aula 5 versor de um vetor; vetores paralelos; Ângulos diretores e cossenos diretores de um vetor

A U L A 5

VERSOR DE UM VETOR; VETORES PARALELOS; ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS DIRETORES DE UM VETOR.

VERSOR DE UM VETOR

Se o vetor não é nulo, o seu versor é um vetor unitário, isto é, de comprimento igual a unidade, e que apresenta a mesma direção e o mesmo sentido de .

O versor de um vetor é escrito: .

VETORES PARALELOS

Se os vetores = (x1, y1, z1) e = (x2, y2, z2) são paralelos, então

=

ou

// = =

Exemplo

Verificar se os vetores = (4, 2, 3) e = (12, 6, 9) são paralelos.

ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS DIRETORES DE UM VETOR

Seja o vetor = x + y + z não-nulo.

Ângulos diretores de são os ângulos , e que forma com os vetores , e , respectivamente.

Cossenos diretores de são os cossenos de seus ângulos diretores, isto é, cos , cos e cos .

𝑣

�⃗��⃗�

�⃗�

z

y

x

𝛼

𝛽𝛾

Para o cálculo destes valores utilizaremos a fórmula:

cos = = =

cos = = =

cos = = =

Observação: Os cossenos diretores de são precisamente as componentes do versor de .



Exemplo

Calcular os cossenos diretores e os ângulos diretores de = 2 – 2 + .

EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA

Considere um ponto A(x1, y1, z1) no 3 e uma direção =(a, b, c). Quer-se descrever os pontos da reta r que possui a direção e passa pelo ponto A. Só existe uma reta que passa por A e tem a direção de .

ℝ3

y

x

z

A

𝑣

P

r

O

Um ponto P pertence a r se o vetor (determinado pelos pontos A(x1, y1, z1) e P(x, y, z) é paralelo a = (a, b, c).Sendo // , então:

= t (t é algum número real)P – A = t ( = P – A)P = A + tEscrevendo-se P = A + tem coordenadas, vem:

r: (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c)

é chamado de vetor diretor da reta r e t de parâmetro.



Exemplo 1

Qual a equação vetorial da reta r que passa por A(1, –1, 4) e tem a direção de = (2, 3, 2)?

Exemplo 2

Sabe-se que o ponto P(5, 5, 8) pertence à reta r: (x, y, z) = (1, –1, 4) + t(2, 3, 2), determinar o parâmetro t.

A partir da equação vetorial da reta (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c), obtêm-se as equações paramétricas.

(x, y, z) = (x1, y1, z1) + (at, bt, ct) (propriedade da multiplicação de escalar por vetor)

ou ainda

(x, y, z) = (x1 + at, y1 + bt, z1 + ct) (propriedade da soma)

ou então

r: (condição de igualdade)

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA

Exemplo

Dado o ponto A(2, 3, –4) e o vetor = (1, –2, 3), pede-se:a) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de .b) Encontrar os dois pontos B e C de r de parâmetros t = 1 e t = 4, respectivamente.c) Determinar o ponto de r cuja abscissa é 4.d) Verificar se os pontos D(4, –1, 2) e E(5, –4, 3) pertencem a r.e) Determinar para que valores de m e n o ponto F(m, 5, n) pertence a r.

EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA

Das equações paramétricas

x = x1 + at, y = y1 + bt, z = z1 + ct

Supondo abc 0, vem

t = , t = , t =

Como para cada ponto da reta corresponde um só valor para t, obtemos as igualdades

= =

EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA

Exemplo

Quais as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(3, 0, –5) e tem a direção do vetor = (2, 2, –1)?

Considere duas retas r1 e r2 nas direções dos vetores e , respectivamente.

Chama-se ângulo de duas retas r1 e r2 o menor ângulo formado pelos vetores (vetor diretor de r1) e (vetor diretor de r2). Chamando o referido ângulo, então:

cos = , com 0 y

x

zr1

r2

1

2

𝜃

𝜃

ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS

ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS

Exemplo

Calcular o ângulo entre as retas

r1: e r2: = = x = 3 + ty = tz = –1 – 2t

Seja um ponto P no ℝ3 e uma reta r, cuja distância entre eles quer-se calcular. Considere um ponto A e um vetor diretor pertencentes à reta.

Os pontos A e P determinam o vetor . Os vetores e formam um paralelogramo, cuja altura d é também a distância de P até r, denota-se por d(P,r).

O cálculo da área desse paralelogramo pode ser obtido por duas maneiras já conhecidas:a) A = (base)(altura) = db) A =

Comparando a) e b), tem-se:

d = d(P,r) =

P

Ar𝑣

d

⊡

ℝ3

DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA

DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA

Exemplo

Calcular a distância do ponto P(2, 1, 4) à reta r1:

z = 3 – 2ty = 2 – tx = 1 + 2t

Sejam duas retas coplanares r1 e r2, tem-se três posições possíveis entre elas.a) r1 e r2 são concorrentes:

Neste caso: d(r1, r2) = 0

b) r1 e r2 são coincidentes:Neste caso: d(r1, r2) = 0

c) r1 e r2 são paralelas:Neste caso: d(r1, r2) = d(P, r1) com P r2 ou d(P, r2) com P r1.

r1

r1 = r2

r1

r2

r2

P

⊡d

DISTÂNCIA ENTRE RETAS


Sejam duas retas não-coplanares r1 e r2 (retas reversas). Quer-se calcular a distância entre elas.

Seja r1 a reta determinada pelo ponto A1 e o vetor diretor 1 e r2, determinada pelo ponto A2 e o vetor diretor 2.

Os pontos A1 e A2 formam um terceiro vetor . Esses três vetores não-coplanares 1, 2, determinam um paralelepípedo, cuja altura é a distância entre r1 e r2.

O volume desse paralelepípedo pode ser calculado por :a) V = (área da base)(altura) = | 1 x 2|db) V = |(1, 2, )|

Comparando a) e b), tem-se:

d(r1, r2) =

r1

r2

A1

A2

1

2

⊡

d



Exemplo

Calcular a distância entre as retas r1: e r2:

z = 1 – ty = 3 – 2tx = 1 + t

z = x + 1y = x – 3

EQUAÇÃO GERAL DO PLANO

Seja um plano contendo um ponto A(x1, y1, z1), ortogonal a um vetor = (a, b, c), , chamado de vetor normal ao plano.

�⃗�

A

P

𝛼

O ponto P(x, y, z) representa qualquer ponto pertencente ao plano, enquanto que A representa um ponto conhecido.

Com o ponto A e o ponto P, podemos montar um vetor ortogonal a . O produto escalar entre eles é igual a zero, isto é,

• = 0ou(P – A) • = 0A equação se transforma em:

ax + by + cz + d = 0


Exemplo 1

Determine uma equação do plano que passa pelo ponto (2, 4, –1) e tem como vetor normal = (2, 3, 4). Encontre também suas intersecções com os eixos coordenados e faça um esboço do plano.


Exemplo 2

Determine a equação do plano que passa pelos pontos P(1, 3, 2), Q(3, –1, 6) e R(5, 2, 0)

ÂNGULO DE DOIS PLANOS

Sejam os planos e com vetores normais e , respectivamente

𝜃𝜃

�⃗�1

�⃗�2

Chama-se ângulo de dois planos e o menor ângulo que um vetor normal a forma com um vetor normal a . Sendo este ângulo, tem-se

cos = com 0

𝜋 2

𝜋 1

ÂNGULO DE DOIS PLANOS

Exemplo

Determinar o ângulo entre os planos : 2x + y – z + 3 = 0 e : x + y – 4 = 0.

𝜋 𝜋

PARALELISMO E PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO

Sejam uma reta r com a direção do vetor e um plano , sendo um vetor normal a .I) r // ⇔ ⊥ ⇔ = 0II) r ⊥ ⇔ // ⇔ =

�⃗� �⃗�r𝑣 r

𝑣

𝜋 1

𝜋 2

INTERSEÇÃO DE DOIS PLANOS

A interseção de dois planos não-paralelos é uma reta r cujas equações se deseja determinar.

r

∙

∙ �⃗�1

�⃗�2

INTERSEÇÃO DE DOIS PLANOS

Exemplo

Sejam os planos não-paralelos : 5x – y + z – 5 = 0 e : x + y + 2z – 7 = 0

REFERÊNCIA

WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000.

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