Apresentação do Projeto

Novo EspaçoMatemática A • 11.° ano

• Manual (2 partes)

• Caderno Prático

• Caderno do Professor

• e-Manual

• Aplicações Dinâmicas para o Professor

Oo+ Próximos de si!+ Próximos de si!Educação 2011

Mais valor! Mais futuro!

Recu

rsos

do

Prof

esso

r

O e-Manual PREMIUM é uma versão digital do manual com centenas de recursos multimédiaem contexto.O e-Manual PREMIUM está integrado no BRIP, a maior base de Recursos Educativos Digitais,com mais de 35 000 recursos multimédia e interativos.Em setembro, o manual escolar em versão digital será também disponibilizado em CD-ROM,de forma a viabilizar a sua utilização sem acesso à Internet.

Como aceder ao e-Manual?Os professores que adotarem o projeto Novo Espaço 11.º ano deverão proceder da seguinte forma:

Aceder ao Espaço Professor em www.portoeditora.pt

Fazer login com os seus dados de acesso ou inscrever-se caso ainda não estejam registados.

Como utilizar?Ao longo das páginas do e-Manual encontra áreas clicáveis que indicam a existência de recursos aexplorar.

Na Internet ser-lhe-á disponibilizada a versão completa do seu e-Manual, sendo possível navegar pelaspáginas, à semelhança do que faria na versão impressa.

Através do BRIP poderá ainda adicionar novos recursos de acordo com as suas necessidades, de formaa criar o seu próprio e-Manual.

wO Banco de Recursos Interativos para Professores, designado por BRIP, é o maior banco de recursos multimédia online, de carácter curricular, disponível em língua portuguesa. Ao adotar estemanual escolar poderá aceder, gratuitamente, a este módulo e a todos os recursos digitais educativos disponíveis para a disciplina de Matemática A do 11.º ano de escolaridade.

São centenas de objetos que podem ser utilizados de acordo com as suas necessidades: animações, sequências de aprendizagem para projeção, vídeos, exercícios interativos, entre muitosoutros.

1

2

NEM11EP_CAP_20100445_3P_20100445_CAP_P01_02 4/2/11 5:29 PM Page 1

10INTRODUÇÃO

NEM

A11-P1 ©

Porto Editora

A trigonometria tem na sua origem a aplicação de processos matemáticos eminentementepráticos para determinar distâncias que não podiam ser avaliadas diretamente.

Surgem, deste modo, aplicações na resolução de problemas em vários domínios, comprincipal destaque para a astronomia, a agrimensura e a navegação. A relação da astronomiacom a trigonometria fez com que esta se desenvolvesse aplicada a triângulos esféricos –triângulos sobre uma superfície esférica em que os lados são arcos de círculos máximos. Atrigonometria esférica antecedeu a trigonometria plana.

Triângulo esférico [ABC]

Com o passar do tempo a trigonometria libertou-se da astronomia e viu o seu campo deação mais alargado.

Em termos cronológicos, de forma simplificadapodem ser referidos alguns marcos relacionados com atrigonometria: no século V a. C., com Hipócrates deQuios, que estudou relações entre arcos de circunferên-cia e respetivas cordas; no século III a. C., Arquimedesde Siracusa, na sequência do trabalho desenvolvidopara calcular o perímetro de um círculo, dado o raio,calculou o comprimento de grande número de cordas eestabeleceu algumas fórmulas trigonométricas; noséculo II a. C., é atribuída a Hiparco de Niceia a autoriadas primeiras tábuas trigonométricas.

Mas foi Ptolomeu, astrónomo grego do século II d. C.,que influenciou o desenvolvimento da trigonometriadurante séculos. A sua obra Almagesto contém umatabela de cordas que pode ser considerada equivalentea uma tabela de senos.

No século XVI, a aplicação da trigonometria na resolução de problemas algébricos é feitapelo matemático Viète, que estabeleceu algumas fórmulas.

Atualmente, para além da trigonometria estar relacionada com a resolução de problemasenvolvendo triângulos, aparece associada a certas funções de ângulos, chamadas funçõescirculares, goniométricas ou trigonométricas. O matemático suíço Euler, na sua obra denomi-nada Introductio, de 1748, fez o estudo analítico das funções trigonométricas que se tornoufundamental para o estudo de fenómenos periódicos, como, por exemplo, vibrações, movi-mentos ondulatórios e planetários.

Na análise que se segue, retoma-se o estudo da trigonometria associada à resolução deproblemas que envolvem triângulos, seguindo-se uma primeira abordagem ao estudo dasfunções trigonométricas com aplicações.

A

C

B

b

c

a

Retrato de Ptolomeu (100-170 d. C.) reali-zado por André Thevet (1502-1590)

Manual1 Caderno Prático2 Caderno do Professor3 e-Manual do Professor4 Aplicações Dinâmicaspara o Professor

5

ManualEste Manual, dividido em duaspartes, privilegia metodologiasque favorecem a participaçãoativa dos alunos e proporciona amobilização de recursos variados.Desta forma, contribui para umverdadeiro processo de ensino --aprendizagem e para o reforçoda autonomia dos alunos.Os três temas trabalhados no 11.ºano são apresentados no Manualcom a seguinte estrutura:

• Página de apresentação dotema – tópicos a trabalhar notema.

• Introdução – diversidade desituações relacionadas com otema.

1 • Desafio – propostas/curiosidades relacionadas como tema, com uma componentelúdica, que permitem:– reforçar a motivação;– desenvolver o gosto pela

Matemática;– desenvolver as capacidades

de raciocinar e comunicar.

• Referência Histórica – parafacilitar o enquadramento notempo e a evolução deconceitos.

• Para saber mais – pequenosapontamentos quecomplementam a informaçãotrabalhada.

• Para praticar – conjuntovariado de propostas quepermitem retomar e consolidaraspetos relevantes do tema.

Caderno PráticoO Caderno Prático está dividido,tal como o Manual, em trêstemas, sendo proposto umconjunto variado deexercícios/tarefas para cada um.

Este reforço de propostaspermite responder:

– a diferentes ritmos detrabalho;

– a diferentes graus dedificuldade;

– à diversidade de contextos;– à mobilização de diferentes

recursos;– articular contexto não

matemático com contextomatemático;

– consolidar conhecimentos.

Caderno do ProfessorNo Caderno do Professorapresentam-se:

• Propostas de planificação portema

Atendendo a que privilegiamosprocessos dinâmicos de ensino --aprendizagem, as propostas deplanificação são flexíveis, demodo a facilitar adaptações adiferentes metodologias e adiferentes realidades, nãodeixando de assumir um papelorientador da ação do Professor.

2

3

• Diversificação dos recursos

A partir de tarefas propostas noManual e dos exercícios/problemas no Caderno Prático,são apresentadas sugestõespara:– ampliar a exploração das

propostas;– integrar recursos didáticos

que potenciem a exploraçãodas propostas;

– integrar explorações emambiente de geometriadinâmica;

– promover a interação.

• Desafios – para além dacomponente lúdica

Apresentação da resolução dosdesafios.Articulação com os tópicostrabalhados e o conhecimentomatemático mobilizado.

e-Manual do Professor(disponível também para o aluno)

Versão digital do Manual com aligação em contexto para outrosrecursos, tais como animações,que promovem:

– o reforço da motivação;– a clarificação da situação

problemática colocada;– o rigor;– as simulações para

diversificar e generalizar;

4

– a integração da componenteexperimental;

– a melhor gestão do tempo;– a compreensão do contexto

por parte do Aluno;– a diversificação/generalização.

Aplicações Dinâmicaspara o Professor Compreendem um conjunto deinteratividades com:

– resolução animada dedesafios;

– resolução animada deexercícios/problemasrelevantes.

Articuladas com o Manual,favorecem a adequação ediferenciação pedagógica na salade aula. Poderão ser usadascomo base para a criação deoutras apresentações emateriais, adequados às suasturmas.

5

Razões trigonométricas de ângulos agudosNa figura está representado um triângulo retângulo [ABC] , sendoa , b e c as medidas dos comprimentos dos lados.Seja a o ângulo agudo de vértice A . A par-tir das razões entre as medidas dos compri-mentos dos lados do triângulo obtêm-se osvalores de:seno de a , cosseno de a e tangentede a .

Razões trigonométricas de a :

sin a = cos a = tg a =ac

bc

ab

Recorda

11TEMA 1GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO II

1. Resolução de problemas que envolvam triângulos

1.1 Razões trigonométricas de um ângulo agudo

Em qualquer triângulo podem ser considerados seis elementos prin-cipais: três lados e três ângulos.

Se três desses elementos forem conhecidos, sendo um deles neces-sariamente a medida do comprimento de um dos lados, então o triângulofica definido, isto é, todos os outros elementos podem ser determinados.

Para a determinação desses elementos deves recordar e aprofundaralguns conceitos, dados em anos anteriores, relacionados com a trigo-nometria.

NEM

A11

-P1

© P

orto

Edi

tora

Exemplo 1

Em relação aos ângulos a e b do triângulo retângulo [ABC] repre-sentado na figura, tem-se:

C

A

B

42

α

β

2V√5

NotaPor vezes, para simplificar a linguagem, faz-se referência a ânguloem vez de amplitude do ângulo. É o caso de “razões trigonométricasdo ângulo”.

a b

sin 22√5

= √55

42√5

= 2√55

cos 42√5

= 2√55

22√5

= √55

tg 24= 1

242= 2

Cotangente de a :

cotg a =

Secante de a :

sec a =

Cossecante de a :

cosec a =

1tg a

1cos a

1sin a

Para Saber Mais

B

C A

a c

bα

80

Observa a figura. No momento em que o ângulo que os raiossolares fazem com o solo (ângulo de incidência) é igual a 35° ,o comprimento da sombra da árvore é igual a 10 m . Determina:

1. a altura da árvore;

2. o comprimento da sombra no momento em que o ângulode incidência é 50° ;

3. o ângulo de incidência no momento em que a sombra daárvore tem 3 metros de comprimento.

Na figura está representado um recipiente cónico. Sabe-se que:• o ponto M é o centro da base do cone;• a base do cone tem 8 dm de diâmetro;• o ângulo CBM tem 25° de amplitude.

1. Calcula o volume do recipiente. Apresenta o resultado em centímetroscúbicos, arredondado às centésimas.

2. Determina a amplitude a que o ângulo CBM deve tomar de modo que ovolume seja metade do volume do cone inicial.

Os vértices do triângulo da figura representam três localidades: A ,B e C . A distância de A a C é de 8 km e de B a C é 3 km .Com base nos dados da figura, determina, com aproximação àsunidades, a distância entre as localidades A e B .

Sugestão: Decompõe o triângulo [ABC] em dois triângulos retângulos.

Na figura ao lado está representado um pentágono regular inscrito numa circunferência.

1. Determina, em graus, as amplitudes a e b assinaladas na figura.

2. Calcula, em centímetros quadrados, a área do pentágono no casodeste ter 25 cm de perímetro. Apresenta o resultado arredondado àsdécimas.

3. Calcula o perímetro do polígono, admitindo que a circunferência tem8 cm de raio.

Proposta 5

Proposta 6

Proposta 7

Proposta 4

NEM

A11-P1 ©

Porto Editora

M CA

B

a

C

A

B

8 km3 km70˚

ED

C

B

A a

b

10 m

35˚

• Tarefas – diversidade depropostas que permitem:– identificar, mobilizar e aplicar

conhecimento matemático;– estabelecer conexões entre

diversos conceitos e relaçõesmatemáticas;

– desenvolver capacidades decomunicação matemática;

– integrar o uso da tecnologia,nomeadamente a calculadoragráfica.

• Exercícios de margem –conjunto de exercícios/problemas que permitemdesbloquear dificuldades efazer a consolidação necessáriapara uma aplicação maisautónoma dos conhecimentose ferramentas matemáticas.

• Recorda – Sempre que um oumais do que um pré-requisitoseja essencial à compreensão edesenvolvimento do tópico emestudo é retomado e referidocom destaque.

• Curiosidade – Para despertar ointeresse e estimular a reflexãosão apresentadas curiosidadesrelacionadas com o tema emestudo.

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Porto Editora

A trigonometria tem na sua origem a aplicação de processos matemáticos eminentementepráticos para determinar distâncias que não podiam ser avaliadas diretamente.

Surgem, deste modo, aplicações na resolução de problemas em vários domínios, comprincipal destaque para a astronomia, a agrimensura e a navegação. A relação da astronomiacom a trigonometria fez com que esta se desenvolvesse aplicada a triângulos esféricos –triângulos sobre uma superfície esférica em que os lados são arcos de círculos máximos. Atrigonometria esférica antecedeu a trigonometria plana.

Triângulo esférico [ABC]

Com o passar do tempo a trigonometria libertou-se da astronomia e viu o seu campo deação mais alargado.

Em termos cronológicos, de forma simplificadapodem ser referidos alguns marcos relacionados com atrigonometria: no século V a. C., com Hipócrates deQuios, que estudou relações entre arcos de circunferên-cia e respetivas cordas; no século III a. C., Arquimedesde Siracusa, na sequência do trabalho desenvolvidopara calcular o perímetro de um círculo, dado o raio,calculou o comprimento de grande número de cordas eestabeleceu algumas fórmulas trigonométricas; noséculo II a. C., é atribuída a Hiparco de Niceia a autoriadas primeiras tábuas trigonométricas.

Mas foi Ptolomeu, astrónomo grego do século II d. C.,que influenciou o desenvolvimento da trigonometriadurante séculos. A sua obra Almagesto contém umatabela de cordas que pode ser considerada equivalentea uma tabela de senos.

No século XVI, a aplicação da trigonometria na resolução de problemas algébricos é feitapelo matemático Viète, que estabeleceu algumas fórmulas.

Atualmente, para além da trigonometria estar relacionada com a resolução de problemasenvolvendo triângulos, aparece associada a certas funções de ângulos, chamadas funçõescirculares, goniométricas ou trigonométricas. O matemático suíço Euler, na sua obra denomi-nada Introductio, de 1748, fez o estudo analítico das funções trigonométricas que se tornoufundamental para o estudo de fenómenos periódicos, como, por exemplo, vibrações, movi-mentos ondulatórios e planetários.

Na análise que se segue, retoma-se o estudo da trigonometria associada à resolução deproblemas que envolvem triângulos, seguindo-se uma primeira abordagem ao estudo dasfunções trigonométricas com aplicações.

A

C

B

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Retrato de Ptolomeu (100-170 d. C.) reali-zado por André Thevet (1502-1590)

Manual1 Caderno Prático2 Caderno do Professor3 e-Manual do Professor4 Aplicações Dinâmicaspara o Professor

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ManualEste Manual, dividido em duaspartes, privilegia metodologiasque favorecem a participaçãoativa dos alunos e proporciona amobilização de recursos variados.Desta forma, contribui para umverdadeiro processo de ensino --aprendizagem e para o reforçoda autonomia dos alunos.Os três temas trabalhados no 11.ºano são apresentados no Manualcom a seguinte estrutura:

• Página de apresentação dotema – tópicos a trabalhar notema.

• Introdução – diversidade desituações relacionadas com otema.

1 • Desafio – propostas/curiosidades relacionadas como tema, com uma componentelúdica, que permitem:– reforçar a motivação;– desenvolver o gosto pela

Matemática;– desenvolver as capacidades

de raciocinar e comunicar.

• Referência Histórica – parafacilitar o enquadramento notempo e a evolução deconceitos.

• Para saber mais – pequenosapontamentos quecomplementam a informaçãotrabalhada.

• Para praticar – conjuntovariado de propostas quepermitem retomar e consolidaraspetos relevantes do tema.

Caderno PráticoO Caderno Prático está dividido,tal como o Manual, em trêstemas, sendo proposto umconjunto variado deexercícios/tarefas para cada um.

Este reforço de propostaspermite responder:

– a diferentes ritmos detrabalho;

– a diferentes graus dedificuldade;

– à diversidade de contextos;– à mobilização de diferentes

recursos;– articular contexto não

matemático com contextomatemático;

– consolidar conhecimentos.

Caderno do ProfessorNo Caderno do Professorapresentam-se:

• Propostas de planificação portema

Atendendo a que privilegiamosprocessos dinâmicos de ensino --aprendizagem, as propostas deplanificação são flexíveis, demodo a facilitar adaptações adiferentes metodologias e adiferentes realidades, nãodeixando de assumir um papelorientador da ação do Professor.

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• Diversificação dos recursos

A partir de tarefas propostas noManual e dos exercícios/problemas no Caderno Prático,são apresentadas sugestõespara:– ampliar a exploração das

propostas;– integrar recursos didáticos

que potenciem a exploraçãodas propostas;

– integrar explorações emambiente de geometriadinâmica;

– promover a interação.

• Desafios – para além dacomponente lúdica

Apresentação da resolução dosdesafios.Articulação com os tópicostrabalhados e o conhecimentomatemático mobilizado.

e-Manual do Professor(disponível também para o aluno)

Versão digital do Manual com aligação em contexto para outrosrecursos, tais como animações,que promovem:

– o reforço da motivação;– a clarificação da situação

problemática colocada;– o rigor;– as simulações para

diversificar e generalizar;

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– a integração da componenteexperimental;

– a melhor gestão do tempo;– a compreensão do contexto

por parte do Aluno;– a diversificação/generalização.

Aplicações Dinâmicaspara o Professor Compreendem um conjunto deinteratividades com:

– resolução animada dedesafios;

– resolução animada deexercícios/problemasrelevantes.

Articuladas com o Manual,favorecem a adequação ediferenciação pedagógica na salade aula. Poderão ser usadascomo base para a criação deoutras apresentações emateriais, adequados às suasturmas.

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Razões trigonométricas de ângulos agudosNa figura está representado um triângulo retângulo [ABC] , sendoa , b e c as medidas dos comprimentos dos lados.Seja a o ângulo agudo de vértice A . A par-tir das razões entre as medidas dos compri-mentos dos lados do triângulo obtêm-se osvalores de:seno de a , cosseno de a e tangentede a .

Razões trigonométricas de a :

sin a = cos a = tg a =ac

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11TEMA 1GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO II

1. Resolução de problemas que envolvam triângulos

1.1 Razões trigonométricas de um ângulo agudo

Em qualquer triângulo podem ser considerados seis elementos prin-cipais: três lados e três ângulos.

Se três desses elementos forem conhecidos, sendo um deles neces-sariamente a medida do comprimento de um dos lados, então o triângulofica definido, isto é, todos os outros elementos podem ser determinados.

Para a determinação desses elementos deves recordar e aprofundaralguns conceitos, dados em anos anteriores, relacionados com a trigo-nometria.

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Exemplo 1

Em relação aos ângulos a e b do triângulo retângulo [ABC] repre-sentado na figura, tem-se:

C

A

B

42

α

β

2V√5

NotaPor vezes, para simplificar a linguagem, faz-se referência a ânguloem vez de amplitude do ângulo. É o caso de “razões trigonométricasdo ângulo”.

a b

sin 22√5

= √55

42√5

= 2√55

cos 42√5

= 2√55

22√5

= √55

tg 24= 1

242= 2

Cotangente de a :

cotg a =

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Cossecante de a :

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Para Saber Mais

B

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Observa a figura. No momento em que o ângulo que os raiossolares fazem com o solo (ângulo de incidência) é igual a 35° ,o comprimento da sombra da árvore é igual a 10 m . Determina:

1. a altura da árvore;

2. o comprimento da sombra no momento em que o ângulode incidência é 50° ;

3. o ângulo de incidência no momento em que a sombra daárvore tem 3 metros de comprimento.

Na figura está representado um recipiente cónico. Sabe-se que:• o ponto M é o centro da base do cone;• a base do cone tem 8 dm de diâmetro;• o ângulo CBM tem 25° de amplitude.

1. Calcula o volume do recipiente. Apresenta o resultado em centímetroscúbicos, arredondado às centésimas.

2. Determina a amplitude a que o ângulo CBM deve tomar de modo que ovolume seja metade do volume do cone inicial.

Os vértices do triângulo da figura representam três localidades: A ,B e C . A distância de A a C é de 8 km e de B a C é 3 km .Com base nos dados da figura, determina, com aproximação àsunidades, a distância entre as localidades A e B .

Sugestão: Decompõe o triângulo [ABC] em dois triângulos retângulos.

Na figura ao lado está representado um pentágono regular inscrito numa circunferência.

1. Determina, em graus, as amplitudes a e b assinaladas na figura.

2. Calcula, em centímetros quadrados, a área do pentágono no casodeste ter 25 cm de perímetro. Apresenta o resultado arredondado àsdécimas.

3. Calcula o perímetro do polígono, admitindo que a circunferência tem8 cm de raio.

Proposta 5

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• Tarefas – diversidade depropostas que permitem:– identificar, mobilizar e aplicar

conhecimento matemático;– estabelecer conexões entre

diversos conceitos e relaçõesmatemáticas;

– desenvolver capacidades decomunicação matemática;

– integrar o uso da tecnologia,nomeadamente a calculadoragráfica.

• Exercícios de margem –conjunto de exercícios/problemas que permitemdesbloquear dificuldades efazer a consolidação necessáriapara uma aplicação maisautónoma dos conhecimentose ferramentas matemáticas.

• Recorda – Sempre que um oumais do que um pré-requisitoseja essencial à compreensão edesenvolvimento do tópico emestudo é retomado e referidocom destaque.

• Curiosidade – Para despertar ointeresse e estimular a reflexãosão apresentadas curiosidadesrelacionadas com o tema emestudo.

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Novo EspaçoMatemática A • 11.° ano

• Manual (2 partes)

• Caderno Prático

• Caderno do Professor

• e-Manual

• Aplicações Dinâmicas para o Professor

Oo+ Próximos de si!+ Próximos de si!Educação 2011

Mais valor! Mais futuro!

Recu

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O e-Manual PREMIUM é uma versão digital do manual com centenas de recursos multimédiaem contexto.O e-Manual PREMIUM está integrado no BRIP, a maior base de Recursos Educativos Digitais,com mais de 35 000 recursos multimédia e interativos.Em setembro, o manual escolar em versão digital será também disponibilizado em CD-ROM,de forma a viabilizar a sua utilização sem acesso à Internet.

Como aceder ao e-Manual?Os professores que adotarem o projeto Novo Espaço 11.º ano deverão proceder da seguinte forma:

Aceder ao Espaço Professor em www.portoeditora.pt

Fazer login com os seus dados de acesso ou inscrever-se caso ainda não estejam registados.

Como utilizar?Ao longo das páginas do e-Manual encontra áreas clicáveis que indicam a existência de recursos aexplorar.

Na Internet ser-lhe-á disponibilizada a versão completa do seu e-Manual, sendo possível navegar pelaspáginas, à semelhança do que faria na versão impressa.

Através do BRIP poderá ainda adicionar novos recursos de acordo com as suas necessidades, de formaa criar o seu próprio e-Manual.

wO Banco de Recursos Interativos para Professores, designado por BRIP, é o maior banco de recursos multimédia online, de carácter curricular, disponível em língua portuguesa. Ao adotar estemanual escolar poderá aceder, gratuitamente, a este módulo e a todos os recursos digitais educativos disponíveis para a disciplina de Matemática A do 11.º ano de escolaridade.

São centenas de objetos que podem ser utilizados de acordo com as suas necessidades: animações, sequências de aprendizagem para projeção, vídeos, exercícios interativos, entre muitosoutros.

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