matematica e raciocínio para concursos

5/28/2018 Matematica e Raciocnio para concursos

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MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDESGUERRA

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[email protected]/WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM

Prezado(a) Aluno(a),

Lembre-se dos motivos que olevam a estudar para oconcurso. Faa um cronograma deestudos e avalie constantementecomo est seu desempenhoconforme voc faz exerccios equestes de provas anteriores.Planeje o tempo de estudo e dedescanso. Com organizao,disciplina e fora de vontade

possvel conciliar estudo eficientecom lazer e trabalho.

Procure resolver todas as questesda apostila. Em caso de dvida,use o blog:

(www.valclides.blogspot.com)

ou e-mail:

([email protected]

).

Lembre-se de que necessrioacompanhar todas as aulas, poiscada uma pode abordar contedosdiferentes.

Bem vindo ao Curso e sucesso emsua caminhada!

Valclides Guerra

Professor

MatemticaProf.: Valclides Guerra

Contedo abordado nesta apostila:

1. Mltiplos e Divisores (M.M.C e M.D.C.);2. Conjuntos numricos: nmeros Inteiros; nmeros

Racionais; nmeros Irracionais e nmeros Reais;3. Equaes do 1 Grau. Sistema de Equao do 1 Grau,

Problemas do 1 Grau;4. Razo e Proporo, Grandezas diretamente e

inversamente proporcionais, Regra de Trs Simples eComposta;

5. Porcentagem.
http://www.concursos-online.com/dicas-para-se-dar-bem-em-concurso-publicos-de-2009/http://www.valclides.blogspot.com/mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]://www.valclides.blogspot.com/http://www.concursos-online.com/dicas-para-se-dar-bem-em-concurso-publicos-de-2009/


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M A T E M T I C A

1.Mlti plos e Divisores (M .M.C e M.D.C.);

2. Conjuntos numricos: nmeros I nteiros; nmeros

Racionais; nmeros Irracionais e nmeros Reais.3. Equaes do 1 Grau. Sistema de Equao do 1 Grau,

Problemas do 1 Grau;4. Razo e Proporo, Grandezas di retamente e

inversamente proporcionais, Regra de Trs Simples e

Composta;5. Porcentagem.

Apresentao

atemtica uma das cincias mais aplicada emnosso cotidiano. Se prestarmos atenonotaremos que em simples atitudes utilizamos

os nossos conhecimentos bsicos de matemtica, como:olhar as horas, medir o comprimento de algum objeto,fazer relao de distncias entre cidades etc. Por tudoisso, caros estudantes, a Matemtica exercita nossamente, nos torna mais racionais. Comeamos ter umaviso: do espao, das pessoas, dos acontecimentos emgeral, de forma mais ampliada. Portanto, carosconcurseiros, o estudo da Matemtica no umaOBRIGAO, e sim uma NECESSIDADE.

DICA para resolver problemas

Prezados concurseiros, em concursopblico, as questes de Matemticaso quase sempre constitudas porproblemas. O que faz uma boa partedos candidatos ter dificuldades paraentender o que, de fato, est sendoperguntado e o que temos para

podermos garantir a resposta correta e em um curtoespao de tempo. E para resolvermos estes problemas

devemos desenvolver:

Uma boa interpretao de texto procurelembrar se voc j resolveu uma questo correlata eaplique o mesmo mtodo. Primeiro, voc tem deentender o problema: Qual a incgnita? Quais soos dados? Quais so as condies? possvelsatisfazer as condies? Elas so suficientes paradeterminar a incgnita? Ou so insuficientes? Ouredundantes? Ou contraditrias? Faa uma figura.Outra se necessrio, introduza notao adequada.Separe as condiesem partes.

A linguagem Matemtica (construa umaestratgia para resoluo do problema): perceba se

voc pode resolv-lo de outra forma, talvez por umcaminho mais curto!!! Perceba conexes entre osdados. Talvez seja conveniente considerarproblemas auxiliares ou particulares, se umaconexo no for achada em tempo razovel.

E claro, o conhecimento dos contedosmatemticos (execute a estratgia).Frequentemente esta a etapa mais fcil doproblema. Preste ateno s incgnitas e procureperceber se ser necessrio fazer uso de algumafrmula.

REVISEexamine a soluo obtida e verifique oresultado e o argumento.

RESUMINDO:

1) Ler atentamente o problema;2) Estabelecer qual a incgnita;3) Montar uma equao traduzindo os dados do

problema;4) Resolver a equao;5) Verificar se a raiz da equao resposta do

problema;6) Dar a resposta do problema.

Logo, percebemos que resolver problemas dependede um grande esforo pessoal

Simbologia Matemtica mais usualNa Matemtica, muitas informaes so

apresentadas em forma simblica, o que faz necessrioconhecermos alguma simbologia bsica, vamos l?

= (igual )(diferente de)

ou { } (conjunto vazio)(pertence )(no pertence )(est contido)(no est contido)

(contm)(no contm)(existe pelo menos um)

(no existe)| (existe e nico)

| (tal que / tais que)(ou)(e)

BA (interseo dos conjuntos A e B)

BA (unio dos conjuntos A e B)(para todo, qualquer que seja)(implica)

(implica e a recproca equivalente)(donde se conclui)

M


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A CRIAO DOS NMEROS

Os nmeros foram inventados pelos homens. Massua criao no aconteceu de repente surgiu danecessidade de contar coisas (lembram daquelas aulas l

do pr imrio?). O homem primitivo, por exemplo,contava traando riscos na madeira ou no osso, ou ainda,fazendo ns em uma corda. Como era difcil contarquantidades grandes e efetuar clculos com pedras, nsou riscos simples, a necessidade de efetuar clculos commaior rapidez levou o homem a criar smbolos, pararepresentar quantidade. Na antiguidade, nem todos ospovos usavam os mesmos smbolos. Vamos conhecercomo alguns povos dessa poca contavam.

A numerao dos romanos

Os romanos representavam quantidades usando asprprias letras de seu alfabeto:

I - valia uma unidadeV - valia cinco unidadesX - representava dez unidadesL - indicava cinqenta unidadesC - valia cem unidadesD - representava quinhentas unidadesM - indicava mil unidades

As quantidades eram representadas colocando se ossmbolos uns ao lado dos outros, conforme a seguinte

regra:

Os smbolos iguais juntos, at trs, significavasomade valores:

III =1 + 1 + 1 = 3XXX =10 + 10 + 10 = 30CCC =100 + 100 + 100 = 300

Dois smbolos diferentes juntos, com o nmeromenor aparecendo antes do maior, significavasubtraode valores:

IV =5 - 1 = 4XL =50 - 10 = 40XC =100 - 10 = 90

Dois smbolos diferentes juntos, com o maioraparecendo antes do menor, significa soma devalores:

LX =50 + 10 = 60CCXXX =200 + 30 = 230DC =500 + 100 = 600MMMD =3.000 + 500 = 3.500

Para indicar quantidades a partir de 4000, osromanos usavam um trao horizontal sobre as letrascorrespondentes quantidade de milhares:

__IV = 4.000_V = 5.000_____XXIII =23.000

Observao: Os romanos no conheciam um smbolopara representar o nmero zero.

A NUMERAO DOS HINDUS

Foram os hindus que inventaram os smbolos queusamos at hoje:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

Esses smbolos, divulgados pelos rabes, soconhecidos como algarismos indo-arbicos e com elesescrevemos todos os nmeros. Mais adiante vamos falarsobre o sistema de numerao que usamos. Voc sabe,por exemplo, que 51 e 15 representam quantidades bemdiferentes.

NMEROS NATURAIS

Quando contamos uma quantidade de qualquercoisa (objetos animais, estrelas pessoas etc.)empregamos os nmeros:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,...

Esses nmeros so chamados de nmeros naturais.Existem infinitos nmeros naturais os nmeros queaparecem juntos, como na seqncia acima sochamados nmeros consecutivos.

Exemplo: 12 e 13 so consecutivos 13 o sucessor(vemdepois) e 12 o antecessor(vem antes) de 13.

Lembrem-se concurseiros, conjunto dos nmerosnaturais baseado na existncia do ZERO e napropriedade que todo nmero tem sucessor e antecessor.Apenas o Zero no tem antecessor.

Observaes:

1) Todo nmero natural tem um sucessor ( o que vemdepois).


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2) Todo nmero natural tem um antecessor ( o quevem antes), com exceo do zero.

3) Um nmero natural e o seu sucessor so chamadosnmeros consecutivos.

PAR OU IMPAR

Um nmero natural par quando termina em 0, 2, 4, 6 ou8.Os nmeros pares so: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16...Um nmero mpar quando termina em 1, 3, 5, 7, ou 9.Os nmeros mpares so: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...

Conjuntos Numricos

CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS

Como decorrncia da necessidade de contar objetossurgiram os nmeros naturais que simbolizado pelaletra Ne formado pelos nmeros 0, 1, 2, 3, , ou seja:N= {0; 1; 2; 3; }. Um subconjunto de Nmuito usado o conjunto dos nmeros naturais menos o zero, ou seja,N- {0} = conjuntos dos nmeros naturais positivos, que representado por N*.

Observaes:

1) Em Nso definidas apenas as operaes de adioe multiplicao, apenas estas so garantidas nasoperaes dentro do conjunto N;

2) Isto fato, pois se ae bso dois nmeros naturaisento a + b e a.b so tambm nmeros naturais.Esta propriedade conhecida como fechamento daoperao;

3) Valem as propriedades associativa, comutativa eelemento neutro (0 para a adio e 1 para amultiplicao) para as duas operaes e a

distributiva para a multiplicao em N. Em N asubtrao no considerada uma operao, pois seadiferente de zero pertence a No simtrico -anoexiste em N.

DICCA para o aluno Caso voc escreva do nmero a at o nmero b,

voc escrever ao todo (b a + 1) nmeros.

Exemplo: de 23a 58 = 5823 + 1 = 36.

Caso voc escreva os nmeros existentes entre aeb, voc escrever ao todo (b a 1) nmeros.Exemplo: Entre 23 e 58 = 58231 = 34.

De 1 a 100qualquer algarismo aparece 10 vezescomo unidade e 10 vezes como dezena. Logo, de 1a 100 cada algarismo aparece 20 vezes.

De 1 a 1000qualquer algarismo aparece 100 vezes

como unidade, 100 vezes como dezena e 100 vezescomo centena. Logo, de 1 a 1000 cada algarismoaparece 3000 vezes.

De 1 a 10n qualquer algarismo aparece 10n 1

vezes como unidade, 10n 1vezes como dezena e10n1vezes como centena.

01) A diferena entre o menor nmero de trs algarismo

e o maior nmero de dois algarismos :a) 5b) 3c) 1d) 2e) 4

02) Quantos nmeros da sucesso de nmeros inteirosexistem de 12 a 98

a) 87b) 86c) 88d) 85

e) 110

GABARITO: 01) C 02) A

CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS

Interseo do conjunto dos naturais e dos inteiros.

Chama-se o conjunto dos nmeros inteiros,representado pela letra Z, o seguinte conjunto:

Z = {, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; }

No conjunto Z distinguimos alguns subconjuntosnotveis que possuem notao prpria para represent-los:

a) Conjunto dos inteiros no negativos:

Z+= {0; 1; 2; 3; }


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b) Conjunto dos inteiros no positivos:

Z-= {; -3; -2; -1; 0}

c) Conjunto dos inteiros no nulos:

Z* = {, -3; -2; -1; 1; 2; 3; }

d) Conjunto dos inteiros positivos:

Z+* = {1; 2; 3; }

e) Conjunto dos inteiros negativos:

Z-* = {; -3; -2; -1}

Note que Z+ = Ne, por essa razo, N um subconjunto

de Z.Observaes:

1) No conjunto Z, alm das operaes e suaspropriedades mencionadas para N, vale apropriedade simtrico ou oposto para a adio. Isto: para todo a em Z, existe -a em Z, de tal formaque a + (-a) = 0;

2) Devido a este fato podemos definir a operao desubtrao em Z: a - b = a + (-b) para todo a e bpertencente a Z;

3) Note que a noo de inverso no existe em Z. Emoutras palavras, dado q pertencente a Z, diferentede 1e de -1, 1/q no existe em Z;

4) Por esta razo no podemos definir diviso noconjunto dos nmeros inteiros;

5) Outro conceito importante que podemos extrair doconjunto Z o de divisor. Isto , o inteiro a divisor do inteiro b - simbolizado por b | a - seexiste um inteiro c tal que b = ca;

6) Os nmeros inteiros podem ser representados porpontos de uma reta orientada ou eixo, onde temosum ponto de origem, o zero, e sua esquerdaassociam-se ordenadamente os inteiros negativos e sua direita os inteiros positivos, separados porintervalos de mesmo comprimento;

7) Cada ponto da reta orientada denominado deabscissa;

8) Em Zpodemos introduzir o conceito de mdulo ouvalor absoluto: |x| = x se x 0 e |x| = -x se x < 0,para todo x pertencente a Z. Como decorrncia da

definio temos que |x| 0para qualquer nmerointeiro.

A ordem dos inteiros:

H uma classe de inteiros, chamada classe dosinteiros positivos (ou classe dos nmeros naturais), quegoza das seguintes propriedades:

A soma de dois inteiros positivos um inteiropositivo;

O produto de dois inteiros positivos um inteiropositivo;

Para cada inteiro A, uma e somente uma dasseguintes alternativas verdadeira, ou A = 0, ou A negativo, ou A positivo (lei da tricotomia).

Definimos as relaes , , por:

A > B(A maior do que B) se e s se A - B positivoA < B(A menor do que B) se e s se B > AA B(A maior ou igual a B) se e s se A > B ou A =

BA B(A menor ou igual a B) se e s se A < B ou A =

B claro que A positivo se e s se A > 0.

Multiplicao de Nmeros Inteiros

O conjunto dos nmeros inteirossurgiu da necessidade de o homemmanipular valores negativos,

relacionados a assuntos comerciaise financeiros. Nesse conjunto, cada

nmero inteiro positivo possui sua representaonegativa. Na multiplicao de nmeros inteiros, devemosseguir algumas condies de acordo com o sinal dosnmeros. Nessas operaes o jogo de sinal usado deforma sistemtica, de acordo com o seguinte quadro desinais:

( + ) . ( + ) = +( + ) . () = () . ( + ) = () . () = +

Os dois nmeros possuem o mesmo sinal.

Nmero positivo multiplicado por nmero positivo

(+ 3) .(+ 7) = + 21(+ 5) .(+ 9) = +45(+ 21) .(+ 10) = + 210(+ 4) .(+ 9) = +36(+ 8) .(+ 10) = +80(+ 22) .(+ 5 ) = +110

Nmero negativo multiplicado por nmero negativo(9) .(5) = + 45


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(12) .(4) = + 48(3) .(7) = +21(8) .(9) = +72(10) .(7) = +70(12) .(5) = +60

Os dois nmeros possuem sinais diferentes.

Nmero positivo multiplicado por negativo e vice-versa:

(+ 7) .(9) =63(4) .(+ 7) =28(6) .(+ 7) =42(+ 8) .(6) =48(+ 6) .(5) =30(120) .(+ 3) =360

Lembrem-se candidatos de que o elemento neutro da

multiplicao o nmero 1 (um).Veja:

(+ 1 ).( + 96) = + 96(1) .(98) = + 98(14).(+ 1) =14(1) .(+ 9) =9(+ 2) .(+ 1) = +2(32) .(1) = +32

Podemos verificar que na multiplicao de nmerosinteiros ao multiplicamos nmeros com sinais iguais,temos que o resultado um nmero positivo, e quando

multiplicamos nmeros com sinais diferentes, o resultado um nmero negativo.

MDULO:

Definimos o mdulo ou valor absoluto do inteiro A,

representado porA

, pondo:

0,

0,

AseA

AseAA

DIVISIBILIDADE:

Um inteiro A divisvel por um inteiro B se e sexiste um inteiro C, tal que A = B x C. Neste caso,dizemos que A mltiplo de B, ou que B divide A, eescrevemos: B | A Chamamos de pares os inteiros queso divisveis por 2 e de mpares os que no sodivisveis por 2.

EX.: n2 , com n inteiro (par)12n , com n inteiro (mpar)

CRITRIOS DE DIVISIBILIDADE

DIVISIBILIDADE POR 2:

Um nmero divisvel por 2 se ele par, ou seja,termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.


Um nmero divisvel por 3 se a soma de seusalgarismos divisvel por 3.


Um nmero divisvel por 4 se o nmero formadopelos seus dois ltimos algarismos divisvel por 4ou terminar em 00.

DIVISIBILIDADE POR 5 :

Um nmero divisvel por 5 se o seu ltimoalgarismo 0 (zero) ou 5.


Um nmero divisvel por 6 se par e a soma deseus algarismos divisvel por 3.


Um nmero divisvel por 7 se o dobro do ltimoalgarismo, subtrado do nmero sem o ltimoalgarismo, resultar um nmero divisvel por 7. Se onmero obtido ainda for grande, repete-se oprocesso at que se possa verificar a diviso por 7.


Um nmero divisvel por 8 se o nmero formadopelos seus trs ltimos algarismos divisvel por 8ou terminar em 000.


Um nmero divisvel por 9 se a soma dos seusalgarismos um nmero divisvel por 9.


Um nmero divisvel por 10 se termina com oalgarismo 0 (zero).


Um nmero divisvel por 11 se a soma dosalgarismos de ordem par Sp menos a soma dos


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algarismos de ordem mpar Si um nmerodivisvel por 11 ou igual a zero.


Um nmero divisvel por 12 quando divisvelpor trs e quatro ao mesmo tempo.


Um nmero divisvel por 13 se o qudruplo (4vezes) do ltimo algarismo, somado ao nmero semo ltimo algarismo, resultar um nmero divisvelpor 13. Se o nmero obtido ainda for grande,repete-se o processo at que se possa verificar adiviso por 13. Este critrio semelhante queledado antes para a divisibilidade por 7, apenas que

no presente caso utilizamos a soma ao invs desubtrao.


Um nmero divisvel por 15 quando divisvelpor trs e cinco ao mesmo tempo.


Um nmero divisvel por 16 se o nmero formadopelos seus quatro ltimos algarismos divisvel por

16 ou terminar em 0000.

NMEROS PRIMOS E COMPOSTOS:

Nmero Primo: um nmero inteiro p > 1 primo se s divisvel por 1 e por ele prprio. A diviso por umnmero no resulta em um nmero natural (ou inteiro).Para saber se um nmero grande primo, basta dividi-losucessivamente pelos nmeros primos at que oquociente seja menor ou igual ao seu divisor.

Os primeiros nmeros primos so:

Exemplos:

1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 umnmero primo.

2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 umnmero primo.

3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 no um nmero primo.

Observaes:

=> 1 no um nmero primo, porque ele tem apenasum divisor que ele mesmo.

=> 2 o nico nmero primo que par.

Reconhecimento de um nmero primo:

Para saber se um nmero primo, dividimos essenmero pelos nmeros primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. atque tenhamos:

=> ou uma diviso com resto zero e neste caso onmero no primo,

=> ou uma diviso com quociente menor que o divisor

e o resto diferente de zero. Neste caso o nmero primo.

Exemplos:

1) O nmero 161:No par, portanto no divisvel por 2;

1+6+1 = 8, portanto no divisvel por 3;

No termina em 00, nem os dois ltimosalgarismos pode ser dividido por 4, logo no divisvel por 4;

No termina em 0 nem em 5, portanto no

divisvel por 5;Por 7: 161/7 = 23, com resto zero, logo 161 divisvel por 7, e portanto no um nmero primo.

2) O nmero 113:No par, portanto no divisvel por 2;

1+1+3 = 5, portanto no divisvel por 3;

No termina em 00, nem os dois ltimosalgarismos pode ser dividido por 4, logo no divisvel por 4;

No termina em 0 nem em 5, portanto no

divisvel por 5;Por 7: 113/7 = 16, com resto 1. O quociente (16)ainda maior que o divisor (7).

Por 11: 113/11 = 10, com resto 3. O quociente (10) menor que o divisor (11), e alm disso o resto diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 umnmero primo.

Decomposio em fatores primos

Todo nmero natural, maior que 1, pode serdecomposto num produto de dois ou mais fatores.

Decomposio do nmero 24 num produto:


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24 = 4 x 624 = 2 x 2 x 624 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2 3x 3

Nmero Composto: todo nmero que possui mais dedois divisores.Todo o nmero natural (diferente de 1)escreve-se de forma nica como um produto de nmerosprimos. Este Teorema conhecido por TeoremaFundamental da Aritmtica.

Exemplo:15 tem mais de dois divisores. Logo, 15 umnmero composto.

Dois nmeros naturais a e b so primos entre si, semdc(a, b)=1.

Quaisquer dois nmeros primos so primos entre si,mas o recproco no verdadeiro.

NMEROS PRIMOS ENTRE SI:

Dizemos que A e B so primos entre si se e s seMDC[A, B] = 1.

TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMTICA:

fcil obter MDC e MMC de nmeros dados, seconhecermos suas decomposies em fatoresprimos. fcil perceber que os fatores do MDC so

os fatores dos nmeros tomados sempre com o menordos expoentes e os do MMC com o maior dos expoentes.

Todo nmero A maior que um, ou primo ou podeser representado como um produto de fatores primos.

FATORAO

a decomposio de um nmero em um produto defatores primos.

Existe um dispositivo prtico para fatorar umnmero. Acompanhe, no exemplo, os passos para montaresse dispositivo:

1) dividimos o nmero pelo seu menor divisor primo;2) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor

divisor primo desse quociente e assimsucessivamente at obter o quociente 1.

A figura a baixo mostra a fatorao do nmero 630.

Logo: 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.630 = 2 x 32x 5 x 7.

Vejamos a decomposio dos nmeros 28 e 200:

28 2 200 214 2 100 27 7 50 21 28 = 22x 7 25 5

5 55 1 200 = 23x 52

A DIVISO DE INTEIROS:

O resultado da diviso de dois nmeros inteiros,dividendo e divisor, nem sempre um nmero inteiro.Ao maior nmero inteiro menor do que a diviso chama-se quociente a diferena entre o dividendo e o produto

do divisor pelo quociente chama-se resto. Se D for odividendo, d o divisor, q o quociente e r o resto tem-seque:

D = q d + r, com 0 r < d

Por exemplo, se dividirmos 31 por 7 obtemos o resultado4,428... , e por isso o quociente desta diviso 4. O resto igual a 31 7 4 = 3.

Dizemos ento que na diviso de Dpor do quociente qe o resto r, D chamado de dividendo e dde divisor.

DIVISORES DE UM NMERO NATURAL

MXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

Um inteiro positivo d o MDC dos inteiros A e B(usaremos a notao d = MDC[A, B])se e s se possuias seguintes propriedades:

a) d|a e d|b(d um divisor comum de A e B)

b) Se C|A e C|B, ento C|d (isto todo divisor comumde A e B tambm divide d)

Teorema: Se A e B so inteiros no nulossimultaneamente, ento MDC[A, B]existe e nico.

OBS.:Convencionou-se que o MDC(0, 0) = 0.

Propriedades do MDC:


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MDC(a, b) = MDC(b, a). MDC(a, b) = MDC(a, b). MDC(a, b) = MDC(|a|, |b|). MDC(a, 0) = |a|. MDC(a, ka) = |a| para todo k

Z.

O ALGORITMO DE EUCLIDES:

O processo que usamos para determinar o MDC dedois inteiros, no nulos simultaneamente o algoritmo deEuclides.

a) Dados A e B, dividimos A por Bb) Depois dividimos B pelo resto desta diviso R1c) Depois dividimos R1pelo resto desta ltima diviso

R2e assim sucessivamente.d) Quando chegarmos a um resto igual a zero o MDC

procurado ser o ltimo divisor, isto :

q q2 q3 ... qn qn+1

A B R1 R2 ... r n-1 rn= MDC[A,B]

R1 R2 R3 R4 ... 0

DICA para o alunoClculo do nmero de divisores:

o produto de todos os expoentes acrescido deuma unidade.

Fatora-se o nmero

Somamos uma unidade a cada expoente

Multiplicamos o resultado obtido.

Clculo do nmero de divisores mpares:

o produto dos expoentes de fatores mparesacrescido de uma unidade.

Fatora-se o nmero

Somamos uma unidade a cada expoente de fator mpar

Multiplicamos o resultado obtido

Clculo do nmero de divisores pares:

o produto dos expoentes de fatores mparesacrescidos de uma unidade cada um,

multiplicado ainda pelos expoentes dos fatorespares sem acrescentar a unidade.

Fatora-se o nmero

Somamos uma unidade a cada expoente de fator mpar Multiplicamos o resultado obtido, tambm pelos

expoentes de fator par

01) O nmero de divisores de 120 :a) 12b) 14c) 16d) 20

e) 25

02) Determinar o nmero N, sabendo-se que ele admite 8divisores e que da forma: N = 2.3x.

a) 10b) 15c) 32d) 54e) 24

03) Calcular o valor de m na expresso 2m + 1.3.5,sabendo-se que este produto indicado resulta dadecomposio de um nmero que possui 16

divisores.a) 2b) 4c) 6d) 8e) 10

04) Determinar o valor de N na igualdade N = 2x.34, paraque o nmero N tenha 20 divisores.

a) 648b) 448c) 243d) 824

e) 100

GABARITO: 01) C 02) D 03) A 04) A


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MNIMO MLTIPLO COMUM (MMC)

Definio:O mnimo mltiplo comum de dois ou maisnmeros o menor de seus mltiplos comuns, diferentede zero.

M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ....}M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24....}M(3) M(4) = {0, 12, 24, 36, ... }

MMC (3, 4) = 12

PROCESSOS PARA O CLUCULO DO MMC

1 Processo: Decomposio de fatores primos emseparado

a) Decompem-se os nmeros em fatores primos;b) Toma-se o produto dos fatores primos comuns e

no comuns elevados ao maior de seus expoentes;

2 Processo: Decomposio de fatores primos emconjunto.

a) Decompem-se em fatores primos, dividindo osnmeros pelos fatores comuns e no comuns.

b) Toma-se o produto desses fatores primos comuns eno comuns.

CONSEQUNCIAS DO MMC

1) O MMC entre dois nmeros primos entre si igualao produto entre eles.

MMC (12, 25) = 12 . 25 = 300MMC (4, 9) = 4 . 9 = 36

2) O MMC entre dois ou mais nmeros, em que omaior mltiplo dos menores, o maior nmero.

MMC (40, 120) = 120MMC (50, 150, 300) = 300

3) Os mltiplos comuns de dois ou mais nmeros soos mltiplos do MMC entre esses nmeros.

M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ....}M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ....}MMC (3, 4) = 12M(3) M(4) = M(12)

4) Multiplicando-se ou dividindo-se dois ou maisnmeros por um mesmo nmero, o MMC entre elesficar multiplicado ou dividido, respectivamente,por esse mesmo nmero.

MMC (12, 18) = 36

Multiplicando-se os nmeros por 4, o MMC ficarmultiplicado por 4.

MMC (48, 72) = 36 . 4 = 144

Dividindo-se os nmeros por 3, o MMC ficardividido por 3.

Importante:MDC(a, b) x MMC(a, b) = A x B

CONJUNTO DOS NMEROS RACIONAIS

Interseo dos conjuntos: Naturais, Inteiros eRacionais.

O conjunto dos nmeros racionais, simbolizadopela letra Q, o conjunto dos nmeros que podem serescritos na forma de uma frao p/q, com pe q inteirosquaisquer e qdiferente de zero:

Como todo nmero inteiro pode ser escrito naforma p/1, ento Z um subconjunto de Q. Valemtambm para os conjuntos dos nmeros racionais asnotaes Q*(conjunto dos nmeros racionais no nulos),Q+(conjunto dos nmeros racionais no negativos) e Q-(conjunto dos nmeros racionais no positivos).

Observaes:

a) So vlidas todas as propriedades vistas para oconjunto dos nmeros inteiros;

b) Alm disso, vlida a propriedade simtrico ou

inverso para a multiplicao. Isto , para todo a/bpertencente a Q, a/b diferente de zero, existe b/a emQtal que (a/b).(b/a) = 1;


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c) Decorre da propriedade acima que possvel definira operao de diviso em Q* da seguinte forma(a/b):(c/d) = (a/b).(d/c), para quaisquer a, b, c e dpertencente a Q;

ADIO E SUBTRAO DE FRAES COMDENOMINADORES IGUAIS

Conserva-se o denominador, adicionando ousubtraindo os numeradores.

20

1

20

753

20

7

20

5

20

3

ADIO E SUBTRAO DE FRAES COMDENOMINADORES DIFERENTES

Substituem-se as fraes dadas por outras,equivalentes, cujo denominador ser o MMC dosdenominadores dados:

12

5

12

69212)2,4,6(

2

1

4

3

6

1mmc

MULTIPLICAO DE FRAES

Para multiplicar duas ou mais fraes, deve-se:

1) Multiplicar os numeradores, encontrando o novonumerador.

2) Multiplicar os denominadores, encontrando o novodenominador.

20

16

120

6

645

132

6

1

4

3

5

2porndosimplif ica

DIVISO ENVOLVENDO FRAES

Para efetuar uma diviso onde pelo menos um dosnmeros envolvidos uma frao devemos multiplicar o

primeiro nmero (dividendo) pelo inverso do segundo(divisor).

6

72

12

14

4

7

3

2

7

4

3

2porndosimplifica

NMEROS MISTOS

Nmero misto um nmero racional escrito naforma da soma de sua parte inteira com a sua partefracionria (esta sempre uma frao prpria). Osnmeros mistos tambm se podem escrever comofraes

imprprias.

Exemplos:

Como vemos nos exemplos acima, para transformarum nmero misto na frao imprpria correspondentemultiplica-se o nmero da frente pelo denominador e oresultado soma-se ao numerador, formando o numeradorda frao. Para transformar uma frao imprpria em umnmero misto, faa a diviso inteira do numerador pelodenominador. O quociente ser o primeiro nmero, oresto ser o novo numerador e denominador permanece.Por exemplo: 5/2. 5 dividido por 3 d 1 e sobra 2. Assimtemos que 5/3 =1 e 5/3 Os nmeros mistos so prticosquando se deseja marcar a frao na reta numerada. Parafaz-lo, localiza-se primeiro a parte inteira e depoisacrescenta-se a parte fracionria, assim, para localizar na

reta a frao atravs do seu nmero misto 1 , vai-se at

o 1 e acrescenta-se o .

Dzimas peridicasTodo nmero racional p/qpode ser escrito como um

nmero decimal exato (ex: 1/2 = 0,5) ou como umadzima peridica (1/3 = 0,333). Veremos comotransformar dzima em frao!!!

Como dito, h fraes que no possuem representaesdecimal exata. Por exemplo:

Aos numerais decimais em que h repetio peridica einfinita de um ou mais algarismos, d-se o nome de

numerais decimais peridicos ou dzimas peridicas.
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racionalhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Somahttp://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_inteirohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%A7%C3%A3ohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%A7%C3%A3o#Tipos_de_Fra.C3.A7.C3.B5eshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%A7%C3%A3o#Tipos_de_Fra.C3.A7.C3.B5eshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%A7%C3%A3o#Tipos_de_Fra.C3.A7.C3.B5eshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%A7%C3%A3o#Tipos_de_Fra.C3.A7.C3.B5eshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%A7%C3%A3o#Tipos_de_Fra.C3.A7.C3.B5eshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%A7%C3%A3o#Tipos_de_Fra.C3.A7.C3.B5eshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%A7%C3%A3ohttp://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_inteirohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Somahttp://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional


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Numa dzima peridica, o algarismo ou algarismos quese repetem infinitamente, constituem o perodo dessadzima.

As dzimas classificam-se em dzimas peridicas simples

e dzimas peridicas compostas. Exemplos:

So dzimas peridicas simples, uma vez que o perodoapresenta-se logo aps a vrgula.

So dzimas peridicas compostas, uma vez que entre operodo e a vrgula existe uma parte no peridica.

Observaes:

Consideramos parte no peridica de uma dzima otermo situado entre vrgulas e o perodo. Exclumosportanto da parte no peridica o inteiro.

Podemos representar uma dzima peridica das seguintesmaneiras:

Geratriz de uma dzima peridica possvel determinar a frao (nmero racional)

que deu origem a uma dzima peridica. Denominamosesta frao de geratriz da dzima peridica.Procedimentos para determinao da geratriz de umadzima:

Dzima simples

A geratriz de uma dzima simples uma frao que

tem para numerador o perodo e para denominador tantosnoves quantos forem os algarismos do perodo.

Exemplos:

Dzima Composta:

A geratriz de uma dzima composta uma frao da

forma , onde

n a parte no peridica seguida do perodo, menosa parte no peridica.

d tantos noves quantos forem os algarismos doperodo seguidos de tantos zeros quantos forem osalgarismos da parte no peridica.

Exemplos:

DICA para o aluno No faa contas com dzimas peridicas. Substitua

todas elas por fraes geratrizes antes de fazerqualquer clculo.

NMEROS IRRACIONAIS

um numero irracional. = 3,141592 ...

O nmero irracional aquele que no admite arepresentao em forma de frao (contrrio dosnmeros racionais)e tambm quando escrito na forma dedecimal ele um nmero infinito e no peridico.

Exemplo:

0,232355525447... infinito e no dzimaperidica (pois os algarismos depois da vrgula norepetem periodicamente), ento irracional.
http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-racionais.htmhttp://www.brasilescola.com/matematica/numeros-racionais.htmhttp://www.brasilescola.com/matematica/numeros-racionais.htm


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2,102030569... no admite representaofracionria, pois no dzima peridica.

Se calcularmos em uma calculadora veremos que2, 3, so valores que representam nmerosirracionais.

A representao do conjunto dos irracionais feita pelaletra I maiscula.

CONJUNTO DOS NMEROS REAIS

O conjunto dos nmeros reais, representado por IR, a unio entre os conjuntos dos nmeros racionais, Q, edos irracionais. Portanto, os nmeros naturais, inteiros,racionais e irracionais so todos, nmeros reais.

R* conjunto dos nmeros reais no nulos.

R+ conjunto dos nmeros reais positivos e o zero.R*+ conjunto dos nmeros reais positivos.R - conjunto dos nmeros reais negativos e o zero.R*- conjunto dos nmeros reais negativos menos ozero.

INTERVALO REAL

Ainda, caros estudantes, para complementar oassunto sobre Conjuntos Numricos veremos a parte deintervalo na reta real R. Ou seja, dos subconjuntos de R.

Perceba que entre dois nmeros inteiros existem infinitosnmeros reais. Por exemplo, entre os nmeros 1 e 2

existem vrios nmeros reais tais como: 1,01; 1,001;1,0001; 1,1; 1,2; 1,5; 1,99; 1,999; 1,9999 ... . Escrevertodos os nmeros entre, por exemplo, 1 e 2, representaum intervalo de tais nmeros onde, se inclui os extremos,considera-se fechado e se no inclui, considera-se aberto.Os intervalos podem ser classificados em abertos,fechados e semi abertos (fechados ou abertos esquerdaou direita).

Notao em smbolos de um intervalo

Habitualmente se utilizam os colchetes[" e "] para indicar que um dos extremos do intervalo partedeste intervalo e os parnteses ( e ) ou, tambm,os colchetes invertidos ] e [" para indicar ocontrrio. Assim, por exemplo, dados a e b nmerosreais, com a b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa oconjunto dos x R, tal que a < x b. Note que a no fazparte do intervalo.

Representao de um intervalo na reta real

Um intervalo representado na reta real utilizando-se de uma pequena bolinha vazia para indicar que umdos pontos extremos no pertence ao intervalo e de umabolinha cheia para indicar que o ponto extremopertence.

Tipos de Intervalos

Dados a e b nmeros reais, com a b, x pertencenteao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificaros intervalos como:

a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = ba:

[a,b] = {x R | a x b}

b) Intervalo fechado esquerda e aberto direita de

comprimento finito c = ba:

[a,b[ = [a,b) = {x R | a x < b}

c) Intervalo aberto esquerda e fechado direita decomprimento finito c = b - a:

(a,b] = ]a,b] = {x R | a < x b}

d) Intervalo aberto de comprimento finito c = ba:

]a,b[ = (a,b) = {x R | a < x < b}

e) Intervalo aberto direita de comprimento infinito:


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]-,b[ = (-,b) = {x R | x < b}

f) Intervalo fechado direita de comprimento infinito:

]-,b] = (-,b] = {x R | x b}

g) Intervalo fechado esquerda de comprimentoinfinito:

[a,+) = [a,+[= {x R | a x}

h) Intervalo aberto esquerda de comprimentoinfinito:

]a,+[ = (a,+) = {x R | x > a}

i) Intervalo aberto de comprimento infinito:

]-,+[ = (-,+) = R

j) Intervalo fechado de comprimento nulo:

Como o comprimento nulo e o intervalo fechado,ento a = b e esse intervalo corresponde ao conjuntounitrio {a}, isto , a um ponto da reta real.

Vejamos mais exemplos:

Unio e Interseco de Intervalos

Como intervalos so conjuntos natural que asoperaes mencionadas possam ser realizadas. E, trata-sede um procedimento muito comum na resoluo dealguns problemas. E a maneira mais fcil e intuitiva de

realizar essas operaes atravs da representaogrfica dos intervalos envolvidos. Vamos um exemploprtico de como efetuar tais operaes.

Sejam A = [-1,6] = {x R | -1 x 6} e B = (1,+) ={x R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A UB e A B.

Primeiramente, caros alunos, marcamos todos os

pontos que so extremos ou origens dos intervalos emuma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta,traamos os intervalos que representam graficamente osconjuntos A e B. E, por fim, s utilizar a definio deunio e interseco para determinar os trechos que estoem pelo menos um intervalo e os trechos comuns aosdois intervalos, respectivamente. Veja a soluo de A B na figura a seguir e de onde tambm facilmenteobservado o resultado de A U B:

A B = {x R | 1 < x 6} e A U B = {x R | -1 x}

EXPRESSES NUMRICAS

As expresses numricas podem ser definidasatravs de um conjunto de operaes fundamentais. Asoperaes que podemos encontrar so: radiciao,potenciao, multiplicao, diviso, adio e subtrao.Como uma expresso numrica formada por mais deuma operao, devemos saber que resolvemosprimeiramente as potncias e as razes (na ordem queaparecerem), depois a multiplicao ou diviso (naordem) e por ltimo, adio e subtrao (na ordem).

comum o aparecimento de sinais nas expressesnumricas, eles possuem o objetivo de organizar asexpresses, como: ( ) parnteses, [ ] colchetes e {}chaves, e so utilizados para dar preferncia paraalgumas operaes. Quando aparecerem em umaexpresso numrica devemos elimin-los, essaeliminao ir acontecer na seguinte ordem: parnteses,colchetes e, por ltimo, as chaves.

Exemplo 1:

62 : (5 + 3)[2 * (1 + 31)16 : (1 + 3)]=elimine parnteses.

62 : (2)[2 * (21)16 : 2] =continue eliminando os parnteses.

62 : (

2)

[

2 * 1

16 : 2] =resolva as potncias dentro do colchetes.62 : (2)[2 * 116 : 4] =


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15


resolva as operaes de multiplicao e diviso noscolchetes.

62 : (2)[24] =62 : (2)[6] = elimine o colchete.62 : (2) + 6 = efetue a diviso.

31 + 6 = 37 efetue a adio.

O valor numrico da expresso 37.

Lembrem-se, em expresses numricas com sinaisassociativos de:

1) Parnteses ( )2) Colchetes [ ]3) Chaves { }

efetuam-se, primeiro as operaes dentro deles, na ordemmostrada: ( ), [ ] e { }, respeitando-se ainda, a prioridadedas operaes.

Exemplo 2:

36 + 2.{25 + [ 18(52).3]} == 36 + 2.{ 25 + [183.3]} == 36 + 2.{25 + [189]} == 36 + 2.{25 + 9} == 36 +2.34 == 36 + 68 = 104

Exemplo 3:

[(5 - 6.2).3 + (137) : 3] : 5 =

= [(256.4).3 + 6 : 3] : 5 ==[(2524).3 + 36 : 3 ] : 5 == [1.3 + 12] : 5 == [3 + 12 ] : 5 == 15 : 5 = 3

Exemplo 4:

QUESTES

01) (UPENET 2007 AGENTE DE SEGURANAMUNICIPAL) Um tanque tem duas torneiras. A

primeira enche o tanque em 15 horas, e a segunda,em 18 horas. Estando o tanque vazio e, abrindo-seas duas torneiras durante 5 horas, enche-se umaparte do tanque. Podemos afirmar que a segundatorneira encher o restante do tanque em

A) 14 horas.B) 10 horas.C) 7 horas.D) 8,5 horas.E) 8 horas.

02) (UPENET) O Quntuplo de um nmero, divididopor este nmero aumentado de duas unidades, d

quociente 3 e deixa resto 2. Qual este nmero?A) 4B) 6C) 8D) 10E) 12

03) (UPENET 2011 EXPRESSO CIDADO) Acaixa dgua de um edifcio foi revitalizada, e oengenheiro solicitou ao sndico que trocasse asbombas, pois as atuais esto obsoletas. As bombascompradas pelo sndico enchem o reservatriomuito mais rpido e com baixo consumo de

energia. Sabe-se que uma delas enche a caixa degua sozinha em 4 horas e a outra, sozinha em 8horas. Um porteiro por displicncia liga as duassimultaneamente para encher essa caixa de gua.Estando a caixa dgua vazia, assinale o tempo, emminutos, gasto para que as duas encham oreservatrio.

A) 167 minutos.B) 163 minutos.C) 150 minutos.D) 156 minutos.E) 160 minutos.

04) (UPENET) Num salo de cabeleireiro, 2/4 dasmulheres eram loiras, 1/3, ruivas, e as 5 restantes,morenas. Se 1/3 das loiras pintam os cabelos depreto, quantas loiras restam?

A) 2B) 4C) 6D) 8E) 10

05) (UPENET)O valor de 1/3 de 1/4 de 1/5 de 360 igual a

A) 60

B) 50C) 6


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D) 5E) 4

06) (UPENET 2011 EXPRESSO CIDADO)Rebeca faz um desafio a Letcia: Qual a teraparte de 312+ 310?. Assinale a alternativa quecorresponde resposta CORRETA de Letcia.

A) 11 x 311

B) 12 x 312C) 10 x 39D) 6 x 35

E) 8 x 37

07) A expresso igual a:A) 0B) 9C) 3

D) 3

08) Calculando-se os dos 2/5 dos 7/3 de 120, obtm-se:

A) 95B) 87C) 84D) 21E) 16,8

09) Qual o valor de a + b, se a/b a frao irredutvel

equivalente a ?A) 42/9B) 21/9C) 21D) 42

10) (UPENET 2009 PMPE) Carlos e Pedro soalunos muito aplicados em matemtica. Certo dia,Carlos perguntou a Pedro se ele sabia resolver aseguinte questo: Determine o algarismo dasunidades do nmero (8325474)642. Pedro resolveu oproblema, chegando ao resultado correto. Qual foi oresultado a que Pedro chegou?

A) 4B) 2C) 5D) 6E) 1

11) (UPE 2008) O Conselho Superior de umaUniversidade composto por 43 membros comdireito a voto, sendo 20 diretores de Unidades, 15diretores de Centros, 8 representantes dosprofessores. Para que haja votao de um projeto nareunio, necessrio que esteja presente, pelomenos, um membro de cada uma das trs

representaes. Se a nica informao que o Reitorda Universidade tem, durante cada reunio doConselho, o nmero de pessoas presentes, para ter

certeza de que o projeto em pauta na reunio servotado, necessrio que a informao do nmerode pessoas presentes seja, no mnimo, de:

A) 15 pessoas.B) 3 pessoas.C) 20 pessoas.D) 35 pessoas.E) 36 pessoas.

12) (UPENET 2005) Eduarda, certo dia, fez comprasem 5 lojas do Shopping Center. Em cada umagastou a metade do que possua e pagou, na sada,R$ 2,00 (dois reais) de estacionamento. Aps asdespesas, restaram a Eduarda R$ 20,00 (vintereais). Quanto Eduarda possua antes de fazer ascompras?

A) R$ 820,00B) R$ 1 102,00

C) R$ 502,00D) R$ 704,00E) R$ 602,00

13) (UPENET 2009 PREFEITURA DE RECIFE)Numa escola, os alunos da 8 srie vo realizar umaobservao num poo com o caminhar de lesmas.Observou-se que, em mdia, uma lesma sobe doismetros por dia, pra um pouquinho e cai um metro.Supondo que o poo tenha sete metros deprofundidade e que uma lesma esteja no fundodeste poo, para chegar no topo deste poo, essalesma levar

A) 4 dias.B) 5 dias.C) 6 dias.D) 7 dias.E) 8 dias.

14) (UPENET 2009 PREFEITURA DESURUBIM) A calculadora de Juliana bemdiferente. Ela tem uma tecla D que duplica onmero escrito no visor e a tecla T, que apaga oalgarismo das unidades do nmero escrito no visor.Assim, por exemplo, se estiver escrito 123 no visore apertarmos D, teremos 246; depois, apertando T,

teremos 24. Suponha que esteja escrito 1999. Seapertamos D, depois T, em seguida D, depois T,teremos o nmero

A) 96B) 98C) 123D) 79E) 99

15) (UPENET 2009 PMPE) Uma livraria pretendefazer seu balano anual. Pedro e Joo so oscontabilistas da Empresa. Se os dois trabalhassemjuntos no servio, eles fariam o balano em 6 dias,

porm, se Joo trabalhar sozinho, realizar oservio em 18 dias. Em quantos dias, Pedro,trabalhando sozinho, concluir o balano?


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A) 15B) 13C) 9D) 8E) 20

16) (UPENET 2009PMPE) Um nmero compostopor dois algarismos. Sabendo-se que a soma doalgarismo das dezenas com o algarismo dasunidades 8 e que, subtraindo-se o nmero donmero formado, permutando-se o algarismo dasunidades com o das dezenas, o resto dessasubtrao um nmero terminado em 6. CORRETOafirmar que o produto dos algarismosdas dezenas com o das unidades do nmero

A) 40B) 30C) 45

D) 21E) 12

17) (UPENET 2009 PMPE) Carlos disse a Renatoque era capaz de acertar um nmero que elepensasse, fazendo, apenas, 4 perguntas. Renatoachou graa e disse: pensei em um nmero. Ento,Carlos disse: some ao nmero pensado o nmero 5,multiplique a soma por 3 e subtraia 10 do produto.Informe o resultado das operaes, e Renatoafirmou 80. Carlos, ento, informou corretamente onmero que Renato havia pensado. O produto dosalgarismos do nmero que Renato pensou igual a

A) 12B) 15C) 10D) 48E) 50

18) (UPENET 2011EXPRESSO CIDADO) UmaPadaria promove as seguintes ofertas relativas amanteigas da mesma marca:

Assinale a alternativa CORRETA.A) A oferta I a melhor.B) A oferta II a melhor.C) A oferta III a melhor.D) As ofertas I e III so iguais.E) As ofertas II e III so iguais.

19) (UPENET 2011 EXPRESSO CIDADO) Asoma de trs nmeros naturais consecutivos sempre um nmero

A) par.

B) mpar.C) primo.D) quadrado perfeito.

E) mltiplo de 3.

Texto para as questes 20 e 21

O Programa Nacional do Livro Didtico e oPrograma Nacional do Livro Didtico para o EnsinoMdio so realizados pela ECT em parceria com o FundoNacional de Desenvolvimento da Educao.

A operao consiste na entrega, todos os anos, de100 milhes de livros didticos a escolas pblicas deensino fundamental e mdio de todo o Brasil, volumeequivalente metade de toda a produo grfica doBrasil. Para a distribuio desses livros so realizadasviagens de carretas das editoras para os centros detratamento da empresa instalados em pontos estratgicosdo pas. Nessas unidades, as encomendas so tratadas e,depois, entregues nas escolas.

Internet: (com adaptaes).

QUESTO 2220) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considerando que e

13% dos livros didticos sejam 7/40 distribudos,respectivamente, para as regies Nordeste e Norte,ento a quantidade, em milhes, de livros didticosdestinada a essas duas regies pelos programasmencionados no texto

A) superior a 15 e inferior a 25.B) superior a 25 e inferior a 35.C) superior a 35 e inferior a 45.D) superior a 45.E) inferior a 15.

21) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considere que 3carretas faam, repetidamente, viagem de ida evolta entre determinada editora e um centro detratamento da ECT em 4 dias, 5 dias e 6 dias,respectivamente, e, ao completar um percurso deida e volta, elas retomem imediatamente essepercurso. Se, em certo dia, as 3 carretas partiremsimultaneamente da editora, ento elas voltaro apartir juntas novamente dessa editora aps

A) 45 dias.B) 60 dias.C) 10 dias.

D) 15 dias.E) 30 dias.

22) (FCC - 2010 - TRT - 12 Regio (SC) - TcnicoJudicirio - rea Administrativa)Sistematicamente, dois funcionrios de umaempresa cumprem horas-extras: um, a cada 15 dias,e o outro, a cada 12 dias, inclusive aos sbados,domingos ou feriados. Se em 15 de outubro de 2010ambos cumpriram horas-extras, uma outra provvelcoincidncia de horrios das suas horas-extrasocorrer em

a) 9 de dezembro de 2010.

b) 15 de dezembro de 2010.c) 14 de janeiro de 2011.d) 12 de fevereiro de 2011.


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e) 12 de maro 2011.

23) (FCC - 2010 - DPE-SP - Oficial de DefensoriaPblica) Duas polias conectadas por uma correiatm comprimentos de 12 cm e 22 cm.

O menor nmero de voltas completas que a poliamenor deve dar para que a polia maior d umnmero inteiro de voltas

a) 7

b) 8c) 9d) 10e) 11

24) (FCC - 2008 - MPE-RS - Agente Administrativo) Um agente administrativo foi incumbido de tirarcpias das 255 pginas de um texto. Para tal ele sdispe de uma impressora que apresenta o seguintedefeito: apenas nas pginas de nmeros 8, 16, 24,32, ... (mltiplos de 8) o cartucho de tinta vermelhafalha. Considerando que em todas as pginas dotexto aparecem destaques na cor vermelha, ento,

ao tirar uma nica cpia do texto, o nmero depginas que sero impressas sem essa falha a) 226b) 225c) 224d) 223e) 222

25) (FCC - 2004 - TRT - 22 Regio (PI) - TcnicoJudicirio)Sistematicamente, Fbio e Cntia vo aum mesmo restaurante: Fbio a cada 15 dias eCntia a cada 18 dias. Se em 10 de outubro de 2004ambos estiveram em tal restaurante, outro provvel

encontro dos dois nesse restaurante ocorrer ema) 9 de dezembro de 2004.b) 10 de dezembro de 2004.c) 8 de janeiro de 2005.d) 9 de janeiro de 2005.e) 10 de janeiro de 2005.

26) (FCC - 2002 - TRE-PI - Tcnico Judicirio -rea Administrativa) Um mdico receitou doisremdios a um paciente: um para ser tomado a cada12 horas e outro a cada 15 horas. Se s 14 horas dodia 10/10/2000 o paciente tomou ambos osremdios, ele voltou a tom-los juntos novamente

sa) 17 horas do dia 11/10/2000.

b) 14 horas do dia 12/10/2000.c) 18 horas do dia 12/10/2000.d) 2 horas do dia 13/10/2000.e) 6 horas do dia 13/10/2000.

27) Num reservatrio h duas torneiras, a primeiraenche-o em 3 horas, a segunda em 6 horas; pormh um sifo que o esvazia em 12 horas.Funcionando as torneiras e o sifo simultaneamenteem quanto tempo o reservatrio se encher?

a) 3hb) 2h24minc) 5hd) 1h30mine) 2h30min

28) (TRT 24 REGIO 2011 - FCC) Todos os 72funcionrios de uma Unidade do Tribunal Regional

do Trabalho de Mato Grosso do Sul devero serdivididos em grupos, a fim de se submeterem aexames mdicos de rotina. Sabe-se que:

o nmero de funcionrios do sexo feminino iguala 80% do nmero dos do sexo masculino;

cada grupo dever ser composto por pessoas de ummesmo sexo;

todos os grupos devero ter o mesmo nmero defuncionrios;

o total de grupos deve ser o menor possvel; a equipe mdica responsvel pelos exames atender

a um nico grupo por dia.

Nessas condies, correto afirmar que:A) no total, sero formados 10 grupos.B) cada grupo formado ser composto de 6

funcionrios.C) sero necessrios 9 dias para atender a todos os

grupos.D) para atender aos grupos de funcionrios do sexo

feminino sero usados 5 dias.E) para atender aos grupos de funcionrios do sexo

masculino sero usados 6 dias.

29) (UPENET)No piso de uma sala de largura 168cm

e comprimento 200cm, um construtor pretendecolocar peas de mrmore quadradas do mesmotamanho. A menor quantidade dessas peas que elepode usar para cobrir totalmente o piso, sem cortarnenhuma pea :

A) 420B) 500C) 525D) 575E) 600

30) Sejam os nmerosA = 23. 32. 5 e B = 2 . 33. 52. OMDC e o MMC entre A e B valem,

respectivamente:A) 2 . 32. 5 e 23. 33. 52B) 2 . 52. 52e 22. 32. 5


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19


C) 2 . 3 . 5 e 23. 33. 52D) 22. 32 . 5 e 2 . 32. 5E) 23. 32. 52e 2 . 33. 52

31) Dados n = 22. 3a. 52. 73e m = 23. 35. 52. 7b. 11, osvalores de a e b, tais que o mdc(m,n) = 18.900, so:

A) a = 2 e b = 3.B) a = 3 e b = 1.C) a = 0 e b = 2.D) a = 3 e b = 2.E) a = 2 e b = 2.

32) Se p e q so nmeros naturais distintos e primos,ento o MDC(p, q) + MMC(p, q) igual a:

A) p + qB) pqC) pq + 1D) 2

E) nda33) O mximo divisor comum dos nmeros 36, 48, 72,

:A) 36B) 48C) 72D) 144E) 12

34) Considerando os nmeros 68 e 36, responda V paraverdadeiro e F para falso:

A) que 4 o mximo divisor comum de 36 e 68.

B) que 17 o mximo divisor comum de 36 e 68.C) que 4 o mnimo divisor comum de 36 e 68.D) que 612 o mximo mltiplo comum de 36 e E.E) que 2 o mnimo mltiplo comum de 36 e 68.F) que 0 um mltiplo comum de 36 e 68.

GABARITO:

1-C 2-A 3-E 4-E 5-C 6-C 7-A

8-C 9-D 10-D 11-E 12-D 13-C 14-D

15-C 16-E 17-C 18-C 19-E 20-B 21-B

22- D 23-E 24-C 25-C 26-D 27-B 28-C

29-C 30-A 31-B 32-C 33-E 34-VFFFFV

EQUAES DO 1 GRAU

As equaes do primeiro grau so aquelas quepodem ser representadas sob a forma ax + b = 0, em queae bso constantes reais, com a diferente de 0, e x avarivel. A resoluo desse tipo de equao fundamentada nas propriedades da igualdade descritas a

seguir.

Adicionando um mesmo nmero a ambos osmembros de uma equao, ou subtraindo um mesmonmero de ambos os membros, a igualdade se mantm.

Dividindo ou multiplicando ambos os membros deuma equao por um mesmo nmero no-nulo, aigualdade se mantm.

Exemplo:

Vejamos alguns exemplos:Seja a equao:

Seja a equao:

Seja a equao:

Membros de uma equao

Numa equao a expresso situada esquerda daigualdade chamada de 1 membro da equao, e aexpresso situada direita da igualdade, de 2 membroda equao.

Exemplo:

- 3x + 12 = 2x - 91 membro 2 membro

Cada uma das parcelas que compem um membro deuma equao chamada termo da equao.

4x9 = 12xTermos:


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20


Varivel (ou incgnita) de uma equao: Os elementosdesconhecidos de uma equao so chamados devariveis ou incgnitas.

Exemplos:

A equao x + 5 = 18 tem uma incgnita: xA equao x3 = y + 2 tem duas incgnitas: x e yA equao a3b + c = 0 tem trs incgnitas: a, b e c

Cada um dos valores que, colocados no lugar daincgnita, transforma a equao em uma sentenaverdadeira chamado de raiz da equao. Paraverificarmos se um dado nmero ou no raiz de umaequao, basta substituirmos a incgnita por esse nmeroe observarmos se a sentena obtida ou no verdadeira.

1 exemplo:verificar se trs raiz de 5x3 = 2x + 6

2 exemplo:verificar se -2 raiz de x3x = x6

O princpio aditivo e o princpio multiplicativo servempara facilitar o entendimento da soluo de uma equao,mas para resolv-la existe um mtodo simples e prticoque o seguinte:

Resolver a equao 5x 8 = 12 + x

Colocamos no primeiro membro os termos queapresentam varivel, e no segundo membro os termosque no apresentam varivel. Os termos que mudam demembro tm os sinais trocados.

5x8 = 12 + x5xx = 12 + 8

Calculamos a somas algbricas de cada termo: 4.x = 20

Quando se passa de um membro para o outro se usa aoperao inversa, ou seja, o que est multiplicando passadividindo e o que est dividindo passa multiplicando. O

que est adicionando passa subtraindo e o que estsubtraindo passa adicionando. O nmero 4 no primeiro

membro est multiplicando o x ento ele passardividindo no segundo membro.

SISTEMAS DE EQUAES DO 1 GRAUCOM DUAS VARIVEIS

Um sistema de equaes com duas variveis, x e y, um conjunto de equaes do tipo

ax + by = c (a, b, c R)

ou de equaes redutveis a esta forma.

Exemplo:

Resolver um sistema significa encontrar todos ospares ordenados (x; y) onde os valores de x e de ysatisfazem a todas as equaes do sistema ao mesmotempo.

Exemplo:

No sistema indicado no exemplo anterior, o nicopar ordenado capaz de satisfazer s duas equaessimultaneamente :

(x; y) = (2; 1) ou seja, x = 2 e y = 1

Resoluo algbrica

Dentre os vrios mtodos de resoluo algbricaaplicveis aos sistemas do 1 grau, destacamos dois:

mtodo da adio mtodo da substituio

Para exemplific-los, resolveremos o sistemaseguinte pelos dois mtodos:

A) Mtodo da Adio

1 passo: Multiplicamos as equaes por nmerosescolhidos de forma a obtermos coeficientes opostos emuma das variveis. No caso, poderemos multiplicar aequao (I) por -2:


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21


Observe que a varivel y tem, agora, coeficientesopostos.

2 passo: Somamos membro a membro as equaesencontradas:

A varivel y foi cancelada restando apenas avarivel x na ltima equao.

3 passo: Resolvemos a equao resultante que temsomente uma varivel:

-1x = -2x = 2

4 passo: O valor da varivel encontrada substitudonuma das equaes iniciais que contenha tambm a outravarivel e, ento, resolvemos a equao resultante:

2x + y = 72(2) + y = 74 + y = 7y = 7 -4y = 3

5 passo:Escrevemos o conjunto-soluo:

S = {(2; 3)}

B) Mtodo da Substituio

1 passo: Isolamos uma das variveis em uma dasequaes dadas:

2 passo: a varivel isolada substituda na outraequao e, ento, resolvemos a equao resultante quetem somente uma varivel:

3x +2y = 123x + 2(7 - 2x) = 123x +14 - 4x = 12

3x4x = 12- 14-1x = -2

x = 23 passo: Levamos o valor encontrado para a equaoque tem a varivel isolada e calculamos o valor desta:

y = 7 -2xy = 7 -2 (2)

y = 7 -4

y = 3

4 passo:Escrevemos o conjunto-soluo:

S = {(2; 3)}

QUESTES

01) (UPENET) Um pequeno criador tem em suacriao 150 porcos e galinhas. Sabendo-se que onmero de ps dos animais igual a 400, CORRETO afirmar que o criador tem

A) 25 porcos.B) 50 porcos.C) 35 porcos.D) 42 porcos.E) 55 porcos.

02) (UPENET)Um copo cheio de gua pesa 325g. Sejogarmos metade da gua fora, seu peso cai para180g. O peso do copo vazio de

A) 20gB) 25gC) 35gD) 40gE) 45g

03) (UPENET 2007 AGENTE DE SEGURANAMUNICIPAL) Em um concurso pblico, numaprova de 50 quesitos, um candidato obtm 110pontos. Sabendo-se que em cada questo correta ocandidato ganha 3 pontos, e a cada questoincorreta, perde 2 pontos, podemos afirmar que onmero de questes que o candidato acertou

A) mpar.B) divisvel por 5.C) mltiplo de 4.D) divisvel por 9.E) mltiplo de 7.

04) (UPENET 2009 GGUUAARRDDAA MMUUNNIICCIIPPAALLOOLLIINNDDAA) Luis foi farmcia e anotou os preosdos remdios que pretendia levar. Chegando emcasa, deu o seguinte problema ao seu irmo:

- o preo do remdio A somado ao preo do remdioB totalizou R$ 98,00;

- o preo do remdio B somado ao preo do remdioC totalizou R$ 130,00;

- o preo do remdio C somado ao preo do remdioA totalizou R$ 100,00.

Partindo desses dados, quanto qual a diferena depreos entre os remdios C e A?

A) 14B) 23

C) 32D) 45E) 56


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05) (UPENET 2011 EXPRESSO CIDADO)Numa corrida de aventura, as equipes so formadaspor trs atletas. completado 1/2 da trajetriaestabelecida para o ciclismo, passa o seu bastopara o segundo atleta que completar mais 1/4 dototal do percurso, quando foi advertido pelo seutcnico para que se poupasse, uma vez que oterceiro atleta no poder finalizar os 1.500m denatao, pois est contundido atleta) ter quefinalizar o restante desta prova. Nesse contexto,conclui

A) 6.000m.B) 5.000m.C) 4.500m.D) 6.500m.E) 5.500m.

06) (UPENET 2009 PMPE) A Polcia Militar de

Pernambuco possui uma frota de 1500 carros, sendoque uma parte utiliza como combustvel gasolina, eo restante, bicombustvel, que funciona com lcoole gasolina. O novo comandante determinou que,neste total de 1500 carros, 80% dos carros agasolina e 60% dos bicombustveis sofressem umaconverso para tambm funcionar a gs. Sabendo-se que, aps a converso, 840 do total de carrospassaram a utilizar dois e somente dois tipos decombustvel, CORRETO afirmar que o nmero decarros que permaneceram consumindo somentegasolina igual a

A) 600

B) 200C) 120D) 400E) 500

07) (UPENET 2009 PMPE) Resolvendo o sistemaabaixo, CORRETO afirmar que 2xy igual a

A) 12B) 24C) 16D) 20E) 18

08) (UPENET 2009 GGUUAARRDDAA MMUUNNIICCIIPPAALLOOLLIINNDDAA) Mateus quer fazer uma viagem a p de630 km. Caso ele caminhe 10 km a mais por dia,andar 4 dias a menos para realizar a viagem.Sendo d o nmero de dias gastos para fazer a

viagem e k o nmero de km que caminhou pordia, possvel dizer que k - d igual aA) 16

B) 17C) 18D) 19E) 20

09) (CESPE 2011 - CORREIOS)Em uma empresa, osempregados tm direito a descanso remunerado deum dia a cada 15 dias trabalhados. Em determinadoano, os dias trabalhados e os dias de descansosomaram 224 dias. Com base nessa situao, correto afirmar que, nesse ano, a quantidade de diasde descanso desses empregados foi

A) superior a 16 e inferior a 20.B) superior a 20 e inferior a 24.C) superior a 24.D) inferior a 12.E) superior a 12 e inferior a 16.

10) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considerando-seque 3 caixas de encomenda do tipo 2B e 3 caixas deencomenda do tipo flex correios custem, ao todo,R$ 12,00 e que 5 caixas do tipo 2B e 10 do tipo flexcorreios custem, ao todo, R$ 28,00, corretoafirmar que uma caixa do tipo 2B custa

A) R$ 2,40.B) R$ 3,15.C) R$ 3,20.D) R$ 1,20.E) R$ 2,00.

Em um escritrio, a despesa mensal com os salrios

dos 10 empregados de R$ 7.600,00. Nesseescritrio, alguns empregados recebem,individualmente, R$ 600,00 de salrio mensal e osoutros, R$ 1.000,00.

QUESTO 3211) (CESPE 2011 - CORREIOS) Se, para atender a

crescente demanda de servios, o escritrio triplicara quantidade de empregados com salrio de R$600,00 e duplicar a quantidade de empregados comsalrio de R$ 1.000,00, ento a despesa desseescritrio com os salrios de seus empregadospassar a ser de

A) R$ 18.800,00.

B) R$ 18.000,00.C) R$ 18.200,00.D) R$ 18.400,00.E) R$ 18.600,00.

12) (TRT 24 Regio 2011 MSFCC)Do total depessoas que visitaram uma Unidade do TribunalRegional do Trabalho de segunda a sexta-feira decerta semana, sabe-se que:1/5 o fizeram na tera-feira e 1/6 na sexta-feira.

Considerando que o nmero de visitantes dasegunda-feira correspondia a 3/4 do de tera-feira eque a quarta-feira e a quinta-feira receberam, cada

uma, 58 pessoas, ento o total de visitantesrecebidos nessa Unidade ao longo de tal semana um nmero


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A) divisvel por 48.B) maior que 250.C) menor que 150.D) mltiplo de 7.E) quadrado perfeito.

GABARITO:

1-C 2-C 3-E 4-C 5-A 6-C 7-D

8-B 9-E 10-A 11-A 12-A

RAZES E PROPORES

Chama-se razo de dois nmeros, dados numacerta ordem e sendo o segundo diferente de zero, ao

quociente do primeiro pelo segundo. Assim, a razoentre os nmeros a e bpode ser dita razo de a para be representada como:

b

a ou a : b

Onde a chamado antecedente enquanto b chamadoconseqente da razo dada. Ao representar uma razofreqentemente simplificamos os seus termosprocurando, sempre que possvel, torn-los inteiros.

Exemplos:A razo entre 3 e 0,75 :

1443

43

4

3

3

75,0

3para

A razo entre

e5

2

6

1

:

12512

5

2

5

6

1

5

2

6

1

para

Proporo: a expresso que indica uma igualdade

entre duas ou mais razes. A proporo

d

c

b

a

pode serlida como a est para b assim como c est para d erepresentada como a : b : : c : d. Nesta proporo, osnmeros a e d so os extremos e os nmeros b e c so osmeios.

OBS:Em toda proporo o produto dos extremos igualao produto dos meios.

Quarta proporcional de trs nmeros dados, a, b e cnesta ordem, o nmero x que completa com os outrostrs uma proporo tal que:

x

c

b

a

Exemplo: Determinar a quarta proporcional dosnmeros 3,5 e 15 nesta ordem.

Soluo:

.253

757531553

15

5

3

xxxx

x

Proporo contnua aquela que tem meios iguais.

Exemplo:

A proporo

45

15

15

5

contnua, ela tem seus meiosiguais a 15.

Numa proporo contnua temos: O valor comum dosmeios chamado mdia proporcional (ou mdiageomtrica) dos extremos.

Ex.:8 a mdia proporcional entre 4 e 16, pois

16

8

8

4

O ltimo termo chamado terceira proporcional.

Ex.:7 a terceira proporcional dos nmeros 28 e 14, pois

7

14

14

28

.

Proporo mltipla a igualdade simultnea de trs oumais razes.

Exemplo:

f

e

d

c

b

a

Razes inversas so duas razes cujo produto igual a 1.

Exemplo:

114

22

11

7

,

ento dizemos que 7 est para 11 na razo inversa de22 para 14.

Quando duas razes so inversas, qualquer uma delasforma uma proporo com o inverso da outra.

Exemplo:

14

22

11

7e

so razes inversas.

Ento, 117

faz proporo com 2214

(que o inverso de 1422

)


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Propriedades das propores

Considere as propores:

1 propriedade: Numa proporo, a soma dos doisprimeiros termos est para o 2 (ou 1) termo, assimcomo a soma dos dois ltimos est para o 4 (ou 3).

e

2 propriedade:Numa proporo, a diferena dos doisprimeiros termos est para o 2 (ou 1) termo, assim

como a diferena dos dois ltimos est para o 4 (ou 3).

e

3 propriedade: Numa proporo, a soma dosantecedentes est para a soma dos conseqentes, assimcomo cada antecedente est para o seu conseqente.

4 propriedade: Numa proporo, a diferena dosantecedentes est para a diferena dos conseqentes,assim como cada antecedente est para o seuconseqente.

5 propriedade: Numa proporo, o produto dosantecedentes est para o produto dos conseqentes,assim como o quadrado de cada antecedente est paraquadrado do seu conseqente.

DIVISO PROPORCIONAL

Grandezas diretamente proporcionais

Dada a sucesso de valores (a1, a2, a3, a4, ... ),dizemos que estes valores so diretamenteproporcionais aos correspondentes valores da sucesso

(b1, b2, b3, b4, ...) quando forem iguais as razes entrecada valor de uma das sucesses e o valorcorrespondente da outra.

so todas iguais, sendo igual a o fator deproporcionalidade da primeira para a segunda.

Como se pode observar, as sucesses de nmerosdiretamente proporcionais formam proporesmltiplas (j vistas no captulo de razes e propores).Assim sendo, podemos aproveitar todas as tcnicasestudadas no captulo sobre propores para resolverproblemas que envolvam grandezas diretamenteproporcionais.

Grandezas inversamente proporcionais

Dada a sucesso de valores (a1, a2, a3, a4, ... ), todosdiferentes de zero, dizemos que estes valores soinversamente proporcionais aos correspondentes valoresda sucesso (b1, b2, b3, b4, ...), todos tambm diferentesde zero, quando forem iguais os produtos entre cadavalor de uma das sucesses e o valor correspondente daoutra.

Exemplo:

Os valores 2, 3, 5 e 12 so inversamente proporcionaisaos valores 30, 20, 12 e 5, nesta ordem, pois os produtos

2 x 30, 3 x 20, 5 x 12 e 12 x 5 so todos iguais.

Relao entre proporo inversa eproporo direta

Sejam duas sucesses de nmeros, todos diferentesde zero. Se os nmeros de uma so inversamenteproporcionais aos nmeros da outra, ento os nmerosde uma delas sero diretamente proporcionais aosinversos dos nmeros da outra. Esta relao nos permitetrabalhar com sucesses de nmeros inversamenteproporcionais como se fossem diretamente

proporcionais.

Diviso em partes proporcionais

1 caso: Diviso em partes diretamente

proporcionais

Dividir um nmero N em partes diretamenteproporcionais aos nmeros a, b, c, ..., significa encontraros nmeros A, B, C, ..., tais que:

A + B + C + ... = N


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EXERCCIO RESOLVIDO

1. Dividir o nmero 72 em trs partes diretamenteproporcionais aos nmeros 3, 4 e 5. Indicando porA, B, e C as partes procuradas, temos que:

A = 3p, B = 4p, C = 5p e A + B + C = 72

Portanto:

3p + 4p + 5p = 72 12p = 72 p = 6

valor de A3p = 3 x 6 = 18

valor de B 4p = 4 x 6 = 24

valor de C 5p = 5 x 6 = 30

Portanto, as trs partes procuradas so 18, 24 e 30.

2 caso: Diviso em partes inversamenteproporcionais

Dividir um nmero N em partes inversamenteproporcionais a nmeros dados a, b, c,..., significaencontrar os nmeros A, B, C, ... tais que:

a x A = b x B = c x C =... eA + B + C + ... = N

2. Dividir 72 em partes inversamente proporcionaisaos nmeros 3, 4 e 12. Usando a relao entreproporo inversa e proporo direta, podemosafirmar que as partes procuradas sero diretamenteproporcionais a

Reduzindo as fraes ao mesmo denominador,teremos:

Desprezar os denominadores (iguais) manter aspropores e ainda simplificar nossos clculos. Ento,poderemos dividir 72 em partes diretamenteproporcionais a 4, 3 e 1 (numeradores). Indicando por A,B e C as trs partes procuradas, teremos:

A = 4p, B = 3p, C = 1p

A + B + C = 72

Logo, 4p + 3p + 1p = 72

Da, 8p = 72p = 72/8p = 9

Assim, conclumos que:

A = 4p A = 4 x 9 = 36B = 3p B = 3 x 9 = 27 eC = 1p C = 1 x 9 = 9

Portanto, as partes procuradas so 36, 27 e 9.

3 caso: Diviso composta direta

Chamamos de diviso composta direta diviso deum nmero em partes que devem ser diretamenteproporcionais a duas ou mais sucesses de nmerosdados, cada uma. Para efetuarmos a diviso compostadireta, devemos:

1) encontrar uma nova sucesso onde cada valor ser oproduto dos valores correspondentes das sucesses

dadas;

2) efetuar a diviso do nmero em partes diretamenteproporcionais aos valores da nova sucessoencontrada.

3. Dividir o nmero 270 em trs partes que devem serdiretamente proporcionais aos nmeros 2, 3 e 5 etambm diretamente proporcionais aos nmeros 4,3 e 2, respectivamente. Indicando por A, B e C astrs partes procuradas, devemos ter:

A ser ser proporcional a 2 e 4 2 x 4 = 8 A = 8p

B ser ser proporcional a 3 e 3 3 x 3 = 9 B = 9pC ser ser proporcional a 5 e 2 5 x 2 = 10 C= 10p

A + B + C = 270 8p + 9p + 10p = 27027p = 270 p = 10

A = 8p = 8 x 10 = 80B = 9p = 9 x 10 = 90C= 10p = 10 x 10 = 100

Portanto, as trs partes procuradas so: 80, 90 e 100.

QUESTES

01) Assinale a opo cujos nmeros sejam diretamenteproporcionais a 2, 3 e 7.

a) 3, 4 e 8.b) 4, 9 e 49.c) 6, 9 e 21.d) 22, 23 e 27.e) 22, 32 e 72.

02) Assinale a opo cujos nmeros sejaminversamente proporcionais a 2, 3 e 7.


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a) 7, 3 e 2.b) 1/7, 1/3 e 1/2.c) 0,2 , 0,3 e 0,7d) 6, 14 e 21.e) 21, 14 e 6.

03) A diviso do nmero de vereadores de determinadacidade proporcional ao nmero de votos que cadapartido recebe. Na ltima eleio nesta cidade,concorreram apenas 3 partidos, A, B e C, quereceberam a seguinte votao: A teve 10.000 votos,B teve 20.000 e C, 40.000. Se o nmero devereadores dessa cidade 21, quantos deles so dopartido B?

a) 6b) 7c) 8d) 9

e) 1004) Os nmeros X e Y encontram-se na razo de 5 para

7. Ento, se o valor de X 60 o valor de Y :a) 84b) 80c) 70d) 65e) 35

05) Se Y diferente de zero, e se X/Y = 4 , ento arazo de 2X Y para X, em termos percentuais, igual a:

1) 75%.2) 25%.3) 57%.4) 175%.5) 200%.

06) (FCC - 2004 - TRE-PE - Tcnico Judicirio -rea Administrativa) Um total de 141documentos devem ser catalogados por trstcnicos judicirios. Para cumprir a tarefa,dividiram os documentos entre si, em partesinversamente proporcionais s suas respectivasidades: 24, 36 e 42 anos. Nessas condies, o

nmero de documentos que coube ao mais jovemfoia) 78b) 63c) 57d) 42e) 36

O enunciado abaixo refere-se s questes 07 e 08.

Na tabela abaixo tm-se as idades e os tempos deservio de trs soldados na corporao, que devemdividir entre si um certo nmero de fichas

cadastrais para verificao.

Soldado Idade Tempo servio

Abel 20 3

Daniel 24 4

Manoel 30 5

07) Se o nmero de fichas for 518 e a diviso for feitaem partes diretamente proporcionais s suasrespectivas idades, o nmero de fichas que caber aAbel :

a) 140b) 148c) 154d) 182e) 210

08) Se o nmero de fichas for 504 e a diviso for feitaem partes diretamente proporcionais s suasrespectivas idades, mas inversamente proporcionaisaos seus respectivos tempos de servio nacorporao, o nmero de fichas que caber a:

a) Daniel 180.b) Manoel 176c) Daniel 170d) Manoel 160e) Daniel 162.

09) s 10 horas do dia 18 de maio de 2007, um tanquecontinha 9.050 litros de gua. Entretanto, um furoem sua base fez com que a gua escoasse em vazo

constante e, ento s 18 horas do mesmo diarestavam apenas 8.850 litros de gua em seuinterior. Considerando que o furo no foiconcertado e no foi colocada gua dentro dotanque, pode-se dizer que ele ficou completamentevazio s:

A) 12 horas de 02/06/2007.B) 10 horas de 02/06/2007.C) 12 horas de 29/05/2007.D) 10 horas de 29/05/2007.

GABARITO:

1-C 2-E 3-A 4-A 5-D 6-B 7-A

8-E 9-A

REGRA DE TRS SIMPLES

Regra de trs simples um processo prtico pararesolver problemas que envolvam quatro valores dosquais conhecemos trs deles. Devemos, portanto,determinar um valor a partir dos trs j conhecidos.

Passos utilizados numa regra de trs simples:

1) Construir uma tabela, agrupando as grandezas damesma espcie em colunas e mantendo na mesma
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linha as grandezas de espcies diferentes emcorrespondncia.

2) Identificar se as grandezas so diretamente ouinversamente proporcionais.

3) Montar a proporo e resolver a equao.

Exemplo:

1) Com uma rea de absoro de raios solares de1,2m2, uma lancha com motor movido a energiasolar consegue produzir 400 watts por hora deenergia. Aumentando-se essa rea para 1,5m2, qualser a energia produzida?

Soluo:montando a tabela:

rea (m2)Energia

(Wh)

1,2 4001,5 x

Identificao do tipo de relao:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo nacoluna que contm o x (2 coluna).

Observe que: Aumentando a rea de absoro, aenergia solar aumenta.

Como as palavras correspondem (aumentando -aumenta), podemos afirmar que as grandezas sodiretamente proporcionais. Assim sendo, colocamosuma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1coluna. Montando a proporo e resolvendo a equaotemos:

Logo, a energia produzida ser de 500 watts por hora.

QUESTES

01) Quatro ces consomem semanalmente 60 kg derao. Assim, ao aumentarmos o nmero de ces

em 75%, o consumo mensal, em kg, considerando oms de 30 dias, ser de:

A) 350B) 400C) 450D) 500E) 550

02) (CESGRANRIO) Alm da destruio causada pelalava incandescente, uma erupo vulcnicaprovoca, tambm, um grande acmulode cinzas naregio atingida. O peso de uma camada de2,5cm decinzas, cobrindo uma rea de 100m2, 8 toneladas.Uma camada de cinzas de 12,8 toneladas que ocupeumarea de 200m2ter uma espessura de quantoscentmetros?

A) 1,6B) 2,0

C) 3,2D) 3,6E) 4,0

03) (CESGRANRIO) As motonetas (scooters e motosde baixa cilindrada) caramno gosto dos brasileirose ganharam as ruas. Isto porque, alm de seremmais baratas do que um carro popular, so muitoeconmicas. Enquanto um carro popular percorre,emmdia, 15 km com um litro de gasolina, a mdiade uma motoneta de 40 km por litro.Considerando-se as mdias apresentadas, quedistncia, em km, um carro popular conseguiria

percorrer com a mesma quantidade de gasolinanecessria para que uma motoneta percorresse 600km?

A) 120B) 150C) 225D) 300E) 375

04) (CESGRANRIO) Para reduzir o consumo deenergia eltrica, uma empresa instalou dois painissolares que, juntos, ocupam 560 m2.Se as reas dosdois painis so diretamente proporcionais a 3 e a 1,

qual a diferena, em m2

, entre essas reas?A) 140B) 210C) 280D) 300E) 320

05) (CESGRANRIO) Para assistir televiso comconforto, o telespectador deve estar a certa distnciada TV. A distncia ideal entre o telespectador e aTV diretamente proporcional medida da tela. Se,para uma TV de 20 polegadas, a distncia ideal de1,5 m, pode-se concluir que a distncia ideal, em

metros, entre o telespectador e uma TV de 32polegadas de:A) 1,8


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B) 2,2C) 2,4D) 2,8E) 3,0

06) (CESGRANRIO) E se todos os carros do mundofossem movidos a lcool?(...) A implantao de umprograma de lcool to ambiciosoprecisaria serimpecvel. (...) Um especialista em agronegciofezas contas: para abastecer a atual frota, estimada em800milhes de automveis, seriam necessrios 2,5trilhes de litros anuais de lcool produzidos em400 milhes de hectaresde canaviais. Isto equivalea cerca de um tero de toda a rea cultivada doplaneta.

Revista Superinteressante, maio de 2006. (adaptado)

Se a frota mundial aumentasse em 640 milhes deautomveis, a quantidade anual de lcool necessriapara abastecer toda a frota, em trilhes de litros,passaria a ser:

A) 3,1B) 4,0C) 4,5D) 5,2E) 8,0

07) (CESGRANRIO)Nas eliminatrias dos jogos Pan-Americanos, um atleta brasileiro percorreu 100metros em 2 minutos e 30 segundos. No mesmoritmo, quantos minutos ele levaria para percorrer200 metros?

A) 3 minutos e 10 segundos.B) 3 minutos e 40 segundos.C) 4 minutos e 30 segundos.D) 5 minutos.E) 6 minutos.

08) (CESGRANRIO) Para pesquisar se uma rea vivel para minerao, necessrio obter um alvare pagar uma taxa anual de R$ 1,55 por hectare.Uma empresa que solicitar autorizao parapesquisa em uma rea de 652,2 hectares pagar, emreais, uma taxa anual de:

A) 807,70B) 987,81C) 1.010,91D) 1.102,79E) 1.325,53

09) (FCC - 2004 - TRE-PE - Tcnico Judicirio -rea Administrativa) Um relgio est atrasando40 segundos por hora. Se ele for acertado s 12horas, ento, s 08 horas do dia seguinte, estarmarcando

a) 7 h 42 min 20 sb) 7 h 44 min 30 s

c) 7 h 46 min 40 sd) 7 h 48 min 20 se) 7 h 50 min 30 s

10) (CESGRANRIO) O real perdeu muito seu poderde compra de 1994 at hoje. Para se ter uma idiadessa perda, um estudo da consultoria global investmostrou que, com o dinheiro necessrio paracomprar 8 pizzas ou 20 entradas de cinema em1994, hoje o consumidor consegue comprarsomente 3 pizzas ou 5 entradas decinema.Considerando as propores apresentadasnesse estudo, quantas pizzas poderiam sercompradas em 1994 com a mesma quantianecessria para comprar hoje, 20 entradas decinema.

A) 36B) 32C) 24D) 16E) 12

Texto para as questes 11 e 12Uma equipe de conferentes analisou os registros dedeterminados documentos. Todos os membrosdessa equipe trabalham com a mesma eficincia, e3 deles analisaram 60% de todo o material.

QUESTO 3411) (CESPE 2011 - CORREIOS) Na situao

apresentada, a quantidade de material analisado por2 dos conferentes corresponde a

A) 48% de todo material.B) 44% de todo material.C) 40% de todo material.

D) 56% de todo material.E) 52% de todo material.QUESTO 3512) (CESPE 2011 - CORREIOS) A partir das

informaes do texto, infere-se que a quantidade deconferentes da equipe igual a

A) 6.B) 7.C) 8.D) 9.E) 5.

GABARITO:

1-C 2-B 3-C 4-C 5-C 6-C 7-D

8-C 9-C 10-B 11-C 12-E

REGRA DE TRS COMPOSTA

A regra de trs composta utilizada em problemascom mais de duas grandezas, direta ou inversamenteproporcionais.

Exemplo:

1) Em 8 horas, 20 caminhes descarregam 160m3

deareia. Em 5 horas, quantos caminhes seronecessrios para descarregar 125 m3?


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Soluo:montando a tabela, colocando em cada colunaas grandezas de mesma espcie e, em cada linha, asgrandezas de espcies diferentes que se correspondem:

Horas Caminhes Volume8 20 1605 x 125

I denti ficao dos ti pos de relao:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo nacoluna que contm o x (2 coluna).

A seguir, devemos comparar cada grandeza com

aquela onde est o x.

Observe que:

Aumentandoo nmero de horas de trabalho, podemosdiminuiro nmero de caminhes. Portanto a relao inversamente proporcional (seta para cima na 1coluna).

Aumentandoo volume de areia, devemos aumentaronmero de caminhes. Portanto a relao diretamenteproporcional (seta para baixo na 3 coluna). Devemosigualar a razo que contm o termo x com o produto das

outras razes de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporo e resolvendo a equao temos:

Logo, sero necessrios 25 caminhes.

FORMA PRTICA DE RESOLVER PROBLEMASDE REGRA DE TRS COMPOSTA

a) Escrever em coluna as variveis do mesmo tipo, ou

seja, aquelas expressas na mesma unidade demedida, tendo o cuidado de escrever o valordesconhecido (x) sempre na segunda linha,

conforme esquema mostrado no item (c) abaixo.

b) Identificar aquelas que variam num mesmo sentido(grandezas diretamente proporcionais

) e aquelasque variam em sentidos opostos (grandezasinversamente proporcionais), marcando-as comsetas no mesmo sentido ou sentidos opostos,conforme o caso.

c) A incgnita x ser obtida da forma sugerida noesquema abaixo, dada como exemplo de cartergeral.

Sejam as grandezas A, B, C e D, que assumem osvalores indicados abaixo, e supondo-se, por exemplo,que a grandeza A seja diretamente proporcional grandeza B, inversamente proporcional grandeza C einversamente proporcional grandeza D, podemos

montar o esquema a seguir:

Neste caso, o valor da incgnita x ser dado por:

Observem que para as grandezas que variam no mesmo

sentido, multiplicamos x pelos valores invertidos e paraas grandezas que variam em sentidos opostos,multiplicamos pelos valores como aparecem noesquema.

QUESTES

01) Um carpinteiro fabrica 3 bancos em 2 horas. Seusaprendizes fabricam, cada um, 2 bancos em 3 horas.

Quantos aprendizes, no mnimo, devem trabalharcom o carpinteiro para que essa equipe possafabricar 7 bancos em 2 horas?

(A) 7(B) 6(C) 5(D) 4(E) 3

02) Em uma fbrica, vinte e cinco mquinas produzem15.000 peas de automvel em doze dias,trabalhando 10 horas por dia. Quantas horas por diadevero trabalhar 30 mquinas, para produzirem

18.000 peas em 15 dias?a) 11 hb) 12 h
http://br.geocities.com/paulomarques_math/arq1-13.htmhttp://br.geocities.com/paulomarques_math/arq1-13.htmhttp://br.geocities.com/paulomarques_math/arq1-13.htmhttp://br.geocities.com/paulomarques_math/arq1-13.htmhttp://br.geocities.com/paulomarques_math/arq1-13.htmhttp://br.geocities.com/paulomarques_math/arq1-13.htmhttp://br.geocities.com/paulomarques_math/arq1-13.htmhttp://br.geocities.com/paulomarques_math/arq1-13.htmhttp://br.geocities.com/paulomarques_math/arq1-13.htmhttp://br.geocities.com/paulomarques_math/arq1-13.htm


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c) 15 hd) 8 h

03) Certo trabalho executado por 15 mquinas iguais,em 12 dias de 10 horas. Havendo defeito em trsdas mquinas, quantos dias de 8 horas deverotrabalhar as demais, para realizar o dobro dotrabalho anterior?

a) 37,5 diasb) 40 diasc) 30 diasd) 25 dias

04) Vinte e cinco teares trabalhando oito horas por dia,durante 10 dias, fizeram 1200 metros de certotecido. Vinte teares trabalhando nove horas por diadurante dezoito dias produziro quantos metros domesmo tecido?

a) 1944 mb) 2000 mc) 1500 md) 1100 m

05) Sabe-se que 4 mquinas, operando 4 horas por dia,durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certoproduto. Quantas toneladas do mesmo produtoseriam produzidas por 6 mquinas daquele tipo,operando 6 horas por dia, durante 6 dias?

a) 8b) 15c) 10,5

d) 13,5

GABARITO:

1-E 2-D 3-A 4-A 5-D

PORCENTAGEM

Para compreendermos o que uma porcentagemtemos que saber claramente o que umarazo,as razescom denominador 100 (razes centesimais) podem serexpressas em forma de porcentagem:

Exemplo 1:

De um grupo de 100 jogadores, 30 praticam basquete.Isso significa que 30% (trinta por cento) dos jovenspraticam basquete.

Exemplo 2:

Num lote de 50 lmpadas, 13 apresentam defeito; a razoentre o nmero de lmpadas defeituosas e o total delmpadas dada por:

O que significa que, se o lote contivesse 100 lmpadas,deveramos encontrar 26 com defeitos.

Exemplo 3:

Outro modo de representar a taxa de 4% = 4/100 obtido, simplesmente, efetuando a diviso de 4 por 100:

4 : 100 = 0,04

Dessa forma:

37% = 0,37 80% = 0,80 = 0,814,5% = 0,145 100% = 1250% = 2,50 = 2,5 0,7% = 0,007

Exemplo 4:

Uma bolsa vendida por R$ 32,00. Se seu preoaumentar em 20%, quanto passaria a custar?

Temos:1) o aumento seria 20% de 32 = 0,2 x 32 = 6,40

2) o novo preo seria 32 + 6,40 = R$ 38,40.

Poderamos fazer simplesmente:

Observe que o preo inicial fica multiplicado por 1,2.Portanto, se tivssemos:

Um aumento de 30% multiplicaria o preo por 1,3; Um aumento de 16% multiplicaria o preo por 1,16; Um aumento de 5% multiplicaria o preo por 1,05;

Se por outro lado a bolsa fosse anunciada com umdesconto de 20% sobre o preo original, a bolsa passariaa custar:
http://www.brasilescola.com/matematica/razao.htmhttp://www.brasilescola.com/matematica/razao.htmhttp://www.brasilescola.com/matematica/razao.htmhttp://www.brasilescola.com/matematica/razao.htm


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Observe que o preo fica multiplicado por 0,8.Assim, se tivssemos:

Desconto de 30% multiplicaramos o preo originalpor 0,7;

Desconto de 16% multiplicaramos o preo originalpor 0,84;

Desconto de 5% multiplicaramos o preo originalpor 0,95

QUESTES

01) (UPENET

matematica e raciocínio para concursos

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