apostila matfin v5

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO.....................................................................................................................41 FUNDAMENTOS E SIMBOLOGIA DA MATEMÁTICA FINANCEIRA.................6

1.1 Objetivos de Aprendizagem.....................................................................................71.2 O Valor do Dinheiro no Tempo...............................................................................71.3 Valor Presente..........................................................................................................91.4 Período...................................................................................................................101.5 Taxa de Juros e Juro...............................................................................................101.6 Diagrama de Fluxo de Caixa..................................................................................121.7 Regras Básicas da Matemática Financeira.............................................................161.8 Simbologia Comparativa........................................................................................171.9 Checando a Aprendizagem....................................................................................181.10 Aplicando Seus Conhecimentos.............................................................................191.11 Resolvendo Exercícios...........................................................................................19

2 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES...............................................................202.1 Objetivos de Aprendizagem...................................................................................202.2 Capitalização Simples............................................................................................212.3 Equivalência de Capitais a Juros Simples..............................................................252.4 Desconto Simples...................................................................................................27

2.4.1 Comercial ou Bancário ou “Por fora”................................................................282.4.2 Racional ou “Por dentro”...................................................................................30

2.5 Checando a Aprendizagem....................................................................................322.6 Aplicando Seus Conhecimentos.............................................................................332.7 Resolvendo Exercícios...........................................................................................33

3 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA................................................................................373.1 Objetivos de Aprendizagem...................................................................................373.2 Capitalização Composta.........................................................................................383.3 Equivalência de Capitais a Juros Compostos.........................................................443.4 Desconto Composto Racional................................................................................453.5 Checando a Aprendizagem....................................................................................463.6 Aplicando Seus Conhecimentos.............................................................................473.7 Resolvendo Exercícios...........................................................................................47

4 TAXAS.........................................................................................................................494.1 Objetivos de Aprendizagem...................................................................................504.2 Fundamentos Básicos.............................................................................................504.3 Taxa Nominal, Taxa Efetiva e Taxa Equivalente..................................................514.4 Taxa de Inflação, Taxa Real e Taxa Aparente.......................................................534.5 Selic........................................................................................................................54

4.5.1 Definição........................................................................................................554.5.2 Metodologia de Cálculo.................................................................................554.5.3 Comentários...................................................................................................564.5.4 Divulgação.....................................................................................................564.5.5 Simulação do cálculo da taxa Selic................................................................57

4.6 Tópico sobre Formação de Juros...........................................................................594.7 Checando a Aprendizagem....................................................................................60

1

4.8 Aplicando Seus Conhecimentos.............................................................................614.9 Resolvendo Exercícios...........................................................................................61

5 CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA.................................................................................645.1 Objetivos de Aprendizagem...................................................................................645.2 Capitalização Contínua ou Infinitesimal................................................................655.3 Comparando os Regimes de Juros.........................................................................695.4 Checando a Aprendizagem....................................................................................705.5 Aplicando Seus Conhecimentos.............................................................................705.6 Resolvendo Exercícios...........................................................................................70

6 SÉRIES DE PAGAMENTOS .......................................................................................766.1 Objetivos de Aprendizagem...................................................................................766.2 Séries Uniformes....................................................................................................77

6.2.1 Séries postecipadas.........................................................................................776.2.2 Séries antecipadas..........................................................................................816.2.3 Séries diferidas...............................................................................................82

6.3 Séries Periódicas Uniformes Crescentes................................................................856.4 Perpetuidades.........................................................................................................866.5 Séries Variáveis......................................................................................................876.6 Sistemas de Amortização de Empréstimos............................................................88

6.6.1 Tabela PRICE.................................................................................................896.6.2 Sistema de Amortização Constante................................................................906.6.3 Sistema de Amortização Mista (SAM)..........................................................926.6.4 Sistema Americano.............................................................................................936.6.5. Comparando os sistemas de amortização.......................................................93

6.7 Checando a Aprendizagem....................................................................................946.8 Aplicando Seus Conhecimentos.............................................................................946.9 Resolvendo Exercícios...........................................................................................94

7 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS............................................................................1067.1 Objetivos de Aprendizagem.................................................................................1097.2 Valor Presente Líquido (VPL).............................................................................1097.3 Taxa Interna de Retorno (TIR).............................................................................1127.4 Taxa Interna de Retorno Modificada (TIRM)......................................................1157.5 Período Payback ..................................................................................................1177.6 Índice de Lucratividade (IL) e Taxa de Rentabilidade (TR)................................1187.7 Checando a Aprendizagem..................................................................................1197.8 Aplicando Seus Conhecimentos...........................................................................1207.9 Resolvendo Exercícios.........................................................................................120

8 PRINCIPAIS FÓRMULAS/RELAÇÕES E TÓPICOS REFERENTES AO USO DA HP 12C©.....................................................................................................................124

8.1 Quadro-Resumo das Principais Fórmulas Estudadas...........................................1248.2 Tópicos básicos sobre a calculadora HP 12C©...................................................125

GLOSSÁRIO.....................................................................................................................133BIBLIOGRAFIA SUGERIDA..........................................................................................135

2

INTRODUÇÃO

A MATEMÁTICA FINANCEIRA tem por objeto o estudo do dinheiro em função do

tempo. Atualmente, o cálculo financeiro e a análise de investimentos são ferramentas

imprescindíveis para a tomada de decisões e a gestão financeira tanto das empresas

como das pessoas. Em outras palavras, é fato que ter habilidade para lidar com cálculos

e investimentos é, hoje em dia, um requisito fundamental no cotidiano das pessoas e das

empresas.

Esta apostila, que aborda os principais temas relacionados com a MATEMÁTICA

FINANCEIRA, cobre os seguintes tópicos, que constituem a ementa da disciplina de

mesmo nome:

Juros simples e juros compostos;

Tipos de taxas de juros (nominais e efetivas, aparentes e reais);

Efeito da inflação;

Descontos;

Sistemas de amortização;

Planos de financiamento;

Orçamento de capital;

Avaliação de alternativas para a tomada de decisão de aplicação de capital;

Payback simples e descontado;

Valor presente líquido (VPL) e taxa interna de retorno (TIR);

Índice de lucratividade.

Esses temas foram agrupados em seis capítulos centrais, além de um capítulo de revisão

das principais fórmulas e de tópicos referentes ao uso do da HP 12C©. No primeiro

capítulo, são apresentados o objeto de estudo, os fundamentos, os conceitos básicos e a

simbologia da MATEMÁTICA FINANCEIRA. Esse capítulo é importante para que o

aluno entenda a relevância do estudo dessa disciplina e para que ele entre em contato

com a linguagem utilizada na MATEMÁTICA FINANCEIRA. Tomou-se o devido

cuidado de utilizar-se toda a simbologia da HP 12C© por acreditar-se que essa

ferramenta será fundamental na vida profissional do aluno; além disso, é apresentado,

3

ao final desse primeiro capítulo, um quadro-resumo em que são sintetizadas as diversas

nomenclaturas e simbologias empregadas por outros autores. No segundo capítulo, são

descritos e discutidos a capitalização simples e os descontos. Aqui, o aluno conhecerá,

dentre outras, as operações de desconto de títulos de crédito de curto prazo, práticas que

realmente ocorrem no mercado financeiro em se tratando de capitalização linear. Uma

vez compreendida a capitalização simples, passa-se, no capítulo três, à capitalização

composta: são explicitados os conceitos e os cálculos referentes a essa capitalização

para que o aluno entenda o efeito exponencial do dinheiro em função do tempo. Já no

quarto capítulo, dá-se espaço a uma discussão mais aprofundada sobre taxas de inflação

(efetiva, nominal, proporcional e linear) e Selic (aparente, real e equivalente). No quinto

capítulo, retoma-se a capitalização – dessa vez contínua –, que demanda um

conhecimento prévio de taxa nominal e taxa efetiva. No sexto capítulo, são abordadas as

séries de pagamentos uniformes e diferidas antecipadas e postecipadas, além dos

principais sistemas de amortização utilizados. E, no sétimo capítulo, discorre-se sobre a

análise de investimento, assunto ápice de todo o estudo anterior, haja vista que os

tópicos tratados nos outros capítulos deságuam para dar base a essa análise. Seria, de

forma geral, o assunto mais importante (embora de maior complexidade), no qual há

necessidade de conhecer-se todos os conceitos, técnicas, recursos (como HP 12C© e

MS Excel©) para que se tenha bom desempenho. Todos esses sete capítulos centrais são

introduzidos por um caso que, além de colocar o aluno em contato com situações reais,

demanda uma compreensão mais aprofundada dos conceitos e dos cálculos a serem

abordados e também são encerrados com sugestões de leitura e com várias questões

abertas para uma maior solidificação do conhecimento desenvolvido no capítulo. Além

disso, sempre que aplicável, são apresentados todos os procedimentos envolvidos no

uso do MS Excel© e da HP 12C© para a resolução de problemas financeiros. Ao final

dos sete capítulos, também consta um glossário, em que são explicitados os principais

conceitos abordados ao longo desta apostila, que podem ser úteis no dia a dia financeiro,

além de uma bibliografia com as principais obras relacionadas à MATEMÁTICA

FINANCEIRA.

4

1 FUNDAMENTOS E SIMBOLOGIA DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

Luiz, que acabara de tirar carteira, estava louco por um carro usado que estava sendo

vendido pelo valor de R$ 20.000,00. Segundo ele, era um grande negócio: o carro tinha

menos de dois anos de idade, era completo e tinha baixa quilometragem! No entanto

Luiz tinha apenas R$ 4.000,00 em mãos e resolveu procurar um empréstimo bancário.

Estava tão afoito que entrou no site de um banco e fez a simulação do financiamento.

Considerando que Luiz já tinha R$ 4.000,00, a simulação retornou às colunas 1, 2 e 3 da

tabela abaixo e Luiz calculou sozinho os valores dispostos na quarta coluna.

Prazo (meses) Valor da parcela Juros (% a.m.) Total pago

48 R$ 589,33 2,6178% R$ 28.287,84

36 R$ 691,28 2,6141% R$ 24.886,08

24 R$ 907,75 2,6325% R$ 21.789,00

12 R$ 1.583,54 2,7504% R$ 19.002,48

6 R$ 2.951,98 2,9839% R$ 17.771,88

Luiz não conseguiu entender não apenas por que os valores das taxas de juros eram tão

diferentes dependendo do prazo, mas tampouco por que o valor total pago ao final seria

tão mais elevado que o empréstimo de R$ 16.000,00.

Conforme você poderá entender ao final desta apostila, não é à toa que os juros têm

valores diferentes. Além disso, você vai entender que somar os valores das parcelas e

comparar com o valor inicial, como fez Luiz, não é algo tão simples assim; afinal, as

quantias não estão na mesma data!

De qualquer forma, você está convidado a mergulhar no mundo da Matemática

Financeira! Ao final desse estudo, que abrangerá seis capítulos desta apostila, retome o

caso de Luiz: você, certamente, vai entender todos os números da tabela acima e

5

constatar que a Matemática Financeira não é um bicho de sete cabeças. Na verdade, ela

faz parte do nosso dia-a-dia e domá-la é a melhor receita para ter sucesso, seja na

empresa, seja na vida pessoal.

1.1 Objetivos de Aprendizagem

Neste capítulo, os objetivos de aprendizagem são:

1. Entender o valor do dinheiro no tempo;

2. Compreender os conceitos de capital, taxa de juros e juros, e fluxo de caixa;

3. Entrar em contato com as regras básicas da Matemática Financeira.

Após ler atentamente o conteúdo deste capítulo, você certamente terá uma noção mais

sólida e bem orientada da Matemática Financeira.

1.2 O Valor do Dinheiro no Tempo

Para começar a compreender a Matemática Financeira, é necessário, antes de mais nada,

entender o valor do dinheiro no tempo. E isso não é difícil! Veja um exemplo: seu

amigo pede-lhe emprestado R$ 100,00 e só lhe paga seis meses depois esses mesmos

R$ 100,00. Será que R$ 100,00 hoje tem o mesmo valor que R$ 100,00 daqui a seis

meses?

A resposta, obviamente, é não. Se você tivesse deixado R$ 100,00 na poupança, esse

valor teria sido maior dentro de seis meses. Ou ainda, se você tivesse utilizado esses

R$ 100,00 para comprar diversos itens de uma cesta básica hoje, você, muito

provavelmente, não conseguiria comprar esses mesmos itens daqui a seis meses por um

valor igual a R$ 100,00, pois há de considerar-se a inflação do período.

6

Essa ideia de variação do valor do dinheiro no tempo está esquematizada na figura a

seguir.

Observe, pela figura, que a semirreta que corresponde ao valor inicial é, após um dado

período, menor que a semirreta que corresponde ao valor final. Nesse esquema, o valor

inicial é uma quantia recebida, e o valor final é uma quantia paga. Esse seria, por

exemplo, o caso de um empréstimo bancário tomado sob a óptica daquele que pede o

dinheiro (uma pessoa ou empresa). No entanto você pode modificar as direções das

semirretas, se pensar sob a óptica do próprio banco: o valor inicial seria o valor

emprestado, e o valor final seria o valor pago ao final do prazo acordado.

Além disso, esse esquema mostra o caso de um valor tomado inicialmente e pago

somente ao final de determinado tempo. No entanto, como já visto no caso do

empréstimo simulado por Luiz no início deste capítulo, o pagamento pode ocorrer em

diversas parcelas, que, sozinhas, são menores que o valor inicial, mas, ao todo, somam

mais que o valor inicial (lembrando, porém, que se trata de uma soma de quantias

registradas em datas diferentes!).

7

Tempo

Valor inicial

Valor final

Observe, na figura acima, que o pagamento é efetuado por meio de diversas parcelas, as

quais podem ser de igual valor (parcelas fixas) ou com valores distintos.

Tanto na primeira como na segunda figura, já é possível abstrair quais são os principais

conceitos da Matemática Financeira, a saber: o valor inicial, o tempo, o valor final e o

que faz esse valor inicial ser diferente após determinado período. Em outras palavras, o

valor inicial é o valor presente, o tempo é o período, o valor final é o valor futuro, e o

que faz esse valor inicial aumentar é a taxa de juros. Essa linha de tempo, que tem

entrada e saída de capital reguladas por uma taxa de juros, constitui o que chamamos de

diagrama de fluxo de caixa. Esses conceitos serão abordados nas próximas seções deste

capítulo juntamente com os símbolos que os representarão ao longo deste livro. É

importante frisar que, dependendo do autor ou do recurso utilizado para operações

financeiras (e.g., HP 12C© ou MS Excel©), essa simbologia pode ser diferente.

Portanto, para ter um panorama dessas diferentes simbologias, são apresentadas, no

Capítulo 8, as principais fórmulas e relações aplicadas à Matemática Financeira.

1.3 Valor Presente

Também chamado de capital ou valor atual e representado por PV, o valor presente

corresponde a qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época.

Em outras palavras, o capital é o valor inicial que é tomado ou emprestado em um dado

período. No caso de Luiz, por exemplo, o capital é o valor de R$ 16.000,00 que ele quer

pedir emprestado junto ao banco. Ou então, se você compra uma TV LCD 32” no valor

de R$ 2.000,00 para pagar em doze parcelas com 1.0% a.m. de juros, sem entrada, o

8

Valor inicial

PERÍODO

Parcelas

capital corresponde aos R$ 2.000,00, que é o valor total da TV. Se você der uma entrada

de R$ 200,00 os juros vão incidir sobre R$ 1.800,00, os quais, então, passam a ser o

capital dessa transação.

1.4 Período

O período, representado por n, é o prazo (ou a quantidade de tempo), previamente

acordado e, em geral, calculado em meses ou anos, para pagar-se o valor tomado ou

receber o valor emprestado. Normalmente, quanto mais tempo demora-se para pagar

uma dívida ou quanto mais prazo dá-se para o pagamento de um empréstimo, maior é o

risco da transação. Devido a esse impacto do tempo no grau de risco de uma transação,

é possível que, em determinados casos, sejam cobradas taxas de juros diferentes,

dependendo do prazo dado para pagamento. Ou ainda, devido a esse impacto, é que se

observa a existência de um tempo máximo para pagamento de determinada operação ou

ainda a solicitação de garantias perenes (como um imóvel ou automóvel) de que o

acordo será mantido dentro do período acordado.

1.5 Taxa de Juros e Juro

A taxa de juros, representada por i, consiste na razão entre os juros recebidos (ou pagos)

ao final de um período de tempo e o capital inicialmente aplicado (ou emprestado). Já o

juro, representado por J, constitui a remuneração que incide sobre o capital emprestado.

De forma mais simplificada, pode-se dizer que o juro corresponde ao aluguel pago pelo

uso do dinheiro alheio.

Possuir recursos quer dizer ser capaz, dentre outras coisas, de comprar bens de consumo

ou serviços, adquirir bens de produção, comprar imóveis para uso próprio ou para

revenda, emprestar a terceiros, adquirir títulos de renda fixa ou variável, manter uma

poupança para enfrentar “eventualidade” ou guardar à espera de melhor oportunidade de

uso. No caso específico de quem se dispõe a emprestar esses recursos, avalia-se, além

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das diversas outras aplicações que deixarão de ser implementadas de imediato, os

seguintes fatores:

1. Risco: corresponde à possibilidade ou à probabilidade de aquele que empresta

não resgatar o dinheiro (ou pensando sob outro ângulo, a possibilidade ou a

probabilidade de aquele que pede emprestado não pagar o valor devido).

2. Despesas: refere-se, grosso modo, a todos os gastos operacionais, contratuais e

tributários envolvidos na formalização do empréstimo e na efetivação da

cobrança.

3. Inflação: consiste no índice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda

previsto para o prazo do empréstimo (em geral, significa o mínimo, além das

despesas, que deverá ser cobrado sobre o valor emprestado para que o capital

emprestado hoje tenha valor similar no futuro).

4. Ganho (ou lucro): é uma importância fixada em função das demais

oportunidades de investimentos (“custo de oportunidade”), ou seja, é uma

quantia que, além de superar a desvalorização da inflação, visa a recompensar a

privação que aquele que tem recursos sofre por dispor de seu capital para

terceiros.

A soma desses quatro fatores implica que a receita aferida com os juros deve ser

suficiente para cobrir o risco, as despesas e a perda do poder aquisitivo do capital

emprestado, além de proporcionar certo lucro ao dono do recurso emprestado.

A despeito desses fatores, verifica-se, no mundo financeiro atual, que muitas aplicações

resultam em taxas negativas de juros, quando considerado o efeito inflacionário,

sobretudo nos países cujos preços internos têm sido elevados de forma mais acentuada.

Não obstante, cumpre lembrar que, na falta de melhor opção, o mais aconselhável e

óbvio é aplicar recursos a taxas negativas (sofrendo um pequeno prejuízo) que deixar de

aplicar e, obviamente, sofrer um prejuízo muito maior.

Além desses fatores, deve-se apontar também o fato de que a taxa de juros é

influenciada pelo uso que será feito dos recursos emprestados por parte daquele que

10

toma o empréstimo. Em geral, quanto maior o grau de premência desses recursos, maior

pode ser o valor da taxa de juros.

1.6 Diagrama de Fluxo de Caixa

Como já apontado, o diagrama de fluxo de caixa é uma representação gráfica que

consiste em uma linha de tempo com eventos financeiros (ou seja, entrada e saída de

caixa) regulados por uma taxa de juros.

Veja um exemplo:

O que esse diagrama nos diz?

Esse diagrama pode representar, por exemplo, seis depósitos iguais mensais e

consecutivos no valor de R$ 100,00 em uma conta-investimento que os remunera à taxa

de 2,5% a.m. Nesse caso, quer-se saber qual seria o valor acumulado (valor futuro) ao

final do período.

Esse fluxo de caixa também pode ser representado na forma de tabela.

Veja:

11

Período Valor ($)

0 0

1 100

2 100

3 100

4 100

5 100

6 100

FV ?

Para calcular-se esse valor futuro (FV) no MS Excel©, basta selecionar a função VF e

preencher os campos como mostra a figura a seguir.

Observe que o resultado do cálculo é R$ 638,77.

Para fazer esse mesmo cálculo na HP 12C©, basta fazer o seguinte:

f FIN 6 n 2.5 id 100 CHS PMT FV

12

No visor, encontra-se, então, o resultado 638,77, que é idêntico ao verificado no

MS Excel©.

Ou ainda, pode-se utilizar a fórmula FV = PMT [ (( 1 + i )n - 1 ) / i ] para calcular esse

valor. Essa fórmula será explicada no Capítulo 5, quando forem abordadas as séries de

pagamentos uniformes.

É interessante observar alguns dos princípios apontados por Samanez (2007, p. 224),

quando da montagem do fluxo de caixa para a avaliação de um projeto. Veja:

1. Os fluxos de caixa devem ser estimados em base incremental, ou seja, os

únicos fluxos relevantes são aqueles decorrentes da aceitação do projeto. Por

exemplo, um imóvel alugado por uma empresa afeta o fluxo de caixa somente

no valor referente ao débito mensal (o valor do aluguel). O valor do imóvel,

embora esteja em poder da empresa, não afeta o fluxo de caixa.

2. Os efeitos fiscais (economias de imposto) e de depreciação, bem como

quaisquer outros efeitos derivados da aceitação do projeto, devem ser

considerados. Deve-se considerar, por exemplo, que a depreciação e os

impostos vão reduzir a riqueza de uma empresa.

3. Os efeitos derivados do projeto devem ser incluídos (impacto do projeto em

outros setores da empresa). Por exemplo, o lançamento de mais de uma linha

de produto pode retirar vendas de um produto já fabricado pela empresa.

Assim, para saber o real impacto dessa nova linha de produto na empresa,

deve-se considerar o lucro incremental da empresa como um todo.

4. Os custos passados já gastos (custos afundados ou custos irrecuperáveis) não

serão recuperados, se o projeto não for empreendido. Como não são valores

incrementais, esses custos não devem constar no fluxo de caixa. Por exemplo,

uma empresa investiu R$ 1.000.000,00 em pesquisa e desenvolvimento

(P&D) para lançar um produto. Concluídas as pesquisas, foi constatado que o

produto apresenta um defeito irreversível e, portanto, não será fabricado. Com

isso, a empresa incorreu em um custo irrecuperável.

13

5. Os custos não indiretamente atribuídos ao projeto devem ser alocados

somente, se forem incrementais, ou seja, se atingirem o projeto ou decorrerem

dele.

6. Os fluxos devidos ao financiamento não devem ser incluídos no fluxo de

caixa para avaliação da viabilidade econômica do investimento de capital. O

valor de um financiamento entra no caixa e, posteriormente, sai em forma de

pagamento. No entanto, os juros pagos devem ser considerados.

7. Os efeitos da inflação, nos fluxos de caixa e na avaliação, devem receber

tratamento adequado. Em outras palavras, não se pode misturar ou comparar

valores inflacionados com valores reais.

8. O valor residual ou de liquidação do projeto deve ser estimado de modo

consistente. A melhor forma de avaliar-se o valor residual é fazendo uma

pesquisa de mercado.

Além dessas regras, é importante ter em mente que todos os valores à direita de uma

data focal são valores futuros e todos os valores à esquerda dessa data são considerados

valores presentes. Outro ponto importante é destacar a diferença entre um fluxo de caixa

de investimento e um fluxo de caixa de financiamento.

O fluxo abaixo é de financiamento, pois há uma entrada de caixa, seguida de várias

saídas.

14

43210

Já o fluxo abaixo é de investimento, pois há uma saída de caixa, seguida de várias

entradas.

1.7 Regras Básicas da Matemática Financeira

Uma vez ciente dos conceitos e da simbologia básica da Matemática Financeira, é

necessário ter em mente algumas regras básicas.

1. Nunca arredondar os cálculos intermediários: somente os valores finais

podem ser arredondados; os valores intermediários, quando arredondados,

podem comprometer os resultados de forma bastante significativa.

2. Sempre desenvolver o fluxo de caixa: esse procedimento é essencial para que

se estabeleça uma linha de raciocínio e possa-se visualizar o todo sem perder-

se diante da grande diversidade de dados e da complexidade das relações entre

eles.

3. Juros incidem somente sobre o saldo devedor: parece óbvio, mas a maioria

dos erros de alunos está em desafiar essa regra, pagando juros sobre valores já

quitados (ou seja, não devidos).

4. Ao utilizar a HP 12C©, atente-se para a necessidade de acionar o “c” no visor

da calculadora (STO EEX): sem essa configuração, a calculadora desenvolve

juros compostos no período inteiro e juros simples no período simples (e.g.,

para três meses e 15 dias, a calculadora trabalha com três meses de juros

15

4321

0

compostos e 15 dias de juros simples). Voltaremos a essa questão com mais

detalhes no Capítulo 3.

5. Ao aplicar as fórmulas, todas as taxas devem estar na forma decimal. Por

exemplo, 10% correspondem a 0,1. Na HP 12C©, usa-se a taxa percentual,

sem o sinal de %. No MS Excel©, usam-se ambas as formas (lembrando-se

que, na forma percentual, é obrigatório introduzir o sinal de %).

6. Se não houver nenhuma disposição em contrário, tanto em contratos como em

exercícios, o ano será de 360 dias, o pagamento será postecipado e a

capitalização será totalmente composta (com o “c” no visor da HP 12C©).

Trata-se, pois, do ano comercial, que é diferente do ano civil, que tem 365 ou

366 dias. Tem-se ainda o ano financeiro, de 252 dias, que é aplicado, em

geral, nas operações bancárias ou financeiras, haja vista que há expediente

apenas nos dias úteis.

7. Ao utilizar o MS Excel©, atente-se para a configuração Tipo 0, que

corresponde a pagamentos postecipados (ou seja, sem entrada). Essa

configuração corresponde ao g End da HP 12C©. Do contrário, tem-se o

g Begin, na HP 12C© ou Tipo 1 no MS Excel©, que corresponde a

pagamento antecipado (isto é, com entrada).

8. Comparar valores somente na mesma data: em razão do fato de o dinheiro

desvalorizar-se com o tempo, não é possível comparar quantias em datas

distintas, ou seja, R$ 100,00 hoje não são equivalentes a R$ 100,00 amanhã,

depois de amanhã, daqui a dois dias, no mês que vem ou no próximo ano.

1.8 Simbologia Comparativa

O quadro, a seguir, mostra as diferentes simbologias e nomenclaturas utilizadas nos

mais diversos livros, apostilas e ferramentas de Matemática Financeira. Recorra a ele

sempre que necessário.

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Nom

encl

atu

ra Valor futuro

Valor presente

Taxa Período Pagamento Juros

Montante Capital Rate Tempo Parcela Juro

Acumulado Principal Prazo Prestação

Sim

bol

ogia

FV PV I N PMT J

M C r Nper PGTO I

S P m

VF VP

A

1.9 Checando a Aprendizagem

Marque no quadro a seguir os conhecimentos que você de fato adquiriu com a leitura

deste capítulo. Caso ache que algum desses conhecimentos ainda não está bem consolidado,

retome a leitura do capítulo ou consulte seu professor.

□ Você entende o valor do dinheiro no tempo.

□ Você compreende o conceito de capital.

□ Você domina o conceito de taxa de juros e juro.

□ Você domina o conceito de fluxo de caixa.

□ Você sabe as regras básicas da Matemática Financeira.

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1.10 Aplicando Seus Conhecimentos

Antigamente, era muito comum conseguir descontos no pagamento à vista de diversos

produtos. Hoje em dia, essa lógica parece não estar sendo aplicada mais: as empresas

não têm dado (às pessoas físicas) descontos no pagamento à vista, preferindo estender o

número de pagamentos sem juros e sem entrada.

A partir da noção que você adquiriu neste capítulo acerca do valor do dinheiro no

tempo, explique se, nas condições atuais, isso é, sem desconto à vista, é melhor pagar

tudo de uma vez ou parcelar a compra. Além disso, caso a melhor opção seja o

parcelamento, qual é a quantidade de parcela mais adequada do ponto de vista do

consumidor final? Fundamente a sua resposta.

1.11 Resolvendo Exercícios

DICA: As três questões que se seguem são de natureza teórica. Portanto não é

necessário encontrar o valor das variáveis.

1) Marcelo adquiriu um CDB no valor de x. Sabendo que a taxa de remuneração foi de

i % a.m. e que o resgate, após seis meses, foi de y, faça o diagrama e a tabela do

fluxo de caixa.

2) Joana abriu, no mês de fevereiro, uma conta-investimento que remunera a uma taxa

de i % a.m. Sabendo que Joana fez depósitos nos 30º, 60º, 90º e 120º dias, faça o

diagrama e a tabela dos fluxos de caixa.

3) Daniela fez um financiamento, a uma taxa de i % a.m., para comprar uma geladeira

nova no valor de x. Esse financiamento seria pago em cinco parcelas mensais iguais

e consecutivas no valor de w. Faça o diagrama e a tabela dos fluxos de caixa.

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2 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

O Sr. Igor precisou de capital de giro em sua empresa e resolveu descontar uma

duplicata no valor de R$ 2.000,00 que vence em treze meses. Ele, contudo, ficou

surpreso, quando o rapaz que lhe atendeu na factory mostrou-lhe a memória de cálculos,

considerando que a factory cobra uma taxa de 10% a.m. a juros simples.

Multiplicando a taxa de 10% a.m. (0,1) pelo período de 13 meses, tem-se 1,3. Esse valor

é, então, multiplicado pelo valor de face do título (R$ 2.000,00), obtendo-se

R$ 2.600,00. Esse seria o valor do desconto. Logo, o valor líquido a receber seria R$-

600,00 (R$ 2.000,00 – R$ 2.600,00). Em outras palavras, o Sr. Igor teria que deixar a

duplicata na empresa e ainda pagar R$ 600,00.

Verifica-se, portanto, que esse caso é absurdo, não sendo, portanto, compatível com o

mercado. O que explica essa aberração financeira é que ou a taxa é muito alta, ou o

período é muito extenso, ou ambos os casos. Isso serve, portanto, para explicar que os

descontos simples só se prestam para operações de curto prazo (ou seja, para períodos

de tempo curto).



1. Aprender o conceito e como calcular juros simples;

2. Entender o conceito e como calcular equivalência de capitais a juros simples;

3. Compreender o conceito e como calcular descontos simples.

Após ler atentamente o conteúdo deste capítulo, você saberá como e quando realizar

operações, envolvendo juros simples e descontos.

19

2.2 Capitalização Simples

A capitalização simples é um regime de capitalização em que a taxa de juros incide,

exclusivamente, sobre o capital inicial. Em outras palavras, voltando ao Capítulo 1, a

capitalização simples é aquela representada pela seguinte figura.

Para calcular os juros na capitalização simples, multiplica-se o valor presente pela taxa e

pelo período, conforme a seguinte fórmula.

J = PV in

A partir dessa fórmula de juros, pode-se encontrar o valor futuro, que nada mais é que o

valor presente mais os juros.

FV = PV + J

Desenvolvendo essa fórmula, tem-se:

FV = PV + PV in

Colocando PV em evidência, obtém-se:

FV = PV (1 + in)

20

Valor inicial

Valor final

Tempo

É bom lembrar que, para aplicar essa fórmula, o “i” e o “n” devem estar na mesma

unidade. Por exemplo, se a taxa for mensal, o período também deve ser mensal. No caso

de divergência entre as unidades, deve-se realizar uma equivalência, sabendo-se que é

mais fácil mudar o tempo (período). Logo, se tiver uma taxa de 10% a.a. e o período for

de 4 semestres, deve-se considerar o período como equivalente a dois anos.

Veja agora alguns exemplos em que se aplica essa fórmula.

1) Um valor de R$ 100,00 é aplicado por seis meses, a taxa de juros simples de

10% a.m. Calcule o montante (FV).

FV = PV (1 + in)

FV = 100 (1 + 0,1 x 6)

FV = 100 (1,6)

FV = 160

Logo, o montante é de R$ 160,00.

Cumpre observar que se pode calcular os juros simples na HP 12C©; porém a taxa deve

ser anual e o período (n) deve corresponder a dias. Veja:

f FIN 180 n 120 id 100 CHS PV F INT +

2) Uma pessoa resgatou de uma aplicação o valor de R$ 10.000,00. Sabendo-se que a

taxa de juros simples foi de 10% e que o capital ficou aplicado por cinco meses, calcule

o valor presente.

Pode-se, a partir de FV = PV (1 + in), escrever a fórmula em função de PV.

21

Fazendo-se os cálculos:

Assim, o valor presente equivale a R$ 6.666,67.

3) Lucas resgatou de uma aplicação o valor de R$ 1.000,00. Sabendo-se que a taxa de

juros simples foi de 10% e que o valor inicial era de R$ 800,00, calcule por quanto

tempo o dinheiro de Lucas ficou aplicado.

Novamente, pode-se, a partir de FV = PV (1 + in), escrever a fórmula em função de n.

Substituindo-se os valores apresentados no problema:

22

Por conseguinte o dinheiro de Lucas ficou aplicado por 2,5 meses.

4) Após cinco meses, Marcela resgatou de uma aplicação o valor de R$ 12.000,00.

Sabendo-se que ela havia aplicado inicialmente R$ 10.000,00, calcule a taxa de juros

simples dessa aplicação.

Mais uma vez, pode-se, a partir de FV = PV (1 + in), escrever a fórmula em função de i.

23

Substituindo-se os valores na fórmula:

Assim, constata-se que a taxa foi de 4% a.m. a juros simples.

2.3 Equivalência de Capitais a Juros Simples

Dois capitais são equivalentes quando têm o mesmo valor em uma determinada data de

avaliação (ou data focal). É importante destacar que, no caso dos juros simples, a

mudança da data focal necessariamente muda o valor encontrado. Essa questão pode ser

pensada também da seguinte forma: dois ou mais capitais representativos de uma data

qualquer são equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, produzem resultados iguais

numa data comum (ou data focal).

Veja um exemplo:

A uma taxa de juros simples de 15%, tem-se que R$ 115,00 vencíveis daqui a um ano e

R$ 100,00 de hoje são equivalentes. Explica-se: os R$ 100,00 de hoje, capitalizados,

produziriam exatamente R$ 115,00 dentro de um ano; ou então, os R$ 115,00, do final

do primeiro ano, resultariam em R$ 100,00 se atualizados para hoje. Em outras

24

palavras, ambos os capitais produzem, numa data de comparação (data focal) e à taxa de

15% ao ano, resultados idênticos.

Veja um segundo exemplo:

Alexandre tem os seguintes compromissos a pagar: R$ 2.000,00 daqui a três meses e

R$ 2.500,00 daqui a oito meses. Ele deseja trocar esses débitos por dois pagamentos

iguais (um para 10 meses e outro para 15 meses). Calcule o valor desses pagamentos,

considerando uma taxa de juros simples de 10% a.m.

Graficamente, pode-se visualizar os dados desse problema da seguinte forma:

Fluxo 0 3 8 10 15 mesesdata focal

2.000/(1+0,10x3)2.000

2.500/(1+0,10x9)

2.500X/(1+0,10x10)

X/(1+0,10x15)X X

Observe que, pelo princípio da equivalência de capitais, deve-se eleger uma data focal,

trazer, para ela, todos os valores do fluxo de caixa e, só então, efetuar as operações

nessa data (seja igualando-os, somando-os ou subtraindo-os e assim por diante).

No caso desse exemplo, deve-se trazer todos os valores para a data 0. Em outras

palavras, os valores de R$ 2.000,00 e de R$ 2.500,00, assim como os valores de X

(referentes aos meses 10 e 15), devem ser trazidos para a data zero. A partir de então,

pode-se proceder aos cálculos, como segue, em que os valores equivalentes do 3º e do

8º meses são igualados aos valores equivalentes do décimo e do décimo quinto meses.

25

Logo, os pagamentos a serem efetuados no 10º e no 15º meses são no valor de

R$ 3.252,61.

Alem disso, cumpre destacar que, no regime de capitalização simples, a taxa varia

linearmente em função do tempo. Assim sendo, quando se quer converter uma taxa

diária em mensal, basta multiplicar essa taxa por 30 e, quando se deseja converter uma

taxa mensal em anual, basta multiplicar essa taxa por 12. Caso se deseje o contrário, sair

de uma taxa referente a um período maior por outro menor, basta dividir pelos mesmos

valores.

2.4 Desconto Simples

O desconto consiste em um abatimento que se faz, quando um título de crédito é

resgatado antes do seu vencimento. A modalidade de desconto simples apresenta ampla

aplicação nas operações bancárias de curto prazo. Nesse caso, o banco, naturalmente,

libera uma quantia menor do que o valor inscrito no título (valor nominal). A diferença

entre o valor nominal e o valor líquido pago ao portador do título é o que se chama de

desconto.

O desconto pode ser representado pelo seguinte diagrama.

26

O valor futuro (FV) é o valor que você tem direito de receber no vencimento (n). No

entanto, se houve antecipação no recebimento, haverá um “sacrifício”, que é o valor

desconto. Em outras palavras, receber-se-á um valor menor, como se pode perceber na

diferença entre as semirretas que correspondem a PV e a FV.

Existem duas modalidades de desconto: o desconto racional simples ou “por dentro”,

que incide sobre o PV, e o desconto comercial simples ou “por fora”, que incide sobre o

FV. Essas modalidades serão discutidas nas seções a seguir.

2.4.1 Desconto Comercial ou Bancário ou “Por fora”

O desconto comercial corresponde à forma como o desconto é comumente realizado no

mercado.

Veja um exemplo.

Suponha um título de crédito de R$ 100,00 que será descontado comercialmente um

mês (período n) antes de seu vencimento à taxa de 10% a.m. Para calcular o desconto,

utiliza-se a seguinte convenção:

27

Taxa de desconto comercial = d = 10% a.m.

Desconto comercial = Dc = ?

n = período = 1

Valor do título = FV = valor do resgate = valor de face = valor nominal = valor futuro R$100,00

PVc = valor descontado = valor líquido (a receber após o desconto) = ?

Com essa convenção, calcula-se o desconto comercial pelas seguintes fórmulas:

Dc = FV – PVc ou Dc = FVdn

Juntando-se as duas fórmulas, obtém-se:

FVdn = FV – PVc

PVc = FV – FVdn

Logo obtém-se a seguinte fórmula:

PVc = FV(1 – dn)

Substituindo-se os valores de acordo com o problema dado, encontra-se:

28

Logo o valor a receber, após o desconto é de R$ 90,00 e, por conseguinte, o desconto é

de R$ 10,00.

2.4.2 Desconto Racional ou “Por dentro”

O desconto racional não é realizado no mercado, mas serve para verificar a taxa real de

uma operação de desconto.

Veja um exemplo, considerando o mesmo título de crédito de R$ 100,00 da seção

anterior. Esse título será descontado racionalmente um mês (período n) antes de seu

vencimento à taxa de 10% a.m.

Taxa de desconto racional = i = 10% a.m.

Valor descontado = valor líquido a receber = PVr = ?

Desconto racional = Dr = ?

Para calcular o desconto racional, utilizam-se as fórmulas:

Dr = FV – PVr ou Dr = PVrin

Juntando-se as fórmulas, obtém-se:

FV = PVr(1+in)

Logo:

PVr =FV/(1+in)

Substituindo-se os valores, de acordo com o problema dado, encontra-se:

29

Relação entre Desconto Comercial e Racional

FV é o valor de face, ou valor nominal, ou valor de resgate do título nas duas

modalidades de desconto;

Se i=d, temos PVc < PVr e Dc > Dr;

Se PVr =PVc, temos i > d e Dc = Dr;

O PV está contido em FV, pois, normalmente, o valor futuro ou montante é

maior que o valor presente ou principal. Logo “por fora” refere-se ao FV e “por

dentro” ao PV;

Taxa efetiva de desconto linear é o mesmo que taxa de desconto racional;

Títulos de crédito: nota promissória, cheque, duplicata, letra de câmbio e outros;

30

Boleto bancário não é duplicata;

Relação entre as taxas de desconto comercial e racional;

PVc = FV(1 – dn) e PVr =FV/(1+in), Se PVc = PVr, então as taxas i e d serão

diferentes. Logo, temos FV(1 – dn) = FV/(1+in).

Explicitando i

i = d/(1 – dn)

Explicitando d

d = i/(1 + in)


Marque no quadro a seguir os conhecimentos que você de fato adquiriu com a leitura deste

capítulo. Caso ache que algum desses conhecimentos ainda não está bem consolidado, retome

a leitura do capítulo ou consulte seu professor.

□ Você entende o conceito e sabe como calcular juros simples.

□ Você sabe calcular equivalência de capitais a juros simples.

□ Você sabe em que casos ocorrem e como calcular descontos

simples.

31


A partir dos exemplos mostrados nas subseções 2.4.1 e 2.4.2, explique por que o

desconto bancário é diferente do desconto racional.

2.7 Resolvendo Exercícios (obs: data focal = última data do enunciado)

1) Ao aplicar R$ 80.000,00, durante 17 meses, são resgatados R$ 140.000,00. Qual é a

taxa anual de juros simples obtida na operação?

2) Em quantos meses um capital de R$ 28.000,00, aplicado à taxa de juros simples de

48% a.a., produz um montante de R$ 38.080,00?

3) Um capital aplicado transformou-se em R$ 13.000,00. Considerando uma taxa de

juros simples de 42% a.a. e uma remuneração de R$ 4.065,29, determine o prazo da

aplicação.

4) Um capital de R$ 135.000,00 transformou-se em R$ 180.000,00 após 44 dias de

aplicação. Calcule a taxa de juros obtida na operação.

5) Um capital de R$ 4.500,00 foi dividido em três parcelas que foram aplicadas pelo

prazo de um ano: a primeira, a juros simples de 4% a.t.; a segunda, a juros simples

de 6% a.t.; e a terceira, a juros simples de 10% a.t. Sabendo que o rendimento da

primeira parcela é de R$ 160,00 e que o rendimento das três parcelas totaliza

R$ 1.320,00, calcule o valor de cada parcela.

6) Um capital acrescido de seus juros de 21 meses soma R$ 156.400,00. O mesmo

capital diminuído de seus juros de nove meses é reduzido a R$ 88.400,00. Calcule o

capital e a taxa de juros simples obtida.

7) Dois capitais, um de R$ 2.400,00 e outro de R$ 1.800,00, foram aplicados a uma

mesma taxa de juros simples. Calcule a taxa, considerando que o primeiro capital

rendeu, em 48 dias, R$ 17,00 a mais que o segundo em 30 dias.

32

8) Um capital foi aplicado a juros simples de 42% a.a. durante 50 dias. Calcule o

capital, sabendo que, se a diferença entre ele e os juros obtidos fosse aplicada à

mesma taxa, haveria um rendimento de R$ 988,75 em um trimestre.

9) Aplicado a juros simples pelo prazo de um ano, um capital transformou-se em

R$ 13.000,00. Esse montante foi reaplicado por mais dois anos a uma taxa 20%

maior que a obtida na primeira aplicação, obtendo-se um montante final de

R$ 22.360,00. Calcule o valor do capital inicialmente aplicado e a taxa de juros ao

ano à qual foi aplicado.

10) Uma pessoa levantou um empréstimo de R$ 3.000,00 a juros simples de 18% a.a,.

para ser liquidado daqui a 270 dias. Se a pessoa amortizar R$ 1.000 no 75º dia,

quanto deverá pagar na data de vencimento para liquidar a dívida?

11) Uma empresa tem duas dívidas a pagar: a primeira, de R$ 2.500,00, contratada a

juros simples de 2.5% a.m., vence em 45 dias; e a segunda, de R$ 3.500,00 a juros

simples de 3% a.m., vence em 90 dias. Calcule a quantia necessária para liquidar

ambas as dívidas no 180º dia, considerando que, no 30º dia, a primeira dívida foi

amortizada com R$ 1.500,00 e, no 60º dia, a segunda foi amortizada com

R$ 3.000,00.

12) Uma pessoa tem duas dívidas a pagar: a primeira, de R$ 1.000,00, vence em 45 dias;

e a segunda, de R$ 3.500,00, vence em 120 dias. Pretende-se liquidar as dívidas por

meio de dois pagamentos iguais com vencimentos no 90º e 180º dia,

respectivamente. Calcule o importe de cada pagamento, se ambas as dívidas foram

contratadas a juros simples de 2% a.m.

13) No dia 26 de maio, foi contratado um empréstimo de R$ 7.000,00 a juros simples de

24% a.a,. para ser totalmente liquidado em 90 dias. No dia 16 de junho, foram

amortizados R$ 3.000,00 e, no dia 11 de julho, foram amortizados R$ 2.500,00.

Determine a data de vencimento da dívida e a quantia que deverá ser paga naquela

data para liquidá-la.

14) Hoje uma pessoa tem duas dívidas: a primeira, de R$ 8.000,00, vence em 36 dias; e

33

a segunda, de R$ 12.000,00, vence em 58 dias. Propõe-se a pagá-las por meio de

dois pagamentos iguais dentro de 45 e 90 dias, respectivamente. A juros simples de

24% a.a., calcule o valor de cada pagamento.

15) Resolva o exercício anterior tomando como data focal o 45º dia.

16) Uma duplicata de R$ 180.000,00 é descontada quatro meses antes de seu

vencimento. Considerando uma taxa simples de 60% ao semestre, calcule o valor do

desconto e o valor liberado nas modalidades de desconto racional e de desconto

comercial.

17) Considerando que um banco aplica uma taxa simples de desconto de 15% a.m. e

libera R$ 18.900,00 no desconto comercial de um título com vencimento para três

meses, calcule o valor de resgate e a taxa de desconto efetiva linear.

18) A diferença entre o valor de um desconto comercial e o valor de um desconto

racional simples é de R$ 50.000,00. Considerando que o prazo de antecipação é de

oito meses e que a taxa simples é de 30% a.a, calcule o valor de resgate do título.

19) Uma duplicata de R$ 880.000,00 foi descontada comercialmente oito meses antes

do vencimento. Considerando uma taxa de desconto efetiva linear da operação de

145% a.a, calcule o valor liberado pelo banco.

20) Um título de R$ 240.000,00 foi descontado 43 dias antes do vencimento pelo

desconto comercial simples, aplicando-se uma determinada taxa de desconto.

Considerando uma taxa de desconto efetiva linear da operação de 6% a.m, calcule o

valor liberado.

21) Admita-se que uma duplicata tenha sido submetida a dois tipos de descontos: no

primeiro caso, a juros simples e à taxa de 10% a.a, com vencimento em 180 dias e

desconto por fora; no segundo caso, com desconto por dentro, mantendo as demais

condições. Sabendo-se que a soma dos descontos, por fora e por dentro, foi de

R$ 635,50. Qual o valor nominal do título?

34

GABARITO

1) 52,94% a.a.

2) 9 meses

3) 13 meses

4) 22,73% a.m.

5) J1=FV1-PV1 FV1=PV1(1+in) J2+J3=1160 PV2+PV3=3500 1000,00; 1500; 2000

6) 156.400=PV+J 88.400=PV-J 108.800 e 25% a.a.

7) 10% a.a. J=PVin

8) J1=PV1*0,0012*50 988,75=(PV1-J1)*i*90

9) 10.000 e 30%

10) 2.307,50

11) 1548,75

12) 2.296,12

13) 24/08 e 1.708,67

14) 10.120,20

15) 10.119,82

16) Dr=51.428,57; Dc=72.000; Vr=128.571,43; Vc=108.000

17) N=34.363,64; de=27,27% a.m.

18) 1.500.000,00

19) 447.457,63

20) 220.994,48

21) 6.510,00

35

3 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

Será que a aposentadoria garante a manutenção dos padrões de vida que uma pessoa tinha

antes de aposentar-se?

Um artigo recente, da revista Fortune ,sobre aposentadoria nos EUA mostra que se uma

senhora – digamos, a senhora Jones –, que ganha, hoje em dia, US$ 85.000,00 anuais,

aposentasse-se em 2001, com uma expectativa de vida de 20 anos, ela receberia, nesse

mesmo ano, 80% de sua receita pré-aposentadoria, o equivalente a US$ 68.000,00. No

entanto, se a inflação fosse de 5% a.a., a sua renda precisaria aumentar para US$

110.675,00, em 10 anos e, para US$ 180.424,00, em 20 anos. E se a inflação fosse de 7%

a.a, a renda da senhora Jones precisaria, em 20 anos, subir para US$ 263.139,00!

É óbvio que se trata de apenas uma projeção! Dificilmente uma aposentadoria seguiria as

inflações dessa forma. Logo o que se percebe é que a resposta à pergunta no início deste

capítulo é que a aposentadoria não garante a manutenção dos padrões de vida de uma

pessoa tal qual eram antes de ela se aposentar.

Independentemente disso, como é que a revista Fortune chegou a esses valores com base

apenas no valor da aposentadoria hoje, nos índices de inflação e nos períodos de tempo

apontados? Este capítulo ajudar-lo-á a responder a essa pergunta!



1. Aprender o conceito de capitalização composta e como calcular juros compostos;

2. Entender o conceito e como calcular equivalência de capitais a juros compostos;

3. Adquirir noções de desconto composto racional.


operações, envolvendo juros e descontos compostos.

3.2 Capitalização Composta

O regime de juros compostos é o mais comum no mercado financeiro. Nesse regime, os

juros gerados, a cada período, são incorporados ao principal para cálculo dos juros do

período seguinte. Nesse caso, pode-se utilizar a mesma figura já mostrada nos

capítulos 1 e 2.

A diferença aqui, como se pode observar, comparando-se essa figura com a do Capítulo 2,

é que, para todo período de tempo n superior a 1, o valor final, no regime de juros

compostos, é necessariamente maior que o montante final no regime de juros simples,

considerando-se que o valor inicial tenha sido o mesmo. A razão disso é que o montante

cresce de forma exponencial ao longo do tempo, seguindo os termos de uma progressão

geométrica.

Podem-se deduzir as fórmulas de capitalização composta, a partir do seguinte raciocínio

indutivo matemático.

Tempo

Valor inicial

Valor final

Considere os juros e o valor futuro como sendo, respectivamente:

J = PV i e FV=PV+J

Em n=0, J=0 e FV=PV.

Em n=1, J=PVi e FV=PV+PVi FV=PV(1+i)

Em n=2, J= PV(1+i)i e FV= PV(1+i) + PV(1+i)i FV= PV(1+i)(1+1) FV=PV(1+i)2

Em n=3, J= PV(1+i)2i e FV= PV(1+i)2+ PV(1+i)2i FV= PV(1+i)2(1+i) FV= PV(1+i)3

Logo, em n=n, FV=PV(1+i)n

É bom lembrar, novamente, que, para aplicar essa fórmula (tal qual a fórmula de

capitalização simples), o “i” e o “n” devem estar na mesma unidade. Por exemplo, se a

taxa for mensal, o período também deve ser mensal. No caso de divergência entre as

unidades, deve-se realizar uma equivalência, sabendo-se que é mais fácil mudar o tempo

(período). Logo, se tiver uma taxa de 10% a.a. e o período for de quatro semestres, deve-se

considerar o período como equivalente a dois anos.

Veja agora alguns exemplos em que se aplica essa fórmula.

1) Um valor de R$ 100,00 é aplicado por seis meses, a taxa de juros compostos de

10% a.m. Calcule o montante (FV).

FV= PV(1+i)n

FV = 100 (1 + 0,1) 6

FV = 100 (1,1) 6

FV = 100 (1,7716)

FV = 177,16

Logo, o valor do montante é de R$ 177,16.

Esse mesmo valor poderia ser obtido na HP 12C©. Veja

f FIN 6 n 10 id 100 CHS PV FV

No visor: 177,16.

Observe que esse mesmo problema havia sido resolvido para a capitalização simples,

dando um resultado igual a R$ 160,00.

2) Uma pessoa resgatou de uma aplicação o valor de R$ 10.000,00. Sabendo-se que a taxa

de juros composta foi de 10% e que o capital ficou aplicado por cinco meses, calcule o

valor presente.

Pode-se, a partir de FV= PV(1+i)n, escrever a fórmula em função de PV.

Fazendo-se os cálculos:

Assim, o valor presente equivale a R$ 6.209,21.

Esse mesmo valor poderia ser obtido na HP 12C©. Veja

f FIN 5 n 10 id 10000 CHS 0FV PV

No visor: R$ 6.209,21.

3) Cláudia fez uma aplicação de PV reais em um fundo de investimentos, que paga uma

taxa de juros de 10,4% por semestre. No final de cada semestre, os juros são incorporados

ao capital. Nesse caso, o capital de Cláudia dobrará em quanto tempo?

Novamente, pode-se, a partir de FV= PV(1+i)n, escrever a fórmula em função de n.

Assim, resolvendo o problema dado:

Por conseguinte o capital de Cláudia dobrará em 7,0057 semestres.

Na HP:

f FIN 10.4 id 1 CHS PV 2 FV nd

No visor: 8,0000

Observe que esse resultado é diferente daquele encontrado a partir da fórmula. Deve-se ter

muito cuidado ao calcular o n na HP 12C©, pois ela arredonda o valor para mais, o que

torna o cálculo incorreto e não confiável. Recomenda-se, pois, não utilizar a HP para

calcular-se o período (n). Como alternativa, pode-se utilizar o MS Excel© com êxito, pois

o resultado é confiável. Para tanto, basta procurar a função NPer e preencher os dados

conforme a figura a seguir.

4) Após cinco meses, Marcela resgatou de uma aplicação o valor de R$ 12.000,00.

Sabendo-se que ela havia aplicado inicialmente R$ 10.000,00, calcule a taxa de juros

simples dessa aplicação.

Mais uma vez, pode-se, a partir de FV= PV(1+i)n, escrever a fórmula em função de i.


Assim, constata-se que a taxa foi de 3,71% a.m. a juros compostos.

3.3 Equivalência de Capitais a Juros Compostos

Como já apontado no capítulo anterior, dois capitais são equivalentes, quando têm o

mesmo valor em uma determinada data de avaliação (data focal); afinal, como já discutido,

R$ 1.000,00 na data de hoje não são iguais a R$ 1.000,00 em uma data futura, haja vista o

impacto de fatores como inflação e taxa de juros. Assim sendo, montantes em datas

diferentes só devem ser somados após terem sido transformados em valores de uma mesma

data, mediante aplicação correta de uma taxa de juros.

Veja um exemplo:

João comprou um aparelho de televisão, cujo preço à vista era de R$ 500,00, em duas

parcelas iguais, sendo que a primeira foi paga no ato da compra e a outra no mês seguinte.

Os juros cobrados foram de 4% ao mês. Qual foi o valor das parcelas?

Observe que o resultado corresponde a duas parcelas de R$ 254,90.

Na HP 12C©, pode-se efetuar esses cálculos da seguinte forma:

f FIN 1 n 4 i 1 CHS FV PV

No visor: 0,961538462

Somando esse valor a mais 1 (que é a parcela da data focal), obtém-se 1,961538462, que

será o divisor de R$ 500,00.

3.4 Desconto Composto Racional

Assim como no regime de capitalização simples, o desconto composto racional é um

abatimento sobre o montante. No caso, esse desconto nada mais é que achar PV, como

mostra a figura a seguir.

O desconto racional composto é, portanto, FV – PV.

Para achar o PV, utiliza-se a mesma forma da capitalização composta.

PV=FV/(1+i)n

Além disso, cumpre apontar que o desconto comercial composto não se aplica no mercado,

mas pode ser calculado assim como o simples. Como não é utilizado no mercado, esse

cálculo não será abordado neste material.



capítulo. Caso ache que algum desses conhecimentos ainda não está bem consolidado, retome a

leitura do capítulo ou consulte seu professor.

□ Você entende o conceito e sabe como calcular juros

compostos.

□ Você sabe calcular equivalência de capitais a juros compostos.

□ Você sabe um pouco sobre desconto composto racional.

PV FV

Capitalizar

Descontar


Compare os valores encontrados no exemplo 2 da seção 3.2 (em que se aplicam juros

compostos) com o mesmo exemplo 2 da seção 2.2 (em que se utilizam juros simples). Qual

a diferença que você observa? Do ponto de vista de quem faz uma aplicação, é melhor que

a capitalização seja simples ou composta? E do ponto de vista de quem faz um

empréstimo, seria melhor que a capitalização fosse simples ou composta?


Exercícios mais bem elaborados sobre juros compostos serão dados após o capítulo cinco,

que trata de taxas. Por ora, solicitam-se apenas os exercícios que seguem, que são de

natureza mais simples.

1) Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 3%. Depois

de quanto tempo esse capital estará duplicado? Observe que, para calcular n, não se deve

utilizar a HP 12C©, pois ela arredonda o valor para mais, o que, muitas vezes, pode gerar

uma distorção considerável.

2) Qual o valor dos juros compostos obtidos, em oito meses, à taxa de 10% ao mês, de

forma que o montante seja R$ 1.071,80?

3) Obtenha o capital inicial que, aplicado a juros compostos durante seis meses, à taxa de

2% ao mês, atinge o montante de R$ 1.000,00.

4) Obtenha o capital inicial que, aplicado a juros compostos durante 1 ano e 4 meses, à

taxa de 4,5% ao mês, atinge o montante de R$ 1.617,90.

5) Sabe-se que, há 9 meses, uma pessoa investiu determinada quantia em uma aplicação

que remunera seus aplicadores à taxa de juros compostos de 2% ao mês e que, atualmente,

o saldo dessa pessoa é de R$ 1.792,64. Então qual a quantia inicialmente aplicada?

6) Um capital de R$ 200.000,00 é aplicado a juros compostos de 10% ao ano. Calcule o

montante após quatro anos.

7) Certo capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa anual de 13%.

Depois de quanto tempo esse capital estará triplicado? Observe que, para calcular n, não se

deve utilizar a HP 12C©, pois ela arredonda o valor para mais, o que, muitas vezes, pode

gerar uma distorção considerável.

8) Qual a taxa de juros compostos mensal que é equivalente a uma taxa anual de 42%? Se

estivéssemos calculando para juros simples, qual seria essa taxa?

9) No regime de juros compostos, a taxa de 6% a. m. corresponde a uma taxa equivalente

de quanto ao ano?

10) Considerando o mês comercial de 30 dias corridos, qual a taxa de juros compostos para

uma aplicação de 13 dias, correspondente a uma taxa de juros de 9% ao mês?

11) Se você aplicar hoje, dia 1 de janeiro, R$ 100.000,00 a uma taxa de juros de 5% ao

mês, qual o valor dos juros a receber no dia 30 de junho do mesmo ano? Determine

também os juros, caso o valor fosse de 12% ao bimestre. Compare e comente as respostas.

GABARITO

1) 24 meses

2) R$ 571,80

3) R$ 887,97

4) R$ 800,00

5) R$ 1.500,00

6) R$ 292.820,00

7) 9 meses

8) 2,97% a.m.

9) 101,22% a.a.

10) 3,80%

11) R$ 134.009,5641 e R$ 140.492,8000

4 TAXAS

Foi publicada, no caderno Opinião, da Folha de São Paulo de 31 de julho de 2007, a

seguinte reportagem:

Antes tarde

O VOLUME de crédito doméstico saltou de 21,9% do PIB em abril de 2003 para

32,3% do PIB em junho de 2007. Essa expansão foi liderada pelas pessoas físicas,

que absorviam 38% dos empréstimos e passaram para 49% no período –

consideradas as modalidades em que o Estado não determina as taxas de juro.

No primeiro semestre deste ano, o crédito às famílias continuou crescendo mais

rapidamente que o empresarial. As grandes companhias acessaram outras fontes de

financiamento, como emissões de ações e títulos de dívida. De 2004 a 2006, o

valor anual dessas operações mais que quadruplicou, passando a R$ 122 bilhões.

Até 25 de julho, o montante das captações de 2007 já chegava a R$ 73 bilhões.

Há indicações, no entanto, de que as grandes empresas voltaram a tomar crédito

bancário. A média diária de contratação de empréstimos com juros flutuantes,

dirigidos sobretudo às grandes corporações, cresceu 15,9% em junho, chegando a

R$ 982 milhões.

O estoque desses empréstimos avançou 2,5% no mês e atingiu R$ 66,5 bilhões. A

maioria das operações está indexada à taxa do CDI (instrumento usado pelos

bancos para emprestar dinheiro entre si), que segue a Selic, fixada pelo Banco

Central. A redução dos juros e a expansão do mercado de capitais vão provocando

o que a concorrência bancária já deveria ter propiciado há muito tempo. Os bancos

entenderam que as operações da chamada finança direta (ações, debêntures etc.)

são uma ameaça a um filão de mercado, o crédito corporativo, no qual até havia

pouco atuavam à vontade para praticar taxas extorsivas. Antes tarde do que nunca.

Como você pode observar, a taxas fazem parte do nosso dia a dia e serão estudadas com

mais atenção neste capítulo.



1. Distinguir e transformar taxa nominal, taxa efetiva e taxa equivalente;

2. Distinguir e transformar taxa de inflação, real e aparente;

3. Compreender a formação da taxa Selic;

4. Adquirir noções de como são formados os juros.


operações envolvendo as diferentes taxas abordadas.

4.2 Fundamentos Básicos

Assim como no estudo de capitalização, o estudo das taxas requer alguns cuidados. Veja:

1. O período de capitalização da taxa deve coincidir com o período do fluxo de caixa.

2. Nas fórmulas, a taxa deve ser utilizada na forma decimal.

3. O índice de erros nesse tópico é muito grande, de modo que se deve adquirir um

conhecimento pleno antes de passar para o próximo capítulo. Como ele constitui

um pré-requisito para o próximo capítulo, recomenda-se muita atenção aos

conceitos e aos exemplos dados.

4. Sempre utilizar, nas fórmulas, na calculadora e no MS Excel©, a taxa efetiva.

Nunca utilize as taxas nominais.

5. Para identificar uma taxa nominal, basta observar que é dada uma taxa dada num

período qualquer (normalmente, ao ano) que é capitalizada em um período

distinto.

6. Normalmente, as taxas são aplicadas em capitalização composta.

4.3 Taxa Nominal, Taxa Efetiva e Taxa Equivalente

A taxa nominal é aquela em que o período de capitalização da operação difere do período

da taxa. Por exemplo, quando se fala em 12% a.a capitalizados semestralmente, a taxa

efetiva corresponde a (a.a/2 = 6% a.s). Assim sendo, a taxa nominal deve ser analisada

somente depois de transformada em taxa efetiva. Vale apontar que a taxa nominal é uma

taxa normalmente utilizada no mercado financeiro, pois transmite a impressão de que se

paga menos juros. No entanto, quando transformada em uma taxa efetiva, constata-se que a

taxa realmente paga é substancialmente maior.

Já a taxa efetiva é aquela que será utilizada nas fórmulas, na calculadora e no MS Excel©.

Trata-se, portanto, de uma fórmula simplificada para aplicação, uma vez que o período de

capitalização da operação coincide com o período da taxa (1+i)n = (1+i)n. Por exemplo,

12% a.a. capitalizados anualmente ou simplesmente 12% a.a.

A taxa equivalente, por sua vez, é a transformação de uma taxa efetiva de um período de

capitalização para outro. Por exemplo, pode-se transformar uma taxa efetiva ao ano em

uma taxa efetiva semestral.

Veja um exemplo, envolvendo essas três taxas.

1) A taxa de 12% a.a capitalizados mensalmente pode ser transformada em uma taxa

equivalente ao ano (isso é, capitalizada anualmente).

Por esse exemplo, pode-se perceber que, para calcular a equivalência entre duas taxas, é

necessário igualar essas taxas considerando que o período “n” maior tem que ser um

múltiplo do período “n” menor. Por exemplo, um ano tem doze meses; logo, para

transformar-se uma taxa anual em uma taxa mensal, é necessário elevar a taxa mensal a 12.

Observe que essa taxa nominal de 12% a.a capitalizados mensalmente corresponde a uma

taxa efetiva de 12,68%, ou seja, uma taxa maior do que à primeira vista. Quanto maior a

taxa nominal, maior será essa distorção.

Veja o exemplo a seguir:

2) Suponha que o Banco Alfa divulgue uma taxa de 140% a.a e o Banco Beta tenha uma

taxa de 100% a.a capitalizados mensalmente. Qual desses bancos cobra a menor taxa

efetiva?

Como se pode observar, a taxa do Banco Alfa já é uma taxa efetiva, mas o banco Beta

dispõe uma taxa nominal. Dessa forma, não se pode comparar as duas taxas diretamente,

de modo que é necessário transformar a taxa nominal em taxa efetiva anual.

Por esses cálculos, verifica-se que a taxa aparentemente menor do banco Beta é, na

verdade, consideravelmente superior à taxa do banco Alfa (161,3035 X 140%).

4.4 Taxa de Inflação, Taxa Real e Taxa Aparente

A taxa de inflação é a aquela que mede a desvalorização generalizada da moeda. Já a taxa

real é aquela que está livre de inflação. Por outro lado, a taxa aparente é uma taxa real

inflacionada.

Veja um exemplo:

Considerando-se que a taxa Selic de 2008 é de 13,75% a.a (sendo uma taxa aparente) e que

a inflação foi de 5% a.a., calcule a Selic real.

A fórmula para calcular-se qualquer uma das taxas depende de saber-se o valor das outras

duas.

em que iA é a taxa aparente, iR é a taxa real e iI é a taxa de inflação.


4.5 Selic

A taxa Selic (Sistema Especial de Liquidação e Custódia) é uma meta de taxa básica de

juros estabelecida pelo Comitê de Política Monetária (COPOM). Trata-se de uma taxa que

tem por objetivo controlar a inflação e o consumo e direcionar os rumos da economia.

As subseções de 4.5.1 a 4.5.4, a seguir, esclarecem sobre a Selic e foram extraídas da

página do Banco Central do Brasil (http://www3.bcb.gov.br/selic/html/

help_taxaSelic.html).

4.5.1 Definição

É a taxa apurada no Selic, obtida mediante o cálculo da taxa média ponderada e ajustada

das operações de financiamento por um dia, lastreadas em títulos públicos federais e

cursadas no referido sistema ou em câmaras de compensação e liquidação de ativos, na

forma de operações compromissadas. Esclarecemos que, nesse caso, as operações

compromissadas são operações de venda de títulos com compromisso de recompra

assumido pelo vendedor, concomitante com compromisso de revenda assumido pelo

comprador, para liquidação no dia útil seguinte. Ressaltamos, ainda, que estão aptas a

realizar operações compromissadas, por um dia útil, fundamentalmente, nas instituições

financeiras habilitadas, tais como bancos, caixas econômicas, sociedades corretoras de

títulos e valores mobiliários e sociedades distribuidoras de títulos e valores mobiliários.

4.5.2 Metodologia de Cálculo

A taxa média ajustada das mencionadas operações de financiamento é calculada de acordo

com a seguinte fórmula:

em que:

Lj: fator diário correspondente à taxa da j-ésima operação;

Vj: valor financeiro correspondente à taxa da j-ésima operação;

n: número de operações que compõem a amostra.

A amostra é constituída, excluindo-se do universo as operações atípicas, assim

consideradas:

- no caso de distribuição simétrica: 2,5% das operações com os maiores fatores

diários e 2,5% das operações com os menores fatores diários;

- no caso de distribuição assimétrica positiva: 5% das operações com os maiores

fatores diários;

- no caso de distribuição assimétrica negativa: 5% das operações com os menores

fatores diários.

O cálculo é feito diretamente pelo sistema Selic após o encerramento das operações, em

processo noturno.

4.5.3 Comentários

Do exposto, podemos concluir que a taxa Selic origina-se de taxas de juros efetivamente

observadas no mercado.

As taxas de juros relativas às operações em questão refletem, basicamente, as condições

instantâneas de liquidez no mercado monetário (oferta versus demanda de recursos). Essas

taxas de juros não sofrem influência do risco do tomador de recursos financeiros nas

operações compromissadas, uma vez que o lastro oferecido é homogêneo.

Como todas as taxas de juros nominais, por outro lado, a taxa Selic pode ser decomposta ex

post, em duas parcelas: taxa de juros reais e taxa de inflação no período considerado.

A taxa Selic, acumulada para determinados períodos de tempo, correlaciona-se

positivamente com a taxa de inflação apurada ex post.

4.5.4 Divulgação

A divulgação da taxa Selic é responsabilidade do Departamento de Operações do Mercado

Aberto, Divisão de Administração do Selic (Demab/Dicel).

Primeiramente, a taxa é divulgada para todos os participantes da Rede do Sistema

Financeiro Nacional (RSFN), por meio de envio do arquivo ASEL002 em mensagem

GEN0015, anexado no bloco USERMSG.

A atualização no Sisbacen (PTAX860) e na página do BCB na Internet (www.bcb.gov.br)

dá-se logo em seguida, pois é feita automaticamente com base no conteúdo dessa

mensagem. Posteriormente, ao término do processamento noturno do Selic, a taxa fica

disponível para consulta na página Selic RTM (www.selic.rtm), destinada exclusivamente

aos participantes da Rede de Telecomunicações para o Mercado – RTM (www.rtm.net.br).

Não há horário predeterminado para a divulgação da taxa Selic. Podemos dizer que,

normalmente, ela é divulgada entre 20h e 21h. Em situações excepcionais, o

processamento noturno pode ser postergado e a divulgação pode ocorrer mais tarde.

4.5.5 Simulação do cálculo da taxa Selic

Observe a tabela a seguir.

Nela, admite-se que foram negociados os seguintes títulos públicos federais às respectivas

taxas:

Título 1: R$ 100,00, a 0,02% a.d.

Título 2: R$ 300,00, a 0,03% a.d.

Título 3: R$ 400,00, a 0,01% a.d.

Título 4: R$ 200,00, a 0,04% a.d.

Assim, as taxas serão divididas por cem e será somado 1 a cada uma, como mostra a

segunda coluna da tabela. A partir de então, calcula-se a média ponderada desses valores,

multiplicando-se cada valor monetário pelo valor da taxa. Em seguida, divide-se esse

resultado pelo somatório das taxas da segunda coluna. Depois, eleva-se o resultado a 252

conforme a fórmula de cálculo da taxa Selic, que considera o ano financeiro. Então subtrai-

se 1 do valor encontrado e multiplica-se o resultado por 100, encontrando-se, assim, a taxa

Selic anual para o dia hipotético em questão.

Observe novamente a fórmula da taxa Selic.

Substituindo-se os valores:

Esse resultado significa que a taxa Selic apurada pelo sistema no dia em questão foi de

5,9665% a.a. Se a meta for maior que o valor apurado, o Banco Central deverá resgatar

títulos, causando uma escassez e, com isso, aumentando a taxa. Do contrário, se a meta for

menor que o valor apurado, o Banco Central deverá emitir títulos, provocando uma

abundância e, com isso, diminuindo a taxa.

4.6 Tópico sobre Formação de Juros

O juro expressa o preço de troca de ativos disponíveis em diferentes momentos do tempo.

Trata-se de uma remuneração pela alocação de capital. Para formar-se uma taxa de juros,

leva-se em consideração as seguintes taxas e teorias.

Taxa de referência: as decisões financeiras são consideradas atraentes somente no caso em

que a expectativa de retorno é superior à taxa de juros do dinheiro utilizado. Em um

mercado livre, a taxa de juros é formada com base nas taxas de preferências temporais dos

agentes aplicadores e no retorno esperado.

Taxa pura ou livre de risco: é aquela que precifica os ativos do governo no mercado; logo,

constitui a taxa de juros-base do sistema econômico. A taxa pura não inclui despesas,

inflações ou outros sacrifícios. Ela compreende apenas a remuneração pelo sacrifício da

poupança e constitui o piso para a estrutura de taxas de retorno da economia.

Teoria das Expectativas: de acordo com essa teoria, as taxas de juros de longo prazo

devem ser a média geométrica das taxas de curto prazo correntes e previstas para o

horizonte de maturação de um ativo de longo prazo.

Teoria da Preferência pela Liquidez: segundo essa teoria, os rendimentos de longo prazo

devem ser superiores aos de curto prazo, incorporando, portanto, uma remuneração

adicional pelo risco assumido.

Teoria da Segmentação de Mercado: por essa teoria, sugere-se que os agentes econômicos

demonstram preferências definidas com relação aos prazos de vencimento dos ativos,

sendo as taxas de juros determinadas livremente pelo mecanismo de oferta e procura de

cada segmento de mercado.



capítulo. Caso ache que algum desses conhecimentos ainda não está bem consolidado,

retome a leitura do capítulo ou consulte seu professor.

1. □ Você sabe distinguir e transformar taxa nominal, efetiva e

equivalente.

□ Você sabe distinguir e transformar taxa de inflação, real e

aparente.

□ Você tem noção de como são formados os lucros.


A resolução CMN 3.517, de 2007, dispõe sobre a informação e a divulgação do custo

efetivo total correspondente a todos os encargos e despesas de operações de crédito e de

arrendamento mercantil financeiro, contratadas ou ofertadas a pessoas físicas.

Explique, a partir do que foi estudado com relação à taxa efetiva e à taxa nominal, qual a

possível justificativa para tal resolução. Dê um exemplo comparativo.


1) Calcule a taxa de juros trimestral equivalente a 6% a.s. com capitalização mensal.

2) A taxa nominal de 12% ao semestre, com capitalização mensal, equivale a qual destas

taxas: a) 6% a.t., b) 26,82% a.a., c) 6,4% a.t., d) 11,8% a.s. ou e) 30% ao ano?

3) Uma agência concede empréstimos, cobrando uma taxa igual a 48% a.a, capitalizada

mensalmente. Qual a taxa equivalente semestral desse empréstimo? Qual a taxa

equivalente trimestral?

4) Qual é a taxa nominal anual que uma financeira deve cobrar para ganhar 8% a.a. de

juros reais, em um ano em que a inflação será de 5% a.a.?

5) Um título rende juros de 6% a.a. com capitalização semestral. Qual é a taxa efetiva

anual de juros?

6) Acerca das taxas utilizadas em juros compostos, julgue os itens a seguir quanto a

verdadeiro (V) ou falso (F):

( ) Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sempre sobre o

valor obtido pela soma do capital inicial com os juros acumulados até o

período anterior.

( ) Duas taxas referentes a períodos distintos de capitalização são equivalentes,

quando produzem, pela aplicação de um mesmo capital inicial, o mesmo

montante no final de determinado período de tempo.

( ) Quanto maior o número de capitalizações, maior é a taxa efetiva.

( ) A taxa efetiva de 21% ao ano corresponde à taxa nominal anual de 20%,

capitalizadas semestralmente.

7) Em relação às taxas de juros, assinale a alternativa correta.

a) A taxa de juros nominal é sempre maior que a taxa de juros efetiva.

b) A taxa de inflação pode ser obtida da subtração da taxa nominal da taxa real.

c) A taxa de juros real no Brasil é representada pela Selic.

d) A variação cambial é representada pelo conceito de taxa de juros real.

8) No banco ALFA, a taxa mensal de juros compostos é 7% e, no banco OLGA, os juros

são capitalizados trimestralmente a uma taxa de 22%. A partir desses dados, avalie as

seguintes afirmativas quanto a verdadeira (V) ou falsa (F).

( ) As taxas de juros desses dois bancos são equivalentes.

( ) A taxa de juros semestral do banco OLGA é inferior a 50%.

( ) A taxa de juros anual do banco ALFA é de aproximadamente 125%.

9) Podemos classificar as taxas de juros como: nominal, efetiva e real. Em relação a essas

taxas, podemos dizer que:

a) taxa de juros real leva em consideração os efeitos inflacionários.

b) taxa de juros efetiva é igual à taxa de juros nominal menos a taxa de juros real.

c) taxa de juros real não leva em consideração o capital efetivamente recebido.

d) taxa nominal e taxa de juros efetiva são sempre iguais.

10) Dada uma taxa efetiva anual x %, composta mensalmente, pode-se afirmar que sua taxa

nominal anual y % correspondente é a taxa ______ mensal da taxa efetiva z %, anualizada

______. As lacunas dessa assertiva são mais bem preenchidas por:

a) proporcional – linearmente.

b) proporcional – exponencialmente.

c) equivalente – linearmente.

d) equivalente – exponencialmente.

e) linear – exponencialmente.

GABARITO

1) 3,03% a.t.

2) 26,82% a.a.

3) 26,53% a.s; 12,49 % a.t.

4) 13,40% a.a.

5) 6,09% a.a.

6) V-V-V-F

7) a

8) F-V-V

9) c

10) c

5 CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA

No mundo dos investimentos – sobretudo no que se refere às ações –, é frequente o uso de

capitalização contínua nas fórmulas de juros. As principais razões para isso são:

1. A capitalização contínua representa melhor uma carteira de ações bem

diversificada, uma vez que cada empresa da carteira paga dividendos, juros,

dentre outros, em um dia diferente.

2. A função de capitalização contínua é matematicamente mais fácil, quando se tem

que efetuar cálculo integral.

Você verá, ao longo deste capítulo, as características da capitalização contínua (também

chamada de infinitesimal), bem como as operações envolvidas no cálculo desse tipo de

capitalização.



1. Aprender o conceito e como calcular capitalização contínua;

2. Entender a diferença entre capitalização simples, contínua e composta.


operações envolvendo capitalização contínua, além da diferença desse regime com os de

capitalização simples e de capitalização composta.

5.2 Capitalização Contínua ou Infinitesimal

Capitalizar é o ato de somar os juros ao principal (PV + J). Essa capitalização pode ocorrer

em diferentes frequências (e.g., ao ano, ao semestre, ao trimestre, ao mês, ao dia, por hora,

por minuto, por segundo... instantaneamente). No caso da capitalização contínua (ou juros

continuamente compostos ou juros instantâneos), a frequência de capitalização torna-se um

número infinitamente grande (e.g., um ano equivale a um número muito grande de

segundos), tendendo ao infinito (+∞).

Suponha um investimento de R$ 1.000,00 que será capitalizado pelas taxas abaixo, pelo período

de três anos.

Taxa nominalFrequência de capitalização

Taxa efetiva anual

FV

1 8% a.a., anualmente 1 x 8% a.a. R$ 1.259,71

2 8% a.a., semestralmente 2 x 8,16% a.a. R$ 1.265,32

3 8% a.a., trimestralmente 4 x 8,243% a.a. R$ 1.268,24

4 8% a.a., mensalmente 12 x 8,30% a.a. R$ 1.270,24

5 8% a.a., diariamente 360 x 8,3278% a.a. R$ 1.271,21

6 8% a.a., instantâneo +∞ x 8,3287% a.a. R$ 1.271,25

Observe que, mesmo aumentando a frequência de capitalização de modo que ela tenda ao

infinito, o montante obtido e a taxa efetiva aumentam suavemente, tendendo a uma

constante. Isso pode ser visualizado no seguinte gráfico, em que o eixo das abscissas

corresponde ao período e o eixo das ordenadas corresponde às taxas.

Lembre-se de que, para calcular FV, a taxas efetivas, utiliza-se FV= PV(1+i)n.

No entanto, quando a taxa é nominal, pode-se aplicar a seguinte fórmula:

,

em que m é a frequência da capitalizações da taxa nominal (r) e n é o período.

Essa fórmula pode ser reescrita como

Substituindo os valores da taxa 6 da tabela:

FV = PVein

FV = 1.000 x 2,71830,08x3

FV = 1.000 x 2,71830,24

FV = 1.000 x 1,271249

FV = 1.271,25

Além disso, é possível transformar uma taxa composta em uma taxa instantânea (e vice-

versa). Veja:

A fórmula para calcular o valor futuro na capitalização composta é

Já a fórmula para calcular o valor futuro na capitalização contínua é

Igualando-se FVC e FVI:

Veja, agora, um exemplo de aplicação.

Considerando-se uma taxa instantânea de 8% a.a., calcule a taxa composta equivalente.

Logo, a taxa composta equivalente é de 8,3287%.

5.3 Comparando os Regimes de Juros

Como já observado entre os juros simples e os juros compostos, aqueles geram valores

futuros menores que estes para toda taxa maior que 1. Para taxas iguais a 1, os valores

gerados são iguais em ambos os casos. E, para taxas menores que 1, os valores gerados são

maiores no caso dos juros simples.

Como a capitalização contínua e a capitalização composta são exponenciais, a mesma

relação é esperada no caso de uma comparação entre a capitalização contínua e a

capitalização simples. No entanto é interessante observar que, embora a capitalização

composta e a capitalização contínua impliquem crescimentos exponenciais, a segunda

apresenta um crescimento maior que a primeira. Essa relação pode ser mais bem

visualizada no gráfico a seguir.

Comparação entre regimes de juros

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 1 2 3 4 5

Período

Val

or

Juros simples Juros compostos Juros contínuos



capítulo. Caso ache que algum desses conhecimentos ainda não está bem consolidado, retome

a leitura do capítulo ou consulte seu professor.

□ Você entende o conceito e sabe como calcular capitalização contínua.

□ Você sabe a diferença entre os sistemas de capitalização contínua, simples e composta.


Dê um exemplo prático, explicando a diferença entre juros simples, juros compostos e

juros contínuos. Explicite em que momentos um pode gerar mais retorno ou maior

endividamento que o outro.


1) Calcule os juros de R$ 1.000,00, aplicados durante três anos, à taxa de 20% a.a, com

capitalizações semestrais.

2) Calcule os juros de R$ 7.500,00, aplicados durante 1,5 ano, à taxa de 12% a.a com

capitalizações trimestrais.

3) Calcule os juros de R$ 2.832,00, aplicados à taxa de 9% a.s , durante 10 semestres.

4) Calcule o montante de R$ 27.300,00, aplicados à taxa de 6% a.a, durante dois anos,

capitalizado quadrimestralmente.

5) Quanto terá uma pessoa no fim de 20 meses, se aplicar R$ 25.000,00 a uma taxa de

5% a.m.

6) Uma pessoa aplicou 3/4 do seu capital, capitalizados semestralmente, a uma taxa de

20% a.a. O restante aplicou à taxa de 24% a.a., mas capitalizado trimestralmente. Calcule o

montante obtido no fim de quatro anos, sabendo-se que a primeira parcela proporcionou

R$ 12.865,38 de juros.

7) Qual o capital que, colocado a juros de 12% a.a, capitalizado trimestralmente, produz,

em três anos, o montante de R$ 4.002,68?

8) Uma pessoa aplicou 2/3 do seu capital a 12% a.a., com capitalização trimestral, e o

restante a 10% a.a., com capitalização semestral. No fim de três anos, os juros obtidos pela

primeira parcela excederam os obtidos pela segunda em R$ 20.457,04. Qual o capital

aplicado?

9) Qual o capital que, aplicado durante quatro anos, à taxa de 12% a.a., capitalizado

mensalmente, produz R$ 367,56 de juros a mais do que seria produzido com capitalizações

semestrais?

10) Um capital foi aplicado à taxa de 22% a.a. durante três anos com capitalizações

semestrais. Se a taxa fosse de 24% a.a., capitalizado trimestralmente, os juros produzidos a

mais seriam de R$ 1.417,82. Calcule o capital.

11) Qual o tempo necessário para que o capital de R$ 2.500,00, aplicado à taxa de

22% a.a., com capitalizações semestrais, produza o montante de R$ 5.190,40?

12) Durante quanto tempo o capital de R$ 2.500,00, aplicado à taxa de 5% a.m., produz

R$ 1.700,48 de juros, com capitalizações mensais?

13) Durante quanto tempo o capital de R$ 8.000,00, aplicado à taxa de 4% a.b., rende

R$ 3.841,95 juros com capitalizações bimestralmente?

14) Durante quanto tempo o capital de R$ 17.000,00, aplicado à taxa de 8% a.a., produz

R$ 36.927,87de juros com capitalizações anuais?

15) Durante quanto tempo o capital de R$ 2.800,00, aplicado à taxa de 10% a.a.,

capitalizado semestralmente, rende juros de R$ 441,35?

16) Durante quanto tempo o capital de R$ 8.000,00, aplicado à taxa de 6% a.b.,

capitalizado trimestralmente, rende R$ 10.938,91 de juros?

17) Aplicado durante cinco anos, o capital de R$ 7.815,00 rendeu R$ 4.771,14 de juros.

Considerando capitalizações anuais, qual a taxa empregada na operação?

18) O capital de R$ 2.420,00, investido durante 4 semestres, rendeu R$ 752,13 de juros.

Considerando capitalizações semestrais, qual a taxa de juros empregada?

19) O capital de R$ 7.500,00, aplicado durante quatro anos, com capitalizações semestrais,

rendeu R$ 2.764,27 de juros. Qual a taxa empregada?

20) O capital de R$ 2.800,00, aplicado durante três anos, com capitalizações trimestrais,

rendeu R$ 5.075,46 de juros. Qual a taxa empregada?

21) O capital de R$ 5.500,00, investido durante dois anos, com capitalizações

quadrimestrais, rendeu R$ 4.787,28 de juros. Qual a taxa empregada?

22) Divida a importância de R$ 42.356,61 em três partes, de tal modo que, aplicadas a

20% a.a., com capitalizações semestrais, produzam montantes iguais em 5, 3 e 2 anos

respectivamente.

23) Calcule o desconto de um título de R$ 22.000,00, que vence dentro de 90 dias,

considerando a taxa de 12% a.a., com capitalizações trimestrais.

24) Calcule o desconto de um título de R$ 5.000,00, que vence dentro de 180 dias,

considerando a taxa de 5% a.m., com capitalizações mensais.

25) Calcule o desconto de um título de R$ 385.000,00, resgatado 20 meses antes do

vencimento, considerando a taxa de 18% a.a., com capitalizações quadrimestrais.

26) Calcule o valor atual de um título de R$ 10.000,00, resgatado dois anos e seis meses

antes do vencimento, à taxa de 20% a.a., com capitalizações semestrais.

27) Calcule o valor atual de um título de R$ 7.900,00, resgatado seis meses antes do

vencimento, considerando uma taxa de 24% a.a., com capitalizações mensais.

28) O desconto de um título, vencível dentro de 15 meses, é de R$ 1.082,37. Calcule o

valor nominal do título, sabendo-se que a taxa empregada é de 20% a.a., com

capitalizações trimestrais.

29) O valor atual de um título, vencível dentro de dois anos, é de R$ 10.132,62. Calcule o

valor nominal, sabendo-se que a taxa empregada é de 36% a.a., capitalizada

quadrimestralmente.

30) Um título com vencimento para daqui a seis anos foi resgatado por R$ 55.683,74.

Calcule o valor nominal do título, considerando a taxa de 10% a.a. com capitalizações

semestrais.

31) Um título de R$ 20.000,00 foi resgatado por R$ 14.945,16. Sabendo-se que a taxa de

desconto foi de 12% a.a., com capitalizações semestrais, calcule o tempo de antecipação do

pagamento.

32) Um título de R$ 50.000,00, pago antecipadamente, sofreu desconto de R$ 10.575,34.

Sabendo-se que a taxa empregada foi de 12% a.a., com capitalizações bimestrais, qual o

tempo de antecipação?

33) Um título de R$ 15.000,00 foi resgatado por R$ 7.625,24. Sabendo-se que o título foi

antecipado em 5 anos, calcule a taxa empregada, considerando capitalizações semestrais.

34) Um título de R$ 28.000,00 foi pago antecipadamente, com desconto de R$ 12.194,73.

Sabendo-se que o título era para três anos, calcule a taxa empregada nessa operação, com

capitalizações semestrais.

35) Um empréstimo de R$ 500.000,00 deverá ser pago com dois pagamentos iguais,

vencíveis dentro de cinco e oito meses, respectivamente. Calcule o valor dos pagamentos

considerando a taxa de 5% a.m.

36) Osnar Reteiro fez um empréstimo de R$ 1.000.000,00 em um banco que cobra juros de

6% a.s. Decorridos três semestres, Osnar paga 30% do empréstimo original e combina

liquidar o restante da divida em dois pagamentos iguais, efetuados cinco e oito semestres

após a data do empréstimo. Calcule os pagamentos.

37) O Sr B. Bado fez um empréstimo e ficou de pagar no fim de trinta meses o montante

de R$ 600.000,00 Depois de 10 meses, ele quer liquidar a dívida com dois pagamentos

iguais, vencendo o primeiro imediatamente e o segundo daí a seis meses. Calcule o valor

desses pagamentos, sabendo-se que a taxa empregada foi de 3% a.m., com capitalizações

mensais.

38) A Srta. P. Kado fez um empréstimo de R$ 200.000,00 para ser pago no fim de 24

meses, juntamente com os juros de 7% a.m. Passados oito meses, ela quer modificar a

forma de pagamento, propondo pagar o empréstimo em quatro pagamentos mensais, iguais

e consecutivos, vencendo o primeiro daí a dois meses. Calcule o valor dos pagamentos,

sabendo-se que, no novo contrato, a taxa estipulada foi de 8% a.m., com capitalizações

mensais para toda a operação

39) O Sr. B. Arão fez um empréstimo à taxa de 10% a.s. para pagar em três pagamentos

iguais, semestrais e consecutivos, no valor de R$ 200.000,00 cada. O primeiro pagamento

vence três semestres após o empréstimo. Se ele quiser pagar a divida com dois pagamentos

iguais, efetuando o primeiro quatro semestres após o empréstimo e o segundo cinco

semestres após o primeiro pagamento, qual será o valor de cada pagamento, sabendo-se

que a taxa para o novo contrato é de 12% a.s., capitalizados semestralmente.

40) Foram feitos, na mesma época, os seguinte empréstimos: R$ 100.000,00 para pagar, ao

fim de cinco anos, a juros de 9% a.a.; R$ 200.000,00 para pagar, em dois anos, a juros de

7% a.a.; e R$ 150.000,00 para pagar, em quatro anos, a juros de 8% a.a. Se a dívida total

fosse paga com dois pagamentos anuais, iguais e consecutivo, vencendo o primeiro três

anos após o contrato inicial, qual seria o valor de cada pagamento? Considere a taxa de

10% a.a. para o novo contrato e capitalizações anuais para toda a operação.

GABARITO

01 - R$ 771,56. 02- R$ 1.455,39 03 - R$ 3.872,37 04 - R$ 30.744,23

05 - R$ 66.332,4406 - R$ 33.641,70 07 - R$ 2.807,40 08 - R$120.000,00

09 - R$ 20.000,00 10 - R$ 10.000,00 11 - 7 semestres 12 – 10,64 meses

13 - 10 bimestres 14 - 15 anos 15 - 03 semestres 16 -10 trimestres

17 - 10% a.a. 18 - 7% a.s. 19 - 4% a.s 20 - 9% a.t.

21- 11% a.q22 - R$ 10.000,00 R$ 14.641,00 R$ 17.715,61

23 - R$ 640,77 24 - R$ 1.268,92

25 - R$ 97.305,60 26 - R$ 6.209,21 27 - R$ 7.014,97 28 – R$5.000,00

29 - R$ 20.000,00 30 - R$100.000,00 31 - 3 0 meses 32 - 02 anos

33 - 14% a.a. 34 - 20% a.a 35 - R$342.380,03 36 - R$544.213,46

37 - R$180.793,63 38 - R$120.708,21 39 - R$384.433,52 40 - R$313.735,71

6 SÉRIES DE PAGAMENTOS

Em uma reportagem recente no Estado de Minas, foi mostrado o caso de uma senhora cuja

renda era de R$ 527,00 mensais e que devia R$ 15.000,00 para a operadora de cartão de

crédito, cuja taxa era de 12% a.m. Nesse caso, levando-se em consideração que ela poderia

dispor de todo o seu salário para pagar essa dívida, quanto tempo seria necessário para ela

quitar sua dívida?

Recorrendo à HP 12C©, digitando o valor atual do débito e os pagamentos futuros,

percebe-se que, após introduzir o fluxo de caixa, aparece a mensagem de ERRO 5 no visor.

Isso demonstra que é impossível liquidar essa dívida mesmo pagando R$ 527,00 mensais,

porque esse valor não cobre sequer os juros (12% de R$ 15.000,00 = R$ 1.800,00).

Conclui-se, portanto, que se trata de uma situação de insolvência financeira.



1. Compreender como funcionam as séries uniformes;

2. Entender as séries variáveis;

3. Estudar as séries perpétuas

4. Saber as diferenças entre os principais sistemas de amortização.

Após ler atentamente o conteúdo deste capítulo, você saberá como calcular as diferentes

séries e como montar as diferentes tabelas referentes aos sistemas de amortização PRICE,

SAC, SAM e americano.

6.2 Séries Uniformes

As séries periódicas uniformes, também chamadas de rendas certas, podem ser divididas

em séries postecipadas, antecipadas e diferidas.

6.2.1 Séries postecipadas

As séries postecipadas são aquelas em que os pagamentos ocorrem no final de cada

período (e não no início ou origem). Em outras palavras, não existe entrada. São exemplos

desse tipo de série os pagamentos de fatura de cartão de crédito.

Suponha que Alexandre deposite R$ 1.000,00, mensalmente, em uma conta que rende

10% a.m. O fluxo dessa operação está representado a seguir.

PMT (1+i)3

PMT (1+i)2

PMT (1+i)1

1000PMT

1000PMT

1000PMT

1000PMT

a4

543210

Data focal

a3a2a10

PMT (1+i)0

O cálculo das séries uniformes de pagamento tem como pilar a soma dos termos de uma

progressão geométrica finita. Relembrando a soma dos termos de uma PG finita:

1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128

correspondem, respectivamente, a 20; 21; 22; 23; 2 4 ; 2 5 ; 2 6 ; 28

A soma dos termos grifados, arbitrariamente representados por a1, a2 e a3, respectivamente

é:

S3 = a1+a1q1+a1q2,

em que q é a razão (divisão de um termo pelo anterior), a qual, no caso, equivale a 2.

Multiplicando-se todos os termos dessa equação por q, tem-se:

S3q = a1q1+a1q2+a1q3

Subtraindo-se a primeira equação da segunda, tem-se:

S3q – S3 = a1q3 – a1

Logo, S3(q – 1) = a1(q3 – 1).

Portanto , o que implica que:

Voltando ao exemplo e aplicando a fórmula de PG:

Logo, o FV é igual a Sn x PMT (4,641 x 1.000), o que resulta em R$ 4.641,00.

No caso específico da série de pagamento postecipada, pode-se seguir o seguinte raciocínio

para se abstrair a fórmula.

FV = PMT (1 + i)3 + PMT (1 + i)2 + PMT (1 + i)1 + PMT (1 + i)0

Colocando-se PMT em evidência:

FV = PMT [(1 + i)3 + (1 + i)2 + (1 + i)1 + (1 + i)0]

Multiplicando-se a fórmula anterior pela razão, que corresponde à própria taxa (1 + i):

FV (1 + i) = PMT [(1 + i)4 + (1 + i)3 + (1 + i)2 + (1 + i)1]

Subtraindo-se a primeira fórmula da segunda, obtém-se

FV (1 + i) – FV = PMT [(1 + i)4 – 1]

Logo a fórmula genérica é:

Para achar PV, basta substituir nessa fórmula FV por FV = PV(1 + i)n.

Nessas fórmulas, o cálculo de FV, PMT e n são tranquilamente encontrados. No entanto,

há maior complexidade no cálculo de i, pois trata-se de um polinômio de enésimo grau.

Portanto, nesses casos, o ideal é recorrer à HP 12C©.

Para calcular qualquer um dos valores (PV, PMT, i, n ou FV) na HP 12C©, basta inserir os

valores restantes, lembrando-se de ativar a configuração g END. Veja um exemplo.

A empresa Tesla investiu R$ 10.000,00 em um projeto cujo retorno foram 12 parcelas de

R$ 1.000,00. Calcule a taxa de retorno desse investimento.

O fluxo de caixa dessa operação é:

Calculando na HP 12C©

1 432 12...

11

f FIN g END 12 nd 10000 CHS PV 1000 PMT i n

No visor: 2,92285%.

Atente-se para o fato de que PV tem que ser negativo (CHS); do contrário, a calculadora

irá registrar ERRO 5, relativo a fluxo de caixa. Além disso, observe que o mínimo

necessário para utilizarem-se as funções financeiras da HP 12C© consiste em uma entrada

e uma saída de caixa.

6.2.2 Séries antecipadas

As séries antecipadas são aquelas em que os pagamentos são efetuados no início de cada

período. Equivalem a uma compra parcelada e com entrada. A título de exemplo, têm-se os

financiamentos com pagamentos à vista. Graficamente, elas podem ser representadas da

seguinte forma.

Observe, pelo gráfico, que, na série antecipada, assim que é obtido o recurso (representado

pela seta maior para cima), já é feito um pagamento.

Veja um exemplo:

543210

Dona Ana comprou um fogão de cinco queimadores de última geração que custava

R$ 600,00 à vista. Porém resolveu pagar na seguinte forma: R$ 200,00 de entrada e cinco

prestações de R$ 100,00. Calcule a taxa de juros paga nessa operação, lembrando que esse

cálculo deve ser feito na HP 12C©, devido à complexidade dos polinômios de enésimo

grau.

Na HP 12C©

f FIN g END 5 nd 400 PV 100 CHS PMT i n

No visor: 7,9308%.

Dica: transformam-se todas as séries antecipadas em postecipadas, subtraindo-se o valor

da entrada do valor inicial, haja vista que estão na mesma data. No caso, essa diferença foi

de R$ 400,00.

6.2.3 Séries diferidas

As séries diferidas são aquelas em que o período de carência consiste em um prazo entre a

data em que foi efetuada a operação e o período de pagamento da primeira parcela. Eis o

caso das promoções do tipo “Compre hoje e comece a pagar daqui a X dias!”. Quando o

primeiro pagamento ocorre no início do primeiro período após o término da carência, tem-

se o que se chama de série diferida antecipada. Em contrapartida, quando esse primeiro

pagamento dá-se ao final do primeiro período após o término da carência, essa série é

conhecida como série diferida postecipada.

543210

Veja um exemplo:

Seu Antônio fez um financiamento no BB no valor de R$ 30.000,00 com vistas a aplicar na

sua cultura de café. Considerando que a primeira colheita ocorre após aproximadamente

quatro anos, o banco concedeu-lhe uma carência de cinco anos para pagar em quatro

parcelas anuais à taxa de 12% a.a. Calcule o valor das parcelas.

Observe o fluxo de caixa para esse caso.

Para resolver esse exemplo, são necessários dois procedimentos básicos. O primeiro deles

consiste em considerar o ano 5 como data focal, ou seja, como data 0. Veja:

Feito isso, pode-se proceder da seguinte forma na HP 12C©:

f FIN g END 4 nd 12 i 1 CHS PMT PV

No visor: 3,04.

Observe que, como não se sabe o valor de PMT e todos são iguais, dá-se-lhe o valor 1 e

procura-se o valor presente na data focal 0 (que corresponde ao ano 5). Achado esse valor

PMT

876543210 9

PMT PMT PMT

PMT

3210 4

PMT PMT PMT

presente, ele se torna valor futuro em relação ao ano 0 (que é a data focal correspondente

ao momento em que foi realizado o financiamento). Veja o fluxo a seguir.

Observe que 3,04 está à direita da data 0, o que significa que ele é, agora, um valor futuro.

Logo na HP 12C©:

f FIN CHS FV 5 nd 12 i PV

No visor: 1,72.

Pelo princípio da equivalência, esse valor multiplicado pelo valor das parcelas é igual a R$

30.000,00. Logo:

30.000 = 1,72 PMT

PMT = 30.000/1,72

PMT = 17.406,71

Assim, o valor das parcelas é igual a R$ 17.406,71.

543210

3,04

6.3 Séries Periódicas Uniformes Crescentes

Séries periódicas uniformes crescentes (ou gradientes uniformes ou anuidades crescentes)

correspondem a séries cujas rendas variam de acordo com uma lei pré-determinada.

Veja um exemplo:

Laura acaba de receber uma oferta de emprego com salário de R$ 90.000,00 por ano e

espera que esse salário aumente 10% a.a. até sua aposentadoria, daqui a 40 anos.

Considerando uma taxa de juros de 12% a.a., calcule o valor presente dos salários que

Laura receberá até sua aposentadoria.

Para calcular o valor presente nesse tipo de série, utiliza-se a seguinte fórmula:

Dada a complexidade do raciocínio, não será explicitado o modo como se chega a essa

fórmula.

Substituindo-se os valores do problema na fórmula, tem-se:

Logo o valor presente dos salários é de R$ 2.311.235,62.

6.4 Perpetuidades

Embora o termo “perpetuidade” sugira fluxos de duração infinita, é mais apropriado dizer

que uma perpetuidade consiste em um conjunto de rendas cujo número não pode ser

determinado exatamente por ser muito grande e tender ao infinito.

Por exemplo, você compra um imóvel e o aluga por R$ 3.000,00 mensais perpetuamente.

Considerando uma taxa de 1% a.m., calcule o valor de compra do imóvel.

A fórmula para cálculo de uma perpetuidade é a seguinte, tendo sido obtida a partir da

soma de uma PG infinita.

Substituindo-se os valores na fórmula.

Logo o valor de compra do imóvel é de R$ 300.000,00.

É interessante observar que há também perpetuidade crescente. Nessa perpetuidade, há

uma taxa de crescimento que implica que as parcelas aumentam a uma taxa determinada.

Considerando-se o mesmo exemplo anterior, porém com o crescimento de 0,5% no valor

dos aluguéis mensais, aplica-se a seguinte fórmula (em que g é a taxa de crescimento).

Substituindo-se os valores na fórmula

Verifique-se que o valor presente é igual a R$600.000,00, ou seja, o dobro do encontrado

no exemplo anterior.

6.5 Séries Variáveis

Séries variáveis são aquelas em que os valores dos pagamentos e/ou dos recebimentos não

são iguais ao longo do tempo, conforme demonstra a figura a seguir.

Para encontrar o PV de cada um dos pagamentos em uma série variável, é necessário trazer

cada valor individualmente para o presente. Veja um exemplo partindo do seguinte fluxo

de caixa, cuja taxa é de 10% a.a.

Sem uma calculadora financeira, seria necessário trazer todos os valores para o zero (um

por um), determinando, assim, o valor presente. Na HP 12C©, o cálculo fica bem mais

simples. Veja:

f REG 0 g CF0 100 CHS gd CFj 0 CHS gd CFj 200 CHS gd CFj

50 CHS gd CFj 10 i f NPV

No visor: 275,32.

Ou seja, o valor presente é igual a R$ 275,32.

6.6 Sistemas de Amortização de Empréstimos

Amortizar significa abater do saldo devedor. Explica-se:

Quando ocorre um pagamento (PMT), esse valor divide-se em duas componentes: uma

corresponde aos juros devidos e a outra à amortização que fará com que o saldo devedor

reduza-se a fim de que o valor devido seja liquidado no final do período acordado.

43210

100

200

50

PV=?

Existem vários sistemas de amortização, sendo que os principais são: (i) sistema de

amortização francês (ou tabela PRICE); (ii) sistema de amortização crescente (tabela

SAC); (iii) sistema de amortização misto (tabela SAM); e (iv) sistema de financiamento

americano. Todos esses sistemas serão tratados nesta apostila.

6.6.1 Tabela PRICE

Esse é o sistema de amortização mais utilizado no Brasil, sendo dado pela função PMT da

HP 12C©. Segundo Viera Sobrinho (2000, p. 220), esse sistema consiste em um plano de

amortização de uma dívida em prestações periódicas, iguais e sucessivas, em que o valor

de cada prestação é composto por duas parcelas distintas: uma de juros e outra de capital

(chamada amortização). Resumindo, matematicamente, PMT = A + J, em que A é a

amortização e J são os juros.

Veja um exemplo:

Um financiamento de uma moto no valor à vista de R$ 5.000,00 será amortizado pela

tabela PRICE em cinco meses à taxa de 10% a.m. Construa a tabela.

A tabela consiste nos n períodos mais os respectivos saldos devedores, amortização, juros e

pagamento.O preenchimento da tabela segue estes passos:

1º) Calcula-se as parcelas pela HP 12C.

f FIN 5 n 10 i 5000 PV PMT

O resultado é: R$ 1.318,99

2º) Calcula-se 10% do saldo devedor no tempo 0.

3º) Coloca-se esse valor nos juros no tempo 1.

4º) Subtrai-se do SD (saldo devedor) no tempo 0 (5.000) o valor da amortização

encontrada anteriormente (818,99). Esse valor constitui o saldo devedor do

tempo 1.

5º) Esse procedimento deve ser seguido até zerar a tabela (0,00 em SD), tomando-se

o devido cuidado, pois o fato de constar zero na tabela não é garantia de que os

cálculos estão corretos.

Para encontrar os valores dessa tabela na HP 12C©, siga os seguintes passos:

f FIN 5 n 10 i 5000 PV PMT 1 f AMORT x y RCL PV

1 f AMORT x y RCL PV 1 f AMORT x y RCL PV

1 f AMORT x y RCL PV 1 f AMORT x y RCL PV

1 f AMORT x y RCL PV

Cada vez que digitar 1 f AMORT, obtém-se o valor do juros para um dado período. Com

x y , obtém-se o valor da amortização. E com RCL PV, obtém-se o valor do saldo

devedor seguinte.

6.6.2 Sistema de Amortização Constante (SAC)

Nesse sistema, o devedor obriga-se a restituir o principal em n prestações nas quais as

cotas de amortização são sempre constantes. Em outras palavras, o principal da dívida é

dividido pela quantidade de períodos n e os juros são calculados em relação aos saldos

existentes mês a mês. A soma do valor de amortização mais o dos juros é que fornecerá o

valor da prestação. Não há necessidade de fórmulas complicadas, mas você precisará

montar uma planilha em situações de períodos mais ou menos longos. Esse tipo de

empréstimo é usado pelo SFH (antigo Sistema Financeiro de Habitação) e também, em

certos casos, em empréstimos às empresas privadas através de entidades governamentais.

Utilizando-se os mesmos dados do exemplo, visto no estudo da tabela PRICE, obtém-se a

seguinte tabela.

Para a elaboração dessa tabela, observam-se os seguintes passos.

1º) Divide-se o saldo devedor no tempo 0 pelo número de períodos da tabela.

2º) Preenche-se toda a coluna da amortização, que será igual a um valor constante

(no caso R$ 1.000,00, que correspondem a R$ 5.000 dividido por 5).

3º) Calculam-se os juros do primeiro mês, que correspondem a 10% do saldo

devedor do período anterior.

4º) Para achar o pagamento, soma-se a amortização com os juros (no caso,

R$ 1.000,00 + R$ 500,00 para o primeiro mês).

5º) Segue-se o mesmo procedimento para completar o resto da tabela.

6.6.3 Sistema de Amortização Mista (SAM)

Utilizado, por exemplo, pela Caixa Econômica Federal (CEF), esse sistema é baseado no

SAC e no Sistema PRICE. Nesse caso, a prestação é igual à média aritmética entre as

prestações dos dois outros sistemas, nas mesmas condições. Isso implica que as

amortizações são crescentes, de modo que esse sistema também pode ser denominado de

SACRE.

Utilizando-se os mesmos dados dos exemplos anteriores (também vistos para os sistemas PRICE e

SAC), obtém-se a seguinte tabela:

SAM ou SACRE (10%)mês SD A J PMT

0 5.000,00 0,00 0,00 0,001 4.090,51 909,49 500,00 1.409,492 3.140,06 950,44 409,05 1.359,493 2.144,58 995,49 314,01 1.309,494 1.099,54 1.045,04 214,46 1.259,495 0,00 1.099,54 109,95 1.209,49

Para montar a tabela, são observados os seguintes passos:

1º) Calcula-se a média aritmética dos pagamentos das tabelas PRICE e SAC para

cada período. Matematicamente, PMTSAM = (PMT PRICE + PMT SAC)/2.

Então preenchem-se as colunas de cada PMT da SAM.

2º) Em seguida, calculam-se os juros do primeiro mês, que correspondem a 10% do

saldo devedor do período anterior.

3º) Subtraem-se do PMT os juros encontrados, obtendo-se, assim, a amortização.

4º) Subtrai-se do saldo devedor a amortização encontrada, obtendo-se, assim, o

saldo devedor seguinte.

5º) Seguem-se os mesmos procedimentos para se encontrar os valores seguintes.

6.6.4 Sistema Americano

Nesse sistema, o devedor obriga-se a devolver o principal em um único pagamento,

normalmente, ao final, enquanto os juros são pagos periodicamente. Nesse caso, não

existem cálculos complexos. Se for uma taxa de juros fixa, basta usar um cálculo de juros

simples que você terá o total de juros.

Existem duas modalidades no sistema americano. Na primeira, somente os juros são pagos

no vencimento de cada período, e o saldo devedor é pago integralmente ao final do

contrato. Na segunda modalidade, paga-se tudo ao final do contrato (isso é, juros e

amortização.

Não há necessidade de se construírem tabelas para esse modelo, pois os cálculos são bem

simplificados. A título de exemplo, veja o que ocorre com os mesmos dados utilizados para

visualização dos outros sistemas. Nos meses 1, 2, 3, 4 e 5, pagam-se R$ 500,00 de juros e,

no quinto mês, paga-se, além dos juros, o saldo devedor de R$ 5.000,00.

6.6.5. Comparando os sistemas de amortização

Observe o quadro a seguir, em que as setas para cima indicam que os valores são

crescentes, as setas para baixo sinalizam que os valores são decrescentes, os travessões

mostram que os valores são constantes e NA referem-se aos casos em que não se aplica.

SISTEMA PRICE SAC SAM AMERICANOAmortização – NAJuros –Pagamento – –Saldo Devedor NA





□ Você sabe o que são séries de pagamento.

□ Você sabe somar séries de pagamentos variáveis e séries de

pagamentos uniformes.

□ Você sabe fazer a tabela PRICE, a tabela SAC e a tabela SAM.

□ Você consegue comparar a amortização, o sistema devedor, os

juros e os pagamentos de cada sistema de amortização.


Para uma pessoa que toma empréstimo, quais são as vantagens e as desvantagens de cada

um dos sistemas de amortização estudados neste capítulo? Qual desses sistemas seria mais

inclusivo, ou seja, permite financiamento para pessoas com renda mais baixa.


1) Qual o valor da prestação referente ao financiamento, em seis meses, a uma taxa de

4,3%, de uma televisão, cujo preço à vista é de R$1.000,00?

2) Qual é o valor da prestação para que se obtenha um montante de R$17.455,58,

proveniente de um plano de capitalização de 10 meses a uma taxa de 1,2% a.m?

3) Quantas parcelas mensais de R$ 350,00, deverei depositar em um plano de

capitalização, à taxa de 2% a.m,. para obter o montante de R$ 12.370,51?

4) Quantos períodos serão necessários para que uma taxa de 3,5% a.m., sobre

prestações bimestrais de R$ 373,78, produza um montante de R$ 4.500,00?

5) Uma geladeira foi financiada em 12 pagamentos mensais e iguais de R$ 57,00.

Qual o valor dessa geladeira, sabendo-se que o comprador deu 70% do preço à

vista de entrada e a taxa de financiamento foi de 5,8% a.m.?

6) A imobiliária Barracão S/A vende um apartamento por R$ 151.000,00 à vista.

Como alternativa a seus clientes oferece dois planos de financiamento:

a. Entrada de R$ 50.000,00 mais quatro prestações trimestrais de R$ 31.770,00.

b. Entrada de R$ 30.000,00 mais seis prestações bimestrais de R$ 25.200,00.

Um cliente que aplica seu dinheiro a 3,228% a.m deve escolher qual opção?

7) Uma loja de eletrodomésticos diz que sua taxa de juros é de 1,5% a.m. Nessas

condições, em uma compra de R$ 5.000,00 para ser paga em seis prestações, o

valor da prestação será: R$ 5.000,00 x 0,015 x 6 = R$ 450,00. Prestação a pagar =

(R$ 5.000,00 + R$ 450,00) 6 = R$ 908,33. Sabendo-se que a primeira prestação

vence em um mês, pergunta-se: por esse plano, a loja está realmente cobrando a

taxa anunciada?

8) Considerando o problema anterior, sabendo-se que a primeira prestação deu-se no

ato da compra, a loja estaria cobrando a taxa anunciada?

9) Uma revendedora de automóveis usados oferece os seguintes planos na venda de

um carro:

a. 12 prestações mensais de R$ 195,30 sem entrada.

b. Entrada de R$ 1.000,00, mais seis prestações bimestrais de R$ 194,25.

Sendo a taxa de mercado de 2% a.m, qual é a melhor alternativa para o comprador?

10) Uma pessoa pretende comprar um apartamento no valor de R$ 300.000,00 ao fim

de dois anos. Sabendo-se que, hoje, ela possui R$ 100.000,00 em dinheiro, a que

taxa mensal deve aplicar essa poupança e os 24 depósitos mensais de R$ 329,88

que pretende fazer, para que seu objetivo seja alcançado?

11) Uma mercadoria está sendo vendida à vista com 10% de desconto ou parcelada em

três vezes, sendo 40% do seu preço como entrada; 30% em 30 dias e 30% em 60

dias. Como obtenho 12% a.m. de ganho nas minhas aplicações financeiras, deverei

efetuar essa compra à vista ou faturada?

12) Qual o valor de cada prestação balão (prestações iguais) a ser dada nos meses 4, 8 e

12 de um financiamento concedido por 12 meses a uma taxa de 7,5% a.m., em que

as prestações mensais foram de R$ 1.000,00 e o valor do bem financiado foi de

R$ 11.000,00?

13) Ao comprar um carro cujo preço é de R$ 25.000,00, uma pessoa ofereceu 25% de

entrada e o restante em 18 prestações mensais. Determine o valor da prestação,

sabendo que o vendedor cobra uma taxa de 30% a.a nominalmente.

14) Uma pessoa dispõe mensalmente de apenas R$ 1.500,00 para pagar 12 prestações

mensais iguais e sucessivas, relativas ao financiamento de um equipamento, cujo

valor à vista é de R$ 20.000,00. Calcule o valor que deve ser dado de sinal, a título

de entrada, para que o financiamento seja efetuado a uma taxa de 36% a.a,

capitalizado mensalmente.

15) Uma pessoa deve atualmente 18 prestações mensais de R$ 520,00 cada uma. Com

o intuito de adequar esses desembolsos mensais com suas disponibilidades de

caixa, ela está propondo ao credor a transformação desse fluxo de caixa em uma

série de seis pagamentos trimestrais, iguais e sucessivos. Para uma taxa de juros de

6,5% a.m., determine o valor de cada prestação trimestral que está sendo proposta.

16) Um imóvel é vendido por R$ 55.000,00 à vista. A construtora facilita o negócio da

seguinte forma: entrada de 12%; prestação intermediária de R$ 8.000,00 vencível

de hoje a três meses; R$ 10.000,00 vencível de hoje a sete meses; R$ 12.000,00 de

hoje a 12 meses; e 12 prestações mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira

de hoje a um mês. Para uma taxa de juros de 9% a.m, determine o valor de cada

prestação mensal.

17) Uma loja vende um tapete em 12 prestações mensais de R$ 97,49 ou em 24

prestações mensais de R$ 61,50. Nos dois casos, o cliente não dá entrada alguma.

Sabendo-se que a taxa de juros praticada no mercado é de 2,5% a.m, pergunta-se:

qual o melhor sistema para o comprador?

18) O pai de um estudante efetua mensalmente, durante 36 meses, depósitos de R$

290,00 em um banco que paga 1,85% a.m sobre o saldo credor. Esse dinheiro

destina-se ao custeamento dos estudos superiores do filho. Qual será o montante

acumulado após ser efetuado o último depósito?

19) Um corretor prometeu a um cliente que, se efetuasse 15 depósitos trimestrais de

R$ 1.050,00, ele teria, um trimestre depois, a quantia de R$ 21.000,00. Que taxa de

juros ele está oferecendo ao cliente?

20) Quantos depósitos bimestrais de R$ 900,00 serão necessários para que, se a taxa de

remuneração for de 1,98% a.m., obtenha-se o montante de R$ 35.170,75?

21) Um terreno é vendido por R$ 10.000,00 de entrada e 36 prestações mensais de

R$ 750,00. Sabendo-se que a taxa de juros corrente no mercado é de 1,25% a.m.,

até que preço vale a pena comprar o terreno à vista.

22) Em uma seção de classificados, anuncia-se uma casa por R$ 250.000,00 à vista ou

em quatro prestações trimestrais de R$ 77.600,00. Qual é a melhor opção de

compra, uma vez que a taxa de juros corrente é de 10% a.t?

23) Uma pessoa aplicou R$ 15.000,00 e, após dois anos, recebeu a soma total de

R$ 26.564,89. Que depósitos mensais, nesse período, produziriam a mesma soma,

se os juros sobre o saldo credor fossem beneficiados com a mesma taxa da primeira

hipótese?

24) Qual o montante a ser obtido em 10 meses com as seguintes características

a. A primeira prestação ocorrerá em 30 dias;

b. O valor das prestações ímpares é de R$ 5.000,00;

c. As prestações pares serão maiores que as ímpares na razão de 1,20;

d. A taxa de juros efetiva desse plano é de 183,9421% ao período de 10 meses.

25) Pretendo comprar um carro usado e posso pagar no máximo R$ 980,00 mensais.

Como o carro custa R$ 7.500,00 e a financeira cobra juros de 4% a.m., pergunto:

em quantos meses pagarei por esse carro? Se tiver de dar alguma entrada, qual será

o valor?

26) Qual o valor de um bem que foi vendido em 15 pagamentos mensais de R$

1.000,00, à taxa de 10% a.m., sendo que a primeira prestação foi paga no ato da

compra?

27) Qual o valor de uma TV em cores que foi vendida em 15 pagamentos mensais

iguais de R$ 120,00, sendo que a primeira foi paga três meses após o negócio e a

taxa de financiamento é de 8,89% a.m.?

28) Um financiamento no valor de R$ 250.000,00 deverá ser pago em 24 prestações

mensais, à taxa de 1,25% a.m, mais dois pagamentos adicionais de R$ 50.000,00

cada, por ocasião dos vencimentos da 6ª e 18ª prestações. Calcule a prestação.

29) Determine o valor de 12 depósitos mensais e iguais que, rendendo à taxa de

1,8% a.m., permita fazer 10 retiradas mensais de R$ 600,00, sendo:

a. O primeiro depósito efetuado daqui a 30 dias e a primeira retirada daqui a

13 meses.

b. O primeiro depósito efetuado daqui a 30 dias e a primeira retirada daqui a

12 meses.

c. O primeiro depósito efetuado hoje e a primeira retirada daqui a 16 meses.

30) Um financiamento de R$ 200.000,00 é concedido para pagamento em 36

prestações mensais iguais, com três meses de carência. Para uma taxa de juros de

3,5% a.m., determine o valor das prestações.

31) Um imóvel é vendido à vista por R$ 83.200,00 ou em quatro prestações mensais de

R$ 20.857,90, ocorrendo o primeiro pagamento três meses após a compra. Qual

deve ser o valor da entrada, admitindo uma taxa de juros de 4% a.m?

32) Um pai, feliz com o nascimento do seu primeiro filho, resolve fazer um plano de

capitalização, com depósitos mensais de R$ 75,00, a partir do primeiro mês de vida

do menino até ele completar 18 anos. Sabendo que, dos 18 aos 21 anos do filho,

não haverá depósitos mensais, mas o montante gerado será capitalizado e,

considerando que o rendimento a ser pago é de 6% a.a. como taxa nominal, com

capitalizações mensais, qual será o montante à disposição dessa criança ao final

desse plano de capitalização?

33) O gerente financeiro de uma loja deseja estabelecer coeficientes de financiamento

por unidade de capital emprestado. O resultado da multiplicação do coeficiente pelo

valor financiado é igual à prestação mensal. Sabendo-se que a taxa de juros da loja

é de 4,5% a.m., quais são os coeficientes unitários para planos antecipados (com

uma prestação no ato da compra) e imediatos (com a primeira prestação no final do

1º período) nas hipóteses de prazos de 6, 12 e 24 meses?

34) Em um anúncio de uma loja de vendas a crédito, informa-se que, pela compra de

certo televisor, o cliente pagará 18 prestações mensais de R$ 119,96, vencendo a

primeira prestação no fim do 6º mês. Qual será o preço à vista desse aparelho, se a

taxa de juros for de 3% a.m.?

35) Qual deve ser o valor da prestação mensal na compra de um automóvel, cujo preço

à vista é de R$ 5.000,00, se a primeira prestação ocorrer três meses após a compra?

Considere uma taxa de 2,8% a.m., para um plano de 24 prestações.

36) Um clube vende títulos de sócio mediante uma entrada de R$ 500,00 e 60

prestações mensais de R$ 200,00. Para facilitar a venda, permite uma carência de

até cinco meses para o pagamento da primeira prestação. Qual é o valor do título,

uma vez que a taxa de juros de mercado é de 2,5% a.m.?

37) Na venda de um carro a revendedora propõe o seguinte esquema:

a. Entrada de R$ 10.000,00 mais 24 prestações mensais de R$ 1.500,00

b. Entrada de R$ 10.000,00 mais 24 prestações mensais de R$ 1.722,00 com

carência de seis meses.

Qual será a melhor opção para o comprador, se a taxa de juros vigente for de 3,5% a.a

capitalizados mensalmente.?

38) O gerente financeiro de um magazine, atendendo a uma nova política de vendas (a

prazo, com carência), resolve publicar os coeficientes para facilitar o trabalho do

vendedor no cálculo do valor das prestações. Esses coeficientes serão aplicados

sobre cada unidade de capital financiado, correspondendo a uma taxa de 4% a.m.

Calcule os coeficientes nas seguintes hipóteses:

Carência Número de prestações mensais

a) 3 meses 12

b) 3 meses 24

c) 4 meses 24

d) 6 meses 24

39) Uma pessoa resolve efetuar depósitos mensais de R$ 130,00, durante três anos, em

um banco que paga 1,35% a.m. Os depósitos serão feitos todo fim de mês, de

janeiro a junho apenas. Quanto possuirá essa pessoa no dia 31 de dezembro do

último ano de depósitos?

40) O contrato de venda de uma casa foi assinado no dia 31 de dezembro de 1995,

quando então o comprador deu R$ 50.000,00 de entrada, comprometendo-se a

pagar mensalmente por dois anos, de 30 de abril a 31 de dezembro, 18 prestações

de R$ 4.000,00. Qual será o valor à vista da casa, se a taxa de juros vigente for de

4,5% a.m.?

41) Se um investidor optar por efetuar depósitos apenas nos três últimos meses de cada

ano em uma instituição que paga 3% a.m. de juros, qual deverá ser o valor desses

depósitos para que, no fim de quatro anos, esse investidor possua R$ 500.000,00?

42) A compra de um apartamento no valor de R$ 250.000,00 foi feita mediante entrada

de 20% e o restante em prestações trimestrais durante cinco anos. Qual é o valor da

prestação, já que a taxa acertada foi de 1,5% a.m.?

43) Qual é a prestação mensal de um imóvel, cujo preço à vista é de R$ 150.000,00?

Considere prazo de 24 meses e taxa efetiva de 6% ao quadrimestre para planos

imediatos.

44) O seguro de um automóvel por um ano pode ser pago à vista por R$ 5.400,00 ou

em 12 parcelas mensais de R$ 513,09, sendo a primeira parcela na assinatura do

contrato e as demais a cada 30 dias. Que taxa de juros efetiva está sendo cobrada?

45) No plano de venda de uma chácara, constava uma entrada de R$ 10.000,00, mais

50 prestações mensais de R$ 500,00, juntamente com 10 parcelas semestrais de R$

2.000,00. Qual seria o preço à vista da chácara, se, conforme disse o corretor, os

juros fossem de 30% a.a.?

46) A compra de um carro foi feita a prazo em seis prestações trimestrais de R$

3.000,00. O comprador, entretanto, solicitou o pagamento em 18 prestações

mensais, para que houvesse diluição dos compromissos. De quanto deveriam ser as

prestações mensais, uma vez que a taxa de juros era de 7,689% a.t.?

47) Na venda de um imóvel, o proprietário pede R$ 100.000,00 de entrada, 36

prestações mensais de R$ 3.000,00 e três parcelas anuais de R$ 20.000,00. Uma

contraproposta foi feita no seguinte esquema: entrada de R$ 80.000,00, 12

prestações mensais de R$ 4.000,00, seguidas de mais 12 prestações mensais de R$

9.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros vigente é de 2,5% a.m., qual é a melhor

alternativa para o vendedor?

48) Tendo comprado uma motocicleta em 24 prestações mensais de R$ 510,00, o

cliente propôs sua substituição para 12 prestações bimestrais. Qual será o valor

dessa nova prestação, se a taxa de juros considerada for de 2% a.m.?

49) Que taxa de juros transforma 36 prestações mensais de R$ 100,00 em 12 prestações

trimestrais de R$ 309,09?

50) O preço à vista de um carro é de R$ 51.000,00. A revendedora concede carência de

seis meses, sendo o financiamento pago em 24 prestações mensais de R$ 2.094,64.

Qual deverá ser a entrada, se os juros forem de 3% a.m.?

51) Uma pessoa pretende formar um pecúlio, mediante depósitos mensais de R$ 200,00

em um banco que paga 2,5% a.m., para que possa futuramente efetuar 20 saques

trimestrais de R$ 1.940,07, ocorrendo o primeiro saque três meses após o último

depósito. Quantos depósitos deverão ser feitos?

52) Uma pessoa comprou um televisor de R$ 3.500,00 em 24 prestações mensais. Após

ter pagado quatro prestações, essa pessoa, por questão de viagem, deixou de pagar

seis meses, quando então foi à loja e pediu para liquidar todo o seu débito, isto é, as

prestações vencidas e vincendas. O gerente da loja aceitou tal proposta, notificando

que a taxa de juros considerada seria de 3% a.m. Qual é o valor do débito?

53) Em uma instituição que paga 2,5% a.m., foram feitos seis depósitos mensais, que,

em ordem cronológica, foram: R$ 300,00, R$ 100,00, R$ 50,00, R$ 500,00, R$

200,00 e R$ 400,00. Qual é o montante após o último depósito?

54) Um terreno é vendido mediante entrada de R$ 10.000,00 e mais três parcelas, sendo

a primeira de R$ 2.000,00 para três meses, a segunda de R$ 6.000,00 para oito

meses e a última de R$ 20.000,00 para 12 meses. Sabendo-se que a taxa vigente no

mercado é de 1, 35% a.m., qual é o preço à vista do terreno?

GABARITO

1) 192,63

2) 1.653,36

3) 27 parcelas

4) 9 períodos

5) 1.610,54

6) Opção “a” PVA = 150.706,71 e PVB = 151.765,16

7) A taxa que está sendo cobrada é i = 2,52% a.m.

8) A taxa que está sendo cobrada é i = 3,58% a.m.

9) Opção “b” PVA = 2.065,36 e PVB = 2.016,90

10) 4,48% a.m.

11) Comprar à vista. O PV das prestações = 50,70% vr. financiado.

12) 1.887,82

13) 1.306,31

14) 5.068, 99

15) 1.663,70

16) 4.536,66

17) 1.000,03

18) 14.650,91

19) 3,517364304% a.t.

20) 24 bimestres

21) Preço 31.635,45

22) 245.981,56

23) 830,38

24) 91.535,17

25) 9 prestações + entrada de 213,38

26) 8.366,69

27) 821,11

28) 7.932,89

29) a) 410,67 b) 418,06 c) 382,38

30) 10.928,45

31) 13.200,01

32) 34.765,35

33)PLANO 6 MESES 12 MESES 24 MESESImediato 0,193878 0,109666 0,068987Antecipado 0,185530 0,104944 0,066016

34) 1.423,19

35) 305,32

36) 5.963,75

37) PV do plano “A” = 44.720,03 e PV do plano “B” = 49.168,14

38) a) 0,119857 b) 0,073777 c) 0,076727 d) 0,082988

39) 3.107,82

40) 90.502,20

41) 21.988,43

42) 15.465,74

43) 7.460,28

44) 2,48% a.m. ou 34,19% a.a.

45) 35.463,98

46) 975,41

47) Proposta = 204.819,25 Contraproposta = 189.676,05

Portanto a contraproposta não interessa ao vendedor.

48) 1.030,20

49) 3% a.m.

50) 21.291,20

51) 50 depósitos

52) 3.671,31

53) 1.633,96

54) 34.338,06

7 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS

Leia o seguinte artigo, de John Kelleher e Justin MacCormack, publicado na revista

HSM Management em fevereiro de 2005.

Cuidado com a TIRSe o diretor financeiro da empresa sente-se tentado por um projeto que parece ter alta taxa interna de retorno, é melhor reexaminá-lo do ponto de vista dos fluxos de caixa intermediários.

SINOPSE Fazer um projeto ruim parecer bom e um bom parecer melhor ainda. Por anos,

tem sido consenso entre os especialistas que os cálculos típicos da taxa interna de retorno (TIR) envolvem premissas de reinvestimento que causam esse efeito.

Apesar disso, 75% dos diretores financeiros quase sempre utilizam a TIR para avaliar projetos de investimento—segundo dados de empresas dos Estados Unidos. E mais: numa pesquisa informal com 30 executivos daquele país, apenas seis mostravam-se perfeitamente cientes das principais deficiências da TIR.

O que fazer? A maneira mais fácil de evitar problemas com a TIR é deixar de utilizá-la, como sugere este estudo da firma de consultoria McKinsey. Se isso for inviável no curto prazo, os executivos devem pelo menos adotar a taxa interna de retorno modificada (TIRM), que permite fixar taxas de reinvestimento mais realistas para os fluxos de caixa intermediários, levando a um cálculo mais correto do rendimento anual do projeto.

É possível que os executivos financeiros simplesmente gostem de viver perigosamen te. Será essa a única explicação para o fato de sempre utilizarem a taxa interna de retorno para avaliar os projetos de investimento?

Por décadas, os livros acadêmicos de finanças e os professores de economia têm emitido sinais de alerta para o fato de que os cálculos típicos da TIR envolvem premissas de reinvestimento que fazem um projeto ruim parecer bom e um projeto bom parecer melhor ainda.

No entanto, até bem recentemente, em 1999, as pesquisas acadêmicas constataram que três quartos dos diretores financeiros sempre, ou quase sempre, utilizam a TIR para avaliar seus projetos de investimento.

Nossa própria pesquisa também confirmou essa propensão ao comportamento de risco. Em uma pesquisa informal com 30 executivos de empresas de diversos setores, fundos hedge e empresas de venture capital, encontramos apenas seis que estavam perfeitamente cientes das principais deficiências da TIR.

A surpresa seguinte da pesquisa surgiu quando reanalisamos cerca de 20 investimentos que uma empresa havia feito com base em taxas internas de retorno atraentes. Se a TIR calculada para justificar esses investimentos tivesse sido ajustada para corrigir os problemas inerentes a esse critério de avaliação, as prioridades atribuídas pelos executivos aos projetos e sua visão da atratividade global desses investimentos teriam mudado significativamente.

Sendo assim, por que os diretores financeiros continuam a fazer o que não devem? É claro que a TIR tem seus atrativos, já que possibilita uma comparação direta entre, digamos, uma taxa de retorno anual de 30% em determinado projeto e a taxa de 8% ou 18%

que, nos Estados Unidos, a maioria das pessoas paga no financiamento de veículos ou em cartões de crédito. Aparentemente, essa facilidade de comparar mais do que compensa os problemas que muitos executivos atribuem a deficiências técnicas, que, segundo eles, criam distorções irrelevantes cm circunstâncias relativamente isoladas.

Deve ser reconhecido que algumas das deficiências intrínsecas da TIR são técnicas, ou devidas a detalhes matemáticos. Entretanto, os problemas mais perigosos relacionados à TIR não são isolados nem irrelevantes e podem ter implicações sérias para os responsáveis pelo orçamento de capital.

Quando os executivos decidem financiar apenas os projetos com TIRs mais altas, é possível que estejam baseando sua decisão em cálculos bastante distorcidos. Nesses casos, uma consequência possível é a redução da riqueza dos acionistas, porque é bem provável que a empresa não esteja implementando os projetos mais lucrativos.

As companhias também correm o risco de criar expectativas irreais para si mesmas e seus acionistas e, possivelmente, emitir comunicados confusos a seus investidores e inflacionar a remuneração dos executivos.

Acreditamos que os executivos devam evitar completamente a utilização da TIR; se continuarem adotando-a, que, pelo menos, façam os ajustes exigidos pelo pressuposto mais perigoso inerente a esse critério de avaliação: o de que os fluxos de caixa intermediários são reinvestidos a taxas de retorno iguais à TIR.

O problema da TIREm geral, os diretores financeiros interpretam a taxa interna de retorno como sendo o

retorno anual equivalente a determinado investimento. E é essa analogia simples que gera seu apelo intuitivo. Na verdade, a TIR é uma indicação efetiva do retorno anual do investimento em um projeto somente, quando este não gera fluxos de caixa intermediários — ou quando tais fluxos possam a ser realmente investidos a taxas iguais à TIR efetiva.

Quando a TIR calculada é superior à taxa efetiva de reinvestimento dos fluxos de caixa intermediários, pode surgir, às vezes de forma significativa, uma expectativa irreal de retorno anual equivalente ao do projeto de investimento. A fórmula pressupõe que a empresa tenha projetos adicionais, com perspectivas igualmente atraentes, nos quais terá a possibilidade de investir os fluxos de caixa intermediários. Nesse caso, o cálculo leva implicitamente em conta a existência de tais projetos. Os cálculos de valor presente líquido (VPL), por outro lado, geralmente pressupõem apenas que a empresa pode obter retorno pelo menos igual a seu custo de capital, reinvestindo os fluxos de caixa intermediários, deixando qualquer valor adicional com esses projetos futuros.

Os pressupostos da TIR sobre reinvestimento podem levar a grandes distorções no orçamento de capital. Façamos uma avaliação de dois projetos hipotéticos e mutua mente exclusivos, A e B, com fluxos de caixa, níveis de risco e prazos idênticos, e a mesma TIR (41%). Utilizando a TIR como critério de decisão, um executivo deveria sentir-se seguro, se ficasse indiferente entre os dois projetos. No entanto, nunca é aconselhável escolher um projeto sem analisar cuidadosamente a taxa que a empresa obterá ao reinvestir seus fluxos de caixa intermediários. Suponhamos que os fluxos de caixa intermediários do Projeto B só possam ser reinvestidos ao custo de capital típico de 8%, enquanto os do Projeto A possam ser reinvestidos em outro projeto atraente, que a empresa acredita ter potencial para gerar um retorno anual de 41%. Nesse caso, a escolha óbvia seria o Projeto A.

Mesmo nos casos em que os fluxos de caixa intermediários possam ser efetivamente reinvestidos a taxas equivalentes a TIR, poucos usuários defenderiam a ideia de que o valor de investimentos futuros deveria ser incorporado ao valor do projeto que está sendo avaliado. A maioria diria que o custo do capital da empresa – por definição, o retorno disponível a seus acionistas em investimentos com risco semelhante– é uma esco lha mais clara e lógica como taxa a ser presumida no reinvestimento de fluxos de caixa intermediários de um projeto.

Não é aconselhável escolher um projeto sem analisar cuidadosamente a taxa que a empresa obterá ao reinvestir seus fluxos de caixa intermediários.

Quando se utiliza o custo de capital, o efetivo rendimento anual equivalente de um projeto pode cair significativamente – mais uma vez, especialmente em projetos com altas

TIRs iniciais. Obviamente, quando os executivos avaliam projetos com TIRs próximas às do custo de capital da empresa, a taxa interna de retorno sofre menos distorções em consequência da hipótese sobre a taxa de reinvestimento. Entretanto, nos projetos com TIRs de 10% ou mais acima do custo de capital da empresa, as distorções podem ser significativas. Ironicamente, TIRs não ajustadas são particularmente traiçoeiras, porque a distorção causada pela taxa de reinvestimento é mais importante exatamente, quando os executivos tendem a achar que os projetos são mais atraentes. Entretanto, como essa distorção não é sentida da mesma forma em todos os projetos, os executivos não podem simplesmente eliminá-la corrigindo a TIR por uma magnitude padronizada.

Qual o tamanho do possível impacto de uma premissa de taxa de reinvestimento imprecisa? Num período de cinco anos, os executivos de uma grande indústria aprovaram 23 importantes projetos de investimento com TIRs de 77% em média. Recentemente, no entanto, quando reexaminamos os projetos utilizando como taxa de reinvestimento, o custo de capital da empresa, a verdadeira média da taxa de retorno, caiu para apenas 16%. A ordem dos projetos mais atraentes também mudou substancialmente. O melhor projeto, com base na TIR, caiu para a décima posição. Mais surpreendentemente, os três projetos mais valorizados pela empresa – com TIRs de 800%, 150% e 130% – caíram para apenas 15%, 23% e 22%, respectivamente, quando executivos utilizaram uma taxa de reinvestimento mais realista. Infelizmente, as decisões de investimento já haviam sido tomadas. É claro que TIRs tão extremas quanto essas são raras. Ainda assim, mesmo que a TIR de um projeto caia de 25% para 15%, o impacto é considerável.

O que fazer?A maneira mais fácil de evitar problemas com a TIR e deixar de utilizá-la. Infelizmente,

como é amplamente adotada, é pouco provável que venha a ser substituída no curto prazo. Os executivos deveriam, pelo menos, usar a taxa interna de retorno modificada (TIRM). Embora não seja perfeita, a TIRM apresenta uma vantagem: permite aos usuários fixar taxas de reinvestimento mais realistas para os fluxos de caixa intermediários e, portanto, calcular o rendimento anual equivalente de forma mais correta. Mesmo assim, recomendamos a todos os executivos, que analisam projetos que parecem apresentar uma TIR atraente, que respondam a duas perguntas:

1. Que taxas de reinvestimento de fluxos de caixa intermediários estão sendo supostas? Na grande maioria dos casos, uma suposição de que os fluxos intermediários podem ser reinvestidos a taxas mais altas é, na melhor das hipóteses, exageradamente otimista ou, na pior, totalmente errada. Particularmente nos casos em que os defensores de um projeto o qualificam como "especial" ou "oportunidade única na vida", é bem provável que não exista mesmo outra oportunidade com a mesma atratividade naquele momento. Daí decorre que os fluxos intermediários não poderão ser reinvestidos a taxas suficientemente altas. Por isso, o melhor pressuposto – e que utilizado em uma correta análise de fluxos de caixa descontados – é o de que os fluxos intermediários podem ser reinvestidos a uma taxa igual ao custo de capital da empresa.

2. Os fluxos de caixa intermediários tendem a ocorrer no início ou no fim dos projetos? A menos que a taxa de reinvestimento de fluxos intermediários seja correta (em outras palavras, uma taxa verdadeira de reinvestimento, e não a taxa interna de retorno calculada), a distorção da TIR será maior, quando os fluxos de caixa intermediários ocorrerem mais cedo. Pode parecer que esse conceito vá contra a intuição humana, uma vez que geralmente preferimos dispor de dinheiro mais cedo do que mais tarde. O motivo simples para esse problema é o fato de que a diferença entre a taxa efetiva de reinvestimento e a TIR presumida permanece por um período maior de tempo, daí o maior impacto acumulado dessa distorção.

Mais ceticismoA despeito das falhas que possam levar a decisões de investimento inadequadas, a TIR

provavelmente continuará a ser amplamente utilizada nas discussões sobre orçamento de capital em função de seu forte apelo intuitivo. Os executivos deveriam, pelo menos, ser mais céticos antes de tomar suas decisões de investimento.

Este capítulo ajudar-lo-á a entender melhor as questões levantadas nesse texto, além de

ampliar sua perspectiva acerca da análise de investimentos, fundamental no processo

decisório das empresas.

Para tomar-se uma decisão de investir, é necessário observar dois momentos: o antes e o

depois. Este capítulo enfoca exatamente o período anterior à tomada de decisão, quando há

a análise de investimentos. Para fazer essa análise, é necessário recorrer a cálculos

financeiros para verificar a viabilidade de um investimento e, assim, evitarem-se prejuízos

ou má aplicação de recursos. Trata-se, como você já deve imaginar, de uma questão crucial

e vital para o equilíbrio, continuidade e sobrevivência das empresas.



1. Analisar a viabilidade financeira de projetos de investimento;

2. Compreender as metodologias de análise, tais como período payback, taxa interna

de retorno, taxa interna de retorno modificada, valor presente líquido e índice de

lucratividade e rentabilidade.

3. Aplicar as ferramentas a casos concretos nas mais diversas opções de

investimentos.

Após ler atentamente o conteúdo deste capítulo, você certamente terá uma noção mais

sólida e bem orientada sobre como analisar investimentos e tomar decisões.

7.2 Valor Presente Líquido (VPL)

O valor presente líquido (VPL) – ou, em inglês net present value (NPV) – constitui um dos

instrumentos mais utilizados na avaliação de propostas de investimentos de capital.

Adotando uma determinada taxa de desconto, o VPL reflete a riqueza do investimento em

valores monetários a partir da diferença entre o valor presente das entradas de caixa e o

valor presente das saídas de caixa. Nas análises, um investimento é considerado atraente

sempre que apresenta VPL maior ou igual a zero. Ele nada mais é que encontrar o valor

presente de séries variáveis.

NPV = FCo + FC1 + FC2 + FC3 + ......... FCn

(1+i)º (1+i) (1+i) (1+i) (1+i)

em que:

FC = Fluxos de caixa esperados (positivos ou negativos); e

i = taxa de atratividade (desconto), também conhecida pela sigla TMA.

Para que um projeto seja considerado viável financeiramente, é necessário que o VPL seja

maior que zero. Do contrário (VPL negativo), o projeto não deve ser levado adiante.

O VPL é um dos melhores métodos e o mais indicado como ferramenta para analisar

projetos de investimentos, não apenas porque trabalha com fluxo de caixa descontado e

porque apresenta consciência matemática, mas também porque o seu resultado é em

espécie (R$), revelando a riqueza absoluta do investimento. A dificuldade em seu uso está

na identificação da taxa de desconto a ser utilizada, a qual, muitas vezes, é obtida de forma

complexa ou até mesmo subjetiva.

Veja um exemplo:

Márcio deseja aposentar-se nos próximos anos e, além disso, pretende:

- comprar um táxi no valor de R$ 15.000,00;

- colocar uma placa comercial no valor de R$ 10.000,00;

- contratar um motorista para trabalhar por cinco anos por R$ 6.000,00 anuais.

Estima-se que as despesas serão na ordem de R$ 6.000,00 para o primeiro ano, havendo

acréscimo de R$ 1.000,00 nos próximos anos. Além disso, estima-se que o faturamento

anual será de R$ 24.000,00

Ao final, Márcio pretende vender a placa pelo mesmo valor de aquisição e o veículo por

um valor residual de 40%. Calcule o VPL do empreendimento, considerando uma taxa

mínima de atratividade de 15% a.a.

Analisando-se o fluxo de caixa líquido, tem-se a seguinte tabela.

Ano Fluxo de Caixa Líquido0 -25.0001 12.0002 11.0003 10.0004 9.0005 24.000

Existem três cálculos diferentes: (i) manual; (ii) com uma calculadora financeira; e (iii)

com uma planilha do MS Excel©. No entanto o mais prático (e que será apresentado a

seguir) é o da calculadora financeira.

Assim, na HP 12C©:

f REG 25000 CHS g CF0 12000 gd CFj 11000 gd CFj

10000 gd CFj 9000 gd CFj 24000 gd CFj 15 i f NPV

No visor: 17.404,54.

Logo o projeto é viável (pois o VPL é maior que zero). Nesse caso, o investimento rende

mais que 15%.

7.3 Taxa Interna de Retorno (TIR)

A taxa interna de retorno (TIR) – em inglês, internal rate of return (IRR) – consiste em

uma das formas mais sofisticadas de avaliação de propostas de investimentos de capital.

Ela representa a taxa de desconto que iguala, em um único momento, os fluxos de entrada

com os de saída de caixa. Sob outra perspectiva, a TIR nada mais é que a taxa que produz

um VPL igual a zero.

É bastante difícil calcular a TIR manualmente, por meio de fórmulas matemáticas.

Existem, entretanto, dois meios práticos: com uma calculadora financeira ou uma planilha

eletrônica. Veja como se fazem os cálculos na HP 12C©, para o mesmo exemplo utilizado

na subseção sobre VPL:


10000 gd CFj 9000 gd CFj 24000 gd CFj f IRR

No visor: 39,19.

Como a TIR é maior que 15% (39,19%), o projeto é viável.

Graficamente, pode-se mostrar o que acontece relacionando-se a TIR com o VPL:

Se a taxa mínima de atratividade for zero, calcula-se o VPL por meio da soma dos fluxos

de caixa (veja o valor de R$ 41.000,00 no gráfico).

Cumpre observar que esse gráfico pode ser utilizado para analisarem-se dois projetos,

mutuamente exclusivos a partir da interseção de Fisher (isso é, em casos em que só se pode

escolher um: a escolha de um implica a renúncia do outro).

Verifique o gráfico a seguir referente aos dois projetos abaixo.

Projeto 1 Projeto 2

CF0 -15 -25CF1 25 40TIR 67% 60%VPL

(10%) R$ 7,73 R$ 11,36

A partir desse gráfico, pergunta-se: a partir do VPL de 10%, qual seria o projeto escolhido?

Entre os dois projetos, avaliando-se pelo VPL, escolhe-se o projeto 2, pois, como mostra a tabela a

seguir, gera R$ 11,36, ao passo que o projeto 1 gera R$ 7,73.

Projeto 1 Projeto 20% R$ 10,00 R$ 15,00

10% R$ 7,73 R$ 11,36 20% R$ 5,83 R$ 8,33 30% R$ 4,23 R$ 5,77 40% R$ 2,86 R$ 3,57 50% R$ 1,67 R$ 1,67 60% R$ 0,63 R$ 0,00 70% (R$ 0,29) (R$ 1,47)80% (R$ 1,11) (R$ 2,78)

No entanto, analisando-se o caso, sob a óptica da TIR, o projeto 1 é melhor que o projeto 2,

pois atinge uma TIR maior (67%) ao passo que o projeto 2 tem TIR igual a 60%.

Para resolver esse conflito entre a TIR e o VPLPa, pega-se o ponto de interseção de

Fischer e compara-se o valor correspondente à TIR com a taxa de atratividade. Se a taxa

mínima de atratividade for menor que a taxa da interseção de Fisher, então o projeto deverá

ser escolhido pelo VPL. Esse é o caso do problema apresentado.

É importante destacar um possível erro que você pode encontrar ao calcular a TIR na

HP 12C©. Observe, pois, o seguinte fluxo de caixa.

Inserindo-se os dados na HP 12C©:

f REG 100 CHS g CF0 230 g CFj 132 CHS g CFj f IRR

No visor: ERRO 3.

Esse erro normalmente ocorre, quando existem várias taxas internas de retorno. Sendo

assim, será necessário dar uma estimativa de taxa, para que a calculadora calcule a taxa

próxima. Nesse caso, sugere-se uma estimativa próxima de 10% (8%, por exemplo).

8 RCL g R/S

No visor: 10.

7.4 Taxa Interna de Retorno Modificada (TIRM)

1

132

2

230

100

Partindo do conceito de que, em um fluxo de caixa, a TIR calculada é a taxa que remunera

todos os valores, quer seja para trazer os fluxos de caixa a valor presente ou levá-los a

valor futuro, pode-se modificar o diagrama de fluxo de caixa e calcular a TIR Modificada.

A TIRM é uma taxa interna de retorno em que os lucros são remunerados a uma taxa

condizente com a realidade da empresa e os investimentos são financiados a taxas

compatíveis com as do mercado (consequentemente, a uma taxa de retorno de investimento

mais realista). Assim, utilizam-se as seguintes taxas:

- Taxa de Reinvestimento (TR): representa a taxa média do período do fluxo de caixa mais

conveniente para reaplicar os lucros gerados em cada ano, isso é, a taxa condizente para

reaplicar os lucros gerados no decorrer do projeto.

- Taxa de Financiamento (TF): representa a taxa média do período do fluxo de caixa mais

compatível com a captação de recursos financeiros para os investimentos, isso é, refere-se

a uma taxa que julgamos razoável para ajustar os fluxos negativos de caixa

(investimentos).

A TIRM é uma nova versão da TIR, melhorada, pois elimina aqueles problemas

matemáticos da existência de raízes múltiplas e das taxas de financiamento e

reinvestimento divergentes da realidade do mercado. Enquanto a comparação numérica da

TIR com a TMA não apresenta um significado real, essa relação, no caso da TIRM, é

factível e de fácil entendimento.

O cálculo da taxa interna de retorno modificada pode ser feito da seguinte forma:

1º) Os valores positivos do fluxo de caixa serão levados para o futuro com a taxa

de reinvestimento;

2º) Os valores negativos do fluxo de caixa serão trazidos para o presente com a

taxa de financiamento;

3º) Em seguida, calcula-se a TIRM, tendo-se o n (período) do fluxo, um FV e um

PV e, então, pedindo-se i (taxa) na HP 12C©.

4º) O cálculo pode ser feito, utilizando-se a função MTIR do MS Excel© após

digitar o fluxo de caixa.

Veja um exemplo, utilizando o seguinte fluxo de caixa mensal:

Considerando-se uma taxa de financiamento de 1,2% a.m. e uma taxa de reinvestimento de

0,6%, faz-se o seguinte na HP 12C© para calcular o valor futuro:

f FIN 3 n 0,6 id 20000 PMT PV

f FIN PV 8 nd 0,6 i FV STO1

f FIN 1 n 0,6 id 20000 CHS PV FV STO+1

50000 STO+1

f FIN 2 n 1,2 id 10000 CHS PMT PV

f FIN FV 3 nd 1,2 i PV STO2

100000 CHS STO+2

f FIN RCL2 PV RCL1 FV 8 n id

20.00020.000

50.000

1 432 6

20.000

5

100.000

7 8

10.000

20.000

10.000

No visor: 1,3392.

Para calcular no Excel©, basta inserir os dados na planilha e proceder conforme dispõe a

figura a seguir.

7.5 Período Payback

O payback corresponde ao período de recuperação de um investimento. Logo o período

payback consiste na identificação do prazo em que o montante do dispêndio de capital

efetuado será recuperado por meio dos fluxos líquidos de caixa gerados pelo investimento.

Em outras palavras, corresponde ao período em que os valores dos investimentos (fluxos

negativos) anulam-se com os respectivos valores de caixa (fluxos positivos). Embora

existam outras versões do período payback (i.e., descontado, descontado total e TIR), será

apresentada, a seguir, apenas a versão original, a qual é mais uma medida de risco do que

propriamente de retorno de investimento. Assim, um projeto cujo payback é menor que o

de outro indica menor grau de risco.

Veja um exemplo, a partir do seguinte fluxo de caixa.

Ano Investimento Lucro Saldo a Recuperar0 - 25.000 -25.0001 12.000 -13.0002 11.000 -2.0003 10.000 8.0004 9.000 17.0005 24.000 41.000

Nesse exemplo, observa-se que a recuperação ocorreu assim que o valor do saldo ficou

positivo (ou seja, do segundo para o terceiro mês).

7.6 Índice de Lucratividade (IL) e Taxa de Rentabilidade (TR)

O índice de lucratividade é a relação entre o valor presente dos fluxos de entrada

(positivos) e dos fluxos de saída (negativos). Veja um exemplo, a partir do seguinte fluxo

de caixa:

Achando-se o valor presente líquido desses fluxos de entrada e saída à taxa de 20%:

0

200.000

900.000

1 432

150.000

1.000.000

1.100.000


900000 gd CFj 11000000 gd CFj 20 id f d NPV

No visor: 315200.62

Esse é o VPL ao qual deve ser somado o valor do investimento. Assim, divide-se esse

resultado pelo investimento, como mostrado a seguir.

Encontra-se, então, o índice de lucratividade, que, no caso, equivale a 1,315.

O índice de lucratividade menos 1 (em porcentagem) representa a taxa de rentabilidade,

que consiste na relação entre o valor presente líquido determinado com a taxa de

atratividade e o valor presente dos fluxos negativos. Veja os cálculos para o exemplo

anterior:





□ Você entende o que é analisar a viabilidade financeira de

um projeto.

□ Você sabe desenvolver as diversas metodologias de

análise de projetos, como VPL, TIR e TIRM.

□ Você é capaz de aplicar as ferramentas estudadas a

diversos casos concretos.


Retomando os conceitos e o texto introdutório deste capítulo, responda:

1) O que são fluxos de caixa intermediários?

2) Por que as distorções geradas pela TIR são maiores, quando os fluxos de caixa

positivos ocorrem mais cedo?

3) Por que, mesmo sabendo-se que a taxa interna de retorno (TIR) provoca sérias

distorções, ela ainda é amplamente utilizada?

4) Quais são os pressupostos da TIR?

5) Qual a solução para resolver as múltiplas raízes da TIR?


1) Um táxi foi adquirido por R$ 60.000,00 e, após seis meses referentes à liberação da

documentação, passou a gerar R$ 3.000,00 mensalmente. Sabendo que, 20 meses após a

compra, o investimento foi transferido por R$ 50.000,00, calcule a TIR e MTIR desse

investimento. Considere a taxa de financiamento igual a 2% a.m. e a taxa de

reinvestimento igual a 1% a.m.

2) Um financiamento no valor de R$ 100.000,00 de um apartamento pelo Plano 100 terá

uma carência de quatro meses para pagar e uma taxa de juros 1,6 % a.m. Construa as

tabelas de amortização Price, SAC, SAM e Americana. (Sugestão: use o MS Excel©)

3) Um financiamento de um veículo no valor de R$ 6.000,00 deverá ser amortizado em

36 meses pelo sistema Price, terá uma carência de seis meses para pagar e uma taxa de

juros de 40,4% a.a capitalizados mensalmente. Considere uma taxa de inflação de

0,4% a.m., determine: os pagamentos mensais; o total amortizado no 1º, 2º e 3º ano; os

juros do 1º, 2º e 3º ano; o saldo devedor no 1º, 2º e 3º ano. (Sugestão: use o MS Excel©)

4) Uma empresa pretende investir R$ 5.000.000 em uma planta para produzir 45 mil

unidades/ano de bobinas elétricas. O preço de venda atual das bobinas é de

R$ 125/unidade, sendo esperado um incremento de 9% ao ano no preço das bobinas. O

custo total de produção é de R$ 70/unidade, sendo esperado um incremento de 2% ao ano.

Considerando uma inflação projetada de 6% a.a. e vida útil do projeto de dois anos, calcule

a TIR.

5) Uma empresa está estudando a possibilidade de adquirir uma máquina de movimentação

de materiais, e existem duas propostas. Na proposta A, o custo da máquina é de

R$ 6.000.000,00, a vida econômica é de seis anos, a receita anual é de R$ 1.500.000,00 e o

valor residual é de R$ 1.000.000,00. Na proposta B, esses valores são R$ 3.000.000,00,

quatro anos, R$ 1.200.000,00 e R$ 1.200.000,00, respectivamente. Sabendo que a taxa

mínima de atratividade da empresa é de 10% a.a., determine, pelo método do Valor

Presente Líquido, qual é a melhor alternativa.

6) Há dois anos, a Companhia Alfa decidiu investir na implantação de uma nova

unidade industrial. Foram gastos R$ 500.000,00 em ativos em 2000 e R$

400.000,00 em capital de giro em 2001, o que se deu em conformidade com uma

previsão que considerava uma receita anual de R$ 250.000,00 a partir de 2002,

durante um período de cinco anos, findos os quais, o empreendimento seria vendido

por R$ 500.000,00. A taxa mínima de atratividade da empresa é de 15% ao ano.

Sendo assim, determine se o empreendimento foi economicamente viável.

7) Quais são as condições que podem gerar conflitos entre a TIR e o VPL?

8) Descreva como se calcula a TIR modificada.

9) Qual é a principal diferença entre a TIR e a TIRM?

10) (PETROBRAS) Deve-se decidir entre investir no projeto X ou no projeto Y, ou em

nenhum deles. A taxa mínima de atratividade é 10% ao ano e os fluxos de caixa dos projetos,

bem como as taxas internas de retorno (TIR) e os valores presentes líquidos (VPL) (i = 10% ao

ano), encontram-se a seguir.

Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4

Projeto X -100 40 40 40 40

Projeto Y -200 90 80 60 60

Projeto X – VPL = 26,8 e TIR 21,9% a.a.

Projeto Y – VPL = 34,0 e TIR 18,3% a.a.

A decisão que deve ser tomada é:

a) investir em X, porque tem maior TIR.

b) investir em X, porque tem menor VPL.

c) investir em Y, porque tem maior VPL.

d) investir indiferentemente em X ou em Y, que são igualmente atrativos.

e) não investir.

GABARITO

1) Os resultados são:

a. TIR= 2, 5776%

b. TIRM= 2, 3158%

2) Tabela

3) Tabela

4) 10,12%.

5) VPL(A) = R$ 1.097.364,98 e VPL(B)= R$ 1.623.454,68

6) VPL= R$ 162.856,06

10) C

8 PRINCIPAIS FÓRMULAS/RELAÇÕES E TÓPICOS

REFERENTES AO USO DA HP 12C©

8.1 Quadro-Resumo das Principais Fórmulas Estudas

A seguir, você encontra um resumo de todas as fórmulas estudadas nesta apostila. Recorra ao

quadro sempre que achar necessário ou tiver dúvida.

Juros Simples

FV = PV (1 + i x n)

i = (FV / PV – 1) x (1 / n )

Dd = FV – PV

PV = FV / (1 + i x n)

Dd = FV [ i x n / ( 1 + i x n ) ]

Df = FV x d x n

PV = FV ( 1 - d x n)

d = ( 1 – PV / FV ) x ( 1 / n )

I = d / ( 1 - d x n )

d = i / ( 1 + i x n )

Juros Compostos

FV = PV ( 1 + i )n

PV = FV / ( 1 + i )n

Dd = FV – PV = FV [ (( 1 + i)n - 1 ) / ( 1 + i )n ]

PV = FV ( 1 - d )n

Df = FV - PV = FV [ 1 - ( 1 - d )n ]

Taxas de Juros

FV = PV ( 1 + im x 12 )

FV = PV ( 1 + ia )

i a = i s x 2 = i t x 4 = i m x 12 = i d x 360

FV = PV ( 1 + i m )12

FV = PV ( 1 + i a )( 1+ i a ) = ( 1 + i s )2 = ( 1 + i t )4 = ( 1 + i m )12 = ( 1 + i d )

360

Série Uniforme – Prestações Iguais

FV = PMT [ (( 1 + i )n - 1 ) / i ]

PMT= FV [ i / (( 1 + i )n - 1 ) ]

PV = PMT [ (( 1 + i )n - 1 ) / i ( 1 + i )n ]

PMT= PV [ i ( 1 + i )n / (( 1 + i )n - 1 ) ]

An = A1 ( 1 + i )n-1

PV das prestações perpétuas = PMT x ( 1 / i )

Prestações perpétuas PMT = PV x i

Fluxos de Caixa Não-HomogêneosVPL ( i % ) = C0 + C1 x + C2 x2 + … + Cn xn

em que x = 1 / ( 1 + I )

VPL ( TIR % ) = C0 + C1 x + C2 x2 + … + Cn xn = 0

Fluxos de Caixa e Inflação

( 1 + taa ) = ( 1 + ia ) x ( 1 + tia )

( 1 + tam ) = ( 1 + im ) x ( 1 + tim )

( 1 + tat ) = ( 1 + it ) x ( 1 + tit )

( 1 + tas ) = ( 1 + is) x ( 1 + tis )

8.2 Tópicos básicos sobre a calculadora HP 12C©.

Veja a seguir as principais funções e teclas da calculadora.

[ON] Liga e desliga a calculadora.

[F] Tecla de prefixo. Seleciona a função alternativa impressa em

dourado sobre as teclas de funções. Usada também para a

formatação do visor.

[G] Tela de prefixo. Seleciona a função alternativa impressa em azul

na face oblíqua das teclas de funções.

CLEAR [PREFIX] Pressionada após [F], [G], [STO], [RCL] ou [GTO], cancela tais

teclas.

[F] CLEAR [PREFIX] Também apresenta a mantissa do conteúdo.

[ENTER] Introduz no registrador y uma cópia do número contido no

registrador x. É utilizada na separação de números.

[CHS] Muda o sinal do número ou expoente de 10 contido no registrador

x.

[EEX] Introduz expoente. Depois de pressionada, os dígitos introduzidos

em seguida compõem um expoente de 10.

[0] a [9] Usadas para a introdução de números e para formatação do visor.

[ . ] Ponto decimal. Também usada para formatação do visor.

[CLx] Apaga o conteúdo do registrador x (do visor), zerando-o.

Para armazenar dados, é importante observar os seguintes componentes:

[STO] Armazena. Seguida por uma tecla, ou por uma tecla financeira da

fileira superior do teclado, armazena o conteúdo do registrador x

no registrador de armazenamento especificado. Também é usada

para a realização de operações aritméticas com registradores de

armazenamento.

[RCL] Recupera. Seguida por uma tecla numérica, ou por uma tecla

financeira da fileira superior do teclado, recupera no registrador x

o conteúdo do registrador de armazenamento especificado.

Clear [REG] Apaga o conteúdo da pilha operacional (x, y, z , t) de todos os

registradores de armazenamento estatísticos e financeiros. Não

afeta a memória de programação.

Para armazenar e efetuar cálculos, envolvendo porcentagem, é importante observar

os seguintes componentes:

[%] Calcula x % de y e retém o valor de y no registrador y.

[/\%] Calcula a variação porcentual entre o conteúdo dos registradores y

e x.

[%T] Calcula a porcentagem do conteúdo do registrador y representado

por x.

Para utilizar as funções relacionadas ao calendário, é importante observar os

seguintes componentes:

[D.MY] Estabelece o formato dia-mês-ano para as datas.

[M.DY] Estabelece o formato mês-dia-ano para as datas.

[DATE] Substitui a data contida no registrador y pelo número de dias

contidos no registrador x, apresentando no visor o dia da semana.

[/\DYS] Calcula o número de dias entre duas datas contidas nos

registradores x e y.

Para operações relacionadas a finanças, atente-se aos seguintes componentes:

CLEAR [FIN] Apaga o conteúdo dos registradores financeiros.

[BEG] Estabelece a modalidade de pagamentos no início (BEGIN) dos

períodos, nos cálculos de juros compostos.

[END] Estabelece a modalidade de pagamentos no final [END] dos

períodos, nos cálculos de juros compostos.

[INT] Calcula juros simples.

[N] Armazena ou calcula o número de períodos de um problema

financeiro.

[12x] Multiplica o conteúdo do registrador x por 12, armazenando o

resultado no registrador [N].

[ I ] Armazena ou calcula a taxa de juros por períodos de composição.

[12÷] Divide o conteúdo do registrador x por 12, armazenando o

resultado no registrador [i].

[PV] Armazena ou calcula o valor presente (o fluxo de um caixa inicial)

de um problema financeiro.

[PMT] Armazena ou calcula o montante do pagamento.

[FV] Armazena ou calcula o valor futuro (o fluxo de caixa final) de um

problema financeiro.

[AMORT] Amortiza x números de períodos, usando os valores armazenados

em PMT, I, PV e no visor. Atualiza os valores de PV e N.

[NPV] Calcula o valor presente líquido de até 20 fluxos de caixa distintos

e de um investimento inicial, usando os valores armazenados com

[CFo], [CFj] e [Nj].

[IRR] Calcula a taxa interna de retorno (rendimento) para até 20 fluxos

de caixa distintos e um investimento inicial, usando os valores

armazenados com [CFo], [CFj] e [Nj].

[CFo] Fluxo de caixa inicial. Armazena o conteúdo do registrador x em

Ro, inicializa n com zero e define No=1. Usado no início de um

problema de saldo de fluxos de caixa.

[CFj] Fluxo de caixa j. Armazena o conteúdo do registrador x em Rj,

incrementa n de uma unidade e define. Nj=1. Usado em todos os

fluxos de caixa inicial, em um problema de saldo de fluxos de

caixa.

[Nj] Armazena em Nj o número de ocorrências (de 1 a 99) de cada

fluxo de caixa. Assume a unidade, se não for definido.

[PRICE] Calcula o preço do título, dado o rendimento que se deseja até o

vencimento.

[YTM] Calcula o rendimento até o vencimento, dado o preço do título.

[SL] Calcula a depreciação pelo método linear.

[SOYD] Calcula a depreciação usando o método dos dígitos da soma dos

anos.

[DB] Calcula a depreciação usando o método do declínio do balanço.

Para realizar operações estatísticas, observe as seguintes questões:

CLEAR [S] Apaga os registradores estatísticos R1 a R6 e os registradores da

pilha operacional.

[E+] Acumula estatísticas nos registradores de armazenamento R1 a R6,

usando os dados contidos nos registradores x e y.

[E-] Cancela o efeito do conteúdo dos registradores x e y nos

registradores de armazenamento R1 a R6.

[ x ] Calcula a média (aritmética) dos valores de x e dos valores em y,

usando as estatísticas acumuladas.

[x w] Calcula a média ponderada dos valores em y e dos pesos em x,

usando as estatísticas acumuladas.

[ s ] Calcula o desvio padrão da amostra de valores de x e y, usando as

estatísticas.

[ y,r ] Estimativa linear (no registrador x), coeficiente de correlação (no

registrador y). Ajusta uma reta a um conjunto de pares (x e y) de

valores introduzidos, usando-se [S+] e então extrapola a reta para

estimar o valor de y (y) para um dado valor de x. Calcula também

a correlação linear (r) do conjunto de pares (x,y).

[ x,r ] Estimativa linear (no registrador x), coeficiente de correlação (no

registrador y). Ajusta uma reta a conjunto de pares 9x,y) de

valores introduzidos usando-se [S+] e então extrapola a reta para

estimar o valor de x (x) para um dado valor de y. Calcula também

a correlação linear (r) do conjunto de pares (x,y).

Para realizar operações matemáticas comuns, utilize os seguintes componentes:

[Ö x] Calcula a raiz quadrada do conteúdo do registrador x.

[yX] Eleva o conteúdo do registrador y à potência estabelecida pelo

conteúdo do registrador x.

[1/x] Calcula o inverso do conteúdo do registrador x.

[n!] Calcula o fatorial [nx (n-1) x ... x3x2x1] do conteúdo do

registrador x.

[eX] Antilogaritmo natural. Eleva e (aproximadamente 2.718281828) à

potência estabelecida pelo conteúdo do registrador x.

[LN] Calcula o logaritmo natural (na base e) do conteúdo do registrador.

Para proceder à alteração de números, verifique os seguintes itens:

[RND] Arredonda a mantissa do número de 10 dígitos contido no

registrador x para que coincida com o apresentado no visor.

[INTG] Extrai a parte inteira do conteúdo do registrador x, truncando sua

parte fracionária.

[FRAC] Extrai a parte fracionária do conteúdo do registrador x, truncando

sua parte inteira.

Para rearranjo do conteúdo da pilha operacional, verifique os seguintes itens:

[x><y] Intercambia o conteúdo dos registradores x e y da pilha

operacional.

[R \!/] Gira para baixo o conteúdo da pilha operacional, para sua

apresentação no visor (registrador x).

[LSTx] Recupera, no registrador x, o conteúdo do visor anterior ao da

última operação executada.

Por fim, para efetuar programação, atente-se aos seguintes detalhes:

[P/R] Programação/Execução (Program/Run). Alterna entre os modos de

programação e execução. Posiciona automaticamente a

calculadora na linha 00 da memória de programação, ao retornar

ao modo Run.

[MEM] Mapa da memória. Descreve a alocação atual da memória,

apresentando o número de linhas alocadas como memória de

programação e o número de registradores de dados disponíveis.

EXERCÍCIOS AVALIATIVOS

1) Calcular por quanto devo vender um objeto que comprei por R$ 4 000,00 para

ganhar (10 +N)% sobre o preço de venda.

2) Em quanto tempo um capital irá triplicar se for aplicado à taxa de juros simples de

((N+20)/10)% a.m.

3) Argos comprou um aparelho de televisão, cujo preço à vista é R$ 1.000,00.

Entretanto preferiu fazer o pagamento em duas parcelas iguais. A primeira delas foi

paga no ato da compra. Nessa venda o vendedor cobrou juros de ((N+20)/10)% ao

mês. Qual o valor de cada parcela?

4) Um capital acrescido de seus juros de (21+N) meses soma $ 156.400. O mesmo

capital diminuído de seus juros de (9+N) meses é reduzido a $88.000. Calcular o

capital.

5) Hoje uma pessoa tem duas dívidas, a primeira, de $ 10.000 vence em 36 dias e a

segunda, de $ 12.000, vence em 58 dias. Propõe-se a paga-las por meio de dois

pagamentos iguais dentro de 45 e 90 dias, respectivamente. A juros simples de

(N+10) % a.a., calcular o valor de cada pagamento (data focal: 90º dia).

6) Um título de crédito foi submetido a dois tipos de descontos. No primeiro caso, a

juros simples e à taxa de ((N+30)/10)% a.a., com vencimento em seis meses e

desconto por fora. No segundo caso, com desconto por dentro, mantendo as demais

condições. Sabendo-se que a soma dos descontos, por fora e por dentro, foi de $

635,50. Qual o valor nominal do título?

7) Uma duplicata de $ 880.000 foi descontada comercialmente oito meses antes do

vencimento. Considerando uma taxa de desconto efetiva linear da operação de

(40+N)% a.a., calcular o valor liberado pelo banco.

8) Em quanto tempo um capital irá triplicar se for aplicado à taxa de juros compostos

de ((N+10)/10)% a.m.

9) Uma pessoa aplicou 75% do seu capital, capitalizados semestralmente, a uma taxa

de 20% a.a O restante aplicou à taxa de 24% a.a., mas capitalizados

trimestralmente. Calcule o montante obtido no fim de quatro anos, sabendo-se que

a primeira parcela proporcionou (100N+ 10.000,00) de juros.

10) Ana fez um empréstimo de $ 200.000,00 para ser pago no fim de 36 meses,

juntamente com os juros de 6% a.m. Passados L(nº de letras do 1º nome) meses, ela

quer modificar a forma de pagamento, propondo pagar o empréstimo em quatro

pagamentos mensais, iguais e consecutivas, vencendo o primeiro daí a dois meses.

Calcular o valor dos pagamentos, sabendo-se que no novo contrato a taxa

estipulada foi de N% a.m com capitalizações mensais para toda a operação.

11) Uma pessoa aplicou 2/3 do seu capital a (12+0,1N)% a.a. capitalizados

trimestralmente e o restante a 10% aa capitalizados semestralmente. No fim de três

anos os juros obtidos pela primeira parcela excederam os obtidos pela segunda em

$ 20.457,04. Qual o capital aplicado?

12) Foram feitos, na mesma época, os seguintes empréstimos: $ 10.000L para

pagar no fim de 5 anos juros de (9+0,1N)% a.a .; $ 200.000,00 para pagar, em 2

anos juros (7+0,1N)% a.a. e $ 150.000,00 para pagar em 4 anos a juros de

(8+0,1N)% a.a . Se a dívida total fosse paga com dois pagamentos anuais, iguais e

consecutivo vencendo o primeiro três anos após o contrato inicial, qual seria o valor

de cada pagamento? Considere a taxa de (10+0,1N)% a.a. para o novo contrato e

capitalizações anuais para toda a operação.

13) A empresa ARGOS S.A. deve pagar 22 parcelas postecipadas de R$ 200N

cada. Se no vencimento da 15ª decide liquidar a dívida, qual o valor a ser pago se a

taxa efe tiva aplicada for de 9% a.t.?

14) Um veículo de R$ 50.000,00 foi financiado em n pagamentos iguais de R$

10.00,00 à taxa de ((N+10)/10)% am. Calcule, pela fórmula, quantos pagamentos

mensais.

15) O preço a vista de um carro é de R$ 51.000,00. A revendedora concede

carência de 6 meses, sendo o financiamento pago em 24 prestações mensais de

R$2.094,64. Qual deverá ser a entrada, se os juros forem de ((N+10)/5)% a.m.?

16) Um financiamento de um veículo no valor de R$ 10.000L deverá ser

amortizado em 36 meses pelo sistema Price, terá uma carência de L meses para

pagar e uma taxa de juros de ((N+400)/10)% a.a capitalizados mensalmente.

Determine o total dos juros ao término do 2º ano.

17) Uma pessoa comprou um televisor de R$ 3.500,00 em 24 prestações

mensais. Após ter pagado quatro prestações, essa pessoa, por questão de viagem,

deixou de pagar seis meses, quando então foi à loja e pediu para liquidar todo o seu

débito, isto é, as prestações vencidas e vincendas. O gerente da loja aceitou tal

proposta, notificando que a taxa de juros considerada seria de ((N+10)/10)% am.

Qual é o valor do débito?

18) Uma empresa pretende investir R$ 5.000.000 + 10.000N em uma planta

para produzir 45 mil unidades/ano de bobinas elétricas. O preço de venda atual das

bobinas é de R$ 125/unidade, sendo esperado um incremento de 9% ao ano no

preço das bobinas. O custo total de produção é de R$ 70/unidade, sendo esperado

um incremento de 2% ao ano. Considerando uma inflação projetada de 4% a.a. e

vida útil do projeto de dois anos. Calcular a TIR, não colocar porcentagem na

planilha.

19) Um táxi foi adquirido por R$ 60.000,00 e depois de L meses para liberação

da documentação passou a gerar R$ 3.000,00 mais 10N mensalmente. Sabendo-se

que 20 meses após a compra o investimento foi transferido por R$ 50.000,00.

Calcule VPL (3%am) desse investimento. L = nº letras do primeiro nome. N = nº

de chamada.




Calcule a MTIR desse investimento. L = nº letras do primeiro nome. N = nº de

chamada. Considere a taxa de financiamento igual a 2%a.m. e a taxa de

reinvestimento igual a 1%a.m.




Calcule o PAYBACK TIR desse investimento. L = nº letras do primeiro nome. N

= nº de chamada.

22) A CAR (Companhia Agropecuária Rondonópolis) está analisando a

implantação de um projeto de investimento no nordeste brasileiro para a produção

de frutas com destino ao mercado europeu. Metade do capital necessário ao

investimento virá de uma linha de crédito a ser obtida junto ao BNB (Banco do

Nordeste do Brasil), e a outra metade virá de capital próprio, a ser captado através

do lançamento de ações da empresa no mercado de capitais brasileiro. O

investimento será de R$ 120 milhões, com benefícios anuais líquidos de R$ 20

milhões, em perpetuidade. O custo de capital junto ao Banco deverá ser de

((N+100)/10)% a.a. e o custo do capital próprio é de 12% a.a.. Neste projeto não se

deve considerar o Imposto de Renda. Qual foi o VPL encontrado pela equipe que

realizou a análise de viabilidade financeira do projeto?

GLOSSÁRIO

AMORTIZAÇÃO. É a redução gradual de uma dívida por meio de pagamentos periódicos

combinados entre o credor e o devedor. No caso de empréstimos a longo prazo, a

amortização é feita mediante tabelas especiais conforme decisão de cada instituição

financeira.

AVAL ≠ FIADOR. O aval é a garantia que uma pessoa (física ou jurídica) dá a outra de

que pagará a dívida, se esta não puder fazê-lo. Concretiza-se pela assinatura do avalista (o

que dá a garantia) no anverso ou no verso do título de crédito em questão.

CHEQUE. É uma ordem de pagamento à vista. É o instrumento pelo qual uma pessoa

física ou jurídica saca seus recursos mantidos em depósito na instituição financeira, na qual

mantém um contrato de conta corrente.

DUPLICATAS (MERCANTIL OU DE SERVIÇOS). A duplicata é um título que tem sua

origem obrigatoriamente em uma fatura emitida em função de uma transação de compra e

venda mercantil ou de uma prestação de serviços. O comprador confirma a compra

mediante aceite na duplicata, tornando-a devida independentemente do contrato que lhe

deu origem. Na duplicata destacam-se o sacador (o vendedor ou prestador de serviços) e o

sacado (o comprador ou que se utilizou do serviço prestado).

ENDOSSO. Assinatura no verso de um título, pela qual o proprietário (endossante)

transfere sua posse para outrem (endossatário). O endosso pode ser em branco (ou

incompleto, não qualificado, subentendido), quando o endossante apenas assina sem

indicar o endossatário, ou em preto (nominativo, pleno, completo, qualificado, expresso),

quando o favorecido é nomeado no título.

JUROS COMPOSTOS. São taxas de juros aplicadas, quando os juros nos períodos que se

sucedem são ganhos não somente sobre o principal inicial, mas também sobre os juros

acumulados nos períodos precedentes. Os juros compostos contrastam com os juros

simples, uma vez que, nos últimos, os retornos não são obtidos sobre juros recebidos.

LETRA DE CÂMBIO (LC). É uma ordem escrita, dada a uma determinada pessoa para

que pague certa importância em dinheiro a alguém. A LC é composta de três figuras: o

sacador (que dá a ordem, que cria a letra), o sacado (o devedor, o que recebe a ordem de

pagar) e o tomador (o beneficiário, aquele a favor de quem a ordem é dada, podendo ser

um terceiro ou o próprio sacador).

MONTANTE (VF=FV=S=M). Valor acumulado entre o capital inicial mais os juros (ou

encargos). Aplica-se a mesma definição para juros simples ou compostos.

NOTA PROMISSÓRIA (NP). É uma promessa de pagamento de certa quantia em

dinheiro, feita por uma pessoa em favor de outra. A NP é emitida pelo devedor (emitente)

em favor do credor.

PRINCIPAL (P=VP=PV). Designa o valor da operação de crédito.

PROTESTO. Ato solene que tem por finalidade principal comprovar a mora do devedor.

Essa mora pode ser a falta ou recusa do aceite ou do pagamento do título.

SPREAD. É a taxa de juros que compõe o custo total para o tomador de uma operação de

empréstimo e representa o ganho bruto da mesma operação de uma instituição financeira.

O seu valor é definido, conforme a liquidez, garantias, volume e prazo de resgate.

TABELA PRICE. É uma tabela utilizada no cálculo do valor de juros e pagamentos em

dívidas parceladas. É constituída por uma série uniforme de prestações, de valor igual, em

um tempo determinado e com taxa de juros constantes.

TAXA DE JUROS REAL. Taxa de juros da qual se retira o efeito da inflação por algum

indicador, permanecendo apenas o ganho efetivo.

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