matematica para concursos pÚblicos

Prof.Homero MATEMÁTICA

1

GRÁFICOS POR SETORES CIRCULARES, DE BARRAS,

TABELAS NUMÉRICAS E DIAGRAMAS A Estatística trata dos métodos científicos para coleta , organização, resumo, apresentação e análise de dados, visando também a tomada de decisões. GRÁFICOS DE COLUNAS OU BARRAS VERTICAIS Exemplo: A tabela apresenta os percentuais de reprovação de uma determinada disciplina no ano letivo: Bimestres percentuais 1º 45% 2º 35% 3º 55% 4º 15% Vamos construir o gráfico de colunas para a tabela de dados acima.

45%

35%

55%

15%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

1º 2º 3º 4º

Outro exemplo: Vamos construir o gráfico em colunas de forma a podermos comparar a unidades vendidas de imóveis nos períodos dos anos de 1993 e 1994.

Unidades vendidas Meses 1993 1994 Janeiro 15 12 Fevereiro 10 18 Março 12 20 Abril 18 25

15

1012

18

12

1820

25

0

5

10

15

20

25

30

Janeiro Fevereiro Março Abril

1993

1994


2

GRÁFICO DE BARRAS Esse tipo de gráfico, com barras horizontais, também é usado, porém em menor escala. Façamos um exemplo: Exemplo 1: A tabela apresenta avaliação dos estudantes, em porcentagens, com relação `UNE:

Avaliação - UNE ótimo 4% bom 25% regular 27% ruim 9% péssimo 13% não opinaram 22%

22%

13%

9%

27%

25%

4%

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%

não opinaram

péssimo

ruim

regular

bom

ótimo

GRÁFICO DE SETORES Usado com bastante freqüência, normalmente quando se trabalha com percentuais. Façamos, também, um exemplo. Exemplo 1: Construir o gráfico de setores para os dados da tabela:

Produtos quantidade vendida A 60 B 120 C 240 D 300

Total 720 Resolução:

Produto A : 720 ----------- 360°

60 ----------- x

x = (60 . 360) : 720 = 30 ° (esse é o setor a ser representado no gráfico)

Produto B : 720 ------------ 360º

120 ------------ y

y = (120 . 360) : 720 = 60 ° ( esse é o setor a ser representado no gráfico)


3

Produto C : 720 -------------- 360º

240 -------------- z

z = (240 . 360) : 720 = 120 ° (esse é o setor a ser representado no gráfico)

Produto D : 720 -------------- 360º

300 -------------- t

t = (300 . 360) : 720 = 150 ° (esse é o setor a ser representado no gráfico).

A

B

C

D

GRÁFICO DE LINHAS Esse é um dos tipos de gráfico mais usado em Estatística pois é de fácil compreensão dos dados e de fácil construção. Colocamos os dados num sistema de eixos cartesianos ortogonais, marcam-se os pontos do plano correspondente aos dados tabelados e, traçamos os segmentos lineares, consecutivos, vejamos um exemplo. Exemplo 1:

Discos vendidos (em milhões) Anos vendas 1989 76,6 1990 44,8 1991 44,3 1992 34,5 1993 44 1994 60

0102030405060708090

1989 1990 1991 1992 1993 1994


4

Exemplo 2 : Tracemos o gráfico em linhas, comparativo, à seguinte tabela de dados compilados de uma pesquisa de opinião pública:

Porcentagem de votos para presidente Meses Lula FHC Abril 31,7 20,2 Maio 38,3 23,5 Junho 37,9 22,8 Julho 30,1 30,5 Agosto 27,6 36,3 Setembro 21 42,8 Outubro 22,8 43,5

4 5 6 7 8 9 10


5

QUESTÕES PROPOSTAS

1) Construindo o gráfico de linha para a tabela abaixo, temos:

Mês Unidades Vendidas J 12 F 20 M 18 A 24 M 16 J 8

a)

0

5

10

15

20

25

30

J F M A M J

b)

0

5

10

15

20

25

30

J F M A M J

c)

0

5

10

15

20

25

30

J F M A M J

d)

0

5

10

15

20

25

30

J F M A M J

e)

0

5

10

15

20

25

30

J F M A M J


6

2) Construindo o gráfico de barras verticais para a tabela abaixo, teremos:

Candidatos (%) Mês

A B C J 10 30 40 F 16 25 36 M 20 20 40 A 24 18 32 M 30 20 35

a)

0

10

20

30

40

50

J F M A M

b)

0

10

20

30

40

50

J F M A M

c)

0

10

20

30

40

50

J F M A M

d)

0

10

20

30

40

50

J F M A M

e)

0

10

20

30

40

50

J F M A M


7

3) Construindo o gráfico de setor para a tabela abaixo, teremos:

Produto Vendas (%) A 30 B 20 C 40 D 10

a)

A

B

C

D

b)

A

B

C

D

c)

A

B

C

D

d)

A

B

C

D

e)

A

B

C

D

Gabarito 1-A 2-B 3-C


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FUNÇÕES Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se FUNÇÃO DE A EM B a toda relação

de A em B, onde a cada elemento “x” de A está associado um único elemento “y” de B. Exemplos:

A B A B 1 7 1 2 2 9 3 8 3

DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍNIO:

Dados A = {1, 2, 3} e B = (1, 2, 3, 4, 5} A função f : A → B definida por y = x + 1 é representada por diagramas do seguinte

modo:

A B 1 O conjunto A é o DOMÍNIO da função 1 2 2 3 O conjunto B é o CONTRADOMÍNIO da função 3 4 5 O conjunto {2, 3, 4} é a IMAGEM da função

FUNÇÃO EM UM PONTO: 1) Seja f(x) = 2x + 1, para determinarmos f(1) substituímos x por 1 f(x) = 2x + 1 f(1) = 2.(1) + 1 = 2 + 1 = 3, portanto f(1) = 3 2) Dada a função f(x) = 2x - 3, determine: f(2) = 2·2 – 3 = 4 – 3 =1 f(a) = 2·a – 3 = 2a -3

f(a + 2) = 2(a + 2) – 3 = 2a + 4 – 3

= 2a + 1

f(x - 1) = 2(x -1) -3= 2x -2 -3 = 2x -5

3) Sendo f(x) = 3x - 1 e f(a) = 5, determine o valor de “a”

3 = 3·a -1

3 +1 = 3a . . 4 = 3a . . a34

=


9

4) Sendo f xx

x( ) =

− 1, calcule f(f(x))

f

−

x1x

= 1x

1

x1x

xx1x

x1x

1x

1x

−

−=

−

−−

=−

−−

ESTUDO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO: Basicamente, temos 3 casos:

1º) K

P x( ) ⇒ P(x) ≠ 0 2º) P x( ) ⇒ P(x) ≥ 0 3º)

K

P x( ) ⇒ P(x) > 0

EXEMPLOS: 1) 2 5

5xx

−

+

⇒ x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ -2 D = {x ∈ IR / x ≠ -2}

2) x + 3 ⇒ x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ -3 D = {x ∈ IR / x ≥ -3}

3) x

x − 5

⇒ x - 5 > 0 ⇒ x > 5 D = {x ∈ IR / x > 5}

FUNÇÃO INVERSA Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = (2, 3, 4} e a função de A em B definida por y = x + 1, então temos:

f(x) = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} ou f(x) = x + 1 Chamamos de inversa de f a função f-1(x) e temos:

f(x)-1 = {(2, 1), (3, 2), (4, 3)} ou f-1(x) = x - 1

A função inversa f(x)-1 é obtida invertendo-se a ordem dos elementos de cada par

ordenado pertencente à função f(x).

PROCESSO ALGÉBRICO PARA O CÁLCULO DE UMA FUNÇÃO INVERSA: Dada a função y = 2x - 3 Solução: Trocamos x por y ⇒ x = 2y - 3

Isolamos y ⇒ x + 3 = 2y ⇒ x

y+

=3

2

Logo yx

=+ 32

é a inversa de y = 2x - 3


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FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU Função de 1º grau é toda função f : IR → IR, definina por f(x) = ax + b, com a e b ∈ IR.

Os gráficos das funções de 1º grau são RETAS, cujos aspectos são determinados pelos coeficientes a e b.

a > 0 → função crescente ordenada do ponto a = 0 → função constante b → de interseção da reta com o eixo y. a < 0 → função decrescente

RAIZ OU ZERO → abcissa do ponto de interseção da reta com o eixo x.


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FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAU

Função de 2º grau é toda função f : IR → IR, definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c ∈ IR. Os gráficos das funções de 2º grau são PARÁBOLAS, cujos aspectos são determinados pelos coeficientes a, b e c.

indica a

a → orientação da concavidade

indica se a pará- bola está

b → “subindo” ou “descendo” quando intercepta o eixo y

indica a ordenada do ponto de

c → interseção da parábola com o eixo y


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O VÉRTICE da parábola, representado pelo ponto V(xv, yv), pode ser obtido como mostra a seguir.

xbav = −

2 → ponto médio entre as raízes

yav = −

∆

4 → substituir o xv na função

∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0

O SINAL DA FUNÇÃO DE 2º GRAU, ou seja, as inequações quadráticas, serão

estudadas mediante dois exemplos que seguem. Exemplos:

x2 - 3x + 2 ≥ 0 Raízes: x’ = 1 e x” = 2

x2 - 3x - 4 < 0 Raízes: x’ = 4 e x” = -1


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FUNÇÃO EXPONENCIAL A função exponencial de base a é toda função f : IR → (0, +∞) definida por f(x) = ax, com

a > 0 e a ≠ 1. Os gráficos das funções exponenciais são curvas, cujos aspectos são determinados pela base a.

FUNÇÃO LOGARÍTMICA A função logarítmica de base a é toda função f : (0, +∞) → IR definida por f(x) = loga x,

com a > 0 e a ≠ 1. Os gráficos das funções logarítmicas são curvas, cujos aspectos são determinados pela base a.

QUESTÕES PROPOSTAS


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01) (UFRGS) Dentre os conjuntos de pontos do plano cartesiano, apresentados abaixo,

quais os que NÃO pode representar gráficos de uma função? a) apenas I e III b) apenas II e IV c) apenas III e IV d) apenas I, III e IV e) apenas II, III e IV

02) Qual das seguintes curvas não representa função?

03) (UFRGS) As funções f e f-1 são inversas. Se f é definida por f xx

( ) =−

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, então f-1(x)

a) 1

3x + b)

1 3+ xx

c) 1 3− x

x d) x - 3 e) 3 - x

04) Se f(x) = -2x - 3 então f(-1) é igual a a) 1 b) -1 c) 5 d) -5 e) 6 05) Dada a função f(x) = 2x + 4 os pontos de interseção com os eixos das abcissas e das ordenadas são respectivamente: a) (0, 4) e (-2, 0) b) (-2, 0) e (0, 4) c) (-4, 0) e (0, 2) d) (0, 0) e (2, 4) e) (2, 0) e (0,4) 06) A função representada no gráfico abaixo é a) y = 2x - 2 b) y = 2x + 2 c) y = -2x - 2 d) y = -2x + 2 e) y = -x - 2


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07) A função representada no gráfico abaixo é a) f x x( ) = + 2

b) f xx

( ) = +2

1

c) f xx

( ) = −2

1

d) f x x( ) = −2 1 e) f x x( ) = − −2 1 08) O gráfico representa a função f(x) = ax + b. É correto afirma que a) a.b = 0 b) a.b > 0 c) a.b < 0 d) a - b > 0 e) a + b > 0 09) O coeficiente angular e o coeficiente linear da reta representada abaixo são respectivamente a) 0 e 3 b) 0 e 1 c) 1/3 e 0 d) 3 e 0 e) 1 e 3 10) Se uma reta passa pelos pontos (1, -1) e (-1, 3) então sua equação é a) y = -x b) y = -x + 3 c) y = 2x - 1 d) y = -2x + 1 e) y = x + 3 11) Se a função f(x) = ax2 + bx + c é representada pelo gráfico abaixo então, podemos afirmar a) a > 0, b > 0, c > 0 b) a > 0, b > 0, c < 0 c) a > 0, b < 0, c < 0 d) a < 0, b > 0, c < 0 e) a < 0, b < 0, c > 0 12) A representação cartesiana da função f(x) = ax2 + bx + c é a parábola abaixo. Então podemos afirmar a) a > 0, ∆ > 0 b) a > 0, ∆ < 0 c) a < 0, ∆ > 0 d) a < 0, ∆ < 0 e) a < 0, ∆ = 0 13) A imagem da função f : IR → IR definida por f(x) = -x2 + 2x + 3 é a) [4, ∞) b) [3, ∞) c) (-∞, 3] d) (-∞, 4] e) (-∞, 0] 14) A imagem da função quadrática f(x) = x2 - 4x + 4 é


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a) (-∞, 0] b) [0. ∞) c) [4, ∞) d) (-∞, 4] e) [-4, ∞) 15) Se (p, q) são as coordenadas do vértice da parábola y = x2 - 2x + 2, então, o valor de p - q é a) 0 b) 2 c) 4 d) -2 e) -4 16) O valor máximo do polinômio y = x2 + bx + c representado na figura é a) 1/2 b) 1/4 c) 3/2 d) 1 e) 2 17) Um projétil é lançado do chão para o alto percorrendo uma trajetória descrita por y = -3x2 + 36x. A distância em que o projétil cairá é de a) 3 u.c. b) 6 u.c. c) 12 u.c. d) 18 u.c. e) 36 u.c. 18) (CEEE/2000-FAUFRGS) Os gráficos da função linear f e da função quadrática g estão representados na figura abaixo.

Se o produto f(x) . g(x) é positivo, então a) -1 < x < 0 ou 1 < x ≤ 2 b) 0 < x < 1 ou 2 < x ≤ 3 c) 2 ≤ x ≤ 3 d) 1 ≤ x < 3 e) 0 < x ≤ 1

19) (UFRGS) A função f : IR → IR definida por f(x) = 2 . bx é exponencial crescente se se somente se a) b > 0 b) b < 0 c) 0 < b < 1 d) b < 1 e) b > 1 20) (UFRGS) Na figura está a representação geométrica de uma função exponencial f dada por f(x) = bx. Pode-se garantir que a) b = 10 b) b = 2 c) b = 1 d) b < 0 e) 0 < b < 1 21) (PUC) Dentre os gráficos abaixo, o que melhor representa a função definida por y = 21 - x é

22) (UFRGS) A representação geométrica que melhor representa o gráfico da função real de variável real x, dada por f(x) = log1/2 x, é


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23) (UFRGS) Encontre o par de gráficos que melhor represente a função y = log0,1 x e sua função inversa, nessa ordem

a) I e III b) II e IV c) II e V d) I e II e) IV e III 24) (CEEE/2000-FAUFRGS) A curva do gráfico abaixo representa a função y = log x

A área do retângulo hachurado é a) (log 5) - 1 b) log 25 c) log 32 d) 5 e) 10

GABARITO

01) A 02) D 03) B 04) B 05) B 06) C 07) C 08) C 09) C 10) D 11) C 12) C 13) D 14) B 15) A 16) B 17) C 18) B 19) E 20) E 21) B 22) A 23) B 24) C


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SISTEMAS DE MEDIDAS MEDIDAS DE COMPRIMENTO

MÚLTIPLOS UNIDADE BÁSICA SUBMÚLTIPLOS

Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro km hm dam m dm cm mm

1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m Conversão de Medidas de Comprimento De uma medida maior para uma medida menor a) De um número inteiro:

Conte quantas casas existem entre as duas medidas. Coloque à direita tantos zeros quantos forem as casas de diferença.

Exemplo: transforme 25 hm em dm. Como do hm para o dm há 3 casas de diferença, basta acrescentar 3 zeros: 25 hm = 25.000 dm. b) De um número decimal:

Desloque a vírgula tantas casas para a direita quanto forem as casas de diferença entre as duas medidas. Complete com zeros, se necessário.

Exemplo: transformar 1,36 dam em cm. Como a diferença de dam para o cm há 3 casas de diferença, deslocar a vírgula 3

casas, acrescentando o zero necessário: 1,36 dam = 1.360 cm. De uma medida menor para uma maior:

Conte a diferença de casas entre as duas medidas e desloque a vírgula para a esquerda tantas casas quanto for o valor da diferença.

Exemplo 1: transforme 2.083,64 mm em m. Como a diferença entre mm e m é de 3 casas, deslocamos a vírgula para a esquerda

3 casas: 2.083,64 mm = 2,08364 m. Exemplo 2: transformar 546 mm em dam. São 4 casas de diferença: 546 mm = 0,0546 dam

MEDIDAS DE SUPERFÍCIE

MÚLTIPLOS UNIDADE BÁSICA

SUBMÚLTIPLOS

Quilômetro Quadrado

Hectômetro Quadrado

Decâmetro Quadrado

Metro Quadrado

Decímetro Quadrado

Centímetro Quadrado

Milímetro Quadrado

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 1000.000 m2 10.000 m2 100 m2 1 m2 0,01 m2 0,0001 m2 0,000001 m2

Conversão de Medidas de Superfície (área)


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O processo é o mesmo do item anterior, com uma diferença: para cada casa da diferença entre as medidas, deslocamos a vírgula DUAS CASAS decimais (ou deslocamos dois zeros, se for o caso) para a direita, se a unidade a ser convertida for maior (exemplo 1) ou para a esquerda, se a unidade a ser convertida for menor (exemplo 2).

Exemplo 1: transformar 5,46 m2 em cm2 De m2 para cm2 tem 2 casas. Deslocamos a vírgula 4 casas para a direita: 5,46 m2 = 54.600 cm2 Exemplo 2) transformar 6.387,2 cm2 em dm2 Como de dm2 para cm2 tem 1 casa decimal, deslocamos a vírgula 2 casas para a

esquerda: 6.387,2 cm2 = 63,872 dm2

MEDIDAS DE VOLUME


SUBMÚLTIPLOS

Quilômetro Cúbico

Hectômetro Cúbico

Decâmetro Cúbico

Metro Cúbico

Decímetro Cúbico

Centímetro Cúbico

Milímetro Cúbico

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 1000.000.000 m3 1.000.000 m3 1.000 m3 1 m3 0,001 m3 0,0000001 m3 0,000000001 m3

Conversão de Medidas de Volume

O processo é idêntico ao anterior, apenas considere o seguinte: para cada casa de diferença entre as medidas, deslocamos a vírgula TRÊS CASAS decimais (ou deslocamos três zeros, se for o caso) para a direita, se a unidade a ser convertida for maior (exemplo 1) ou para a esquerda, se a unidade a ser convertida for menor (exemplo 2).

Exemplo 1: transformar 5,46 m3 em cm3 5,46 m3 = 5.460.000 cm3 Exemplo 2: transformar 387,2 cm3 em m3 387,2 cm3 = 0,0083872 m3

MEDIDAS DE CAPACIDADE

MÚLTIPLOS UNIDADE BÁSICA SUBMÚLTIPLOS Quilolitro Hectolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro

kl hl dal l dl cl ml 1000 l 100 l 10 l 1 l 0,1 l 0,01 l 0,001 l

m3 dm3 cm3


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Conversão de Medidas de Capacidade

Como as medidas de capacidade funcionam do mesmo modo que as medidas de comprimento, o processo é o mesmo do item anterior. Substitua os termos com “metro” por “litro” e proceda do mesmo modo que no item anterior.

Exemplo 1: transformar 10,21 l em cl. 10,2 l = 1.020 cl Exemplo 2: transformar 56 ml em dl. 56 ml = 0,56 dl Relação entre as Medidas de Volume e Capacidade Como se viu no quadro acima, as medidas de volume e capacidade se relacional

assim: 1 kl = 1 m3 1 litro = dm3 1 ml = 1 cm3

Exemplo: transformar 10 litros em m3 10 litros = 0,01 m3

MEDIDAS DE MASSA


SUBMÚLTIPLOS

Quilograma Hectograma Decagrama Grama Decigrama Centigrama Miligrama kg hg dag g dg cg mg

1000 g 100 g 10 g 1 g 0,1 g 0,01 g 0,001 g

Conversão de Medidas de Massa

O processo é idêntico ao do item anterior. Substitua apenas o termo “litro” por “grama”.

Exemplo 1: transformar 10,2g em cg. 10,2 g = 1.020 cg Exemplo 2: transformar 56 mg em dg. 56 mg = 0,56 dg

MEDIDAS AGRÁRIAS As medidas agrárias, destinadas a medir a área de grandes extensões territoriais, têm

como unidade básica o are (a), que corresponde a 100 m2.

HECTARE ARE CENTIARE Símbolo ha a ca Valor em ares 100 a 1 a 0,01 a Valor em m2 10.000 m2 100 m2 1 m2

Exemplo: 32,5 há = 3.250 a = 325.000 ca = 325.000 m

QUESTÕES PROPOSTAS


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1) 100 dm x o,1 dam x 100 mm é: a) 0,01 m3 b) 10 m3 c) 100 m3 d) 1 m3 e) 2 m2 2) Uma pilha de 40 tábuas tem 1,7 m de altura. Sabendo-se que as tábuas têm umas 2

cm e outras 5 cm de espessura, quantas são as de dois centímetros? a) 30 b) 10 c) 20 d) 50 3) 4832,6 dm é o mesmo que: a) 48,326 km b) 0,48326 km c) 483,26 km d) 4,8326 km 4) Se um litro de água pura pesa 1 kg, quanto pesará 19 litros de água pura dentro de

uma lata com 780 g? a) 19,78 kg b) 197,8 kg c) 1,978 kg d) 1978 kg 5) Se 300 cm3 de uma substância tem massa de 500 g, quanto custarão 75 dl dessa

substância, sabendo-se que é vendida a $ 25,50 o kg? a) $ 3187,50 b) $ 31,87 c) $ 381,75 d) $ 318,75 e) $ 31875,00 6) O resultado da expressão 32,62 m + 0,8 dm + 847 cm - 3,08 dam é, em dm, igual a: a) 103,7 b) 110,9 c) 408,62 d) 719,7 e) 1812,7 7) A soma 2,45 hm2 + 1,20 dam2 é igual a: a) 25512 m2 b) 24620 m2 c) 2462 m2 d) 365 m2 e) 257 m2 8) Um retângulo tem 56 metros de perímetro. Sabendo que um dos seus lados mede 12

metros, a sua área será igual a: a) 264 m2 b) 528 m2 c) 192 m2 d) 175 m2 e) 96 m2 9) Um comício foi realizado numa praça semicircular com raio 130 m. A ocupação média

da praça foi de 4 pessoas por metro quadrado. Quantas pessoas, aproximadamente, havia no comício?

a) 110.000 b) 120.000 c) 106.000 d) 86.000 e) 90.000 10) Uma pilha de 40 tábuas tem 1,7 m de altura. Sabendo-se que as tábuas têm umas 2

cm e outras 5 cm de espessura, quantas são as de dois centímetros? a) 30 b) 10 c) 20 d) 50 11) Contornou-se com 223 palmeiras, plantadas a mesma distância uma da outra, um

terreno retangular com 1325 dm por 32,5 dam. De quantos em quantos metros foram plantadas as palmeiras?

a) 6 em 6 b) 5 em 5 c) 4 em 4 d) 8 em 8 e) 11 em 11 12) Um terreno quadrado de 1000 cm de lado tem quantos ares? a) 10 b) 100 c) 1000 d) 0,01 e) 0,001 13) 250000 ml eqüivale, e, m3, a: a) 0,025 b) 0,25 c) 2,5 d) 25 e) 35

GABARITO: 1-D 2-B 3-B 4-A 5-D 6-A 7-B 8-C 9-C 10-B 11-B 12-B 13-B


22

GEOMETRIA PLANA

Área e perímetro das figuras planas

FIGURA PERÍMETRO ÁREA

b

a

P = 2(a + b)

S = a⋅b

a

a

P = 4a

S = a2

b h

a

P = 2(a + b)

S = a⋅h

b

c d h

B

P = b + B + c + d

( )2

B+b=S ⋅h

a a

d a a

D

P = 4a

2d×D

=S


23

R C •

C = 2πR

S = πR2

c b h

a

P = a + b + c

2h×a

=S

a c

b

P = a + b + c

2c×b

=S

a a

a

P = 3a

43a

=S2

TEOREMA DE PITÁGORAS:

a = b2 + c2

a·h = b·c

b2 = a·m c2 = a·n


24

QUESTÕES PROPOSTAS 01) As telas da maioria dos televisores são semelhantes a um retângulo de lados 3 e

4. Quando se diz que um televisor tem 20 polegadas, significa que essa é a medida da diagonal de sua tela, estando correto concluir que as medidas dos lados da tela, em polegadas, a) 3 e 4 b) 6 e 8 c) 10 e 15 d) 12 e 16 e) 16 e 20

02) Dois quadrados são tais que a área de um deles é o dobro da área do outro. A

diagonal do menor é 4. A diagonal do maior é

a) 8 b) 6 c) 6. 3 d) 4. 3 e) 4. 2 03) Na figura, E e F são pontos médios dos lados AB e BC do quadrado ABCD. A

fração da área do quadrado ocupada pelo triângulo DEF é

a) 14

b) 12

c) 38

d) 58

e) 34

04) As medidas dos lados de um triângulo são números pares consecutivos, e a

medida do menor lado é um terço da soma das medidas dos outros dois lados. O perímetro desse triângulo é a) 8 b) 10 c) 12 d) 20 e) 24

05) Nos triângulos da figura, os lados de comprimento x e 10 são paralelos. O valor de

x é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

06) No triângulo ABC os segmentos AB e DE são paralelos. Se AB = 8, DE = 6, AD =

3, BE = 4. Então DC + EC é igual a: a) 21 b) 18 c) 16 d) 9 e) 12

07) Na figura abaixo, ADEF é um quadrado inscrito

no triângulo ABC. Se AC = 4 e


25

AB = 12, a área do quadrado ADEF é igual a: a) 4 b) 9 c) 10 d) 12 e) 15 08) Na figura abaixo AB, CD e EF são paralelos. AB e CD medem, respectivamente,

10 cm e 5 cm.

O comprimento de EF é

a) 53

b) 2 c) 3 d) 103

e) 4

09) Um trapézio ABCD possui base maior igual a 20 cm, base menor igual a 8 cm e

altura igual a 15 cm. Assim, a altura, em cm, do triângulo limitado pela base menor e o prolongamento dos lados não paralelos do trapézio é igual a: a) 7 b) 5 c) 17 d) 10 e) 12

10) Na figura abaixo está representado o retângulo (ABCD) com 105 m2. Usando as

medidas indicadas (DG = 10 m e BF = 2 m), verificamos que o lado do quadrado (EFCG) mede:

a) 85 m b) 42,5 m c) 8 m d) 5 m e) 3 m

11) Considere a figura abaixo


26

Se os retângulos ABCD e BCEF são semelhantes, e AD = 1, AF = 2 e FB = x, então x

vale

a) -1 + 2 b) 1 c) 2 d) 1 + 2 e) 2 12) Na figura, as retas a e b são paralelas

Considere as seguintes afirmações sobre a figura: I. A área do triângulo ABC é proporcional à distância entre as retas a e b. II. Os triângulos ABC e ABC’ têm mesma área. III. A área do quadrilátero ABC’C é sempre o dobro da área do triângulo ABC. Quais são verdadeiras?

a) Apenas I b) Apenas II c) Apenas I e II d) Apenas I e III e) Apenas II e III

13) Considere as afirnações: I. Se um triângulo tem um ângulo reto, a soma dos outros dois ângulos é

necessariamente igual a 90º. II. O quadrilátero que tem os lados opostos não paralelos é o paralelogramo. III. Todo paralelogramo que tem ângulos retos é um retângulo. Quais são verdadeiras?

a) Apenas I b) Apenas I e II c) Apenas I e III d) Apenas II e III e) I, II e III

14) Aumentando o diâmetro de um círculo em 20%, a área do disco aumentará em a) 20% b) 25% c) 35% d) 44% e) 50%

GABARITO 01) D 02) E 03) C 04) E 05) C 06) A 07) B 08) D 09) D 10) D 11) A 12) C 13) C 14) D


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GEOMETRIA ESPACIAL PRISMAS

NOMENCLATURA L → lado ou aresta da base a → aresta lateral h → altura p → perímetro da base Ab → Área da base AL → Área lateral AT → Área total V → Volume

PRISMA RETO: tem a aresta lateral perpenticular à base (logo a = h) PRISMA REGULAR: prisma reto onde a base é um polígono regular. (logo, L1 = L2 = L3 = ... = Ln e a = h)

ÁREA LATERAL (AL) ÁREA TOTAL (AT) e VOLUME (V):

AL = p . a AT = AL + 2.Ab V = Ab . h

BASES DE UM PRISMA REGULAR TRIANGULAR REGULAR QUADRANGULAR REGULAR HEXAGONAL REGULAR

AL

=

2 32.

A L=2 A

L= 6

32

2

..

P = 3 . L P = 4 . L P = 6 . L CUBO ou HEXAEDRO REGULAR

4 4


28

AB = a2 = AF

AL = 4. a2

AT = 6. a2

V = a3

d = a. 2

D = a. 3

PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO OU ORTOEDRO

AL = 2ac + 2bc

AT = 2ab + 2ac + 2bc

V = abc

D a b c= + +2 2 2

CILINDRO DE REVOLUÇÃO ou CILINDRO CIRCULAR RETO Elementos: FÓRMULAS g → geratriz A R gL = 2. . .π

h → altura A A AT L B= + 2.

R → raio da base V A hB= .

OBS.: A base de um cilindro de revolução é sempre um círculo, onde: P = 2.π.R e A = π.R2

CILINDRO EQUILÁTERO

FÓRMULAS

g = 2.R

AL = 4.π.R2

AT = 6.π.R2

V = 2.π.R3

OBS.: A seção meridiana (hachurada na figura acima) é um quadrado (g = 2.R)

QUESTÕES PROPOSTAS


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01) A área lateral de um prisma quadrangular regular é 160 m2 e sua altura, 8 m. Então o volume deste prisma, em m3, é igual a: a) 100 b) 150 c) 200 d) 250 e) 300

02) O volume de um prisma triangular regular é 90. 3 e o lado de sua base, 6. Logo, sua área lateral é: a) 90 b) 100 c) 120 d) 160 e) 180

03) A área lateral de um prisma hexagonal regular é 12. 3 e o lado da base, 2. O volume do prisma é:

a) 6 b) 6. 3 c) 18 d) 18. 3 e) 36 04) A área lateral de um prisma quadrangular regular é 72 m2. Sabendo-se que a algura é o dobro do lado da base, então o volume do prisma é: a) 54 m3 b) 108 m3 c) 76 m3 d) 81 m3 e) 100 m3 05) A figura abaixo representa a planificação de um sólido. O volume deste sólido é:

a) 4. 3 b) 75

c) 50. 3 d) 100

e) 100. 3

06) A figura abaixo representa a planificação de um prisma.

Se a medida de cada um dos segmentos AB, BC ou CD é

3. 3 , então a razão entre o volume e a área lateral do prisma é

a) 0,25 b) 0,50 c) 0,75 d) 1 e) 2

4 3.

4 3.

4 3.


30

07) O volume de ar contido em um galpão com a forma e as dimensões dadas pela figura ao lado é a) 300 b) 240 c) 225 d) 210 e) 180 08) As medidas das dimensões de paralelepípedo retângulo são diretamente proporcionais a 2, 3, 4 e a sua soma é 18. O volume do sólido é a) 24 b) 48 c) 96 d) 192 e) 384 09) Um cubo tem 96 cm2 de área total. Para que seu volume se torne igual a 216 cm3 sua aresta deve ser aumentada de a) 6 cm b) 4 cm c) 3 cm d) 2 cm e) 1 cm 10) Um cubo de aresta a tem diagonal d. a área total deste cubo é

a) 3.d2 b) 2.d2 c) 4

3 2.d d)

d2

3 e) 3 3 2. .d

11) Num cilindro circular reto, a altura e o diâmetro da base são iguais, assim como são iguais, numericamente, o volume e a área lateral. A altura desse cilindro é a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12 12) A altura de um cilindro reto cuja área lateral é 30.π.cm2 e cujo volume é de 45.π.cm3 é igual a a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 10 13) A área total de um cilindro reto de revolução é 128. .π e sua altura é 12. A área lateral do sólido é a) 192.π b) 96.π c) 64.π d) 48.π e) 36.π 14) Um tanque de chapa de comprimento 3 tem a forma de um semicilindro de diâmetro da base 2. A área da chama é a) 2.π b) 3.π c) 4.π d) 6.π e) 8.π 15) O líquido contido em uma lata cilíndrica deve ser distribuído em potes também cilíndricos, cuja altura é 1/4 da altura da lata e cujo diâmetro da base é 1/3 do diâmetro da base da lata. O número de potes necessários é: a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) 36 16) Um reservatório tem forma de um cilindro circular reto de 0,8 metro de diâmetro da base. O nível da água contida no reservatório sobe 5 centímetros quando mergulhamos um objeto no seu interior. Em decímetros cúbicos, a medida do objeto é a) 8 b) 8.π c) 100.π d) 3.200 e) 8.000.π

RESPOSTAS: 01) C 02) E 03) C 04) A 05) B 06) C 07) B 08) D 09) D 10) B 11) B 12) C 13) B 14) C 15) E 16) B


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matematica para concursos pÚblicos

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