Apostila de Matemtica Financeira

Braslia, novembro de 2014.

Sumrio

Ementa Matemtica Financeira4Objetivos do curso4Estrutura do curso4Avaliao5Referncias Bibliogrficas51 Aula de Matemtica Financeira6Conceitos Bsicos6Regime de Juros Simples7Equivalncia de capitais a juros simples82 Aula de Matemtica Financeira11Regime de Capitalizao Composta ou Exponencial11Equivalncia de Capitais a juros compostos153 Aula Matemtica Financeira17Taxa de juros nominal19Taxa de juros efetiva214 Aula Matemtica Financeira24Sries Peridicas Uniformes24Valor presente de sries peridicas uniformes245 Aula Matemtica Financeira30Mtodos de Avaliao de um Investimento30VPL30Taxa Interna de Retorno (TIR)32Mtodo do Pay-Back Descontado.34ndice Benefcio-Custo (IBC)356 Aula Matemtica Financeira37Amortizao37Sistema de Amortizaes Constantes (SAC)37Risco e Retorno Esperado38Carteira com dois ativos427 Aula Matemtica Financeira45Carteira de varincia mnima45Vendas a descoberto46CAPM( Capital Asset Pricing Model )49Anlise de Investimentos52Anlise Fundamentalista53Perpetuidades e Frmula de Gordon58Referncias Bibliogrficas60Equipe61

Ementa Matemtica FinanceiraObjetivos do curso

O curso de Matemtica Financeira lecionado durante o Programa Trainee da Econsult tem como principal objetivo fornecer o ferramental de matemtica financeira o qual ser utilizado na elaborao de projetos e outras atividades que os futuros consultores estaro aptos a realizar.

Uma vez que o curso direcionado a atividades de consultoria prestado pela Econsult, este curso no substituir a matria Clculo Financeiro fornecido pelo departamento de Administrao.

Estrutura do curso

O curso ser composto por 7 aulas com durao mdia de 2 horas na qual ser abordado o aparato terico da Matemtica Financeira e se resolver alguns exerccios no intuito de fixar o contedo. As aulas sero ministradas s sextas feiras no horrio de 19:30. Os assuntos de cada aula se organizam da seguinte forma:

Aula 1: Juros, remunerao do capital, taxa de juros, regime de juros simples e determinao da data de vencimento. Aula 2: Regime de capitalizao composto, capitalizao e desconto a juros compostos, Equivalncia de capitais e clculos com prazos fracionados. Aula 3: Taxas de juros nominal, proporcional e efetiva, equivalncia entre taxa de juros. Aula 4: Valor presente de sries peridica uniformes, montante de sries peridicas uniformes, clculo da taxa de juros em sries peridicas uniformes, sries mistas. Aula 5: Receitas, despesas, fluxo de caixa, lucro de um empreendimento, valor do dinheiro no tempo, Mtodo do valor presente lquido, mtodo da taxa interna de retorno, mtodo do pay-back descontado, mtodo do custo-benefcio. Aula 6: Retorno esperado de um ativo, risco de um ativo e formao de uma carteira com diferentes ativos, Amortizaes. Aula 7: Modelo de Precificao de Ativos, Princpios de Valuation e Anlise de Investimentos.Avaliao

Ao final de cada aula ser enviado aos trainees uma lista contendo 5 exerccios os quais devem ser entregues em uma semana via e-mail e no formato .doc (word). Trainees que j tiverem feito a matria Clculo Financeiro ou equivalentes em alguma instituio de ensino superior esto dispensados de assistir as aulas porm devero entregar as listas resolvidas no prazo estipulado.

1 Aula de Matemtica FinanceiraConceitos Bsicos

Definio Juros

Juros a remunerao do capital aplicado em algum tipo de investimento.Ao aplicar um capital(P) durante algum perodo obteremos ao final um Montante (S). A diferena entre o montante e o capital aplicado denominado Rendimento(J).

O capital aplicado multiplicado por uma taxa de juros(i) ser igual ao rendimento.

Logo,

A taxa de juros est relacionado ao perodo de tempo da aplicao, portanto ela poder ser mensurada em:Dia(a.d.)Ms(a.a)Trimestre(a.t.)Semestre(a.s.)Ano(a.a.)Regime de Juros SimplesNo regime de juros simples a capitalizao do rendimento realizado sempre sobre o mesmo capital. Logo se aplicarmos um investimento (P) durante n perodos teremos o seguinte rendimento:

O montante ou o valor do resgate de uma aplicao igual ao capital investido(Principal) acrescidos dos juros. No caso do regime de juros simples teremos, ento a seguinte frmula:

Exemplo 1

Um capital aplicado por trs meses a juros simples de 4% a.m. rendeu $360. Determine o valor do capital.

Dados: n =3, i = 4% a.m, J = $360, P = ?

Exemplo 2

Um ttulo foi resgatado por $3.000,00 ao trmino do prazo de aplicao. Se a taxa de juros simples foi de 180% ao ano e os juros obtidos totalizaram $1.636,00, quanto tempo durou a aplicao?

Dados: S = $3.000, i = 180% a.a., J = $1.636,00, n = ?

Equivalncia de capitais a juros simples

Dizemos que dois capitais so equivalentes quando tm o mesmo valor em uma determinada data(data focal).

Exemplo 3

Uma pessoa tem os seguintes compromissos a pagar: $2.000,00 daqui a trs meses e $2.500 daqui a oito meses. Ela que trocar esse dbitos por dois pagamentos iguais, um para 10 meses e outro para 15 meses. Calcule o valor desses pagamentos se a taxa de juros simples for de 10% a.m.

Dados: i = 10% a.m, S1 = $2.000,00, S2 = $ 2.500,00, X = ?

os dois esquemas devem ser financeiramente equivalentes em uma determinada data focal. Escolhendo o perodo t = 0 como data focal teremos que resolver a seguinte equao:

Exemplo 4 Uma pessoa deve pagar $200,00 daqui a dois meses e $400,00 daqui a cinco meses. A juros simples de 5% a.m., determine o valor de um pagamento nico a ser efetuado daqui a trs meses que liquide a dvida.

Dados: I = 5% a.m., S2 = $200,00, S5 = $400,00, X = ?

Para que se liquide a dvida os capitais devem ser equivalentes no momento t = 3. Logo teremos que resolver a seguinte equao:

2 Aula de Matemtica FinanceiraRegime de Capitalizao Composta ou Exponencial

Neste regime, os juros gerados a cada perodo so incorporados ao principal para o clculo dos juros do perodo seguinte.

Em outras palavras o rendimento gerado pela aplicao incorporado a ela, passando a participar da gerao do rendimento no perodo seguinte.

Se aplicarmos $1.000 durante trs anos a uma taxa de 20% a.a., teremos os seguintes rendimentos e montantes nos regimes de juros simples e compostos.

Juros SimplesJuros Compostos

AnoRendimento MontanteRendimentoMontante

1$1.000 x 0,2 = $200$1.200$1.000 x 0,2 = $200$1.200

2$1.000 x 0,2 = $200$1.400$1.200 x 0,2 = $240$1.440

3$1.000 x 0,2 = $200$1.600$1.440 x 0,2 = $288$1.728

Clculo do Montante e do principal a juros compostos

Vejamos o que acontece com o montante de um capital aplicado a uma taxa de juros composta (i) durante trs perodos.

Trmino do primeiro perodo: Trmino do segundo perodo: Trmino do terceiro perodo:

Generalizando para n perodos tem-se:

O fator chamado de fator de capitalizao, o nmero pelo qual devemos multiplicar o valor de uma aplicao para que possamos obter o seu valor futuro ou de resgate.

O clculo do valor presente de um montante ou pagamento nico simplesmente o inverso do clculo do montante.

O fator empurra grandezas para a frente; pemite encontrar o montante ou valor futuro de uma aplicao. Ou seja, capitaliza um principal levando-o a uma data posterior.

O fator puxa grandezas para trs; permite encontrar o principal de um determinado montante. Ou seja, desconta um valor futuro trazendo-o a uma data anterior.

Exemplo 1

Qual o capital que em, em seis anos, taxa de juros compostos de 15% a.a. obtm um montante de $14.000?

Dados: n = 6 anos, i = 15% a.a., S = $14.000, P = ?

Aplicando diretamente a frmula de juros compostos tem-se:

Exemplo 2

Em que prazo um emprstimo de $ 55.000 pode ser quitado por meio de um nico pagamento de $110.624,80, se a taxa de juros composta cobrada for de 15% a.a.?

Para se resolver este exemplo precisaremos usar uma propriedade logaritma.

Dados: P = $55.000, S= $110.624,80, i = 15%a.a., n = ?

Pode-se aplicar a expresso do montante para, a seguir, destacar o fator financeiro implcito.

Aplicando logaritmo teremos:

Exemplo 3

A que taxa de juros composta um capital de $13.200 pode transformar-se em $35.112,26, considerando um perodo de aplicao de sete meses?

Dados: P = 13.200, S = $ 35.112,26, n = 7, i =?

Exemplo 4

Quanto rende um capital de $4.000 aplicado por dez meses a juros compostos de 2% a.m.?

Dados: n =10, i = 2% a.m., P =$4.000, juros = ?

Exemplo 5

Determine o capital que, aplicado por sete meses a juros compostos de 4% a.m., rende $280 em dois meses?

Dados: n = 7, rendimento = $10.000, i = 4% a.m, P = ?

Equivalncia de Capitais a juros compostos

Diz que dois capitais so equivalentes, com datas de vencimentos determinadas, quando, levados a uma mesma data focal mesma taxa de juros, tiverem valores iguais.

Exemplo 6

Uma pessoa tem uma dvida de $3.000 com vencimento em dois anos e uma dvida de $4.500 com vencimento em seis anos. Ela pretende quitar os seus dbitos por meio de um pagamento nico a ser realizado ao final de quatro anos. Considerando uma taxa de juros compostas de 4% a.a., determine o valor do pagamento nico que liquide a divide.

Para se quitar a dvida valor dos dois tipos de pagamentos trazidos a valores presente devem ser iguais.

Exemplo 7

Considerando juros compostos de 5% a.m., daqui a quanto tempo uma pessoa deve ser feito um pagamento de $160.000, para liquidar uma dvida pela qual o devedor pagar trs parcelas, a saber: $50.000 no fim de seis meses, $40.000 no fim de dez meses e $80.000 no fim de 12 meses?

Valor presente da dvida:

Clculo do prazo do pagamento nico

3 Aula Matemtica Financeira

Taxa de juros simples com prazo fracionrioAlgumas vezes o perodo de investimento somente uma frao do perodo expresso na taxa de juros. No caso da taxa de juros simples necessrio homogeneiz-la por meio de um ajuste.

Se a taxa de juros for mensal e o perodo for em dias tem-se:

Se a taxa de juros for anual e o prazo for em ms, tem-se:

Se a taxa de juros for anual e o prazo em dias, tem-se:

Exemplo 1

Calcule o rendimento de $12.000 aplicados durante os primeiros cinco meses do ano taxa de juros simples de 40% a.a.

Dados: P = S12.000, n =5 meses, i 40 %a.a, J=?

Aplicando diretamente a frmula tem-se:

Taxa de juros compostas com prazos fracionrios

No caso de juros compostos, quando o prazo do investimento for apenas uma frao do perodo que se refere a taxa de juros pode-se usar duas convenes para se fazer o clculo do montante.Clculo pela Conveno Linear: Os juros compostos so usados para a parte inteira e os juros simples so usados para a parte fracionaria.

Clculo pela Conveno Exponencial: Os juros compostos so usados tanto para a parte inteira do prazo quanto para a parte fracionaria.

Exemplo 2

Para um capital de $25.000, aplicado durante 77 dias a juros 5% a.m., calcule o montante utilizando a Conveno Linear e a Conveno Exponencial.

Dados: P = $25.000, i = 5% a.m., n = 77 dias(2 meses e 17 dias).

Conveno Linear:

Conveno Exponencial:

Taxa de juros nominal

A taxa de juros nominal uma taxa em que os juros so incorporados ao principal(capitalizados), mais de uma vez durante o perodo que a taxa se refere. Em outras palavras, o perodo de capitalizao da taxa difere do perodo explicitado na taxa.

Exemplos de taxas de juros nominais:

25% a.a. capitalizada mensalmente. 30% a.m. capitalizada diariamente. 20% a.s. capitalizada trimestralmente.

Se a taxa de juros for nominal ao ano e capitalizada semestralmente o Montante ao final de um ano ser:

Se a taxa de juros for nominal ao semestre e capitalizada mensalmente, o Montante ao final de um semestre ser:

Generalizando tem-se a seguinte frmula para o montante taxa de juros nominais:

Onde: j = taxa de juros nominal;k = nmero de vezes em que os juros so capitalizados no perodo a que a taxa nominal se refere;m = prazo da aplicao na mesma unidade de tempo da taxa nominal;P = Principal ou Capital aplicado;S = Montante.

Exemplo 3

Calcule o montante resultante de um investimento de $1.200 aplicados por trs anos a juros nominais de 16% a.a., capitalizados mensalmente.

Dados: P = $1.200, m = 3 anos, j = 16% a.a., k = 12, S = ?

Aplicando diretamente a frmula tem-se:

Exemplo 4

Em quantos meses um capital de $5.000, aplicado a juros nominais de 120% a.a., capitalizados mensalmente, produz um montante de $11.789,75?

Dados: P = $5.000, j = 120% a.a, k = 12, S = $11.789,75, m = ?

Aplicando diretamente a frmula de juros nominais tem-se:

Aplicando log em ambos os lados:

Taxa de juros efetiva

Ao contrrio da taxa de juros nominal, a taxa de juros efetiva est expressa na mesma frequncia de capitalizao. Ou seja, o prazo e o nmero de capitalizaes so equivalentes.

Desta forma, pode-se encontrar uma taxa efetiva equivalente a uma taxa nominal.

Exemplo 5

Um capital foi aplicado durante 2 anos a uma taxa nominal de 20%a.a. capitalizado mensalmente, determine a taxa equivalente efetiva ao ms.

Para a taxa ser equivalente, capitais iguais aplicados a taxa efetiva e a taxa nominal deve render o mesmo montante.Logo,

Como estamos interessados em uma taxa de juros efetiva ao ms temos que n = 24. Logo:

Exemplo 6

Os juros reais da caderneta de poupana so de 6% a.a., com capitalizaes mensais. Determine sua taxa efetiva anual.

Dados: j = 6%a.a, k = 12, m =1, i = ?

Para as taxas serem equivalente os mesmo capital aplicado em um ano em ambas as taxas devem gerar o mesmo montante.Logo,

Exemplo 7

Uma aplicao de $4.500 em CDB resgatada por $4.860 no prazo de dois meses. Calcule a taxa de juros efetiva anual obtida na aplicao.

Dados: P = $4.500, S = $4.800, n = 2 meses

Primeiramente vamos calcular a taxa efetiva equivalente ao ms.

A taxa efetiva ao ano em um ano deve gerar o mesmo montante que a taxa equivalente ao ms aplicada por 12 meses. Portanto:

4 Aula Matemtica FinanceiraSries Peridicas Uniformes

Pode-se definir uma srie peridica uniforme como uma forma de pagamento cujas parcelas pagas tero sempre o mesmo valor ao longo do tempo de pagamento de uma dvida.

Em outras palavras, dada uma dvida P e uma taxa de juros i os pagamentos feitos tero sempre o mesmo valor R.

H trs tipos de sries peridicos uniformes. Nas sries postecipadas, os pagamentos ocorrem no final de cada perodo, isso ocorre, por exemplo, na fatura do carto de crdito.Nas sries antecipadas, os pagamentos ocorrem no incio de cada perodo, isso ocorre, por exemplo, em financiamentos com pagamentos a vista.Nas sries diferidos, o perodo de carncia constitui-se em um prazo que separa o incio da operao do perodo de pagamento da primeira parcela; por exemplo, promoes do tipo compre hoje e comece a pagar daqui a x dias.

Mostra figuras.Comment by Conta da Microsoft: Que figuras so essas?Valor presente de sries peridicas uniformes

Valor presente dos termos da srie:

Aplicando a frmula de soma progresses geomtricas finitas tem-se:

Neste caso, .

Note que podemos encontrar o valor do pagamento R.

Exemplo 1

Uma compra no valor de $50.000 foi financiada em 12 prestaes mensais iguais antecipadas. Considerando juros efetivos de 8% a.m., calcule o valor das prestaes.

Dados: P = $50.000, n = 12 meses, i = 8% a.m., R = ?

Note que como as prestaes so antecipadas, uma parcela paga no ato da compra, logo o financiamento efetivo realizado , e o perodo de tempo ser n-1 logo:

Exemplo 2

Calcule o valor das prestaes mensais postecipadas iguais e consecutivas que liquidam um dbito de $ 200.000 no prazo de seis meses, sendo a taxa de juros efetiva de 18% a.m. para os trs primeiros meses e de 20% a.m. para os demais.

Dados:P = 200.000, i1 = 18% a.m, i2 = 20% a.m., R = ?

Trazendo essa dvida a valor presente tem-se:

Substituindo os valores:

Exemplo 3 Um financiamento de $40.000 ser pago em oito prestaes mensais de $6.413,44. O incio do pagamento das prestaes ser logo ao trmino de determinado perodo de carncia. Considerando juros efetivos de 3% a.m., determinar o perodo de carncia.

Dados: P = $40.000, n = 8, i = 3% a.m., R = $6.413,44, c= ?

Dada a carncia, as prestaes devem ser calculadas com base no principal capitalizados por c 1 meses:

Exemplo 4

A juros efetivos de 3% a.m., determine o tempo necessrio para que se liquide um financiamento de $842,36 por meio de prestaes mensais postecipadas de $ 120.

Dados: i = 3% a.m., R = $120, P = $ 842,36, n =?

Aplicando diretamente a frmula de sries postecipadas:

Exemplo 5

Uma pessoa deve pagar por um financiamento seis prestaes mensais antecipadas de $13.000 cada uma. Calcule o valor do financiamento efetivo, visto que a taxa de juros cobradas de 15% a.m.

Dados: n = 6, R = $13.000, i = 15% a.m., financiamento efetivo = ?.

Dado que as prestaes so antecipadas temos:

Como uma parcela paga no ato temos:

5 Aula Matemtica FinanceiraMtodos de Avaliao de um Investimento

H diversos mtodos para que se possa medir o grau de viabilidade de um projeto. Em geral, so focados aqueles que utilizam o fluxo de caixa como a principal varivel de definio de viabilidade de um investimento.

Define-se como fluxo de caixa a diferena entre benefcios e custos. Abaixo segue um exemplo de fluxo caixa.

Ano 1Ano 2Ano 3Ano 4

Benefcios $ 1.000,00 $ 800,00 $ 1.200,00 $ 1.250,00

Custos $ 500,00 $ 600,00 $ 900,00 $ 800,00

Fluxo de Caixa $ 500,00 $ 200,00 $ 300,00 $ 450,00

Os mtodos mais utilizadas para se medir a viabilidade de um projeto so a Taxa Interna de Retorno (TIR), Valor Presente Lquido(VPL) e Mtodo do Pay-Back Descontado.

VPL

O mtodo do Valor Presente Lquido tem por finalidade, em termos de valor presente, o impacto dos eventos futuros associados a uma alternativa de investimento, ou seja, ele mede o valor presente dos fluxos de caixa gerados pelo projeto ao longo de sua vida til.

adotada uma taxa de desconto K que costuma estar associada ao custo do capital da empresa, o valor dessa taxa costuma variar de negcio para negcio dependendo do risco e de suas caractersticas intrnsecas.

A frmula do VPL :

Onde: I = Investimento inicial FCt = Fluxo de Caixa no perodo t K = Custo do Capital.

Considera que o projeto vivel que:

Exemplo 1

Considere que uma alternativa de investimento requeira o desembolso inicial de $200.000 e que propiciaria a gerao de um fluxo de caixa de $75.000 durante os prximos 5 anos. Suponha que o custo do capital seja 15%. Avalie a viabilidade do Investimento pelo VPL.

Dados: FCt = $75.000, K = 15%, I = $200.000, VPL = ?

Logo o investimento vivel.

Taxa Interna de Retorno (TIR)

Diferentemente do VPL, o mtodo da TIR no tem como finalidade a avaliao da rentabilidade absoluta de um projeto a determinado custo do capital, seu objetivo determinar uma taxa intrnseca de rendimento.Matematicamente a TIR o valor da taxa que iguala o VPL a zero. Logo:

Se a TIR > K considera-se o projeto economicamente vivel.

importante notar que podemos apenas encontrar a TIR para projetos que possuem at dois perodos, caso contrrio teramos que usar mtodos matemticos mais sofisticados. Felizmente o Excel possui uma forma prpria para encontrar o TIR para n perodos.

Exemplo 2

Suponha um projeto que necessite de um investimento de $50.000, gere no momento 0 $20.000, no momento 1 $25.000 e no momento 2 $30.000; aps o momento 2 o projeto deixar de existir. Avalie a viabilidade econmica do projeto ao custo de capital de 15% utilizando a TIR.

Dados: I = $50.000, FC0 = $20.000, FC1 = $25.000, FC2 = $30.000

Aplicando a frmula da TIR tem-se:

Definindo: X = (1+TIR), tem-se:

Multiplicando ambos os lados por tem-se:

Note que temos um equao de segundo grau, logo

Logo:

Neste caso consideramos apenas o valor positivo, logo:

Como K>TIR o projeto no vivel economicamente.

Mtodo do Pay-Back Descontado.

Muitas vezes necessrio saber qual ser o tempo necessrio para a recuperao do Investimento. Ou seja, queremos saber o T que faz com que o valor presente do projeto se iguale ao investimento. Logo, tem-se a seguinte a equao:

Exemplo 3

Considere que uma alternativa de investimento requeira o desembolso inicial de $200.000 e que propiciaria a gerao de um fluxo de caixa de $75.000 durante os prximos 5 anos. Suponha que o custo do capital seja 15%. Encontre o perodo de Pay-back.

Neste caso, tem-se:

Se T = 3, o VPL ser $171.242, se T = 4 o VPL ser $215.123.

Logo, O tempo mnimo para a recuperao do investimento ser de 4.

ndice Benefcio-Custo (IBC)

O ndice Benefcio-Custo mede a razo entre o valor presente de todos os benefcios e o valor presente de todos os custos. Logo, para que um projeto seja vivel segundo este ndice basta que o IBC>1 pois isto indicar que os benefcios do projeto esto sendo maiores que os custos.

Este ndice tem a seguinte frmula:

Onde bt representa os benefcios no perodo t e ct representa os custos no perodo t.

Exemplo 4Considere um empreendimento onde o seu Investimento ser de $600, ser capaz de gerar o seguinte fluxo de caixa e seu custo de oportunidade do capital de 15%. Avalie a viabilidade do projeto segundo o IBC.

Ano 1Ano 2Ano 3Ano 4

Benefcios $ 1.000,00 $ 800,00 $ 1.200,00 $ 1.250,00

Custos $ 500,00 $ 600,00 $ 900,00 $ 800,00

Fluxo de Caixa $ 500,00 $ 200,00 $ 300,00 $ 450,00

Logo, o IBC ser:

Como IBC>1, tem-se que o projeto vivel.

6 Aula Matemtica FinanceiraAmortizao

A amortizao um processo financeiro pelo qual uma dvida ou uma obrigao paga progressivamente por meio de parcelas, de modo que ao trmino do prazo estipulado o dbito seja liquidado.

Essas prestaes so a soma de duas partes: a amortizao ou devoluo do principal emprestado e os juros correspondentes aos saldos dos emprstimos ainda no amortizados.

O termo carncia designa o perodo que vai desde a data de concesso do emprstimo at a data em que ser paga a primeira prestao.

Sistema de Amortizaes Constantes (SAC)

Pelo Sistema de Amortizaes Constantes(SAC), o principal reembolsado em cotas de amortizaes iguais. A amortizao calculada dividindo o valor do financiamento pelo nmero do perodos do pagamento.

J os juros so calculados de acordo com o saldo devedor, logo:

Onde SD0 igual ao Saldo devedor anterior, o exemplo deixar isso mais claro.

Exemplo 1

Elabore uma planilha de amortizao para o seguinte financiamento:

Valor do Financiamento de $200.000 Reembolso em 4 meses pelo sistema SAC Taxa de juros efetiva: 10% a.m.

Risco e Retorno Esperado

O risco de um ativo est relacionado s incertezas inerentes a este prprio ativo. No possvel saber exatamente qual ser o retorno deste ativo amanh, porm possvel avaliar a volatilidade deste ativo no passado.

Tomando como exemplo o dlar sabemos que este na ltima semana variou bastante mantendo uma trajetria imprevisvel. Em outras palavras sabemos que este ativo est sendo bastante voltil recentemente e, portanto, est com um risco alto.

Em geral, o risco dividido em dois tipos, o risco sistemtico e o risco no-sistemtico.

O risco sistemtico aquele inerente a todos ativos de uma economia, no possvel eliminar este risco de um ativo. Como exemplo suponha que o Brasil opte por um calote soberano da dvida externa, neste caso todos os ativos do Brasil sofrero alguma consequncia uma vez que as pessoas optaro por no investir nesse pas.

J o risco no sistemtico, aquele risco que est intrnseco a cada ativo no se espalhando a todos. Por exemplo no caso de uma indstria de sorvete sabemos que no inverno o consumo de sorvete cai, aumentando assim o risco para esta empresa nesta poca do ano. Entretanto uma indstria de ch no sofre com este risco no inverno, em geral o seu consumo aumenta.

Note que o risco no-sistemtico pode ser anulado pelo efeito de diversificao. A ideia seria que escolhendo mais de um ativo para investir seria possvel que o risco das perdas se anulasse com os riscos dos ganhos. Por exemplo seria possvel anular o risco no sistemtico da indstria de sorvete investindo tambm na indstria do ch.

O retorno de um ativo pode ser entendido como o ganho que se teve com um ativo durante um certo perodo de tempo. Logo:

Onde Rt1: O retorno esperado do ativo no perodo1 Pt1: Preo do ativo no perodo 1 Pt0: Preo do ativo no perodo 0

Exemplo 3

Suponha que uma pessoa comprou um ativo por $50 e aps um ano esse ativo valorizou para $75. Qual foi o retorno deste ativo durante esse perodo?

Dados: Pt0 = $75, Pt1 = $50, Rt = ?

Em geral, trabalha-se mais com o conceito de retorno esperado. Este retorno leva em conta os possveis cenrios futuros pelos quais pode-se atribui um retorno para cada ativo em cada cenrio. Suponha o seguinte o ativo:

CenriosProbabilidadesRetorno

I0,50,4

II0,250,2

III0,25-0,1

Note que para cada cenrio o ativo possui um retorno especfico e uma probabilidade intrnseca a este cenrio. O retorno esperado de um ativo possui a seguinte frmula:

Onde: Re = Retorno Esperado pi = Probabilidade no cenrio i Ri = Retorno no cenrio i

Exemplo 4

Suponha o ativo descrito anteriormente calcule o seu retorno esperado.

Para o clculo estatstico do risco utilizamos como proxy a frmula do desvio padro. Logo:

Onde: pi = probabilidade no cenrio i. Ri = Retorno no cenrio i. Re = Retorno esperado.

Em geral quanto maior o risco mais voltil o ativo e, portanto, mais arriscado.

Exemplo 5

Suponho que em trs cenrios diferentes um ativo possa ter o retorno de 30%, 40% e 15%, considerando que h a mesma probabilidade para cada cenrio, calcule o risco do ativo.

CenriosProbabilidadesRetornopi x Ripi x (Ri-Re)^2

I0,333330,30,10,004563

II0,333330,40,1333333330,015696333

III0,33333-0,15-0,050,036963

Re = 0,183var = 0,0572

Como

Carteira com dois ativos

Apesar de um investidor poder investir em apenas um ativo, geralmente so montadas carteiras com diferentes ativos com o intuito de maximizar o retorno esperado e minimizar o risco. Neste caso, para facilitar os clculos iremos discutir apenas carteiras formado por dois ativos.

Neste caso bom recordar alguns conceitos estatstico pertinentes:A frmula da covarincia :

A frmula da correlao :

O retorno esperado de uma carteira com dois ativos :

Onde: Rp = Retorno esperado da carteira Rea = Retorno esperado do ativo A Reb = Retorno esperado do ativo B Wa = Porcentagem da carteira investido no ativo A Wb = Porcentagem da carteira investido no ativo B

No caso de uma carteira com dois ativos o risco desta ser:

Onde wa = Porcentagem no ativo A Wb = porcentagem no ativo B = risco do ativo A risco do ativo B

Exemplo 6

Suponha que o ativo A possua um retorno esperado de 30% e um risco de 20%, j o ativo B possue um retorno esperado de 15% e um risco de 5%. Considerando que a covarincia seja de 0,5 calcule o retorno esperado e o risco de uma carteira montada com 50% de cada ativo.Dados:

a = 20%, = 15%, Ra = 30%, Rb = 5%, cov(A,B) = 0,5, wa = wb = 50%.

7 Aula Matemtica FinanceiraCarteira de varincia mnima

Note que uma vez que temos um conjunto de possibilidades de investimentos, pode-se optar por escolher pela carteira de risco mnimo. Para facilitar nossas contas, trabalharemos novamente com carteiras que contm dois ativos.

Sabemos que a varincia de uma carteira com dois ativos :

Como wa + wb = 1, temos:

Note que para encontrarmos a carteira de risco mnimo, basta minimizar a funo da varincia em relao a wa. Para tanto usaremos uma tcnica do clculo utilizando a derivada.

A carteira de risco mnimo, ento, ser:

Logo:

Exemplo 1

Dado que o ativo A tenha um risco de 20%, o B tenha um risco de 30% e a covarincia entre ambos seja de -0,5, encontre a carteira de risco mnimo.

Dados:

Sabemos que a proporo referente a carteira de risco mnimo, ser:

Vendas a descoberto

Note que at agora consideramos apenas carteira que sejam formadas por propores positivas. Em outras palavras o wa e o wb foram sempre positivos. H uma maneira para que essas propores sejam negativas, o que se chama de vendas a descoberto, em ingls short selling.

Neste tipo de operao o investidor se compromete a vender um ativo que ele no possui, recebendo assim uma quantia em dinheiro, aps um determinado perodo essa pessoa deve recomprar esses ativos.

Em termos prticos, o investidor faz um acordo onde ele vende uma ao que ele no tem para outro investidor; a contrapartida que em uma determinada data o comprador a revenda para o vendedor pelo preo de mercado da data. Nota-se que, portanto, a venda a descoberto gera um certo risco ao investidor, pois caso o preo da ao suba neste perodo ele ter um prejuzo.

Para a teoria, isto implica que as possibilidades de ganho em uma carteira podem ficar ainda maiores assim como o seu risco.

Exemplo 2

Suponha que o ativo A tenha um risco de 10% e o ativo B tenha um risco de 20% e a covarincia entre ambos seja de -0,5. Para se montar uma carteira cujo risco seja 15%, qual deve ser a proporo investido em cada ativo?

Dados:

Sabemos que o risco da carteira :

Logo,

Como wb = 1-wa,

Note que temos uma equao de segundo grau, logo:

Portanto:

Logo, poder ser formada duas carteiras para se obter esta taxa de risco.

CAPM( Capital Asset Pricing Model )

O Capital Asset Pricing Model(CAPM), ou em portugus Modelo de Precificao de Ativos Financeiros, o modelo mais conhecido de precificao de ativos de Teoria das Finanas. Este modelo foi desenvolvido de forma independente por Sharper, Litner e Mossin.

Os principais pressupostos deste modelo que as vendas a descobertos podem ser feitas ilimitadamente e a presena de um ativo livre de risco.

A fronteira de possibilidades com permisso de vendas a descoberto possui a seguinte forma:

Entretanto, dado um ativo sem risco e uma possvel carteira com risco dentro desta fronteira, a curva de possibilidades se torna a seguinte:

Onde a reta desta ltima figura geralmente denominada a linha do mercado de capital. Em geral dada uma carteira com risco e um ativo com risco os investidores preferiro investir em uma combinao entre os dois nesta reta.

A frmula desta reta a seguinte:

Onde: Rp = Retorno da carteira; Rf = Retorno do ativo livre de risco; Rm = Retorno da carteira de mercado; = risco da carteira de mercado; = risco da carteira.Neste caso, estamos supondo que todo os investidores conhecem a presena de um carteira de mercado, a qual seria a mais eficiente desta economia, assim os investidores investiriam uma parcela nela e outra nos ativo livre de risco, sendo esta proporo dosada pelo apetite ao risco do investidor.

Pode-se entender esta linha como

Note que neste caso estamos trabalhando apenas com carteiras eficientes.

Entretanto, de forma semelhante pode-se valer da mesma ideia para se precificar ativos no eficientes. Para tanto iremos introduzir a ideia de medio do risco sistemtico, aquele diversificvel em relao ao mercado.

Ademais, iremos introduzir a ideia do , o qual mede o risco de um ativo em relao ao risco do mercado. Logo,

Onde, cov(a,m) = covarincia do ativo com o mercado

Por definio quanto mais prximo de 1 estiver o mais prximo da carteira de mercado estar o ativo. Segundo o CAPM o preo de um determinado ativo ser dado por:

Ou seja, se a pessoa estiver investindo em algum ativo mais arriscado que o mercado esta pessoa estar sendo remunerada por isso.

Exemplo 3Dado que o retorno esperado do ativo 20%, a taxa livre de risco 10% e o retorno do mercado 15%, calcule o beta deste ativo.

Dados: Ra = 20%, Rf = 10%, Rm = 15%, = ?

Pela frmula do CAPM, temos:

Substituindo os dados:

Anlise de InvestimentosO processo de investimento algo que deve ser muito bem embasado para que busque minimizar o risco e a possvel perda. Por isso, ao longo do tempo foram se desenvolvendo diferentes tipos de tcnicas para que o investidor pudesse ter seu ganho maximizado.Atualmente existem duas principais escolas de anlise de investimento conhecidas como: anlise fundamentalista e anlise tcnica. A anlise fundamentalista focada em analisar como os fatores econmicos se desenvolveram ao longo de um tempo, como eles esto no momento e como podem estar no futuro. A anlise tcnica focada no desenvolvimento do preo de uma ao ao longo do tempo e como a base de dados busca estimar o preo da ao e momento de se vender e se comprar.Anlise FundamentalistaA Anlise Fundamentalista focada em entender os fundamentos financeiros do setor em que a empresa se insere e os fundamentos financeiros de uma empresa em si.A primeira parte da anlise de investimentos focada na anlise setorial de um setor que se permeia em apurar as perspectivas do setor em carter internacional, nacional e regional. Essa anlise tambm envolve uma busca apurada pelas empresas especficas do ramo, as suas perspectivas de futuras, faturamento e participao no mercado. Atualmente, a Econsult possui uma metodologia j feita, porm que ainda passar por reviso ao fim do primeiro ciclo de investimento da empresa. Caso queiram ter um maior contato com essa metodologia recomendo que procurem na dropbox a metodologia de anlise setorial. Os principais tpicos abordados esto explicitados na imagem seguinte.

A segunda parte da anlise fundamentalista focada em obter dados mais quantitativos relacionados aos ndices e mltiplos de cada empresa pesquisada anteriormente. Esses ndices tm como objetivo ilustrar quantitativamente a posio de uma empresa frente ao mercado e dar maior subsdio ao tomador de deciso de investimento. Os principais ndices e mltiplos analisados so:

Para entender um pouco mais sobre cada indicador recomenda-se que se consulte a metodologia de anlise de mltiplos presente na dropbox. A ltima parte da anlise fundamentalista conhecida como anlise do fluxo de caixa descontado, no qual se traz os valores dos fluxos de caixa futuros da empresa para o valor presente descontando o custo de capital ao longo do tempo. Nessa parte necessrio utilizar alguns conceitos utilizados na valorao de uma empresa conhecido como Valuation. preciso, portanto, estimar os fluxos de caixa da empresa em um perodo de dez anos para que se tenha uma ideia de quanto gasto por uma empresa e o quanto ela recebe durante dez anos. Aps ter essa ideia preciso obter um de custo de capital para que se possa descontar dos fluxos de caixa futuros e chegar ao valor da empresa. O mtodo utilizado para se chegar a um custo de capital o weighted average cost of capital (WACC) ou Custo de Capital Ponderado Mdio. Ele calculado pela seguinte frmula:

Sendo que:(D) Dvida a valor presente(E) Capital Social da Empresa ou Capital Prprio() Custo da Dvida() Custo do Capital Prprio(T) Taxa de Benefcio FiscalPara calcular o custo de capital necessrio obter os insumos para o clculo. A Dvida a Valor Presente pode ser obtida ao pegar todas as obrigaes que a empresa tem que pagar. necessrio apenas utilizar uma taxa de desconto para trazer a dvida a valor presente. O capital social de uma empresa, assim como a dvida, pode ser encontrado no Balano Patrimonial de uma empresa. O custo da dvida obtido ao se analisar a taxa de emprstimo que empresa teria de pagar para conseguir um novo emprstimo ou financiamento. A taxa de benefcio estimada a partir do incentivo que o governo d para impulsionar a atividade, tal como poltica fiscal especfica e reduzida. Essa parte uma parte bem subjetiva. O custo de capital prprio pode ser obtido por um modelo CAPM designado pela seguinte frmula:

A Taxa Livre de Risco pode ser obtida atravs da taxa de retorno de um ttulo brasileiro pr-fixado de 10 anos. O prmio pelo risco do mercado geralmente obtido pela diferena entra a taxa de retorno do mercado e a taxa livre de risco. E o prmio pelo risco pas pode ser obtido pela classificao de rating do Brasil apresentado por agncias especializadas como Moodys e S&P. A tabela apresentada a seguir:

Aps o clculo do WACC basta utilizar o mtodo de fluxo de caisa descontado para se obter o valor de mercado da empresa em questo. Logo tem se a seguinte frmula:

Exemplo 4Calcule o valor de uma empresa dado que o beta desta empresa de 1,2, o custo de sua dvida de 20%, a taxa livre de risco 8%, a taxa de retorno do mercado 10% e o prmio pelo risco pas de 3%. Os fluxos de caixa da empresa podem ser descrito pela seguinte tabela. Considere que a estrutura de capital da empresa formada por 60% de capital prprio e 40% de dvida e que no h benefcio fiscal(logo, T =0).

AnoFluxo de Caixa

1R$ 30 milhes

2R$ 35 milhes

3R$ 40 milhes

4R$ 30 milhes

5R$ 40 milhes

Dados: Rf = 0,08, Rm = 0,10, Rp = 0,03, = 1,2, Cd = 0,2, pd = 0,4 pp = 0,6

Primeiro ser calculado o o custo do capital prprio da empresa, atravs da frmula j apresentada.

Cp = 0,08 + 1,2*(0,10 0,08) + 0,03Cp = 0,35No prximo passo ser calculado o wacc, para que ento este possa ser usado como a taxa de desconto para se calcular o valor da empresa.

Logo para se calcular o valor da empresa basta utilizar o mtodo de fluxo de caixa descontado.

Resposta: O valor da empresa R$ 88,56 milhes.Perpetuidades e Frmula de GordonNote que no exemplo anterior trabalhamos com um fluxo de caixa de apenas 5 anos, entretanto possvel afirmar que algumas empresas tero um fluxo de caixa indo at o infinito. Logo, para se valorar estas empresas utiliza-se, geralmente, duas tcnicas: a perpetuidade e a frmula de Gordon.Na perpetuidade admite-se que um determinado investimento ir gerar sempre o mesmo fluxo de caixa. Logo, o seu fluxo de caixa descontado seria:

Para se obter o valor deste fluxo de caixa utiliza-se a seguinte intuio. Imagine que voc deseja ter um investimento que possa te dar uma renda de R$ 30 infinitamente dada uma taxa de juros de 20%. Logo, no primeiro rendimento que voc tiver voc tirar a quantia de R$ 30 e reinvistir o restante para que na prxima vez que obtiver rendimento tirar 30 e novamente reinvestir o restante. Logo se voc investir 150, ao final do primeiro perodo ter o rendimento de 180 do qual poder retirar 30 e reinvestir os outros 150 infinitamente. Logo, o valor de uma perpetuidade :

Onde P= o valor presente da perpetuidade R = Rendimento requerido I = taxa de desconto

J a frmula de Gordon usada para calcular o valor de um investimento supondo que o valor do fluxo de caixa do investimento crescer infinitamente a uma taxa g. Ou seja, suponha que uma empresa crescer infinitamente a uma taxa de 10% e que o seu fluxo de caixa inicial de R$ 10. Atravs da frmula de Gordon possvel calcular o valor presente desta empresa.

A frmula de Gordon :

Onde: P = valor presente do investimento = Fluxo de Caixa inicial i = taxa de desconto g = taxa de cresimento do fluxo de caixa

Exemplo 5Imagine que voc possue duas opes de investimento, A e B, cujo o preo das aes so iguais. A empresa A possuir sempre um fluxo de caixa de R$ 20, j a empresa B possuir um fluxo de caixa inicial de R$ 8, entretanto espera-se que ela cresa sempre a uma taxa de 5%. Dada uma taxa de desconto de 10%, utilize os mtodos de perpetuidades e frmula de Gordon e decida em qual empresa investir.

Dados: Ra = R$ 20 e FC0 = R$ 8, d = 10%

Para se decidir em qual empresa investir iremos calcular o valor de cada uma, logo a que possuir um valor maior dever ser a escolha de investimento.

O valor da empresa A, segundo perpetuidades :

O valor da empresa B seghundo a frmula de Gordon :

Resposta: Logo, como Va>Vb, o investimento deve ser feito na empresa A.

Referncias Bibliogrficas

ASSAF NETO, A. Finanas Corporativas e Valor, 4 ed. So Paulo: Editora Atlas, 2009.

SAMANEZ, C. P. Matemtica Financeira, 5 ed, So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.

DAMODARAN, A. Damodaran on Valuation, 2 ed, Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc., 2006.

Equipe

Lucas Eduardo Veras Costalucas.costa@econsult.org.brConsultor

Luiz Henrique da Silva Oliveiraluiz.henrique@econsult.org.brConsultor

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