arcos e ângulos
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Circunferência
O
AB
C
DE
Pr
r
r
rr
r
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Elementos
B
A
BAO O
Corda AB Diâmetro AB
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Elementos
A
B
MN
Arco AMB
Arco ANB
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Arcos e ângulos
A ≡ B A ≡ B
arco completo arco nulo
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Arcos e ângulos
AB
Arco de meia volta
O
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Arco e ângulo central
A
B
O
C
α
D
EF
γ
β
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O grau como unidade de medida
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O grau como unidade de medida
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1o
O grau como unidade de medida
1º = 360 1
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Operações com arcos
Adição;
Subtração;
Multiplicação de uma constante inteira k (k≠0) por
um ângulo;
Divisão de um ângulo por uma constante k (k≠0).
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Adição
Sendo α = 18º32’45” e β = 34º50’36”, vamos obter α + β.
18º32’45”
34º50’36”
52º82’81”
82’ = 60’ + 22’ = 1º22’
81” = 60” + 21” = 1’21”
52º82’81” = 52º+1º22’+1’22” = 53º23’21”
+
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Subtração
Sendo α = 42º32’40” e β = 18º50’54”, vamos obter α– β .
42º32’40”
18º50’54”
23º41’46”
–
= 41º+60’31’+60”40” = 41º91’100”
41º91’100”
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Multiplicação
Sendo α = 23º18’34”, vamos obter α x 5.
x 5
115º90’170”
23º18’34”
115º90’170” = 115º60’+30’120”+50” = 116º32’ 50”
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Divisão
Sendo α = 34º20’18”, vamos obter α : 3.
334º 20’ 18”
1º
80’ 2’
138”
0
11º
26’
46”
R. 11º26’46”
→ 60’
120”→
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O radiano como unidade de medida
A
R
OR
α
R
B
Comprimento do arco (AB) = R
⇓
m(AB) = 1 radiano
⇓
α = m(AB) = 1 rad
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Exemplo
A
R
O R
α
1,5RB
Comprimento do arco (AB) = 1,5 R
⇓
m(AB) = 1,5 rad
⇓
α = m(AB) = 1,5 rad
α = m(AB) =comprimento
R
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Arco completo
OR
α A ≡ B
α =comprimento
R
α =2π R
R= 2π rad
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Exemplos
B
10,8 cm
A circunferência da figura tem raio igual a 9 cm e o comprimen-to do arco AB assinalado é 10,8 cm. Calcular, em radianos, a medida de AB.
O
A9 cm
α =comprimento
R
α =10,8 cm
9 cm= 1,2 rad
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Exemplos
B
30º
O arco AB da figura tem medida de 30º e o raio da circunferên-cia é de 4 cm. Calcular, em cm, o comprimento do arco AB.
O
A
4 cm
ângulo
x
x =2 π . 4 . 30
360
comprimento
360º 2π R
30º
2 π
3= ≈ 2, 1 cm
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Exemplos
B
40 cm
Numa circunferência, o comprimento de um arco é de 40 cm. Esse mesmo arco mede 5 rad. Calcular a medida do raio da circunferência.
O
A
R
α =comprimento
R
5 =40 cm
R⇒ R = 8 cm
αR
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Conversões
00ºArco nulo
π/290ºArco de
¼ de volta
π180ºArco de
meia volta
2π360ºArco
completo
Medida em radianos
Medida em graus
Representação
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Transformando unidades
As medidas de um arco em graus e radianos são
proporcionais. Por isso podemos transformar
uma unidade em outra por uma regra de três.
180º correspondem a π rad
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Exemplos Transformar 72º em radianos.
180º π rad
72º x
x = 72 . π
180 =
2π
5 rad
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Exemplos
Exprimir rad em graus.
π rad equivale a 180º.
x = 5.180
4=
5π4
225º