apostila de matematica para concursos

MateMática

Didatismo e Conhecimento 1

MATEMÁTICA

OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS FRACIONÁRIOS E DECIMAIS.

Números Inteiros

Defi nimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais (N = {0, 1, 2, 3, 4,..., n,...}, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis:

- O conjunto dos números inteiros não nulos:Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}; Z* = Z – {0}

- O conjunto dos números inteiros não negativos:Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N

- O conjunto dos números inteiros positivos:Z*+ = {1, 2, 3, 4,...}

- O conjunto dos números inteiros não positivos:Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}

- O conjunto dos números inteiros negativos:Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1}

Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |.

O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo.

Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem.

Exemplo: O oposto do número 2 é -2, e o oposto de -2 é 2, pois 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e vice-versa; particularmente o oposto de zero é o próprio zero.

adição de Números inteiros

Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a ideia de ganhar e aos números inteiros negativos a ideia de perder.

Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+5) + (+3) = (+8)Perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)

O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.

Propriedades da adição de números inteiros: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.


matemática

associativa: Para todos a,b,c em Z:a + (b + c) = (a + b) + c2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7

comutativa: Para todos a,b em Z:a + b = b + a3 + 7 = 7 + 3

elemento Neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é:z + 0 = z7 + 0 = 7

elemento Oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal quez + (–z) = 09 + (–9) = 0

Subtração de Números inteiros

A subtração é empregada quando:- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade;- Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra;- Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra.

A subtração é a operação inversa da adição.

Observe que: 9 – 5 = 4 4 + 5 = 9 diferença subtraendo minuendo

Considere as seguintes situações:

1- Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura?Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3

2- Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira?

Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3

Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+5) + (–3).

Temos:(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3

Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo.

Multiplicação de Números inteiros

A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30


matemática

Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:(+1) x (+1) = (+1)(+1) x (-1) = (-1)(-1) x (+1) = (-1)(-1) x (-1) = (+1)

Com o uso das regras acima, podemos concluir que:

Sinais dos números Resultado do produtoIguais PositivoDiferentes Negativo

Propriedades da multiplicação de números inteiros: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

associativa: Para todos a,b,c em Z:a x (b x c) = (a x b) x c2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7

comutativa: Para todos a,b em Z:a x b = b x a3 x 7 = 7 x 3

elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:z x 1 = z7 x 1 = 7

elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z–1=1/z em Z, tal quez x z–1 = z x (1/z) = 19 x 9–1 = 9 x (1/9) = 1

Distributiva: Para todos a,b,c em Z:a x (b + c) = (a x b) + (a x c)3 x (4+5) = (3 x 4) + (3 x 5)

Divisão de Números inteiros

Dividendo divisor dividendo:Divisor = quociente 0Quociente . divisor = dividendo

Sabemos que na divisão exata dos números naturais:

40 : 5 = 8, pois 5 . 8 = 4036 : 9 = 4, pois 9 . 4 = 36


matemática

Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a divisão exata de números inteiros. Veja o cálculo:

(–20) : (+5) = q (+5) . q = (–20) q = (–4)

Logo: (–20) : (+5) = - 4

Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. Daí:

- Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quociente é um número inteiro positivo.- Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é um número inteiro negativo.- A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto Z. Por exemplo, (+7) : (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem

ser realizadas em Z, pois o resultado não é um número inteiro.- No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência do elemento neutro.1- Não existe divisão por zero.Exemplo: (–15) : 0 não tem significado, pois não existe um número inteiro cujo produto por zero seja igual a –15.2- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro por zero é

igual a zero.Exemplos: a) 0 : (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0

Potenciação de Números inteiros

A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.

an = a x a x a x a x ... x aa é multiplicado por a n vezes

Exemplos:33 = (3) x (3) x (3) = 27(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125(-7)² = (-7) x (-7) = 49(+9)² = (+9) x (+9) = 81

- Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo.Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9

- Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo.Exemplo: (– 8)2 = (–8) . (–8) = +64

- Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo.Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125

Propriedades da Potenciação:

Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. (–7)3 . (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9

Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. (+13)8 : (+13)6 = (+13)8 – 6 = (+13)2

Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. [(+4)5]2 = (+4)5 . 2 = (+4)10

Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (+9)1 = +9 (–13)1 = –13

Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. Exemplo: (+14)0 = 1 (–35)0 = 1


matemática

Radiciação de Números inteiros

A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical).

A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a.

Observação: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros.

erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:√9 = ±3mas isto está errado. O certo é:√9 = +3

Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.

A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos.

exemplos

(a) 3 8 = 2, pois 2³ = 8.(b) 3 8− = –2, pois (–2)³ = -8.(c) 3 27 = 3, pois 3³ = 27.(d) 3 27− = –3, pois (–3)³ = -27.

Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que:(a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo.(b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.

exercícios

1. Qual é o maior quadrado perfeito que se escreve com dois algarismos?

2. Um número inteiro é expresso por (53 – 38 + 40) – 51 + (90 – 7 + 82) + 101. Qual é esse número inteiro?

3. Calcule:a) (+12) + (–40)b) (+12) – (–40) c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20)d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15)

4. Determine o valor de x de modo a tornar as sentenças verdadeiras:a) x + (–12) = –5b) x + (+9) = 0c) x – (–2) = 6d) x + (–9) = –12e) –32 + x = –50f) 0 – x = 8

5. Qual a diferença prevista entre as temperaturas no Piauí e no Rio Grande do Sul, num determinado dia, segundo as informações?Tempo no Brasil: Instável a ensolarado no Sul.Mínima prevista -3º no Rio Grande do Sul.Máxima prevista 37° no Piauí.


matemática

6. Qual é o produto de três números inteiros consecutivos em que o maior deles é –10?

7. Três números inteiros são consecutivos e o menor deles é +99. Determine o produto desses três números.

8. Copie as igualdades substituindo o x por números inteiros de modo que elas se mantenham:a) (–140) : x = –20 b) 144 : x = –4 c) (–147) : x = +21 d) x : (+13) = +12 e) x : (–93) = +45 f) x : (–12) = –36

9. Adicionando –846 a um número inteiro e multiplicando a soma por –3, obtém-se +324. Que número é esse?

10. Numa adição com duas parcelas, se somarmos 8 à primeira parcela, e subtrairmos 5 da segunda parcela, o que ocorrerá com o total?

Respostas

1) Resposta “9²”.Solução: Basta identificar os quadrados perfeitos.Os números quadrados perfeitos são:1² = 1 (menor que dois algarismos)2² = 43² = 94² = 16 (dois algarismos)5² = 256² = 367² = 498² = 649² = 8110² = 100 (mais que dois algarismos)

Logo, o maior quadrado perfeito é o 9² = 81

2) Resposta “270”.Solução:(53 – 38 + 40) – 51 + (90 – 7 + 82) + 10155 – 51 + 165 + 101 = 270

Portanto, o número inteiro é 270.

3) Solução:a) (+12) + (–40) = 12 – 40 = -28b) (+12) – (–40) = 12 + 40 = 52c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20) = +5 -16 – 9 + 20 = 25 – 25 = 0d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15) = -3 + 6 – 4 – 2 – 15 = 6 – 24 = -18

4) Solução:a) x + (–12) = –5 → x = -5 + 12 → x = 7b) x + (+9) = 0 → x = -9c) x – (–2) = 6 → x = 6 – 2 → x = 4d) x + (–9) = –12 → x = -12 + 9 → x = -3e) –32 + x = –50 → x = -50 + 32 → x = -18f) 0 – x = 8 → x = -8


matemática

5) Resposta “40˚”. Solução:A diferença está entre -3º e +37º. Se formos ver... -3º, -2º, -1º, 0º, 1º, 2º, 3º, 4º, 5º, 6º, 7º... será +40º.

6) Resposta “-1320”.Solução:(x) . (x+1) . (x+2) = ?

x+2 = -10x= -10 -2x = -12

(-12) . (-12+1) . (-12+2) =-12 . -11 . -10 = - 1320

7) Resposta “999900”.Solução:(x) . (x+1) . (x+2) = ?

x= 99

(99) . (99+1) . (99+2) =99 . 100 . 101 = 999900

8) Solução:a) (–140) : x = –20 -20x = -140 x = 7

b) 144 : x = –4 -4x = 144 x = -36 c) (–147) : x = +21 21x = -147 x = -7

d) x : (+13) = +12 x = 12 . 13 x = 156 e) x : (–93) = +45 x = 45 . -93 x = -4185

f) x : (–12) = –36 x = -36 . -12 x = 432

9) Resposta “738”.Solução:x + (-846) . -3 = 324x – 846 . -3 = 324-3 (x – 846) = 324


matemática

-3x + 2538 = 3243x = 2538 – 3243x = 2214

x =

x = 738

10) Resposta “3”.Solução: Seja t o total da adição inicial.Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total é acrescido de 8 unidades: t + 8Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o total é reduzido de 5 unidades: Temos:

t + 8 - 5 = t + 3

Portanto o total ficará acrescido de 3 unidades.

Números Racionais - Q

Um número racional é o que pode ser escrito na forma mn , onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser diferente de

zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números inteiros, razão pela qual, o

conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:

Q = { mn : m e n em Z, n diferente de zero}

No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos:

- Q* = conjunto dos racionais não nulos;- Q+ = conjunto dos racionais não negativos;- Q*+ = conjunto dos racionais positivos;- Q _ = conjunto dos racionais não positivos;- Q*_ = conjunto dos racionais negativos.

Representação Decimal das Frações

Tomemos um número racional pq , tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do

numerador pelo denominador. Nessa divisão podem ocorrer dois casos:

1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos:

25

= 0,4

14

= 0,25

35 4

= 8,75

153 50

= 3,06


matemática

2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:

13

= 0,333...

122

= 0,04545...

167 66

= 2,53030...

Representação Fracionária dos Números Decimais

Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos:

1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado:

0,9 = 910

5,7 = 5710

0,76 = 76100

3,48 = 348100

0,005 = 51000

= 1200

2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos:

exemplo 1

Seja a dízima 0, 333... .

Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros por 10: 10x = 0,333 Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da segunda:10x – x = 3,333... – 0,333... ⇒ 9x = 3 ⇒ x = 3/9

Assim, a geratriz de 0,333... é a fração 39

.

exemplo 2

Seja a dízima 5, 1717...

Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... .Subtraindo membro a membro, temos:99x = 512 ⇒ x = 512/99

Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 512 99

.


matemática

exemplo 3

Seja a dízima 1, 23434...

Façamos x = 1,23434... 10x = 12,3434... 1000x = 1234,34... .Subtraindo membro a membro, temos:990x = 1234,34... – 12,34... ⇒ 990x = 1222 ⇒ x = 1222/990

Simplificando, obtemos x = 611 495

, a fração geratriz da dízima 1, 23434...

Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa zero.

Exemplo: Módulo de - 32

é 32

. Indica-se 32

- = 32

Módulo de + 32

é 32

. Indica-se 32

+ = 32

Números Opostos: Dizemos que – 32 e 3

2 são números racionais opostos ou simétricos e cada um deles é o oposto do outro. As distâncias dos pontos – 3

2 e 3

2 ao ponto zero da reta são iguais.

Soma (adição) de Números Racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição entre os números racionais a

b e c

d, da mesma forma que a soma de frações, através de:

ab

+ cd

= ad + bc bd

Propriedades da adição de Números Racionais

O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda é um número racional.- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c- Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + a- Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q + 0 = q- Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que q + (–q) = 0

Subtração de Números Racionais

A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto de q, isto é: p – q = p + (–q)

Multiplicação (Produto) de Números Racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto de dois números racionais a

be c

d, da mesma forma que o produto de frações, através de:

ab x c

d = ac

bd


matemática

O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:(+1) × (+1) = (+1)(+1) × (-1) = (-1)(-1) × (+1) = (-1)(-1) × (-1) = (+1)

Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo.

Propriedades da Multiplicação de Números Racionais

O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um número racional.- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c- Comutativa: Para todos a, b em Q: a × b = b × a- Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q × 1 = q

- Elemento inverso: Para todo q = ab

em Q, q diferente de zero, existe q-1 = ba

em Q: q × q-1 = 1 ab

x ba

= 1

- Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )

Divisão de Números Racionais

A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q = p × q-1

Potenciação de Números Racionais

A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente.qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)

exemplos:

a) 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3

= 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

8125

b) − 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − 1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ . −

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ . −

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − 1

8

c) (–5)² = (–5) . ( –5) = 25

d) (+5)² = (+5) . (+5) = 25

Propriedades da Potenciação: Toda potência com expoente 0 é igual a 1.

+ 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟0

= 1

- Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.

− 94

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1

= - 94


matemática

- Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente anterior.

− 35

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−2

. − 53

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

= 259

- Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base.

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3

= 23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

827

- Toda potência com expoente par é um número positivo.

− 15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

= − 15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ . −

15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

125

- Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e somamos os expoentes.

25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

. 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3

= 25.25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .25.25.25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2+3

= 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟5

- Quociente de potências de mesma base. Para reduzir um quociente de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes.

- Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes

Radiciação de Números RacionaisSe um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então cada fator é chamado raiz do número. Vejamos alguns

exemplos:

exemplo 1

4 Representa o produto 2 . 2 ou 22. Logo, 2 é a raiz quadrada de 4. Indica-se √4= 2.

exemplo 2

19 Representa o produto 1

3 . 13

ou 1

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

. Logo, 13

é a raiz quadrada de 1

9 .Indica-se 19

= 13

exemplo 3

0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 0,2163 = 0,6.

Assim, podemos construir o diagrama:


matemática

N Z Q

Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo. Logo, os números racionais negativos não têm raiz quadrada em Q.

O número -100 9

não tem raiz quadrada em Q, pois tanto -10 3

como +10 3

, quando elevados ao quadrado, dão 100 9

.Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um quadrado perfeito.

O número 23 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe número racional que elevado ao quadrado dê 2

3.

exercícios

1. Calcule o valor das expressões numéricas:

a) 724

− 512

− 18

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − − 7

6+ 34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

b) + 316

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ : − 1

12⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

52

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥− 94− 72

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2. Escreva o produto 73

32.

32

+

+ como uma só potência.

3. Escreva o quociente − 1625

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟12

: − 1625

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟4

como uma só potência.

4. Qual é o valor da expressão

5. Para encher um álbum de figurinhas, Karina contribuiu com 16 das figurinhas, enquanto Cristina contribuiu com das figurinhas

34

. Com que fração das figurinhas as duas juntas contribuíram?

6. Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu 14 do livro e no dia seguinte leu 1

6 do livro. Então calcule:a) A fração do livro que ela já leu.b) A fração do livro que falta para ela terminar a leitura.

7. Em um pacote há 45 de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote há 1

3 . Quantos quilos de açúcar o primeiro pacote tem a mais que o segundo?

8. A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os 59 da rua já foram asfaltados. Que fração da rua ainda resta asfaltar?

9. No dia do lançamento de um prédio de apartamentos, 13 desses apartamentos foi vendido e 1

6 foi reservado. Assim:a) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada?b) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não foram vendidos ou reservados?


matemática

10. Transforme em fração:a) 2,08b) 1,4c) 0,017d) 32,17

Respostas1) Solução

a) 724

− 512

− 18

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − − 7

6+ 34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= 724

− 10 − 324

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

−14 + 912

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

724

− 724

+ 512

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

724

− 7 +1024

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

724

− 1724

= − 1024

= − 512

b) + 316

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ : − 1

12⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

52

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥− 94− 72

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

316− 112

+ 52

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥− 9 −14

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

3616

− 52

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − − 5

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− 94+ 52+ 54= −9 +10 + 5

4= 64= 32

mmc:(4;2)=4

2) Solução:

+ 23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟10

3) Solução:

− 1625

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟8

4) Solução:

5) Resposta 1112Solução:

16

+ 34

= 212

+ 912

= 1112

6) Solução:

a) 14

+ 16

= 312

+ 212

= 512

b) 1- 512

= 1212

- 512

= 712


matemática

7) Respostas 715Solução:

45 - 1

3 = 12

15 - 5

15 = 7

15

8) Resposta 49Solução:

1 - 59 = 9

9 - 5

9 = 4

9

9) Solução:

a) 13 + 1

6 = 26

+ 16 = 3

6 = 12

b) 1- 12

= 22

- 12

= 12

10) Solução:

a) 2,08 → 208100

= 5225

b) 1,4 → 1410

= 75

c) 0,017 → 171000

d) 32,17 → 3217100

Números Irracionais

Os números racionais, aqueles que podem ser escritos na forma de uma fração a/b onde a e b são dois números inteiros, com a condição de que b seja diferente de zero, uma vez que sabemos da impossibilidade matemática da divisão por zero.

Vimos também, que todo número racional pode ser escrito na forma de um número decimal periódico, também conhecido como dízima periódica.

Vejam os exemplos de números racionais a seguir:3 / 4 = 0,75 = 0, 750000...- 2 / 3 = - 0, 666666...1 / 3 = 0, 333333...2 / 1 = 2 = 2, 0000...4 / 3 = 1, 333333...- 3 / 2 = - 1,5 = - 1, 50000...0 = 0, 000...

Existe, entretanto, outra classe de números que não podem ser escritos na forma de fração a/b, conhecidos como números irracionais.


matemática

exemploO número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma dízima periódica: x = 0,10100100010000100000...Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem infinitos números reais que não são dízimas

periódicas e dois números irracionais muito importantes, são:e = 2,718281828459045...,Pi (π) = 3,141592653589793238462643...

Que são utilizados nas mais diversas aplicações práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros de gravidade, previsão populacional, etc.

Classificação dos Números Irracionais

Existem dois tipos de números irracionais:

- Números reais algébricos irracionais: são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Todo número real que pode ser representado através de uma quantidade finita de somas, subtrações, multiplicações, divisões e raízes de grau inteiro a partir dos números inteiros é um número algébrico, por exemplo:

A recíproca não é verdadeira: existem números algébricos que não podem ser expressos através de radicais, conforme o teorema de Abel-Ruffini.

- Números reais transcendentes: não são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Várias constantes matemáticas são transcendentes, como pi ( ) e o número de Euler ( ). Pode-se dizer que existem mais números transcendentes do que números algébricos (a comparação entre conjuntos infinitos pode ser feita na teoria dos conjuntos).

A definição mais genérica de números algébricos e transcendentes é feita usando-se números complexos.

Identificação de números irracionais

Fundamentado nas explanações anteriores, podemos afirmar que:- Todas as dízimas periódicas são números racionais.- Todos os números inteiros são racionais.- Todas as frações ordinárias são números racionais.- Todas as dízimas não periódicas são números irracionais.- Todas as raízes inexatas são números irracionais.- A soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional.- A diferença de dois números irracionais, pode ser um número racional.

exemplo: - = 0 e 0 é um número racional.- O quociente de dois números irracionais, pode ser um número racional.

exemplo: 8 : 2 = 4 = 2 e 2 é um número racional.- O produto de dois números irracionais, pode ser um número racional.

exemplo: . = = 5 e 5 é um número racional.- A união do conjunto dos números irracionais com o conjunto dos números racionais, resulta num conjunto denominado

conjunto R dos números reais.- A interseção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais, não possui elementos comuns e,

portanto, é igual ao conjunto vazio (∅).Simbolicamente, teremos:Q∪i = RQ∩i =∅


MATEMÁTICA

CONJUNTOS E FUNÇÕES.

Conjuntos

Número de elementos da União e da intersecção de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, como vemos na fi gura abaixo, podemos estabelecer uma relação entre os respectivos números de elementos.

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

Note que ao subtrairmos os elementos comuns (n(A ∩ B)) evitamos que eles sejam contados duas vezes.

Observações:

a) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um deles estiver contido no outro, ainda assim a relação dada será verdadeira.

b) Podemos ampliar a relação do número de elementos para três ou mais conjuntos com a mesma efi ciência.

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) -- N(A ∩ C) - n(B ∩ C) + N(A ∩ B ∩ C)

Observe o diagrama e comprove.


matemática

conjuntos

conjuntos Primitivos

Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência são primitivos, ou seja, não são definidos.Um cacho de bananas, um cardume de peixes ou uma porção de livros são todos exemplos de conjuntos.Conjuntos, como usualmente são concebidos, têm elementos. Um elemento de um conjunto pode ser uma banana, um peixe ou

um livro. Convém frisar que um conjunto pode ele mesmo ser elemento de algum outro conjunto.Por exemplo, uma reta é um conjunto de pontos; um feixe de retas é um conjunto onde cada elemento (reta) é também conjunto

(de pontos).Em geral indicaremos os conjuntos pelas letras maiúsculas A, B, C, ..., X, e os elementos pelas letras minúsculas a, b, c, ..., x, y,

..., embora não exista essa obrigatoriedade.Em Geometria, por exemplo, os pontos são indicados por letras maiúsculas e as retas (que são conjuntos de pontos) por letras

minúsculas.Outro conceito fundamental é o de relação de pertinência que nos dá um relacionamento entre um elemento e um conjunto.

Se x é um elemento de um conjunto A, escreveremos x ∊ ALê-se: x é elemento de A ou x pertence a A.

Se x não é um elemento de um conjunto A, escreveremos x ∉ ALê-se x não é elemento de A ou x não pertence a A.

como representar um conjunto

Pela designação de seus elementos: Escrevemos os elementos entre chaves, separando os por vírgula.

exemplos

- {3, 6, 7, 8} indica o conjunto formado pelos elementos 3, 6, 7 e 8.{a; b; m} indica o conjunto constituído pelos elementos a, b e m.{1; {2; 3}; {3}} indica o conjunto cujos elementos são 1, {2; 3} e {3}.

Pela propriedade de seus elementos: Conhecida uma propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A, este fica bem determinado.

P termo “propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A” significa que, dado um elemento x qualquer temos:

Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem a propriedade P é0 indicado por:{x, tal que x tem a propriedade P}

Uma vez que “tal que” pode ser denotado por t.q. ou | ou ainda :, podemos indicar o mesmo conjunto por:{x, t . q . x tem a propriedade P} ou, ainda,{x : x tem a propriedade P}

exemplos

- { x, t.q. x é vogal } é o mesmo que {a, e, i, o, u}- {x | x é um número natural menor que 4 } é o mesmo que {0, 1, 2, 3}- {x : x em um número inteiro e x2 = x } é o mesmo que {0, 1}

Pelo diagrama de Venn-Euler: O diagrama de Venn-Euler consiste em representar o conjunto através de um “círculo” de tal forma que seus elementos e somente eles estejam no “círculo”.


matemática

exemplos- Se A = {a, e, i, o, u} então

- Se B = {0, 1, 2, 3 }, então

conjunto Vazio

Conjunto vazio é aquele que não possui elementos. Representa-se pela letra do alfabeto norueguês ∅ ou, simplesmente { }.Simbolicamente: ∀x, x ∉ ∅

exemplos - ∅ = {x : x é um número inteiro e 3x = 1}- ∅ = {x | x é um número natural e 3 – x = 4}- ∅ = {x | x ≠ x}

Subconjunto

Sejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de A é também elemento de B, dizemos que A é um subconjunto de B ou A é a parte de B ou, ainda, A está contido em B e indicamos por A ⊂ B.

Simbolicamente: A⊂B ⇔ (∀x)(x ∈∀ ⇒ x ∊ B)Portanto, A ⊄ B significa que A não é um subconjunto de B ou A não é parte de B ou, ainda, A não está contido em B.Por outro lado, A ⊄ B se, e somente se, existe, pelo menos, um elemento de A que não é elemento de B. Simbolicamente: A ⊄ B ⇔ (∃x)(x∈A e x∅B)

exemplos

- {2 . 4} ⊂ {2, 3, 4}, pois 2 ∈ {2, 3, 4} e 4 ∈ {2, 3, 4}- {2, 3, 4} ⊄ {2, 4}, pois 3 ∉ {2, 4}- {5, 6} ⊂ {5, 6}, pois 5 ∊ {5, 6} e 6 ∈ {5, 6}

inclusão e pertinência

A definição de subconjunto estabelece um relacionamento entre dois conjuntos e recebe o nome de relação de inclusão (⊂).A relação de pertinência (∊) estabelece um relacionamento entre um elemento e um conjunto e, portanto, é diferente da relação

de inclusão.Simbolicamentex∊A ⇔{x}⊂Ax∅A ⇔{x}⊄A


matemática

igualdade

Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A é igual a B e indicamos por A = B se, e somente se, A é subconjunto de B e B é também subconjunto de A.

Simbolicamente: A = B ⇔A⊂B e B⊂ADemonstrar que dois conjuntos A e B são iguais equivale, segundo a definição, a demonstrar que A ⊂ B e B ⊂ A.Segue da definição que dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem os mesmos elementos.Portanto A ≠ B significa que A é diferente de B. Portanto A ≠ B se, e somente se, A não é subconjunto de B ou B não é subconjunto

de A. Simbolicamente: A ≠ B ⇔A⊄ B ou B⊄A

exemplos

- {2,4} = {4,2}, pois {2,4} ⊂ {4,2} e {4,2} ⊂ {2,4}. Isto nos mostra que a ordem dos elementos de um conjunto não deve ser levada em consideração. Em outras palavras, um conjunto fica determinado pelos elementos que o mesmo possui e não pela ordem em que esses elementos são descritos.

- {2,2,2,4} = {2,4}, pois {2,2,2,4} ⊂ {2,4} e {2,4} ⊂ {2,2,2,4}. Isto nos mostra que a repetição de elementos é desnecessária.- {a,a} = {a}- {a,b = {a} ⇔ a= b- {1,2} = {x,y} ⇔ (x = 1 e y = 2) ou (x = 2 e y = 1)

conjunto das partes

Dado um conjunto A podemos construir um novo conjunto formado por todos os subconjuntos (partes) de A. Esse novo conjunto chama-se conjunto dos subconjuntos (ou das partes) de A e é indicado por P(A).

Simbolicamente: P(A)={X | X ⊂A} ou X⊂P(A) ⇔ X⊂A

exemplos

a) = {2, 4, 6}P(A) = {∅, {2}, {4}, {6}, {2,4}, {2,6}, {4,6}, A}

b) = {3,5}P(B) = {∅, {3}, {5}, B}

c) = {8} P(C) = {∅, C} d) = ∅P(D) = {∅}

Propriedades

Seja A um conjunto qualquer e ∅ o conjunto vazio. Valem as seguintes propriedades

�≠(�) � ∉ � � ⊂ � � ∊ {�}� ⊂ A ⇔ � ∊ P(A) A ⊂ A ⇔ A ∊ P(A)

Se A tem n elementos então A possui 2n subconjuntos e, portanto, P(A) possui 2n elementos.

União de conjuntos

A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B. Representa-se por a ∪ B.


matemática

Simbolicamente: A∪B = {X | X ∈ A ou X ∈ B}

exemplos

- {2,3}∪{4,5,6}={2,3,4,5,6}- {2,3,4}∪{3,4,5}={2,3,4,5}- {2,3}∪{1,2,3,4}={1,2,3,4}- {a,b} ∪ � {a,b}

intersecção de conjuntos

A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem, simultaneamente, a A e a B. Representa-se por A ∩ B. Simbolicamente: A ∩ B = {X | X ∊ A ou X ∊ B}

exemplos

- {2,3,4} ∩ {3,5}={3}- {1,2,3} ∩ {2,3,4}={2,3}- {2,3} ∩ {1,2,3,5}={2,3}- {2,4} ∩ {3,5,7}= �

Observação: Se A ∩ B= �, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos.

Subtração

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Representa-se por A – B. Simbolicamente: A – B = {X | X ∊ A e X ∉ B}

O conjunto A – B é também chamado de conjunto complementar de B em relação a A, representado por CAB. Simbolicamente: CAB = A - B{X | X ∊ A e X ∉ B}


matemática

exemplos

- A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2} CAB = A – B = {1,3} e CBA = B – A =φ

- A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4} CAB = A – B = {1} e CBA = B – A = {14}

- A = {0, 2, 4} e B = {1 ,3 ,5} CAB = A – B = {0,2,4} e CBA = B – A = {1,3,5}

Observações: Alguns autores preferem utilizar o conceito de completar de B em relação a A somente nos casos em que B ⊂ A.- Se B ⊂ A representa-se por B o conjunto complementar de B em relação a A. Simbolicamente: B ⊂ A ⇔ B = A – B = CAB`

exemplos

Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então:a) A = {2, 3, 4} ⇒ A = {0, 1, 5, 6}b) B = {3, 4, 5, 6 } ⇒ B = {0, 1, 2}c) C = � ⇒ C = S

Número de elementos de um conjunto

Sendo X um conjunto com um número finito de elementos, representa-se por n(X) o número de elementos de X. Sendo, ainda, A e B dois conjuntos quaisquer, com número finito de elementos temos:

n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)A∩B= � ⇒n(A∪B)=n(A)+n(B)n(A -B)=n(A)-n(A∩B)B⊂A⇒n(A-B)=n(A)-n(B)

exercícios

1. Assinale a alternativa a Falsa:a) � ⊂ {3}b) (3) ⊂ {3}c) � ∉ {3}d) 3 ∊ {3}e) 3 = {3}

2. Seja o conjunto A = {1, 2, 3, {3}, {4}, {2, 5}}. Classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F).a) 2 ∊ Ab) (2) ∊ Ac) 3 ∊ Ad) (3) ∊ Ae) 4 ∊ A


matemática

3. Um conjunto A possui 5 elementos . Quantos subconjuntos (partes) possuem o conjunto A?

4. Sabendo-se que um conjunto A possui 1024 subconjuntos, quantos elementos possui o conjunto A?

5. 12 - Dados os conjuntos A = {1; 3; 4; 6}, B = {3; 4 ; 5; 7} e C = {4; 5; 6; 8 } pede-se:a) A ∪ Bb) A ∩ Bc) A ∪ Cd) A ∩ C

6. Considere os conjuntos: S = {1,2,3,4,5} e A={2,4}. Determine o conjunto X de tal forma que: X∩A= � e X∪A = S.

7. Seja A e X conjuntos. Sabendo-se que A⊂X e A∪X={2,3,4}, determine o conjunto X.

8. Dados três conjuntos finitos A, B e C, determinar o número de elementos de A ∩ (B∪C), sabendo-se:a) A∩B tem 26 elementosb) A∩C tem 10 elementosc) A∩B∩C tem 7 elementos.

9. Numa escola mista existem 42 meninas, 24 crianças ruivas, 13 meninos não ruivos e 9 meninas ruivas. Pergunta-sea) quantas crianças existem na escola?b) quantas crianças são meninas ou são ruivas?

10. USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa que:- Choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;- Quando chove de manhã não chove à tarde;- Houve 5 tardes sem chuva;- Houve 6 manhãs sem chuva.

Podemos afirmar então que n é igual a:a)7b)8c)9d)10e)11

Respostas

1) Resposta “E”.Solução: A ligação entre elemento e conjunto é estabelecida pela relação de pertinência (∊) e não pela relação de igualdade (=).

Assim sendo, 3∊{3} e 3≠{3}. De um modo geral, x ≠ {x}, ∀x.

2) Solução:a) Verdadeira, pois 2 é elemento de A.b) Falsa, pois {2} não é elemento de A.c) Verdadeira, pois 3 é elemento de A.d) Verdadeira, pois {3} é elemento de A.e) Falsa, pois 4 não é elemento de A.

3) Resposta “32”.Solução: Lembrando que: “Se A possui k elementos, então A possui 2k subconjuntos”, concluímos que o conjunto A, de 5

elementos, tem 25 = 32 subconjuntos.


matemática

4) Resposta “10”.Solução: Se k é o número de elementos do conjunto A, então 2k é o número de subconjuntos de A.Assim sendo: 2k=1024 ⇔ 2k=210 ⇔ k=10.

5) Solução: Representando os conjuntos A, B e C através do diagrama de Venn-Euler, temos: a)

A∪B={1,3,4,5,6,7}

b)

A∩B={3,4}

c)

A∪C={1,3,4,5,6,8}

d)

A∩C={4,6}


matemática

6) Resposta “X={1;3;5}”.Solução: Como X∩a= � e X∪A=S, então X=A =S-A=CsA ⇒X={1;3;5}

7) Resposta “X = {2;3;4}Solução: Como A⊂X, então A∪X = X = {2;3;4}.

8) Resposta “A”.Solução: De acordo com o enunciado, temos:

n(A∩B∩C) = 7n(A∩B) = a + 7 = 26 ⇒ a = 19n(A∩C) = b + 7 = 10 ⇒ b = 3

Assim sendo:

e portanto n[A ∩ (B∪C)] = a + 7 + b = 19 + 7 + 3Logo: n[A ∩ (B∪C)] = 29.

9) Solução:

Sejam:A o conjunto dos meninos ruivos e n(A) = xB o conjunto das meninas ruivas e n(B) = 9C o conjunto dos meninos não-ruivos e n(C) = 13D o conjunto das meninas não-ruivas e n(D) = y


matemática

De acordo com o enunciado temos:

n(B∪D) = n(B) + n(D) = 9+ Y = 42 ⇔ y = 23n(A∪D) = n(A) + n(B) = x + 9 = 24 ⇔ x = 15

Assim sendoa) O número total de crianças da escola é:

n(A∪B∪D)=n(A) + n(B) + n(C) + n(D)=15 + 9 + 13 + 33=70

b) O número de crianças que são meninas ou são ruivas é:

n[(A∪B)∪(B∪D)]=n(A)+n(B)+n(C)+n(D)=15+9+33=57

10) Resposta “C”.Solução:

Seja M, o conjunto dos dias que choveu pela manhã e T o conjunto dos dias que choveu à tarde. Chamando de M’ e T’ os con-juntos complementares de M e T respectivamente, temos:

n(T’) = 5 (cinco tardes sem chuva)n(M’) = 6 (seis manhãs sem chuva)n(M Ç T) = 0 (pois quando chove pela manhã, não chove à tarde)

Daí:n(M È T) = n(M) + n(T) – n(M Ç T)7 = n(M) + n(T) – 0

Podemos escrever também:n(M`) + n(T`) = 5 + 6 = 11

Temos então o seguinte sistema:n(M`) + n(T`) = 11n(M) + N(T) = 7

Somando membro a membro as duas igualdades, vem:n(M) + n(M`) + n(T) + n(T`) = 11 + 7 = 18

Observe que n(M) + n(M`) = total dos dias de férias = nAnalogamente, n(T) + n(T`) = total dos dias de férias = n

Portanto, substituindo vem:n + n = 182n = 18n = 9

Logo, foram nove dias de férias, ou seja, n = 9 dias.

Função do 1˚ Grau

Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, função é uma relação binária de A em B de tal maneira que todo elemento x, pertencente ao conjunto A, tem para si um único correspondente y, pertencente ao conjunto B, que é chamado de imagem de x.


matemática

Notemos que, para uma relação binária dos conjuntos A e B, nesta ordem, representarem uma função é preciso que:

- Todo elemento do conjunto A tenha algum correspondente (imagem) no conjunto B;- Para cada elemento do conjunto A exista um único correspondente (imagem) no conjunto B.

Assim como em relação, usamos para as funções, que são relações especiais, a seguinte linguagem:

Domínio: Conjunto dos elementos que possuem imagem. Portanto, todo o conjunto A, ou seja, D = A.

contradomínio: Conjunto dos elementos que se colocam à disposição para serem ou não imagem dos elementos de A. Portanto, todo conjunto B, ou seja, CD = B.

conjunto imagem: Subconjunto do conjunto B formado por todos os elementos que são imagens dos elementos do conjunto A, ou seja, no exemplo anterior: Im = {a, b, c}.

exemplo

Consideremos os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 5} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Vamos definir a função f de A em B com f(x) = x + 1. Tomamos um elemento do conjunto A, representado por x, substituímos este elemento na sentença f(x), efetuamos as operações

indicadas e o resultado será a imagem do elemento x, representada por y.

f: A → By = f(x) = x + 1tipos de Função

injetora: Quando para ela elementos distintos do domínio apresentam imagens também distintas no contradomínio.


matemática

Reconhecemos, graficamente, uma função injetora quando, uma reta horizontal, qualquer que seja interceptar o gráfico da função, uma única vez.

f(x) é injetora g(x) não é injetora(interceptou o gráfico mais

de uma vez)

Sobrejetora: Quando todos os elementos do contradomínio forem imagens de pelo menos um elemento do domínio.

Reconhecemos, graficamente, uma função sobrejetora quando, qualquer que seja a reta horizontal que interceptar o eixo no contradomínio, interceptar, também, pelo menos uma vez o gráfico da função.

f(x) é sobrejetora g(x) não é sobrejetora (não interceptou o gráfico)

Bijetora: Quando apresentar as características de função injetora e ao mesmo tempo, de sobrejetora, ou seja, elementos distintos têm sempre imagens distintas e todos os elementos do contradomínio são imagens de pelo menos um elemento do domínio.


matemática

Função crescente: A função f(x), num determinado intervalo, é crescente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes a este intervalo, com x1<x2, tivermos f(x1)<f(x2).

x1<x2 → f(x1)<f(x2)

Função decrescente: Função f(x), num determinado intervalo, é decrescente se, para quaisquer x1 e x2 pertencente a este intervalo, com x1 < x2, tivermos f(x1)>f(x2).

x1<x2 → f(x1)>f(x2)

Função constante: A função f(x), num determinado intervalo, é constante se, para quaisquer x1 < x2, tivermos f(x1) = f(x2).

Gráficos de uma FunçãoA apresentação de uma função por meio de seu gráfico é muito importante, não só na Matemática como nos diversos ramos dos

estudos científicos.

exemploConsideremos a função real f(x) = 2x – 1. Vamos construir uma tabela fornecendo valores para x e, por meio da sentença f(x),

obteremos as imagens y correspondentes.

x y = 2x – 1–2 –5–1 –30 –11 12 33 5


matemática

Transportados os pares ordenados para o plano cartesiano, vamos obter o gráfico correspondente à função f(x).

exemplo para a > 0Consideremos f(x) = 2x – 1.

x f(x)-1 -30 -11 12 3

exemplo para a < 0Consideremos f(x) = –x + 1.

x f(x)-1 20 11 02 -1


matemática

Consideremos a função f(x) = ax + b com a ≠ 0, em que x0 é a raiz da função f(x).

a>0 a<0

x>x0⇒f(x)>0 x>x0⇒f(x)<0

x=x0⇒f(x)=0 x=x0⇒f(x)=0

x<x0⇒f(x)<0 x<x0⇒f(x)>0

Conclusão: O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta crescente para a > 0 e uma reta decrescente para a < 0.

Zeros da Função do 1º grau:

Chama-se zero ou raiz da função do 1º grau y = ax + b o valor de x que anula a função, isto é, o valor de x para que y seja igual à zero.

Assim, para achar o zero da função y = ax + b, basta resolver a equação ax + b = 0.

exemplo

Determinar o zero da função:y = 2x – 4.2x – 4 = 02x = 4x = 4

2x = 2

O zero da função y = 2x – 4 é 2.No plano cartesiano, o zero da função do 1º grau é representado pela abscissa do ponto onde a reta corta o eixo x.

x y (x,y)1 -2 (1, -2)3 2 (3,2)

Observe que a reta y = 2x – 4 intercepta o eixo x no ponto (2,0), ou seja, no ponto de abscissa 2, que é o zero da função.Conhecido o zero de uma função do 1º grau e lembrando a inclinação que a reta pode ter, podemos esboçar o gráfico da função.

estudo do sinal da função do 1º grau:Estudar o sinal da função do 1º grau y = ax + b é determinar os valores reais de x para que:- A função se anule (y = 0);- A função seja positiva (y > 0);- A função seja negativa (y < 0).


matemática

exemploEstudar o sinal da função y = 2x – 4 (a = 2 > 0).a) Qual o valor de x que anula a função?y = 02x – 4 = 02x = 4

x = 42

x = 2

A função se anula para x = 2.

b) Quais valores de x tornam positiva a função?y > 02x – 4 > 02x > 4

x > 42

x > 2

A função é positiva para todo x real maior que 2.

c) Quais valores de x tornam negativa a função?

y < 02x – 4 < 02x < 4

x < 42

x < 2

A função é negativa para todo x real menor que 2.

Podemos também estudar o sinal da função por meio de seu gráfico:

- Para x = 2 temos y = 0;- Para x > 2 temos y > 0;- Para x < 2 temos y < 0.


matemática

Relação Binária

Par Ordenado

Quando representamos o conjunto (a, b) ou (b, a) estamos, na verdade, representando o mesmo conjunto. Porém, em alguns casos, é conveniente distinguir a ordem dos elementos.

Para isso, usamos a ideia de par ordenado. A princípio, trataremos o par ordenado como um conceito primitivo e vamos utilizar um exemplo para melhor entendê-lo. Consideremos um campeonato de futebol e que desejamos apresentar, de cada equipe, o total de pontos ganhos e o saldo de gols. Assim, para uma equipe com 12 pontos ganhos e saldo de gols igual a 18, podemos fazer a indicação (12, 18), já tendo combinado, previamente, que o primeiro número se refere ao número de pontos ganhos, e o segundo número, ao saldo de gols.

Portanto, quando tivermos para outra equipe a informação de que a sua situação é (2, -8) entenderemos, que esta equipe apresenta 2 pontos ganhos e saldo de gols -8. Note que é importante a ordem em que se apresenta este par de números, pois a situação (3, 5) é totalmente diferente da situação (5,3). Fica, assim, estabelecida a ideia de par ordenado: um par de valores cuja ordem de apresentação é importante.

Observações: (a, b) = (c, d) se, e somente se, a = c e b = d(a, b) = (b, a) se, o somente se, a = b

Produto cartesianoDados dois conjuntos A e B, chamamos de produto cartesiano A x B ao conjunto de todos os possíveis pares ordenados, de tal

maneira que o 1º elemento pertença ao 1º conjunto (A) e o 2º elemento pertença ao 2º conjunto (B).

A x B= {(x,y) / x ∈ A e y ∈ B}

Quando o produto cartesiano for efetuado entre o conjunto A e o conjunto A, podemos representar A x A = A2. Vejamos, por meio de o exemplo a seguir, as formas de apresentação do produto cartesiano.

exemplo

Sejam A = {1, 4, 9} e B = {2, 3}. Podemos efetuar o produto cartesiano A x B, também chamado A cartesiano B, e apresentá-lo de várias formas.

a) Listagem dos elementosApresentamos o produto cartesiano por meio da listagem, quando escrevemos todos os pares ordenados que constituam o

conjunto. Assim, no exemplo dado, teremos:A e B = {(1, 2),(1, 3),(4, 2),(4, 3),(9, 2),(9, 3)}

Vamos aproveitar os mesmo conjuntos A e B e efetuar o produto B e A (B cartesiano A): B x A = {(2, 1),(2, 4),(2, 9),(3, 1),(3, 4),(3, 9)}.

Observando A x B e B x A, podemos notar que o produto cartesiano não tem o privilégio da propriedade comutativa, ou seja, A x B é diferente de B x A. Só teremos a igualdade A x B = B x A quando A e B forem conjuntos iguais.

Observação: Considerando que para cada elemento do conjunto A o número de pares ordenados obtidos é igual ao número de elementos do conjunto B, teremos: n(A x B) = n(A) x n(B).

b) Diagrama de flechasApresentamos o produto cartesiano por meio do diagrama de flechas, quando representamos cada um dos conjuntos no diagrama

de Euler-Venn, e os pares ordenados por “flechas” que partem do 1º elemento do par ordenado (no 1º conjunto) e chegam ao 2º elemento do par ordenado (no 2º conjunto).

Considerando os conjuntos A e B do nosso exemplo, o produto cartesiano A x B fica assim representado no diagrama de flechas:


matemática

c) Plano cartesianoApresentamos o produto cartesiano, no plano cartesiano, quando representamos o 1º conjunto num eixo horizontal, e o 2º

conjunto num eixo vertical de mesma origem e, por meio de pontos, marcamos os elementos desses conjuntos. Em cada um dos pontos que representam os elementos passamos retas (horizontais ou verticais). Nos cruzamentos dessas retas, teremos pontos que estarão representando, no plano cartesiano, cada um dos pares ordenados do conjunto A cartesiano B (B x A).

Domínio de uma Função Real

Para uma função de R em R, ou seja, com elementos no conjunto dos números reais e imagens também no conjunto dos números reais, será necessária, apenas, a apresentação da sentença que faz a “ligação” entre o elemento e a sua imagem.

Porém, para algumas sentenças, alguns valores reais não apresentam imagem real.Por exemplo, na função f(x) = √(x-1) , o número real 0 não apresenta imagem real e, portanto, f(x) características de função,

precisamos limitar o conjunto de partida, eliminando do conjunto dos números reais os elementos que, para essa sentença, não apresentam imagem. Nesse caso, bastaria estabelecermos como domínio da função f(x) o conjunto D = {x∈R/x ≥ 1}.

Para determinarmos o domínio de uma função, portanto, basta garantirmos que as operações indicadas na sentença são possíveis de serem executadas. Dessa forma, apenas algumas situações nos causam preocupação e elas serão estudadas a seguir.

1ª y= √f(x)2n f(x)≥(n∈N*)

2ª y= 1f(x(

⇒ f(x)≠0

Vejamos alguns exemplos de determinação de domínio de uma função real.

exemplosDetermine o domínio das seguintes funções reais.

- f(x)=3x2 + 7x – 8D = R


matemática

- f(x)=√x+7x – 7 ≥ 0→ x ≥ 7D = {x∈R/x ≥ 7}

- f(x)= √x+13

D = R

Observação: Devemos notar que, para raiz de índice impar, o radicando pode assumir qualquer valor real, inclusive o valor negativo.

- f(x)= √x+8

3

x + 8 > 0 → x > -8D = {x∈R/x > -8}

- f(x)= √x+5x-8

x – 5 ≥ 0 → x ≥ 5x – 8 ≥ 0 → x ≠ 8D = {x∈R/x ≥ 5 e x ≠ 8}

exercícios

1. Determine o domínio das funções reais apresentadas abaixo.a) f(x) = 3x2 + 7x – 8

b) f(x)= 33x-6

c) f(x)= √x+2

d) f(x)= √2x+13

e) f(x)= 4x√7x+5

2. Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número?

3. considere a função f, de domínio N, definida por f(1) = 4 e f(x+1) = 3f(x)-2. O valor de f(0) é:a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

4. Sejam f e g funções definidas em R por f(x)=2x-1 e g(x)=x-3. O valor de g(f(3)) é:a) -1b) 1c) 2d) 3e) 4


matemática

5. Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele recebe de comissão 50 reais por produto vendido.

a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do número x de produto vendido.b) Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos?c) Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais?

6. Considere a função dada pela equação y = x + 1, determine a raiz desta função.

7. Determine a raiz da função y = - x + 1 e esboce o gráfico.

8. Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x) > 0 e f(x) < 0.a) y = f(x) = x + 1b) y = f(x) = -x + 1

9. Determine o conjunto imagem da função:D(f) = {1, 2, 3}y = f(x) = x + 1

10. Determine o conjunto imagem da função:D(f) = {1, 3, 5}y = f(x) = x²

Respostas

1) Solução:a) D = R

b) 3x – 6 ≠ 0x ≠ 2D = R –{2}

c) x + 2 ≥ 0x ≥ -2D = {x ∈ R/ x ≥ -2}

d) D = RDevemos observar que o radicando deve ser maior ou igual a zero para raízes de índice par.

e) Temos uma raiz de índice par no denominado, assim:7x + 5 > 0x > - 7/5D = {x ∈ R/ x > -5/7}.

2) Resposta “100”.Solução:n + n/2 = 1502n/2 + n/2 = 300/22n + n = 3003n = 300n = 300/3n = 100.


matemática

3. Resposta “c”.Solução : Com a função dada f(x + 1) = 3f(x) – 2 substituímos o valor de x por x = 0:f(0 + 1) = 3f (0) – 2 f(1) = 3f(0) - 2

É dito que f(1) = 4, portanto:4 = 3f(0) - 2Isolando f(0):4+2 = 3f(0)6 = 3f(0)f(0) = 6/3 = 2.

4) Resposta “e”.Solução: Começamos encontrando f(3):f(3) = 2.(3) + 1, ou seja, f(3) = 7Se está pedindo g[f(3)] então está pedindo g(7):g(7) = 7 - 3 = 4

Logo, a resposta certa, letra “E”.

5) Soluçãoa) y = salário fixo + comissãoy = 500 + 50x

b) y = 500 + 50x , onde x = 4y = 500 + 50 . 4 = 500 + 200 = 700

c) y = 500 + 50x , onde y = 10001000 = 500 + 50x 50x = 1000 – 50050x = 500x = 10.

6) Solução: Basta determinar o valor de x para termos y = 0x + 1 = 0x = -1

Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função.

Note que o gráfico da função y = x + 1, interceptará (cortará) o eixo x em -1, que é a raiz da função.


MATEMÁTICA

7) Solução: Fazendo y = 0, temos:0 = -x + 1x = 1

Gráfi co:

Note que o gráfi co da função y = -x + 1, interceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a raiz da função.

8) Solução:a) y = f(x) = x + 1 x + 1 > 0x > -1

Logo, f(x) será maior que 0 quando x > -1x + 1 < 0x < -1

Logo, f(x) será menor que 0 quando x < -1

b) y = f(x) = -x + 1* -x + 1 > 0-x > -1x < 1Logo, f(x) será maior que 0 quando x < 1

-x + 1 < 0-x < -1x > 1

Logo, f(x) será menor que 0 quando x > 1(*ao multiplicar por -1, inverte-se o sinal da desigualdade).

9) Solução:f(1) = 1 + 1 = 2f(2) = 2 + 1 = 3f(3) = 3 + 1 = 4Logo: Im(f) = {2, 3, 4}.

10) Solução: f(1) = 1² = 1f(3) = 3² = 9f(5) = 5² = 25Logo: Im(f) = {1, 9, 25}


matemática

Função do 2º Grau

Chama-se função do 2º grau ou função quadrática toda função f de R em R definida por um polinômio do 2º grau da forma f(x) = ax2 + bx + c ou y = ax2 + bx + c , com a, b e c reais e a ≠ 0.

exemplo

- y = x2 – 5x + 4, sendo a = 1, b = –5 e c = 4- y = x2 – 9, sendo a = 1, b = 0 e c = –9- y = x2, sendo a = 1, b = 0 e c = 0

Representação gráfica da Função do 2º grau

exemplo

Se a função f de R em R definida pela equação y = x2 – 2x – 3. Atribuindo à variável x qualquer valor real, obteremos em correspondência os valores de y:

Para x = –2 temos y = (–2)2 – 2(–2) –3 = 4 + 4 – 3 = 5Para x = –1 temos y = (–1)2 – 2(–1) –3 = 1 + 2 – 3 = 0Para x = 0 temos y = (0)2 – 2(0) –3 = – 3 Para x = 1 temos y = (1)2 – 2(1) –3 = 1 – 2 – 3 = –4Para x = 2 temos y = (2)2 – 2(2) –3 = 4 – 4 – 3 = –3Para x = 3 temos y = (3)2 – 2(3) –3 = 9 – 6 – 3 = 0Para x = 4 temos y = (4)2 – 2(4) –3 = 16 – 8 – 3 = 5

x y (x,y)–2 5 (–2,5)–1 0 (–1,0)0 –3 (0, –3)1 –4 (1, –4)2 –3 (2, –3)3 0 (3,0)4 5 (4,5)

O gráfico da função de 2º grau é uma curva aberta chamada parábola.O ponto V indicado na figura chama-se vértice da parábola.


matemática

concavidade da ParábolaNo caso das funções do 2º grau, a parábola pode ter sua concavidade voltada para cima (a > 0) ou voltada para baixo (a < 0).

a>0 a<0

Podemos por meio do gráfico de uma função, reconhecer o seu domínio e o conjunto imagem.

Consideremos a função f(x) definida por A = [a, b] em R.

Domínio: Projeção ortogonal do gráfico da função no eixo x. Assim, D = [a, b] = A

Conjunto Imagem: Projeção ortogonal do gráfico da função no eixo y. Assim, Im = [c, d].


matemática

Zeros da Função do 2º grau

As raízes ou zeros da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são os valores de x reais tais que f(x) = 0 e, portanto, as soluções da equação do 2º grau.

ax2 + bx + c = 0

A resolução de uma equação do 2º grau é feita com o auxílio da chamada “fórmula de Bhaskara”.

x =-b +- √Δ2.a Onde Δ = b2 – 4.a.c

As raízes (quando são reais), o vértice e a intersecção com o eixo y são fundamentais para traçarmos um esboço do gráfico de uma função do 2º grau.

f(x) = ax2 + bx + c com a ≠ 0

Δ>0 Δ=0 Δ<0

a>0

a<0

coordenadas do vértice da parábola

A parábola que representa graficamente a função do 2º grau apresenta como eixo de simetria uma reta vertical que intercepta o gráfico num ponto chamado de vértice.

As coordenadas do vértice são:

xv = -b2a

e xv = -Δ4a

Vértice (V)


MATEMÁTICA

O Conjunto Imagem de uma função do 2º grau está associado ao seu ponto extremo, ou seja, à ordenada do vértice (yv).

exemplo

Vamos determinar as coordenadas do vértice da parábola da seguinte função quadrática: y = x2 – 8x + 15.

Cálculo da abscissa do vértice:

xv= -b2a

= -(-8) 2(1)

= 82

= 4

Cálculo da ordenada do vértice:Substituindo x por 4 na função dada:

yV = (4)2 – 8(4) + 15 = 16 – 32 + 15 = –1

Logo, o ponto V, vértice dessa parábola, é dado por V (4, –1).

Valor máximo e valor mínimo da função do 2º grau

- Se a > 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada mínima. Nesse caso, o vértice é chamado ponto de mínimo e a ordenada do vértice é chamada valor mínimo da função;

- Se a < 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada máxima. Nesse caso, o vértice é ponto de máximo e a ordenada do vértice é chamada valor máximo da função.

Construção do gráfi co da função do 2º grau- Determinamos as coordenadas do vértice;- Atribuímos a x valores menores e maiores que xv e calculamos os correspondentes valores de y;- Construímos assim uma tabela de valores;- Marcamos os pontos obtidos no sistema cartesiano;- Traçamos a curva.


matemática

exemplo

y = x2 – 4x + 3

Coordenadas do vértice:

xv = -b2a

= -(-4)2(1) = 4

2 = 2 V (2, –1)

yV = (2)2 – 4(2) + 3 = 4 – 8 + 3 = –1

Tabela:Para x = 0 temos y = (0)2 – 4(0) + 3 = 0 – 0 + 3 = 3Para x = 1 temos y = (1)2 – 4(1) + 3 = 1 – 4 + 3 = 0Para x = 3 temos y = (3)2 – 4(3) + 3 = 9 – 12 + 3 = 0Para x = 4 temos y = (4)2 – 4(4) + 3 = 16 – 16 + 3 = 3

x y (x,y)0 3 (0,3)1 0 (1,0)2 –1 (2,–1)Vértice3 0 (3,0)4 3 (4,3)

Gráfico:

estudos do sinal da função do 2º grauEstudar o sinal de uma função quadrática é determinar os valores reais de x que tornam a função positiva, negativa ou nula.

exemploy = x2 – 6x + 8

Zeros da função: Esboço do Gráficoy = x2 – 6x + 8Δ = (–6)2 – 4(1)(8)Δ = 36 – 32 = 4√Δ= √4 = 2


matemática

Estudo do Sinal:

428

226

==+ Para x < 2 ou x > 4 temos y > 0

226 ±

=x Para x = 2 ou x = 4 temos y = 0 2

24

226

==− Para 2 < x < 4 temos y < 0

exercícios

1. O triplo do quadrado do número de filhos de Pedro é igual a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Quantos filhos Pedro tem?

2. Uma tela retangular com área de 9600cm2 tem de largura uma vez e meia a sua altura. Quais são as dimensões desta tela?

3. O quadrado da minha idade menos a idade que eu tinha 20 anos atrás e igual a 2000. Quantos anos eu tenho agora?

4. Comprei 4 lanches a um certo valor unitário. De outro tipo de lanche, com o mesmo preço unitário, a quantidade comprada foi igual ao valor unitário de cada lanche. Paguei com duas notas de cem reais e recebi R$ 8,00 de troco. Qual o preço unitário de cada produto?

5. O produto da idade de Pedro pela idade de Paulo é igual a 374. Pedro é 5 anos mais velho que Paulo. Quantos anos tem cada um deles?

6. Há dois números cujo triplo do quadrado é a igual 15 vezes estes números. Quais números são estes?

7. Quais são as raízes da equação x2 - 14x + 48 = 0?

8. O dobro do quadrado da nota final de Pedrinho é zero. Qual é a sua nota final?

9. Solucione a equação biquadrada: -x4 + 113x2 - 3136 = 0.

10. Encontre as raízes da equação biquadrada: x4 - 20x2 - 576 = 0.

Respostas

1) Resposta “3”.Solução: Sendo x o número de filhos de Pedro, temos que 3x2 equivale ao triplo do quadrado do número de filhos e que

63 - 12x equivale a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Montando a sentença matemática temos:3x2 = 63 - 12x

Que pode ser expressa como:3x2 + 12x - 63 = 0

Temos agora uma sentença matemática reduzida à forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada equação do 2° grau. Vamos então encontrar as raízes da equação, que será a solução do nosso problema:

Primeiramente calculemos o valor de Δ:Δ = b2 - 4.a.c = 122 - 4 . 3 .(-63) = 144 + 756 = 900

Como Δ é maior que zero, de antemão sabemos que a equação possui duas raízes reais distintas. Vamos calculá-las:

3x2 + 12 - 63 = 0 ⇒ x = -12 ± √Δ 2 . 3

⇒


matemática

x1 = -12 + √900 6 ⇒x1 = -12 ± 30

6 ⇒ x1 = 18

6 ⇒ x1 = 3

x2 = -12 - √900 6 ⇒x1 = -12 - 30

6 ⇒ x2 = -42

6 ⇒ x2 = -7

A raízes encontradas são 3 e -7, mas como o número de filhos de uma pessoa não pode ser negativo, descartamos então a raiz -7.Portanto, Pedro tem 3 filhos.

2) Resposta “80cm; 120 cm”.Solução: Se chamarmos de x altura da tela, temos que 1,5x será a sua largura. Sabemos que a área de uma figura geométrica

retangular é calculada multiplicando-se a medida da sua largura, pela medida da sua altura. Escrevendo o enunciado na forma de uma sen-

tença matemática temos:x . 1,5x = 9600Que pode ser expressa como:

1,5x2 - 9600 = 0

Note que temos uma equação do 2° grau incompleta, que como já vimos terá duas raízes reais opostas, situação que ocorre sem-pre que o coeficiente b é igual a zero. Vamos aos cálculos:

1,5x2 - 9600 = 0 ⇒ 1,5x2 = 9600 ⇒ x2 = 9600 1,5

⇒ x = ±√6400 ⇒ x = ±80

As raízes reais encontradas são -80 e 80, no entanto como uma tela não pode ter dimensões negativas, devemos desconsiderar a raiz -80.

Como 1,5x representa a largura da tela, temos então que ela será de 1,5 . 80 = 120.Portanto, esta tela tem as dimensões de 80cm de altura, por 120cm de largura.

3) Resposta “45”.Solução: Denominando x a minha idade atual, a partir do enunciado podemos montar a seguinte equação:x2 - (x - 20) = 2000

Ou ainda:

x2 - (x - 20) = 2000 ⇒ x2 - x + 20 = 2000 ⇒ x2 - x - 1980 =0

A solução desta equação do 2° grau completa nós dará a resposta deste problema. Vejamos:

x2 - x - 1980 = ⇒ x = -(-1) ± √(-1)2 - 4 . 1 . (-1980) 2.1

⇒ x = 1 ± √7921 2

⇒ x = 1 ± 89 2 ⇒

x1 = 1 + 89 2

⇒ x1 = 45

x2 = 1 - 89 2

⇒ x2 = -44

As raízes reais da equação são -44 e 45. Como eu não posso ter -44 anos, é óbvio que só posso ter 45 anos. Logo, agora eu tenho 45 anos.


MATEMÁTICA

4) Resposta “12”.Solução: O enunciado nos diz que os dois tipos de lanche têm o mesmo valor unitário. Vamos denominá-lo então de x.Ainda segundo o enunciado, de um dos produtos eu comprei 4 unidades e do outro eu comprei x unidades.Sabendo-se que recebi R$ 8,00 de troco ao pagar R$ 200,00 pela mercadoria, temos as informações necessárias para montarmos

a seguinte equação:

4 . x + x . x + 8 = 200

Ou então:

4.x + x . x + 8 = 200 ⇒ 4x + x2 + 8 = 200 ⇒ x2 + 4x - 192=0Como x representa o valor unitário de cada lanche, vamos solucionar a equação para descobrimos que valor é este:

x2 + 4x - 192 = 0 ⇒ x = -4 ± √42 - 4 . 1 . (-192) 2.1

⇒ x = -4 ± √784 2-4 ± √784

⇒ x = -4 ± 28 2 ⇒

x1 = -4 + 28 2

⇒ x1 = 12

x2 = -4 - 89 2

⇒ x2 = -16

As raízes reais da equação são -16 e 12. Como o preço não pode ser negativo, a raiz igual -16 deve ser descartada. Assim, o preço unitário de cada produto é de R$ 12,00.

5) Resposta “22; 17”.Solução: Se chamarmos de x a idade de Pedro, teremos que x - 5 será a idade de Paulo. Como o produto das idades é igual a 374,

temos que x . (x - 5) = 374.Esta sentença matemática também pode ser expressa como:

x.(x - 5) = 374 ⇒ x2 - 5x = 374 ⇒ x2 - 5x - 374 = 0

Primeiramente para obtermos a idade de Pedro, vamos solucionar a equação:

x2 - 5x - 374 = 0 ⇒ -(-5) ± √(-5)2 - 4 . 1 . (-374) 2.1

⇒ x = 5 ± √1521 2

⇒ x = 5 ± 39 2 ⇒

x1 = 5 + 39 2

⇒ x1 = 22

x2 = 5 - 39 2

⇒ x2 = -17

As raízes reais encontradas são -17 e 22, por ser negativa, a raiz -17 deve ser descartada. Logo a idade de Pedro é de 22 anos.Como Pedro é 5 anos mais velho que Paulo, Paulo tem então 17 anos. Logo, Pedro tem 22 anos e Paulo tem 17 anos.

6) Resposta “0; 5”.Solução: Em notação matemática, defi nindo a incógnita como x, podemos escrever esta sentença da seguinte forma:3x2 = 15xOu ainda como:3x2 - 15x = 0


matemática

A fórmula geral de resolução ou fórmula de Bhaskara pode ser utilizada na resolução desta equação, mas por se tratar de uma equação incompleta, podemos solucioná-la de outra forma.

Como apenas o coeficiente c é igual a zero, sabemos que esta equação possui duas raízes reais. Uma é igual azero e a outra é dada pelo oposto do coeficiente b dividido pelo coeficiente a. Resumindo podemos dizer que:

ax2 + bx = 0 ⇒ x1 = 0

x2 = - ba

Temos então:

x = - ba

⇒ x = -15 3

⇒ x = 5

7) Resposta “6; 8”.

Solução: Podemos resolver esta equação simplesmente respondendo esta pergunta:Quais são os dois números que somados totalizam 14 e que multiplicados resultam em 48?Sem qualquer esforço chegamos a 6 e 8, pois 6 + 8 = 14 e 6 . 8 = 48.Segundo as relações de Albert Girard, que você encontra em detalhes em outra página deste site, estas são as raízes da referida

equação.[Para simples conferência, vamos solucioná-la também através da fórmula de Bhaskara:

x2 - 14x + 48 = 0 ⇒ x = -(-14) ± √(-14)2 - 4 . 1 . 48 2.1

⇒ x = 14 ± √4 2

⇒ x = 14 ± 2 2

⇒

x1 = 14 + 2 2

⇒ x1 = 8

x2 = 14 - 2 2

⇒ x2 = 6

8) Resposta “0”.Solução: Sendo x a nota final, matematicamente temos:2x2 = 0

Podemos identificar esta sentença matemática como sendo uma equação do segundo grau incompleta, cujos coeficientes b e c são iguais a zero.

Conforme já estudamos este tipo de equação sempre terá como raiz real o número zero. Apenas para verificação vejamos:

2x2 = 0 ⇒ x2 = 02

⇒ x2 = 0 ⇒ x ±√0 ⇒ x =0

9) Resposta “-8; -7; 7 e 8”.Solução: Substituindo na equação x4 por y2 e também x2 e y temos:-y2 + 113y - 3136 = 0

Resolvendo teremos:

-y2 + 113y - 3136 = 0 ⇒ y = −113± 1132 − 4.(−1).(−3136)2 + (−1)


matemática

⇒

y1 = −113+ 225−2

⇒ y1 = -113 + 15 -2

y2 = −113− 225

−2 ⇒ y2 = -113 - 15 -2

⇒

y1 = -98 -2

⇒ y1 = 49

y2 = -128 -2

⇒ y2 = 64

Substituindo os valores de y na expressão x2 = y temos:

Para y1 temos:

x2 = 49 ⇒ x ±√49 ⇒

x1 = √49 ⇒ x1 = 7

x2 = - √49 ⇒ x2 = -7

Para y2 temos:

x2 = 64 ⇒ x ±√64 ⇒

x3 = √64 ⇒ x3 = 8

x4 = - √64 ⇒ x4 = -8

Assim sendo, as raízes da equação biquadrada -x4 + 113x2 - 3136 = 0 são: -8, -7, 7 e 8.

10) Resposta “-6; 6”.

Solução: Iremos substituir x4 por y2 e x2 e y, obtendo uma equação do segundo grau:y2 - 20y - 576 = 0

Ao resolvermos a mesma temos:

y2 - 20y - 576 = 0 ⇒ −20 ± (−20)2 − 4.1.(−576)2.3

y1= 20 + 2704

2 ⇒y1=20 + 522 ⇒y1=

722

⇒y1=36

y2= 20 − 27042

⇒y2=20 − 522

⇒y2=−322 ⇒y2=-16

Substituindo os valores de y na expressão x2 = y obtemos as raízes da equação biquadrada:

Para y1 temos:

x2 = 36 ⇒ x = ±√36 ⇒x1 = √36 ⇒ x1= 6

x2 = -√36 ⇒ x2= -6Para y2, como não existe raiz quadrada real de um número negativo, o valor de -16 não será considerado.Desta forma, as raízes da equação biquadrada x4 - 20x2 - 576 = 0 são somente: -6 e 6.


MATEMÁTICA

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS.

Progressão Aritmética (PA)

Podemos, no nosso dia a dia, estabelecer diversas sequências como, por exemplo, a sucessão de cidades que temos numa viagem de automóvel entre Brasília e São Paulo ou a sucessão das datas de aniversário dos alunos de uma determinada escola.

Podemos, também, adotar para essas sequências uma ordem numérica, ou seja, adotando a1 para o 1º termo, a2 para o 2º termo até an para o n-ésimo termo. Dizemos que o termo an é também chamado termo geral das sequências, em que n é um número natural diferente de zero. Evidentemente, daremos atenção ao estudo das sequências numéricas.

As sequências podem ser fi nitas, quando apresentam um último termo, ou, infi nitas, quando não apresentam um último termo. As sequências infi nitas são indicadas por reticências no fi nal.

exemplos:- Sequência dos números primos positivos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...). Notemos que esta é uma sequência infi nita com a1 = 2;

a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 11; a6 = 13 etc.- Sequência dos números ímpares positivos: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...). Notemos que esta é uma sequência infi nita com a1 = 1; a2 = 3;

a3 = 5; a4 = 7; a5 = 9; a6 = 11 etc.- Sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Notemos que esta é uma sequência fi nita

com a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 4; a6 = 5; a7 = 6; a8 = 7; a9 = 8; a10 = 9.

1. igualdadeAs sequências são apresentadas com os seus termos entre parênteses colocados de forma ordenada. Sucessões que apresentarem

os mesmos termos em ordem diferente serão consideradas sucessões diferentes.Duas sequências só poderão ser consideradas iguais se, e somente se, apresentarem os mesmos termos, na mesma ordem.

exemploA sequência (x, y, z, t) poderá ser considerada igual à sequência (5, 8, 15, 17) se, e somente se, x = 5; y = 8; z = 15; e t = 17.Notemos que as sequências (0, 1, 2, 3, 4, 5) e (5, 4, 3, 2, 1) são diferentes, pois, embora apresentem os mesmos elementos, eles

estão em ordem diferente.

2. Formula termo GeralPodemos apresentar uma sequência através de uma determina o valor de cada termo an em função do valor de n, ou seja,

dependendo da posição do termo. Esta formula que determina o valor do termo an e chamada formula do termo geral da sucessão.

exemplos - Determinar os cincos primeiros termos da sequência cujo termo geral e igual a:an = n – 2n,com n € N* a

Teremos:A1 = 12 – 2 . 1 a a1 = 1A2 = 22 – 2 . 2 a a2 = 0A3 = 32 – 2 . 3 a a3 = 3A4 = 42 – 4 . 2 a a4 = 8A5 = 55

– 5 . 2 a a5 = 15

- Determinar os cinco primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a:an = 3 . n + 2, com n € N*.a1 = 3 . 1 + 2 a a1 = 5a2 = 3 . 2 + 2 a a2 = 8


matemática

a3 = 3 . 3 + 2 a a3 = 11a4 = 3 . 4 + 2 a a4 = 14a5 = 3 . 5 + 2 a a5 = 17

- Determinar os termos a12 e a23 da sequência cujo termo geral é igual a:an = 45 – 4 + n, com n € N*.

Teremos:a12 = 45 – 4 . 12 a a12 = -3a23 = 45 – 4 . 23 a a23 = -47

3. Lei de RecorrênciasUma sequência pode ser definida quando oferecemos o valor do primeiro termo e um “caminho” (uma formula) que permite a

determinação de cada termo conhecendo-se o seu antecedente. Essa forma de apresentação de uma sucessão é dita de recorrências.

exemplos- Escrever os cinco primeiros termos de uma sequência em que:a1 = 3 e an+1 = 2 . an - 4, em que n € N*.

Teremos:a1 = 3a2 = 2 . a1 – 4 a a2 = 2 . 3 – 4 a a2 = 2a3 = 2 . a2 – 4 a a3 = 2 . 2 - 4 a a3 = 0a4 = 2 . a3 – 4 a a4 = 2 . 0 - 4 a a4 = -4a5 = 2 . a4 – 4 a a5 = 2 .(-4) – 4 a a5 = -12

- Determinar o termo a5 de uma sequência em que:a1 = 12 e an+ 1 = an – 2, em que n € N*.a2 = a1 – 2 → a2 = 12 – 2 → a2=10a3 = a2 – 2 → a3 = 10 – 2 → a3 = 8a4 = a3 – 2 → a4 = 8 – 2 → a4 = 6a5 = a4 – 2 → a5 = 6 – 2 → a5 = 4

Observação 1

Devemos observar que a apresentação de uma sequência através do termo geral é mais pratica, visto que podemos determinar um termo no “meio” da sequência sem a necessidade de determinarmos os termos intermediários, como ocorre na apresentação da sequência através da lei de recorrências.

Observação 2

Algumas sequências não podem, pela sua forma “desorganizada” de se apresentarem, ser definidas nem pela lei das recorrências, nem pela formula do termo geral. Um exemplo de uma sequência como esta é a sucessão de números naturais primos que já “des-truiu” todas as tentativas de se encontrar uma formula geral para seus termos.

4. artifícios de Resolução

Em diversas situações, quando fazemos uso de apenas alguns elementos da PA, é possível, através de artifícios de resolução, tornar o procedimento mais simples:

PA com três termos: (a – r), a e (a + r), razão igual a r.PA com quatro termos: (a – 3r), (a – r), (a + r) e (a + 3r), razão igual a 2r.PA com cinco termos: (a – 2r), (a – r), a, (a + r) e (a + 2r), razão igual a r.


matemática

exemplo

- Determinar os números a, b e c cuja soma é, igual a 15, o produto é igual a 105 e formam uma PA crescente.

Teremos:Fazendo a = (b – r) e c = (b + r) e sendo a + b + c = 15, teremos:(b – r) + b + (b + r) = 15 → 3b = 15 → b = 5.

Assim, um dos números, o termo médio da PA, já é conhecido.

Dessa forma a sequência passa a ser:(5 – r), 5 e ( 5 + r ), cujo produto é igual a 105, ou seja:

(5 – r) .5 . (5 + r) = 105 → 52 – r2 = 21r2 = 4 → 2 ou r = -2.

Sendo a PA crescente, ficaremos apenas com r= 2.Finalmente, teremos a = 3, b = 5 e c= 7.

5. Propriedades

P1: para três termos consecutivos de uma PA, o termo médio é a media aritmética dos outros dois termos.

exemplo

Vamos considerar três termos consecutivos de uma PA: an-1, an e an+1. Podemos afirmar que:I - an = an-1 + rII - an = an+ 1 –r

Fazendo I + II, obteremos:2an = an-1 + r + an +1 - r2an = an -1+ an + 1

Logo: an = an-1 + an +12

Portanto, para três termos consecutivos de uma PA o termo médio é a media aritmética dos outros dois termos.

6. termos equidistantes dos extremos

Numa sequência finita, dizemos que dois termos são equidistantes dos extremos se a quantidade de termos que precederem o primeiro deles for igual à quantidade de termos que sucederem ao outro termo. Assim, na sucessão:

(a1, a2, a3, a4,..., ap,..., ak,..., an-3, an-2, an-1, an), temos:

a2 e an-1 são termos equidistantes dos extremos;a3 e an-2 são termos equidistantes dos extremos;a4 an-3 são termos equidistantes dos extremos.

Notemos que sempre que dois termos são equidistantes dos extremos, a soma dos seus índices é igual ao valor de n + 1. Assim sendo, podemos generalizar que, se os termos ap e ak são equidistantes dos extremos, então: p + k = n+1.

Propriedade

Numa PA com n termos, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma destes extremos.


matemática

exemplo

Sejam, numa PA de n termos, ap e ak termos equidistantes dos extremos.

Teremos, então:I - ap = a1 + (p – 1) . r a ap = a1 + p . r – rII - ak = a1 + (k – 1) . r a ak = a1 + k . r – rFazendo I + II, teremos:Ap + ak = a1 + p . r – r + a1 + k . r – rAp + ak = a1 + a1 + (p + k – 1 – 1) . r

Considerando que p + k = n + 1, ficamos com:ap + ak = a1 + a1 + (n + 1 – 1) . rap + ak = a1 + a1 + (n – 1) . rap + ak = a1 + an

Portanto numa PA com n termos, em que n é um numero ímpar, o termo médios (am) é a media aritmética dos extremos.

Am = a1 + an2

7. Soma dos n Primeiros termos de uma Pa

Vamos considerar a PA (a1, a2, a3,…,an-2, an-1,an ) e representar por Sn a soma dos seus n termos, ou seja:Sn = a1 + a2 + a3 + …+ an-2 + an-1 + an (igualdade I)

Podemos escrever também:Sn = an + an-1 + an-2 + ...+ a3 + a2 + a1 (igualdade II)

Somando-se I e II, temos:2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + …+ (an-2 + a3) + (an-1 + a2) + (an + a1)

Considerando que todas estas parcelas, colocadas entre parênteses, são formadas por termos equidistantes dos extremos e que a soma destes termos é igual à soma dos extremos, temos:

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + +… + (a1 + an) → 2Sn = ( a1 + an) . n

E, assim, finalmente:

Sn =(a1 + an ).n

2exemplo

- Ache a soma dos sessenta primeiros termos da PA (2 , 5, 8,...).

Dados: a1 = 2 r = 5 – 2 = 3

Calculo de a60:A60 = a1 + 59r → a60 = 2 + 59 . 3 a60 = 2 + 177 a60 = 179


matemática

Calculo da soma:

Sn = (a1 + an )n2

→ S60 = (a1 + a60 ).602

S60 =(2 +179).60

2S60 = 5430

Resposta: 5430

Progressão Geométrica (PG)

PG é uma sequência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é o anterior multiplicado por uma constante q chamada razão da PG.

an+1 = an . qCom a1 conhecido e n € N*

exemplos- (3, 6, 12, 24, 48,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 3 e razão q = 2.

- (-36, -18, -9, −92

, −94

,...) é uma PG de primeiro termo a1= -36 e razão q = 12

.

- (15, 5, 53

, 59

,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 15 e razão q = 13

.

- (-2, -6, -18, -54, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = -2 e razão q = 3.- (1, -3, 9, -27, 81, -243, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 1 e razão q = -3.- (5, 5, 5, 5, 5, 5,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 5 e razão q = 1.- (7, 0, 0, 0, 0, 0,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 7 e razão q = 0.- (0, 0, 0, 0, 0, 0,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 0 e razão q qualquer.

Observação: Para determinar a razão de uma PG, basta efetuar o quociente entre dois termos consecutivos: o posterior dividido pelo anterior.

q = an +1an

(an ≠ 0)

Classificação

As classificações geométricas são classificadas assim:- Crescente: Quando cada termo é maior que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando a1 < 0 e 0 < q < 1.- Decrescente: Quando cada termo é menor que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou quando a1 < 0 e q > 1.- Alternante: Quando cada termo apresenta sinal contrario ao do anterior. Isto ocorre quando q < 0.- Constante: Quando todos os termos são iguais. Isto ocorre quando q = 1. Uma PG constante é também uma PA de razão r = 0.

A PG constante é também chamada de PG estacionaria.- Singular: Quando zero é um dos seus termos. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0.

Formula do termo GeralA definição de PG está sendo apresentada por meio de uma lei de recorrências, e nos já aprendemos nos módulos anteriores que

a formula do termo geral é mais pratica. Por isso, estaremos, neste item, procurando estabelecer, a partir da lei de recorrências, a fórmula do termo geral da progressão geométrica.


matemática

Vamos considerar uma PG de primeiro termo a1 e razão q. Assim, teremos:a2 = a1 . qa3 = a2 . q = a1 . q

2

a4 = a3 . q = a1 . q3

a5 = a4 . q = a1 . q4

. .

. .

. .an= a1 . q

n-1

exemplos- Numa PG de primeiro termo a1 = 2 e razão q = 3, temos o termo geral na igual a:

an = a1 . qn-1 → an = 2 . 3n-1

Assim, se quisermos determinar o termo a5 desta PG, faremos:A5 = 2 . 34 → a5 = 162

- Numa PG de termo a1 = 15 e razão q = , temos o termo geral na igual a:an = a1 . q

n-1 → an = 15 . n-1

Assim, se quisermos determinar o termo a6 desta PG, faremos:

A6 = 15 . (1).52

→ a6 = 581

- Numa PG de primeiro termo a1 = 1 e razão = -3 temos o termo geral na igual a:an = a1 . q

n-1 → an = 1 . (-3)n-1

Assim, se quisermos determinar o termo a4 desta PG, faremos:A4 = 1 . (-3)3 → a4 = -27

artifícios de ResoluçãoEm diversas situações, quando fazemos uso de apenas alguns elementos da PG, é possível através de alguns elementos de

resolução, tornar o procedimento mais simples.PG com três termos:

aq

a; aq

PG com quatro termos:

aq3; qq

; aq; aq3

PG com cinco termos:

aq2; qq

; a; aq; aq2

exemploConsidere uma PG crescente formada de três números. Determine esta PG sabendo que a soma destes números é 13 e o produto

é 27.Vamos considerar a PG em questão formada pelos termos a, b e c, onde a = e c = b . q.


matemática

Assim,

bq

. b . bq = 27 → b3 = 27 → b = 3.

Temos:

3q

+ 3 +3q = 13 → 3q2 – 10q + 3 = 0 a

q = 3 ou q = 13

Sendo a PG crescente, consideramos apenas q = 3. E, assim, a nossa PG é dada pelos números: 1, 3 e 9.

PropriedadesP1: Para três termos consecutivos de uma PG, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos outros dois.

exemploVamos considerar três termos consecutivos de uma PG: an-1, an e an+1. Podemos afirmar que:

I – an = an-1 . q eII – an = an+1

q

Fazendo I . II, obteremos:

(an)2 = (an-1 . q). ( an+1

q) a (an )

2 = an-1 . an+1

Logo: (an)2 = an-1 . an+1

Observação: Se a PG for positive, o termo médio será a media geométrica dos outros dois:an = √an-1 . an+1

P2: Numa PG, com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto destes extremos.

exemploSejam, numa PG de n termos, ap e ak dois termos equidistantes dos extremos.

Teremos, então:I – ap = a1 . q

p-1

II – ak = a1 . qk-1

Multiplicando I por II, ficaremos com:ap . ak = a1 . q

p-1 . a1 . qk-1

ap . ak = a1 . a1 . qp-1+k-1

Considerando que p + k = n + 1, ficamos com:ap . ak = a1 . an

Portanto, numa PG, com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto destes extremos.Observação: Numa PG positiva, com n termos, onde n é um numero impar, o termo médio (am) é a media geométrica dos

extremos ou de 2 termos equidistantes dos extremos.

am = √a1 . an


matemática

Soma dos termos de uma PG

Soma dos n Primeiros termos de uma PG

Vamos considerar a PG (a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an), com q diferente de 1 e representar por Sn a soma dos seus n termos, ou seja:

Sn = a1 + a2 + a3 + ...+an-2 + an-1 + an ( igualdade I)

Podemos escrever, multiplicando-se, membro a membro, a igualdade ( I ) por q:

q . Sn = q . a1 + q . a2 + q . a3 + ...+ q . an-2 + + q . an-1 + q . an

Utilizando a formula do termo geral da PG, ou seja, an = a1 . qn-1, teremos:

q . Sn = a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an + a1 . qn

(igualdade II)

Subtraindo-se a equação I da equação II, teremos:

q . Sn – Sn = a1 . qn – a1 → sn . (q – 1) =

= a1 . (qn – 1)

E assim: Sn =a1.(q

n −1)q −1

Se tivéssemos efetuado a subtração das equações em ordem inversa, a fórmula da soma dos termos da PG ficaria:

Sn =a1.(1+ q

n )1− q

Evidentemente que por qualquer um dos “caminhos” o resultado final é o mesmo. É somente uma questão de forma de apresentação.

Observação: Para q = 1, teremos sn = n . a1

Série convergente – PG convergenteDada a sequência ( a1, a2, a3, a4, a5,..., an-2, an-1, an), chamamos de serie a sequência S1, S2, S3, S4, S5,..., Sn-2, sn-1, sn,tal que:

S1 = a1S2 = a1 + a2S3 = a1 + a2 + a3S4 = a1 + a2 + a3 + a4S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5...Sn-2 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ...+ an-2Sn-1 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ...+ an-2 + an-1Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ...+ an-2 + an-1 + an

Vamos observar como exemplo, numa PG com primeiro termo a1 = 4 e razão q = , à série que ela vai gerar.Os termos que vão determinar a progressão geométrica são: (4, 2, 1, 1

2 , 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 1

128, 1256

, 1512

...)


matemática

E, portanto, a série correspondente será:

S1 = 4S2 = 4 + 2 = 6S3 = 4 + 2 + 1 = 7

S4 = 4 + 2 + 1 + 12

= 152

= 7, 5

S5 = 4 + 2 + 1 + 12+ 14= 314 = 7, 75

S6 = 4 + 2 + 1 + 12+ 14+ 18= 638

= 7, 875

S7 = 4 + 2 + 1 + 12+ 14+ 18+ 116

= 12716

= 7, 9375

S8 = 4 + 2 + 1 + 12+ 14+ 18+ 116

+ 132

= 25532

= 7, 96875

S9 = 4 + 2 + 1 + 12+ 14+ 18+ 116

+ 132

+ 164

= 51164 = 7, 984375

S10 = 4 + 2 + 1 + 12+ 14+ 18+ 116

+ 132

+ 164

+ 1128

= 1023128 = 7, 9921875

Devemos notar que a cada novo termo calculado, na PG, o seu valor numérico cada vez mais se aproxima de zero. Dizemos que esta é uma progressão geométrica convergente.

Por outro lado, na serie, é cada vez menor a parcela que se acrescenta. Desta forma, o ultimo termos da serie vai tendendo a um valor que parece ser o limite para a série em estudo. No exemplo numérico, estudado anteriormente, nota-se claramente que este valor limite é o numero 8.

Bem, vamos dar a esta discussão um caráter matemático.É claro que, para a PG ser convergente, é necessário que cada termo seja, um valor absoluto, inferior ao anterior a ele. Assim,

temos que:

PG convergente → | q | < 1ouPG convergente → -1 < 1

Resta estabelecermos o limite da serie, que é o Sn para quando n tende ao infinito, ou seja, estabelecermos a soma dos infinitos termos da PG convergente.

Vamos partir da soma dos n primeiros termos da PG:

Sn =a1.(1+ q

n )1− q

Estando q entre os números -1e 1 e, sendo n um expoente que tende a um valor muito grande, pois estamos somando os infinitos termos desta PG, é fácil deduzir que qn vai apresentando um valor cada vez mais próximo de zero. Para valores extremamente grandes de n não constitui erro considerar que qn é igual a zero. E, assim, teremos:

S = a1

1− q

Observação: Quando a PG é não singular (sequência com termos não nulos) e a razão q é de tal forma que q | ≥ 1, a serie é divergente. Séries divergentes não apresentam soma finita.


matemática

exemplos- A medida do lado de um triângulo equilátero é 10. Unindo-se os pontos médios de seus lados, obtém-se o segundo triângulo

equilátero. Unindo-se os pontos médios dos lados deste novo triangulo equilátero, obtém-se um terceiro, e assim por diante, indefinidamente. Calcule a soma dos perímetros de todos esses triângulos.

Solução:

Temos: perímetro do 1º triangulo = 30 perímetro do 2º triangulo = 15 perímetro do 3º triangulo = 15

2Logo, devemos calcular a soma dos termos da PG infinita 30, 15, 15

2 ,... na qual a1 = 30 e q =. 1

2

S = a1 → s =301− q

= 30

1− 12

= 60.

exercícios

1. Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:

a) 10b) 12c) 14d) 16e) 18

2. O valor de n que torna a sequência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:a) [– 2, –1]b) [– 1, 0]c) [0, 1]d) [1, 2]e) [2, 3]

3. Os termos da sequência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa sequência, então a30 + a55 é igual a:

a) 58b) 59c) 60d) 61e) 62

4. A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é:a) 3,1b) 3,9c) 3,99d) 3, 999e) 4


matemática

5. A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa PA., com o décimo quinto termo, vale:

a) 3,0b) 1,0c) 1,5d) -1,5e) -3,0

6. Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em progressão geométrica de razão 2. Um desses ângulos mede:

a) 28°b) 32°c) 36°d) 48°e) 50°

7. Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a última parcela contém n algarismos. Nestas condições, o valor de 10n+1 - 9(S + n) é:

a) 1b) 10c) 100d) -1e) -10

8. Se a soma dos três primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729, então sendo a, b e c os três primeiros termos, pede-se calcular o valor de a2 + b2 + c2.

9. O limite da expressão onde x é positivo, quando o número de radicais aumenta indefinidamente é igual a:

a) 1/xb) xc) 2xd) n.xe) 1978x

10. Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, que não são divisíveis nem por 5 nem por 7 ?

Respostas

1) Resposta “D”.Solução:Sejam (a1, a2, a3,…) a PA de r e (g1, g2, g3, …) a PG de razão q. Temos como condições iniciais:1 - a1 = g1 = 42 - a3 > 0, g3 > 0 e a3 = g33 - a2 = g2 + 2

Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações:

4 - a3 = a1 + 2r e g3 = g1 . q2 → 4 + 2r = 4q2

5 - a2 = a1 + r e g2 = g1 . q → 4 + r = 4q + 2


matemática

Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em (4) vem:5 - r = 4q + 2 – 4 → r = 4q – 24 - 4 + 2(4q – 2) = 4q2 → 4 + 8q – 4 = 4q2 → 4q2 – 8q = 0→ q(4q – 8) = 0 → q = 0 ou 4q – 8 = 0 → q = 2

Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na equação (5):r = 4q – 2 → r = 8 – 2 = 6

Para concluir calculamos a3 e g3:a3 = a1 + 2r → a3 = 4 + 12 = 16g3 = g1.q

2 → g3 = 4.4 = 16

2) Resposta “B”.Solução: Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação

da definição de PA):(1) -5n = 2 + 3n + r(2) 1 – 4n = -5n + r

Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):(1) → r = -5n – 2 – 3n = -8n – 2(2) → 1 – 4n = -5n – 8n – 2 → 1 – 4n = -13n – 2→ 13n – 4n = -2 – 1 → 9n = -3 → n = -3/9 = -1/3

Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b.

3) Resposta “B”.Solução: Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 - (10; 11; 12; 13; …).

Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 - (8; 9; 10; 11; …).

Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato:(1) ai = a1 + (i - 1).1 = a1 + i – 1

Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está intrinsecamente relacionada às duas progressões da seguinte forma:

- Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i - 1, ou seja, i = (n + 1)/2;- Se n é par temos n = 2i ou i = n/2.

Daqui e de (1) obtemos que:an = 10 + [(n + 1)/2] - 1 se n é ímparan = 8 + (n/2) - 1 se n é parLogo:a30 = 8 + (30/2) - 1 = 8 + 15 - 1 = 22 ea55 = 10 + [(55 + 1)/2] - 1 = 37

E, portanto:a30 + a55 = 22 + 37 = 59.

4) Resposta “E”.Solução: Sejam S as somas dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009;…) de razão q = 10 - 1 =

0,1. Assim:S = 3 + S1Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1:S1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1 → S = 3 + 1 = 4


matemática

5) Resposta “D”.Solução: Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA:S20 = 20(a1 + a20)/2 = -15Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equidistantes dos extremos, uma vez que:15 + 6 = 20 + 1 = 21E, portanto:a6 + a15 = a1 + a20

Substituindo este valor na primeira igualdade vem:20(a6 + a15)/2 = -15 → 10(a6 + a15) = -15 → a6 + a15 = -15/10 = -1,5.

6) Resposta “D”.Solução: Seja x o menor ângulo interno do quadrilátero em questão. Como os ângulos estão em Progressão Geométrica de razão

2, podemos escrever a PG de 4 termos:(x, 2x, 4x, 8x).Ora, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale 360º.

Logo,x + 2x + 4x + 8x = 360º15.x = 360º

Portanto, x = 24º. Os ângulos do quadrilátero são, portanto: 24º, 48º, 96º e 192º.O problema pede um dos ângulos. Logo, alternativa D.

7) Resposta “B”.Solução: Observe que podemos escrever a soma S como:S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ... + (10n – 1)S = (10 – 1) + (102 – 1) + (103 – 1) + (104 – 1) + ... + (10n – 1)Como existem n parcelas, observe que o número (– 1) é somado n vezes, resultando em n(-1) = - n.

Logo, poderemos escrever:S = (10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n ) – nVamos calcular a soma Sn = 10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n, que é uma PG de primeiro termo a1 = 10, razão q = 10 e último termo

an = 10n.Teremos:Sn = (an.q – a1) / (q –1) = (10n . 10 – 10) / (10 – 1) = (10n+1 – 10) / 9

Substituindo em S, vem:S = [(10n+1 – 10) / 9] – n

Deseja-se calcular o valor de 10n+1 - 9(S + n)Temos que S + n = [(10n+1 – 10) / 9] – n + n = (10n+1 – 10) / 9

Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica:10n+1 – 9(S + n) = 10n+1 – 9(10n+1 – 10) / 9 = 10n+1 – (10n+1 – 10) = 10.

8) Resposta “819”.Solução: Sendo q a razão da PG, poderemos escrever a sua forma genérica: (x/q, x, xq).Como o produto dos 3 termos vale 729, vem:x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que: x3 = 729 = 36 = 33 . 33 = 93 , logo, x = 9.

Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9qÉ dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo:9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0


MATEMÁTICA

Multiplicando ambos os membros por q, fi ca: 9 + 9q2 – 30q = 0Dividindo por 3 e ordenando, fi ca: 3q2 – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau.Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos q = 3 ou q = 1/3.Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar apenas o valor q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente.

Portanto, a PG é: 9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3.O problema pede a soma dos quadrados, logo:a2 + b2 + c2 = 272 + 92 + 32 = 729 + 81 + 9 = 819.

9) Resposta “B”.Solução: Observe que a expressão dada pode ser escrita como:

x1/2. x1/4 . x1/8 . x1/16 . ... = x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ...

O expoente é a soma dos termos de uma PG infi nita de primeiro termo a1 = 1 /2 e razão q = 1 /2.

Logo, a soma valerá:S = a1 / (1 – q) = (1 /2) / 1 – (1 /2) = 1Então, x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ... = x1 = x

10) Resposta “6171”.Solução: Dados:M(5) = 1000, 1005, ..., 9995, 10000.M(7) = 1001, 1008, ..., 9996.M(35) = 1015, 1050, ... , 9975.M(1) = 1, 2, ..., 10000.Para múltiplos de 5, temos: an = a1+ (n-1).r → 10000 = 1000 + (n - 1). 5 → n = 9005/5 → n = 1801.Para múltiplos de 7, temos: an = a1+ (n-1).r → 9996 = 1001 + (n - 1). 7 → n = 9002/7 → n = 1286.Para múltiplos de 35, temos: an = a1 + (n - 1).r → 9975 = 1015 + (n - 1).35 → n = 8995/35 → n = 257.Para múltiplos de 1, temos: an = a1 = (n -1).r → 10000 = 1000 + (n - 1).1 → n = 9001.

Sabemos que os múltiplos de 35 são múltiplos comuns de 5 e 7, isto é, eles aparecem no conjunto dos múltiplos de 5 e no conjunto dos múltiplos de 7 (daí adicionarmos uma vez tal conjunto de múltiplos).

Total = M(1) - M(5) - M(7) + M(35).Total = 9001 - 1801 - 1286 + 257 = 6171

LOGARITMOS.

Toda equação que contém a incógnita na base ou no logaritmando de um logaritmo é denominada equação logarítmica. Abai-xo temos alguns exemplos de equações logarítmicas:

log2 x = 3logx = 100 = 27 log5 = 625x = 423log2x 64 = 9log−6−x 2x = 1

Perceba que nestas equações a incógnita encontra-se ou no logaritmando, ou na base de um logaritmo. Para solucionarmos equações logarítmicas recorremos a muitas das propriedades dos logaritmos.


matemática

Solucionando Equações Logarítmicas

Vamos solucionar cada uma das equações acima, começando pela primeira: log2 x = 3

Segundo a definição de logaritmo nós sabemos que: log2 x = 3 ⇔ 23 = x

Logo x é igual a 8:23 = x ⇒ X = 2.2.2 ⇒ x= 8

De acordo com a definição de logaritmo o logaritmando deve ser um número real positivo e já que 8 é um número real positivo, podemos aceitá-lo como solução da equação. A esta restrição damos o nome de condição de existência.

logx 100 = 2

Pela definição de logaritmo a base deve ser um número real e positivo além de ser diferente de 1. Então a nossa condição de existência da equação acima é que:

x ∈R+* − {1}

Em relação a esta segunda equação nós podemos escrever a seguinte sentença: logx 100 = 2 ⇔ x2 = 100

Que nos leva aos seguintes valores de x:

x2 = 100⇒ x = ± 100⇒x = −10x = 10

⎧⎨⎩

Note que x = -10 não pode ser solução desta equação, pois este valor de x não satisfaz a condição de existência, já que -10 é um número negativo.

Já no caso de x = 10 temos uma solução da equação, pois 10 é um valor que atribuído a x satisfaz a condição de existência, visto que 10 é positivo e diferente de 1.

7log5 625x = 42

Neste caso temos a seguinte condição de existência:625x > 0⇒ x > 0

625⇒ x > 0

Voltando à equação temos:7 log5 625x = 42⇒ log5 625x =

427

⇒ log5 625x = 6

Aplicando a mesma propriedade que aplicamos nos casos anteriores e desenvolvendo os cálculos temos: Como 25 satisfaz a condição de existência, então S = {25} é o conjunto solução da equação. Se quisermos recorrer a outras propriedades dos logaritmos também podemos resolver este exercício assim:

⇒ log5 x=2 ⇔ 52 = x ⇒ x = 25

Lembre-se que logb(M.N) = logb M + logb N e que log5 625 = 4, pois 54 = 625.3log2x64 = 9

Neste caso a condição de existência em função da base do logaritmo é um pouco mais complexa:

2x > 0⇒ x > 02⇒ x > 0

E, além disto, temos também a seguinte condição:

2x ≠ 1⇒ x ≠ 12


MATEMÁTICA

Portanto a condição de existência é: x ∈R+* − 1

2⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

Agora podemos proceder de forma semelhante ao exemplo anterior: Como x = 2 satisfaz a condição de existência da equação logarítmica, então 2 é solução da equação. Assim como no exercício anterior, este também pode ser solucionado recorrendo-se à outra propriedade dos logaritmos: log-6-x 2x = 1

Neste caso vamos fazer um pouco diferente. Primeiro vamos solucionar a equação e depois vamos verifi car quais são as condi-ções de existência: Então x = -2 é um valor candidato à solução da equação. Vamos analisar as condições de existência da base -6 - x:

Veja que embora x ≠ -7, x não é menor que -6, portanto x = -2 não satisfaz a condição de existência e não pode ser solução da equação. Embora não seja necessário, vamos analisar a condição de existência do logaritmando 2x:

2x > 0 ⇒ x > 0Como x = -2, então x também não satisfaz esta condição de existência, mas não é isto que eu quero que você veja. O que eu quero

que você perceba, é que enquanto uma condição diz que x < -6, a outra diz que x > 0. Qual é o número real que além de ser menor que -6 é também maior que 0?

Como não existe um número real negativo, que sendo menor que -6, também seja positivo para que seja maior que zero, então sem solucionarmos a equação nós podemos perceber que a mesma não possui solução, já que nunca conseguiremos satisfazer as duas condições simultaneamente. O conjunto solução da equação é portanto S = {}, já que não existe nenhuma solução real que satisfaça as condições de existência da equação.

Função LogarítmicaA função logaritmo natural mais simples é a função y=f0(x)=lnx. Cada ponto do gráfi co é da forma (x, lnx) pois a ordenada é

sempre igual ao logaritmo natural da abscissa.

O domínio da função ln é R+* =]0,∞[ e a imagem é o conjunto R+

* =]− ∞,+∞[ . O eixo vertical é uma assíntota ao gráfi co da função. De fato, o gráfi co se aproxima cada vez mais da reta x=0

O que queremos aqui é descobrir como é o gráfi co de uma função logarítmica natural geral, quando comparado ao gráfi co de y=ln x, a partir das transformações sofridas por esta função. Consideremos uma função logarítmica cuja expressão é dada por y=f1(x)=ln x+k, onde k é uma constante real. A pergunta natural a ser feita é: qual a ação da constante k no gráfi co dessa nova função quando comparado ao gráfi co da função inicial y=f0(x)=ln x ?

Ainda podemos pensar numa função logarítmica que seja dada pela expressão y=f2(x)=a.ln x onde a é uma constante real, a ≠ 0. Observe que se a=0, a função obtida não será logarítmica, pois será a constante real nula. Uma questão que ainda se coloca é a consideração de funções logarítmicas do tipo y=f3(x)=ln(x+m), onde m é um número real não nulo. Se g(x)=3.ln(x-2) + 2/3, desenhe seu gráfi co, fazendo os gráfi cos intermediários, todos num mesmo par de eixos.

y=a.ln(x+m)+k

Conclusão: Podemos, portanto, considerar funções logarítmicas do tipo y = f4(x) = a In (x + m) + k, onde o coefi ciente a não é zero, examinando as transformações do gráfi co da função mais simples y = f0 (x) = In x, quando fazemos, em primeiro lugar, y=ln(x+m); em seguida, y=a.ln(x+m) e, fi nalmente, y=a.ln(x+m)+k.


MATEMÁTICA

Analisemos o que aconteceu: - em primeiro lugar, y=ln(x+m) sofreu uma translação horizontal de -m unidades, pois x=-m exerce o papel que x=0 exercia em

y=ln x; - a seguir, no gráfi co de y=a.ln(x+m) ocorreu mudança de inclinação pois, em cada ponto, a ordenada é igual àquela do ponto de

mesma abscissa em y=ln(x+m) multiplicada pelo coefi ciente a; - por fi m, o gráfi co de y=a.ln(x+m)+k sofreu uma translação vertical de k unidades, pois, para cada abscissa, as ordenadas dos

pontos do gráfi co de y=a.ln(x+m)+k fi caram acrescidas de k, quando comparadas às ordenadas dos pontos do gráfi co de y=a.ln(x+m).

O estudo dos gráfi cos das funções envolvidas auxilia na resolução de equações ou inequações, pois as operações algébricas a serem realizadas adquirem um signifi cado que é visível nos gráfi cos das funções esboçados no mesmo referencial cartesiano.

Função logarítmica de base a é toda função f : +* → , defi nida por f (x) = loga x com a∈ +

* e a ≠ 1 .Podemos observar neste tipo de função que a variável independente x é um logaritmando, por isto a denominamos função loga-

rítmica. Observe que a base a é um valor real constante, não é uma variável, mas sim um número real.A função logarítmica de +

* → é inversa da função exponencial de → +* e vice-versa, pois:

Representação da Função Logarítmica no Plano CartesianoPodemos representar grafi camente uma função logarítmica da mesma forma que fi zemos com a função exponencial, ou seja,

escolhendo alguns valores para x e montando uma tabela com os respectivos valores de f(x). Depois localizamos os pontos no plano cartesiano e traçamos a curva do gráfi co. Vamos representar grafi camente a função f(x) = log x e como estamos trabalhando com um logaritmo de base 10, para simplifi car os cálculos vamos escolher para x alguns valores que são potências de 10:

0,001, 0,01, 0,1, 1, 10 e 2.

Temos então a seguinte tabela:

x y = log x0,001 y = log 0,001 = -30,01 y = log 0,01 = -20,1 y = log 0,1 = -11 y = log 1 = 010 y = log 10 = 1

Ao lado temos o gráfi co desta função logarítmica, no qual localizamos cada um dos pontos obtidos da tabela e os interligamos através da curva da função: Veja que para valores de y < 0,01 os pontos estão quase sobre o eixo das ordenadas, mas de fato nunca chegam a estar. Note também que neste tipo de função uma grande variação no valor de x implica numa variação bem inferior no valor de y. Por exemplo, se passarmos de x = 100 para x = 1000000, a variação de y será apenas de 2 para 6. Isto porque:

f (100) = log100 = 2f (1000000) = log1000000 = 6

⎧⎨⎩


MATEMÁTICA

Função Crescente e DecrescenteAssim como no caso das funções exponenciais, as funções logarítmicas também podem ser classifi cadas como função crescen-

te ou função decrescente. Isto se dará em função da base a ser maior ou menor que 1. Lembre-se que segundo a defi nição da função logarítmica f : +

* → , defi nida por f(x) = Loga x, temos que e a > 0 e a ≠ 1

Função Logarítmica Crescente

Se a > 1 temos uma função logarítmica crescente, qualquer que seja o valor real positivo de x. No gráfi co da função ao lado podemos observar que à medida que x aumenta, também aumenta f(x) ou y. Grafi camente vemos que a curva da função é crescente. Também podemos observar através do gráfi co, que para dois valor de x (x1 e x2), que loga x2 > loga x1 ⇔ x1 > x2 , isto para x1, x2 e a números reais positivos, com a > 1.

Função Logarítmica Decrescente

Se 0 < a < 1 temos uma função logarítmica decrescente em todo o domínio da função. Neste outro gráfi co podemos observar que à medida que x aumenta, y diminui. Grafi camente observamos que a curva da função é decrescente. No gráfi co também obser-vamos que para dois valores de x (x1 e x2), que loga x2 < loga x1 ⇔ x2 > x1 , isto para x1, x2 e a números reais positivos, com 0 < a < 1. É importante frisar que independentemente de a função ser crescente ou decrescente, o gráfi co da função sempre cruza o eixo das abscissas no ponto (1, 0), além de nunca cruzar o eixo das ordenadas e que o loga x2 = loga x1 ⇔ x2 = x1 , isto para x1, x2 e a números reais positivos, com a ≠ 1.

PORCENTAGEM E JUROS.

Porcentagem

É uma fração de denominador centesimal, ou seja, é uma fração de denominador 100. Representamos porcentagem pelo símbolo % e lê-se: “por cento”.


matemática

Deste modo, a fração 50100

é uma porcentagem que podemos representar por 50%.

Forma Decimal: É comum representarmos uma porcentagem na forma decimal, por exemplo, 35% na forma decimal seriam representados por 0,35.

75% = 75100

= 0,75

cálculo de uma Porcentagem: Para calcularmos uma porcentagem p% de V, basta multiplicarmos a fração 100

p por V.

P% de V = 100p

. V

exemplo 1

23% de 240 = 23100

. 240 = 55,2

exemplo 2

Em uma pesquisa de mercado, constatou-se que 67% de uma amostra assistem a um certo programa de TV. Se a população é de 56.000 habitantes, quantas pessoas assistem ao tal programa?

Resolução: 67% de 56 000 = 67100

.56000 = 37520

Resposta: 37 520 pessoas.

Porcentagem que o lucro representa em relação ao preço de custo e em relação ao preço de venda

Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e o preço de custo.Lucro = preço de venda – preço de custo

Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de prejuízo.Assim, podemos escrever:Preço de custo + lucro = preço de vendaPreço de custo – prejuízos = preço de venda

Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:Lucro sobre o custo = lucro/preço de custo. 100%Lucro sobre a venda = lucro/preço de venda. 100%

Observação: A mesma análise pode ser feita para o caso de prejuízo.

exemplo

Uma mercadoria foi comprada por R$ 500,00 e vendida por R$ 800,00. Pede-se:- o lucro obtido na transação;- a porcentagem de lucro sobre o preço de custo;- a porcentagem de lucro sobre o preço de venda.


matemática

Resposta:Lucro = 800 – 500 = R$ 300,00

Lc = 500300 = 0,60 = 60%

Lv = 800300 = 0,375 = 37,5%

aumento

aumento Percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um aumento de p% de seu valor. Chamemos de A o valor do aumento e VA o valor após o aumento. Então, A = p% de V =

100p . V

VA = V + A = V + 100p

. V

VA = ( 1 + 100p

) . V

Em que (1 + 100p

) é o fator de aumento.

Desconto

Desconto Percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um desconto de p% de seu valor. Chamemos de D o valor do desconto e VD o valor após o desconto. Então, D = p% de V =

100p . V

VD = V – D = V – 100

p . V

VD = (1 – 100

p ) . V

Em que (1 – 100

p ) é o fator de desconto.

exemplo

Uma empresa admite um funcionário no mês de janeiro sabendo que, já em março, ele terá 40% de aumento. Se a empresa deseja que o salário desse funcionário, a partir de março, seja R$ 3 500,00, com que salário deve admiti-lo?

Resolução: VA = 1,4 . V 3 500 = 1,4 . V

V = 25004,1

3500=

Resposta: R$ 2 500,00

aumentos e Descontos Sucessivos: Consideremos um valor inicial V, e vamos considerar que ele irá sofrer dois aumentos sucessivos de p1% e p2%. Sendo V1 o valor após o primeiro aumento, temos:

V1 = V . (1 + 100

1p )

Sendo V2 o valor após o segundo aumento, temos:V2 = V1 . (1 +

1002p )

V2 = V . (1 + 100

1p ) . (1 + 100

2p )

Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer dois descontos sucessivos de p1% e p2%.


matemática

Sendo V1 o valor após o primeiro desconto, temos:V1 = V. (1 –

1001p )

Sendo V2 o valor após o segundo desconto, temos:

V2 = V1 . (1 – 100

2p )

V2 = V . (1 – 100

1p ) . (1 – 100

2p )

Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer um aumento de p1% e, sucessivamente, um desconto de p2%.

Sendo V1 o valor após o aumento, temos:V1 = V . (1+

1001p )

Sendo V2 o valor após o desconto, temos:V2 = V1 . (1 –

1002p )

V2 = V . (1 + 100

1p ) . (1 – 100

2p )

exemplo(VUNESP-SP) Uma instituição bancária oferece um rendimento de 15% ao ano para depósitos feitos numa certa modalidade de

aplicação financeira. Um cliente deste banco deposita 1 000 reais nessa aplicação. Ao final de n anos, o capital que esse cliente terá em reais, relativo a esse depósito, são:

Resolução: VA = vp n

.100

1

+

VA = 1. 15100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟n

.1000

VA = 1 000 . (1,15)n

VA = 1 000 . 1,15n

VA = 1 150,00n

Exercícios

1. (Fuvest-SP) (10%)2 =a) 100%b) 20%c) 5%d) 1%e) 0,01%

2. Quatro é quantos por cento de cinco?

3. (PUC-SP) O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é:

a) R$ 25,00b) R$ 70,50c) R$ 75,00d) R$ 80,00e) R$ 125,00


matemática

4. (VUNeSP-SP) O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto por x reais (preço de custo) e passou a revendê-lo com lucro de 50%. ao fazer um dia de promoções, ele deu aos clientes do supermercado um desconto de 20% sobre o preço de venda deste produto. Pode-se afirmar que, no dia de promoções, o dono do supermercado teve, sobre o preço de custo:

a) Prejuízo de 10%.b) Prejuízo de 5%.c) Lucro de 20%.d) Lucro de 25%.e) Lucro de 30%.

5. (Mackenzie-SP) Um produto teve um aumento total de preço de 61% através de 2 aumentos sucessivos. Se o primeiro aumento foi de 15%, então o segundo foi de:

a) 38%b) 40%c) 42%d) 44%e) 46%

6. (FUVEST-SP) Barnabé tinha um salário de x reais em janeiro. Recebeu aumento de 80% em maio e 80% em novembro. Seu salário atual é:

a) 2,56 xb) 1,6xc) x + 160d) 2,6xe) 3,24x

7. (PUc-SP) Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único desconto de:a) 25%b) 26%c) 44%d) 45%e) 50%

8. (FUVeSt-SP) a cada ano que passa o valor de um carro diminui em 30% em relação ao seu valor do ano anterior. Se V for o valor do carro no primeiro ano, o seu valor no oitavo ano será:

a) (0,7)7 Vb) (0,3)7 Vc) (0,7)8 Vd) (0,3)8 Ve) (0,3)9 V

9. Numa cidade, havia cerca de 25 000 desempregados para uma população economicamente ativa de 500 000 habitantes. Qual era a taxa percentual de desempregados nessa cidade?

10. Se 4% do total de bolinhas de uma piscina correspondem a 20 unidades, qual o total de bolinhas que está na piscina?

Respostas

1) Resposta “D”.Solução:

10100

. 10100

= 1100

= 1%


matemática

2) Resposta “80%”.Solução:05 ----------- 100%04 ----------- x

5 . x = 4 . 100 → 5x = 400 → x =4005

= 80%

3) Resposta “D”.Solução:Pcusto = 100,00

O Pcusto mais 25% do Pcusto = 100,00

Pc + 0,25Pc = 100,001,25Pc = 100,00

Pc =

4) Resposta “c”.Solução:X reais (preço de custo)

Lucro de 50%: x + 50% = x +50100

= 100x + 50100

= 10x + 510

= 2x +12 (dividimos por 10 e depois dividimos por 5).

Suponhamos que o preço de custo seja 1, então substituindo o x da equação acima, o preço de venda com 50% de lucro seria 1,50.

Se 1,50 é 100% X 20% fazemos esta regra de três para achar os 20%: 20.1,50 100 = 0,30Então no dia de promoção o valor será de 1,20. Isto é, 20% de lucro em cima do valor de custo. Alternativa C.

5) Resposta “B”.Solução: Se usarmos a fórmula do aumento sucessivo citada na matéria será:

V2 = V.(1 + 100

1p ).(1 – 100

2p ).

Substituindo V por um valor: 1, então no final dos dois aumentos esse valor será de 1,61=V2.

1,61 = 1.(1 + 15100

).(1 – 100

2p )

1,61 = (1 + 15100

).(1 – 100

2p ) (mmc de 100)

1,61 = (100115 ).(1 –

1002p )

1,61 = - 10000

)2100(115 P−

16100 = -11.500 + 115P2

115P2 = -11.500 + 16100P2 = 4600/115P2 = 40%


matemática

6) Resposta “e”.Solução:

SA = 1+ 80100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ . 1+

80100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .x = 1,8.1,8.x = 3,24x

7) Resposta “c”.Solução: Se usarmos a fórmula do desconto sucessivo citada na matéria será:

V2 = V.(1 - 100

1p ).(1 – 100

2p )

Substituindo V por um valor: 1, ficará:

V2 = 1.(1 - 20100

).(1 – 30100

)

V2 = ( 100 − 20100

).( 100 − 30100

)

V2 = ( 80100

).( 70100

)

V2 = 100005600

V2 = 56100

que é igual a 56%

100% - 56% = 44%

8) Resposta “a”.Solução:

1º ano = 12º ano = 0,70 – 30% (0,21)3º ano = 0,49 – 30% (0,147)4º ano = 0,343 – 30 % (0,1029)5º ano = 0,2401 – 30% (0,07203)6º ano = 0,16807 – 30% (0,050421)7º ano = 0,117649 – 30% (0,0352947)8º ano = 0,08235430,0823543 = (0,7)7V

9) Resposta “5%”.

Solução: Em 500 000 habitantes → 25 000 desempregados Em 100 000 habitantes → 5 000 desempregados Em 100 habitantes → 5 desempregados

5100

= 5%ou 25000500000

= 5100

= 5%

Portanto, 5% da população da cidade é desempregada.

10) Resposta “500 unidades”.Solução: 4% → 20 bolinhas. Então:20% → 100 bolinhas100% → 500 bolinhas


matemática

Ou, ainda, representando por x o total de bolinhas: 4% de x equivalem a 20.

Como 4% = 4100

= 0,004 , podemos escrever:

0,04 . x = 20 → x = 200,04

→ x = 500.

Logo, o total de bolinhas na piscina são 500 unidades.

Juros Simples

Toda vez que falamos em juros estamos nos referindo a uma quantia em dinheiro que deve ser paga por um devedor, pela utilização de dinheiro de um credor (aquele que empresta).

- Os juros são representados pela letra j.- O dinheiro que se deposita ou se empresta chamamos de capital e é representado pela letra C.- O tempo de depósito ou de empréstimo é representado pela letra t.- A taxa de juros é a razão centesimal que incide sobre um capital durante certo tempo. É representado pela letra i e utilizada para

calcular juros.

Chamamos de simples os juros que são somados ao capital inicial no final da aplicação.

Devemos sempre relacionar taxa e tempo numa mesma unidade:Taxa anual --------------------- tempo em anosTaxa mensal-------------------- tempo em mesesTaxa diária---------------------- tempo em dias

Consideremos, como exemplo, o seguinte problema:

Uma pessoa empresta a outra, a juros simples, a quantia de R$ 3. 000,00, pelo prazo de 4 meses, à taxa de 2% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros?

Resolução:

- Capital aplicado (c): R$ 3.000,00- Tempo de aplicação (t): 4 meses- Taxa (i): 2% ou 0,02 a.m. (= ao mês)

Fazendo o cálculo, mês a mês:- No final do 1º período (1 mês), os juros serão: 0,02 x R$ 3.000,00 = R$ 60,00- No final do 2º período (2 meses), os juros serão: R$ 60,00 + R$ 60,00 = R$ 120,00- No final do 3º período (3 meses), os juros serão: R$ 120,00 + R$ 60,00 = R$ 180,00- No final do 4º período (4 meses), os juros serão: R$ 180,00 + R$ 60,00 = R$ 240,00

Desse modo, no final da aplicação, deverão ser pagos R$ 240,00 de juros.

Fazendo o cálculo, período a período:- No final do 1º período, os juros serão: i.C- No final do 2º período, os juros serão: i.C + i.C- No final do 3º período, os juros serão: i.C + i.C + i.C------------------------------------------------------------------------ No final do período t, os juros serão: i.C + i.C + i.C + ... + i.CPortanto, temos:


matemática

J = c . i . t

Observações:

1) A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma unidade. 2) Nessa fórmula, a taxa i deve ser expressa na forma decimal.3) Chamamos de montante (M) a soma do capital com os juros, ou seja: Na fórmula J= C . i . t, temos quatro variáveis. Se três

delas forem valores conhecidos, podemos calcular o 4º valor.

M=C+ j

exemploA que taxa esteve empregado o capital de R$ 20.000,00 para render, em 3 anos, R$ 28.800,00 de juros? (Observação: Como o

tempo está em anos devemos ter uma taxa anual.)

C = R$ 20.000,00t = 3 anosj = R$ 28.800,00i = ? (ao ano)

j = C.i.t100

28 800 = 20000..i.3100

28 800 = 600 . i

i = 28.800600

i = 48

Resposta: 48% ao ano.

Juros Compostos

O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas modalidades, a saber: Juros simples - ao longo do tempo, somente o principal rende juros. Juros compostos - após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. Também

conhecido como “juros sobre juros”.Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros simples e juros compostos, com um exemplo:

Suponha que $100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.a. (ao ano) Teremos:

Observe que o crescimento do principal segundo juros simples é LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL, e, portanto tem um crescimento muito mais “rápido”. Isto poderia ser ilustrado graficamente da seguinte forma:


matemática

Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos.

Fórmula para o cálculo de Juros compostos

Considere o capital inicial (principal P) $1000,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos ( i ) de 10% (i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (principal + juros), mês a mês:

Após o 1º mês, teremos: M1 = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1 + 0,1)Após o 2º mês, teremos: M2 = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1 + 0,1)2

Após o 3º mês, teremos: M3 = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 0,1)3 ................................................................................................. Após o nº (enésimo) mês, sendo S o montante, teremos evidentemente: S = 1000(1 + 0,1)n

De uma forma genérica, teremos para um principal P, aplicado a uma taxa de juros compostos i durante o período n : S = P (1 + i)n onde S = montante, P = principal, i = taxa de juros e n = número de períodos que o principal P (capital inicial) foi aplicado. Nota: Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período (n), tem de ser necessariamente iguais.

Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês durante 3x12=36 meses.

exemplos

1 – Expresse o número de períodos n de uma aplicação, em função do montante S e da taxa de aplicação i por período.

Solução: Temos S = P(1+i)n

Logo, S/P = (1+i)n

Pelo que já conhecemos de logaritmos, poderemos escrever:n = log (1+ i ) (S/P) . Portanto, usando logaritmo decimal (base 10), vem:

n = log(S / P)log(1+ i)

= logS − logPlog(1+ i)

Temos também da expressão acima que: n.log(1 + i) = logS – logP

Deste exemplo, dá para perceber que o estudo dos juros compostos é uma aplicação prática do estudo dos logaritmos.2 – Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de quanto tempo este

capital estará duplicado?

Solução: Sabemos que S = P (1 + i)n. Quando o capital inicial estiver duplicado, teremos S = 2P. Substituindo, vem: 2P = P(1+0,02)n [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%]Simplificando, fica: 2 = 1,02n , que é uma equação exponencial simples.Teremos então: n = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 0,00860 = 35


matemática

Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser obtidos rapidamente em máquinas calculadoras científicas. Caso uma questão assim caia no vestibular, o examinador teria de informar os valores dos logaritmos necessários, ou então permitir o uso de calculadora na prova, o que não é comum no Brasil.

Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a taxa de juros do problema é mensal), o que equivale a 2 anos e 11 meses.

Resposta: 2 anos e 11 meses.

Exercícios

1. Uma Loja de eletrodomésticos apresenta a seguinte oferta para a venda de um DVD player:

À vista R$ 539,00 ou12x 63,60 = R$ 763,20.

De quanto será o acréscimo sobre o preço à vista se o produto for comprado em 12 vezes?

2. calcule o juros simples gerado por um capital de R$ 2 500,00, quando aplicado durante 8 meses a uma taxa de 3,5% a.m.

3. Uma aplicação financeira, feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês, rendeu R$ 1 920,00 de juro. Qual foi a quantia aplicada?

4. Um capital de $ 4.000,00 foi aplicado durante 3 meses, à juros simples, à taxa de 18% a.a. Pede-se: a) Jurosb) Montante.

5. calcular o juro simples referente a um capital de $ 2.400,00 nas seguintes condições:

taxa de Juros Prazoa) 21% a.a. 1 anob) 21% a.a. 3 anos

6. Qual o montante de uma aplicação de $16.000,00, a juros compostos, pelo prazo de 4 meses, à taxa de 2,5% a.m.?

7. calcule o montante e os juros da aplicação abaixo, considerando o regime de juros compostos:capital taxa de Juros Prazo de antecipação

R$ 20.000,00 3,0% a.m. 7 meses

8. O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos?

9. Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62?

10. calcular o montante gerado a partir de R$ 1.500,00, quando aplicado à taxa de 60% ao ano com capitalização mensal, durante 1 ano.

Respostas

1) Resposta “R$ 224,20”.

Solução: Basta apenas tirar o valor à prazo sobre o à vista:R$ 763,20 – R$ 539,00 = R$ 224,20.


matemática

2) Resposta “R$ 700,00”.

Solução: Dados:Capital (quantia aplicada): R$ 2 500,00Taxa de juros: 3,5 a.m.Tempo de aplicação: 8 mesesJuro: ?

Representando o juro por x, podemos ter:

x = (3,5% de 2 500) . 8x = (0,035 . 2 500) . 8x = 700

Conclui-se que o juro é de R$ 700,00.

3) Resposta “R$ 32 000,00”.

Solução: Dados:Capital (quantia plicada) ?Taxa de juro: 3% a.m.Tempo de aplicação: 2 mesesJuro: R$ 1 920,00Calculando a quantia que a aplicação rendeu juro ao mês:

1 920 2 = 960

Representando o capital aplicado por x, temos:

3% de x dá 9600,03 . x = 9600,03x = 960

x =

Logo, o capital aplicado foi de R$ 32 000,00.

4) Resposta “Juros: R$ 180,00; Montante R$ 4 180,00”.

Solução:

a → J = CinJ = 4000 {[(18/100)/12]x3}J = 4000 {[0,18/12]x3}J = 4000 {0,015 x 3}J = 4000 x 0,045J = 180,00

B → M = C + JM = 4000 + 180M = 4.180,00


matemática

5) Resposta “ R$ 504,00; R$ 1 512,00 ”

Solução: a → J = CinJ = 2400 [(21/100)x1]J = 2400 [0,21 x 1]J = 2400 x 0,21J = 504,00

b → J = Cin J = 2400 [(21/100)x3]J = 2400 [0,21x3]J = 2400 0,63J = 1.512,00

6) Resposta “17 661,01”.

Solução: Dados:C: 16000i: 2,5% a.m.n: 4 meses.

M = C 1+ i( )n

M =16000 1+ 2,5100( )⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

4 → M =16000 1+0,025[ ]4 →

M =16000 1,025[ ]4 →

M =16000 x 1,103812891 → M = 17.661,01

7) Resposta “24 597,48”.

Solução: Dados:C: 20000i: 3,0% a.m.n: 7 meses.

M = C 1+ i( )n

M = 20000 1+ 3100( )⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

7 → M = 20000 1+0,03[ ]7 →

M = 20000 1,03[ ]7 → M = 20000 x 1,229873685 →

M = 24.597,48

8) Resposta “R$ 238,73”.

Solução: Dados:C = R$ 500i = 5% = 0,05n = 8 (as capitalizações são mensais)M = C . (1 + i)n => M = 500 × (1,05)8 => M = R$ 738,73O valor dos juros será:J = 738,73 – 500J = R$ 238,73


MATEMÁTICA

9) Resposta “ R$ 400,00”.Solução: M = R$ 477,62i = 3% = 0,03n = 6 (as capitalizações são trimestrais)M = C × (1 + i)n 477,62 = C × (1,03)6

C = 477,621,19405

C = R$ 400,00.

10) Resposta “R$ 2.693,78”.Solução:Observamos que 60% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é mensal. A taxa efetiva é, portanto, 60% 12 = 5% ao mês.C = R$ 1.500i = 5% = 0,05n = 12M = C . (1 + i)n M = 1.500 × (1,05)12 M = 1.500 × 1,79586M = R$ 2.693,78

RAZÕES E PROPORÇÕES.

Razão

Sejam dois números reais a e b, com b ≠ 0. Chama-se razão entre a e b (nessa ordem) o quociente a b, ou .

A razão é representada por um número racional, mas é lida de modo diferente.

exemplos

a) A fração 53 lê-se: “três quintos”.

b) A razão 53 lê-se: “3 para 5”.

Os termos da razão recebem nomes especiais.

O número 3 é numerador

a) Na fração 53

O número 5 é denominador

O número 3 é antecedente

a) Na razão 53

O número 5 é consequente


matemática

exemplo 1

A razão entre 20 e 50 é 2050

= 25

; já a razão entre 50 e 20 é 5020

= 52

.

exemplo 2

Numa classe de 42 alunos há 18 rapazes e 24 moças. A razão entre o número de rapazes e o número de moças é 1824

= 34

, o que significa que para “cada 3 rapazes há 4 moças”. Por outro lado, a razão entre o número de rapazes e o total de alunos é dada por 1842 = 3

7, o que equivale a dizer que “de cada 7 alunos na classe, 3 são rapazes”.

Razão entre grandezas de mesma espécie

A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade.

exemplo

Uma sala tem 18 m2. Um tapete que ocupar o centro dessa sala mede 384 dm2. Vamos calcular a razão entre a área do tapete e a área da sala.

Primeiro, devemos transformar as duas grandezas em uma mesma unidade:Área da sala: 18 m2 = 1 800 dm2

Área do tapete: 384 dm2

Estando as duas áreas na mesma unidade, podemos escrever a razão:

384dm2

1800dm2 =3841800

= 1675

Razão entre grandezas de espécies diferentes

exemplo 1

Considere um carro que às 9 horas passa pelo quilômetro 30 de uma estrada e, às 11 horas, pelo quilômetro 170.

Distância percorrida: 170 km – 30 km = 140 kmTempo gasto: 11h – 9h = 2h

Calculamos a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para isso:

140km2h

= 70km / h

A esse tipo de razão dá-se o nome de velocidade média.

Observe que: - as grandezas “quilômetro e hora” são de naturezas diferentes;- a notação km/h (lê-se: “quilômetros por hora”) deve acompanhar a razão.

exemplo 2

A Região Sudeste (Espírito Santo, Minas Gerais, Rio de Janeiro e São Paulo) tem uma área aproximada de 927 286 km2 e uma população de 66 288 000 habitantes, aproximadamente, segundo estimativas projetadas pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) para o ano de 1995.


matemática

Dividindo-se o número de habitantes pela área, obteremos o número de habitantes por km2 (hab./km2):

6628000927286

≅ 71,5hab. / km2

A esse tipo de razão dá-se o nome de densidade demográfica.

A notação hab./km2 (lê-se: ”habitantes por quilômetro quadrado”) deve acompanhar a razão.

exemplo 3

Um carro percorreu, na cidade, 83,76 km com 8 L de gasolina. Dividindo-se o número de quilômetros percorridos pelo número de litros de combustível consumidos, teremos o número de quilômetros que esse carro percorre com um litro de gasolina:

83,76km8l

≅ 10,47km / l

A esse tipo de razão dá-se o nome de consumo médio.A notação km/l (lê-se: “quilômetro por litro”) deve acompanhar a razão.

exemplo 4Uma sala tem 8 m de comprimento. Esse comprimento é representado num desenho por 20 cm. Qual é a escala do desenho?

Escala = comprimento i no i desenhocomprimento i real

= 20cm8m

= 20cm800cm

= 140ou1: 40

A razão entre um comprimento no desenho e o correspondente comprimento real, chama-se escala.

Proporção

A igualdade entre duas razões recebe o nome de proporção.Na proporção 35 = 6

10 (lê-se: “3 está para 5 assim como 6 está para 10”), os números 3 e 10 são chamados extremos, e os números 5 e 6 são chamados meios.

Observemos que o produto 3 x 10 = 30 é igual ao produto 5 x 6 = 30, o que caracteriza a propriedade fundamental das proporções:

“em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”.

exemplo 1

Na proporção 96

32= , temos 2 x 9 = 3 x 6 = 18;

e em 14= 416

, temos 4 x 4 = 1 x 16 = 16.

exemplo 2

Na bula de um remédio pediátrico recomenda-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg do “peso” da criança.

Se uma criança tem 12 kg, a dosagem correta x é dada por:

5gotas2kg

= x12kg

→ x = 30gotas

Por outro lado, se soubermos que foram corretamente ministradas 20 gotas a uma criança, podemos concluir que seu “peso” é 8 kg, pois:


matemática

5gotas2kg

= 20gotas / p→ p = 8kg

(nota: o procedimento utilizado nesse exemplo é comumente chamado de regra de três simples.)

Propriedades da ProporçãoO produto dos extremos é igual ao produto dos meios: essa propriedade possibilita reconhecer quando duas razões formam ou

não uma proporção.43e129 formam uma proporção, pois

Produtos dos extremos ← 4.936 = 3.12

36→ Produtos dos meios.

A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo) assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo).

52= 104⇒ 5 + 2

5⎧⎨⎩

= 10 + 410

⇒ 75= 1410

ou

52= 104⇒ 5 + 2

2⎧⎨⎩

= 10 + 44

⇒ 72= 144

A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo) assim como a diferença entre os dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo).

82

41

868

434

68

34

=⇒−

= −

⇒=

ou

62

31

668

334

68

34

=⇒−

= −

⇒=

A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como cada antecedente está para o seu consequente.

128

= 32⇒ 12 + 3

8 + 2⎧⎨⎩

= 128⇒ 1510

= 128

ou

128

= 32⇒ 12 + 3

8 + 2⎧⎨⎩

= 32⇒ 1510

= 32

A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes assim como cada antecedente está para o seu consequente.

315

= 15⇒ 3−1

15 − 5⎧⎨⎩

= 315

⇒ 210

= 315

ou

315

= 15⇒ 3−1

15 − 5⎧⎨⎩

= 15⇒ 210

= 15


matemática

Exercícios

1. Em um mapa verifica-se que a escala é 1 : 22 000 000. Duas cidades estão distantes de São Paulo, respectivamente, 4 e 6 cm. Se fosse feita uma estrada ligando as três cidades, qual seria o mínimo de extensão que ela teria?

2. Em um mapa, a distância em linha reta entre Brasília e Palmas, no Tocantins é de 10 cm. Sabendo que a distância real entre as duas cidades é de 700 km, qual a escala utilizada na confecção do mapa?

3. Uma estátua de bronze tem 140 kg de massa e seu volume é de 16 dm³. Qual é a sua densidade?

4. Um trem percorreu 453 km em 6 horas. Qual a velocidade média do trem nesse percurso?

5. O estado de Tocantins ocupada uma área aproximada de 278 500 km². De acordo com o Censo/2000 o Tocantins tinha uma população de aproximadamente 1 156 000 habitantes. Qual é a densidade demográfica do estado de Tocantins?

6. A diferença entre a idade de Ângela e a idade de Vera é 12 anos. Sabendo-se que suas idades estão uma para a outra assim como

25 , determine a idade de cada uma.

7. Um segmento de 78 cm de comprimento é dividido em duas partes na razão de 49

. Determine o comprimento de cada uma das partes.

8. Sabe-se que as casas do braço de um violão diminuem de largura seguindo uma mesma proporção. Se a primeira casa do braço de um violão tem 4 cm de largura e a segunda casa, 3 cm, calcule a largura da quarta casa.

9. Água e tinta estão misturadas na razão de 9 para 5. Sabendo-se que há 81 litros de água na mistura, o volume total em litros é de:

a) 45b) 81c) 85d) 181e) 126

10. A diferença entre dois números é 65. Sabe-se que o primeiro está para 9 assim como o segundo está para 4. Calcule esses números.

Respostas

1) Resposta “1320 km”.Solução: 1cm (no mapa) = 22.000.000cm (na realidade)

*SP ---------------------- cidade A ------------------------ cidade B 4cm 6cm

O mínimo de extensão será a da cidade mais longe (6cm)22.000.000 x 6 = 132.000.000 cm = 1320 km.

Logo, o mínimo de extensão que ela teria corresponde à 1320 km.

2) Resposta “1: 7 000 000”.Solução: Dados:Comprimento do desenho: 10 cmComprimento no real: 700 km = (700 . 100 000) cm = 70 000 000 cm


matemática

Escala = comprimentododesenhocomprimentoreal

= 1070000000

= 17000000

ou1: 7000000

A escala de 1: 7 000 000 significa que:- 1 cm no desenho corresponde a 7 000 000 cm no real;- 1 cm no desenho corresponde a 70 000 m no real;- 1 cm no desenho corresponde a 70 km no real.

3) Resposta “8,75 kg/dm³”.Solução: De acordo com os dados do problema, temos:

densidade = 140kg16dm3 = 8,75kg / dm

3

Logo, a densidade da estátua é de 8,75 kg/dm³, que lemos como: 8,75 quilogramas por decímetro cúbico.

4) Resposta “75,5 km/h”.

Solução: De acordo com que o enunciado nos oferece, temos:

velocidademédia = 453km6h

= 75,5km / h

Logo, a velocidade média do trem, nesse percurso, foi de 75,5 km/h, que lemos: 75,5 quilômetros por hora.

5) Resposta “4,15 hab./km²

Solução: O problema nos oferece os seguintes dados:

Densidadedemográfica = 1156000hab.278500km2 = 4,15hab. / km2

6) Resposta “Ângela 20; Vera 8”.

Solução:A – V = 12 anosA = 12 + VAV

= 52→ 12 +V

V= 52

2 (12+V) = 5V24 + 2V = 5V5V – 2V = 243V = 24V = 24

3V (Vera) = 8A – 8 = 12A = 12 + 8A (Ângela) = 20

7) Resposta “24 cm; 54 cm”.

Solução:x + y = 78 cmx = 78 - y


matemática

xy= 49→ 78 − y

y= 49

9 (78 - y) = 4y702 – 9y = 4y702 = 4y + 9y13y = 702y = 702

13y = 54cm

x + 54 = 78x = 78 - 54x = 24 cm

8) Resposta “ 2716

cm ”.

Solução: Caso a proporção entre a 2ª e a 1ª casa se mantenha constante nas demais, é só determinar qual é esta proporção existente entre elas: no caso, = 0,75, ou seja, a largura da 2ª casa é 75% a largura da 1ª; Portanto a largura da 3ª casa é (3 . 0,75) = 2,25 cm.

Logo, a largura da 4ª casa é de (2,25 . 0,75) = 1,69 cm.

Portanto a sequência seria: (4...3... ... ...) e assim por diante. Onde a razão de proporção é ... e pode ser representada pela expressão:Ti . P elevado à (n - 1)

Onde:Ti = termo inicial, neste caso: 4P = proporção entre Ti e o seguinte (razão), neste caso: n = número sequencial do termo que se busca, neste caso: 4

Teremos:

(Ti = 4; P = ; n – 1 = 3)

4 . =

9) Resposta “e”.Solução:A = 81 litrosAT= 95→ 81

T= 95

9T = 405T =

T = 45A + T = ?81 + 45 = 126 litros

10) Resposta “117 e 52”.Solução:x – y = 65


MATEMÁTICA

x = 65 + y

xy= 94→ 65 + y

y= 94

9y = 4 (65 + y)9y = 260 + 4y9y – 4y = 2605y = 260y =

y = 52

x – 52 = 65x = 65 + 52x = 117

MEDIDAS DE TEMPO.

Sistema de Medidas Decimais

Um sistema de medidas é um conjunto de unidades de medida que mantém algumas relações entre si. O sistema métrico decimal é hoje o mais conhecido e usado no mundo todo. Na tabela seguinte, listamos as unidades de medida de comprimento do sistema métrico. A unidade fundamental é o metro, porque dele derivam as demais.

Unidades de comprimentokm hm dam m dm cm mm

quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Há, de fato, unidades quase sem uso prático, mas elas têm uma função. Servem para que o sistema tenha um padrão: cada unidade vale sempre 10 vezes a unidade menor seguinte.

Por isso, o sistema é chamado decimal.

E há mais um detalhe: embora o decímetro não seja útil na prática, o decímetro cúbico é muito usado com o nome popular de litro.

As unidades de área do sistema métrico correspondem às unidades de comprimento da tabela anterior. São elas: quilômetro quadrado (km2), hectômetro quadrado (hm2), etc. As mais usadas, na prática, são o quilômetro quadrado,

o metro quadrado e o hectômetro quadrado, este muito importante nas atividades rurais com o nome de hectare (ha): 1 hm2 = 1 ha.No caso das unidades de área, o padrão muda: uma unidade é 100 vezes a menor seguinte e não 10 vezes, como nos comprimentos.

Entretanto, consideramos que o sistema continua decimal, porque 100 = 102.

Unidades de áreakm2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

quilômetroquadrado

hectômetroquadrado

decâmetroquadrado

metroquadrado

decímetroquadrado

centímetroquadrado

milímetroquadrado

1000000m2 10000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2


matemática

Agora, vejamos as unidades de volume. De novo, temos a lista: quilômetro cúbico (km3), hectômetro cúbico (hm3), etc. Na prática, são muitos usados o metro cúbico e o centímetro cúbico.

Nas unidades de volume, há um novo padrão: cada unidade vale 1000 vezes a unidade menor seguinte. Como 1000 = 103, o sistema continua sendo decimal.

Unidades de Volumekm3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

quilômetrocúbico

hectômetrocúbico

decâmetrocúbico

metrocúbico

decímetrocúbico

centímetrocúbico

milímetrocúbico

1000000000m3 1000000m3 1000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001m3

A noção de capacidade relaciona-se com a de volume. Se o volume da água que enche um tanque é de 7 000 litros, dizemos que essa é a capacidade do tanque. A unidade fundamental para medir capacidade é o litro (l); 1l equivale a 1 dm3.

Cada unidade vale 10 vezes a unidade menor seguinte.

Unidades de capacidadekl hl dal l dl cl ml

quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centímetro mililitro1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l

O sistema métrico decimal inclui ainda unidades de medidas de massa. A unidade fundamental é o grama.

Unidades de Massa

kg hg dag g dg cg mgquilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama

1000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g

Dessas unidades, só têm uso prático o quilograma, o grama e o miligrama. No dia-a-dia, usa-se ainda a tonelada (t): 1t = 1000 kg.

Não Decimais

Desse grupo, o sistema hora – minuto – segundo, que mede intervalos de tempo, é o mais conhecido.

2h = 2 . 60min = 120 min = 120 . 60s = 7 200s

Para passar de uma unidade para a menor seguinte, multiplica-se por 60.0,3h não indica 30 minutos nem 3 minutos; como 1 décimo de hora corresponde a 6 minutos, conclui-se que 0,3h = 18min.

Para medir ângulos, também temos um sistema não decimal. Nesse caso, a unidade básica é o grau. Na astronomia, na cartografia e na navegação são necessárias medidas inferiores a 1º. Temos, então:

1 grau equivale a 60 minutos (1º = 60’)1 minuto equivale a 60 segundos (1’ = 60”)

Os minutos e os segundos dos ângulos não são, é claro, os mesmos do sistema hora – minuto – segundo. Há uma coincidência de nomes, mas até os símbolos que os indicam são diferentes:

1h32min24s é um intervalo de tempo ou um instante do dia.1º 32’ 24” é a medida de um ângulo.

Por motivos óbvios, cálculos no sistema hora – minuto – segundo são similares a cálculos no sistema grau – minuto – segundo, embora esses sistemas correspondam a grandezas distintas.


matemática

Há ainda um sistema não-decimal, criado há algumas décadas, que vem se tornando conhecido. Ele é usado para medir a informação armazenada em memória de computadores, disquetes, discos compacto, etc. As unidades de medida são bytes (b), kilobytes (kb), megabytes (Mb), etc. Apesar de se usarem os prefixos “kilo” e “mega”, essas unidades não formam um sistema decimal.

Um kilobyte equivale a 210 bytes e 1 megabyte equivale a 210 kilobytes.

Exercícios

1. Raquel saiu de casa às 13h 45min, caminhando até o curso de inglês que fica a 15 minutos de sua casa, e chegou na hora da aula cuja duração é de uma hora e meia. A que horas terminará a aula de inglês?

a) 14hb) 14h 30minc) 15h 15mind) 15h 30mine) 15h 45min

2. 348 mm3 equivalem a quantos decilitros?

3. Quantos decalitros equivalem a 1 m3?

4. Passe 50 dm2 para hectômetros quadrados.

5. Quantos quilômetros cúbicos equivalem a 14 mm3?

6. Quantos centilitros equivalem a 15 hl?

7. Passe 5.200 gramas para quilogramas.

8. converta 2,5 metros em centímetros.

9. Quantos minutos equivalem a 5h05min?

10. Quantos minutos se passaram das 9h50min até as 10h35min?

Respostas

1) Resposta “D”.Solução: Basta somarmos todos os valores mencionados no enunciado do teste, ou seja:13h 45min + 15 min + 1h 30 min = 15h 30min

Logo, a questão correta é a letra D.

2) Resposta “0, 00348 dl”.Solução: Como 1 cm3 equivale a 1 ml, é melhor dividirmos 348 mm3 por mil, para obtermos o seu equivalente em centímetros

cúbicos: 0,348 cm3. Logo 348 mm3 equivalem a 0, 348 ml, já que cm3 e ml se equivalem.

Neste ponto já convertemos de uma unidade de medida de volume, para uma unidade de medida de capacidade.Falta-nos passarmos de mililitros para decilitros, quando então passaremos dois níveis à esquerda. Dividiremos então por 10

duas vezes:

0,348 :10 :10 0,00348ml dl⇒

Logo, 348 mm³ equivalem a 0, 00348 dl.


matemática

3) Resposta “100 dal”.Solução: Sabemos que 1 m3 equivale a 1.000 l, portanto para convertermos de litros a decalitros, passaremos um nível à esquerda.Dividiremos então 1.000 por 10 apenas uma vez:

1000 :10l dal⇒

Isto equivale a passar a vírgula uma casa para a esquerda.Poderíamos também raciocinar da seguinte forma:

Como 1 m3 equivale a 1 kl, basta fazermos a conversão de 1 kl para decalitros, quando então passaremos dois níveis à direita. Multiplicaremos então 1 por 10 duas vezes:

1 .10.10 100kl dal⇒

Logo, 100 dal equivalem a 1 m³.

4) Resposta “0, 00005 hm²”.Solução: Para passarmos de decímetros quadrados para hectômetros quadrados, passaremos três níveis à esquerda. Dividiremos então por 100 três vezes:

2 250 :100 :100 :100 0,00005dm hm⇒

Isto equivale a passar a vírgula seis casas para a esquerda.

Portanto, 50 dm² é igual a 0, 00005 hm².

5) Resposta“0,000000000000000014 km3, ou a 1,4 x 10-17 km3”. Solução: Para passarmos de milímetros cúbicos para quilômetros cúbicos, passaremos seis níveis à esquerda. Dividiremos então

14 por 1000 seis vezes:

3

18 3 18

17 3 3

14 :1000 :1000 :1000 :1000 :1000 :100014 :10 14.101,4.10 0.000000000000000

mmkm kmkm km

−

−

⇒ ⇒

⇒ ⇒

Portanto, 0, 000000000000000014 km3, ou a 1,4 x 10-17 km3 se expresso em notação científica equivalem a 14 mm3.

6) Resposta “150.000 cl”.Solução: Para irmos de hectolitros a centilitros, passaremos quatro níveis à direita.Multiplicaremos então 15 por 10 quatro vezes:

15 .10.10.10.10 150.000hl cl⇒

Isto equivale a passar a vírgula quatro casas para a direita.

Logo, 150.000 cl equivalem a 15 hl.

7) Resposta “5,2 kg”.Solução: Para passarmos 5.200 gramas para quilogramas, devemos dividir (porque na tabela grama está à direita de quilogra-

ma) 5.200 por 10 três vezes, pois para passarmos de gramas para quilogramas saltamos três níveis à esquerda.Primeiro passamos de grama para decagrama, depois de decagrama para hectograma e finalmente de hectograma para quilogra-

ma:

5200 :10 :10 :10 5,2g kg⇒

Isto equivale a passar a vírgula três casas para a esquerda.Portanto, 5.200 g são iguais a 5,2 kg.


MATEMÁTICA

8) Resposta “250 cm”.Solução: Para convertermos 2,5 metros em centímetros, devemos multiplicar (porque na tabela metro está à esquerda de centí-

metro) 2,5 por 10 duas vezes, pois para passarmos de metros para centímetros saltamos dois níveis à direita.Primeiro passamos de metros para decímetros e depois de decímetros para centímetros:

2,5 .10.10 250m cm⇒

Isto equivale a passar a vírgula duas casas para a direita.

Logo, 2,5 m é igual a 250 cm.

9) Resposta “305min”.Solução: (5 . 60) + 5 = 305 min.

10) Resposta “45 min”.Solução: 45 min

EQUAÇÕES DE PRIMEIRO E SEGUNDO GRAUS; SISTEMAS DE EQUAÇÕES.

equação do 1º Grau

Veja estas equações, nas quais há apenas uma incógnita:3x – 2 = 16 (equação de 1º grau)

2y3 – 5y = 11 (equação de 3º grau)

1 – 3x + 25

= x + 12

(equação de 1º grau)

O método que usamos para resolver a equação de 1º grau é isolando a incógnita, isto é, deixar a incógnita sozinha em um dos lados da igualdade. Para conseguir isso, há dois recursos:

- inverter operações;- efetuar a mesma operação nos dois lados da igualdade.

exemplo 1Resolução da equação 3x – 2 = 16, invertendo operações.

Procedimento e justifi cativa: Se 3x – 2 dá 16, conclui-se que 3x dá 16 + 2, isto é, 18 (invertemos a subtração). Se 3x é igual a 18, é claro que x é igual a 18 : 3, ou seja, 6 (invertemos a multiplicação por 3).

Registro

3x – 2 = 16 3x = 16 + 2 3x = 18 x = 18

3

x = 6

exemplo 2

Resolução da equação 1 – 3x + 25 = x + 1

2, efetuando a mesma operação nos dois lados da igualdade.


matemática

Procedimento e justificativa: Multiplicamos os dois lados da equação por mmc (2;5) = 10. Dessa forma, são eliminados os denominadores. Fazemos as simplificações e os cálculos necessários e isolamos x, sempre efetuando a mesma operação nos dois lados da igualdade. No registro, as operações feitas nos dois lados da igualdade são indicadas com as setas curvas verticais.

Registro1 – 3x + 2/5 = x + 1 /210 – 30x + 4 = 10x + 5-30x - 10x = 5 - 10 - 4-40x = +9(-1)40x = 9x = 9/40x = 0,225

Há também um processo prático, bastante usado, que se baseia nessas ideias e na percepção de um padrão visual.- Se a + b = c, conclui-se que a = c + b.

Na primeira igualdade, a parcela b aparece somando no lado esquerdo; na segunda, a parcela b aparece subtraindo no lado direito da igualdade.

- Se a . b = c, conclui-se que a = c + b, desde que b ≠ 0.Na primeira igualdade, o número b aparece multiplicando no lado esquerdo; na segunda, ele aparece dividindo no lado direito

da igualdade.O processo prático pode ser formulado assim: - Para isolar a incógnita, coloque todos os termos com incógnita de um lado da igualdade e os demais termos do outro lado.- Sempre que mudar um termo de lado, inverta a operação.

exemplo

Resolução da equação 5(x+2) 2 = (x+2) . (x-3)

3 - x2

3, usando o processo prático.

Procedimento e justificativa: Iniciamos da forma habitual, multiplicando os dois lados pelo mmc (2;3) = 6. A seguir, passamos a efetuar os cálculos indicados. Neste ponto, passamos a usar o processo prático, colocando termos com a incógnita à esquerda e números à direita, invertendo operações.

Registro

5(x+2) 2

- (x+2) . (x-3) 3 = x

2

3

6. 5(x+2) 2

- 6. (x+2) . (x-3) 3

= 6. x2

3

15(x + 2) – 2(x + 2)(x – 3) = – 2x2

15x + 30 – 2(x2 – 3x + 2x – 6) = – 2x2

15x + 30 – 2(x2 – x – 6) = – 2x2

15x + 30 – 2x2 + 2x + 12 = – 2x2

17x – 2x2 + 42 = – 2x2

17x – 2x2 + 2x2 = – 4217x = – 42

x = - 4217

Note que, de início, essa última equação aparentava ser de 2º grau por causa do termo - x2

3 no seu lado direito. Entretanto, depois

das simplificações, vimos que foi reduzida a uma equação de 1º grau (17x = – 42).


matemática

exercícios

1. Resolva a seguinte equação: x - 1 2 - x + 3

4 = 2x - x - 4

3

2. Resolva:

3. Calcule:a) -3x – 5 = 25

b) 2x - 1 2

= 3

c) 3x + 24 = -5x

4. Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?

5. Determine um número real “a” para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.

6. Determine o valor da incógnita x:a) 2x – 8 = 10b) 3 – 7.(1-2x) = 5 – (x+9)

7. Verifique se três é raiz de 5x – 3 = 2x + 6.

8. Verifique se -2 é raiz de x² – 3x = x – 6.

9. Quando o número x na equação ( k – 3 ).x + ( 2k – 5 ).4 + 4k = 0 vale 3, qual será o valor de K?

10. Resolva as equações a seguir:a)18x - 43 = 65b) 23x - 16 = 14 - 17xc) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20

Respostas

1) Resposta “ x = -31 17 ”

Solução:

x - 1 2

- x + 3 4 = 2x - x - 4

3

6(x - 1) - 3(x + 3) = 24x - 4(x - 4) 12

6x – 6 – 3x – 9 = 24x – 4x + 166x – 3x – 24x + 4x = 16 + 9 + 610 x – 27x = 31(-1) - 17x = 31x = -31

17


matemática

2) Resposta “ ”

Solução:

3) Solução:

a) -3x – 5 = 25-3x = 25 + 5(-1) -3x = 303x = -30x = - 30

3 = -10

b) 2x - 1 2

= 3

2(2x) - 1 = 6 24x – 1 = 64x = 6 + 14x = 7

x = 7 4

c) 3x + 24 = -5x3x + 5x = -248x = -24

x = - 24 8

= -3

4) Resposta “130; 131 e 132”.Solução:x + (x + 1) + (x + 2) = 3933x + 3 = 3933x = 390x = 130Então, os números procurados são: 130, 131 e 132.

5) Resposta “22”.Solução: (3a + 6) / 8 = (2a + 10) / 66 (3a + 6) = 8 (2a + 10)18a + 36 = 16a + 802a = 44a = 44/2 = 22


matemática

6) Solução:a) 2x – 8 = 102x = 10 + 82x = 18x = 9 → V = {9}b) 3 – 7.(1-2x) = 5 – (x+9)3 –7 + 14x = 5 – x – 914x + x = 5 – 9 – 3 + 715x= 0x = 0 → V= {0}

7) Resposta “Verdadeira”.Solução: 5x – 3 = 2x + 65.3 – 3 = 2.3 + 615 – 3 = 6 + 612 = 12 → verdadeiraEntão 3 é raiz de 5x – 3 = 2x + 6

8) Resposta “errada”.Solução:x2 – 3x = x – 6(-2)2 – 3. (-2) = - 2 - 64 + 6 = - 2 – 610 = -8Então, -2 não é raiz de x2 – 3x = x – 6

9) Resposta “ k = 29 15 ”

Solução:(k – 3).3 + (2k – 5).4 + 4k = 03k – 9 + 8k – 20 + 4k = 03k + 8k + 4k = 9 + 2015k = 29k = 29

15

10) Respostaa) 18x = 65 + 4318x = 108x = 108/18x = 6

b) 23x = 14 - 17x + 1623x + 17x = 3040x = 30x = 30/40 = ¾

c) 10y - 5 - 5y = 6y - 6 -205y - 6y = -26 + 5-y = -21y = 21


matemática

equação do 2º Grau

Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x toda equação da forma ax2 + bx + c = 0, em que a, b, c são números reais e a ≠ 0.Nas equações de 2º grau com uma incógnita, os números reais expressos por a, b, c são chamados coeficientes da equação:- a é sempre o coeficiente do termo em x2.- b é sempre o coeficiente do termo em x.- c é sempre o coeficiente ou termo independente.Equação completa e incompleta:- Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau se diz completa.

exemplos5x2 – 8x + 3 = 0 é uma equação completa (a = 5, b = – 8, c = 3).y2 + 12y + 20 = 0 é uma equação completa (a = 1, b = 12, c = 20).- Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do 2º grau se diz incompleta.

exemplosx2 – 81 = 0 é uma equação incompleta (a = 1, b = 0 e c = – 81).10t2 +2t = 0 é uma equação incompleta (a = 10, b = 2 e c = 0).5y2 = 0 é uma equação incompleta (a = 5, b = 0 e c = 0).

Todas essas equações estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau com uma incógnita.

Há, porém, algumas equações do 2º grau que não estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0; por meio de transformações convenientes, em que aplicamos o princípio aditivo e o multiplicativo, podemos reduzi-las a essa forma.

exemplo: Pelo princípio aditivo.

2x2 – 7x + 4 = 1 – x2

2x2 – 7x + 4 – 1 + x2 = 02x2 + x2 – 7x + 4 – 1 = 03x2 – 7x + 3 = 0

exemplo: Pelo princípio multiplicativo.

2x

- 12

= xx - 4

4.(x - 4) - x(x - 4) 2x(x - 4) = 2x2

2x(x - 4)

4(x – 4) – x(x – 4) = 2x2

4x – 16 – x2 + 4x = 2x2

– x2 + 8x – 16 = 2x2

– x2 – 2x2 + 8x – 16 = 0– 3x2 + 8x – 16 = 0

Resolução das equações incompletas do 2º grau com uma incógnita.- A equação é da forma ax2 + bx = 0.x2 + 9 = 0 ⇒ colocamos x em evidênciax . (x – 9) = 0x = 0 ou x – 9 = 0 x = 9Logo, S = {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equação.


matemática

- A equação é da forma ax2 + c = 0.

x2 – 16 = 0 ⇒ Fatoramos o primeiro membro, que é uma diferença de dois quadrados.(x + 4) . (x – 4) = 0 x + 4 = 0 x – 4 = 0x = – 4 x = 4Logo, S = {–4, 4}.

Fórmula de BhaskaraUsando o processo de Bhaskara e partindo da equação escrita na sua forma normal, foi possível chegar a uma fórmula que vai

nos permitir determinar o conjunto solução de qualquer equação do 2º grau de maneira mais simples.

Essa fórmula é chamada fórmula resolutiva ou fórmula de Bhaskara.

x =-b +- √Δ2.a

Nesta fórmula, o fato de x ser ou não número real vai depender do discriminante r; temos então, três casos a estudar.

1º caso: Δ é um número real positivo ( Δ > 0).Neste caso, √Δ é um número real, e existem dois valores reais diferentes para a incógnita x, sendo costume representar esses

valores por x’ e x”, que constituem as raízes da equação.

x =-b +- √Δ2.a x’ = -b +√Δ

2.a

x’’ =-b - √Δ2.a

2º caso: Δ é zero ( Δ = 0).

Neste caso, √Δ é igual a zero e ocorre:

x =-b +- √Δ2.a = x =-b +- √0

2.a = -b+- √02.a =

-b 2a

Observamos, então, a existência de um único valor real para a incógnita x, embora seja costume dizer que a equação tem duas raízes reais e iguais, ou seja:

x’ = x” = -b 2a

3º caso: Δ é um número real negativo ( Δ < 0).

Neste caso, √Δ não é um número real, pois não há no conjunto dos números reais a raiz quadrada de um número negativo. Dizemos então, que não há valores reais para a incógnita x, ou seja, a equação não tem raízes reais.

A existência ou não de raízes reais e o fato de elas serem duas ou uma única dependem, exclusivamente, do discriminante Δ= b2 – 4.a.c; daí o nome que se dá a essa expressão.

Na equação ax2 + bx + c = 0- Δ = b2 – 4.a.c- Quando Δ ≥ 0, a equação tem raízes reais.- Quando Δ < 0, a equação não tem raízes reais.- Δ > 0 (duas raízes diferentes).- Δ = 0 (uma única raiz).


matemática

exemplo: Resolver a equação x2 + 2x – 8 = 0 no conjunto R.temos: a = 1, b = 2 e c = – 8Δ= b2 – 4.a.c = (2)2 – 4 . (1) . (–8) = 4 + 32 = 36 > 0

Como Δ > 0, a equação tem duas raízes reais diferentes, dadas por:

x =-b +- √Δ2.a

= -(2)+- √36

2.(1) = -2

+- 62

x’ = -2 + 62 = 4

2 = 2 x” = -2

- 62 = -8

2 = -4

Então: S = {-4, 2}.

exercícios

1. Se x2 = – 4x, então:a) x = 2 ou x = 1b) x = 3 ou x = – 1c) x = 0 ou x = 2d) x = 0 ou x = – 4e) x = 4 ou x = – 1

2. As raízes reais da equação 1,5x2 + 0,1x = 0,6 são:

a) 2 5

e 1

b) 3 5

e 2 3

c) - 3 5

e - 2 5

d) - 2 5

e 2 3

e) 3 5

e - 2 3

3. As raízes da equação x3 – 2x2 – 3x = 0 são:a) –2, 0 e 1b) –1, 2 e 3c) – 3, 0 e 1d) – 1, 0 e 3e) – 3, 0 e 2

4. Verifique se o número 5 é raiz da equação x2 + 6x = 0.

5. Determine o valor de m na equação x2 + (m + 1)x – 12 = 0 para que as raízes sejam simétricas.

6. Determine o valor de p na equação x2 – (2p + 5)x – 1 = 0 para que as raízes sejam simétricas.

7. (U. Caxias do Sul-RS) Se uma das raízes da equação 2x2 – 3px + 40 = 0 é 8, então o valor de p é:a) 5

b) 13 3

c) 7d) –5e) –7


matemática

8. O número de soluções reais da equação: -6x2 + 4x2

2x2 - 3x = -4, com x ≠ 0 e x ≠

3 2

é:a) 0b) 1c) -2d) 3e) 4

9. O(s) valor(es) de B na equação x2 – Bx + 4 = 0 para que o discriminante seja igual a 65 é(são):a) 0b) 9c) –9d) –9 ou 9e) 16

10. Um valor de b, para que a equação 2x2 + bx + 2 = 0 tenha duas raízes reais e iguais é:a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

Respostas

1. Resposta “D”.Solução:x2 = – 4xx2 + 4x = 0x (x + 4) = 0x = 0 x + 4 = 0x = -4

2) Resposta “E”.Solução:1,5x2 + 0,1x = 0,61,5x2 + 0,1x - 0,6 = 0 (x10)15x2 +1x - 6 = 0Δ = b2 – 4.a.cΔ = 12 – 4 . 15 . – 6Δ = 1 + 360Δ = 361

x= -1 +- √361

2.15 = -1 +- 19

30 = 1830 = 3 5 ou -20

30 = - 2 3

3) Resposta “D”.

Soluçãox3 – 2x2 – 3x = 0x (x2 – 2x – 3) = 0x = 0 x2 – 2x – 3 = 0Δ = b2 – 4.a.c


matemática

Δ = -22 – 4 . 1 . – 3Δ = 4 + 12Δ = 16

x= -(-2) +-√16

2.1=

2 +- 4 2 = 6 2 = 3 ou -2 2 = -1

4) Resposta “Não”.

Solução:

S= -b a = -6 1 = -6

P= c a

= 0 1 = 0

Raízes: {-6,0}

Ou x2 + 6x = 0 x (x + 6) = 0 x=0 ou x+6=0 x=-6

5) Resposta “-1”.Solução:

S = -b a

= -(m + 1) 1 = - m - 1 P = c

a= -12

1 = -12

- m - 1 = 0 m = -1

6) Resposta “ -5/2”.Solução:x2 – (2p + 5)x – 1 = 0 (-1)-x2 +(2p + 5)x + 1 = 0

S= -b a

= -(2p + 5) -1 = 2p + 5 P= c a = 1

-1 = -1

2p + 5 = 02p = -5p = - 5/2

7) Resposta “C”Solução:2x2 – 3px + 40 = 0282 – 3p8 + 40 = 02.64 – 24p + 40 = 0128 – 24p + 40 = 0-24p = - 168 (-1)p = 168/24p = 7


matemática

8) Resposta “C”.Solução:

-6x2 + 4x3

2x2 - 3x = x(-6x + 4x2)

x(2x - 3) = -4

-8x + 12 = -6x + 4x2

4x2 + 2x - 12 = 0Δ = b2 – 4.a.cΔ = 22 – 4 . 4 . -12Δ = 4 + 192Δ = 196

x= -2 +-√196

2.4 = -2 +- 14 8

12 8 = 3 2 ou -16

8 = -2

9) Resposta “D”.Solução:x2 – Bx + 4 = 0b2 – 4.a.cb2 – 4 . 1 . 4b2 – 16 = 65b2= 65 + 16b = √81b = 9b = -BB = ±9

10) Resposta “C”.Solução:2x2 + Bx + 2 = 0b2 – 4.a.cb2 – 4 . 2 . 2b2 - 16b2 = 16b = √16b = 4

Sistema de Equações do 1° Grau

Definição

Observe o raciocínio: João e José são colegas. Ao passarem por uma livraria, João resolveu comprar 2 cadernos e 3 livros e pagou por eles R$ 15,40, no total dos produtos. José gastou R$ 9,20 na compra de 2 livros e 1 caderno. Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa.

No dia seguinte, encontram um outro colega e falaram sobre suas compras, porém não se lembrava do preço unitário de dos livros. Sabiam, apenas que todos os livros, como todos os cadernos, tinham o mesmo preço.

Bom, diante deste problema, será que existe algum modo de descobrir o preço de cada livro ou caderno com as informações que temos ? Será visto mais à frente.

Um sistema de equação do primeiro grau com duas incógnitas x e y, pode ser definido como um conjunto formado por duas equações do primeiro grau. Lembrando que equação do primeiro grau é aquela que em todas as incógnitas estão elevadas à potência 1.

Observações gerais

Em tutoriais anteriores, já estudamos sobre equações do primeiro grau com duas incógnitas, como exemplo: X + y = 7 x – y = 30 x + 2y = 9 x – 3y = 15


matemática

Foi visto também que as equações do 1º grau com duas variáveis admitem infinitas soluções:x + y = 6 x – y = 7

x y x y0 6 0 -71 5 1 -62 4 2 -53 3 3 -44 2 4 -35 1 5 -26 0 6 -1... ...

Vendo a tabela acima de soluções das duas equações, é possível checar que o par (4;2), isto é, x = 4 e y = 2, é a solução para as duas equações.

Assim, é possível dizer que as equaçõesX + y = 6X – y = 7

Formam um sistema de equações do 1º grau.

Exemplos de sistemas:

x + y = 4x − y = 7

⎧⎨⎩2x + 3y + 2z = 104x − 5y + z = 15

⎧⎨⎩2x + y = 105x − 2y = 22

⎧⎨⎩

∑ Observe este símbolo. A matemática convencionou neste caso para indicar que duas ou mais equações formam um sistema.

Resolução de sistemas

Resolver um sistema significa encontrar um par de valores das incógnitas X e Y que faça verdadeira as equações que fazem parte do sistema.

Exemplos:a) O par (4,3 ) pode ser a solução do sistemax – y = 2x + y = 6

Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as equações:x - y = 2 x + y = 64 – 3 = 1 4 + 3 = 71 ≠ 2 (falso) 7 ≠ 6 (falso)A resposta então é falsa. O par (4,3) não é a solução do sistema de equações acima.


matemática

b) O par (5,3 ) pode ser a solução do sistemax – y = 2x + y = 8

Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as equações:x - y = 2 x + y = 85 – 3 = 2 5 + 3 = 82 = 2 (verdadeiro 8 = 8 (verdadeiro)

A resposta então é verdadeira. O par (5,3) é a solução do sistema de equações acima.

Métodos para solução de sistemas do 1º grau.- Método de substituição

Esse método de resolução de um sistema de 1º grau estabelece que “extrair” o valor de uma incógnita é substituir esse valor na outra equação.

Observe:x – y = 2x + y = 4

Vamos escolher uma das equações para “extrair” o valor de uma das incógnitas, ou seja, estabelecer o valor de acordo com a outra incógnita, desta forma:

x – y = 2 ---> x = 2 + y

Agora iremos substituir o “X” encontrado acima, na “X” da segunda equação do sistema:x + y = 4(2 + y ) + y = 42 + 2y = 4 ----> 2y = 4 -2 -----> 2y = 2 ----> y = 1

Temos que: x = 2 + y, entãox = 2 + 1x = 3

Assim, o par (3,1) torna-se a solução verdadeira do sistema.

- Método da adição

Este método de resolução de sistema do 1º grau consiste apenas em somas os termos das equações fornecidas.

Observe:x – y = -23x + y = 5

Neste caso de resolução, somam-se as equações dadas:x – y = -23x + y = 5 +4x = 3x = 3/4

Veja nos cálculos que quando somamos as duas equações o termo “Y” se anula. Isto tem que ocorrer para que possamos achar o valor de “X”.

Agora, e quando ocorrer de somarmos as equações e os valores de “x” ou “y” não se anularem para ficar somente uma incógnita ?


matemática

Neste caso, é possível usar uma técnica de cálculo de multiplicação pelo valor excludente negativo.Ex.:3x + 2y = 42x + 3y = 1

Ao somarmos os termos acima, temos:5x + 5y = 5, então para anularmos o “x” e encontramos o valor de “y”, fazemos o seguinte:» multiplica-se a 1ª equação por +2» multiplica-se a 2ª equação por – 3

Vamos calcular então:3x + 2y = 4 ( x +2)2x + 3y = 1 ( x -3)6x +4y = 8-6x - 9y = -3 +-5y = 5y = -1

Substituindo:2x + 3y = 12x + 3.(-1) = 12x = 1 + 3x = 2

Verificando:3x + 2y = 4 ---> 3.(2) + 2(-1) = 4 -----> 6 – 2 = 42x + 3y = 1 ---> 2.(2) + 3(-1) = 1 ------> 4 – 3 = 1

Sistema de equações do 2º grau

Um sistema de equações é chamado do 2º grau quando pelo menos uma de suas equações é do 2º grau.

exemplo 1

2 2 206

x yx y

+ = + =

Isolando x ou y na 2º equação do sistema:x + y = 6x = 6 - y

Substituindo o valor de x na 1º equação:

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

2

20(6 ) 20(6) 2*6* ( ) 2036 12 20 016 12 2 02 12 16 0

x yy y

y y yy y yy y

y y

+ =

− + =

− + + =

− + + − =

− + =

− + =


MATEMÁTICA

dividir todos os membros da equação por 2y2 - 6y + 8 = 0

2 4. .( 6)2 4*1*836 324

b a c∆ = −∆ = − −∆ = −∆ =

a = 1, b = -6 e c = 8

2( 6) 4

26 2

26 2 8' 4

2 26 2 4'' 2

2 2

bya

y

y

y

y

− ± ∆=

− − ±=

±=

+= = =

−= = =

Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos:Para y = 4, temos:x = 6 - yx = 6 - 4x = 2

Par ordenado (2;4)

Para y = 2, temos:x = 6 - yx = 6 - 2x = 4

Par ordenado (4; 2)

S = {(2,4) (4,2)}

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.

trigonometria no triângulo Retângulo

Razões trigonométricas no triângulo Retângulo

Defi niremos algumas relações e números obtidos a partir dos lados de triângulos retângulos. Antes, porém, precisamos rever algumas de suas propriedades.

A fi g. 1 apresenta um triângulo onde um de seus ângulos internos é reto (de medida 90º ou π2

rad), o que nos permite classifi cá-lo como um triângulo retângulo.


matemática

Lembremo-nos de que, qualquer que seja o triângulo, a soma dos seus três ângulos internos vale 180º. Logo, a respeito do triân-

gulo ABC apresentado, dizemos que:

α + β + 90 = 180⇒α + β = 90

Com isso, podemos concluir:- Que os ângulos α e β são complementares, isto é, são ângulos cujas medidas somam 90º;- Uma vez que são complementares ambos terão medida inferior a 90º.

Portanto, dizemos que todo triângulo retângulo tem um ângulo interno reto e dois agudos, complementares entre si.De acordo com a figura, reconhecemos nos lados b e c os catetos do triângulo retângulo e em a sua hipotenusa.

Lembremo-nos de que a hipotenusa será sempre o lado oposto ao ângulo reto em, ainda, o lado maior do triângulo. Podemos relacioná-los através do Teorema de Pitágoras, o qual enuncia que o quadrado sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados sobre os catetos (sic) ou, em linguajar moderno, “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo”.

Aplicado ao nosso triângulo, e escrito em linguagem matemática, o teorema seria expresso como segue:a2 = b2 + c2

Seno, co-seno e tangente de um Ângulo agudo

A fig. 2 ilustra um triângulo retângulo conhecido como triângulo pitagórico, classificação devida ao fato de que, segundo a tra-dição grega, através dele Pitágoras enunciou seu Teorema.

De fato, as medidas de seus lados (3, 4 e 5 unidades de comprimento) satisfazem a sentença 52 = 32 + 42.Apesar de nos apoiarmos particularmente no triângulo pitagórico, as relações que iremos definir são válidas para todo e qualquer

triângulo retângulo. Apenas queremos, dessa forma, obter alguns resultados que serão comparados adiante.Definimos seno, co-seno e tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo pelas relações apresentadas no quadro a

seguir:

Seno do ângulo = cateto ⋅oposto ⋅ao ⋅ângulohipotenusa

Co-seno do ângulo = cateto ⋅adjacente ⋅ao ⋅ângulohipotenusa


matemática

Tangente do ângulo = cateto ⋅oposto ⋅ao ⋅ângulocateto ⋅adjacente ⋅ao ⋅ângulo

A partir dessas definições, o cálculo de seno, co-seno e tangente do ângulo α, por exemplo, nos fornecerão os seguintes valores:

sen α = 35

= 0,6

cos α = 45

= 0,8

tg α = 34

= 0,75

Ao que acabamos de ver, aliemos um conhecimento adquirido da Geometria. Ela nos ensina que dois triângulos de lados propor-cionais são semelhantes.

Se multiplicarmos, então, os comprimentos dos lados de nosso triângulo pitagórico semelhante, com os novos lados (6, ,8 e 10) igualmente satisfazendo o Teorema de Pitágoras.

Na fig. 3, apresentamos o resultado dessa operação, em que mostramos o triângulo ABC, já conhecido na fig. 1 e A1BC1.

Observemos que os ângulos α e β permanecem sendo os ângulos agudos internos do triângulo recém-construído.Lançando Mao das medidas dos novos lados A1B,BC1eA1C1 (respectivamente 8, 10 e 6 unidades de comprimento), calculemos,

para o ângulo α, os valores de seno, co-seno e tangente:

sen α = 810

= 0,6

cos α = 810

= 0,8

tg α = 68

= 0,75

Nosso intuito, na repetição dessas operações, é mostrar que, não importando se o triângulo PE maior ou menor, as relações defi-nidas como seno, co-seno e tangente têm, individualmente, valores constantes, desde que calculados para os mesmo ângulos.

Em outras palavras, seno, co-seno e tangente são funções apenas dos ângulos internos do triângulo, e não de seus lados.

Outras Razões trigonométricas – co-tangente, Secante e co-secante

Além das razões com que trabalhamos até aqui, são definidas a co-tangente, secante e co-secante de um ângulo agudo de triân-gulo retângulo através de relações entre seus lados, como definimos no quadro a seguir:

cot do ângulo = cateto ⋅adjacente ⋅ao ⋅ângulocateto ⋅oposto ⋅ao ⋅ângulo

sec do ângulo = hipotenusacateto ⋅adjacente ⋅ao ⋅ângulo


matemática

cosec do ângulo = hipotenusacateto ⋅oposto ⋅ao ⋅ângulo

Por exemplo, para um triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5 unidades de comprimento, como exibido na fig. 6, teríamos, para o ângulo α,

cotg α = 43

sec α = 54

cosec α = 53

Seno, co-seno, tangente e co-tangente de Ângulos complementares

Já foi visto que em todo triângulo retângulo os ângulos agudos são complementares.

α + β = 90

Sabemos ainda que:

sen α = ab

sen β =

ac

cos α = ac

cos β =

ab

tg α = cb

tg β =

bc

cotg α = bc

cotg β =

cb

Verifica-se facilmente que:

sen α = cos β; cos α = sen β;tg α = cotg β; cotg α = tg β.


matemática

exemplo

Um triângulo retângulo tem catetos cujas medidas são 5 cm e 12 cm. Determine o valor de seno, co-seno e tangente dos seus ângulos agudos.

Resolução

Para respondermos ao que se pede, necessitaremos do comprimento da hipotenusa do triângulo. Aplicando o Teorema de Pitá-goras, temos que:

a2 = b2 + c2 → a2 = 52 + 122 = 169

Logo, a = 13 cm. Assim, obtemos para seno, co-seno e tangente dos ângulos da Figura, os seguintes valores:

senα = 513

¥ conα = 1213

¥ tgα = 512

senβ = 1213

¥ conβ = 513

¥ tgβ = 125

Ângulos Notáveis

Seno, co-seno e tangente dos Ângulos Notáveis

Uma vez definidos os conceitos de seno, co-seno e tangente de ângulos agudos internos a um triângulo retângulo, passaremos a determinar seus valores para ângulos de grande utilização em diversas atividades profissionais e encontrados facilmente em situações cotidianas.

Por exemplo, na Mecânica, demonstra-se que o ângulo de lançamento, tomado com relação à horizontal, para o qual se obtém o máximo alcance com uma mesma velocidade de tiro, é de 45o; uma colméia é constituída, interiormente, de hexágonos regulares, que por sua vez, são divisíveis, cada um, em seis triângulos equiláteros, cujos ângulos internos medem 60o; facilmente encontram-se coberturas de casas, de regiões tropicais, onde não há neve, com ângulo de inclinação definido nos 30o, etc.

Vamos selecionar, portanto, figuras planas em que possamos delimitar ângulo com as medidas citadas (30o, 45o e 60o). Para isso, passaremos a trabalhar com o quadrado e o triângulo equilátero.

Observemos, na figura 4 e na figura 5, que a diagonal de um quadrado divide ângulos internos opostos, que são retos, em duas partes de 45 + o+, e que o segmento que define a bissetriz (e altura) de um ângulo interno do triângulo equilátero permite-nos reco-nhecer, em qualquer das metades em que este é dividido, ângulos de medidas 30o e 60o.


matemática

Primeiramente, vamos calcular os comprimentos da diagonal do quadrado (identificado na figura 4 por d) e a altura h, do triân-gulo equilátero (figura 5).

Uma vez que as regiões sombreadas nas figuras são triângulos retângulos, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para cada um deles.

Para o meio-quadrado, temos que:

D2 =a2 + a2 → d2 = 2 . a2

2ad =∴Quanto ao triângulo equilátero, podemos escrever o seguinte:

l2 = 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

+ h2 ⇒ h2 = l2 − l2

4⇒ h2 = 3l

2

4⇒∴h = l 3

2Sabemos, agora, que o triângulo hachurado no interior do quadrado tem catetos de medida a e hipotenusa a 2 . Para o outro

triângulo sombreado, teremos catetos e medidas 12e l 32

, enquanto sua hipotenusa tem comprimento l.Passemos, agora, ao cálculo de seno, co-seno e tangente dos ângulos de 30om 45o e 60o.

Seno, co-seno e tangente de 30o e 60o.

Tomando por base o triângulo equilátero da figura 5, e conhecendo as medidas de seus lados, temos:

sen 30o= l2l= 12.1l= 12

cos 30o= hl=

l 32l

= 32

tg 30o=l2h=

l2l 32

= l2. 2l 3 =

13. 33= 33

sen 60o= hl=

l 321

= 32

cos 60o=l2l= l2.1l= 12

tg 60o= hl2

=

l 32l2

= 32.21= 3

Seno, co-seno e tangente de 45o

A partir do quadrado representado na figura 4, de lado a e diagonal a 2 , podemos calcular:

sen 45o= ad= aa 2

= 12. 22= 22


matemática

cos 45o= ad= aa 2

= 12. 22= 22

tg 45o = aa= 1

Os resultados que obtivemos nos permitem definir, a seguir, uma tabela de valores de seno, co-seno e tangente dos ângulos notá-veis, que nos será extremamente útil.

30o 45o 60o

sen

21

22

23

cos

23

22

21

tg

33 1 3

identidades trigonométricas

É comum a necessidade de obtermos uma razão trigonométrica, para um ângulo, a partir de outra razão cujo valor seja conhecido, ou mesmo simplificar expressões extensas envolvendo várias relações trigonométricas para um mesmo ângulo.

Nesses casos, as identidades trigonométricas que iremos deduzir neste tópico são ferramentas de grande aplicabilidade.Antes de demonstrá-las, é necessário que definamos o que vem a ser uma identidade.Identidade em uma ou mais variáveis é toda igualdade verdadeira para quaisquer valores a elas atribuídos, desde que verifiquem

as condições de existência de expressão.Por exemplo, a igualdade x + 2

x= 2x

2 + 42x

é uma identidade em x, pois é verdadeira para todo x real, desde q x≠0 (divisão por zero é indeterminado ou inexistente).

Vamos verificar agora como se relacionam as razões trigonométricas que já estudamos. Para isso, faremos uso do triângulo ABC apresentado na figura A, retângulo em A.

Aplicando as medidas de seus lados no teorema de Pitágoras, obtemos a seguinte igualdade:

b2 + c2 = a2

Dividindo os seus membros por a2, não alteraremos a igualdade. Assim, teremos:

b2

a2+ c

2

a2= a

2

a2⇒ b

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

+ ca

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

= 1


matemática

Observemos que as frações entre parênteses podem definir, com relação ao nosso triângulo, que:

sen2α + cos2α = 1 e cos2β + sen2 β = 1

Podemos afirma, portanto, que a soma dos quadrados de seno e co-seno de um ângulo x é igual à unidade, ou seja:

Sen2x + cos2x = 1

Expliquemos o significado da partícula co, que inicia o nome das relações co-seno, cotangente e co-secante. Ela foi introduzida por Edmund Gunter, em 1620, querendo indicar a razão trigonométrica do complemento. Por exemplo, co-seno de 22o tem valor idêntico ao seno de 68o (complementar de 22o)

Assim, as relações co-seno, co-tangente e co-secante de um ângulo indicam, respectivamente, seno, tangente e secante do com-plemento desse ângulo.

Assim, indicando seno, tangente e secante simplesmente pelo nome de razão, podemos dizer que:

co-razão x = razão (90o –x)

Facilmente podemos concluir, com base no triângulo apresentado na figura A, que:

sen α=cos β sen β=cos αtg α=cotg β tg β=cotg αsec α=cossec β sec β=cossec α

Façamos outro desenvolvimento. Tomemos um dos ângulos agudos do triângulo ABC, da figura A. Por exemplo, α. Dividindo-se sen α por cos α, obtemos:

sen αcos β

=

baca

= ba.ac= bc= tg α

De forma análoga, o leitor obterá o mesmo resultado se tomar o ângulo β. Dizemos, portanto, que, para um ângulo x, tal que cós x ≠ 0,

tg x = sen xcos x

Podemos observar, também, que a razão bc , que representa tg α, se invertida (passando a cb ), vem a constituir cotg α. Em virtude disso, e aproveitando a identidade enunciada anteriormente, podemos dizer que, para todo ângulo x de seno não-nulo:

cotg x = 1tg x

= cos xsen x

Tais inversões ocorrem também e se tratando das relações seno, co-seno, secante e co-secante. Vejamos que:

sen α = ab

cosec α = ab

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

E cosα = c

a

sec α = ac

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Teríamos encontrado inversões semelhantes se utilizássemos o ângulo β.

Dizemos, assim, que, para um dado ângulo x,

sec x = 1cox x


matemática

cosec x = 1sen x

Desde que seja respeitada a condição de os denominadores dos segundos membros dessas identidades não serem nulos.

exercícios

1. Sabe-se que, em qualquer triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da medida da hipotenusa. Se um triângulo retângulo tem catetos medindo 5cm e 2cm, calcule a representação decimal da medida da mediana relativa a hipotenusa nesse triângulo.

2. Um quadrado e um triângulo equilátero têm o mesmo perímetro. Sendo h a medida da altura do triângulo e d a medida da diagonal do quadrado. Determine o valor da razão h/d.

3. As raízes da equação x² - 14x + 48 = 0 expressam em centímetros as medidas dos catetos de um triângulo retângulo. Determine a medida da hipotenusa e o perímetro desse triângulo.

4. Seja o triângulo ABC, mostrado na figura, onde a = 20, b = 10 2 e B = 30. calcular o raio do círculo circunscrito e o ângulo c.

5. Os lados adjacentes de um paralelogramo medem 1388m e 2526m e o ângulo formado entre estes lados mede 54,42º. Determinar o comprimento da maior diagonal desse quadrilátero.

6. Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O cosseno do maior ângulo interno desse triângulo vale:a) 11 / 24b) - 11 / 24c) 3 / 8d) - 3 / 8e) - 3 / 10


matemática

7. Se x e y são dois arcos complementares, então podemos afirmar que A = (cosx - cosy)2 + (senx + seny)2 é igual a:a) 0b) ½c) 3/2d) 1e) 2

8. Calcule sen 2x sabendo-se que tg x + cotg x = 3.

9. Qual o domínio e o conjunto imagem da função y = arcsen 4x?

10. calcule o triplo do quadrado do coseno de um arco cujo quadrado da tangente vale 2.

Respostas1) Solução:

h2 = 52 + 22

h2 = 25 + 4h2 = 29

h = 29

mediana = 292

= 5,382

= 2,69

2) Solução:

4L 2= 3L1

L2 =34L 1

d 2 = L22+L2

2

d 2 = 2L22

d = L2 2

d = 34L1 2

L12= L1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

+ h2

h2 = L12− L1

2

4

h2 = 4L12−L1

2

4

h2 = 3L12

4

h = 3L12

4

h = L1 32

hd=

L1 32

3L1 24

= L1 32

× 43L1 2

= 4 36 2

× 22= 4 612

= 63

4L 2= 3L1

L2 =34L 1

d 2 = L22+L2

2

d 2 = 2L22

d = L2 2

d = 34L1 2

L12= L1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

+ h2

h2 = L12− L1

2

4

h2 = 4L12−L1

2

4

h2 = 3L12

4

h = 3L12

4

h = L1 32

hd=

L1 32

3L1 24

= L1 32

× 43L1 2

= 4 36 2

× 22= 4 612

= 63


matemática

3) Solução:

x2 −14x + 48 = 0

x = 14 ± (−14)2 − 4.1482.1

x = 14 ± 196 −1922

x = 14 + 22

x1 =14 + 22

= 8

x2 = 14 − 22

= 6

h2 = 62 + 82h2 = 36 + 64h2 = 100

h = 100h = 10cmP = 6 + 8 +10 = 24cm

4) Solução: Pela Lei dos senos, b = 2R . sen(B), logo 10 2 = 2R . sen(30) e desse modo R = 10 2 .Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, calcularemos o ângulo A.Pela Lei dos Senos, b . sem (A) = a . sen(B), de onde segue que 10 2 . sem(A) = 20 . sen(30), assim, sem (A) = 2

2Como A é um dos ângulos do triângulo então A = 45º ou A = 135º.Como B = 30°, da relação A + B + C = 180º, segue que A + C = 150° e temos duas possibilidades:1. A = 45º e C = 105º2. A = 135º e C = 15º.

5) Solução:No triângulo ABC, A + C = 54,42º, então: B = 180º - 54,42º = 125,58ºA lei dos cossenos:b² = a² + c² - 2ac cos(B)

garante que:

b² = (1388)² + (2526)² - 2(1388)(2526) cos(125,58º)

Assim, b = 3519,5433 e então garantimos que a maior diagonal do paralelogramo mede aproximadamente 3519,54 metros.

6) Resposta “B”.Solução: Sabemos que num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo. Logo, o maior ângulo será aquele oposto ao lado

de medida 6. Teremos então, aplicando a lei dos cossenos:62 = 32 + 42 - 2 . 3 . 4 . cos b \ 36 - 9 - 16 = - 24 . cos b \ cos b = - 11 / 24 e, portanto, a alternativa correta é a letra B.

Lembrete: TC - Teorema dos cossenos: Em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do angulo que eles formam.


matemática

7) Resposta “E”. Solução: Desenvolvendo os quadrados, vem:A = cos2 x - 2 . cosx . cosy + cos2 y + sen2 x + 2 . senx . seny + sen2 y

Organizando convenientemente a expressão, vem:A = (cos2 x + sen2 x) + (sen2 y + cos2 y) - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . senyA = 1 + 1 - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . senyA = 2 - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny

Como os arcos são complementares, isto significa que x + y = 90º \ y = 90º - x. Substituindo, vem:A = 2 - 2 . cosx . cos(90º - x) + 2 . senx . sen(90º - x)Mas, cos(90º - x) = senx e sen(90º - x) = cosx, pois sabemos que o seno de um arco é igual ao cosseno do seu complemento e o

cosseno de um arco é igual ao seno do seu complemento.

Logo, substituindo, fica:A = 2 - 2 . cosx . senx + 2 . senx . cosxA = 2 + (2senxcosx - 2senxcosx) = 2 + 0 = 2 , e portanto a alternativa correta é a letra E.

8) Solução:Escrevendo a tgx e cotgx em função de senx e cosx , vem:

senxcos x

+ cos xsenx

= 3∴ sen2x + cos2 xsenx cos x

= 3∴ 1senxconx

= 3

Daí, vem: 1 = 3 . senx . cosx \ senx . cosx = 1 / 3. Ora, sabemos que sen 2x = 2 . senx . cosx e portanto senx . cosx = (sen 2x) / 2 , que substituindo vem:

(sen 2x) / 2 = 1 / 3 e, portanto, sen 2x = 2 / 3.

9. Solução:Podemos escrever: 4x = seny. Daí, vem:Para x: -1 £ 4x £ 1 Þ -1/4 £ x £ 1/4. Portanto, Domínio = D = [-1/4, 1/4].Para y: Da definição vista acima, deveremos ter -p /2 £ y £ p /2.Resposta: D = [-1/4, 1/4] e Im = [-p /2, p /2].

10) Solução:Seja x o arco. Teremos:tg2x = 2

Desejamos calcular 3.cos2x, ou seja, o triplo do quadrado do coseno do arco.Sabemos da Trigonometria que: 1 + tg2x = sec2x

Portanto, substituindo, vem: 1 + 2 = sec2x = 3Como sabemos que:secx = 1/cosx , quadrando ambos os membros vem:sec2x = 1/ cos2x \ cos2x = 1/sec2x = 1/3 \ 3cos2x = 3(1/3) = 1

Portanto, o triplo do quadrado do coseno do arco cuja tangente vale 2, é igual à unidade.Resposta: 1

Circunferência Trigonométrica

Dada uma circunferência trigonométrica contendo o ponto A=(1,0) e um número real x, existe sempre um arco orientado AM sobre esta circunferência, cuja medida algébrica corresponde a x radianos.


MATEMÁTICA

Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro em (0,0) e raio unitário. Seja M=(x’,y’) um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante, este ponto determina um arco AM que corresponde ao ângulo cen-tral a. A projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OX determina um ponto C=(x’,0) e a projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OY determina outro ponto B=(0,y’).

A medida do segmento OB coincide com a ordenada y’ do ponto M e é defi nida como o seno do arco AM que corresponde ao ângulo a, denotado por sen(AM) ou sen(a).

Como temos várias determinações para o mesmo ângulo, escreveremos sen(AM)=sen(a)=sen(a+2kComo temos várias determinações para o mesmo ângulo, escreveremos sen(AM)=sen(a)=sen(a+2k )=y’

Para simplifi car os enunciados e defi nições seguintes, escreveremos sen(x) para denotar o seno do arco de medida x radianos.

Cosseno: O cosseno do arco AM correspondente ao ângulo a, denotado por cos(AM) ou cos(a), é a medida do segmento 0C, que coincide com a abscissa x’ do ponto M.

Como antes, existem várias determinações para este ângulo, razão pela qual, escrevemos cos(AM) = cos(a) = cos(a+2kComo antes, existem várias determinações para este ângulo, razão pela qual, escrevemos cos(AM) = cos(a) = cos(a+2k ) = x’

tangente

Seja a reta t tangente à circunferência trigonométrica no ponto A=(1,0). Tal reta é perpendicular ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente t no ponto T=(1,t’). A ordenada deste ponto T, é defi nida como a tangente do arco AM correspondente ao ângulo a.

Assim a tangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações: tan(AM) = tan(a) = tan(a+kAssim a tangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações: tan(AM) = tan(a) = tan(a+k ) = µ(AT) = t’Podemos escrever M=(cos(a),sen(a)) e T=(1,tan(a)), para cada ângulo a do primeiro quadrante. O seno, o cosseno e a tangente

de ângulos do primeiro quadrante são todos positivos.Um caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo horizontal OX. Neste caso: cos(0)=1, sen(0)=0 e tan(0)=0Ampliaremos estas noções para ângulos nos outros quadrantes


MATEMÁTICA

Ângulos no segundo quadrante

Se na circunferência trigonométrica, tomamos o ponto M no segundo quadrante, então o ângulo a entre o eixo OX e o segmento OM pertence ao intervalo /2<a< . Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o cosseno está relacionado com a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada deste ponto. Como o ponto M=(x,y) possui abscissa negativa e ordenada positiva, o sinal do seno do ângulo a no segundo quadrante é positivo, o cosseno do ângulo a é negativo e a tangente do ângulo a é negativa.

Outro caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo vertical OY e neste caso: cos( /2)=0 e sen( /2)=1A tangente não está defi nida, pois a reta OM não intercepta a reta t, pois elas são paralelas.

Ângulos no terceiro quadrante

O ponto M=(x,y) está localizado no terceiro quadrante, o que signifi ca que o ângulo pertence ao intervalo: <a<3 /2. Este pon-to M=(x,y) é simétrico ao ponto M’=(-x,-y) do primeiro quadrante, em relação à origem do sistema, indicando que tanto a sua abscis-sa como a sua ordenada são negativos. O seno e o cosseno de um ângulo no terceiro quadrante são negativos e a tangente é positiva.

Em particular, se a= radianos, temos que cos( )=-1, sen( )=0 e tan( )=0

Ângulos no quarto quadrante

O ponto M está no quarto quadrante, 3 /2<a< 2 . O seno de ângulos no quarto quadrante é negativo, o cosseno é positivo e a tangente é negativa.

Quando o ângulo mede 3 /2, a tangente não está defi nida pois a reta OP não intercepta a reta t, estas são paralelas. Quando a=3/2, temos: cos(3 /2)=0, sin(3 /2)=-1


matemática

Simetria em relação ao eixo OX

Em uma circunferência trigonométrica, se M é um ponto no primeiro quadrante e M’ o simétrico de M em relação ao eixo OX, estes pontos M e M’ possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais opostos.

Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM’, obtemos:

sen(a) = -sen(b)cos(a) = cos(b)tan(a) = -tan(b)

Simetria em relação ao eixo OY

Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M’ simétrico a M em relação ao eixo OY, estes pontos M e M’ possuem a mesma ordenada e as abscissa são simétricas.

Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM’. Desse modo:

sen(a) = sen(b)cos(a) = -cos(b)tan(a) = -tan(b)

Simetria em relação à origem

Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M’ simétrico de M em relação a origem, estes pontos M e M’ possuem ordenadas e abscissas simétricas.


matemática

Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM’. Desse modo:

sen(a) = -sen(b)cos(a) = -cos(b)tan(a) = tan(b)

Senos e cossenos de alguns ângulos notáveis

Uma maneira de obter o valor do seno e cosseno de alguns ângulos que aparecem com muita frequência em exercícios e aplica-ções, sem necessidade de memorização, é através de simples observação no círculo trigonométrico.

Primeira relação fundamental

Uma identidade fundamental na trigonometria, que realiza um papel muito importante em todas as áreas da Matemática e tam-bém das aplicações é: sin²(a) + cos²(a) = 1 que é verdadeira para todo ângulo a.

Necessitaremos do conceito de distância entre dois pontos no plano cartesiano, que nada mais é do que a relação de Pitágoras. Sejam dois pontos, A=(x’,y’) e B=(x”,y”).

Definimos a distância entre A e B, denotando-a por d(A,B), como:

Se M é um ponto da circunferência trigonométrica, cujas coordenadas são indicadas por (cos(a),sen(a)) e a distância deste ponto até a origem (0,0) é igual a 1. Utilizando a fórmula da distância, aplicada a estes pontos, d(M,0)=[(cos(a)-0)²+(sen(a)-0)²]1/2, de onde segue que 1=cos²(a)+sin²(a).


MATEMÁTICA

Segunda relação fundamental

Outra relação fundamental na trigonometria, muitas vezes tomada como a defi nição da função tangente, é dada por:

tan(a) = sen(a)cos(a)

Deve fi car claro, que este quociente somente fará sentido quando o denominador não se anular.Se a=0, a= ou a=2 , temos que sen(a)=0, implicando que tan(a)=0, mas se a= /2 ou a=3 /2, segue que cos(a)=0 e a divisão

acima não tem sentido, assim a relação tan(a)=sen(a)/cos(a) não é verdadeira para estes últimos valores de a.Para a

acima não tem sentido, assim a relação tan(a)=sen(a)/cos(a) não é verdadeira para estes últimos valores de a.0, a

acima não tem sentido, assim a relação tan(a)=sen(a)/cos(a) não é verdadeira para estes últimos valores de a., a

acima não tem sentido, assim a relação tan(a)=sen(a)/cos(a) não é verdadeira para estes últimos valores de a.2 , a

acima não tem sentido, assim a relação tan(a)=sen(a)/cos(a) não é verdadeira para estes últimos valores de a./2 e a

acima não tem sentido, assim a relação tan(a)=sen(a)/cos(a) não é verdadeira para estes últimos valores de a.3 /2, considere novamente a circunferência trigonométrica na fi gura seguinte.

Os triângulos OMN e OTA são semelhantes, logo:

ATMN

= OAON

Como AT=|tan(a)|, MN=|sen(a)|, OA=1 e ON=|cos(a)|, para todo ângulo a, 0<a<2 com a /2 e a 3 /2 temos

tan(a) = sen(a)cos(a)

Forma polar dos números complexos

Um número complexo não nulo z=x+yi, pode ser representado pela sua forma polar:z = r [cos(c) + i sen(c)]

onde r=|z|=R[x²+y²], i²=-1 e c é o argumento (ângulo formado entre o segmento Oz e o eixo OX) do número complexo z.

A multiplicação de dois números complexos na forma polar:A = |A| [cos(a)+isen(a)]B = |B| [cos(b)+isen(b)]


MATEMÁTICA

é dada pela Fórmula de De Moivre:AB = |A||B| [cos(a+b)+isen(a+b)]Isto é, para multiplicar dois números complexos em suas formas trigonométricas, devemos multiplicar os seus módulos e somar

os seus argumentos.Se os números complexos A e B são unitários então |A|=1 e |B|=1, e nesse casoA = cos(a) + i sen(a)B = cos(b) + i sen(b)

Multiplicando A e B, obtemosAB = cos(a+b) + i sen(a+b)

Existe uma importantíssima relação matemática, atribuída a Euler (lê-se “óiler”), garantindo que para todo número complexo z e também para todo número real z:

eiz = cos(z) + i sen(z)

Tal relação, normalmente é demonstrada em um curso de Cálculo Diferencial, e, ela permite uma outra forma para representar números complexos unitários A e B, como:

A = eia = cos(a) + i sen(a)B = eib = cos(b) + i sen(b)

onde a é o argumento de A e b é o argumento de B. Assim, ei(a+b) = cos(a+b)+isen(a+b)

Por outro lado ei(a+b) = eia . eib = [cos(a)+isen(a)] [cos(b)+isen(b)]

e desse modo ei(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) + i [cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)]

Para que dois números complexos sejam iguais, suas partes reais e imaginárias devem ser iguais, logocos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)sen(a+b) = cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)

Para a diferença de arcos, substituímos b por -b nas fórmulas da somacos(a+(-b)) = cos(a)cos(-b) - sen(a)sen(-b)sen(a+(-b)) = cos(a)sen(-b) + cos(-b)sen(a)

para obtercos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)sen(a-b) = cos(b)sen(a) - cos(a)sen(b)

Seno, cosseno e tangente da soma e da diferença

Na circunferência trigonométrica, sejam os ângulos a e b com 0£a£2 e 0£b£2 , a>b, então;sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)

Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos:

tan(a + b) = sen(a)cos(b)+ cos(a)sen(b)cos(a)cos(b)− sen(a)sen(b)

Dividindo todos os quatro termos da fração por cos(a)cos(b), segue a fórmula:

tan(a + b) = tan(a)+ tan(b)1− tan(a) tan(b)


MATEMÁTICA

Comosen(a-b) = sen(a)cos(b) - cos(a)sen(b)cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)podemos dividir a expressão de cima pela de baixo, para obter:

tan(a − b) = tan(a)− tan(b)1+ tan(a) tan(b)

FORMAS GEOMÉTRICAS BÁSICAS. PERÍMETROS, ÁREA E VOLUME DE

FIGURAS GEOMÉTRICAS.

Geometria Plana

A Geometria é a parte da matemática que estuda as fi guras e suas propriedades. A geometria estuda fi guras abstratas, de uma perfeição não existente na realidade. Apesar disso, podemos ter uma boa ideia das fi guras geométricas, observando objetos reais, como o aro da cesta de basquete que sugere uma circunferência, as portas e janelas que sugerem retângulos e o dado que sugere um cubo.

Reta, semirreta e segmento de reta

Defi nições.a) Segmentos congruentes.Dois segmentos são congruentes se têm a mesma medida.b) Ponto médio de um segmento.Um ponto P é ponto médio do segmento AB se pertence ao segmento e divide AB em dois segmentos congruentes.c) Mediatriz de um segmento.É a reta perpendicular ao segmento no seu ponto médio

Ângulo


matemática

Definições.a) Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas de mesma origem.b) Ângulos congruentes: Dois ângulos são ditos congruentes se têm a mesma medida.c) Bissetriz de um ângulo: É a semirreta de origem no vértice do ângulo que divide esse ângulo em dois ângulos congruentes.

PerímetroEntendendo o que é perímetro.Imagine uma sala de aula de 5m de largura por 8m de comprimento.Quantos metros lineares serão necessários para colocar rodapé nesta sala, sabendo que a porta mede 1m de largura e que nela

não se coloca rodapé?

A conta que faríamos seria somar todos os lados da sala, menos 1m da largura da porta, ou seja:P = (5 + 5 + 8 + 8) – 1P = 26 – 1P = 25

Colocaríamos 25m de rodapé.A soma de todos os lados da planta baixa se chama Perímetro.Portanto, Perímetro é a soma dos lados de uma figura plana.

área Área é a medida de uma superfície. A área do campo de futebol é a medida de sua superfície (gramado). Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma malha quadriculada, a sua área será equivalente à quantidade de

quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área:


matemática

Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de área. A unidade de medida da área é: m² (metros quadrados), cm² (centímetros quadrados), e outros. Se tivermos uma figura do tipo:

Sua área será um valor aproximado. Cada é uma unidade, então a área aproximada dessa figura será de 4 unidades. No estudo da matemática calculamos áreas de figuras planas e para cada figura há uma fórmula pra calcular a sua área.

Retângulo É o quadrilátero que tem todos os ângulos internos congruentes e iguais a 90º.

No cálculo da área de qualquer retângulo podemos seguir o raciocínio:

Pegamos um retângulo e colocamos em uma malha quadriculada onde cada quadrado tem dimensões de 1 cm. Se contarmos, veremos que há 24 quadrados de 1 cm de dimensões no retângulo. Como sabemos que a área é a medida da superfície de uma figuras podemos dizer que 24 quadrados de 1 cm de dimensões é a área do retângulo.


matemática

O retângulo acima tem as mesmas dimensões que o outro, só que representado de forma diferente. O cálculo da área do retângulo pode ficar também da seguinte forma:

A = 6 . 4 A = 24 cm² Podemos concluir que a área de qualquer retângulo é:

A = b . h

Quadrado É o quadrilátero que tem os lados congruentes e todos os ângulos internos a congruentes (90º).

Sua área também é calculada com o produto da base pela altura. Mas podemos resumir essa fórmula:

Como todos os lados são iguais, podemos dizer que base é igual a e a altura igual a , então, substituindo na fórmula A = b . h, temos:

A = .A= ²

trapézio É o quadrilátero que tem dois lados paralelos. A altura de um trapézio é a distância entre as retas suporte de suas bases.


matemática

Em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos dois lados não paralelos, é paralelo às bases e vale a média aritmética dessas bases.

A área do trapézio está relacionada com a área do triângulo que é calculada utilizando a seguinte fórmula: A = b . h (b = base e h = altura). 2 Observe o desenho de um trapézio e os seus elementos mais importantes (elementos utilizados no cálculo da sua área):

Um trapézio é formado por uma base maior (B), por uma base menor (b) e por uma altura (h). Para fazermos o cálculo da área do trapézio é preciso dividi-lo em dois triângulos, veja como: Primeiro: completamos as alturas no trapézio:

Segundo: o dividimos em dois triângulos:

A área desse trapézio pode ser calculada somando as áreas dos dois triângulos (∆CFD e ∆CEF). Antes de fazer o cálculo da área de cada triângulo separadamente observamos que eles possuem bases diferentes e alturas iguais.

Cálculo da área do ∆CEF:

A∆1 = B . h 2


matemática

Cálculo da área do ∆CFD:

A∆2 = b . h 2

Somando as duas áreas encontradas, teremos o cálculo da área de um trapézio qualquer:

AT = A∆1 + A∆2

AT = B . h + b . h 2 2

AT = B . h + b . h → colocar a altura (h) em evi- 2 dência, pois é um termo comum aos dois fatores.

AT = h (B + b) 2 Portanto, no cálculo da área de um trapézio qualquer utilizamos a seguinte fórmula:

A = h (B + b) 2

h = altura B = base maior do trapézio b = base menor do trapézio

Losango

É o quadrilátero que tem os lados congruentes.

Em todo losango as diagonais são:a) perpendiculares entre si;b) bissetrizes dos ângulos internos.A área do losango é definida pela seguinte fórmula:

.2

d DS = Onde D é a diagonal maior e d é a menor.


matemática

triângulo

Figura geométrica plana com três lados.

Ângulo externo. O ângulo externo de qualquer polígono convexo é o ângulo formado entre um lado e o prolongamento do outro lado.

Classificação dos triângulos.

a) quanto aos lados:- triângulo equilátero.- triângulo isósceles.- triângulo escaleno.

b) quanto aos ângulos:- triângulo retângulo.- triângulo obtusângulo.- triângulo acutângulo.Propriedades dos triângulos1) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos internos é 180º.

2) Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos 2 ângulos internos não adjacentes.


matemática

3) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos externos é 360º.

4) Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes. Observação - A base de um triângulo isósceles é o seu lado diferente.

Altura - É a distância entre o vértice e a reta suporte do lado oposto.

Área do triangulo

Segmentos proporcionaisTeorema de Tales. Em todo feixe de retas paralelas, cortado por uma reta transversal, a razão entre dois segmento quaisquer de uma transversal é

igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra transversal.


matemática

Semelhança de triângulosDefinição.Dois triângulos são semelhantes se têm os ângulos dois a dois congruentes e os lados correspondentes dois a dois proporcionais.Definição mais “popular”.Dois triângulos são semelhantes se um deles é a redução ou a ampliação do outro. Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade se mantém constante para quaisquer dois segmentos

correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferências inscritas, raios das circunferências circunscritas, perímetros, etc.

exercícios

1. Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura respectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos um outro pa-ralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do outro paralelogramo, qual será relação entre as áreas dos paralelogramos?

2. Os lados de um triângulo equilátero medem 5 mm. Qual é a área deste triângulo equilátero?

3. Qual é a medida da área de um paralelogramo cujas medidas da altura e da base são respectivamente 10 cm e 2 dm?

4. As diagonais de um losango medem 10 cm e 15 cm. Qual é a medida da sua superfície?

5. Considerando as informações constantes no triangulo PQR, pode-se concluir que a altura PR desse triângulo mede:

a)5 b)6 c)7 d)8


matemática

6. Num cartão retangular, cujo comprimento é igual ao dobro de sua altura, foram feitos dois vincos AC e BF, que formam, entre si, um ângulo reto (90°). Observe a figura:

Considerando AF=16cm e CB=9cm, determine:a) as dimensões do cartão;b) o comprimento do vinco AC

7. Na figura, os ângulos assinalados sao iguais, AC=2 e AB=6. A medida de AE é:a)6/5 b)7/4 c)9/5 d)3/2 e)5/4

8. Na figura a seguir, as distâncias dos pontos A e B à reta valem 2 e 4. As projeções ortogonais de A e B sobre essa reta são os pontos C e D. Se a medida de CD é 9, a que distância de C deverá estar o ponto E, do segmento CD, para que CÊA=DÊB

a)3b)4c)5d)6e)7

9. Para ladrilhar uma sala são necessários exatamente 400 peças iguais de cerâmica na forma de um quadrado. Sabendo-se que a área da sala tem 36m², determine:

a) a área de cada peça, em m².b) o perímetro de cada peça, em metros.

10. Na figura, os ângulos ABC, ACD, CÊD, são retos. Se AB=2 3 m e CE= 3 m, a razão entre as áreas dos triângulos ABC e CDE é:

a)6b)4c)3d)2e) 3


matemática

Respostas

1. A2 = (2b)(2h) = 4bh = 4A1

2. Segundo o enunciado temos:l=5mm

Substituindo na fórmula:² 3 5² 3 6,25 3 10,84 4

lS S S= ⇒ = = ⇒ =

3. Sabemos que 2 dm equivalem a 20 cm, temos:h=10b=20

Substituindo na fórmula:

. 20.10 100 ² 2 ²S b h cm dm= = = =

4. Para o cálculo da superfície utilizaremos a fórmula que envolve as diagonais, cujos valores temos abaixo:

d1=10d2=15

Utilizando na fórmula temos:

1. 2 10.15 75 ²2 2

d dS cm= ⇒ =

5. 4 6 36 69 6

PRPR

= ⇒ = =

6. 9 ² 144 1216

) 12( );2 24( )

) 9² ² 81 144 15

x x xx

a x altura x comprimento

b AC x

= ⇒ = ⇒ =

= =

= + = + =

7.


matemática

8.

9.

10.

Sólidos Geométricos

Para explicar o cálculo do volume de figuras geométricas, podemos pedir que visualizem a seguinte figura:

a) A figura representa a planificação de um prisma reto;b) O volume de um prisma reto é igual ao produto da área da base pela altura do sólido, isto é

V = ab x a

c) O cubo e o paralelepípedo retângulo são prismas;d) O volume do cilindro também se pode calcular da mesma forma que o volume de um prisma reto.Os formulários seguintes, das figuras geométricas são para calcular da mesma forma que as acima apresentadas:


MATEMÁTICA

Figuras Geométricas:

O conceito de cone

Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano. Chamamos de cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer da região.

elementos do cone - Base: A base do cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva. - Vértice: O vértice do cone é o ponto P. - eixo: Quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro

da base. - Geratriz: Qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base. - altura: Distância do vértice do cone ao plano da base. - Superfície lateral: A superfície lateral do cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a

outra na curva que envolve a base. - Superfície do cone: A superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo. - Seção meridiana: A seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que

contem o eixo do mesmo.


matemática

Classificação do cone

Quando observamos a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo.

Observação: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.

Observações sobre um cone circular reto1. Um cone circular reto é chamado cone de revolução por ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em

torno de um de seus catetos 2. A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone. No caso acima, a

seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB. 3. Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida de cada geratriz então, pelo Teorema

de Pitágoras, temos: g2 = h2 + R2 4. A área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone):ALat

= Pi R g 5. A área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone): ATotal = Pi R g + Pi R2

cones equiláteros


matemática

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

A área da base do cone é dada por: ABase=Pi R2

Pelo Teorema de Pitágoras temos: (2R)2 = h2 + R2

h2 = 4R2 - R2 = 3R2

Assim: h = R Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:

V = (1/3) Pi R3 Como a área lateral pode ser obtida por: ALat = Pi R g = Pi R 2R = 2 Pi R2 então a área total será dada por: ATotal = 3 Pi R2

O conceito de esfera

A esfera no espaço R³ é uma superfície muito importante em função de suas aplicações a problemas da vida. Do ponto de vista matemático, a esfera no espaço R³ é confundida com o sólido geométrico (disco esférico) envolvido pela mesma, razão pela quais muitas pessoas calculam o volume da esfera. Na maioria dos livros elementares sobre Geometria, a esfera é tratada como se fosse um sólido, herança da Geometria Euclidiana.

Embora não seja correto, muitas vezes necessitamos falar palavras que sejam entendidas pela coletividade. De um ponto de vista mais cuidadoso, a esfera no espaço R³ é um objeto matemático parametrizado por duas dimensões, o que significa que podemos obter medidas de área e de comprimento, mas o volume tem medida nula. Há outras esferas, cada uma definida no seu respectivo espaço n-dimensional. Um caso interessante é a esfera na reta unidimensional:

So = {x em R: x²=1} = {+1,-1} Por exemplo, a esfera S1 = { (x,y) em R²: x² + y² = 1 } é conhecida por nós como uma circunferência de raio unitário centrada na origem do plano cartesiano.

aplicação: volumes de líquidos

Um problema fundamental para empresas que armazenam líquidos em tanques esféricos, cilíndricos ou esféricos e cilíndricos é a necessidade de realizar cálculos de volumes de regiões esféricas a partir do conhecimento da altura do líquido colocado na mesma. Por exemplo, quando um tanque é esférico, ele possui um orifício na parte superior (pólo Norte) por onde é introduzida verticalmente uma vara com indicadores de medidas. Ao retirar a vara, observa-se o nível de líquido que fica impregnado na vara e esta medida corresponde à altura de líquido contido na região esférica. Este não é um problema trivial, como observaremos pelos cálculos reali-zados na sequência.

A seguir apresentaremos elementos esféricos básicos e algumas fórmulas para cálculos de áreas na esfera e volumes em um sólido esférico.


matemática

a superfície esférica A esfera no espaço R³ é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados a uma mesma distância denominada raio

de um ponto fixo chamado centro.

Uma notação para a esfera com raio unitário centrada na origem de R³ é: S² = { (x,y,z) em R³: x² + y² + z² = 1 }

Uma esfera de raio unitário centrada na origem de R4 é dada por:S³ = { (w,x,y,z) em R4: w² + x² + y² + z² = 1 }

Você conseguiria imaginar espacialmente tal esfera? Do ponto de vista prático, a esfera pode ser pensada como a película fina que envolve um sólido esférico. Em uma melancia

esférica, a esfera poderia ser considerada a película verde (casca) que envolve a fruta. É comum encontrarmos na literatura básica a definição de esfera como sendo o sólido esférico, no entanto não se devem con-

fundir estes conceitos. Se houver interesse em aprofundar os estudos desses detalhes, deve-se tomar algum bom livro de Geometria Diferencial que é a área da Matemática que trata do detalhamento de tais situações.

O disco esférico é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados na casca e dentro da esfera. Do ponto de vista prático, o disco esférico pode ser pensado como a reunião da película fina que envolve o sólido esférico com a região sólida dentro da esfera. Em uma melancia esférica, o disco esférico pode ser visto como toda a fruta.

Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo ponto (0,0,0), a equação da esfera é dada por:x² + y² + z² = R² e a relação matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém a casca reunido com o interior, isto é:

x² + y² + z² < R² Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo ponto (xo,yo,zo), a equação da esfera é dada por:

(x-xo)² + (y-yo)² + (z-zo)² = R² e a relação matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém a casca reunido com o interior, isto é, o conjunto de

todos os pontos (x,y,z) em R³ tal que:

(x-xo)² + (y-yo)² + (z-zo)² < R² Da forma como está definida, a esfera centrada na origem pode ser construída no espaço euclidiano R³ de modo que o centro

da mesma venha a coincidir com a origem do sistema cartesiano R³, logo podemos fazer passar os eixos OX, OY e OZ, pelo ponto (0,0,0).


matemática

Seccionando a esfera x²+y²+z²=R² com o plano z=0, obteremos duas superfícies semelhantes: o hemisfério Norte (“boca para baixo”) que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z é não negativa e o hemisfério Sul (“boca para cima”) que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z não é positiva.

Se seccionarmos a esfera x²+y²+z²=R² por um plano vertical que passa em (0,0,0), por exemplo, o plano x=0, teremos uma cir-cunferência maximal C da esfera que é uma circunferência contida na esfera cuja medida do raio coincide com a medida do raio da esfera, construída no plano YZ e a equação desta circunferência será:

x=0, y² + z² = R2

sendo que esta circunferência intersecta o eixo OZ nos pontos de coordenadas (0,0,R) e (0,0,-R). Existem infinitas circunferên-cias maximais em uma esfera.

Se rodarmos esta circunferência maximal C em torno do eixo OZ, obteremos a esfera através da rotação e por este motivo, a esfera é uma superfície de revolução.

Se tomarmos um arco contido na circunferência maximal cujas extremidades são os pontos (0,0,R) e (0,p,q) tal que p²+q²=R² e rodarmos este arco em torno do eixo OZ, obteremos uma superfície denominada calota esférica.

Na prática, as pessoas usam o termo calota esférica para representar tanto a superfície como o sólido geométrico envolvido pela calota esférica. Para evitar confusões, usarei “calota esférica” com aspas para o sólido e sem aspas para a superfície.

A partir da rotação, construiremos duas calotas em uma esfera, de modo que as extremidades dos arcos sejam (0,0,R) e (0,p,q) com p²+q²=R² no primeiro caso (calota Norte) e no segundo caso (calota Sul) as extremidades dos arcos (0,0,-R) e (0,r,-s) com r²+s²=R² e retirarmos estas duas calotas da esfera, teremos uma superfície de revolução denominada zona esférica.

De um ponto de vista prático, consideremos uma melancia esférica. Com uma faca, cortamos uma “calota esférica” superior e uma “calota esférica” inferior. O que sobra da melancia é uma região sólida envolvida pela zona esférica, algumas vezes denominada zona esférica.

Consideremos uma “calota esférica” com altura h1 e raio da base r1 e retiremos desta calota uma outra “calota esférica” com altura h2 e raio da base r2, de tal modo que os planos das bases de ambas sejam paralelos. A região sólida determinada pela calota maior menos a calota menor recebe o nome de segmento esférico com bases paralelas.


matemática

No que segue, usaremos esfera tanto para o sólido como para a superfície, “calota esférica” para o sólido envolvido pela calota esférica, a letra maiúscula R para entender o raio da esfera sobre a qual estamos realizando os cálculos, V será o volume, A(lateral) será a área lateral e A(total) será a área total.

algumas fórmulas (relações) para objetos esféricos

Objeto Relações e fórmulas

Esfera Volume = (4/3) Pi R³ A(total) = 4 Pi R²

Calota esférica (altura h, raio da base r)

R² = h (2R-h) A(lateral) = 2 Pi R h A(total) = Pi h (4R-h) V=Pi.h²(3R-h)/3=Pi(3R²+h²)/6

Segmento esférico (altura h, raios das bases r1>r²)

R² = a² + [(r1² -r2²-h²)/2h)]² A(lateral) = 2 Pi R h A(total) = Pi(2Rh+r1²+r2²) Volume=Pi.h(3r1²+3r2²+h²)/6

Estas fórmulas podem ser obtidas como aplicações do Cálculo Diferencial e Integral, mas nós nos limitaremos a apresentar um processo matemático para a obtenção da fórmula do cálculo do volume da “calota esférica” em função da altura da mesma.

Volume de uma calota no hemisfério Sul Consideremos a esfera centrada no ponto (0,0,R) com raio R.

A equação desta esfera será dada por: x² + y² + (z-R)² = R²

A altura da calota será indicada pela letra h e o plano que coincide com o nível do líquido (cota) será indicado por z=h. A inter-seção entre a esfera e este plano é dado pela circunferência

x² + y² = R² - (h-R)²

Obteremos o volume da calota esférica com a altura h menor ou igual ao raio R da esfera, isto é, h pertence ao intervalo [0,R] e neste caso poderemos explicitar o valor de z em função de x e y para obter:

z = R − R2 − (x2 + y2 )

Para simplificar as operações algébricas, usaremos a letra r para indicar: r² = R² - (h-R)² = h(2R-h) A região circular S de integração será descrita por x²+y²<R² ou em coordenadas polares através de: 0<m<R, 0<t<2Pi

A integral dupla que representa o volume da calota em função da altura h é dada por:

Vc(h) = s∫∫ (h − z)dxdy


matemática

ou seja

Vc(h) = s∫∫ (h − R + R2 − (x2 + y2 ))dxdy

Escrita em Coordenadas Polares, esta integral fica na forma:

Vc(h) = (h − R + R2 −m2

m=0

R

∫t=0

2x

∫ )mdmdt

Após realizar a integral na variável t, podemos separá-la em duas integrais:

Vc(h) = 2π{ (h − R)mdm + R2 −m2

0

R

∫0

R

∫ mdm}

ou seja:

Vc(h) = π{(h − R)R2 − R2 −m2

0

R

∫ (−2m)dm}

Com a mudança de variável u=R²-m² e du=(-2m)dm poderemos reescrever:

Vc(h) = π{(h − R)R2 + u duu=0

R2

∫ }

Após alguns cálculos obtemos: VC(h) = Pi (h-R) [R² -(h-R)²] - (2/3)Pi[(R-h)³ - R³]

e assim temos a fórmula para o cálculo do volume da calota esférica no hemisfério Sul com a altura h no intervalo [0,R], dada por: VC(h) = Pi h²(3R-h)/3

Volume de uma calota no hemisfério Norte Se o nível do líquido mostra que a altura h já ultrapassou o raio R da região esférica, então a altura h está no intervalo [R,2R]

Lançaremos mão de uma propriedade de simetria da esfera que nos diz que o volume da calota superior assim como da calota inferior somente depende do raio R da esfera e da altura h e não da posição relativa ocupada.

Aproveitaremos o resultado do cálculo utilizado para a calota do hemisfério Sul. Tomaremos a altura tal que: h=2R-d, onde d é a altura da região que não contém o líquido. Como o volume desta calota vazia é dado por:

VC(d) = Pi d²(3R-d)/3 e como h=2R-d, então para h no intervalo [R,2R], poderemos escrever o volume da calota vazia em função de h: VC(h) = Pi (2R-h)²(R+h)/3

Para obter o volume ocupado pelo líquido, em função da altura, basta tomar o volume total da região esférica e retirar o volume da calota vazia, para obter:

V(h) = 4Pi R³/3 - Pi (2R-h)²(R+h)/3 que pode ser simplificada para: V(h) = Pi h²(3R-h)/3


matemática

Independentemente do fato que a altura h esteja no intervalo [0,R] ou [R,2R] ou de uma forma geral em [0,2R], o cálculo do volume ocupado pelo líquido é dado por:

V(h) = Pi h²(3R-h)/3

Poliedro

Poliedro é um sólido limitado externamente por planos no espaço R³. As regiões planas que limitam este sólido são as faces do poliedro. As interseções das faces são as arestas do poliedro. As interseções das arestas são os vértices do poliedro. Cada face é uma região poligonal contendo n lados.

Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos diedrais formados por planos adjacentes têm medidas menores do que 180 graus. Outra definição: Dados quaisquer dois pontos de um poliedro convexo, o segmento que tem esses pontos como extremidades, deverá estar inteiramente contido no poliedro.

Poliedros Regulares

Um poliedro é regular se todas as suas faces são regiões poligonais regulares com n lados, o que significa que o mesmo número de arestas se encontram em cada vértice.

tetraedro Hexaedro (cubo) Octaedro

áreas e Volumes

Poliedro regular área Volumetetraedro a2 R[3] (1/12) a³ R[2]Hexaedro 6 a2 a³Octaedro 2 a2 R[3] (1/3) a³ R[2]Dodecaedro 3a2 R{25+10·R[5]} (1/4) a³ (15+7·R[5])icosaedro 5a2 R[3] (5/12) a³ (3+R[5])

Nesta tabela, a notação R[z] significa a raiz quadrada de z>0. Prisma

Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos.

Prisma retoAs arestas laterais têm o mesmo comprimento.As arestas laterais são perpendiculares ao plano da base.As faces laterais são retangulares.

Prisma oblíquoAs arestas laterais têm o mesmo comprimento.As arestas laterais são oblíquas ao plano da base.As faces laterais não são retangulares.


matemática

Bases: regiões poligonais congruentes

altura: distância entre as bases

arestas laterais paralelas: mesmas

medidas Faces laterais: paralelogramos

Prisma reto aspectos comuns Prisma oblíquo

Seções de um prisma

Seção transversal

É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às bases, sendo que esta região poligonal é con-gruente a cada uma das bases.

Seção reta (seção normal)É uma seção determinada por um plano perpendicular às arestas laterais.

Princípio de cavaliereConsideremos um plano P sobre o qual estão apoiados dois sólidos com a mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado

interceptar os sólidos com seções de áreas iguais, então os volumes dos sólidos também serão iguais.

Prisma regular É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares.

exemplos: Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero. Um prisma quadrangular regular é um prisma reto cuja base é um quadrado.

Planificação do prisma

Um prisma é um sólido formado por todos os pontos do espaço localizados dentro dos planos que contêm as faces laterais e os planos das bases. As faces laterais e as bases formam a envoltória deste sólido. Esta envoltória é uma “superfície” que pode ser planificada no plano cartesiano.

Tal planificação se realiza como se cortássemos com uma tesoura esta envoltória exatamente sobre as arestas para obter uma região plana formada por áreas congruentes às faces laterais e às bases.

A planificação é útil para facilitar os cálculos das áreas lateral e total.


matemática

Volume de um prisma O volume de um prisma é dado por:

Vprisma = Abase . h

área lateral de um prisma reto com base poligonal regular

A área lateral de um prisma reto que tem por base uma região poligonal regular de n lados é dada pela soma das áreas das faces laterais. Como neste caso todas as áreas das faces laterais são iguais, basta tomar a área lateral como:

cilindros

Seja P um plano e nele vamos construir um círculo de raio r. Tomemos também um segmento de reta PQ que não seja paralelo ao plano P e nem esteja contido neste plano P.

Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a PQ com uma extremidade no círculo. Observamos que um cilindro é uma superfície no espaço R3, mas muitas vezes vale a pena considerar o cilindro com a região

sólida contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um sólido usaremos aspas, isto é, “cilindro” e quando for à superfície, simplesmente escreveremos cilindro.

A reta que contém o segmento PQ é denominada geratriz e a curva que fica no plano do “chão” é a diretriz.

Em função da inclinação do segmento PQ em relação ao plano do “chão”, o cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectiva-mente, se o segmento PQ for perpendicular ou oblíquo ao plano que contém a curva diretriz.

Objetos geométricos em um “cilindro” Num cilindro, podemos identificar vários elementos: - Base É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases. - eixo É o segmento de reta que liga os centros das bases do “cilindro”. - altura A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do “cilindro”. - Superfície Lateral É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo

da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz. - Superfície total É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro. - área lateral É a medida da superfície lateral do cilindro. - área total É a medida da superfície total do cilindro. - Seção meridiana de um cilindro É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro do

cilindro com o cilindro.


matemática

Classificação dos cilindros circulares cilindro circular oblíquo Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos planos das bases. cilindro circular reto As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de cilindro é também chamado de cilin-

dro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo. cilindro equilátero É um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um quadrado.

Volume de um “cilindro”

Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura. V = Abase × h Se a base é um círculo de raio r, então: V = r2 h

áreas lateral e total de um cilindro circular reto Quando temos um cilindro circular reto, a área lateral é dada por: Alat = 2 r h onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. Atot = Alat + 2 AbaseAtot = 2 r h + 2 r2

Atot = 2 r(h+r)

Exercícios

1. Dado o cilindro circular equilátero (h = 2r), calcular a área lateral e a área total.

2. Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm. Calcular a área lateral, área total e o seu volume.

3. As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone.

4. Anderson colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica de mesma base, mesmo raio R e mesma altura h da casquinha. Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre a lata e a casquinha de sorvete?

Respostas

1) Solução: No cilindro equilátero, a área lateral e a área total é dada por:

Alat = 2 r. 2r = 4 r2

Atot = Alat + 2 AbaseAtot = 4 r2 + 2 r2 = 6 r2

V = Abase h = r2. 2r = 2 r3

2) Solução: Cálculo da Área lateral Alat = 2 r h = 2 2.3 = 12 cm2 Cálculo da Área total Atot = Alat + 2 Abase Atot = 12 + 2 22 = 12 + 8 = 20 cm2 Cálculo do Volume V = Abase × h = r2 × h V = 22 × 3 = × 4 × 3 = 12 cm33

3) Solução: hprisma = 12Abase do prisma = Abase do cone = AVprisma = 2 VconeA hprisma = 2(A h)/312 = 2.h/3h =18 cm


MATEMÁTICA

4) Solução:

V = Vcilindro - VconeV = Abase h - (1/3) Abase hV = Pi R2 h - (1/3) Pi R2 hV = (2/3) Pi R2 h cm3

RACIOCÍNIO LÓGICO

Proposições ou Sentenças

Uma proposição é uma afi rmação que pode ser verdadeira ou falsa. Ela é o signifi cado da afi rmação, não um arranjo preciso das palavras para transmitir esse signifi cado. Por exemplo, “Existe um número primo par maior que dois” é uma proposição (no caso, falsa). “Um número primo par maior que dois existe” é a mesma proposição, expressa de modo diferente. É muito fácil mudar acidentalmente o signifi cado das palavras apenas reorganizando-as. A dicção da proposição deve ser considerada algo signifi cante. É possível utilizar a linguística formal para analisar e reformular uma afi rmação sem alterar o signifi cado.

As sentenças ou proposições são os elementos que, na linguagem escrita ou falada, expressam uma ideia, mesmo que absurda. Considerar-se-ão as que são bem defi nidas, isto é, aquelas que podem ser classifi cadas em falsas ou verdadeiras, denominadas declarativas. As proposições geralmente são designadas por letras latinas minúsculas: p, q, r, s...

Considere os exemplos a seguir:

p: Mônica é inteligente.q: Se já nevou na região Sul, então o Brasil é um país europeu.r: 7 > 3s: 8 + 2 ≠ 10

Tipos de Proposições

Podemos classifi car as sentenças ou proposições, conforme o signifi cado de seu texto, em:

- Declarativas ou afi rmativas: são as sentenças em que se afi rma algo, que pode ou não ser verdadeiro. Exemplo: Júlio César é o melhor goleiro do Brasil.

- Interrogativas: são aquelas sentenças em que se questiona algo. Esse tipo de sentença não admite valor verdadeiro ou falso. Exemplo: Lula estava certo em demitir a ministra?

- Imperativas ou ordenativas: são as proposições em que se ordena alguma coisa. Exemplo: Mude a geladeira de lugar.

Proposições Universais e Particulares

As proposições universais são aquelas em que o predicado refere-se à totalidade do conjunto. Exemplo:

“Todos os homens são mentirosos” é universal e simbolizamos por “Todo S é P”

Nesta defi nição incluímos o caso em que o sujeito é unitário.

Exemplo: “O cão é mamífero”.

As proposições particulares são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto. Exemplo: “Alguns homens são mentirosos” é particular e simbolizamos por “algum S é P”.


matemática

Proposições Afirmativas e Negativas

No caso de negativa podemos ter:

“Nenhum homem é mentiroso” é universal negativa e simbolizamos por “nenhum S é P”.

“Alguns homens não são mentirosos” é particular negativa e simbolizamos por “algum S não é P”.

No caso de afirmativa consideramos o item anterior.

Chamaremos as proposições dos tipos: “Todo S é P”, “algum S é P”, “algum S não é P” e “nenhum S é P”.

Então teremos a tabela:

AFIRMATIVA NEGATIVAUNIVERSAL Todo S é P (A) Nenhum S é P (E)PARTICULAR Algum S é P (I) Algum S não é P (O)

Diagrama de Euler

Para analisar, poderemos usar o diagrama de Euler.

- Todo S é P (universal afirmativa – A)

P

S ou

P=S

- Nenhum S é P (universal negativa – E)

S P

- Algum S é P (particular afirmativa – I)

SP

ou

P

Sou

P=S

ou

S

P

- Algum S não é P (particular negativa – O)

S

P

ou

S

Pou

S P


matemática

Princípios

- Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. - Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só pode ter dois valores verdades, isto é, é verdadeiro (V) ou falso (F), não

podendo ter outro valor.a) “O Curso Pré-Fiscal fica em São Paulo” é um proposição verdadeira.b) “O Brasil é um País da América do Sul” é uma proposição verdadeira.c) “A Receita Federal pertence ao poder judiciário”, é uma proposição falsa.As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas por alguns operadores (conectivos), gerando

novas sentenças chamadas de moléculas. Os conectivos serão representados da seguinte forma:

corresponde a “não” ∧ corresponde a “e” ∧

corresponde a “ou” ⇒ corresponde a “então” ⇔ corresponde a “se somente se”

Sendo assim, a partir de uma proposição podemos construir uma outra correspondente com a sua negação; e com duas ou mais, podemos formar:

- Conjunções: a ∧ b (lê-se: a e b)- Disjunções: a

∧

b (lê-se: a ou b) - Condicionais: a ⇒ b (lê-se: se a então b) - Bicondicionais: a ⇔ b (lê-se: a se somente se b)

Exemplo

“Se Cacilda é estudiosa então ela passará no AFRF”

Sejam as proposições:p = “Cacilda é estudiosa”q = “Ela passará no AFRF”

Daí, poderemos representar a sentença da seguinte forma:Se p então q (ou p ⇒q)

Sentenças Abertas

Existem sentenças que não podem ser classificadas nem como falsas, nem como verdadeiras. São as sentenças chamadas sentenças abertas.

Exemplos

1. 94:)( =+xxp

A sentença matemática 94 =+x é aberta, pois existem infinitos números que satisfazem a equação. Obviamente, apenas um deles, 5=x , tornando a sentença verdadeira. Porém, existem infinitos outros números que podem fazer com que a proposição se torne falsa, como .5−=x

2. 3:)( <xxq

Dessa maneira, na sentença 3<x , obtemos infinitos valores que satisfazem à equação. Porém, alguns são verdadeiros, como 2−=x , e outros são falsos, como .7+=x


matemática

Atenção: As proposições ou sentenças lógicas são representadas por letras latinas e podem ser classificadas em abertas ou fechadas.

A sentença 522:)( =+xs é uma sentença fechada, pois a ela se pode atribuir um valor lógico; nesse caso, o valor de )(xs é F, pois a sentença é falsa.

A sentença )(xp “Phil Collins é um grande cantor de música pop internacional” é fechada, dado que possui um valor lógico e esse valor é verdadeiro.

Já a sentença )(xe “O sorteio milionário da Mega-Sena” é uma sentença aberta, pois não se sabe o objetivo de falar do sorteio da Mega-Sena, nem se pode atribuir um valor lógico para que )(xe seja verdadeiro, ou falso.

Modificadores

A partir de uma proposição, podemos formar outra proposição usando o modificador “não” (~), que será sua negação, a qual possuirá o valor lógico oposto ao da proposição.

Exemplo

p: Jacira tem 3 irmãos.~p: Jacira não tem 3 irmãos.

É fácil verificar que:1. Quando uma proposição é verdadeira, sua negação é falsa.2. Quando uma proposição é falsa, sua negação é verdadeira.

V ou F Sentença: p Negação: ~p V ou F

V N∈4 N∉4 F

F 12 é divisível por zero 12 não é divisível por zero. V

Para classificar mais facilmente as proposições em falsas ou verdadeiras, utilizam-se as chamadas tabelas-verdade.

Para negação, tem-se

p ~pV FF V

Atenção: A sentença negativa é representada por “~”.

A sentença t: “O time do Paraná resistiu à pressão do São Paulo” possui como negativa de t, ou seja, “~t”, o correspondente a: “O time do

Paraná não resistiu à pressão do São Paulo”.

Observação: Alguns matemáticos utilizam o símbolo “¬ O Brasil possui um grande time de futebol”, que pode ser lida como “O Brasil não possui um grande time de futebol”.

Proposições Simples e Compostas

Uma proposição pode ser simples (também denominada atômica) ou composta (também denominada molecular). As proposições simples apresentam apenas uma afirmação. Pode-se considerá-las como frases formadas por apenas uma oração. As proposições simples são representadas por letras latinas minúsculas.


matemática

Exemplos

(1) p: eu sou estudioso(2) q: Maria é bonita (3) r: 3 + 4 > 12

Uma proposição composta é formada pela união de duas ou mais proposições simples. Indica-se uma proposição composta por letras latinas maiúsculas. Se P é uma proposição composta das proposições simples p, q, r, ..., escreve-se P (p, q, r,...). Quando P estiver claramente definida não há necessidade de indicar as proposições simples entre os parênteses, escrevendo simplesmente P.

Exemplos:

(4) P: Paulo é estudioso e Maria é bonita. P é composta das proposições simples p: Paulo é estudioso e q: Maria é bonita.(5) Q: Maria é bonita ou estudiosa. Q é composta das proposições simples p: Maria é bonita e q: Maria é estudiosa.(6) R: Se x = 2 então x2 + 1 = 5. R é composta das proposições simples p: x = 2 e q: x2 + 1 = 5.(7) S: a > b se e somente se b < a. S é composta das proposições simples p: a > b e q: b < a.

As proposições simples são aquelas que expressam “uma única ideia”. Constituem a base da linguagem e são também chamadas de átomos da linguagem. São representadas por letras latinas minúsculas (p, q, r, s, ...).

As proposições composta são aquelas formadas por duas ou mais proposições ligadas pelos conectivos lógicos. São geralmente representadas por letras latinas maiúsculas (P, Q, R, S, ...). O símbolo P (p, q, r), por exemplo, indica que a proposição composta P é formada pelas proposições simples p, q e r.

Exemplos

São proposições simples:p: A lua é um satélite da terra.q: O número 2 é primo.r: O número 2 é par.s: Roma é a capital da França.t: O Brasil fica na América do Sul.u: 2 + 5 = 3 . 4

São proposições compostas:P(q, r): O número 2 é primo ou é par.Q(s, t): Roma é a capital da França e o Brasil fica na América do Sul.R: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito.

Não são proposições lógicas:- Roma- O cão do menino- 7+1- As pessoas estudam- Quem é?- Que pena!

Tabela Verdade

Proposição Simples - Segundo o princípio do terceiro excluído, toda proposição simples p, é verdade ou falsa, isto é, tem o valor lógico verdade (V) ou o valor lógico falso (F).

pVF


matemática

Proposição Composta - O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinados. É um dispositivo prático muito usado para a determinação do valor lógico de uma proposição composta. Neste dispositivo figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta, correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes.

Proposição Composta - 02 proposições simples

Assim, por exemplo, no caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p e q, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p e a q são:

p qV VV FF VF F

Observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de dois em dois para a primeira proposição p e de um em um para a segunda proposição q, e que, além disso, VV, VF, FV e FF são os arranjos binários com repetição dos dois elementos V e F.

Proposição Composta - 03 proposições simples

No caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p, q e r as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p, a q e a r são:

p q rV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Analogamente, observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de quatro em quatro para a primeira proposição p, de dois em dois para a segunda proposição q e de um em um para a terceira proposição r, e que, além disso, VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF sãos os arranjos ternários com repetição dos dois elementos V e F.

Notação: O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Assim, exprime-se que p é verdadeira (V), escrevendo: V(p) = V. Analogamente, exprime-se que p é falsa (F), escrevendo: V(p) = F.

Exemplos

p: o sol é verde;q: um hexágono tem nove diagonais;r: 2 é raiz da equação x² + 3x - 4 = 0V(p) = FV(q) = VV(r) = F


matemática

Questões

01. Considere as proposições p: Está frio e q: Está chovendo. Traduza para linguagem corrente as seguintes proposições:a) P ˅ ~qb) p → qc) ~p ^ ~qd) p ↔ ~qe) (p ˅ ~q) ↔ (q ^~p)

02. Considere as proposições p: A terra é um planeta e q: Aterra gira em torno do Sol. Traduza para linguagem simbólica as seguintes proposições:

a) Não é verdade: que a Terra é um planeta ou gira em torno do Sol.b) Se a Terra é um planeta então a Terra gira em torno do Sol.c) É falso que a Terra é um planeta ou que não gira em torno do Sol.d) A Terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra não é um planeta.e) A Terra não é nem um planeta e nem gira em torno do Sol.(Expressões da forma “não é nem p e nem q” devem ser vistas como “não p e não q”)

03. Dada a condicional: “Se p é primo então p = 2 ou p é impar”, determine:a) a contrapositivab) a recíproca

04.a) Supondo V (p ^ q ↔ r ˅ s) = F e V (~r ^ ~s) = V, determine V (p → r ^ s).b) Supondo V (p ^ (q ˅ r)) = V e V (p ˅ r → q) = F, determine V (p), V (q), V (r).c) Supondo V (p → q) = V, determine V (p ^ r → q ^ r) e V (p ˅ r → q ˅ r).

05. Dê o conjunto-verdade em R das seguintes sentenças abertas:a) x² + x – 6 = 0 → x² - 9 = 0b) x² ˃ 4 ↔ x² -5x + 6 = 0

06. Use o diagrama de Venn para decidir quais das seguintes afirmações são válidas:

a) Todos os girassóis são amarelos e alguns pássaros são amarelos, logo nenhum pássaro é um girassol.b) Alguns baianos são surfistas. Alguns surfistas são louros. Não existem professores surfistas. Conclusões:I- Alguns baianos são louros.II- Alguns professores são baianos.III- Alguns louros são professores.IV- Existem professores louros.

07. (CESPE - PF - Regional) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ̚ , ^, ˅ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto, julgue os itens a seguir.

a) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição ( ̚ P) ˅ ( ̚ Q) também é verdadeira.b) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R→ ( ̚ T) é falsa.c) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P ^ R) → (¬ Q) é verdadeira.

08. (CESPE - Papiloscopista) Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por P → Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P v Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por P ^ Q, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição. A partir das informações do texto, julgue os itens subsequentes.


matemática

a) As tabelas de valorações das proposições P v Q e Q → ¬P são iguais.b) As proposições (P v Q) → S e (P → S) v (Q → S) possuem tabelas de valorações iguais.

09. (CESPE - PF - Regional) Considere as sentenças abaixo.

I- Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.II- Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.III- Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.IV- Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido.V- Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; consequentemente, muitos europeus

fumam.

Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir.

P Fumar deve ser proibido.Q Fumar de ser encorajado.R Fumar não faz bem à saúde.T Muitos europeus fumam.

Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes.a) A sentença I pode ser corretamente representada por P ^ (¬ T).b) A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ^ (¬ R).c) A sentença III pode ser corretamente representada por R → P.d) A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ^ (¬ T)) → P.e) A sentença V pode ser corretamente representada por T → ((¬ R) ^ (¬ P)).

10. Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações:

A loura: “Não vou à França nem à Espanha”.A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”.A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.

O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que:a) A loura é Sara e vai à Espanha.b) A ruiva é Sara e vai à França.c) A ruiva é Bete e vai à Espanha.d) A morena é Bete e vai à Espanha.e) A loura é Elza e vai à Alemanha.

Respostas:

01. a) “Está frio ou não está chovendo”.b) “Se está frio então está chovendo”.c) “Não está frio e não está chovendo”.d) “Está frio se e somente se não está chovendo”.e) “Está frio e não está chovendo se e somente se está chovendo e não está frio”.


matemática

02. a) ~(p ˅ q);b) p → qc) ~(p ˅ ~q)d) ~p ^ ~qe) q ↔ ~p

03.a) a contrapositiva: “Se p 2 e p é par, então p não é primo”.b) a recíproca: “Se p = 2 ou p é ímpar, então p é primo”.

04.a) Supondo V (p ^ q ↔ r ˅ s) = F (1) e V (~r ^ ~s) = V (2), determine V (p → r ^ s). Solução: De (2) temos que V (r) = V (s) = F;

Usando estes resultados em (1) obtemos: V (p) = V (q) = V, logo, V (p → r ^ s) = Fb) Supondo V (p ^ (q ˅ r)) = V (1) e V (p ˅ r → q) = F (2), determine V (p), V (q) e V (r). Solução: De (1) concluímos que V (p)

= V e V (q ˅ r) = V e de (2) temos que V (q) = F, logo V (r) = Vc) Supondo V (p → q) = V, determine V (p ^ r → q ^ r) e V (p ˅ r → q ˅ r). Solução: Vamos supor V (p ^ r → q ^ r) = F. Temos

assim que V (p ^ r) = V e V (q ^ r) = F, o que nos permite concluir que V (p) = V (r) = V e V (q) = F, o que contradiz V (p → q) = V. Logo, V (p ˅ r → q ˅ r) = V. Analogamente, mostramos que V (p ˅ r → q ˅ r) = V.

05. a) R – {2}b) [-2,2[

06.a) O diagrama a seguir mostra que o argumento é falso:

b) O diagrama a seguir mostra que todos os argumentos são falsos:

07.a) Item ERRADO. Pela tabela do “ou” temos:(¬ P) v (¬ Q)(¬ V) v (¬ V)(F) v (F)Falsa

b) Item ERRADO. A condicional regra que:R → (¬ T)F (¬ V)F (F)Verdadeira


matemática

c) Item CERTO. Obedecendo a conjunção e a condicional:(P ^ R) → (¬ Q)(V ^ F) → (¬ V) F FVerdadeira

08.a) Item ERRADO. Basta considerarmos a linha da tabela-verdade onde P e Q são ambas proposições verdadeiras para verificar

que as tabelas de valorações de P v Q e Q → ¬P não são iguais:

P Q ¬P P v Q Q → ¬PV V F V F

b) Item ERRADO. Nas seguintes linhas da tabela-verdade, temos os valores lógicos da proposição (P v Q) → S diferente dos da proposição (P → S) v (Q → S):

P Q S (P v Q) → S P → S v Q → SV F F F VF V F F V

09. a) Item ERRADO. Sua representação seria P ^ T.b) Item CERTO. Apenas deve-se ter o cuidado para o que diz a proposição R: “Fumar não faz bem à saúde”. É bom sempre

ficarmos atentos à atribuição inicial dada à respectiva letra.c) Item CERTO. É a representação simbólica da Condicional entre as proposições R e P.d) Item CERTO. Proposição composta, com uma Conjunção (R ^ ¬T) como condição suficiente para P.d) Item ERRADO. Dizer “...consequentemente...” é dizer “se... então...”. A representação correta seria ((¬ R) ^ (¬ P)) → T.

10. Resposta “E”.A melhor forma de resolver problemas como este é arrumar as informações, de forma mais interessante, que possa prover uma

melhor visualização de todo o problema. Inicialmente analise o que foi dado no problema:a) São três amigasb) Uma é loura, outra morena e outra ruiva.c) Uma é Bete, outra Elza e outra Sara.d) Cada uma fará uma viagem a um país diferente da Europa: Alemanha, França e Espanha.e) Elas deram as seguintes informações:

A loura: “Não vou à França nem à Espanha”.A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”.A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.

Faça uma tabela:

Cor dos cabelos Loura Morena Ruiva

Afirmação Não vou à França nem a Espanha

Meu nome não é Elza nem Sara

Nem eu nem Elza vamos à

França

País Alemanha França EspanhaNome Elza Bete Sara

Com a informação da loura, sabemos que ela vai para a Alemanha.Com a informação da morena, sabemos que ela é a Bete.Com a informação da ruiva sabemos que ela não vai à França e nem Elza, mas observe que a loura vai a Alemanha e a ruiva não

vai à França, só sobrando a Bete ir à França. Se Bete vai à França a ruiva coube a Espanha. Elza é a loura e Sara fica sendo a ruiva.


matemática

Diagramas Lógicos

Os diagramas lógicos são usados na resolução de vários problemas. Uma situação que esses diagramas poderão ser usados, é na determinação da quantidade de elementos que apresentam uma determinada característica.

Assim, se num grupo de pessoas há 43 que dirigem carro, 18 que dirigem moto e 10 que dirigem carro e moto. Baseando-se nesses dados, e nos diagramas lógicos poderemos saber: Quantas pessoas têm no grupo ou quantas dirigem somente carro ou ainda quantas dirigem somente motos. Vamos inicialmente montar os diagramas dos conjuntos que representam os motoristas de motos e motoristas de carros. Começaremos marcando quantos elementos tem a intersecção e depois completaremos os outros espaços.

Marcando o valor da intersecção, então iremos subtraindo esse valor da quantidade de elementos dos conjuntos A e B. A partir dos valores reais, é que poderemos responder as perguntas feitas.

a) Temos no grupo: 8 + 10 + 33 = 51 motoristas.b) Dirigem somente carros 33 motoristas.c) Dirigem somente motos 8 motoristas.

No caso de uma pesquisa de opinião sobre a preferência quanto à leitura de três jornais. A, B e C, foi apresentada a seguinte tabela:

Jornais LeitoresA 300B 250C 200

A e B 70A e C 65B e C 105

A, B e C 40Nenhum 150


MATEMÁTICA

Para termos os valores reais da pesquisa, vamos inicialmente montar os diagramas que representam cada conjunto. A colocação dos valores começará pela intersecção dos três conjuntos e depois para as intersecções duas a duas e por último às regiões que representam cada conjunto individualmente. Representaremos esses conjuntos dentro de um retângulo que indicará o conjunto universo da pesquisa.

Fora dos diagramas teremos 150 elementos que não são leitores de nenhum dos três jornais.Na região I, teremos: 70 - 40 = 30 elementos.Na região II, teremos: 65 - 40 = 25 elementos.Na região III, teremos: 105 - 40 = 65 elementos.Na região IV, teremos: 300 - 40 - 30 - 25 = 205 elementos.Na região V, teremos: 250 - 40 -30 - 65 = 115 elementos.Na região VI, teremos: 200 - 40 - 25 - 65 = 70 elementos.

Dessa forma, o diagrama fi gura preenchido com os seguintes elementos:

Com essa distribuição, poderemos notar que 205 pessoas leem apenas o jornal A. Verifi camos que 500 pessoas não leem o jornal C, pois é a soma 205 + 30 + 115 + 150. Notamos ainda que 700 pessoas foram entrevistadas, que é a soma 205 + 30 + 25 + 40 + 115 + 65 + 70 + 150.

Diagrama de Euler

Um diagrama de Euler é similar a um diagrama de Venn, mas não precisa conter todas as zonas (onde uma zona é defi nida como a área de intersecção entre dois ou mais contornos). Assim, um diagrama de Euler pode defi nir um universo de discurso, isto é, ele pode defi nir um sistema no qual certas intersecções não são possíveis ou consideradas. Assim, um diagrama de Venn contendo os atributos para Animal, Mineral e quatro patas teria que conter intersecções onde alguns estão em ambos animal, mineral e de quatro patas. Um diagrama de Venn, consequentemente, mostra todas as possíveis combinações ou conjunções.patas. Um diagrama de Venn, consequentemente, mostra todas as possíveis combinações ou conjunções.


matemática

Diagramas de Euler consistem em curvas simples fechadas (geralmente círculos) no plano que mostra os conjuntos. Os tamanhos e formas das curvas não são importantes: a significância do diagrama está na forma como eles se sobrepõem. As relações espaciais entre as regiões delimitadas por cada curva (sobreposição, contenção ou nenhuma) correspondem relações teóricas (subconjunto interseção e disjunção). Cada curva de Euler divide o plano em duas regiões ou zonas estão: o interior, que representa simbolicamente os elementos do conjunto, e o exterior, o que representa todos os elementos que não são membros do conjunto. Curvas cujos interiores não se cruzam representam conjuntos disjuntos. Duas curvas cujos interiores se interceptam representam conjuntos que têm elementos comuns, a zona dentro de ambas as curvas representa o conjunto de elementos comuns a ambos os conjuntos (intersecção dos conjuntos). Uma curva que está contido completamente dentro da zona interior de outro representa um subconjunto do mesmo.

Os Diagramas de Venn são uma forma mais restritiva de diagramas de Euler. Um diagrama de Venn deve conter todas as possíveis zonas de sobreposição entre as suas curvas, representando todas as combinações de inclusão / exclusão de seus conjuntos constituintes, mas em um diagrama de Euler algumas zonas podem estar faltando. Essa falta foi o que motivou Venn a desenvolver seus diagramas. Existia a necessidade de criar diagramas em que pudessem ser observadas, por meio de suposição, quaisquer relações entre as zonas não apenas as que são “verdadeiras”.

Os diagramas de Euler (em conjunto com os de Venn) são largamente utilizados para ensinar a teoria dos conjuntos no campo da matemática ou lógica matemática no campo da lógica. Eles também podem ser utilizados para representar relacionamentos complexos com mais clareza, já que representa apenas as relações válidas. Em estudos mais aplicados esses diagramas podem ser utilizados para provar / analisar silogismos que são argumentos lógicos para que se possa deduzir uma conclusão.

Diagramas de Venn

Designa-se por diagramas de Venn os diagramas usados em matemática para simbolizar graficamente propriedades, axiomas e problemas relativos aos conjuntos e sua teoria. Os respectivos diagramas consistem de curvas fechadas simples desenhadas sobre um plano, de forma a simbolizar os conjuntos e permitir a representação das relações de pertença entre conjuntos e seus elementos (por exemplo, 4 ∉ {3,4,5}, mas 4 ∉ {1,2,3,12}) e relações de continência (inclusão) entre os conjuntos (por exemplo, {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}). Assim, duas curvas que não se tocam e estão uma no espaço interno da outra simbolizam conjuntos que possuem

continência; ao passo que o ponto interno a uma curva representa um elemento pertencente ao conjunto.Os diagramas de Venn são construídos com coleções de curvas fechadas contidas em um plano. O interior dessas curvas representa,

simbolicamente, a coleção de elementos do conjunto. De acordo com Clarence Irving Lewis, o “princípio desses diagramas é que classes (ou conjuntos) sejam representadas por regiões, com tal relação entre si que todas as relações lógicas possíveis entre as classes possam ser indicadas no mesmo diagrama. Isto é, o diagrama deixa espaço para qualquer relação possível entre as classes, e a relação dada ou existente pode então ser definida indicando se alguma região em específico é vazia ou não-vazia”. Pode-se escrever uma definição mais formal do seguinte modo: Seja C = (C1, C2, ... Cn) uma coleção de curvas fechadas simples desenhadas em um plano. C é uma família independente se a região formada por cada uma das interseções X1 X2 ... Xn, onde cada Xi é o interior ou o exterior de Ci, é não-vazia, em outras palavras, se todas as curvas se intersectam de todas as maneiras possíveis. Se, além disso, cada uma dessas regiões é conexa e há apenas um número finito de pontos de interseção entre as curvas, então C é um diagrama de Venn para n conjuntos.

Nos casos mais simples, os diagramas são representados por círculos que se encobrem parcialmente. As partes referidas em um enunciado específico são marcadas com uma cor diferente. Eventualmente, os círculos são representados como completamente inseridos dentro de um retângulo, que representa o conjunto universo daquele particular contexto (já se buscou a existência de um conjunto universo que pudesse abranger todos os conjuntos possíveis, mas Bertrand Russell mostrou que tal tarefa era impossível). A ideia de conjunto universo é normalmente atribuída a Lewis Carroll. Do mesmo modo, espaços internos comuns a dois ou mais conjuntos representam a sua intersecção, ao passo que a totalidade dos espaços pertencentes a um ou outro conjunto indistintamente representa sua união.

John Venn desenvolveu os diagramas no século XIX, ampliando e formalizando desenvolvimentos anteriores de Leibniz e Euler. E, na década de 1960, eles foram incorporados ao currículo escolar de matemática. Embora seja simples construir diagramas de Venn para dois ou três conjuntos, surgem dificuldades quando se tenta usá-los para um número maior. Algumas construções possíveis são devidas ao próprio John Venn e a outros matemáticos como Anthony W. F. Edwards, Branko Grunbaum e Phillip Smith. Além disso, encontram-se em uso outros diagramas similares aos de Venn, entre os quais os de Euler, Johnston, Pierce e Karnaugh.

Dois Conjuntos: considere-se o seguinte exemplo: suponha-se que o conjunto A representa os animais bípedes e o conjunto B representa os animais capazes de voar. A área onde os dois círculos se sobrepõem, designada por intersecção A e B ou intersecção A-B, conteria todas as criaturas que ao mesmo tempo podem voar e têm apenas duas pernas motoras.


matemática

Considere-se agora que cada espécie viva está representada por um ponto situado em alguma parte do diagrama. Os humanos e os pinguins seriam marcados dentro do círculo A, na parte dele que não se sobrepõe com o círculo B, já que ambos são bípedes mas não podem voar. Os mosquitos, que voam mas têm seis pernas, seriam representados dentro do círculo B e fora da sobreposição. Os canários, por sua vez, seriam representados na intersecção A-B, já que são bípedes e podem voar. Qualquer animal que não fosse bípede nem pudesse voar, como baleias ou serpentes, seria marcado por pontos fora dos dois círculos.

Assim, o diagrama de dois conjuntos representa quatro áreas distintas (a que fica fora de ambos os círculos, a parte de cada círculo que pertence a ambos os círculos (onde há sobreposição), e as duas áreas que não se sobrepõem, mas estão em um círculo ou no outro):

- Animais que possuem duas pernas e não voam (A sem sobreposição).- Animais que voam e não possuem duas pernas (B sem sobreposição).- Animais que possuem duas pernas e voam (sobreposição).- Animais que não possuem duas pernas e não voam (branco - fora). Essas configurações são representadas, respectivamente, pelas operações de conjuntos: diferença de A para B, diferença de B

para A, intersecção entre A e B, e conjunto complementar de A e B. Cada uma delas pode ser representada como as seguintes áreas (mais escuras) no diagrama:

Diferença de A para B: A\B

Diferença de B para A: B\A

Intersecção de dois conjuntos: AB

Complementar de dois conjuntos: U \ (AB)


matemática

Além disso, essas quatro áreas podem ser combinadas de 16 formas diferentes. Por exemplo, pode-se perguntar sobre os animais que voam ou tem duas patas (pelo menos uma das características); tal conjunto seria representado pela união de A e B. Já os animais que voam e não possuem duas patas mais os que não voam e possuem duas patas, seriam representados pela diferença simétrica entre A e B. Estes exemplos são mostrados nas imagens a seguir, que incluem também outros dois casos.

União de dois conjuntos: A B

Diferença Simétrica de dois conjuntos: A B

Complementar de A em U: AC = U \ A

Complementar de B em U: BC = U \ B

Três Conjuntos: Na sua apresentação inicial, Venn focou-se sobretudo nos diagramas de três conjuntos. Alargando o exemplo anterior, poderia-se introduzir o conjunto C dos animais que possuem bico. Neste caso, o diagrama define sete áreas distintas, que podem combinar-se de 256 (28) maneiras diferentes, algumas delas ilustradas nas imagens seguintes.

Diagrama de Venn mostrando todas as intersecções possíveis entre A, B e C.


matemática

União de três conjuntos: A B C

Intersecção de três conjuntos: A B C

A \ (B C)

(B C) \ A

Proposições Categóricas

- Todo A é B- Nenhum A é B- Algum A é B e- Algum A não é B

Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A é um subconjunto do conjunto B. Ou seja: A está contido em B. Atenção: dizer que Todo A é B não significa o mesmo que Todo B é A. Enunciados da forma Nenhum A é B afirmam que os conjuntos A e B são disjuntos, isto é, não tem elementos em comum. Atenção: dizer que Nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer que Nenhum B é A.

Por convenção universal em Lógica, proposições da forma Algum A é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Contudo, quando dizemos que Algum A é B, pressupomos que nem todo A é B. Entretanto, no sentido lógico de algum, está perfeitamente correto afirmar que “alguns de meus colegas estão me elogiando”, mesmo que todos eles estejam. Dizer que Algum A é B é logicamente equivalente a dizer que Algum B é A. Também, as seguintes expressões são equivalentes: Algum A é B = Pelo menos um A é B = Existe um A que é B.


matemática

Proposições da forma Algum A não é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B. Temos as seguintes equivalências: Algum A não é B = Algum A é não B = Algum não B é A. Mas não é equivalente a Algum B não é A. Nas proposições categóricas, usam-se também as variações gramaticais dos verbos ser e estar, tais como é, são, está, foi, eram, ..., como elo de ligação entre A e B.

- Todo A é B = Todo A não é não B.- Algum A é B = Algum A não é não B.- Nenhum A é B = Nenhum A não é não B.- Todo A é não B = Todo A não é B. - Algum A é não B = Algum A não é B.- Nenhum A é não B = Nenhum A não é B.- Nenhum A é B = Todo A é não B.- Todo A é B = Nenhum A é não B.- A negação de Todo A é B é Algum A não é B (e vice-versa).- A negação de Algum A é B é Nenhum A não é B (e vice-versa).

Verdade ou Falsidade das Proposições Categóricas

Dada a verdade ou a falsidade de qualquer uma das proposições categóricas, isto é, de Todo A é B, Nenhum A é B, Algum A é B e Algum A não é B, pode-se inferir de imediato a verdade ou a falsidade de algumas ou de todas as outras.

1. Se a proposição Todo A é B é verdadeira, então temos as duas representações possíveis:

A

B

A = B

1 2

Nenhum A é B. É falsa. Algum A é B. É verdadeira.Algum A não é B. É falsa.

2. Se a proposição Nenhum A é B é verdadeira, então temos somente a representação:

BA

Todo A é B. É falsa.Algum A é B. É falsa.Algum A não é B. É verdadeira.

3. Se a proposição Algum A é B é verdadeira, temos as quatro representações possíveis:


matemática

Nenhum A é B. É falsa.Todo A é B. Pode ser verdadeira (em 3 e 4) ou falsa (em 1 e 2).Algum A não é B. Pode ser verdadeira (em 1 e 2) ou falsa (em 3 e 4) – é indeterminada.

4. Se a proposição Algum A não é B é verdadeira, temos as três representações possíveis:

BA3

Todo A é B. É falsa.Nenhum A é B. Pode ser verdadeira (em 3) ou falsa (em 1 e 2 – é indeterminada).Algum A é B. Ou falsa (em 3) ou pode ser verdadeira (em 1 e 2 – é indeterminada).

QUESTÕES

01. Represente por diagrama de Venn-Euler (A) Algum A é B(B) Algum A não é B(C) Todo A é B(D) Nenhum A é B

02. (Especialista em Políticas Públicas Bahia - FCC) Considerando “todo livro é instrutivo” como uma proposição verdadeira, é correto inferir que:

(A) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.(B) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.(C) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.(D) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.(E) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

03. Dos 500 músicos de uma Filarmônica, 240 tocam instrumentos de sopro, 160 tocam instrumentos de corda e 60 tocam esses dois tipos de instrumentos. Quantos músicos desta Filarmônica tocam:

(A) instrumentos de sopro ou de corda?(B) somente um dos dois tipos de instrumento?(C) instrumentos diferentes dos dois citados?


matemática

04. (TTN - ESAF) Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum G é R”, então é necessariamente verdadeiro que:(A) algum A não é G; (B) algum A é G. (C) nenhum A é G;(D) algum G é A;(E) nenhum G é A;

05. Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que praticam vôlei mas não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que não praticam futebol. O número de alunos da classe é:

(A) 30. (B) 35. (C) 37. (D) 42. (E) 44.

06. Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre:

- 20 alunos praticam vôlei e basquete.- 60 alunos praticam futebol e 55 praticam basquete.- 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei.- o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número de alunos que praticam só vôlei.- 17 alunos praticam futebol e vôlei.- 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei.

O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a:(A) 93(B) 110(C) 103(D) 99(E) 114

07. Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas entrevistadas, 100 liam o jornal X, 150 liam o jornal Y, 20 liam os dois jornais e 110 não liam nenhum dos dois jornais. Quantas pessoas foram entrevistadas?

(A) 220(B) 240(C) 280(D) 300(E) 340

08. Em uma entrevista de mercado, verificou-se que 2.000 pessoas usam os produtos C ou D. O produto D é usado por 800 pessoas e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto C?

(A) 1.430(B) 1.450(C) 1.500(D) 1.520(E) 1.600

09. Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Em uma pesquisa efetuada num grupo de 120 pessoas de um hospital, constatou-se que 40 delas têm o antígeno A, 35 têm o antígeno B e 14 têm o antígeno AB. Com base nesses dados, quantas pessoas possuem o antígeno O?

(A) 50(B) 52(C) 59(D) 63(E) 65


matemática

10. Em uma universidade são lidos dois jornais, A e B. Exatamente 80% dos alunos leem o jornal A e 60% leem o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, encontre o percentual que leem ambos os jornais.

(A) 40%(B) 45%(C) 50%(D) 60%(E) 65%

Respostas

01.

(A)

(B)

(C)

(D)

02. Resposta “B”.

A opção A é descartada de pronto: “nenhum livro é instrutivo” implica a total dissociação entre os diagramas. E estamos com a situação inversa. A opção “B” é perfeitamente correta. Percebam como todos os elementos do diagrama “livro” estão inseridos no diagrama “instrutivo”. Resta necessariamente perfeito que algum livro é instrutivo.

03. Seja C o conjunto dos músicos que tocam instrumentos de corda e S dos que tocam instrumentos de sopro. Chamemos de F o conjunto dos músicos da Filarmônica. Ao resolver este tipo de problema faça o diagrama, assim você poderá visualizar o problema e sempre comece a preencher os dados de dentro para fora.

Passo 1: 60 tocam os dois instumentos, portanto, após fazermos o diagrama, este número vai no meio.Passo 2: a)160 tocam instrumentos de corda. Já temos 60. Os que só tocam corda são, portanto 160 - 60 = 100b) 240 tocam instrumento de sopro. 240 - 60 = 180


matemática

Vamos ao diagrama, preenchemos os dados obtidos acima:

100 18060

Com o diagrama completamente preenchido, fica fácil achara as respostas: Quantos músicos desta Filarmônica tocam:a) instrumentos de sopro ou de corda? Pelos dados do problema: 100 + 60 + 180 = 340b) somente um dos dois tipos de instrumento? 100 + 180 = 280c) instrumentos diferentes dos dois citados? 500 - 340 = 160

04. Esta questão traz, no enunciado, duas proposições categóricas:- Alguns A são R- Nenhum G é R

Devemos fazer a representação gráfica de cada uma delas por círculos para ajudar-nos a obter a resposta correta. Vamos iniciar pela representação do Nenhum G é R, que é dada por dois círculos separados, sem nenhum ponto em comum.

Como já foi visto, não há uma representação gráfica única para a proposição categórica do Alguns A são R, mas geralmente a representação em que os dois círculos se interceptam (mostrada abaixo) tem sido suficiente para resolver qualquer questão.

Agora devemos juntar os desenhos das duas proposições categóricas para analisarmos qual é a alternativa correta. Como a questão não informa sobre a relação entre os conjuntos A e G, então teremos diversas maneiras de representar graficamente os três conjuntos (A, G e R). A alternativa correta vai ser aquela que é verdadeira para quaisquer dessas representações. Para facilitar a solução da questão não faremos todas as representações gráficas possíveis entre os três conjuntos, mas sim, uma (ou algumas) representação(ões) de cada vez e passamos a analisar qual é a alternativa que satisfaz esta(s) representação(ões), se tivermos somente uma alternativa que satisfaça, então já achamos a resposta correta, senão, desenhamos mais outra representação gráfica possível e passamos a testar somente as alternativas que foram verdadeiras. Tomemos agora o seguinte desenho, em que fazemos duas representações, uma em que o conjunto A intercepta parcialmente o conjunto G, e outra em que não há intersecção entre eles.

Teste das alternativas:Teste da alternativa “A” (algum A não é G). Observando os desenhos dos círculos, verificamos que esta alternativa é verdadeira

para os dois desenhos de A, isto é, nas duas representações há elementos em A que não estão em G. Passemos para o teste da próxima alternativa.


matemática

Teste da alternativa “B” (algum A é G). Observando os desenhos dos círculos, verificamos que, para o desenho de A que está mais a direita, esta alternativa não é verdadeira, isto é, tem elementos em A que não estão em G. Pelo mesmo motivo a alternativa “D” não é correta. Passemos para a próxima.

Teste da alternativa “C” (Nenhum A é G). Observando os desenhos dos círculos, verificamos que, para o desenho de A que está mais a esquerda, esta alternativa não é verdadeira, isto é, tem elementos em A que estão em G. Pelo mesmo motivo a alternativa “E” não é correta. Portanto, a resposta é a alternativa “A”.

05. Resposta “E”.

n = 20 + 7 + 8 + 9 n = 44

06. Resposta “D”.

n(FeB) = 45 e n(FeB -V) = 30 → n(FeBeV) = 15n(FeV) = 17 com n(FeBeV) = 15 → n(FeV - B) = 2n(F) = n(só F) + n(FeB-V) + n(FeV -B) + n(FeBeV) 60 = n(só F) + 30 + 2 + 15 → n(só F) = 13

n(sóF) = n(sóV) = 13n(B) = n(só B) + n(BeV) + n(BeF-V) → n(só B) = 65 - 20 – 30 = 15n(nem F nem B nem V) = n(nem F nem V) - n(solo B) = 21- 15 = 6

Total = n(B) + n(só F) + n(só V) + n(Fe V - B) + n(nemF nemB nemV) = 65 + 13 + 13 + 2 + 6 = 99.

07. Resposta “E”.

80 20 130

A B

110+

Começamos resolvendo pelo que é comum: 20 alunos gostam de ler os dois.Leem somente A: 100 – 20 = 80Leem somente B: 150 – 20 = 130Totaliza: 80 + 20 + 130 + 110 = 340 pessoas.


matemática

08. Resposta “D”.

1200 320 480

A B

Somente B: 800 – 320 = 480Usam A = total – somente B = 2000 – 480 = 1520.

09. Resposta “C”.

A B

26 14 21 59+

Começa-se resolvendo pelo AB, então somente A = 40 – 14 = 26 e somente B = 35 – 14 = 21.Somando-se A, B e AB têm-se 61, então o O são 120 – 61 = 59 pessoas.

10. Resposta “A”.- Jornal A → 0,8 – x- Jornal B → 0,6 – x- Intersecção → x

Então fica:

(0,8 - x) + (0,6 - x) + x = 1- x + 1,4 = 1- x = - 0,4x = 0,4.

Resposta “40% dos alunos leem ambos os jornais”.

Conectivos

Para compôr novas proposições, definidas como composta, a partir de outras proposições simples, usam-se os conectivos. Os conectivos mais usados são: “e”(˄), “ou”(˅), “se... então”(→) e “se e somente se”(↔).

Exemplos- Mônica é uma mulher bonita e o Brasil é um grande país.- Professor Fábio é esperto ou está doente.- Se eu comprar um carro, então venderei meu carro antigo.- Um número é primo se e somente se for divisível apenas por 1 e por si mesmo.

Operação Conectivo Estrutura Lógica ExemplosNegação ¬ Não p A bicicleta não é azul.

Conjunção ^ p e q Thiago é médico e João é Engenheiro.Disjunção Inclusiva v p ou q Thiago é médico ou João é Engenheiro.

Disjunção Exclusiva v Ou p ou q Ou Thiago é Médico ou João é Engenheiro.

Condicional → Se p então q Se Thiago é Médico então João é Engenheiro.Bicondicional ↔ p se e somente se q Thiago é médico se e somente se João é Médico.


matemática

Conectivo “e” (˄)

Sejam os argumentos:p: -3 é um número inteiro.q: a cobra é um réptil.Com os argumentos acima, podemos compôr uma sentença fechada, que expressa os dois argumentos: “-3 é um número inteiro e

a cobra é um réptil”. A sentença pode ser representada como p ˄ q, podemos receber um valor lógico, verdadeiro ou falso.

Conceito: Se p e q são duas proposições, a proposição p ˄ q será chamada de conjunção. Observe que uma conjunção p ˄ q só é verdadeira quando p e q são verdadeiras. Para a conjunção, tem-se a seguinte tabela-verdade:

p q p ˄ qV V VV F FF V FF F F

Atenção: Os conectivos são usados para interligar duas ou mais sentenças. E toda sentença interligada por conectivos terá um valor lógico, isto é, será verdadeira ou falsa. Sentenças interligadas pelo conectivo “e” possuirão o valor verdadeiro somente quando todas as sentenças, ou argumentos lógicos, tiverem valores verdadeiros.

Conectivo “ou” (V)

O conectivo “ou” pode ter dois significados:

1. “ou” inclusivo: Elisabete é bonita ou Elisabete é inteligente. (Nada impede que Elisabete seja bonita e inteligente)

2. “ou” exclusivo: Elisabete é paulista ou Elisabete é carioca. (Se Elisabete é paulista, não será carioca e vice-versa)

Atenção: Estudaremos o “ou” inclusivo, pois o elemento em questão pode possuir duas ou mais características, como o exemplo do item 1, em que Elisabete poderá possuir duas ou mais qualidades ou características. Sejam:

p: 3 é um número inteiro.q: o Brasil é pentacampeão mundial de futebol.A partir de p e q, podemos compor:p V q: 3 é um número inteiro ou o Brasil é pentacampeão mundial de futebol.Se p e q são duas proposições, a proposição p V q será chamada adjunção ou disjunção.

Observe que uma adjunção p V q é verdadeira quando uma das proposições formadoras, p ou q, é verdadeira. Para a adjunção, tem-se a seguinte tabela-verdade:

p q p V qV V VV F VF V VF F F

Atenção: O conectivo V, “ou”, é utilizado para interligar dois ou mais argumentos, resultando na união desses argumentos. O valor resultante da união de dois ou mais argumentos somente será falso quando todos os argumentos ou proposições forem falsos.


matemática

Conectivo “Se... então” (→)

Sejam as proposições abaixo:p: 5.4 = 20q: 3 é um número primo.A partir de p e q, podemos compor:p→q: se 5.4 = 20, então 3 é um número primo.

Conceito: Se p e q são duas proposições, a proposição p→q é chamada subjunção ou condicional. Considere a seguinte subjunção: “Se fizer sol, então irei à praia”.

1. Podem ocorrer as situações:2. Fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade)3. Fez sol e não fui à praia. (Eu menti)4. Não fez sol e não fui à praia. (Eu disse a verdade)5. Não fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade, pois eu não disse o que faria se não fizesse sol. Assim, poderia ir ou não ir à praia).

Observe que uma subjunção p→q somente será falsa quando a primeira proposição, p, for verdadeira e a segunda, q, for falsa. Para a subjunção, tem-se a seguinte tabela-verdade:

p q p→qV V VV F FF F VF V V

Existem outras maneiras de ler: p→q: “p é condição suficiente para q” ou, ainda, “q é condição necessária pra p”.

Sejam:p: 18 é divisível por 6.q: 18 é divisível por 2.Podemos compor:p→q: se 18 é divisível por 6, então 18 é divisível por 2, que se pode ler:- “18 é divisível por 6” é condição suficiente para “18 é divisível por 2” ou, ainda,- “18 é divisível por 2” é condição necessária para “18 é divisível por 6”.

Atenção: Dizemos que “p implica q” (p→q) quando estamos considerando uma relação entre duas proposições, compostas ou não, diferentemente do símbolo →, que denota uma operação entre duas proposições, resultando numa proposição.

Conectivo “Se e somente se” (↔)

Sejam:p: 16 / 3 = 8q: 2 é um número primo.

A partir de p e q, podemos compor:p↔q: 16 / 3 = 8 se e somente se 2 é um número primo.Se p e q são duas proposições, a proposição p↔q1 é chamada bijunção ou bicondicional, que também pode ser lida como: “p é

condição necessária e suficiente para q” ou, ainda, “q é condição necessária e suficiente para p”.

Considere, agora, a seguinte bijunção: “Irei à praia se e somente se fizer sol”. Podem ocorrer as situações:1. Fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade)2. Fez sol e não fui à praia. (Eu menti)3. Não fez sol e fui à praia. (Eu menti)4. Não fez sol e não fui à praia. (Eu disse a verdade)


matemática

Observe que uma bijunção só é verdadeira quando as proposições formadoras são ambas falsas ou ambas verdadeiras. Para a bijunção, tem-se a seguinte tabela-verdade:

p q p↔qV V VV F FF V FF F V

Devemos lembrar que p↔q é o mesmo que (p→q) ˄ (q→p). Assim, dizer “Hoje é sábado e somente se amanhã é domingo” é o mesmo que dizer: “Se hoje é sábado, então amanhã é domingo e, se amanhã é domingo, então hoje é sábado”.

Atenção: Dizemos que “p equivale a q” (p→q) quando estamos considerando uma relação entre duas ou mais proposições, diferentemente do símbolo ↔ , que denota uma operação entre duas proposições, resultando numa nova proposição. Exemplos:

1. Dar os valores lógicos das seguintes proposições compostas:a) p1 : 2 + 5 = 7 ou 2 + 5 = 6 Temos que p ˅ q, com p(V), q(F); portanto, p1 (V)b) p2 : se 2 + 4 = 8 se 2 + 4 = 8, então 2 = 6 = 9 Temos que p→q com p(F), q(F); portanto, p2 (V)

2. Estude os valores lógicos das sentenças abertas compostas: “se x² - 14x + 48 = 0, então x – 2 = 4”. Como x² - 14x + 48 = 0 ↔ x = 6 ou x = 8 e x – 2 = 4 ↔ x = 6, tem-se:

a) (VV) substituindo x por 6, temos o valor lógico V.b) (VF) substituindo x por 8, temos o valor lógico F.c) (FV) não se verifica.d) (FF) substituindo x por qualquer número real diferente de 6 e 8, temos o valor lógico V.

3. Sejam as proposições:p: Joana é graciosa.q: Fátima é tímida.Dar as sentenças verbais para: p→~qSe Joana é graciosa, então Fátima não é tímida.~(~p ∨ q)É falso que Joana não é graciosa ou que Fátima é tímida.

Atenção: O conectivo ↔ é usado quando se quer mostrar que dois argumentos são equivalentes. Por exemplo, quando dizemos que “todo número par é da forma 2n, n є N”, não é o mesmo que dizer que “os números pares são divisíveis por 2”.

Questões

01. (ICMS) Se você se esforçar então irá vencer. Assim sendo,(A) mesmo que se esforce, você não vencerá.(B) seu esforço é condição necessária para vencer.(C) se você não se esforçar então não irá vencer.(D) você vencerá só se se esforçar.(E) seu esforço é condição suficiente para vencer.

02. (Cespe - Analista do Seguro Social - INSS) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não como ambas. Se p e q são proposições, então a proposição “Se p então q”, denotada por P → Q, terá valor lógico F quando p for V e q for F, e, nos demais casos, será V. Uma expressão da forma ~p, a negação da proposição p, terá valores lógicos contrários aos de p. (p v q, lida como “p ou q”, terá valor lógico F quando p e q forem, ambas, F; nos demais casos, será V.


matemática

Considere as proposições simples e compostas apresentadas abaixo, denotadas por A, B e C, que podem ou não estar de acordo com o artigo 50 da Constituição Federal.

A: A prática do racismo é crime afiançável. B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado.

De acordo com as valorações V ou F atribuídas corretamente às proposições A, B e C, a partir da Constituição Federal, julgue o item. Para a simbolização apresentada acima e seus correspondentes valores lógicos, a proposição B = C é V. Certo ou Errado?

03. Roberta, Rejane e Renata são servidoras de um mesmo órgão público do Poder Executivo Federal. Em um treinamento, ao lidar com certa situação, observou-se que cada uma delas tomou uma das seguintes atitudes:

A1: deixou de utilizar avanços técnicos e científicos que estavam ao seu alcance; A2: alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências; A3: buscou evitar situações procrastinatórias.

Cada uma dessas atitudes, que pode ou não estar de acordo com o Código de Ética Profissional do Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal (CEP), foi tomada por exatamente uma das servidoras. Além disso, sabe-se que a servidora Renata tomou a atitude A3 e que a servidora Roberta não tomou a atitude A1. Essas informações estão comtempladas na tabela a seguir, em cada célula, correspondente ao cruzamento de uma linha com uma coluna, foi preenchida com V(verdadeiro) ou F(falso) caso contrario.

A1 A2 A3Roberta FRejaneRenata V

Com base nessas informações, julgue o item seguinte: Se p for a proposição “Rejane alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências” e q for a proposição” Renata buscou evitar situações procrastinatórias”, então a proposição pq tem valor lógico V. Certo ou errado?

04. (FCC - Oficial de Justiça - TJ/PE) Suponha que exista uma pessoa que só fala mentiras as terças, quartas e quintas-feiras, enquanto que, nos demais dias da semana, só fala a verdade. Nessas condições, somente em quais dias da semana seria possível ela fazer a afirmação “Eu menti ontem e também mentirei amanha”?

(A) Terça e quinta-feira. (B) Terça e sexta-feira. (C) Quarta e quinta-feira. (D) Quarta-feira e sábado. (E) Quinta-feira e domingo.

05. Na análise de um argumento, podem-se evitar considerações subjetivas, por meio da reescrita das proposições envolvidas na linguagem da lógica formal. Considere que P, Q, R e S sejam proposições e que “ ∨”, “ ∨ ”, “¬” e “→” sejam os conectores lógicos que representam, respectivamente, “e”, “ou”, “negação” e o “conector condicional”. Considere também a proposição a seguir: Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus ou de metrô, ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado.

Assinale a opção que expressa corretamente a proposição acima em linguagem da lógica formal, assumindo que:P= “Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus”;Q= “Quando Paulo vai ao trabalho de metrô”;R= “ele sempre leva um guarda-chuva”;S= “ele sempre leva dinheiro trocado”.

(A) P→ (Q ∨ R)(B) (P → Q) ∨ R(C) (P ∨ Q) ∨ (R ∨ S)(D) P ∨ (Q ∨ (R ∨ S))


matemática

Respostas

01. Resposta “E”.Aqui estamos tratando de uma proposição composta (Se você se esforçar então irá vencer) formada por duas proposições simples

(você se esforçar) (irá vencer), ligadas pela presença do conectivo (→) “se então”. O conectivo “se então” liga duas proposições simples da seguinte forma:

Se p então q, ou seja:→ p será uma proposição simples que por estar antes do então é também conhecida como antecedente→ q será uma proposição simples que por estar depois do então é também conhecida como consequente→ Se p então q também pode ser lido como p implica em q→ p é conhecida como condição suficiente para que q ocorra, ou seja, basta que p ocorra para q ocorrer.→ q é conhecida como condição necessária para que p ocorra, ou seja, se q não ocorrer então p também não irá ocorrer.

Logo a seguir está a tabela verdade do “se então”. Tabela Verdade é a forma de representar todas as combinações possíveis de valores verdadeiros ou falsos de determinadas proposições, sejam elas simples ou compostas. Observe que para quaisquer valores lógicos de p e q (na realidade uma combinação de valores de verdadeiros e falsos poderá ocorrer e está sendo estudada logo abaixo). O número de linhas de uma tabela verdade é dado por: 2n onde n = número de proposições simples. Na tabela verdade são duas proposições simples e ao todo 22 = 4 linhas.

p q p→qV V VV F FF V VF F V

Poderíamos resumir a tabela verdade do conectivo “se então” pela seguinte regra: “A implicação p→q só será FALSA quando p for VERDADEIRA e q for FALSA, nesta ordem”. Observe que estamos falando da segunda linha. Observe também que todos os demais valores lógicos de p→q que não se tratam da regra passam a ser verdadeiros (1ª, 3ª e 4ª linhas).

Agora por definição informamos que dado que p→q se verifica então também se verifica que ~q→~p. Para analisarmos esta afirmação devemos conhecer um novo conectivo, o conectivo “não” ou “negação”, cuja tabela verdade se verifica a seguir:

p ~pV FF V

O “~” representa o conectivo “não” e a tabela verdade do conectivo não é a inversão do valor lógico da proposição, vejamos, se a proposição p é verdadeira, então ~p é falsa e viceversa, se a proposição p é falsa, ~p é verdadeira. Desse modo vamos comprovar o que foi afirmado logicamente, ou seja, dado que p→q posso afirmar que negando a condição necessária eu nego a condição suficiente, observe através da tabela verdade:

p q ~p ~q p→q ~q→~pV V F F V VV F F V F FF V V F V VF F V V V V

Observe que para a mesma entrada de valores (V) ou (F) as colunas que representam os possíveis valores de p→q e de ~q→~p são exatamente iguais, o que equivale a afirmar que são expressões logicamente equivalentes. Sabendo um pouco mais a respeito do “se então” vamos ao exercício:


matemática

Se você se esforçar então irá vencer→ você se esforçar é a proposição p também conhecida como antecedente.→ irá vencer é a proposição q também conhecida como consequente.→ você se esforçar é a proposição p também conhecida como condição suficiente para que ocorra q→ irá vencer é a proposição

q também conhecida como condição necessária para que ocorra q→.

Dado p→q é uma equivalente lógica de: ~q→~p. Ou seja, Se você se esforçar então irá vencer é uma equivalente lógica de Se você não venceu então você não se esforçou. Observe que p e q podem ser quaisquer conjuntos de palavras ou símbolos que expressam um sentido completo, por mais absurdo que pareça basta estar na forma do conectivo “se então” que as regras acima transpostas estão logicamente corretas. Vamos analisar as alternativas:

Se você se esforçar então irá vencer. Assim sendo,a) errada, a alternativa “A” encontra erro uma vez que você se esforçar é a condição suficiente para que você vença, ou seja, basta

que você se esforce que você irá vencer, e a afirmação nega isto.b) errada, na forma p→q, o p é o antecedente e condição suficiente para que q ocorra.c) errada, esta afirmação sempre vai cair em prova.

Cuidado: Sempre vai levar muitos candidatos ao erro, ao afirmar: Se você se esforçar então irá vencer a única conclusão possível é de que basta que você se esforce que você irá vencer, e se você não se esforçar, ora se não ocorreu a condição suficiente nada posso afirmar, se você não se esforçar você poderá ou não vencer. Na tabela verdade é possível comprovar que (Se você se esforçar então irá vencer p→q) e (Se você não se esforçar então não irá vencer ~p→~q) não são equivalentes lógicas. Observe que as proposições p→q e ~p→~q não apresentam os mesmos valores lógicos, ou seja, afirmar uma não quer dizer afirmar a outra.

d) errada, você vencerá só se se esforçar, indica que seu esforço é condição necessária para você vencer, o que não é verdade.e) correta, seu esforço (você se esforçar) é condição suficiente para que você vença.

02. Resposta “Errado”.

Analisando as proposições:A: “A prática do racismo é crime afiançável”- é falsaB: “A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado” - é verdadeira;C: “Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado” - é falsa.

Então, a proposição composta “B - C” pode ser traduzida em “V > F” e, pela regra do conectivo → (implica), a proposição composta terá valor lógico F.

03. Resposta “Certo”.

Sabendo que cada uma das servidoras tomou apenas uma das atitudes, basta completar a tabela de acordo com os dados do enunciado:

A1 A2 A3

Roberta F V F

Rejane V F F

Renata F F V

Analisando a questão: Como (a proposição p) “Rejane alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências” tem valor lógico F e (a proposição q) “Renata buscou evitar situações procrastinatórias” tem valor lógico V, a proposição “p → q” pode ser traduzida em “F → V” e, pela regra do conectivo → (implica), o valor lógico da proposição é V.


matemática

04. Resposta “A”.

Pelo enunciado, sabemos que a pessoa só fala mentiras as terças, quartas e quintas-feiras. Com o conectivo “e”, para se ter uma verdade, ambas as sentenças devem ser verdadeiras. Assim, nesse problema, é preciso analisar dia a dia e procurar um em que não ocorra contradição.

- Domingo, segunda, sexta, sábado: a sentença é falsa, pois nesses dias a pessoa fala a verdade. Portanto, temos uma contradição. - Terça e quinta: a sentença é falsa, mas como a pessoa sempre mente na terça e na quinta, não há contradição. - Quarta: a sentença é verdadeira, mas como a pessoa mente na quarta, há contradição. Então, a alternativa “A” satisfaz ao

enunciado.

05. Resposta “C”.

A proposição composta original possui uma divisão principal, que é o fato de Paulo trabalhar de ônibus ou metrô; outro aspecto é o fato de ele levar guarda-chuva e dinheiro trocado. Portanto, o conectivo ∨ é o principal, interligando as duas partes da proposição. Na primeira parte da proposição, ou Paulo vai ao trabalho de ônibus ou vai de metrô. Nesse caso, essa proposição é interligada pelo conectivo “ou”: P ∨ Q.

Já na parte final da proposição, como ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado, essa parte da proposição é interligada pelo conectivo “e”: R ∨ S. Reunindo então as duas partes da proposição original, obtém-se (P ∨ Q) ∨ (R ∨ S).

Lógica Sequencial

O Raciocínio é uma operação lógica, discursiva e mental. Neste, o intelecto humano utiliza uma ou mais proposições, para concluir através de mecanismos de comparações e abstrações, quais são os dados que levam às respostas verdadeiras, falsas ou prováveis. Foi pelo processo do raciocínio que ocorreu o desenvolvimento do método matemático, este considerado instrumento puramente teórico e dedutivo, que prescinde de dados empíricos. Logo, resumidamente o raciocínio pode ser considerado também um dos integrantes dos mecanismos dos processos cognitivos superiores da formação de conceitos e da solução de problemas, sendo parte do pensamento.

Sequências Lógicas

As sequências podem ser formadas por números, letras, pessoas, figuras, etc. Existem várias formas de se estabelecer uma sequência, o importante é que existam pelo menos três elementos que caracterize a lógica de sua formação, entretanto algumas séries necessitam de mais elementos para definir sua lógica. Algumas sequências são bastante conhecidas e todo aluno que estuda lógica deve conhecê-las, tais como as progressões aritméticas e geométricas, a série de Fibonacci, os números primos e os quadrados perfeitos.

Sequência de Números

Progressão Aritmética: Soma-se constantemente um mesmo número.

Progressão Geométrica: Multiplica-se constantemente um mesmo número.

Incremento em Progressão: O valor somado é que está em progressão.


matemática

Série de Fibonacci: Cada termo é igual a soma dos dois anteriores.

1 1 2 3 5 8 13

Números Primos: Naturais que possuem apenas dois divisores naturais.

2 3 5 7 11 13 17

Quadrados Perfeitos: Números naturais cujas raízes são naturais.

1 4 9 16 25 36 49

Sequência de Letras

As sequências de letras podem estar associadas a uma série de números ou não. Em geral, devemos escrever todo o alfabeto (observando se deve, ou não, contar com k, y e w) e circular as letras dadas para entender a lógica proposta.

A C F J O U

Observe que foram saltadas 1, 2, 3, 4 e 5 letras e esses números estão em progressão.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U

B1 2F H4 8L N16 32R T64

Nesse caso, associou-se letras e números (potências de 2), alternando a ordem. As letras saltam 1, 3, 1, 3, 1, 3 e 1 posições.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T

Sequência de Pessoas

Na série a seguir, temos sempre um homem seguido de duas mulheres, ou seja, aqueles que estão em uma posição múltipla de três (3º, 6º, 9º, 12º,...) serão mulheres e a posição dos braços sempre alterna, ficando para cima em uma posição múltipla de dois (2º, 4º, 6º, 8º,...). Sendo assim, a sequência se repete a cada seis termos, tornando possível determinar quem estará em qualquer posição.

Sequência de Figuras

Esse tipo de sequência pode seguir o mesmo padrão visto na sequência de pessoas ou simplesmente sofrer rotações, como nos exemplos a seguir.


matemática

Sequência de Fibonacci

O matemático Leonardo Pisa, conhecido como Fibonacci, propôs no século XIII, a sequência numérica: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …). Essa sequência tem uma lei de formação simples: cada elemento, a partir do terceiro, é obtido somando-se os dois anteriores. Veja: 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5 e assim por diante. Desde o século XIII, muitos matemáticos, além do próprio Fibonacci, dedicaram-se ao estudo da sequência que foi proposta, e foram encontradas inúmeras aplicações para ela no desenvolvimento de modelos explicativos de fenômenos naturais.

Veja alguns exemplos das aplicações da sequência de Fibonacci e entenda porque ela é conhecida como uma das maravilhas da Matemática. A partir de dois quadrados de lado 1, podemos obter um retângulo de lados 2 e 1. Se adicionarmos a esse retângulo um quadrado de lado 2, obtemos um novo retângulo 3 x 2. Se adicionarmos agora um quadrado de lado 3, obtemos um retângulo 5 x 3. Observe a figura a seguir e veja que os lados dos quadrados que adicionamos para determinar os retângulos formam a sequência de Fibonacci.

Se utilizarmos um compasso e traçarmos o quarto de circunferência inscrito em cada quadrado, encontraremos uma espiral formada pela concordância de arcos cujos raios são os elementos da sequência de Fibonacci.

O Partenon que foi construído em Atenas pelo célebre arquiteto grego Fidias. A fachada principal do edifício, hoje em ruínas, era um retângulo que continha um quadrado de lado igual à altura. Essa forma sempre foi considerada satisfatória do ponto de vista estético por suas proporções sendo chamada retângulo áureo ou retângulo de ouro.


matemática

Como os dois retângulos indicados na figura são semelhantes temos: (1).

Como: b = y – a (2). Substituindo (2) em (1) temos: y2 – ay – a2 = 0. Resolvendo a equação:

em que não convém.

Logo:

Esse número é conhecido como número de ouro e pode ser representado por:

Todo retângulo e que a razão entre o maior e o menor lado for igual a é chamado retângulo áureo como o caso da fachada do Partenon.

As figuras a seguir possuem números que representam uma sequência lógica. Veja os exemplos:

Exemplo 1

A sequência numérica proposta envolve multiplicações por 4.6 x 4 = 2424 x 4 = 9696 x 4 = 384384 x 4 = 1536

Exemplo 2


matemática

A diferença entre os números vai aumentando 1 unidade.13 – 10 = 317 – 13 = 422 – 17 = 528 – 22 = 635 – 28 = 7

Exemplo 3

Multiplicar os números sempre por 3.1 x 3 = 33 x 3 = 99 x 3 = 2727 x 3 = 8181 x 3 = 243243 x 3 = 729729 x 3 = 2187

Exemplo 4

A diferença entre os números vai aumentando 2 unidades.24 – 22 = 228 – 24 = 434 – 28 = 642 – 34 = 852 – 42 = 1064 – 52 = 1278 – 64 = 14


matemática

QUESTÕES

01. Observe atentamente a disposição das cartas em cada linha do esquema seguinte:

A carta que está oculta é:

(A) (B) (C)

(D) (E)

02. Considere que a sequência de figuras foi construída segundo um certo critério.

Se tal critério for mantido, para obter as figuras subsequentes, o total de pontos da figura de número 15 deverá ser:(A) 69 (B) 67 (C) 65 (D) 63 (E) 61


matemática

03. O próximo número dessa sequência lógica é: 1000, 990, 970, 940, 900, 850, ...(A) 800 (B) 790 (C) 780 (D) 770

04. Na sequência lógica de números representados nos hexágonos, da figura abaixo, observa-se a ausência de um deles que pode ser:

(A) 76(B) 10 (C) 20 (D) 78

05. Uma criança brincando com uma caixa de palitos de fósforo constrói uma sequência de quadrados conforme indicado abaixo:

1° 2° 3°

.............

Quantos palitos ele utilizou para construir a 7ª figura? (A) 20 palitos (B) 25 palitos (C) 28 palitos (D) 22 palitos

06. Ana fez diversas planificações de um cubo e escreveu em cada um, números de 1 a 6. Ao montar o cubo, ela deseja que a soma dos números marcados nas faces opostas seja 7. A única alternativa cuja figura representa a planificação desse cubo tal como deseja Ana é:

(A)

1 3 62 4 5

(B)4

5 1 2 36

(C)5

6 4 1 23


matemática

(D)2

3 6 14 5

(E)3

2 1 6 54

07. As figuras da sequência dada são formadas por partes iguais de um círculo.

Continuando essa sequência, obtém-se exatamente 16 círculos completos na:(A) 36ª figura(B) 48ª figura(C) 72ª figura(D) 80ª figura(E) 96ª figura

08. Analise a sequência a seguir:

Admitindo-se que a regra de formação das figuras seguintes permaneça a mesma, pode-se afirmar que a figura que ocuparia a 277ª posição dessa sequência é:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)


matemática

09. Observe a sequência: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ... Qual é o próximo número?(A) 20 (B) 21 (C) 100 (D) 200

10. Observe a sequência: 3,13, 30, ... Qual é o próximo número?(A) 4 (B) 20 (C) 31 (D) 21

11. Os dois pares de palavras abaixo foram formados segundo determinado critério.

LACRAÇÃO → calAMOSTRA → somaLAVRAR → ?

Segundo o mesmo critério, a palavra que deverá ocupar o lugar do ponto de interrogação é:(A) alar(B) rala(C) ralar(D) larva(E) arval

12. Observe que as figuras abaixo foram dispostas, linha a linha, segundo determinado padrão.

Segundo o padrão estabelecido, a figura que substitui corretamente o ponto de interrogação é:

(A) (B) (C)

(D) (E)

13. Observe que na sucessão seguinte os números foram colocados obedecendo a uma lei de formação.


matemática

Os números X e Y, obtidos segundo essa lei, são tais que X + Y é igual a:(A) 40(B) 42(C) 44(D) 46(E) 48

14. A figura abaixo representa algumas letras dispostas em forma de triângulo, segundo determinado critério.

Considerando que na ordem alfabética usada são excluídas as letra “K”, “W” e “Y”, a letra que substitui corretamente o ponto de interrogação é:

(A) P(B) O(C) N(D) M(E) L

15. Considere que a sequência seguinte é formada pela sucessão natural dos números inteiros e positivos, sem que os algarismos sejam separados.

1234567891011121314151617181920...

O algarismo que deve aparecer na 276ª posição dessa sequência é:(A) 9(B) 8(C) 6(D) 3(E) 1

16. Em cada linha abaixo, as três figuras foram desenhadas de acordo com determinado padrão.


matemática

Segundo esse mesmo padrão, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é:

(A) (B)

(C) (D)

(E)

17. Observe que, na sucessão de figuras abaixo, os números que foram colocados nos dois primeiros triângulos obedecem a um mesmo critério.

Para que o mesmo critério seja mantido no triângulo da direita, o número que deverá substituir o ponto de interrogação é:(A) 32(B) 36(C) 38(D) 42(E) 46

18. Considere a seguinte sequência infinita de números: 3, 12, 27, __, 75, 108,... O número que preenche adequadamente a quarta posição dessa sequência é:

(A) 36,(B) 40,(C) 42,(D) 44,(E) 48

19. Observando a sequência (1, , , , , ...) o próximo numero será:

(A)

(B)

(C)

(D)


matemática

20. Considere a sequência abaixo: BBB BXB XXBXBX XBX XBXBBB BXB BXX

O padrão que completa a sequência é:

(A) (B) (C)XXX XXB XXXXXX XBX XXXXXX BXX XXB

(D) (E) XXX XXXXBX XBXXXX BXX

21. Na série de Fibonacci, cada termo a partir do terceiro é igual à soma de seus dois termos precedentes. Sabendo-se que os dois primeiros termos, por definição, são 0 e 1, o sexto termo da série é:

(A) 2(B) 3(C) 4(D) 5(E) 6

22. Nosso código secreto usa o alfabeto A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z. Do seguinte modo: cada letra é substituída pela letra que ocupa a quarta posição depois dela. Então, o “A” vira “E”, o “B” vira “F”, o “C” vira “G” e assim por diante. O código é “circular”, de modo que o “U” vira “A” e assim por diante. Recebi uma mensagem em código que dizia: BSA HI EDAP. Decifrei o código e li:

(A) FAZ AS DUAS;(B) DIA DO LOBO;(C) RIO ME QUER;(D) VIM DA LOJA;(E) VOU DE AZUL.

23. A sentença “Social está para laicos assim como 231678 está para...” é melhor completada por:(A) 326187;(B) 876132;(C) 286731;(D) 827361;(E) 218763.

24. A sentença “Salta está para Atlas assim como 25435 está para...” é melhor completada pelo seguinte número:(A) 53452;(B) 23455;(C) 34552;(D) 43525;(E) 53542.

25. Repare que com um número de 5 algarismos, respeitada a ordem dada, podem-se criar 4 números de dois algarismos. Por exemplo: de 34.712, podem-se criar o 34, o 47, o 71 e o 12. Procura-se um número de 5 algarismos formado pelos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8, sem repetição. Veja abaixo alguns números desse tipo e, ao lado de cada um deles, a quantidade de números de dois algarismos que esse número tem em comum com o número procurado.


matemática

Número dado

Quantidade de números de 2 algarismos em comum

48.765 1

86.547 0

87.465 2

48.675 1

O número procurado é:(A) 87456(B) 68745(C) 56874(D) 58746(E) 46875

26. Considere que os símbolos ♦ e ♣ que aparecem no quadro seguinte, substituem as operações que devem ser efetuadas em cada linha, a fim de se obter o resultado correspondente, que se encontra na coluna da extrema direita.

36 ♦ 4 ♣ 5 = 14

48 ♦ 6 ♣ 9 = 17

54 ♦ 9 ♣ 7 = ?

Para que o resultado da terceira linha seja o correto, o ponto de interrogação deverá ser substituído pelo número:(A) 16(B) 15(C) 14(D) 13(E) 12

27. Segundo determinado critério, foi construída a sucessão seguinte, em que cada termo é composto de um número seguido de uma letra: A1 – E2 – B3 – F4 – C5 – G6 – .... Considerando que no alfabeto usado são excluídas as letras K, Y e W, então, de acordo com o critério estabelecido, a letra que deverá anteceder o número 12 é:

(A) J(B) L(C) M(D) N(E) O

28. Os nomes de quatro animais – MARÁ, PERU, TATU e URSO – devem ser escritos nas linhas da tabela abaixo, de modo que cada uma das suas respectivas letras ocupe um quadrinho e, na diagonal sombreada, possa ser lido o nome de um novo animal.


matemática

Excluídas do alfabeto as letras K, W e Y e fazendo cada letra restante corresponder ordenadamente aos números inteiros de 1 a 23 (ou seja, A = 1, B = 2, C = 3,..., Z = 23), a soma dos números que correspondem às letras que compõem o nome do animal é:

(A) 37(B) 39(C) 45(D) 49(E) 51

Nas questões 29 e 30, observe que há uma relação entre o primeiro e o segundo grupos de letras. A mesma relação deverá existir entre o terceiro grupo e um dos cinco grupos que aparecem nas alternativas, ou seja, aquele que substitui corretamente o ponto de interrogação. Considere que a ordem alfabética adotada é a oficial e exclui as letras K, W e Y.

29. CASA: LATA: LOBO: ?(A) SOCO(B) TOCO(C) TOMO(D) VOLO(E) VOTO

30. ABCA: DEFD: HIJH: ?(A) IJLI(B) JLMJ(C) LMNL(D) FGHF(E) EFGE

31. Os termos da sucessão seguinte foram obtidos considerando uma lei de formação (0, 1, 3, 4, 12, 123,...). Segundo essa lei, o décimo terceiro termo dessa sequência é um número:

(A) Menor que 200.(B) Compreendido entre 200 e 400.(C) Compreendido entre 500 e 700.(D) Compreendido entre 700 e 1.000.(E) Maior que 1.000.

Para responder às questões de números 32 e 33, você deve observar que, em cada um dos dois primeiros pares de palavras dadas, a palavra da direita foi obtida da palavra da esquerda segundo determinado critério. Você deve descobrir esse critério e usá-lo para encontrar a palavra que deve ser colocada no lugar do ponto de interrogação.

32. Ardoroso → rodo Dinamizar → mina Maratona → ?(A) mana(B) toma(C) tona(D) tora(E) rato

33. Arborizado → azarAsteroide → diasArticular → ?(A) luar(B) arar(C) lira(D) luta(E) rara


matemática

34. Preste atenção nesta sequência lógica e identifique quais os números que estão faltando: 1, 1, 2, __, 5, 8, __,21, 34, 55, __, 144, __...

35. Uma lesma encontra-se no fundo de um poço seco de 10 metros de profundidade e quer sair de lá. Durante o dia, ela consegue subir 2 metros pela parede; mas à noite, enquanto dorme, escorrega 1 metro. Depois de quantos dias ela consegue chegar à saída do poço?

36. Quantas vezes você usa o algarismo 9 para numerar as páginas de um livro de 100 páginas?

37. Quantos quadrados existem na figura abaixo?

38. Retire três palitos e obtenha apenas três quadrados.

39. Qual será o próximo símbolo da sequência abaixo?

[40. Reposicione dois palitos e obtenha uma figura com cinco quadrados iguais.


matemática

41. Observe as multiplicações a seguir:12.345.679 × 18 = 222.222.22212.345.679 × 27 = 333.333.333... ...12.345.679 × 54 = 666.666.666

Para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por quanto?

42. Esta casinha está de frente para a estrada de terra. Mova dois palitos e faça com que fique de frente para a estrada asfaltada.

43. Remova dois palitos e deixe a figura com dois quadrados.

44. As cartas de um baralho foram agrupadas em pares, segundo uma relação lógica. Qual é a carta que está faltando, sabendo que K vale 13, Q vale 12, J vale 11 e A vale 1?

45. Mova um palito e obtenha um quadrado perfeito.


matemática

46. Qual o valor da pedra que deve ser colocada em cima de todas estas para completar a sequência abaixo?

47. Mova três palitos nesta figura para obter cinco triângulos.

48. Tente dispor 6 moedas em 3 fileiras de modo que em cada fileira fiquem apenas 3 moedas.

49. Reposicione três palitos e obtenha cinco quadrados.

50. Mude a posição de quatro palitos e obtenha cinco triângulos.

Respostas

01. Resposta: “A”. A diferença entre os números estampados nas cartas 1 e 2, em cada linha, tem como resultado o valor da 3ª carta e, além disso, o

naipe não se repete. Assim, a 3ª carta, dentro das opções dadas só pode ser a da opção (A).


matemática

02. Resposta “D”.Observe que, tomando o eixo vertical como eixo de simetria, tem-se: Na figura 1: 01 ponto de cada lado 02 pontos no total. Na figura 2: 02 pontos de cada lado 04 pontos no total. Na figura 3: 03 pontos de cada lado 06 pontos no total. Na figura 4: 04 pontos de cada lado 08 pontos no total. Na figura n: n pontos de cada lado 2.n pontos no total.

Em particular: Na figura 15: 15 pontos de cada lado 30 pontos no total.

Agora, tomando o eixo horizontal como eixo de simetria, tem-se:Na figura 1: 02 pontos acima e abaixo 04 pontos no total. Na figura 2: 03 pontos acima e abaixo 06 pontos no total. Na figura 3: 04 pontos acima e abaixo 08 pontos no total. Na figura 4: 05 pontos acima e abaixo 10 pontos no total.Na figura n: (n+1) pontos acima e abaixo 2.(n+1) pontos no total.

Em particular: Na figura 15: 16 pontos acima e abaixo 32 pontos no total. Incluindo o ponto central, que ainda não foi considerado, temos

para total de pontos da figura 15: Total de pontos = 30 + 32 + 1 = 63 pontos.

03. Resposta “B”.Nessa sequência, observamos que a diferença: entre 1000 e 990 é 10, entre 990 e 970 é 20, entre o 970 e 940 é 30, entre 940 e

900 é 40, entre 900 e 850 é 50, portanto entre 850 e o próximo número é 60, dessa forma concluímos que o próximo número é 790, pois: 850 – 790 = 60.

04. Resposta “D”Nessa sequência lógica, observamos que a diferença: entre 24 e 22 é 2, entre 28 e 24 é 4, entre 34 e 28 é 6, entre 42 e 34 é 8,

entre 52 e 42 é 10, entre 64 e 52 é 12, portanto entre o próximo número e 64 é 14, dessa forma concluímos que o próximo número é 78, pois: 76 – 64 = 14.

05. Resposta “D”. Observe a tabela:

Figuras 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ªNº de Palitos 4 7 10 13 16 19 22

Temos de forma direta, pela contagem, a quantidade de palitos das três primeiras figuras. Feito isto, basta perceber que cada figura a partir da segunda tem a quantidade de palitos da figura anterior acrescida de 3 palitos. Desta forma, fica fácil preencher o restante da tabela e determinar a quantidade de palitos da 7ª figura.

06. Resposta “A”.Na figura apresentada na letra “B”, não é possível obter a planificação de um lado, pois o 4 estaria do lado oposto ao 6, somando

10 unidades. Na figura apresentada na letra “C”, da mesma forma, o 5 estaria em face oposta ao 3, somando 8, não formando um lado. Na figura da letra “D”, o 2 estaria em face oposta ao 4, não determinando um lado. Já na figura apresentada na letra “E”, o 1 não estaria em face oposta ao número 6, impossibilitando, portanto, a obtenção de um lado. Logo, podemos concluir que a planificação apresentada na letra “A” é a única para representar um lado.

07. Resposta “B”. Como na 3ª figura completou-se um círculo, para completar 16 círculos é suficiente multiplicar 3 por 16 : 3 . 16 = 48. Portanto,

na 48ª figura existirão 16 círculos.


matemática

08. Resposta “B”.A sequência das figuras completa-se na 5ª figura. Assim, continua-se a sequência de 5 em 5 elementos. A figura de número 277

ocupa, então, a mesma posição das figuras que representam número 5n + 2, com n N. Ou seja, a 277ª figura corresponde à 2ª figura, que é representada pela letra “B”.

09. Resposta “D”. A regularidade que obedece a sequência acima não se dá por padrões numéricos e sim pela letra que inicia cada número. “Dois,

Dez, Doze, Dezesseis, Dezessete, Dezoito, Dezenove, ... Enfim, o próximo só pode iniciar também com “D”: Duzentos.

10. Resposta “C”.Esta sequência é regida pela inicial de cada número. Três, Treze, Trinta,... O próximo só pode ser o número Trinta e um, pois ele

inicia com a letra “T”.

11. Resposta “E”.Na 1ª linha, a palavra CAL foi retirada das 3 primeiras letras da palavra LACRAÇÃO, mas na ordem invertida. Da mesma forma,

na 2ª linha, a palavra SOMA é retirada da palavra AMOSTRA, pelas 4 primeira letras invertidas. Com isso, da palavra LAVRAR, ao se retirarem as 5 primeiras letras, na ordem invertida, obtém-se ARVAL.

12. Resposta “C”. Em cada linha apresentada, as cabeças são formadas por quadrado, triângulo e círculo. Na 3ª linha já há cabeças com círculo e

com triângulo. Portanto, a cabeça da figura que está faltando é um quadrado. As mãos das figuras estão levantadas, em linha reta ou abaixadas. Assim, a figura que falta deve ter as mãos levantadas (é o que ocorre em todas as alternativas). As figuras apresentam as 2 pernas ou abaixadas, ou 1 perna levantada para a esquerda ou 1 levantada para a direita. Nesse caso, a figura que está faltando na 3ª linha deve ter 1 perna levantada para a esquerda. Logo, a figura tem a cabeça quadrada, as mãos levantadas e a perna erguida para a esquerda.

13. Resposta “A”. Existem duas leis distintas para a formação: uma para a parte superior e outra para a parte inferior. Na parte superior, tem-se que:

do 1º termo para o 2º termo, ocorreu uma multiplicação por 2; já do 2º termo para o 3º, houve uma subtração de 3 unidades. Com isso, X é igual a 5 multiplicado por 2, ou seja, X = 10. Na parte inferior, tem-se: do 1º termo para o 2º termo ocorreu uma multiplicação por 3; já do 2º termo para o 3º, houve uma subtração de 2 unidades. Assim, Y é igual a 10 multiplicado por 3, isto é, Y = 30. Logo, X + Y = 10 + 30 = 40.

14. Resposta “A”.

A sequência do alfabeto inicia-se na extremidade direita do triângulo, pela letra “A”; aumenta a direita para a esquerda; continua pela 3ª e 5ª linhas; e volta para as linhas pares na ordem inversa – pela 4ª linha até a 2ª linha. Na 2ª linha, então, as letras são, da direita para a esquerda, “M”, “N”, “O”, e a letra que substitui corretamente o ponto de interrogação é a letra “P”.

15. Resposta “B”. A sequência de números apresentada representa a lista dos números naturais. Mas essa lista contém todos os algarismos dos

números, sem ocorrer a separação. Por exemplo: 101112 representam os números 10, 11 e 12. Com isso, do número 1 até o número 9 existem 9 algarismos. Do número 10 até o número 99 existem: 2 x 90 = 180 algarismos. Do número 100 até o número 124 existem: 3 x 25 = 75 algarismos. E do número 124 até o número 128 existem mais 12 algarismos. Somando todos os valores, tem-se: 9 + 180 + 75 + 12 = 276 algarismos. Logo, conclui-se que o algarismo que ocupa a 276ª posição é o número 8, que aparece no número 128.

16. Resposta “D”.Na 1ª linha, internamente, a 1ª figura possui 2 “orelhas”, a 2ª figura possui 1 “orelha” no lado esquerdo e a 3ª figura possui 1

“orelha” no lado direito. Esse fato acontece, também, na 2ª linha, mas na parte de cima e na parte de baixo, internamente em relação às figuras. Assim, na 3ª linha ocorrerá essa regra, mas em ordem inversa: é a 3ª figura da 3ª linha que terá 2 “orelhas” internas, uma em cima e outra em baixo. Como as 2 primeiras figuras da 3ª linha não possuem “orelhas” externas, a 3ª figura também não terá orelhas externas. Portanto, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é a 4ª.


matemática

17. Resposta “B”. No 1º triângulo, o número que está no interior do triângulo dividido pelo número que está abaixo é igual à diferença entre o

número que está à direita e o número que está à esquerda do triângulo: 40 5 21 13 8.A mesma regra acontece no 2º triângulo: 42 ÷ 7 = 23 - 17 = 6.Assim, a mesma regra deve existir no 3º triângulo:? ÷ 3 = 19 - 7? ÷ 3 = 12? = 12 x 3 = 36.

18. Resposta “E”.Verifique os intervalos entre os números que foram fornecidos. Dado os números 3, 12, 27, __, 75, 108, obteve-se os seguintes 9,

15, __, __, 33 intervalos. Observe que 3x3, 3x5, 3x7, 3x9, 3x11. Logo 3x7 = 21 e 3x 9 = 27. Então: 21 + 27 = 48.

19. Resposta “B”. Observe que o numerador é fixo, mas o denominador é formado pela sequência:

Primeiro Segundo Terceiro Quarto Quinto Sexto

1 1 x 2 = 2 2 x 3 = 6 3 x 4 = 12

4 x 5 = 20

5 x 6 = 30

20. Resposta “D”. O que de início devemos observar nesta questão é a quantidade de B e de X em cada figura. Vejamos:

BBB BXB XXB XBX XBX XBXBBB BXB BXX7B e 2X 5B e 4X 3B e 6X

Vê-se, que os “B” estão diminuindo de 2 em 2 e que os “X” estão aumentando de 2 em 2; notem também que os “B” estão sendo retirados um na parte de cima e um na parte de baixo e os “X” da mesma forma, só que não estão sendo retirados, estão, sim, sendo colocados. Logo a 4ª figura é:

XXXXBXXXX1B e 8X

21. Resposta “D”. Montando a série de Fibonacci temos: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... A resposta da questão é a alternativa “D”, pois como a

questão nos diz, cada termo a partir do terceiro é igual à soma de seus dois termos precedentes. 2 + 3 = 5

22. Resposta “E”. A questão nos informa que ao se escrever alguma mensagem, cada letra será substituída pela letra que ocupa a quarta posição,

além disso, nos informa que o código é “circular”, de modo que a letra “U” vira “A”. Para decifrarmos, temos que perceber a posição do emissor e do receptor. O emissor ao escrever a mensagem conta quatro letras à frente para representar a letra que realmente deseja, enquanto que o receptor, deve fazer o contrário, contar quatro letras atrás para decifrar cada letra do código. No caso, nos foi dada a frase para ser decifrada, vê-se, pois, que, na questão, ocupamos a posição de receptores. Vejamos a mensagem: BSA HI EDAP. Cada letra da mensagem representa a quarta letra anterior de modo que:

VxzaB: B na verdade é V;OpqrS: S na verdade é O;UvxzA: A na verdade é U;DefgH: H na verdade é D;EfghI: I na verdade é E;


matemática

AbcdE: E na verdade é A;ZabcD: D na verdade é Z;UvxaA: A na verdade é U;LmnoP: P na verdade é L;

23. Resposta “B”. A questão nos traz duas palavras que têm relação uma com a outra e, em seguida, nos traz uma sequência numérica. É perguntado

qual sequência numérica tem a mesma ralação com a sequência numérica fornecida, de maneira que, a relação entre as palavras e a sequência numérica é a mesma. Observando as duas palavras dadas, podemos perceber facilmente que têm cada uma 6 letras e que as letras de uma se repete na outra em uma ordem diferente. Tal ordem, nada mais é, do que a primeira palavra de trás para frente, de maneira que SOCIAL vira LAICOS. Fazendo o mesmo com a sequência numérica fornecida, temos: 231678 viram 876132, sendo esta a resposta.

24. Resposta “A”. A questão nos traz duas palavras que têm relação uma com a outra, e em seguida, nos traz uma sequência numérica. Foi perguntado

qual a sequência numérica que tem relação com a já dada de maneira que a relação entre as palavras e a sequência numérica é a mesma. Observando as duas palavras dadas podemos perceber facilmente que tem cada uma 6 letras e que as letras de uma se repete na outra em uma ordem diferente. Essa ordem diferente nada mais é, do que a primeira palavra de trás para frente, de maneira que SALTA vira ATLAS. Fazendo o mesmo com a sequência numérica fornecida temos: 25435 vira 53452, sendo esta a resposta.

25. Resposta “E”. Pelo número 86.547, tem-se que 86, 65, 54 e 47 não acontecem no número procurado. Do número 48.675, as opções 48, 86 e 67

não estão em nenhum dos números apresentados nas alternativas. Portanto, nesse número a coincidência se dá no número 75. Como o único número apresentado nas alternativas que possui a sequência 75 é 46.875, tem-se, então, o número procurado.

26. Resposta “D”. O primeiro símbolo representa a divisão e o 2º símbolo representa a soma. Portanto, na 1ª linha, tem-se: 36 ÷ 4 + 5 = 9 + 5 = 14.

Na 2ª linha, tem-se: 48 ÷ 6 + 9 = 8 + 9 = 17. Com isso, na 3ª linha, ter-se-á: 54 ÷ 9 + 7 = 6 + 7 = 13. Logo, podemos concluir então que o ponto de interrogação deverá ser substituído pelo número 13.

27. Resposta “A”. As letras que acompanham os números ímpares formam a sequência normal do alfabeto. Já a sequência que acompanha os

números pares inicia-se pela letra “E”, e continua de acordo com a sequência normal do alfabeto: 2ª letra: E, 4ª letra: F, 6ª letra: G, 8ª letra: H, 10ª letra: I e 12ª letra: J.

28. Resposta “D”. Escrevendo os nomes dos animais apresentados na lista – MARÁ, PERU, TATU e URSO, na seguinte ordem: PERU, MARÁ,

TATU e URSO, obtém-se na tabela:P E R UM A R AT A T UU R S O

O nome do animal é PATO. Considerando a ordem do alfabeto, tem-se: P = 15, A = 1, T = 19 e 0 = 14. Somando esses valores, obtém-se: 15 + 1 + 19 + 14 = 49.

29. Resposta “B”. Na 1ª e na 2ª sequências, as vogais são as mesmas: letra “A”. Portanto, as vogais da 4ª sequência de letras deverão ser as mesmas

da 3ª sequência de letras: “O”. A 3ª letra da 2ª sequência é a próxima letra do alfabeto depois da 3ª letra da 1ª sequência de letras. Portanto, na 4ª sequência de letras, a 3ª letra é a próxima letra depois de “B”, ou seja, a letra “C”. Em relação à primeira letra, tem-se uma diferença de 7 letras entre a 1ª letra da 1ª sequência e a 1ª letra da 2ª sequência. Portanto, entre a 1ª letra da 3ª sequência e a 1ª letra da 4ª sequência, deve ocorrer o mesmo fato. Com isso, a 1ª letra da 4ª sequência é a letra “T”. Logo, a 4ª sequência de letras é: T, O, C, O, ou seja, TOCO.


matemática

30. Resposta “C”. Na 1ª sequência de letras, ocorrem as 3 primeiras letras do alfabeto e, em seguida, volta-se para a 1ª letra da sequência. Na 2ª

sequência, continua-se da 3ª letra da sequência anterior, formando-se DEF, voltando-se novamente, para a 1ª letra desta sequência: D. Com isto, na 3ª sequência, têm-se as letras HIJ, voltando-se para a 1ª letra desta sequência: H. Com isto, a 4ª sequência iniciará pela letra L, continuando por M e N, voltando para a letra L. Logo, a 4ª sequência da letra é: LMNL.

31. Resposta “E”. Do 1º termo para o 2º termo, ocorreu um acréscimo de 1 unidade. Do 2º termo para o 3º termo, ocorreu a multiplicação do termo

anterior por 3. E assim por diante, até que para o 7º termo temos 13 . 3 = 39. 8º termo = 39 + 1 = 40. 9º termo = 40 . 3 = 120. 10º termo = 120 + 1 = 121. 11º termo = 121 . 3 = 363. 12º termo = 363 + 1 = 364. 13º termo = 364 . 3 = 1.092. Portanto, podemos concluir que o 13º termo da sequência é um número maior que 1.000.

32. Resposta “D”. Da palavra “ardoroso”, retiram-se as sílabas “do” e “ro” e inverteu-se a ordem, definindo-se a palavra “rodo”. Da mesma forma,

da palavra “dinamizar”, retiram-se as sílabas “na” e “mi”, definindo-se a palavra “mina”. Com isso, podemos concluir que da palavra “maratona”. Deve-se retirar as sílabas “ra” e “to”, criando-se a palavra “tora”.

33. Resposta “A”. Na primeira sequência, a palavra “azar” é obtida pelas letras “a” e “z” em sequência, mas em ordem invertida. Já as letras “a” e

“r” são as 2 primeiras letras da palavra “arborizado”. A palavra “dias” foi obtida da mesma forma: As letras “d” e “i” são obtidas em sequência, mas em ordem invertida. As letras “a” e “s” são as 2 primeiras letras da palavra “asteroides”. Com isso, para a palavras “articular”, considerando as letras “i” e “u”, que estão na ordem invertida, e as 2 primeiras letras, obtém-se a palavra “luar”.

34. O nome da sequência é Sequência de Fibonacci. O número que vem é sempre a soma dos dois números imediatamente atrás dele. A sequência correta é: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...

35.Dia Subida Descida1º 2m 1m2º 3m 2m3º 4m 3m4º 5m 4m5º 6m 5m6º 7m 6m7º 8m 7m8º 9m 8m9º 10m ----

Portanto, depois de 9 dias ela chegará na saída do poço.

36. 09 – 19 – 29 – 39 – 49 – 59 – 69 – 79 – 89 – 90 – 91 – 92 – 93 – 94 – 95 – 96 – 97 – 98 – 99. Portanto, são necessários 20 algarismos.

37.

= 16

= 09


matemática

= 04

=01

Portanto, há 16 + 9 + 4 + 1 = 30 quadrados.

38.

39. Os símbolos são como números em frente ao espelho. Assim, o próximo símbolo será 88.

40.

41.12.345.679 × (2×9) = 222.222.22212.345.679 × (3×9) = 333.333.333... ...12.345.679 × (4×9) = 666.666.666Portanto, para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por (9x9) = 81

42.


matemática

43.

44. Sendo A = 1, J = 11, Q = 12 e K = 13, a soma de cada par de cartas é igual a 14 e o naipe de paus sempre forma par com o naipe de espadas. Portanto, a carta que está faltando é o 6 de espadas.

45. Quadrado perfeito em matemática, sobretudo na aritmética e na teoria dos números, é um número inteiro não negativo que pode ser expresso como o quadrado de um outro número inteiro. Ex: 1, 4, 9...

No exercício 2 elevado a 2 = 4

46. Observe que:

3 6 18 72 360 2160 15120 x2 x3 x4 x5 x6 x7

Portanto, a próxima pedra terá que ter o valor: 15.120 x 8 = 120.960

47.

48.


MATEMÁTICA

49.

50.

NOÇÕES DE FUNÇÃO EXPONENCIAL.

Uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento x um único valor da função f(x). Isto pode ser feito espe-cifi cando através de uma fórmula um relacionamento gráfi co entre diagramas representando os dois conjuntos, e/ou uma regra de associação, mesmo uma tabela de correspondência pode ser construída; entre conjuntos numéricos é comum representarmos funções por seus gráfi cos, cada par de elementos relacionados pela função determina um ponto nesta representação, a restrição de unicidade da imagem implica em um único ponto da função em cada linha de chamada do valor independente x.

Como um termo matemático, “função” foi introduzido por Leibniz em 1694, para descrever quantidades relacionadas a uma curva; tais como a inclinação da curva ou um ponto específi co da dita curva. Funções relacionadas à curvas são atualmente chamadas funções diferenciáveis e são ainda o tipo de funções mais encontrado por não-matemáticos. Para este tipo de funções, pode-se falar em limites e derivadas; ambos sendo medida da mudança nos valores de saída associados à variação dos valores de entrada, formando a base do cálculo infi nitesimal.

A palavra função foi posteriormente usada por Euler em meados do século XVIII para descrever uma expressão envolvendo vários argumentos; i.e:y = F(x). Ampliando a defi nição de funções, os matemáticos foram capazes de estudar “estranhos” objetos matemáticos tais como funções que não são diferenciáveis em qualquer de seus pontos. Tais funções, inicialmente tidas como pura-mente imaginárias e chamadas genericamente de “monstros”, foram já no fi nal do século XX, identifi cadas como importantes para a construção de modelos físicos de fenômenos tais como o movimento Browniano.

Durante o Século XIX, os matemáticos começaram a formalizar todos os diferentes ramos da matemática. Weierstrass defendia que se construisse o cálculo infi nitesimal sobre a Aritmética ao invés de sobre a Geometria, o que favorecia a defi nição de Euler em relação à de Leibniz (veja aritmetização da análise). Mais para o fi nal do século, os matemáticos começaram a tentar formalizar toda a Matemática usando Teoria dos conjuntos, e eles conseguiram obter defi nições de todos os objetos matemáticos em termos do conceito de conjunto. Foi Dirichlet quem criou a defi nição “formal” de função moderna.

Função Exponencial

Conta a lenda que um rei solicitou aos seus súditos que lhe inventassem um novo jogo, a fi m de diminuir o seu tédio. O melhor jogo teria direito a realizar qualquer desejo. Um dos seus súditos inventou, então, o jogo de xadrez. O Rei fi cou maravilhado com o jogo e viu-se obrigado a cumprir a sua promessa. Chamou, então, o inventor do jogo e disse que ele poderia pedir o que desejasse. O astuto inventor pediu então que as 64 casas do tabuleiro do jogo de xadrez fossem preenchidas com moedas de ouro, seguindo a seguinte condição: na primeira casa seria colocada uma moeda e em cada casa seguinte seria colocado o dobro de moedas que havia na casa anterior. O Rei considerou o pedido fácil de ser atendido e ordenou que providenciassem o pagamento. Tal foi sua surpresa quando os tesoureiros do reino lhe apresentaram a suposta conta, pois apenas na última casa o total de moedas era de 263, o que corresponde a aproximadamente 9 223 300 000 000 000 000 = 9,2233.1018. Não se pode esquecer ainda que o valor entregue ao inventor seria a soma de todas as moedas contidas em todas as casas. O rei estava falido!


MATEMÁTICA

A lenda nos apresenta uma aplicação de funções exponenciais, especialmente da função y = 2x.As funções exponenciais são aquelas que crescem ou decrescem muito rapidamente. Elas desempenham papéis fundamentais

na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras.

Defi nição

A função exponencial é a defi nida como sendo a inversa da função logarítmica natural, isto é:

logab = x ⇔ ax = b

Podemos concluir, então, que a função exponencial é defi nida por:

y= ax , com 1 ≠ a > 0

Gráfi cos da Função Exponencial

Propriedades da Função Exponencial

Se a, x e y são dois números reais quaisquer e k é um número racional, então:- ax ay= ax + y - ax / ay= ax - y - (ax) y= ax.y - (a b)x = ax bx - (a / b)x = ax / bx - a-x = 1 / ax

Estas relações também são válidas para exponenciais de base e (e = número de Euller = 2,718...)- y = ex se, e somente se, x = ln(y)- ln(ex) =x - ex+y= ex.ey - ex-y = ex/ey - ex.k = (ex)k


MATEMÁTICA

A Constante de Euler

Existe uma importantíssima constante matemática defi nida por e = exp(1)O número e é um número irracional e positivo e em função da defi nição da função exponencial, temos que: Ln(e) = 1Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as

propriedades desse número.

O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é: e = 2,718281828459045235360287471352662497757 Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com expoente x, isto é: ex = exp(x)

MATEMÁTICA FINANCEIRA.

Descontos Simples e CompostosSão juros recebidos (devolvidos) ou concedidos quando o pagamento de um título é antecipado. O desconto é a diferença entre

o valor nominal (S) de um título na data do seu vencimento e o seu valor atual (c) na data em que é efetuado o pagamento, ou seja: D = S - c

Os descontos são nomeados simples ou compostos em função do cálculo dos mesmos terem sido no regime de juros simples ou compostos, respectivamente. Os descontos (simples ou compostos) podem ser divididos em:

- Desconto comercial, bancário ou por fora; - Desconto racional ou por dentro.

Descontos Simples

Por Fora (Comercial ou Bancário). O desconto é calculado sobre o valor nominal (S) do título, utilizando-se taxa de juros simples

Df = S.i.t

É o desconto mais utilizado no sistema fi nanceiro, para operações de curto prazo, com pequenas taxas. O valor a ser pago (ou recebido) será o valor atual c = S - Df = S - S.i.t , ou seja

c = S.(1- i.t)

Por Dentro (Racional). O desconto é calculado sobre o valor atual (c) do título, utilizando-se taxa de juros simplesDd = c.i.tComo c não é conhecido (mas sim, S) fazemos o seguinte cálculo: c = S - Dd ==> c = S - c.i.t ==> C + C.i.t = S ==> C(1 + i.t) = S C = S/(1 + i.t)

Este desconto é utilizado para operações de longo prazo. Note que (1 - i.t) pode ser nulo, mas (1 + i.t) nunca vale zero.

Descontos Compostos

O desconto (Dc) é calculado com taxa de juros compostos, considerando n período(s) antecipado(s):Dc = S - c

onde, de S = C.(1 + i)n, tiramos que C = S/(1 + i)n


matemática

Questão 1. Um banco ao descontar notas promissórias, utiliza o desconto comercial a uma taxa de juros simples de 12% a.m.. O banco cobra, simultaneamente uma comissão de 4% sobre o valor nominal da promissória. Um cliente do banco recebe R$ 300.000,00 líquidos, ao descontar uma promissória vencível em três meses. O valor da comissão é de:

Resposta:h = 0.04iB = 0.12 * 3

AB = N * [1-(iB * h)]300000 = N * [1-(0.12*3 * 0.04)]300000 = N * [1-0.4]N = 500000Vc = 0.04 * NVc = 0.04 * 500000Vc = 20000

Questão 2. O valor atual de um título cujo valor de vencimento é de R$ 256.000,00, daqui a 7 meses, sendo a taxa de juros simples, utilizada para o cálculo, de 4% a.m., é:

Resposta:N = 256000n = 7 mesesi = 0.04 a.m.iB = n*i = 7*0.04 = 0.28A = N / (1+iB) = 256000 / 1.28 = 200000

Questão 3. O desconto simples comercial de um título é de R$ 860,00, a uma taxa de juros de 60% a.a.. O valor do desconto simples racional do mesmo título é de R$ 781,82, mantendo-se a taxa de juros e o tempo. Nesse as condições, o valor nominal do rótulo é de:

Resposta:Dc = 860Dr = 781.82Usando N = (Dc * Dr) / (Dc – Dr),N = (860 * 781.82) / (860 – 781.82) = 672365.2 / 78.18 = 8600.22

Questão 4. O valor atual de uma duplicata é de 5 vezes o valor de seu desconto comercial simples. Sabendo-se que a taxa de juros adotada é de 60% a.a., o vencimento do título expresso em dias é:

Resposta:i = 60% a.a. → i = 0.6 a.a.A = N – D (valor atual é o nominal menos o desconto)5D = N – D → N = 6DA = N * ( 1 – i*n)5D = 6D ( 1 – 0.6 * n)5 = 6 ( 1 – 0.6 * n)5 = 6 – 3.6 * n3.6 * n = 1n = 0.277 (anos)n = 0.277 * 365 diasn = 101.105 dias


matemática

Questão 5. Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de R$ 600.000,00, recebendo o líquido de 516.000,00. Sabendo=se que o banco cobra uma comissão de 2% sobre o valor do título, que o regime é de juros simples comerciais. Sendo a taxa de juros de 96% a.a., o prazo de desconto da operação foi de:

Resposta:N = 600000Ab = 516000h = 0.02i = 0.96 a.a.Db = Db + N*hAb = N * [1 - (i*n+h)]516000 = 600000 * [1-(0.96*n+0.02)]0.8533 = 1 – 0.96*n – 0.020.8533 = 0.98 – 0.96*n0.96 * n = 0.1267n = 0.1319 anos ≈ 45 dias

Questão 6. O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% a.m., obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples:

Resposta:Dc = 600i = 0.05 a.m.n = 4

Dc = Dr * (1 + i*n)600 = Dr * (1 + 0.05*4)Dr = 600/1.2Dr = 500

Questão 7 – O desconto racional simples de uma nota promissória, cinco meses antes do vencimento, é de R$ 800,00, a uma taxa de 4% a.m.. Calcule o desconto comercial simples correspondente, isto é, considerando o mesmo título, a mesma taxa e o mesmo prazo.

Resposta:Dr = 800i = 0.04 a.m.n = 5 meses

Dc = Dr * (1 + i*n)Dc = 800 * (1 + 0.04*5)Dc = 800 * 1.2Dc = 960

Questão 8. Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses antes do seu vencimento a uma taxa de deconto simples de 3% a.m.. Indique qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional.

Resposta:Dc = 9810n = 3 mesesi = 0.03 a.m.


matemática

Dc = Dr * (1 + i*n)9810 = Dr * (1 + 0.03*3)9810 = Dr * 1.09Dr = 9810/1.09Dr = 9000

Questão 9. Um título no valor nominal de R$ 10.900,00 deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 981,00 três meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de desconto mensal:

Resposta:N = 10900Dc = 981n = 3

Dc = N * i * n981 = 10900 * i * 3981 = 32700 * ii = 0.03 (3% a.m.)

Dr = N * i * n / (1+i*n)Dr = 10900 * 0.03 * 3 / (1+0.03*3)Dr = 10900 * 0.09 / 1.09Dr = 10900 * 0.09 / 1.09Dr = 900

outra forma de fazer a questão seria usando:N = (Dc * Dr) / (Dc – Dr)10900 = 981 * Dr / (981-Dr)10692900 – 10900 * Dr = 981 * Dr11881 * Dr = 1069290011881 * Dr = 10692900Dr = 900

Questão 10. Um título sofre desconto simples comercial de R$ 1.856,00, quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% a.m.. Calcule o valor do desconto correspondente à mesma taxa, caso fosse um desconto simples racional:


Dc = N * i * nDr = N * i * n / (1+i*n)Dr = 1856 / (1+0.04*4)Dr = 1856 / 1.16Dr = 1600

Questão 11. Obtenha o valor hoje de um título de R$ 10.000,00 de valor nominal, vencível ao fim de três meses, a uma taxa de juros de 3% a.m., considerando um desconto racional composto e desprezando os centavos.

Resposta:N =10000n = 3 mesesi = 0.03 a.m.


matemática

Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n](1+0.03)3 = 1.092727Dcr = 10000 * 0.092727 / 1.092727Dcr = 848.58Dcr = N – A848.58 = 10000 – AA = 10000 – 848.58A = 10000 – 848.58A = 9151.42

Questão 12. Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule o desconto obtido considerando um desconto racional composto a uma taxa de 3% a.m.

Resposta:n = 4 mesesi = 0.03 a.m.A = 840

Dcr = N – ADcr = N – 840Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n](1+0.03)4 = 1.12550881(1+0.03)4 -1 = 0.12550881Dcr = N * 0.12550881 / 1.12550881N * 0.12550881 / 1.12550881 = N – 840N * 0.12550881 = 1.12550881 * N – 945.4274004N = 945.4274004Dcr = 945.4274004 – 840Dcr ≈ 105.43

Questão 13. Um título sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do valor descontado do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% a.m.:

Resposta:Dcr = 6465.18n = 4 mesesi = 0.05 a.m.

Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n](1+i)n = 1.21550625(1+i)n – 1 = 0.215506256465.18 = N * 0.21550625 / 1.21550625N = 36465,14

Questão 14. Um título sofre um desconto composto racional de R$ 340,10 seis meses antes do seu vencimento. Calcule o valor descontado do título considerando que a taxa de desconto é de 5% a.m. (despreza os centavos):

Resposta:Dcr = 340.10n = 6 mesesi = 0.05 a.m.


matemática

Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n](1+0.05)6 = 1.340095640625(1+i)n – 1 = 0.340095640625340.10 = N * 0.340095640625 / 1.340095640625N ≈ 1340.10

Dcr = N – A340.10 = 1340.10 – AA = 1000

Questão 15. O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes o desconto racional composto, caso a antecipação seja de dez meses. Sabendo-se que o valor atual da dívida (valor de resgate) é de R$ 200.000,00, então o valor nominal da dívida, sem considerar os centavos é igual a:

Resposta:N = 5 * Drcn = 10 mesesA = 200000

Drc = N – ADrc = 5 * Drc – 2000004 * Drc = 200000Drc = 50000Drc = N – A50000 = N – 200000N = 250000

Questão 16. Um Commercial paper, com valor de face de US$ 1.000.000,00 e vencimento daqui a três anos deve ser resgatado hoje. A uma taxa de juros compostos de 10% a.a. e considerando o desconto racional, obtenha o valor do resgate.

Resposta:N = 1000000n = 3 anosi = 0.1 a.a.

Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n](1+i)n = 1.331(1+i)n -1 = 0.331Dcr = 1000000 * 0.331 / 1.331Dcr = 248,685.20A = N – DrcA = 1000000 – 248,685.20A = 751,314.80

Questão 17. Uma pessoa quer descontar hoje um título de valor nominal de R$ 11.245,54, com vencimento para daqui a 60 dias, e tem as seguintes opções:

I – desconto simples racional, taxa de 3% a.m.;II – desconto simples comercial, taxa de 2,5% a.m.;III – desconto composto racional, taxa de 3% a.m.

Se ela escolher a opção I, a diferença entre o valor líquido que receberá e o que receberia se escolhesse a opção:


matemática

Resposta:N = 11245.54n = 60 dias = 2 meses

I) Dc = N * i * nDc = 11245.54 * 0.025 *2Dc = 562.277A = N – DcA = 11245.54 – 562.277A = 10683.26

II) Dr = (N * i * n) / (1 + i * n)Dr = (11245.54 * 0.03 * 2) / (1 + 0.03 * 2)Dr = 674.7324 / 1.06Dr = 636.54A = N – DcA = 11245.54 – 636.54A = 10609.0

III) Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n]Dcr = 11245.54 * 0.05740409Dcr = 645.54A = N – DcA = 11245.54 – 645.54A = 10600

Nenhum item tem uma resposta certa. Mas a diferença entre o valor atual da escolha II e a III é nove, então se houve um erro na digitação da questão a resposta é a alternativa c.

Questão 18. Um título deveria sofrer um desconto comercial simples de R$ 672,00, quatro meses antes do seu vencimento. Todavia, uma negociação levou à troca do desconto comercial simples por um desconto racional composto. Calculo o novo desconto, considerando a mesma taxa de 3% a.m..


Dc = N * i * n672 = N * 0.03 * 4N = 5600Dcr = N * [1 - (1/(1+i)n)]Dcr = 5600 * [1 - (1/(1+i)n)](1+i)n = 1.12550881Dcr = 5600 * 0.12550881/1.12550881Dcr = 624.47

Questão 19. Um título é descontado por R$ 4.400,00, quatro meses antes do seu vencimento. Obtenha o valor de face do título, considerando que foi aplicado um desconto racional composto a uma taxa de 3% a.m. (despreze os centavos, se houver).

Resposta:A = 4400n = 4 mesesi = 0.03 a.m.


matemática

A = N – DrcA + Drc = NDrc = N * [1 - (1/(1+i)n)](1+i)n = 1.12550881Drc = N * 0.12550881 / 1.12550881Drc = (A + Drc) * 0.12550881 / 1.12550881Drc = (4400 + Drc) * 0.12550881 / 1.12550881Drc = (4400 + Drc) * 0.12550881 / 1.12550881Drc = 490.657 + Drc * 0.12550881 / 1.12550881Drc – Drc * 0.12550881 / 1.12550881 = 490.657Drc * (1 – 0.12550881 / 1.12550881) = 490.657Drc * 0.888487048 = 490.657Drc = 552.23N = A + DrcN = 4400 + 552.23N = 4952.23

Questão 20. Antônio emprestou R$ 100.000,00 a Carlos, devendo o empréstimo ser pago após 4 meses, acrescido de juros compostos calculados a uma taxa de 15% a.m., com capitalização diária. Três meses depois Carlos decide quitar a dívida, e combina com Antônio uma taxa de desconto racional composto de 30% a.b. (ao bimestre), com capitalização mensal. Qual a importância paga por Carlos a título de quitação do empréstimo.

Resposta:N = 100000n = 4 meses = 120 diasi = 15% a.m. = 0.5% a.d. = 0.005 a.d.

M =C * (1+i)n

M =100000 * (1+0.005)120

M = 181939.67A = M / (1+0.3/2)A = 158208.4

Questão 21. Calcule o valor nominal de um título que, resgatado 1 ano e meio antes do vencimento, sofreu desconto racional composto de R$ 25000,00, a uma taxa de 30% a.a., com capitalização semestral.

Resposta:n = 1.5 anos = 3 semestresDrc = 25000i = 0.3 a.a. = 0.15 a.s.

Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n](1+i)n = 1.520875(1+i)n -1 = 0.52087525000 = N * 0.520875 / 1.520875N = 25000 * 1.520875 / 0.520875N = 72996.16

Descontos Racional e Comercial

Desconto é o abatimento no valor de um título de crédito que pode ser: Letra de câmbio; Fatura; Duplicata; Nota promissória. Este desconto é obtido quando o mesmo é resgatado antes do vencimento do compromisso.

O valor do título no dia do vencimento é chamado de: valor nominal e este vêm declarado no mesmo. O valor do título em uma data anterior ao vencimento da fatura é chamado de : valor atual. O valor atual é menor que o valor nominal


matemática

Desta forma, o valor atual de um título qualquer é a diferença entre o valor nominal (valor do título) e seu respectivo desconto. Observe:

A = N – Dc ou A = N - Dr Onde: A – Valor atual Exemplos para fixação de conteúdo: Qual o valor atual atual (A) de um título de uma empresa no valor de R$ 15.000,00 a 2% a.m, descontado 6 meses antes do prazo

do seu vencimento?

Resolvendo: N = 15.000I = 2% a.m = 24% a.a. (01 ano = 12 meses)T = 6 Dc = 15000 x 24 x 6 = 2160000 1200 1200 Dc= 1800A = 15000 – 1800 = 13200A = 13200 Observe algumas notações:

D Desconto realizado sobre o títuloN Valor nominal de um títuloA Valor atual de um títuloI Taxa de desconton Número de períodos para o desconto

Assim: Como já falado anteriormente, o desconto é a diferença entre o valor nominal de um título (futuro) “N” e o valor atual “A” do

título em questão. D = N - A Fórmula do desconto: Dc = N . i . t 100 tipos de desconto Há basicamente dois tipos de descontos:– Desconto comercial (por fora)– Desconto racional (por dentro)


matemática

Desconto comercial: Também chamado de desconto por fora, comercial, ou desconto bancário (Dc), pode ser definido como aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor nominal do título, levando-se em conta o capital principal como valor nominal “N”. Assim, de acordo com a fórmula dada:

Dc = N . i . t 100 Onde: Dc = desconto comercialN = valor nominal do título dadoi = taxa de descontot = período de tempo na operação100 = tempo considerado em anos Observações: a) Quando o período de tempo (t) for expresso no problema em dias, o tempo considerado na operação devera ser em dias e

utilizado o valor de 36000. b) Quando o período de tempo (t) for expresso em meses, o tempo considerado deverá ser em meses e utilizando o valor 1200. Exemplos para fixação de conteúdo: 1) Uma fatura foi paga com 30 dias antes do vencimento do prazo para pagamento. Calcule o valor do desconto, com uma taxa

de 45% a.a., sabendo-se que o valor da fatura era no valor de R$ 25.000,00.

Resolvendo: Dados do problema N = 25000i = 45% a.a.t = 30 Dc = N . i . t 36000 Dc = 25000 x 45 x 30 = 33750000 = 937,50 36000 36000 O valor de desconto é de R$ 937,50. Observe o valor 36000 na divisão, pois o tempo é expresso em dias. 2) A que taxa foi calculada o desconto simples de R$ 5.000,00 sobre um título de R$ 35.000,00, pago antecipadamente

em 8 meses ?

Resolvendo: Dados do problema N = 35000i = ?t = 8 mesesDc = 5.000,00


matemática

Dc = N . i . t 1200 i = 1200 . Dc N. t I = 1200 x 5000 = 6000000 = 21,43% 35000 x 8 280000 O valor da taxa é de 21,43% Observe o valor 1200 na divisão, pois o tempo é expresso em meses.O desconto comercial pode ser expresso na fórmula abaixo: Dc = A . i . t 100 + it Desconto Racional (por dentro): É chamado de desconto racional o abatimento calculado com a taxa de desconto incidindo

sobre o valor atual do título, temos então: Dr = A . i .t 100 O qual: Dr = valor do desconto racional na operaçãoA = valor atual do títuloi = taxa de descontot = período de tempo na operação100 = tempo considerado em ano Como informado no desconto por fora, não se pode esquecer do tempo em que a taxa é considerada : Ano = 100Mês = 1200Dias = 36000 Relembrando que: A = N – Dr Substituindo → Dr = N . i . t 100 + it Exemplo para fixação de conteúdo: Calcular o valor do desconto por dentro de um título de R$ 16.000,00 pago 3 meses antes do vencimento com uma taxa de 24%

a.a.Resolvendo: Dados do problema N = 16000i = 24% a.a.t = 3 meses


matemática

Dr = N . i . t 100 + it Dr = 16000 x 24 x 3 = 1152000 = 905,66 1200 + 24 x 3 1272 O valor do desconto é de R$ 905,66.

Taxa Real e Taxa Efetiva

As taxas de juros são índices fundamentais no estudo da matemática financeira. Os rendimentos financeiros são responsáveis pela correção de capitais investidos perante uma determinada taxa de juros. Não importando se a capitalização é simples ou composta, existem três tipos de taxas: taxa nominal, taxa efetiva e taxa real. No mercado financeiro, muitos negócios não são fechados em virtude da confusão gerada pelo desconhecimento do significado de cada um dos tipos de taxa. Vamos compreender o conceito de cada uma delas.

Taxa Nominal: A taxa nominal é aquela em que o período de formação e incorporação dos juros ao capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Exemplos:

a) Uma taxa de 12% ao ano com capitalização mensal.b) 5% ao trimestre com capitalização semestral.c) 15% ao semestre com capitalização bimestral.

Taxa Efetiva: A taxa efetiva é aquela que o período de formação e incorporação dos juros ao capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Exemplos:

a) Uma taxa de 5% ao mês com capitalização mensal.b) Uma taxa de 75% ao ano com capitalização anual.c) Uma taxa de 11% ao trimestre com capitalização trimestral.

Taxa Real: A taxa real é aquela que expurga o efeito da inflação no período. Dependendo dos casos, a taxa real pode assumir valores negativos. Podemos afirmar que a taxa real corresponde à taxa efetiva corrigida pelo índice inflacionário do período.

Existe uma relação entre a taxa efetiva, a taxa real e o índice de inflação no período. Vejamos: 1+ief=(1+ir)(1+iinf)

Onde,ief→é a taxa efetivair→é a taxa realiinf→é a taxa de inflação no período

Seguem alguns exemplos para compreensão do uso da fórmula.

Exemplo 1. Certa aplicação financeira obteve rendimento efetivo de 6% ao ano. Sabendo que a taxa de inflação no período foi de 4,9%, determine o ganho real dessa aplicação.

Solução: A solução do problema consiste em determinar o ganho real da aplicação corrigido pelo índice inflacionário do período, ou seja, determinar a taxa real de juros dessa aplicação financeira. Temos que:


matemática

Aplicando a fórmula que relaciona os três índices, teremos:

Portanto, o ganho real dessa aplicação financeira foi de 1% ao ano.

Exemplo 2. Certa categoria profissional obteve reajuste salarial de 7% ao ano. Sabendo que a inflação no período foi de 10%, determine o valor do reajuste real e interprete o resultado.

Solução: Temos que

Aplicando a fórmula, teremos:

Como a taxa real foi negativa, podemos afirmar que essa categoria profissional teve perdas salariais do período, uma vez que o reajuste salarial foi abaixo do índice inflacionário do período.

A taxa real expurga o efeito da inflação. Um aspecto interessante sobre as taxas reais de juros é que, elas podem ser inclusive, negativas. Vamos encontrar uma relação entre as taxas de juros nominal e real. Para isto, vamos supor que um determinado capital P é aplicado por um período de tempo unitário, a uma certa taxa nominal in .

O montante S1 ao final do período será dado por S1 = P(1 + in).Consideremos agora que durante o mesmo período, a taxa de inflação (desvalorização

da moeda) foi igual a j. O capital corrigido por esta taxa acarretaria um montante S2 = P (1 + j).

A taxa real de juros, indicada por r, será aquela que aplicada ao montante S2, produzirá o montante S1. Poderemos então escrever: S1 = S2 (1 + r)


matemática

Substituindo S1 e S2 , vem:P(1 + in) = (1+r). P (1 + j)

Daí então, vem que:(1 + in) = (1+r). (1 + j), onde:in = taxa de juros nominalj = taxa de inflação no períodor = taxa real de juros

Observe que se a taxa de inflação for nula no período, isto é, j = 0, teremos que as taxas nominal e real são coincidentes. Veja o exemplo a seguir:

Numa operação financeira com taxas pré-fixadas, um banco empresta $120.000,00 para ser pago em um ano com $150.000,00. Sendo a inflação durante o período do empréstimo igual a 10%, pede-se calcular as taxas nominal e real deste empréstimo.

Teremos que a taxa nominal será igual a:in = (150.000 – 120.000)/120.000 = 30.000/120.000 = 0,25 = 25%Portanto in = 25%

Como a taxa de inflação no período é igual a j = 10% = 0,10, substituindo na fórmula anterior, vem:(1 + in) = (1+r). (1 + j)(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,10)1,25 = (1 + r).1,101 + r = 1,25/1,10 = 1,1364Portanto, r = 1,1364 – 1 = 0,1364 = 13,64%

Se a taxa de inflação no período fosse igual a 30%, teríamos para a taxa real de juros:(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,30)1,25 = (1 + r).1,301 + r = 1,25/1,30 = 0,9615

Portanto, r = 0,9615 – 1 = -,0385 = -3,85% e, portanto teríamos uma taxa real de juros negativa.

Agora resolva este: $100.000,00 foi emprestado para ser quitado por $150.000,00 ao final de um ano. Se a inflação no período foi de 20%, qual a taxa real do empréstimo?

Resposta: 25%

Taxa Nominal

A taxa nominal de juros relativa a uma operação financeira, pode ser calculada pela expressão: Taxa nominal = Juros pagos / Valor nominal do empréstimo

Assim, por exemplo, se um empréstimo de $100.000,00, deve ser quitado ao final de um ano, pelo valor monetário de $150.000,00, a taxa de juros nominal será dada por:

Juros pagos = Jp = $150.000 – $100.000 = $50.000,00Taxa nominal = in = $50.000 / $100.000 = 0,50 = 50%

Sem dúvida, se tem um assunto que gera muita confusão na Matemática Financeira são os conceitos de taxa nominal, taxa efetiva e taxa equivalente. Até na esfera judicial esses assuntos geram muitas dúvidas nos cálculos de empréstimos, financiamentos, consórcios e etc.

Hoje vamos tentar esclarecer esses conceitos, que na maioria das vezes nos livros e apostilas disponíveis no mercado, não são apresentados de um maneira clara.

Temos a chamada taxa de juros nominal, quando esta não é realmente a taxa utilizada para o cálculo dos juros (é uma taxa “sem efeito”). A capitalização (o prazo de formação e incorporação de juros ao capital inicial) será dada através de uma outra taxa, numa unidade de tempo diferente, taxa efetiva.

Como calcular a taxa que realmente vai ser utilizada; isto é, a taxa efetiva?


matemática

Vamos acompanhar através do exemplo:Calcular o montante de um capital de R$ 1.000,00 aplicados durante 18 meses, capitalizados mensalmente, a uma taxa de 12%

a.a. Explicando o que é taxa Nominal, efetiva mensal e equivalente mensal: Respostas e soluções: 1) A taxa Nominal é 12% a.a; pois o capital não vai ser capitalizado com a taxa anual.

2) A taxa efetiva mensal a ser utilizada depende de duas convenções: taxa proporcional mensal ou taxa equivalente mensal.a) Taxa proporcional mensal (divide-se a taxa anual por 12): 12%/12 = 1% a.m.b) Taxa equivalente mensal (é aquela que aplicado aos R$ 1.000,00, rende os mesmos juros que a taxa anual aplicada nesse

mesmo capital). Cálculo da taxa equivalente mensal:

( ) 11 −+= tq

tiqi onde:iq : taxa equivalente para o prazo que eu queroit : taxa para o prazo que eu tenhoq : prazo que eu querot : prazo que eu tenho ( ) 112,01 12

1−+=qi = (1,12)0,083333 – 1

iq = 0,009489 a.m ou iq = 0,949 % a.m.

3) Cálculo do montante pedido, utilizando a taxa efetiva mensala) pela convenção da taxa proporcional:M = c (1 + i)n

M = 1000 (1 + 0,01) 18 = 1.000 x 1,196147M = 1.196,15 b) pela convenção da taxa equivalente:M = c (1 + i)n

M = 1000 (1 + 0,009489) 18 = 1.000 x 1,185296M = 1.185,29 NOTA: Para comprovar que a taxa de 0,948% a.m é equivalente a taxa de 12% a.a, basta calcular o montante utilizando a taxa

anual, neste caso teremos que transformar 18 meses em anos para fazer o cálculo, ou seja : 18: 12 = 1,5 ano. Assim:M = c (1 + i)n

M = 1000 (1 + 0,12) 1,5 = 1.000 x 1,185297M = 1.185,29 conclusões:- A taxa nominal é 12% a.a, pois não foi aplicada no cálculo do montante. Normalmente a taxa nominal vem sempre ao ano!- A taxa efetiva mensal, como o próprio nome diz, é aquela que foi utilizado para cálculo do montante. Pode ser uma taxa

proporcional mensal (1 % a.m.) ou uma taxa equivalente mensal (0,949 % a.m.).- Qual a taxa efetiva mensal que devemos utilizar? Em se tratando de concursos públicos a grande maioria das bancas examinadores

utilizam a convenção da taxa proporcional. Em se tratando do mercado financeiro, utiliza-se a convenção de taxa equivalente.

Resolva as questões abaixo para você verificar se entendeu os conceitos acima.


matemática

1) Um banco paga juros compostos de 30% ao ano, com capitalização semestral. Qual a taxa anual efetiva?a) 27,75 %b) 29,50%c) 30 %d) 32,25 %e) 35 % 2) Um empresa solicita um empréstimo ao Banco no regime de capitalização composta à base de 44% ao bimestre. A taxa

equivalente composta ao mês de:a) 12%b) 20%c) 22%d) 24% Respostas: 1) d 2) b

Taxa de Equivalência

A equivalência de capitais é uma das ferramentas mais poderosas da matemática financeira e tem sido constantemente pedida nas provas de concursos públicos.

Aprendemos a calcular o Montante, em uma Data Fatura, de um capital que se encontrava na data presente. Relativo a descontos, aprendemos a calcular o Valor Atual, em uma Data Presente, de um valor nominal que se encontrava em uma data futura.

Gostaríamos que você notasse que, ao calcular o montante, estávamos movendo o capital inicial a favor do eixo dos tempos ou capitalizando-o, enquanto que, ao calcularmos o valor atual, estávamos movendo o valor nominal (que também é um capital) contra o eixo dos tempos ou descapitalizando-o, conforme se encontra ilustrado nos esquemas a seguir.

Conceito de Equivalência

Dois ou mais capitais que se encontram em datas diferentes, são chamados de equivalentes quando, levados para uma mesma data, nas mesmas condições, apresentam o mesmo VALOR nessa data.

Para você entender melhor esse conceito, vamos lhe propor um problema. Vamos fazer de conta que você ganhou um prêmio em dinheiro no valor de R$ 100,00, que se encontra aplicado, em um banco, à taxa de juros simples de 10% a.m. O banco lhe oferece três opções para retirar o dinheiro:

1a) você retira R$ 100,00 hoje;2a) você deixa o dinheiro aplicado e retira R$ 140,00 dentro de 4 meses;3a) você deixa o dinheiro aplicado e retira R$ 190,00 em 9 meses.

Qual delas é a mais vantajosa para você?Para sabermos a resposta, precisamos encontrar um jeito de comparar os capitais R$ 100,00, R$ 140,00, e R$ 190,00, que se

encontram em datas diferentes. Vamos determinar, então, o valor dos três capitais numa mesma data ou seja, vamos atualizar os seus valores. Escolheremos a data de hoje. A Data Comum, também chamada de Data de Comparação ou Data Focal, portanto, vai ser hoje (= data zero).

O capital da primeira opção (R$ 100,00) já se encontra na data de hoje; portanto, já se encontra atualizado.Calculemos, pois, os valores atuais Va1 e Va2 dos capitais futuros R$ 140,00 e R$ 190,00 na data de hoje (data zero). Esquematizando,

a situação seria esta:

Podemos fazer este cálculo usando desconto comercial simples ou desconto racional simples. Vamos, arbitrariamente, escolher a fórmula do valor atual racional simples:

Vars = N/1 + inVars1 = 140,00/(1 + 0,10 . 4) = 100,00Vars2 = 190,00/(1 + 0,10 . 9) = 100,00


matemática

Verificamos que os três capitais têm valores atuais idênticos na data focal considerada (data zero). Podemos, portanto, dizer que eles são Equivalentes: tanto faz receber R$ 100,00 hoje, ou R$ 140,00 daqui a 4 meses ou R$ 190,00 daqui a nove meses, se a taxa de juros for de 10% ao mês e o desconto racional simples.

Vejamos o que acontece se utilizarmos o critério do desconto comercial, em vez do desconto racional, para calcular os valores atuais dos capitais R$ 140,00 e R$ 190,00:

Vacs = N (1 – in)Vacs1 = 140 ( 1 – 0,10 . 4) = 140 (0,6) = 84Vacd2 = 190 (1 – 0,10 . 9) = 190 (0,1) = 19

Mudando-se a modalidade de desconto, portanto, os três capitais deixam de ser equivalentes.E se mudarmos a data de comparação, ou data focal, para o mês 2, por exemplo, continuando a utilizar o desconto racional

simples?Acontecerá o seguinte:

O capital R$ 140,00, resgatável na data 4, será antecipado de 2 meses, ficando com o seguinte valor atual racional simples:Vars1 = 140,00/(1 + 0,10 . 2) = 116,67

O capital R$ 190,00, resgatável na data 9, será antecipado de 7 meses, ficando com o seguinte valor atual racional simples: Vars2 = 190,00/(1 + 0,10 . 7) = 111,76

Ao capital R$ 100,00 (resgatável na data zero) acrescentar-se-ão dois meses de juros, conforme segue:Vars3 = C (1 + in) = 100 (1 + 0,10 . 2) = 120

No mês dois, portanto, temos que os capitais nominais R$ 140,00; R$ 190,00 e R$ 100,00 estarão valendo, respectivamente, R$ 116,67; R$ 111,76 e R$ 120,00. Na data focal 2, portanto, eles não serão mais equivalentes.

No regime de capitalização Simples a equivalência ocorre em apenas uma única data, para uma determinada taxa e modalidade de desconto. Ao mudarmos a Data Focal, capitais que antes eram equivalentes podem deixar sê-lo. É bom você saber desde já que, no regime de capitalização Composta, isto não acontece: na capitalização composta, para a mesma taxa, capitais equivalentes para uma determinada data o são para qualquer outra data.

Podemos então concluir que:Para juros simples, a equivalência entre dois ou mais capitais somente se verifica para uma determinada taxa, para uma

determinada data focal e para uma determinada modalidade de desconto.Podemos, agora, definir equivalência de dois capitais de uma mesma maneira mais rigorosa da seguinte forma:Dois capitais C1 e C2, localizados nas datas n1 e n2, medidas a partir da mesma origem, são ditos equivalentes com relação a uma

data focal F, quando os seus respectivos valores atuais, Va1 e Va2 , calculados para uma determinada taxa de juros e modalidade de desconto nessa data focal F, forem iguais.

A equivalência de capitais é bastante utilizada na renegociação de dívidas, quando há necessidade de substituir um conjunto de títulos por um outro conjunto, equivalente ao original (isto porque o conceito de equivalência é aplicado não só para dois capitais, mas também para grupos de capitais).

Às vezes um cliente faz um empréstimo num banco e se compromete e quitá-lo segundo um determinado plano de pagamento. Todavia, devido a contingências nos seus negócios, ele percebe que não terá dinheiro em caixa para pagar as parcelas do financiamento nas datas convencionadas. Então, propõe ao gerente do banco um outro esquema de pagamento, alterando as datas de pagamento e os respectivos valores nominais de forma que consiga honrá-los, mas de tal sorte que o novo esquema seja EQUIVALENTE ao plano original.

No cálculo do novo esquema de pagamento, a visualização do problema fica bastante facilitada com a construção de um diagrama de fluxo de caixa no qual representa-se a dívida original na parte superior, e a proposta alternativa de pagamento na parte de baixo, conforme se vê nos problemas a seguir.

Exercícios Resolvidos

1. No refinamento de uma dívida, dois títulos, um para 6 meses e outro 12 meses, de R$ 2.000,00 e de R$ 3.000,00, respectivamente, foram substituídos por dois outros, sendo o primeiro de R$ 1.000,00, para 9 meses, e o segundo para 18 meses. A taxa de desconto comercial simples é de 18% a.a. O valor do título de 18 meses, em R$, é igual a:


matemática

Resolução:Inicialmente, vamos construir um diagrama de fluxo de caixa utilizando os dados do problema:A taxa de juros é anual. Entretanto, como os prazos de pagamento estão expressos em meses, vamos transformá-la em mensal:i = 18% a.a. = 1,5% a.m. = 0,015 a.m.A modalidade de desconto é o comercial simples, mas o problema não mencionou qual a data focal a ser considerada. Em casos

como este, presumimos que a data focal seja a data zero.Vamos, então, calcular o total da dívida na data zero para cada um dos planos de pagamento, e igualar os resultados, pois os dois

esquemas devem ser equivalentes para que se possa substituir um pelo outro. Além disso, para transportarmos os capitais para a data zero, utilizaremos a fórmula do valor atual do desconto comercial simples:

Vacs = N (1 – in). Obteremos a seguinte equação:2.000 (1 – 0,015 . 6) + 3.000 (1 – 0,015 .12) = 1.000 (1 – 0,015 . 9) + x (1 – 0,015 . 18)

(total da dívida conforme o plano (total da dívida conforme o plano Alternativo Original de pagamento, proposto, atualizado para a data zero).

Calculando o conteúdo dos parênteses, temos:2.000 (0,91) + 3.000 (0,82) = 1.000 (0,865) + x (0,73)1.820 + 2.460 = 865 + 0,73x0,73x = 1.820 + 2.460 – 865x = 3.415/0,73 = 4.678,08

Observe que a data focal era anterior à data de vencimento de todos os capitais. Assim, calculamos o valor descontado (valor atual) de cada um deles, para trazê-los à data local. Efetuamos um desconto (comercial, no caso) ou uma descapitalização (desincorporação dos juros), porque estávamos transportando os valores para uma data passada. Mas se a data focal tivesse sido outra, por exemplo, a data 9 (vide esquema), e não a data zero, o capital de R$ 2.000,00, que vencia na data 6, teria que sofrer uma capitalização (incorporação de juros) para ser transportado para a data 9 (data futura em relação à data 6). A atualização do valor desse capital para a data 9, então, far-se-ia com a utilização da fórmula do montante M = C (1 + in), e não com a fórmula do valor descontado (valor atual).

Conclusão: para transportarmos um capital para uma data posterior à original, devemos capitalizá-lo; para transportarmos um capital para uma data anterior à original, devemos descapitalizá-lo.

2. O pagamento do seguro de um carro, conforme contrato, deve ser feito em 3 parcelas quadrimestrais de R$ 500,00. O segurador, para facilitar ao seu cliente, propõe-lhe o pagamento em 4 parcelas trimestrais iguais. Utilizando-se a data focal zero, a taxa de juros de 24% a.a. e o critério de desconto racional simples, o valor das parcelas trimestrais será, em R$:

Resolução:Fazendo o diagrama dos pagamentos, temos:i = 24% a.a. = 2% a.m. = 0,02 a.m.Uma vez que o critério é de desconto racional simples, ao transportarmos os valores para a data zero, teremos que utilizar a

fórmula do valor atual racional simplesVars = N/1 + in . Podemos escrever, então, que:

Total da divida conforme o plano original de pagamento, atualizado racionalmente para a data zero 500/1 + 0,02 . 4 + 500/1 + 0,02 . 8 + 500/1 + 0,02 . 12 = x/1 + 0,02 . 3 + x/1 + 0,02 . 6 + x/1 + 0,02 . 9 + x/1 + 0,02 . 12

Total da dívida conforme o plano alternativo proposto, atualizado racionalmente para a data zero 500/1,08 + 500/1,16 + 500/1,24 = x/1,06 + x/1,12 + x/1,18 + x/1,24

1.297,22 = 3,49 . xx = 1.297,22/3,49x = 371,68

3. A aplicação de R$ 2.000,00 foi feita pelo prazo de 9 meses, contratando-se a taxa de juros de 28% a.a. Além dessa aplicação, existe outra de valor nominal R$ 7.000,00 com vencimento a 18 meses. Considerando-se a taxa de juros de 18% a.a., o critério de desconto racional e a data focal 12 meses, a soma das aplicações é, em R$:


matemática

Resolução:Inicialmente, precisamos calcular o valor nominal da primeira aplicação. Considerando n = 9 meses = 0,75 anos, temos que:N = C (1 + in)N = 2.000 (1 + 0,28 . 0,75) = 2.000 (1,21) = 2.420

Observando o diagrama de fluxo de caixa, vemos que, para serem transportados à data doze, o título de 2.420 terá que ser capitalizado de três meses, ao passo que o título de 7.000 terá que ser descapitalizado de 6 meses. Além disso, a taxa de 18% a.a., considerando-se capitalização simples, é equivalente a 1,5% a.m. = 0,015 a.m. Desta forma, podemos escrever que:

2.420 (1 + 0,015 . 3) + 7.000/1 + 0,015 . 6 = x2.420 (1,045) + 7.000/1,09 = x2.528,9 + 6.422,02 = xx = 8.950,92 Equação de Valor

Em síntese, para que um conjunto de títulos de valores nominais N1, N2, N3 …, exigíveis nas datas n1, n2, n3 …, seja equivalente a um outro conjunto de títulos Na , Nb , Nc …, exigíveis nas datas na , nb , nc …, basta impormos que a soma dos respectivos valores atuais Va1 , Va2 , Va3 … dos títulos do primeiro conjunto, calculados na data focal considerada, seja igual à soma dos valores atuais Vaa , Vab , Vac … dos títulos do segundo conjunto, calculados para essa mesma data, isto é:

Va1 + Va2 + Va3 + … = Vaa + Vab + Vac + …A equação acima é chamada de Equação de Valor.

Roteiro para Resolução de Problemas de Equivalência

Ao começar a resolução de problemas que envolvem equivalência de capitais utilize o seguinte roteiro:1. leia o problema todo;2. construa, a partir do enunciado do problema, um diagrama de fluxo de caixa esquemático, colocando na parte de cima o plano

original de pagamento e na parte de baixo o plano alternativo proposto, indicando todos os valores envolvidos, as datas respectivas e as incógnitas a serem descobertas – esse diagrama é importante porque permite visualizar os grupos de capitais equivalentes e estabelecer facilmente a equação de valor para resolução do problema;

3. observe se os prazos de vencimento dos títulos e compromissos estão na mesma unidade de medida de tempo periodicidade da taxa; se não estiverem, faça as transformações necessárias (ou você expressa a taxa na unidade de tempo do prazo ou expressa o prazo na unidade de tempo da taxa – escolha a transformação que torne os cálculos mais simples);

4. leve todos os valores para a data escolhida para a negociação (data focal), lembrando sempre que capitais exigíveis antes da data focal deverão ser capitalizados através da fórmula do montante M = C (1 + in), dependendo da modalidade de desconto utilizada;

5. tendo transportado todos os capitais para a data focal e com base no diagrama de fluxo de caixa que você esquematizou, monte a EQUAÇÃO DE VALOR, impondo que a soma dos valores dos títulos (transportados para a data focal) da parte de cima do diagrama de fluxo de caixa seja igual à soma dos valores dos títulos (transportados para a data focal) da parte de baixo do diagrama de fluxo de caixa;

6. resolva a equação de valor;7. releia a PERGUNTA do problema e verifique se o valor que você encontrou corresponde ao que o problema está pedindo (às

vezes, devido à pressa, o candidato se perde nos cálculos, encontra um resultado intermediário e assinala a alternativa que o contém, colocada ali para induzi-lo em erro, quando seria necessário ainda uma passo a mais para chegar ao resultado final correto).

Desconto e Equivalência

Por fim, gostaríamos de dar uma dica para ajudá-lo a perceber quando um problema é de desconto e quando é de equivalência. Em linhas gerais, nos problemas de Desconto, alguém quer vender papéis (duplicatas, promissórias, letras de câmbio, etc.), enquanto que nos problemas de Equivalência, alguém quer financiar ou refinanciar uma dívida.

Rendas Uniformes

Matéria com o mesmo objetivo da Equivalência de Capitais, mas com títulos apresentando os mesmos valores e com vencimentos consecutivos - tornando assim sua solução mais rápida, através de um método alternativo.


matemática

Há dois casos: o cálculo do valor atual dos pagamentos iguais e sucessivos (que seria igual ao valor do financiamento obtido por uma empresa ou o valor do empréstimo contraído); e o cálculo do montante, do valor que a empresa obterá se aplicar os pagamentos dos clientes em uma data futura às datas dos pagamentos.

1º caso: cálculo do Valor atual

a) Renda Certa Postecipada (Imediata): aquela onde o primeiro pagamento acontecerá em UM período após contrair o empréstimo ou financiamento.

Para calcular o valor atual dessa renda certa, a fórmula é a seguinte:a = P . a[n,i], onde:A = valor atual da renda certa;P = valor de cada pagamento da renda certa;n = número de prestações;i = taxa empregada.

O fator a[n,i] é normalmente dado nas provas.

b) Renda Certa Antecipada: aquela onde o primeiro pagamento acontecerá no ato do empréstimo ou financiamento.

Para calcular o valor atual dessa renda certa, a fórmula é a seguinte:

A = P . a[n-1,i] + P, onde:

A = valor atual da renda certa;P = valor de cada pagamento da renda certa;n = número de prestações;i = taxa empregada.

c) Renda Certa Diferida: aquela onde o primeiro pagamento acontecerá vários períodos após ser feito o empréstimo ou financiamento.

Para calcular o valor atual dessa renda certa, a fórmula é a seguinte:

A = P . ( a[n+x,i] - a[x,i] ), onde:

A = valor atual da renda certa;P = valor de cada pagamento da renda certa;n = número de prestações;x = número de prestações acrescentadas;i = taxa empregada.

2º caso: cálculo do Montante

a) Quando o montante é calculado no momento da data do último pagamento:Para calcular o valor do montante nesse caso, a fórmula é a seguinte:

M = P . s[n,i], onde:

M = valor do montante;P = valor de cada pagamento da renda certa;n = número de prestações;i = taxa empregada.

O fator s[n,i] é normalmente dado nas provas.


matemática

b) Quando o montante é calculado em um momento que não coincide com a data do último pagamento:

Para calcular o valor do montante nesse caso, a fórmula é a seguinte:

M = P . (s[n+x,i] - s[x,i]), onde:

M = valor do montante;P = valor de cada pagamento da renda certa;n = número de prestações;x = número de prestações acrescentadas;i = taxa empregada.

Rendas Variáveis

Ativos de renda variável são aqueles cuja remuneração ou retorno de capital não pode ser dimensionado no momento da aplicação, podendo variar positivamente ou negativamente, de acordo com as expectativas do mercado. Os mais comuns são: ações, fundos de renda variável (fundo de ação, multimercado e outros), quotas ou quinhões de capital, Commodities (ouro, moeda e outros) e os derivativos (contratos negociados nas Bolsas de Valores, de mercadorias, de futuros e assemelhadas).

Taxa Interna de Retorno

A Taxa Interna de Retorno (TIR), em inglês IRR (Internal Rate of Return), é a taxa necessária para igualar o valor de um investimento (valor presente) com os seus respectivos retornos futuros ou saldos de caixa. Sendo usada em análise de investimentos significa a taxa de retorno de um projeto.

Utilizando uma calculadora financeira, encontramos para o projeto P uma Taxa Interna de Retorno de 15% ao ano. Esse projeto será atrativo se a empresa tiver uma TMA menor do que 15% ao ano. A solução dessa equação pode ser obtida pelo processo iterativo, ou seja “tentativa e erro”, ou diretamente com o uso de calculadoras eletrônicas ou planilhas de cálculo.

A taxa interna de rentabilidade (TIR) é a taxa de actualização do projecto que dá o VAL nulo. A TIR é a taxa que o investidor obtém em média em cada ano sobre os capitais que se mantêm investidos no projecto, enquanto o investimento inicial é recuperado progressivamente. A TIR é um critério que atende ao valor de dinheiro no tempo, valorizando os cash-flows actuais mais do que os futuros, constitui com a VAL e o PAYBACK actualizado os três grandes critérios de avaliação de projectos. A TIR não é adequada à selecção de projectos de investimento, a não ser quando é determinada a partir do cash-flow relativo.

A Taxa Interna de Retorno de um investimento pode ser:- Maior do que a Taxa Mínima de Atratividade: significa que o investimento é economicamente atrativo.- Igual à Taxa Mínima de Atratividade: o investimento está economicamente numa situação de indiferença.- Menor do que a Taxa Mínima de Atratividade: o investimento não é economicamente atrativo pois seu retorno é superado pelo

retorno de um investimento com o mínimo de retorno.

Entre vários investimentos, o melhor será aquele que tiver a maior Taxa Interna de Retorno Matematicamente, a Taxa Interna de Retorno é a taxa de juros que torna o valor presente das entradas de caixa igual ao valor presente das saídas de caixa do projeto de investimento.

A TIR é a taxa de desconto que faz com que o Valor Presente Líquido (VPL) do projeto seja zero. Um projeto é atrativo quando sua TIR for maior do que o custo de capital do projeto.

Método

Para encontrar o valor da Taxa Interna de Retorno, calcular a taxa que satisfaz a seguinte equação:


matemática

A TIR é obtida resolvendo a expressão em ordem a TIR e é geralmente comparada com a taxa de desconto. O valor do TIR é um valor relativo e o seu cálculo é realizado, recorrendo a computador ou a tabelas próprias Para se efectuar o cálculo da TIR, é analisada a série de valores obtida da seguinte forma: 1º valor: o investimento inicial (valor negativo) 2º valor: benefícios - custos do 1º período (valor positivo) 3º valor: benefícios - custos do 2º período (valor positivo) e assim sucessivamente, até ao último período a considerar. O período considerado pode ser um qualquer desde que seja regular (semana, mensal, trimestral, semestral, anual, etc.) Nota: recorrendo ao uso de uma folha de cálculo é possível obter o valor da TIR. No caso do Excel, a fórmula para cálculo do TIR é IRR(gama de valores).

A TIR não deve ser usada como parâmetro em uma análise de investimento porque muitas vezes os fluxos não são reinvestidor a uma taxa iguais a TIR efetiva.

Quando a TIR calculada é superior á taxa efetiva de reinvestimento dos fluxos de caixa intermediários, pode sugir, ás vezes de forma significativa, uma expectativa irreal de retorno anual equivalente ao do projeto de investimento.

Exemplo

Considerando-se que o fluxo de caixa é composto apenas de uma saída no período 0 de R$ 100,00 e uma entrada no período 1 de R$120,00, onde i corresponde à taxa de juros:

Para VPL = 0 temos i = TIR = 0.2 = 20%Como uma ferramenta de decisão, a TIR é utilizada para avaliar investimentos alternativos. A alternativa de investimento com a

TIR mais elevada é normalmente a preferida; também deve se levar em consideração de que colocar o investimento em um banco é sempre uma alternativa. Assim, se nenhuma das alternativas de investimento atingir a taxa de rendimento bancária ou a Taxa Mínima de Atratividade (TMA), este investimento não deve ser realizado.

Normalmente a TIR não pode ser resolvida analiticamente como demonstrado acima, e sim apenas através de iterações, ou seja, através de interpolações com diversas taxas de retorno até chegar àquela que apresente um VPL igual a zero; contudo as calculadoras financeiras e planilhas eletrônicas estão preparadas para encontrar rapidamente este valor.

Um defeito crítico do método de cálculo da TIR é que múltiplos valores podem ser encontrados se o fluxo anual de caixa mudar de sinal mais de uma vez (ir de negativo para positivo e para negativo novamente, ou vice-versa) durante o período de análise. Para os casos de alteração frequente de sinal deve utilizar-se a (Taxa externa de retorno - TER).

Apesar de uma forte preferência acadêmica pelo VPL, pesquisas indicam que executivos preferem a TIR ao invés do VPL. Aparentemente os gerentes acham intuitivamente mais atraente para avaliar investimentos em taxas percentuais ao invés dos valores monetários do VPL. Contudo, deve-se preferencialmente utilizar mais do que uma ferramenta de análise de investimento, e todas as alternativas devem ser consideradas em uma análise, pois qualquer alternativa pode parecer valer a pena se for comparada com as alternativas suficientemente ruins.

Deve-se ter em mente que o método da TIR considera que as entradas, ou seja, os vários retornos que o investimento trará, serão reinvestidos a uma taxa igual a taxa de atratividade informada.

aNOtaÇÕeS

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matemática

aNOtaÇÕeS

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apostila de matematica para concursos

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