Interferência A Superposição de duas ou mais ondas de mesma freqüência com diferenças de fase constante chama-se Interferência.

t

ondas mesma fase

interferência construtiva

t

ondas com oposição de fase

interferência destrutiva

RESP: A diferença de fase entre as ondas!

O que determina se a interferência é construtiva ou destrutiva ?

I - 1

Ondas com diferença de fase

superposição qualquer

Condições para se observar os efeitos da interferência

Para haver interferência, as fontes devem produzir luz COERENTE

Fontes Incoerentes: A luz emitida por fontes comuns têm a fase alterada aleatoriamente a cada 108 s. Não ocorre interferência estável e o olho não é capaz de perceber alterações na intensidade nessa escala de tempo.

I - 2

Luz Coerente: A fase f precisa ser bem definida e constante, ou seja a diferença de fase não varia no tempo. Quando ondas de fontes coerentes se encontram pode ocorrer uma interferência estável.

A luz do Sol é coerente em um curto intervalo de tempo e distâncias pequenas.

A luz de um LASER é produzida pelo comportamento cooperativo de átomos. Ela possui coerência em grandes intervalos de tempo e em uma grandes distâncias.

Origem da Diferença de Fase em três casos

1- Diferenças de percursos entre as ondas

2- Propagação de duas ondas em meios distintos com índices de refração diferentes.

3- Reflexão de onda em interfaces

Diferença de percurso óptico: Δ𝑃𝑂 = 𝑃𝑂2 − 𝑃𝑂1 = 𝑛. (𝐿2−𝐿1)

Diferenças de Percursos Ópticos

Duas ondas em um meio caminham em percursos diferentes. Elas possuem uma diferença de percurso óptico (ΔPO).

P

L1

L2

Percurso óptico 1: 𝑃𝑂1 = 𝑛. 𝐿1

Percurso óptico 2: 𝑃𝑂2 = 𝑛. 𝐿2 I - 3

𝜆𝑣 ↔ 2𝜋 Δ𝑃𝑂 ↔ 𝜙 𝜙 =

2𝜋

𝜆𝑣Δ𝑃𝑂 = 𝑘𝑣. Δ𝑃𝑂

Diferenças de fase 𝜙 correspondem à diferenças de percursos ópticos Δ𝑃𝑂

Diferenças de Fase 𝜙

Se duas ondas caminham diferentes percursos em um meio com índice de refração n, há uma diferença de fase entre elas, que é dada por:

𝜙 =2𝜋

𝜆𝑣𝑛(𝐿2 − 𝐿1)

É possível se escrever: 𝜙 =2𝜋

𝜆𝑛Δ𝑟

𝜙 =2𝜋

𝜆𝑣𝑛

𝐿2 − 𝐿1 =2𝜋

𝜆𝑣𝑛(𝐿2 − 𝐿1)

e 𝜆𝑛 =𝜆

𝑛

para se obter

NOTA: 𝜆𝑣 representa 𝜆 no vácuo e 𝑘𝑣 =2𝜋

𝜆𝑣.

𝜆𝑛 representa 𝜆 em um meio com índice de refração n .

onde Δ𝑟 = 𝐿2 − 𝐿1

I - 4

Ondas em Fase e fora de fase

Ondas em fase: 𝜙 = 2𝜋. 𝑚 com 𝑚 = 0, 1, 2, 3, …

Obs: Ondas fora de fase: 𝜙 ≠ 2𝜋. 𝑛

Interferência Construtiva:

Não há Interferência Construtiva

Δ𝑟 = 𝑚𝜆 𝜙 =2𝜋

𝜆𝑛Δ𝑟 =

2𝜋

𝜆𝑛𝑚𝜆𝑛 = 2𝜋. 𝑚

Interferência Destrutiva: Δ𝑟 = (𝑚 +1

2)𝜆𝑛

𝜙 =2𝜋

𝜆𝑛Δ𝑟 =

2𝜋

𝜆𝑛𝑚 +

1

2𝜆𝑛 = 2𝜋. 𝑚 +

1

2 𝜙 = 2𝜋. 𝑚 + 𝜋

Nota: A interferência destrutiva possui diferença de fase entre as ondas de 𝜋.

I - 5

Interferência de Young da fenda dupla - 1

anteparo fendas

Máximos e

Mínimos de

intensidade,

alternados

onda incidente (coerente)

I - 6

Interferência de Young da fenda dupla - 2

Geometria da Interferência de Young - 1

Geometria da Interferência de Young - 2

O que determina em um ponto P do anteparo no vácuo se a intensidade será máxima ou mínima?

𝑑. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝜆

𝑑. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = (𝑚 +1

2)𝜆

com 𝑚 = 0, ±1, ±2, ±3, …

R: A diferença de percurso óptico (∆𝑃𝑂 ≡ ∆𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1) entre os feixes 1 e 2.

Se ∆𝑃𝑂 = 𝑚𝜆 temos Máximos, Interferência Construtiva. Portanto:

Se ∆𝑃𝑂 = (𝑚 +1

2)𝜆, temos

Mínimos, Interferência Destrutiva. Portanto:

𝑟 1

diferença de percurso óptico: ∆𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑑. 𝑠𝑒𝑛𝜃

L

P

d

d

L >> d

𝑟 2

y

𝑡𝑔𝜃 =𝑦

𝐿 e I - 7

Obtenção pela soma das funções dos vetores elétricos

L

P

d

Amplitude Em

Intensidade da onda em P:

1

2

𝐸1 = 𝐸0 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 +

𝐸2 = 𝐸0 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙)

𝐸𝑃 = 𝐸0{𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙)

𝐸𝑃 = 2𝐸0𝑐𝑜𝑠𝜙

2 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 +

𝜙

2)

Intensidade da onda na fenda:

𝐼0 =1

2𝑐𝜖0𝐸0

2

𝐼𝑃 =1

2𝑐𝜖0{4𝐸0

2𝑐𝑜𝑠2 𝜙

2} = 4𝐼0𝑐𝑜𝑠2 𝜙

2

𝐼𝑚á𝑥 = 4𝐼0 𝐼𝑃 = 𝐼𝑚á𝑥𝑐𝑜𝑠2𝜙

2

𝐼𝑃 =1

2𝑐𝜖0𝐸𝑚

2

ou

I - 8

Cálculo de f

Diferença de Fase no Experimento de Young

Intensidade em P:

Diferença de fase 𝜙 corresponde à diferença de percurso óptico Δr

𝜆 ↔ 2𝜋 Δ𝑟 ↔ 𝜙

𝜙 =2𝜋

𝜆Δ𝑟 =

2𝜋

𝜆𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜃

𝐼𝑃 = 𝐼𝑚á𝑥𝑐𝑜𝑠2𝜙

2 𝐼𝑃 = 𝐼𝑚á𝑥𝑐𝑜𝑠2(

𝜋

𝜆𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜃)

L

P

d

y

I - 9

d sen 2 2

I

Função Intensidade em termos do ângulo Θ

𝑐𝑜𝑠2𝜋

𝜆𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 1

𝐼𝑃 = 𝐼𝑚á𝑥𝑐𝑜𝑠2(𝜋

𝜆𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜃)

𝑚 = 0, ±1, ±2, ±3, …

Nesse caso

𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝜆 Condição de máximos:

𝐼𝑃 = 𝐼𝑚á𝑥𝑐𝑜𝑠2(𝑚𝜋)

Intensidade mínima: 𝑐𝑜𝑠2 𝜋

𝜆𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0

𝜋

𝜆𝑑. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = (𝑚 +

1

2)𝜋 𝑚 = 0, ±1, ±2, ±3, …

Intensidade máxima:

𝑑. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = (𝑚 +1

2)𝜆

Nesse caso

Condição de mínimos:

I - 10

𝜋

𝜆𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝜋

𝐼𝑃 = 0

Função Intensidade em termos do ângulo de fase 𝛟

I - 11

Exemplo 1 de Interferência de Fenda Dupla

I - 12

Obtenção dos resultados pela Soma de Fasores

1-Considere dois vetores elétricos dados ao lado. A soma vetorial pode ser feita por fasores:

Cálculo da amplitude: 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 = 𝛼

𝐸𝑅𝑥 = 𝐸0 + 𝐸0 𝑐𝑜𝑠𝜙

𝐸𝑅𝑦 = 𝐸0𝑠𝑒𝑛𝜙

𝐸𝑅𝑃2 = 𝐸𝑅𝑥

2 + 𝐸𝑅𝑦2

𝐸1 = 𝐸0𝑠𝑒𝑛 𝛼

𝐸2 = 𝐸0𝑠𝑒𝑛 (𝛼 + 𝜙)

𝐸1 = 𝐸0 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

𝐸2 = 𝐸0 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙) α

𝐸0

φ

𝐸0

𝐸𝑃

β

𝐸0𝑠𝑒𝑛𝜙

𝐸0𝑐𝑜𝑠𝜙

x

y

I - 13

dos Vetores elétricos

Mostra que 𝜷 =𝝓

𝟐

𝐸𝑅𝑃. 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝐸0𝑠𝑒𝑛 𝜙; 𝐸𝑅𝑃 = 2𝐸0𝑐𝑜𝑠𝜙

2

2𝐸0𝑐𝑜𝑠𝜙

2. 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝐸0𝑠𝑒𝑛 𝜙 2𝐸0. 𝑐𝑜𝑠

𝜙

2. 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝐸02. 𝑠𝑒𝑛

𝜙

2. 𝑐𝑜𝑠

𝜙

2

𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑠𝑒𝑛𝜙

2 𝛽 =

𝜙

2

I - 14

𝐸𝑃 = 𝐸𝑅𝑃𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝛽 = 2𝐸0cos (𝜙

2). 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 +

𝜙

2)

𝐸𝑅𝑃2 = 𝐸0

2(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜙)2 + (𝐸0𝑠𝑒𝑛𝜙)2

𝐸𝑅𝑃2 = 𝐸0

2(2 + 2𝑐𝑜𝑠𝜙) 𝐸𝑅𝑃2 = 4𝐸0

2(cos𝜙

2)2

𝐸𝑅𝑃 = 2𝐸0𝑐𝑜𝑠𝜙

2

Outra convenção de ângulos para representar Fasores

2-Faça a soma vetorial (fasorial) para obter o fasor resultante (𝐸𝑅), cujo comprimento é a amplitude do vetor resultante. Use a geometria para achar o ângulo entre o vetor soma e o primeiro fasor, que é a fase do vetor resultante (β).

1-Represente as funções dos vetores elétricos por fasores girantes com velocidade angular ω, pondo x = 0 como ponto de obseervação. Admita a fase das ondas como 𝜔𝑡 + 𝜙 de acordo com cada fasor. Vide a figura ao lado.

3- A projeção desse fasor resultante no eixo vertical dá a função depedente do tempo da onda resultante.

I - 15

Superpondo Ondas e Fasores para mais de duas fendas

E1 E2

E3 E4

E

1-Construa uma sequência de fasores (𝐸1, 𝐸2, 𝐸3, 𝐸4) representando as ondas a serem superpostas. Ligue os fasores em ordem mantendo as defasagens entre os fasores adjacentes.

2-Faça a soma vetorial (fasorial) para obter o fasor resultante (𝐸𝑅). O comprimento desse fasor dá a amplitude do vetor resultante. O ângulo entre o vetor soma e o primeiro fasor é o ângulo de fase do vetor resultante.

3-A projeção desse fasor resultante no eixo vertical dá a função depedente do tempo da onda resultante.

I - 16

Exemplo 2 de Interferência por Três Fendas

I - 17

Reexaminando o Exemplo 2 de Interferência em Três Fendas por Fasores Complexos

Considere os três vetores elétricos dados abaixo. A soma vetorial pode ser feita por números complexos:

Admita que os vetores sejam as partes imaginárias de funções complexas, onde 𝛼 = 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡:

𝐸1 = 𝐸0 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

𝐸2 = 𝐸0 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 +𝜋

3)

𝐸3 = 𝐸0 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 −𝜋

6)

𝐸1 = 𝐼𝑚(𝐸0𝑒𝑖(𝛼+0))

𝐸2 = 𝐼𝑚(𝐸0𝑒𝑖(𝛼+𝜋

3))

𝐸3 = 𝐼𝑚(𝐸0𝑒𝑖(𝛼− 𝜋

6))

I - 18

𝑓𝐸𝑅= 𝑓𝐸1

+ 𝑓𝐸2+ 𝑓𝐸3

= 𝐸0 𝑒𝑖 0 + 𝑒𝑖

𝜋3 + 𝑒

𝑖 − 𝜋6

Podemos considerar somente as somas dos fasores complexos 𝑓𝐸

𝐸𝑃 = 𝐸1 + 𝐸2 + 𝐸3 = 𝐼𝑚 𝑓𝐸1𝑒𝑖𝛼 + 𝐼𝑚 𝑓𝐸2

𝑒𝑖𝛼 + 𝐼𝑚 𝑓𝐸2𝑒𝑖𝛼

𝐸𝑃 = 𝐼𝑚{(𝑓𝐸1+𝑓𝐸2

+ 𝑓𝐸3)𝑒𝑖𝛼} = 𝐼𝑚{(𝑓𝐸𝑅

)𝑒𝑖𝛼} onde

𝐸1 = 𝐼𝑚 𝐸0𝑒𝑖 𝛼+0 = 𝐼𝑚 𝐸0𝑒𝑖0 𝑒𝑖𝛼 = 𝐼𝑚 𝑓𝐸1𝑒𝑖𝛼

𝐸2 = 𝐼𝑚 𝐸0𝑒𝑖 𝛼+

𝜋3 = 𝐼𝑚{ 𝐸0𝑒𝑖

𝜋3 𝑒𝑖𝛼} = 𝐼𝑚{ 𝑓𝐸2

𝑒𝑖𝛼}

𝐸3 = 𝐼𝑚 𝐸0𝑒𝑖 𝛼−

𝜋6 = 𝐼𝑚{ 𝐸0𝑒− 𝑖

𝜋6 𝑒𝑖𝛼} = 𝐼𝑚{ 𝑓𝐸2

𝑒𝑖𝛼}

Chamaremos de Fasores Complexos às partes constantes das funções anteirores dos campos elétricos:

I - 19

𝑓𝐸𝑅= 𝐸0 2,3662 + 0,366 2 𝑒

𝑖 𝑡𝑔0,3662,366 = 𝐸02,394𝑒𝑖 8,79°

𝑎 + 𝑖𝑏 = ( 𝑎2 + 𝑏2)𝑒𝑖(𝑡𝑔𝑏𝑎)

Lembrando que

temos

Portanto

𝐸𝑃 = 𝐼𝑚{(𝑓𝐸𝑅)𝑒𝑖𝛼} = 𝐼𝑚{(𝐸02,394𝑒𝑖 8,79° )𝑒𝑖𝛼} = 𝐼𝑚{2,394𝐸0𝑒𝑖 𝛼+8,79° }

𝐸𝑃 = 𝐼𝑚 2,394𝐸0𝑒𝑖 𝛼+8,79° = 2,394𝐸0. 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 8,79°)

𝑓𝐸𝑅= 𝐸0[2,366 + 𝑖0,366]

𝑓𝐸𝑅= 𝐸0 1 + 𝑖0 + 0,5 + 𝑖0,866 + 0,866 + 𝑖 −0,5

𝑓𝐸𝑅= 𝐸0 𝑐𝑜𝑠0 + 𝑖𝑠𝑒𝑛0 + 𝑐𝑜𝑠

𝜋

3+ 𝑖𝑠𝑒𝑛

𝜋

3+ cos (−

𝜋

6) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(−

𝜋

6)

I - 20

Questão: Use o método de fasores ou de adição de funções senoidais ou ainda o método do paralelogramo (gráfico) para obter os vetores das ondas eletromagnéticas resultantes da superposição das ondas representadas abaixo. Obtenha ainda a diferença de fase entre a onda resultante ER e a onda E1 . Admita-as coerentes:

Problemas sobre adição de Fasores

(a) 𝐸1 = 5. 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡); 𝐸2 = 5. 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 120°).

(b) 𝐸1 = 6. 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 120°); 𝐸2 = 6. 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 240°).

(c) 𝐸1 = 4. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡); 𝐸2 = 3. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 +𝜋

3).

(d) 𝐸1 = 4. 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡); 𝐸2 = 6. 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 +𝜋

4).

(e) 𝐸1 = 8. 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡); 𝐸2 = 4. 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 +𝜋

2); 𝐸3 = 6. 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜋).

Resp: (a) 𝐸𝑅 = 𝐸1 + 𝐸2 = 5 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 120° . Porém

𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 2. 𝑠𝑒𝑛𝛼+𝛽

2. 𝑐𝑜𝑠 [

𝛼−𝛽

2]. Escolhendo 𝛼 = 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝛿 𝑒 𝛽 = 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

𝐸𝑅 = 2𝑥5. 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 +𝛿

2. cos

𝛿

2, onde

𝜹

𝟐=

𝟏𝟐𝟎°

𝟐= 𝟔𝟎° 𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎° =

𝟏

𝟐

obtemos

𝑬𝑹 = 𝟓. 𝒔𝒆𝒏 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕 + 𝟔𝟎° .

(b) 𝐸𝑅 = 𝐸1 + 𝐸2 = 6 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 120° + 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 240° . Porém

𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 2. 𝑠𝑒𝑛𝛼+𝛽

2. 𝑐𝑜 𝑠

𝛼−𝛽

2; 𝛼 = (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝛿2) 𝑒 𝛽 = (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝛿1)

𝐸𝑅 = 2𝑥6. 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 +𝛿2+𝛿1

2. cos

𝛿2−𝛿1

2;

𝛿2−𝛿1

2=

240−120

2= 60°, cos 60° =

1

2

𝜹𝟐+𝜹𝟏

𝟐=

𝟐𝟒𝟎+𝟏𝟐𝟎

𝟐= 𝟏𝟖𝟎°

𝑬𝑹 = 𝟔. 𝒔𝒆𝒏 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕 + 𝟏𝟖𝟎° .

(c) 𝐸𝑅 = 𝐸1 + 𝐸2 = [4. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 3. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 +𝜋

3].

Usaremos o método do paralelogramo:

𝐸𝑅𝑚2 = 𝐸1𝑚

2 + 𝐸2𝑚2 + 2. 𝐸1𝑚. 𝐸2𝑚. 𝑐𝑜𝑠𝛿

𝐸𝑅𝑚2 = 42 + 32 + 2𝑥4𝑥3. 𝑐𝑜𝑠60° = 37 𝐸𝑅𝑚 = 6,08 e

𝑠𝑒𝑛𝜑 =𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝

ℎ𝑖𝑝=

3. 𝑠𝑒𝑛60°

6,08= 0,4273

𝐸𝑅 = 𝐸𝑅𝑚. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)

𝝋 = 𝟐𝟓, 𝟑°

𝑬𝑹 = 𝟔, 𝟎𝟖. 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 + 𝟐𝟓, 𝟑° .

(d) 𝐸𝑅 = 𝐸1 + 𝐸2 = [4. 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 6. 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 +𝜋

4].

Usaremos o método do paralelogramo, fazendo 𝛼 = 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡:

𝐸𝑅𝑚2 = 𝐸1𝑚

2 + 𝐸2𝑚2 + 2. 𝐸1𝑚. 𝐸2𝑚. 𝑐𝑜𝑠𝛿

𝐸𝑅𝑚2 = 42 + 62 + 2𝑥4𝑥6. 𝑐𝑜𝑠45° = 85,94 𝐸𝑅𝑚 = 9,27 e

𝑠𝑒𝑛𝜑 =𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝

ℎ𝑖𝑝=

6.𝑠𝑒𝑛45°

9,27= 0,457674

𝝋 = 𝟐𝟕, 𝟐𝟒°

𝐸𝑅 = 𝐸𝑅𝑚. 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑

𝑬𝑹 = 𝟗, 𝟐𝟕. 𝒔𝒆𝒏 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕 + 𝟐𝟕, 𝟐𝟒° .

(e) 𝐸𝑅 = 𝐸1 + 𝐸2 + 𝐸3 = 8. 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 4. 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 +𝜋

2+ 6. 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜋).

Seja 𝛼 = 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 𝐸𝑅 = 8. 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 4. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 +𝜋

2+ 6. 𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝜋). Do diagrama temos

𝐸𝑅𝑚. 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 8 − 6 = 2 e 𝐸𝑅𝑚. 𝑠𝑒𝑛𝜑 = 4

𝐸𝑅𝑚2 = (𝐸𝑅𝑚. 𝑐𝑜𝑠𝜑)2 + (𝐸𝑅𝑚. 𝑠𝑒𝑛𝜑)2 = 4 + 16 = 20

𝐸𝑅𝑚 = 4,47 e 𝑡𝑔𝜑 =𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝

𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑗=

4

2= 2

𝝋 = 𝟔𝟑, 𝟒𝟒°

𝐸𝑅 = 𝐸𝑅𝑚. 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑 𝑬𝑹 = 𝟒, 𝟒𝟕. 𝒔𝒆𝒏 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕 + 𝟔𝟑, 𝟒𝟒° .

FIM

Interferência em N Fendas por Fasores

Considere os vetores elétricos dados abaixo. A soma vetorial será feita por fasores

𝐸1 = 𝐸0 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑟 − 𝜔𝑡

𝐸2 = 𝐸0 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑟 − 𝜔𝑡 + 𝜙)

𝐸3 = 𝐸0 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑟 − 𝜔𝑡 + 2𝜙)

…

𝐸𝑁 = 𝐸0 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑟 − 𝜔𝑡 + (𝑁 − 1)𝜙)

I - 21

diferença de percurso óptico: ∆𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑑. 𝑠𝑒𝑛𝜃

d

L >> d

Diferença de Percurso Óptico - Interferência N Fendas

𝜙 =2𝜋

𝜆Δ𝑟 =

2𝜋

𝜆𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜃

Diferença de fase entre dois feixes adjacentes:

I - 23

Da geometria dessa soma fasorial entre os N feixes, temos para o fasor resultante 𝐸𝑅:

𝐸𝑅 = 𝐴𝐶 = 2𝐵𝐶 = 2𝑅. 𝑠𝑒𝑛𝑁𝜙

2

e para 𝐸0

2:

𝐸0

2= 𝑅. 𝑠𝑒𝑛

𝜙

2 𝑅 =

𝐸0

2.𝑠𝑒𝑛𝜙

2

Pondo na equação anterior

𝐸𝑅 = 2.𝐸0

2. 𝑠𝑒𝑛𝜙2

. 𝑠𝑒𝑛𝑁𝜙

2

𝐸𝑅 = 𝐸0

𝑠𝑒𝑛𝑁𝜙2

𝑠𝑒𝑛𝜙2

.

Intensidade em N Fendas

Intensidade da onda em P:

Intensidade da onda na fenda: 𝐼0 =1

2𝑐𝜖0𝐸0

2

𝐼𝑃 =1

2𝑐𝜖0𝐸𝑅

2

Fazendo a razão: 𝐼𝑃

𝐼0=

=12

𝑐𝜖0𝐸𝑅

2

12

𝑐𝜖0𝐸0

2 =𝐸𝑅

2

𝐸02

𝐼𝑅 = 𝐼0

𝑠𝑒𝑛𝑁𝜙

2

𝑠𝑒𝑛𝜙2

2

Máximos e Mínimos da Intensidade em N Fendas

Devemos investigar a primeira e segunda derivadas da I em relação a 𝜙.

Utilizaremos a variável 𝛿 =𝜙

2, tal que d𝛿 =

𝑑𝜙

2.

𝑑𝐼

𝑑𝛿= 𝐼0

𝑑

𝑑𝛿{𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿

𝑠𝑒𝑛𝛿}2= 2𝐼0

𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿

𝑠𝑒𝑛𝛿

1

(𝑠𝑒𝑛𝛿)2{𝑁. 𝑐𝑜𝑠𝑁𝛿. 𝑠𝑒𝑛𝛿 − 𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿. 𝑐𝑜𝑠𝛿}

Admitamos 𝑠𝑒𝑛𝛿 ≠ 0. Anula-se essa primeira derivada com duas condições:

1 𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿 = 0

2 𝑁. 𝑐𝑜𝑠𝑁𝛿. 𝑠𝑒𝑛𝛿 − 𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿. 𝑐𝑜𝑠𝛿} = 0 ou 𝑁. 𝑡𝑔𝛿 − 𝑡𝑔 𝑁𝛿 = 0

Mínimos da Intensidade em N fendas: Condição (1).

para 𝑝 = 1, 2, 3, … , 𝑁 − 1, 𝑁 + 1, ... , com 𝑝 ≠ 𝑚𝑁, 𝑚 = 0, 1, 2, 3, …

Se 𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿 = 𝑠𝑒𝑛𝑁𝜙

2= 𝑠𝑒𝑛 𝑝𝜋 = 0, temos 𝐼𝑅 = 𝐼0

𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿

𝑠𝑒𝑛𝛿

2= 0

Lembrando que

𝑁𝜙

2=

𝑁𝜋.𝑑.𝑠𝑒𝑛𝜃

𝜆= 𝑝𝜋 𝜙 =

2𝜋

𝜆𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑵. 𝒅. 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒑. 𝝀

para 𝑝 = 1, 2, 3, … , 𝑁 − 1, 𝑁 + 1, ... , com 𝑝 ≠ 𝑚𝑁, 𝑚 = 1, 2, 3, …

Condição de Mínimos da interferência em N fendas:

Nota 1: Temos 𝜙

2=

𝑝.𝜋

𝑁. Para mantermos 𝑠𝑒𝑛𝛿 = 𝑠𝑒𝑛

𝜙

2≠ 0. é desejável que

𝑝

𝑁≠ 𝑚 (𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜), ou seja 𝑝 ≠ 𝑚𝑁, 𝑚 = 0, 1, 2, 3, …

Nota 2: Verifiquemos que p = 0 (𝜙 → 0) não pertence à condição de mínimo.

𝐼𝑅 = lim𝜙→0

𝐼0

𝑠𝑒𝑛𝑁𝜙

2

𝑠𝑒𝑛𝜙2

2

→0

0

2

→ 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜

Empregando a Regra de L´Hôpital para levantar a indeterminação,

𝐼𝑅 = lim𝜙→0

𝐼0

𝑁

2𝑐𝑜𝑠

𝑁𝜙

21

2𝑐𝑜𝑠

𝜙

2

2

= 𝐼0 𝑁 2 ≠ 0, onde se vê que p = 0 não é mínimo.

Máximos da Intensidade na Interferência em N fendas

Examinemos a segunda condição que anula a primeira derivada da intensidade em relação a 𝛿.

2 𝑁. 𝑐𝑜𝑠𝑁𝛿. 𝑠𝑒𝑛𝛿 − 𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿. 𝑐𝑜𝑠𝛿} = 0 ou 𝑁. 𝑡𝑔𝛿 − 𝑡𝑔 𝑁𝛿 = 0

Desenvolve-se a segunda derivada da intensidade em relação a 𝛿. Impõe-se a condição (2) acima e verifica-se se essa segunda derivada fica negativa.

𝑑2𝐼

𝑑𝛿2 =𝑑

𝑑𝛿[2𝐼0

𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿

𝑠𝑒𝑛𝛿

1

(𝑠𝑒𝑛𝛿)2 𝑁. 𝑐𝑜𝑠𝑁𝛿. 𝑠𝑒𝑛𝛿 − 𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿. 𝑐𝑜𝑠𝛿 ]

𝑑2𝐼

𝑑𝛿2 =𝑑

𝑑𝛿2𝐼0

𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿

𝑠𝑒𝑛𝛿.

1

(𝑠𝑒𝑛𝛿)2 𝑁. 𝑐𝑜𝑠𝑁𝛿. 𝑠𝑒𝑛𝛿 − 𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿. 𝑐𝑜𝑠𝛿 +

+ 2𝐼0𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿

𝑠𝑒𝑛𝛿.

𝑑

𝑑𝛿[

1

(𝑠𝑒𝑛𝛿)2 𝑁. 𝑐𝑜𝑠𝑁𝛿. 𝑠𝑒𝑛𝛿 − 𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿. 𝑐𝑜𝑠𝛿 ]

Se isto ocorrer então essa é a condição de máximo de interferência em N fendas. Vejamos

𝑑2𝐼

𝑑𝛿2 = 2𝐼0. [1

(𝑠𝑒𝑛𝛿)4 𝑁. 𝑐𝑜𝑠𝑁𝛿. 𝑠𝑒𝑛𝛿 − 𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿. 𝑐𝑜𝑠𝛿 ]2 +

2𝐼0𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿

𝑠𝑒𝑛𝛿.

1

𝑠𝑒𝑛𝛿 4 . [(𝑑

𝑑𝛿𝑁. 𝑐𝑜𝑠𝑁𝛿. 𝑠𝑒𝑛𝛿 − 𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿. 𝑐𝑜𝑠𝛿 ). 𝑠𝑒𝑛𝛿 2 −

{𝑁. 𝑐𝑜𝑠𝑁𝛿. 𝑠𝑒𝑛𝛿 − 𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿. 𝑐𝑜𝑠𝛿}. 2𝑠𝑒𝑛𝛿𝑐𝑜𝑠𝛿] .

𝑑2𝐼

𝑑𝛿2 = 2𝐼0. [(𝑐𝑜𝑠𝛿)2

(𝑠𝑒𝑛𝛿)4 𝑁. 𝑐𝑜𝑠𝑁𝛿. 𝑡𝑔𝛿 − 𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿 ]2 +

2𝐼0𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿

𝑠𝑒𝑛𝛿.

1

𝑠𝑒𝑛𝛿 4 . [−𝑁. 𝑁. 𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿. 𝑠𝑒𝑛𝛿 + 𝑁𝑐𝑜𝑠𝑁𝛿. 𝑐𝑜𝑠𝛿 −

𝑁𝑐𝑜𝑠𝑁𝛿. 𝑐𝑜𝑠𝛿 + 𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿. 𝑠𝑒𝑛𝛿. 𝑠𝑒𝑛𝛿 2 −

{𝑁. 𝑐𝑜𝑠𝑁𝛿. 𝑡𝑔𝛿 − 𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿}. 2𝑠𝑒𝑛𝛿(𝑐𝑜𝑠𝛿)2] .

𝑑2𝐼

𝑑𝛿2 = 2𝐼0. [(𝑐𝑜𝑠𝑁𝛿)2. (𝑐𝑜𝑠𝛿)2

(𝑠𝑒𝑛𝛿)4 𝑁. 𝑡𝑔𝛿 − 𝑡𝑔𝑁𝛿 ]2 +

2𝐼0𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿

𝑠𝑒𝑛𝛿.

1

𝑠𝑒𝑛𝛿 4 . [ 𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿. 𝑠𝑒𝑛𝛿(1 − 𝑁2) . 𝑠𝑒𝑛𝛿 2 −

{𝑁. 𝑡𝑔𝛿 − 𝑡𝑔𝑁𝛿}. 2𝑠𝑒𝑛𝛿(𝑐𝑜𝑠𝛿)2. 𝑐𝑜𝑠𝑁𝛿] .

Aplica-se a condição (2) 𝑁. 𝑡𝑔𝛿 − 𝑡𝑔 𝑁𝛿 = 0 na expressão acima:

𝑑2𝐼

𝑑𝛿2 = 2𝐼0𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿

𝑠𝑒𝑛𝛿.

1

𝑠𝑒𝑛𝛿 4 . [ 𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿. 𝑠𝑒𝑛𝛿(1 − 𝑁2) . 𝑠𝑒𝑛𝛿 2]

Tendo-se em conta que N > 1, vem

𝑑2𝐼

𝑑𝛿2 = −2𝐼0𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿

𝑠𝑒𝑛𝛿

2. 𝑁2 − 1 < 0

Portanto a condição (2) é uma condição para os máximos de intensidedade na interferência por N fendas.

Pode-se aplicar a condição (1) a essa segunda derivada para verificarmos que de fato (1) é uma condição de Míínimos:

𝑑2𝐼

𝑑𝛿2= 2𝐼0. [

(𝑐𝑜𝑠𝑁𝛿)2. (𝑐𝑜𝑠𝛿)2

(𝑠𝑒𝑛𝛿)4𝑁. 𝑡𝑔𝛿 − 𝑡𝑔𝑁𝛿 ]2 +

2𝐼0𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿

𝑠𝑒𝑛𝛿.

1

𝑠𝑒𝑛𝛿 4 . [ 𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿. 𝑠𝑒𝑛𝛿(1 − 𝑁2) . 𝑠𝑒𝑛𝛿 2 −

{𝑁. 𝑡𝑔𝛿 − 𝑡𝑔𝑁𝛿}. 2𝑠𝑒𝑛𝛿(𝑐𝑜𝑠𝛿)2. 𝑐𝑜𝑠𝑁𝛿] .

Colocando 𝑠𝑒𝑛𝑁𝛿 = 0 na expressão abaixo:

𝑑2𝐼

𝑑𝛿2 = 2𝐼0. [. (𝑐𝑜𝑠𝛿)2

(𝑠𝑒𝑛𝛿)4 𝑁. 𝑡𝑔𝛿 ]2 > 1

Como se esperava.

Obtendo a Intensidade de Máximos na Interferência por N Fendas

𝐼𝑅 = 𝐼0

𝑠𝑒𝑛𝑁𝜙

2

𝑠𝑒𝑛𝜙2

2

= 𝐼0

𝑠𝑒𝑛2(𝑁𝛿)

𝑠𝑒𝑛2 𝛿= 𝐼0

𝑡𝑔2(𝑁𝛿)1 + 𝑡𝑔2(𝑁𝛿)

𝑡𝑔2 𝛿1 + 𝑡𝑔2 𝛿

Aplica-se a condição (2) 𝑁. 𝑡𝑔𝛿 = 𝑡𝑔 𝑁𝛿 na expressão abaixo:

𝐼𝑅 = 𝐼0.𝑡𝑔2(𝑁𝛿)

𝑡𝑔2 𝛿.

1 + 𝑡𝑔2 𝛿

1 + 𝑡𝑔2 𝑁𝛿

𝐼𝑅 = 𝐼0𝑁2.1 + 𝑡𝑔2 𝛿

1 + 𝑁2. 𝑡𝑔2 𝛿

De acordo com essa fórmula da intensidade, vê-se que há dois tipos de Máximos. Um tipo para 𝑡𝑔 𝛿 = 0 e outro tipo para 𝑡𝑔 𝛿 ≠ 0.

Se 𝑡𝑔 𝛿 = 0 então 𝛿 =𝜙

2= 𝑚. 𝜋 𝑐𝑜𝑚 𝑚 = 0,1 , 2 , 3, … que leva a:

𝐼𝑅 = 𝐼0𝑁2 𝜙

2=

𝜋. 𝑑. 𝑠𝑒𝑛𝜃

𝜆= 𝑚. 𝜋 e 𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝜆

Primeiro tipo: 𝑡𝑔 𝛿 = 0:

Esses máximos são chamados de Máximos Principais, pois têm intesidade maior que os do outro tipo.

Segundo tipo: 𝑡𝑔 𝛿 ≠ 0:

Se 𝑡𝑔 𝛿 = 0 vê-se que 𝐼𝑅 < 𝐼0𝑁2 pois 1 + 𝑡𝑔2 𝛿

1 + 𝑁2. 𝑡𝑔2 𝛿< 1 em

Esses máximos são chamados de Máximos Secundários. Torna-se muito trabalhoso obter uma expressão detalhada envolvendo d, senθ, m e λ para esses máximos, pois é necessário primeiro resolver a equação 𝑁. 𝑡𝑔𝛿 = 𝑡𝑔 𝑁𝛿 .

𝐼𝑅

∆𝜃 = 2𝜃 ≅2𝜆 𝑁. 𝑑

I - 22

Emissão focada na máximo central na Interferência por N Fendas

LARGURA ANGULAR DO MÁXIMO CENTRAL: A largura angular do máximo central é duas vezes a posição angular do primeiro mínimo, p = 1.

𝑁. 𝑑. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑝. 𝜆 = 1. 𝜆

Se tivermos a condição d < λ, a única solução possível para a equação

𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝜆

Isso mostra que somente existe o máximo central e toda a radiação emitida pela interferência de N fendas está concentrada em θ = 0.

é m = 0 com sen θ = 0.

Este resultado permitiu elaborar sistemas altamente direcionais com N fontes coerentes de radiação (como antenas e microfones direcionais) emitindo na direção central.

Mudança de fase para ondas em cordas devido à reflexão

Reflexão com inversão de fase: Cordas

reflexão sem inversão de fase

n1

n2

n1< n2 f = 180o

n1

n2

n1< n2 f=0o

menos densa

mais densa

mais densa

menos densa

I - 13

Óptica

Mudança de fase de ondas EM na reflexão em meios dielétricos

𝑅∥ =𝐸𝑟−∥

𝐸𝑖−∥=

𝑛𝑖 . 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑡 − 𝑛𝑡 . 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖

𝑛𝑖 . 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑡 + 𝑛𝑡 . 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖

Admita uma onda Eletromagnética incidente na interface de separação entre dois meios com índices de refração 𝑛𝑖 𝑒 𝑛𝑡 produzindo uma onda refletida e uma transmitida,

A razão entre as amplitudes dos campos elétricos paralelos ao plano de incidência da onda refletida e da incidente é dada por:

Se considerarmos incidência quase normal à interface, 𝜃𝑖 ≅ 𝜃𝑡 = 0. Colocando esses valores na equação acima, vem:

𝐸𝑟−∥ =𝑛𝑖 − 𝑛𝑡

𝑛𝑖 + 𝑛𝑡. 𝐸𝑖−∥

𝐸𝑟−∥ = −𝑛𝑖 − 𝑛𝑡

𝑛𝑖 + 𝑛𝑡. 𝐸𝑖−∥

Caso 1: Incidência de MENOS DENSO para MAIS DENSO: 𝑛𝑖 < 𝑛𝑡

Isto significa que o vetor elétrico da onda refletida está çom sentido oposto ao vetor elétrico da onda incidente, ou seja a onda refletida está com DIFERENÇA DE FASE DE Π (180º) para a onda incidente.

NOTA: Essa diferença de fase de π corresponde a uma diferença de λ/2 na diferença de percurso óptico entre as ondas refletida e incoidente.

O vetore elétrico da onda refletida tem a mesma orientação do vetor elétrico da onda incidente. NÃO HAVERÁ DIFERENÇA DE FASE entre as ondas incidente e refletida.

Teremos comportsamento diferentes se a incidência da onda for de um meio MENOS DENSO para outro MAIS DENSO (𝑛𝑖 < 𝑛𝑡) ou vice-versa, de um meio MAIS DENSO para outro MENOS DENSO (𝑛𝑖 > 𝑛𝑡) .

Caso 1: Incidência de MAIS DENSO para MENOS DENSO: 𝑛𝑖 > 𝑛𝑡

𝐸𝑟−∥ = +𝑛𝑖 − 𝑛𝑡

𝑛𝑖 + 𝑛𝑡. 𝐸𝑖−∥

A interferência em filmes finos é um dos fenômenos onde se aplica essa concepção da diferença de fase entre ondas incidentes e refletidas.

NOTA: Para ondas transmitidas não há situação na qual possa surgir alguma diferença de fase, pois os VETORES ELÉTRICOS DA ONDA INCIDENTE E DA ONDA TRANSMITIDA TÊM O MESMO SENTIDO.

Interferência em filmes finos

L

n1

r1

r2 O feixe refletido consiste em ondas refletidas na primeira e na segunda interfaces.

A diferença de fase entre as ondas refletidas, r1 e r2, depende :

dos índices de refração dos meios

da diferença de percurso óptico entre elas

Cálculo da Diferença de Percurso Óptico na Interferência em filmes finos

Considere uma onda EM i em no meio com índice de refração ni incidindo sobre a lâmina transparente com índice de refração nt

conforme a figura ao lado.

Se ni < nt sabemos que na Reflexão em A ocorre uma diferença de fase de π entre a onda refletida rA e a onda incidente i.

Admita três meios transparentes em sequência com índices de refração crescentes: ni < nt < n3 .

meio

n3 B

rC

Θi

N

D

rB

rA

C A

ΘTB

tB

tA

ΘTA

Θr Θi

i

tF

F

N

tC

meio

ni

Interface AC meio

nt

Interface BF

Exercício 1:

Um feixe de luz branca: