específica da mistura ( M G G L LR Rρ ρ ρ= + ). A Equação (C.5) pode

ser rearranjada em função de G e c como:

( )1 M MG G

M M M

AcUc G ct z A z

ρρ ρ ρ

∂ Γ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂, (C.7)

onde c é a concentração mássica de gás na mistura e MGU é a velocidade difusiva

do gás, definida como a velocidade do gás relativa a uma superfície que se move no

centro de massa ( MG G MU U G ρ= − ).


180

A equação de conservação da quantidade de movimento também é escrita

para a mistura, da forma:

( ) ( )2 2

senL L L G G GL L G G M

A U A UAG PS S Ag At z z

ρ ρτ τ ρ θ

∂ +∂ ∂+ = − − − −

∂ ∂ ∂, (C.8)

que pode ser rearranjada em função de G e c como:

( ) 22 sen

1MG M L L G G MM

AG AG c PAU S S Ag At z z c z

ρ τ τ ρ θρ

∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + = − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ − ∂⎝ ⎠⎝ ⎠. (C.9)

O modelo consiste em se resolver as Equações (C.6), (C.7) e (C.9) ao longo do tubo,

em uma malha unidimensional, para as incógnitas G , c e P .

Segundo apresentado por Pauchon et al. (1994), o programa computacional

TACITE utiliza o modelo de Drift Flux para simular escoamentos bifásicos em

diversos padrões. Para isso, o programa possui um identificador do padrão de

escoamento e aplica equações de fechamento pertinentes ao padrão detectado.

Omgba et al. (2000) apresenta um modelo de Drift Flux que utiliza uma malha

adaptativa, que é refinada automaticamente de acordo com a necessidade do

modelo. Os autores não citam quais os modelos utilizados para cada padrão de

escoamento ou equações constitutivas.

Os modelos de Drift Flux possuem resolução semelhante aos de Dois Fluidos.

Por isso, apresentam as mesmas deficiências com relação à estabilidade e

refinamento da malha computacional.

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