Trigonometria e aplicações

A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns.

Algumas aplicações da trigonometria são:

- Determinação da altura de um certo prédio.

Os gregos determinaram a medida do raio da

terra, por um processo muito simples.

Um engenheiro precisa saber a largura de um

rio para construir uma ponte, o trabalho dele é

mais fácil quando ele usa dos recursos

trigonométricos.

Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa

saber a altura de uma montanha, o comprimento

de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria

anos para desenhar um mapa.

Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.

Triângulo Retângulo

É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então os outros dois ângulos medirão 90°.

Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares.

Lados de um triângulo retângulo

Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto.

O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.

Propriedades do triângulo retângulo

Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares.

Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos.

Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à base.

• o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada por a.

• o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa CB, indicada por a.

• o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa CB, indicada por a.

Funções trigonométricas básicas

As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos.

As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra x.

Função Notação Definição

seno sen(x)

cosseno cos(x)

tangente tan(x)

h

y

hipotenusa

oposto cateto)sen(

h

x

hipotenusa

adjacente cateto)cos(

x

y

x

h

h

y

hx

hy

/

/

adjacente cateto

oposto cateto)tan(

Valores das funções trigonométricas para alguns ângulos-chave

Existem alguns ângulos do primeiro quadrante para os quais é possível determinar facilmente os valores tomados pelas funções trigonométricas.

Para ângulos de outros quadrantes, torna-se necessário efetuar em primeiro lugar uma redução ao primeiro quadrante.

Em resumo, temos o seguinte quadro:

Valores do argumento (radianos) 0 π/6 π/4 π/3 π/2

sen 0 1/2 2/2 2/3 1

cos 1 2/3 2/2 1/2 0

tan 0 3/3 1 3 ∞

cotg ∞ 3 1 3/3 0

0º 30º 45º 60º 90º Valores do argumento (graus)

Exemplos:

1) Um vaivém em órbita terrestre descreve um trajeto tipicamente circular a uma altitude de cerca de 300km acima da superfície. Sabendo que o raio da Terra é 6380km, escreva a expressão para a distância do horizonte àquela altitude, e calcule o seu valor.

Solução:

Seja R o raio da Terra e h a altitude do vaivém acima da superfície da Terra. Pretende‑se determinar a distância d.

O ângulo a é reto porque a reta a que pertence o segmento de comprimento d é perpendicular ao raio da Terra – é tangente à superfície.

Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:

RhhdRhhdhRdR 22)( 222222

km2000km1000,230063802300 32 d

2)Determine o seno, o cosseno e a tangente do menor ângulo do triângulo retângulo cujos os catetos medem 9 cm e 12 cm.

Resolução:

Primeiro usamos o teorema de pitágoras para descobrir o valor da hipotenusa e depois calculamos os valores do seno , cosseno e da tangente.

15225225

144811292

2222

222

hh

hh

bah

12

9;

15

12cos;

15

9 tgsen

3) Um avião levanta vôo e sobe fazendo um âmgulo contante de 15º com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida, quando alcançar a vertical que passa por uma igreja situada a 2 km do ponto de partida? ( dado: sem 15º = 026 e tg 15º = 0,27).

Solução

O cálculo da altura é feito pela relação da tag de 15º.

O cálculo da distância percorrida é feito através do sen15º.

mxxx

tgAC

OCtg 54027,0.2000

2000º15

.

.º15

mxyy

xsen

h

OCsen 9,2076

15,0

540º15

.º15

4) Num triângulo retângulo um cateto mede mede 15 cm e a hipotenusa 17 cm. Calcule o seno, o cosseno e a tangente do maior ângulo agudo desse triângulo.

Solução:Primeiro aplicamos o teorema de pitágoras para achar o valor do outro cateto.

Depois calculamos os valores do seno, cosseno e da tangente .

cmxx

xx

bah

864225289

22528915172

2222

222

8

15;

17

8cos;

17

15 tgsen

Redução ao primeiro quadrante

Consideremos o ciclo trigonométrico abaixo:YY'

P''

P P'

y

O x

XX'

x'

Figura 9. Novamente o círculo trigonométrico (de raio unitário). A ordenada (“altura”) do ponto P’ representa a tangente de , e a abcissa do ponto P’’ representa a co-tangente de .

Sinal das Funções em cada Quadrante

Monotonia das funções trigonométricas

1ºQ 2ºQ 3ºQ 4ºQ

sen + – – +

cos – – + +

tan + + + +

cotg – – – –

"+" = crescente "–" = decrescente

Redução ao primeiro quadrante

O círculo trigonométrico é usualmente dividido segundo regiões denominadas quadrantes, como indicado na figura abaixo.

São quatro, e indicam-se de acordo com o sentido do crescimento dos ângulos sentido anti-horário.

Assim, iremos descobrir o comportamento das funções trigonométricas nos restantes quadrantes, e compará-lo com os valores tomados pelas funções trigonométricas para ângulos do primeiro quadrante.

Na figura vista anteriormente , o 1ºQ corresponde ao intervalo 0 < a < /2, o 2ºQ a /2 < a < , o 3ºQ a < a < 3/2, e o 4ºQ a 3/2 < a < 2.

Para fazer a redução do 2º quadrante para o 1º devemos usar a seguinte relação:

cos)º180(cos

)º180(

x

senxsen

Para fazer a redução do 3º quadrante para o 1º devemos usar a seguinte relação:

cos)º180(cos

)º180(

x

senxsen

Para fazer a redução do 4º quadrante para o 1º devemos usar a seguinte relação:

cos)º360(cos

)º360(

x

senxsen

Exercícios:

1) Calcule o seno e o cosseno dos valores abaixo:

a) 210ºb) 150ºc) 330ºd) 240ºe) 1590ºf) 2460º

FIM