aprendendo com a balança interativa
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APRENDENDO COM A BALANÇA INTERATIVA
Vera Lucia Martins1
Clélia M. Ignatius Nogueira2
1. Introdução
A exclusão escolar é considerada, atualmente, um grande problema a ser
enfrentado pelas escolas. Este fato ocorre devido à evasão escolar ou pela repetência dos
alunos, o que na maioria das vezes é justificado pela dificuldade enfrentada em
Matemática, pois é comum, nas aulas, encontrarmos alunos que a consideram uma
disciplina muito importante, porém extremamente difícil.
Na vivência em sala de aula com o ensino da Matemática constatamos que a
dificuldade com essa disciplina aumenta à medida que é incluído o conteúdo de Álgebra,
um grande obstáculo na vida escolar não somente dos alunos, mas também dos professores,
que precisam de estratégias para tornar suas aulas mais atrativas e favorecer a construção
dos conhecimentos pelos alunos. Assim, o ensino e a aprendizagem da Álgebra acabam se
tornando um desafio a ser vencido pelos professores, já que é de grande importância para a
vida escolar do aluno.
A maneira tradicional como a Álgebra é apresentada em nossas aulas de
Matemática, muitas vezes acaba privilegiando um processo de ensino e aprendizagem que
investe numa atuação mecânica – definição → exemplos → exercícios resolvidos →
exercícios propostos – caracterizando-se dessa forma em uma manipulação automática e
sem atribuir significado às variáveis e operações. Dessa maneira, dificilmente há
construção do conhecimento, pois sequer permite aos alunos que desenvolvam a capacidade
de pensar algebricamente.
O sucesso ou o fracasso dos alunos diante da Álgebra depende segundo alguns
autores, da forma como ela é apresentada nas aulas de Matemática.
Miguel et al (1992, p. 40), ressaltam que “[...] a maioria dos professores ainda
trabalham a álgebra de forma mecânica e automatizada, dissociada de qualquer significação 1 Professor da Rede Pública de Ensino do Estado do Paraná e-mail: [email protected] 2 Professora do Programa de Pós-graduação em Educação para a Ciência e Ensino de Matemática – PCM da UEM. e-mail: [email protected]
social e lógica, enfatizando simplesmente a memorização e a manipulação de regras,
macetes, símbolos e expressões”.
Lins e Gimenez (1997, p. 106), colocam que na maioria dos livros didáticos
atuais a Álgebra é ensinada através de técnica (algoritmo) e prática (exercícios), não
fornecendo explicações mais claras do que vem a ser esse conteúdo, dificultando, assim, a
compreensão do aluno. Segundo eles, essa prática não se baseia em investigação ou
reflexão de qualquer natureza ou profundidade, mas em uma tradição que vários estudos e
pesquisas já demonstraram ser ineficaz e prejudicial à aprendizagem.
Refletindo sobre a prática existente nas escolas, foi que surgiu o interesse em
desenvolver este trabalho, ou seja, procurar tornar esse conteúdo mais atrativo, por meio de
atividades que favoreçam o desenvolvimento do pensamento algébrico ao atribuir
significado aos elementos presentes neste pensamento.
Nesse sentido, concordamos com Lorenzato (2006, p. 72) para quem a
experimentação na escola é um processo que permite ao aluno se envolver com o assunto
em estudo, participar das descobertas e socializar-se com os colegas. Segundo esse autor,
essa é a melhor forma de se conseguir dar significado a aprendizagem, uma vez que ela
realça o “porquê”, e assim valoriza a compreensão.
Estudos como o de Borba e Penteado (2001) têm investigado a aprendizagem de
conceitos matemáticos com o auxílio de ferramentas tecnológicas e apontam que o uso de
tais recursos enfatiza um aspecto fundamental da disciplina, o da experimentação. Esses
recursos tecnológicos permitem aos estudantes que formulem conjecturas e desenvolvam
argumentos relacionados às atividades que são resultados desses momentos de
experimentação e com as quais se envolvem.
Segundo Costa e Oliveira (2004, p. 121), os alunos podem vivenciar múltiplas
interações nos ambientes de aprendizagem, seja com seus colegas de turma, com
professores ou com objetos do conhecimento. Para eles a informática tem um papel
evidente nestas interações interpessoais, na medida em que possibilita aos alunos utilizarem
e-mail para troca de mensagens, chat para conversas on-line e também a participação em
jogos via rede, momentos em que os alunos vivenciam situações de aprendizagem, por
meio de discussões e disputas, o que pode se constituir em forma prazerosa de aprender.
A simulação é uma ferramenta que viabiliza a chance de real relação com o
objeto de aprendizagem e, até mesmo nos jogos de caráter lúdico, a simulação surge como
grande atratividade, principalmente nos casos de variedade de efeitos visuais e atividade
interativa (COSTA E OLIVEIRA, 2004).
A utilização de jogos computadorizados pode auxiliar e tornar mais claro e
atrativo o ensino da Álgebra, uma vez que o seu uso permite que se crie um ambiente que
favoreça o desenvolvimento de habilidades motoras, o raciocínio, a organização do
pensamento, o desenvolvimento da atenção, da concentração, habilidades tão necessárias
para a aprendizagem da Matemática.
Para Aranha (2006), a utilização dos jogos eletrônicos no processo de
ensino/aprendizagem é uma ferramenta essencial para o treinamento educacional e mental,
além de ser extremamente atrativa para os alunos. Uma das justificativas para esse fato é
que o jogo eletrônico possibilita a imersão e interatividade dos alunos por meio dos
desafios propostos pelo jogo, vistos desta forma, os jogos eletrônicos podem muito
contribuir para a aprendizagem quando utilizados como instrumentos de motivação.
Acreditando nas possibilidades das atividades virtuais para o desenvolvimento
do pensamento algébrico, propomos uma seqüência comentada de atividades, envolvendo
um software denominado “Balança Interativa”, desenvolvido pelo Projeto Proativa – Grupo
de Pesquisa e Produção de Ambientes Interativos e Objetos de Aprendizagem da
Universidade Federal do Ceará, cujos objetivos são os mesmos da nossa proposta de
trabalho: favorecer o ensino de Álgebra por meio de um ambiente (jogos eletrônicos) que
propicie aos alunos a experimentação.
O jogo eletrônico proposto está em linguagem Java o que permite que ele seja
interpretado no microcomputador cliente (usuário final) pelos modernos navegadores de
Internet, quer estejam trabalhando sobre um sistema operacional do tipo “Windows”,
“Linux” ou outro qualquer.
As atividades aqui apresentadas são destinadas a alunos da 6ª série do ensino
fundamental, e têm como objetivo favorecer a obtenção, manipulação e resolução de
equações e inequações do 1º grau com uma incógnita de maneira simultânea e significativa,
uma vez que ao tentar solucionar o problema proposto pelo jogo, o aluno se depara com
situações de igualdade e desigualdade a todo momento, o que acaba possibilitando a
descoberta de relações, a criação de novas formas de registro de suas descobertas, além de
proporcionar momentos em que os alunos podem expressar seus conhecimentos,
argumentando em defesa de soluções que encontraram.
A ordem com que essas atividades são desenvolvidas segue uma seqüência que
procura, no primeiro momento, apresentar o jogo, suas regras e seus aplicativos e, a partir
daí, gradualmente propor situações no jogo, que possibilite o desenvolvimento do
pensamento algébrico, em particular as noções de equação, inequação e incógnita.
2. Descrição das atividades que possibilitam a construção da linguagem algébrica
– Equação e Inequação do 1º grau em uma variável - com a utilização do jogo
“Balança Interativa”.
Material necessário: caderno, lápis e borracha.
Organização do trabalho
• Na sala de aula:
- conversa informal sobre a balança de dois pratos;
- divisão dos alunos em grupos (se possível em duplas);
- buscar a interação e o conhecimento mútuo entre os grupos.
• Na sala de computadores:
- computadores ligados e na página em que se encontra o aplicativo
http://www.vdl.ufc.br/ativa/programas.htm;
- lugar para que todos os alunos estejam sentados.
• Procedimentos Gerais:
- propor uma atividade de cada vez;
- solicitar aos alunos que registrem todos os movimentos, feitos por eles, no caderno;
-cuidar para que os alunos se alternem nas duas ações (manipular o jogo e registrar no
caderno);
- organizar, ao final de cada atividade, discussões em que os grupos apresentem suas
soluções para a turma;
- aprofundar as discussões sobre as estratégias utilizadas, por cada grupo, para encontrar as
soluções do problema;
- ao final de cada atividade, contar quantos movimentos cada grupo necessitou para
cumprir a tarefa e os registrar;
- apontar um vencedor em cada atividade;
- apontar um vencedor geral.
Atividade 1 – Conhecendo o jogo Objetivos
• Conhecer as regras do jogo.
• Familiarizar-se com os aplicativos do jogo.
Tela do Balança Interativa – níveis de 1 a 5
Fonte: http://www.vdl.ufc.br/ativa/programas.htm
Desenvolvimento
1. Apresentar o jogo aos alunos mostrando que se baseia na manipulação simulada de uma
balança de dois pratos e que consiste em descobrir os valores associados aleatoriamente
às letras. Para jogar, o aluno utiliza a balança para medir as massas (pesos ou valores)
conhecidas, compará-las e chegar a conclusões sobre as medidas das massas
desconhecidas. O ambiente possui nove massas desconhecidas (caixas azuis que vão do
“A” ao “I”) e massas conhecidas, cuja quantidade varia, dependendo do nível de
dificuldade em que ele se encontre (dez níveis ao todo). A cada vez que as massas são
colocadas em cada um dos pratos, a balança pode apresentar um equilíbrio (massas de
medidas iguais) ou desequilíbrio (massas de medidas diferentes). Sendo assim são
possíveis duas configurações: o prato à direita ser mais pesado (e o da esquerda mais
leve) ou o contrário. Nesse jogo o vencedor será o grupo que, ao final das atividades,
tenha feito o menor número possível de movimento.
2. Orientar os grupos para clicar na caixa de texto onde consta a opção “ajuda” e abrir
uma tela com o manual do jogo, em que constam as instruções para os aplicativos, o
objetivo e as suas regras.
3. Solicitar que os alunos leiam as informações contidas no manual e que executem os
comandos explicitados.
Dica
Neste momento podem surgir dúvidas com relação ao manuseio do jogo. Assim, é
necessário que o professor já tenha manipulado esse aplicativo em momentos
anteriores e esteja seguro para orientar os alunos.
Tendo se familiarizado com o jogo, o próximo passo é criar uma situação que
faça com que os alunos percebam a importância da linguagem matemática na resolução de
problemas.
Atividade 2 – De palavras a símbolos, de símbolos a palavras
Objetivos
• Representar frases por meio de expressões algébricas.
• Traduzir uma expressão algébrica por meio de frases.
Desenvolvimento
1ª parte: O jogo
Atividade desenvolvida no nível 1 do jogo.
1. Encontrar a medida de cada uma das massas (peso ou valor) desconhecidas (letras),
utilizando a balança de dois pratos, com o menor número possível de movimentos.
2. Ao término do jogo, registrar o número de movimentos e de erros de cada grupo na
lousa.
3. Apontar o vencedor dessa etapa do jogo.
2ª parte: O registro
Solicitar aos grupos que registrem, na lousa, as suas anotações.
3ª parte: Socialização e exploração dos registros
Tendo observado a forma como os grupos desenvolveram o seu trabalho, o
professor os apresenta para a turma, procurando explorar a forma como cada grupo fez as
suas anotações.
Se algum dos grupos fez registros do tipo: “massa E é maior que a massa 5”, “
massa E é maior que a massa 7”, “massa E é menor que a massa 9” e “massa E é igual a 8”,
o professor pode, a partir desses registros, fazer questionamentos como: “Está é a melhor
forma para registrarmos as anotações?” “Existem outras formas de registro?” “Será que os
matemáticos na antiguidade faziam seus registros da forma como fazemos hoje?” “Qual a
importância dos símbolos para os matemáticos?” “Os símbolos matemáticos ajudam ou
atrapalham na resolução de um problema?”
Caso algum dos grupos tenha feito anotações muito diferentes do que foi
explicitado anteriormente, apresentar para a sala dar o seu parecer.
Dica
Aproveite este momento para falar sobre a vida e o trabalho de muitos matemáticos,
que contribuíram para a edificação da Álgebra atual, mostrando como eles foram, ao
longo dos anos, criando os símbolos, sempre com a finalidade de exprimir com clareza
e brevidade sua linguagem escrita, e chegando até a atualidade, em que a Matemática
adquiriu uma linguagem própria, de caráter universal.
Reforce para os alunos a importância de se transformar uma sentença com palavras
(álgebra retórica ou sincopada) em uma sentença que esteja escrita em linguagem
matemática (álgebra simbólica) na resolução de problemas, destacando que uma vez
compreendidos esses símbolos matemáticos eles irão expressar as idéias com muito
mais elegância e precisão.
Propor aos grupos uma nova forma de organizar os seus registros introduzindo
uma tabela na qual apareçam sentenças com palavras e sentenças matemáticas:
Sentenças com palavras Sentenças matemáticas
“massa E é maior que a massa
cinco”
E > 5
“massa E é menor que a massa
nove”
E < 9
“massa E é igual a oito” E = 8
“massa E + 2 é igual a massa dez” E + 2 = 10
Partindo das expressões que venham a surgir, o professor pode dizer que
sentenças que misturam números e incógnitas (letras), são chamadas de expressões literais
ou algébric
ue quando escrevemos uma expressão algébrica
representar a incógnita, mas isto não quer dizer que não
possamos u
ma expressão algébrica como as do exemplo
- se imagin
nta o antecessor desse número.
verso: dada uma frase, representá-la por
mei
o dobro de um número qualquer → 2a;
as, e que essas expressões são estudadas em uma parte da Matemática chamada
Álgebra.
Esclarecer aos alunos q
normalmente usamos a letra x para
sar qualquer outra letra.
Exemplo: x – 1, a – 1, y – 1, b - 1
Destacar que, ao escrevermos u
anterior, podemos imaginar várias frases para representar a expressão:
- Pedro tem um ano a menos que Gustavo;
armos que x representa a idade de Gustavo, então x – 1 é a idade de Pedro;
- se x representa um número inteiro, x – 1 represe
Mostrar que também podemos fazer o in
o de uma expressão algébrica. Por exemplo:
b é qualquer número maior que 4 → b > 4;
a metade de um número qualquer menos 3 → 2
- 3.
Dica
x
s propostas e observações que são feitas pelos alunos ajudam a delimitar o quanto se
pode avan
A
çar nessa exploração.
A próxima atividade propõe uma situação, no jogo, que permite aos alunos, por
eio de exemplos simples, refletirem sobre as suas tomadas de decisões e assim atribuir
gnificado aos sinais de igualdade e desigualdade.
m
si
Atividade 3 – Igualdade e Desigualdade
Objetivos
• Identificar como igualdade toda sentença na forma a = b, em que a e b representam
• Identificar o 1° e o 2º membro de uma igualdade.
• das igualdades: reflexiva, simétrica e
transitiva.
• Reconhecer como desigualdade uma sentença matemática da forma a ≠ b, em que a
• Verificar que a sentença a ≠ b implica a > b ou a < b.
• Verificar que nas desigualdades só vale a propriedade transitiva.
Desenvolv
ª parte: O jogo
enco re elas.
1. alor) desconhecidas
(incógnitas), que conseguirem, sem fazer nenhuma associação entre elas.
Exemplo: A < 5; A > 1; A = 2 E < 7; E > 3; E = 4
um mesmo número.
Reconhecer e verificar as propriedades
e b representam números diferentes.
• Identificar o 1º e o 2º membro de uma desigualdade.
imento
1
Atividade desenvolvida no nível 2 do jogo. Neste nível não é mais possível
ntrar todas as medidas das massas desconhecidas sem fazer associações ent
Encontrar a medida de cada uma das massas (peso ou v
D < 7; D = 5 G < 9; G > 6; G = 8
2. as massas restantes fazendo associação entre elas, mas com a
as massas utilizadas já tenha sido descoberta antes.
C > A + 9
C > G + 7
C = G + 8, sabendo que G = 8, temos: C = 16
3. Ao término do jogo, registrar o número de movimentos e de erros de cada grupo na
4. Apont
3ª parte: S
oram solicitados a registrar seus
ovimentos, foi montada uma expressão matemática com um valor desconhecido
ssas expressões denotam uma igualdade ou uma desigualdade. Partindo
dessas situ
1. Igualdad
Encontrar a medida d
condição de que uma d
Exemplo: Encontrar a medida da massa C
C < G + 9
lousa.
ar o vencedor dessa etapa do jogo.
2ª parte: O registro
Solicitar aos grupos que registrem na lousa as suas anotações.
ocialização e exploração dos registros
Tendo observado a forma como os grupos desenvolveram o seu trabalho, o
professor os apresenta para a turma, explorando a forma como foram feitas as anotações.
Em cada uma das situações em que os alunos f
m
(incógnita). E
ações, reais, vivenciadas pelos alunos, o professor pode encaminhar algumas
discussões que possibilitem chegar a algumas conclusões:
e
Começar com perguntas como: “Toda a sentença matemática registrada na lousa
ma igualdade?” “O que caracteriza uma igualdade?” “Quando podemos usar o
sím
representa u
bolo de igual?” “Como podemos definir uma igualdade?”
Comentar com os alunos que uma sentença matemática em que o símbolo de =
(igu
Exe
a) = D → a soma entre a medida da massa A e 5 é igual à medida da massa D.
) A = 2 → a medida da massa A é igual a 2.
5 + 3 = 8 → a soma entre 5 e 3 é igual a 8.
. Na
Álgebra, esse sinal de igualdade tem o significado de estabelecer uma relação de
equivalênc
s alunos o que acontece com o equilíbrio da balança quando retiramos
al) aparece, representa uma igualdade.
mplos:
A + 5
b
c)
d) 32 + 42 = 52 → a soma entre o quadrado de 3 e o quadrado de 4 é igual ao quadrado
de 5.
Dica
Aproveite este momento para refletir juntamente com os alunos sobre qual o
significado atribuído ao símbolo “=” na Aritmética e na Álgebra. Explique que na
Aritmética, esse símbolo significa o resultado de uma operação, por exemplo, quando
apertamos a tecla com esse símbolo, na calculadora, para finalizar a operação
ia ou igualdade entre os dois membros de uma expressão matemática. No
exemplo da balança de dois pratos é possível demonstrarmos essa igualdade quando
perguntamos ao
quantidades iguais dos dois pratos da balança.
os representar uma igualdade por a
= b bro “b” representam expressões de um
mesmo núm
1˚ membro: A + 5
2˚ membro: D
alunos as propriedades da igualdade, comentando que elas
permitem descobr isto é, são as propriedades da
ualdade que nos possibilitam resolver equações.
Dizer aos alunos que, de modo geral, podem
, em que o primeiro membro “a” e o 2º mem
ero.
Exemplo: “a soma entre a medida da massa A e 5 é igual à medida da massa D”.
A + 5 = D
Apresentar aos
ir os valores das incógnitas nas equações,
ig
1ª) Propriedade reflexiva
a = a, para qualquer número racional a
Exemplo:
B = B
2
= 12
1
A = b ⇒ b = a
2ª) Propriedade simétrica
Exemplo: “a soma entre a medida da massa A e 8 é igual à medida da massa C”.
trica temos:
Se G + 8 = C, então C = G + 8
situ balança (trocando as
massas de pratos).
os exemplos:
Aplicando a propriedade simé
Observa ante nação: Pedir aos alunos que vivenciem a ação rior
Apresentar outr
- Se 9 + 16 = 25, então 25 = 9 16 +
- Se ⎟⎠
⎜⎝ 2
+ ⎞⎛ 1 5 ⎟⎠
⎜⎝ 2
= 2 ⎞⎛ 1 5 ⎟⎠
⎜⎝ 2
, então 2 . ⎞⎛ 1 5 ⎟⎠
⎜⎝ 2
= ⎞⎛ 1 5 ⎟⎠
⎜⎝ 2
+ ⎞⎛ 1 5 ⎟⎠
⎜⎝ 2
3ª) Propriedade transitiva
⎞⎛ 1 5
eral, a = b e b = c ⇒ a = c, para quaisquer números racionais a, b e c. De forma g
Exemplo: “a soma entre as medidas das ma edida da massa C e a
medida da
mos:
ssas A e B é igual à m
massa C é igual a 10”.
Aplicando a propriedade transitiva te
A + B = C e C = 10, então A + B = 10
Apresentar outros exemplos aos alunos:
e 3 . 3 = 9, então 4 + 5 = 9
Se 32 + 42 = 52 e 52 = 25, então 32 + 42 = 25.
- Se (0,2)3
- Se 4 + 5 = 3 . 3
-
+ (0,2)3 = 2 . (0,2)3 e 2 . (0,2)3 = 0,016, então (0,2)3 + (0,2)3 = 0,016.
2. Desigualdade
unos, com perguntas como: “Toda sentença
atemática registrada na lousa representa uma desigualdade?” “O que caracteriza uma
desigualdade?” “Só podem r para representar uma
esigualdade?” “Como podemos definir uma desigualdade?”.
omentar com os alunos que uma sentença matemática em que se usa o símbolo
≠ (d r ualdade.
b, pode ocorrer a > b, ou a < b.
Estimular uma discussão entre os al
m
os usar o símbolo de maior ou meno
d
C
ife ente de) representa uma desig
Se a ≠
Exemplos:
de ocorrer que B + C > 9, ou B + C < 9.
d) Se corre (5 + 1)2 > 52 + 12.
Dizer aos alu a desigualdade por
a ≠ b, em que o pri expressões de
um mesmo número.
Exemplo: “a medida da massa D mais 5 é diferente da medida da massa F ”.
D + 5 < F ou D + 5 > F
1˚ membro: D + 5 1˚membro: D + 5
a) Se A < B, ocorre que A ≠ B
b) B + C ≠ 9, po
c) Se 23 ≠ 32 , ocorre 23< 32.
(5 + 1)2 ≠ 52 + 12 , o
nos que de modo ger l, podemos representar uma
meiro membro “a” e o 2º membro “b” não representam
Pode ocorrer que:
2˚ membro mbro: F
Comentar com os alunos que, para as desigualdades, vale
transitiva:
a >
bservação: propor aos grupos que tentem demonstrar esses procedimentos utilizando a
alança interativa e, caso consigam, apresentar os procedimentos para a turma toda.
A próxima atividade tem como objetivo principal levar o aluno a identificar uma
entença aberta e a discutir a importância do conjunto universo na resolução de situações
roblemas.
Se a < b e b < c, então a < c.
: F 2˚ me
a propriedade
Se a > b e b < c, então a > c.
Não valem para as desigualdades as propriedades reflexiva e simétrica.
a e a < a são sentenças falsas.
Se a > b, então b > a e Se a < b, então b < a são sentenças falsas.
O
b
s
p
At d
Objetivos
• Reconhecer sentenças matemáticas verdadeiras e falsas.
• Identificar uma equação como uma sentença matemática aberta expressa por uma
ma a ≠ b, em que a
e b representam números diferentes.
1º e o 2º membro de uma desigualdade.
• Verificar que a sentença a ≠ b implica a > b ou a < b.
ue nas desigualdades só vale a propriedade transitiva.
1ª parte: O jogo
Atividade desenvolvida no nível 3 do jogo. É necessário associações entre as
valores desconhecidos. A quantidade de massas
. Encontrar a medida das 3 primeiras massas sem fazer nenhuma associação entre elas.
D < 8; D < 6; D = 4
2. E ão entre elas, mas com a
con as massas utilizadas já tenha sido descoberta antes.
Exemplo: Encontrar a medida da massa E
ivi ade 4 – Sentenças abertas
igualdade e que apresenta uma ou mais variáveis.
• Reconhecer como desigualdade uma sentença matemática da for
• Identificar o
• Verificar q
Desenvolvimento
medidas das massas para se encontrar os
conhecidas é menor.
1
Exemplo:
A < 9; A < 6; A < 4; A = 3
C > 6; C = 9
ncontrar a medida das massas restantes fazendo associaç
dição de que uma d
E < A + C
E < A + D + 4
E = A + D + 3, sabendo que A = 3 e D = 4 temos:
go, registrar o número de movimentos e de erros de cada grupo na
lousa.
4. Apontar o vencedor dessa etapa do jogo.
ª parte: O registro
esigualdade. Partindo dessas expressões questione os grupos com perguntas
como: “Qu
sentença está correta?” “Todas as sentenças registradas na lousa
lassificadas como verdadeiras ou falsas em qualquer situação?” “Na expressão
a massa A pode ser 5 unidades de medida de massa?”
ias sentenças para serem classificadas como sentenças
Exemplo:
bol”.
mamífero vive no mar”.
um rio do Brasil”.
dois números impares é sempre um número par”.
E = 10
3. Ao término do jo
2
Solicitar aos grupos que escrevam na lousa os registros que fizeram.
3ª parte: Socialização e exploração dos registros
Tendo observado a forma como os grupos desenvolveram o seu trabalho, o
professor vai escolher duas expressões matemáticas, uma que represente uma igualdade e a
outra, uma d
al a estratégia usada?” “Qual a importância dos símbolos na sua estratégia?”
“Como sabemos se a
podem ser c
A < 9, posso dizer que a medida d
“Por quê?”
Apresentar aos alunos vár
verdadeiras ou falsas.
- “Existe um único rei do fute
- “Nenhum
- “O Amazonas é
- “A soma entre
Explicar que chamamos de proposição ou sentença qualquer tipo de afirmação,
seja ela verdadeira ou falsa.
Exemplo:
8
a) 11 – 4 > 8
b) -3 + 7 = 4
c) x + 4 =
Destacar que a primeira e a segunda sentença têm características diferentes da
terceira. Enquanto podemos afirmar que a primeira é falsa e a segunda é verdadeira, sobre a
terceira nada se pode dizer, pois ela será verdadeira ou falsa dependendo do valor da
variável x.
Sentenças que não dependem de alguma variável para serem classificadas como
verdadeira das ou proposições fechadas. s ou falsas são conhecidas como sentenças fecha
Já as sentenças cuja classificação em verdadeira ou falsa não pode ser feita, por elas
dependerem de uma ou mais variáveis, são chamadas de sentenças abertas ou
proposições abertas.
Apresentar alguns exemplos de sentenças abertas:
1°) A + 2 =
2º) 2a + 3 ≠
3º)
4°) b – 2 <
º) r – 1 = r2
ca expressa por uma igualdade, na qual exista um ou
ma
G
a -1
5a > 2
2b
5
Comentar que a primeira e a quinta sentenças são chamadas de equações.
Toda sentença matemáti
is elementos desconhecidos (incógnitas), é denominada equação.
Explicar aos alunos que uma equação é composta por uma expressão colocada à
esquerda d ,
chamada se
ue eles registraram e que
representav
parte do primeiro membro e quais elementos fazem parte do segundo.
Por exemp é igual a 10”.
Temos a equa e 2˚ membro → 10
Destacar que substituir a variável (a
medida da massa C) é cha
Mostrar que s a variável C, podemos
ma sentença verdadeira:
or exemplo:
3 + 7 = 10 7 + 7 = 10
14 = 10
Falsa
s elementos do universo da variável que
rnam a sentença aberta, uma sentença verdadeira, chama-se conjunto solução:
mindo: Equação dada: C + 7 = 10
}
Sol
C
o sinal =, chamada primeiro membro, e por outra colocada à direita do sinal
gundo membro.
Perguntar aos alunos se as expressões matemáticas q
am o equilíbrio da balança podem ser chamadas de equações.
A partir de uma equação registrada pelos alunos na lousa mostre quais
elementos fazem
lo: “a soma entre a medida da massa C e 7
ção: C + 7 = 10, onde: 1˚ membro → C + 7
o conjunto cujos elementos servem para
mado conjunto universo ou domínio.
e sabemos o domínio ou o universo d
encontrar por substituição, os valores de C que tornam a equação u
P
U = {3, 7}
C + 7 = 10 C + 7 = 10
(3) + 7 = 10 (7) + 7 = 10
10 = 10
Verdadeira
Comentar que o conjunto formado pelo
to
O Conjunto solução é representado por S = {3}. O número 3 chama-se raiz da
equação.
Resu
Conjunto universo: U = {3, 7
ução ou raiz da equação: 3
onjunto solução: S = {9}
Propor aos alunos que encontrem o conjunto solução de algumas desigualdades
registradas por eles (não se esq niverso).
Por exemplo:
A + 1 > 5
4 + 1 > 5 6 + 1 > 5
5 > 5 7 > 5
ssão com os alunos a respeito de variável e de incógnita ou valor desconhecido.
Apresente
desconhecida. Se tomarmos, por exemplo, y = 8 – x mostre que temos um conjunto de
úmeros que
satisfazem essa equação vai depender do conjunto universo. Para questões com várias
soluções,
ueça de determinar o conjunto u
U = {4, 6}
A + 1 > 5
(4) + 1 > 5 (6) + 1 > 5
Falsa verdadeira
O conjunto solução é S = {4}
Partindo dos registros dos alunos, mostrar quais elementos fazem parte do 1º
membro e quais fazem parte do 2º.
Por exemplo, na expressão A > 6: 1º membro é A e o 2º membro é 6.
Dica
Embora não exista distinção formal entre variável e incógnita, existem situações nas
quais é mais adequado utilizar uma ou outra denominação. Assim, promova uma
discu
, por exemplo, a equação x + 7 = 10, e mostre que temos um único valor que
satisfaz a equação dada, o número 3 que é o valor de nossa incógnita, antes
números que satisfazem essa equação e esses números independem de quem seja o
meu conjunto universo, já no exemplo x + y = 15 o conjunto de n
como as duas anteriores, o termo variável informa muito mais sobre a
natureza do conjunto solução.
Explicar que qualquer sentença aberta na qual se use um dos símbolos <, >, ≤, ≥
e ≠ para relacionar a expressão do 1º membro com a do 2º membro chama-se inequação.
Toda sentença matemática aberta que contém um ou mais elementos desconhecidos
(incógnitas) e é representada por uma desigualdade é denominada inequação.
stacar a importância de se saber interpretar qual é o universo da variável da
ugar da variável,
para obterm
ção x < 10, podemos dizer que todos os números
racionais r res que 10 formam a solução da inequação dada. Como não é
po a
forma geral:
S = {x ∈ Q bolo / significa “tal que”. Esta não é, todavia, o único
conjunto s
Comentar que quando comparamos dois números racionais diferentes, podemos
dizer que u
Se a e b
De
inequação quando se busca por suas soluções. No exemplo da manipulação da balança é
fácil perceber que o conjunto universo das variáveis só pode ser o conjunto IN dos naturais,
uma vez que não tem significado falar em – 5 unidades de medida de massa. Dessa forma
podemos escolher com maior precisão os valores que vamos substituir no l
os sentenças verdadeiras.
Por exemplo, na inequa
elativos meno
ssível relacionar todos esses números, escrevemos a solução dessa inequação na su
/ x < 10}, onde o sím
olução para esta desigualdade, porém é o maior conjunto solução conhecido
pelos alunos na série em questão. Pode ser interessante comentar com os alunos, a
existência de outros conjuntos numéricos, como os Irracionais e os Reais.
m é menor que o outro.
Sendo assim:
são dois números racionais quaisquer, somente uma destas três orações é
verdadeira: a < b ; a = b ou a > b.
Quando queremos nomear os elementos do conjunto dos números naturais
menores ou iguais a 5, a união de conjuntos nos ajuda a interpretar o significado do
conectivo ou: {números naturais menores que 5} ∪ {5} = {0, 1, 2, 3, 4} ∪ {5} = {0, 1, 2,
3, 4, 5}
ssim, a sentença 4 ≤ 12 (lemos: quatro é menor ou igual a doze) é verdadeira
porque 4 < 12 é verdadeira, embora 4 = 12 seja uma sentença falsa.
o mesmo modo, 5 ≥ 5 (lemos: cinco é maior ou igual a cinco) é uma sentença
verdadeira, pois 5 = 5 é verdadeira, apesar de 5 > 5 ser falsa.
A
D
A sentença 7 ≤ 0 é falsa, porque tanto 7 < 0 quanto 7 = 0 são sentenças falsas.
atividade a seguir tem como meta explorar as situações propostas pelo jogo
para introd zir técnicas de resolução de equações e inequações do 1º grau com uma
variável.
A
u
At d
bjetivos
r estratégias de resolução de equações simples do 1º grau.
• Determinar o conjunto solução da equação do 1º grau com uma incógnita, de acordo
unto universo dado.
• Res
Esta atividade pode ser desenvolvida tanto no nível 4 como no nível 5. Níveis
encontrar os valores desconhecidos, a única diferença é que nesses níveis a quantidade de
idas é menor.
Exemplo:
. Encontrar uma equação com duas incógnitas para cada uma das 8 massas desconhecidas
E :
C = 8; 6 + C = A + 7; 5 + A = B + 6 + 2; C + 7 = D + 6; E + 9 = D + 6
2 + H = G + 6; 6 + H = I + 9
ivi ade 5 – Resolução de Equações e Inequações
O
• Desenvolve
com o conj
olver uma inequação simples do 1º grau com uma variável.
• Determinar o conjunto solução de uma inequação simples do 1º grau inserido no
conjunto universo.
Desenvolvimento
1ª parte: O jogo
em que também se faz necessário fazer associações entre as medidas das massas para se
massas conhec
1. Encontrar a medida da primeira massa, sem fazer nenhuma associação entre elas.
C < 9; C > 5; C = 8
2
restantes.
xemplo
E + 2 = F + 5; 7 + F = G + 9;
3. Encontrar o valor de cada uma das massas desconhecidas, descrevendo o processo que
utilizou
mentos e de erros de cada grupo na
lousa.
servado a forma como os grupos desenvolveram os trabalhos, o
professor o
mérico de uma das incógnitas posso substituí-lo na equação?” “O que devo fazer
se quiser is
ambos os
pratos da b
temático árabe Al-Khowarizmi, em
vro sobre as operações al-jabr e qabalah, resolvia as equações. Comentar que a
para solucionar o problema.
4. Ao término do jogo, registrar o número de movi
5. Apontar o vencedor dessa etapa do jogo.
2ª parte: O registro
Solicitar aos grupos que copiem na lousa os registros realizados.
3ª parte: Socialização e exploração dos registros
Tendo ob
s apresenta à turma, explorando a forma como foram feitos os registros.
Todos os registros feitos pelos alunos procuravam encontrar uma equação com
duas incógnitas. Partindo desses registros, o professor questiona os alunos com perguntas
como: “Todas as sentenças registradas na lousa representam uma equação?” “Se já conheço
o valor nu
olar o valor da massa desconhecida em um dos pratos da balança?” “Posso tirar
uma massa de um dos pratos da balança e ainda ficar com ela em equilíbrio?” “A balança
continuará em equilíbrio se acrescentarmos a mesma quantidade de massa em
alança?”
Apresentar aos alunos a forma como o ma
seu Li
forma usada por ele é muito semelhante às formas que usamos hoje na resolução de
equações, a grande diferença era que tudo era expresso em palavras, até mesmo os
números.
Explicar que o termo al-jabr significa restauração e refere-se à transposição de
termos para o outro lado da equação. Já o termo qabalah significa redução ou equilíbrio e
cancelamento de termos semelhantes em lados opostos da equação.
mi utilizava apenas três elementos: raízes (hoje representada pela
letra x) (representado por x2) e números.
Dica
Álgebra de Oscar Guelli, Editora Ática,
ução de vários problemas matemáticos da
de aula, inclusive os citados a seguir.
refere-se ao
Al-Khowariz
, quadrados
O livro (paradidático) Equação: o idioma da
por meio da história da Álgebra, traz a resol
antiguidade que podem ser discutidos em sala
Apresentar aos alunos a forma como as equações eram resolvidas por Al-
Livro Al-jabr Livro atual
Khowarizmi e como elas são resolvidas hoje.
Exemplo:
a) 4x + 9 = 45
“Vocês devem entender que, quando se
inuem do resultado às (sic) unidades
panham as raízes,
4x = 45 – 9 dim
que acom
Então quatro raízes são o mesmo que trinta
e seis unidades
4x = 36
.
Dividindo trinta e seis unidades por quatro, x = 36 ÷ 4
vocês têm que o valor de uma raiz é nove.” X = 9 Fonte: Equação: O Idioma da Álgebra / Oscar Guelli – São Paulo: Ed. Ática, 1992). – (Coleção: Contando a História da Matemática).
b) 7x = 20 + 2x
Livro Al-jabr Livro atual
“Nesta equação, vocês devem diminuir
2x = 20 + 2x – 2x duas raízes de cada lada da equação; 7x –
portanto, cinco raízes valem o mesmo que
x = 20 vinte unidades. 5
Agora vocês devem dividir vinte unidades
x = 20 ÷5
por cinco raízes,
para encontrar que o valor da raiz é quatro
X = 4 unidades.” Fonte: Equação: O Idioma da Álgebra / Oscar Guelli – São Paulo: Ed. Ática, 1992). – (C
oleção: Contando a História da Matemática).
uindo o método de Al-
howarizmi:
6 = y + 10
Propor outras equações para serem resolvidas seg
K
y7
+ 4 = 6
6 – 10 = y + 10 – 10 7y + 4 – 4 = 6 - 4
- 4 = y 7
= 2 y
S = {-4} 7 . 7y = 7 . 2
y = 14
S = {14}
Mostrar que podemos pular algumas passagens resolvendo-as mentalmente:
6 = y + 10 7y + 4 = 6
6 – 10 = y 7
= 6 - 4 y
- 4 = y = 7 . 2
S = {-4} y = 14
14}
Dica
S = {
Comente com os alunos que, independente de estarmos ou não resolvendo uma
situação-problema, precisamos identific njunto universo e, de acordo com ele,
podemos ter diferentes respostas. Se tomarmos a equação 6 = y + 10 e o conjunto
universo for conjunto dos números naturais, o conjunto solução para esta equação
será o c úmeros
inteiros, racionais ou reais, teremos como solução – 4. Discuta com os alunos qual
ar o co
onjunto vazio, porém se o conjunto universo for o conjunto os n d
seria o conjunto universo da equação 7
+ 4 = 6. y
xemplos de resolução de inequações, para que os alunos percebam
que o proce assemelha ao das equações.
Exemplo:
U = Q
x > 10 b) b +
Apresentar e
sso de resolução se
a) 4 + 41 ≥ 0
4 – 4 + x > 10 - 4 b + 41 -
41 ≥ 0
x > 6 b ≥ 0
S = {x ∈ Q / x > 6} S = {b ∈ Q / b ≥ 0}
c) 6x – 6 > 8x
6x - 6 + 6 > 8x + 6
6x > 8x + 6
6x – 8x > 8x – 8x + 6
- 2 x > 6
22−− x <
26−
x < - 3 → S = {x ∈ Q / x < - 3}
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A seqüência de atividades comentadas procurou mostrar que existem jogos
eletrônicos com forte significado para o ensino da Álgebra e que podem ser trabalhados em
sala de aula. Jogos esses que, quando trabalhados com um objetivo específico, podem levar
à formulação, à identificação e à manipulação de equações e de expressões algébricas. Tal
manipulação constitui-se numa importante etapa na aquisição do instrumental algébrico,
que é tão necessário para a resolução de situações problemas.
Procuramos evidenciar a importância de estar, a todo momento, dando
significado ao estudo da Álgebra, mais especificamente a compreensão do que é uma
equação (igualdade) em um contexto mais amplo e como um caso particular de
comparações (relações) que envolveram ainda o estudo de inequações (desigualdades).
Finalmente, o ponto de vista que se pretende defender acerca da construção do
pensamento algébrico é que o mesmo não pode ser baseado exclusivamente em um
processo que privilegie apenas a técnica e a prática, mas sim por meio de uma
aprendizagem significativa e atrativa para o aluno e, nesse quesito, o jogo eletrônico em
muito pode contribuir para que de fato aconteça.
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• Projeto Ativa – Álgebra interativa da UFC virtual: encontra - se disponível ao
público, sem restrição de direitos, no endereço:
http://www.vdl.ufc.br/ativa/programas.htm