arcos e Ângulos de uma circunferÊncia
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CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
CENTRO EDUCACIONAL MARAPENDI – CEMP
GEOMETRIA – Prof. Clovis Reis
ARCOS E ÂNGULOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
CIRCUNFERÊNCIA e CÍRCULO
ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA
TIPOS DE ARCOS
ÂNGULO CENTRAL
MEDIDA E COMPRIMENTO DE ARCO
MEDIDA DE UM ARCO – é a medida angular.
COMPRIMENTO DE UM ARCO – é a medida linear.
Exemplo: 60o
Exemplo: 20 cm
A medida de um arco é igual à medida do ângulo central.
UNIDADES DE MEDIDAS DE ARCOS E ÂNGULOS
GRAU – é definido dividindo-se uma circunferência em 360 partes iguais entre si.Cada uma dessas partes, equivalentes a 1/360 da circunferência, corresponde aum arco de um grau e é representada por 1o.
O grau é a unidade derivada de um dosmais antigos sistemas de unidades deque se tem registro – o sistema sexage-simal, criado pelos babilônicos em tornode 4000 a.C.
UNIDADES DE MEDIDAS DE ARCOS E ÂNGULOS
RADIANO – é a unidade de medida de ângulo que corresponde ao ângulo centralsubtendido por um arco de circunferência cujo comprimento seja igual ao raiodesta mesma circunferência.
Comprimento do arco (AB) = R
m(AB) = 1 radiano
= m(AB) = 1 rad
RELAÇÃO ENTRE GRAUS E RADIANOS
Como sabemos, o comprimento C de uma circunferência de raio de medida r é:
C = 2r
Isso significa que o raio “cabe” 2 vezes nesse comprimento.
Assim, um arco de comprimento igual a r (1r) mede 1 rad; um arco de comprimentoigual a 2r mede 2 rad, etc.; então um arco de comprimento igual a 2r (voltacompleta) mede 2 rad.
Conclui-se, então, que 2 rad e 360o são correspondentes.
TRANSFORMAÇÕES DE:
1º) GRAUS EM RADIANOS: utiliza-se uma regra de três simples e direta.
Exemplo
1) Um arco mede 30o. Qual é a medida desse arco em radianos?
Podemos estabelecer uma regra de três simples:
Então,
Resp.: O arco mede /6 rad.
2º) RADIANOS EM GRAUS: substitui-se o “” por “180o” e efetua-se as operaçõesque forem indicadas.
Exemplo2) Em uma circunferência, um ângulo central mede /4 radianos. Quanto medeesse ângulo em graus?
Podemos substituir o por 180o e efetuarmos:
Então, /4 rad = 180o/4 = 45o
Resp.: O arco mede 45o .
Exemplo
3) Quanto mede, em graus, um arco de 1 radiano?
Podemos estabelecer uma regra de três simples, lembrando que 3,14:
Então,
Resp.: O arco de 1 rad mede 57,3o ou 57o 18’.
OBSERVAÇÃO:
Quando a unidade de medida de um arco vier suprimida, ficaconvencionado que se trata do radiano. Assim, por exemplo,quando dizemos que um arco AB mede /4, estamos dizendoque o arco AB mede /4 radianos.
Quando medimos o comprimento de um arco, a unidade de medida é amesma do raio: metro, centímetro, milímetro, etc.
Sabendo que em uma volta completa a medida do arco é 2 radianos eo comprimento é 2r, portanto pode-se fazer a seguinte relação:
COMPRIMENTO DE UM ARCO
4) Quanto mede, em radianos, o arco AB, contido em uma circunferência de raio3 cm e cujo comprimento é 4,5 cm?
Exemplo
Dados: = ?r = 3 cmℓ = 4,5 cm
ℓ = . r
Resp.: O arco mede 1,5 rad.
5) Qual é o comprimento de um arco de 72o sobre uma circunferência de raio 8 cm?
Exemplo
Dados: = 72o
r = 8 cmℓ = ?
Resp.: O comprimento do arco é de 10,048 cm.
(i) Expressar 72o em radianos:
(ii) Calcular o comprimento do arco:
FIM