6. trigonometria 6.1. conceitos iniciais 6.1.1 Ângulos e arcos · a partir da definição dos...
TRANSCRIPT
2
6. Trigonometria
6.1. Conceitos Iniciais
A palavra “trigonometria” vem do grego [trigōnon = "triângulo", metron "medida"], ou seja, está relacionada com as medidas de um triângulo, sendo estas medidas de ângulo e comprimento. A partir da definição dos conceitos básicos de trigonometria, arcos e ângulos, podemos utilizar as propriedades do triângulo retângulo e diversas relações úteis para a resolução de problemas matemáticos poderão ser encontradas.
Além disso, a partir dos conceitos compreendidos no triângulo retângulos, a trigonometria pode abordar conhecimentos para outras figuras e áreas da matemática, como no estudo da circunferência, da elipse e das funções periódicas.
6.1.1 Ângulos e Arcos
Em trigonometria, é de fundamental importância a definição de ângulos e arcos.
Um ângulo 𝛼 é a abertura entre duas retas R1 e R2 que possuem um ponto P em comum
(vértice do ângulo). Pode ser entendido também como a inclinação entre duas retas.
Esta ideia está ilustrada na Fig. 6.1.
Fig.6.1: Representação de um ângulo α.
Adicionalmente, pode-se observar a magnitude de um ângulo 𝛼 como sendo a
quantidade de rotação que separa R1 da R2.
Para se descrever a magnitude de um ângulo, deve-se primeiramente
estabelecer uma unidade de medida, sendo as mais comuns o grau e o radiano. Mais
adiante serão explicadas as diferenças entre estes 2 modelos de medição.
Um ângulo 𝛼 determina um arco (L) de uma circunferência, como se observa na
Fig.6.2. Esse comprimento de arco está relacionado, juntamente com o ângulo (𝛼), ao
Raio (R); o que é explicitado na Eq.6.1:
∝=𝐿
𝑅 Eq. (6.1)
3
Fig.6.2: Circunferência de raio R e comprimento de arco L.
6.1.2. Unidades de Ângulos
Grau
Ao dividir uma circunferência em 360 arcos iguais – o que é representado na
Fig.6.3 –; sendo C o comprimento da circunferência, e L comprimento do arco
formado, o ângulo que determina um destes arcos corresponde a 1°.
Fig.6.3: Representação do ângulo que mede 1°.
Onde, 𝐿 =𝐶
360
Existe ainda uma unidade de medida de ângulos chamada de grado (ou
gradiano) onde a circunferência é dividida em 400 arcos iguais, ao invés de 360. No
entanto esta unidade não é comumente usada no Brasil.
Radiano
O radiano é o ângulo que determina um arco com comprimento igual ao raio da
circunferência, tal qual é explicitado na Fig.6.4.
Fig.6.4: Representação do ângulo que mede 1 rad.
Onde 𝐿 = 𝑅
4
6.1.3. Tipos de Ângulos
Alguns tipos de ângulos são muito usados, entre eles, o ângulo reto (90°),
ângulo raso ou de meia-volta (180°), ângulo agudo (maior que 0° e menor que 90°),
ângulo obtuso (maior que 90° e menor que 180°) e ângulo de uma volta (360°). Os
quais estão representados na Fig.6.5:
Fig.6.5: Ângulos de comum uso: (a) ângulo reto, (b) ângulo raso, (c) ângulo agudo, (d) ângulo
obtuso e (e) ângulo de uma volta.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Duas retas que formam um ângulo reto entre si são chamadas de
perpendiculares ou ortogonais. Por exemplo, o plano cartesiano é formado por duas
retas perpendiculares, como mostra a fig.6.6.
5
Fig.6.6: Representação de um Plano Cartesiano.
6.1.4. Triângulo Retângulo
Um triângulo que possui um ângulo reto (90°) chama-se triângulo retângulo. O
maior lado a de um triângulo retângulo é chamado de hipotenusa (lado oposto ao
ângulo reto); e os outros dois lados b e c são chamados de catetos
(Ver Fig.6.7).
Fig.6.7: Triângulo Retângulo.
Teorema de Pitágoras
Para todo triângulo retângulo tem-se que “o quadrado da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados dos catetos”, o que pode ser explicitado pela Eq.6.2:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 (Eq. 6.2)
Observe no exemplo o triângulo
pitagórico, onde a soma da quantidade
de quadrados formados pelos catetos é
igual ao número de quadrados
formados pela hipotenusa.
Relações Trigonométricas
Pode-se obter relações trigonométricas (da Eq.6.3 à Eq.6.8) em um triângulo
retângulo ABC:
6
sen𝜃 =𝐶𝑂̅̅ ̅̅
𝐻𝐼̅̅̅̅=
𝑎
ℎ (6.1)
cos 𝜃 =𝐶𝐴̅̅ ̅̅
𝐻𝐼̅̅̅̅=
𝑏
ℎ (6.2)
tan 𝜃 =𝐶𝑂̅̅ ̅̅
𝐶𝐴̅̅ ̅̅=
𝑎
𝑏 (6.3)
cotg𝜃 =1
𝑡𝑔𝜃=
𝑏
𝑎 (6.4)
cossec𝜃 =1
𝑠𝑒𝑛𝜃=
ℎ
𝑎 (6.5)
sec𝜃 =1
𝑐𝑜𝑠𝜃=
𝑎
𝑏
Onde, em relação ao ângulo 𝜃: 𝐶𝑂̅̅ ̅̅ = Cateto oposto; 𝐶𝐴̅̅ ̅̅ =
Cateto adjacente; 𝐻𝐼̅̅̅̅ = Hipotenusa
(6.6)
Lei dos Cossenos
Para um triângulo qualquer podemos escrever a Lei dos Cossenos como na
Eq.6.9.
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2. 𝑏. 𝑐. cos(𝛼) (6.7)
Fig.6.8: Exemplos de Triângulos onde pode ser aplicada a Lei dos Cossenos.
Lei dos Senos
Considerando o triângulo ABC, CH será a altura relativa ao lado AB, como
mostrado na Fig.5.9:
Fig.6.9: Distância entre CH em um Triângulo ABC.
Relações obtidas no triângulo ABC:
sen𝐴 =ℎ
𝑏 → h = b ∙ sen𝐴
(6.8)
7
sen𝐵 =ℎ
𝑎 → h = a ∙ sen𝐵
(6.9)
b ∙ sen𝐴= a ∙ sen𝐵 (6.10)
𝑎
sen𝐴=
𝑏
cos𝐵
(6.11)
Assim, pode-se concluir que:
𝑎
sen𝐴=
𝑏
sen𝐵=
𝑐
sen𝐶
(6.12)
A Eq.6.14 é conhecida como Lei dos Senos ou Teorema dos Senos.
6.2. Círculo Trigonométrico
6.2.1 – Definição
O círculo trigonométrico (ou ciclo trigonométrico) é a circunferência que possui
raio unitário e cujo centro coincide com a origem do plano cartesiano. Ele é dividido em
quatro quadrantes, os quais são limitados por um intervalo de ângulos de 90º, ou 𝜋 2⁄
rad. Além disso, ele também pode ser representado em graus ou radiano, assim como
mostra a Fig.6.10.
I Quadrante [0,𝜋
2] ;
II Quadrante [𝜋
2, 𝜋];
III Quadrante [𝜋,3 𝜋
2 ] ;
IV Quadrante [3𝜋
2, 𝜋].
Fig.6.10: Círculo trigonométrico: (a) em radianos e (b) em graus.
(a)
8
(b)
Nota-se que o Sentido Positivo do Círculo Trigonométrico, ou seja, o sentido em
que o ângulo aumenta a partir de 0°, é dado a partir do Sentido Anti-horário, enquanto
que o Sentido Negativo é dado a partir do Sentido Horário.
Além disso, é possível calcular o Comprimento da Circunferência 𝐶 a partir da
seguinte equação Eq.6.16.
𝐶 = 2. 𝜋. 𝑅 (6.13)
6.2.2 Relações Trigonométricas no Círculo Trigonométrico
Conhecidas as razões trigonométricas básicas no triângulo retângulo, será
possível expandir esse conhecimento para o círculo trigonométrico, a fim de se
determinar o seno, o cosseno e a tangente de outros arcos importantes.
Para todo ângulo 𝛼 contido no primeiro quadrante, tem-se um ângulo
correspondente nos demais quadrantes, de forma que os valores de seno, cosseno e
tangente de 𝛼 são iguais em módulo nos seus correspondentes, podendo alterar o sinal,
positivo ou negativo, dependendo do quadrante.
No II Quadrante: 180º − 𝛼;
No III Quadrante: 180º + 𝛼;
No IV Quadrante: 360º − 𝛼.
Fig.6.11: Ângulos correspondentes de α em outros quadrantes: (a) em graus e (b) em radianos.
(a)
9
(b)
6.2.3 Seno e Cosseno
Para a determinação dos valores de seno e cosseno de um ângulo 𝛼, usam-se os
mesmos princípios citados no triângulo retângulo. Como é possível observar na
Fig.6.12, raio do círculo trigonométrico é unitário (Hipotenusa). Portanto, o seno de 𝛼
será igual ao próprio “cateto oposto” (C.O.) à 𝛼; e o cosseno de 𝛼 será igual ao próprio
“cateto adjacente” (C.A.) à 𝛼. As Eq.6.17, Eq.6.18 e Eq.6.19 exemplificam tais relações.
sen𝛼 = 𝑦𝐴 (6.14)
cos𝛼 = 𝑥𝐴 (6.15)
tan𝛼 =sen𝛼
cos𝛼
Fig.6.12: Determinando o Seno e o Cosseno de 𝛼
(6.16)
Com isso, obtém-se a relação fundamental da trigonometria:
sin²(𝛼) + cos²(𝛼) = 1 (6.17)
Como o raio do círculo trigonométrico é unitário, o maior valor de seno e
cosseno é igual a 1; e o menor valor será −1. Ou seja, as funções seno e cosseno estão
limitadas ao intervalo [−1; 1].
A partir da Fig.6.13 é possível notar que: o seno do ângulo correspondente de 𝛼
no II quadrante é igual ao seno de 𝛼; o seno dos ângulos correspondentes de 𝛼 no III e
no IV quadrantes são iguais ao oposto do seno de 𝛼; o cosseno dos ângulos
10
correspondentes de 𝛼 no II e no III quadrantes são iguais ao oposto do cosseno de 𝛼; e
o cosseno do ângulo correspondente de 𝛼 no IV quadrante é igual ao cosseno de 𝛼.
Fig.6.13 - Representação gráfica das funções seno e cosseno dos ângulos correspondentes de nos
demais quadrantes: (a) 𝑠𝑒𝑛 (𝛼) e – 𝑠𝑒𝑛 (𝛼); (b) 𝑐𝑜𝑠 (𝛼) e – 𝑐𝑜𝑠 (𝛼).
(a)
(b)
Observa-se que a função 𝑠𝑒𝑛(𝛼) é uma função ímpar, pois tem-se que sen(𝛼) =
−sen(−𝛼). E a função 𝑐𝑜𝑠 (𝛼) é uma função par, pois cos(𝛼) = cos(−𝛼), tal como é
ilustrado na Fig.6. 14.
Fig.6.14: Classificação das funções (𝑎) sin(𝛼) e (b) cos(𝛼) como ímpar e par, respectivamente.
(a)
11
(b)
Tab.6.1: Tabela dos valores de seno e cosseno dos ângulos notáveis.
Ângulo sen(α) cos (𝛼)
𝛼 =0° 0 1
𝛼 = 30°
1
2
√3
2
𝛼 = 45° √2
2
√2
2
𝛼 = 60° √3
2
1
2
𝛼 = 90° 1 0
𝛼 = 180° 0 -1
𝛼 = 270° -1 0
𝛼 = 360° 0 1
Exemplos:
1) Determine sen (−𝜋
3)
Solução:
O ângulo −𝜋
3 rad está no IV quadrante e está relacionado ao ângulo
𝜋
3 rad, portanto:
sen (−𝜋
3) = sen (
𝜋
3) , logo: sen (
−𝜋
3) = −
√3
2
12
2) Determine cos (−𝜋
3)
Solução:
cos (–𝜋
3) = cos (
𝜋
3) , logo: cos (
–𝜋
3) =
1
2
3) Determine sen (5𝜋
4)
Solução:
O ângulo 5𝜋
4 rad está no III quadrante e está relacionado ao ângulo
𝜋
4 rad, portanto:
sen (5𝜋
4) = −sen (
𝜋
4) , logo: sen (
5𝜋
4) =
−√2
2
4) Determine cos (5𝜋
4)
Solução:
cos (5𝜋
4) = −cos (
𝜋
4) , logo: cos (
5𝜋
4) =
−√2
2 .
5) sen (5𝜋
6)
Solução:
E o ângulo 5𝜋
6 rad está no II quadrante e, portanto, está relacionado ao ângulo
𝜋
6 rad,
portanto:
sen (5. 𝜋
6) = sen(
𝜋
6) , logo: sen (
5. 𝜋
6) =
1
2
6) Determine cos (5𝜋
6)
Solução:
cos (5𝜋
6) = −cos (
𝜋
6) , logo: cos (
5𝜋
6) =
−√3
2 .
6.2.4 Tangente
Para a representação do valor da tangente de um ângulo α no círculo
trigonométrico, acrescenta-se uma reta tangente t ao círculo trigonométrico, assim
como é indicado na figura Fig.6.15. A tangente de α será dada pelo comprimento do
segmento AB.
Observe que não existe tan(α) se α é igual a 𝜋/2 ou 3𝜋/2, pois as reta 𝑟3 e t não
se interceptam para os ângulos 𝛼 = 𝜋/2 e 𝛼 = 3𝜋/2.
Fig.6.15: Definição gráfica da função tan(α).
13
Ao analisar a Fig.6.16, conclui-se que a tangente do ângulo correspondente de α
no III Quadrante é igual à tangente de α; e a tangente dos ângulos correspondentes de
α no II e no IV quadrantes são iguais ao oposto da tangente de α.
Fig.6.16:Representação gráfica da função tangente dos ângulos correspondentes de α nos
demais quadrantes.
Exemplos:
1) Determine tan (7𝜋
6)
Solução:
O ângulo 7𝜋
6 rad está no III quadrante e está relacionado ao ângulo
𝜋
6 rad, portanto:
tan (7𝜋
6) = tan (
𝜋
6) , logo: tan (
7𝜋
6) =
√3
3
2) Determine tan (3𝜋
4)
Solução:
O ângulo 3𝜋
4 rad está no II quadrante e está relacionado ao ângulo
𝜋
4 rad, portanto:
tan (3𝜋
4) = − tan (
𝜋
4) , logo: tan (
3𝜋
4) = −1.
Eixo dos senos
Eixo dos cossenos
α
3π/2
π/2
t
A
BO
tgα
r3
14
3) Determine tan (5𝜋
3)
Solução:
O ângulo 5𝜋
3 rad está no IV quadrante e está relacionado ao ângulo
𝜋
3 rad, portanto:
tan (5𝜋
3) = − tan (
5𝜋
3) , logo: tan (
5𝜋
3) = −√3.
4) Determine tan (5.𝜋
2)
Solução:
O ângulo 5𝜋
2 rad é côngruo de
𝜋
2 rad (o ângulo
5𝜋
2 rad está na mesma posição de
𝜋
2 rad
após uma volta completa no círculo trigonométrico). Portanto, a função tan (5𝜋
2) não
existe tal qual função tan (𝜋
2).
6.3. Relações Trigonométricas Inversas
Definem-se as seguintes razões inversas: “a secante de um ângulo α (sec(𝛼)) é dada
pelo inverso do cosseno deste ângulo”; “a cossecante de um ângulo α (cossec(𝛼)) é dada
pelo inverso do seno de α”; e “a cotangente de um ângulo α (cotg(𝛼)) é dada pelo
inverso da tangente deste ângulo”. Assim, têm-se as Eq.6.21, Eq.6.22 e Eq.6.23:
sec(𝛼) = 1
cos(𝛼)
(6.18)
cossec (𝛼) = 1
sen (𝛼)
(6.19)
cotg (𝛼) = cos (𝛼)
sen (𝛼)=
1
𝑡𝑔(𝛼)
(6.20)
Exemplos:
1) Se sen(𝛼) =1
2 , com 0 < 𝛼 <
𝜋
2 . Determine o valor de sec(𝛼).
Solução:
sen2(𝛼) + cos2(𝛼) = 1, portanto:
(1
2)2
+ cos2(𝛼) = 1 →1
4+ cos2(𝛼) = 1 → cos2(𝛼) = 1 −
1
4, então:
cos2(𝛼) =3
4
cos (𝛼) = ±√(3
4) → cos (𝛼) = ±
√3
2 ,
15
e como 0 < 𝛼 <𝜋
2 ,
tem − se que α está no I quadrante, logo:
cos (𝛼) =√3
2 .
Portanto:
sec(𝛼) = 1
cos(𝛼)→ sec(𝛼) =
2
√3→ sec(𝛼) =
2
√3.√3
√3 , logo:
sec(𝛼) = 2. √3
3 .
2) Se sen(𝛼) =−2
3 , com
3.𝜋
2< 𝛼 < 2𝜋. Determine o valor de cotg(𝛼).
Solução:
sen2(𝛼) + cos²(𝛼) = 1, portanto:
(−2
3)2
+ cos2(𝛼) = 1 →4
9+ cos2(𝛼) = 1 → cos2(𝛼) = 1 −
4
9, então:
cos2(𝛼) =5
9→ cos (𝛼) = ±√(
5
9) →
cos (𝛼) = ±√5
3 ,
e como 3𝜋2< 𝛼 < 2. 𝜋 ,
tem − se que α está no IV quadrante, logo:
cos (𝛼) =√5
3 .
Portanto:
cotg (𝛼) = cos (𝛼)
sen (𝛼)→ cotg (𝛼) =
(√53 )
(−23 )
, logo:
cotg (𝛼) =
(√53 )
(−23 )
= (√5
3) . (
3
−2) =
√5
−2∴ cotg (𝛼) =
−√5
2 .
16
6.4. Identidades Trigonométricas
Algumas identidades trigonométricas facilitam a resolução de alguns
problemas., tal como as Eq.6.24, Eq.6.25 e Eq.6.26.
sen2(𝛼) + cos2(𝛼) = 1 (6.21)
1 + tg2(𝑥) = sec2(𝑥) (6.22)
1 + cotg2(𝑥) = cossec2(𝑥) (6.23)
Dados dois ângulos a e b; os valores de seno, cosseno e tangente dos arcos
obtidos pela soma ou pela subtração de a e b serão as equações de Eq.6.27 à Eq.6.34:
sen(𝑎 + 𝑏) = sen(𝑎). cos(𝑏) + sen(𝑏) . cos(𝑎) (6.24)
sen(𝑎 − 𝑏) = sen(𝑎). cos(𝑏) − sen(𝑏) . cos(𝑎) (6.25)
cos(𝑎 + 𝑏) = cos(𝑎). cos(𝑏) − sen(𝑎). sen(𝑏) (6.26)
cos(𝑎 − 𝑏) = cos(𝑎). cos(𝑏) + sen(𝑎). sen(𝑏) (6.27)
sen(2𝑥) = 2. sen(𝑥). cos(𝑥) (6.28)
cos(2𝑥) = cos²(𝑥) − sen²(𝑥) (6.29)
sen (𝑥
2) = √
1−cos (x)
2
(6.30)
cos (𝑥
2) = √
1+cos (x)
2
(6.31)
Dados dois ângulos p e q, os valores da soma e da subtração dos senos e dos
cossenos destes ângulos serão obtidos a partir das seguintes relações de Eq.6.35 à
Eq.6.38:
sen(p) + sen(q) = 2. sen(p+q
2) . cos(
p−q
2) (6.32)
sen(p) − sen(q) = 2. sen (p−q
2) . cos (
p+q
2) (6.33)
cos(p) + cos(q) = 2. cos (p+q
2) . cos(
p−q
2) (6.34)
cos(p) − cos(q) = −2. sen (p+q
2). sen (
p−q
2) (6.35)
Exemplos:
1) Determine o valor de sen(105°) e cos(15°).
Solução:
Como 105º é igual a 60º + 45º, tem-se que:
sen(105°) = sen(60° + 45°)
sen(105°) = sen(60°). cos(45°) + sen(45°). cos(60°)
sen(105°) =√3
2.√2
2+√2
2.1
2=
√6
4+√2
4
17
sen(105°) =√6 + √2
4 .
E como 15º é igual a 60º − 45º, tem-se que:
cos(15°) = cos(60° − 45°)
cos(15°) = cos(60°). cos(45°) + sen(60°). sen(45°)
cos (15°) =1
2.√2
2+√3
2.√2
2=√2
4+√6
4,
cos (15º) =√2+√6
4
6.5. Funções Trigonométricas
6.5.1 Função Seno:
Admitindo y como uma variável independente, é possível representar a função
seno da Eq.6.39:
𝑦 = 𝑓(𝑥) = sin(𝑥) (6.36)
A partir dessa representação, devem-se constatar as seguintes definições:
O domínio da função (D(f)) está compreendido sob todo o conjunto dos
números reais, ou seja, a variável x pode assumir qualquer valor real.
Para cada valor de x existe um valor correspondente de y que varia de -1 a 1, isto
é, a imagem da função (Im(f)) compreende o intervalo[−1, 1].
A cada volta que se completa no círculo trigonométrico, os valores de y repetem-
se oscilando, o que significa dizer que a função apresenta caráter oscilatório e
periódico, de período igual a 2𝜋.
Fig.6.17: Gráfico da senoide.
Se a função se apresentar na forma da Eq.6.40:
𝑓(𝑥) = sen(𝑘. 𝑥) (6.37)
O período T da função será igual a Eq.6.41.
𝑇 =2𝜋
𝑘
(6.38)
Se 𝑘 > 1, ocorre uma compressão horizontal no gráfico de ordem a (Ver Fig.6.18).
18
Fig.6.18: Gráfico da Função 𝑓(𝑥) = sen(2𝑥).
Podem haver casos nos quais a função é apresentada sob a forma 𝑦 = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛 𝑥,
o que provocará um alongamento (𝐴 > 1) ou um encurtamento vertical (𝐴 < 1).
Fig.6.19: Gráfico da Função 𝑓(𝑥) = 0.5 sen(𝑥).
Percebe-se também a existência de deslocamentos verticais ou horizontais sob
as respectivas formas: 𝑦 = 𝐵 + sen(𝑥) para os deslocamentos verticais e 𝑦 =
sen(𝑥 + 𝐶) para os deslocamentos horizontais.
Sendo assim, é possível chegar a uma nova fórmula genérica (Eq.6.42) para a
função seno levando-se em consideração os deslocamentos supracitados.
𝑓(𝑥) = 𝐴 + 𝐵. sen(𝑘𝑥 + 𝐶) (6.39)
Em que A, B, C e k são constantes reais.
Fig.6.20:Gráfico da Função f(x) = −0.5 + 0.5sen(2𝑥 + 𝜋)
19
6.5.2 Função Cosseno:
Assumindo y como uma variável independente, é possível também representar a
função cosseno na Eq.6.43:
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 (6.40)
A partir dessa representação, deve-se atentar às seguintes definições:
O Domínio da função (D(f)) está compreendido sob todo o conjunto dos
números reais, ou seja, a variável x pode assumir qualquer valor real.
Para cada valor de x existe um valor correspondente de y que varia de -1 a 1, isto
é, a imagem da função (Im(f)) compreende o intervalo [−1, 1].
A cada volta que se completa no Círculo Trigonométrico, os valores de y se
repetem oscilando, o que significa dizer que a função apresenta caráter oscilatório e
periódico, de período igual a 2𝜋.
O gráfico contido na Fig.6.21 representa a curva conhecida como cossenóide.
Caso a função seja apresentada sob a forma 𝑓(𝑥) = cos(𝑘𝑥),analogamente à
função seno, o período T da função será igual a Eq.6.44
𝑇 =2𝜋
𝑘
(6.41)
Neste caso também ocorre uma compressão horizontal no gráfico de ordem a.
A função cosseno também pode ser 𝑦 = 𝐴 cos(𝑥),o que provocará um
alongamento (𝐴 > 1) ou encurtamento (𝐴 < 1) vertical (variação da amplitude).
Percebe-se igualmente a existência de deslocamentos verticais ou horizontais
sob as respectivas formas: 𝑦 = 𝐴 + cos(𝑥) para os deslocamentos verticais e 𝑦 =
cos(𝑥 + 𝐶) para os deslocamentos horizontais.
Sendo assim, é possível obter a uma formulação genérica (Eq.6.45) para a
função cosseno levando em consideração os deslocamentos mencionados:
f(x) = A + B cos(𝑘𝑥 + 𝐶) (6.42)
Em que A, B, C e k são constantes reais.
6.5.3 Função Tangente:
Tal qual as funções seno e cosseno, a função Tangente também pode ser
presentada, de acordo com a Eq.6.46; tendo, igualmente, y como uma variável
independente:
20
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 (6.43)
Com isso, constatam-se as seguintes definições:
A variável x, ao contrário do que ocorre nas funções seno e cosseno, não pode
assumir os valores 𝜋
2 e
3𝜋
2 (e seus respectivos correspondentes em “N” voltas no
círculo trigonométrico). Desta forma, o domínio (D(f)) corresponde ao intervalo
[0; 𝜋
2 [ U ]
𝜋
2; 3𝜋
2 [ U ]
3𝜋
2; 2𝜋] + N. 2𝜋.
Para cada valor de x pertencente ao domínio, existe um valor de y que, ao se
aproximar dos valores de indefinição da função, apresentarão assíntotas, as quais
podem ser visto no gráfico da Fig.6.22 na forma de linhas verticais tracejadas.
Assim como nas funções seno e cosseno, a função tangente também apresenta
caráter periódico, porém a descontinuidade dos valores, devido às assíntotas, torna a
função não oscilatória.
Fig.6.21: Gráfico da Função f(x) = tan(𝑥).
Assim como nas funções anteriormente comentadas, na função tangente
também podem ocorrer deslocamentos no gráfico. Sendo estes generalizados pela
Eq.5.47:
𝑓(𝑥) = 𝐴 + 𝐵 tan(𝑘𝑥 + 𝐶) (6.44)
Sendo que o novo período T será dado ela Eq.6.48:
𝑇 =𝜋
𝑘 (6.45)
6.5.4 Função Arco-Seno
O arco-seno (arcsen(𝑥))é um ângulo definido pela variável 𝑎 dependente de um
valor x tal que para arcsen(𝑥) = 𝛼 isto é, sen(𝛼) = 𝑥.
Exemplo 6: Para um triângulo retângulo de hipotenusa 2 cm e cujo ângulo 𝛼 é oposto a
um cateto de 1cm, determine o valor de 𝑎:
Solução:
21
sen(𝛼) =1
2 , logo:
𝛼 = arcsen (1
2). Ou seja, sen(α) =
1
2; Como
sen (𝜋
6) =
1
2, então:
𝛼 =𝝅
𝟔𝑟𝑎𝑑 = 30°
6.5.5 Função Arco-Cosseno
O arco-cosseno (arccos(𝑥)) é um ângulo 𝑎 cujo valor de seu cosseno vale x, isto
é, 𝑎 depende de x tal que arccos(𝑥) = 𝛼 ∴ cos(𝛼) = 𝑥. Pode-se dizer, portanto, que a
função arco-cosseno é a função inversa da função cosseno.
Exemplos:
1) Sabe-se que um triângulo retângulo possui um ângulo 𝑎 tal que o cateto adjacente a
este ângulo vale 2 cm e a hipotenusa do respectivo triângulo possui valor de 4 cm.
Determine o ângulo 𝑎.
Solução:
cos(𝛼) =2
4=
1
2, logo:
𝛼 = arccos(1
2), ou seja, cos(𝛼) =
1
2
Como:
cos (𝜋
3) =
1
2:
𝛼 =𝜋
3𝑟𝑎𝑑 = 60°
6.5.6 Função Arco-Tangente
O arco-tangente (arctan(𝑥)) de um valor x, é o ângulo 𝛼 cuja a tangente é igual
ao valor x. Ou seja, se tan(𝛼) = 𝑥, tem-se que α = arctan(𝑥) .
Exemplos:
1) Um triângulo retângulo possui um ângulo 𝑎 o qual tem como cateto oposto b = 2.√2,
e o cateto adjacente c =2.√2. Determine o ângulo 𝑎
Solução:
tan(𝛼) =2√2
2√2= 1, logo:
α = arctan(1), ou seja, 𝑡𝑔(𝛼) = 1
22
Como:
tan (𝜋
4) = 1, então:
𝛼 =𝜋
4𝑟𝑎𝑑 = 45°
6.6. Sistema de Coordenadas Polares
O sistema de coordenadas polares no plano tem como referenciais um ponto
fixo 𝑂 denominado polo e uma semirreta orientada fixa com origem em 𝑂 denominada
eixo polar; e um raio 𝑟, como é representado na Fig.6.23.
Fig.6.23: Representação de um eixo polar
Considere 𝑃 um ponto genérico no plano e seja o raio r a distância entre o polo
𝑂 e o ponto 𝑃, assim 𝑟 = |𝑂𝑃̅̅ ̅̅ |. Se 𝑃 ≠ 𝑂, então 𝑃 pertence a uma única semirreta
determinada com a origem em 𝑂. Tais descrições são representadas na Fig.6.23
Fig.6.24: Semirreta formando um ângulo 𝜃 com o Eixo Polar.
Seja 𝜃 o ângulo formado entre o eixo polar e esta semirreta, medido a partir do
eixo polar. Como o ângulo 𝜃 tem vértice no pólo 𝑂 e o seu lado inicial é o eixo polar, ele
é dito estar na posição padrão ou fundamental. Assim, a semirreta constitui o lado
terminal do ângulo 𝜃 na posição fundamental. Os ângulos são geralmente medidos em
radiano e são considerados positivos quando medidos no sentido anti-horário.
A cada ponto 𝑃 do plano, pode-se associar um par de números reais 𝑟 e 𝜃
denominados coordenadas polares de 𝑃. Denota-se 𝑃(𝑟 , 𝜃), onde 𝑟 é a coordenada
radial (raio) de 𝑃, que é a distância de 𝑃 em relação ao pólo, e 𝜃 é a coordenada angular
ou ângulo polar de 𝑃.
As coordenadas polares (𝑟, 𝜃) estabelecem a posição do ponto 𝑃 em relação a
uma “grade” formada por círculos concêntricos com centro em 𝑂 e semirretas partindo
de 𝑂. O valor de 𝑟 localiza P num círculo de raio 𝑟, o valor de 𝜃 localiza 𝑃 numa
semirreta que é o lado terminal do ângulo na posição fundamental, e 𝑃 é determinado
pela interseção do círculo com a semirreta, como é mostrado na Fig.6.25.
O Eixo polar
23
𝑃 (3,𝜋
6) ; 𝑄 (2,
2𝜋
3) ; 𝑅 (1,
7𝜋
6)
Fig.6.25: “Grade” formada por círculos concêntricos e semirretas partindo de 0.
6.6.1 Conversão de Coordenadas
Para converter coordenadas polares (𝑟, 𝜃) em cartesianas (𝑥, 𝑦), ou vice-versa, é
usual considerar que o polo do sistema polar coincidente com a origem do sistema
cartesiano e o eixo polar do sistema polar coincidente com o eixo x, tais como as
Eq.6.49 e Eq.6.50. Assim, o eixo positivo 𝑦 é a semirreta 𝜃 = 𝜋/2.
{𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 = 𝑟 sen𝜃
(6.46)
ou
{𝑟 = ± √𝑥2 + 𝑦2
tan 𝜃 = 𝑦 𝑥⁄ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ 0
(6.47)
Se 𝜃 está na posição fundamental então 𝑟 = +√𝑥2 + 𝑦2
Se 𝜃 = arctan(𝑦 𝑥⁄ )então tan(𝜃 + 𝑛 𝜋) = 𝑦 𝑥⁄ para 𝑥 ≠ 0 𝑒 𝑛 ∈ 𝐼
Fig.6.25. Representação Gráfica do Eixo Polar P coincidindo com o eixo x do Sistema
Cartesiano.
Exemplos:
𝑃 {
(𝑟 , 𝜃 ) 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟
(𝑥, 𝑦) 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑜
24
Converta as coordenadas polares dadas para coordenadas cartesianas:
(𝑟, 𝜃) → (𝑥, 𝑦) = (𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 , 𝑟 sen 𝜃)
1) (𝑟, 𝜃) = (2 ,3𝜋
2 )
Solução:
𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 (3𝜋
2) = 2 .0 = 0
𝑦 = 2 sen (3𝜋
2) = 2. (−1)
(𝑥, 𝑦) = (0 , −2)
2) (𝑟, 𝜃) = (−4 ,−𝜋
3)
Solução:
𝑥 = (−4 ). 𝑐𝑜𝑠 (−𝜋
3) = (−4). (
1
2) = −2
𝑦 = (−4). sen (−𝜋
3) = (−4). (
−√3
2) = 2√3
(𝑥, 𝑦) = (−2 , 2√3)
3) (𝑟, 𝜃) = (1 ,2𝜋
3)
Solução:
𝑥 = (1). 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋
3) = (1). (−
1
2) = −
1
2
𝑦 = (1). sen (2𝜋
3) . (
√3
2) = √3 2⁄
(𝑥, 𝑦) = (−1
2,√3
2)
Converta as coordenadas cartesianas dadas para coordenadas polares.
(𝑥, 𝑦) → (𝑟, 𝜃){𝑟 = ± √𝑥2 + 𝑦2
tan 𝜃 =𝑦
𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ 0
4) (𝑥, 𝑦) = (4 , 4)
Solução:
𝑟 = + √42 + 42 = √25 = 4√2
tan 𝜃 =4
4= 1 → 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan(1){
𝜋
45𝜋
4
25
Como o ponto está no primeiro quadrante 0 ≤ 𝜃 ≤𝜋
2, logo 𝜃 =
𝜋
4
(𝑟 , 𝜃) = (4√2 ,𝜋
4)
5) (𝑥, 𝑦) = (−1 , −√3)
Solução:
𝑟 = + √(−1)2 + (√3)2 = √4 = 2
tan 𝜃 =−√3
−1= √3 →
→ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan(√3) =
{
𝜋
3
4𝜋
3
Como o ponto está no terceiro quadrante 𝜋 ≤ 𝜃 ≤3𝜋
2, logo 𝜃 =
4𝜋
3
(𝑟 , 𝜃) = (2 ,4𝜋
3)
6) (𝑥, 𝑦) = (3√3,−3)
Solução:
𝑟 = + √(3√3)2+ (−3)2 = √36 = 6
tan 𝜃 =−3
3√3= −
1
√3 →
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan (−1
√3) =
{
−
𝜋
6=11𝜋
6
5𝜋
6
Como o ponto está no quarto quadrante –𝜋
2≤ 𝜃 ≤ 0, logo 𝜃 =
−𝜋
6
(𝑟 , 𝜃) = (6 ,−𝜋
6)
7) (𝑥, 𝑦) = (0,−4)
Solução:
𝑟 = + √(0)2 + (−4)2 = 4
tan 𝜃 =−4
0= ∄ → 𝜃 =
{
𝜋
2
3𝜋
2
Como 𝑦 < 0 o ponto pertence ao eixo negativo 𝑦 logo 𝜃 =3𝜋
2= −
𝜋
2
(𝑟 , 𝜃) = (4 , −𝜋
2)
26
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Na figura, 𝐴𝐵 = 5𝑑𝑚, 𝐴𝐷 = 5√7 𝑑𝑚, 𝐷𝐵𝐶 = 60º e 𝐷𝐶𝐴 = 90º. Determine a
medida de CD em decímetros.
2) Calcule o comprimento L do arco BA
definido numa circunferência de raio r=10
cm, por um ângulo central de 60°.
3) Calcule m de modo a obter sen(𝑥) = 2m+ 1 e cos(𝑥) = 4m + 1
4) Dado quesin(𝑥). cos(𝑥) = 𝑚, calcule o valor de 𝑦 = sen4(𝑥) + cos4(𝑥) e 𝑧 =
sen6(𝑥) + cos6(𝑥)
5) Dois lados de um triângulo que medem 8m e 12m e formam entre si um ângulo de
120°.Calcule o terceiro lado.
6) Um triângulo tem lados a = 10m, b = 13m e c= 15m.Calcule o ângulo o menor, A
,
do triângulo.
7) Determine o período e a imagem e faça o gráfico de um período completo das
funções abaixo:
a) :f dada por 𝑓(𝑥) = − sen 𝑥.
b) :f dada por |𝑓(𝑥) = | sen𝑥|
c) :f dada por 𝑓(𝑥) = sen(𝑥 +𝜋
3)
d) :f dada por 𝑓(𝑥) = −3. cos 𝑥
e) :f dada por 𝑓(𝑥) = cos(𝑥 −𝜋
4)
8) Simplifique:
x
x
x cos1
cos1.
sec1
1
9) Calcule o valor da expressão sen105° - cos 75°
10) Sabendo que sen 𝑎 =3
5 e cos 𝑎 =
4
5, calcule sen(2𝑎) + cos(2𝑎)
27
11) Calcule o valor numérico da expressão: 𝑦 = sen (13𝜋
12) . cos(
11𝜋
12)
12)Transforme em produto:
a) 𝑦 = 1 + sen(2𝑥)
b) 𝑦 = 1 + cos(𝑥)
c) 𝑦 = sen(5𝑥) + sen(3𝑥)
d) 𝑦 = cos(3𝑥) + cos(𝑥)
13) Ache os valores de 2 cos2(𝑥) + 5 sen(𝑥) − 4 ≥ 0
14) Demarcar os seguintes pontos no sistema de coordenadas polares e encontrar suas
coordenadas cartesianas:
a) P1= (3,𝜋
3) c) P4= (−3,−
𝜋
3)
b) P2= (3,−𝜋
3) d) P3= (−3,
𝜋
3)
15) Encontrar as coordenadas cartesianas dos seguintes pontos dados em coordenadas
polares.
a) (−2,2𝜋
3) d) (−10,
𝜋
2)
c) (4, 5𝜋
8) e) (−10,
3𝜋
2)
d) (3,13𝜋
4)
16) Encontrar um par de coordenadas polares dos seguintes pontos:
a) (1, 1)
b) (-1, 1)
c) (-1, -1)
d) (1, -1)
17) Identificar e transformar as seguintes equações para coordenadas polares.
a) 𝑥2 + 𝑦2 = 4
b) 𝑥 = 4
c) 𝑦 = 2
d) 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 = 0
e) 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑦 = 0
28
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) 𝐷𝐶 = 5√3
2) 𝐿 = 10𝜋/3𝑐𝑚
3) 𝑚1 = −1/10𝑜𝑢 𝑚2 = −1/2
4) 𝑦 = 1 − 2𝑚2𝑒 𝑧 = 1 − 3𝑚²
5) 𝑙𝑎𝑑𝑜 3 → 𝑥 = 4√19
6) 𝐴 = arccos49
65
7)
a) 𝐼𝑚𝑓 = {𝑦 ∈ ℝ| − 1 ≤ 𝑦 ≤ 1}; 𝑃 = 2𝜋
b) 𝐼𝑚𝑓 = {𝑦 ∈ ℝ| 0 ≤ 𝑦 ≤ 1}; 𝑃 = 𝜋
c) 𝐼𝑚𝑓 = {𝑦 ∈ ℝ| − 1 ≤ 𝑦 ≤ 1}; 𝑃 = 2𝜋
d) 𝐼𝑚𝑓 = {𝑦 ∈ ℝ| − 3 ≤ 𝑦 ≤ 3}; 𝑃 = 2𝜋
e) 𝐼𝑚𝑓 = {𝑦 ∈ ℝ| − 1 ≤ 𝑦 ≤ 1}; 𝑃 = 2𝜋
8) 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥
9)√2/2
10)31/25
11)𝑌 = 1/4
12)
a) 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +𝜋
4) cos (
𝜋
4− 𝑥)
b) 𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠2 (𝑥
2)
c) 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛4𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 d) 𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
13)1
2≤ 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≤ 1
14)
a) (3
2,3√3
2)
b)(−3
2,−3√3
2)
c)(3
2,−3√3
2)
d) (−3
2,3√3
2)
15)
a) (1, -√3) b) (-1.507, 3.6955)
c) (−3√2
2,−3√2
2)
d) (0, -10) e) (0, 10) 16
a) (√2, 𝜋/4)
29
b) (√2, 3𝜋/4)
c) (√2, 5𝜋/4)
d) (√2, 7𝜋/4) 17) a) 𝑟 = ±2 b) 𝑟 cos𝜃 = 4 c) 𝑟 sin𝜃 = 2 d) 𝑟 = 2 cos 𝜃 e) 𝑟 = 6 sin𝜃