bndes matfin estatistica guilhermeneves aula 05 - parte 02

MATEMÁTICA FINANCEIRA E ESTATÍSTICA PARA BNDES PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1

Aula 5 – Parte 2 Variáveis Aleatórias.................................................................................................................................... 2

Esperança de variáveis aleatórias discretas..................................................................................... 5

Propriedades da Esperança Matemática......................................................................................................... 17

Variância e desvio‐padrão de uma variável aleatória ..................................................................................... 19

Propriedades da Variância............................................................................................................................... 24

Covariância ...................................................................................................................................................... 26

Propriedades da Covariância........................................................................................................................... 28

Variância da Soma e da Diferença................................................................................................................... 28

Relação das questões comentadas ................................................................................................................. 39



Variáveis Aleatórias

As variáveis aleatórias são a base no estudo da Estatística Inferencial. Vamos trabalhar com o exemplo mais clássico e simples que é o lançamento de um dado honesto. Como todos bem sabem, são seis possíveis resultados no lançamento de um dado, a saber: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

O dado que estamos trabalhando é honesto, ou seja, estamos partindo do pressuposto que todas as faces têm a mesma probabilidade de sair. Ok?

No caso, 1 2 3 4 5 6 1/6.

E o que significa esta probabilidade 1/6?

Significa que se pudéssemos lançar este dado uma infinidade de vezes, o esperado é que em 1/6 das vezes saísse o número 1, em 1/6 das vezes saísse o número 2, e assim por diante.

Só para exemplificar, se pudéssemos lançar o dado 6.000 vezes, esperamos que o número 1 saia em torno de 1.000 vezes. Não estamos dizendo que sairá exatamente 1.000 vezes, mas como o dado é honesto, é bem provável que cada um dos números saia 1.000 vezes (ou algo bem próximo disso).

Este é um exemplo de variável aleatória. Ela pode assumir valores de uma maneira completamente aleatória, ou seja, não temos como prever o seu resultado. Por outro lado, podemos associar valores de probabilidade a cada um dos possíveis resultados.

Como outro exemplo, considere o peso do carregamento de garrafas de água mineral. Esses pesos variam aleatoriamente de 5 a 22 kg. Os pesos reais das garrafas são os valores da variável aleatória peso.

Esses dois exemplos mostram que as variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas. Uma variável aleatória discreta pode assumir apenas certos valores, usualmente números racionais, e resultam basicamente de contagens. Os possíveis resultados no lançamento de um dado são limitados e servem como exemplo de variável aleatória discreta. Os valores das variáveis estão restritos a apenas certos números: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

Uma variável aleatória contínua resulta de uma medida e pode assumir qualquer valor dentro de um dado intervalo. No exemplo do carregamento de garrafas de água, os pesos podem assumir qualquer valor no intervalo de 5 a 22 kg.



No caso de estarmos trabalhando com uma variável aleatória contínua, nós não poderemos atribuir probabilidades a valores específicos. Só poderemos atribuir probabilidades a intervalos de valores.

Por quê?

Porque no caso da variável contínua existe uma infinidade de possibilidades.

Vejamos um exemplo prático: considere a cidade do Recife. Qual é a probabilidade de a temperatura no dia 25/03/2014 às 6h da manhã ser EXATAMENTE 27,53235778 ºC?

Esta probabilidade é igual a 0. Isto porque há um caso favorável e uma infinidade de casos possíveis.

Agora, poderíamos calcular, por exemplo, a probabilidade de a temperatura assumir valores entre 20ºC e 25ºC. Esta probabilidade certamente não é igual a 0.

Resumo

Variável aleatória (v.a.) é uma variável que é associada a uma distribuição de probabilidade.

São exemplos de variáveis aleatórias: o valor de uma ação ao final do dia de amanhã, a altura de uma criança daqui a 1 ano,... Todas essas variáveis podem assumir diferentes valores, valores estes que, por sua vez, estão associados a probabilidades.

Não são variáveis aleatórias: o valor de uma ação no final do pregão de ontem, o número de pontos de um time de futebol em um campeonato que já acabou, a altura de um homem de 40 anos daqui a 2 dias, a área útil de uma sala,... Todas essas variáveis têm valores fixos, ou seja, não mudam.

Eu falei sobre distribuição de probabilidade, mas ainda não a defini.

Distribuição de probabilidades é uma lista de todos os resultados possíveis de um experimento e também das probabilidades associadas a cada um dos resultados. Obviamente, a soma de todas as probabilidades será sempre igual a 1.



No nosso exemplo do dado honesto:

1 1/62 1/63 1/64 1/65 1/66 1/6

1

Aqui na estatística inferencial, a probabilidade associada a um valor da variável aleatória terá um papel muito parecida com a frequência relativa da estatística descritiva.

Como já falei anteriormente, qual o significado da probabilidade igual a 1/6?

Significa que, se você lançar o dado honesto muitas e muitas vezes, seria bem provável que cada um dos números saísse em 1/6 das vezes.

Temos muito mais coisas a fazer do que ficar lançando dados, não é mesmo?

É para isso que serve o Excel. Fiz uma simulação e “lancei” o dado 60.000 vezes (usando a função =ALEATÓRIOENTRE). De acordo com as probabilidades da distribuição acima, esperamos que cada face saia em torno de 10.000 vezes.

Pois bem, mandei o Excel contar os números (usando a função =cont.se) e obtive os seguintes valores:

Número da face Frequência absoluta 1 9.917 2 9.958 3 10.126 4 10.090 5 10.003 6 9.906

Muito bom!!

Vamos calcular a média aritmética desse experimento?



Para isto, vamos multiplicar cada valor da face pela sua frequência, somar tudo e dividir por 60.000.

Número da face Frequência absoluta ·1 9.917 1 9.917 9.9172 9.958 2 9.958 19.9163 10.126 3 10.126 30.3784 10.090 4 10.090 40.3605 10.003 5 10.003 50.0156 9.906 6 9.906 59.436

Assim, a média será igual a:

9.917 19.916 30.378 40.360 50015 5943660.000

210.02260.000

3,50036666666 …

Feito isto, vamos falar na esperança de uma variável aleatória.

Esperança de variáveis aleatórias discretas

A esperança matemática (também chamada de expectância, valor médio ou média) é, por definição, o número

·

O que significa esta expressão?

Significa que, para calcular a esperança de uma variável aleatória, devemos multiplicar cada valor da variável pela sua respectiva probabilidade e depois somar tudo. Só isso!!!

Repita:

i) Multiplicamos cada valor da variável pela sua probabilidade ii) Soma tudo!!

Muito fácil!!!

Vejamos o exemplo do dado. Tínhamos a seguinte distribuição de probabilidades:



1 1/62 1/63 1/64 1/65 1/66 1/6

1

Para calcular a esperança, multiplicamos cada valor da variável pela sua probabilidade, ou seja, multiplicamos por . Depois somamos tudo.

·1 1/6 1

16

16

2 1/6 216

26

3 1/6 316

36

4 1/6 416

46

5 1/6 516

56

6 1/6 616

66

1

Vamos somar tudo agora?

16

26

36

46

56

66

1 2 3 4 5 66

216

3,50

Epaaa, Guilherme!! Aquele exemplo que você fez no Excel... A média tinha dado 3,50036666666 …!!!! É coincidência isso?

Não, meu amigo!! Graças a Deus que você percebeu isto.

Esse é o espírito da Esperança Matemática.



Se fosse possível lançar o dado infinitas vezes e calcular a média aritmética, o resultado seria exatamente a esperança da variável aleatória. Está vendo como a matemática é bela?

Por enquanto vamos nos restringir ao estudo da esperança de variáveis aleatórias discretas. Em um momento posterior estudaremos a esperança de variáveis contínuas.

Vamos resolver alguns exercícios para treinar estes conceitos iniciais?

01. (Administrador DNOCS 2010/FCC) Em uma loja, as unidades vendidas por dia de um determinado eletrodoméstico apresentam a seguinte distribuição de probabilidades de ocorrência de venda:

A probabilidade de que em um determinado dia tenham sido vendidas mais que uma unidade do eletrodoméstico é igual a (A) 87,5%. (B) 80,0%. (C) 75,0%. (D) 60,0%. (E) 50,0%.

Resolução

O somatório de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Desta forma:

3 2 1

8 1

18

A probabilidade de que em um determinado dia tenham sido vendidas mais que uma unidade do eletrodoméstico é igual a

3 2 6 6 ·18

68

34 0,75 75%

Letra C

02. (TRF 4ª Região 2010/FCC) O número de televisores vendidos diariamente em uma loja apresenta a seguinte distribuição de probabilidades.



A probabilidade de que, em um determinado dia, não seja vendido nenhum televisor é igual a 10% e de que seja vendido mais que 3 é igual a 30%. Então, a probabilidade de que em um determinado dia sejam vendidos 2 televisores é de (A) 10%. (B) 12%. (C) 15%. (D) 18%. (E) 20%.

Resolução

Quando o problema enuncia que a probabilidade de que, em um determinado dia, não seja vendido nenhum televisor é igual a 10%, isto significa que

10% 0,1.

O enunciado ainda afirma que a probabilidade de que seja vendido mais que 3 televisores é igual a 30%. Ou seja:

2 30%

2 0,1 0,3

2 0,2

0,1

Como a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1, então:

3 2 1

2 5 2 1

2 · 0,1 5 · 0,1 2 1

0,7 2 1

2 0,3

0,15

A probabilidade de que sejam vendidos 2 televisores é de 0,15 15%.

Letra C



03. (Técnico de Controle Externo – Economia – TCE/MG 2007/FCC) O número de unidades vendidas, mensalmente, de um produto em uma determinada loja é uma variável aleatória (X) com a seguinte distribuição de probabilidades:

Sabe-se que somente em 10% dos meses são vendidos mais que 3 unidades. Então, se em um determinado mês a venda realizada não foi nula, tem-se que a probabilidade dela ter sido inferior a 4 é (A) 70,0% (B) 75,0% (C) 80,0% (D) 87,5% (E) 90,0%

Resolução

O texto fala que somente em 10% dos meses são vendidos mais que 3 unidades. Ora, vender mais que 3 unidades, de acordo com a tabela, significa vender exatamente 4 unidades. Concluímos que 10% 0,1 .

O somatório de todas as probabilidades deve ser igual a 1, portanto:

2 2 1

2 · 0,1 2 0,1 1

0,2 4 0,1 1

4 0,7

0,175 17,5%



Vamos reconstruir a distribuição de probabilidades com os valores obtidos?

X P(X) 0 1

2 2 10% 20%17,5%

2 2 2 17,5% 35%3 17,5%4 10%

Fazendo uma “limpeza” no visual...

X P(X) 0 20%1 17,5%2 35%3 17,5%4 10%

Se em um determinado mês a venda realizada não foi nula, tem-se que a probabilidade dela ter sido inferior a 4 é...

Se a venda realizada não foi nula, podemos riscar a primeira linha da nossa tabela. Isto significa que o nosso total agora é 100% - 20% = 80%.

X P(X) 1 , %2 %3 , %4 10%

Queremos calcular a probabilidade de ela ter sido inferior a 4.

A probabilidade pedida é

17,5% 35% 17,5%80%

70%80%

78 0,875 87,5%

Letra D

04. (MEC 2009 CESGRANRIO) Uma empresa considera fazer um investimento que tem probabilidade igual a 0,2 de produzir um lucro de R$ 20.000,00 e probabilidade igual a 0,5 de produzir um lucro de R$ 8.000,00; caso contrário, o investimento trará um prejuízo de R$ 15.000,00. O valor esperado do retorno do investimento, em reais, é



(A) 3.500,00 (B) 4.000,00 (C) 4.500,00 (D) 5.000,00 (E) 5.500,00

Resolução

Vamos construir a distribuição de probabilidades.

X P(X)

20.000,00 0,2

8.000,00 0,5

15.000,00 0,3

Para calcular o valor esperado, devemos multiplicar cada valor da variável pela sua respectiva probabilidade e somar tudo.

·

20.000,00 0,2 20.000 · 0,2 4.000,00

8.000,00 0,5 8.000 · 0,5 4.000,00

15.000,00 0,3 15.000 · 0,3 4.500,00

Dessa forma, o valor esperado será 4.000 + 4.000 – 4.500 = 3.500

Letra A

05. (MPOG 2006 ESAF) Suzana e Sandra jogam, cada uma, uma moeda. Se do lançamento dessas duas moedas resultar duas caras, Suzana paga a Sandra R$ 6,00. Dando qualquer outro resultado, Sandra paga a Suzana R$ 4,00. Supondo que ambas as moedas sejam estatisticamente honestas, o valor esperado, em reais, dos ganhos de Sandra (considerando- se como ganhos negativos os valores que ela paga à Suzana) é igual a

a) 1,5. b) -0,75. c) 0,75.



d) -1,5. e) 2,5.

Resolução

O problema pede para calcular o valor esperado. Valor esperado é a mesma coisa que esperança matemática (ou expectância ou média).

Queremos calcular os ganhos de Sandra.

Se do lançamento dessas duas moedas resultar duas caras, Suzana paga a Sandra R$ 6,00. Ou seja, se o resultado for cara-cara (probabilidade igual a 1/4), Sandra GANHA R$ 6,00.

Dando qualquer outro resultado, Sandra paga a Suzana R$ 4,00.

Quais são os outros possíveis resultados? Cara-coroa, coroa-cara ou coroa-coroa. A probabilidade disto ocorrer é igual a ¾.

Eis a distribuição de probabilidades.

6,00 14

4 34

Para calcular a esperança devemos seguir dois passos.

i) Multiplicar cada valor da variável pela sua respectiva probabilidade. ii) Somar tudo.

·6,00 1

4 6 ·14 1,50

4 34 4 ·

34 3,00

A esperança é igual a:

1,50 3,00 1,50

Isto significa que, se Sandra e Suzana realizassem este experimento uma infinidade de vezes, Sandra perderia R$ 1,50 por jogo em média.

Letra D



06. (MPU 2004 ESAF) O preço de determinada ação fica constante, aumenta ou diminui R$ 1,00 por dia com probabilidades 0,3, 0,3 e 0,4 respectivamente. Assinale a opção que dá o valor esperado do preço da ação amanhã se seu preço hoje é R$ 8,00.

a) R$ 7,90 b) R$ 8,00 c) R$ 7,00 d) R$ 9,00 e) R$ 8,50

Resolução

A probabilidade de o preço da ação não variar (permanecer constante) é igual a 0,3. Assim, a probabilidade de o preço da ação continuar R$ 8,00 é 0,3.

A probabilidade de o preço da ação aumentar R$ 1,00 (ou seja, ficar igual a R$ 9,00) é igual a 0,3.

A probabilidade de o preço da ação diminuir R$ 1,00 (ou seja, ficar igual a R$ 7,00) é igual a 0,4.

Eis a distribuição de probabilidades.

7,00 0,48,00 0,39,00 0,3

Queremos calcular o valor esperado. Para tanto, multiplicamos cada valor da variável pela sua respectiva probabilidade e depois somamos tudo.

·7,00 0,4 7,00 · 0,4 2,808,00 0,3 8,00 · 0,3 2,409,00 0,3 9,00 · 0,3 2,70

2,80 2,40 2,70 7,90

Letra A



07. (Estatístico – TCE/RO 2007/CESGRANRIO) O retorno mensal de certo investimento de risco pode ser modelado pela variável aleatória W, com função de probabilidade dada a seguir.

O retorno esperado é: (A) – 0,5% (B) 0,5% (C) 1,5% (D) 5% (E) 7,5%

Resolução

O retorno esperado é o mesmo que esperança.

Basta multiplicar cada valor da variável W pela sua respectiva probabilidade e somar tudo.

5% · 0,4 0% · 0,15 5% · 0,25 10% · 0,15 15% · 0,05

2% 0% 1,25% 1,5% 0,75%

1,5%Letra C

08. (Analista BACEN 2010 CESGRANRIO) Sobre variáveis aleatórias, considere as afirmações a seguir.

I - Para toda e qualquer variável aleatória, sua função de densidade de probabilidade fornece a probabilidade de ocorrência de cada valor da variável aleatória considerada, exceto no caso de variáveis aleatórias contínuas, para as quais a probabilidade de ocorrência de um valor específico é zero.

II - A esperança matemática (expectância) de uma variável aleatória discreta, ou seja, seu valor esperado, é a média dessa variável aleatória, que é definida como um n-avos do somatório dos valores possíveis dessa variável multiplicados por suas respectivas probabilidades.

III - A distribuição binomial é uma extensão direta da Distribuição de Bernoulli, uma vez que o experimento aleatório que caracteriza a binomial nada mais é do que um Experimento de Bernoulli repetido n vezes.



É correto APENAS o que se afirma em

(A) II. (B) III. (C) I e II. (D) I e III. (E) II e III.

Resolução

Vamos analisar cada um dos itens:

I – Verdadeiro.

Ao contrário de uma variável aleatória discreta, uma variável aleatória contínua pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo definido de valores. Desta maneira, para distribuições de probabilidade, não se consegue enumerar todos os possíveis valores de uma variável aleatória contínua com os valores de probabilidades correspondentes. Em lugar disso, a abordagem mais conveniente é construir uma função densidade de probabilidade, baseada na função matemática correspondente.

Para definir uma função de probabilidade contínua, é necessário utilizar critérios diferentes das variáveis discretas, isto porque X deverá estar compreendido entre dois valores diferentes (em se considerando uma variável aleatória contínua), sendo que em geral a probabilidade de x assumir um determinado valor é 0.

No caso de variáveis contínuas, as probabilidades são especificadas em termos de intervalos, pois a probabilidade associada a um número específico é zero.

II – Falso



A esperança matemática (expectância) de uma variável aleatória discreta, ou seja, seu valor esperado, é a média dessa variável aleatória, que é definida como um n-avos do somatório dos valores possíveis dessa variável multiplicados por suas respectivas probabilidades.

A parte em negrito vermelho está errada!!

·

O texto correto seria “A esperança matemática (expectância) de uma variável aleatória discreta, ou seja, seu valor esperado, é a média dessa variável aleatória, que é definida como somatório dos valores possíveis dessa variável multiplicados por suas respectivas probabilidades”.

III – Verdadeiro

Ainda não estudamos a distribuição binomial, mas vou fazer um resuminho só para responder a questão (não se preocupem!! Vamos estudar detalhadamente tudo sobre a distribuição binomial posteriormente.)

A distribuição binomial é uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável sempre que o experimento é do tipo do de Bernoulli. O experimento de Bernoulli se caracteriza pela existência de apenas dois eventos, mutuamente exclusivos, que denominaremos sucesso e fracasso. Se a probabilidade de sucesso é p, a probabilidade de fracasso é 1-p.

Características de um experimento de Bernoulli

i) Em cada tentativa existem dois resultados possíveis, mutuamente exclusivos. Eles são chamados, por conveniência, sucesso e fracasso.

ii) As séries de observações são constituídas de eventos independentes.

iii) As probabilidades de sucesso e fracasso permanecem constantes de tentativa para tentativa.

Exemplos de experimentos de Bernoulli:

Jogamos uma moeda não-viciada e pomos sucesso = cara, fracasso = coroa.

Jogamos um dado não-viciado e pomos sucesso = o resultado é 1 ou 2, fracasso = o resultado é 3, 4, 5 ou 6.

De uma urna que contém 8 bolas verdes e 4 bolas amarelas, sacamos uma bola e pomos sucesso = a bola é verde, fracasso = a bola é



amarela.

A distribuição binomial nada mais é do que a generalização da distribuição de Bernoulli. Há um sucesso, com probabilidade p, e um fracasso, com probabilidade q, tal que p+q=1, mas o número de experimentos pode ser qualquer um.

Letra D

Propriedades da Esperança Matemática

Apesar de ainda não ter explicado o processo do cálculo da Esperança no caso de variáveis contínuas, as propriedades apresentadas a seguir são válidas tanto para variáveis discretas como para variáveis contínuas.

Vamos considerar que X e Y são duas variáveis aleatórias quaisquer e que k seja uma constante qualquer (um número).

i) · ·

Ou seja, se multiplicamos uma variável aleatória por k, a sua esperança fica multiplicada por k. Lembra da propriedade da média aritmética em Estatística Descritiva? Aqui fica igualzinho.

Por exemplo, se dobramos os valores da variável aleatória, a sua média (esperança) também dobra.

Vamos ver um exemplo bem prático. Lembra que levando em consideração um dado honesto de 6 faces (as faces sendo 1,2,3,4,5,6), a esperança tinha dado 3,50?

Vamos dobrar os valores das faces. Considere, portanto, um dado cujas faces são iguais a 2,4,6,8,10,12. Qual o valor da esperança neste caso?

Ora, como multiplicamos cada valor da variável por 2, a esperança também será multiplicada por 2. Assim, a esperança neste caso é igual a 3,50 2 7.

ii)

Se adicionamos uma constante k a todos os valores de uma variável aleatória, também adicionamos k unidades à sua esperança.



Voltemos novamente ao exemplo do dado. Imagine que eu vou adicionar 20 unidades a cada face. Ou seja, minhas novas faces serão iguais a 21, 22, 23, 24, 25, 26. Qual o novo valor da esperança?

Ora, se eu adiciono 20 unidades a cada valor da variável, a esperança também aumentará 20 unidades. Assim, a nova esperança é igual a 3,50 + 20 = 23,50.

iii)

Podemos ler a propriedade acima da seguinte maneira: a esperança da soma de duas variáveis é igual à soma das esperanças das variáveis.

iv)

Esta propriedade é muito fácil de entender. Ela diz que a esperança de uma constante é igual à própria constante.

Imagine um dado em que todas as faces são iguais a 4. Qual é a esperança neste caso?

Ou seja, se você fosse lançar este dado infinitas vezes e calculasse a média, qual seria este valor?

Quatro!

v) Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então

·

Observe que você só poderá utilizar esta propriedade se o problema garantir que as variáveis são independentes, ok?

E um fato muito importante que costumam perguntar nas provas.

Acabamos de falar que SE (e este é um grande SE) as variáveis aleatórias X e Y são independentes, então · .

Porém, se você sabe que · você NÃO PODE GARANTIR QUE AS VARIÁVEIS SÃO INDEPENDENTES.

Se as variáveis X e Y são independentes, então · .

Se · , as variáveis X e Y podem ser independentes ou dependentes.

Vou resolver uma parte de uma questão do TCE-RS 2011. Na realidade a questão pedia para o candidato analisar três afirmativas. Como estamos no



início da aula, vamos analisar apenas uma delas. Depois responderemos a questão completamente.

(Economista – TCE/RS 2011/FMP) Considere X e Y duas variáveis aleatórias quaisquer e as afirmativas abaixo: I. Se Z = 8X + 9Y, então VAR(Z) = 8VAR(X) + 9VAR(Y) + 2 COV(X,Y). II. Se W = 8X + 9Y + 10, então E(W) = 8E(X) + 9E(Y) + 10. III. Se COV(X,Y) = 0, então X e Y são independentes. É correto afirmar que: (A) apenas I está correta. (B) apenas II está correta. (C) apenas III está correta. (D) apenas I e II estão corretas. (E) apenas II e III estão corretas.

No presente momento, só temos condição de analisar a assertiva II.

Queremos calcular a esperança da variável W = 8X + 9Y + 10.

8 9 10 ?

A esperança da soma é igual à soma das esperanças. Assim, podemos “desmembrar” a expressão acima.

8 9 10 8 9 10

Quando multiplicamos a variável X por 8, sua esperança fica multiplicada por 8. Portanto, E(8X) = 8 E(X).

Quando multiplicamos a variável Y por 9, sua esperança fica multiplicada por 9. Portanto, E(9Y)=9 E(Y).

10 é uma constante. Vimos que a esperança de uma constante é igual à própria constante. Portanto, E(10) = 10.

8 9 10 8 · 9 · 10

A assertiva II está correta.

Variância e desviopadrão de uma variável aleatória

Já aprendemos a calcular a média (esperança) de uma variável aleatória discreta. Vamos aprender agora a calcular a variância (e, consequentemente, o desvio-padrão) de uma variável aleatória.



Por definição, a variância de uma variável aleatória X, de população infinita, é

Lembrando que também pode ser representada por , a variância pode assim ser escrita:

²

Vamos desenvolver esta expressão?

Primeiro devemos desenvolver o produto notável:

² 2 ²

Portanto:

2

2

Lembre-se que é a média da variável X. Assim, é uma constante. Sendo uma constante, podemos inferir que e que 2 2 .

2

Como ,então:

2 ·

2 ²

² ²

Esta fórmula é mais fácil de trabalhar.

Variância de uma variável aleatória

²

²

Vamos praticar um pouco?

Vamos considerar um tetraedro regular (poliedro com 4 faces triangulares). Nas faces temos os números 2, 4, 6 e 8. O resultado é a face que fica voltada para baixo.



Como o poliedro é regular, vamos supor que cada face tem a mesma probabilidade de sair. Assim:

Eis a sua distribuição de probabilidade.

2 4 6 814

2 1/44 1/46 1/48 1/4

Para calcular a esperança, devemos multiplicar cada valor da variável pela sua respectiva probabilidade e depois somar tudo.

·2 1/4 2 ·

14

24

4 1/4 4 ·14

44

6 1/4 6 ·14

64

8 1/4 8 ·14

84

Agora somamos tudo.

24

44

64

84

5

Isto significa que se fôssemos jogar este tetraedro uma infinidade de vezes, a média seria igual a 5.

Vamos agora calcular a variância?

Dê uma olhadinha na fórmula:

²

Como já sabemos o valor de , automaticamente já sabemos que ² 5² 25.

Precisamos calcular .



Guilherme, qual o significado da expressão ?

Veja, meu amigo. Você lembra do processo para calcular a esperança de alguma coisa? Devemos multiplicar cada valor da variável em questão pela sua respectiva probabilidade e depois somar tudo.

No caso, queremos calcular a esperança da variável X². Assim, vamos elevar ao quadrado cada valor da variável X, depois multiplicar pelas probabilidades e somar tudo.

· ²2 1/4 2 ·

14

24

2² 4

4 1/4 4 ·14

44

4² 16

6 1/4 6 ·14

64

6² 36

8 1/4 8 ·14

84

8² 64

Agora vamos multiplicar cada valor de ² pelas respectivas probabilidades.

· ² ² ·2 1/4 2 ·

14

24

2² 4 4 ·14 1

4 1/4 4 ·14

44

4² 16 16 ·14 4

6 1/4 6 ·14

64

6² 36 36 ·14 9

8 1/4 8 ·14

84

8² 64 64 ·14 16

Somando tudo...

1 4 9 16 30

Agora podemos calcular a variância.

² 30 5² 25

09. (AFRFB 2009/ESAF) A tabela mostra a distribuição de frequências relativas populacionais (f’) de uma variável X:

2 61 12 3



Sabendo que “a” é um número real, então a média e a variância de X são, respectivamente:

a) b)

0,5 3,45

c) 0,5 3,45

d) 0 1

e) 0,5 3,7

0,5 3,7

Resolução

O enunciado da ESAF foi meio “impreciso” ao falar em frequência relativa. O correto mesmo seria probabilidade.

O somatório de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Portanto:

6 1 3 1

10 1

0,1

Vamos substituir este valor na distribuição de probabilidades.

2 0,61 0,12 0,3

Para calcular a média (esperança), vamos multiplicar cada valor da variável pela sua probabilidade e somar tudo.

2 · 0,6 1 · 0,1 2 · 0,3 1,2 0,1 0,6 0,5

Poderíamos ter feito isto na tabela.

·2 0,6 2 · 0,6 1,2

1 0,1 1 · 0,1 0,12 0,3 2 · 0,3 0,6

Assim, 1,2 0,1 0,6 0,5.

Vamos agora calcular a variância.

²



Já sabemos o valor de , portanto ² 0,5 0,25.

Vamos calcular . Para tanto, devemos elevar os valores de X ao quadrado, depois multiplicar pela probabilidades e somar tudo.

· ² ² ·2 0,6 2 · 0,6 1,2 2 4 4 · 0,6 2,4

1 0,1 1 · 0,1 0,1 1² 1 1 · 0,1 0,12 0,3 2 · 0,3 0,6 2² 4 4 · 0,3 1,2

Somando tudo...

2,4 0,1 1,2 3,7

Agora podemos calcular a variância.

² 3,7 0,25 3,45

Letra A

Propriedades da Variância

Veremos agora duas propriedades (muito parecidas com as propriedades da Estatística Descritiva). Considere que X é uma variável aleatória e que k é uma constante real.

· ² ·

Vamos analisar cada uma separadamente.

i)

Isto significa que se você adicionar uma constante a todos os valores da variável, a variância não se altera.

ii) · ² ·

Se você multiplicar todos os valores da variável por uma constante k, a variância ficará multiplicada pelo quadrado desta constante.



10. (PETROBRAS 2006 – Administrador Pleno – CESGRANRIO) Se Y = 2X+1 e a variância de X vale 2, a variância de Y é igual a:

(A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 8 (E) 9

Resolução

Poderíamos raciocinar da seguinte maneira:

Como chegamos à variável Y a partir da variável X? Multiplicamos os valores de X por 2 e em seguida adicionamos 1 ao resultado encontrado.

Assim, a variância (que é igual a 2) multiplicada por 4 é igual a 8.

Letra D

11. (CGU 2008 – Estatística e Cálculos Atuariais/ESAF) Seja X uma variável aleatória com média 1 e variância 2. Qual a variância da variável Y = 2X + 4?

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12

Resolução

Não precisamos da média da variável X para calcular a variância de Y.



O raciocínio é o mesmo da questão anterior.

Como chegamos à variável Y a partir da variável X? Multiplicamos os valores de X por 2 e em seguida adicionamos 4 ao resultado encontrado.

Assim, a variância (que é igual a 2) multiplicada por 4 é igual a 8.

Letra D

Covariância

Por definição, dadas duas variáveis aleatórias, X e Y, a covariância entre X e Y é

,

A covariância pode ser entendida como uma “variância conjunta” entre duas variáveis.

Vamos desenvolver a expressão acima para que possamos encontrar uma forma mais fácil de calcular a covariância.

,

Vamos desmembrar esta expressão.

,

,



Lembre-se que é a média da variável X e que é a média da variável Y. São, portanto, constantes. A esperança de uma constante é igual à própria constante, assim, .

,

Pessoal, E(X) é a mesma coisa que e E(Y) é a mesma coisa que .

,

,

Portanto, podemos escrever a covariância assim:

, , ·

O passo a passo é o seguinte:

i) Calculamos a esperança de X, obtendo . ii) Calculamos a esperança de Y, obtendo . iii) Multiplicamos a variável X pela variável Y obtendo a variável XY. iv) Calculamos a esperança de XY, obtendo . v) Aplicamos a fórmula da covariância.

Na verdade, o que aparece mais são os aspectos teóricos sobre a covariância.

Para responder as questões de covariância, você precisa saber a fórmula e dois detalhes que vou explicar agora.

Você lembra que quando as variáveis X e Y são independentes,

· ?

Pois bem, suponha que as variáveis X e Y são independentes. O que ocorre com a covariância?

Ora, sendo independentes, concluímos que · . Assim:

, ·

, · ·

, 0

ISTO É MUITO IMPORTANTE!!!!!!

Agora, se a covariância é igual a 0, você não pode concluir que as variáveis são independentes.



Resumindo:

Se as variáveis X e Y são independentes, então cov(X,Y) = 0. Se cov(X,Y)=0, as variáveis podem ser independentes ou dependentes.

Amigos, isso cai muito nas provas. Memorizem!!!!

Propriedades da Covariância

Considere que X,Y e Z são variáveis aleatórias e que k é uma constante qualquer. É possível demonstrar as seguintes relações:

i) , ,ii) ,iii) , , 0iv) , , ,v) , , · ,

A sentença i) afirma que a covariância entre X e Y é igual à covariância entre Y e X.

A sentença ii) afirma que a variância de X é, na realidade, a covariância entre X e X.

A sentença iii) afirma que a covariância entre uma variável aleatória e uma constante é sempre igual a 0.

A sentença iv) nos ensinar a “desmembrar” uma soma “dentro” da covariância.

A sentença v) afirma que se uma constante estiver multiplicando uma das variáveis, ela pode “sair” multiplicando a covariância.

Daqui a pouquinho vamos treinar isto em exercícios.

Variância da Soma e da Diferença

Este conceito é muito cobrado em provas. Agora que já estudamos a covariância, podemos mostrar a fórmula da variância e a da diferença de variáveis aleatórias. Ei-las:

2 · ,

2 · ,



Note como estas expressões são muito parecidas às formas dos produtos notáveis ² ² 2 e ² ² 2 . Basta fazer a variância análoga ao quadrado e a covariância análoga ao produto.

Vamos exercitar?

12. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Sejam X e Y duas variáveis aleatórias quaisquer. Então:

(A) VAR (X – Y) = VAR (X) – VAR (Y).

(B) VAR (X – Y) = VAR (X) + VAR (Y) – COV (X, Y).

(C) VAR (X – Y) = VAR (X) + VAR (Y) – 2 COV (X, Y).

(D) VAR (X – Y) = VAR (X) + VAR (Y) + COV (X, Y).

(E) VAR (X – Y) = VAR (X) + VAR (Y) + 2 COV (X, Y).

Resolução

Vocês acreditam que caiu uma questão assim? Sem comentários, basta assinalar a fórmula que acabamos de ver.

Gabarito: C

13. (Economista – TCE/RS 2011/FMP) Considere X e Y duas variáveis aleatórias quaisquer e as afirmativas abaixo: I. Se Z = 8X + 9Y, então VAR(Z) = 8VAR(X) + 9VAR(Y) + 2 COV(X,Y). II. Se W = 8X + 9Y + 10, então E(W) = 8E(X) + 9E(Y) + 10. III. Se COV(X,Y) = 0, então X e Y são independentes. É correto afirmar que: (A) apenas I está correta. (B) apenas II está correta. (C) apenas III está correta. (D) apenas I e II estão corretas.

(E) apenas II e III estão corretas.

Resolução

I. Se Z = 8X + 9Y, então VAR(Z) = 8VAR(X) + 9VAR(Y) + 2 COV(X,Y).

Vamos aplicar a fórmula da variância da soma de duas variáveis.

8 9 8 9 2 · 8 , 9

Observe que se multiplicamos a variável X por 8, a sua variância será

multiplicada por 8² = 64. Se multiplicamos a variável Y por 9, a sua variância

será multiplicada por 9² = 81.



64 81 2 · 8 , 9

Professor, ainda precisamos desenvolver a expressão da covariância!

Para isto, vamos utilizar uma outra fórmula.

Se m e n são constantes, então , · , .

Então ficamos assim:

64 · 81 · 2 8 , 9

64 · 81 · 2 · 8 · 9 ,

64 · 81 · 144 · ,

O item I está errado.

II. Se W = 8X + 9Y + 10, então E(W) = 8E(X) + 9E(Y) + 10.

Queremos calcular a esperança da variável W = 8X + 9Y + 10.

8 9 10 ?

A esperança da soma é igual à soma das esperanças. Assim, podemos “desmembrar” a expressão acima.

8 9 10 8 9 10

Quando multiplicamos a variável X por 8, sua esperança fica multiplicada por 8. Portanto, E(8X) = 8 E(X).

Quando multiplicamos a variável Y por 9, sua esperança fica multiplicada por 9. Portanto, E(9Y)=9 E(Y).

10 é uma constante. Vimos que a esperança de uma constante é igual à própria constante. Portanto, E(10) = 10.

8 9 10 8 · 9 · 10

O item II está certo.

III. Se COV(X,Y) = 0, então X e Y são independentes.

Está é uma casca de banana e aparece em MUITAS provas de

estatística inferencial.



Na verdade, a propriedade diz que se X e Y são variáveis aleatórias

independentes, então a covariância é nula, ou seja, COV(X,Y) = 0.

Agora, se COV(X,Y) = 0, nada podemos afirmar sobre a (in)dependência entre

as variáveis envolvidas.

Ok?

Grave bem....SE AS VARIÁVEIS SÃO INDEPENDENTES, A COVARIÂNCIA É

NULA!!

SE A COVARIÂNCIA É NULA, ELAS PODEM SER INDEPENDENTES OU

DEPENDENTES!!!

Assim, o item III está errado.

Letra B

14. (Analista BACEN 2010 CESGRANRIO) Se X e Y são duas variáveis aleatórias, para as quais são definidas: E(X) e E(Y), suas esperanças matemáticas (expectâncias); Var(X) e Var(Y), suas respectivas variâncias, e Cov(X, Y), a covariância entre X e Y, quaisquer que sejam as distribuições de X e Y, tem-se que

(A) E(XY) = E(X) + E(Y) – 2Cov(X, Y) (B) E(X) . E(Y) = E(XY) – Cov(X, Y) (C) E(3X + 2Y) = 9E(X) + 4E(Y) (D) Var(X + 5) = Var(X) + 5 (E) Cov(X, Y) = Var(X) . Var(Y)

Resolução

A alternativa A é completamente absurda. Ele tenta confundir a fórmula da variância da diferença com estas expressões envolvendo esperanças.

Vejamos a alternativa B.

Sabemos que a covariância é calculada da seguinte maneira:

, ·

Vamos transportar E(X).E(Y) que está negativo no segundo membro para o primeiro membro.

· ,



Agora vamos transportar cov(X,Y) para o segundo membro.

· ,

É exatamente a alternativa B! Este é o gabarito.

Vamos analisar as outras alternativas.

(C) E(3X + 2Y) = 9E(X) + 4E(Y)

3 2 3 2 3 2

A alternativa C está errada.

(D) Var(X + 5) = Var(X) + 5

Vimos que Var (X+ k) = Var(X). Ou seja, se adicionamos uma constante a uma variável aleatória, a sua variância não se altera.

A alternativa D está errada.

(E) Cov(X, Y) = Var(X) . Var(Y)

A alternativa E é completamente absurda.

Gabarito: B

15. (Estatístico – SEAD – AM 2005 CESGRANRIO) Se var(X) = 4, var(Y) = 2 e cov(X,Y) = -1, então var(2X – Y) é igual a:

a) 10 b) 12 c) 18 d) 22 e) 24

Resolução

Uma questão muito interessante que vamos aproveitar para revisar as propriedades da variância e da covariância. Vamos relembrar as propriedades da variância.

i) Somando-se ou subtraindo-se uma constante qualquer a uma variável aleatória, a variância não se altera.

ii) Se multiplicarmos ou dividirmos uma constante qualquer a uma variável aleatória, a variância ficará multiplicada ou dividida pelo



quadrado dessa constante.

E quanto à covariância? É válida a seguinte relação:

, · · ,

E, além disso, são válidas também as seguintes relações:

2 · ,

2 · ,

Estude bem essas relações!!

Bom, vamos voltar ao problema. Queremos calcular var(2X – Y) sabendo que var(X) = 4, var(Y) = 2 e cov(X,Y) = -1.

De acordo com a relação 2 · , ,

2 2 2 · 2 ,

(BASTA TROCAR O “X” DA FÓRMULA POR 2X!!!)

Vamos analisar cada componente dessa relação!

2 2² · 2² · 4 16

2

2 , 2 · , 2 · 1 2

Assim,

2 2 2 · 2 ,

2 16 2 2 · 2 22

Letra D

16. (Estatístico – ENAP 2006/ESAF) Sabe-se que X e Y são variáveis aleatórias independentes. Dado que Z = 2 X – Y, então pode-se afirmar que a) a variância de Z nunca poderá ser superior à variância de X. b) a variância de Z nunca poderá ser inferior à variância de Y. c) a variância de Z poderá se diferente de 2 X - Y. d) o valor esperado de Z é igual a 2. e) a variância de Z é igual a zero.

Resolução

Como o problema já afirma que as variáveis X e Y são independentes,



podemos concluir que , 0.

Assim, 2 2 2 · 2 ,

2 2² · 2 · 2 · ,

2 4 · 4 · 0

4 ·

Como a variância é sempre um número não negativo, a variância de Z nunca poderá ser inferior à variância de Y.

Letra B

17. (MPE – RO 2005 CESGRANRIO) Analise as afirmativas a seguir, a respeito da esperança e da variância de duas variáveis aleatórias X e Y.

I - Se X e Y são independentes, então var(X + Y) = var(X) + var(Y).

II - Se var(X + Y) = var(X) + var(Y), então X e Y são independentes.

III - Se X e Y são independentes, então E(X + Y) = E(X) + E(Y).

IV - Se E(X + Y) = E(X) + E(Y), então X e Y são independentes.

Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s):

(A) II, somente.

(B) I e III, somente.

(C) I e IV, somente.

(D) II e IV, somente.

(E) I, II, III e IV

Resolução

I – Verdadeiro

Sabemos que 2 · , ,.

Se X e Y são independentes, então cov(X,Y) = 0. Portanto, se X e Y são independentes, então

2 · 0



II – Falso

Duas variáveis independentes têm covariância zero, mas a recíproca não é verdadeira. Ou seja, se a covariância é zero, as variáveis podem ser independentes ou não.

III – Verdadeiro

Sejam X e Y duas variáveis quaisquer, é sempre verdade que E(X + Y) = E(X) + E(Y). Não interessa se as variáveis são ou não independentes, sempre será verdade E(X+Y)=E(X)+ E(Y).

IV – Falso

E(X + Y) = E(X) + E(Y) é verdade para duas variáveis quaisquer. Portanto, X e Y podem ser independentes ou não.

Letra B

18. (Estatístico Pref. Manaus 2004 CESGRANRIO) Analise as afirmativas a seguir, a respeito de duas variáveis aleatórias X e Y.

I – Se X e Y são independentes, então Cov(X,Y) = 0.

II – Se Cov(X,Y) = 0, então X e Y são independentes.

III – Se X e Y são independentes, então E(XY) = E(X).E(Y).

IV – Se E(XY) = E(X).E(Y), então X e Y são independentes.


(A) I, somente.




(E) I, II, III e IV

Resolução

I – Verdadeiro

Duas variáveis independentes têm covariância zero, mas a recíproca não é verdadeira. Ou seja, se a covariância é zero, as variáveis podem ser independentes ou não.



II - Falso

A frase II é falsa pelo mesmo motivo da frase I.

III – Verdadeiro

Se X e Y são duas variáveis independentes, então E(XY) = E(X).E(Y). A recíproca não é verdadeira.

IV – Falso

A frase IV é falsa pelo mesmo motivo da frase III.

Letra B

19. (Fiscal de Rendas-MS 2006/FGV) Analise as afirmativas a seguir, a respeito de duas variáveis aleatórias X e Y:

I – se X e Y são independentes, então Cov(X,Y) = 0.

II – se Cov(X,Y) = 0, então X e Y são independentes;

III – se X e Y são independentes, então E(XY) = E(X).E(Y)

IV – se E(XY) =E(X).E(Y), então X e Y são independentes.

Assinale:

a) se nenhum alternativa estiver correta b) se somente as alternativas I e III estiverem corretas c) se somente as alternativas I e IV estiverem corretas d) se somente as alternativas II e IV estiverem corretas e) se todas as alternativas estiverem corretas.

Resolução

Muito criativa a questão, não?

IDÊNTICAS. Não vou nem copiar os comentários.

Letra B



20. (BNDES 2011/CESGRANRIO) As variáveis aleatórias X e Y têm variâncias iguais e possuem coeficiente de correlação igual a 0,2. O coeficiente de correlação entre as variáveis aleatórias X e 5X – 2Y é (A) – 0,35 (B) – 0,2 (C) 0,1 (D) 0,56 (E) 0,92

Resolução

Nós ainda não estudamos o coeficiente de correlação. Mas não tem problema. Podemos resolver esta questão (difícil, por sinal) com as propriedades da variância e da covariância. Para tanto, deixe-me apresentar-lhes a fórmula do coeficiente de correlação.

O coeficiente de correlação , é dado por:

,,

·

O problema informa que Var(X) = Var(Y). Para simplificar, utilizarei a letra m para representar estes valores.

Assim,

,,

√ ·

Como o coeficiente de correlação é igual a 0,2, então:

0,2,

, 0,2 ·

Vamos agora aplicar a definição do coeficiente de correlação para as variáveis X e 5X – 2Y.

, 5 2, 5 2

· 5 2

Utilizemos as propriedades de variância e covariância:

5 2 5 2 2 · 5 , 2



5 2 5² · 2² · 2 · 5 · 2 · ,

5 2 25 4 20 · , 25

5 2 25

, 5 2 , 5 , 2 5 , 2 · ,

Lembrando que , …

, 5 2 5 · 2 · ,

, 5 2 5 2 · 0,2 ·

, 5 2 4,6 ·

Substituindo estes valores na fórmula:

, 5 2, 5 2

· 5 24,6

√ · 254,65

4,65 0,92

Letra E



Relação das questões comentadas

01. (Administrador DNOCS 2010/FCC) Em uma loja, as unidades vendidas por dia de um determinado eletrodoméstico apresentam a seguinte distribuição de probabilidades de ocorrência de venda:

A probabilidade de que em um determinado dia tenham sido vendidas mais que uma unidade do eletrodoméstico é igual a (A) 87,5%. (B) 80,0%. (C) 75,0%. (D) 60,0%. (E) 50,0%.

02. (TRF 4ª Região 2010/FCC) O número de televisores vendidos diariamente em uma loja apresenta a seguinte distribuição de probabilidades.

A probabilidade de que, em um determinado dia, não seja vendido nenhum televisor é igual a 10% e de que seja vendido mais que 3 é igual a 30%. Então, a probabilidade de que em um determinado dia sejam vendidos 2 televisores é de (A) 10%. (B) 12%. (C) 15%. (D) 18%. (E) 20%.



03. (Técnico de Controle Externo – Economia – TCE/MG 2007/FCC) O número de unidades vendidas, mensalmente, de um produto em uma determinada loja é uma variável aleatória (X) com a seguinte distribuição de probabilidades:

Sabe-se que somente em 10% dos meses são vendidos mais que 3 unidades. Então, se em um determinado mês a venda realizada não foi nula, tem-se que a probabilidade dela ter sido inferior a 4 é (A) 70,0% (B) 75,0% (C) 80,0% (D) 87,5% (E) 90,0%

04. (MEC 2009 CESGRANRIO) Uma empresa considera fazer um investimento que tem probabilidade igual a 0,2 de produzir um lucro de R$ 20.000,00 e probabilidade igual a 0,5 de produzir um lucro de R$ 8.000,00; caso contrário, o investimento trará um prejuízo de R$ 15.000,00. O valor esperado do retorno do investimento, em reais, é

(A) 3.500,00 (B) 4.000,00 (C) 4.500,00 (D) 5.000,00 (E) 5.500,00

05. (MPOG 2006 ESAF) Suzana e Sandra jogam, cada uma, uma moeda. Se do lançamento dessas duas moedas resultar duas caras, Suzana paga a Sandra R$ 6,00. Dando qualquer outro resultado, Sandra paga a Suzana R$ 4,00. Supondo que ambas as moedas sejam estatisticamente honestas, o valor esperado, em reais, dos ganhos de Sandra (considerando- se como ganhos negativos os valores que ela paga à Suzana) é igual a

a) 1,5. b) -0,75. c) 0,75.



d) -1,5. e) 2,5.

06. (MPU 2004 ESAF) O preço de determinada ação fica constante, aumenta ou diminui R$ 1,00 por dia com probabilidades 0,3, 0,3 e 0,4 respectivamente. Assinale a opção que dá o valor esperado do preço da ação amanhã se seu preço hoje é R$ 8,00.

a) R$ 7,90 b) R$ 8,00 c) R$ 7,00 d) R$ 9,00 e) R$ 8,50

07. (Estatístico – TCE/RO 2007/CESGRANRIO) O retorno mensal de certo investimento de risco pode ser modelado pela variável aleatória W, com função de probabilidade dada a seguir.

O retorno esperado é: (A) – 0,5% (B) 0,5% (C) 1,5% (D) 5% (E) 7,5%

08. (Analista BACEN 2010 CESGRANRIO) Sobre variáveis aleatórias, considere as afirmações a seguir.

I - Para toda e qualquer variável aleatória, sua função de densidade de probabilidade fornece a probabilidade de ocorrência de cada valor da variável aleatória considerada, exceto no caso de variáveis aleatórias contínuas, para as quais a probabilidade de ocorrência de um valor específico é zero.

II - A esperança matemática (expectância) de uma variável aleatória discreta, ou seja, seu valor esperado, é a média dessa variável aleatória, que é definida como um n-avos do somatório dos valores possíveis dessa variável multiplicados por suas respectivas probabilidades.



III - A distribuição binomial é uma extensão direta da Distribuição de Bernoulli, uma vez que o experimento aleatório que caracteriza a binomial nada mais é do que um Experimento de Bernoulli repetido n vezes.

É correto APENAS o que se afirma em

(A) II. (B) III. (C) I e II. (D) I e III. (E) II e III.

09. (AFRFB 2009/ESAF) A tabela mostra a distribuição de frequências relativas populacionais (f’) de uma variável X:

2 61 12 3

Sabendo que “a” é um número real, então a média e a variância de X são, respectivamente:

a) b)

0,5 3,45

c) 0,5 3,45

d) 0 1

e) 0,5 3,7

0,5 3,7

10. (PETROBRAS 2006 – Administrador Pleno – CESGRANRIO) Se Y = 2X+1 e a variância de X vale 2, a variância de Y é igual a:

(A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 8 (E) 9

11. (CGU 2008 – Estatística e Cálculos Atuariais/ESAF) Seja X uma variável aleatória com média 1 e variância 2. Qual a variância da variável Y = 2X + 4?

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12



12. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Sejam X e Y duas variáveis aleatórias quaisquer. Então:

(A) VAR (X – Y) = VAR (X) – VAR (Y).

(B) VAR (X – Y) = VAR (X) + VAR (Y) – COV (X, Y).

(C) VAR (X – Y) = VAR (X) + VAR (Y) – 2 COV (X, Y).

(D) VAR (X – Y) = VAR (X) + VAR (Y) + COV (X, Y).

(E) VAR (X – Y) = VAR (X) + VAR (Y) + 2 COV (X, Y).

13. (Economista – TCE/RS 2011/FMP) Considere X e Y duas variáveis aleatórias quaisquer e as afirmativas abaixo: I. Se Z = 8X + 9Y, então VAR(Z) = 8VAR(X) + 9VAR(Y) + 2 COV(X,Y). II. Se W = 8X + 9Y + 10, então E(W) = 8E(X) + 9E(Y) + 10. III. Se COV(X,Y) = 0, então X e Y são independentes. É correto afirmar que: (A) apenas I está correta. (B) apenas II está correta. (C) apenas III está correta. (D) apenas I e II estão corretas.

(E) apenas II e III estão corretas.

14. (Analista BACEN 2010 CESGRANRIO) Se X e Y são duas variáveis aleatórias, para as quais são definidas: E(X) e E(Y), suas esperanças matemáticas (expectâncias); Var(X) e Var(Y), suas respectivas variâncias, e Cov(X, Y), a covariância entre X e Y, quaisquer que sejam as distribuições de X e Y, tem-se que

(A) E(XY) = E(X) + E(Y) – 2Cov(X, Y) (B) E(X) . E(Y) = E(XY) – Cov(X, Y) (C) E(3X + 2Y) = 9E(X) + 4E(Y) (D) Var(X + 5) = Var(X) + 5 (E) Cov(X, Y) = Var(X) . Var(Y)

15. (Estatístico – SEAD – AM 2005 CESGRANRIO) Se var(X) = 4, var(Y) = 2 e cov(X,Y) = -1, então var(2X – Y) é igual a:

a) 10 b) 12 c) 18 d) 22 e) 24



16. (Estatístico – ENAP 2006/ESAF) Sabe-se que X e Y são variáveis aleatórias independentes. Dado que Z = 2 X – Y, então pode-se afirmar que a) a variância de Z nunca poderá ser superior à variância de X. b) a variância de Z nunca poderá ser inferior à variância de Y. c) a variância de Z poderá se diferente de 2 X - Y. d) o valor esperado de Z é igual a 2. e) a variância de Z é igual a zero.

17. (MPE – RO 2005 CESGRANRIO) Analise as afirmativas a seguir, a respeito da esperança e da variância de duas variáveis aleatórias X e Y.

I - Se X e Y são independentes, então var(X + Y) = var(X) + var(Y).

II - Se var(X + Y) = var(X) + var(Y), então X e Y são independentes.

III - Se X e Y são independentes, então E(X + Y) = E(X) + E(Y).

IV - Se E(X + Y) = E(X) + E(Y), então X e Y são independentes.


(A) II, somente.




(E) I, II, III e IV

18. (Estatístico Pref. Manaus 2004 CESGRANRIO) Analise as afirmativas a seguir, a respeito de duas variáveis aleatórias X e Y.

I – Se X e Y são independentes, então Cov(X,Y) = 0.

II – Se Cov(X,Y) = 0, então X e Y são independentes.

III – Se X e Y são independentes, então E(XY) = E(X).E(Y).

IV – Se E(XY) = E(X).E(Y), então X e Y são independentes.


(A) I, somente.






(E) I, II, III e IV

19. (Fiscal de Rendas-MS 2006/FGV) Analise as afirmativas a seguir, a respeito de duas variáveis aleatórias X e Y:

I – se X e Y são independentes, então Cov(X,Y) = 0.

II – se Cov(X,Y) = 0, então X e Y são independentes;

III – se X e Y são independentes, então E(XY) = E(X).E(Y)

IV – se E(XY) =E(X).E(Y), então X e Y são independentes.

Assinale:

a) se nenhum alternativa estiver correta b) se somente as alternativas I e III estiverem corretas c) se somente as alternativas I e IV estiverem corretas d) se somente as alternativas II e IV estiverem corretas e) se todas as alternativas estiverem corretas.

20. (BNDES 2011/CESGRANRIO) As variáveis aleatórias X e Y têm variâncias iguais e possuem coeficiente de correlação igual a 0,2. O coeficiente de correlação entre as variáveis aleatórias X e 5X – 2Y é (A) – 0,35 (B) – 0,2 (C) 0,1 (D) 0,56 (E) 0,92

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