matematica para concursos pÚblicos

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Prof.Homero

MATEMTICA

GRFICOSPOR SETORES CIRCULARES, DE BARRAS, TABELAS NUMRICAS E DIAGRAMASA Estatstica trata dos mtodos cientficos para coleta , organizao, resumo, apresentao e anlise de dados, visando tambm a tomada de decises. GRFICOS DE COLUNAS OU BARRAS VERTICAIS Exemplo: A tabela apresenta os percentuais de reprovao de uma determinada disciplina no ano letivo: Bimestres percentuais 1 45% 2 35% 3 55% 4 15% Vamos construir o grfico de colunas para a tabela de dados acima.60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 1 2 3 4 15% 45% 35% 55%

Outro exemplo: Vamos construir o grfico em colunas de forma a podermos comparar a unidades vendidas de imveis nos perodos dos anos de 1993 e 1994. Meses Janeiro Fevereiro Maro Abril30 25 20 15 10 5 0 Janeiro Fevereiro Maro Abril 18 15 12 10 12 20

Unidades vendidas 1993 15 10 12 18

1994 12 18 20 25

25 18 1993 1994

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Prof.Homero GRFICO DE BARRAS

MATEMTICA

Esse tipo de grfico, com barras horizontais, tambm usado, porm em menor escala. Faamos um exemplo: Exemplo 1: A tabela apresenta avaliao dos estudantes, em porcentagens, com relao `UNE: Avaliao - UNE timo 4% bom 25% regular 27% ruim 9% pssimo 13% no opinaram 22%

timo bom regular ruim pssimo no opinaram 0%

4% 25% 27% 9% 13% 22% 5% 10% 15% 20% 25% 30%

GRFICO DE SETORES Usado com bastante freqncia, normalmente quando se trabalha com percentuais. Faamos, tambm, um exemplo. Exemplo 1: Construir o grfico de setores para os dados da tabela: Produtos A B C D Total Resoluo: Produto A : 720 ----------- 360 60 ----------- x Produto B : 720 ------------ 360 120 ------------ y x = (60 . 360) : 720 = 30 (esse o setor a ser representado no grfico) y = (120 . 360) : 720 = 60 ( esse o setor a ser representado no grfico) quantidade vendida 60 120 240 300 720

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Prof.Homero Produto C : 720 -------------- 360 240 -------------- z Produto D : 720 -------------- 360 300 -------------t

MATEMTICA z = (240 . 360) : 720 = 120 (esse o setor a ser representado no grfico) t = (300 . 360) : 720 = 150 (esse o setor a ser representado no grfico).

A B C D

GRFICO DE LINHAS Esse um dos tipos de grfico mais usado em Estatstica pois de fcil compreenso dos dados e de fcil construo. Colocamos os dados num sistema de eixos cartesianos ortogonais, marcam-se os pontos do plano correspondente aos dados tabelados e, traamos os segmentos lineares, consecutivos, vejamos um exemplo. Exemplo 1: Discos vendidos (em milhes) Anos vendas 1989 76,6 1990 44,8 1991 44,3 1992 34,5 1993 44 1994 6090 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1989 1990 1991 1992 1993 1994

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Prof.HomeroExemplo 2 :

MATEMTICA

Tracemos o grfico em linhas, comparativo, seguinte tabela de dados compilados de uma pesquisa de opinio pblica: Porcentagem de votos para presidente Meses Lula FHC Abril 31,7 20,2 Maio 38,3 23,5 Junho 37,9 22,8 Julho 30,1 30,5 Agosto 27,6 36,3 Setembro 21 42,8 Outubro 22,8 43,5

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5

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10

4

Prof.Homero QUESTES PROPOSTAS 1) Construindo o grfico de linha para a tabela abaixo, temos: Ms J F M A M J30 25 20 15 10 5 0 J F M A M J

MATEMTICA

Unidades Vendidas 12 20 18 24 16 830 25 20 15 10 5 0 J F M A M J

a)

b)

30 25 20 15 10 5 0 J F M A M J

30 25 20 15 10 5 0 J F M A M J

c)

d)

30 25 20 15 10 5 0 J F M A M J

e)

5

Prof.Homero 2) Construindo o grfico de barras verticais para a tabela abaixo, teremos: Ms J F M A M A 10 16 20 24 30 Candidatos (%) B 30 25 20 18 20 C 40 36 40 32 35

MATEMTICA

50 40 30

50 40 30

a)

20 10 0 J F M A M

b)

20 10 0 J F M A M

50 40 30

50 40 30

c)

20 10 0 J F M A M

d)

20 10 0 J F M A M

50 40 30

e)

20 10 0 J F M A M

6

Prof.Homero 3) Construindo o grfico de setor para a tabela abaixo, teremos: Produto A B C D Vendas (%) 30 20 40 10

MATEMTICA

A

A

a)

B C D

b)

B C D

A

A

c)

B C D

d)

B C D

A

e)

B C D

1-A

2-B

3-C

Gabarito

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Prof.Homero

MATEMTICA

FUNESDados dois conjuntos A e B, no vazios, chama-se FUNO DE A EM B a toda relao de A em B, onde a cada elemento x de A est associado um nico elemento y de B. A Exemplos: 1 2 3 8 B 7 A 1 2 3 9 B

DOMNIO, IMAGEM E CONTRADOMNIO: Dados A = {1, 2, 3} e B = (1, 2, 3, 4, 5} A funo f : A B definida por y = x + 1 representada por diagramas do seguinte A 1 2 3 B 1 2 3 4 5

modo:

O conjunto A o DOMNIO da funo O conjunto B o CONTRADOMNIO da funo O conjunto {2, 3, 4} a IMAGEM da funo

FUNO EM UM PONTO: 1) Seja f(x) = 2x + 1, para determinarmos f(1) substitumos x por 1 f(x) = 2x + 1 f(1) = 2.(1) + 1 = 2 + 1 = 3, portanto f(1) = 3

2) Dada a funo f(x) = 2x - 3, determine: f(2) = 22 3 = 4 3 =1 f(a) = 2a 3 = 2a -3

f(a + 2) = 2(a + 2) 3 = 2a + 4 3 = 2a + 1

f(x - 1) = 2(x -1) -3= 2x -2 -3 = 2x -5

3) Sendo f(x) = 3x - 1 e f(a) = 5, determine o valor de a 3 = 3a -1 4 3 +1 = 3a .. 4 = 3a .. =a 3

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Prof.Homero4) Sendo f ( x) = x1 , calcule f(f(x)) x x 1 x 1 x 1 1 x 1 x = = f = x x 1 x 1 x 1 x x x

MATEMTICA

ESTUDO DO DOMNIO DE UMA FUNO:Basicamente, temos 3 casos: 1)K P(x) 0 P( x) 2)

P( x) P(x) 0

3)

K P( x)

P(x) > 0

EXEMPLOS: 1) 2) 2x 5 x+5 x+3 x

x+20

x -2

D = {x IR / x -2}

x+30 x-5>0

x -3 x>5

D = {x IR / x -3} D = {x IR / x > 5}

3)

x5

FUNO INVERSADados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = (2, 3, 4} e a funo de A em B definida por y = x + 1, ento temos: f(x) = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} ou f(x) = x + 1 Chamamos de inversa de f a funo f-1(x) e temos:

f(x)-1 = {(2, 1), (3, 2), (4, 3)}

ou

f-1(x) = x - 1

A funo inversa f(x)-1 obtida invertendo-se a ordem dos elementos de cada par ordenado pertencente funo f(x).

PROCESSO ALGBRICO PARA O CLCULO DE UMA FUNO INVERSA:Dada a funo y = 2x - 3 Soluo: Trocamos x por y Isolamos y

x = 2y - 3 x + 3 = 2y

x+3 =y 2

Logo y =

x+3 a inversa de y = 2x - 3 2

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Prof.Homero

MATEMTICA

FUNO DE PRIMEIRO GRAUFuno de 1 grau toda funo f : IR IR, definina por f(x) = ax + b, com a e b IR. Os grficos das funes de 1 grau so RETAS, cujos aspectos so determinados pelos coeficientes a e b. a > 0 funo crescente a = 0 funo constante a < 0 funo decrescente

ordenada do ponto b de interseo da reta com o eixo y.

RAIZ OU ZERO abcissa do ponto de interseo da reta com o eixo x.

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Prof.Homero

MATEMTICA

FUNO DE SEGUNDO GRAUFuno de 2 grau toda funo f : IR IR, definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c IR. Os grficos das funes de 2 grau so PARBOLAS, cujos aspectos so determinados pelos coeficientes a, b e c.

indica a a orientao da concavidade

indica se a parbola est b subindo ou descendo quando intercepta o eixo y

indica a ordenada do ponto de c interseo da parbola com o eixo y

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Prof.Homero

MATEMTICA

O VRTICE da parbola, representado pelo ponto V(xv, yv), pode ser obtido como mostra a seguir. b ponto mdio entre as razes 2a

xv =

yv =

substituir o xv na funo 4a

>0

=0

0 e a 1. Os grficos das funes exponenciais so curvas, cujos aspectos so determinados pela base a.

FUNO LOGARTMICA

A funo logartmica de base a toda funo f : (0, +) IR definida por f(x) = loga x, com a > 0 e a 1. Os grficos das funes logartmicas so curvas, cujos aspectos so determinados pela base a.

QUESTES PROPOSTAS 13

Prof.Homero

MATEMTICA

01) (UFRGS) Dentre os conjuntos de pontos do plano cartesiano, apresentados abaixo,

quais os que NO pode representar grficos de uma funo? a) apenas I e III b) apenas II e IV c) apenas III e IV d) apenas I, III e IV e) apenas II, III e IV

02) Qual das seguintes curvas no representa funo?

03) (UFRGS) As funes f e f-1 so inversas. Se f definida por f ( x) = a) 1 x+3 b) 1 + 3x x c) 1 3x x

1 , ento f-1(x) x3 e) 3 - x

d) x - 3

04) Se f(x) = -2x - 3 ento f(-1) igual a a) 1 b) -1

c) 5

d) -5

e) 6

05) Dada a funo f(x) = 2x + 4 os pontos de interseo com os eixos das abcissas e das ordenadas so respectivamente: a) (0, 4) e (-2, 0) b) (-2, 0) e (0, 4) c) (-4, 0) e (0, 2) d) (0, 0) e (2, 4) e) (2, 0) e (0,4) 06) A funo representada no grfico abaixo a) b) c) d) e) y = 2x - 2 y = 2x + 2 y = -2x - 2 y = -2x + 2 y = -x - 2

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Prof.Homero07) A funo representada no grfico abaixo a) f ( x) = x + 2 x b) f ( x) = + 1 2 x c) f ( x) = 1 2 d) f ( x) = 2x 1 e) f ( x) = 2x 108) O grfico representa a funo f(x) = ax + b. correto afirma que a) b) c) d) e) a.b = 0 a.b > 0 a.b < 0 a-b>0 a+b>0

MATEMTICA

09) O coeficiente angular e o coeficiente linear da reta representada abaixo so respectivamente a) b) c) d) e) 0e3 0e1 1/3 e 0 3e0 1e3

10) Se uma reta passa pelos pontos (1, -1) e (-1, 3) ento sua equao a) y = -x b) y = -x + 3 c) y = 2x - 1 d) y = -2x + 1 e) y = x + 3 11) Se a funo f(x) = ax2 + bx + c representada pelo grfico abaixo ento, podemos afirmar a) b) c) d) e) a > 0, b > 0, c > 0 a > 0, b > 0, c < 0 a > 0, b < 0, c < 0 a < 0, b > 0, c < 0 a < 0, b < 0, c > 0 representao cartesiana parbola da funo f(x) = ax2 + bx + c abaixo. Ento podemos afirmar

12) A a a) b) c) d)