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Arcos na Circunferência

1. (Uerj 2015) Um tubo cilíndrico cuja base tem centro F e raio r rola sem deslizar sobre um obstáculo com a forma de um prisma triangular regular. As vistas das bases do cilindro e do

prisma são mostradas em três etapas desse movimento, I,II e III, nas figuras a seguir.

Admita que:

- as medidas do diâmetro do círculo de centro F e da altura do triângulo ABC são

respectivamente iguais a 2 3 decímetros;

- durante todo o percurso, o círculo e o triângulo sempre se tangenciam.

Determine o comprimento total, em decímetros, do caminho descrito pelo centro F do círculo que representa a base do cilindro. 2. (Uea 2014) Caminhando 100 metros pelo contorno de uma praça circular, uma pessoa descreve um arco de 144°. Desse modo, é correto afirmar que a medida, em metros, do raio da circunferência da praça é a) 125π

b) 175

π

c) 125

π

d) 250

π

e) 250π


3. (Fgv 2013) Na figura, AB e AE são tangentes à circunferência nos pontos B e E,

respectivamente, e ˆBAE 60 .

Se os arcos BPC, CQD e DRE têm medidas iguais, a medida do ângulo ˆBEC, indicada na

figura por ,α é igual a

a) 20° b) 40° c) 45° d) 60° e) 80° 4. (Uem 2013) Considere uma circunferência de centro O e raio 2 u.c. Sejam A, B, C, D e E

pontos sobre essa circunferência, nesta ordem, e tais que AD e BE sejam diâmetros. Assinale o que for correto. 01) Os triângulos ABD e ACD são triângulos retângulos. 02) O quadrilátero ABDE é um retângulo. 04) A área do triângulo ACD é maior do que 4 u.a.

08) A medida do ângulo ˆAEB é a metade da medida do ângulo ˆEOD.

16) A área do quadrilátero ABDE é maior do que 3

4 da área do círculo.

5. (G1 - cftmg 2013) Considere três circunferências de raio unitário e de centros A, B e C, conforme a figura.

Dessa forma, o perímetro da região sombreada, em unidades de comprimento, é

a) .3

π

b) .2

π

c) .π d) 2 .π


6. (Insper 2013) Ao projetar um teatro, um arquiteto recebeu o seguinte pedido da equipe que

seria responsável pela filmagem dos eventos que lá aconteceriam: “É necessário que seja construído um trilho no teto ao qual acoplaremos uma câmera de controle remoto. Para que a câmera não precise ficar mudando a calibragem do foco a cada movimentação, o ângulo de abertura com que a câmera captura as imagens do palco deve ser sempre o mesmo, conforme ilustração abaixo. Por exemplo, dos pontos P1 e P2 a câmera deve ter o mesmo ângulo de abertura α para o

palco.”

Das propostas de trilho a seguir, aquela que atende a essa necessidade é

a) b)

c) d)

e)


7. (G1 - cftmg 2013) Um hexágono regular de área 12 cm2 e de centro P foi pintado em duas

tonalidades, conforme a figura.

A área pintada na tonalidade mais clara, em cm

2, é

a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. 8. (Enem 2012) Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicionamento Global) com longitude de 124° 3’ 0” a leste do Meridiano de Greenwich. Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”.

PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado) A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude da forma decimal é a) 124,02°. b) 124,05°. c) 124,20°. d) 124,30°. e) 124,50°. 9. (Enem PPL 2012) Durante seu treinamento, um atleta percorre metade de uma pista circular de raio R, conforme figura a seguir. A sua largada foi dada na posição representada pela letra L, a chegada está representada pela letra C e a letra A representa o atleta. O segmento LC é um diâmetro da circunferência e o centro da circunferência está representado pela letra F. Sabemos que, em qualquer posição que o atleta esteja na pista, os segmentos LA e AC são

perpendiculares. Seja θ o ângulo que o segmento AF faz com segmento FC.

Quantos graus mede o ângulo θ quando o segmento AC medir R durante a corrida? a) 15 graus b) 30 graus c) 60 graus d) 90 graus e) 120 graus


10. (Mackenzie 2012) Na figura, se a circunferência tem centro O e BC = OA, então a razão

entre as medidas dos ângulos AÔD e CÔB é

a) 5

2

b) 3

2

c) 2

d) 4

3

e) 3 11. (G1 - ifsp 2011) Na figura, a reta t é tangente, no ponto P, ao círculo de centro O. A medida

do arco é 100º e a do arco é 194º. O valor de x, em graus, é

a) 53. b) 57. c) 61. d) 64. e) 66.


12. (Fuvest 2009) Na figura, B, C e D são pontos distintos da circunferência de centro O, e o

ponto A é exterior a ela. Além disso,

(1) A, B, C, e A, O, D, são colineares;

(2) AB = OB;

(3) CÔD mede α radianos.

Nessas condições, a medida de AB̂ O, em radianos, é igual a:

a) π - (α/4) b) π - (α /2) c) π - (2α/3) d) π - (3α/4) e) π - (3α/2) 13. (Fgv 2008) Dado um pentágono regular ABCDE, constrói-se uma circunferência pelos

vértices B e E de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, em B e E,

respectivamente.

A medida do menor arco BE na circunferência construída é

a) 72°.

b) 108°.

c) 120°.

d) 135°.

e) 144°.


14. (Ufrrj 2005) Um arquiteto vai construir um obelisco de base circular. Serão elevadas sobre

essa base duas hastes triangulares, conforme figura a seguir, onde o ponto O é o centro do

círculo de raio 2 m e os ângulos BOC e OBC são iguais.

O comprimento do segmento AB é

a) 2 m. b) 3 m.

c) 3 2 m.

d) 2 5 m.

e) 2 3 m.

15. (G1 - cftmg 2005) Na figura, os segmentos PB e PD são secantes à circunferência, as

cordas AD e BC são perpendiculares e AP = AD. A medida x do ângulo BPD é

a) 30

°

b) 40°

c) 50°

d) 60°


16. (G1 - cftmg 2005) Na figura, os triângulos ABC e BCD estão inscritos na circunferência. A

soma das medidas m + n, em graus, é

a) 70 b) 90 c) 110 d) 130 17. (G1 - cftmg 2005) Na figura, o triângulo ABC está inscrito em uma circunferência de centro

O, cujo comprimento é 10 ð cm. Se o lado AB mede 6 cm, a medida do lado BC, em cm, é

a) 5 b) 6 c) 8 d) 9


18. (Ufes 2004) Na figura, os segmentos de reta AP e DP são tangentes à circunferência, o

arco ABC mede 110 graus e o ângulo CAD mede 45 graus. A medida, em graus, do ângulo

APD é

a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 19. (Uerj 2003) José deseja construir, com tijolos, um muro de jardim com a forma de uma

espiral de dois centros, como mostra a figura a seguir.

Para construir esta espiral, escolheu dois pontos que distam 1 metro um do outro. A espiral tem

4 meias-voltas e cada tijolo mede 30 cm de comprimento.

Considerando ð = 3, o número de tijolos necessários para fazer a espiral é:

a) 100 b) 110 c) 120 d) 130 20. (Enem 2002) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador

e em pontos diametralmente postos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a

6370km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800km/h,

descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente

a) 16 horas. b) 20 horas. c) 25 horas. d) 32 horas. e) 36 horas.


Gabarito: Resposta da questão 1:

Na figura, temos:

3tg60 x 1

x

a 32 3 a 4

2

2 3 120 2 3y

360 3

π π

Portanto, a distância d percorrida pelo centro F é dada por:

2 3d a x a x y 6 dm

3

π

Resposta da questão 2:

[C] Admitindo R a medida do raio, temos:

4 100 125144 rad R .

5 R

π

π

Resposta da questão 3: [B]

Seja S um ponto do menor arco BE.

Como BPC CQD DRE 2 ,α segue-se que BSE 360 6 .α Portanto, como EAB é

excêntrico exterior, temos

BQE BSE 6 (360 6 )EAB 60

2 2

60 6 180

40 .

α α

α

α



01 + 02 + 08 = 11.

[01] Correto. Como ABD e ACD estão inscritos no semicírculo de diâmetro AD, com AD

sendo lado comum de ABD e ACD, segue-se que ABD e ACD são triângulos

retângulos.

[02] Correto. Sendo ABD,BDE,DEA e EAD ângulos inscritos que determinam arcos de 180 ,

temos ABD BDE DEA EAD 90 . Portanto, ABDE é um retângulo.

[04] Incorreto. Seja H o pé da perpendicular baixada de C sobre AD. Como

AD 2 2 4 u.c., segue-se que a área do triângulo ACD é

1(ACD) AD CH 2 CH.

2

Por outro lado, como C está entre B e D, temos CH 2 u.c. e, portanto, (ACD) 4 u.a.

[08] Correto. Como AEB é ângulo inscrito e determina o arco AB, tem-se AB

AEB .2

Por

outro lado, EOD e AOB são opostos pelo vértice, o que implica em EOD AOB. Logo,

como AOB é ângulo central, vem EOD AOB AB e, portanto, EOD

AEB .2

[16] Incorreto. A área do quadrilátero ABDE é dada por

1(ABDE) AD BE senAOB

2

14 4 senAOB

2

8 senAOB.

Logo, (ABDE) é máxima quando senAOB 1, ou seja, quando AOB 90 .

Por outro lado, a área do círculo é igual a 22 4 u.a. Logo, 3

8 4 8 3 04

e,

portanto, qualquer que seja ABDE, sua área é menor do que 3

4 da área do círculo.



[C]

Comprimento do arco cuja medida é x:

2 1x .

6 3

π π

Portanto, o perímetro da figura será:

33

ππ


[E]

Para qualquer ponto P, o ângulo ˆAPB situado na semicircunferência (mostrada na figura) será reto.

ˆAPB =180

902

Logo, o trilho deverá ser o representado na figura da alternativa [E].



[C]

Dividindo o hexágono em 12 triângulos de mesma área (ver figura), cada área terá 21cm .

Portanto, a área destacada terá 2 25 1cm 5 cm .

Resposta da questão 8: [B] 3’= (3/60)° = 0,05° 124° 3’ 0” = 124,05° Resposta da questão 9: [C]

Se AC = R, temos o triângulo AFC equilátero. Logo, 60 .θ Resposta da questão 10:

[E] Considere a figura.

Sejam AOD e COB .

Sabendo que BC OA OC, vem OBC . Daí, como AD e CE , encontramos

AD CEOBC

2 2

3.



[D] Como x é excêntrico exterior, segue que:

BCP APx .

2

Mas

AP 360 (AB BCP).

Portanto,

194 360 100 194 128x 64 .

2 2

Resposta da questão 12: [C]

ÂBD x

ˆˆCOB é isósceles de base BC, logo OBC=OCB = - x

- xˆÂBO é isósceles de base AO, logo OAB=BOA = 2

No triângulo AOB:

- x - x + (ângulo externo)

2

2 = 2 2x x

3x 3 2

3 2x

3

2x

3

Δ π

πΔ

πα π

α π π

π α

π α

απ

Portanto, ÂBO 2 /3π α



[E] Resposta da questão 14:

[E] Resposta da questão 15:

[A]

Sabendo que AP AD, tem-se ADP BPD. Além disso, os ângulos inscritos ABC e ADC

subentendem o mesmo arco, bem como os ângulos BAD e BCD. Logo, ABC ADC e

BAD BCD. Por outro lado, BAD é ângulo externo do triângulo ADP e, portanto,

BAD 2 ADP. Desse modo, como AD BC e sendo Q o ponto de interseção das cordas AD

e BC, vem, do triângulo QCD,

ADC BCD 90 ADP BAD 90

ADP 2 ADP 90

ADP 30 .

Resposta da questão 16: [A] Resposta da questão 17: [C] Resposta da questão 18: [B] Resposta da questão 19: [A] Resposta da questão 20: [C]

.R 3,14.6.37025

800 800

π horas.

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