ponto dos concursos senado matematica e raciocinio logico[1]

CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES

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Conteúdo 1. Apresentação . ........................................................................................................ 2

2. Progressão Aritmética . ........................................................................................... 2

3. Relação das questões comentadas . .................................................................... 21

4. Gabaritos . ............................................................................................................. 27



1. Apresentação

Seja bem vindo ao Ponto dos Concursos. Esta é a aula demonstrativa de Matemática e Raciocínio Lógico do curso voltado para o Senado Federal (Analista e Consultor Legislativo).

Meu nome é Guilherme Neves. Sou matemático e comecei a lecionar em cursos preparatórios para concursos aos 17 anos de idade, antes mesmo de iniciar o meu curso de Bacharelado em Matemática na UFPE. Minha vida como professor sempre esteve conectada com os concursos públicos nas matérias de índole matemática (matemática financeira, estatística e raciocínio lógico). Sou autor do livro Raciocínio Lógico Essencial – Editora Campus-Elsevier.

A banca organizadora do último concurso foi a FGV. Desta forma, daremos preferência na resolução de questões da referida banca e toda a teoria será explicada em minuciosos detalhes. Nosso curso seguirá o seguinte cronograma baseado no último edital.

Aula 0 (demonstrativa) Sequências numéricas. Progressões aritméticas. Aula 1 Progressão Geométrica. Números inteiros, racionais

e reais. Sistema legal de medidas. Razões e proporções. Regras de três simples e compostas.

Aula 2 Porcentagens. Equações e inequações de 1.° e de 2.° graus. Funções e gráficos.

Aula 3 Geometria Básica Aula 4 Juros simples e compostos Aula 5 Conceitos básicos de probabilidade e estatística.

Aula 6 Estruturas lógicas, lógica da argumentação, diagramas lógico. (parte 1)

Aula 7 Estruturas lógicas, lógica da argumentação, diagramas lógico. (parte 2)

2. Progressão Aritmética

Progressão aritmética é uma sequência formada por números e que obedece determinada lei de formação.

Considere uma sequência de números reais , , , … , .

Esta sequência será chamada de Progressão Aritmética (P.A.) se cada termo, a partir do segundo, for igual à soma do anterior com uma constante real .

O número real é denominado razão da progressão aritmética.



é o primeiro termo, é o segundo termo, e assim por diante. O termo de ordem n é chamado n-ésimo termo.

Exemplos:

Progressão Aritmética Primeiro termo ( ) Razão ( ) 2, 5, 8, 11, 14, … 2 3

14, 11, 8, 5, 2, 1, 4, … 14 32, 2, 2, 2, 2, … 2 0

Para calcular a razão de uma progressão aritmética basta calcular a diferença entre dois termos consecutivos.

No nosso primeiro exemplo,

No segundo exemplo,

5 2 8 5 3

No terceiro exemplo,

11 14 8 11 3

Classificação

2 2 2 2 0

i) A progressão aritmética é crescente se e somente se a razão é positiva. Este caso corresponde ao nosso primeiro exemplo.

ii) A progressão aritmética é decrescente se e somente se a razão é negativa. Este caso corresponde ao nosso segundo exemplo.

iii) A progressão aritmética é constante se e somente se razão é igual a 0. Este caso corresponde ao nosso terceiro exemplo.

Fórmula do Termo Geral

Considere a progressão aritmética , , , … , . Existe uma expressão que permite calcular qualquer termo da progressão conhecidos um termo qualquer e a razão.

Comecemos com a expressão básica que relaciona um termo qualquer com o primeiro termo e a razão.

. . 0

. . 0

. . 0

Resumo



1 ·

Em que é o primeiro termo, é a razão da progressão e é o termo de ordem n (n-ésimo termo).

Voltemos àquela P.A. do nosso exemplo inicial: (2, 5, 8, 11, 14,...).

Se quisermos calcular o próximo termo, basta efetuar 14 +3 = 17. E o próximo? 17 + 3 = 20. E assim podemos ir calculando termo a termo.

O problema surge assim: Qual o milésimo termo dessa progressão?

Se queremos calcular o milésimo termo, deveremos efetuar:

. 1.000 1 ·

. 999 ·

. 2 999 · 3

. 2.999

O empecilho desta fórmula é que ficamos “presos” a só poder calcular os termos da progressão se soubermos quem é o primeiro termo. Porém, podemos fazer uma modificação nesta fórmula de forma que conhecendo um termo qualquer da progressão e a razão, poderemos calcular qualquer outro termo da progressão.

Vejamos um exemplo: Suponha que o décimo termo ( ) de uma progressão aritmética seja igual a 25 e a razão seja igual a 4. Qual o vigésimo sétimo termo dessa progressão?

Se você prestar bem atenção à fórmula 1 · perceberá que não poderemos utilizá-la da forma como está disposta. Pois só podemos utilizá-la se soubermos o valor do primeiro termo.

Vamos fazer uma analogia. Imagine que você se encontra no décimo andar de um prédio e precisa subir para o vigésimo sétimo andar. Quantos andares é preciso subir? A resposta é 17 andares. É o mesmo que acontece com os termos de uma P.A.: Se “estamos” no décimo termo e preciso me deslocar até o vigésimo sétimo termo, é preciso avançar 17 termos (27 – 10 = 17). E para avançar cada termo, devemos adicionar a razão. Assim,

17 ·

25 17 · 4 93.



Ainda fazendo a analogia da P.A. com os andares de um prédio, para descer do vigésimo sétimo andar para o décimo andar, deveremos descer 17 andares. Na P.A. deveremos subtrair 17 vezes a razão (pois estamos voltando na P.A.).

17

Soma dos termos de uma Progressão Aritmética

93 17 · 4 25

Considere uma progressão aritmética de termos, a saber: , , , … ,

A soma dos termos desta progressão é igual a:

1 ·2

Exemplo: Qual a soma dos mil primeiros termos da progressão aritmética (2, 5, 8, 11, ...).

O primeiro passo é calcular o milésimo termo: este cálculo foi efetuado anteriormente e sabemos que . 2.999.

Assim, a soma dos mil primeiros termos é dada por:

·2

. . · 1.0002

. 2 2.999 · 1.000

2

. 2 2.999 · 1.000

2 1.500.500

Resolveremos agora questões envolvendo sequências numéricas em geral e questões sobre progressões aritméticas. Vale a pena notar que das grandes bancas que organizam concursos públicos, duas se destacam em relação à sequências numéricas: FGV e FCC. Vamos em frente.

01. (MPU 2007 FCC) Considere todos os números inteiros e positivos dispostos, sucessivamente, em linhas e colunas, da forma como é mostrado abaixo.



Se fosse possível completar essa tabela, então, na terceira coluna e na tricentésima quadragésima sexta linha apareceria o número

a) 2326 b) 2418 c) 2422 d) 3452 e) 3626

Resolução

Observe os números da terceira coluna: (3, 10, 17, ...). Temos uma progressão aritmética em que o primeiro termo é igual a 3 e a razão é igual a 7. Queremos calcular o tricentésimo quadragésimo sexto termo. Devemos utilizar a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética.

Assim, o termo de ordem 346 é dado por:

345 · 3 345 · 7 2.418

Letra B

02. (FNDE 2007 FGV) Observe a sequência de figuras abaixo.

Quando terminarmos a figura 20, o número total de bolinhas utilizadas terá sido de:

a) 720 b) 840 c) 780 d) 680 e) 880



Resolução

A figura 1 possui 4 bolinhas, a figura 2 possui 8 bolinhas, a figura 3 possui 12 bolinhas...

Temos uma P.A. com primeiro termo igual a 4 e razão igual a 4. Para calcularmos o total de bolinhas utilizadas ao terminar a figura 20, devemos calcular o vigésimo termo.

19 ·

Assim, a soma dos vinte primeiros termos da progressão é igual a

4 19 · 4 80

· 10 2

4 80 · 202 840

Letra B

03. (Senado Federal/2008/FGV) Você vê abaixo os números triangulares: 1, 3, 6, ... .

O 60º número triangular é:

a) 1830 b) 1885 c) 1891 d) 1953 e) 2016

Resolução

A FGV foi generosa em colocar a figura para que possamos entender o processo de formação dos números triangulares.

O primeiro número triangular é igual a 1.

O segundo número triangular é igual a 1 + 2, ou seja, 3.

O terceiro número triangular é igual a 1 + 2 + 3, ou seja, 6.

1 2 3

1 2 3 6



Para calcular o sexagésimo número triangular, devemos calcular a soma 1 2 3 4 58 59 60.

Trata-se da soma de uma progressão aritmética de 60 termos em que o primeiro termo é igual a 1 o último termo é igual a 60.

1 2 3 4 58 59 60 · 2

1 60 · 602 1.830

Letra A

04. (TCE/PB/2006/FCC) Usando palitos de fósforos inteiros é possível construir a seguinte sucessão de figuras compostas por triângulos:

25 1 24 3 24 2 51

Seguindo o mesmo padrão de construção, então, para obter uma figura composta de 25 triângulos, o total de palitos de fósforo que deverão ser usados é:

a) 45 b) 49 c) 51 d) 57 e) 61

Resolução

Observe a quantidade de palitos em cada figura 3,5,7,9, ... . Temos uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 3 e razão igual a 2. Temos que calcular o vigésimo quinto termo.

a a r= + ⋅ = + ⋅ = palitos.

Letra C

05. (Senado Federal/2008/FGV) Os números naturais são colocados em um quadro, organizados como se mostra abaixo:

O número 2008 está na coluna:



a) F b) B c) C d) I e) A

Resolução

Observe a lei de formação de cada uma das colunas.

A números que divididos por 9 deixam resto igual a 1.

C números que divididos por 9 deixam resto igual a 2.

E números que divididos por 9 deixam resto igual a 3.

G números que divididos por 9 deixam resto igual a 4.

I números que divididos por 9 deixam resto igual a 5.

H números que divididos por 9 deixam resto igual a 6.

F números que divididos por 9 deixam resto igual a 7.

D números que divididos por 9 deixam resto igual a 8.

B números que divididos por 9 deixam resto igual a 0.

Para descobrir em qual coluna encontra-se o número 2008, devemos dividir 2008 por 9.

2008 9 1 223

Como o resto da divisão é igual a 1, concluímos que o número 2008 está na coluna A.

Letra E

06. (CODESP 2010/FGV) Observe a sequência numérica a seguir: “13527911413151761921238...”. Mantida a lei de formação, os dois próximos algarismos na sequência serão

a) 25 b) 37 c) 27 d) 15 e) 05

Resolução



A lei de formação é a seguinte: escreva 3 números ímpares, escreva um número par. Observe:

1 3 5 2 7 9 11 4 13 15 17 6 19 21 23 8...

O próximo número ímpar a ser escrito é 25.

Letra A

07. (CAERN 2010/FGV) Considere a sequência de números definida abaixo:

- o primeiro termo vale 7;

- o segundo termo vale 4;

- do terceiro em diante, cada termo será a diferença entre os dois termos anteriores, sendo essa diferença sempre expressa com sinal positivo.

O 8º termo dessa sequência vale

a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) 0

Resolução

O primeiro termo é 7 e o segundo termo é 4.

7,4, …

Do terceiro em diante, cada termo será a diferença entre os dois termos anteriores, sendo essa diferença sempre expressa com sinal positivo.

O terceiro termo é 7 4 3.

7,4,3, …

O quarto termo é 4 3 1.

7,4,3,1, …

O quinto termo é 3 1 2.

7,4,3,1,2, …

O sexto termo é 2 1 1.



7,4,3,1,2,1 …

O sétimo termo é 2 1 1.

7,4,3,1,2,1,1, …

O oitavo termo é 1 1 0.

7,4,3,1,2,1,1,0 …

Letra E

08. (FNDE/2007/FGV) Na sequência numérica 3, 10, 19, 30, 43, 58, ... , o termo seguinte ao 58 é:

a) 75 b) 77 c) 76 d) 78 e) 79

Resolução

3 ,10 ,19 ,30 ,43 , 58,... +7 +9 +11 +13 +15

Para manter o padrão, devemos somar 17 ao número 58. Assim, o próximo número é 58 + 17 = 75. Letra A

09. (FNDE/2007/FGV) Na sequência de algarismos 1,2,3,4,5,4,3,2,1,2,3,4,5,4,3,2,1,2,3, ... , o 2007º algarismo é:

a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 3

Resolução

Observe a periodicidade da sequência acima. Há uma repetição dos algarismos 1,2,3,4,5,4,3,2, retornando novamente para o algarismo 1. Temos então uma repetição a cada 8 algarismos. Temos que 2007 250 8 7= ⋅ + (obtém-se este resultado dividindo 2007 por 8). Isso quer dizer que o grupo 1,2,3,4,5,4,3,2 se repete 250 vezes e ainda restam 7 algarismos. Os próximos 7 algarismos são 1,2,3,4,5,4,3. Portanto o 2007º algarismo é 3.

Letra E



10. (EBDA 2006/CETRO) As formigas, quanto mais próximo o inverno, mais elas trabalham. Em uma colônia, a cada dia que passa, elas trazem 3 folhas a mais que o dia anterior, que servirão de alimento para todas. No primeiro dia as formigas trouxeram 20 folhas, no segundo dia, 23 e assim por diante até o trigésimo dia, então o total de folhas armazenadas por essa colônia, foi de:

(A) 920 (B) 905 (C) 1.905 (D) 1.920 (E) 1.915

Resolução

A quantidade de folhas trazidas pelas formigas ao longo dos dias formam uma progressão aritmética de razão 3.

20, 23, 26, …

O problema pede o total de folhas armazenadas por essa colônia até o trigésimo dia. Ou seja, queremos saber a soma dos 30 primeiros termos desta progressão aritmética. Para isto, devemos calcular o trigésimo termo.

29 ·

Assim, a soma dos trinta primeiros termos será

20 29 · 3 107

· 30 2

20 107 · 302 1.905

Letra C

11. (IMBEL 2004/CETRO) O 24º termo da P.A. (1/2, 2, 7/2,. ....) é

(A) 38 (B) 28 (C) 45 (D) 35 (E) 73/2

Resolução

O primeiro passo é calcular a razão da progressão. Para isto,devemos calcular a diferença entre dois termos consecutivos.

2 12

4 12

32



Sabemos que o primeiro termo é igual a 1/2 e a razão é igual a 3/2. Queremos calcular o 24º termo.

Do 1º ao 24º termo deveremos avançar 23 termos. Assim,

23 ·

12 23 ·

3 2

12

692

702 35

Letra D

12. (Pref. Municipal de Barueri 2006/CETRO) A distância entre as placas na estrada da figura abaixo é sempre a mesma. Uma das alternativas apresenta valores corretos e organização em ordem crescente, no distanciamento entre as placas de quilometragens indicadas, que podem substituir as letras A, B e C observadas no desenho, assinale-a.

a) km 23, km 25 e km 10. b) km 21,25 ; km 21,5 e km 220/12 c) km 85/4 ; km 21,5 e km 261/12 d) km 85/4 ; km 21 e km 200/10 e) km 21, km 22 e km 23.

Resolução

Se a distância entre as placas na estrada da figura é a mesma, então os valores que serão escritos nas placas formarão uma Progressão Aritmética crescente.

O primeiro termo da progressão é igual a 21 e o quinto termo da progressão é igual a 22.

Sabemos que

4 ·

Dessa forma,

22 21 4 ·

1 4 ·



Assim, a progressão aritmética será:

0,25

(21; 21,25; 21,5; 21,75; 22)

A resposta é a alternativa c) km 85/4 ; km 21,5 e km 261/12, pois

85/4 = 21,25 e 261/12=21,75.

Letra C

13. (TCE PB 2006 FCC) Considere que a seguinte sequência de figuras foi construída segundo determinado padrão.

Mantido tal padrão, o total de pontos da figura de número 25 deverá ser igual a

a) 97 b) 99 c) 101 d) 103 e) 105

Resolução

A primeira figura possui 5 pontos, a segunda figura possui 9 pontos, a terceira figura possui 13 pontos, e assim sucessivamente. Temos uma progressão aritmética com primeiro termos igual a 5 e razão igual a 4.

O vigésimo quinto termo é dado por:

24 · 5 24 · 4 101

Letra C

14. (TRT – SC 2005/FEPESE) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bola de gude; então pegou sua coleção de bolas de gude e formou uma sequência de “T” (a inicial de seu nome), conforme a figura



Supondo que o guri conseguiu formar 10 “T” completos, pode-se, seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele possuía: a) exatamente 41 bolas de gude. b) menos de 220 bolas de gude. c) pelo menos 230 bolas de gude. d) mais de 300 bolas de gude. e) exatamente 300 bolas de gude.

Resolução

A primeira figura possui 5 pontos, a segunda figura possui 9 pontos, a terceira figura possui 13 pontos, e assim sucessivamente. Temos uma progressão aritmética com primeiro termos igual a 5 e razão igual a 4.

Quantas bolinhas Tisiu utilizou ao completar o décimo T?

Devemos somar os 10 primeiros termos desta progressão aritmética.

9 ·

Dessa forma, a soma dos dez primeiros termos da P.A. é dada por:

5 9 · 4 41

· 10 2

5 41 · 102 230

Como o problema não afirmou que ele utilizou TODAS as suas bolinhas de gude, podemos afirmar que Tisiu tem NO MÍNIMO 230 bolas de gude.

Letra C

15. (Agente Administrativo DNOCS 2010/FCC) Os termos da sequência (12, 15, 9, 18, 21, 15, 30, 33, 27, 54, 57, . . .) são sucessivamente obtidos através de uma lei de formação. Se x e y são, respectivamente, o décimo terceiro e o décimo quarto termos dessa sequência, então: (A) x . y = 1.530 (B) y = x + 3 (C) x = y + 3



(D) y = 2x (E) x/y = 33/34

Resolução

Observe que o raciocínio é o seguinte: Adiciona-se 3, subtrai-se 6, multiplica-se por 2.

O décimo terceiro termo é 102 e o décimo quarto termo é 105.

Letra B

16. (Agente de Estação – Metro – SP 2007/FCC) Considere que os termos da sequência (820, 824, 412, 416, 208, 212, 106, ...) são obtidos sucessivamente segundo determinado padrão. Mantido esse padrão, obtêm-se o décimo e o décimo primeiro termos dessa seqüência, cuja soma é um número compreendido entre (A) 0 e 40. (B) 40 e 80. (C) 80 e 120. (D) 120 e 160. (E) 160 e 200.

Resolução



Observe que utilizamos o seguinte raciocínio: adiciona-se 4, divide-se por 2.

,

O décimo termo é 59 e o décimo primeiro termo é 29,5. A soma destes termos é igual a 88,5.

Letra C

17. (PM-BA 2009/FCC) Os termos da sequência (25; 22; 11; 33; 30; 15; 45; 42; 21; 63; . . .) são obtidos segundo um determinado padrão. De acordo com esse padrão o décimo terceiro termo da sequência deverá ser um número (A) não inteiro. (B) ímpar. (C) maior do que 80. (D) divisível por 4. (E) múltiplo de 11.

Resolução

O padrão adota é o seguinte: subtrai-se 3, divide-se por 2 e multiplica-se por 3.



Como 60 é divisível por 4, a resposta é a letra D.

18. (AGPP – Pref. de São Paulo 2008/FCC) Considere a seguinte seqüência de igualdades:

35 × 35 = 1 225 335 × 335 = 112 225

3335 × 3 335 = 11 122 225 33 335 × 33 335 = 1 111 222 225

. . . Com base na análise dos termos dessa seqüência, é correto afirmar que a soma dos algarismos do produto 33 333 335 × 33 333 335 é (A) 28 (B) 29 (C) 30 (D) 31 (E) 33

Resolução

Seguindo o padrão, observa-se que:

i) O último algarismo é 5. ii) A quantidade de algarismos 1 é igual a quantidade de algarismos 3. iii) A quantidade de algarismos 2 é uma unidade maior que a quantidade

de algarismos 1. 33 333 335 × 33 333 335

Como há 7 algarismos 3, concluímos que há 7 algarismos 1 e 8 algarismos 2. Portanto:

33 333 335 × 33 333 335 = 1.111.111.222.222.225

A soma dos algarismos é igual a 7 1 8 2 5 7 16 5 28

Letra A

19. (TCE-SP 2010/FCC) Considere que os números inteiros e positivos que aparecem no quadro abaixo foram dispostos segundo determinado critério.



Completando corretamente esse quadro de acordo com tal critério, a soma dos números que estão faltando é (A) maior que 19. (B) 19. (C) 16. (D) 14. (E) menor que 14.

Resolução

Esta é uma questão “de olho”. Quem perceber que o raciocínio está nas diagonais, rapidamente resolve a questão.

Continuando, teremos:



A soma dos números que estão faltando é: 1 2 3 4 1 2 3 1 2 1 20

Letra A



3. Relação das questões comentadas

01. (MPU 2007 FCC) Considere todos os números inteiros e positivos dispostos, sucessivamente, em linhas e colunas, da forma como é mostrado abaixo.

Se fosse possível completar essa tabela, então, na terceira coluna e na tricentésima quadragésima sexta linha apareceria o número

a) 2326 b) 2418 c) 2422 d) 3452 e) 3626

02. (FNDE 2007 FGV) Observe a sequência de figuras abaixo.

Quando terminarmos a figura 20, o número total de bolinhas utilizadas terá sido de:

a) 720 b) 840 c) 780 d) 680 e) 880



03. (Senado Federal/2008/FGV) Você vê abaixo os números triangulares: 1, 3, 6, ... .

O 60º número triangular é:

a) 1830 b) 1885 c) 1891 d) 1953 e) 2016

04. (TCE/PB/2006/FCC) Usando palitos de fósforos inteiros é possível construir a seguinte sucessão de figuras compostas por triângulos:

Seguindo o mesmo padrão de construção, então, para obter uma figura composta de 25 triângulos, o total de palitos de fósforo que deverão ser usados é:

a) 45 b) 49 c) 51 d) 57 e) 61

05. (Senado Federal/2008/FGV) Os números naturais são colocados em um quadro, organizados como se mostra abaixo:

O número 2008 está na coluna:

a) F b) B c) C d) I e) A



06. (CODESP 2010/FGV) Observe a sequência numérica a seguir: “13527911413151761921238...”. Mantida a lei de formação, os dois próximos algarismos na sequência serão

a) 25 b) 37 c) 27 d) 15 e) 05

07. (CAERN 2010/FGV) Considere a sequência de números definida abaixo:

- o primeiro termo vale 7;

- o segundo termo vale 4;

- do terceiro em diante, cada termo será a diferença entre os dois termos anteriores, sendo essa diferença sempre expressa com sinal positivo.

O 8º termo dessa sequência vale

a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) 0

08. (FNDE/2007/FGV) Na sequência numérica 3, 10, 19, 30, 43, 58, ... , o termo seguinte ao 58 é:

a) 75 b) 77 c) 76 d) 78 e) 79

09. (FNDE/2007/FGV) Na sequência de algarismos 1,2,3,4,5,4,3,2,1,2,3,4,5,4,3,2,1,2,3, ... , o 2007º algarismo é:

a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 3



10. (EBDA 2006/CETRO) As formigas, quanto mais próximo o inverno, mais elas trabalham. Em uma colônia, a cada dia que passa, elas trazem 3 folhas a mais que o dia anterior, que servirão de alimento para todas. No primeiro dia as formigas trouxeram 20 folhas, no segundo dia, 23 e assim por diante até o tri-gésimo dia, então o total de folhas armazenadas por essa colônia, foi de:

(A) 920 (B) 905 (C) 1.905 (D) 1.920 (E) 1.915

11. (IMBEL 2004/CETRO) O 24º termo da P.A. (1/2, 2, 7/2,. ....) é

(A) 38 (B) 28 (C) 45 (D) 35 (E) 73/2

12. (Pref. Municipal de Barueri 2006/CETRO) A distância entre as placas na estrada da figura abaixo é sempre a mesma. Uma das alternativas apresenta valores corretos e organização em ordem crescente, no distanciamento entre as placas de quilometragens indicadas, que podem substituir as letras A, B e C observadas no desenho, assinale-a.

a) km 23, km 25 e km 10. b) km 21,25 ; km 21,5 e km 220/12 c) km 85/4 ; km 21,5 e km 261/12 d) km 85/4 ; km 21 e km 200/10 e) km 21, km 22 e km 23.

13. (TCE PB 2006 FCC) Considere que a seguinte sequência de figuras foi construída segundo determinado padrão.

Mantido tal padrão, o total de pontos da figura de número 25 deverá ser igual a



a) 97 b) 99 c) 101 d) 103 e) 105

14. (TRT – SC 2005/FEPESE) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bola de gude; então pegou sua coleção de bolas de gude e formou uma sequência de “T” (a inicial de seu nome), conforme a figura

Supondo que o guri conseguiu formar 10 “T” completos, pode-se, seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele possuía: a) exatamente 41 bolas de gude. b) menos de 220 bolas de gude. c) pelo menos 230 bolas de gude. d) mais de 300 bolas de gude. e) exatamente 300 bolas de gude.

15. (Agente Administrativo DNOCS 2010/FCC) Os termos da sequência (12, 15, 9, 18, 21, 15, 30, 33, 27, 54, 57, . . .) são sucessivamente obtidos através de uma lei de formação. Se x e y são, respectivamente, o décimo terceiro e o décimo quarto termos dessa sequência, então: (A) x . y = 1.530 (B) y = x + 3 (C) x = y + 3 (D) y = 2x (E) x/y = 33/34

16. (Agente de Estação – Metro – SP 2007/FCC) Considere que os termos da sequência (820, 824, 412, 416, 208, 212, 106, ...) são obtidos sucessivamente segundo determinado padrão. Mantido esse padrão, obtêm-se o décimo e o décimo primeiro termos dessa seqüência, cuja soma é um número compreendido entre (A) 0 e 40. (B) 40 e 80. (C) 80 e 120. (D) 120 e 160. (E) 160 e 200.



17. (PM-BA 2009/FCC) Os termos da sequência (25; 22; 11; 33; 30; 15; 45; 42; 21; 63; . . .) são obtidos segundo um determinado padrão. De acordo com esse padrão o décimo terceiro termo da sequência deverá ser um número (A) não inteiro. (B) ímpar. (C) maior do que 80. (D) divisível por 4. (E) múltiplo de 11.

18. (AGPP – Pref. de São Paulo 2008/FCC) Considere a seguinte seqüência de igualdades:

35 × 35 = 1 225 335 × 335 = 112 225

3335 × 3 335 = 11 122 225 33 335 × 33 335 = 1 111 222 225

. . . Com base na análise dos termos dessa seqüência, é correto afirmar que a soma dos algarismos do produto 33 333 335 × 33 333 335 é (A) 28 (B) 29 (C) 30 (D) 31 (E) 33

19. (TCE-SP 2010/FCC) Considere que os números inteiros e positivos que aparecem no quadro abaixo foram dispostos segundo determinado critério.

Completando corretamente esse quadro de acordo com tal critério, a soma dos números que estão faltando é (A) maior que 19. (B) 19. (C) 16. (D) 14. (E) menor que 14.



4. Gabaritos

01. B02. B03. A04. C05. E06. A07. E08. A09. E10. C11. D12. C13. C14. C15. B16. C17. D18. A19. A


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Aula 2 – Senado Federal 1. Apresentação ........................................................................................................................ 2

2. Introdução ............................................................................................................................. 2

3. Juros ...................................................................................................................................... 3

4. Formas de Representação da Taxa de Juros ......................................................................... 4

5. Elementos da Operação de Juros .......................................................................................... 5

6. Regimes de Capitalização ...................................................................................................... 6

7. Capitalização Simples ............................................................................................................ 6

8. Capitalização Composta ........................................................................................................ 7

9. Juros Simples ......................................................................................................................... 8

10. Homogeneização entre a taxa e o prazo de capitalização .................................................. 10

11. Taxas Proporcionais ............................................................................................................ 10

12. Juros Simples Ordinários (Comerciais) e Exatos .................................................................. 12

13. Prazo, Taxa e Capital Médios .............................................................................................. 39

14. Juros Compostos ................................................................................................................. 47

Fórmula do Montante Composto ............................................................................................ 48

Comparação entre as Capitalizações Simples e Composta ............................................. 48

Convenção Linear e Convenção Exponencial ..................................................................... 49

15. Relação das questões comentadas ..................................................................................... 55

16. Gabaritos ............................................................................................................................. 62



1. Apresentação

Olá pessoal!

Bem vindo ao nosso curso de Matemática e Raciocínio Lógico para o Senado Federal.

Uma pequena modificação será feita em nosso cronograma.

Doravante, seguiremos o seguinte:

Aula 0 (demonstrativa) Sequências numéricas. Progressões aritméticas. Aula 1 Juros Simples e Compostos Aula 2 Progressão Geométrica. Números inteiros, racionais

e reais. Sistema legal de medidas. Razões e proporções. Regras de três simples e compostas.

Aula 3 Porcentagens. Equações e inequações de 1.° e de 2.° graus. Funções e gráficos.

Aula 4 Geometria Básica Aula 5 Conceitos básicos de probabilidade e estatística.

Aula 6 Estruturas lógicas, lógica da argumentação,

diagramas lógico. (parte 1) Aula 7 Estruturas lógicas, lógica da argumentação,

diagramas lógico. (parte 2)

2. Introdução

A Matemática Financeira é uma ciência que não se preocupa apenas com o cálculo dos juros simples e compostos. Esta é a função de um dos capítulos iniciais da matemática comercial. A Matemática Financeira é o elo entre os métodos matemáticos e os fenômenos financeiro-econômicos. É uma ciência que se preocupa com a construção de modelos gerais, representação de variáveis monetárias na linha do tempo. Matemática Financeira é a disciplina que estuda o entendimento dos modelos de aplicação, avaliação de investimentos e captação de recursos.

A operação básica da matemática financeira é a operação de empréstimo.

Alguém dispõe de certo capital, empresta-o por certo período de tempo. Após esse período, recebe o seu capital acrescido de uma remuneração pelo empréstimo. A essa remuneração denominamos juro.



Existem diversas razões que justificam o pagamento dos juros na operação de empréstimo. O primeiro deles é o custo de oportunidade. Obviamente, quando alguém disponibiliza certa quantia para ser emprestada, deixará de investir o capital em outros projetos. Portanto, o não-uso deste capital deverá ser remunerado.

Deve-se levar em consideração a perda do poder de compra na linha do tempo. Com o aumento generalizado de preços causado pela inflação, quem empresta o dinheiro quer preservar o poder de compra. O elemento que será responsável por preservar o valor do dinheiro no tempo é o juro.

Os bancos em geral têm despesas administrativas e obviamente têm o interesse de repassar essas despesas para os devedores.

Um aspecto de destaque é o de considerar os valores em seu momento no tempo. A valoração que fazemos de algo está diretamente associada ao momento em que ocorre.

3. Juros

O juro é o dinheiro pago pelo dinheiro emprestado. É o custo do capital de terceiros colocado à nossa disposição. Alguém que dispõe de um capital C (denominado principal, capital inicial, valor atual), empresta-o a outrem por certo período de tempo, e após esse período recebe o seu capital de volta. Esse capital ao ser devolvido deverá ser remunerado. Essa remuneração é chamada de juro. Ao emprestarmos uma quantia em dinheiro, por determinado período de tempo, costumamos cobrar o juro, de tal modo que, no fim do prazo estipulado, disponhamos não só da quantia emprestada, como também de um acréscimo que compense a não-utilização do capital financeiro, por nossa parte, durante o período em que foi emprestado. A soma capital + juros é chamada de montante e será representada por M.

Os juros são fixados através de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: dia, mês, bimestre, trimestre, semestre, ano,... .

Utilizamos, usualmente, a letra i para denotar a taxa de juros. A letra i é a inicial da palavra inglesa interest, que significa juros.

O elemento que faz a equivalência dos valores ao longo do tempo é o juro, que representa a remuneração do capital.



Exemplo:

24% 24% . .

6% 6% . .

3,5% 3,5% . .

Veremos ao longo deste curso, que não é permitido em Matemática Financeira operar com quantias em épocas diferentes.

O objetivo da Matemática Financeira é permitir a comparação de valores em diversas datas de pagamento ou recebimento e o elemento chave para a comparação destes valores é a taxa de juros.

Imagine que o Banco X cobra uma taxa de 6% ao mês no uso do cheque especial. E em determinado mês, João precisou pegar emprestado do banco R$ 2.000,00. Que valor João deve depositar na sua conta daqui a um mês para saldar a dívida?

Vimos anteriormente que ao pegar alguma quantia emprestada, além de devolver o principal, deve-se remunerar o capital.

E quanto será a remuneração? Quem responderá essa pergunta é a taxa de juros.

Se a taxa de juros é de 6% ao mês e a quantia emprestada é de R$ 2.000,00, então para saldar a dívida deve-se pagar os R$ 2.000,00 e mais os juros cobrados pelo banco. O juro que deverá ser pago daqui a um mês será 6% de R$ 2.000,00.

Ou seja,

6% 2.0006

100 · 2.000 120

O valor total que João deve depositar na sua conta para saldar a dívida é igual a 2.000+120=2.120.

4. Formas de Representação da Taxa de Juros

É importante observar que no cálculo anterior, a taxa de juros 6% foi transformada em fração decimal para permitir a operação. Assim, as taxas de juros terão duas representações:

i) Sob a forma de porcentagem (taxa percentual): 6% ao ano = 6% a.a.



ii) Sob a forma de fração decimal (taxa unitária): 0,06

A representação em percentagem é a comumente utilizada; entretanto, todos os cálculos e desenvolvimentos de fórmulas serão feitos através da notação em fração decimal.

5. Elementos da Operação de Juros

Na situação descrita acima, podemos perceber os principais elementos de uma operação de juros.

Imagine que o Banco X cobra uma taxa de 6% ao mês no uso do cheque especial. E em determinado mês, João precisou pegar emprestado do banco R$ 2.000,00. Que valor João deve depositar na sua conta daqui a um mês para saldar a dívida?

Capital (C) → Pode ser chamado de principal, capital inicial, valor presente, valor atual, montante inicial, valor de aquisição, valor à vista. No nosso exemplo, é o dinheiro que João pegou emprestado do banco. Temos então, no nosso problema, que o capital é igual a R$ 2.000,00.

Juros (J) → Também chamado de rendimento. Quando uma pessoa empresta a outra um valor monetário, durante certo tempo, é cobrado um valor pelo uso do dinheiro. Esse valor é denominado juro.

Taxa de juros (i) → A taxa de juros representa os juros numa certa unidade de tempo. A taxa obrigatoriamente deverá explicitar a unidade de tempo. Por exemplo, se João vai ao banco tomar um empréstimo e o gerente diz:

- Ok! O seu empréstimo foi liberado! E a taxa de juros que nós cobramos é de apenas 8%.

Ora, a informação desse gerente está incompleta. Pois se os juros forem de 8% ao ano... Ótimo! E se essa taxa de juros for ao dia? PÉSSIMO! Portanto, perceba que a indicação da unidade da taxa de juros é FUNDAMENTAL.

Tempo (n) → Quando falamos em tempo, leia-se NÚMERO DE PERÍODOS. No nosso exemplo, se João ficasse devendo ao banco por 3 meses, o número de períodos seria igual a 3. Agora, imagine a seguinte situação. Toma-se um empréstimo com a taxa de 7,5% a.b. (ao bimestre). Se João demorar 6 meses para efetuar o pagamento da dívida, o seu “n”, ou seja, o seu tempo não será igual a 6. O seu tempo será igual a 3!!! Pois a taxa é bimestral, e em um



período de 6 meses temos 3 bimestres. No nosso exemplo, a taxa era mensal e João usou o cheque especial durante apenas um mês.

Montante (M) → Pode ser chamado de montante, montante final, valor futuro. É o valor de resgate. Obviamente o montante é maior do que o capital inicial. O montante é, em suma, o capital mais os juros.

Podemos então escrever que M = C + J.

As operações de empréstimo são feitas geralmente por intermédio de um banco que, de um lado, capta dinheiro de interessados em aplicar seus recursos e, de outro, empresta esse dinheiro aos tomadores interessados no empréstimo.

6. Regimes de Capitalização

Denominamos regimes de capitalização aos diferentes processos como os juros são gerados e agregados ao capital aplicado.

Os juros são normalmente classificados em simples ou compostos, dependendo do processo de cálculo utilizado. Ou seja, se um capital for aplicado a certa taxa por período, por vários intervalos ou períodos de tempo, o valor do montante pode ser calculado segundo duas convenções de cálculo, chamadas de regimes de capitalização: capitalização simples (juros simples) e capitalização composta (juros compostos). Vejamos dois exemplos para entender os esses dois tipos de capitalização.

7. Capitalização Simples

De acordo com esse regime, os juros gerados em cada período são sempre os mesmos.

Nessa hipótese, os juros pagos de cada período são calculados sempre em função do capital inicial empregado. Vejamos um exemplo numérico visando a fixação desse conceito.

Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros simples durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de aplicação.

Como a própria leitura da taxa indica: 20% ao ano (vinte por cento ao ano). Cada ano, de juros, receberei 20%. 20% de quem? Do capital aplicado – R$



10.000,00. A taxa de juros, no regime simples, sempre incide sobre o capital inicial.

Os juros gerados no primeiro ano são · 10.000 2.000.

Os juros gerados no segundo ano são · 10.000 2.000.

Os juros gerados no terceiro ano são · 10.000 2.000.

Os juros gerados no quarto ano são · 10.000 2.000.

Os juros gerados no quinto ano são · 10.000 2.000.

Na CAPITALIZAÇÃO SIMPLES os juros gerados em cada período são sempre os mesmos, ou seja, a taxa incide apenas sobre o capital inicial. Dessa forma, o montante após os 5 anos vale R$ 10.000,00 (capital aplicado) mais 5 vezes R$ 2.000,00 (juros). Conclusão: o montante é igual a R$ 20.000,00 (lembre-se que o montante é o capital inicial mais o juro).

8. Capitalização Composta

No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo período. Daí que surge a expressão “juros sobre juros”.

Imagine a seguinte situação: Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros compostos durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de cada aplicação.

Os juros gerados no primeiro ano são · 10.000 2.000 e o montante após o primeiro ano é 10.000 + 2.000 = 12.000.

Os juros gerados no segundo ano são · 12.000 2.400 e o montante após o segundo ano é 12.000+2.400=14.400.

Os juros gerados no terceiro ano são · 14.400 2.880 e o montante após o terceiro ano é 14.400 + 2.880 = 17.280.

Os juros gerados no quarto ano são · 17.280 3.456 e o montante após o quarto ano é 17.280 + 3.456 = 20.736.



Os juros gerados no quinto ano são · 20.736 4.147,20 e o montante após o quinto ano é 20.736 + 4.147,20 = 24.883,20.

Observação: Se a operação de juros for efetuada em apenas um período, o montante será igual nos dois regimes. No nosso exemplo, se parássemos a aplicação no primeiro mês, teríamos um montante de R$ 12.000,00 nos dois regimes de capitalização.

Observe ainda que o dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do que a juros simples.

9. Juros Simples

Como vimos anteriormente, juros simples são aqueles calculados sempre sobre o capital inicial, sem incorporar à sua base de cálculo os juros auferidos nos períodos anteriores. Ou seja, os juros não são capitalizados.

Vejamos outro exemplo para entendermos bem a fórmula de juros simples.

Imagine que você aplique R$ 5.000,00 à taxa de juros simples de 3% ao mês. Então, ao final do primeiro mês de aplicação, o juro produzido será:

3% 5.0003

100 · 5.000 150

Ou seja, para calcular o juro produzido no primeiro mês, basta multiplicar a taxa de juros pelo capital inicial. Como, sob o regime de capitalização simples, os juros produzidos em cada período são sempre iguais, podemos concluir que, se esse capital fosse aplicado por 10 meses, produziria juros de:

150 x 10 = 1.500.

A partir desse exemplo, é fácil compreender a fórmula para o cálculo do juro simples.

Adotaremos as seguintes notações:

O juro produzido no primeiro período de aplicação é igual ao produto do

C → Capital inicial i → taxa de juros simples n → tempo de aplicação J → juro simples produzido durante o período de aplicação. M → montante ao final da aplicação



capital inicial (C) pela taxa de juros (i), como foi feito no nosso exemplo. E, consequentemente, o juro produzido em n períodos de aplicação será:

J C i n= ⋅ ⋅ (1)

E, lembrando também que o montante é a soma do capital com os juros produzidos, temos a seguinte fórmula abaixo:

M C J= + (2)

Substituindo a fórmula (1) na fórmula (2), temos então a seguinte expressão:

M C C i n= + ⋅ ⋅

Em álgebra, C significa 1 C⋅ , portanto,

1M C C i n= ⋅ + ⋅ ⋅

Colocando o C em evidência,

(1 )M C i n= ⋅ + ⋅ (3)

É de suma importância memorizar as três fórmulas abaixo.

J C i n= ⋅ ⋅ (1)

M C J= + (2)

(1 )M C i n= ⋅ + ⋅ (3)

E devemos estar atentos ao seguinte fato:

Deve-se utilizar a taxa na forma unitária. Assim, por exemplo, se a taxa for de 30% , utilizamos 0,30.

J



10. Homogeneização entre a taxa e o prazo de capitalização

A taxa de juros deverá estar explicitada na mesma unidade de tempo apresentada pelo prazo de capitalização. Ou seja, deve existir concordância entre as unidades da taxa de juros e do tempo.

Assim, se a taxa for mensal, o tempo deverá ser expresso em meses;

Se a taxa for bimestral, o tempo deverá ser expresso em bimestres;

E assim sucessivamente.

Exemplos

i=3% a.m. n=150 dias.

A taxa está expressa em meses e o tempo em dias. Para que haja concordância entre as unidades, deveremos escolher uma unidade comum e transformar um dos objetos.

O mês comercial é de 30 dias. Portanto, para transformar o tempo de 150 dias para meses, basta dividir por 30.

i=3% a.m.

n= 5 meses

Para efetuar a transformação da taxa, no regime de juros simples, utilizaremos o conceito de taxas proporcionais.

Transformar a taxa significa encontrar uma taxa equivalente, ou seja, que para um mesmo período, os juros gerados sejam o mesmo. No regime de capitalização simples, taxas proporcionais são equivalentes.

11. Taxas Proporcionais

Duas taxas são proporcionais quando a razão entre elas é igual à razão entre os respectivos períodos expressos na mesma unidade de tempo.

A definição de taxas proporcionais não está condicionada ao regime de capitalização. Portanto, teremos taxas proporcionais tanto no regime de capitalização simples quanto no regime de capitalização composta. O fato importante é que no regime de capitalização simples as taxas proporcionais são equivalentes.



Simbolicamente, dizemos que a taxa referente ao período é proporcional à taxa referente ao período se

Para exemplificar, no regime de juros simples, um capital aplicado por 1 ano (12 meses) a uma taxa de 36% ao ano produz o mesmo montante quando o mesmo capital é aplicado a uma taxa de 3% ao mês por 12 meses.

Neste exemplo,dizemos que 3% ao mês é proporcional a 36% ao ano, pois como 1 ano é o mesmo que 12 meses, tem-se:

2%24%

1 ê12

Poderíamos ter adotado a seguinte linha de raciocínio. Como 1 ano é 12 vezes maior do que o período de 1 mês, então a taxa anual proporcional é 12 vezes maior do que a taxa mensal.

Exemplo: Determinar a taxa diária proporcional a 3% ao mês.

Aplicando a definição de taxas proporcionais (lembre-se que o mês comercial possui 30 dias).

30 1

3% 30 1

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

· 30 3% · 1

3%30 0,1%

Poderíamos ter adotado a seguinte linha de raciocínio. Como 1 dia é 30 vezes menor do que o período de 1 mês, então a taxa diária proporcional é 30 vezes menor.

303%30 0,1%



12. Juros Simples Ordinários (Comerciais) e Exatos

Na prática, usualmente, é adotado o juro simples ordinário (utiliza o ano comercial com 360 dias e meses com 30 dias). O juro simples exato (utiliza o ano civil com 365 dias) somente é usado quando para isso for expresso explicitamente na operação.

Os juros são considerados ordinários ou comerciais quando utilizam o ano comercial para estabelecer a homogeneidade entre a taxa e o tempo. Logo, em juros ordinários, consideramos que todos os meses têm 30 dias e o ano tem 360 dias. Juros exatos são aqueles em que se utiliza o calendário civil para verificarmos a quantidade de dias entre duas datas. Logo, quando o mês tem 31 dias deveremos considerar o total e não 30 dias. Para facilitar o cálculo de juros nestas modalidades, é fundamental efetuarmos o cálculo com taxa anual e o tempo expresso em dias. Para calcular a taxa equivalente diária devemos dividir a taxa anual pelo número total de dias do ano comercial (360 dias) ou ano exato (365 ou 366 dias). Devemos ficar atentos ao fato de o ano ser ou não bissexto no caso de juros exatos. Podemos “criar” dois processos mnemônicos para saber quais anos são bissextos ou não. Para começar, os anos bissextos obrigatoriamente são pares. Um ano é dito bissexto se for múltiplo de 4, exceto os que são múltiplos de 100, a não ser que sejam múltiplos de 400. Dica: Para verificar se um número é divisível por 4 basta dividir os últimos dois dígitos do número por 4. Assim, 1998 não é divisível por 4 e, portanto, não é bissexto. Uma maneira mais “lúdica” de memorizar é o seguinte: Os anos pares ou são anos de Olimpíada ou são anos de Copa do Mundo. Os anos bissextos são os anos de Olimpíadas!!! Como em 1998 houve a Copa do Mundo da França, o ano não foi bissexto.



01. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) O valor a ser pago por um empréstimo de R$ 4.500,00, a uma taxa de juros simples de 0,5% ao dia, ao final de 78 dias é de: a) R$ 6.255,00 b) R$ 5.500,00 c) R$ 6.500,00 d) R$ 4.855,00 e) R$ 4.675,00 Resolução Temos todas as informações necessárias para o cálculo dos juros simples: o capital, a taxa e o tempo. Além disso, a taxa e o tempo já conformidade em relação à unidade. Lembremos a fórmula de juros simples:

· ·

Temos que o capital é igual a R$ 4.500,00, a taxa é igual a 0,5% 0,5/100 0,005 ao dia e o tempo é igual a 78 dias.

4.500 · 0,005 · 78 1.755

O valor a ser pago é o montante (capital + juros).

4.500 1.755

6.255 Letra A 02. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um capital é aplicado durante 120 dias a uma taxa de juros simples ordinários de 15% ao ano, produzindo um montante de R$ 8.400,00. Nestas condições, o capital aplicado, desprezando os centavos é:

a) R$ 6.500,00 b) R$ 7.850,00 c) R$ 8.017,00 d) R$ 8.820,00 e) R$ 8.000,00

Resolução As unidades de tempo de referência do período de aplicação e da taxa devem ser iguais, porém a taxa de juros e o período de aplicação não estão expressos



na mesma unidade. Devemos traçar a nossa estratégia: escolher uma unidade comum para a taxa e para o período de capitalização.

Lembre-se que juro ordinário é um sinônimo de juro comercial. Desta forma, consideramos que cada mês tem 30 dias e o ano possui 360 (12 x 30) dias.

Ora, se o ano comercial possui 360 dias, então os 120 dias do problema representam:

120360

13

Agora temos homogeneidade entre as unidades. A taxa de juros é igual a 15% = 0,15 ao ano e o tempo de aplicação é igual a 1/3 do ano. Lembremos a fórmula do montante simples:

· 1 ·

O montante fornecido é igual a R$ 8.400,00.

8.400 · 1 0,15 ·13

8.400 · 1 0,05

8.400 · 1,05

8.4001,05 8.000

Desta forma, o capital aplicado é igual a R$ 8.000,00. Letra E 03. (Vestibular FGV 2002) Um capital aplicado a juros simples, à taxa de 2,5% ao mês, triplica em:

a) 75 meses b) 80 meses c) 85 meses d) 90 meses e) 95 meses

Resolução

Dizer que um capital triplica é o mesmo que dizer que o montante final é igual ao triplo do capital inicial.

3 ·



Lembrando que o montante é a soma do juro com o capital:

3 ·

2 · Vamos substituir na expressão acima a fórmula de juros simples.

· · 2 ·

· 2 A taxa fornecida pelo enunciado é igual a 2,5% ao mês.

2,5100 · 2

0,025 · 2

2

0,025

Como efetuar esta divisão? Ora, o denominador possui 3 casas decimais. Vamos então igualar a quantidade de casas decimais e, em seguida, apagar as vírgulas.

2,0000,025

2.00025 80

Letra B 04. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) A taxa de juros simples de 0,05% ao dia equivale à taxa semestral de:

a) 15,00% b) 1,50% c) 18,00% d) 9,00% e) 12,00%

Resolução No regime de capitalização simples as taxas proporcionais são equivalentes.



Duas taxas são proporcionais quando a razão entre elas é igual à razão entre os respectivos períodos expressos na mesma unidade de tempo.

Simbolicamente, dizemos que a taxa referente ao período é proporcional à taxa referente ao período se

Queremos comparar a taxa diária com a taxa semestral. Lembre-se que um semestre é a metade de um ano. Como o ano comercial tem 360 dias, um semestre tem 180 dias.

1 180

0,05% 1180

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

1 · 180 · 0,05%

9%

Poderíamos ter resolvido utilizando o raciocínio seguinte: como um semestre tem 180 dias, então a taxa semestral será igual a taxa diária multiplicada por 180.

180 · 0,05%

9%

Letra D

05. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) Um montante inicial foi aplicado a uma taxa de juros simples de 5% ao mês durante 2 meses e depois reaplicado a uma taxa de juros simples de 10% ao mês durante 2 meses, resultando em R$ 13.200,00. O valor do montante inicial era de: a) R$ 18.500,00 b) R$ 13.000,00 c) R$ 12.330,00 d) R$ 11.000,00 e) R$ 10.000,00

Resolução



Têm-se duas aplicações a juros simples sucessivas. Digamos que o capital inicial aplicado seja igual a C. Desta forma, aplicando C reais durante 2 meses a uma taxa de 5% ao mês, o montante será igual a:

· 1 ·

· 1 0,05 · 2

· 1,1

Este montante M1 será o capital de uma nova aplicação. Aplicaremos M1 reais durante dois meses a uma taxa de 10% ao mês. O novo montante será igual a:

· 1 ·

· 1,1 · 1 0,10 · 2

· 1,1 · 1,2

1,32 ·

O montante final é igual a R$ 13.200,00. Portanto:

1,32 · 13.200

13.2001,32 10.000

O capital inicial é de R$ 10.000,00.

Letra E

06. (Vestibular FGV 2001) Um vidro de perfume é vendido à vista por R$48,00 ou a prazo, em dois pagamentos de R$25,00 cada um, o primeiro no ato da compra e o outro um mês depois. A taxa mensal de juros do financiamento é aproximadamente igual a:

A) 6,7% B) 7,7% C) 8,7% D) 9,7% E) 10,7%

Resolução

O valor à vista é de R$ 48,00. Se o indivíduo dá uma entrada de R$ 25,00, então ficou devendo R$ 23,00. Mas o pagamento feito um mês depois foi de R$ 25,00. Assim, o juro cobrado foi de R$ 2,00. Observe que a taxa de juros só incide no valor devido e não sobre o valor já pago.



· ·

2 23 · · 1

223 0,0869 8,7%

Letra C

07. (BESC 2004/FGV) Um artigo é vendido, à vista, por R$ 150,00 ou em dois pagamentos de R$ 80,00 cada um: o primeiro, no ato da compra e o segundo, um mês após a compra. Os que optam pelo pagamento parcelado pagam juros mensais de taxa aproximadamente igual a:

a) 14,29% b) 13,33% c) 9,86% d) 7,14% e) 6,67%

Resolução

O valor à vista é de R$ 150,00. Se o indivíduo dá uma entrada de R$ 80,00, então ficou devendo R$ 70,00. Mas o pagamento feito um mês depois foi de R$ 80,00. Assim, o juro cobrado foi de R$ 10,00.

· ·

10 70 · · 1

1070 0,142857 14,29%

Letra A

08. (SEFAZ-MS 2006/FGV) Um artigo custa, à vista, R$ 200,00 e pode ser comprado a prazo com uma entrada de R$ 100,00 e um pagamento de R$ 120,00 um mês após a compra. Os que compram a prazo pagam juros mensais de taxa:

a) 5% b) 10% c) 20% d) 25% e) 30%



Resolução

O valor à vista é de R$ 200,00. Se o indivíduo dá uma entrada de R$ 100,00, então ficou devendo R$ 100,00. Mas o pagamento feito um mês depois foi de R$ 120,00. Assim, o juro cobrado foi de R$ 20,00.

· ·

20 100 · · 1

20100 20%

Letra C

09. (Prefeitura de Ituporanga – 2009 – FEPESE) Quais são os juros simples de R$ 12.600,00, à taxa de 7,5% ao ano, em 4 anos e 9 meses? a) R$ 4.488,75 b) R$ 1.023,75 c) R$ 3.780,00 d) R$ 1.496,25 e) R$ 5.386,50

Resolução

As unidades de tempo de referência do período de aplicação e da taxa devem ser iguais.

Temos todas as informações necessárias para o cálculo dos juros simples: o capital, a taxa e o tempo. O único problema é que a taxa de juros e o período de aplicação não estão expressos na mesma unidade. Devemos traçar a nossa estratégia: escolher uma unidade comum para a taxa e para o período de capitalização.

Sabemos que um ano é o mesmo que 12 meses. Logo, 4 anos são o mesmo que 4 x 12 = 48 meses. Portanto, o período de capitalização é igual a 48 + 9 = 57 meses. Já a taxa é igual a 7,5% ao ano ou 0,075 ao ano. Para calcular a taxa equivalente ao mês, basta-nos dividir essa taxa por 12 (taxas proporcionais). Portanto a taxa de juros mensal será igual a 0,075/12. Agora estamos prontos para aplicar a fórmula de juros simples.

· ·

Temos que o capital é igual a R$ 12.600,00, a taxa é igual a 0, 075

12 ao mês e o tempo é igual a 57 meses.



12.600 ·0,075

12 · 57

Como 12.600 dividido por 12 é igual a 1.050,

1.050 · 0,075 · 57

4.488,75

Letra A

10. (AFRE-PB 2006 FCC) Certas operações podem ocorrer por um período de apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária e obtendo os juros segundo a convenção do ano civil ou do ano comercial. Então, se um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias, o módulo da diferença entre os valores dos juros comerciais e dos juros exatos é a) R$ 37,50 b) R$ 30,00 c) R$ 22,50 d) R$ 15,00 e) R$ 7,50 Resolução Juros Comerciais O capital de R$ 15.000,00 foi aplicado durante 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês. Para calcularmos a taxa equivalente diária, neste caso, devemos dividir por 30.

9,3%30 0,31% 0,0031

O juro comercial é dado por:

· · 15.000 · 0,0031 · 5 232,50

Juros Exatos O capital de R$ 15.000,00 foi aplicado durante 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês. Para calcularmos a taxa equivalente diária, neste caso, devemos dividir por 31.

9,3%31 0,3% 0,003

O juro exato é dado por:



· · 15.000 · 0,003 · 5 225,00

A questão pede o módulo da diferença entre os juros comerciais e os juros exatos.

232,50 225,00 7,50

Letra E

11. (BACEN 2010 CESGRANRIO) Um aplicador vai obter de resgate em um título o valor de R$ 30.000,00. Sabendo-se que a operação rendeu juros simples de 5% ao mês, por um período de 6 meses, o valor original da aplicação foi, em reais, de a) 21.066,67 b) 21.500,00 c) 22.222,66 d) 23.076,93 e) 23.599,99

Resolução

Observe que o período de aplicação e taxa de juros já estão em conformidade em termos de unidade.

Sabemos que o montante no regime de capitalização simples é dado por

· 1 ·

O montante é igual a R$ 30.000,00, a taxa de juros é de 5% = 0,05 ao mês e o tempo de aplicação é de 6 meses.

30.000 · 1 0,05 · 6

30.000 · 1,3

23.076,93

Letra D

12. (AFRE-CE 2006 ESAF) Qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 2,4% ao mês rende R$ 1 608,00 em 100 dias?

a) R$ 20 000,00. b) R$ 20 100,00. c) R$ 20 420,00. d) R$ 22 000,00. e) R$ 21 400,00.



Resolução

O enunciado forneceu a taxa, o juro e o tempo. Está faltando apenas o capital que foi aplicado.

Para começar, a taxa e o tempo devem ser expressos na mesma unidade!

Já que a taxa é de 2,4% = 0,024 ao mês, devemos dividir a taxa mensal por 30 para calcular a taxa diária (isso porque o mês comercial é composto por 30 dias e em juros simples usamos o conceito de taxas proporcionais).

Logo, 0,024 . .

30i a d=

O rendimento (juro) é igual a R$1.608,00 e o tempo é igual a 100 dias.

Lembremos a fórmula do juro simples.

J C i n= ⋅ ⋅

De acordo com o enunciado: J = 1.608, i = 0,024/30 e n = 100. Logo,

0,0241.608 10030

C= ⋅ ⋅

Observe que 0,024.100 = 2,4.

2, 41.60830

C= ⋅

E já que 2,4/30 = 0,08;

1.608 0,08C= ⋅

1.6080,08

C =

20.100C =

Letra B



13. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um capital no valor de R$ 12.500,00 é aplicado a juros simples, durante 12 meses, apresentando um montante igual a R$ 15.000,00. Um outro capital é aplicado, durante 15 meses, a juros simples a uma taxa igual à da aplicação anterior, produzindo juros no total de R$ 5.250,00. O valor do segundo capital supera o valor do primeiro em

a) R$ 10.000,00 b) R$ 8.500,00 c) R$ 7.500,00 d) R$ 6.000,00 e) R$ 5.850,00

Resolução

Primeira aplicação:

Um capital de R$ 12.500,00 gera um montante de R$ 15.000,00, logo o juro do período é de R$ 2.500,00.

Sabemos a relação de juro simples:

· ·

. . · ·

. . ·

. . ·

.. .

Segunda aplicação: · ·

. · ·

. ·

.

O segundo capital supera o primeiro em 21.000 – 12.500 = 8.500

Letra B

14. (AFRE-PB 2006 ESAF) Um investidor aplica em um determinado banco R$ 10.000,00 a juros simples. Após 6 meses, resgata totalmente o montante de R$ 10.900,00 referente a esta operação e o aplica em outro banco, durante 5



meses, a uma taxa de juros simples igual ao dobro da correspondente à primeira aplicação. O montante no final do segundo período é igual a

a) R$ 12.535,00 b) R$ 12.550,00 c) R$ 12.650,00 d) R$ 12.750,00 e) R$ 12.862,00

Resolução

Temos duas aplicações em regime simples. A taxa da segunda aplicação é igual ao dobro da taxa da primeira aplicação. Portanto, o primeiro passo é determinar a taxa da primeira aplicação.

1ª aplicação:

O capital é igual a R$ 10.000,00 e o montante é igual a R$ 10.900,00. Portanto o juro é igual a J = 10.900 – 10.000 = 900.

O tempo de aplicação é de 6 meses. Assim, podemos aplicar a fórmula de juros simples.

J C i n= ⋅ ⋅

900 10.000 6i= ⋅ ⋅

900 60.000 i= ⋅

90060.000

i =

0,015i =

2ª aplicação:

Lembrando que a taxa da segunda aplicação é o dobro da taxa da primeira aplicação, concluímos que a segunda taxa é igual a 0,015 x 2 = 0,03.

O capital aplicado da segunda aplicação é o montante da primeira aplicação. Portanto, o capital aplicado é igual a R$ 10.900,00. O tempo de aplicação é igual a 5 meses. Logo, o montante será dado por

(1 )M C i n= ⋅ + ⋅



10.900 (1 0,03 5)M = ⋅ + ⋅

10.900 1,15M = ⋅

12.535M =

Letra A

(UnB / CESPE – DOCAS / PA -2004) Mário dispunha de um capital de R$ 10.000,00. Parte desse capital ele aplicou no banco BD, por 1 ano, à taxa de juros simples de 3% ao mês. O restante, Mário aplicou no banco BM, também pelo período de 1 ano, à taxa de juros simples de 5% ao mês. Considerando que, ao final do período, Mário obteve R$ 4.500,00 de juros das duas aplicações, julgue os itens seguintes. 15. A quantia aplicada no banco BM foi superior a R$ 4.000,00. 16. Os juros obtidos pela aplicação no banco BM superaram em mais de R$ 500,00 os juros obtidos pela aplicação no banco BD. 17. Ao final do ano, o montante obtido pela aplicação no banco BD foi superior a R$ 8.000,00.

Resolução

Vamos analisar a situação do enunciado e depois avaliar cada item.

Mário dispunha de um capital de R$ 10.000,00 para aplicar em dois bancos: BD e BM. Chamemos o capital aplicado no banco BD de “D” e o capital aplicado no banco BM de “M”.

É importante que você utilize letras que façam referência aos nomes que foram usados no enunciado da questão. Seria ruim utilizar, por exemplo, utilizar as letras x e y, pois, no final, teríamos que procurar quem é x e quem é y!

Se o capital total é R$ 10.000, então a nossa primeira equação é D + M = 10.000.

Aplicação no Banco BD

A taxa de juros e o tempo de aplicação devem sempre estar na mesma unidade! Assim, se a taxa de juros no banco BD é de 3% ao mês, então o tempo de aplicação que é de 1 ano será escrito como 12 meses.

Temos os seguintes dados:



Capital aplicado no Banco BD: D

Taxa de juros: 3% ao mês = 0,03 ao mês.

Tempo de aplicação: 12 meses.

Temos todas as informações necessárias para utilizar a expressão do juro simples!

J C i n= ⋅ ⋅

Já que nessa questão temos aplicações em dois bancos, para não confundir colocaremos índices nos dados das fórmulas.

BD BD BD BDJ C i n= ⋅ ⋅

Assim,

0,03 12BDJ D= ⋅ ⋅

0,36BDJ D= ⋅

Aplicação no Banco BM

A taxa de juros e o tempo de aplicação devem sempre estar na mesma unidade! Assim, se a taxa de juros no banco BM é de 5% ao mês, então o tempo de aplicação que é de 1 ano será escrita como 12 meses.


Capital aplicado no Banco BM: M

Taxa de juros: 5% ao mês = 0,05 ao mês.

Tempo de aplicação: 12 meses.


J C i n= ⋅ ⋅

BM BM BM BMJ C i n= ⋅ ⋅

Assim,



0,05 12BMJ M= ⋅ ⋅

0,60BMJ M= ⋅

O enunciado também informa que ao final do período, Mário obteve R$ 4.500,00 de juros das duas aplicações.

Ou seja, o juro obtido no Banco BD mais o juro obtido no Banco BM totalizam R$ 4.500,00.

4.500BD BMJ J+ =

0,36 0,60 4.500D M⋅ + ⋅ =

Para não trabalhar com números decimais, podemos multiplicar ambos os membros da equação por 100!

36 60 450.000D M⋅ + ⋅ =

Temos, então, um sistema linear com duas equações e duas incógnitas. A outra equação foi escrita no início da resolução. O capital total aplicado nos dois bancos (BD e BM) é igual a R$ 10.000,00.

10.000D M+ =

Eis o sistema:

36 60 450.00010.000

D MD M⋅ + ⋅ =⎧

⎨ + =⎩

Existem diversos métodos para resolver esse sistema linear. Faremos de duas maneiras.

Método I – Substituição

Nesse método, devemos isolar uma das incógnitas em uma das equações e substituir esse valor na outra equação. Claramente, nesse caso, é mais fácil isolar qualquer uma das incógnitas na segunda equação. Vamos isolar o “D”.



10.000D M+ =

10.000D M= −

Devemos substituir essa expressão na primeira equação!

36 60 450.000D M⋅ + ⋅ =

36 (10.000 ) 60 450.000M M⋅ − + ⋅ =

360.000 36 60 450.000M M− ⋅ + ⋅ =

360.000 24 450.000M+ ⋅ =

24 90.000M⋅ =

3.750M =

E como o capital total aplicado é igual a 10.000, o capital aplicado no banco BD é igual a 10.000 – 3.750 = 6.250.

6.250D =

Método II – Adição

Voltemos ao sistema linear.

36 60 450.00010.000 ( 36)

D MD M⋅ + ⋅ =⎧

⎨ + = ⋅ −⎩

Nesse método, devemos multiplicar ambos os membros de uma equação por algum fator, de modo que possamos “somar as equações” para que uma das incógnitas seja cancelada.

Podemos, por exemplo, multiplicar ambos os membros da segunda equação por - 36, pois dessa forma, ao somarmos as duas equações, a incógnita D será cancelada.



36 60 450.00036 36 360.000

D MD M

⋅ + ⋅ =⎧⎨− ⋅ − ⋅ = −⎩

Ao somarmos as duas equações membro a membro teremos:

36 36 0D D⋅ − ⋅ = ,

60 36 24M M M⋅ − ⋅ = ⋅

450.000 360.000 90.000− =

Ou seja,

36 60 450.00036 36 360.000

24 90.000

D MD M

M

⋅ + ⋅ =⎧⎨− ⋅ − ⋅ = −⎩

⋅ =

3.750M =

E como o capital total aplicado é igual a 10.000, o capital aplicado no banco BD é igual a 10.000 – 3.750 = 6.250.

6.250D =

Vamos analisar cada um dos itens de per si.

15. A quantia aplicada no banco BM foi superior a R$ 4.000,00. Já que M = 3.750,00, esse item está ERRADO. 16. Os juros obtidos pela aplicação no banco BM superaram em mais de R$ 500,00 os juros obtidos pela aplicação no banco BD. Vamos calcular cada um dos juros.

BD BD BD BDJ C i n= ⋅ ⋅

6.250 0,03 12 2.250BDJ = ⋅ ⋅ =



BM BM BM BMJ C i n= ⋅ ⋅

3750 0,05 12 2.250BMJ = ⋅ ⋅ =

Como os juros obtidos nos dois bancos são iguais, o item está ERRADO.

17. Ao final do ano, o montante obtido pela aplicação no banco BD foi superior a R$ 8.000,00. Basta lembrar que o montante é a soma do capital aplicado com o juro obtido.

M C J= +

6.250 2.250M = +

8.500M = Assim, o item está CERTO.

18. (UnB / CESPE – CHESF 2002) Uma pessoa recebeu R$ 6.000,00 de herança, sob a condição de investir todo o dinheiro em dois tipos particulares de ações, X e Y. As ações do tipo X pagam 7% a.a. e as ações do tipo Y pagam 9% a.a. A maior quantia que a pessoa pode investir nas ações X, de modo a obter R$ 500,00 de juros em um ano, é A) inferior a R$ 1.800,00. B) superior a R$ 1.800,00 e inferior a R$ 1.950,00. C) superior a R$ 1.950,00 e inferior a R$ 2.100,00. D) superior a R$ 2.100,00 e inferior a R$ 2.250,00. E) superior a R$ 2.250,00. Resolução Se o capital total é R$ 6.000,00, então a nossa primeira equação é X + Y = 6.000.

Aplicação na ação X

A taxa de juros e o tempo de aplicação devem sempre estar na mesma unidade! Assim, se a taxa de juros na ação X é de 7% ao ano e o tempo de aplicação é de 1 ano, nada precisamos modificar nesses dados.


Capital aplicado na ação X: X

Taxa de juros: 7% ao ano = 0,07 ao ano.



Tempo de aplicação: 1 ano.


J C i n= ⋅ ⋅

Já que nessa questão temos aplicações em duas ações, para não confundir colocaremos índices nos dados das fórmulas.

X X X XJ C i n= ⋅ ⋅

Assim,

0,07 1XJ X= ⋅ ⋅

0,07XJ X= ⋅

Aplicação na ação Y

A taxa de juros e o tempo de aplicação devem sempre estar na mesma unidade! Assim, se a taxa de juros na ação Y é de 9% ao ano e o tempo de aplicação é de 1 ano, nada precisamos modificar nesses dados.


Capital aplicado na ação Y : Y

Taxa de juros: 9% ao ano = 0,09 ao ano.

Tempo de aplicação: 1 ano.


J C i n= ⋅ ⋅

Y Y Y YJ C i n= ⋅ ⋅

Assim,

0,09 1YJ Y= ⋅ ⋅



0,09YJ Y= ⋅

O enunciado também informa que ao final do período, a pessoa obteve R$ 500,00 de juros das duas aplicações.

Ou seja, o juro obtido na ação X mais o juro obtido na ação Y totalizam R$ 500,00.

500X YJ J+ =

0,07 0,09 500X Y⋅ + ⋅ =

Para não trabalhar com números decimais, podemos multiplicar ambos os membros da equação por 100!

7 9 50.000X Y⋅ + ⋅ =

Temos, então, um sistema linear com duas equações e duas incógnitas. A outra equação foi escrita no início da resolução. O capital total aplicado nas duas ações (X e Y) é igual a R$ 6.000,00.

6.000X Y+ =

Eis o sistema:

7 9 50.0006.000

X YX Y⋅ + ⋅ =⎧

⎨ + =⎩

Novamente os dois métodos descritos na questão anterior.

Método I – Substituição

Nesse método, devemos isolar uma das incógnitas em uma das equações e substituir esse valor na outra equação. Claramente, nesse caso, é mais fácil isolar qualquer uma das incógnitas na segunda equação. Vamos isolar o “Y”, já que estamos querendo calcular o valor de “X”.

6.000X Y+ =

6.000Y X= −



Devemos substituir essa expressão na primeira equação!

7 9 50.000X Y⋅ + ⋅ =

7 9 (6.000 ) 50.000X X⋅ + ⋅ − =

7 54.000 9 50.000X X⋅ + − ⋅ =

2 4.000X− ⋅ = −

2 4.000X⋅ =

2.000X =

Letra C

Método II – Adição

Voltemos ao sistema linear.

7 9 50.0006.000 ( 9)

X YX Y⋅ + ⋅ =⎧

⎨ + = ⋅ −⎩

Nesse método, devemos multiplicar ambos os membros de uma equação por algum fator, de modo que possamos “somar as equações” para que uma das incógnitas seja cancelada.

Podemos, por exemplo, multiplicar ambos os membros da segunda equação por - 9, pois dessa forma, ao somarmos as duas equações, a incógnita Y será cancelada (cancelamos o “Y” pois queremos calcular o valor de “X”).

7 9 50.0009 9 54.000X Y

X Y⋅ + ⋅ =⎧

⎨− ⋅ − ⋅ = −⎩

Ao somarmos as duas equações membro a membro teremos:

7 9 2X X X⋅ − ⋅ = − ⋅ ,



9 9 0Y Y⋅ − ⋅ =

50.000 54.000 4.000− = −

Ou seja,

7 9 50.0009 9 54.000

2 4.0002.000

X YX Y

XX

⋅ + ⋅ =⎧⎨− ⋅ − ⋅ = −⎩− ⋅ = −=

Letra C

19. (UnB / CESPE – CHESF 2002) Um capital acrescido dos seus juros simples de 21 meses soma R$ 7.050,00. O mesmo capital, diminuído dos seus juros simples de 13 meses, reduz-se a R$ 5.350,00. O valor desse capital é A) inferior a R$ 5.600,00. B) superior a R$ 5.600,00 e inferior a R$ 5.750,00. C) superior a R$ 5.750,00 e inferior a R$ 5.900,00. D) superior a R$ 5.900,00 e inferior a R$ 6.100,00. E) superior a R$ 6.100,00. Resolução

Sabemos que o juro simples é dado por J C i n= ⋅ ⋅

Assim, o juro simples de 21 meses é 21 21J C i J Ci= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

O juro simples de 13 meses é 13 13J C i J Ci= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ “Um capital acrescido dos seus juros simples de 21 meses soma R$ 7.050,00”

pode ser escrito algebricamente 21 7.050C Ci+ ⋅ = . “O mesmo capital, diminuído dos seus juros simples de 13 meses, reduz-se a

R$ 5.350,00” pode ser escrito algebricamente 13 5.350C Ci− ⋅ = . Temos o seguinte sistema de equações:



21 7.05013 5.350

C CiC Ci+ ⋅ =⎧

⎨ − ⋅ =⎩

Podemos novamente resolver pelo método da adição ou pelo método da substituição. Método da Substituição

Da segunda equação, podemos concluir que 5.350 13C Ci= + ⋅ . Substituindo essa expressão na primeira equação do sistema:

21 7.050C Ci+ ⋅ =

5.350 13 21 7.050Ci Ci+ ⋅ + ⋅ =

34 7.050 5.350Ci⋅ = −

34 1.700Ci⋅ =

1.700 5034

Ci Ci= ⇒ =

De posse do valor C.i, podemos substituir em qualquer uma das equações do sistema. Substituindo na primeira equação, obtemos:

21 7.050C Ci+ ⋅ =

21 50 7.050C + ⋅ =

1.050 7.050C + =

6.000C = Letra D

20. (AFTE-RO 2010 FCC) Dois capitais foram aplicados a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. O primeiro capital ficou aplicado durante o prazo de um ano e o segundo, durante 8 meses. A soma dos dois capitais e a soma dos correspondentes juros são iguais a R$ 27.000,00 e R$ 5.280,00, respectivamente. O valor do módulo da diferença entre os dois capitais é igual a a) R$ 2.000,00 b) R$ 2.500,00 c) R$ 3.000,00



d) R$ 4.000,00 e) R$ 5.000,00 Resolução Chamemos o primeiro capital de C1 e o segundo capital de C2. Já que a soma dos dois capitais é igual a R$ 27.000,00, podemos escrever que

1 2 27.000C C+ =

Lembre-se que o juro simples é calculado de acordo com a fórmula J C i n= ⋅ ⋅ , em que C é o capital aplicado, i é a taxa de juros e n é o

número de períodos.

Assim, o juro do primeiro capital será

1 1 1 10,02 12 0, 24J C J C= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

E o juro do segundo capital será

2 2 2 20,02 8 0,16J C J C= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ A segunda equação pode ser escrita da seguinte forma:

1 2 5.280J J+ =

1 20, 24 0,16 5.280C C⋅ + ⋅ = Para não trabalhar com números decimais (e facilitar um pouco nossas contas),

podemos multiplicar ambos os membros dessa equação por 100.

1 224 16 528.000C C⋅ + ⋅ =

Acabamos de formar o seguinte sistema linear:

1 2

1 2

27.00024 16 528.000C C

C C+ =⎧

⎨ ⋅ + ⋅ =⎩

Faremos, por exemplo, pelo método da substituição. Basta isolar na primeira

equação o termo C2.

2 127.000C C= − Substitui-se essa expressão na segunda equação:

1 124 16 (27.000 ) 528.000C C⋅ + ⋅ − =

1 124 432.000 16 528.000C C⋅ + − ⋅ =



18 528.000 432.000C⋅ = −

18 96.000C⋅ =

1 12.000C = E como a soma dos dois capitais é igual a 27.000, o segundo capital será:

2 27.000 12.000C = −

2 15.000C = O valor do módulo da diferença entre os dois capitais é igual a 15.000 – 12.000 = 3.000.

Letra C 21. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Um investidor aplica um capital a juros simples, durante 10 meses, apresentando montante no valor de R$ 30.000,00 no final do período. Caso este capital tivesse sido aplicado durante 16 meses a juros simples, e com a mesma taxa de juros anterior, o valor do montante no final deste período teria sido de R$ 33.600,00. O valor do capital aplicado pelo investidor é igual a (A) R$ 21.000,00. (B) R$ 22.500,00. (C) R$ 23.600,00. (D) R$ 24.000,00. (E) R$ 25.000,00.

Resolução

Sabemos que o montante é a soma do capital com os juros. Logo,

No regime simples, o juro é calculado da seguinte maneira:

· ·

Vejamos a primeira aplicação:

1ª aplicação:

30.000

· · 30.000

· · 30.000



Como n = 10 meses,

· · 10 30.000

Lembre-se que em álgebra C significa C vezes 1.

· 1 · · 10 30.000

Podemos colocar o C em evidência.

· 1 10 · 30.000

30.0001 10 ·

Vamos guardar esta equação.

2ª aplicação:

33.600

· · 33.600

· · 33.600

Como n = 16 meses,

· · 16 33.600

Lembre-se que em álgebra C significa C vezes 1.

· 1 · · 16 33.600

Podemos colocar o C em evidência.

· 1 16 · 33.600

33.6001 16 ·

Na primeira aplicação, descobrimos que

30.0001 10 ·

Podemos igualar as expressões:

33.6001 16 ·

30.0001 10 ·

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos:

30.000 · 1 16 · 33.600 · 1 10 ·



Vamos dividir ambos os membros por 100 para simplificar.

300 · 1 16 · 336 · 1 10 ·

300 4.800 · 336 3.360 ·

1.440 · 36

361.440 · 100% 2,5% 0,025

Voltando à equação descrita acima:

30.0001 10 ·

30.0001 10 · 0,025 24.000

Letra D

13. Prazo, Taxa e Capital Médios

Apesar de este tópico não estar presente explicitamente no edital da FGV, esta banca já colocou este assunto em provas mesmo sem explicitá-lo no edital (como aconteceu no concurso SEFAZ-RJ 2008).

Vejamos alguns exemplos numéricos para um bom entendimento dos conceitos deste tópico para em seguida apresentarmos as fórmulas de prazo, taxa e capital médio.

Prazo Médio

Imagine a seguinte situação: João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês durante 8 meses. O credor e João decidem substituir os prazos de vencimento dos dois empréstimos por um único prazo, de forma que não haja prejuízo para o credor nem para o devedor João. Qual é esse prazo?

A condição de não haver prejuízo para o credor nem para o devedor se deve ao fato de os juros pagos nas duas situações serem os mesmos.

Vejamos os juros pagos nos dois empréstimos:

1º empréstimo



4.000 ·10

100 · 4 1.600

2º empréstimo

2.000 ·5

100 · 8 800

Dessa forma, João pagará R$ 1.600,00 referentes ao primeiro empréstimo e R$ 800,00 referentes ao segundo empréstimo, totalizando R$ 2.400,00 de juros.

Nosso objetivo é trocar o prazo de 4 meses do primeiro empréstimo e o prazo de 8 meses do segundo empréstimo de forma que o juro total permaneça o mesmo (R$ 2.400,00).

O prazo que substituirá todos os outros sem alterar o juro total é denominado prazo médio.

4.000 ·10

100 · 2.000 ·5

100 · 2.400

400 · 100 · 2.400

500 · 2.400

245

Devemos dividir 24 meses por 5. Ora, 24 meses dividido por 5 é igual a 4 meses e resto igual a 4 meses. Como o mês comercial possui 30 dias, os 4 meses de resto equivalem a 4 · 30 120 . Devemos dividir 120 dias por 5 que é igual a 24 dias.

24 5 4 4 120 5 0 24

Assim, o prazo médio é igual a 4 meses e 24 dias.

Taxa Média

Imagine a seguinte situação: João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês durante 8 meses. O credor e João decidem substituir as taxas de



juros dos dois empréstimos por uma única taxa, de forma que não haja prejuízo para o credor nem para o devedor João. Qual é essa taxa?



1º empréstimo

4.000 ·10

100 · 4 1.600

2º empréstimo

2.000 ·5

100 · 8 800


A taxa que substituirá todas as outras sem alterar o juro total é denominado taxa média.

4.000 · · 4 2.000 · · 8 2.400

16.000 · 16.000 · 2.400

32.000 · 2.400

2.40032.000 · 100% 7,5%

Assim, a taxa média é de 7,5% ao mês.

Capital Médio

Imagine a seguinte situação: João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês durante 8 meses. O credor e João decidem substituir os capitais dos dois empréstimos por um único capital, de forma que não haja prejuízo para o credor nem para o devedor João. Qual é esse capital?





1º empréstimo

4.000 ·10

100 · 4 1.600

2º empréstimo

2.000 ·5

100 · 8 800


O capital que substituirá todos os outros sem alterar o juro total é denominado capital médio.

·10

100 · 4 ·5

100 · 8 2.400

0,4 · 0,4 · 2.400

0,8 · 2.400

3.000

Assim, o capital médio é de R$ 3.000,00.

Fórmulas do Prazo Médio, Taxa Média e Capital Médio

Neste tópico demonstraremos as fórmulas de Prazo Médio, Taxa Média e Capital Médio e em seguida resolveremos diversas questões de concursos. A demonstração será feita para um caso particular de três aplicações, mas pode ser generalizada para um número qualquer de aplicações.

Fórmula do Prazo Médio Considere três capitais , ,, aplicados às taxas simples , ,, pelos prazos , ,.

O juro total obtidos com essas três aplicações é de:



· · · · · ·

Nosso objetivo é substituir os três prazos por um único prazo denominado prazo médio de forma que o juro total permaneça constante.

· · · · · ·

Dessa forma:

· · · · · · · · · · · ·

· · · · · · · · · ·

· · · · · ·· · ·

· · ·

A partir desta fórmula, podemos concluir que o prazo médio é a média ponderada dos prazos com fatores de ponderação os capitais e as taxas.

Fórmula da Taxa Média Procedendo da mesma maneira que o item 3.5.4.1 (Fórmula do Prazo Médio), conclui‐se que a taxa média é a média aritmética das taxas, tendo como fatores de ponderação os capitais e os prazos.

· · ·

Fórmula do Capital Médio Analogamente aos casos anteriores. O capital médio é a média aritmética dos capitais, tendo como fatores de ponderação os as taxas e os prazos.

· · ·

Exemplo

João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês durante 8 meses. Determine o prazo médio, a taxa média e o capital médio.

Resolução




1º empréstimo

4.000 ·10

100 · 4 1.600

2º empréstimo

2.000 ·5

100 · 8 800

Prazo médio

· ·

1.600 8004.000 · 0,10 2.000 · 0,05

2.400500

245 4 24

Taxa Média

· ·

1.600 8004.000 · 4 2.000 · 8

2.40032.000 · 100% 7,5% ê

Capital Médio

· ·

1.600 8000,10 · 4 0,05 · 8

2.4000,8 3.000

22. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Os valores de R$ 50.000,00 e R$ 100.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples durante 12 e 6 meses, respectivamente. O prazo médio da aplicação conjunta desses capitais, em meses é:

a) 12 b) 8 c) 10



d) 9,2 e) 7,5

Resolução

Já que as taxas das quatro aplicações são iguais, podemos dizer que todas as taxas são iguais a .

Vamos calcular os juros obtidos em cada uma das aplicações.

50.000 · · 12 600.000 ·

100.000 · 6 · 600.000 ·

Apliquemos a fórmula do prazo médio.

· ·

600.000 · 600.000 ·50.000 · 100.000 ·

1.200.000 ·150.000 · 8

Letra B 23. (AFRF 2003/ESAF) Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais. a) 2,9% b) 3% c) 3,138% d) 3,25% e) 3,5%

Resolução

Já que os prazos das quatro aplicações são iguais, podemos dizer que todos os prazos são iguais a .

Vamos calcular os juros obtidos em cada uma das aplicações.

2.500 · 0,06 · 150 ·

3.500 · 0,04 · 140 ·

4.000 · 0,03 · 120 ·



3.000 · 0,015 · 45 ·

Apliquemos a fórmula da taxa média.

· · · ·

150 · 140 · 120 · 45 ·2.500 · 3.500 · 4.000 · 3.000 ·

455 ·13.000 ·

45513.000 · 100% 3,5% ê .

Letra E

24. (AFRF 2002.2/ESAF) Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês, no regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional anual de aplicação destes capitais. a) 4% b) 8% c) 12% d) 24% e) 48%

Resolução

Digamos que os prazos das aplicações sejam todos iguais a meses. Vamos calcular o juro simples de cada aplicação.

7.000 · 0,06 · 420 ·

6.000 · 0,03 · 180 ·

3.000 · 0,04 · 120 ·

4.000 · 0,02 · 80 ·

Apliquemos a fórmula da taxa média.

· · · ·

420 · 180 · 120 · 80 ·7.000 · 6.000 · 3.000 · 4.000 ·



800 ·20.000 ·

80020.000

80020.000 · 100% 4% ê .

Como um ano é o mesmo que 12 meses, então para calcular a taxa proporcional anual basta multiplicar a taxa mensal por 12.

4% · 12 48%

Letra E

14. Juros Compostos

No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo período. Daí que surge a expressão “juros sobre juros”.

Imagine a seguinte situação: Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros compostos durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de cada aplicação.

Os juros gerados no primeiro ano são · 10.000 2.000 e o montante após o primeiro ano é 10.000 + 2.000 = 12.000.

Os juros gerados no segundo ano são · 12.000 2.400 e o montante após o segundo ano é 12.000+2.400=14.400.

Os juros gerados no terceiro ano são · 14.400 2.880 e o montante após o terceiro ano é 14.400 + 2.880 = 17.280.

Os juros gerados no quarto ano são · 17.280 3.456 e o montante após o quarto ano é 17.280 + 3.456 = 20.736.

Os juros gerados no quinto ano são · 20.736 4.147,20 e o montante após o quinto ano é 20.736 + 4.147,20 = 24.883,20.

Período de Capitalização

O intervalo de tempo em que os juros são incorporados ao capital é chamado de período de capitalização.



Dessa forma, se o problema nos diz que a capitalização é mensal, então os juros são calculados todo mês e imediatamente incorporados ao capital.

Capitalização trimestral: os juros são calculados e incorporados ao capital uma vez por trimestre.

E assim por diante.

Caso a periodicidade da taxa e do número de períodos não estiverem na mesma unidade de tempo, deverá ser efetuado um “ajuste prévio” para a mesma unidade antes de efetuarmos qualquer cálculo. Abordaremos este assunto em seções posteriores (taxas de juros).

Fórmula do Montante Composto Para calcular o montante de uma capitalização composta utilizaremos a seguinte fórmula básica:

· 1

M → montante (capital + juros).

C → Capital inicial aplicado.

i → taxa de juros

n → número de períodos.

Observe que se a capitalização é bimestral e aplicação será feita durante 8 meses, então o número de períodos é igual a 4 bimestres.

Não utilizaremos uma fórmula específica para o cálculo dos juros compostos. Se por acaso em alguma questão precisarmos calcular o juro composto, utilizaremos a relação:

Comparação entre as Capitalizações Simples e Composta Considere a seguinte situação: João aplicará a quantia de R$ 1.000,00 a uma taxa de 10% ao mês. Calcule os montantes simples e compostos para os seguintes períodos de capitalização:

a) 1 mês b) 15 dias (meio mês) c) 2 meses

Resolução

a) Capitalização Simples



· 1 ·

1.000 · 1 0,1 · 1 1.100

Capitalização Composta

· 1

1.000 · 1 0,1 1.100

Observe que, para 1, o montante simples é igual ao montante composto.

b) Capitalização Simples

· 1 ·

1.000 · 1 0,1 · 0,5 1.050


· 1

1.000 · 1 0,1 , 1.048,81

Observe que, para 0,5, o montante simples é maior do que o montante composto.

c) Capitalização Simples

· 1 ·

1.000 · 1 0,1 · 2 1.200


· 1

1.000 · 1 0,1 1.210

Observe que, para 2, o montante simples é menor do que o montante composto.

Em resumo, temos as seguintes relações

1 O montante simples é igual ao montante composto. 0 1 O montante simples é maior do que o montante

composto. 1 O montante simples é menor do que o montante

composto.

Convenção Linear e Convenção Exponencial Vimos que se o número de períodos for menor do que 1, é mais vantajoso para o credor cobrar juros simples.



Utilizaremos esse fato a favor do credor quando, na capitalização composta, o número de períodos for fracionário.

Por exemplo, estamos fazendo uma aplicação a juros compostos durante 3 meses e meio. Podemos dizer que o tempo 3,5 meses é igual a 3 meses + 0,5 meses. Assim, poderíamos calcular o montante no período fracionário sob o regime simples (para ganhar mais dinheiro obviamente).

Em Matemática Financeira, quando o número de períodos é fracionário, podemos calcular o montante de duas maneiras:

- Convenção Exponencial

- Convenção Linear

Um capital de R$ 10.000,00 será aplicado por 3 meses e meio à taxa de 10% ao mês, juros compostos, em que se deseja saber o montante gerado.

- Convenção Exponencial

A convenção exponencial diz que o período, mesmo fracionário, será utilizado no expoente da expressão do montante.

Assim, (1 )nM C i= ⋅ +

3,510.000 (1 0,10)M = ⋅ +

3,510.000 1,10M = ⋅

O valor 1,103,5 = 1,395964 deverá ser fornecido pela questão.

10.000 1,395964M = ⋅

13.959,64M =

- Convenção Linear

A convenção linear considera juros compostos na parte inteira do período e, sobre o montante assim gerado, aplica juros simples no período fracionário.

Podemos resumir a seguinte fórmula para a convenção linear:

(1 ) (1 )IntfracM C i i n= ⋅ + ⋅ + ⋅

Nessa formula “Int” significa a parte inteira do período e nfrac a parte fracionária do período.



310.000 (1 0,10) (1 0,10 0,5)M = ⋅ + ⋅ + ⋅

310.000 1,10 1,05M = ⋅ ⋅

13.975,50M =

Como era de se esperar, o montante da convenção linear foi maior do que o montante da convenção exponencial.

25. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um investimento de R$ 20 000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final de dois anos é a) R$ 45.000,00 b) R$ 47.500,00 c) R$ 60.000,00 d) R$ 90.000,00 e) R$ 50.000,00 Resolução

· 1

20.000 · 1 0,50 45.000,00 Letra A

26. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num CDB com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% ao mês. O valor de resgate dessa operação foi, em reais, de (Nota: efetue as operações com 4 casas decimais) a) 20.999,66 b) 21.985,34 c) 22.111,33 d) 22.400,00 e) 22.498,00

Resolução

· 1

20.000 · 1,04 O enunciado mandou efetuar as operações com 4 casas decimais.

1,04 1,04 1,0816 1,0816 1,04 1,124864 1,1249

20.000 · 1,04 20.000 · 1,1249 22.498,00



Letra E

27. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicação de um capital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de juros compostos de 8% ao ano, são iguais aos da aplicação de um outro capital no valor R$ 10.400,00, a juros simples, à taxa de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi igual a


Resolução

Aplicação a juros compostos:

· 1 12.500 · 1 0,08 14.580

Assim, o juro composto é a diferença entre o montante e o capital aplicado 14.580 – 12.500 = 2.080.

Esse juro é igual ao da aplicação à taxa simples. A resposta do tempo de aplicação será dada em meses. Como a taxa é de 15% ao ano, a taxa equivalente mensal é 15%/12 = 1,25%=0,0125 ao mês.

· · 2.080 10.400 · 0,0125 · 2.080 130 ·

16

Letra D

28. (CEF 2008 CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere à taxa de juros utilizada.



Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros

a) compostos, sempre. b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. c) simples, sempre. d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo. e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo.

Resolução

O gráfico acima descreve bem o exemplo que fizemos anteriormente (aquele em que o montante simples foi maior do que o montante composto).

Quando o número de períodos da capitalização for menor do que 1 o juro simples será maior do que o juro composto.

Letra E

29. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A fração de período pela convenção linear produz uma renda a e pela convenção exponencial produz uma renda b. Pode-se afirmar que:

a) log b) c) d) √ e)

Resolução

Vimos que:

1 O montante simples é igual ao montante composto. 0 1 O montante simples é maior do que o montante

composto. 1 O montante simples é menor do que o montante

composto.

Assim, a fração de período pela convenção linear produz uma renda maior do que a convenção exponencial.

Letra E

30. (BESC 2004/FGV) O montante de um principal de R$ 300,00 em 2 meses e 10 dias, a juros de 10% ao mês pela convenção linear, é igual a: a) R$ 370,00 b) R$ 372,00 c) R$ 373,00 d) R$ 375,10 e) R$ 377,10



Resolução

De acordo com a convenção linear, a parte inteira do período será aplicada a juros compostos enquanto que a parte fracionária será aplicada a juros simples. O período de 10 dias equivale a 1/3 do mês.

· 1 · 1 ·

300 · 1 0,10 · 1 0,10 ·13

300 · 1,21 · 11

30363 · 1

130

36336330

363 12,1 375,10

Letra D

31. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) José dispõe de R$ 10.000,00 para aplicar durante seis meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguintes propostas de investimento:

I – Juros simples de 2% ao mês. II – Juros compostos de 1% ao mês. III – Resgate de R$ 12.000,00, ao final de um período de seis meses.

Assinale:

a) se todas apresentarem o mesmo retorno. b) se a proposta I for a melhor alternativa de investimento. c) se a proposta II for a melhor alternativa de investimento. d) se a proposta III for a melhor alternativa de investimento. e) se as propostas I e III apresentarem o mesmo retorno.

Resolução

I – Juros simples de 2% ao mês durante 6 meses.

· 1 · 10.000 · 1 0,02 · 6 11.200

II - Juros compostos de 1% ao mês durante 6 meses.

· 1 10.000 · 1 0,01 10.615,20

Portanto, a proposta III é a melhor alternativa de investimento.

Letra D




01. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) O valor a ser pago por um empréstimo de R$ 4.500,00, a uma taxa de juros simples de 0,5% ao dia, ao final de 78 dias é de: a) R$ 6.255,00 b) R$ 5.500,00 c) R$ 6.500,00 d) R$ 4.855,00 e) R$ 4.675,00 02. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um capital é aplicado durante 120 dias a uma taxa de juros simples ordinários de 15% ao ano, produzindo um montante de R$ 8.400,00. Nestas condições, o capital aplicado, desprezando os centavos é:

a) R$ 6.500,00 b) R$ 7.850,00 c) R$ 8.017,00 d) R$ 8.820,00 e) R$ 8.000,00

03. (Vestibular FGV 2002) Um capital aplicado a juros simples, à taxa de 2,5% ao mês, triplica em:


04. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) A taxa de juros simples de 0,05% ao dia equivale à taxa semestral de:

a) 15,00% b) 1,50% c) 18,00% d) 9,00% e) 12,00%

05. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) Um montante inicial foi aplicado a uma taxa de juros simples de 5% ao mês durante 2 meses e depois reaplicado a uma taxa de juros simples de 10% ao mês durante 2 meses, resultando em R$ 13.200,00. O valor do montante inicial era de: a) R$ 18.500,00 b) R$ 13.000,00 c) R$ 12.330,00



d) R$ 11.000,00 e) R$ 10.000,00 06. (Vestibular FGV 2001) Um vidro de perfume é vendido à vista por R$48,00 ou a prazo, em dois pagamentos de R$25,00 cada um, o primeiro no ato da compra e o outro um mês depois. A taxa mensal de juros do financiamento é aproximadamente igual a:

A) 6,7% B) 7,7% C) 8,7% D) 9,7% E) 10,7%

07. (BESC 2004/FGV) Um artigo é vendido, à vista, por R$ 150,00 ou em dois pagamentos de R$ 80,00 cada um: o primeiro, no ato da compra e o segundo, um mês após a compra. Os que optam pelo pagamento parcelado pagam juros mensais de taxa aproximadamente igual a:

a) 14,29% b) 13,33% c) 9,86% d) 7,14% e) 6,67%

08. (SEFAZ-MS 2006/FGV) Um artigo custa, à vista, R$ 200,00 e pode ser comprado a prazo com uma entrada de R$ 100,00 e um pagamento de R$ 120,00 um mês após a compra. Os que compram a prazo pagam juros mensais de taxa:

a) 5% b) 10% c) 20% d) 25% e) 30%

09. (Prefeitura de Ituporanga – 2009 – FEPESE) Quais são os juros simples de R$ 12.600,00, à taxa de 7,5% ao ano, em 4 anos e 9 meses? a) R$ 4.488,75 b) R$ 1.023,75 c) R$ 3.780,00 d) R$ 1.496,25 e) R$ 5.386,50



10. (AFRE-PB 2006 FCC) Certas operações podem ocorrer por um período de apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária e obtendo os juros segundo a convenção do ano civil ou do ano comercial. Então, se um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias, o módulo da diferença entre os valores dos juros comerciais e dos juros exatos é a) R$ 37,50 b) R$ 30,00 c) R$ 22,50 d) R$ 15,00 e) R$ 7,50 11. (BACEN 2010 CESGRANRIO) Um aplicador vai obter de resgate em um título o valor de R$ 30.000,00. Sabendo-se que a operação rendeu juros simples de 5% ao mês, por um período de 6 meses, o valor original da aplicação foi, em reais, de a) 21.066,67 b) 21.500,00 c) 22.222,66 d) 23.076,93 e) 23.599,99

12. (AFRE-CE 2006 ESAF) Qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 2,4% ao mês rende R$ 1 608,00 em 100 dias?

a) R$ 20 000,00. b) R$ 20 100,00. c) R$ 20 420,00. d) R$ 22 000,00. e) R$ 21 400,00.

13. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um capital no valor de R$ 12.500,00 é aplicado a juros simples, durante 12 meses, apresentando um montante igual a R$ 15.000,00. Um outro capital é aplicado, durante 15 meses, a juros simples a uma taxa igual à da aplicação anterior, produzindo juros no total de R$ 5.250,00. O valor do segundo capital supera o valor do primeiro em

a) R$ 10.000,00 b) R$ 8.500,00 c) R$ 7.500,00 d) R$ 6.000,00 e) R$ 5.850,00



14. (AFRE-PB 2006 ESAF) Um investidor aplica em um determinado banco R$ 10.000,00 a juros simples. Após 6 meses, resgata totalmente o montante de R$ 10.900,00 referente a esta operação e o aplica em outro banco, durante 5 meses, a uma taxa de juros simples igual ao dobro da correspondente à primeira aplicação. O montante no final do segundo período é igual a

a) R$ 12.535,00 b) R$ 12.550,00 c) R$ 12.650,00 d) R$ 12.750,00 e) R$ 12.862,00

(UnB / CESPE – DOCAS / PA -2004) Mário dispunha de um capital de R$ 10.000,00. Parte desse capital ele aplicou no banco BD, por 1 ano, à taxa de juros simples de 3% ao mês. O restante, Mário aplicou no banco BM, também pelo período de 1 ano, à taxa de juros simples de 5% ao mês. Considerando que, ao final do período, Mário obteve R$ 4.500,00 de juros das duas aplicações, julgue os itens seguintes. 15. A quantia aplicada no banco BM foi superior a R$ 4.000,00. 16. Os juros obtidos pela aplicação no banco BM superaram em mais de R$ 500,00 os juros obtidos pela aplicação no banco BD. 17. Ao final do ano, o montante obtido pela aplicação no banco BD foi superior a R$ 8.000,00. 18. (UnB / CESPE – CHESF 2002) Uma pessoa recebeu R$ 6.000,00 de herança, sob a condição de investir todo o dinheiro em dois tipos particulares de ações, X e Y. As ações do tipo X pagam 7% a.a. e as ações do tipo Y pagam 9% a.a. A maior quantia que a pessoa pode investir nas ações X, de modo a obter R$ 500,00 de juros em um ano, é A) inferior a R$ 1.800,00. B) superior a R$ 1.800,00 e inferior a R$ 1.950,00. C) superior a R$ 1.950,00 e inferior a R$ 2.100,00. D) superior a R$ 2.100,00 e inferior a R$ 2.250,00. E) superior a R$ 2.250,00. 19. (UnB / CESPE – CHESF 2002) Um capital acrescido dos seus juros simples de 21 meses soma R$ 7.050,00. O mesmo capital, diminuído dos seus juros simples de 13 meses, reduz-se a R$ 5.350,00. O valor desse capital é A) inferior a R$ 5.600,00. B) superior a R$ 5.600,00 e inferior a R$ 5.750,00. C) superior a R$ 5.750,00 e inferior a R$ 5.900,00. D) superior a R$ 5.900,00 e inferior a R$ 6.100,00. E) superior a R$ 6.100,00.



20. (AFTE-RO 2010 FCC) Dois capitais foram aplicados a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. O primeiro capital ficou aplicado durante o prazo de um ano e o segundo, durante 8 meses. A soma dos dois capitais e a soma dos correspondentes juros são iguais a R$ 27.000,00 e R$ 5.280,00, respectivamente. O valor do módulo da diferença entre os dois capitais é igual a a) R$ 2.000,00 b) R$ 2.500,00 c) R$ 3.000,00 d) R$ 4.000,00 e) R$ 5.000,00 21. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Um investidor aplica um capital a juros simples, durante 10 meses, apresentando montante no valor de R$ 30.000,00 no final do período. Caso este capital tivesse sido aplicado durante 16 meses a juros simples, e com a mesma taxa de juros anterior, o valor do montante no final deste período teria sido de R$ 33.600,00. O valor do capital aplicado pelo investidor é igual a (A) R$ 21.000,00. (B) R$ 22.500,00. (C) R$ 23.600,00. (D) R$ 24.000,00. (E) R$ 25.000,00.

22. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Os valores de R$ 50.000,00 e R$ 100.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples durante 12 e 6 meses, respectivamente. O prazo médio da aplicação conjunta desses capitais, em meses é:

a) 12 b) 8 c) 10 d) 9,2 e) 7,5

23. (AFRF 2003/ESAF) Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais. a) 2,9% b) 3% c) 3,138% d) 3,25% e) 3,5%



24. (AFRF 2002.2/ESAF) Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês, no regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional anual de aplicação destes capitais. a) 4% b) 8% c) 12% d) 24% e) 48%

25. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um investimento de R$ 20 000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final de dois anos é a) R$ 45.000,00 b) R$ 47.500,00 c) R$ 60.000,00 d) R$ 90.000,00 e) R$ 50.000,00 26. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num CDB com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% ao mês. O valor de resgate dessa operação foi, em reais, de (Nota: efetue as operações com 4 casas decimais) a) 20.999,66 b) 21.985,34 c) 22.111,33 d) 22.400,00 e) 22.498,00

27. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicação de um capital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de juros compostos de 8% ao ano, são iguais aos da aplicação de um outro capital no valor R$ 10.400,00, a juros simples, à taxa de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi igual a




28. (CEF 2008 CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere à taxa de juros utilizada.

Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros

a) compostos, sempre. b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. c) simples, sempre. d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo. e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo.

29. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A fração de período pela convenção linear produz uma renda a e pela convenção exponencial produz uma renda b. Pode-se afirmar que:

a) log b) c) d) √ e)

30. (BESC 2004/FGV) O montante de um principal de R$ 300,00 em 2 meses e 10 dias, a juros de 10% ao mês pela convenção linear, é igual a: a) R$ 370,00 b) R$ 372,00 c) R$ 373,00 d) R$ 375,10 e) R$ 377,10

31. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) José dispõe de R$ 10.000,00 para aplicar durante seis meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguintes propostas de investimento:

I – Juros simples de 2% ao mês. II – Juros compostos de 1% ao mês. III – Resgate de R$ 12.000,00, ao final de um período de seis meses.

Assinale:



a) se todas apresentarem o mesmo retorno. b) se a proposta I for a melhor alternativa de investimento. c) se a proposta II for a melhor alternativa de investimento. d) se a proposta III for a melhor alternativa de investimento. e) se as propostas I e III apresentarem o mesmo retorno.

16. Gabaritos

01. A 02. E 03. B 04. D 05. E 06. C 07. A 08. C 09. A 10. E 11. D 12. B 13. B 14. A 15. Errado 16. Errado 17. Certo 18. C 19. D 20. C 21. D 22. B 23. E 24. E 25. A 26. E 27. D 28. E 29. E 30. D 31. D

1 CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO

PROFESSOR: GUILHERME NEVES

www.pontodosconcursos.com.br

Aula 2 – Senado Federal RAZÃO E PROPORÇÃO ................................................................................................................... 2

GRANDEZAS DIRETAMENTE/INVERSAMENTE PROPORCIONAIS ................................................. 22

REGRA DE TRÊS............................................................................................................................ 25

Conjuntos Numéricos .................................................................................................................. 34

Conjunto dos Números Naturais ................................................................................................. 35

Operações com números naturais .............................................................................................. 36

Conjunto dos números inteiros ................................................................................................... 43

Regras dos sinais com números inteiros ..................................................................................... 45

Conjunto dos números racionais ................................................................................................ 47

Conjunto dos números irracionais .............................................................................................. 54

Números reais ............................................................................................................................. 55

Reta real ...................................................................................................................................... 55

Potências ..................................................................................................................................... 60

Radicais ........................................................................................................................................ 66

Comparação de radicais .............................................................................................................. 72

Progressão Geométrica ........................................................................................................... 73

Cálculo da razão ....................................................................................................................... 74

Termo Geral .............................................................................................................................. 74

Soma dos termos de uma Progressão Geométrica finita .................................................. 75

Soma dos termos de uma Progressão Geométrica Infinita ............................................... 75

Relação das questões comentadas ............................................................................................. 80

Gabaritos ..................................................................................................................................... 97




RAZÃO E PROPORÇÃO

Razão de um número a para um número b, sendo b diferente de zero, é o quociente de a por b.

Denotamos por a : b = a / b a razão entre os números a e b. O número a é chamado de antecedente e o número b de consequente.

O conceito de razão nos permite fazer comparações de grandeza entre dois números.

Há, por exemplo, um tipo especial de razão: a escala.

A escala é a relação entre as distâncias representadas num mapa e as correspondentes distâncias reais. Escala é a razão entre a medida no desenho e o correspondente na medida real.

real Medidadesenho do Medida Escala =

Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre dc e

ba é a

igualdade: dc

ba= . Podemos escrever

/ /

Com a notação da esquerda, dizemos que a e c são os antecedentes; b e d são os conseqüentes.

Com a notação da direita, dizemos que a e d são os extremos, e que b e c são os meios.

Em toda proporção, é válida a seguinte propriedade (chamada de Propriedade Fundamental das Proporções): o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

· ·

Por exemplo,

46

812 6 · 8 4 · 12 48

É importantíssima a seguinte propriedade: A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como qualquer antecedente está para o seu consequente.




Por exemplo,

46

812

4 86 12

1218

Ou seja, podemos “prolongar” toda proporção, somando os numeradores das frações e somando os denominadores. Utilizaremos diversas vezes esta propriedade na resolução de questões envolvendo divisão proporcional.

Isso é o básico que devemos saber para resolver questões sobre razões, proporções e divisão proporcional. Ao longo da resolução das questões, colocarei mais algumas propriedades e definições.

01. (Pref. de Barueri 2006/CETRO) A definição de densidade demográfica é dada pela razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região. Pedro fez uma pesquisa, em sua cidade, para calcular qual seria a densidade demográfica da região onde mora. Ele conseguiu, junto à prefeitura, as seguintes informações: a área da cidade era de 2.651 km2 e a quantidade de pessoas que residiam na localidade era de 151.107 habitantes. De posse dessas informações, ele concluiu que a densidade demográfica de sua cidade é de:

(A) 57 habitantes / km2

(B) 58 habitantes / km2

(C) 59 habitantes / km2

(D) 15 habitantes / km2

(E) 155 habitantes / km2

Resolução

De acordo com o enunciado,

á ú

á ã151.107

2.651

á 57 /

Letra A

02. (SEMAE de Piracicaba 2006/CETRO) Em uma fábrica trabalham 216 funcionários, sendo que 135 são do sexo masculino e 81 pertencem ao sexo




feminino. Calcule a razão entre o número de funcionários do sexo masculino e o número do sexo feminino.

(A) 4/3

(B) 3/5

(C) 3/7

(D) 2/5

(E) 5/3

Resolução

Para calcular a razão entre o número de funcionários do sexo masculino e o número do sexo feminino basta dividir o número de homens pelo número de mulheres.

13581

4527

159

53

A fração 135/81 foi simplificada por 3, por 3, e por 3. Se você já tivesse percebido que 135 e 81 são divisíveis por 27, poderia ter simplificado direto.

Letra E

03. (AFC 2002/ESAF) Os números A, B e C são inteiros positivos tais que A < B < C. Se B é a média aritmética simples entre A e C, então necessariamente a razão (B - A) / (C - B) é igual a:

a) A / A

b) A / B

c) A / C

d) B / C

e) - (B/B)

Resolução

Se B é a média aritmética entre A e C, podemos escrever:




2 2 2

Queremos calcular o valor de (B - A) / (C - B):

2 21

Analisando as alternativas, temos que

1

Portanto, a resposta é a letra A.

04. (SEMAE de Piracicaba 2006/CETRO) A razão entre o comprimento e a largura de um retângulo é 3/2. Sabendo que a largura é 10 cm, qual é a área desse retângulo em centímetros quadrados?

(A) 120

(B) 150

(C) 80

(D) 180

(E) 340

Resolução

Algebricamente, a frase “A razão entre o comprimento e a largura de um retângulo é 3/2” pode ser escrita como

32

Como a largura é igual a 10 cm, temos que

1032

Lembrando que o produto dos meios é igual a produto dos extremos,

2 · 3 · 10

2 · 30

15

A área do retângulo é o produto do comprimento pela largura, assim:




· 15 · 10 150

Letra B

05. (Pref. Rio Claro 2006/CETRO) Em uma proporção contínua, a terceira proporcional dos números 1 e 5 é igual a

(A) 15.

(B) 20.

(C) 25.

(D) 30.

(E) 35.

Resolução

Uma proporção é contínua quando os meios são iguais. Ou seja, é uma proporção do tipo

E o número c é chamado de terceira proporcional dos números a e b.

Assim,

15

5

1 · 5 · 5

25

Portanto, 25 é a terceira proporcional dos números 1 e 5.

Letra C

O momento é oportuno para lembrar que na proporção

O número d é a quarta proporcional dos números a, b, c.

06. (EBDA 2006/CETRO) A razão entre dois segmentos de reta x e y é 2/5, então a razão entre o quíntuplo do segmento x e a metade do segmento y é igual a:




(A) 1/2

(B) 1/4

(C) 4

(D) 2

(E) 4/5

Resolução

Pelo enunciado, podemos escrever que

25

Queremos calcular a seguinte razão:

5

2

Lembre-se que para dividir frações, repetimos a fração do numerador, invertemos a fração do denominador e multiplicamos. Dessa forma,

5

25 ·

210 · 10 ·

25

205 4

Letra C

07. (Câmara Municipal de Araçatuba 2008/CETRO) Um carro faz, na cidade, 14 Km por litro de combustível. No tanque do carro cabem, ao todo, 40 litros de combustível, portanto, na cidade, ele consegue andar, com um tanque cheio,

(A) 360 Km.

(B) 420 Km.

(C) 460 Km.

(D) 560 Km.

(E) 600 Km.

Resolução

A razão entre a quantidade de quilômetros rodados e a quantidade de litros de combustível é constante e igual a 14 quilômetros por um litro.

Assim,




40

14 1

Sabemos que em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Dessa forma,

· 1 14 · 40

560

Letra D

08. (Pref. Taquarivaí 2006/CETRO) Na proporção x/y = 2/5. Sabendo-se que x+y=49, o valor de x e y será de:

(A) x = 20; y = 29

(B) x = 14; y = 35

(C) x = 29; y = 20

(D) x = 35; y = 14

(E) x = 15; y = 34

Resolução

25

Dica: É preferível que você coloque as incógnitas no numerador e os números no denominador. Você poderá fazendo isso trocando os meios de lugar, ou trocando os extremos. Por exemplo, podemos trocar o y com o 2. Essa troca é válida porque o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, e a ordem dos fatores não altera o produto.

Assim, a mesma proporção pode ser escrita como

2 5

Vamos agora utilizar uma propriedade que mencionei no início da aula.

Podemos “prolongar” toda proporção, somando os numeradores das frações e somando os denominadores.




2 5 2 5497 7

Dessa forma,

2 7 14 5 7 35

Letra B

09. (CRP 4ª 2006/CETRO) Considere dois números x e y que sejam diretamente proporcionais a 8 e 3 e cuja diferença entre eles seja 60. Determine o valor de ( x + y ). (A) 92 (B) 123 (C) 132 (D) 154 (E) 166

Resolução

Se os números x e y são diretamente proporcionais a 8 e 3, podemos escrever

8 3

E da mesma forma que podemos “prolongar” a proporção somando os numeradores e os denominadores, podemos também subtrair. Assim,

8 3 8 3605 12

8 12 96 3 12 36

Portanto,

96 36 132

Letra C

10. (Pref. Pinheiral 2006/CETRO) Em uma festa, a razão entre o número de moças e o de rapazes, é de 3/2. A porcentagem de rapazes na festa é:

(A) 25%

(B) 30%

(C) 33%

(D) 38%




(E) 40%

Resolução

Se a razão entre o número de moças e o de rapazes é 3/2, então

32

Falamos anteriormente que é preferível que você coloque as incógnitas no numerador e os números no denominador. Você poderá fazendo isso trocando os meios de lugar, ou trocando os extremos.

3 2

Queremos saber o percentual de rapazes. Podemos supor que o total de pessoas é igual a 100. Se o total de pessoas (m+r) for igual a 100, então quantos serão rapazes?

3 2 3 2100

5 20

2 20 40

Ou seja, se fossem 100 pessoas no total, 40 seriam rapazes. Portanto, o percentual de rapazes é 40%.

Letra E

11. (PRODESP 2003/CETRO) Se a razão entre dois números é 5 e a soma entre eles é 30, pode-se afirmar que a diferença entre eles é

(A) 10

(B) 12

(C) 15

(D) 20

(E) 25

Resolução

Sejam x e y os números.




5 5

Como a soma deles é 30,

30

5 30 6 30 5

Como 5 , ã 5 · 5 25

A diferença entre eles é 25 – 5 = 20.

Letra D

12. (Pref. Estância Turística de Embu 2006/CETRO) Paulo tem três filhos, Rodrigo de 15 anos, Ricardo de 20 anos e Renato de 25 anos. Paulo pretende dividir R$ 3.000,00 para os três filhos em valores proporcionais as suas idades. É correto afirmar que o valor que Rodrigo deve receber é:

(A) R$ 1.500,00

(B) R$ 1.250,00

(C) R$ 1.000,00

(D) R$ 750,00

(E) R$ 500,00

Resolução

Queremos dividir R$ 3.000,00 em três partes diretamente proporcionais a 15, 20 e 25 anos, que são as idades de Rodrigo, Ricardo e Renato, respectivamente.

Assim,

15 20 25

Obviamente 3.000.

Assim, somando os numeradores e somando os denominadores, podemos prolongar a proporção.

15 20 25 15 20 253.000

60 50

Temos então:




15 50 15 · 50 750

Letra D

13. (CAERN 2010/FGV) Dividindo-se 11.700 em partes proporcionais a 1, 3 e 5, a diferença entre a maior das partes e a menor delas é a) 6.500. b) 5.500. c) 5.800. d) 5.200. e) 5.000 Resolução

Devemos dividir 11.700 em partes diretamente proporcionais a 1,3 e 5 dias. Assim, temos a seguinte proporção:

1 3 5

Obviamente, a soma das três partes (a+b+c) é igual a 11.7000. Dessa forma,

1 3 5 1 3 511.700

9 1.300

Assim:

1 · 1.300 1.300

3 · 1.300 3.900

5 · 1.300 6.500

A diferença entre a maior das partes e a menor delas é 6.500 1.300 5.200. Letra D 14. (Pref. de Mairinque 2009/CETRO) Três técnicos receberam, ao todo, por um serviço R$3.540,00. Um deles trabalhou 2 dias, o outro 4 dias e o outro 6 dias. Sabendo-se que a divisão do valor é proporcional ao tempo que cada um trabalhou, o técnico que trabalhou mais dias recebeu




(A) R$590,00.

(B) R$680,00.

(C) R$1.180,00.

(D) R$1.770,00.

(E) R$2.420,00.

Resolução

Devemos dividir R$ 3.540,00 em partes diretamente proporcionais a 2,4 e 6 dias. Assim, temos a seguinte proporção:

2 4 6

Obviamente, a soma das três partes (a+b+c) é igual a R$ 3.540,00. Dessa forma,

2 4 6 2 4 63.540

12 295

O técnico que mais trabalhou (6 dias) recebeu

6 295 6 · 295 1.770

Letra D

15. (TCM SP 2006/CETRO) Uma gratificação de R$ 5.280,00 será dividida entre três funcionários de uma empresa na razão direta do número de filhos e na razão inversa das idades de cada um. André tem 30 anos e possui 2 filhos; Bruno com 36 anos tem 3 filhos e Carlos tem 48 anos e 6 filhos. É correto que o mais velho receberá

(A) R$1 200,00.

(B) R$1 280,00.

(C) R$1 600,00.

(D) R$2 200,00.

(E) R$2 400,00.

Resolução




Temos agora uma divisão diretamente proporcional ao número de filhos e inversamente proporcional às idades.

Em divisões desse tipo, a proporção tomará a seguinte forma:

No nosso exemplo, a divisão será diretamente proporcional a 2, 3 e 6 (ficam no numerador) e será inversamente proporcional a 30, 36 e 48 (ficam no denominador).

230

336

648

Podemos simplificar as frações:

115

112

18

Podemos facilitar nossas vidas adotando o seguinte procedimento:

Sempre que numa proporção houver frações nos denominadores, devemos calcular o m.m.c dos denominadores das frações.

No caso, o m.m.c. entre 8,12 e 15 é igual a 120. Devemos agora dividir 120 por 15 e multiplicar por 1. Devemos dividir 120 por 12 e multiplicar por 1. Devemos dividir 120 por 8 e multiplicar por 1.

8 10 15

Agora temos uma proporção muito parecida com às dos quesitos anteriores. Devemos somar os numeradores e os denominadores.

8 10 15 8 10 155.280

33 160

O mais velho, Carlos, receberá:

15 160 15 · 160 2.400

Letra E

16. (FCC-- TRF-1a-Região 2001) Dois funcionários de uma Repartição Pública foram incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total na razão




direta de suas respectivas idades e inversa de seus respectivos tempos de serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e está há 9 anos no serviço público, então a diferença positiva entre os números de processos que cada um arquivou é

(A) 48

(B) 50

(C) 52

(D) 54

(E) 56

Resolução

Temos novamente uma divisão diretamente proporcional às idades e divisão inversamente proporcional aos tempos de serviços.

A proporção terá a seguinte forma:

27 4293

a b=

O m.m.c entre 3 e 9 é igual a 9. Para facilitar nossas vidas, devemos dividir 9 por 3 e multiplicar por 27, resultando 81. Devemos dividir 9 por 9 e multiplicar por 42, resultando 42.

164 481 42 81 42 123 3a b a b+= = = =

+

481 1083442 563

108 56 52

a

b

a b

= ⋅ =

= ⋅ =

− = − =

Letra C




17. (Vestibular FGV 2003) Em uma sala de aula, a razão entre o número de homens e o de mulheres é 3/4. Seja N o número total de pessoas (número de homens mais o de mulheres). Um possível valor para N é: A) 46 B) 47 C) 48 D) 49 E) 50

Resolução

A razão entre o número de homens e o de mulheres é 3/4, logo:

34 3 4 3 4 7

Portanto, n é um número divisível por 7. Dentre as alternativas, o único número divisível por 7 é 49.

Letra D

18. (ESAF) Ao dividir a quantia de R$ 10.000,00 em duas partes inversamente proporcionais a 2 e 3, nessa ordem, a primeira e a segunda parte são, respectivamente:

a) R$ 4.000,00 e R$ 6.000,00

b) R$ 6.000,00 e R$ 4.000,00

c) R$ 5.000,00 e R$ 5.000,00

d) R$ 8.000,00 e R$ 2.000,00

e) R$ 2.000,00 e R$ 8.000,00

Resolução

Quando a divisão for inversamente proporcional, a proporção seguirá a seguinte forma:

Temos então que:

12

13




O m.m.c. entre 2 e 3 é 6. Assim, devemos dividir 6 por 2 e multiplicar por 1 (obtemos 3). Dividimos 6 por 3 e multiplicamos por 1 (obtemos 2).

3 2 3 210.000

5 2.000

Assim,

3 2.000 6.000 2 2.000 4.000

Letra B

19. (AFC/CGU 2004/ESAF) Os ângulos de um triângulo encontram-se na razão 2:3:4. O ângulo maior do triângulo, portanto, é igual a:

a) 40°

b) 70°

c) 75°

d) 80°

e) 90°

Resolução

Sejam a,b,c os ângulos do triângulos. Veremos na aula de geometria que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º. Portanto, 180 .

2 3 4 2 3 4180

9 20

O maior ângulo é c.

4 20 80

Letra D

20. (SUSEP 2010/ESAF) Um pai deseja dividir uma fazenda de 500 alqueires entre seus três filhos, na razão direta da quantidade de filhos que cada um tem e na razão inversa de suas rendas. Sabendo-se que a renda do filho mais velho é duas vezes a renda do filho mais novo e que a renda do filho do meio é três vezes a renda do mais novo, e que, além disso, o filho mais velho tem três filhos, o filho do meio tem dois filhos e o filho mais novo tem dois filhos, quantos alqueires receberá o filho do meio?




a) 80

b) 100

c) 120

d) 160

e) 180

Resolução

Digamos que a renda do filho mais novo seja igual a 1. Portanto a renda do filho mais velho será igual a 2 e a renda do filho do meio será igual a 3.

Temos a seguinte proporção:

O mínimo múltiplo comum entre 2, 3 e 1 é igual a 6. Podemos desenvolver a proporção da seguinte maneira: dividimos pelo denominador e multiplicamos pelo numerador (com as frações que se encontram no denominador). Por exemplo, olhe para a primeira fração: 3/2. Dividimos 6 (m.m.c.) por 2 e multiplicamos por 3. Obtemos o número 9. A segunda fração: 6 dividido por 3, vezes 2: obtemos o número 4. Finalmente a última fração: 6 dividido por 1, vezes 2: obtemos o número 12. A proporção ficará:

Temos uma divisão diretamente proporcional aos números 9, 4 e 12.

Assim, o filho do meio receberá 4 x 20 = 80 alqueires.

Letra A

21. (TJPA 2006/CESPE-UnB)




O mapa do estado do Pará ilustrado acima está desenhado na escala 1:17.000.000, ou seja, uma distância de 1 cm no mapa corresponde à distância real, em linha reta, de 17 milhões de centímetros. Ao medir, com a régua, a distância no mapa entre Jacareacanga e Belém, um estudante encontrou 6,7 cm. Com base apenas nessas informações, é correto o estudante concluir que a distância real, em linha reta, entre essas duas cidades é

A) inferior a 1.000 km.

B) superior a 1.000 km e inferior a 1.080 km.

C) superior a 1.080 km e inferior a 1.150 km.

D) superior a 1.150 km.

Resolução

A escala de um mapa é, por definição:

A escala do mapa é de 1: 17.000.000 e a medida encontrada no desenho entre as duas cidades é de 6,7 cm.

117.000.000




Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos:

17.000.000 ·

17.000.000 · 6,7

113.900.000

Temos os seguintes múltiplos e submúltiplos do metro.

Múltiplos: Decâmetro (dam), hectômetro (hm) e quilômetro (km).

Submúltiplos: Decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).

km hm dam m dm cm mm

Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 10 a cada passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda devemos dividir por 10 a cada passagem.

Como queremos expressar 113.900.000 cm em quilômetros, devemos dividir esta medida por 100.000 (5 casas correspondem a 5 zeros).

113.900.000 113.900.000

100.000 1.139


Letra C

22. (TJPA 2006/CESPE-UnB) Alexandre, Jaime e Vítor são empregados de uma empresa e recebem, respectivamente, salários que são diretamente proporcionais aos números 5, 7 e 9. A soma dos salários desses 3 empregados corresponde a R$ 4.200,00. Nessa situação, após efetuar os cálculos, conclui-se corretamente que

A) a soma do salário de Alexandre com o de Vítor é igual ao dobro do salário de Jaime.

B) Alexandre recebe salário superior a R$ 1.200,00.

C) o salário de Jaime é maior que R$ 1.600,00.

D) o salário de Vítor é 90% maior do que o de Alexandre.

Resolução




Digamos que os salários de Alexandre, Jaime e Vítor são, respectivamente, iguais a , .

Como esses valores são diretamente proporcionais a 5,7 e 9. Podemos escrever a seguinte proporção:

5 7 9

Sabemos também que a soma dos salários dos 3 empregados é igual a R$ 4.200,00. Prolongaremos a proporção somando os antecedentes e somando os consequentes.

5 7 9 5 7 94.200

21 200

Assim:

5 · 200 1.000

7 · 200 1.400

9 · 200 1.800

Vejamos cada uma das alternativas de per si.

A) a soma do salário de Alexandre com o de Vítor é igual ao dobro do salário de Jaime. (VERDADEIRO)

1.000 1.800 2.800 2

B) Alexandre recebe salário superior a R$ 1.200,00. (FALSO)

1.000 1.200


1.400 1.600 D) o salário de Vítor é 90% maior do que o de Alexandre. (FALSO).

O salário de Vítor é 80% maior do que o de Alexandre

Letra A

23. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) Antônio era viúvo e tinha três filhos: um com 13 anos, outro com 14 anos e, o mais velho, com 18 anos. Um dia, Antônio chamou seus filhos e disse que tinha feito seu testamento deixando para eles a quantia que tinha acumulado na caderneta de poupança.




“Quando eu morrer”, disse ele, “o montante deverá ser dividido em partes diretamente proporcionais às idades de vocês no dia de minha morte”.

Antônio morreu cinco anos depois desse dia e, na caderneta de poupança, havia exatos R$ 450.000,00. A quantia que o filho mais velho recebeu foi:

a) R$ 142.500,00

b) R$ 154.000,00

c) R$ 165.500,00

d) R$ 168.000,00

e) R$ 172.500,00

Resolução

Cinco anos depois da realização do testamento os filhos têm 18, 19 e 23 anos. Devemos, portanto, dividir R$ 450.000,00 em partes diretamente proporcionais a 18, 19 e 23. Temos a seguinte proporção:

18 19 23

Obviamente 450.000.

Assim, somando os numeradores e somando os denominadores, podemos prolongar a proporção.

18 19 23 18 19 23450.000

60 7.500

O mais velho recebeu 23 7.500 172.500 .

Letra E

GRANDEZAS DIRETAMENTE/INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Duas sequências de números são ditas diretamente proporcionais se o quociente entre os elementos correspondentes for constante.

Ou seja, as sequências ( , , … , e ( , , … , são diretamente proporcionais se




O número k é a chamada constante de proporcionalidade.

Duas sequências de números são ditas inversamente proporcionais se o produto entre os elementos correspondentes for constante.

Ou seja, as sequências ( , , … , e ( , , … , são inversamente proporcionais se

· · ·

O número k é a chamada constante de proporcionalidade.

24. (AFC-STN 2000/ESAF) Em um processo de fabricação, o custo total é inversamente proporcional ao quadrado das quantidades produzidas. Quando são produzidas 5 unidades, o custo total é igual a 225. Assim, quando forem produzidas 12 unidades, o custo total será igual a:

a) 625/25

b) 625/24

c) 625/16

d) 625/15

e) 625/12

Resolução

Chamemos a grandeza custo de C e a grandeza quantidade produzida de Q. Sabemos que o custo total é inversamente proporcional ao quadrado das quantidades produzidas.

Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, o produto entre os valores correspondentes é constante. Assim,

· ·

225 · 5 · 12

225 · 25144

Podemos simplificar 225 e 144 por 9.

25 · 2516

62516




Letra C

25. (Vestibular FGV 2002) Uma variável y é inversamente proporcional ao quadrado de outra variável x. Para x = 3, y vale 15. Então, se x = 4, y deverá valer:

a) 1/16

b) 15/16

c) 45/16

d) 135/16

e) 625/16

Resolução

Grandezas inversamente proporcionais variam a produto constante.

· ·

15 · 3 · 4

135 16 ·

13516

Letra D

26. (FNDE 2007/FGV) A grandeza é diretamente proporcional às grandezas e e inversamente proporcional à grandeza . Quando 20, 12 e 30, o valor de é 42. Então, quando os valores de , e forem respectivamente 25, 8 e 70, o valor de será: a) 15 b) 21 c) 30 d) 56 e) 35 Resolução Grandezas diretamente proporcionais variam a quociente constante e grandezas inversamente proporcionais variam a produto constante. Portanto:




··

··

Vamos substituir os valores:

42 · 3020 · 12

· 7025 · 8

1.260240

· 70200

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, portanto:

240 · · 70 1.260 · 200 Assim,

1.260 · 200240 · 70 15

Letra A

REGRA DE TRÊS

Chama-se “Regra de Três” a certos problemas nos quais, sendo dados valores de várias grandezas, sempre em número ímpar de, no mínimo três, propôs-se determinar o valor de uma, e somente uma grandeza desconhecida.

Lembremos que para resolver questões de Regra de Três, devemos construir uma tabela agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. Em seguida devemos determinar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais. O último passo é montar a proporção.

27. (Câmara Itapeva 2006/CETRO) Uma torneira aberta completamente enche um recipiente de 40 litros em 33 segundos, em quanto tempo esta mesma torneira, aberta completamente, encherá um reservatório de 1.240 litros?

(A) 13minutos e 15 segundos

(B) 14 minutos e 10 segundos

(C) 10 minutos e 14 segundos

(D) 20 minutos

(E) 17 minutos e 3 segundos




Resolução

Litros Segundos 40 33

1.240 x

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

Aumentando a quantidade de litros do reservatório, o tempo para enchê-lo também aumentará. Portanto as grandezas são diretamente proporcionais. Colocamos uma seta no mesmo sentido.

Litros Segundos 40 33

1.240 x

401.240

33

40 · 33 · 1.240

33 · 1.24040 1.023 .

Dividindo por 60 (para passar para minutos), 1.023 segundos = 17 minutos e 3 segundos.

Letra E

28. (FNDE 2007/FGV) Uma fábrica de roupas recebeu uma encomenda para confeccionar uma grande quantidade de uniformes. Designou então 15 costureiras (todas com a mesma capacidade de trabalho) para realizar a tarefa, e o trabalho ficou pronto em 12 dias. Se tivesse designado 20 costureiras, o trabalho seria realizado em: a) 10 dias b) 9 dias c) 8 dias d) 15 dias e) 16 dias Resolução Vamos montar uma tabela com os dados.




Costureiras Dias 15 12

20 x

Aumentando a quantidade de costureiras, o número de dias diminui. Portanto, as grandezas são inversamente proporcionais.

Costureiras Dias 15 12

20 x

Vamos montar a proporção. Como as grandezas são inversamente proporcionais, devemos inverter a coluna das costureiras.

12 2015


20 · 12 · 15

20 180

9 Letra B 29. (CAERN 2010/FGV) Cinco máquinas com a mesma capacidade de trabalho enchem 30 garrafas de 250 mL em 12 minutos. Três dessas máquinas serão utilizadas para encher 15 garrafas de 500 mL. Para realizar essa tarefa, serão necessários a) 18 minutos. b) 24 minutos. c) 20 minutos. d) 15 minutos. e) 30 minutos. Resolução Vamos montar uma tabela com os dados do problema.

Máquinas Garrafas mL Minutos

5 30 250 12




3 15 500 x

Antes de analisar as grandezas, vamos simplificar as colunas. A primeira coluna pode ser simplificada por 15 e a terceira coluna pode ser simplificada por 250.


5 2 1 12

3 1 2 x

Diminuindo a quantidade de máquinas, serão gastos mais minutos. Portanto, as grandezas são inversamente proporcionais. Diminuindo a quantidade de garrafas, diminuirá a quantidade de minutos necessários. As grandezas são diretamente proporcionais. Aumentando a capacidade de cada garrafa, serão gastos mais minutos. As grandezas são diretamente proporcionais.


5 2 1 12

3 1 2 x

A proporção ficará: 12 3

5 ·21 ·

12

As duas últimas frações são canceladas.

12 35


3 12 · 5

3 60

20 Letra C 30. (MINC 2006/FGV) Trabalhando 8 horas por dia, 5 homens constroem um galpão em 6 dias. Em quantos dias 4 homens, trabalhando 6 horas por dia, construiriam o mesmo galpão? (A) 8 (B) 9 (C) 10




(D) 12 (E) 15 Resolução Vamos montar uma tabela com os dados do problema.

Horas por dia Homens Dias

8 5 6

6 4 x

Vejamos: Diminuindo a quantidade de horas por dia, então aumentaremos a quantidade de dias. Portanto, as grandezas são inversamente proporcionais. Diminuindo a quantidade de homens, serão necessários mais dias. Portanto, as grandezas são inversamente proporcionais.

Horas por dia Homens Dias

8 5 6

6 4 x

A proporção ficará:

6 68 ·

45

6 24

40

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, portanto:

24 6 · 40

24 240

10 Letra C 31. (FCC) Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12h. Outra pessoa y, é 50% mais eficiente que x. Nessas condições, o número de horas necessárias para que y realize essa tarefa é:

a) 4




b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

Resolução

Digamos que a eficiência de x tenha valor numérico igual a 100. Portanto, a eficiência de y será 150.

Eficiência Horas

100 12 150 x

Observe que, porque y é mais eficiente do que x, y gastará menos horas do que x. Portanto, as grandezas são inversamente proporcionais. Colocaremos uma seta para cima.

Eficiência Horas

100 12 150 x

Na montagem da proporção, deveremos inverter a coluna da eficiência.

150100

12

150 1.200

8 .

Letra E

32. (Câmara Itapeva 2006/CETRO) Uma fábrica de motocicletas demora 10 dias de trabalho, numa jornada de 9 horas por dia, para produzir 250 motocicletas. Quantos dias serão necessários para produzir 300 motocicletas, trabalhando 12 horas por dia?




(A) 12 dias

(B) 10 dias

(C) 15 dias

(D) 9 dias

(E) 6 dias

Resolução

Dias Horas por dia Motocicletas 10 9 250 x 12 300

Antes de começar a resolução, podemos simplificar os números que estão na mesma coluna. Podemos simplificar 9 e 12 por 3. Podemos simplificar 250 e 300 por 50.


Aumentando a quantidade de horas trabalhadas por dia, a quantidade de dias diminuirá (seta para cima, pois as grandezas são inversamente proporcionais). Aumentando o número de motocicletas a serem produzidas, o número de dias aumentará (seta para baixo, pois as grandezas são diretamente proporcionais).


A proporção ficará:

10·

56

10 2018

20 180 9 .

Letra D




33. (TJPA 2006/CESPE-UnB) Considere que uma equipe formada por 5 empregados cataloga 360 livros em 2 horas. Nesse caso, o número de livros a mais que poderão ser catalogados por uma equipe formada por 7 empregados que trabalhem durante 2 horas, com a mesma eficiência da equipe anterior, é igual a

A) 118.

B) 124.

C) 138.

D) 144.

Resolução

Vamos resumir os dados da questão em uma tabela.

Empregados Livros Horas 5 360 2 7 x 2

Ora, já que a quantidade de horas nas duas situações é a mesma, podemos concluir que esta não vai influenciar no resultado.

Empregados Livros 5 360 7 x

Aumentando a quantidade de empregados, a quantidade de livros catalogados também aumentará (as grandezas são diretamente proporcionais).

57

360

5 · 7 · 360

7 · 3605 504

A questão pergunta quantos livros a mais poderão ser catalogados:

504 360 144

Letra D

34. (TJBA 2003/CESPE-UnB) Considerando que os servidores de uma repartição pública sejam igualmente eficientes, julgue os itens que se seguem.




Se 7 deles analisam 42 processos em um dia, então 5 servidores analisarão, em um dia, menos de 35 processos.

Resolução

Servidores Processos em um dia 7 42 5 x

Diminuindo a quantidade de servidores, a quantidade de processos analisados em um dia também diminuirá. Desta forma, as grandezas são diretamente proporcionais.

75

42

7 5 · 42

7 210

30

Poderíamos ter pensado da seguinte maneira:

Se 7 deles analisam 42 processos, então 1 servidor analisa 6 processos (42/7=6). Ora, se 1 servidor analisa 6 processos, então 5 servidores analisam 30 processos (5 x 6 = 30).

O item está certo.

35. Se 20 servidores, trabalhando 4 horas por dia, levam 6 dias para concluir determinada tarefa, então serão necessários menos de 6 servidores para completarem, em 12 dias, a mesma tarefa, trabalhando 8 horas por dia. Resolução

Servidores Horas por dia Dias 20 4 6 x 8 12

Podemos simplificar as colunas. A segunda coluna é simplificável por 4 e a terceira coluna é simplificável por 6.

Servidores Horas por dia Dias

20 1 1




x 2 2

Aumentando a quantidade de horas trabalhadas (aumentando a carga horária), a quantidade de servidores pode diminuir. As grandezas são inversamente proporcionais.


20 1 1 x 2 2

Aumento o prazo, ou seja, aumentando a quantidade de dias, a quantidade de servidores pode diminuir. As grandezas são inversamente proporcionais.


20 1 1 x 2 2

20 21 ·

21

204

4 20 5

O item está certo.

Conjuntos Numéricos

Não podemos estudar Matemática sem falar sobre números. O engraçado é que definir o que é um número está fora do escopo deste curso. Para falar a verdade, é bem complicado definir o que são números...

O professor Giuseppe Peano (1858-1932) era um matemático notável.

Na introdução de seu trabalho intitulado Sul concetto de numero (1891), escreveu: Uma criança, desde tenra idade, usa as palavras um, dois, três, etc., posteriormente usa a palavra número; somente muito mais tarde a palavra agregado aparece em seu vocabulário. E como a filologia nos ensina, o desenvolvimento dessas palavras ocorre na mesma ordem nas línguas indo-européias. Portanto, do ponto de vista prático, a questão me parece resolvida;




ou seja, não há vantagem, no ensino, definir número. Esta ideia é muito clara para os alunos e qualquer definição iria somente confundi-los.

Por outro lado, mesmo sem definir os “números”, todos nós temos uma noção bem definida sobre esses objetos matemáticos. E não precisamos falar que os números estão ao nosso redor como bem disse Pitágoras:

“Os números governam o mundo”.

Nesta parte da aula, apresentaremos os chamados conjuntos numéricos e suas propriedades.

Conjunto dos Números Naturais

A noção de um número natural surge com a pura contagem de objetos. Ao contar, por exemplo, os livros de uma estante, temos como resultado um número do tipo:

0,1,2,3 …

Obviamente não poderíamos ter um número negativo de livros. Também não poderíamos imaginar alguém falando: “Tenho 3,4231 livros na minha estante”.

A este conjunto denominamos conjunto dos números naturais.

Se por acaso houver a necessidade de excluir o número 0 (zero), indicaremos com um asterisco sobrescrito à letra N.

1,2,3,4 …

Este conjunto é chamado conjunto dos números naturais não-nulos. No conjunto dos números naturais, podemos definir apenas duas operações básicas: adição e multiplicação.

Você deve estar se perguntando: “E por que não subtração e divisão?”

A questão é a seguinte: dizemos que uma operação está bem definida quando sempre podemos operar naquele conjunto. Por exemplo: Será que é sempre possível somar dois números naturais? É claro que sim!!

Podemos efetuar 2+3=5, 3+0=3 e assim por diante.

Ou seja, a soma de dois números naturais também é um número natural. Por isso, dizemos que o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à adição.

Será que é sempre possível multiplicar dois números naturais? É claro que sim!!




Podemos efetuar 3 x 5 = 15, 4 x 1 = 4, 8 x 0 = 0...

Podemos então concluir que o produto de dois números naturais é também um número natural. Ou seja, o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à multiplicação.

Será que é sempre possível subtrair dois números naturais? Agora respondemos em alto e bom tom... NÃO!!!

Podemos efetuar 5 – 3 = 2. Por outro lado, não podemos efetuar (no conjunto dos números naturais) 3 – 5. Isto porque o resultado desta operação é um número negativo. Podemos então dizer que o conjunto dos números naturais NÂO É FECHADO em relação à subtração.

Da mesma maneira sabemos que o conjunto dos números naturais NÃO É FECHADO em relação à divisão. Podemos efetuar 8 : 2 = 4, mas não podemos efetuar 2 : 8 (o resultado desta operação, como iremos ver adiante, é uma fração que não é um número natural).

Observe que falamos algumas expressões tipicamente matemáticas como soma, adição, multiplicação, produto, etc.

Qual é a diferença entre soma e adição? É a mesma coisa? Vejamos...

Operações com números naturais

Como bem já dissemos, podemos definir apenas duas operações no conjunto dos números naturais: adição e multiplicação.

Vamos aprender detalhadamente cada uma dessas operações.

Considere o seguinte cálculo: 3 + 5 = 8.

O símbolo “+” representa a operação de adição. O resultado da adição é chamado de soma.

Portanto “adição” e “soma” não têm o mesmo significado. Adição é o nome da operação. Soma é o resultado da adição.

Definimos então a operação de adição:

a,b parcelas

c somaa b c

→⎡+ = ⎢ →⎣

No nosso exemplo, os números 3 e 5 são as parcelas e 8 é a soma.

Vejamos algumas propriedades importantes da adição.




1 Propriedade comutativa

Esta propriedade afirma que alterar a ordem das parcelas não altera a soma. Em símbolos:

para todos a,b Na b b a+ = + ∈

Obviamente sabemos que 3 + 5 = 8 e 5 +3 = 8, portanto 3 + 5 = 5 + 3.

Ex.: 4 5 5 4 9 4 59 5 4

+=+⎭⎬⎫

=+=+

2 Propriedade associativa A adição de três números naturais pode ser feita associando-se as duas primeiras ou as duas últimas parcelas. Aqui, devemos obedecer à regra de que devemos primeiro efetuar as operações que se encontram dentro dos parêntesis.

5) (3 2 5 3) (2 10 8 2 5) (3 210 5 5 5 3) 2(

++=++⎭⎬⎫

=+=++=+=++

3 Existência do elemento neutro da adição

Existe o número 0 (zero) que possui a seguinte propriedade.

0 0

Desta forma, 5 + 0 = 0 + 5 = 5. Por esta razão, o número zero é chamado de elemento neutro da adição.

4 Propriedade do fechamento

A soma de dois números naturais é um número natural.

Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a adição é uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. Vai adicionar dois números naturais? Com certeza o resultado (a soma) será um número natural!! Não tem como a soma ser um número negativo, um número irracional, etc.

Vamos falar um pouquinho agora sobre a multiplicação. Observe o seguinte cálculo:

3 4 12




Podemos representar a operação da multiplicação por dois símbolos (ou nenhum como veremos adiante). Usualmente, utilizamos o ·.

Assim, 3 4 3 · 4 12.

Quando estamos trabalhando com letras ou com expressões dentro de parêntesis é muito comum não utilizamos símbolo algum para representar a multiplicação. Assim,

3 3 .

Ou seja, 3 3 · 3 .

Vamos nos deparar muitas vezes com expressões do tipo: 2 1 .

Observe que não há símbolo algum entre os parêntesis do meio. Esta expressão significa que devemos multiplicar as expressões que estão nos parêntesis.

2 1 2 · 1 2 1

Daqui por diante usaremos indistintamente os símbolos ·. Normalmente utilizaremos quando estivermos trabalhando exclusivamente com números e utilizaremos · quando houver letras na expressão. Mas não se preocupe... Você pode utilizar qualquer um dos dois símbolos. Veja o que fica melhor esteticamente e utilize... Ok?

Podemos agora definir a operação da multiplicação, suas propriedades e nomenclaturas.

a,b fatores

c produtoa b c

→⎡× = ⎢ →⎣

Da mesma maneira que foi comentado na operação de adição, convém observar a diferença entre “multiplicação” e “produto”. Multiplicação é o nome da operação e produto é o resultado da multiplicação.

5 Propriedade comutativa

A ordem dos fatores não altera o produto.

É-me indiferente efetuar 3 x 4 ou efetuar 4 x 3. O resultado (produto) será o mesmo 12.

Desta forma, podemos afirmar que para todos a,bab ba N= ∈ .

Lembre-se que significa a vezes b. Ou seja,

· ·




2 7 7 2 14 2 714 7 2

⋅=⋅⎭⎬⎫

=⋅=⋅

6 Propriedade associativa

A multiplicação de três números naturais pode ser feita associando-se os dois primeiros ou os dois últimos fatores.

5) (4 3 5 4) (3 60 20 3 5) (4 360 5 12 5 4) 3(

⋅⋅=⋅⋅⎭⎬⎫

=⋅=⋅⋅=⋅=⋅⋅

7 Existência do elemento neutro da multiplicação

Existe o número 1 (um) que possui a seguinte propriedade:

· 1 1 ·

Ou seja, tanto faz efetuar 4 vezes 1 ou 1 vezes 4: o resultado é igual a 4.

Por essa razão, o número 1 é chamado elemento neutro da multiplicação.

8 Propriedade do fechamento

O produto de dois números naturais é um número natural.

Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a multiplicação é uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. Vai multiplicar dois números naturais? Com certeza o resultado (o produto) será um número natural!! Não tem como o produto ser um número negativo, um número irracional, etc.

Temos ainda uma propriedade que relaciona a multiplicação e a adição. É a chamada propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ou simplesmente propriedade distributiva.

9 Propriedade Distributiva




Antes de enunciar a propriedade seja com palavras seja com símbolos, vejamos um exemplo. Efetue 2 · 3 5 .

Existe uma hierarquia entre as operações matemáticas. Se não estivessem escritos os parêntesis, no caso, 2 · 3 5, deveríamos efetuar primeiramente 2 · 3 6 e em seguida adicionar o 5. No caso, 2 · 3 5 6 5 11.

Mas no nosso caso há os parêntesis. Devemos, portanto, ignorar a hierarquia das operações, pois devemos efetuar obrigatoriamente as operações que estão dentro dos parêntesis.

2 · 3 5 2 · 8 16

A propriedade distributiva nos diz que na multiplicação de uma soma por um número natural, multiplicam-se cada um dos termos por esse número e em seguida somamos os resultados. No caso, para efetuar 2 · 3 5 podemos multiplicar 2 por 3, multiplicar 2 por 5 e finalmente somar os dois resultados.

2 · 3 5 2 · 3 2 · 5 6 10 16

Utilizaremos bastante este fato ao trabalhar com “letras”... Por exemplo, a expressão 2 · 3 pode ser desenvolvida da seguinte maneira:

2 · 3 2 · 2 · 3 2 · 6

Ou simplesmente:

2 · 3 2 6

36. (TCE/PB/2006/FCC) Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo de uma biblioteca do Tribunal de Contas do Estado da Paraíba, o funcionário responsável pelo setor, que era aficionado em matemática, deu a seguinte resposta: “O total de livros do acervo é o resultado da adição de dois números naturais que, no esquema abaixo, comparecem com seus algarismos substituídos por letras.” M A R R A + M A R R A T O R T A

Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, então, ao ser decifrado corretamente, o código permitirá concluir que o total de livros do acervo dessa biblioteca é um número

a) menor que 70000. b) compreendido entre 70000 e 75000. c) compreendido entre 75000 e 80000. d) compreendido entre 80000 e 85000. e) maior que 85000.

Resolução




Vamos entender o enunciado. Ele simplesmente efetuou uma adição e trocou os algarismos por letras. Letras iguais correspondem a números iguais e letras distintas correspondem a algarismos distintos.

Olhemos inicialmente para os algarismos das unidades. Devemos descobrir um número tal que A A A+ = . Ou seja, qual é o número que somado com ele mesmo, é igual a ele mesmo?? Só pode ser o número zero!! Tem-se, então, que 0A = . Observe que 0 + 0 = 0 (lembre-se que o número zero é o elemento neutro da adição). Já podemos substituir as letras A por 0.

M 0 R R 0

M 0 R R 0

T O R T 0

Observe os algarismos das dezenas e das centenas. Aparentemente realizamos a mesma operação R R+ e obtemos dois resultados distintos. Isso se deve ao fato de a soma ser maior do que 10 e somos obrigados a acrescentar uma unidade na casa das centenas. Devemos testar R para o seguinte conjunto de valores: {5,6,7,8,9} (pois a soma deve ser maior do que 10).

Será que R = 5? Rapidamente concluímos que R não pode ser 5, pois ao efetuar R + R = 10, temos que T = 0. Mas lembre-se que letras distintas correspondem a algarismos distintos. E como A = 0, T não pode ser 0 e consequentemente R não pode ser 5.

Será que R = 6? Vejamos o que acontece... Lembre-se que 6 + 6 =12.

M 0 R=6 R=6 0

M 0 R=6 R=6 0

T O=1 R=3 T=2 0

Observe o absurdo. Ao efetuarmos 6 + 6 obtemos 12. Escrevemos o algarismo das unidades 2 no resultado e “subimos 1”. Na coluna do meio devemos efetuar R + R + 1 (este 1 é aquele que “subiu”). Temos que 6 + 6 + 1 = 13, então escrevemos o algarismo das unidades 3 e subimos 1. Temos agora que R = 3. Absurdo, já que estávamos supondo que R = 6.

Da mesma maneira, testando R = 7 e R = 8 chegamos a absurdos parecidos com o caso R = 6.

Chega-se a conclusão de que R=9.




0 9 9 0

0 9 9 0

9 8 0

Desse modo, sabemos que T=8. Logo, a soma será escrita da seguinte forma:

4 0 9 9 0

4 0 9 9 0

8 1 9 8 0

Logo, MARRA=81980.

Letra D

37. (Senado Federal/2008/FGV) Na operação de multiplicação abaixo, cada letra representa um algarismo

O valor de A+B+C é:

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

Resolução

3 1 3, 3 2 6, 3 3 93 4 12, 3 5 15, 3 6 183 7 21, 3 8 24, 3 9 27

× = × = × =× = × = × =× = × = × =

Ao multiplicarmos o algarismo C pelo número 3, obtemos um número cujo algarismo das unidades é igual a 4. Logo, . Como , ao efetuarmos o produto do número 3 pelo algarismo B, devemos adicionar 2 ao resultado.

1 A B 8

8C = 3 8 24× =




x 3

A B 8 4

O produto 3 B⋅ deverá ser um número cujo algarismo das unidades seja igual a 6, pois ao adicionarmos 2 teremos como resultado um número cujo algarismo das unidades é igual a 8. Logo, B=2, pois 3 2 6× = .

1 A 2 8

X 3

A 2 8 4

Finalmente, o número A deve ser tal que 3 A⋅ termine em 2. Portanto, 4A = .

1 4 2 8

X 3

4 2 8 4

Como 4A = , 2B = e 8C = , temos que 14A B C+ + = .

Letra E

Conjunto dos números inteiros

Vimos anteriormente que o conjunto dos números naturais é fechado em relação à adição e à multiplicação. Com o intuito de definir a operação “subtração” ampliaremos o conjunto dos números naturais.

Criamos, portanto, o conjunto dos números inteiros que é representado pela letra Z (inicial de zahl - número em alemão).

Chama-se conjunto dos números inteiros o conjunto

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

Dizemos que o número – é o simétrico ou oposto do número .




Por exemplo, o número 5 é o simétrico de 5 e reciprocamente: 5 é o simétrico de 5.

Neste conjunto destacam-se os seguintes subconjuntos:

(1) Conjunto dos inteiros não nulos (diferentes de zero):

| 0 … 3, 2, 1,1,2,3, …

(2) Conjunto dos inteiros não positivos (menores ou iguais a zero):

| 0 … 3, 2, 1,0

(3) Conjunto dos inteiros não negativos (maiores ou iguais a zero):

| 0 0,1,2,3,4 …

(4) Conjunto dos inteiros negativos (menores que zero):

| 0 … 3, 2, 1

(5) Conjunto dos inteiros positivos (maiores que zero):

| 0 1,2,3,4 …

Observe que o número 0 não pertence ao conjunto dos inteiros positivos e não pertence ao conjunto dos inteiros negativos. Portanto, o número 0 (zero) não é positivo e não é negativo. Dizemos que zero é neutro.

Observe que sempre que efetuarmos a adição de um número com o seu oposto (simétrico) o resultado será igual a 0. Desta forma:

5 5 0

2 2 0

3 3 0

Podemos então definir a operação “subtração” da seguinte maneira:

a minuendob subtraendoc diferença

a b c→⎡

⎢− = →⎢⎢ →⎣




Rapidamente percebemos que a subtração não é uma operação comutativa. Basta olhar, por exemplo, que 5 – 3 = 2 e 3 – 5 = - 2. A subtração também não goza da propriedade associativa e não possui elemento neutro.

Podemos afirmar que o conjunto dos números inteiros é FECHADO em relação à subtração. Ou seja, se você vai calcular a diferença entre dois números inteiros, com certeza o resultado será um número inteiro.

Observe ainda que todos os números naturais são números inteiros, mas nem todos os números inteiros são naturais. Dizemos que o conjunto dos números naturais é subconjunto dos números inteiros.

Regras dos sinais com números inteiros

( )a a− − =

( ) ( ) ( )a b a b a b ab⋅ − = − ⋅ = − ⋅ = −

( ) ( )a b ab− ⋅ − =

As observações acima são conhecidas como “Regra dos sinais” para a multiplicação (e divisão) de inteiros.

Sinais dos números Resultado

iguais positivo

diferentes negativo

Exemplos:




Vejamos como operar a adição e a subtração com números inteiros.

Se os números possuírem sinais iguais, devemos adicionar os números e repetir o sinal.

2 3 5

2 3 5

Se os números possuírem sinais opostos, devemos subtrair os números e repetir o sinal do maior.

5 2 3

5 2 3

38. (TRT/2006/FCC) O esquema abaixo representa a subtração de dois números inteiros, na qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras X, Y, Z e T.

Obtido o resultado correto, a soma X+Y+Z+T é igual a:

a) 12 b) 14 c) 15 d) 18 e) 21

Resolução

Podemos reescrever o enunciado da seguinte maneira:

Onde a primeira linha representa o minuendo, a segunda linha o subtraendo e a terceira linha representa a diferença.

Para descobrirmos o valor de Z, devemos perceber que 6 2 4− = . Portanto, 2Z = .

4 9 6

0 9

3 8 4




Para descobrirmos o valor de X, devemos perceber que 17 9 8− = . Portanto, 7X = .

Concluído esse raciocínio inicial, temos plenas condições de terminar a subtração.

7, 1, 2, 818

X Y Z TX Y Z T= = = =+ + + =

Letra D

Conjunto dos números racionais

Até o presente momento, conseguimos definir 3 operações básicas: adição, multiplicação e subtração. Com os números expostos não temos condições de definir a divisão. Isto porque com números inteiros podemos dividir 8 por 2, mas não podemos dividir 2 por 8. Para resolver este impasse, vamos definir o conjunto dos números racionais que é representado pela letra Q.

O número p é chamado numerador da fração e o número q é chamado denominador da fração.

O conjunto dos racionais é formado por todas as frações em que o numerador é inteiro e o denominador é um inteiro não-nulo e também por todos os números que podem ser representados desta forma. Todo número na forma de decimal finito ou de dízima periódica pode ser convertido à forma de fração.

Todos os números naturais são números racionais, pois todos podem ser escritos na forma de fração. Basta colocar o denominador igual a 1.

221

Todos os números inteiros são números racionais, pois todos podem ser escritos na forma de fração. Basta colocar o denominador igual a 1.

4 9 7 6 0 9 2

3 8 4

4 9 7 6 1 0 9 2 3 8 8 4




22

1

Observe que o sinal – pode ser colocado em qualquer lugar da fração. Desta forma:

21

21

21 2

Além dos números naturais e números inteiros, todos os números decimais finitos e as dízimas periódicas também são números racionais.

Números decimais finitos são números como 1,47 ; 2, 513 ; 3,0154.

Para transformar números decimais finitos na forma de fração devemos seguir os seguintes passos:

i) Colocar no numerador todo o número sem a vírgula.

ii) Colocar no denominador o número 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais.

1,47147100

2,5132.5131.000

3,015430.154

10.000

Finalmente as dízimas periódicas. O que são dízimas periódicas? São números decimais com infinitas casas decimais. Só isso? Não...

É preciso que exista certo conjunto de números que se repitam periodicamente infinitas vezes. Vejamos alguns exemplos:

0,14141414141414141414141414141414141414141414 ….

Observe que o conjunto de dígitos 14 se repete infinitas vezes.

32,021 …

Observe que o conjunto de dígitos 546 se repete infinitas vezes.

Pense em uma raça preguiçosa... pensou?

A raça mais preguiçosa que existe é a dos MATEMÁTICOS!

Os Matemáticos são tão preguiçosos que adoram inventar abreviações, notações e símbolos... Tudo para escrever pouco.




Imagine se estivéssemos dando esta aula em um quadro...Teríamos uma preguiça enorme de escrever

32,021 …

(Aqui no computador é muito fácil... Basta utilizar CTRL+C e CTRL+V!!)

A notação é a seguinte: utiliza-se uma barra em cima dos dígitos que se repetem, ou seja, do período. Portanto,

32,021546546546546546 … 32,021546

Muito mais simples, não?

A pergunta que surge é a seguinte: se afirmamos que as dízimas periódicas são números racionais e os números racionais são representados por frações, como transformamos as dízimas periódicas em frações?

Existem diversos métodos para fazer esta transformação. Há livros que costumam separar as dízimas periódicas em simples e compostas. Há livros que fazem esta transformação utilizando sistemas de equações. Há outros que utilizam P.G. (progressão geométrica). Pela experiência que temos, julgamos o método abaixo como o mais simples por diversas razões.

i) Qual a utilidade de separar as dízimas periódicas em simples e compostas?

ii) Você gosta armar sistemas de equações e resolvê-los? Um pouco trabalhoso para resolver uma simples questão de dízima periódica, não?

iii) É realmente necessário aprender Progressão Geométrica para resolver uma simples questão de dízima periódica?

Vejamos um exemplo: transformar em fração o número 3,12851851851 …

O primeiro passo é colocar naquela notação da barra que falamos anteriormente.

3,12851851851 … 3,12851

Denominaremos “Número Completo” e abreviaremos por NC o número da dízima periódica sem a vírgula e sem a barra. No nosso exemplo,

312.851.

Denominaremos “Número fora da barra” e abreviaremos por NFB os números que estão fora da barra. No nosso exemplo, 312.

Meio caminho já foi andado. O numerador da fração é o número .

Por enquanto, nossa fração está assim:




3,12851312.851 312

E como fica o denominador?

Você deve contar quantos algarismos estão embaixo da barra. No nosso caso, há 3 números embaixo da barra. A regra nos diz que devemos colocar no denominador tantos 9’s (noves) quantos forem os números embaixo da barra. Como são 3 números embaixo da barra, devemos colocar 3 noves no denominador.

3,12312.851 312

Pronto? Ainda não!! Falta só uma coisinha para terminar...

Vamos olhar agora para os números que estão “entre a vírgula e a barra”. Quantos são eles? 2!!!

A regra nos diz que devemos colocar tantos zeros quantos forem os algarismos entre a vírgula e a barra.

3,312.851 312

Pronto!!!

3,12851312.851 312

99.900312.53999.900

Se você só acredita vendo... pegue uma calculadora e divida 312.539 por 99.900.

Muito fácil não??

E olhe que já colocamos como primeiro exemplo um número bem difícil.

Vamos praticar um pouco mais.

Transforme em fração o número 0,666666 …

Vamos colocar na notação da barra.

0,666 … 0, 6

ú 6

ú 0




Quantos algarismos há na barra? Apenas um!! Portanto, colocamos apenas um 9 no denominador.

Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Nenhum!! Portanto, não colocamos zeros no denominador.

0,666 …6 0

969

23



0,1343434 … 0,134

ú 134

ú 1

Quantos algarismos há na barra? Dois!! Portanto, colocamos dois 9’s no denominador.

Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Apenas um!! Portanto, colocamos um zero no denominador..

0,1343434 …134 1

990133990



0,999 … 0, 9

ú 9

ú 0

Quantos algarismos há na barra? Apenas um!! Portanto, colocamos apenas um 9 no denominador.

Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Nenhum!! Portanto, não colocamos zeros no denominador.

0,999 …9 0

999 1

Portanto, 0,999 … 1

Observe que 0,99999999999... não é APROXIMADAMENTE 1!! É IGUAL a 1!!




A bem da verdade, 0,999 … 1 representam o mesmo número. Apenas estão escritos de maneiras diferentes.

39. (BNB 2003/ACEP) A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima periódica composta e representa um número racional x. Se a geratriz desta dízima for escrita sob a forma de uma fração irredutível m/n, então m + n é igual a:

A) 88 B) 89 C) 90 D) 91 E) 92

Resolução

Para transformar a expressão decimal 0,011363636... em uma fração o primeiro passo é escrever na notação da barra.

0,011363636 … 0,01136

ú 1.136

ú 11

Quantos algarismos há na barra? Dois!! Portanto, colocamos dois 9’s no denominador.

Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Três!! Portanto, colocamos três zeros no denominador.

0,011361.136 11

99.0001.125

99.000

A questão pede que coloquemos a resposta na forma de fração irredutível. Fração irredutível é aquela que não pode mais ser simplificada. Claramente podemos simplificar o numerador e o denominador por 5.

1.12599.000

22519.800

Na realidade, podemos simplificar o numerador e o denominador por 5 várias vezes.

22519.800

453.960

9792

Agora podemos simplificar o numerador e o denominador por 9.




9792

188

Agora não dá para simplificar mais. Temos, portanto, uma fração irredutível.

0,011363636 …1

88

A questão pede para efetuar onde 1 88.

1 88 89

Letra B

Agora que já definimos o conjunto dos números racionais, podemos falar na divisão propriamente dita.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

→→→→

+⋅=

resto rquociente qdivisor ddividendo D

r q d D ou d | D q r

Exemplo:

38 | ___9__ 2 4

Ou seja, 38 dividido por 9 é igual a 4 e resto 2. Isto porque 9 · 4 2 38.

Quando o resto de uma divisão é zero, dizemos que a divisão é exata.

É importante frisar que é impossível dividir por 0. Ou seja, o divisor nunca pode ser 0.

Assim, não há sentido na fração 5/0.

40. (ANVISA 2010/CETRO) Considere 0,00003 e 3.600.000. Desse modo, b/a vale

a) cento e vinte trilhões.

b) cento e vinte bilhões.

c) um bilhão e duzentos milhões.

d) cento e vinte milhões.

e) um milhão, cento e vinte mil.




Resolução

Para efetuar a divisão, devemos igualar a quantidade de casas decimais e em seguida “apagar as vírgulas”.

3.600.000,000000,00003

360.000.000.0003 120.000.000.000

Letra B

Subconjuntos Notáveis dos Racionais

Analogamente ao conjunto dos números inteiros, há certos subconjuntos do conjunto dos números racionais que merecem destaque. Ei-los:

(1) Conjunto dos racionais não nulos (diferentes de zero):

| 0

(2) Conjunto dos racionais não positivos (menores ou iguais a zero):

| 0

(3) Conjunto dos racionais não negativos (maiores ou iguais a zero):

| 0

(4) Conjunto dos racionais negativos (menores que zero):

| 0

(5) Conjunto dos racionais positivos (maiores que zero):

| 0

Conjunto dos números irracionais

Não há unanimidade quanto ao símbolo para representar o conjunto dos irracionais.

Existem números cuja representação decimal com infinitas casas decimais não é periódica. Tais números não são racionais e são denominados irracionais. Alguns exemplos famosos:

√2 1,4142135 …

3,1415926535 …

2,718281 …




0,12345678910111213141516 …

A constante de Champernowne é a concatenação dos números naturais nas casas decimais.

ö 0,235711131719 …

A constante de Coperland-Erdös é a concatenação dos números primos nas casas decimais.

0,5772156649 …

Tais números não podem ser expressos como uma fração com numerador e denominador inteiros.

Números reais

Chama-se conjunto dos números reais - - aquele formado por todos os números com representação decimal (finita, ou infinita periódica ou infinita não periódica). Podemos dizer que o conjunto dos números reais é a união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.

Reta real

Os números reais podem ser representados por pontos em uma reta orientada denominada Reta Real.

41. (CAERN 2010/FGV) Analise as afirmativas a seguir:

I - √6 é maior do que 5/2. II – 0,555... é um número racional. III – Todo número inteiro tem antecessor. Assinale a) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. b) se somente a afirmativa II estiver correta.




c) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. d) se somente a afirmativa I estiver correta. e) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. Resolução Vamos analisar cada uma das alternativas de per si.

Queremos comparar o número √6 com 5/2. Vamos elevar os dois números ao quadrado para compará-los.

√6 6

52

254 6,25

Como o quadrado do número 5/2 é maior que o quadrado do número √6, concluímos que 5/2 √6. A frase I está errada. II – O número 0,555... é uma dízima periódica e, portanto, é um número racional. A frase II está correta. III – O conjunto dos números inteiros é … , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3 … . Como o conjunto dos inteiros não é limitado à esquerda, concluímos que todo número inteiro possui antecessor. A frase III está correta. Letra E 42. (TRT-SC 2007/CETRO) Considere os conjuntos:

N, dos números naturais.

Z, dos números inteiros.

Q, dos números racionais.

R, dos números reais.

Assinale a alternativa correta.

(A) a, b N temos a b N

(B) Existe um elemento em Z que é menor que qualquer número inteiro.

(C) N Z Q R




(D) a Z, b Z e b 0 a/b Z

(E) A equação 3x 1 = 0 não tem solução em Q.

Resolução

a) Falsa. A subtração não é uma operação nos Naturais, isto porque nem sempre a – b N. A subtração só é definida quando o minuendo (a) for maior ou igual ao subtraendo (b). Por exemplo, 3 – 5 = -2 e 2 N.

b) Falsa. O conjunto Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} não possui um menor elemento nem um maior elemento.

c) Verdadeiro. Todo número natural é um número inteiro, todo número inteiro é um número racional e todo número racional é um número real.

d) Falsa. Se a Z, b Z e b 0, nem sempre a/b Z. Por exemplo, 8 Z, 5 Z e 8/5 = 1,6 .

e) Vamos resolver a equação 3x 1 = 0.

3 1

13

Portanto, a alternativa E é falsa.

Letra C

43. (Agente Administrativo – Ministério dos Transportes 2010/CETRO) Em relação ao estudo dos Conjuntos Numéricos, considere as seguintes afirmações:

I.

II. N Z Q R

III.

IV.

V.

Considere:

Ir = Conjunto dos números irracionais.

N = Conjunto dos números naturais.




Q = Conjunto dos números racionais.

R = Conjunto dos números reais.

Z = Conjunto dos números inteiros.

As afirmações verdadeiras estão contidas em

a) I apenas.

b) I e III apenas.

c) I, II e V apenas.

d) II, III, IV e V apenas.

e) I, II, III, IV e V.

Resolução

Nenhum número racional é irracional. Os números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma a/b, onde a é inteiro e b é um inteiro diferente de zero. A união do conjunto dos números racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais (Ir) é o conjunto dos números reais.

Como vimos na questão anterior, N Z Q R.

Assim,

I é verdadeira, II é verdadeira. III é falsa, pois . IV é falsa, pois . V é verdadeira pois o conjunto dos números irracionais é formado

por todos os números reais que não são racionais.

Letra C

44. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região • Santa Catarina 2005/FEPESE) Considere os conjuntos:

N dos números naturais,

Q dos números racionais,

Q+ números racionais não-negativos,

R dos números reais.

O número que expressa

a) a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de Q+, mas não de N.




b) o valor pago, em reais, por um sorvete é um elemento de Q+.

c) a medida da altura de uma pessoa é um elemento de N.

d) a velocidade média de um veículo é um elemento de Q, mas não de Q+.

e) a medida do lado de um triângulo é um elemento de Q.

Resolução

a) Falso, pois a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de N.

b) Verdadeiro, pois o valor pago por um sorvete é um racional não-negativo. Por exemplo, 2,37 reais.

c) Falso, pois a medida da altura de uma pessoa não necessariamente é um elemento de N, pode ser um racional não-natural. Por exemplo, 1,72m.

d) Falsa, pois, teoricamente, a velocidade média de um veículo pode ser um número irracional.

e) Falsa, pois a medida do lado de um triângulo pode ser irracional.

Letra B

45. (TCE-MG FCC 2007) Considere o número inteiro e positivo X4Y, em que X e Y representam os algarismos das centenas e das unidades, respectivamente. Sabendo que 15 480 : (X4Y) = 24, então X4Y é um número compreendido entre

a) 800 e 1 000

b) 600 e 800

c) 400 e 600

d) 200 e 400

e) 100 e 200

Resolução

A expressão 15.480 : (X4Y) pode ser escrita assim:

15.4804




Temos então:

15.4804 24

O número (X4Y) que está dividindo, pode “passar para o segundo membro” multiplicando.

15.480 24 24 ( 4 ) 15.480 ( 4 ) 645( 4 )

X Y X YX Y

= ⇒ ⋅ = ⇒ =

Letra B

Vamos resolver uma série de questões envolvendo as quatro operações fundamentais.

46. (TCE-PB 2007/FCC) Quantos algarismos são usados para numerar de 1 a 150 todas as páginas de um livro?

a) 327

b) 339

c) 342

d) 345

e) 350

Resolução

Da página 1 até a página 9 são usados 9 x 1 = 9 algarismos.

Da página 10 até a página 99 são usados 90 x 2 = 180 algarismos.

Da página 100 até a página 150 são usados quantos algarismos?

Cada página tem 3 algarismos. Da página 100 até a página 150 são 51 páginas!

Portanto, teremos 51 x 3 = 153 algarismos.

Total: 9 + 180 + 153 = 342 algarismos.

Letra C

Potências




A multiplicação de fatores iguais pode ser escrita na forma de potência. Observe:

4 4 · 4 · 4 · 4 · 4 1.024

Na potência 4 4 é a base (fator que se repete) e 5 é o expoente (número de vezes que o fator se repete).

Sendo um número real e um número inteiro maior que 1, define-se:

· · … ·

Exemplos:

5 5 · 5 · 5 125

8 8 · 8 64

23

23

·23

49

2 2 · 2 · 2 8

• Toda potência de expoente 1 é igual a base.

• Toda potência de expoente 0 é igual a 1.

1, 0

Observação: 0 é çã á .

• Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da potência de expoente positivo.

1

Exemplos:

5 5

IMPORTANTE

Se o expoente é um número par, o resultado da potência é positivo.

Se o expoente é ímpar e a base é um número negativo, o resultado da potência é negativo.

Se a base é positiva, o resultado da potência é positivo.




34

1

25

52

1258

515

15

Propriedades Operatórias

·

Em palavras:

• Para multiplicar potências de mesma base, conserva-se a base e os expoentes são adicionados.

• Para dividir potências de mesma base, conserva-se a base e os expoentes são subtraídos.

• Para elevar uma potência a outra potência, conserva-se a base e os expoentes são multiplicados.

Exemplos

5 · 5 5 5

55 5 5

5 5 · 5

47. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) A soma dos algarismos do número 10 3 é:

a) 88 b) 89 c) 91 d) 95 e) 97

Resolução

Qual o significado de · · · · · · · · ·

Com dez fatores “x”.




Portanto, 10 10.000.000.000

10 3 10.000.000.000 3 9.999.999.997

A soma dos algarismos é 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 88.

Letra A

48. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Simplificando , encontra-se:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 221

Resolução

Vamos relembrar algumas propriedades das potências.

Lembre-se que para multiplicar duas potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes. Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes. Assim,

·

/

E da mesma forma que · , temos que · (óbvio não?).

Como podemos utilizar estas propriedades para resolver esta questão?

Observe que 20 = 18+2 e 19 = 18 +1. Portanto:

2 2 2 · 2

2 2 2 · 2

2 22

2 · 2 2 · 22

Podemos colocar 218 em evidência:

2 · 2 2 · 22

2 · 2 22

2 2 4 2 6

Letra C

49. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Simplificando a expressão onde n pertence ao conjunto dos números inteiros, obtém-se o seguinte resultado:




a) 1/3 b) 1/27 c) 3 d) 27 e) 1/9

Resolução

Vamos resolver de duas maneiras. A primeira, utilizando as propriedades vistas na questão anterior.

3 3 33 3 3

3 · 3 3 · 3 3 · 33 · 3 3 · 3 3 · 3

Vamos colocar 3n em evidência no numerador e no denominador.

3 · 3 3 · 3 3 · 33 · 3 3 · 3 3 · 3

3 · 3 3 33 · 3 3 3

3 3 33 3 3

3 3 33 3 3

13

19

127

9 3 1

9 3 12713

1327

13/11327

·1

131

27

Ufa! Trabalhoso... Vejamos uma maneira bem mais fácil!

Dê uma olhada para as alternativas. Percebeu que o valor de não influencia na resposta? Desta maneira, vamos escolher um valor arbitrário. É óbvio que vamos escolher um número bom! E qual seria um número bom? Eu escolheria o número 3 porque todos os expoentes deixam de ser negativos.

3 3 33 3 3

Esta é a expressão. Vamos substituir por 3.

3 3 33 3 3

3 3 33 3 3

9 3 1243 81 27

13351

Simplificando por 13...

13351

127

Bem melhor, não?!

Letra B

50. (Pref. de Resende 2007/CEPERJ) Considere-se que 10 , 3 . O valor de tal que 10 9.000 é:

a) 3,628 b) 3,746




c) 3,882 d) 3,015 e) 3,954

Resolução

Perceba que 9.000 9 · 1.000 3 · 10

Mas o enunciado nos disse que 3 10 , .

Portanto:

9.000 9 · 1.000 3 · 10 10 , · 10

Lembre-se que para elevar uma potência a outra potência, devemos conservar a base e multiplicar os expoentes.

9.000 10 , · 10 10 , · 10 10 , · 10 10 , 10 ,

10 9.000

10 10 ,

3,954

Letra E

51. (FNDE 2007/FGV) O valor da expressão é:

a) 4 b) 16 c) 14 d) 12 e) 6

Resolução

4 22 16

O primeiro passo é reduzir todas as potências para base 2.

Observe que 4 2 , portanto 4 2 2 .

Temos ainda que 16 2 , portanto 16 2 2

A expressão ficará assim:

4 22 16

2 22 2

2 · 2 22 · 2 2

2 · 2 12 · 2 1




Para dividir potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes.

2 · 2 12 · 2 1

2 · 2 12 1

2 · 2 12 1

2 · 8 12 1

2 · 71

14

Letra C

Radicais

Se é um número não‐negativo ( 0) e é um número natural maior que 1, então a raiz enésima de é um número não‐negativo ( 0) tal que .

Vamos recordar o resultado de algumas raízes para fixar o conceito.

√9 3 3 9.

√32 2 2 32.

√0 0 0 0.

√ é í , é é .

Raízes de índice par

Quando elevamos um número positivo ou negativo ao quadrado (ou a qualquer outro expoente par), o resultado é sempre um número positivo. Veja os exemplos:

5 25

5 25

Mas isso não implica dizer que o número 25 tem duas raízes quadradas: 5 e -5.

Na definição dada, foi dito que a raiz enésima de um número positivo é um número positivo.

Portanto:

√25 5

√25 5

Desta maneira, é falso afirmar que √49 7.




Por outro lado, podemos escrever que √25 5. Não é o radical que “causa” o sinal, e sim o sinal que o antecede.

É importante saber que não existe raiz de um número negativo se o índice do radical for par (trabalhando com números reais).

Por exemplo, √ 16 não existe porque não há um número real que elevado ao quadrado dê 16. Até porque todo número elevado ao quadrado não pode ser negativo.

Note a diferença:

√16 4

√ 16 ã

Raízes de índice ímpar

Se o índice do radical é ímpar, admite-se a existência de raízes com radicando negativo.

√8 2 2 8

√ 8 2 2 8

Propriedades

Considere , números reais não-negativos ( 0 0), um número natural maior que 1 e um número inteiro qualquer.

√ · √ √

√√

0

√ √

√ √

Efetue √3 · √12 2√27 3√75)




√3 · √12 2√3 · √27 3√3 · √75 √3 · 12 2√3 · 27 3√3 · 75

√36 2√81 3√225 6 2 · 9 3 · 15 33

Estas propriedades ajudam a simplificar radicais, por exemplo:

√28 √4 · 7 √4 · √7 2√7

√300 √100 · 3 √100 · √3 10√3

0,444 …49

√4√9

23

Potência de expoente racional

Se a é um número real positivo, m é um número inteiro e n é um número natural não nulo, temos:

√

Observe:

Exemplos:

3 3 √3

5 5 √25

27 , … 27 √27 3

Racionalização de Denominadores

Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar os radicais que aparecem nesse denominador, sem alterar o valor da fração.

Grosso modo, racionalizar é “tirar” o radical do denominador.

Para racionalizar, devemos multiplicar o numerador e o denominador da fração por um número chamado fator racionalizante do denominador.

1º caso Racionalizando quando o denominador é um radical de índice 2

√




Para racionalizar frações em que o denominador é uma raiz quadrada, multiplicamos ambos os termos da fração por essa mesma raiz quadrada e, assim, obtemos uma fração equivalente com denominador radical.

Lembre-se que se é um número não-negativo, √ · √ √ .

Veja os exemplos:

8√2

8 · √√2 · √

8√22

4√2

102√5

10 · √2√5 · √

10√52 · 5

10√510

√5

O NÚMERO NÃO MUDOU!! MUDOU APENAS A FORMA DE ESCREVÊ-LO!!

2º caso Racionalizando quando o denominador é um radical de índice diferente de 2

Lembre-se que se a é um número não-negativo, √ .

8√2

8 · √√2 · √

8√4√2

8√42

4√4

Observe que o expoente do fator racionalizante foi obtido assim: 5 3 2

3º caso Racionalizando quando o denominador é uma soma ou diferença de dois termos, sendo pelo menos um dos termos um radical

Para ensinar este 3º caso, falarei sobre um “produto notável”.

·

Concluímos que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

· 2 2

Pois bem, vamos ver um exemplo:

6√5 √2

6 · √ √√5 √2 · √ √

6 · √5 √2

√5 √2

6 · √5 √25 2

6 · √5 √23

2 · √5 √2 2√5 2√2

74 √3

7 · √4 √3 · √

7 · 4 √3

4 √3

7 · 4 √316 3

7 · 4 √313

Observe que o fator racionalizante de √5 √2 é √ √ (troca o sinal).




O fator racionalizante de 4 √3 é √ .

52. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Na igualdade √ √√ √

√ , o valor de é:

a) 1 b) 3 c) 3 d) 5 e) 7

Vejamos alguns exemplos de racionalização de denominadores. Racionalizar o denominador significa transformar o denominador em um número racional. Ou seja, se o denominador apresenta um radical, nosso objetivo é eliminar o radical.

4√2

Observe que o denominador é um número irracional. Racionalizar o denominador significar “acabar com o número irracional do denominador”.

Neste caso, a saída é multiplicar o numerador e o denominador por √2.

4√2

·√2√2

4√22 2√2

Desta forma:

4√2

2√2

Vamos lembrar o seguinte produto notável:

·

Este produto notável nos ajudará na racionalização de denominadores como o do enunciado.

Sempre que tivermos uma soma de radicais no denominador, devemos multiplicar o numerador e o denominador pela diferença dos radicais. Sempre que tivermos uma diferença de radicais no denominador, devemos multiplicar o numerador e o denominador pela soma dos radicais.




√7 √5√7 √5

·√7 √5√7 √5

√49 √35 √35 √25

√7 √5

7 2√35 57 5

12 2√352

√7 √5√7 √5

6 √35

Como √ √√ √

√ , concluímos que 6 35

O valor de é 6 35 36 35 1

Letra A

53. (APO/MPOG – 2008 – ESAF) Sabe-se que os números x,y e z são números racionais. Sabe-se, também, que

2√33 √3

.

Com essas informações, conclui‐se que:

a) · 6 b) 6 c) · 0 d) / 6 e) · 6

Resolução

Racionalizando o denominador:

2√33 √3

·3 √33 √3

3 √3 6√3 69 3

3 6 6 · √39 3

Para que z seja racional, o número que multiplica √3 deve ser igual a 0. Portanto,

6 0

6

Letra E




Comparação de radicais

Para comparar radicais (decidir quem é o maior ou o menor) devemos utilizar a seguinte propriedade:

√ √

Isto significa que podemos alterar o índice da raiz. Para tanto, devemos multiplicar (ou dividir) o índice por certo número p e, para não alterar o valor da raiz, devemos multiplicar (ou dividir) o expoente do radicando pelo mesmo número p.

Exemplo:

2 2 ·· 2

Exemplo: Quem é maior: √2 ou √3 ?

Ora, os índices são diferentes. Para fazer a comparação, devemos reduzir os radicais ao mesmo índice. Devemos pensar em um número que seja múltiplo de 4 e de 5. Que tal 20?

Devemos raciocinar da seguinte maneira: Qual o número que multiplicado por 5 é igual a 20? Este número é 4. Portanto, devemos multiplicar o índice e o expoente do primeiro radical por 4.

√2 2· √16

Vejamos o segundo radical. Qual o número que multiplicado por 4 é igual a 20? Este número é 5. Portanto, devemos multiplicar o índice e o expoente do segundo radical por 5.

3· √243

Desta forma: perguntar quem é maior: √2 ou √3 é o mesmo que perguntar quem é maior: √16 ou √243?

Como √243 √16, então √3 √2

54. (Secretaria Municipal de Fazenda 2005/FJG) Os valores √4, √8 √16, quando ordenados de modo decrescente, têm a seguinte apresentação:

a) √4 √16 √8 b) √4 √8 √16




c) √16 √4 √8 d)√8 √4 √16

Resolução

Para comparar os radicais, devemos reduzi-los ao mesmo índice. Para começar, devemos pensar em um número que seja múltiplo dos índices.

Qual um múltiplo comum de 2, 6 e 3? Que tal 6?

Devemos multiplicar 2 por 3 para obter 6.



Desta forma:

√4 4· √64

√16 16· √256

Facilmente percebemos que:

√256 √64 √8

Portanto:

√16 √4 √8

Letra C

Progressão Geométrica Considere uma sequência de números reais , , , … , .

Esta sequência será chamada de Progressão Geométrica (P.G.) se cada termo, a partir do segundo, for igual ao produto do anterior com uma constante real .

O número real é denominado razão da progressão geométrica.

é o primeiro termo, é o segundo termo, e assim por diante. O termo de ordem n é chamado n-ésimo termo.

Exemplos:

Progressão Geométrica Primeiro termo ( ) Razão ( ) 3, 6, 12, 24, 48, 96, … 3 2




96, 48, 24, 12, 6, 3, … 96 12

2, 2, 2, 2, 2, … 2 1 1, 2, 4, 8, 16, 32, … 1 2

5, 0, 0, 0, 0, … 5 0

Cálculo da razão Considere uma progressão geométrica não-estacionária, ou seja, cuja razão é diferente de 0 (ver último exemplo do tópico anterior).

Para calcular a razão de uma P.G., basta calcular o cociente entre dois termos consecutivos.

No nosso primeiro exemplo, 63

126 2.

No nosso segundo exemplo, 4896

2448

12.

No nosso terceiro exemplo, 22

22 1.

No nosso quarto exemplo, 21

42 2.

Termo Geral Considere a progressão geométrica , , , … , . Existe uma expressão que permite calcular qualquer termo da progressão conhecidos um termo qualquer e a razão.

Comecemos com a expressão básica que relaciona um termo qualquer com o primeiro termo e a razão.

·

Em que é o primeiro termo, é a razão da progressão e é o termo de ordem n (n-ésimo termo).

Exemplo: Qual o décimo primeiro termo da progressão geométrica 3, 6, 12, 24, … ?

Resolução

Queremos calcular o décimo primeiro termo, e, portanto, 11.

Utilizemos a fórmula do termo geral:

· ·

3 · 2 3.072




Obviamente não seremos a ficar presos a esta fórmula. Ou seja, não somos obrigados a conhecer o primeiro termo para calcular um termo qualquer da P.G. Vejamos um exemplo análogo ao da progressão aritmética.

Exemplo: O décimo termo de uma progressão geométrica é igual a 4. Calcule o décimo sexto termo sabendo que a razão da progressão é 3.

Resolução

Devemos avançar 6 termos do décimo ao décimo sexto termo.

Assim, a expressão do termo geral ficará:

·

4 · 3 2.916

Soma dos termos de uma Progressão Geométrica finita

A soma dos termos iniciais de uma progressão geométrica é:

· 11

Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G. 3, 6, 12, 24, … .

Resolução

A razão, como já vimos, é igual a 2.

· 11

3 · 2 12 1

3 · 1.024 11 3 · 1.023

3.069

Soma dos termos de uma Progressão Geométrica Infinita Se , , , … , , … é uma P.G. com razão 1 1, então:

1

Exemplo

Calcular a soma dos infinitos termos da P.G. 9, 6, 4, … .

Resolução




Para calcular a razão basta dividir o segundo termo pelo primeiro:

69

23

Assim,

19

1 23

91/3

9 ·31

27

55. (EBDA 2006/CETRO) Numa P.G, de termos positivos, O primeiro termo é igual a 5 e o sétimo termo é 320. Somando os dez primeiros termos dessa PG, obtém-se: (A) 5.000 (B) 5.115 (C) 4.995 (D) 5.015 (E) 4.895

Resolução

Ora, o problema nos forneceu o primeiro e o sétimo termos de uma P.G. e nos pede a soma dos dez primeiros termos. Para calcular a soma dos termos de uma P.G. precisamos apenas do primeiro termo e da razão. A relação entre o primeiro e o sétimo termos de acordo com a fórmula do termo geral é a seguinte:

·

320 5 ·

64 2 2

Dessa forma, a soma dos dez primeiros termos será:

· 11

· 11

5 · 2 12 1

5 · 1023 5.115

Letra B

56. (TRT-SC 2005/FEPESE) Numa plantação de eucaliptos, as árvores são atacadas por uma praga, semana após semana. De acordo com observações feitas, uma árvore adoeceu na primeira semana; outras duas, na segunda semana; mais quatro, na terceira semana e, assim por diante, até que, na décima semana, praticamente toda a plantação ficou doente, exceto sete árvores. Pode-se afirmar que o número total de árvores dessa plantação é: a) menor que 824 b) igual a 1024




c) igual a 1030 d) igual a 1320 e) maior que 1502

Resolução

Eis o número de árvores atacadas ao longo das semanas:

1, 2, 4, 8, …

Temos uma progressão geométrica de razão igual a 2, pois cada termo é igual ao anterior multiplicado por 2.

O total de árvores atacadas nas 10 semanas é igual à soma dos 10 primeiros termos desta progressão geométrica.

· 11

· 11

1 · 2 12 1

1 · 1023 1.023

Assim, o total de árvores é igual a 1.023 + 7 = 1.030 (7 árvores não foram atacadas).

Letra C

57. (Analista Administrativo – ANEEL 2006/ESAF) Os números A,B e 10 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Os números 1, A e B formam, nessa ordem, uma progressão geométrica. Com essas informações, pode-se afirmar que um possível valor para o produto das razões dessas progressões é igual a:

a) -12 b) -15 c) 10 d) 12 e) 8

Resolução

Vimos anteriormente que dados três números em P.A. (progressão aritmética), o termo do meio sempre será a média aritmética dos outros dois. Então, se os números A,B e 10 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, temos que:

102 2 10

Sempre que tivermos três números em P.G., o quadrado do termo central será igual ao produto dos extremos. Então, se Os números 1, A e B formam, nessa ordem, uma progressão geométrica, temos que:




1 ·

Substituindo (II) em (I),

2 10

2 10

2 10 0

A√ 42

A1 1 4 · 2 · 10

2 · 2

A1 √81

41 9

4

Logo, A=10/4=5/2 ou A = - 2.

Como ,

Se A = 5/2 = 2,5, então B = 25/4 = 6,25

Se A = -2, então B = 4.

Temos duas possibilidades para as progressões:

i) (2,5; 6,25; 10) é uma progressão aritmética de razão igual a 3,75.

(1; 2,5; 6,25) é uma progressão geométrica de razão 2,5.

O produto das razões é igual a 3,75 x 2,5 = 9,375.

ii) (-2, 4, 10) é uma progressão aritmética de razão igual a 6.

(1, -2, 4) é uma progressão geométrica de razão igual a -2.

O produto das razões é igual a -2 x 6 = -12.

Letra A

58. (FUVEST 1ª fase 2001) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:

a) 10 b) 12 c) 14




d) 16 e) 18

Resolução

Chamarei o terceiro termo das progressões de y (já que coincidem). Se o segundo termo da P.G. for igual a x, então o segundo termo da P.A. será igual a x+2.

Temos então a P.A. (4, x+2, y) e a P.G. (4, x, y).

Dados três números em P.A. (progressão aritmética), o termo do meio sempre será a média aritmética dos outros dois. Então, se os números 4, x+2 e y formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, temos que:

24

2 2 4 4

2

Sempre que tivermos três números em P.G., o quadrado do termo central será igual ao produto dos extremos. Então, se Os números 4, x e y formam, nessa ordem, uma progressão geométrica, temos que:

4 ·

Substituindo (I) em (II),

4 · 2

8 0

Daí podemos concluir que x = 0 ou x = 8.

Mas se x = 0, então y = 0, o que é um absurdo visto que o terceiro termo é estritamente positivo.

Concluímos que x = 8.

Então y = 2 x 8 = 16.

O terceiro termo das progressões é y = 16.

Letra D




Relação das questões comentadas

01. (Pref. de Barueri 2006/CETRO) A definição de densidade demográfica é dada pela razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região. Pedro fez uma pesquisa, em sua cidade, para calcular qual seria a densidade demográfica da região onde mora. Ele conseguiu, junto à prefeitura, as seguintes informações: a área da cidade era de 2.651 km2 e a quantidade de pessoas que residiam na localidade era de 151.107 habitantes. De posse dessas informações, ele concluiu que a densidade demográfica de sua cidade é de:

(A) 57 habitantes / km2

(B) 58 habitantes / km2

(C) 59 habitantes / km2

(D) 15 habitantes / km2

(E) 155 habitantes / km2

02. (SEMAE de Piracicaba 2006/CETRO) Em uma fábrica trabalham 216 funcionários, sendo que 135 são do sexo masculino e 81 pertencem ao sexo feminino. Calcule a razão entre o número de funcionários do sexo masculino e o número do sexo feminino.

(A) 4/3

(B) 3/5

(C) 3/7

(D) 2/5

(E) 5/3

03. (AFC 2002/ESAF) Os números A, B e C são inteiros positivos tais que A < B < C. Se B é a média aritmética simples entre A e C, então necessariamente a razão (B - A) / (C - B) é igual a:

a) A / A

b) A / B

c) A / C

d) B / C

e) - (B/B)




04. (SEMAE de Piracicaba 2006/CETRO) A razão entre o comprimento e a largura de um retângulo é 3/2. Sabendo que a largura é 10 cm, qual é a área desse retângulo em centímetros quadrados?

(A) 120

(B) 150

(C) 80

(D) 180

(E) 340

05. (Pref. Rio Claro 2006/CETRO) Em uma proporção contínua, a terceira proporcional dos números 1 e 5 é igual a

(A) 15.

(B) 20.

(C) 25.

(D) 30.

(E) 35.

06. (EBDA 2006/CETRO) A razão entre dois segmentos de reta x e y é 2/5, então a razão entre o quíntuplo do segmento x e a metade do segmento y é igual a:

(A) 1/2

(B) 1/4

(C) 4

(D) 2

(E) 4/5

07. (Câmara Municipal de Araçatuba 2008/CETRO) Um carro faz, na cidade, 14 Km por litro de combustível. No tanque do carro cabem, ao todo, 40 litros de combustível, portanto, na cidade, ele consegue andar, com um tanque cheio,

(A) 360 Km.

(B) 420 Km.

(C) 460 Km.

(D) 560 Km.




(E) 600 Km.

08. (Pref. Taquarivaí 2006/CETRO) Na proporção x/y = 2/5. Sabendo-se que x+y=49, o valor de x e y será de:

(A) x = 20; y = 29

(B) x = 14; y = 35

(C) x = 29; y = 20

(D) x = 35; y = 14

(E) x = 15; y = 34

09. (CRP 4ª 2006/CETRO) Considere dois números x e y que sejam diretamente proporcionais a 8 e 3 e cuja diferença entre eles seja 60. Determine o valor de ( x + y ). (A) 92 (B) 123 (C) 132 (D) 154 (E) 166

10. (Pref. Pinheiral 2006/CETRO) Em uma festa, a razão entre o número de moças e o de rapazes, é de 3/2. A porcentagem de rapazes na festa é:

(A) 25%

(B) 30%

(C) 33%

(D) 38%

(E) 40%

11. (PRODESP 2003/CETRO) Se a razão entre dois números é 5 e a soma entre eles é 30, pode-se afirmar que a diferença entre eles é

(A) 10

(B) 12

(C) 15

(D) 20

(E) 25




12. (Pref. Estância Turística de Embu 2006/CETRO) Paulo tem três filhos, Rodrigo de 15 anos, Ricardo de 20 anos e Renato de 25 anos. Paulo pretende dividir R$ 3.000,00 para os três filhos em valores proporcionais as suas idades. É correto afirmar que o valor que Rodrigo deve receber é:

(A) R$ 1.500,00

(B) R$ 1.250,00

(C) R$ 1.000,00

(D) R$ 750,00

(E) R$ 500,00

13. (CAERN 2010/FGV) Dividindo-se 11.700 em partes proporcionais a 1, 3 e 5, a diferença entre a maior das partes e a menor delas é a) 6.500. b) 5.500. c) 5.800. d) 5.200. e) 5.000

14. (Pref. de Mairinque 2009/CETRO) Três técnicos receberam, ao todo, por um serviço R$3.540,00. Um deles trabalhou 2 dias, o outro 4 dias e o outro 6 dias. Sabendo-se que a divisão do valor é proporcional ao tempo que cada um trabalhou, o técnico que trabalhou mais dias recebeu

(A) R$590,00.

(B) R$680,00.

(C) R$1.180,00.

(D) R$1.770,00.

(E) R$2.420,00.

15. (TCM SP 2006/CETRO) Uma gratificação de R$ 5.280,00 será dividida entre três funcionários de uma empresa na razão direta do número de filhos e na razão inversa das idades de cada um. André tem 30 anos e possui 2 filhos; Bruno com 36 anos tem 3 filhos e Carlos tem 48 anos e 6 filhos. É correto que o mais velho receberá

(A) R$1 200,00.

(B) R$1 280,00.




(C) R$1 600,00.

(D) R$2 200,00.

(E) R$2 400,00.

16. (FCC-- TRF-1a-Região 2001) Dois funcionários de uma Repartição Pública foram incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total na razão direta de suas respectivas idades e inversa de seus respectivos tempos de serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e está há 9 anos no serviço público, então a diferença positiva entre os números de processos que cada um arquivou é

(A) 48

(B) 50

(C) 52

(D) 54

(E) 56

17. (Vestibular FGV 2003) Em uma sala de aula, a razão entre o número de homens e o de mulheres é 3/4. Seja N o número total de pessoas (número de homens mais o de mulheres). Um possível valor para N é: A) 46 B) 47 C) 48 D) 49 E) 50

18. (ESAF) Ao dividir a quantia de R$ 10.000,00 em duas partes inversamente proporcionais a 2 e 3, nessa ordem, a primeira e a segunda parte são, respectivamente:

a) R$ 4.000,00 e R$ 6.000,00

b) R$ 6.000,00 e R$ 4.000,00

c) R$ 5.000,00 e R$ 5.000,00

d) R$ 8.000,00 e R$ 2.000,00

e) R$ 2.000,00 e R$ 8.000,00

19. (AFC/CGU 2004/ESAF) Os ângulos de um triângulo encontram-se na razão 2:3:4. O ângulo maior do triângulo, portanto, é igual a:




a) 40°

b) 70°

c) 75°

d) 80°

e) 90°

20. (SUSEP 2010/ESAF) Um pai deseja dividir uma fazenda de 500 alqueires entre seus três filhos, na razão direta da quantidade de filhos que cada um tem e na razão inversa de suas rendas. Sabendo-se que a renda do filho mais velho é duas vezes a renda do filho mais novo e que a renda do filho do meio é três vezes a renda do mais novo, e que, além disso, o filho mais velho tem três filhos, o filho do meio tem dois filhos e o filho mais novo tem dois filhos, quantos alqueires receberá o filho do meio?

a) 80

b) 100

c) 120

d) 160

e) 180





O mapa do estado do Pará ilustrado acima está desenhado na escala 1:17.000.000, ou seja, uma distância de 1 cm no mapa corresponde à distância real, em linha reta, de 17 milhões de centímetros. Ao medir, com a régua, a distância no mapa entre Jacareacanga e Belém, um estudante encontrou 6,7 cm. Com base apenas nessas informações, é correto o estudante concluir que a distância real, em linha reta, entre essas duas cidades é

A) inferior a 1.000 km.

B) superior a 1.000 km e inferior a 1.080 km.


D) superior a 1.150 km.

22. (TJPA 2006/CESPE-UnB) Alexandre, Jaime e Vítor são empregados de uma empresa e recebem, respectivamente, salários que são diretamente proporcionais aos números 5, 7 e 9. A soma dos salários desses 3 empregados corresponde a R$ 4.200,00. Nessa situação, após efetuar os cálculos, conclui-se corretamente que

A) a soma do salário de Alexandre com o de Vítor é igual ao dobro do salário de Jaime.

B) Alexandre recebe salário superior a R$ 1.200,00.


D) o salário de Vítor é 90% maior do que o de Alexandre.

23. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) Antônio era viúvo e tinha três filhos: um com 13 anos, outro com 14 anos e, o mais velho, com 18 anos. Um dia, Antônio chamou seus filhos e disse que tinha feito seu testamento deixando para eles a quantia que tinha acumulado na caderneta de poupança.

“Quando eu morrer”, disse ele, “o montante deverá ser dividido em partes diretamente proporcionais às idades de vocês no dia de minha morte”.

Antônio morreu cinco anos depois desse dia e, na caderneta de poupança, havia exatos R$ 450.000,00. A quantia que o filho mais velho recebeu foi:

a) R$ 142.500,00

b) R$ 154.000,00

c) R$ 165.500,00

d) R$ 168.000,00

e) R$ 172.500,00




24. (AFC-STN 2000/ESAF) Em um processo de fabricação, o custo total é inversamente proporcional ao quadrado das quantidades produzidas. Quando são produzidas 5 unidades, o custo total é igual a 225. Assim, quando forem produzidas 12 unidades, o custo total será igual a:

a) 625/25

b) 625/24

c) 625/16

d) 625/15

e) 625/12

25. (Vestibular FGV 2002) Uma variável y é inversamente proporcional ao quadrado de outra variável x. Para x = 3, y vale 15. Então, se x = 4, y deverá valer:

a) 1/16

b) 15/16

c) 45/16

d) 135/16

e) 625/16

26. (FNDE 2007/FGV) A grandeza é diretamente proporcional às grandezas e e inversamente proporcional à grandeza . Quando 20, 12 e 30, o valor de é 42. Então, quando os valores de , e forem respectivamente 25, 8 e 70, o valor de será: a) 15 b) 21 c) 30 d) 56 e) 35 27. (Câmara Itapeva 2006/CETRO) Uma torneira aberta completamente enche um recipiente de 40 litros em 33 segundos, em quanto tempo esta mesma torneira, aberta completamente, encherá um reservatório de 1.240 litros?

(A) 13minutos e 15 segundos

(B) 14 minutos e 10 segundos

(C) 10 minutos e 14 segundos




(D) 20 minutos

(E) 17 minutos e 3 segundos

28. (FNDE 2007/FGV) Uma fábrica de roupas recebeu uma encomenda para confeccionar uma grande quantidade de uniformes. Designou então 15 costureiras (todas com a mesma capacidade de trabalho) para realizar a tarefa, e o trabalho ficou pronto em 12 dias. Se tivesse designado 20 costureiras, o trabalho seria realizado em: a) 10 dias b) 9 dias c) 8 dias d) 15 dias e) 16 dias 29. (CAERN 2010/FGV) Cinco máquinas com a mesma capacidade de trabalho enchem 30 garrafas de 250 mL em 12 minutos. Três dessas máquinas serão utilizadas para encher 15 garrafas de 500 mL. Para realizar essa tarefa, serão necessários a) 18 minutos. b) 24 minutos. c) 20 minutos. d) 15 minutos. e) 30 minutos. 30. (MINC 2006/FGV) Trabalhando 8 horas por dia, 5 homens constroem um galpão em 6 dias. Em quantos dias 4 homens, trabalhando 6 horas por dia, construiriam o mesmo galpão? (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12 (E) 15 31. (FCC) Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12h. Outra pessoa y, é 50% mais eficiente que x. Nessas condições, o número de horas necessárias para que y realize essa tarefa é:

a) 4

b) 5




c) 6

d) 7

e) 8

32. (Câmara Itapeva 2006/CETRO) Uma fábrica de motocicletas demora 10 dias de trabalho, numa jornada de 9 horas por dia, para produzir 250 motocicletas. Quantos dias serão necessários para produzir 300 motocicletas, trabalhando 12 horas por dia?

(A) 12 dias

(B) 10 dias

(C) 15 dias

(D) 9 dias

(E) 6 dias

33. (TJPA 2006/CESPE-UnB) Considere que uma equipe formada por 5 empregados cataloga 360 livros em 2 horas. Nesse caso, o número de livros a mais que poderão ser catalogados por uma equipe formada por 7 empregados que trabalhem durante 2 horas, com a mesma eficiência da equipe anterior, é igual a

A) 118.

B) 124.

C) 138.

D) 144.

(TJBA 2003/CESPE-UnB) Considerando que os servidores de uma repartição pública sejam igualmente eficientes, julgue os itens que se seguem. 34. Se 7 deles analisam 42 processos em um dia, então 5 servidores analisarão, em um dia, menos de 35 processos. 35. Se 20 servidores, trabalhando 4 horas por dia, levam 6 dias para concluir determinada tarefa, então serão necessários menos de 6 servidores para completarem, em 12 dias, a mesma tarefa, trabalhando 8 horas por dia. 36. TCE/PB/2006/FCC) Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo de uma biblioteca do Tribunal de Contas do Estado da Paraíba, o funcionário responsável pelo setor, que era aficionado em matemática, deu a seguinte resposta: “O total de livros do acervo é o resultado da adição de dois números




naturais que, no esquema abaixo, comparecem com seus algarismos substituídos por letras.” M A R R A + M A R R A T O R T A

Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, então, ao ser decifrado corretamente, o código permitirá concluir que o total de livros do acervo dessa biblioteca é um número

a) menor que 70000. b) compreendido entre 70000 e 75000. c) compreendido entre 75000 e 80000. d) compreendido entre 80000 e 85000. e) maior que 85000.

37. (Senado Federal/2008/FGV) Na operação de multiplicação abaixo, cada letra representa um algarismo

O valor de A+B+C é:

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

38. (TRT/2006/FCC) O esquema abaixo representa a subtração de dois números inteiros, na qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras X, Y, Z e T.

Obtido o resultado correto, a soma X+Y+Z+T é igual a:

a) 12 b) 14 c) 15 d) 18 e) 21

39. (BNB 2003/ACEP) A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima periódica composta e representa um número racional x. Se a geratriz desta




dízima for escrita sob a forma de uma fração irredutível m/n, então m + n é igual a:

A) 88 B) 89 C) 90 D) 91 E) 92

40. (ANVISA 2010/CETRO) Considere 0,00003 e 3.600.000. Desse modo, b/a vale

a) cento e vinte trilhões.

b) cento e vinte bilhões.

c) um bilhão e duzentos milhões.

d) cento e vinte milhões.

e) um milhão, cento e vinte mil.

41. (CAERN 2010/FGV) Analise as afirmativas a seguir:

I - √6 é maior do que 5/2. II – 0,555... é um número racional. III – Todo número inteiro tem antecessor. Assinale a) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. b) se somente a afirmativa II estiver correta. c) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. d) se somente a afirmativa I estiver correta. e) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. 42. (TRT-SC 2007/CETRO) Considere os conjuntos:

N, dos números naturais.

Z, dos números inteiros.

Q, dos números racionais.

R, dos números reais.

Assinale a alternativa correta.




(A) a, b N temos a b N

(B) Existe um elemento em Z que é menor que qualquer número inteiro.

(C) N Z Q R

(D) a Z, b Z e b 0 a/b Z

(E) A equação 3x 1 = 0 não tem solução em Q.

43. (Agente Administrativo – Ministério dos Transportes 2010/CETRO) Em relação ao estudo dos Conjuntos Numéricos, considere as seguintes afirmações:

I.

II. N Z Q R

III.

IV.

V.

Considere:

Ir = Conjunto dos números irracionais.

N = Conjunto dos números naturais.

Q = Conjunto dos números racionais.

R = Conjunto dos números reais.

Z = Conjunto dos números inteiros.

As afirmações verdadeiras estão contidas em

a) I apenas.

b) I e III apenas.

c) I, II e V apenas.

d) II, III, IV e V apenas.

e) I, II, III, IV e V.

44. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região • Santa Catarina 2005/FEPESE) Considere os conjuntos:




N dos números naturais,

Q dos números racionais,

Q+ números racionais não-negativos,

R dos números reais.

O número que expressa

a) a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de Q+, mas não de N.

b) o valor pago, em reais, por um sorvete é um elemento de Q+.

c) a medida da altura de uma pessoa é um elemento de N.

d) a velocidade média de um veículo é um elemento de Q, mas não de Q+.

e) a medida do lado de um triângulo é um elemento de Q.

45. (TCE-MG FCC 2007) Considere o número inteiro e positivo X4Y, em que X e Y representam os algarismos das centenas e das unidades, respectivamente. Sabendo que 15 480 : (X4Y) = 24, então X4Y é um número compreendido entre

a) 800 e 1 000

b) 600 e 800

c) 400 e 600

d) 200 e 400

e) 100 e 200

46. (TCE-PB 2007/FCC) Quantos algarismos são usados para numerar de 1 a 150 todas as páginas de um livro?

a) 327

b) 339

c) 342

d) 345

e) 350




47. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) A soma dos algarismos do número 10 3 é:

a) 88 b) 89 c) 91 d) 95 e) 97

48. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Simplificando , encontra-se:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 221

49. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Simplificando a expressão onde n pertence ao conjunto dos números inteiros, obtém-se o seguinte resultado:

a) 1/3 b) 1/27 c) 3 d) 27 e) 1/9

50. (Pref. de Resende 2007/CEPERJ) Considere-se que 10 , 3 . O valor de tal que 10 9.000 é:

a) 3,628 b) 3,746 c) 3,882 d) 3,015 e) 3,954

51. (FNDE 2007/FGV) O valor da expressão é:

a) 4 b) 16 c) 14 d) 12 e) 6

52. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Na igualdade √ √√ √

√ , o valor de é:




a) 1 b) 3 c) 3 d) 5 e) 7

53. (APO/MPOG – 2008 – ESAF) Sabe-se que os números x,y e z são números racionais. Sabe-se, também, que

2√33 √3

.

Com essas informações, conclui‐se que:

a) · 6 b) 6 c) · 0 d) / 6 e) · 6

54. (Secretaria Municipal de Fazenda 2005/FJG) Os valores √4, √8 √16, quando ordenados de modo decrescente, têm a seguinte apresentação:

a) √4 √16 √8 b) √4 √8 √16 c) √16 √4 √8 d)√8 √4 √16

55. (EBDA 2006/CETRO) Numa P.G, de termos positivos, O primeiro termo é igual a 5 e o sétimo termo é 320. Somando os dez primeiros termos dessa PG, obtém-se: (A) 5.000 (B) 5.115 (C) 4.995 (D) 5.015 (E) 4.895

56. (TRT-SC 2005/FEPESE) Numa plantação de eucaliptos, as árvores são atacadas por uma praga, semana após semana. De acordo com observações feitas, uma árvore adoeceu na primeira semana; outras duas, na segunda semana; mais quatro, na terceira semana e, assim por diante, até que, na décima semana, praticamente toda a plantação ficou doente, exceto sete árvores. Pode-se afirmar que o número total de árvores dessa plantação é: a) menor que 824 b) igual a 1024




c) igual a 1030 d) igual a 1320 e) maior que 1502

57. (Analista Administrativo – ANEEL 2006/ESAF) Os números A,B e 10 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Os números 1, A e B formam, nessa ordem, uma progressão geométrica. Com essas informações, pode-se afirmar que um possível valor para o produto das razões dessas progressões é igual a:

a) -12 b) -15 c) 10 d) 12 e) 8

58. (FUVEST 1ª fase 2001) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18




Gabaritos 01. A 02. E 03. A 04. B 05. C 06. C 07. D 08. B 09. C 10. E 11. D 12. D 13. D 14. D 15. E 16. C 17. D 18. B 19. D 20. A 21. C 22. A 23. E 24. C 25. D 26. A 27. E 28. B 29. C 30. C 31. E 32. D 33. D 34. Certo 35. Certo 36. D 37. E 38. D 39. B 40. B 41. E 42. C




43. C 44. B 45. B 46. C 47. A 48. C 49. B 50. E 51. C 52. A 53. E 54. C 55. B 56. C 57. A 58. D



Aula 3 – Matemática e Raciocínio Lógico – Senado Federal Porcentagem ................................................................................................................................. 2

Exercícios Resolvidos – Porcentagem ........................................................................................... 6

Problemas do primeiro grau ....................................................................................................... 24

Equação do 2º grau ..................................................................................................................... 43

Relações de Girard ...................................................................................................................... 53

Pares Ordenados ......................................................................................................................... 58

Plano Cartesiano ......................................................................................................................... 58

Funções ....................................................................................................................................... 60

Domínio e Imagem ...................................................................................................................... 63

Reconhecimento gráfico de uma função .................................................................................... 63

Imagem de um elemento ............................................................................................................ 65

Zero de uma função .................................................................................................................... 68

Função Afim e Inequação do 1º grau .......................................................................................... 69

Função Quadrática e Inequação do 2º grau ................................................................................ 82

Metrologia: sistemas de numeração, sistemas de unidades e medidas..................................... 98

Relação das questões comentadas ........................................................................................... 104

Gabaritos ................................................................................................................................... 123



Olá pessoal!

Vamos dar continuidade ao nosso curso de Matemática e Raciocínio Lógico para o Senado Federal. De acordo com a nossa programação:

Aula 3: Porcentagens. Equações e inequações de 1.° e de 2.° graus. Funções e gráficos.

A aula passada foi muito longa e acabei esquecendo de colocar a exposição teórica sobre metrologia (sistemas de numeração e medidas). Peço desculpas. Este material se encontra no final desta aula. Obrigado pelos alunos que me avisaram!

Porcentagem

As razões de denominador 100 são chamadas taxas percentuais, razões centesimais, percentagem ou porcentagem.

Em geral, podemos trocar o denominador 100 pelo símbolo % (por cento).

Ou seja,

100 %

Podemos expressar as porcentagens sob a forma decimal (taxa unitária). Para obter a taxa unitária, basta dividir o numerador por 100.

75%75

100 0,75

33%33

100 0,33

100%100100 1

350%350100 3,5

1 Percentual de um valor

Para calcular x% de um valor, basta multiplicar o valor pelo número x/100.

Exemplo: Calcular 30% de 500.

Resolução

30% 500 30

100 · 500 150



2 Transformação de uma fração ordinária em taxa percentual

Para transformar uma fração ordinária qualquer em taxa percentual, basta multiplicá-la por 100%.

Esse fato é matematicamente correto, pois 100% 1 e o número 1 é o elemento neutro da multiplicação. Ou seja, multiplicar por 100% não altera o resultado.

Exemplo: Transformar a fração 3/4 em taxa percentual.

Resolução

34

34 · 100%

3004 % 75%

Exemplo: Transformar a fração 5/8 em taxa percentual.

Resolução

· % % , %

Exemplo: Transformar o número 0,352 em forma de taxa percentual.

Resolução

, , · % , %

Lembre-se que para multiplicar um número decimal por 100 basta deslocar a vírgula duas casas decimais para a direita. Se não houver casas decimais, então deveremos adicionar zeros a direita.

3 Variação Percentual

i) Imagine a seguinte situação. Chegou o mês de Dezembro e você resolve presentear a sua esposa com uma bolsa. Vai ao Shopping Center e encontra a bolsa dos sonhos da sua mulher por apenas R$ 200,00. Lástima! Esqueceu a carteira em casa. Resolve então comprar a bolsa no final de semana. Quando você retorna ao Shopping Center, encontra a mesma bolsa por R$ 280,00. Obviamente o valor da bolsa aumentou em R$ 80,00.

ii) Imagine agora outra situação. Chegou o mês de Dezembro e você resolve presentear a sua esposa com um anel de brilhantes. Vai à joalheria e encontra o anel dos sonhos da sua mulher por “apenas” R$ 4.000,00. Lástima! Esqueceu a carteira em casa. Resolve então comprar o anel no final de semana. Quando você retorna à joalheria, encontra o mesmo anel por R$ 4.080,00. Obviamente o valor do anel aumentou em R$ 80,00.


4

Em valores absolutos, o aumento do valor da bolsa foi igual ao aumento do valor do anel. Qual dos dois aumentos foi mais significativo em relação ao valor inicial do objeto? Obviamente um aumento de R$ 80,00 em um produto que custa R$ 200,00 é bem mais representativo do que um aumento de R$ 80,00 em um produto que custa R$ 4.000,00. Uma maneira de comparar esses aumentos é a chamada variação percentual.

Definição

A razão entre o aumento e o preço inicial, expressa em forma de porcentagem, é chamada variação percentual.

Generalizemos: Considere um objeto com valor inicial na data 0 e valor final em uma data futura . A variação percentual dessa grandeza entre as datas consideradas é o número (expresso em porcentagem) dado por:

Voltemos aos nossos exemplos:

i) 200,00 e 280,00

Assim, a taxa percentual é:

280 200200

80200

Devemos escrever i em forma percentual. Vimos anteriormente que temos que multiplicar a fração por 100%.

80200

80200 · 100% 40%

ii) 4.000,00 e 4.080,00

Assim, a taxa percentual é:

4.080 4.0004.000

804.000

Devemos escrever i em forma percentual. Vimos anteriormente que temos que multiplicar a fração por 100%.

804.000

804.000 · 100% 2%

Atenção!

Se , a taxa percentual é de crescimento.

Se , o módulo da taxa percentual é de decrescimento (desconto).



Exemplo: João decidiu comprar uma calça no valor de R$ 160,00. O vendedor informou que se o pagamento fosse feito à vista, então a calça seria vendida por R$ 140,00. Qual a taxa percentual de desconto?

140 160160

20160

20160 · 100% 12,5%

Portanto, o desconto foi de 12,5%.

4 Variações percentuais sucessivas

Suponha que uma mercadoria recebeu um desconto de 30%. Se você fosse pagar essa mercadoria sem o desconto, você iria desembolsar 100%. Porém, com o desconto concedido, você irá pagar 100% - 30% = 70%. Assim, para calcular o valor após o desconto, devemos multiplicar o valor original por 70%=70/100.

Em geral, ao diminuir p%, para calcular o valor final, devemos multiplicar por 100% - p%.

Da mesma forma, para aumentar p% de certo valor, devemos multiplicá-lo por 100% + p%. Por exemplo, se uma mercadoria aumenta 20%, você irá pagar 100% + 20% = 120%.

Exemplo: Uma mercadoria custa R$ 300,00. Em uma primeira ocasião, sofreu um aumento de 40%. Dois meses depois, a loja anunciou uma liquidação e a mercadoria sofreu um desconto de 25%. Qual o valor final da mercadoria? Qual a variação percentual acumulada?

Resolução

Quando a mercadoria sofre um aumento de 40%, o cliente além de ter que pagar os 100% (valor da mercadoria) terá que pagar os 40% de aumento. Pagará, portanto, 140% do valor da mercadoria. Dessa forma, a mercadoria, após o aumento, vale:

140% $300,00140100 · 300 420 .

A mercadoria (que agora vale R$ 420,00) sofre um desconto de 25%. Você não pagará o valor total da mercadoria (100%), já que foi concedido um desconto.



O cliente pagará 100% - 25% = 75% do valor da mercadoria. Dessa forma, a mercadoria, após o desconto, vale:

75% $ 420,0075

100 · 420 $ 315,00

Portanto, o valor final da mercadoria é igual a R$ 315,00.

Poderíamos ter efetuado este cálculo de uma maneira mais “objetiva”. Toma-se o valor da mercadoria e multiplica-se pelas taxas de aumentos e de descontos.

Assim,

300 ·140100 ·

75100 315 .

Inicialmente a mercadoria valia R$ 300,00 e após as variações seu valor é de R$ 315,00. Ou seja:

300 315

A taxa de variação acumulada é de:

315 300300

15300

15300 · 100% 5%

Assim, o aumento de 40% seguido do desconto de 25% equivale a um único aumento de 5%.

Exercícios Resolvidos – Porcentagem

01. (MINC 2006/FGV) A fração 5/8 equivale a: (A) 50% (B) 54% (C) 56% (D) 60% (E) 62,5%

Resolução

Para transformar uma fração ordinária qualquer em taxa percentual, basta multiplicá-la por 100%.

· % % , %



Letra E

02. (ESAF-AFC/CGU-2004) Durante uma viagem para visitar familiares com diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a esses quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início dessa seqüência de visitas, ficou:

a) exatamente igual b) 5% maior c) 5% menor d) 10% menor e) 10% maior

Resolução

Suponha que Alice tinha 100 kg antes das mudanças em seu peso.

Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. Se ela perdeu 20% de peso, então para calcular o peso que ela ficou após essa mudança, devemos multiplicar o valor original por 100% - 20% = 80% = 80/100.

A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. Se ela ganhou 20% de peso, para calcular o seu peso final, devemos multiplicar o valor por 100% + 20% = 120% = 120/100.

Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso. Se ela perdeu 25% de peso, devemos multiplicar o valor do peso por 100% - 25% = 75% = 75/100.

Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. Devemos multiplicar por 100% + 25% = 125% = 125/100.

Assim, o peso final de Alice será calculado da seguinte maneira:

Seu peso final será:

100 ·80

100 ·120100 ·

75100 ·

125100 90

Então, já que Alice possuía 100 kg, ficou com um peso 10% menor.



Letra D

03. (Agente Executivo – SUSEP 2006/ESAF) Um indivíduo tinha uma dívida de R$ 1.200,00 três meses atrás. Considerando que o valor dessa dívida hoje é R$ 1.440,00, calcule a porcentagem de aumento da dívida no período.

a) 12% b) 15% c) 20% d) 25% e) 30%

Resolução

Para qualquer questão em que precisemos calcular o aumento ou desconto percentual, dados o valor inicial e o final, podemos utilizar a seguinte fórmula:

Valor inicial: R$ 1200,00

Valor final: R$ 1440,00

Diferença entre os valores: R$ 1440,00 – R$ 1200,00 = R$ 240,00.

2401200 · 100%

24012 % 20%

Letra C

04. (Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão – MA 2005/FCC) Em 02/01/2005, a fiscalização em certa reserva florestal acusou que o número de espécies nativas havia diminuído de 60%, em relação a 02/01/2004. Para que, em 02/01/2006, o número de espécies nativas volte a ser o mesmo observado em 02-01-2004, então, relativamente a 02/01/2005, será necessário um aumento de

a) 60% b) 80% c) 150% d) 160% e) 180%

Resolução

Considere que o número inicial de espécies nativas em 02/01/2004 foi de 100. Como esse número diminuiu 60%, então em 02/01/2005 havia 40 espécies. Queremos que em 02/01/2006, o número de espécies nativas volte a ser o



mesmo observado em 02-01-2004. Portanto o número de espécies nativas em 02/01/2006 será igual a 100.

02/01/2004 02/01/2005 02/01/2006 100 40 100

Para qualquer questão em que precisemos calcular o aumento ou desconto percentual, dados o valor inicial e o final, podemos utilizar a seguinte fórmula:

Valor inicial (02/01/2005): 40 espécies nativas.

Valor final (02/01/2006): 100 espécies nativas.

Diferença entre os valores: 100 – 40 = 60

6040 · 100%

600040 % 150%

Letra C

05. (DOCAS-SP 2010/FGV) Três amigos foram a um restaurante, e a conta, já incluídos os 10% de gorjeta, foi de R$ 105,60. Se eles resolveram não pagar os 10% de gorjeta pois acharam que foram mal atendidos, e dividiram o pagamento igualmente pelos três, cada um deles pagou a quantia de

a) R$ 31,68 b) R$ 30,60 c) R$ 32,00 d) R$ 35,20 e) R$ 33,00

Resolução

Vamos supor que o valor da conta (sem a gorjeta) tenha sido de reais. Para incluir os 10% da gorjeta, devemos multiplicar o valor da conta por 100% + 10% = 110%.

110% 105,60

110100 · 105,60

1,1 105,60

105,601,1

96



Desta forma, o valor da conta sem a gorjeta é igual a 96 reais. Como são três amigos, então cada um deles pagou:

963

32

Letra C

06. (CAERN 2010/FGV) Um restaurante cobra 10% sobre o valor consumido. Assim, quando a conta é apresentada ao cliente, o valor a ser pago já vem com os 10% incluídos. Ao receber a conta no valor de R$ 27,72, Marcelo percebeu que haviam cobrado a sobremesa, que custa R$ 3,50, sem que ele a tivesse consumido. O gerente prontamente corrigiu o valor cobrado. Assim, depois dessa correção, Marcelo pagou

a) R$ 21,70. b) R$ 22,50. c) R$ 23,87. d) R$ 24,22. e) R$ 52,20.

Resolução

Ao perceber que a sobremesa tinha sido cobrada indevidamente, Marcelo deve pedir que seja cancelado o valor da sobremesa e o valor da gorjeta em função desta sobremesa. Como o restaurante cobra 10% do consumo, então além dos R$ 3,50 da sobremesa, o restaurante deve descontar:

10% 3,50 0,35

Feita a correção, o valor da conta será:

27,72 3,50 0,35 23,87

Letra C

07. (MEC 2009/FGV) Em uma sala há homens, mulheres e crianças. Se todos os homens fossem retirados da sala, as mulheres passariam a representar 80% dos restantes. Se, ao contrário, fossem retiradas todas as mulheres, os homens passariam a representar 75% dos presentes na sala. Com relação ao número total de pessoas na sala, as crianças correspondem a:

a) 12,5% b) 17,5% c) 20% d) 22,5% e) 25%



Resolução

“Em uma sala há homens, mulheres e crianças. Se todos os homens fossem retirados da sala, as mulheres passariam a representar 80% dos restantes.”

Vamos considerar que há h homens, m mulheres e c crianças.

Quando todos os homens são retirados, então o total de pessoas é igual a , ou seja, restam apenas as mulheres e as crianças. Como as mulheres representam 80%,

80%

0,80 ·

0,8 0,8

0,8 0,8

0,2 0,8

0,80,2

4

Vamos guardar esta expressão...

“Se, ao contrário, fossem retiradas todas as mulheres, os homens passariam a representar 75% dos presentes na sala.”

Quando todos as mulheres são retirados, então o total de pessoas é igual a , ou seja, restam apenas os homens e as crianças. Como os homens representam 75%,

75%

0,75 ·

0,75 0,75

0,25 0,75

0,750,25

3

Queremos saber o percentual de crianças em relação ao total de pessoas. Basta dividir o número de crianças pelo total de pessoas. Lembre-se que 4 e 3 .

4 3 818



Para transformar esta fração ordinária em percentagem, devemos multiplicá-la por 100%.

18

18

· 100% 12,5%

Letra A

(MINC 2006/FGV) O enunciado a seguir refere-se às questões de números 08 e 09.

Em uma escola, 10% dos alunos são canhotos, e, destes, 30% usam óculos. Além disso, 12% dos alunos dessa escola usam óculos. 08. Qual é a porcentagem dos alunos dessa escola que são canhotos e usam óculos? (A) 3% (B) 5% (C) 15% (D) 20% (E) 25% Resolução 30% dos canhotos usam óculos. Como os canhotos representam 10% dos alunos da escola, então a porcentagem dos alunos que são canhotos e usam óculos é igual a:

30% 10%30

100 · 10% 3% Letra A 09. Qual é a porcentagem de canhotos entre os alunos dessa escola que usam óculos? (A) 3% (B) 5% (C) 15% (D) 20% (E) 25% Resolução Para calcular a porcentagem pedida, devemos dividir o número de canhotos que usam óculos (calculado na questão passada) pelo total de pessoas que usam óculos.

3%12%

312

14

14

· 100% 25%

Letra E



10. (CAERN 2010/FGV) Em um saquinho há balas. Quinze delas são de coco. As balas de mel correspondem a 55% do total de balas no saquinho. As 12 restantes são de tamarindo. Quantas balas há no saquinho?

a) 54 b) 33 c) 48 d) 60 e) 63

Resolução

As balas de mel correspondem a 55% do total de balas no saquinho. Portanto, as restantes (coco e tamarindo) representam 45% do total de balas.

As balas de coco e tamarindo totalizam 15 + 12 = 27.

Se o total de balas é igual a x, então:

45% 27

0,45 27

270,45

Para efetuar esta divisão, devemos igualar a quantidade de casas decimais e apagar as vírgulas.

27,000,45

2.70045

60

Letra D

11. (SERC/MS 2006/FGV) Gastava 20% do meu salário com aluguel. Recebi um aumento de salário de 50%, porém o aluguel aumentou de 20%. Quanto passei a gastar com aluguel? (A) 18% (B) 16% (C) 14% (D) 12% (E) 10%

Resolução

Vamos considerar que o salário da pessoa seja de R$ 100,00. Como ele gastava 20% com aluguel, então o aluguel correspondia a R$ 20,00. Ele recebeu um aumento de 50% no salário. Para calcular o novo salário, devemos multiplicar o antigo por 100% +50% = 150%.



100 ·150100

150 á

O aluguel aumentou 20%. Para calcular o novo valor, devemos multiplicar o antigo por 100% + 20% = 120%.

20 ·120100

24

Para saber o percentual gasto com o aluguel, devemos dividir o valor do aluguel pelo total do salário.

24150

· 100% 16%

Letra B

12. (BADESC 2010/FGV) Um número N acrescido de 20% vale 36, o mesmo que um número P reduzido de 10%. A soma de N e P é: (A) 60 (B) 65 (C) 70 (D) 75 (E) 80

Resolução

Para que N seja acrescido de 20%, devemos multiplicar o seu valor por 100% +20% = 120%.

120% 36

120100 · 36

36 ·100120 30

Para que P seja reduzido de 10%, devemos multiplicar o seu valor por 100% - 10% = 90%.

90% 36

90100 · 36

36 ·10090 40

Portanto, 30 40 70.

Letra C



13. (Senado Federal 2008/FGV) Guido fez um investimento em um fundo de ações e, a cada 30 dias, recebe um relatório mostrando a valorização ou desvalorização das cotas do fundo nesse período. No primeiro mês o fundo teve uma valorização de 8% e, no segundo mês de 25%. O terceiro mês foi de crise e todas as ações caíram. Entretanto, no fim do terceiro mês, Guido verificou, com certo alívio, que tinha quase que exatamente o mesmo dinheiro que investiu. A desvalorização no terceiro mês foi de cerca de: (A) 22%. (B) 26%. (C) 30%. (D) 33%. (E) 37%.

Resolução

Vamos considerar que o seu investimento inicial foi de R$ 100,00.

No primeiro mês houve uma valorização de 8%. Para calcular o valor das cotas, devemos multiplicar o valor do investimento por 100% + 8% = 108%.

No segundo mês houve uma valorização de 25%. Devemos multiplicar o último valor por 100% + 25% = 125%.

100 ·108100 ·

125100

135

No terceiro mês, houve uma desvalorização de forma que as cotas de Guido valiam aproximadamente R$ 100,00.

Para qualquer questão em que precisemos calcular o aumento ou redução percentual, dados o valor inicial e o final, podemos utilizar a seguinte fórmula:

100 135135

35135 · 100% 25,92%

Letra B

14. (Assistente Administrativo – CRP 4ª – 2006/CETRO) Para obter um número 20% maior que ele próprio, devo multiplicá-lo pela fração:

(A) Dois terços (B) Cinco quartos (C) Seis quintos (D) Sete quintos (E) Oito sextos

Resolução



Vimos anteriormente que para dar um aumento de 20%, devemos multiplicar o valor por 100% + 20% = 120% = 120/100.

Simplificando a fração 120/100 obtemos 6/5.

Letra C

15. (TJPA 2006/CESPE-UnB) Flávio ganhou R$ 720,00 de salário. Desse valor, ele gastou 25% pagando dívidas e 1/3 com alimentação. Nesse caso, o que sobrou do salário de Flávio foi A) inferior a R$ 180,00. B) superior a R$ 180,00 e inferior a R$ 230,00. C) superior a R$ 230,00 e inferior a R$ 280,00. D) superior a R$ 280,00.

Resolução

Flávio gastou 25% pagando dívidas, portanto ele gastou:

25100 · 720

14 · 720 180 .

Flávio gastou 1/3 com alimentação, portanto ele gastou:

13 · 720 240 .

Total dos gastos: 180 240 420 .

Quanto sobrou para Flávio?

$ 720,00 $ 420,00 $ 300,00

Letra D




De acordo com o anúncio acima, o total do pagamento a prazo na compra da lavadora de roupas supera o valor do pagamento à vista em

A) exatamente 25% do valor à vista. B) mais de 25% e menos de 30% do valor à vista. C) exatamente 30% do valor à vista. D) mais de 30% do valor à vista.

Resolução

O valor total do pagamento a prazo na compra da lavadora é de:

10 162,50 1.625

Este valor supera o valor do pagamento à vista em:

1.625 1.300 325 .

Para saber qual o percentual deste valor em relação ao valor à vista, devemos efetuar a divisão entre os valores:

3251.300 0,25 25%

Letra A

(TJBA 2003/CESPE-UnB)

Os dados acima representam a evolução da quantidade de processos analisados em uma repartição pública e do número de servidores que analisaram esses processos, em uma semana de expediente. A produtividade em um dia é o resultado do quociente entre a quantidade de processos



analisados naquele dia e a quantidade de servidores que analisaram esses processos. Com base nesses dados, julgue os seguintes itens.

17. Na sexta-feira, o número de servidores que analisaram processos aumentou mais de 50% em relação ao número dos que fizeram essa atividade na segunda-feira. Resolução

Foram 5 funcionários na segunda-feira e 8 funcionários na sexta-feira. O percentual de aumento é:

8 55 0,6 60%

O item está certo.

18. Se, na quarta-feira, a produtividade foi de 24 processos por servidor, então menos de 70 processos foram analisados nesse dia. Resolução

O texto definiu a produtividade como o cociente entre a quantidade de processos analisados naquele dia e a quantidade de servidores que analisaram esses processos.

quantidade de processos analisadosquantidade de servidores que analisaram esses processos

24 3

3 · 24 72 .

O item está errado.

19. Na sexta-feira, a produtividade foi 80% maior que na segunda-feira.



Resolução


Na segunda-feira, 75 processos foram analisados por 5 funcionários. A produtividade da segunda-feira é igual a:

755 15 / á

Na sexta-feira, 216 processos foram analisados por 8 funcionários. A produtividade da sexta-feira é igual a:

2168 27 / á

O percentual de aumento é dado por:

27 1515

1215 0,8 80%

O item está certo.

20. Considere que 81 processos ficaram sem ser analisados nessa semana e que deveriam ser analisados mantendo-se a mesma produtividade da sexta-feira. Nessa situação, seriam necessários mais de 12 servidores para cumprir essa tarefa. Resolução

A produtividade da sexta-feira foi calculada na questão 10. Vimos que é igual a 27 processos/funcionário. Queremos analisar 81 processos com esta produtividade.


2781

27 81 3 á




21. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) O consumo de energia elétrica na casa de Regina, em novembro de 2009, aumentou em 30% em relação ao de outubro, por causa do calor. Entretanto, em dezembro, Regina reparou que o consumo de energia elétrica diminuiu 10% em relação ao mês anterior. Então, o consumo de dezembro em relação ao de outubro é maior em:

a) 15% b) 17% c) 18% d) 20% e) 22%

Resolução

Vamos colocar um valor de referência inicial (outubro) igual a 100. Temos um aumento de 30%, portanto devemos multiplicar por 100% + 30% = 130%. Em seguida temos uma diminuição de 10% e devemos multiplicar por 100% - 10% = 90%.

100 ·130100 ·

90100 117

Como o valor inicial do consumo em outubro foi igual a 100 e o consumo em dezembro foi igual a 117, o aumento foi de 17%.

Letra B

22. (Câmara Municipal de Vassouras 2006/CEPERJ) Em uma loja de roupas, as vendas em fevereiro superaram as de janeiro em 20% e as vendas em março superaram as de fevereiro em 60%. De janeiro a março, o aumento nas vendas desta loja foi de:

A) 80% B) 86% C) 92% D) 120%

Resolução

Temos dois aumentos sucessivos: 20% (devemos multiplicar por 100% + 20% = 120%) e 60% (devemos multiplicar por 100% + 60% = 160%).

Sempre que não for dado uma referência inicial, vale a pena utilizar o valor 100. Então, vamos supor que o valor inicial das vendas em janeiro foi igual a 100. O valor das vendas em março será igual a:



100 ·120100 ·

160100 192

Temos, portanto, um aumento de 92%.

Letra C

23. (Câmara Municipal de Vassouras 2006/CEPERJ) Dois descontos sucessivos de 30% e 40% são equivalentes a um único desconto de:

A) 58% B) 62% C) 66% D) 70%

Resolução

Temos agora dois descontos sucessivos. Vamos adotar a mesma estratégia de utilizar o valor inicial igual a 100.

Para calcular o valor final depois do desconto de 30%, devemos multiplicar o valor inicial por 100% - 30% = 70%. Da mesma maneira, para dar o desconto de 40%, devemos multiplicar o valor por 100% - 40% = 60%.

100 ·70

100 ·60

100 42

Ora, se uma hipotética mercadoria custava 100 e agora custa 42, então o desconto total dado foi de 100 – 42 = 58.

Desta forma, o desconto percentual foi de 58% (porque o valor inicial é igual a 100).

Letra A

24. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Durante a noite, o dono de uma loja aumentou todos os preços em 20% e, no dia seguinte, anunciou um desconto de 30% em todos os produtos. O desconto real que ele está oferecendo é de:

a) 10% b) 12% c) 14% d) 16% e) 18%

Resolução

Continuando com a mesma estratégia. Digamos que todos os preços sejam iguais a 100. O dono da loja aumentou os preços em 20% (devemos multiplicar por 100% + 20% = 120%) e em seguida anunciou um desconto de 30% (devemos multiplicar por 100% - 30% = 70%).



100 ·120100 ·

70100 84

Ora, se as mercadorias custavam 100 e agora custam 84, então o desconto dado foi de 100 – 84 = 16. Como o valor inicial adotado foi igual a 100, o desconto percentual é de 16%.

Letra D

25. (SEE/RJ 2007/CEPERJ) Em uma semana, as ações de certa companhia valorizaram 20% e, na semana seguinte, desvalorizaram 20%. O valor das ações é:

A) o mesmo que o valor inicial B) maior em 2% que o valor inicial C) menor em 2% que o valor inicial D) maior em 4% que o valor inicial E) menor em 4% que o valor inicial

Resolução

Vamos assumir que o valor inicial das ações é igual a 100. Se as ações valorizaram 20%, devemos multiplicar o valor de cada ação por 100% + 20% = 120%. Com a desvalorização de 20%, devemos multiplicar por 100% - 20% = 80%.

100 ·120100 ·

80100 96

Ora, se as ações valiam 100 e agora valem 96, elas desvalorizaram 4%.

Letra E

26. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Um trabalhador gasta com o aluguel de sua casa 25% do seu salário. Se o salário é corrigido com um aumento de 25% e o aluguel com um aumento de 35%, então o novo aluguel passará a consumir a seguinte porcentagem do novo salário do trabalhador:

a) 25% b) 35% c) 27% d) 37% e) 50%

Resolução

Digamos que o salário inicial do trabalhador é igual a 100. Como o aluguel consome 25% do seu salário, então o aluguel é igual a 25.



O salário aumentou 25%. Devemos, então, multiplicar o salário por 100% + 25% = 125%.

100 ·125100 125

O aluguel sofreu um aumento de 35%. Devemos, portanto, multiplicá-lo por 100% + 35% = 135%.

25 ·135100 33,75

Para saber qual a porcentagem do salário consumida pelo aluguel, devemos dividir o valor do aluguel pelo salário do trabalhador e multiplicar por 100% (sempre que quisermos transformar uma fração em porcentagem devemos multiplicar por 100%).

33,75125 · 100%

3.375125 % 27%

Letra C

27. (SEE/RJ 2007/CEPERJ) Pedro investiu certa quantia comprando ações de uma indústria. No final do primeiro ano, ele verificou que as ações tinham valorizado 25%, mas no final do ano seguinte ele disse: “Puxa, eu tenho hoje o dobro do dinheiro que investi”. A valorização dessas ações no segundo ano foi de:

A) 50% B) 55% C) 60% D) 70% E) 75%

Resolução

Digamos que o valor inicial das ações de Pedro é igual a 100. Se elas valorizaram 25%, devemos multiplicar seu valor por 100% + 25% = 125%.

100 ·125100 125

No final do ano seguinte ele disse: “Puxa, eu tenho hoje o dobro do dinheiro que investi”. Ora, como o valor inicial era igual a 100 e seu valor foi dobrado, então o valor final é igual a 200.

Queremos saber a valorização das ações no segundo ano. O valor inicial das ações no segundo ano era igual a 125. Para calcular a variação percentual utilizaremos a seguinte fórmula:



ç · 100%

Valor inicial: R$ 125,00.

Valor final: R$ 200,00 .

Diferença entre os valores: 200 – 125 = 75

75125

· 100%7.500125

% 60%

Letra C Vamos agora resolver uma série de exercícios em que tenhamos que construir uma equação do 1º grau ou um sistema de equações.

Problemas do primeiro grau

28. (RIOPREVIDÊNCIA 2010/CEPERJ) Considere um número real e faça com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 2, em seguida some 1, multiplique por 3 e subtraia 5. Se o resultado foi 220, o valor de está entre: a) 30 e 35 b) 35 e 40 c) 40 e 45 d) 45 e 50 e) 50 e 55

Resolução

Considere um número real .

Multiplicando-o por 2, obtemos 2 · .

Somando 1 ao resultado, obtemos 2 · 1.

Em seguida, multiplicamos o resultado por 3. Assim, tem-se 3 · 2 · 1 .

Finalmente subtrai-se 5 e obtemos: 3 · 2 · 1 5.

Este resultado é igual a 220.

3 · 2 · 1 5 220

Vamos aplicar a propriedade distributiva.



6 · 3 5 220

6 2 220

6 220 2

6 222222

637

Letra B

29. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Considere um número real e faça com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 4, depois some 31, em seguida divida por 3, multiplique por 5 e subtraia 23. Se o resultado foi 222, o valor de é: a) um número múltiplo de 7. b) um número entre 30 e 40. c) um número par. d) um número cuja soma dos dígitos é 10. e) um número primo.

Resolução

Multiplicando o número obtemos 4 · .

Em seguida some 31 4 · 31.

Depois divida por 3

Multiplique por 5 5 ·

Subtraia 23 5 · 23

O resultado é igual a 222.

5 ·4 31

3 23 222 5 ·4 31

3 222 23

5 ·4 31

3 2454 31

3245

5

4 313 49 4 31 3 · 49

4 31 147 4 147 31

4 116116

4 29



Como o número 29 é primo (número primo é aquele que possui apenas dois divisores naturais).

Letra E

30. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) No sistema 0,3 1,2 2,4

0,5 0,8 0,9

O valor de é:

a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) 2/3

Resolução

Para deixar o sistema um pouco mais “limpo”, podemos multiplicar as duas equações por 10 com o intuito de eliminar as casas decimais.

0,3 1,2 2,4 · 100,5 0,8 0,9 · 10

3 12 245 8 9

Olhemos para a primeira equação: 3 12 24

Podemos, para simplificar, dividir ambos os membros da equação por 3.

4 8

8 4

Vamos substituir esta expressão na segunda equação. Ou seja, trocaremos por 8 4 .

5 8 9

5 · 8 4 8 9

40 20 8 9

28 9 40

28 49

Multiplicando os dois membros da equação por 1 :



28 494928

Vamos simplificar esta fração por 7. Para simplificar, devemos dividir o numerador e o denominador por 7.

49/728/7

74

Como 8 4 :

8 4 ·74 8 7 1

Letra A

31. (TCE-RN 2000/ESAF) Um homem caridoso observou alguns mendigos em uma praça e pensou: “Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$ 3,00. Ah, mas se eu tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para poder dar a cada um deles R$ 6,00”. O número de mendigos era, portanto: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

Resolução

Digamos que o homem caridoso possua reais e que existam mendigos.

Vejamos a primeira situação. “Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$ 3,00.”

O homem entrega 5 reais para cada um dos mendigos. Portanto, ele gastou 5 reais. Ele ainda ficou com 3 reais. Desta forma, a quantia que o homem possui é igual a 5 3 .

5 3

“Se eu tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para poder dar a cada um deles R$ 6,00.”

O homem possui reais. Se ele tivesse mais R$ 5,00, então ele teria 5 reais. Esta quantia daria para entregar exatamente 6 reais para cada um dos mendigos.

5 6

6 5

Ora, se 5 3 e 6 5, então 5 3 6 5



5 3 6 5

5 6 5 3

8

8

São 8 mendigos.

Letra D

32. (Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Hoje a idade de João é a metade da idade de sua mãe. Há quatro anos, a idade de João era a terça parte da idade de seu pai. Se a soma das idades dos três é 100 anos hoje, calcule quantos anos o pai de João é mais velho que sua mãe. a) 8 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15

Resolução

Uma dica: procure sempre utilizar letras que façam referência ao nome das pessoas envolvidas. Esqueça essa “mania” de sempre usar x,y,z... Pois ao terminar a questão você terá que procurar quem é x,y,z...

Por exemplo: a idade de João é J, a idade da mãe é M e a idade do pai é P.

Hoje a idade de João é a metade da idade de sua mãe. Assim, . Assim, 2 · .

Há quatro anos, a idade de João era a terça parte da idade de seu pai.

Ora, há quatros anos, João tinha (J – 4) anos e o seu pai tinha (P – 4) anos. A idade João era a terça parte da idade de seu pai.

ã

·

·

·

·

A soma das idades dos três é 100 anos hoje.



· ·

·

Assim, a mãe de João tem · .

O pai de João tem · · .

O pai de João é 10 anos mais velho do que a sua mãe.

Letra B

33. (AFC/SEPLAG-GDF 2009/FUNIVERSA) A diferença entre as idades de dois irmãos é de três anos. Após três anos do nascimento do segundo, nasceu o terceiro e assim foi acontecendo até se formar uma família com cinco irmãos. Sabendo-se que, hoje, a idade do último irmão que nasceu é a metade da idade do primeiro irmão nascido, é correto afirmar que, hoje, o irmão mais velho está com idade igual a a) 18 anos. b) 20 anos. c) 22 anos. d) 24 anos. e) 26 anos.

Resolução

Considere que o irmão mais novo tem anos. Portanto, as idades dos outros irmãos são iguais a 3, 6, 9 12.

A idade do irmão mais novo é a metade da idade do irmão mais velho.

ã ã

2

122

2 12

12

Assim, as idades dos irmãos são 12, 15, 18, 21, 24.

O irmão mais velho está com 24 anos.

Letra D

34. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Uma pessoa terá no ano de 2012 o triplo da idade que tinha em 1994. Essa pessoa tem hoje:



a) 22 anos. b) 23 anos. c) 24 anos. d) 25 anos. e) 26 anos.

Resolução

Prestemos atenção ao fato de que a prova foi realizada no ano de 2009. Digamos que a pessoa tenha anos em 2009. Dessa maneira, terá 3 anos em 2012 e 15 anos em 1994. Isso porque 2012 – 2009 = 3 e 2009 – 1994 = 15.

Ano 1994 2009 2012

Idade 15 3

A idade da pessoa em 2012 é o triplo da idade da mesma pessoa em 1994.

2012 3 · 1994

3 3 · 15

3 3 45

3 45 3

2 48

24

Letra C

35. (TRF 1ªR 2001/FCC) No almoxarifado de certa empresa há 68 pacotes de papel sulfite, dispostos em 4 prateleiras. Se as quantidades de pacotes em cada prateleira correspondem a 4 números pares sucessivos, então, dos números seguintes, o que representa uma dessas quantidades é o: a) 8 b) 12 c) 18 d) 22 e) 24 Resolução



Se o primeiro número par for ,então os próximos números pares sucessivos serão 2, 4 6. A soma destes 4 números deve ser igual a 68.

2 4 6 68

4 12 68

4 56 14

Desta maneira, se na primeira prateleira há 14 pacotes, nas outras prateleiras haverá 16, 18 e 20 pacotes.

Letra C

36. (Prefeitura Municipal de Arujá 2006/CETRO) Três números pares e consecutivos têm por soma 90. A divisão do menor deles por 7 nos dá um quociente igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Resolução

Seja x o primeiro número par. Os próximos números pares serão x+2 e x+4. A soma dos três é igual a 90. Assim,

· ·

O quociente da divisão de 28 por 7 é igual a 4.

Letra C

37. (MF 2009/ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá?

a) 12 horas b) 30 horas c) 20 horas d) 24 horas e) 16 horas

Resolução



Existe uma tática muito boa para resolver problemas envolvendo produção e tempo. A tática é a seguinte: perguntar o que cada objeto produz na unidade de tempo. A primeira torneira enche o tanque em 24 horas. Isto significa que eu posso dividir o tanque em 24 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora. Desta maneira, a primeira torneira enche 1/24 do tanque em 1 hora. A segunda torneira enche o tanque em 48 horas. Isto significa que eu posso dividir o tanque em 48 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora. Como o tanque foi dividido em 48 partes, cada parte representa 1/48 do tanque. Ou seja, a segunda torneira enche 1/48 do tanque em 1 hora. Ora, se a primeira torneira em 1 hora enche 1/24 do tanque e a segunda torneira em 1 hora enche 1/48 do tanque, então juntas em 1 hora encherão:

124

148

2 148

348

116

Analogamente, se juntas as torneiras enchem o tanque completamente em horas, em 1 hora encherão 1/x. Assim:

O tanque foi dividido em 24 partes iguais. A torneira enche cada parte em 1 hora, totalizando 24 horas.

Cada parte representa do tanque.



1 116

16 .

Letra E Vamos agora criar uma resolução geral para problemas de produção e tempo? Considere que um objeto execute um serviço em horas, outro objeto execute um serviço o mesmo serviço em horas, outro objeto execute o mesmo serviço em horas e assim por diante. Considere ainda que juntos, os objetos executem o serviço em horas. Temos a seguinte relação:

1 1 1

No nosso caso, a primeira torneira enche o tanque em 24 horas e a segunda torneira enche o tanque em 48 horas. Elas enchem o tanque em .

124

148

1

2 1

481 3

481


3 · 1 · 48

483 16 .

38. (Oficial de Chancelaria – MRE 2009/FCC) Certo dia, Alfeu e Gema foram incumbidos de, no dia seguinte, trabalharem juntos a fim de cumprir uma certa tarefa; entretanto, como Alfeu faltou ao serviço no dia marcado para a execução de tal tarefa, Gema cumpriu-a sozinha. Considerando que, juntos, eles executariam a tarefa em 3 horas e que, sozinho, Alfeu seria capaz de executá-la em 5 horas, o esperado é que, sozinha, Gema a tenha cumprido em a) 6 horas e 30 minutos. b) 7 horas e 30 minutos. c) 6 horas. d) 7 horas. e) 8 horas. Resolução



Alfeu executa o serviço sozinho em 5 horas. Gema executa o serviço sozinha em horas. Juntos, executariam o serviço em 3 horas.

15

1 13

1 13

15

1 5 315

1 2

15


2 · 1 · 15

152 7,5 7 30

Letra B

39. (ANEEL 2004/ESAF) Para 5, a simplificação da expressão 10 5025 5

é dada por:

a) 2 b) 2 c) 5 d) 5 e) 25

Resolução

Vejamos o numerador:

10 50 10 · 5

Vejamos o denominador:

25 5 5 · 5 5 · 5

Desta forma:

10 5025 5

10 · 55 · 5



Como 5, podemos cortar os fatores 5 .

10 5025 5

10 · 55 · 5

105 2

Dê uma olhada nas alternativas. A resposta não depende do valor de x. Portanto, podemos escolher um valor arbitrário para x. Vamos, por exemplo, substituir x por 1.

10 5025 5

10 · 1 5025 5 · 1

10 5025 5

4020 2

Bem melhor, não?

Letra A

40. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Carlos e Márcio são irmãos. Carlos dá a Márcio tantos reais quantos Márcio possui e, em seguida, Márcio dá a Carlos tantos reais quantos Carlos possui. Se terminaram com 16 reais cada um, a quantia que Carlos tinha inicialmente era de: a) 12 reais b) 15 reais c) 18 reais d) 20 reais e) 24 reais

Resolução

Uma dica: procure sempre utilizar letras que façam referência ao nome das pessoas envolvidas. Esqueça essa “mania” de sempre usar x,y,z...

No nosso caso, Carlos tem reais e Márcio tem reais.

1ª informação: Carlos dá a Márcio tantos reais quantos Márcio possui.

Já que Márcio possui reais, Carlos dará reais para Márcio. Vejamos o que acontece com as quantias de cada um:

Carlos Márcio Início

Carlos dá reais para Márcio

É óbvio notar que se Carlos dá reais para Márcio, então Carlos perde reais e Márcio ganha .



1ª informação: Márcio dá a Carlos tantos reais quantos Carlos possui.

Atualmente, Carlos possui . Portanto, Márcio dará a Carlos .

Carlos Márcio Início

Carlos dá reais para

Márcio

Márcio dá ( reais a

Carlos

As duas quantias são iguais a 16 reais.

2 2 163 16

Olhemos para a primeira equação:

2 2 16

Podemos dividir os dois membros da equação por 2.

8

8

Vamos substituir esta expressão na segunda equação.

3 16

3 8 16

3 8 16

2 16 8 2 24 12

Como 8:

12 8 20 .

Letra D

41. (SERPRO 2001/ESAF) Três meninas, cada uma delas com algum dinheiro, redistribuem o que possuem da seguinte maneira: Alice dá a Bela e a Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui. A seguir, Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Finalmente, Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Se Cátia possuía R$ 36,00



tanto no início quanto no final da distribuição, a quantia total que as três meninas possuem juntas é igual a: a) R$ 214,00 b) R$ 252,00 c) R$ 278,00 d) R$ 282,00 e) R$ 296,00 Resolução Vamos montar uma tabela com a evolução da quantia que cada pessoa possui.

Alice Bela Cátia Início 36

Alice dá a Bela e a Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui. Para que Bela duplique sua quantia, ela deve receber reais. Para que Cátia duplique sua quantia, ela deve receber 36 reais.

Alice Bela Cátia 36

36

2

36 36 72 Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Para que Alice duplique sua quantia, ela deve receber 36. Para que Cátia duplique a sua quantia, ela deve receber 72 reais.

Alice Bela Cátia 2 · 36 2 36 72 2 · 72 144

Manipulando a expressão da quantia de Bela:

Alice Bela Cátia 2 · 36 3 36 2 · 72 144

Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Para que Alice duplique a sua quantia, ela deve receber 2 · 36 . Para que Bela duplique a sua quantia, ela deve receber 3 36.



Cátia possuía 144 reais. Como deu 2 · 36 para Alice e 3 36 para Bela, então ficou com:

144 2 · 36 – 3 36 No final, Cátia ficou com 36 reais. Portanto,

144 2 · 36 – 3 36 36

144 2 2 72 3 36 36

216 Multiplicando os dois membros por 1 :

216 A quantia total que as três meninas possuem juntas é igual a:

216 36 252 Letra B

42. (CEAGESP 2006/CONSULPLAN) Rui diz a Pedro: Se você me der 1/5 do dinheiro que possui, eu ficarei com uma quantia igual ao dobro do que lhe restará. Por outro lado, se eu lhe der R$ 6,00 do meu dinheiro, nós ficaremos com quantias iguais. Quanto de dinheiro possui Rui? a) R$ 42,00 b) R$ 31,00 c) R$ 25,00 d) R$ 28,00 e) R$ 47,00

Resolução Vamos assumir que Rui possui reais e que Pedro possui reais. “Rui diz a Pedro: Se você me der 1/5 do dinheiro que possui, eu ficarei com uma quantia igual ao dobro do que lhe restará.” Se Pedro der 1/5 do seu dinheiro, ficará com 4/5 da sua quantia. Ou seja, se Pedro possuía , ficará com · .

Rui receberá 1/5 da quantia de Pedro. Como Rui possuía , ficará com · . Sabemos que a quantia que Rui fica é o dobro da quantia de Pedro.

15

· 2 ·45

·



15

·85

·

85

·15

·

75

·

5 7 Rui diz a Pedro:

“Por outro lado, se eu lhe der R$ 6,00 do meu dinheiro, nós ficaremos com quantias iguais.”

Pedro ficará com 6 reais e Rui ficará com 6 reais. Estas duas quantias devem ser iguais.

6 6

12

Substituindo esta expressão na equação obtida acima:

5 7

5 7 · 12

5 7 84

2 84 2 84 42 . Letra A

43. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Antônio, Bruno e Carlos compraram um barco por R$ 600,00. Antônio pagou a metade do que os outros dois juntos pagaram. Bruno pagou a terça parte do que os outros dois juntos pagaram. Então Carlos pagou: a) R$150,00 b) R$200,00 c) R$250,00 d) R$300,00 e) R$350,00 Resolução Vamos utilizar as letras , , para indicar as quantias pagas por Antônio, Bruno e Carlos, respectivamente.



1ª informação Antônio, Bruno e Carlos compraram um barco por R$ 600,00.

600 2ª informação Antônio pagou a metade do que os outros dois juntos pagaram.

2

3ª informação Bruno pagou a terça parte do que os outros dois juntos pagaram.

33

Voltemos à primeira equação:

600 Sabemos que . Portanto,

600

3 600

200 Vamos utilizar o mesmo artifício com a terceira informação. Sabemos que e que 600.

600

4 600

150 600

200 150 600

350 600

250

Letra C



44. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Em cada quadradinho da figura abaixo há um número escondido. Nas figuras a seguir, está escrita, abaixo de cada uma, a soma dos números dos quadradinhos sombreados.

16 21 11

O número que está no primeiro quadradinho é:

a) 3 b) 5 c) 8 d) 11 e) 13

Resolução

Chamemos o número escondido no primeiro quadrado de , o segundo número de e o terceiro de .

Concluímos que:

16 21 11

Este é um sistema linear muito famoso em questões de matemática. É um sistema com 3 incógnitas. Só que em cada equação aparece a soma de duas das três incógnitas. O processo mais rápido para resolver esse tipo de sistema é o seguinte:

i) Escolha a incógnita que você quer calcular. ii) Multiplique por (-1) os dois membros da equação que não tem a incógnita escolhida por você. iii) Some as três equações.

Como queremos calcular o número do primeiro quadradinho, então a incógnita escolhida é .



A equação que não aparece o é a terceira. Portanto, vamos multiplicar os dois membros da terceira equação por -1.

16 21

11

Ao somar as três equações, serão cancelados.

Ficamos com:

16 21 11

2 26

13

Letra E

45. (Assistente Administrativo – SERGIPE GAS 2010/FCC) Três equipes, X, Y e Z, trabalham em obras de canalização e distribuição de gás natural. Considere que, em certo período, a soma dos comprimentos dos dutos montados por X e Y foi 8,2 km, por Y e Z foi 8,9 km e por X e Z foi 9,7 km. O comprimento dos dutos montados pela equipe (A) X foi 4 200 m. (B) X foi 4 500 m. (C) Y foi 3 500 m. (D) Y foi 3 900 m. (E) Z foi 5 000 m.

Resolução

De acordo com o enunciado temos:

8,2 8,9 9,7

O processo mais rápido para resolver esse tipo de sistema é o seguinte:


Vamos multiplicar a última equação por 1 .

8,2



8,9 9,7

o somar as três equações, serão cancelados.

Ficamos com:

8,2 8,9 9,7

2 7,4

3,7

Substituindo este valor na primeira equação:

3,7 8,2

4,5

Como 8,9:

3,7 8,9

5,2

Desta maneira, comprimento dos dutos montados pela equipe:

foi 4,5 4.500

foi 3,7 3.700

foi 5,2 5.200

Letra B

Equação do 2º grau

Denomina-se equação do 2º grau toda equação na forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.

Para calcular os possíveis valores que satisfazem a equação acima, devemos utilizar a fórmula abaixo:

2 42

b b acxa

− ± −=



Denominamos discriminante o número real 2 4b acΔ = − , podemos reescrever a fórmula resolutiva da equação do segundo grau da seguinte maneira,

2bx

a− ± Δ

=

Resolva as equações abaixo:

( )

2

2

) 2 10 12 02, 10, c 12

10 4 2 124

( 10) 4 10 22 2 4

2 ou 3{2;3}

a x xa b

x

x xS

− + == = − =

Δ = − − ⋅ ⋅

Δ =

− − ± ±= =

⋅= ==

( )

2

2

b) 6 9 01, 6, c 9

6 4 ( 1) ( 9)0

6 0 6 02 ( 1) 2

3 ou 3{3}

x xa b

x

x xS

− + − == − = = −

Δ = − ⋅ − ⋅ −

Δ =

− ± − ±= =

⋅ − −= ==

( )

2

2

) 4 7 01, 4, c 7

4 4 1 712

12

c x xa b

RS φ

− + == = − =

Δ = − − ⋅ ⋅

Δ = −

Δ = − ∉=

Observe que no terceiro exemplo o discriminante é negativo. Em casos como este, o conjunto solução sempre será o conjunto vazio, isto porque as raízes quadradas de números negativos não podem ser calculadas com números reais.

Observando os exemplos acima resolvidos, verificamos que há três casos a considerar.

0 Duas raízes reais e distintas0 Duas raízes reais e iguais 0 Não há raízes reais

Δ > ⇔Δ = ⇔Δ < ⇔

46. (CAERN 2010/FGV) A soma de dois números inteiros é 17, e o produto deles vale 52. A diferença entre esses números é

a) 9 b) 8 c) 10 d) 12 e) 11

Resolução

Vamos considerar que os números são e . A soma deles é 17 e o produto é 52.

Alguns rapidamente percebem que os números são 4 e 13. Desta forma a diferença entre eles é 9. Letra A

Quem não perceber, deverá resolver o seguinte sistema:



1752

Da primeira equação, concluímos que 17 . Substituindo esta expressão na segunda equação, temos:

52

· 17 52

17 52

17 52 0

Desta forma, 1, 17 e 52.

As raízes podem ser calculadas com o auxílio da seguinte fórmula

√ 42

17 17 4 · 1 · 52

2 · 1

17 √81

217 9

2 Desta forma,

4 ou 13. Como 17 , então: Se 4, então 13. Se 13, então 4. Os números procurados são 4 e 13. A diferença entre eles é igual a 9. Letra A

47. (Pref. Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Quais as raízes da equação: x² - 8x + 7 = 0 a) (1,-1) b) (-7,-1) c) (7,1) d) (-7,1) e) (-1,0) Resolução



Considere uma equação do 2º grau 0, com 0. As raízes podem ser calculadas com o auxílio da seguinte fórmula

√ 42

Na equação dada, temos que a = 1, b = - 8 e c = 7. Logo,

8 8 4 · 1 · 72 · 1

8 √64 28

2

8 62

Assim, x = 7 ou x = 1. Letra C

48. (Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Indique a alternativa que represente o conjunto solução em R, para a equação: x4+13x2+36 =0 a) S={-2,2,-3,3} b) conjunto vazio c) S={-2,-3} d) S={2,3} e) S={-2,-3,-1,1} Resolução A equação dada é chamada de biquadrada e pode ser resolvida com a ajuda de uma mudança de variável. Chamemos x2 de y. Ou seja, x2 = y. Assim, x4 = y2. A equação ficará

13 36 0 Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma equação do segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 1, b = 13 e c = 36) devemos utilizar a seguinte fórmula:

√ 42

13 √13 4 · 1 · 362 · 1



13 √169 1442

13 52

Assim,

13 52 4

ou

13 52 9

Como x2=y, então x2 = -4 (x não pertence aos reais, pois não há número real que elevado ao quadrado seja igual a -4, porque todo número real elevado ao quadrado é não-negativo) ou x2 = -9 (x não pertence aos reais pelo mesmo motivo). Assim, o conjunto-solução da equação é o conjunto vazio. Letra B 49. (TTN 1997/ESAF) A soma de todas as raízes da equação x4 - 25x2 + 144 = 0 é igual a a) 0 b) 16 c) 9 d) 49 e) 25

Resolução A equação dada é chamada de biquadrada e pode ser resolvida com a ajuda de uma mudança de variável. Chamemos x2 de y. Ou seja, x2 = y. Assim, x4 = y2. A equação ficará

25 144 0 Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma equação do segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 1, b = -25 e c = 144) devemos utilizar a seguinte fórmula:

√ 42

25 25 4 · 1 · 1442 · 1



25 √625 5762

25 72

Assim,

25 72 16

ou

25 72 9

Como x2=y, então x2 = 16 ou x2 = 9.

16 9

4 4 3 3 A soma de todas as raízes da equação é 4 4 3 3 0. Letra A

50. (AFC-STN 2002/ESAF) A soma dos valores reais de

1156

é igual a:

a) 6 b) 2 c) 1 d) 6 e) 13

Resolução

Vamos utilizar um artifício para facilitar os cálculos. Fazendo , a equação ficará:

1156

· 1 156



156

156 0

√ 42

1 1 4 · 1 · 1562 · 1

1 √6252

1 252

1 252 13 ou

1 252 12

i) 13

13

13 0

1 √1 4 · 1 · 132 · 1

1 √ 512

Como o problema pede para trabalhar com raízes reais, não podemos continuar neste caso, pois a raiz quadrada de 51 não é um número real.

ii) 12

12

12 0

1 1 4 · 1 · 122 · 1

1 72

1 72 4

1 72 3

A soma dos valores reais de x é igual a 4 3 1.

Letra C

51. (TFC 2000/ESAF) Determinar de modo que a equação 4 4 1 0 tenha duas raízes iguais: a) 0 b) 8 0 c) 8 d) 8 0 e) 0 8

Resolução



Uma equação do tipo 0 tem raízes iguais se e somente se o discriminante Δ 4 for igual a 0.

4 4 1 0

4 4 · 4 · 1 0

8 16 16 16 0

8 0

Vamos colocar em evidência.

· 8 0

Devemos pensar o seguinte: quando é que multiplicamos dois números e o resultado é igual a 0? Quando qualquer um dos fatores for igual a 0.

Portanto, 0 8 0

Ou seja, 0 8.

Letra B

52. (SEA-AP 2002/FCC) Em certo momento, o número X de soldados em um policiamento ostensivo era tal que subtraindo-se do seu quadrado o seu quádruplo, obtinha-se 1.845. O valor de X é:

a) 42 b) 45 c) 48 d) 50 e) 52

Resolução

De acordo com o enunciado, 4 1.845.

4 1.845 0

Vamos calcular o discriminante:

Δ 4 4 4 · 1 · 1.845 7.396

Temos que calcular a raiz quadrada de 7.396.

Observe o seguinte fato:

50 2.500

60 3.600



70 4.900

80 6.400

90 8.100

Como 6.400 7.396 8.100, então a raiz quadrada de 7.396 é um número que está entre 80 e 90. Como o algarismo das unidades de 7.396 é igual a 6 concluímos que a raiz quadrada só pode ser 84 ou 86 (isto porque 4 x 4 = 16 e 6 x 6 = 36).

84 7.056

Deu errado... Só pode ser 86!

86 7.396

Voltando à equação:

4 1.845 0

4 862 · 1

4 862

Como x representa o número de soldados, obviamente 0, portanto, devemos utilizar apenas o + na fórmula.

x4 86

2 45 soldados

Letra B

53. (TRT 2ª Região 2004/FCC) Alguns técnicos judiciários combinaram dividir igualmente entre si 108 processos a serem arquivados. Entretanto, no dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto. O número de processos que cada técnico arquivou foi: a) 16 b) 18 c) 21 d) 25 e) 27

Resolução

Digamos que há funcionários e que cada um arquivará processos.

O total de processos é dado pelo produto do número de funcionários pelo número de processos que cada um arquivará. Desta forma:

· 108



108

No dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto.

Ou seja, cada um dos 2 funcionários arquivará 9 processos.

2 · 9 108

· 9 2 18 108

Sabemos que · 108, logo:

108 9 2 18 108

108 9 2 18 108 0

9 2 18 0

Vamos substituir o valor de por .

9 2 ·108

18 0

9216

18 0

Vamos multiplicar os dois membros da equação por .

9 ·216

· 18 · 0 ·

9 18 216 0

Para simplificar as contas, vamos dividir os dois membros por 9.

2 24 0

√ 42

2 2 4 · 1 · 242 · 1

2 102

Como o número de funcionários é positivo, devemos utilizar apenas o +.

2 102

122

6 funcionários.

108 1086

18 á



Essa é a situação inicial: 6 funcionários, cada um arquiva 18 processos. Faltaram 2 funcionários, portanto apenas 4 funcionários trabalharam. Cada um deles arquivou 9 processos a mais, portanto, cada um deles arquivou 27 processos.

Letra E

Relações de Girard

Vamos resolver a equação 12 10 2 0.

Considerando a notação usual 0, temos que 12, 10 2.

√ 42

10 10 4 · 12 · 22 · 12

10 224

Assim:

10 224

1224

12

10 224

824

13

Vamos calcular a soma das raízes:

12

13

3 26

56

Vamos calcular o produto das raízes:

·12 ·

13

16

Pronto! Todo este trabalho para calcular a soma e o produto das raízes da equação do segundo grau. Será que existe uma forma mais rápida? Sim... Existe! É sobre este assunto que falaremos agora: As Relações de Girard.

São duas fórmulas que nos ajudam a calcular a soma e o produto.

Vejamos: Chamaremos de as raízes da equação 0.

Desta maneira:

1 2 e 2 2

b bx xa a

− + Δ − − Δ= =

Vamos multiplicar e somar estes dois números:



Vamos voltar ao nosso exemplo:

12 10 2 0.

12, 10 2

Pois bem, de acordo com as relações de Girard, a soma das raízes é dada por:

1012

1012

56

O produto das raízes é dado por:

212

16

54. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) O valor de m para que a soma das raízes da equação de segundo grau mx2 – 7x + 10 = 0 seja igual a 7 é: a) - 7 b) - 2 c) 1 d) - 1 e) 7 Resolução



Lembremos o que dizem as Relações de Girard. Considere uma equação do 2º grau 0, com 0 cujas raízes podem ser calculadas com o auxílio da

seguinte fórmula

√ 42

A soma das raízes dessa equação é dada por

e o produto das raízes é dado por

Voltemos ao problema. Na equação mx2 – 7x + 10 = 0, temos que a = m, b = - 7 e c = 10. A soma das raízes é igual a 7, logo

7

77

7 7

1

Letra C

55. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Na equação de segundo grau 5x2 – 10x + 2m – 4 = 0, a soma das raízes é igual ao produto das mesmas, nessas condições, o valor de m é igual a: a) -2 b) -1 c) 5 d) 7 e) 2 Resolução Na questão anterior vimos que na equação 0, a soma das raízes é dada por




Na equação dada, temos que a = 5, b = -10 e c = 2m – 4. Como a soma das raízes é igual ao produto das raízes,

10 2 4

2 4 10

2 14

7 Letra D

56. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região • Santa Catarina 2005/FEPESE) As raízes da função quadrática y = 2x2 +mx + 1 são positivas e uma é o dobro da outra. A soma dessas raízes é: a) 2,4 b) 2,1 c) 1,8 d) 1,5 e) 1,2 Resolução Sejam x1 e x2 as raízes da equação dada. Temos que a = 2, b = m e c = 1. O texto nos informa que uma raiz é o dobro da outra. Ou seja, x1 = 2x2. Sabendo os valores de “a” e “c”, temos condições de calcular o produto das raízes.

· Como x1 = 2x2,

2 · ·12

14

Como as raízes são positivas, então



12

Consequentemente

2 · 2 ·12

1 Assim, a soma das raízes será igual a

112

2 12

32

1,5 Letra D

57. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) A equação 0 possui raízes 3 e 5. Então, é igual a: a) 7 b) 10 c) 15 d) 19 e) 23

Resolução

Lembremos o que dizem as Relações de Girard. Considere uma equação do 2º grau 0, com 0.

A soma das raízes dessa equação é dada por


Sabemos que 1. Como as duas raízes são 3 e 5, então a soma das raízes é 3 5 8 e o produto das raízes é 3 5 15.

18

8

115

15



8 15 7

Letra A

Pares Ordenados

Dados dois elementos a e b, podemos formar com eles o conjunto {a,b}, no qual é irrelevante a ordem dos elementos. Adotaremos como noção primitiva o conceito de par ordenado, um ente matemático que depende da ordem em que os números a e b são considerados. Um par ordenado é indicado entre parêntesis e os elementos são separados por vírgula (ou ponto e vírgula).

Considere o par ordenado , . O número é chamado abscissa do par e o número é chamado ordenada do par. Dois pares ordenados são iguais se e somente se

possuírem a mesma abscissa e a mesma ordenada.

, ,

Exemplo:

Os pares ordenados 2, 3 √4, são iguais porque:

2 4 362

Observe que em geral , , . Só teremos a igualdade , , nos casos em que .

Plano Cartesiano

Considere duas retas orientadas e . Chamaremos estas retas de eixos coordenados. Considere ainda que as duas retas sejam perpendiculares (formam um ângulo de 90o) e se cortam no ponto O.

Ponto O Origem do plano cartesiano


59 www.pontodoscon com.br

O eixo é o eixo das abscissas. O eixo é o eixo das ordenadas. A origem do plano cartesiano é o ponto O. O plano fica dividido em 4 regiões chamadas de quadrantes. A numeração dos quadrantes é feita no sentido anti-horário.

Como representamos o par ordenado , no plano cartesiano?

- Localizamos o número no eixo e desenhamos uma reta vertical passando pelo ponto encontrado.

- Localizamos o número no eixo e desenhamos uma reta horizontal pelo ponto encontrado.

- O ponto de encontro das duas retas desenhadas é o ponto , .

Localize no mesmo plano cartesiano os pontos 2,4 , 1, 3 , 3,0 0,2 .

3,0

2,4

20,2

3

1

4

2

1º quadrante 2º quadrante

3º quadrante 4º quadrante



Observações

i) O ponto C(3,0) está sobre o eixo das abscissas. Todos os pontos do eixo possuem a ordenada igual a 0. De outra forma, dizemos que os pontos que pertencem ao eixo possuem .

ii) O ponto D(0,2) está sobre o eixo das ordenadas. Todos os pontos do eixo possuem a abscissa igual a 0. De outra forma, dizemos que os pontos que pertencem ao eixo possuem .

Funções

João estava muito cansado para dirigir e decidiu ir para o trabalho de táxi. Como ele é um bom aluno de matemática, pediu para o taxista explicar como funciona a lei que calcula o valor a ser pago pela corrida de táxi. O taxista explicou que ele deve pagar uma bandeira de R$ 3,50 – valor inicial a ser pago em qualquer corrida de táxi – e mais R$ 0,50 por quilômetro rodado.

Como a distância da casa de João até o seu trabalho é de 9 quilômetros, então ele pagará 9 vezes R$ 0,50 mais R$ 3,50. Portanto, João pagará R$ 8,00 para fazer o percurso de 9 quilômetros. João achou caro e começou a fazer as contas de quanto pagaria na corrida dependendo da quantidade de quilômetros rodados – decidiu que faria o restante do percurso andando.

8 quilômetros 3,50 8 0,50 7,50

7 quilômetros 3,50 7 0,50 7,00

6 quilômetros 3,50 6 0,50 6,50

5 quilômetros 3,50 5 0,50 6,00

4 quilômetros 3,50 4 0,50 5,50

está em função



João percebeu que o valor a ser pago pela corrida depende da quantidade de quilômetros rodados.

Quilômetros rodados Valor a ser pago ?? 2,00 ?? 2,50 4 5,50 5 6,00 6 6,50 7 7,00 8 7,50 9 8,00

Observe que a cada quantidade dada de quilômetros rodados, podemos calcular o valor correspondente a ser pago. Obviamente todas as quilometragens possuem um, e apenas um valor a ser pago. Nem todos os valores “a serem pagos” possuem uma quilometragem correspondente. No exemplo dado, não tem como uma pessoa andar no táxi e pagar apenas R$ 2,00 ou R$ 2,50.

O diagrama acima relaciona os elementos de A (possíveis quilometragens) com os elementos de B (possíveis valores a serem pagos).

Observe que cada elemento de A corresponde a um único elemento de B.

Esta relação é denominada função de A em B. Podemos garantir, matematicamente, que se trata de uma função porque:

i) Todos os elementos de A participam da relação (mandam flecha).

A 4

5

6

7

8

9

2,00

2,50

5,50

6,00

6,50

7,00

7,50

8,00

B


62 www.ponto

ii) Os elementos de A participam da relação apenas uma vez (mandam apenas uma flecha).

Ou seja, podem acontecer duas coisas para que uma relação entre dois conjuntos não seja função:

i) Algum elemento de A não participar da relação (não mandar flecha). ii) Algum elemento de A participar da relação mais de uma vez (mandar mais de uma

flecha).

A definição afirma que todos os elementos do conjunto de partida deve se relacionar com um elemento do conjunto imagem, e esse elemento deve ser único.

Quais das seguintes relações binárias de A em B também são funções?

A B

Não é função, pois existe elemento de A que não se relaciona.

A B

É função, pois todos os elementos de A se relacionam apenas uma vez.

A B É função, pois todos os elementos de A se relacionam apenas uma vez.

Não é função, pois existe elemento de A que se relaciona mais de uma vez.

A B



Domínio e Imagem

No exemplo anterior, o conjunto A é chamado domínio da função e o conjunto B é chamado contradomínio da função (ou conjunto de chegada). Os elementos de B que recebem as flechas formam o conjunto imagem. Desta forma:

í : 4,5,6,7,8,9

í : 2,00 ; 2,50; 5,50; 6,00; 6,50; 7,00; 7,50; 8,00

: 5,50; 6,00; 6,50; 7,00; 7,50; 8,00

Observe que o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio, ou seja, todos os elementos do conjunto imagem são elementos do contradomínio.

Reconhecimento gráfico de uma função

Para determinar se determinado gráfico de uma relação de A em B é uma função de A em B devemos traçar retas perpendiculares ao eixo x passando por todos os pontos do conjunto partida (A). Se todas as retas encontrarem o gráfico em apenas um ponto, então a dada relação binária é uma função.

Exemplos

: 1,2

A curva acima representa uma função já que todas as retas verticais encontram o gráfico apenas uma vez.

: 0,6



A curva acima não representa uma função já que existem retas verticais que encontram o gráfico mais de uma vez.

58. (TRT-SC 2007/CETRO) Assinale a alternativa que não representa gráfico de uma função y = f(x).



Resolução O gráfico de uma função não pode possuir mais de um ponto na mesma vertical. Portanto, o gráfico da letra C não representa uma função.

Letra C

Imagem de um elemento

Considere um par ordenado (x,y) pertencente a uma função . O elemento y é chamado valor de f do elemento x e escrevemos dessa forma: .

Exemplo

Dada a função real definida por ² +1calcule:

0 0 1 1

1 1 1 2

√2 √2 1 3

Isto significa que o gráfico da função passa pelos pontos 0,1 , 1,2 , √2, 3 . Podemos também dizer que o número 0 manda uma flecha para o número 1, o número 1 manda uma flecha para o número 2 e o número √2 manda uma flecha para o número 3.

59. (SUFRAMA 2008/FUNRIO) Seja uma função que tem como domínio o conjunto A={Ana, José, Maria, Paulo, Pedro} e como contradomínio o conjunto B={1,2,3,4,5}. A função f associa a cada elemento x em A o número de letras distintas desse elemento x . Com base nessas informações, pode-se afirmar que



a) elementos distintos no domínio estão associados a distintos elementos no contradomínio. b) todo elemento do contradomínio está associado a algum elemento do domínio. c) f não é uma função. d) 5 e)

Resolução

A função associa a cada elemendo em A o número de letras distintas desse elemento .

Ana possui 2 letras distintas.

José possui 4 letras distintas.

Maria possui 4 letras distintas.

Paulo possui 5 letras distintas.

Pedro possui 5 letras distintas.

Desta maneira, podemos afirmar que:

2

é 4

5

Vamos analisar cada uma das alternativas de per si.

a) elementos distintos no domínio estão associados a distintos elementos no contradomínio.

Esta alternativa é falsa, pois há elementos no domínio que estão associados ao mesmo elemento no contradomínio. Por exemplo, é 4.

b) todo elemento do contradomínio está associado a algum elemento do domínio.

Esta alternativa é falsa, pois há elemento no contradomínio que não está associado com algum elemento do domínio. Por exemplo, o número 3 não está associado.

c) f não é uma função.

é

A

1

2

3

4

5

B



Esta alternativa é falsa, pois é uma função. Todos os elementos de A se relacionam uma única vez com algum elemento de B. Não sobram elementos em A e ninguém manda mais de uma flecha.

d) 5

Falso. Maria tem 4 letras distintas. 4.

e)

Verdadeiro. Como foi visto, 5.

Letra E

60. (AFTN 1996/ESAF) Em um laboratório de experiências veterinárias foi observado que o tempo requerido para um coelho percorrer um labirinto, na enésima tentativa, era dado pela função C(n) = (3+12/n) minutos. Com relação a essa experiência pode-se afirmar, então, que um coelho: a) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos. b) gasta cinco minutos e quarenta segundos para percorrer o labirinto na quinta tentativa. c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa. d) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa. e) percorre o labirinto numa das tentativas, em três minutos e trinta segundos.

Resolução

a) O número representa o número de tentativas para o coelho percorrer o labirinto. Obviamente, este número é inteiro e positivo (número natural). Dividindo o número 12 por um número natural, obtemos um número positivo. Portanto, o número 3+ 12/n é positivo e maior que 3.

Desta maneira, a letra A é falsa.

b) Para calcular o tempo gasto para percorrer o labirinto na quinta tentativa, devemos substituir por 5.

312

5 3125

5,4 5 0,4

5 0,4 · 60

5 5 24

A alternativa B é falsa.

c) Para calcular o tempo gasto na terceira tentativa devemos substituir o valor de por 3.



312

3 3123

7

A alternativa C é falsa.

d) Para calcular o tempo gasto na décima tentativa devemos substituir o valor de por 10.

312

10 31210

4,2

A alternativa D é falsa.

e) Queremos que o tempo seja igual a 3 minutos e 30 segundos = 3,5 minutos.

312

3,5

120,5

0,5 12

120,5

1205

24

Ou seja, o percurso é feito em 3 minutos e 30 segundos na 24ª tentativa.

Letra E

Zero de uma função

Zero ou raiz de uma função é todo elemento do domínio tal que a sua imagem seja igual a 0, i.e., números tais que f(x)=0. Geometricamente, determinamos os zeros de uma função obtendo a interseção do gráfico com o eixo dos x.



Exemplo: Determine os zeros da função definida por 5 6.

Resolução

Basta resolver a equação 0.

5 6 0

√ 42

5 5 4 · 1 · 62 · 1

5 12

2 3

Isto significa que o gráfico da função 5 6 toca o eixo nos pontos de abscissa 2 e 3 (veremos isto com mais detalhes ainda nesta aula na teoria sobre função quadrática).

Função Afim e Inequação do 1º grau

A função afim também é chamada de função polinomial do 1º grau (no cotidiano muitas pessoas, erradamente, falam função do primeiro grau).

Uma função é chamada de função afim quando for do tipo:

:

, 0.

Vejamos alguns exemplos:

2 4 2 4



3 2 3 2 1 5 5

2 0 2 1 0

O coeficiente é chamado de coeficiente angular, taxa de variação, coeficiente dominante ou coeficiente líder.

O coeficiente é chamado de coeficiente linear ou termo independente.

Dependendo dos valores de e , a função afim pode receber alguns nomes especiais. Sempre que 0, a função afim é chamada de função linear. A função linear é chamada de função identidade. Ou seja, quando 1 e

0, a função é chamada de identidade.

• Gráfico o gráfico da função afim é uma reta inclinada aos eixos coordenados.

Veremos na aula de Geometria Plana que dois pontos distintos determinam uma reta. Desta maneira, para construir o gráfico da função afim devemos seguir os seguintes passos:

i) Escolher dois valores arbitrários para . ii) Calcular os valores correspondentes de . iii) Marcar os dois pontos no plano cartesiano. iv) Traçar a reta que passa pelos dois pontos marcados.

Vamos construir o gráfico do primeiro exemplo: 2 4.

Vamos utilizar 1 1.

Quando 1, temos 1 2 · 1 4 6. Ou seja, a reta passa pelo ponto (1,6).

Quando 1, temos 1 2 · 1 4 2. Ou seja, a reta passa pelo ponto (-1,2).

1‐1

2

6



Uma pergunta natural que surge é: como determinar os pontos em que a reta corta os eixos coordenados?

Vimos que (na seção sobre zeros da função) para determinar o intercepto do gráfico com o eixo , devemos resolver a equação 0.

2 4 0

2 4

2

Vamos aprender agora uma técnica que podemos utilizar em qualquer função, seja ela afim, quadrática, exponencial, trigonométrica, etc.

Como determinar o intercepto do gráfico com o eixo ?

Basta calcular 0 , ou seja, substituir por 0.

2 4

0 2 0 4 4

1‐1

2

6

1‐1

2

6



Construa o gráfico da função real definida por 3 6.

Resolução

Agora que já temos um pouco mais de bagagem teórica, vamos construir o gráfico com um pouco mais de velocidade.

6, logo o gráfico corta o eixo no ponto de ordenada igual a 6.

Para determinar o intercepto do gráfico com o eixo , devemos resolver a equação 0.

3 6 0

3 6

3 6

2

Resumindo: a reta corta o eixo no ponto de abscissa igual a 2 e corta o eixo no ponto de ordenada igual a 6.

IMPORTANTE

Vimos que para calcular o intercepto do gráfico com o eixo basta calcular 0 . Ora, a função afim é definida por . Desta maneira, 0 0 . Resumindo: a ordenada do ponto em que a reta toca o eixo é igual a b. Note que no exemplo anterior, o valor de b é igual a 4 : exatamente o valor em que a reta toca o eixo .

IMPORTANTE

Vimos que a função afim é chamada de função linear quando 0. Como o valor de é o intercepto do gráfico com o eixo , concluímos que o gráfico de uma função linear é uma reta que passa pela origem do plano cartesiano.

2

6



Vamos comparar os dois gráficos construídos.

Observe que:

Quando 0, a função afim é crescente (gráfico da esquerda).

Quando 0, a função afim é decrescente (gráfico da direita).

Construa o gráfico da função real definida por 3 .

Resolução

Trata-se de uma função linear. Sabemos que a função linear passa pela origem do plano cartesiano. Além disso, como 3 0, a função é decrescente.

Vamos calcular o valor da função para 1.

1 3 1 3

Isso quer dizer que o gráfico passa pelo ponto 1, 3 .

1 ‐1

2

6

2

6

2 43 6

3

1



Determine a lei de formação da função afim que passa pelos pontos 2,5 e 1, 4 .

Resolução

Há uma maneira muito fácil de calcular o coeficiente angular ( ).

Quando são dados dois pontos (x1,y1) e (x2,y2), o coeficiente angular pode ser calculado como o quociente entre a variação de y e a variação de x. Ou seja,

∆∆

Já que o gráfico passa pelos pontos 2,5 e 1, 4 , então o coeficiente “a” é dado por

∆∆

4 51 2

93 3

Lembre-se que a lei de formação da função afim é do tipo .

Bom, tendo calculado o coeficiente “a”, a lei de formação da função afim torna-se 3 . Podemos agora utilizar qualquer um dos pontos fornecido pelo enunciado para calcular o coeficiente “b”.

O coeficiente “b” é denominado coeficiente linear ou termo independente. Ele é o intercepto do gráfico com o eixo y.

Vale a pena lembrar!

O coeficiente “a” é denominado coeficiente angular, taxa de variação, coeficiente dominante ou coeficiente líder. Este coeficiente é responsável pela inclinação da reta. Quando a > 0 , a função é crescente (reta ascendente) e quando a < 0, a função é decrescente (reta descendente).



Utilizemos por exemplo o ponto 2,5 . Este ponto nos informa que quando x = 2, y = 5. Já que a lei de formação é 3 , devemos substituir esses valores na lei.

3 · 2 5

6 5

1

Assim, a lei de formação da função é 3 1.

61. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A função f de 1º grau, cujo gráfico passa pelos pontos A(-1, -5) e B(5, 7) é (A) f(x) = 3x + 2 (B) f(x) = 2x – 3 (C) f(x) = x – 4 (D) f(x) = x + 3 (E) f(x) = 3x + 3

Resolução

Lembremos alguns fatos importantes sobre a função polinomial do 1º grau, também chamada de função afim e coloquialmente denominada função do 1º grau.

Amplamente definida, seu gráfico é uma reta.

Sua lei de formação é do tipo · .


Quando são dados dois pontos (x1,y1) e (x2,y2), o coeficiente angular pode ser calculado como o quociente entre a variação de y e a variação de x. Ou seja,

∆∆

Já que o gráfico passa pelos pontos A(-1, -5) e B(5, 7), então o coeficiente “a” é dado por

∆∆

7 55 1

126

2

Com essa informação já poderíamos responder a questão marcando a alternativa B.

Bom, tendo calculado o coeficiente “a”, a lei de formação da função afim torna-se 2 . Podemos agora utilizar qualquer um dos pontos fornecido pelo enunciado

para calcular o coeficiente “b”.




Utilizemos por exemplo o ponto B(5,7). Esse ponto nos informa que quando x = 5, y = 7. Já que a lei de formação é 2 , devemos substituir esses valores na lei.

2 · 5 7

10 7

3

Assim, a lei de formação da função é 2 3.

Letra B

62. (Senado Federal 2008/FGV) A função , para cada real x, associa o menor entre os números e 20 . Por exemplo, 1 3 e 15 5. O valor máximo de f: a) 8 b) 17/2 c) 25/3 d) 35/4 e) 44/5 Resolução

Já que a função associa o menor entre os números e 20 , o valor máximo da função é dado quando os números são iguais.

52 20

5 2 · 20

5 40 2

2 40 5

3 35 353

O valor da função f é máximo quando x = 35/3. Podemos substituir este valor em qualquer uma das duas expressões (já que são iguais para x = 35/3).

353 20

353

60 353

253

Letra C



63. (Pref. Mairinque/SP 2009/CETRO) Para saber o número do calçado de uma pessoa, utiliza-se a fórmula , em que C é o número do calçado e p é o comprimento do pé em centímetros. Se uma pessoa calça um sapato tamanho 36, significa que o comprimento de seu pé é (A) 24,1cm. (B) 23,6cm. (C) 23,2cm. (D) 22,4cm. (E) 21,3cm.

Resolução

O enunciado nos informa que o número do calçado C é uma função polinomial do 1º grau do comprimento do pé.

Onde o coeficiente angular a = 5/4 e o coeficiente linear b = 28/4 = 7.

Uma pessoa calça um sapato tamanho 36, logo C = 36.

365 28

4

O 4 que está dividindo o segundo membro, “passa multiplicando o 1º membro”. Assim,

5 28 144

5 116

23,2

Letra C

64. (Pref. de Araçatuba 2008/CETRO) A figura a seguir representa o gráfico de uma função do tipo f (x) = ax + b.

Sobre a natureza do gráfico desta função representada acima, é correto afirmar que (A) possui duas raízes reais.



(B) a < 0. (C) b > 0. (D) ab < 0. (E) não possui raízes reais. Resolução Sua lei de formação é do tipo · .



Agora um conceito que é geral, ou seja, é válido para todas as funções. O ponto em que o gráfico intercepta o eixo x é denominado zero ou raiz da função. Para determinar o zero ou raiz da função basta resolver a equação f(x) = 0.

Já que a função é crescente, podemos concluir que a > 0 (a alternativa B é falsa).

Como a reta corta o eixo y acima da origem, podemos concluir que b > 0 (a alternativa C é verdadeira).

Como a > 0 e b > 0, então ab > 0 (a alternativa D é falsa).

Como a reta toca o eixo x em apenas um ponto, a função possui apenas uma raiz real (as alternativas A e E são falsas).

Letra C

65. (AFC-SFC 2000/ESAF) Sabe-se que as retas de equações r1 = αx e r2 = -2x +β interceptam-se em um ponto P(x<0; y<0). Logo, a) α > 0 e β > 0



b) α > 0 e β < 0 c) α < 0 e β < 0 d) α < -1 e β < 0 e) α > -1 e β > 0

Resolução

Já que o ponto de encontro tem abscissa negativa (x < 0) e ordenada negativa (y < 0), concluímos que o ponto de encontro das retas está no terceiro quadrante.

Vejamos a reta . Seu coeficiente linear ( é igual a 0. Portanto, seu gráfico passa pela origem do plano cartesiano (trata-se de uma função linear). Temos duas possibilidades.

Se 0, a função é crescente.

Se 0, a função é decrescente.

Como o ponto de encontro das retas é no 3º quadrante, a reta deve ser ascendente (função crescente).

Portanto, 0.

Vejamos agora a segunda reta. Sua equação é r2 = -2x +β. Seu coeficiente angular é negativo e, portanto, a reta é descendente.

3º quadrante



Sabemos que é o coeficiente linear da reta . O coeficiente linear indica onde a reta corta o eixo y. Para que as duas retas se encontrem no terceiro quadrante, a reta deve cortar o eixo abaixo da origem, portanto, 0.

Letra B

66. (CAERN 2010/FGV) O conjunto de todas as soluções reais da inequação 2 1 3 2 é

a) ∞, 1 . b) ∞, 1 . c) 1, ∞ . d) 1, ∞ . e) 1,1 .

Resolução

Resolver uma inequação do 1º grau é muito parecido com resolver equações do primeiro grau. Há um detalhe que devemos ter atenção.

i) Ao multiplicar uma inequação por um número negativo, devemos inverter o sentido da desigualdade.

2 1 3 2

2 3 2 1

1

Neste momento, devemos multiplicar a desigualdade por 1. Para isto, devemos inverter o sentido da desigualdade.

1

r1



Na reta real, este intervalo fica assim representado:

E agora, como marcar a resposta?

As alternativas estão escritas na forma de intervalo. Queremos assinalar todos os números que são maiores do que 1 (sem incluir, é claro, o 1).

Quando queremos incluir determinado valor no intervalo, utilizamos colchetes voltados para “dentro”. Quando queremos excluir determinado número, utilizamos colchetes virados para “fora”.

Como os números são MAIORES que 1, o limite superior do intervalo vai para ∞ (mais infinito).

Letra c) 1, ∞ .

67. (SERC/MS 2006/FGV) O número de soluções inteiras do sistema de inequações 2 3 4 63 1 7 é:

a) 0 b) 1 c) 3 d) 5 e) infinito

Resolução

Trata-se de um sistema de inequações do 1º grau. Devemos resolvê-las separadamente e, em seguida, calcular a interseção dos intervalos.

Vamos resolver cada uma das inequações de per si.

2 3 4 6

2 4 6 3

2 3

Multiplicando a inequação por 1, devemos inverter o sentido da desigualdade.

2 3

32

1,5

‐1



Vamos resolver a segunda agora:

3 1 7

3 7 1

2 8

4

Assim, o nosso conjunto solução é formado por todos os números maiores que 1,5 e menores que 4. Como o problema pede apenas as soluções inteiras, devemos selecionar os números inteiros maiores que 1,5 e menores que 4.

1,0,1,2,3

São 5 elementos no conjunto solução.

Letra D

Função Quadrática e Inequação do 2º grau

A função quadrática também é chamada de função polinomial do 2º grau (muitos no cotidiano falam, erradamente, função do 2º grau).

Uma função é chamada de função quadrática quando for do tipo : definida por

² , 0

O coeficiente é chamado coeficiente dominante ou coeficiente líder. O coeficiente é o coeficiente do primeiro grau e o coeficiente é o termo independente.

A curva representativa da função quadrática é uma parábola. Uma parábola é uma curva com o seguinte aspecto (não vamos nos preocupar aqui com definições formais sobre a parábola).



A concavidade da parábola pode estar voltada para cima ou voltada para baixo. Quem decide isso é o coeficiente dominante . Se 0, a concavidade da parábola está voltada para cima. Se 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo.

Sabemos que para calcular o intercepto do gráfico de qualquer função com o eixo , basta calcular o valor de 0 .

Como a função quadrática é regida pela lei ² :

f 0 a. 0² b. 0 c

f 0 c

Temos a mesma conclusão que tivemos na teoria da função afim. O termo independente nos informa a ordenada do ponto em que o gráfico corta o eixo .

Nesta aula, aprendemos a resolver equações do segundo grau. Também aprendemos nesta aula que para descobrir onde o gráfico toca o eixo devemos resolver a equação 0.

Desta forma, para descobrir onde a parábola toca (se é que toca) o eixo devemos resolver a equação

0

0



² 0

√ 42

Vimos que há três casos a considerar:

0 Duas raízes reais e distintas0 Duas raízes reais e iguais 0 Não há raízes reais

Δ > ⇔Δ = ⇔Δ < ⇔

Assim, a parábola pode cortar o eixo em dois pontos distintos, pode tangenciar (“encostar”) o eixo ou pode não tocar o eixo .

São 6 possibilidades.

Vértice da Parábola

O ponto V representado acima é chamado vértice da parábola. Quando 0, a concavidade da parábola está voltada para cima e o vértice é um ponto de mínimo. Quando 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo e o vértice é um ponto de máximo.

0 Δ 0

0 Δ 0

0 Δ 0

0 Δ 0 0

Δ 00 Δ 0

V

V



Como todo ponto, o vértice tem um par ordenado correspondente , . As coordenadas do vértice são dadas pelas fórmulas:

2

Δ4

Quando 0, a função quadrática admite um ponto de mínimo. Neste caso a coordenada y é chamada de valor mínimo e a coordenada x é chamada de minimante.

Quando 0, a função quadrática admite um ponto de máximo. Neste caso a coordenada y é chamada de valor máximo e a coordenada x é chamada de maximante.

Com essas informações, estamos prontos para construir gráficos de funções quadráticas. Em geral, vamos seguir os seguintes passos.

i) Desenhar o eixo . ii) Calcular o valor do discriminante Δ e as raízes (se houver). iii) De acordo com o valor de e Δ desenhar um esboço da parábola.

iv) Calcular as coordenadas do vértice.

2

Δ4

v) Traçar o eixo . vi) Determinar o intercepto da parábola com o eixo (lembre-se que este intercepto é dado pelo valor do termo independente).

Construa o gráfico da função real definida por 6 8

Resolução

0 Δ 0

0 Δ 0

0 Δ 0

0 Δ 0 0

Δ 00 Δ 0



Temos que 1, 6 8.

Como 0, a concavidade da parábola está voltada para cima.

Vamos calcular o valor do discriminante:

Δ 4 6 4 1 8 4

Como Δ 0, a parábola corta o eixo em dois pontos distintos. Vamos, então, calcular as raízes:

√Δ2

6 √42 1

6 22

2 4

Por enquanto, o gráfico tem o seguinte aspecto:

Vamos calcular as coordenadas do vértice:

26

2 13

Δ4

44 1

1

Outra maneira de calcular a abscissa do vértice (x do vértice) é a seguinte: somar as raízes e dividir por 2. Ou seja, a abscissa do vértice é a média aritmética das raízes. Como as raízes são 2 e 4, o x do vértice é dado por:

2 42

3

42

1

3 42



Lembrando agora que o coeficiente 8 é o intercepto do gráfico com o eixo .

68. (SERC/MS 2006/FGV) A ordenada do vértice da parábola 4 é:

a) 4 b) 2 c) 0 d) 2 e) 4

Resolução

A ordenada do vértice da parábola é o .

Nesta parábola, temos que 4, 1 e 0.

O discriminante é igual a ∆ 4 4 4 · 1 · 0 16.

Basta aplicar a fórmula:

Δ4

164 · 1

4

Letra E

69. (Secretaria de Estado da Administração – Santa Catarina 2006/FEPESE) O lucro obtido na venda de mouses é dado pela função L(x) = –x2 + 90x – 800, sendo L o lucro do fabricante e x o preço de venda do mouse. O gráfico da função lucro é representado na figura abaixo.

8

1

3 42



Assinale a alternativa que indica o maior lucro do fabricante. a) R$ 45,00 b) R$ 80,00 c) R$ 1.000,00 d) R$ 1.225,00 e) R$ 1.400,00 Resolução Lembremos outros fatos importantes acerca da função quadrática com 0. Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima e a função admite um ponto de mínimo. Se a < 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo e a função admite um ponto de máximo. Se a < 0, a função quadrática admite o valor máximo

áΔ

4 á

b2

Neste caso o valor Δ é denominado valor máximo da função e o valor é denominado maximante. Se a > 0, a função quadrática admite o valor mínimo

íΔ

4 í

b2

Neste caso o valor Δ é denominado valor mínimo da função e o valor é denominado minimante.



O ponto , Δ é chamado vértice da parábola representativa da função quadrática. Voltemos à questão. A questão chegava até ser interessante, mas o gráfico estragou tudo e o candidato poderia responder a questão sem tocar no lápis.

Obviamente, o lucro máximo é maior do que 1.200 e menor do que 1.400. Assim, a resposta só pode ser a letra D. Mas nosso papel não é apenas marcar o gabarito. Vamos esquecer o gráfico. O valor máximo da função é dado por

áΔ

4

Lembrando que Δ 4 . A função lucro é dada por L(x) = –x2 + 90x – 800. Então Δ 4 90 4 · 1 · 800 4.900 Assim, o valor máximo (lucro máximo) é

áΔ

44.900

4 · 14.900

41.225

Letra D Se quiséssemos calcular o valor do mouse a ser vendido que torna o lucro máximo bastaríamos calcular xmáx.

á 290

2 · 145

Esse valor foi explicitado no gráfico (eixo x).



Observe outra coisa: o xmáx pode ser calculado como a média aritmética das raízes. As raízes são os pontos em que o gráfico toca o eixo x. Analisando o gráfico, vemos que a parábola toca o eixo x em x = 10 e em x = 80. Assim,

á10 80

245

E, sabendo o xmáx podemos calcular ymáx substituindo o x na função por 45.

– 90 – 800

45 – 45 90 · 45 – 800 1.225

70. (AFRFB 2009/ESAF) Considere as inequações dadas por: 2 1 0 2 3 2 0.

Sabendo que A é o conjunto solução de e B o conjunto solução de , então o conjunto é igual a: a) 2

b) 2 c) | 1 d) | 0 e) | 0

Resolução Relembremos alguns fatos importantes sobre a função quadrática definida nos reais pela lei com 0. Seu gráfico é uma parábola com eixo de simetria vertical. Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima, se a < 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo. As raízes da função são dadas pela fórmula

√ 42

O número ∆ 4 é chamado de discriminante. Se ∆ 0, então a função possui duas raízes reais e distintas e o gráfico intercepta o eixo x em dois pontos distintos.



Se ∆ 0, então a função possui duas raízes reais e iguais (ou 1 raiz dupla) e o gráfico tangencia o eixo x. Se ∆ 0, então a função não possui raízes reais e o gráfico não intercepta o eixo x. Considere a função 2 1. O gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima. Calculemos suas supostas raízes.

2 2 4 · 1 · 12 · 1

2 0

2 1 Ou seja, a função possui duas raízes reais e iguais (raiz dupla).

Resolver a inequação 2 1 0, significa responder quando é que a função 2 1 é menor que ou igual a 0. De acordo com o gráfico exposto acima, a função nunca é menor do que 0. A função é igual a 0 apenas para x = 1. Assim, o conjunto solução da inequação é | 1 . Olhemos a segunda inequação. 2 3 2 0. O gráfico da função g é uma parábola com a concavidade voltada para baixo. Calculemos as raízes:

3 3 4 · 2 · 22 · 2

3 5

4

3 54

12

3 54 2

Temos o seguinte gráfico.



Resolver a inequação 2 3 2 0 significar responder quando a função g é maior do que ou igual a 0. Pelo gráfico vemos que o conjunto solução dessa inequação é o conjunto 2 . O enunciado pede o conjunto .

A interseção resume-se ao ponto x=1. | 1 Letra C

71. (ANVISA 2010/CETRO) Considere as seguintes funções 4 4 e 6 5. Assinale a alternativa que apresenta a solução da inequação definida por · 0.

a) | 2 b) | 1 2 c) |1 5 2 d) | 1 5 2 e) | 1 5 2

Resolução

Vamos estudar separadamente o sinal de cada uma das funções.

i) 4 4

Cálculo das raízes:

4 4 0



√ 42

4 4 4 · 1 · 42 · 1

4 02 2

Temos, portanto, uma raiz real dupla igual a 4. O gráfico de é uma parábola com a concavidade voltada para cima e que tangencia o eixo no ponto de abscissa igual a 4.

ii) 6 5 5 5

Cálculo da raiz:

5 5 0

1

Portanto, o gráfico é uma reta com coeficiente angular positivo (função crescente) e que intercepta o eixo x no ponto de abscissa 1.

2

1



Vejamos a solução da inequação · 0 lembrando as regras dos sinais na multiplicação.

Assim, a solução da inequação é o conjunto | 1 2 .

Letra B

ATENÇÃO!!!

Quem achou que o CETRO cometeu um erro de digitação na função g e achava que o correto era 6 5 iria marcar a letra D!!!!!

Sinceramente, isso não se faz!! Não adianta brigar...

Eles colocaram 6 5 para que você usasse 5 5.

72. (Assembleia Legislativa do Estado de São Paulo 2010/FCC) O gráfico a seguir representa a função , de domínio real, dada pela lei .

2

1

·

1 2



Sabendo que a, b e c são constantes, é correto concluir que (A) a < 0, b < 0 e c < 0 (B) a < 0, b < 0 e c > 0 (C) a < 0, b > 0 e c < 0 (D) a < 0, b > 0 e c > 0 (E) a > 0, b < 0 e c < 0

Resolução

Como a concavidade está voltada para baixo, concluímos que 0.

A parábola corta o eixo abaixo da origem do plano, portanto 0.

Precisamos descobrir o sinal do coeficiente .

Obviamente a coordenada do vértice é negativa.

2 0

Multiplicando os dois membros por 1 devemos inverter o sentido da desigualdade.

20



Como 0, então o denominador é negativo. Para que a divisão seja positiva, o numerador também deve ser negativo. Portanto, 0.

Letra A

Observação: Resolvi esta questão de uma maneira um pouco mais interessante na parte aberta do Ponto dos Concursos. Basta acessar o link http://www.pontodosconcursos.com.br/admin/imagens/upload/5909 D.pdf

73. (SERC/MS 2006/FGV) Se a parábola contém os pontos 1,12 , 0,5 e 2, 3 , quanto vale ?

a) 4 b) 2 c) 0 d) 1 e) 2



Resolução

O ponto 1,12 indica que quando 1, 12.

O ponto 0,5 indica que quando 0, 5.

O ponto 2, 3 indica que quando 2, 3.

Vamos começar utilizando o ponto 0,5 .

· 0 · 0 5

0 0 5

5

A equação da parábola é 5.

Vamos substituir por 1 e por 12. · 1 · 1 5 12

7

7

Finalmente vamos substituir por 2 e por 3. · 2 · 2 5 3

4 2 8

Sabemos que 7.

4 · 7 2 8 4 28 2 8

6 36

6

Como 7, então:

6 7

1

O valor de é:

1 6 5 0

Letra C



Metrologia: sistemas de numeração, sistemas de unidades e medidas.

Nosso próprio sistema de numeração (base dez ou decimal) é um exemplo de um sistema de numeração posicional.

Assim, por exemplo, o número 324 significa 300 + 20 + 4. Ou equivalentemente 324 = 3.100 + 2.10 + 4 = 3.102 + 2.101 +4.100.

Vejamos outro exemplo ainda na base 10. O número 23.405 significa 20.000 + 3000 + 400 + 5. Ou seja, 23.405 = 2.104 +3.103 +4.102 + 5.100.

Resumindo a história: qualquer número na base 10 é uma soma de forma que cada parcela é igual ao dígito da posição vezes uma potência de dez. E qual o expoente da base 10? Justamente a posição, de forma que o algarismo das unidades tem posição 0, o algarismo das dezenas tem posição 1, o algarismo das centenas tem posição 2 e assim sucessivamente.

4231= 4.103 + 2.102 + 3.101 + 1.100

E esse fato será verdadeiro em qualquer base de numeração, mudando portanto apenas a base das potências convenientemente. Por exemplo, o número 324(3) (o índice (3) significa que o número está representado na base 3) será escrito da seguinte forma no sistema decimal:

221(3) = 2.32 +2.31 +1.30

221(3) = 18 + 6 +1 = 25.

O número 221 na base 3 é igual a 25 no sistema decimal.

Observe que no sistema de base 3, apenas utilizamos 3 algarismos – 0,1,2. No sistema de base 4, apenas utilizamos 4 algarismos – 0,1,2,3.

No sistema de base 10, utilizamos 10 algarismos – 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Para efetuar o processo inverso, ou seja, transformar o número 25 da base 10 para a base 3, devemos efetuar sucessivas divisões por 3, de acordo com o seguinte algoritmo.

25 3

81 3

2 2



Quando não pudermos mais continuar a divisão devemos parar. Então olharemos os números em vermelho (os restos das divisões e o último quociente) da direita para a esquerda. Ou seja, 25(10) = 221(3). Os números na base 10 não necessitam de índice, por convenção. Ou seja, 25(10) = 25.

74. (MEC 2008/FGV) No sistema de numeração na base 5, só são utilizados os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4. Os números naturais, normalmente representados na base decimal, podem ser também escritos nessa base como mostrado:

De acordo com esse padrão lógico, o número 151 na base decimal, ao ser representado na base cinco, corresponderá a: (A) 111 (B) 1011 (C) 1101 (D) 1110 (E) 1111

Resolução

Para efetuar o processo inverso, ou seja, transformar o número 25 da base 10 para a base 3, devemos efetuar sucessivas divisões por 3, de acordo com o seguinte algoritmo.

151 5 30 5 0 6 5 1 1



Quando não pudermos mais continuar a divisão devemos parar. Então olharemos os números em vermelho (os restos das divisões e o último quociente) da direita para a esquerda.

Desta forma, 151(10) = 1101(5)

Letra C

75. (AFRE-PB 2006 FCC) O sistema básico de registro de informações em um computador é o binário. Sendo assim, o número binário 0011011101 corresponde ao decimal

(A) 301. (B) 221. (C) 201. (D) 121. (E) 91.

Resolução

O sistema binário é o de base 2. Só são utilizados dois algarismos: 0 e 1.

0011011101(2)= 11011101(2) = 1.27 +1.26 +0.25 + 1.24 +1.23 +1.22 +0.21 +1.20

11011101(2) =128 + 64 + 0 + 16 + 8 + 4 + 0 +1 = 221.

Letra B

76. (ISS-RJ 2010/ESAF) A seguir estão representados pelo sistema binário, formado apenas pelos algarismos 0 e 1, os números naturais de 0 a 16 em ordem crescente: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000. Qual é o número que corresponde ao binário 111011? a) 59 b) 60 c) 58 d) 61 e) 62

Resolução

O sistema binário é o de base 2. Só são utilizados dois algarismos: 0 e 1.

111011(2) = 1.25 + 1.24 +1.23 +0.22 +1.21 +1.20 = 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 59.

Letra A

77. (TTN – 1997 ESAF) Nos sistemas de numeração posicional, cada dígito da sequência que representa o número pode ser interpretado como o coeficiente de uma potência da base, onde o valor do expoente depende da posição do dígito na sequência. Entre tais sistemas, um dos mais importantes é o binário, ou de base 2, que utiliza apenas os dígitos 0 e 1 na notação dos números. Por exemplo, o número que corresponde ao 11 do sistema decimal, é indicado por 1011 no sistema binário,



pois 11 (decimal) é igual a (1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20) Assim, o resultado, expresso no sistema decimal, da adição dos números binários 1011 e 101 será igual a

a) 15 b) 13 c) 14 d) 12 e) 16

Número Binário = 1011

Número Decimal = 1.23 + 0.22 + 1.21 + 1.20 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11

Número Binário = 101

Número Decimal = 1.22 + 0.21 + 1.20 = 4 + 0 + 1 = 5

Resposta: 11 + 5 = 16

Letra E

Sistema Legal de Medidas

Temos os seguintes múltiplos e submúltiplos do metro.

Múltiplos: Decâmetro (dam), hectômetro (hm) e quilômetro (km).

Submúltiplos: Decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).

km hm dam m dm cm mm


Então para 914.440 cm serem transformados em quilômetros, devemos dividir por 100.000 (5 casas). 914.440 cm = 9,14440 km.

Significados dos prefixos:

k quilo (1000)

h hecto (100)



da deca (10)

d deci (1/10)

c centi (1/100)

m mili (1/1000)

O mesmo processo pode ser usado para os múltiplos e submúltiplos do litro e grama.

kl hl dal l dl cl ml

kg hg dag g dg cg mg


Por exemplo: Transformar 8.432 dg (decigramas) para dag (decagramas). Devemos andar duas casas para a esquerda, assim devemos dividir 8.432 por 100 obtendo 84,32 dag.

Se estivermos trabalhando com unidades de área (múltiplos e submúltiplos de m2), a cada passagem devemos multiplicar ou dividir por 100.

Se estivermos trabalhando com unidades de volume (múltiplos e submúltiplos de m3), a cada passagem devemos multiplicar ou dividir por 1.000.

78. (PUC-MG) Em metrologia, pé é uma unidade de medida linear equivalente a cerca de 30,48 cm. Um avião que trafega a 30000 pés do solo está voando a uma altura mais próxima de:

a) 6km b) 7km c) 8km d) 9km e) 10km

Resolução

30.000 pés = 30.000 x 30,48 cm = 914.440 cm. Para transformar de centímetro para metro devemos dividir o resultado por 100. Assim, 914.440 cm = 9.144,40 m. E para transformar de metro para quilometro devemos dividir o resultado por mil. Dessa forma, 9.144,40 m = 9,14440 km.

Letra D

79. (COVEST 2003) Uma empresa de exportação de gasolina comunicou à ANP o desaparecimento de 7,2 milhões de litros de gasolina dos seus depósitos. Se um



caminhão-tanque tem capacidade de 32m3, quantos caminhões seriam necessários para transportar a gasolina desaparecida? (obs.: 1m3=1000 litros)

a) 205

b) 210

c) 215

d) 220

e) 225

Resolução

O texto nos informou que 1m3=1000 litros. 7,2 milhões de litros = 7.200.000 litros. Pela relação dada temos que 7.200.000 litros = 7.200m3. Como cada caminhão transporta 32 m3, o total de caminhões desaparecidos é 7.200/32 = 225.

Letra E




01. (MINC 2006/FGV) A fração 5/8 equivale a: (A) 50% (B) 54% (C) 56% (D) 60% (E) 62,5%

02. (ESAF-AFC/CGU-2004) Durante uma viagem para visitar familiares com diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a esses quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início dessa seqüência de visitas, ficou:

a) exatamente igual b) 5% maior c) 5% menor d) 10% menor e) 10% maior

03. (Agente Executivo – SUSEP 2006/ESAF) Um indivíduo tinha uma dívida de R$ 1.200,00 três meses atrás. Considerando que o valor dessa dívida hoje é R$ 1.440,00, calcule a porcentagem de aumento da dívida no período.

a) 12% b) 15% c) 20% d) 25% e) 30%

04. (Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão – MA 2005/FCC) Em 02/01/2005, a fiscalização em certa reserva florestal acusou que o número de espécies nativas havia diminuído de 60%, em relação a 02/01/2004. Para que, em 02/01/2006, o número de espécies nativas volte a ser o mesmo observado em 02-01-2004, então, relativamente a 02/01/2005, será necessário um aumento de

a) 60% b) 80% c) 150% d) 160% e) 180%



05. (DOCAS-SP 2010/FGV) Três amigos foram a um restaurante, e a conta, já incluídos os 10% de gorjeta, foi de R$ 105,60. Se eles resolveram não pagar os 10% de gorjeta pois acharam que foram mal atendidos, e dividiram o pagamento igualmente pelos três, cada um deles pagou a quantia de

a) R$ 31,68 b) R$ 30,60 c) R$ 32,00 d) R$ 35,20 e) R$ 33,00

06. (CAERN 2010/FGV) Um restaurante cobra 10% sobre o valor consumido. Assim, quando a conta é apresentada ao cliente, o valor a ser pago já vem com os 10% incluídos. Ao receber a conta no valor de R$ 27,72, Marcelo percebeu que haviam cobrado a sobremesa, que custa R$ 3,50, sem que ele a tivesse consumido. O gerente prontamente corrigiu o valor cobrado. Assim, depois dessa correção, Marcelo pagou

a) R$ 21,70. b) R$ 22,50. c) R$ 23,87. d) R$ 24,22. e) R$ 52,20.

07. (MEC 2009/FGV) Em uma sala há homens, mulheres e crianças. Se todos os homens fossem retirados da sala, as mulheres passariam a representar 80% dos restantes. Se, ao contrário, fossem retiradas todas as mulheres, os homens passariam a representar 75% dos presentes na sala. Com relação ao número total de pessoas na sala, as crianças correspondem a:

a) 12,5% b) 17,5% c) 20% d) 22,5% e) 25%

(MINC 2006/FGV) O enunciado a seguir refere-se às questões de números 08 e 09.

Em uma escola, 10% dos alunos são canhotos, e, destes, 30% usam óculos. Além disso, 12% dos alunos dessa escola usam óculos. 08. Qual é a porcentagem dos alunos dessa escola que são canhotos e usam óculos? (A) 3% (B) 5% (C) 15% (D) 20% (E) 25%



09. Qual é a porcentagem de canhotos entre os alunos dessa escola que usam óculos? (A) 3% (B) 5% (C) 15% (D) 20% (E) 25%

10. (CAERN 2010/FGV) Em um saquinho há balas. Quinze delas são de coco. As balas de mel correspondem a 55% do total de balas no saquinho. As 12 restantes são de tamarindo. Quantas balas há no saquinho?

a) 54 b) 33 c) 48 d) 60 e) 63

11. (SERC/MS 2006/FGV) Gastava 20% do meu salário com aluguel. Recebi um aumento de salário de 50%, porém o aluguel aumentou de 20%. Quanto passei a gastar com aluguel? (A) 18% (B) 16% (C) 14% (D) 12% (E) 10%

12. (BADESC 2010/FGV) Um número N acrescido de 20% vale 36, o mesmo que um número P reduzido de 10%. A soma de N e P é: (A) 60 (B) 65 (C) 70 (D) 75 (E) 80

13. (Senado Federal 2008/FGV) Guido fez um investimento em um fundo de ações e, a cada 30 dias, recebe um relatório mostrando a valorização ou desvalorização das cotas do fundo nesse período. No primeiro mês o fundo teve uma valorização de 8% e, no segundo mês de 25%. O terceiro mês foi de crise e todas as ações caíram. Entretanto, no fim do terceiro mês, Guido verificou, com certo alívio, que tinha quase que exatamente o mesmo dinheiro que investiu. A desvalorização no terceiro mês foi de cerca de: (A) 22%. (B) 26%. (C) 30%. (D) 33%. (E) 37%.



14. (Assistente Administrativo – CRP 4ª – 2006/CETRO) Para obter um número 20% maior que ele próprio, devo multiplicá-lo pela fração:

(A) Dois terços (B) Cinco quartos (C) Seis quintos (D) Sete quintos (E) Oito sextos

15. (TJPA 2006/CESPE-UnB) Flávio ganhou R$ 720,00 de salário. Desse valor, ele gastou 25% pagando dívidas e 1/3 com alimentação. Nesse caso, o que sobrou do salário de Flávio foi A) inferior a R$ 180,00. B) superior a R$ 180,00 e inferior a R$ 230,00. C) superior a R$ 230,00 e inferior a R$ 280,00. D) superior a R$ 280,00.


De acordo com o anúncio acima, o total do pagamento a prazo na compra da lavadora de roupas supera o valor do pagamento à vista em

A) exatamente 25% do valor à vista. B) mais de 25% e menos de 30% do valor à vista. C) exatamente 30% do valor à vista. D) mais de 30% do valor à vista.



(TJBA 2003/CESPE-UnB)

Os dados acima representam a evolução da quantidade de processos analisados em uma repartição pública e do número de servidores que analisaram esses processos, em uma semana de expediente. A produtividade em um dia é o resultado do quociente entre a quantidade de processos analisados naquele dia e a quantidade de servidores que analisaram esses processos. Com base nesses dados, julgue os seguintes itens.

17. Na sexta-feira, o número de servidores que analisaram processos aumentou mais de 50% em relação ao número dos que fizeram essa atividade na segunda-feira. 18. Se, na quarta-feira, a produtividade foi de 24 processos por servidor, então menos de 70 processos foram analisados nesse dia. 19. Na sexta-feira, a produtividade foi 80% maior que na segunda-feira. 20. Considere que 81 processos ficaram sem ser analisados nessa semana e que deveriam ser analisados mantendo-se a mesma produtividade da sexta-feira. Nessa situação, seriam necessários mais de 12 servidores para cumprir essa tarefa. 21. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) O consumo de energia elétrica na casa de Regina, em novembro de 2009, aumentou em 30% em relação ao de outubro, por causa do calor. Entretanto, em dezembro, Regina reparou que o consumo de energia elétrica diminuiu 10% em relação ao mês anterior. Então, o consumo de dezembro em relação ao de outubro é maior em:



a) 15% b) 17% c) 18% d) 20% e) 22%

22. (Câmara Municipal de Vassouras 2006/CEPERJ) Em uma loja de roupas, as vendas em fevereiro superaram as de janeiro em 20% e as vendas em março superaram as de fevereiro em 60%. De janeiro a março, o aumento nas vendas desta loja foi de:

A) 80% B) 86% C) 92% D) 120%

23. (Câmara Municipal de Vassouras 2006/CEPERJ) Dois descontos sucessivos de 30% e 40% são equivalentes a um único desconto de:

A) 58% B) 62% C) 66% D) 70%

24. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Durante a noite, o dono de uma loja aumentou todos os preços em 20% e, no dia seguinte, anunciou um desconto de 30% em todos os produtos. O desconto real que ele está oferecendo é de:

a) 10% b) 12% c) 14% d) 16% e) 18%

25. (SEE/RJ 2007/CEPERJ) Em uma semana, as ações de certa companhia valorizaram 20% e, na semana seguinte, desvalorizaram 20%. O valor das ações é:

A) o mesmo que o valor inicial B) maior em 2% que o valor inicial C) menor em 2% que o valor inicial D) maior em 4% que o valor inicial E) menor em 4% que o valor inicial

26. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Um trabalhador gasta com o aluguel de sua casa 25% do seu salário. Se o salário é corrigido com um aumento de 25% e o aluguel com um aumento de 35%, então o novo aluguel passará a consumir a seguinte porcentagem do novo salário do trabalhador:



a) 25% b) 35% c) 27% d) 37% e) 50%

27. (SEE/RJ 2007/CEPERJ) Pedro investiu certa quantia comprando ações de uma indústria. No final do primeiro ano, ele verificou que as ações tinham valorizado 25%, mas no final do ano seguinte ele disse: “Puxa, eu tenho hoje o dobro do dinheiro que investi”. A valorização dessas ações no segundo ano foi de:

A) 50% B) 55% C) 60% D) 70% E) 75%

28. (RIOPREVIDÊNCIA 2010/CEPERJ) Considere um número real e faça com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 2, em seguida some 1, multiplique por 3 e subtraia 5. Se o resultado foi 220, o valor de está entre: a) 30 e 35 b) 35 e 40 c) 40 e 45 d) 45 e 50 e) 50 e 55

29. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Considere um número real e faça com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 4, depois some 31, em seguida divida por 3, multiplique por 5 e subtraia 23. Se o resultado foi 222, o valor de é: a) um número múltiplo de 7. b) um número entre 30 e 40. c) um número par. d) um número cuja soma dos dígitos é 10. e) um número primo.

30. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) No sistema 0,3 1,2 2,4

0,5 0,8 0,9

O valor de é:

a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) 2/3



31. (TCE-RN 2000/ESAF) Um homem caridoso observou alguns mendigos em uma praça e pensou: “Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$ 3,00. Ah, mas se eu tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para poder dar a cada um deles R$ 6,00”. O número de mendigos era, portanto: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

32. (Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Hoje a idade de João é a metade da idade de sua mãe. Há quatro anos, a idade de João era a terça parte da idade de seu pai. Se a soma das idades dos três é 100 anos hoje, calcule quantos anos o pai de João é mais velho que sua mãe. a) 8 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15

33. (AFC/SEPLAG-GDF 2009/FUNIVERSA) A diferença entre as idades de dois irmãos é de três anos. Após três anos do nascimento do segundo, nasceu o terceiro e assim foi acontecendo até se formar uma família com cinco irmãos. Sabendo-se que, hoje, a idade do último irmão que nasceu é a metade da idade do primeiro irmão nascido, é correto afirmar que, hoje, o irmão mais velho está com idade igual a a) 18 anos. b) 20 anos. c) 22 anos. d) 24 anos. e) 26 anos.

34. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Uma pessoa terá no ano de 2012 o triplo da idade que tinha em 1994. Essa pessoa tem hoje: a) 22 anos. b) 23 anos. c) 24 anos. d) 25 anos. e) 26 anos.

35. (TRF 1ªR 2001/FCC) No almoxarifado de certa empresa há 68 pacotes de papel sulfite, dispostos em 4 prateleiras. Se as quantidades de pacotes em cada prateleira correspondem a 4 números pares sucessivos, então, dos números seguintes, o que representa uma dessas quantidades é o: a) 8 b) 12 c) 18 d) 22 e) 24



36. (Prefeitura Municipal de Arujá 2006/CETRO) Três números pares e consecutivos têm por soma 90. A divisão do menor deles por 7 nos dá um quociente igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

37. (MF 2009/ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá?

a) 12 horas b) 30 horas c) 20 horas d) 24 horas e) 16 horas

38. (Oficial de Chancelaria – MRE 2009/FCC) Certo dia, Alfeu e Gema foram incumbidos de, no dia seguinte, trabalharem juntos a fim de cumprir uma certa tarefa; entretanto, como Alfeu faltou ao serviço no dia marcado para a execução de tal tarefa, Gema cumpriu-a sozinha. Considerando que, juntos, eles executariam a tarefa em 3 horas e que, sozinho, Alfeu seria capaz de executá-la em 5 horas, o esperado é que, sozinha, Gema a tenha cumprido em a) 6 horas e 30 minutos. b) 7 horas e 30 minutos. c) 6 horas. d) 7 horas. e) 8 horas.

39. (ANEEL 2004/ESAF) Para 5, a simplificação da expressão 10 5025 5

é dada por:

a) 2 b) 2 c) 5 d) 5 e) 25

40. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Carlos e Márcio são irmãos. Carlos dá a Márcio tantos reais quantos Márcio possui e, em seguida, Márcio dá a Carlos tantos reais quantos Carlos possui. Se terminaram com 16 reais cada um, a quantia que Carlos tinha inicialmente era de: a) 12 reais



b) 15 reais c) 18 reais d) 20 reais e) 24 reais

41. (SERPRO 2001/ESAF) Três meninas, cada uma delas com algum dinheiro, redistribuem o que possuem da seguinte maneira: Alice dá a Bela e a Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui. A seguir, Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Finalmente, Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Se Cátia possuía R$ 36,00 tanto no início quanto no final da distribuição, a quantia total que as três meninas possuem juntas é igual a: a) R$ 214,00 b) R$ 252,00 c) R$ 278,00 d) R$ 282,00 e) R$ 296,00

42. (CEAGESP 2006/CONSULPLAN) Rui diz a Pedro: Se você me der 1/5 do dinheiro que possui, eu ficarei com uma quantia igual ao dobro do que lhe restará. Por outro lado, se eu lhe der R$ 6,00 do meu dinheiro, nós ficaremos com quantias iguais. Quanto de dinheiro possui Rui? a) R$ 42,00 b) R$ 31,00 c) R$ 25,00 d) R$ 28,00 e) R$ 47,00

43. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Antônio, Bruno e Carlos compraram um barco por R$ 600,00. Antônio pagou a metade do que os outros dois juntos pagaram. Bruno pagou a terça parte do que os outros dois juntos pagaram. Então Carlos pagou: a) R$150,00 b) R$200,00 c) R$250,00 d) R$300,00 e) R$350,00

44. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Em cada quadradinho da figura abaixo há um número escondido. Nas figuras a seguir, está escrita, abaixo de cada uma, a soma dos números dos quadradinhos sombreados.

16 21 11

O número que está no primeiro quadradinho é:



a) 3 b) 5 c) 8 d) 11 e) 13

45. (Assistente Administrativo – SERGIPE GAS 2010/FCC) Três equipes, X, Y e Z, trabalham em obras de canalização e distribuição de gás natural. Considere que, em certo período, a soma dos comprimentos dos dutos montados por X e Y foi 8,2 km, por Y e Z foi 8,9 km e por X e Z foi 9,7 km. O comprimento dos dutos montados pela equipe (A) X foi 4 200 m. (B) X foi 4 500 m. (C) Y foi 3 500 m. (D) Y foi 3 900 m. (E) Z foi 5 000 m.

46. (CAERN 2010/FGV) A soma de dois números inteiros é 17, e o produto deles vale 52. A diferença entre esses números é

a) 9 b) 8 c) 10 d) 12 e) 11

47. (Pref. Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Quais as raízes da equação: x² - 8x + 7 = 0 a) (1,-1) b) (-7,-1) c) (7,1) d) (-7,1) e) (-1,0) 48. (Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Indique a alternativa que represente o conjunto solução em R, para a equação: x4+13x2+36 =0 a) S={-2,2,-3,3} b) conjunto vazio c) S={-2,-3} d) S={2,3} e) S={-2,-3,-1,1} 49. (TTN 1997/ESAF) A soma de todas as raízes da equação x4 - 25x2 + 144 = 0 é igual a a) 0 b) 16 c) 9 d) 49 e) 25



50. (AFC-STN 2002/ESAF) A soma dos valores reais de

1156

é igual a:

a) 6 b) 2 c) 1 d) 6 e) 13

51. (TFC 2000/ESAF) Determinar de modo que a equação 4 4 1 0 tenha duas raízes iguais: a) 0 b) 8 0 c) 8 d) 8 0 e) 0 8

52. (SEA-AP 2002/FCC) Em certo momento, o número X de soldados em um policiamento ostensivo era tal que subtraindo-se do seu quadrado o seu quádruplo, obtinha-se 1.845. O valor de X é:

f) 42 g) 45 h) 48 i) 50 j) 52

53. (TRT 2ª Região 2004/FCC) Alguns técnicos judiciários combinaram dividir igualmente entre si 108 processos a serem arquivados. Entretanto, no dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto. O número de processos que cada técnico arquivou foi: a) 16 b) 18 c) 21 d) 25 e) 27

54. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) O valor de m para que a soma das raízes da equação de segundo grau mx2 – 7x + 10 = 0 seja igual a 7 é: a) - 7 b) - 2 c) 1 d) - 1 e) 7



55. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Na equação de segundo grau 5x2 – 10x + 2m – 4 = 0, a soma das raízes é igual ao produto das mesmas, nessas condições, o valor de m é igual a: a) -2 b) -1 c) 5 d) 7 e) 2

56. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região • Santa Catarina 2005/FEPESE) As raízes da função quadrática y = 2x2 +mx + 1 são positivas e uma é o dobro da outra. A soma dessas raízes é: a) 2,4 b) 2,1 c) 1,8 d) 1,5 e) 1,2

57. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) A equação 0 possui raízes 3 e 5. Então, é igual a: a) 7 b) 10 c) 15 d) 19 e) 23

58. (TRT-SC 2007/CETRO) Assinale a alternativa que não representa gráfico de uma função y = f(x).



59. (SUFRAMA 2008/FUNRIO) Seja uma função que tem como domínio o conjunto A={Ana, José, Maria, Paulo, Pedro} e como contradomínio o conjunto B={1,2,3,4,5}. A função f associa a cada elemento x em A o número de letras distintas desse elemento x . Com base nessas informações, pode-se afirmar que a) elementos distintos no domínio estão associados a distintos elementos no contradomínio. b) todo elemento do contradomínio está associado a algum elemento do domínio. c) f não é uma função. d) 5 e)

60. (AFTN 1996/ESAF) Em um laboratório de experiências veterinárias foi observado que o tempo requerido para um coelho percorrer um labirinto, na enésima tentativa, era dado pela função C(n) = (3+12/n) minutos. Com relação a essa experiência pode-se afirmar, então, que um coelho: a) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos. b) gasta cinco minutos e quarenta segundos para percorrer o labirinto na quinta tentativa. c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa. d) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa. e) percorre o labirinto numa das tentativas, em três minutos e trinta segundos.

61. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A função f de 1º grau, cujo gráfico passa pelos pontos A(-1, -5) e B(5, 7) é (A) f(x) = 3x + 2 (B) f(x) = 2x – 3 (C) f(x) = x – 4 (D) f(x) = x + 3 (E) f(x) = 3x + 3

62. (Senado Federal 2008/FGV) A função , para cada real x, associa o menor entre os números e 20 . Por exemplo, 1 3 e 15 5. O valor máximo de f: a) 8 b) 17/2 c) 25/3 d) 35/4 e) 44/5 63. (Pref. Mairinque/SP 2009/CETRO) Para saber o número do calçado de uma pessoa, utiliza-se a fórmula , em que C é o número do calçado e p é o comprimento do pé em centímetros. Se uma pessoa calça um sapato tamanho 36, significa que o comprimento de seu pé é (A) 24,1cm. (B) 23,6cm. (C) 23,2cm. (D) 22,4cm.



(E) 21,3cm.

64. (Pref. de Araçatuba 2008/CETRO) A figura a seguir representa o gráfico de uma função do tipo f (x) = ax + b.

Sobre a natureza do gráfico desta função representada acima, é correto afirmar que (A) possui duas raízes reais. (B) a < 0. (C) b > 0. (D) ab < 0. (E) não possui raízes reais.

65. (AFC-SFC 2000/ESAF) Sabe-se que as retas de equações r1 = αx e r2 = -2x +β interceptam-se em um ponto P(x<0; y<0). Logo, a) α > 0 e β > 0 b) α > 0 e β < 0 c) α < 0 e β < 0 d) α < -1 e β < 0 e) α > -1 e β > 0

66. (CAERN 2010/FGV) O conjunto de todas as soluções reais da inequação 2 1 3 2 é

a) ∞, 1 . b) ∞, 1 . c) 1, ∞ . d) 1, ∞ . e) 1,1 .

67. (SERC/MS 2006/FGV) O número de soluções inteiras do sistema de inequações 2 3 4 63 1 7 é:

a) 0 b) 1 c) 3



d) 5 e) infinito

68. (SERC/MS 2006/FGV) A ordenada do vértice da parábola 4 é:

a) 4 b) 2 c) 0 d) 2 e) 4

69. (Secretaria de Estado da Administração – Santa Catarina 2006/FEPESE) O lucro obtido na venda de mouses é dado pela função L(x) = –x2 + 90x – 800, sendo L o lucro do fabricante e x o preço de venda do mouse. O gráfico da função lucro é representado na figura abaixo.

Assinale a alternativa que indica o maior lucro do fabricante. a) R$ 45,00 b) R$ 80,00 c) R$ 1.000,00 d) R$ 1.225,00 e) R$ 1.400,00 70. (AFRFB 2009/ESAF) Considere as inequações dadas por:

2 1 0 2 3 2 0. Sabendo que A é o conjunto solução de e B o conjunto solução de , então o conjunto é igual a: a) 2

b) 2 c) | 1



d) | 0 e) | 0

71. (ANVISA 2010/CETRO) Considere as seguintes funções 4 4 e 6 5. Assinale a alternativa que apresenta a solução da inequação definida por · 0.

a) | 2 b) | 1 2 c) |1 5 2 d) | 1 5 2 e) | 1 5 2

72. (Assembleia Legislativa do Estado de São Paulo 2010/FCC) O gráfico a seguir representa a função , de domínio real, dada pela lei .

Sabendo que a, b e c são constantes, é correto concluir que (A) a < 0, b < 0 e c < 0 (B) a < 0, b < 0 e c > 0 (C) a < 0, b > 0 e c < 0 (D) a < 0, b > 0 e c > 0 (E) a > 0, b < 0 e c < 0

73. (SERC/MS 2006/FGV) Se a parábola contém os pontos 1,12 , 0,5 e 2, 3 , quanto vale ?

a) 4 b) 2 c) 0 d) 1 e) 2



74. (MEC 2008/FGV) No sistema de numeração na base 5, só são utilizados os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4. Os números naturais, normalmente representados na base decimal, podem ser também escritos nessa base como mostrado:

De acordo com esse padrão lógico, o número 151 na base decimal, ao ser representado na base cinco, corresponderá a: (A) 111 (B) 1011 (C) 1101 (D) 1110 (E) 1111

75. (AFRE-PB 2006 FCC) O sistema básico de registro de informações em um computador é o binário. Sendo assim, o número binário 0011011101 corresponde ao decimal

(A) 301. (B) 221. (C) 201. (D) 121. (E) 91.

76. (ISS-RJ 2010/ESAF) A seguir estão representados pelo sistema binário, formado apenas pelos algarismos 0 e 1, os números naturais de 0 a 16 em ordem crescente: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000. Qual é o número que corresponde ao binário 111011? a) 59 b) 60 c) 58 d) 61 e) 62



77. (TTN – 1997 ESAF) Nos sistemas de numeração posicional, cada dígito da sequência que representa o número pode ser interpretado como o coeficiente de uma potência da base, onde o valor do expoente depende da posição do dígito na sequência. Entre tais sistemas, um dos mais importantes é o binário, ou de base 2, que utiliza apenas os dígitos 0 e 1 na notação dos números. Por exemplo, o número que corresponde ao 11 do sistema decimal, é indicado por 1011 no sistema binário, pois 11 (decimal) é igual a (1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20) Assim, o resultado, expresso no sistema decimal, da adição dos números binários 1011 e 101 será igual a

a) 15 b) 13 c) 14 d) 12 e) 16

78. (PUC-MG) Em metrologia, pé é uma unidade de medida linear equivalente a cerca de 30,48 cm. Um avião que trafega a 30000 pés do solo está voando a uma altura mais próxima de:

a) 6km b) 7km c) 8km d) 9km e) 10km

79. (COVEST 2003) Uma empresa de exportação de gasolina comunicou à ANP o desaparecimento de 7,2 milhões de litros de gasolina dos seus depósitos. Se um caminhão-tanque tem capacidade de 32m3, quantos caminhões seriam necessários para transportar a gasolina desaparecida? (obs.: 1m3=1000 litros)

a) 205

b) 210

c) 215

d) 220

e) 225



Gabaritos

01. E 02. D 03. C 04. C 05. C 06. C 07. A 08. A 09. E 10. D 11. B 12. C 13. B 14. C 15. D 16. A 17. Certo 18. Errado 19. Certo 20. Errado 21. B 22. C 23. A 24. D 25. E 26. C 27. C 28. B 29. E 30. A 31. D 32. B 33. D 34. C 35. C 36. C 37. E 38. B 39. A 40. D 41. B



42. A 43. C 44. E 45. B 46. A 47. C 48. B 49. A 50. C 51. B 52. B 53. E 54. C 55. D 56. D 57. A 58. C 59. E 60. E 61. B 62. C 63. C 64. C 65. B 66. C 67. D 68. E 69. D 70. C 71. B 72. A 73. C 74. C 75. B 76. A 77. E 78. D 79. E



Aula 4 – Matemática e Raciocínio Lógico – Senado Federal 1. Comentários .......................................................................................................................... 2

2. Ângulos .................................................................................................................................. 2

I. Ângulo reto, agudo, obtuso .............................................................................................. 2

II. Bissetriz de um ângulo ...................................................................................................... 3

III. Ângulos complementares, suplementares e replementares ........................................ 4

IV. Ângulos opostos pelo vértice ........................................................................................ 4

3. Paralelismo ............................................................................................................................ 7

I. Lei Angular de Tales .......................................................................................................... 9

4. Polígonos ............................................................................................................................. 11

I. Polígono Regular ............................................................................................................. 12

II. Número de diagonais de um polígono de n lados .......................................................... 13

III. Soma dos ângulos internos de um polígono convexo ................................................. 17

5. Classificação dos Triângulos ................................................................................................ 24

I. Síntese de Clairaut ........................................................................................................... 26

6. Teorema de Tales ................................................................................................................ 29

7. Teorema de Pitágoras e suas aplicações ............................................................................. 33

I. Diagonal do quadrado ..................................................................................................... 33

II. Altura do triângulo equilátero ......................................................................................... 34

8. Semelhança de Triângulos .................................................................................................. 43

9. Quadriláteros ...................................................................................................................... 48

I. Trapézios ......................................................................................................................... 49

II. Paralelogramo ................................................................................................................. 50

III. Losango ....................................................................................................................... 51

IV. Retângulo .................................................................................................................... 51

V. Quadrado ........................................................................................................................ 52

10. Circunferência e Círculo ...................................................................................................... 58

I. Corda, diâmetro e tangentes .......................................................................................... 72

II. Relações entre cordas e secantes ................................................................................... 80

11. Triângulos, circunferências e áreas ..................................................................................... 82

12. Questões FGV ...................................................................................................................... 86

13. Relação das questões comentadas ..................................................................................... 90

14. Gabaritos ........................................................................................................................... 104



1. Comentários

Olá pessoal!

Vamos iniciar a aula 4 do nosso curso de Raciocínio Lógico e Matemática para o Senado Federal. Apesar de este assunto aparecer explicitamente no edital (geometria), não encontrei muitas questões de concursos da FGV, exceto em provas de concursos para Professor de Matemática. Por se tratar de um concurso com Matemática como matéria específica, deixei para comentar tais questões no final da aula como um “extra”. Mesmo assim, não resolverei algumas questões desta prova por estarem envolvidos assuntos avançados de Geometria como Teorema de Menelaus, Teorema de Pappus, tópicos de Geometria Espacial (troncos de cone), dentre outros.

Sem mais delongas, vamos começar.

2. Ângulos

Ângulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem. Essas semi-retas são os lados do ângulo e a origem comum das semi-retas é o vértice do ângulo.

O vértice do ângulo é o ponto O. Os lados do ângulo são as semi-retas AO e OB.

I. Ângulo reto, agudo, obtuso

Os ângulos são medidos em graus ou em radianos. Nesta aula trabalharemos apenas com graus. Na próxima aula (trigonometria) trabalharemos com os ângulos medidos em radianos.

Quando as semi-retas que formam o ângulo são opostas, dizemos que o ângulo é raso e sua medida é, por definição, 180º (180 graus).

Pois bem, a partir da figura anterior, vamos traçar uma semi-reta que divida

A

B

O

O

180º



exatamente o ângulo ao meio. Teremos dois ângulos de 90º que são chamados de ângulos retos.

Ângulo agudo é um ângulo menor que um ângulo reto.

Ângulo obtuso é um ângulo maior que um ângulo reto e menor que um ângulo raso.

Podemos dizer que o ângulo de 1 grau (1º) é um ângulo reto dividido em 90 partes iguais.

O ângulo reto tem 90 graus (90º).

Existem ainda submúltiplos do grau. Dizemos que um grau (1º) é igual a um ângulo de 60 minutos (60’).

1° 60

Podemos ainda dizer que o ângulo de um minuto (1’) é igual a um ângulo de 60 segundos (60’’).

1 60

II. Bissetriz de um ângulo Considere um ângulo de vértice O. Uma semi-reta interna ao ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes.

Quando este símbolo aparecer em alguma figura, estará indicado que se trata de um ângulo reto.

O

Ângulo agudo

Ângulo obtuso

O



III. Ângulos complementares, suplementares e replementares

Dois ângulos são complementares se e somente se a soma de suas medidas é 90º. Um deles é o complemento do outro.

Se um dos ângulos mede , diremos que a medida do outro é 90° .

Por exemplo, o complemento de 30º é 30° 90° 30° 60°.

Dois ângulos são suplementares se e somente se a soma de suas medidas é 180º. Um deles é o suplemento do outro.


Por exemplo, o suplemento de 30º é 30° 180° 30° 150°.

Dois ângulos são replementares se e somente se a soma de suas medidas é 360º. Um deles é o replemento do outro.


Por exemplo, o replemento de 30º é 30° 360° 30° 330°.

IV. Ângulos opostos pelo vértice

Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são as semi-retas opostas dos lados do outro.

Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes (têm a mesma medida).

Ângulos opostos pelo vértice



01. (Prefeitura Municipal de São José – FEPESE/2007) Se dois ângulos são suplementares e a medida do maior é 35º inferior ao quádruplo do menor, assinale a alternativa que indica a medida do menor desses dois ângulos:

a) 25º b) 36º c) 43º d) 65º e) 137º

Resolução

Dois ângulos são suplementares se a soma de suas medidas é 180º. Em tempo, dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é 90º e dois ângulos são replementares se a soma de suas medidas é 360º.

Se um ângulo mede xº, o seu suplemento é denotado por sup , o seu complemento é denotado por e o seu replemento é denotado por

.

Assim, tem-se as seguintes relações:

sup 180

comp 90

rep 360

Voltemos ao enunciado: Dois ângulos são suplementares. Digamos que o maior meça x graus. Assim, o menor medirá (180 – x) graus.

A medida do maior é 35º inferior ao quádruplo do menor.

4 · 180 35

720 4 35

5 685

137

Atenção!!! A resposta não é a letra E!!! O problema pede o menor dos ângulos. Como os ângulos são suplementares, o menor ângulo será 180 137 43 .

Letra C



02. (Agente de Trânsito – Pref. de Mairinque 2006/CETRO) Na figura abaixo, as duas aberturas angulares apresentadas são suplementares. Qual o valor da medida do ângulo X?

(A) 100º 45’ (B) 106º 37’ (C) 98º 99’ (D) 360º (E) 111º 11’ Resolução Vimos na questão passada que dois ângulos são suplementares se a soma de suas medidas é 180º. Se um ângulo mede xº, o seu suplemento é denotado por sup e

sup 180

sup 72 83′ 180 72 83′ Lembremos que 1º é o mesmo que 60’ (60 minutos). Assim, 180º = 179º60’ e 72º83’=73º23’

sup 72 83′ 179 60′ 73 23′

sup 72 83′ 106 37′ Letra B

EP 1. Qual é o ângulo que excede o seu complemento em 58º?

Resolução

Vamos considerar que o ângulo mede graus. Desta forma, seu complemento é igual a 90° .

Podemos reescrever o enunciado assim:

Â é 58°

90° 58°

90° 58°

2 148°



74°

O ângulo procurado é 74º.

EP 2. Determine dois ângulos suplementares, sabendo que um deles é o triplo do outro.

Resolução

Se um dos ângulos mede graus, então o outro medirá 180° .

3 · 180°

540° 3

4 540°

135°

O outro ângulo é 180° 135° 45°.

Resposta: Os ângulos são 135º e 45º.

3. Paralelismo

Duas retas são paralelas se são coincidentes (iguais) ou se são coplanares (pertencem ao mesmo plano) e não possuem pontos comuns.

Para os nossos objetivos, vamos trabalhar apenas com retas paralelas distintas.

As retas r e s são paralelas e indicamos assim: .

Vamos agora considerar duas retas paralelas distintas r e s, e uma reta t concorrente com r e s.

Desta forma, 8 ângulos importantes ficam determinados.

r

s

8 7 6 5

4 3 2 1

r

s

t



Vamos considerar dois grupos de ângulos:

Grupo I 1, 3, 5, 7.

Grupo II 2, 4, 6, 8.

Todos os ângulos do grupo I são congruentes entre si.

Todos os ângulos do grupo II são congruentes entre si.

Escolhendo-se um ângulo qualquer do grupo I e um ângulo qualquer do grupo II, certamente eles serão suplementares (a soma é igual a 180º).

Se a reta t for perpendicular às retas r e s, então os oito ângulos serão congruentes.

Resumindo:

Vamos considerar que a reta t é concorrente obliqua. Então dos oito ângulos determinados, 4 são agudos e 4 são obtusos.

Escolhendo-se 2 ângulos dentre os agudos, então eles são congruentes (têm a mesma medida).

Escolhendo-se 2 ângulos dentre os obtusos, então eles são congruentes (têm a mesma medida).

Escolhendo-se 1 ângulo agudo e 1 ângulo obtuso, então eles são suplementares (a soma é igual a 180º).

03. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas.

Se o ângulo a mede 44°30’ e o ângulo q mede 55°30’, então a medida do ângulo b é: a) 100°. b) 55°30’. c) 60°. d) 44°30”. e) 80°.

Resolução



Tracemos uma reta paralela às retas “r” e “s” pelo ponto de interseção dos segmentos inclinados. O ângulo que fica acima da reta vermelha é igual a e o ângulo que fica abaixo da reta vermelha é igual a . Isso é verdade pois quando temos duas retas paralelas cortadas por uma transversal, os ângulos agudos são congruentes.

Assim,

44 30′ 55 30′ 99 60′ 100

Letra A

I. Lei Angular de Tales

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180º.

04. (CGU 2003-2004/ESAF) Os ângulos de um triângulo encontram-se na razão 2:3:4. O ângulo maior do triângulo, portanto, é igual a: a) 40° b) 70° c) 75° d) 80° e) 90°

Resolução

Se os ângulos do triângulo encontram-se na razão 2:3:4, podemos chamá-los de 2x, 3x e 4x. Lembremos da Lei Angular de Tales: a soma dos ângulos de um triângulo qualquer é sempre 180º.

Assim, 2 3 4 180

9 180



20

O maior ângulo é 4 4 · 20 80

Letra D

05. (Assistente de Chancelaria – MRE 2002/ESAF) Num triângulo ABC, o ângulo interno de vértice A mede 60º. O maior ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos internos de vértices B e C mede: a) 45º b) 60º c) 90º d) 120º e) 150º Resolução A Lei Angular de Tales garante que 180°. Como 60°, então:

60° 180°

120° Vamos traçar as bissetrizes dos ângulos B e C. Lembre-se que uma bissetriz é uma semi-reta interna ao ângulo que o divide em duas partes de mesma medida. A bissetriz do ângulo B o divide em dois ângulos de medida B/2. A bissetriz do ângulo C o divide em dois ângulos de medida C/2.

Vamos aplicar novamente a Lei Angular de Tales:

2 2180°

2180°

Como 120°:

120°2

180°

60° 180°

X C/2 B/2

60º



120°

Letra D

4. Polígonos

De acordo com o número de lados, os polígonos recebem nomes especiais.

Número de Lados Nome do polígono 3 Triângulo ou Trilátero 4 Quadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octógono 9 Eneágono

10 Decágono 11 Undecágono 12 Dodecágono 15 Pentadecágono 20 Icoságono

O perímetro de um polígono é a soma dos seus lados. Temos o costume de indicar o perímetro de um polígono por 2 e o seu semiperímetro (metade do perímetro) por .

06. (Prefeitura Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Calcule o perímetro de um terreno retangular de medida 94 m e 36 m. (A) 320 m (B) 280 m (C) 260 m (D) 270 m (E) 300 m

Resolução

Temos o costume de denotar o perímetro (soma das medidas de todos os lados de um polígono) por 2p. Assim, 2 94 94 36 36 260 .



Letra C 07. (Agente de Trânsito – Pref. de Mairinque 2006/CETRO) Um pedreiro construiu um muro ao redor de um terreno retangular que tinha um perímetro de 96 metros. O comprimento desse terreno equivale ao triplo de sua largura. As dimensões desse terreno valem (A) 12 m por 36 m. (B) 25 m por 50 m. (C) 1 km por 12 km. (D) 15 m por 32 m. (E) 18 m por 36 m.

Resolução

Denotando a largura por x, o comprimento será 3x.

O perímetro é igual a 96m.

Assim, 3 3 96

8 96

12

Assim, a largura é 12m e o comprimento 3 x 12 = 36m.

Letra A

I. Polígono Regular

Um polígono que possui todos os lados congruentes (com mesma medida) é dito equilátero.

Um polígono que possui todos os ângulos congruentes (com mesma medida) é dito equiângulo.

Polígono equilátero Polígono equiângulo


13 www.po s.com.br

Um polígono convexo é regular se e somente se é equilátero e equiângulo.

É muito importante observar o seguinte fato:

O único polígono que se é equilátero, então é equiângulo e se é equiângulo, então é equilátero é o triângulo.

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, podemos concluir que cada ângulo interno de um triângulo equilátero mede:

180°3 60°

II. Número de diagonais de um polígono de n lados

Diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não consecutivos do polígono.

60º

60º

60º



Um pentágono e suas 5 diagonais.

Vamos deduzir a fórmula que fornece o número de diagonais de um polígono de duas maneiras:

i) Argumento combinatório

Um polígono de lados possui vértices. Para determinar uma diagonal devemos escolher dois dos vértices. Observe que uma diagonal AB é igual a uma diagonal BA. Portanto, não é relevante a ordem dos vértices. A priori, o número de diagonais seria igual a .

Destas há alguns segmentos que são “pseudo-diagonais”. São os lados do polígono. Devemos das “pseudo-diagonais” retirar os lados.

Portanto, o número de diagonais é igual a:

· 12 · 1

22

23

2

· 32

ii) Argumento geométrico

Considere um polígono com lados. De cada vértice partem 3 diagonais. Subtraímos o número 3, porque não podemos “mandar” uma diagonal para o próprio vértice e nem para os vértices que estão “ao lado”.

Vamos ver, por exemplo, um heptágono (polígono de 7 lados).

Observe que cada vértice “manda” 4 diagonais (7 – 3).



Pois bem, então de cada vértice partem 3 diagonais. Isso é importantíssimo e já foi perguntado em prova!!

Como são vértices, “então”o total de diagonais seria igual a · 3 .

Porém, nesta conta cada diagonal é contada duas vezes, pois tem extremidades em 2 vértices. Portanto, o número de diagonais é igual a:

· 32

08. (Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Assinale a alternativa que corresponde ao número de diagonais de um icoságono. a) 340 b) 190. c) 170. d) 380. e) 95.

Resolução

Vamos lembrar os nomes dos polígonos em função do número de lados.

Número de Lados

Nome do polígono

3 Triângulo ou Trilátero 4 Quadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octógono 9 Eneágono

10 Decágono 11 Undecágono 12 Dodecágono 15 Pentadecágono 20 Icoságono

Portanto, o icoságono é um polígono com 20 lados. O número de diagonais de um polígono com n lados é igual a

· 32



Assim, o número de diagonais do icoságono é igual a

20 · 20 32

170 .

Letra C

09. (AFT 2006/ESAF) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a: a) 11 b) 12 c) 10 d) 15 e) 18 Resolução Mostramos anteriormente a fórmula que fornece o número de diagonais de um polígono convexo.

· 32

De cada vértice partem (n – 3) diagonais. Isso porque não podemos traçar diagonais para o próprio vértice nem para os vértices adjacentes. Um hexágono possui

6 · 6 32

9 . Assim, se o polígono possui n lados, de cada vértice partem n – 3 diagonais. Dessa forma,

3 9

12 Letra B 10. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Um joalheiro recebe uma encomenda para uma jóia poligonal. O comprador exige que o número de lados seja igual ao número de diagonais. Sendo assim, o joalheiro deve produzir uma jóia (A) triangular. (B) quadrangular. (C) pentagonal. (D) hexagonal. (E) decagonal. Resolução



O número de diagonais é igual ao número de lados.

· 32

· 3 2

Como n > 0, podemos “cortar n em ambos os membros”.

3 2

5

Trata-se, portanto, de um pentágono. O pentágono possui 5 diagonais.

Letra C

III. Soma dos ângulos internos de um polígono convexo

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo com lados é

180° · 2

Quem sabe que a soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180° pode facilmente entender a fórmula acima. Ou seja, saber o valor da soma dos ângulos internos de um triângulo permite calcular a soma dos ângulos de qualquer outro polígono convexo.

Como exemplo, considere o polígono de cinco lados disposto abaixo (pentágono).



Vamos tomar o vértice de cima como referência. A partir deste vértice, quantas diagonais podemos traçar?

Diagonal é qualquer segmento de reta que une dois vértices de um polígono.

Embora eu tenha dito “qualquer”, este “qualquer” tem exceção. Cada lado do polígono liga dois vértices. Só que os lados não são diagonais.

Então uma diagonal seria qualquer segmento de reta que liga dois vértices não adjacentes de um polígono.

Para exemplificarmos, vamos tomar como referência o vértice de cima (destacado em vermelho na figura abaixo).

Queremos construir diagonais a partir deste vértice. As diagonais devem ligar este vértice aos demais.

Não podemos ter diagonais ligando este vértice aos dois vizinhos, pois aí teríamos lados. Não podemos ter diagonal ligando este vértice a ele próprio.

Assim, dos 5 vértices do pentágono, este vértice em destaque só pode formar diagonal quando ligado a dois dos demais vértices. Ou seja, só é possível construirmos 2 diagonais a partir dele.

Abaixo detalhamos as duas diagonais:



Você pode guardar isso como regra. A partir de um vértice, sempre conseguiremos traçar 3−n diagonais (onde n é o número de vértices do polígono).

Por que precisamos subtrair 3?

Porque não podemos formar diagonais com os dois vértices vizinhos, nem com o próprio vértice em análise.

→

Número de diagonais que partem de um dado vértice do polígono de n lados:

3−n

Muito bem, traçadas as duas diagonais, nós conseguimos dividir o pentágono em 3 triângulos. Ora, se a soma dos ângulos internos do triângulo é 180 e com 3 triângulos nós formamos um pentágono, então a soma dos ângulos internos de um pentágono fica:

º540º1803 =×

E nós podemos fazer isto para qualquer figura.

Para um polígono de n lados ficaria assim. Partindo de um dos vértices nós conseguimos traçar 3−n diagonais. Com isso, dividimos a figura em 2−n triângulos. Logo, a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por:

º180)2( ×−n

→ Soma dos ângulos internos de um polígono de n lados

º180)2( ×−n

Observe que quando um polígono é regular, todos os seus ângulos têm a mesma medida. Portanto, a medida de cada ângulo interno de um polígono convexo de

lados é igual a:

180° · 2

Vamos determinar a soma dos ângulos internos de alguns polígonos para exercitar.

3 â



180° · 3 2 180° · 1 180°

Que já sabíamos através da Lei Angular de Tales

4 á

180° · 4 2 180° · 2 360°

5 á

180° · 5 2 180° · 3 540°

11. (SUSEP 2010/ESAF) A soma S1 dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados, com n ≥ 3, é dada por Si=(n-2).1800. O número de lados de três polígonos convexos, P1 , P2 , e P3, são representados, respectivamente, por (x-3), x e (x+3). Sabendo-se que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 32400, então o número de lados do polígono P2 e o total de diagonais do polígono P3 são, respectivamente, iguais a: a) 5 e 5 b) 5 e 44 c) 11 e 44 d) 5 e 11 e) 11 e 5 Resolução O enunciado foi muito generoso já fornecendo a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono. O primeiro polígono tem (x – 3) lados. Assim, na fórmula devemos substituir o “n” por “x – 3” obtendo 3 2 · 180 . O segundo polígono tem “x” lados, e, portanto, devemos substituir o “n” por “x” obtendo 2 · 180 . Por fim, o terceiro polígono tem (x+3) lados e a soma dos seus ângulos internos será 32 · 180 . Já que a soma de todos os ângulos internos é 3240º, temos a seguinte equação:

3 2 · 180 2 · 180 3 2 · 180 3.240

5 · 180 2 · 180 1 · 180 3.240

180 · 900 180 · 360 180 · 180 3.240

540 · 1.080 3.240

540 · 1.080 3.240

540 · 4.320

8 Portanto, o número de lados de P2 é 8. O primeiro polígono P1 possui 8 – 3 = 5 lados. O polígono P3 possui 8+3 = 11 lados. O número de diagonais de um polígono de n lados é dado por



· 3

2

Assim, o número de diagonais de P3 é

11 · 11 32

44

A questão não tem resposta e foi anulada pela ESAF.

12. (APO-MPOG 2008/ESAF) Dois polígonos regulares, X e Y, possuem, respectivamente, (n+1) lados e n lados. Sabe-se que o ângulo interno do polígono A excede o ângulo interno do polígono B em 5º (cinco graus). Desse modo, o número de lados dos polígonos X e Y são, respectivamente, iguais a: a) 9 e 8 b) 8 e 9 c) 9 e 10 d) 10 e 11 e) 10 e 12 Resolução Esta questão foi anulada porque no início falava-se em polígonos X e Y e em seguida falava-se em polígonos A e B. Mas não vamos perder uma questão aqui só por causa disso. Vamos considerar que o polígono X é o polígono A e o polígono Y é o polígono B (esta era a intenção da ESAF). Vimos anteriormente que quando um polígono é regular, todos os seus ângulos têm a mesma medida. Portanto, a medida de cada ângulo interno de um polígono convexo de lados é igual a:

180° · 2

O enunciado diz que o ângulo interno do polígono A excede o ângulo interno do polígono B em 5º (cinco graus).

5°

180° · 2 180° · 25°

180° · 1 21

180° · 25°

180° · 11

180° · 25°

180° · 11

180° · 2 5° ·



180° · 180°1

180° · 360° 5° ·

180° · 180°1

185° · 360°


185° · 360° · 1 180° · 180° ·

185° · 185° · 360° · 360° 180° · 180° ·

Para evitar uma poluição visual, vamos deixar de escrever o símbolo do grau.

5 5 360 0

Vamos dividir os dois membros da equação por 5.

72 0

√ 42

1 1 4 · 1 · 722 · 1

1 √2892

1 172

Como é positivo, só devemos usar o +.

1 172

162

8

Como o polígono X tem 1 lados, então ele possui 9 lados.

O polígono Y tem lados, então ele possui 8 lados.

Poderíamos ter resolvido a equação do segundo grau da seguinte maneira:

722 =+ nn

72)1( =+× nn

Um produto entre dois naturais seguidos que dá 72, só poderia ser 8 e 9.

Letra A

Questão anulada

Mesmo que o candidato não soubesse como resolver a questão, dava para marcar a alternativa certa. Sabemos que X tem 1+n lados. Sabemos que Y tem n lados. Logo, X tem 1 lado a mais que Y.



A única alternativa que prevê isso é a letra A. Em todas as outras, Y tem mais lados que X, o que é falso.

13. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra dois pentágonos regulares colados.

O valor do ângulo ABC é: A) 18o B) 20o C) 22o D) 24o E) 26o

Resolução

Para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono com lados utilizamos a fórmula:

180° · 2

Desta forma, a soma dos ângulos internos de um pentágono é igual a:

180° · 5 2 180° · 3

540°

Como os pentágonos do problema são regulares, então os pentágonos são eqüiângulos (têm todos os ângulos com as mesmas medidas).

Para calcular a medida de cada ângulo dos pentágonos, devemos dividir 540° por 5.

540°5

108°

Vamos calcular a medida do ângulo :



108° 108° 360°

216° 360°

144°

A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.

Como o triângulo ABC é isósceles, então os ângulos B e C são congruentes.

Vamos chamar os ângulos B e C de .

180°

2 144° 180°

2 36°

18°

Letra A

5. Classificação dos Triângulos

Os triângulos podem ser classificados:

i) Quanto aos lados

Triângulo Equilátero Triângulo Isósceles Triângulo Escaleno

Tem os três lados congruentes.

Tem dois lados congruentes. Tem os três lados não- congruentes.



Quanto aos ângulos:

Triângulo Acutângulo Triângulo Retângulo Triângulo Obtusângulo

Tem três ângulos agudos. Tem um ângulo reto.

Lados menores: catetos

Lado maior (oposto ao ângulo reto): hipotenusa

Tem um ângulo obtuso.

Observe que todo triângulo equilátero é isósceles, mas nem todo triângulo isósceles é equilátero.

Um triângulo com dois lados congruentes é isósceles; o outro lado é chamado base e o ângulo oposto é o ângulo do vértice.

Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes (este teorema é conhecido como Pons Asinorum).

O triângulo equilátero também é equiângulo (possui os três ângulos congruentes) e seus ângulos medem 60º.

Como classificar um triângulo quanto aos lados sabendo apenas os valores dos ângulos?

BASE

Ângulos Congruentes Ângulo do vértice



Se os três ângulos forem congruentes (o triângulo for equiângulo), então o triângulo será equilátero.

Se apenas dois ângulos forem congruentes, então ele é isósceles (Pons Asinorum que foi visto no início desta página).

Se os três ângulos forem diferentes, então o triângulo é escaleno.

E como classificar um triângulo quanto aos ângulos, sabendo a medida de seus lados?

Neste caso devemos utilizar a Síntese de Clairaut.

I. Síntese de Clairaut Em geometria nós consideramos que o lado a é oposto ao ângulo A, o lado b é oposto ao ângulo B e o lado c é oposto ao ângulo C.

Vamos considerar que o lado a é o maior lado do triângulo.

O triângulo é acutângulo se e somente se .

O triângulo é obtusângulo se e somente se .

O triângulo é retângulo se e somente se (esta parte da Síntese de Clairaut é conhecida como TEOREMA DE PITÁGORAS).

14. (Prefeitura de São José 2009/FEPESE) Relacione as colunas 1 e 2. Cada número pode ser usado apenas uma vez.

Coluna 1 1. Triângulo retângulo 2. Triângulo acutângulo 3. Triângulo obtusângulo

CB

A

a

bc



Coluna 2 ( ) Triângulo cujos lados medem 6, 12 e 13 ( ) Triângulo cujos lados medem 5, 12 e 13 ( ) Triângulo cujos lados medem 6, 10 e 12

Assinale a alternativa que indica a sequência correta, assinalada de cima para baixo.

a) 1, 2, 3 b) 3, 2, 1 c) 2, 3, 1 d) 3, 1, 2 e) 2, 1, 3

Resolução

Foram dados os lados de três triângulos e devemos classificá-los quanto aos ângulos.

Para resolver esse problema utilizaremos a conhecida Síntese de Clairaut.

Seja um triângulo de lados “a”, “b” e “c”. Consideraremos “a” como o maior lado.

O triângulo é acutângulo se e somente se .

O triângulo é retângulo se e somente se (Teorema de Pitágoras).

O triângulo é obtusângulo se e somente se .


Coluna 2 ( ) Triângulo cujos lados medem 6, 12 e 13

13 ? 6 12 169 ? 36 144

169 180 O triângulo é acutângulo (2).

( ) Triângulo cujos lados medem 5, 12 e 13

13 ? 5 12 169 ? 25 144

169 169 O triângulo é retângulo (1).

( ) Triângulo cujos lados medem 6, 10 e 12

12 ? 6 10

144 ? 36 100



144 136 O triângulo é obtusângulo (3). Letra E

15. (Pref. Municipal de Serra Negra 2006/CETRO) Um triângulo equilátero possui (A) os três lados com medidas diferentes. (B) dois lados com medidas iguais. (C) os três lados com medidas iguais. (D) um ângulo reto. (E) dois ângulos obtusos.

Resolução

Vimos no resumo anterior que um triângulo equilátero possui os três lados com medidas iguais. O gabarito oficial é a letra C.

Por outro lado, quem possui três lados com medidas iguais também possui dois lados com medidas iguais. Ou seja, todo triângulo equilátero também é isósceles. A banca também deveria aceitar a letra B.

Obviamente, o objetivo nosso é passar no concurso e não brigar com a banca organizadora. Facilmente se percebe que o objetivo da banca é fazer com que o candidato marque a alternativa C.

16. (Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Um triângulo que possui os três lados com a mesma medida, é chamado de triângulo (A) isósceles (B) retângulo (C) equilátero (D) normal (E) escaleno

Resolução

Aqui não há discussão. O triângulo é chamado de equilátero.

Letra C

17. (EPPGG – MPOG 2000/ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, e , onde , , são números reais. Sabendo que o ângulo oposto ao cateto que mede é igual a 45º, segue-se que: a) 2 b) 3 2

c) 3 d) e) 2 Resolução



O triângulo é retângulo e um dos ângulos agudos mede 45º. Vamos considerar que a medida do terceiro ângulo é x. Pela Lei Angular de Tales,

45° 90° 180°

45°

Portanto, os ângulos do triângulo são 45º, 45º e 90º.

Como o triângulo possui dois ângulos congruentes, então ele é isósceles (também possui dois lados congruentes). Como a hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo, podemos concluir que os catetos são iguais.

Letra D

6. Teorema de Tales

Antes de enunciar o Teorema de Tales propriamente dito, vamos definir algumas coisas...

Feixe de retas paralelas é um conjunto de retas paralelas (em um mesmo plano) entre si. Uma reta é transversal a este feixe se concorre com todas as retas do feixe.

d

c

b

a

Feixe de retas paralelas

Transversais



Pois bem, o Teorema de Tales afirma que se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.

Na figura anterior, podemos afirmar, por exemplo, que:

18. (Pref. de Taquarivaí 2006/CETRO) Na figura abaixo, as retas R, S e T são paralelas. Então o valor de X será de:

(A) 6 (B) 5 (C) 3 (D) 4 (E) 2 Resolução O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.

Assim,

48

2 25 1

4 · 5 1 8 · 2 2

20 4 16 16

4 20

5 Letra B

19. (Prefeitura Municipal de São José – FEPESE/2007) Tales de Mileto foi um grande matemático grego que conseguia calcular a altura de pirâmides. O famoso Teorema de Tales poderá ajudar você a encontrar as medidas indicadas na figura,



sendo que as retas r, s e t são paralelas e a distância entre os pontos A e B é igual a 21.

Assinale a alternativa que represente o produto dos valores x e y.

a) 36. b) 42. c) 49. d) 96. e) 98.

Resolução

O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.

Observe que o segmento de comprimento 10 na reta da esquerda corresponde ao segmento de comprimento y na reta da direita. O segmento de comprimento 30 (10+20) na reta da esquerda corresponde ao segmento AB de comprimento 21 (este valor encontra-se no enunciado). Assim,

1030 21

Em toda proporção, o produto dos meios (30 e y) é igual ao produto dos extremos (10 e 21).

30 · 10 · 21

30 · 210

7

Como o segmento AB mede 21 e y=7, então o segmento de comprimento 2x+2 mede 14.



2 2 14 2 12

6 O produto dos valores x e y é 6 x 7 = 42. Letra B 20. (AFC 2005/ESAF) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta transversal, A, segmentos que medem 2 cm, 10 cm e 18 cm, respectivamente. Esse mesmo feixe de retas paralelas determina sobre uma reta transversal, B, outros três segmentos. Sabe-se que o segmento da transversal B, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 90 cm. Desse modo, as medidas, em centímetros, dos segmentos sobre a transversal B são iguais a: a) 6, 30 e 54 b) 6, 34 e 50 c) 10, 30 e 50 d) 14, 26 e 50 e) 14, 20 e 56 Resolução Vamos construir uma figura que descreva bem a situação acima. O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.

Observe que, na reta A, o segmento compreendido entre a primeira e a quarta reta paralela do feixe mede 2 10 18 30. O seu segmento correspondente na reta B mede 90 cm (exatamente o triplo). Então os segmentos correspondentes na reta B de 2, 10 e 18 serão exatamente o triplo. Podemos afirmar que:

90

c

b

a

30

18

10

2

A B



3 · 2 6 3 · 10 30 3 · 18 54

Letra A

7. Teorema de Pitágoras e suas aplicações Vamos considerar um triângulo retângulo.

O maior lado de um triângulo retângulo sempre fica oposto ao ângulo reto e é chamado de hipotenusa. Na figura acima, a hipotenusa é o lado a. Os outros lados são chamados de catetos.

Vimos anteriormente que o Teorema de Pitágoras afirma que um triângulo é retângulo se e somente se .

Vamos ver duas aplicações imediatas do Teorema de Pitágoras e em seguida resolver alguns problemas envolvendo diretamente este assunto.

I. Diagonal do quadrado

Vamos considerar um quadrado de lado ℓ.

Um quadrado, por definição, é um quadrilátero regular, ou seja, possui todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes (retos).

Pelo Teorema de Pitágoras:

ℓ ℓ

2ℓ

c a

b

ℓ

ℓ

ℓ

ℓ



ℓ√2

Desta forma, a diagonal de um quadrado de lado 5 mede 5√2 .

II. Altura do triângulo equilátero

Por definição, a altura de um triângulo equilátero é um segmento que parte de um vértice e atinge o lado oposto formando um ângulo reto.

Há uma propriedade que diz que a altura de um triângulo equilátero divide o lado oposto em dois segmentos de mesmo comprimento. Então se considerarmos que o lado do triângulo equilátero é igual a ℓ, então o lado oposto fica dividido em dois segmentos de comprimento ℓ/2.

Pelo Teorema de Pitágoras, podemos afirmar que:

ℓℓ2

ℓℓ4

Vamos multiplicar os dois membros da equação por 4 para eliminar o denominador.

4ℓ 4 ℓ

3ℓ 4

3ℓ4

ℓ√32

Desta forma, a altura de um triângulo equilátero com 4 de lado é igual a:

4√32

2√3

21. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Os catetos de um triângulo retângulo medem 9 cm e 12 cm. O perímetro desse triângulo é igual a:

ℓ/2

ℓℓ



a) 36 cm b) 38 cm c) 40 cm d) 42 cm e) 44 cm

Resolução

“O teorema de Pitágoras fora impresso em milhões, se não bilhões, de mentes humanas. É o teorema fundamental que toda criança inocente é forçada a aprender.”

Simon Singh O Último Teorema de Fermat – Editora Record

O teorema de Pitágoras nos diz que em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. Vamos decodificar esta frase.

Tem um triângulo retângulo na história. Ei-lo:

A hipotenusa de um triângulo retângulo é o lado oposto ao ângulo reto. É sempre o maior lado do triângulo retângulo. No nosso exemplo, é o lado de medida a. Os outros lados, adjacentes ao ângulo reto, são chamados de catetos. O teorema de Pitágoras afirma que:

Os catetos do problema medem 9 cm e 12 cm. Podemos calcular a hipotenusa com o auxílio do teorema de Pitágoras.

9 12

81 144

ab

c



225

15

O perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados. É comum em geometria plana indicar o perímetro por 2 (desta forma o semiperímetro é indicado por .

2 9 12 15 36

Letra A

22. (ATRFB 2009/ESAF) Duas estradas retas se cruzam formando um ângulo de 90º uma com a outra. Qual é o valor mais próximo da distância cartesiana entre um carro que se encontra na primeira estrada, a 3 km do cruzamento, com outro que se encontra na segunda estrada, a 4 km do cruzamento?

a) 5 km

b) 4 km

c) 24 km

d) 3 km

e) 25 km

Resolução.

A figura abaixo representa a situação dada:

Vamos chamar a distância entre os dois carros de x.



O triângulo de lados 3, 4, e x é retângulo. A hipotenusa, que é o maior lado, vale x. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:

222 43 +=x

251692 =+=x

5=x

Letra A 23. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Durante um vendaval, um poste de iluminação de 18 metros de altura quebrou-se em um ponto a certa altura do solo. A parte do poste acima da fratura, inclinou-se, e sua extremidade superior encostou no solo a uma distância de 12 metros da base dele. Calcule a quantos metros de altura do solo quebrou-se o poste. (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 (E) 2

Resolução

O poste quebrado está mais espesso no desenho. Se o segmento vertical mede x metros, então o segmento inclinado medirá 18 – x, já que a soma dos dois segmentos deve ser 18 m (altura do poste).

Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo.



12 18

12 18

144 324 36

36 324 144

36 180

5

Letra B

24. (ENAP 2006/ESAF) A base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que a altura relativa à base. Sabendo-se que o perímetro deste triângulo é igual a 36 metros, então a altura e a base medem, respectivamente a) 8 m e 10 m. b) 12 m e 10 m. c) 6 m e 8 m. d) 14 m e 12 m. e) 16 m e 14 m.

Resolução

Todo triângulo isósceles possui dois lados congruentes. O lado não-congruente é chamado de base. A altura relativa à base divide-a em dois segmentos de mesmo comprimento: chamemo-los de x. Assim, a base mede 2x. Como a base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que a altura relativa à base, então essa altura mede 2x+2. Chamaremos os lados congruentes de y.

O enunciado nos informou que o perímetro do triângulo é igual a 36. Assim,

2 36

2 2 36

Dividindo ambos os membros por 2, temos

18



18 çã

Ao traçarmos a altura relativa a base, obtemos dois triângulos retângulos que podemos aplicar o Teorema de Pitágoras.

2 2 çã

Agora precisaríamos resolver este sistema de duas equações.

Os valores de x e y que atenderem às duas equações simultaneamente são a nossa solução.

Só que estas equações não são nada amigáveis. Dá certo trabalho resolvê-las.

Então vamos parar um pouco para analisar as alternativas.

Como a altura é maior que a base (informação dada no próprio enunciado), já podemos descartar algumas alternativas:

a) 8 m e 10 m.

b) 12 m e 10 m.

c) 6 m e 8 m.

d) 14 m e 12 m.

e) 16 m e 14 m.

Vamos testar a letra B. A base seria 10 m. Logo, metade da base valeria 5 m.

5=x

Da equação I, temos:

xy −= 18 13=⇒ y

Vamos substituir estes valores de x e y na equação II, para ver se ela é obedecida. 222 )22( xxy ++=

222 5)252(13 ++×=

25144169 +=

169169 =

As duas equações foram obedecidas. Logo, esta é a alternativa correta.

Vamos agora resolver o sistema utilizando a força braçal.

18 çã

2 2 çã

Como 18 ,



2 2 18

4 8 4 324 36

4 44 320 0

Dividindo ambos os membros por 4, obtemos:

11 80 0

√ 42

11 11 4 · 1 · 802 · 1

11 √4412

11 212

Como x > 0, então

11 212

5 A base é 2x, logo a base é

2 2 · 5 10 Como a altura é 2x+2, então

2 · 5 2 12 Letra B

25. (RIOPREVIDENCIA 2010/CEPERJ) Na figura abaixo, os ângulos de vértices B e C são retos, AB = 9m, BC = 11m e CD = 4m.



Então, entre as alternativas abaixo, a que mais se aproxima da distância entre os pontos A e D é:

a) 15m b) 16m c) 17m d) 19m e) 21m

Resolução

Já que o objetivo é calcular a distância entre os pontos A e D, o primeiro passo é traçar um segmento que ligue estes dois pontos.

Vamos também prolongar o segmento AB para a direita até o ponto E, de forma que BE = CD.

Vamos ligar o ponto D ao ponto E. Obviamente 11.

Está formado o triângulo retângulo ADE.

O cateto AE mede 13, o cateto DE mede 11 e queremos calcular a hipotenusa AD.

Vamos aplicar o Teorema de Pitágoras que diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

11 13

290

O problema pede o valor mais próximo da medida de AD. Observe que 17 289, portanto:

17

Letra C

26. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O terreno de uma grande fazenda é muito plano. Certo dia, o fazendeiro saiu de casa com seu jipe e andou 11 km para o norte. Em

4

9 4E

11



seguida, andou 6 km para o leste, 3 km para o sul e 2 km para oeste. Neste ponto, a distância do fazendeiro à sua casa é de, aproximadamente:

a) 7 km b) 8 km c) 9 km d) 10 km e) 11 km

Resolução

O trajeto feito pelo fazendeiro é o seguinte:

Para calcular a distância do fazendeiro até sua casa, devemos ligar o ponto inicial e o ponto final do trajeto. Podemos formar um triângulo retângulo como é feito na figura abaixo.

Devemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo vermelho.

8 4

80

Como 9 81, então:

2

11

3

6



9

Letra C

8. Semelhança de Triângulos

Observem os dois triângulos da figura abaixo:

Eles são muito parecidos. Pegamos o triângulo menor, da esquerda, e demos um zoom. Com isso, chegamos ao triângulo da direita. Quando isso acontece, dizemos que os triângulos são semelhantes. Um é o outro “aumentado”.

Explicação meio “grosseira” esta que nós demos, né?

Bom, melhorando um pouquinho a definição, dizemos que dois triângulos são semelhantes se e somente se possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos (correspondentes) proporcionais.

Dois triângulos são semelhantes se e somente se possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos (correspondentes) proporcionais.

Os segmentos correspondentes são proporcionais. Isto é:

A constante de proporcionalidade é a chamada razão de semelhança.

Esta constante indica em quantas vezes precisamos aumentar o triângulo menor para chegar no maior. Ou seja, ela nos diz de quantas vezes foi o “zoom”.

a a’

b' c'

b c



Exemplo: se a razão de semelhança é 3, isto significa que pegamos cada lado do triângulo pequeno e triplicamos. Com isso, obteremos o triângulo grande.

Se a razão entre os segmentos correspondentes dos triângulos é , pode-se afirmar que a razão entre as áreas dos triângulos é .

Isto significa que se multiplicamos os lados de um triângulo por 4, então a área será multiplicada por 16 = 4².

27. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Em um terreno plano, a sombra de um prédio, em determinada hora do dia, mede 15m. Próximo ao prédio, e no mesmo instante, um poste de 5m. de altura, produz uma sombra que mede 3m. A altura do prédio, em metros, é: (A) 75 (B) 45 (C) 30 (D) 29 (E) 25

Resolução

Os dois triângulos acima são semelhantes, assim:

1553

3 75

25

Letra E



28. (Prefeitura Municipal de Mairinque 2009/CETRO) Uma criança está ao lado de um poste. Sabe-se que ela mede 80cm e que a medida da sombra do poste é de 5,4 metros. Se a sombra da criança mede 60cm, então, a altura do poste é de (A) 6,2 metros. (B) 6,6 metros. (C) 6,8 metros. (D) 7,0 metros. (E) 7,2 metros.

Resolução

Os dois triângulos acima são semelhantes, assim:

5,48060

60 432

7,2

Letra E

29. (APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Um poste de 8m de altura tem no alto uma forte lâmpada. Certa noite, uma criança de 1,60m de altura ficou parada a uma distância de 6m do poste. O comprimento da sombra dessa criança no chão era de:

a) 1,5m b) 1,6m c) 1,75m d) 1,92m e) 2,00m

Resolução

8

1,6



Usemos a semelhança dos triângulos:

â â

â â

6 81,6

65

5 6

4 6

1,5

Letra A

30. (ENAP 2006/ESAF) A razão de semelhança entre dois triângulos, T1, e T2, é igual a 8. Sabe-se que a área do triângulo T1 é igual a 128 m2. Assim, a área do triângulo T2 é igual a a) 4 m2. b) 16 m2. c) 32 m2. d) 64 m2. e) 2 m2.

Resolução

Relembremos uma propriedade importantíssima:

A razão entre as áreas de duas superfícies semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança.

Assim,

1288

12864

64 · 128

2

6 x



Letra E

31. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O triângulo retângulo ABC da figura abaixo tem catetos AB = 8 e AC = 6. Pelo ponto M, médio da hipotenusa, traçou-se o segmento MN perpendicular a BC. O segmento AN mede:

a) 7/4 b) 2 c) 9/4 d) 5/2 e) 11/4

Resolução

Vamos calcular o valor da hipotenusa do triângulo retângulo ABC.

8 6

100

10

Observe que os triângulos ABC e MNB são semelhantes: ambos são triângulos retângulos e têm um ângulo em comum B. Vamos chamar o ângulo B de . O outro ângulo agudo do triângulo ABC e o outro ângulo agudo do triângulo MNB serão chamados de .



Como o ponto M é o ponto médio da hipotenusa BC, então 5.

Os triângulos ABC e MNB são semelhantes.

â â

â â

1058

8 · 5 · 10

508

6,25

6,25 8

1,75175100

74

Letra A

9. Quadriláteros

De acordo com a teoria já vista, os quadriláteros (polígonos com 4 lados) possuem 2 diagonais a soma dos ângulos internos é igual a 360º.



Os quadriláteros notáveis são os trapézios, os paralelogramos, os retângulos, os losangos e os quadrados.

I. Trapézios

Um quadrilátero é um trapézio se e somente se possui dois lados paralelos. Os lados paralelos do trapézio são as bases.

De acordo com os dois lados que não são bases, temos:

- trapézio escaleno (como o da figura acima), se estes lados não são congruentes.

- trapézio isósceles (como o da figura abaixo), se estes lados são congruentes.

O trapézio é retângulo quando possui dois ângulos retos.

Base Menor (b)

Base Maior (B)



Em qualquer trapézio, os ângulos opostos são suplementares (a soma é 180º).

180°

Se o trapézio é isósceles, então os ângulos da base são congruentes.

O segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é chamado de base média e a sua medida é igual à média aritmética das bases.

2

A área de um trapézio qualquer é calculada da seguinte forma:

·2

Onde é a altura do trapézio. A altura do trapézio é a distância entre as bases.

II. Paralelogramo

Um quadrilátero é paralelogramo se e somente se possui os lados opostos paralelos.

c b

d a

a a

b b

Base Menor (b)

Base Maior (B)

BM



Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes e os ângulos adjacentes são suplementares (a soma é 180º).

Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.

As diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio.

A área do paralelogramo é o produto da base pela altura. A altura é a distância entre as bases.

·

III. Losango

Um quadrilátero é losango se e somente possui os quatro lados congruentes (quadrilátero equilátero).

Todo losango é um paralelogramo.

As diagonais de um losango são perpendiculares (formam quatro ângulos retos.

Como todo losango é um paralelogramo, então os losangos possuem todas as propriedades dos paralelogramos.

A área do losango é o semi-produto das diagonais.

2

IV. Retângulo

Um quadrilátero é um retângulo se e somente se possui os quatro ângulos retos.

O retângulo é um quadrilátero equiângulo (ângulos com mesma medida).



Todos os retângulos são paralelogramos.

As diagonais do retângulo são congruentes e podem ser calculadas com o auxílio do Teorema de Pitágoras.

A área de um retângulo é igual ao produto dos lados (base vezes altura).

V. Quadrado

Um quadrilátero é um quadrado se e somente se é equilátero e equiângulo (quadrilátero regular).

Seus quatro ângulos são retos e os quatro lados são congruentes.

Podemos afirmar que o quadrado é um quadrilátero que é simultaneamente retângulo e losango.

Já vimos que um quadrado de lado ℓ tem diagonal com medida ℓ√2.

A área de um quadrado é igual ao quadrado do lado.

ℓ

32. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Para construir um jardim, um jardineiro recebeu as seguintes recomendações da dona da casa: o jardim tem que ocupar uma área de 36m2, perímetro de 26m e formato retangular. As dimensões desse jardim são de: (A) 2m e 18m (B) 20m e 6m (C) 4m e 9m

d

b

a



(D) 3m e 12m (E) 10m e 16m

Resolução

A área é o produto do comprimento da base pelo comprimento da altura. Assim, temos que · 36

Como o perímetro é igual a 26m, então

2 2 26


13

Devemos pensar em dois números cuja soma é 13 e o produto é 36. Podemos testar as alternativas ou resolver o sistema. Rapidamente verificamos que a alternativa C satisfaz as condições do problema.

13

13

Substituindo essa expressão na equação (I):

· 36

· 13 36

13 · 36

13 36 0

√ 42

13 13 4 · 1 · 362 · 1

13 √169 1442

13 52



Assim, 9 13 9 4

Ou 4 13 4 9.

Logo, as dimensões são 4m e 9m.

Letra C

33. (Assistente de Informática – Pref. de Itapeva 2006/CETRO) A soma das áreas de dois quadrados é de 25 m2 e a soma dos seus perímetros é igual a 28m. Portanto, as medidas dos lados x e y desses quadrados são, respectivamente:

Obs.:Figuras fora de escala. (A) 3m e 4m (B) 3,5m e 3,5m (C) 5m e 2m (D) 7m e 7m (E) 20m e 8m

Resolução

A área de um quadrado é igual ao quadrado do seu lado.

Assim, um quadrado de lado ℓ tem área ℓ .

A soma das áreas é igual a 25 m2. Podemos escrever que

25

Os quatro lados de um quadrado têm a mesma medida. Assim, o perímetro do primeiro quadrado é 4x e o perímetro do segundo quadrado é 4y. Como a soma dos perímetros é 28m, temos que

4 4 28


7

Neste ponto, podemos testar as alternativas e marcar a letra A.

Isolando o y:

7

Devemos agora substituir na primeira equação para encontrarmos os valores das incógnitas:



25

7 25

49 14 25

2 14 24 0

Dividindo ambos os membros por 2,

7 12 0

√ 42

7 7 4 · 1 · 122 · 1

7 12

Assim, 4 3

Ou 3 4

Assim, as dimensões são 3m e 4m.

Letra A

34. (Analista de Sistemas – UDESC – FEPESE/2010) Seja ABCD o paralelogramo abaixo, e seja E um ponto no segmento AD, conforme descrito na figura abaixo:

Sabendo que AB = 5, AE = 3 e AD = 8, a área do paralelogramo ABCD é: a) 15. b) 24. c) 30. d) 32. e) 40. Resolução

A área de um paralelogramo é o produto do comprimento da base pelo comprimento da altura. O comprimento da base AD já foi fornecido: 8.

Precisamos calcular o comprimento da altura do paralelogramo. A altura é a distância entre as bases: o segmento BE.



Para calcularmos o comprimento de BE, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras (já visto na aula passada) no triângulo ABE.

Os valores 5 e 3 foram fornecidos no enunciado. O Teorema de Pitágoras diz que um triângulo é retângulo se e somente se a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Assim,

3 5

9 25

16

4

Assim, a área do paralelogramo é dada por

Á · 8 · 4 32

Letra D

35. (Pref. Municipal de Arujá 2006/CETRO) Em um trapézio, os lados paralelos medem 16m e 44m, e os lados não paralelos, 17m e 25m. A área do trapézio, em m2, é: (A) 600. (B) 550. (C) 500. (D) 450. (E) 400

Resolução

Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se e somente se possui dois lados paralelos.



Lembremos a fórmula da área de um trapézio:

·2

Onde B é a base maior, b é a base menor e h é a altura. Para calcularmos a altura, devemos projetar a base menor sobre a base maior.

A base maior ficou dividida em três segmentos. O da esquerda foi chamado de x. O do meio é igual à base menor: 16. Já que a base maior mede 44, então o segmento da esquerda mede 44 – x – 16 = 28 – x.

Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo da esquerda:

17

289

Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo da direita:

28 25

784 56 625

Sabemos por (I) que 289.

Assim,

784 56 289 625



1.073 56 625

56 448

8

Voltemos para (I).

289

8 289

289 64

225

15 A fórmula da área de um trapézio:

·2

44 16 · 152

60 · 152

450

Letra D

10. Circunferência e Círculo

Circunferência é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado (centro) desse plano é igual a uma distância dada (raio). O dobro do raio é denominado diâmetro. Portanto, um diâmetro é um segmento que tem as duas extremidades no círculo e que passa pelo seu centro.

Círculo é a reunião da circunferência com o seu interior. Portanto, o círculo é uma região do plano e a circunferência é apenas a linha que delimita o círculo.

Como a circunferência é uma linha, podemos calcular o seu comprimento.

r



Como o círculo é uma região, podemos calcular a sua área.

Existe um número muito famoso em matemática chamado (pi). Este é um número irracional e suas primeiras casas decimais são:

3,1415926535 …

Pois bem, o comprimento da circunferência é dado por:

2

A área do círculo é dada por:

36. (APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) A figura a seguir mostra três circunferências com centros em A,B e C, tangentes entre si duas a duas.

As distâncias entre os centros são conhecidas: AB = 34, BC = 18 e CA = 30. O raio da circunferência de centro A é:

a) 24 b) 23 c) 22 d) 21 e) 20

Resolução

Havendo circunferências tangentes, é importantíssimo ligar os centros.



AB = 34, BC = 18 e CA = 30

Temos o seguinte sistema:

34 18 30

Este é um sistema linear muito famoso em questões de matemática. É um sistema com 3 incógnitas. Só que em cada equação aparece a soma de duas das três incógnitas. O processo mais rápido para resolver esse tipo de sistema é o seguinte:


Nosso objetivo é calcular o raio da circunferência de centro A. Logo, queremos calcular o valor de .

O termo não aparece na segunda equação. Portanto, multiplicaremos os dois membros da segunda equação por -1. Em seguida somaremos as três equações. Desta forma, serão cancelados.

34 18

30

34 18 30

2 46

23



Letra B

37. (TRT-SC 2005/FEPESE) Um círculo de área 16π está inscrito em um quadrado. O perímetro do quadrado é igual a: a) 32 b) 28 c) 24 d) 20 e) 16

Resolução

A área de um círculo de raio r é igual a .

Como a área é igual a 16 , então

16

16

4

O círculo está inscrito em um quadrado.

Observe que o lado do quadrado é igual ao dobro do raio do círculo (diâmetro).

Assim, ℓ 2 · 4 8.

O perímetro do quadrado é igual a

2 ℓ ℓ ℓ ℓ 4 · ℓ 4 · 8 32

Letra A

38. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A figura abaixo é formada por um quadrado de lado 6m “cortado” por um arco de circunferência.



Considerando =3,14, a área da região pintada de preto é de (A) 7,74m² (B) 7,98m² (C) 8,42m² (D) 8,86m² (E) 9,12m² Resolução A área de um quadrado de lado é igual a . A área de uma circunferência de raio é igual a . Observe que a região branca é um quarto de círculo. Portanto, a área da região pintada de preto é igual à área do quadrado menos a área branca. Lembrando que a área branca é igual à área do círculo dividida por 4.

í / ℓ4

63,14 · 6

47,74

Letra A 39. (APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Um ladrilho branco quadrado com 8 cm de lado tem no seu interior um círculo cinza de 2 cm de raio.

A porcentagem da superfície do ladrilho que está pintada de cinza é, aproximadamente:

a) 11% b) 14% c) 17% d) 20% e) 24%



Resolução

Vamos lembrar as fórmulas das áreas do quadrado e do círculo.

A área de um quadrado de lado é igual a .

Portanto, a área do quadrado é igual a 8 64 .

A área de um círculo de raio é igual a . ( 3,1415926535 …

Portanto, a área do círculo é igual a · 2 4 4 · 3,14 12,56

Para calcular a porcentagem da superfície do ladrilho que está pintada de cinza devemos dividir a área do círculo pela área do quadrado e multiplicar por 100%.

12,5664 · 100%

125664 % 19,625%

Letra D

40. (BADESC 2010/FGV) Uma circunferência de centro em O está inscrita em um quadrado de vértices A, B, C e D, como ilustrado. P, Q e R são pontos em que a circunferência toca o quadrado.

Com relação à figura, analise as afirmativas a seguir: I. A área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a metade da área total do quadrado. II. A distância de A até O é menor do que a metade da medida do lado do quadrado. III. O percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto do que o feito por sobre os lados do quadrado. Assinale: (A) se somente a afirmativa I estiver correta. (B) se somente a afirmativa II estiver correta.



(C) se somente a afirmativa III estiver correta. (D) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. (E) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.

Resolução

Se o raio da circunferência for igual a , então o lado do quadrado é igual a 2 .

Comprimento da circunferência: 2 r

Área do círculo:

Área do quadrado: ℓ 2 4


I. A área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a metade da área total do quadrado. Para calcular a área interior ao quadrado e exterior à circunferência, devemos calcular a diferença entre a área do quadrado e a área do círculo.

ã

ã 4

Usando uma boa aproximação para o número 3,14:

ã 4 3,14 0,86

Como á área do quadrado é 4 , então a metade da área do quadrado é 2 .

Portanto, a área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a metade da área total do quadrado.

0,86 2

O item é verdadeiro.

II. A distância de A até O é menor do que a metade da medida do lado do quadrado.



O triângulo em destaque na figura é retângulo de catetos iguais a . A distância AO pode ser calculada pelo Teorema de Pitágoras:

2

√2

Portanto, a distância de A até O é maior do que a metade da medida do lado do quadrado. Isto porque a metade da medida do lado do quadrado é igual ao raio da circunferência e √2 .

O item é falso.

III. O percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto do que o feito por sobre os lados do quadrado.



O percurso PQR feito por cima da circunferência equivale a 1/2 do comprimento da circunferência.

12 · 2

22 3,14 ·

O mesmo percurso feito pelos lados do quadrado:

Este comprimento é igual a 4 .

Como 3,14 4 , o percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto do que o feito por sobre os lados do quadrado. O item é verdadeiro.

Letra D

41. (SEE-RJ 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra duas semicircunferências de diâmetros AB e AC.

Se AB = 2 e BC = 1, a razão R/S entre as áreas das regiões R e S mostradas na figura é: A) 0,5 B) 0,6 C) 0,8 D) 1 E) 1,2

Resolução



Vamos calcular a área da região R que é uma semicircunferência.

Seu diâmetro AB mede 2, portanto seu raio mede 1. A área de uma semicircunferência é a metade da área de uma circunferência.

2· 12

2

Vamos calcular o raio da semicircunferência maior. Seu diâmetro é igual a:

2 1 3

Como o raio é a metade do diâmetro, então o raio da semicircunferência maior é igual a 3/2.

A área da região S é igual à área da semicircunferência maior menos a área da região R.

2

· 32

2 2· 9

42 2

98 2

9 48

58

A razão R/S entre as áreas das regiões R e S mostradas na figura é:

258

2·

85

810

0,8

Letra C

42. (ATRFB 2009/ESAF) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5 cm de raio está encostada em um cone circular reto em pé com raio da base de 5 cm e 5 cm de altura. De quantos cm é a distância entre o centro da base do cone e o ponto onde a esfera toca na superfície?

a) 5

b) 7,5

c) 5 + 2/25

d) 25

e) 10.



Resolução.

Uma esfera é uma figura com formato de uma bola de futebol. Um cone é uma figura com formato daqueles “chapéus de palhaço” que vemos em festa de aniversário de criança.

Segue o desenho de um cone:

A base de um cone é uma circunferência. Seu perfil é de um triângulo.

A figura abaixo representa uma esfera, encostada num cone, ambos sobre uma superfície horizontal.

A esfera foi desenhada de modo que seu raio é igual à altura do cone (ambas valem 5).

Seja d a distância perguntada (entre o centro da base do cone e o ponto em que a esfera toca o solo).



Como os pontos P e Q estão a uma mesma distância em relação ao solo, então eles estão ao longo de uma mesma horizontal.

Com isso, o segmento PQ tem medida igual à d.

Seja R o ponto em que a circunferência toca o cone:

O ângulo entre o raio da circunferência e o segmento de reta tangente à circunferência é de 90º. Assim, o ângulo destacado em vermelho na figura abaixo é de 90º:

Agora vamos observar o triângulo PST na figura abaixo:



O segmento PS é altura. Portanto, é perpendicular ao solo. Logo, o triângulo é retângulo. O ângulo PST, também destacado em vermelho, é de 90º.

O segmento ST corresponde ao raio da base do cone. Logo, seu comprimento é 5. Com isso, o triângulo PST é isóceles, pois possui dois lados iguais entre si, com ambos valendo 5 cm.

Como o triângulo PST é isóceles, então os outros dois ângulos deste triângulo devem ser iguais entre si. Lembrando que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180º, temos que cada um dos ângulos restantes, destacados em azul, valem 45º.

O ângulo entre os segmentos PS e PQ é de 90º (pois é um ângulo entre uma vertical e uma horizontal).

Como o ângulo SPR é de 45º (ver figura acima), o ângulo restante, RPQ, também é de 45º, para que a soma entre ambos seja de 90º.



Agora vamos analisar o triângulo PRQ. Ele também é retângulo. Já sabemos dois de seus ângulos. Um vale 45º e outro vale 90º (ver figura acima).

Logo, o ângulo restante deve ser de 45º, para que a soma dê 180º.

Disto resulta que o triângulo PQR tem dois ângulos de 45º. Logo, é um triângulo isósceles. Apresenta dois lados iguais. Portanto, os segmentos RQ e RP têm a mesma medida.

Como RQ é raio da circunferência, vale 5 cm.

O triângulo PQR é retângulo. Portanto, obedece ao teorema de Pitágoras:

222 55 d=+ 2252 d=×



25=d Letra D

I. Corda, diâmetro e tangentes

Corda de uma circunferência é um segmento cujas extremidades pertencem à circunferência.

O diâmetro de uma circunferência é uma corda que passa pelo seu centro (ver segmento em azul na figura acima). O comprimento do diâmetro é o dobro do comprimento do raio.

Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto. A reta “toca” a circunferência.

As retas tangentes são perpendiculares aos raios traçados no ponto de tangência.

Há uma propriedade muito importante referente à retas tangentes.

Considere uma circunferência qualquer e marque um ponto P fora dela. A partir deste ponto P, trace duas retas tangentes à circunferência.



Pois bem, estas duas retas tangentes tocam a circunferência em dois pontos distintos A e B. O teorema afirma que PA é igual a PB, ou seja, a distância de P até A é igual à distância de P até B.

Em suma, o segmento azul tem o mesmo comprimento do segmento vermelho.

Pois bem, a partir deste teorema, podemos inferir outro teorema (corolário) que é imediato.

Vamos traçar uma circunferência. A partir desta circunferência vamos desenhar um quadrilátero de forma que todos os lados do quadrilátero sejam tangentes à circunferência. Dizemos que o quadrilátero é circunscrito à circunferência. Da mesma forma, podemos dizer que a circunferência é inscrita ao quadrilátero.

Bom, a figura fica assim:

Os segmentos tangentes que forem congruentes, vamos colocar com cores iguais.

Vamos somar os pares de lados opostos: AB com CD e AD com BC.

Lembre-se que os segmentos de mesma cor são congruentes, ou seja, têm a mesma medida.

B

A

P

CB

A D



Portanto,

Resumindo o teorema diz o seguinte: um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência se e somente se a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois.

Esses dois teoremas já apareceram na ESAF...

Vamos ver como foi!

43. (MPOG 2005/ESAF) Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmentos tangentes a uma circunferência, então as medidas dos segmentos determinados pelo ponto P e os respectivos pontos de tangência serão iguais. Sabe-se que o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo mede 1 cm. Se a hipotenusa desse triângulo for igual a 20 cm, então seu perímetro será igual a:


Resolução.

Um círculo é inscrito ao triângulo quando ele está dentro do triângulo, tangenciando todos os seus lados. A figura abaixo representa as informações do enunciado:

O raio do círculo mede 1 cm. O raio é o segmento de reta que parte do centro do círculo e termina na sua extremidade.

Abaixo desenhamos dois raios:



O ângulo entre o raio e o lado do triângulo, no ponto de tangência, é 90º. Logo, os dois ângulos destacados em vermelho, abaixo, são de 90º:

Como o triângulo é retângulo, o ângulo destacado em azul também é de 90º. Por fim, como a soma dos ângulos de um quadrilátero é 360º, o ângulo destacado em verde é também de 90º.

Com isso, podemos concluir que os dois segmentos abaixo medem 1 cm:

Agora vem a informação dada pela questão. Observem os segmentos a e b acima. Eles partem de um mesmo ponto. E ambos tangenciam a circunferência. Quando isso acontece, os dois segmentos têm a mesma medida.

Repetindo:



- dados dois segmentos, de medidas a e b, que partem de um mesmo ponto

- ambos terminam sobre a circunferência, tangenciando-a.

Logo:

ba =

Isto vale sempre, para qualquer circunferência.

Com o mesmo raciocínio, temos que dc = . Nossa figura fica assim:

A hipotenusa do triângulo vale 20 cm. Logo:

20=+ ca

A questão pede o perímetro do triângulo. O perímetro é dado pela soma de todos os seus lados. O perímetro fica:

Perímetro = ?)1()1()( =+++++ caac

= 222 ++ ca

Lembrando que 20=+ ca , temos:

Perímetro = 2)(2 ++× ca

= 422202 =+×

Letra D

44. (Enap 2006/ESAF) Considere um triângulo ABC cujos lados, AB, AC e BC medem, em metros, c, b e a, respectivamente. Uma circunferência inscrita neste triângulo é tangenciada pelos lados BC, AC e AB nos pontos P, Q e R, respectivamente. Sabe-se que os segmentos AR , BP e CQ medem x, y e z metros, respectivamente. Sabe-se, também, que o perímetro do triângulo ABC é igual a 36 metros. Assim, a medida do segmento CQ, em metros, é igual a



a) 18 - c. b) 18 - x. c) 36 - a. d) 36 - c. e) 36 - x.

Resolução.

A figura abaixo representa a situação dada.

Os segmentos BR e BP partem do mesmo ponto B e terminam tangenciando a mesma circunferência. Logo, estes dois segmentos têm o mesmo comprimento. Assim, o segmento BR também mede y.

Com o mesmo raciocínio, temos que PC mede z e AQ mede x.



O exercício pede a medida do segmento CQ. Ou seja, pede-se o valor de z.

O perímetro do triângulo é igual a 36. Ou seja, a soma de todos os lados é 36.

36)()()( =+++++ yzzxxy

36)(2 =++ zyx

18=++ zyx

)(18 yxz +−=

O enunciado disse que o lado AB mede c metros. Portanto, concluímos que:

cyx =+

Deste modo:

)(18 yxz +−=

cz −=18

Letra A

45. (CGU 2008/ESAF) Um quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência possui os lados a, b, c e d, medindo (4 x - 9), (3 x + 3), 3 x e 2 x, respectivamente. Sabendo-se que os lados a e b são lados opostos, então o perímetro do quadrilátero é igual a:

a) 25 b) 30 c) 35 d) 40 e) 50

Resolução.



A figura abaixo representa um quadrilátero circunscrito a uma circunferência. Ou seja, o quadrilátero está do lado de fora e seus lados tangenciam a circunferência. Podemos também dizer que a circunferência está inscrita ao quadrilátero.

Vamos dar nomes aos pontos:

Já vimos que, se dois segmentos de reta partem de um mesmo ponto e terminam tangenciando a mesma circunferência, eles têm a mesma medida. Assim, os segmentos PD e PA têm a mesma medida. O mesmo vale para QA e QB. Ou para RC e RB. E também para SD e SC.

Na figura acima, estamos dizendo que PD e PA medem p. Estamos dizendo que QA e QB medem s. E assim por diante.

Vamos agora somar as medidas dos lados opostos.

PQ e SR são opostos. Somando-os, temos:

)()( rqsp +++

= srqp +++



PS e QR são opostos. Somando suas medidas, temos:

)()( rsqp +++

= srqp +++

Disto, concluímos que a soma dos lados opostos é constante. Isto vale sempre.

Em outras palavras: sempre que um quadrilátero for circunscrito a uma circunferência, as somas de seus lados opostos serão iguais entre si.

Nesta questão da CGU, os lados que medem a e b são opostos entre si. Consequentemente, c e d também são opostos entre si. Vamos somar os lados opostos.

67)33()94( −=++−=+ xxxba

xxxdc 523 =+=+

Como este quadrilátero está circunscrito a uma circunferência, as duas somas acima são iguais entre si.

3567 =⇒=− xxx

O perímetro do quadrilátero fica:

30636612 =−=−=+++ xdcba

Letra B

II. Relações entre cordas e secantes

Vejamos a relação entre cordas que existe em uma circunferência e a relação que existe entre os segmentos que cortam uma circunferência a partir de um ponto exterior.

“Se duas cordas de uma mesma circunferência se interceptam, então o produto das medidas das duas partes de uma é igual ao produto das medidas das duas partes da outra”.

Em suma, .



“Se por um ponto (P) exterior a uma circunferência conduzimos dois “segmentos secantes” (PB e PD), então o produto da medida do primeiro (PB) pela de sua parte exterior (PA) é igual ao produto do segundo (PD) pela de sua parte exterior (PD).”

Em suma, · · .

46. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Na circunferência abaixo:

Determine a medida x indicada. a) 3 b) 6 c) 7 d) 10 e) 12

Resolução

Pela teoria exposta,

6 · 5 · 2



6 5 10

10

Letra D

11. Triângulos, circunferências e áreas

Já falamos sobre as áreas dos quadriláteros e do círculo. Neste tópico, vamos falar sobre área de triângulos.

Podemos expressar a área do triângulo em função dos lados e suas respectivas alturas (os segmentos tracejados na figura abaixo são as alturas do triângulo).

Pois bem, a área do triângulo é igual a:

·2

A área do triângulo é igual à metade do produto do lado tomado como base pela altura referente a esta base.

Há uma fórmula conhecida como Fórmula de Heron (ou Herão) que fornece a área de um triângulo conhecendo-se apenas os seus lados.

No início da aula, falamos que o perímetro de um polígono, em geometria, é representado por 2 . O semi-perímetro, ou seja, a soma dos lados dividido por 2 é representado por .

Se os lados de um triângulo são iguais a , , , então:

2

A fórmula de Heron afirma que a área do triângulo é dada por:

· · ·

a

c b

ha



Há também uma importante fórmula da área do triângulo que expressa a sua área em função do raio da circunferência inscrita. E o que é uma circunferência inscrita?

É uma circunferência que fica dentro do triângulo de forma que os lados do triângulo sejam tangentes à circunferência. Bem parecido com aquele quadrilátero que mostramos anteriormente.

Pois bem, a fórmula da área do triângulo em função do raio da circunferência inscrita é a seguinte:

·

Onde p é o semi-perímetro e r é o raio da circunferência inscrita.

47. (Secretaria de Administração – Balneário Camboriú – FEPESE/2007) Um terreno tem a forma triangular, e seus lados medem 40 m, 90 m e 110 m. A área desse terreno, em metros quadrados, é: a) 1800√2 b) 2200 c) 1950 d) 1200√2 e) 240

Resolução

Existem diversas formas para calcular a área de um triângulo, a depender dos dados fornecidos. Já vimos duas: i) A metade do produto da base pela altura. ii) Produto do semiperímetro pelo raio da circunferência inscrita. Vejamos outra maneira: quando forem dados os três lados, calculamos a área utilizando a fórmula de Heron. Denotemos por “p” o semiperímetro. A área é dada por:

· · ·

O semiperímetro é a semi-soma dos lados.

40 90 1102

120

A área é igual a

120 · 120 40 · 120 90 · 120 110

√120 · 80 · 30 · 10

√12 · 8 · 3 · 10000



√288 · 10000

√2 · 144 · 10000

12 · 100√2

1200√2

Letra D

48. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Se em um triângulo os lados medem 12 cm, 16 cm e 20 cm, então a altura relativa ao maior lado mede: a) 10,3 cm. b) 6,0 cm. c) 7,2 cm. d) 5,6 cm. e) 9,6 cm.

Resolução

Sabemos que quando são dados os três lados de um triângulo, podemos calcular a área pela fórmula de Heron. Sabemos também que a área é a metade do produto da base pela altura (qualquer lado pode ser a base, e utilizamos a altura relativa a esse lado). O semiperímetro é dado por

12 16 202 24

A área é igual a

24 · 24 12 · 24 16 · 24 20

√24 · 12 · 8 · 4

Como 24 = 12 x 2,

√12 · 2 · 12 · 8 · 4

E 2 x 8 = 16,

√12 · 12 · 16 · 4

√144 · 16 · 4

12 · 4 · 2 96

A área é igual a 96 e pode ser calculada como a metade do produto da base pela altura. Como queremos calcular a altura relativa ao maior lado, tomaremos o lado de comprimento 20 como base.

·2

96



20 ·2

96

10 · 96

9,6

Letra E

49. (SUSEP 2010/ESAF) Um círculo está inscrito em um triângulo isósceles de base 6 e altura 4. Calcule o raio desse círculo. a) 1,50 b) 1,25 c) 1,00 d) 1,75 e) 2,00 Resolução

Pelo Teorema de Pitágoras, os lados congruentes do triângulo isósceles medem 5. Pois, se os lados congruentes medem x, então

3 4 25 5

A área do triângulo é igual à metade do produto da base pela altura. Assim,

·2

6 · 42

12 A área do triângulo pode ser expressa como o produto do semiperímetro (p) pelo raio da circunferência inscrita ao triângulo. Assim,

· 12

5 5 62

· 12

8 · 12 1,50

Letra A



12. Questões FGV

50. (Professor de Matemática – Pref. de Campinas 2008/FGV) A figura abaixo mostra um triângulo ABC e o ponto D sobre o lado AC.

Sabendo que e que 18°, então o ângulo mede:

a) 58º b) 60º c) 62º d) 64º e) 66º

Resolução

Vamos marcar na figura os segmentos congruentes (mesma medida).

Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

Portanto, os ângulos A e C têm a mesma medida, pois o triângulo ABC é isósceles.

Os ângulos CBD e BDC também são congruentes, pois o triângulo BCD é isósceles.



Sabemos ainda que o ângulo DBA mede 18º.

Queremos calcular o ângulo CDB = y.

A Lei Angular de Tales afirma que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180º.

Pois bem, olhemos o triângulo CBD, de ângulos x, y e y.

180°

2 180°

180° 2

Olhemos agora o triângulo ABC de ângulos x, x, e y+18º.

18° 180°

2 162°

Como 180° 2 , então:

2 · 180° 2 162°

360° 4 162

3 198°



66°

Letra E

51. (Professor de Matemática – Pref. de Campinas 2008/FGV) A órbita da Terra em torno do Sol é quase circular com raio aproximado de 150 milhões de quilômetros. A velocidade do nosso planeta em seu eterno percurso em volta do Sol é cerca de: (A) 2.000km/h. (B) 10.000km/h. (C) 50.000km/h. (D) 100.000km/h. (E) 200.000km/h.

Resolução

Para calcular tal velocidade, basta dividir a distância percorrida pelo tempo gasto.

O tempo é de 1 365 365 24 8.760

A distância é o comprimento de uma circunferência de raio 150 milhões de quilômetros. O comprimento da circunferência é 2 . Vamos utilizar a aproximação

3,14.

2 · 3,14 · 150.000.000 942.000.000 ô

A velocidade é aproximadamente:

942.000.000 8.760 107.000 /

Letra D

52. (Professor de Matemática – Pref. de Campinas 2008/FGV) Em um jardim há um gramado com a forma de um quadrilátero OABC. Esse gramado será ampliado tomando a forma do quadrilátero OA'B’C’, semelhante ao anterior, como mostra a figura abaixo.

Sabendo que a área do quadrilátero OABC é de 108 m², que OA =15 m e que AA’ = 5m, a área de grama nova (parte sombreada da figura que será plantada) é de:



a) 36 m² b) 48 m² c) 58 m² d) 76 m² e) 84 m²

Resolução

Na questão 30, vimos que:

A razão entre as áreas de duas superfícies semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança.

O lado horizontal do quadrilátero menor mede OA = 15 m e o lado horizontal do quadrilátero maior mede OA'= OA + AA’ = 15m + 5m = 20 m.

A razão de semelhança (do menor para o maior) é:

1520

34

A razão de semelhança entre as áreas é o quadrado desta razão calculada.

34

916

Á á Á á

916

108 916

9 108 · 16

192

Esta é a área do quadrilátero maior. A área da região sombreada é a diferença entre a área do quadrilátero maior e a área do quadrilátero menor.

Á 192 108 84

Letra E




01. (Prefeitura Municipal de São José – FEPESE/2007) Se dois ângulos são suplementares e a medida do maior é 35º inferior ao quádruplo do menor, assinale a alternativa que indica a medida do menor desses dois ângulos:

a) 25º b) 36º c) 43º d) 65º e) 137º

02. (Agente de Trânsito – Pref. de Mairinque 2006/CETRO) Na figura abaixo, as duas aberturas angulares apresentadas são suplementares. Qual o valor da medida do ângulo X?

(A) 100º 45’ (B) 106º 37’ (C) 98º 99’ (D) 360º (E) 111º 11’ 03. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas.

Se o ângulo a mede 44°30’ e o ângulo q mede 55°30’, então a medida do ângulo b é: a) 100°. b) 55°30’. c) 60°. d) 44°30”. e) 80°.



04. (CGU 2003-2004/ESAF) Os ângulos de um triângulo encontram-se na razão 2:3:4. O ângulo maior do triângulo, portanto, é igual a: a) 40° b) 70° c) 75° d) 80° e) 90°

05. (Assistente de Chancelaria – MRE 2002/ESAF) Num triângulo ABC, o ângulo interno de vértice A mede 60º. O maior ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos internos de vértices B e C mede: a) 45º b) 60º c) 90º d) 120º e) 150º

06. (Prefeitura Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Calcule o perímetro de um terreno retangular de medida 94 m e 36 m. (A) 320 m (B) 280 m (C) 260 m (D) 270 m (E) 300 m

07. (Agente de Trânsito – Pref. de Mairinque 2006/CETRO) Um pedreiro construiu um muro ao redor de um terreno retangular que tinha um perímetro de 96 metros. O comprimento desse terreno equivale ao triplo de sua largura. As dimensões desse terreno valem (A) 12 m por 36 m. (B) 25 m por 50 m. (C) 1 km por 12 km. (D) 15 m por 32 m. (E) 18 m por 36 m.

08. (Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Assinale a alternativa que corresponde ao número de diagonais de um icoságono. a) 340 b) 190. c) 170. d) 380. e) 95.

09. (AFT 2006/ESAF) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a: a) 11 b) 12 c) 10



d) 15 e) 18 10. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Um joalheiro recebe uma encomenda para uma jóia poligonal. O comprador exige que o número de lados seja igual ao número de diagonais. Sendo assim, o joalheiro deve produzir uma jóia (A) triangular. (B) quadrangular. (C) pentagonal. (D) hexagonal. (E) decagonal. 11. (SUSEP 2010/ESAF) A soma S1 dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados, com n ≥ 3, é dada por Si=(n-2).1800. O número de lados de três polígonos convexos, P1 , P2 , e P3, são representados, respectivamente, por (x-3), x e (x+3). Sabendo-se que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 32400, então o número de lados do polígono P2 e o total de diagonais do polígono P3 são, respectivamente, iguais a: a) 5 e 5 b) 5 e 44 c) 11 e 44 d) 5 e 11 e) 11 e 5 12. (APO-MPOG 2008/ESAF) Dois polígonos regulares, X e Y, possuem, respectivamente, (n+1) lados e n lados. Sabe-se que o ângulo interno do polígono A excede o ângulo interno do polígono B em 5º (cinco graus). Desse modo, o número de lados dos polígonos X e Y são, respectivamente, iguais a: a) 9 e 8 b) 8 e 9 c) 9 e 10 d) 10 e 11 e) 10 e 12 13. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra dois pentágonos regulares colados.

O valor do ângulo ABC é: A) 18o B) 20o C) 22o D) 24o E) 26o



14. (Prefeitura de São José 2009/FEPESE) Relacione as colunas 1 e 2. Cada número pode ser usado apenas uma vez.


Coluna 2 ( ) Triângulo cujos lados medem 6, 12 e 13 ( ) Triângulo cujos lados medem 5, 12 e 13 ( ) Triângulo cujos lados medem 6, 10 e 12

Assinale a alternativa que indica a sequência correta, assinalada de cima para baixo.

a) 1, 2, 3 b) 3, 2, 1 c) 2, 3, 1 d) 3, 1, 2 e) 2, 1, 3

15. (Pref. Municipal de Serra Negra 2006/CETRO) Um triângulo equilátero possui (A) os três lados com medidas diferentes. (B) dois lados com medidas iguais. (C) os três lados com medidas iguais. (D) um ângulo reto. (E) dois ângulos obtusos.

16. (Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Um triângulo que possui os três lados com a mesma medida, é chamado de triângulo (A) isósceles (B) retângulo (C) equilátero (D) normal (E) escaleno

17. (EPPGG – MPOG 2000/ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, e , onde , , são números reais. Sabendo que o ângulo oposto ao cateto que mede é igual a 45º, segue-se que: a) 2 b) 3 2

c) 3 d) e) 2



18. (Pref. de Taquarivaí 2006/CETRO) Na figura abaixo, as retas R, S e T são paralelas. Então o valor de X será de:

(A) 6 (B) 5 (C) 3 (D) 4 (E) 2 19. (Prefeitura Municipal de São José – FEPESE/2007) Tales de Mileto foi um grande matemático grego que conseguia calcular a altura de pirâmides. O famoso Teorema de Tales poderá ajudar você a encontrar as medidas indicadas na figura, sendo que as retas r, s e t são paralelas e a distância entre os pontos A e B é igual a 21.

Assinale a alternativa que represente o produto dos valores x e y.

a) 36. b) 42. c) 49. d) 96. e) 98.



20. (AFC 2005/ESAF) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta transversal, A, segmentos que medem 2 cm, 10 cm e 18 cm, respectivamente. Esse mesmo feixe de retas paralelas determina sobre uma reta transversal, B, outros três segmentos. Sabe-se que o segmento da transversal B, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 90 cm. Desse modo, as medidas, em centímetros, dos segmentos sobre a transversal B são iguais a: a) 6, 30 e 54 b) 6, 34 e 50 c) 10, 30 e 50 d) 14, 26 e 50 e) 14, 20 e 56 21. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Os catetos de um triângulo retângulo medem 9 cm e 12 cm. O perímetro desse triângulo é igual a:


22. (ATRFB 2009/ESAF) Duas estradas retas se cruzam formando um ângulo de 90º uma com a outra. Qual é o valor mais próximo da distância cartesiana entre um carro que se encontra na primeira estrada, a 3 km do cruzamento, com outro que se encontra na segunda estrada, a 4 km do cruzamento?

a) 5 km

b) 4 km

c) 24 km

d) 3 km

e) 25 km

23. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Durante um vendaval, um poste de iluminação de 18 metros de altura quebrou-se em um ponto a certa altura do solo. A parte do poste acima da fratura, inclinou-se, e sua extremidade superior encostou no solo a uma distância de 12 metros da base dele. Calcule a quantos metros de altura do solo quebrou-se o poste. (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 (E) 2

24. (ENAP 2006/ESAF) A base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que a altura relativa à base. Sabendo-se que o perímetro deste triângulo é igual a 36 metros, então a altura e a base medem, respectivamente a) 8 m e 10 m. b) 12 m e 10 m. c) 6 m e 8 m. d) 14 m e 12 m.



e) 16 m e 14 m.

25. (RIOPREVIDENCIA 2010/CEPERJ) Na figura abaixo, os ângulos de vértices B e C são retos, AB = 9m, BC = 11m e CD = 4m.

Então, entre as alternativas abaixo, a que mais se aproxima da distância entre os pontos A e D é:

a) 15m b) 16m c) 17m d) 19m e) 21m

26. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O terreno de uma grande fazenda é muito plano. Certo dia, o fazendeiro saiu de casa com seu jipe e andou 11 km para o norte. Em seguida, andou 6 km para o leste, 3 km para o sul e 2 km para oeste. Neste ponto, a distância do fazendeiro à sua casa é de, aproximadamente:

a) 7 km b) 8 km c) 9 km d) 10 km e) 11 km

27. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Em um terreno plano, a sombra de um prédio, em determinada hora do dia, mede 15m. Próximo ao prédio, e no mesmo instante, um poste de 5m. de altura, produz uma sombra que mede 3m. A altura do prédio, em metros, é: (A) 75 (B) 45 (C) 30 (D) 29 (E) 25

28. (Prefeitura Municipal de Mairinque 2009/CETRO) Uma criança está ao lado de um poste. Sabe-se que ela mede 80cm e que a medida da sombra do poste é de 5,4 metros. Se a sombra da criança mede 60cm, então, a altura do poste é de (A) 6,2 metros. (B) 6,6 metros.



(C) 6,8 metros. (D) 7,0 metros. (E) 7,2 metros.

29. (APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Um poste de 8m de altura tem no alto uma forte lâmpada. Certa noite, uma criança de 1,60m de altura ficou parada a uma distância de 6m do poste. O comprimento da sombra dessa criança no chão era de:

a) 1,5m b) 1,6m c) 1,75m d) 1,92m e) 2,00m

30. (ENAP 2006/ESAF) A razão de semelhança entre dois triângulos, T1, e T2, é igual a 8. Sabe-se que a área do triângulo T1 é igual a 128 m2. Assim, a área do triângulo T2 é igual a a) 4 m2. b) 16 m2. c) 32 m2. d) 64 m2. e) 2 m2.

31. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O triângulo retângulo ABC da figura abaixo tem catetos AB = 8 e AC = 6. Pelo ponto M, médio da hipotenusa, traçou-se o segmento MN perpendicular a BC. O segmento AN mede:

a) 7/4 b) 2 c) 9/4 d) 5/2 e) 11/4

32. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Para construir um jardim, um jardineiro recebeu as seguintes recomendações da dona da casa: o jardim tem que ocupar uma área de 36m2, perímetro de 26m e formato retangular. As dimensões desse jardim são de: (A) 2m e 18m (B) 20m e 6m (C) 4m e 9m (D) 3m e 12m



(E) 10m e 16m

33. (Assistente de Informática – Pref. de Itapeva 2006/CETRO) A soma das áreas de dois quadrados é de 25 m2 e a soma dos seus perímetros é igual a 28m. Portanto, as medidas dos lados x e y desses quadrados são, respectivamente:

Obs.:Figuras fora de escala. (A) 3m e 4m (B) 3,5m e 3,5m (C) 5m e 2m (D) 7m e 7m (E) 20m e 8m

34. (Analista de Sistemas – UDESC – FEPESE/2010) Seja ABCD o paralelogramo abaixo, e seja E um ponto no segmento AD, conforme descrito na figura abaixo:

Sabendo que AB = 5, AE = 3 e AD = 8, a área do paralelogramo ABCD é: a) 15. b) 24. c) 30. d) 32. e) 40. 35. (Pref. Municipal de Arujá 2006/CETRO) Em um trapézio, os lados paralelos

medem 16m e 44m, e os lados não paralelos, 17m e 25m. A área do trapézio, em m2, é:

(A) 600. (B) 550. (C) 500. (D) 450. (E) 400



36. (APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) A figura a seguir mostra três circunferências com centros em A,B e C, tangentes entre si duas a duas.

As distâncias entre os centros são conhecidas: AB = 34, BC = 18 e CA = 30. O raio da circunferência de centro A é:

a) 24 b) 23 c) 22 d) 21 e) 20

37. (TRT-SC 2005/FEPESE) Um círculo de área 16π está inscrito em um quadrado. O perímetro do quadrado é igual a:

a) 32 b) 28 c) 24 d) 20 e) 16

38. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A figura abaixo é formada por um quadrado de lado 6m “cortado” por um arco de circunferência.

Considerando =3,14, a área da região pintada de preto é de (A) 7,74m² (B) 7,98m² (C) 8,42m²



(D) 8,86m² (E) 9,12m² 39. (APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Um ladrilho branco quadrado com 8

cm de lado tem no seu interior um círculo cinza de 2 cm de raio.

A porcentagem da superfície do ladrilho que está pintada de cinza é, aproximadamente:

a) 11% b) 14% c) 17% d) 20% e) 24%

40. (BADESC 2010/FGV) Uma circunferência de centro em O está inscrita em um quadrado de vértices A, B, C e D, como ilustrado. P, Q e R são pontos em que a circunferência toca o quadrado.

Com relação à figura, analise as afirmativas a seguir: I. A área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a metade da área total do quadrado. II. A distância de A até O é menor do que a metade da medida do lado do quadrado. III. O percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto do que o feito por sobre os lados do quadrado. Assinale: (A) se somente a afirmativa I estiver correta.



(B) se somente a afirmativa II estiver correta. (C) se somente a afirmativa III estiver correta. (D) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. (E) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.

41. (SEE-RJ 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra duas semicircunferências de diâmetros AB e AC.

Se AB = 2 e BC = 1, a razão R/S entre as áreas das regiões R e S mostradas na figura é: A) 0,5 B) 0,6 C) 0,8 D) 1 E) 1,2

42. (ATRFB 2009/ESAF) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5 cm de raio está encostada em um cone circular reto em pé com raio da base de 5 cm e 5 cm de altura. De quantos cm é a distância entre o centro da base do cone e o ponto onde a esfera toca na superfície?

a) 5

b) 7,5

c) 5 + 2/25

d) 25

e) 10.

43. (MPOG 2005/ESAF) Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmentos

tangentes a uma circunferência, então as medidas dos segmentos determinados pelo ponto P e os respectivos pontos de tangência serão iguais. Sabe-se que o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo mede 1 cm. Se a hipotenusa desse triângulo for igual a 20 cm, então seu perímetro será igual a:


44. (Enap 2006/ESAF) Considere um triângulo ABC cujos lados, AB, AC e BC medem, em metros, c, b e a, respectivamente. Uma circunferência inscrita neste triângulo é



tangenciada pelos lados BC, AC e AB nos pontos P, Q e R, respectivamente. Sabe-se que os segmentos AR , BP e CQ medem x, y e z metros, respectivamente. Sabe-se, também, que o perímetro do triângulo ABC é igual a 36 metros. Assim, a medida do segmento CQ, em metros, é igual a

a) 18 - c. b) 18 - x. c) 36 - a. d) 36 - c. e) 36 - x.

45. (CGU 2008/ESAF) Um quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência possui os lados a, b, c e d, medindo (4 x - 9), (3 x + 3), 3 x e 2 x, respectivamente. Sabendo-se que os lados a e b são lados opostos, então o perímetro do quadrilátero é igual a:

a) 25 b) 30 c) 35 d) 40 e) 50

46. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Na circunferência abaixo:

Determine a medida x indicada. a) 3 b) 6 c) 7 d) 10 e) 12

47. (Secretaria de Administração – Balneário Camboriú – FEPESE/2007) Um terreno tem a forma triangular, e seus lados medem 40 m, 90 m e 110 m. A área desse terreno, em metros quadrados, é: a) 1800√2



b) 2200 c) 1950 d) 1200√2 e) 240

48. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Se em um triângulo os lados medem 12 cm, 16 cm e 20 cm, então a altura relativa ao maior lado mede:

a) 10,3 cm. b) 6,0 cm. c) 7,2 cm. d) 5,6 cm. e) 9,6 cm.

49. (SUSEP 2010/ESAF) Um círculo está inscrito em um triângulo isósceles de base 6 e altura 4. Calcule o raio desse círculo.

a) 1,50 b) 1,25 c) 1,00 d) 1,75 e) 2,00

50. (Professor de Matemática – Pref. de Campinas 2008/FGV) A figura abaixo mostra um triângulo ABC e o ponto D sobre o lado AC.

Sabendo que e que 18°, então o ângulo mede:

a) 58º b) 60º c) 62º d) 64º e) 66º

51. (Professor de Matemática – Pref. de Campinas 2008/FGV) A órbita da Terra em torno do Sol é quase circular com raio aproximado de 150 milhões de quilômetros. A velocidade do nosso planeta em seu eterno percurso em volta do Sol é cerca de: (A) 2.000km/h. (B) 10.000km/h. (C) 50.000km/h. (D) 100.000km/h. (E) 200.000km/h.



52. Professor de Matemática – Pref. de Campinas 2008/FGV) Em um jardim há um gramado com a forma de um quadrilátero OABC. Esse gramado será ampliado tomando a forma do quadrilátero OA'B’C’, semelhante ao anterior, como mostra a figura abaixo.

Sabendo que a área do quadrilátero OABC é de 108 m², que OA =15 m e que AA’ = 5m, a área de grama nova (parte sombreada da figura que será plantada) é de:

a) 36 m² b) 48 m² c) 58 m² d) 76 m² e) 84 m²

14. Gabaritos

01. C 02. B 03. A 04. D 05. D 06. C 07. A 08. C 09. B 10. C 11. ANULADA 12. ANULADA 13. A 14. E 15. C 16. C 17. D 18. B



19. B 20. A 21. A 22. A 23. B 24. B 25. C 26. C 27. E 28. E 29. A 30. E 31. A 32. C 33. A 34. D 35. D 36. B 37. A 38. A 39. D 40. D 41. C 42. D 43. D 44. A 45. B 46. D 47. D 48. E 49. A 50. E 51. D 52. E



Aula 5 – Senado Federal – Parte 1 1. Probabilidade ............................................................................................................. 2 2. Espaço Amostral ....................................................................................................... 2 3. Evento ....................................................................................................................... 3 4. Probabilidade de Laplace .......................................................................................... 4 5. Combinações de eventos ........................................................................................... 4 6. Propriedades sobre probabilidades ............................................................................ 6 7. Exercícios Resolvidos ............................................................................................... 8 8. Probabilidade Condicional ...................................................................................... 19 9. Exercícios ................................................................................................................ 22 10. Questões FGV ..................................................................................................... 36 11. Relação das questões comentadas ....................................................................... 41 12. Gabaritos .............................................................................................................. 50



1. Probabilidade “A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do mesmo gênero a um certo número de casos igualmente possíveis, ou seja, tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existência, e em determinar o número de casos favoráveis ao acontecimento cuja probabilidade é buscada. A razão deste número para o de todos os casos possíveis é a medida desta probabilidade, a qual é portanto uma fração cujo numerador é o número de casos favoráveis e cujo denominador é o número de todos os casos possíveis”.

Pierre Simon Laplace, Ensaio filosófico sobre as Probabilidades A Teoria das Probabilidades é o ramo da Matemática que cria modelos que são utilizados para estudar experimentos aleatórios. Um experimento é dito aleatório quando ele pode ser repetido sob as mesmas condições inúmeras vezes e os resultados não podem ser previstos com absoluta certeza. Embora não possamos afirmar qual é o resultado do experimento aleatório, em geral podemos descrever o conjunto que “abriga” todos os resultados possíveis. Quando é possível fazer uma “previsão” do resultado de um experimento, ele é chamado de determinístico. Experimentos ou fenômenos aleatórios acontecem com bastante frequência em nossas vidas. Diariamente ouvimos perguntas do tipo: Choverá próxima semana? Qual a minha chance de ganhar na Mega Sena? Vejamos alguns exemplos de experimentos aleatórios: i) Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. ii) Jogue uma moeda e observe a face de cima. O que os experimentos acima têm em comum? As seguintes características definem um experimento aleatório.

Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob condições essencialmente inalteradas.

Embora não possamos afirmar qual é o resultado do experimento, somos capazes de descrever o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento.

2. Espaço Amostral Para cada experimento do tipo que estamos considerando (aleatório), definiremos o espaço amostral como o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Denotaremos este conjunto pela letra U.



Vamos considerar os experimentos acima e descrever um espaço amostral para cada um deles. i) Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. Quando jogamos um dado, o resultado pode ser 1,2,3,4,5 ou 6. Portanto:

1,2,3,4,5,6 ii) Jogue uma moeda e observe a face de cima.

, Resumindo: ao efetuar um experimento aleatório, o primeiro passo consiste em descrever todos os resultados possíveis, ou seja, explicitar o conjunto de possíveis resultados e calcular o número de elementos que pertencem a ele. Este conjunto é chamado de Espaço Amostral.

3. Evento Chamaremos de evento todo subconjunto do espaço amostral. Voltemos ao lançamento do dado. Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima.

1,2,3,4,5,6 Por exemplo, o subconjunto

2,3,5 é o evento que acontece se o número mostrado na face de cima é um número primo. Vejamos outros eventos relativos a este espaço amostral. B: ocorrência de número menor que 5. 1,2,3,4 . C: ocorrência de número menor que 8. 1,2,3,4,5,6 D: ocorrência de número maior que 8. (conjunto vazio). Quando o evento é igual ao espaço amostral, dizemos que o evento é certo. Quando o evento é igual ao conjunto vazio, dizemos que o evento é impossível.



4. Probabilidade de Laplace Passemos agora à segunda etapa: calcular a probabilidade de um evento. Consideremos o caso do evento 2,3,5 que vimos anteriormente. Como são 6 resultados possíveis no lançamento de um dado e são 3 números primos nas faces, intuitivamente percebemos que se repetimos o experimento um grande número de vezes obteremos um número primo em aproximadamente a metade das vezes. O que está por trás do nosso raciocínio intuitivo é o seguinte: i) Cada um dos elementos que compõem o espaço amostral são igualmente “prováveis”. ii) O número de elementos do evento 3 é justamente a metade dos elementos do espaço amostral 6 . Estas considerações motivam a definição de probabilidade de um evento A da seguinte forma:

36

12

Como vimos o texto no início da aula, Laplace referia-se aos elementos do evento como os casos favoráveis (ou desejados). Os elementos do espaço amostral são chamados de casos possíveis. Desta forma:

ú áú í

5. Combinações de eventos Podemos empregar as várias técnicas de combinar conjuntos (eventos) para formar novos conjuntos (eventos).

União de dois eventos Considere dois eventos A e B. O evento união é denotado por e ocorre se e somente se ao menos um dos eventos ocorrerem. Podemos dizer que

ocorre se e somente se A ou B (ou ambos) ocorrerem.

Interseção de dois eventos Considere dois eventos A e B. O evento interseção é denotado por e ocorre se e somente se os dois eventos ocorrerem (A e B ocorrerem).

Complementar de um evento



Considere um evento A. O evento complementar de A é denotado por e ocorre se e somente se não ocorre A. Vejamos alguns exemplos: Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima.

1,2,3,4,5,6 Considere os seguintes eventos. A: ocorrência de um número ímpar. 1,3,5 . B: ocorrência de um número par: 2,4,6 . C: ocorrência de um número menor ou igual a 3. 1,2,3 Desta forma, temos os seguintes eventos.

: ocorrência de um número ímpar ou número par.

1,2,3,4,5,6

: ocorrência de um número ímpar ou de um número menor ou igual a 3.

1,2,3,5

: ocorrência de um número par ou de um número menor ou igual a 3.

1,2,3,4,6

: ocorrência de um número ímpar e par.

O resultado foi o conjunto vazio porque não existe número que seja simultaneamente par e ímpar. Neste caso dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.

: ocorrência de um número ímpar e menor ou igual a 3.

1,3

: ocorrência de um número par e menor ou igual a 3.

2

: não ocorrer um número ímpar.

2,4,6



: não ocorrer um número par.

1,3,5

: não ocorrer um número menor ou igual a 3.

4,5,6

6. Propriedades sobre probabilidades

A probabilidade do evento impossível é 0 e a probabilidade do evento certo é igual a 1.

Vamos lembrar: Quando o evento é igual ao espaço amostral, dizemos que o evento é certo. Quando o evento é igual ao conjunto vazio, dizemos que o evento é impossível. Para ilustrar esta propriedade, vamos voltar ao exemplo do dado. Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima.

1,2,3,4,5,6 Considere os eventos. A: ocorrência de número menor que 8. 1,2,3,4,5,6 B: ocorrência de número maior que 8. (conjunto vazio). Já sabemos que:

ú ú ç

Desta forma,

66 1

06 0

Se A é um evento qualquer, então 0 1.



Esta propriedade afirma que qualquer probabilidade é um número maior ou igual a 0 e menor ou igual a 1. A probabilidade será igual a 0 se o evento for impossível e a probabilidade será igual a 1 se o evento for certo. Se o evento A nem for o evento certo nem o evento impossível, então a probabilidade é um número positivo e menor que 1.

Se A é um evento qualquer, então 1. É muito fácil ilustrar esta propriedade. Imagine que alguém te informa que a probabilidade de chover amanhã seja de 30%. Você rapidamente conclui que a probabilidade de não chover é de 70%. Isto porque a soma das probabilidades de eventos complementares é igual a 1. Lembre-se que o símbolo % significa dividir por 100. Desta forma, podemos dizer que a soma das probabilidades de eventos complementares é igual a 1 ou 100%. Já que:

100%100100 1

Probabilidade do evento união

Se A e B forem dois eventos quaisquer, então

Podemos ilustrar esta propriedade utilizando conjuntos.

O evento interseção é aquele formado pelos elementos comuns entre A e B. O evento união é o representado abaixo.



Quando somamos as probabilidades dos eventos contidos em são computadas duas vezes (uma por estarem em A e outra vez por

estarem em B). Para eliminar esta “dupla contagem”, subtraímos para que nenhum elemento seja contado mais de uma vez. Falei anteriormente que quando a interseção de dois conjuntos é o conjunto vazio eles são chamados de mutuamente excludentes.

Neste caso, quando , tem-se que .

7. Exercícios Resolvidos 01. (INSS 2009/FUNRIO) João encontrou uma urna com bolas brancas, pretas e vermelhas. Ele verificou que a quantidade de bolas pretas é igual à metade da quantidade de bolas vermelhas e ao dobro da quantidade de bolas brancas. João, então, colocou outras bolas pretas na urna, e a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bola preta do referido recipiente tornou-se igual a 0,5. Diante disso, a quantidade de bolas colocadas por João na urna é igual a(o) A) quantidade de bolas brancas. B) dobro da quantidade de bolas brancas. C) quantidade de bolas vermelhas. D) triplo da quantidade de bolas brancas. E) dobro da quantidade de bolas vermelhas. Resolução



João verificou que a quantidade de bolas pretas é igual à metade da quantidade de bolas vermelhas e ao dobro da quantidade de bolas brancas. Vamos considerar que a urna contém bolas brancas. A quantidade de bolas pretas é o dobro da quantidade de bolas brancas. Desta forma, tem-se 2 bolas pretas. Sabemos ainda que a quantidade de bolas pretas é a metade da quantidade de bolas vermelhas. Concluímos que são 4 bolas vermelhas. Resumindo:

bolas brancas. 2 bolas pretas. 4 bolas vermelhas. João colocar mais bolas pretas na urna. Vamos considerar que João acrescentou bolas pretas na urna. O nosso quadro com a quantidade de bolas ficará assim:

bolas brancas. 2 bolas pretas. 4 bolas vermelhas. Total de bolas: 2 4 7 A probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bola preta do referido recipiente tornou-se igual a 0,5.

0,5

12

Sabemos que probabilidade é a razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis.

ú áú í

12

Há um total de 2 bolas pretas (número de casos favoráveis) e um total de 7 bolas na urna (número de casos possíveis.

27

12


2 · 2 1 · 7



4 2 7

2 7 4

3 O número de bolas pretas acrescentadas por João é igual a 3 . Como o número de bolas brancas é igual a , então o número de bolas pretas acrescentadas por João é o triplo do número de bolas brancas. Letra D (PRF 2003/CESPE-UnB) Considere que a tabela abaixo mostra o número de vítimas fatais em acidentes de trânsito ocorridos em quatro estados brasileiros, de janeiro a junho de 2003.

A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou 1.405 relatórios, um para cada uma das vítimas fatais mencionadas na tabela acima, contendo o perfil da vítima e as condições em que ocorreu o acidente. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem, acerca de um relatório escolhido aleatoriamente entre os citados acima. 02. A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente ocorrido no estado do Maranhão é superior a 0,2. Resolução Há um total de 1.405 relatórios. Este é o número de casos possíveis. Queremos calcular a probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente ocorrido no estado do Maranhão.



De acordo com a tabela, ocorreram 225 81 306 acidentes no estado do Maranhão. A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente ocorrido no estado do Maranhão é:

ú áú í

3061.405 0,21 …

Portanto, a probabilidade pedida é superior a 0,2 e o item está certo. 03. A chance de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino é superior a 23%. Resolução Há um total de 1.405 relatórios. Este é o número de casos possíveis. Queremos calcular a probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino.

De acordo com a tabela fornecida, há um total de 81 42 142 42 307 acidentes ocorridos com mulheres. A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino é:

ú áú í

3071.405 0,218 … 22%

A probabilidade pedida é inferior a 23% e o item está errado.



04. Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo masculino, a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido no estado do Paraná é superior a 0,5. Resolução Neste caso, o número de casos possíveis não é 1.405. O enunciado nos manda considerar que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo masculino. Devemos, portanto, desconsiderar os acidentes com pessoas do sexo feminino. O nosso espaço amostral (casos possíveis) está representado na tabela abaixo.

Desta forma, o número de casos possíveis será igual a 225 153 532188 1.098. Queremos calcular a probabilidade de que o acidente mencionado no relatório tenha ocorrido no estado do Paraná. Lembre-se que devemos olhar apenas para os acidentes ocorridos com vítimas do sexo masculino!!

O número de casos desejados (favoráveis) é, portanto, igual a 532. A probabilidade pedida é igual a:

5321.098 0,48 …



Que é inferior a 0,5. Portanto, o item está errado. 05. Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um acidente que não ocorreu no Paraná, a probabilidade de que ela seja do sexo masculino e de que o acidente tenha ocorrido no estado do Maranhão é superior a 0,27. Resolução O enunciado nos manda considerar que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um acidente que não ocorreu no Paraná. Desta forma, o nosso espaço amostral será reduzido. Eis o nosso espaço amostral:

O total de elementos do nosso espaço amostral (casos possíveis) é igual a . . Estamos interessados em calcular a probabilidade de o acidente ser com uma vítima do sexo masculino no estado do Maranhão. Eis o nosso evento (em verde).

A probabilidade pedida é igual a:



225731 0,3 …

A probabilidade calcular é superior a 0,27 e o item está certo. 06. A chance de que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um dos estados da região Sul do Brasil listados na tabela é inferior a 70%. Resolução Voltamos a considerar o nosso espaço amostral com 1.405 relatórios. Queremos calcular a probabilidade de que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um dos estados da região Sul do Brasil listados na tabela. Vamos selecionar as vítimas do sexo feminino.

Vamos agora selecionar as vítimas da região Sul.

Queremos calcular a probabilidade do evento união (ou). Há um total de 532 188 42 142 42 81 1.027 casos desejados. A probabilidade pedida é igual a:

1.0271.405



Poderíamos ter utilizado a fórmula da probabilidade do evento união.

Onde:

532 188 142 421.405

9041.405

307

1.405 ã 3 .

142 421.405

1841.405

Desta forma:

904

1.405307

1.405184

1.4051.0271.405

A fórmula não foi útil na questão, por haver cálculos em demasia. Bom, a probabilidade é pedida é:

1.0271.405 0,73 … 73%

Portanto, o item está errado. 07. (SEFAZ-SP 2009/ESAF) Considere que numa cidade 40% da população adulta é fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos não-fumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa adulta da cidade escolhida ao acaso ser mulher? a) 44% b) 52% c) 50% d) 48% e) 56% Resolução Para facilitar a resolução do exercício, vamos supor que a cidade tenha 100 adultos.

Fumantes Não-fumantes Total

Homem



Mulher Total 100

O enunciado nos diz que 40% dos adultos são fumantes.

40% 10040

100 100 40

Logo, temos 40 fumantes.


Homem Mulher Total 40 100

40% dos fumantes são mulheres.

40% 4040

100 40 16

São 16 mulheres fumantes.


Homem Mulher 16 Total 40 100

Se, das 100 pessoas, 40 são fumantes, então há 60 não-fumantes.


Homem Mulher 16 Total 40 60 100

O enunciado informa que 60% dos não-fumantes são mulheres.

60% 6060

100 60 36 ã


Homem Mulher 16 36 Total 40 60 100

Ao todo, temos 52 mulheres.

Fumantes Não-fumantes

Total

Homem



Mulher 16 36 52 Total 40 60 100

Como estamos considerando que a cidade possui 100 adultos, então o número de casos possíveis é igual a 100. Queremos calcular a probabilidade de a pessoa escolhida ser uma mulher. Como há 52 mulheres, então o número de casos desejados é igual a 52.

ú áú í

52100 52%

Letra B (SEBRAE-BA 2008/CESPE-UnB) Na eleição para prefeito de uma cidade de 10.000 eleitores legalmente aptos a votar, concorrem os candidatos A e B. Uma pesquisa de opinião revela que 1.500 eleitores não votariam em nenhum desses candidatos. A pesquisa mostrou ainda que o número de eleitores indecisos — isto é, que, apesar de não terem ainda decidido, votarão em algum dos dois candidatos —, que votariam apenas no candidato A ou que votariam apenas no candidato B são números diretamente proporcionais a 2, 3 e 5. Nessa situação, com base nessa pesquisa, escolhendo-se ao acaso um desses eleitores, é correto afirmar que a probabilidade dele 08. votar em algum dos candidatos é superior a 80% 09. ser um eleitor indeciso é inferior a 15%. 10. já estar decidido em qual dos candidatos vai votar é superior a 65% e inferior a 70%. Resolução Vamos analisar o enunciado e, em seguida, avaliar cada um dos itens. Há um total de 10.000 eleitores. Como 1.500 eleitores não votariam nos candidatos A e B, então os dois candidatos juntos computarão um total de 10.000 1.500 8.500 votos. A quantidade de candidatos indecisos, dos que votarão em A e dos que votarão em B são diretamente proporcionais a 2, 3 e 5. Se a constante de proporcionalidade for igual a , então: 2 pessoas estão indecisas. 3 pessoas votarão em A. 5 pessoas votarão em B. Somando estas quantidades temos 8.500 pessoas.



2 3 5 8.500

10 8.500

850

Desta forma: 2 2 · 850 1.700 pessoas estão indecisas. 3 3 · 850 2.550 pessoas votarão em A. 5 5 · 850 4.250 pessoas votarão em B. É correto afirmar que a probabilidade dele 08. votar em algum dos candidatos é superior a 80% Sabemos que 8.500 pessoas votarão nos candidatos A e B. Temos 8.500 casos favoráveis e 10.000 casos possíveis. A probabilidade pedida é igual a

8.50010.000 0,85 85%

O item está certo. 09. ser um eleitor indeciso é inferior a 15%. Sabemos que 1.700 pessoas estão indecisas. Como há um total de 10.000 eleitores, a probabilidade pedida é igual a:

1.70010.000 0,17 17%

O item está errado. 10. já estar decidido em qual dos candidatos vai votar é superior a 65% e inferior a 70%. Sabemos que 2.550 pessoas votarão em A e 4.250 pessoas votarão em B. O total de decididos é igual a 2.550 4.250 6.800. A probabilidade pedida é igual a

6.80010.000 0,68 68%

O item está certo. 11. (MPOG 2010/ESAF) Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora são moradores de um bairro muito antigo que está



comemorando 100 anos de existência. Dona Matilde, uma antiga moradora, ficou encarregada de formar uma comissão que será a responsável pela decoração da festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso, três pessoas entre os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora. Sabendo-se que Denílson não pertence à comissão formada, então a probabilidade de Carlão pertencer à comissão é, em termos percentuais, igual a: a) 30 % b) 80 % c) 62 % d) 25 % e) 75 % Resolução Vamos listar todas as comissões, excluindo Denílson: - Arnor, Bruce, Carlão - Arnor, Bruce, Eleonora - Arnor, Carlão, Eleonora - Bruce, Carlão, Eleonora São 4 comissões possíveis. Em três delas nós temos a participação de Carlão. São 3 casos favoráveis em 4 possíveis.

Logo: %7543==P

Letra E

8. Probabilidade Condicional Imagine a seguinte situação: você está sentado em um teatro assistindo a uma peça. Há 400 homens e 600 mulheres no teatro. De repente, é anunciado que será sorteado um carro entre os espectadores. Desta forma, como há 1.000 pessoas na platéia, então a probabilidade de um homem ser sorteado é igual a

4001.000 0,4 40%

e a probabilidade de uma mulher ser sorteada é igual a

6001.000 0,6 60%

Se eu, Guilherme, estivesse sentado neste teatro, a minha chance de ganhar este carro seria de



11.000 0,001 0,1%

Estas são as probabilidades a priori, quer dizer, antes que o experimento se realize. Suponhamos que o apresentador do sorteio realize o experimento e resolve fazer um tipo de suspense. Ele então informa que a pessoa sorteada é um homem. Ocorre uma frustração geral entre as mulheres. Por quê? Porque a chance de alguma mulher vencer agora é igual a 0. Esta é uma probabilidade a posteriori, isto é, depois de realizado o experimento. Por outro lado, os ânimos dos homens se exaltam. Suas chances aumentaram!! Ora, não temos mais 1.000 concorrentes, e sim 400. Os casos possíveis agora totalizam 400 pessoas. A minha chance que antes era de 0,1%, agora será de:

1400 0,0025 0,25%

A minha chance de ganhar o carro aumentou! Observe que o espaço amostral foi “reduzido”. Isto já foi trabalhado um pouco nas questões 05 e 06. Vejamos outro exemplo. Consideremos o experimento que consiste em jogar um dado não-viciado. Sejam o espaço amostral 1,2,3,4,5,6 e os eventos 2,4,6 e

1,2,5 . Temos que a probabilidade de ocorrer o evento B é igual a:

36

12

Esta é a probabilidade de B a priori, quer dizer, antes que o experimento se realize. Suponhamos que, uma vez realizado o experimento, alguém nos informe que o resultado do mesmo é um número par, isto é, que o evento A ocorreu. A nossa opinião sobre a ocorrência do evento B se modifica com esta informação, já que, então, somente poderá ter ocorrido B se o resultado do experimento tiver sido o número 2. Esta opinião é quantificada com a introdução de uma “probabilidade a posteriori” ou, como vamos chamá-la doravante, probabilidade condicional de B dado A, definida por.

|13

Vamos ilustrar esta situação com um diagrama.



Sabemos que ocorreu um número par. O nosso espaço amostral (casos possíveis) deixa de ser U e passa a ser A.

í Vamos representar o espaço amostral com a cor vermelha.

O número de casos possíveis agora é igual a 3.

í

Para calcular a probabilidade de ocorrer o evento B, devemos nos restringir aos elementos comuns de A e B. Portanto, os casos desejados são os elementos da interseção entre A e B.

Finalmente, a expressão “probabilidade de ocorrer B sabendo que A ocorreu” é expressa assim:

|



Chegamos à fórmula:

|

A noção geral é a seguinte:

|

Que pode ser expressa da seguinte forma:

· | Esta fórmula é chamada de Teorema da Multiplicação e pode ser lida assim: A probabilidade de ocorrerem os eventos A e B é igual a probabilidade de A vezes a probabilidade de B depois que A ocorreu. Se a ocorrência do evento A não influir no cálculo da probabilidade do evento B, os eventos são ditos independentes e neste caso, tem-se

· Vamos resolver alguns exercícios para por a teoria em prática.

9. Exercícios 12. (IJSN 2010/CESPE-UNB) A probabilidade de se obter um número menor que 5 no lançamento de um dado, sabendo que o dado não é defeituoso e que o resultado é um número ímpar, é igual a 2/3. Resolução CUIDADO!!! O problema nos informou que o resultado é um número ímpar. Devemos descartar os números pares. Casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Nosso novo espaço amostral (casos possíveis) é {1, 3, 5}. Queremos calcular a probabilidade de se obter um número menor que 5. Há 2 casos desejados. Portanto, a probabilidade pedida é igual a

23

O item está certo.



(Paraná Previdência 2002/CESPE/UnB) Texto IV Uma empresa adotou uma política de contratação de deficientes físicos. Para avaliar se as deficiências afetam o desempenho desses empregados no trabalho, foi gerado o seguinte quadro, a partir de uma avaliação dos 400 empregados dessa empresa.

Desempenho Tipo de deficiência Total Surdez Cegueira Outras Sem

deficiência Bom 35 40 2 123 200

Regular 5 20 18 157 200 Total 40 60 20 280 400

Com relação aos dados do texto IV, julgue os seguintes itens. 13. Se um empregado for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser considerado como tendo bom desempenho será igual a 0,50. 14. Se um empregado for escolhido ao acaso entre os empregados considerados como tendo bom desempenho, a probabilidade de ele ser cego será de 0,20. 15. Considere A o evento “o empregado é surdo” e B o evento “o empregado tem desempenho regular”. Se um empregado for escolhido ao acaso entre os 400 avaliados, a probabilidade de ele ser surdo e ter sido avaliado como tendo desempenho regular, P(A ∩ B), será igual a P(A) × P(B) = 0,05. 16. Considere C o evento “o empregado é cego” e B o evento “o empregado tem desempenho regular”. Se um empregado for escolhido ao acaso, a

probabilidade condicional será 1,0)(

)()|( =∩

=BP

CBPCBP .

17. Considere B o evento “o empregado tem desempenho regular” e D o evento “o empregado tem desempenho bom”. Os eventos B e D são independentes, pois 0)( =∩ DBP .

Resolução 13. O objetivo é calcular a probabilidade de um empregado, escolhido ao acaso, ter bom desempenho. Há um total de 400 funcionários com a mesma probabilidade de serem escolhidos. Como estamos interessados em um dos 200 empregados que têm bom desempenho, então são 200 casos favoráveis.

á í

200400 0,5

O item está certo.



14. Estamos considerando apenas os empregados com bom desempenho (este é o nosso espaço amostral). Dessa forma, o número de casos possíveis é igual a 200. Destes 200 empregados com bom desempenho, 40 são cegos. Assim sendo, o número de casos favoráveis é igual a 40.

á í

40200 0,2

O item está certo. 15. O objetivo é calcular a probabilidade da intersecção de dois eventos. O empregado simultaneamente deve ser surdo e ter desempenho regular. De acordo com a tabela, há 5 funcionários surdos e com desempenho regular.

á í

5400 0,0125

. O item está errado. 16. Queremos a probabilidade de o evento B acontecer dado que ocorreu o evento C ocorreu. Trata-se de cálculo de probabilidade condicional.

Vejamos: | é lido como “probabilidade de ocorrer B sabendo que C ocorreu. Se C ocorreu, então o nosso espaço amostral é C e não B. O denominador deveria ser . A fórmula dada no enunciado está errada!! O correto seria:

|

Primeiro calculamos a probabilidade de os eventos B e C ocorrerem simultaneamente. Cegos com desempenho regular são apenas 20. Portanto:

20400 0,05

A probabilidade de um cego ser escolhido é:



60400 0,15

Portanto, a probabilidade de ser escolhido um empregado com desempenho regular, dado que foi escolhido um cego, é de:

|0,050,15

515

13

Item errado. 17. Não há funcionário que tenha, ao mesmo tempo, um desempenho bom e um desempenho regular. Portanto:

0)( =∩ DBP

A probabilidade de um funcionário escolhido aleatoriamente ter um desempenho regular é:

5,0400200)( ==BP

A probabilidade de um funcionário escolhido aleatoriamente ter um desempenho bom é:

5,0400200)( ==DP

Concluímos que: )()()( DPBPDBP ×≠∩

Portanto, os dois eventos não são independentes. Item errado. Note que o CESPE tentou confundir EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES com EVENTOS INDEPENDENTES. Eventos mutuamente excludentes são aqueles cuja interseção é o conjunto vazio. Se a ocorrência do evento A não influir no cálculo da probabilidade do evento B, os eventos são ditos independentes e neste caso, tem-se

· 18. (CGU 2008/ESAF) A e B são eventos independentes se: a) )()()( BPAPBAP +=∩

b) )()()( BPAPBAP ÷=∩

c) )()()( BPAPBAP −=∩



d) )()()( ABPAPBAP +=∩

e) )()()( BPAPBAP ×=∩ Resolução Aplicação direta da fórmula vista. Letra E 19. (STN 2008/ESAF) Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e somente se: a) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula b) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A. c) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B. d) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A. e) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1. Resolução: Aplicação direta do conceito visto acima. Letra D 20. (Administrador FUNAI 2009/FUNRIO) O vírus X aparece nas formas X1 e X2. Se um indivíduo tem esse vírus, a probabilidade de ser na forma X1 é 3/5. Se o indivíduo tem o vírus na forma X1, a probabilidade desse indivíduo sobreviver é 2/3; mas, se o indivíduo tem o vírus na forma X2, a probabilidade dele sobreviver é 5/6. Nessas condições, a probabilidade do indivíduo portador do vírus X sobreviver é a) 11/15 b) 2/3 c) 3/5 d) 7/15 e) 1/3 Resolução Se o indivíduo tem o vírus X, a probabilidade de ser na forma X1 é 3/5.

35

Como o vírus só aparece nas formas X1 e X2, então a probabilidade de aparecer na forma X2 é:

25



Isto porque a soma das probabilidades deve ser igual a 1. Se o indivíduo tem o vírus na forma X1, a probabilidade desse indivíduo sobreviver é 2/3; mas, se o indivíduo tem o vírus na forma X2, a probabilidade dele sobreviver é 5/6. Queremos calcular a probabilidade de um portador do vírus X sobreviver. Há dois casos a considerar. Os portadores na forma X1 e os portadores na forma X2.

35 ·

23

25 ·

56

615

1030

12 1030

2230

1115

Letra A 21. (TCE-ES 2004/CESPE-UnB) Considere que dois controladores de recursos públicos de um tribunal de contas estadual serão escolhidos para auditar as contas de determinada empresa estatal e que, devido às suas qualificações técnicas, a probabilidade de José ser escolhido para essa tarefa seja de 3/8, enquanto a probabilidade de Carlos ser escolhido seja de 5/8. Em face dessas considerações, julgue os itens subseqüentes.

Probabilidade de ser portador do vírus na forma X1

,35 ·

23

25 ·

56

Probabilidade de sobreviver com o vírus na forma X1

Probabilidade de ser portador do vírus na forma X2

Probabilidade de sobreviver com o vírus na forma X2



1. Considere que, na certeza de que Carlos tenha sido escolhido, a probabilidade de José ser escolhido é 1/5. Nessas condições, a probabilidade de José e Carlos serem ambos escolhidos é menor que 1/4 . Resolução. Temos os seguintes dados:

é38

58

é15

E queremos calcular: ?)( =∩CarlosJoseP

Aplicando a fórmula da probabilidade da intersecção, temos:

)()()( CarlosJosePCarlosPCarlosJoseP ×=∩

81

51

85)( =×=∩CarlosJoseP

O item está certo. 22. (Petrobras 2005/CESGRANRIO) Os eventos A e B são independentes e suas probabilidades são P(A) = 0,5 e P (B) = 0,4. Quanto vale P(A∪B)? (A) 0,5 (B) 0,6 (C) 0,7 (D) 0,8 (E) 0,9 Resolução. Vimos anteriormente que quando dois eventos são independentes:

· 0,5 · 0,4 0,2 Aplicando a fórmula da união...

0,5 0,4 0,2 0,7 Letra C



23. (CGU 2008/ESAF) Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar Ricardo é 0,4; a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual a 0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e Fernando, é igual a 0,05. Assim, a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou Fernando é igual a: a) 0,04 b) 0,40 c) 0,50 d) 0,45 e) 0,95 Resolução: Seja R o evento que ocorre quando, escolhendo-se ao acaso um dia em que Paulo vai ao futebol, ele encontra Ricardo. Seja F o evento que ocorre quando Paulo encontra Fernando. Temos:

4,0)( =RP

1,0)( =FP

05,0)( =∩ FRP

Queremos calcular a probabilidade da união:

Basta aplicar a fórmula diretamente:

0,4 0,1 0,05 0,45

Letra D 24. (Ministério da Fazenda 2009/ESAF) Ao se jogar um determinado dado viciado, a probabilidade de sair o número 6 é de 20%, enquanto as probabilidades de sair qualquer outro número são iguais entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de um número par sair duas vezes? a) 20% b) 27% c) 25% d) 23% e) 50% Resolução.



A probabilidade de sair 6 é 20%

6 20% 0,2 Sobram 80%. Para calcular a probabilidade de sair cada um dos números restantes, devemos dividir os 80% por 5.

16,0%165%80

==

Queremos calcular a probabilidade de, em um dado lançamento, sair par.

2 4 6 Os eventos “sair 2”, “sair 4” e “sair 6” são mutuamente excludentes. A probabilidade da união é a soma das probabilidades.

2 4 6 0,16 0,16 0,2 0,52 Queremos que dois números pares ocorram em dois lançamentos. Seja A o evento que ocorre quando, no primeiro lançamento, o resultado é par. Seja B o evento que ocorre quando, no segundo lançamento, o resultado é par. Para que tenhamos dois números pares, A e B devem ocorrer.

?)( =∩ BAP

Ora, o resultado do primeiro lançamento não interfere no resultado do segundo lançamento, portanto os eventos são independentes. Como os dois eventos são independentes, a probabilidade da intersecção é o produto das probabilidades.

· 0,52 · 0,52 0,2704 27,04% Letra B 25. (IJSN 2010/CESPE-UNB) Considere que de uma urna contendo 2 bolas azuis e 6 bolas brancas retira-se ao acaso uma bola, anota-se sua cor e repõe-se a bola na urna. Em seguida retira-se novamente uma bola da urna e anota-se sua cor. Nessas condições, a probabilidade das duas bolas retiradas serem azuis é 1/4. Resolução Como a primeira bola retirada é colocada de volta na urna, então os eventos são independentes (a cor da bola retirada na primeira vez não vai influenciar na cor da bola retirada na segunda vez). Neste caso,

1ª 2ª 28

28

432

18




26. (SUSEP 2010/ESAF) Uma urna contém bolas vermelhas, azuis, amarelas e pretas. O número de bolas pretas é duas vezes o número de bolas azuis, o número de bolas amarelas é cinco vezes o número de bolas vermelhas, e o número de bolas azuis é duas vezes o número de bolas amarelas. Se as bolas diferem apenas na cor, ao se retirar ao acaso três bolas da urna, com reposição, qual a probabilidade de exatamente duas bolas serem pretas? a) 100/729. b) 100/243. c) 10/27. d) 115/243. e) 25/81. Resolução Suponha que temos apenas uma bola vermelha. O número de bolas amarelas é cinco vezes o número de bolas vermelhas, logo temos 5 bolas amarelas. O número de bolas azuis é duas vezes o número de bolas amarelas, logo temos 10 bolas azuis. O número de bolas pretas é duas vezes o número de bolas azuis, logo temos 20 bolas pretas. Total de bolas: 1 + 5 + 10 + 20 = 36 bolas. 20 bolas pretas e 16 não-pretas. Ao se retirar ao acaso três bolas da urna, com reposição, qual a probabilidade de exatamente duas bolas serem pretas? Temos as seguintes possibilidades: - não preta, preta, preta. - preta, não preta, preta - preta, preta, não preta Seja X uma bola de cor não-preta.

XPP, PXP, PPX 3 ·1636 ·

2036 ·

2036

100243

Letra B 27. (Administrador DNOCS 2010/FCC) Em uma loja, as unidades vendidas por dia de um determinado eletrodoméstico apresentam a seguinte distribuição de probabilidades de ocorrência de venda:



A probabilidade de que em um determinado dia tenham sido vendidas mais que uma unidade do eletrodoméstico é igual a (A) 87,5%. (B) 80,0%. (C) 75,0%. (D) 60,0%. (E) 50,0%. Resolução O somatório de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Desta forma:

3 2 1 8 1

18

A probabilidade de que em um determinado dia tenham sido vendidas mais que uma unidade do eletrodoméstico é igual a

3 2 6 6 ·18

68

34 0,75 75%

Letra C 28. (Analista ANEEL 2006/ESAF) Ana tem o estranho costume de somente usar blusas brancas ou pretas. Por ocasião de seu aniversário, Ana ganhou de sua mãe quatro blusas pretas e cinco brancas. Na mesma ocasião, o pai de Ana a presenteou com quatro blusas pretas e duas brancas. Vítor, namorado de Ana, a presenteou com duas blusas brancas e três pretas. Ana guardou todas essas blusas - e apenas essas - em uma mesma gaveta. Uma tarde, arrumando-se para ir ao parque com Vítor, Ana retira, ao acaso, uma blusa dessa gaveta. A probabilidade de a blusa retirada por Ana ser uma das blusas pretas que ganhou de sua mãe ou uma das blusas brancas que ganhou de seu pai é igual a: a) 4/5 b) 7/10 c) 3/5 d) 3/10 e) 2/3 Resolução Vamos resumir os dados do problema.



Mãe 4 blusas pretas e 5 brancas. Pai 4 blusas pretas e 2 blusas brancas. Namorado 2 blusas brancas e 3 blusas pretas. Na gaveta de Ana há, portanto, 20 blusas. Como queremos calcular a probabilidade de a blusa retirada por Ana ser uma das blusas pretas que ganhou de sua mãe ou uma das blusas brancas que ganhou de seu pai, então o número de casos desejados é igual a 6.

620

310

Letra D 29. (Técnico – MPU 2004/ESAF) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras – e apenas essas – em sua pequena caixa de jóias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a a) 1/3 b) 1/5. c) 9/20. d) 4/5. e) 3/5. Resolução Pulseiras de João 4 de prata e 5 de ouro. Pulseiras de Pedro 8 de prata e 3 de ouro. Maria retirou uma pulseira de prata. Ela tem 12 pulseiras de prata (casos possíveis). Queremos saber a probabilidade de essa pulseira ser uma das que ganhou de João. Ela ganhou 4 pulseiras de prata de João (casos desejados) Assim, a probabilidade pedida é

412

13

Letra A 30. (TCE-RN 2000/ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de: a) 2/25 b) 8/25 c) 2/5 d) 3/25 e) 4/5



Resolução Se os eventos são independentes, a probabilidade de os dois eventos acontecerem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades. Lembre-se que 1, onde é o evento complementar do evento . Por exemplo, se a probabilidade de chover é 40% = 0,4, então a probabilidade de não chover é 60% = 0,6, pois 0,4+0,6 =1. Calcular a probabilidade de somente o cão estar vivo é o mesmo que calcular a probabilidade de o cão estar vivo e o gato estar morto (coitado!). Se a probabilidade de o gato estar vivo daqui a 5 anos é igual a 3/5, então a probabilidade de ele não estar vivo é igual a 2/5. Assim,

ã 45 ·

25

825.

Letra B 31. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas pretas, todas de mesmo tamanho e peso. Sacando ao acaso duas bolas da urna, a probabilidade de que sejam da mesma cor é de:

a) 20% b) 30% c) 40% d) 50% e) 60%

Resolução São 5 bolas das quais 2 são brancas e 3 são pretas. Queremos calcular a probabilidade de sacar ao acaso duas bolas e as duas serem brancas ou as duas serem pretas.

A probabilidade de a primeira bola ser branca é igual a 2/5 (pois são 2 bolas brancas num total de 5 bolas). A probabilidade de a segunda ser branca é igual a 1/4 (pois agora há apenas uma branca e 4 bolas no total). A probabilidade de a primeira bola ser preta é igual a 3/5 (pois são 3 bolas pretas num total de 5 bolas). A probabilidade de a segunda ser preta é igual a 2/4 (pois agora há 2 bolas pretas e 4 bolas no total).

25 ·

14

35 ·

24

220

620

820 0,4 40%

Letra C 32. (UNIPAMPA 2009/CESPE-UnB) Considerando duas moedas viciadas A e B, de modo que, jogando a moeda A, a probabilidade de dar cara é 0,7, e a moeda B tem probabilidade 0,5 de dar coroa, então a probabilidade de se



obterem duas coroas ao se jogarem as moedas A e B simultaneamente é igual a 0,2. Resolução Vejamos a moeda A. Se a probabilidade de dar cara é 0,7, então a probabilidade de dar coroa deve ser 0,3, pois a soma das probabilidades deve ser igual a 1. O resultado de uma moeda não interfere no resultado da outra moeda, portanto os eventos são independentes. A probabilidade de se obterem duas coroas ao se jogarem as moedas A e B simultaneamente é igual a:

0,3 0,5 0,15 O item está errado. (FUB 2009/CESPE-UnB) A probabilidade de um edifício desmoronar é de 0,5 nos primeiros três anos após a sua construção, caso o planejamento do arquiteto tenha sido incorreto. No caso de planejamento correto, a probabilidade é de 0,1. Considerando que, na construção de um edifício, a probabilidade de o arquiteto errar seja igual a 0,1, julgue o item a seguir. 33. A probabilidade do edifício em questão desmoronar nos primeiros três anos após a sua construção é de 0,05. Resolução A probabilidade de o arquiteto errar o planejamento é de 0,1. Portanto, a probabilidade de o arquiteto acertar o planejamento é de 0,9 (a soma das probabilidades complementares deve ser igual a 1). Se o arquiteto erra o planejamento, a probabilidade de o prédio desmoronar é de 0,5. A chance de isto acontecer é igual a:

é 0,1 · 0,5 0,05 Se o arquiteto acerta o planejamento, a probabilidade de o prédio desmoronar é igual a 0,1. A chance de isto acontecer é igual a:

é 0,9 · 0,1 0,09 Portanto, a probabilidade de um prédio desmoronar nos seus três primeiros anos é igual a:

0,05 0,09 0,14 O item está errado.



10. Questões FGV 34. (MPE Amazonas 2002/FGV) A análise dos dados obtidos das Declarações de Ajuste do Imposto de Renda, em um sistema econômico hipotético, mostrou o seguinte resultado, relativamente à renda anual dos contribuintes:

Se uma pessoa for selecionada aleatoriamente para verificação de suas informações pela autoridade fiscal, a probabilidade de que essa pessoa tenha renda anual superior a R$ 8 000,00 será igual a:

(A) 0,03

(B) 0,05

(C) 0,25

(D) 0,30

(E) 0,70

Resolução São casos favoráveis os contribuintes com renda superior a 8.000. Estão nessa situação os 15.000 contribuintes da segunda classe e os 3.000 contribuintes da terceira classe.

Casos favoráveis: 15.000 + 3.000 = 18.000

O número de casos possíveis é dado por:

000.60000.3000.15000.42 =++

A probabilidade pedida é: 18.00060.000

1860

310

0,3

Letra D

35. (MINC 2006/FGV) Lança-se um dado não-tendencioso. Se o resultado é par, qual é a probabilidade de que tenha sido um "quatro"?

(A) 1/2 (B) 1/3 (C) 1/4 (D) 1/5 (E) 1/6

Resolução



A pergunta pode ser resumida como: qual a probabilidade de sair o número 4, dado que o resultado é par.

Inicialmente temos o seguinte:

- caso favorável: 4

- casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Mas temos uma condição a ser obedecida. É dado que o resultado é par. Assim, precisamos rever nossa lista de casos possíveis e favoráveis. Devemos excluir todos os resultados que são ímpares.

- caso favorável: 4

- casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

E a probabilidade pedida é: ú áú í

13

Letra B 36. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) Sejam A e B dois eventos definidos em um espaço amostral S de modo que P(A) = 0,70, P(B) = 0,20 e P(A ∩ B) = 0,14. Então, pode-se dizer que A e B são eventos:

(A) mutuamente exclusivos.

(B) complementares.

(C) independentes.

(D) condicionais.

(E) elementares.

Resolução Letra A: Para que A e B sejam mutuamente exclusivos, a intersecção deveria ser nula (o que implica em probabilidade zero). Não é o que ocorre, pois P(A ∩ B) = 0,14.

Se A e B são complementares, então a soma de suas probabilidades é igual a 100%. Não é o que ocorre (0,7 + 0,2 = 0,9).

Letra C: Para que A e B sejam independentes, a probabilidade da intersecção é igual ao produto das probabilidades.

· 0,7 · 0,2 0,14

Concluímos que os dois eventos são independentes.

Letra D: não faz sentido falar em eventos condicionais.

Letra E: Se A e B fossem elementares, eles não poderiam ser divididos em outros eventos menores. Mas, como a própria questão informou, existe o evento BA∩ , com probabilidade não nula. Este evento tem probabilidade inferior às probabilidades de A



e de B. Logo, é um evento contido nos anteriores. Isso já permite concluir que A e B não são elementares.

Letra C

37. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A tabela abaixo apresenta a distribuição de 1.000 pessoas classificadas por Sexo (Masculino e Feminino) e Estado Civil (Solteiro, Casado e Viúvo).

Uma pessoa é selecionada ao acaso. A probabilidade de que ela seja do sexo Feminino ou Viúva é igual a:

(A) 0,6.

(B) 0,2.

(C) 0,4.

(D) 0,7.

(E) 0,5.

Resolução Seja A o evento que ocorre quando, selecionando aleatoriamente uma pessoa, ela é do sexo feminino.

Seja B o evento que ocorre quando, selecionando aleatoriamente uma pessoa, ela é viúva.

A partir da tabela, temos:

000.1400)( =AP

000.1200)( =BP

000.1100)( =∩ BAP

Logo:

)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪



5,0000.1

100200400)( =−+

=∪ BAP

Letra E 38. (Senado Federal 2008/FGV) A tabela a seguir apresenta o número estimado da população em cada região brasileira no ano de 2007 (fonte: IBGE), a porcentagem estimada de pessoas por região que possuem aparelho de telefone celular (fonte: TIC Domicílios do NIC.br), e a multiplicação dessas duas quantidades por região (pop x cel), com duas casas decimais de precisão:

De acordo com a tabela acima, a probabilidade aproximada de um brasileiro que possui aparelho celular viver na região Norte ou na região Sul é:

(A) 12,4%.

(B) 20,2%.

(C) 24,1%.

(D) 35,8%.

(E) 42,6%.

Resolução É dado que o brasileiro escolhido tem aparelho celular. Ou seja, os casos possíveis são os 93,66 milhões de brasileiros que possuem celular.

Os casos favoráveis são aqueles que possuem celular e moram na região Norte ou Sul. Estão nesta condição:

=+ 29,1628,6 22,57 milhões de habitantes.

A probabilidade fica:

==66,9357,22P 0,241

Letra C



39.(BESC 2004/FGV) Dois jogadores, X e Y, apostaram em um jogo de cara-e-coroa, combinando que o primeiro a conseguir 6 vitórias ganharia a aposta. X já obteve 5 vitórias e Y, apenas 3. Qual é a probabilidade de X ganhar o jogo?

(A) 7/8

(B) 4/5

(C) 3/4

(D) 3/5

(E) 1/2

Resolução Para que X ganhe o jogo, há várias combinações possíveis. Dá um certo trabalho calcular a probabilidade para todas elas.

Vamos então focar em Y, que é bem mais fácil. Para que Y ganhe o jogo, ele necessariamente deve ganhar as três próximas jogadas. A probabilidade de se ganhar uma jogada é de 1/2. Como os lançamentos da moeda são independentes, a probabilidade da intersecção é o produto das probabilidades.

Com isso, a probabilidade de Y ganhar a aposta é de:

81

21

21

21

=××

Sabemos que ou X ganha a aposta, ou Y ganha a aposta. Não tem outra opção. São dois eventos complementares. Se a probabilidade de Y ganhar é de 1/8, então a probabilidade de X ganhar a aposta é de 7/8.

Letra A



11. Relação das questões comentadas 01. (INSS 2009/FUNRIO) João encontrou uma urna com bolas brancas, pretas e vermelhas. Ele verificou que a quantidade de bolas pretas é igual à metade da quantidade de bolas vermelhas e ao dobro da quantidade de bolas brancas. João, então, colocou outras bolas pretas na urna, e a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bola preta do referido recipiente tornou-se igual a 0,5. Diante disso, a quantidade de bolas colocadas por João na urna é igual a(o) A) quantidade de bolas brancas. B) dobro da quantidade de bolas brancas. C) quantidade de bolas vermelhas. D) triplo da quantidade de bolas brancas. E) dobro da quantidade de bolas vermelhas. (PRF 2003/CESPE-UnB) Considere que a tabela abaixo mostra o número de vítimas fatais em acidentes de trânsito ocorridos em quatro estados brasileiros, de janeiro a junho de 2003.

A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou 1.405 relatórios, um para cada uma das vítimas fatais mencionadas na tabela acima, contendo o perfil da vítima e as condições em que ocorreu o acidente. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem, acerca de um relatório escolhido aleatoriamente entre os citados acima. 02. A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente ocorrido no estado do Maranhão é superior a 0,2. 03. A chance de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino é superior a 23%. 04. Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo masculino, a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido no estado do Paraná é superior a 0,5. 05. Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um acidente que não ocorreu no Paraná, a probabilidade de que ela seja



do sexo masculino e de que o acidente tenha ocorrido no estado do Maranhão é superior a 0,27. 06. A chance de que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um dos estados da região Sul do Brasil listados na tabela é inferior a 70%. 07. (SEFAZ-SP 2009/ESAF) Considere que numa cidade 40% da população adulta é fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos não-fumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa adulta da cidade escolhida ao acaso ser mulher? a) 44% b) 52% c) 50% d) 48% e) 56% (SEBRAE-BA 2008/CESPE-UnB) Na eleição para prefeito de uma cidade de 10.000 eleitores legalmente aptos a votar, concorrem os candidatos A e B. Uma pesquisa de opinião revela que 1.500 eleitores não votariam em nenhum desses candidatos. A pesquisa mostrou ainda que o número de eleitores indecisos — isto é, que, apesar de não terem ainda decidido, votarão em algum dos dois candidatos —, que votariam apenas no candidato A ou que votariam apenas no candidato B são números diretamente proporcionais a 2, 3 e 5. Nessa situação, com base nessa pesquisa, escolhendo-se ao acaso um desses eleitores, é correto afirmar que a probabilidade dele 08. votar em algum dos candidatos é superior a 80% 09. ser um eleitor indeciso é inferior a 15%. 10. já estar decidido em qual dos candidatos vai votar é superior a 65% e inferior a 70%. 11. (MPOG 2010/ESAF) Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora são moradores de um bairro muito antigo que está comemorando 100 anos de existência. Dona Matilde, uma antiga moradora, ficou encarregada de formar uma comissão que será a responsável pela decoração da festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso, três pessoas entre os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora. Sabendo-se que Denílson não pertence à comissão formada, então a probabilidade de Carlão pertencer à comissão é, em termos percentuais, igual a: a) 30 % b) 80 % c) 62 %



d) 25 % e) 75 % 12. (IJSN 2010/CESPE-UNB) A probabilidade de se obter um número menor que 5 no lançamento de um dado, sabendo que o dado não é defeituoso e que o resultado é um número ímpar, é igual a 2/3. (Paraná Previdência 2002/CESPE/UnB) Texto IV Uma empresa adotou uma política de contratação de deficientes físicos. Para avaliar se as deficiências afetam o desempenho desses empregados no trabalho, foi gerado o seguinte quadro, a partir de uma avaliação dos 400 empregados dessa empresa.

Desempenho Tipo de deficiência Total Surdez Cegueira Outras Sem

deficiência Bom 35 40 2 123 200

Regular 5 20 18 157 200 Total 40 60 20 280 400

Com relação aos dados do texto IV, julgue os seguintes itens. 13. Se um empregado for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser considerado como tendo bom desempenho será igual a 0,50. 14. Se um empregado for escolhido ao acaso entre os empregados considerados como tendo bom desempenho, a probabilidade de ele ser cego será de 0,20. 15. Considere A o evento “o empregado é surdo” e B o evento “o empregado tem desempenho regular”. Se um empregado for escolhido ao acaso entre os 400 avaliados, a probabilidade de ele ser surdo e ter sido avaliado como tendo desempenho regular, P(A ∩ B), será igual a P(A) × P(B) = 0,05. 16. Considere C o evento “o empregado é cego” e B o evento “o empregado tem desempenho regular”. Se um empregado for escolhido ao acaso, a

probabilidade condicional será 1,0)(

)()|( =∩

=BP

CBPCBP .

17. Considere B o evento “o empregado tem desempenho regular” e D o evento “o empregado tem desempenho bom”. Os eventos B e D são independentes, pois 0)( =∩ DBP .

18. (CGU 2008/ESAF) A e B são eventos independentes se: a) )()()( BPAPBAP +=∩

b) )()()( BPAPBAP ÷=∩

c) )()()( BPAPBAP −=∩

d) )()()( ABPAPBAP +=∩



e) )()()( BPAPBAP ×=∩

19. (STN 2008/ESAF) Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e somente se: a) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula b) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A. c) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B. d) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A. e) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1. 20. (Administrador FUNAI 2009/FUNRIO) O vírus X aparece nas formas X1 e X2. Se um indivíduo tem esse vírus, a probabilidade de ser na forma X1 é 3/5. Se o indivíduo tem o vírus na forma X1, a probabilidade desse indivíduo sobreviver é 2/3; mas, se o indivíduo tem o vírus na forma X2, a probabilidade dele sobreviver é 5/6. Nessas condições, a probabilidade do indivíduo portador do vírus X sobreviver é a) 11/15 b) 2/3 c) 3/5 d) 7/15 e) 1/3 21. (TCE-ES 2004/CESPE-UnB) Considere que dois controladores de recursos públicos de um tribunal de contas estadual serão escolhidos para auditar as contas de determinada empresa estatal e que, devido às suas qualificações técnicas, a probabilidade de José ser escolhido para essa tarefa seja de 3/8, enquanto a probabilidade de Carlos ser escolhido seja de 5/8. Em face dessas considerações, julgue o itens subseqüente. Considere que, na certeza de que Carlos tenha sido escolhido, a probabilidade de José ser escolhido é 1/5. Nessas condições, a probabilidade de José e Carlos serem ambos escolhidos é menor que 1/4 . 22. (Petrobras 2005/CESGRANRIO) Os eventos A e B são independentes e suas probabilidades são P(A) = 0,5 e P (B) = 0,4. Quanto vale P(A∪B)? (A) 0,5 (B) 0,6 (C) 0,7 (D) 0,8 (E) 0,9



23. (CGU 2008/ESAF) Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar Ricardo é 0,4; a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual a 0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e Fernando, é igual a 0,05. Assim, a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou Fernando é igual a: a) 0,04 b) 0,40 c) 0,50 d) 0,45 e) 0,95 24. (Ministério da Fazenda 2009/ESAF) Ao se jogar um determinado dado viciado, a probabilidade de sair o número 6 é de 20%, enquanto as probabilidades de sair qualquer outro número são iguais entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de um número par sair duas vezes? a) 20% b) 27% c) 25% d) 23% e) 50% 25. (IJSN 2010/CESPE-UNB) Considere que de uma urna contendo 2 bolas azuis e 6 bolas brancas retira-se ao acaso uma bola, anota-se sua cor e repõe-se a bola na urna. Em seguida retira-se novamente uma bola da urna e anota-se sua cor. Nessas condições, a probabilidade das duas bolas retiradas serem azuis é 1/4. 26. (SUSEP 2010/ESAF) Uma urna contém bolas vermelhas, azuis, amarelas e pretas. O número de bolas pretas é duas vezes o número de bolas azuis, o número de bolas amarelas é cinco vezes o número de bolas vermelhas, e o número de bolas azuis é duas vezes o número de bolas amarelas. Se as bolas diferem apenas na cor, ao se retirar ao acaso três bolas da urna, com reposição, qual a probabilidade de exatamente duas bolas serem pretas? a) 100/729. b) 100/243. c) 10/27. d) 115/243. e) 25/81.



27. (Administrador DNOCS 2010/FCC) Em uma loja, as unidades vendidas por dia de um determinado eletrodoméstico apresentam a seguinte distribuição de probabilidades de ocorrência de venda:

A probabilidade de que em um determinado dia tenham sido vendidas mais que uma unidade do eletrodoméstico é igual a (A) 87,5%. (B) 80,0%. (C) 75,0%. (D) 60,0%. (E) 50,0%. 28. (Analista ANEEL 2006/ESAF) Ana tem o estranho costume de somente usar blusas brancas ou pretas. Por ocasião de seu aniversário, Ana ganhou de sua mãe quatro blusas pretas e cinco brancas. Na mesma ocasião, o pai de Ana a presenteou com quatro blusas pretas e duas brancas. Vítor, namorado de Ana, a presenteou com duas blusas brancas e três pretas. Ana guardou todas essas blusas - e apenas essas - em uma mesma gaveta. Uma tarde, arrumando-se para ir ao parque com Vítor, Ana retira, ao acaso, uma blusa dessa gaveta. A probabilidade de a blusa retirada por Ana ser uma das blusas pretas que ganhou de sua mãe ou uma das blusas brancas que ganhou de seu pai é igual a: a) 4/5 b) 7/10 c) 3/5 d) 3/10 e) 2/3 29. (Técnico – MPU 2004/ESAF) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras – e apenas essas – em sua pequena caixa de jóias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a a) 1/3 b) 1/5. c) 9/20. d) 4/5. e) 3/5.



30. (TCE-RN 2000/ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de: a) 2/25 b) 8/25 c) 2/5 d) 3/25 e) 4/5 31. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas pretas, todas de mesmo tamanho e peso. Sacando ao acaso duas bolas da urna, a probabilidade de que sejam da mesma cor é de:

a) 20% b) 30% c) 40% d) 50% e) 60%

32. (UNIPAMPA 2009/CESPE-UnB) Considerando duas moedas viciadas A e B, de modo que, jogando a moeda A, a probabilidade de dar cara é 0,7, e a moeda B tem probabilidade 0,5 de dar coroa, então a probabilidade de se obterem duas coroas ao se jogarem as moedas A e B simultaneamente é igual a 0,2. (FUB 2009/CESPE-UnB) A probabilidade de um edifício desmoronar é de 0,5 nos primeiros três anos após a sua construção, caso o planejamento do arquiteto tenha sido incorreto. No caso de planejamento correto, a probabilidade é de 0,1. Considerando que, na construção de um edifício, a probabilidade de o arquiteto errar seja igual a 0,1, julgue o item a seguir. 33. A probabilidade do edifício em questão desmoronar nos primeiros três anos após a sua construção é de 0,05. 34. (MPE Amazonas 2002/FGV) A análise dos dados obtidos das Declarações de Ajuste do Imposto de Renda, em um sistema econômico hipotético, mostrou o seguinte resultado, relativamente à renda anual dos contribuintes:

Se uma pessoa for selecionada aleatoriamente para verificação de suas informações pela autoridade fiscal, a probabilidade de que essa pessoa tenha renda anual superior a R$ 8 000,00 será igual a:



(A) 0,03

(B) 0,05

(C) 0,25

(D) 0,30

(E) 0,70

35. (MINC 2006/FGV) Lança-se um dado não-tendencioso. Se o resultado é par, qual é a probabilidade de que tenha sido um "quatro"?

(A) 1/2 (B) 1/3 (C) 1/4 (D) 1/5 (E) 1/6

36. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) Sejam A e B dois eventos definidos em um espaço amostral S de modo que P(A) = 0,70, P(B) = 0,20 e P(A ∩ B) = 0,14. Então, pode-se dizer que A e B são eventos:

(A) mutuamente exclusivos.

(B) complementares.

(C) independentes.

(D) condicionais.

(E) elementares.

37. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A tabela abaixo apresenta a distribuição de 1.000 pessoas classificadas por Sexo (Masculino e Feminino) e Estado Civil (Solteiro, Casado e Viúvo).

Uma pessoa é selecionada ao acaso. A probabilidade de que ela seja do sexo Feminino ou Viúva é igual a:

(A) 0,6.

(B) 0,2.

(C) 0,4.

(D) 0,7.

(E) 0,5.



38. (Senado Federal 2008/FGV) A tabela a seguir apresenta o número estimado da população em cada região brasileira no ano de 2007 (fonte: IBGE), a porcentagem estimada de pessoas por região que possuem aparelho de telefone celular (fonte: TIC Domicílios do NIC.br), e a multiplicação dessas duas quantidades por região (pop x cel), com duas casas decimais de precisão:

De acordo com a tabela acima, a probabilidade aproximada de um brasileiro que possui aparelho celular viver na região Norte ou na região Sul é:

(A) 12,4%.

(B) 20,2%.

(C) 24,1%.

(D) 35,8%.

(E) 42,6%.

39.(BESC 2004/FGV) Dois jogadores, X e Y, apostaram em um jogo de cara-e-coroa, combinando que o primeiro a conseguir 6 vitórias ganharia a aposta. X já obteve 5 vitórias e Y, apenas 3. Qual é a probabilidade de X ganhar o jogo?

(A) 7/8

(B) 4/5

(C) 3/4

(D) 3/5

(E) 1/2



12. Gabaritos

01. D 02. CERTO 03. ERRADO 04. ERRADO 05. CERTO 06. ERRADO 07. B 08. CERTO 09. ERRADO 10. CERTO 11. E 12. CERTO 13. CERTO 14. CERTO 15. ERRADO 16. ERRADO 17. ERRADO 18. E 19. D 20. A 21. CERTO 22. C 23. D 24. B 25. ERRADO 26. B 27. C 28. D 29. A 30. B 31. C 32. ERRADO 33. ERRADO 34. D 35. B 36. C 37. E 38. C 39. A



Aula 5 – Senado Federal – Parte 2 Estatística ...................................................................................................................................... 2

Classe ............................................................................................................................................. 8

Limites de classe ............................................................................................................................ 8

Amplitude de um intervalo de classe ............................................................................................ 9

Amplitude total da Distribuição .................................................................................................... 9

Ponto médio de uma classe .......................................................................................................... 9

Tipos de frequências ................................................................................................................... 10

Medidas de Posição ..................................................................................................................... 15

Médias ......................................................................................................................................... 15

Propriedades da média aritmética .............................................................................................. 19

Cálculo Simplificado da Média Aritmética .................................................................................. 21

Mediana (Md) .............................................................................................................................. 35

Moda ........................................................................................................................................... 49

Moda Bruta ................................................................................................................................. 51

Processo de Czuber ..................................................................................................................... 51

Processo de King ......................................................................................................................... 52

Propriedades da Moda ................................................................................................................ 53

Medidas de dispersão ou variabilidade ...................................................................................... 55

Desvio Absoluto Médio (Dm) ...................................................................................................... 56

Desvio padrão e Variância ........................................................................................................... 61

Propriedades da Variância .......................................................................................................... 68

Propriedades do Desvio‐padrão .................................................................................................. 69

Método simplificado para o desvio padrão e variância .............................................................. 71

Medida de dispersão relativa ...................................................................................................... 77

Coeficiente de Variação de Pearson (CVP) .................................................................................. 77

Relação das questões comentadas nesta aula ............................................................................ 80

Gabaritos ..................................................................................................................................... 93



Estatística

A Estatística, ramo da Matemática Aplicada, teve origem na história do homem. Desde a Antiguidade, vários povos registravam o número de habitantes, de nascimentos, de óbitos, distribuíam equitativamente terras ao povo. Na Idade Média colhiam-se informações, geralmente com finalidades tributárias ou bélicas. No início do século XVIII o estudo de tais fatos foi adquirindo feição verdadeiramente científica. A palavra foi proposta pela primeira vez no século XVII, em latim, por Schmeitzel na Universidade de Lena e adotada pelo acadêmico alemão Godofredo Achenwall.

As tabelas tornaram-se mais completas, surgiram as representações gráficas e o cálculo das probabilidades, e a Estatística deixou de ser uma simples catalogação de dados numéricos para se tornar o estudo de “como chegar a conclusões sobre o todo (população), partindo da observação de partes do todo (amostras)”.

Podemos dizer, então, que a Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.

A coleta, organização e a descrição dos dados estão a cargo da Estatística Descritiva. A análise e a interpretação dos dados ficam a cargo da Estatística Inferencial.

O aspecto essencial da Estatística é o de proporcionar métodos inferenciais, que permitam obter conclusões que transcendam os dados obtidos inicialmente.

Vamos à primeira fase de um processo estatístico. Imagine que você foi o encarregado para fazer uma pesquisa sobre a altura dos alunos do Ponto dos Concursos. Como são muitos alunos, você decidiu realizar uma pesquisa com apenas 40 alunos. Suponhamos termos feito uma coleta de dados relativos às estaturas de quarenta alunos, que compõem uma amostra dos alunos do Ponto, resultando a seguinte tabela de valores:

166 160 161 150 162 160 165 167

164 160 162 161 168 163 156 173

160 155 164 168 155 152 163 160



155 155 169 151 170 164 154 161

156 172 153 157 156 158 158 161

Obviamente, quando você começa a sua pesquisa, os seus dados não estão organizados. A esses dados desorganizados denominamos dados brutos.

A esse tipo de tabela, cujos elementos não foram numericamente organizados, denominamos tabela primitiva.

O próximo passo, após realizar a coleta dos dados, é organizar esses dados em ordem crescente ou decrescente. Denominamos os dados dispostos em ordem crescente ou decrescente de rol.

Em suma, um rol é um arranjo de dados numéricos brutos em ordem crescente ou decrescente. Colocar os dados brutos em rol é uma das fases da Estatística Descritiva.

À diferença entre o maior e o menor número do rol chama-se amplitude total dos dados.

Então vamos lá... Coloquemos os dados em ordem crescente!

150 155 156 160 161 162 164 168

151 155 156 160 161 163 165 169

152 155 157 160 161 163 166 170

153 155 158 160 161 164 167 172

154 156 158 160 162 164 168 173

Um pouco melhor ou não?

Agora, podemos saber, com relativa facilidade, qual a menor estatura (150 cm) e qual a maior (173 cm); que a amplitude total de variação foi de 173 – 150 = 23 cm.

01. (Economista - Instituto de Previdência do Estado de Santa Catarina – FEPESE/2006) Verifique os conjuntos A, B, C e D abaixo, no formato de rol e assinale a alternativa correta.



a) A amplitude total do conjunto C é igual a 0,28.

b) Não é possível calcular a amplitude total do conjunto D, pois estamos diante de um rol decrescente.

c) A amplitude de todos os conjuntos é igual a 7.

d) A amplitude total do conjunto A é 2,1.

e) A amplitude total do conjunto B é o dobro da amplitude total do conjunto A.

Resolução

O primeiro passo é organizar os conjuntos A, B, C e D em formato de rol. Tanto faz organizar em ordem crescente ou decrescente. Por questão de costume, organizarei em ordem crescente.

A 0,05 0,5 1 2 3 5 5,1 B 0,25 0,5 1 3 7 10 10,35 C 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 D 1 2 2 3 3 4 5

A amplitude total de um conjunto é a diferença entre o maior elemento e o menor elemento. Assim:

a) A amplitude total do conjunto C é igual a 0,07 – 0,01 = 0,06. A letra A é, portanto, falsa. b) A amplitude total do conjunto D é 5 – 1 = 4. A letra B é, portanto, falsa. c) A amplitude de todos os conjuntos é igual a 10,35 – 0,01 =10,34. A letra C é, portanto, falsa. d) A amplitude total do conjunto A é igual a 5,1 – 0,05 = 5,05. A letra D é, portanto, falsa. e) A amplitude total do conjunto B é igual a 10,35 – 0,25 = 10,1. Portanto a amplitude total do conjunto B é o dobro da amplitude total do conjunto A e a alternativa E é verdadeira. Letra E



02. (Auditor Interno do Poder Executivo- Secretarias de Estado da Fazenda e da Administração – 2005 – FEPESE) Os pesos de 80 pacientes internados em um hospital estão relacionados na tabela abaixo.

Com referência a essa tabela, determine a amplitude total. Assinale a única alternativa correta.

a) 49

b) 53

c) 79

d) 80

e) 97

Resolução

A amplitude total de um conjunto é a diferença entre o maior elemento e o menor elemento. O maior elemento desse conjunto é 99 (4ª coluna e 6ª linha) e o menor elemento é 50 (9ª coluna e 7ª linha). Assim a amplitude total é 99 – 50 = 49. Letra A

Vamos começar um estudo pormenorizado das distribuições de frequências, seus elementos e propriedades.

Voltemos ao exemplo inicial de nossa aula para entendermos as próximas explicações.



Imagine que você foi o encarregado de fazer uma pesquisa sobre a altura dos alunos do Ponto dos Concursos. Como são muitos alunos, você decidiu realizar uma pesquisa com apenas 40 alunos. Suponhamos termos feito uma coleta de dados relativos às estaturas de quarenta alunos, que compõem uma amostra dos alunos do Ponto, resultando a seguinte tabela de valores:

166 160 161 150 162 160 165 167

164 160 162 161 168 163 156 173

160 155 164 168 155 152 163 160

155 155 169 151 170 164 154 161

156 172 153 157 156 158 158 161

Denominamos os dados dispostos em ordem crescente ou decrescente de rol.

150 155 156 160 161 162 164 168

151 155 156 160 161 163 165 169

152 155 157 160 161 163 166 170

153 155 158 160 161 164 167 172

154 156 158 160 162 164 168 173

Denominamos frequência o número de alunos que fica relacionado a um determinado valor da variável. Obtemos, assim, uma tabela que recebe o nome de distribuição de frequência.

Por exemplo, temos 4 alunos com 161 cm de altura. Portanto 4 é a frequência do dado 161 cm.

Vamos relacionar cada dado com a sua frequência correspondente.

Estat. (cm) Freq. Estat. (cm) Freq. Estat. (cm) Freq.

150 1 158 2 167 1

151 1 160 5 168 2



152 1 161 4 169 1

153 1 162 2 170 1

154 1 163 2 172 1

155 4 164 3 173 1

156 3 165 1

157 1 166 1 Total 40

O processo dado é ainda inconveniente, já que exige muito espaço, mesmo quando o número de valores da variável é de tamanho razoável. Sendo possível, a solução mais aceitável, pela própria natureza da variável contínua, é o agrupamento em vários intervalos.

Assim, se um dos intervalos for, por exemplo, 154 158 (154 ≤ x< 158), em vez de dizermos que a estatura de 1 aluno é 154 cm; de 4 alunos, 155 cm; de 3 alunos, 156 cm; e de 1 aluno, 157 cm, diremos que 9 alunos têm estaturas entre 154, inclusive, e 158 cm, exclusive. Deste modo, estaremos agrupando os valores da variável em intervalos, sendo que, em Estatística, preferimos chamar os intervalos de classes.

O símbolo será muito utilizado e significa que incluímos o limite inferior do intervalo e excluímos o limite superior do intervalo.

Chamando de frequência de uma classe o número de valores da variável pertencentes à classe, os dados da tabela acima podem ser dispostos como na próxima tabela, denominada distribuição de frequência com intervalos de classe:

Estaturas de 40 alunos do Ponto dos Concursos

Estaturas (cm) Frequência

150 154 4

154 158 9

158 162 11

162 166 8

166 170 5

170 174 3



Total 40

Ao agruparmos os valores da variável em classes, ganhamos em simplicidade, mas perdemos em pormenores. Não sabemos mais qual a altura exata de cada um dos alunos.

O que pretendemos com a construção dessa nova tabela, é realçar o que há de essencial nos dados e, também tornar possível o uso de técnicas analíticas para sua total descrição, até porque a Estatística tem por finalidade específica analisar o conjunto de valores, desinteressando-se por casos isolados.

Analisemos, agora, detalhadamente, cada um dos elementos de uma distribuição de frequências.

Elementos de uma distribuição de frequência

Estaturas de 40 alunos Ponto dos Concursos


150 154 4

154 158 9

158 162 11

162 166 8

166 170 5

170 174 3

Total 40

Classe É cada um dos grupos ou intervalos obtidos a partir do agrupamento ou conjunto de dados.

Por exemplo, a terceira classe é 158 162.

Limites de classe Denominamos limites de classe os extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior da classe ( infl ) e o maior número, o limite superior da classe ( supl ). Na segunda classe, por exemplo, temos:



inf 154l = e sup 158l =

Amplitude de um intervalo de classe

Amplitude de um intervalo de classe ou, simplesmente, intervalo de classe é a medida do intervalo que define a classe. É obtida pela diferença entre os limites superior e inferior dessa classe e designamos por h . Assim,

sup infh l l= −

Por exemplo, na terceira classe da tabela acima, temos:

162 158 4h = − =

Amplitude total da Distribuição

Amplitude total da distribuição (AT) é a diferença entre o limite superior da última classe (limite superior máximo) e o limite inferior da primeira classe (limite inferior mínimo).

máx mínAT l l= −

Em nosso exemplo, temos:

174 150 24 24AT AT cm= − = ⇒ =

É evidente que, se as classes possuem o mesmo intervalo, verificamos a rela AT K h= ⋅ . Essa expressão é de fácil compreensão, visto que são 6 classes e que a amplitude de cada classe é igual a 4. Assim, a amplitude total é igual a 6 x 4 = 24.

Ponto médio de uma classe

Ponto médio de uma classe ( ix ) é, como o próprio nome indica, o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. Para obtermos o ponto médio de uma classe, calculamos a média aritmética dos limites da classe.

inf suplim lim2

i iix

+=

Assim, o ponto médio da quarta classe, em nosso exemplo é:



4 4inf sup4 4

lim lim 162 166 1642 2

x x+ +

= ⇒ = =

4 164x cm=

O ponto médio de uma classe é o valor que a representa.

Se as amplitudes dos intervalos de classes forem constantes (como aconteceu no nosso exemplo), podemos calcular os pontos médios das classes da seguinte maneira:

i) Calculamos o primeiro ponto médio.

ii) Para calcular os próximos pontos médios, basta adicionar a amplitude de cada classe ao ponto médio da classe anterior.

Dessa forma, como o primeiro ponto médio é 152 cm, o próximo ponto médio é 152 + 4 = 156. O terceiro ponto médio é 156 + 4 = 160 cm.

Estaturas (cm) Xi

150 154 152

154 158 156

158 162 160

162 166 164

166 170 168

170 174 172

Tipos de frequências

Frequências simples ou absolutas ( if )

São os valores que realmente representam o número de dados de cada classe. A soma das freqüências simples é igual ao número total dos dados.

1

k

ii

f n=

=∑

O símbolo ∑ significa somatório. Nesse caso, como k = 6 (número de classes), então



í 1 6.

4 9 11 8 5 3 40

Frequências relativas ( ifr )

São os valores das razões entre as frequências simples e a frequência total, normalmente expressas em porcentagem.

iiffr

n=

Lembre-se que para transformar qualquer fração para a forma percentual devemos multiplicá-la por 100%.

No nosso exemplo, a freqüência relativa da terceira classe é:

33 3

11 100% 27,5% 27,5%40 40ffr fr= = ⋅ = ∴ =

Evidentemente o somatório das frequências relativas é igual a 1 (100%). O propósito das frequências relativas é o de permitir a análise ou facilitar as comparações de cada classe com o total de observações.

Frequência absoluta acumulada crescente – “abaixo de” ( fac )

É o total das frequências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe.

1 2 ...i ifac f f f= + + +

O procedimento para o cálculo desta frequência é o seguinte:

i) Repete-se a frequência absoluta da primeira classe.

ii) Para calcular a próxima frequência acumulada, devemos somar a frequência acumulada anterior com a frequência absoluta da classe correspondente.



Estaturas (cm)

if fac

150 154 4 4

154 158 9 13

158 162 11 24

162 166 8 32

166 170 5 37

170 174 3 40

Total 40

O que significa existirem 24 alunos com estatura abaixo de 162 cm (limite superior da terceira classe).

Frequência absoluta acumulada decrescente ( fad )

É o total das frequências de todos os valores superiores ao limite inferior do intervalo de uma dada classe.

1 ...i i i kfad f f f+= + + +

O procedimento para o cálculo desta frequência é o seguinte:

i) Repete-se a frequência absoluta da última classe.

ii) Para calcular a próxima frequência acumulada (de baixo para cima), devemos somar a frequência acumulada anterior com a frequência absoluta da classe correspondente.



Estaturas (cm)

if fad

150 154 4 40

154 158 9 36

158 162 11 27

162 166 8 16

166 170 5 8

170 174 3 3

Total 40

O que significa existirem 27 alunos com estatura igual ou superior a 158 cm (limite inferior da terceira classe).

Podemos representar essas frequências acumuladas na forma percentual (frequência relativa acumulada) dividindo pelo total de observações (n) e multiplicando por 100%.

03. (Economista - Instituto de Previdência do Estado de Santa Catarina – FEPESE/2006) Em uma pesquisa realizada em uma empresa prestadora de serviços de limpeza, obteve-se a distribuição de freqüência apresentada na tabela que segue. Analise os dados e assinale a alternativa correta.

a) Somente 5% dos empregados recebem o salário com valor superior a R$ 1.400,00.

b) O valor médio de salário da empresa é de R$ 799,00.

c) A porcentagem de empregados que ganham salários dentro da primeira classe estabelecida é de 10%.



d) A porcentagem de empregados que ganham menos que R$ 1.100,00 por mês é de 50 %.

e) 25% dos empregados recebem um salário entre R$ 1.100,00 e R$ 1.200,00.

Resolução

O total de empregados é igual a 96 (basta somar as frequências das classes).

a) Quantos empregados recebem salário com valor superior a R$ 1.400,00?

A resposta dessa pergunta é a frequência da última classe: quatro.

Como queremos expressar essa quantidade em termos percentuais, devemos dividi-la pelo total de empregados.

496 · 100% 4,17%

Falsa

b) Ainda não estudamos “valor médio”. Esta alternativa também é falsa.

c) Para calcular a porcentagem de empregados que ganham salários dentro da primeira classe, devemos dividir a frequência da primeira classe por 96 e multiplicar por 100%.

896 · 100% 8,34%

Falsa

d) Os empregados que ganham menos que R$ 1.100,00 pertencem à primeira, segunda, terceira e quarta classes.

Temos 8 + 10 + 16 + 14 = 48 empregados (frequência acumulada crescente). Para expressar esse número em termos percentuais, devemos dividir por 96 e multiplicar por 100%.

4896 · 100% 50%

Verdadeiro!



e) São 25 empregados que recebem o salário entre R$ 1.100,00 e R$ 1.200,00 e esse número, em termos percentuais é

2596 · 100% 26,04%

Falsa

Letra D

Medidas de Posição

Nos itens anteriores, vimos como resumir um conjunto de dados em tabelas de frequência e também como representá-los graficamente. Agora, a partir dos valores assumidos por uma variável quantitativa, vamos estabelecer medidas correspondentes a um resumo da distribuição de tais valores. Estabeleceremos um valor médio ou central e um valor indicativo do grau de variabilidade ou dispersão em torno do valor central. Como valores centrais vamos estudar a média, a mediana (e outras medidas separatrizes como o decil, quartil, percentil, etc) e a moda.

Médias

Uma ideia bastante importante é a de média. Estudaremos apenas a média aritmética.

Vejamos um exemplo.

Sabendo-se que a produção leiteira diária de uma vaca, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos para produção média da semana:

10 14 13 15 16 18 12 98 147 7

x + + + + + += = =

Logo, 14 litrosx = .

Ou seja, para calcular a média aritmética de uma lista de números, devemos somar os valores e dividir pela quantidade de dados.

1 2 3 ... nx x x xxn

+ + + +=

Em suma, média aritmética para o rol é o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles:



ixx

n= ∑

Dados agrupados

●Sem intervalos de classe

Consideramos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino.

Nº de meninos

fi

0 2

1 6

2 10

3 12

4 4

Neste caso, como as frequências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada, dada pela fórmula:

i ix fx

n⋅

= ∑

O modo mais prático de obtenção da média ponderada é abrir, na tabela, uma coluna correspondente aos produtos i ix f .

ix if i ix f

0 2 0

1 6 6

2 10 20

3 12 36

4 4 16

78i ix f =∑



A primeira linha nos diz que existem 2 famílias com nenhum filho homem, totalizando 0 filhos.

A segunda linha nos diz que existem 6 famílias com 1 filho homem, totalizando 6 filhos homens.

A terceira linha nos diz que existem 10 famílias com 2 filhos homens, totalizando 20 filhos homens.

E assim sucessivamente. No total, essas 34 famílias, possuem juntas 78 filhos homens.

Temos, então:

78 2,334

i ix fx

n= = =∑

Isto é,

2,3 meninosx =

Observação: Sendo x uma variável discreta, como interpretar o resultado obtido, 2 meninos e 3 décimos de menino? O valor médio 2,3 meninos sugere, neste caso, que o maior número de famílias tem 2 meninos e 2 meninas, sendo, porém, a tendência geral de uma leve superioridade numérica em relação ao número de meninos.

● Com intervalos de classe

Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula

i ix fx

n= ∑

Onde xi é o ponto médio da classe.

Ora, quando temos dados distribuídos em classes perdemos informações. Não temos mais as alturas exatas de cada um dos alunos. Olhe, por exemplo, para a segunda classe da tabela seguinte. Temos 9 alunos com a altura entre 154 (inclusive) e 158 cm. Não sabemos a altura de cada um dos 9 alunos. Convencionamos que os 9 alunos possuem 156 cm (ponto médio da classe).




Estaturas (cm)

Frequência

150 154 4

154 158 9

158 162 11

162 166 8

166 170 5

170 174 3

Total 40

Vamos, inicialmente, abrir uma coluna para os pontos médios e outra para os produtos i ix f .

Estaturas (cm)

if ix i ix f

150 154 4 152 608

154 158 9 156 1404

158 162 11 160 1760

162 166 8 164 1312

166 170 5 168 840

170 174 3 172 516

Total 40 6440i ix f =∑

Neste caso,



6440 161 cm40

i ix fx

n= = =∑

Vamos agora conhecer algumas propriedades importantíssimas sobre média aritmética para que possamos garantir alguma eventual questão teórica sobre este assunto e aproveitar para aprendermos um método mais fácil para calcular média aritmética em distribuições de frequências.

Propriedades da média aritmética

i) A média aritmética sempre existe e é única. ii) Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante c de todos os valores de

uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante.

iii) Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante c , a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante.

iv) A soma algébrica dos desvios tomados em relação à média é nula. v) A soma dos quadrados dos desvios tomados em relação à média

aritmética é um valor mínimo. Vamos verificar essas propriedades através de exemplos.

Consideremos a sequência de dados (2,4,6,8,10,10,12,12), calculemos sua média e verifiquemos as propriedades acima:

2 4 6 8 10 10 12 128

x + + + + + + +=

8x∴ =

Consideremos uma constante c=2. Adicionando essa constante a todos os valores da sequência acima, temos a sequência (4,6,8,10,12,12,14,14).

E a nova média será:

4 6 8 10 12 12 14 14'8

x + + + + + + +=

' 10x∴ =

Observe que ' 2x x= + .

Multipliquemos agora a constante c=2 e obtemos a sequência (4,8,12,16,20,20,24,24) cuja média é:



4 8 12 16 20 20 24 24''8

x + + + + + + +=

'' 16x∴ =

Observe que '' 2x x= ⋅ .

Ainda trabalhando na sequência (2,4,6,8,10,10,12,12).

Sabemos que a média aritmética desse conjunto de dados é 8x = . Denominamos desvio em relação à média a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética. Para o exemplo dado, temos:

1 1 5 5

2 2 6 6

3 3 7 7

4 4 8 8

6 2

4 2

2 4

0 4

d x x d x x

d x x d x x

d x x d x x

d x x d x x

= − = − = − =

= − = − = − =

= − = − = − =

= − = = − =

Facilmente verificamos que a soma dos desvios em relação à média é igual a zero. De fato,

6 4 2 0 2 2 4 0id =− − − + + + + =∑

Finalmente, verifiquemos a 5ª propriedade.

Calculemos a soma dos quadrados dos desvios em relação à média aritmética:

2 2 2 2 2 2 2 2 2( 6) ( 4) ( 2) 0 2 2 4 4id = − + − + − + + + + +∑

2 96id =∑

A propriedade nos diz que, para este conjunto A, o valor 96 é um valor mínimo. Isso porque, se construirmos um conjunto dos desvios 'id formado pela

diferença entre os elementos ix do conjunto e uma constante que não seja a média, ou seja, um conjunto dos desvios em torno de um valor qualquer diferente da média e, feito isso, acharmos o conjunto 2( ')id e em seguida

calcularmos o seu somatório 2( ')id∑ , este último valor será maior do que 96.

Por exemplo, calculemos a soma dos quadrados dos desvios em relação ao número 5 (diferente da média aritmética 8).

2 2 2 2 2 2 2 2 2( ') ( 3) ( 1) 1 3 5 5 7 7id = − + − + + + + + +∑

2( ') 168id =∑



Assim, 2 2( ') ( )i id d>∑ ∑ .

De posse dessas propriedades, vamos aprender um método simplificado (através de uma questão resolvida) para o cálculo da média aritmética em distribuições de frequências. Esse método só é válido nos casos em que as amplitudes das classes são constantes!

Cálculo Simplificado da Média Aritmética

04. (PETROBRAS 2008 – Administrador Júnior – CESGRANRIO) A tabela abaixo apresenta os pesos de um grupo de pessoas e suas respectivas frequências. Não há observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes (em kgf) Frequências

40 – 50 2

50 – 60 5

60 – 70 7

70 – 80 8

80 – 90 3

O peso médio do conjunto de pessoas, em kgf, é

(A) 60

(B) 65

(C) 67

(D) 70

(E) 75

Resolução I

Para calcular a média aritmética de uma distribuição de frequências, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio.



Abriremos inicialmente uma coluna para os pontos médios das classes (xi) e em seguida multiplicaremos esses valores pelas suas respectivas frequências.

O ponto médio é a média aritmética dos extremos da classe. Por exemplo, o

ponto médio da primeira classe é 40 50 90 45

2 2+

= = .

Classes (em kgf) Frequências xi xi.fi

40 – 50 2 45 90

50 – 60 5 55 275

60 – 70 7 65 455

70 – 80 8 75 600

80 – 90 3 85 255

Basta-nos agora somar os valores da coluna i ix f e dividir pela quantidade de observações.

90 275 455 600 255 1675 672 5 7 8 3 25

i ix fx kgf

n+ + + +

= = = =+ + + +

∑

Letra C

Resolução II

Baseado nas propriedades da média aritmética que descrevi na anteriormente, podemos agora resolver essa questão usando um artifício: calcular a média com o auxílio da variável transformada.

Este método que irei descrever só poderá ser utilizado se as amplitudes de TODAS classes forem iguais. No nosso exemplo, as amplitudes de todas as classes são iguais a 10 kgf (50 – 40 = 60 – 50 = ... = 90 – 80 = 10).

Média aritmética

i) Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante qualquer de todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou



diminuída) dessa constante. ii) Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por

uma constante qualquer, a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante.

A mudança de variável será feita da seguinte forma: subtrairemos certa constante a todos os valores da variável. Assim, a média aritmética também será subtraída. Em seguida, dividiremos por outra constante todos os valores obtidos. Assim, a média aritmética será dividida por essa constante.

A constante que iremos subtrair será qualquer um dos pontos médios. A constante que iremos dividir será a amplitude das classes.

Daremos origem a uma variável Y definida por iX XY

h−

= , onde Xi é o

ponto médio de uma classe qualquer e h é amplitude das classes.

Daremos preferência ao ponto médio da primeira classe! Dessa forma, a

variável transformada será 45

10XY −

= .

Assim,

145 45 0

10Y −= = 2

55 45 110

Y −= = 3

65 45 210

Y −= =

475 45 3

10Y −

= = 585 45 4

10Y −= =

Não foi coincidência!! Se fizermos essa mudança de variável (subtrair o ponto médio da primeira classe e dividir pela amplitude das classes), a variável transformada sempre assumirá os valores 0,1,2,3,4,...

Construímos a seguinte tabela:

yi Frequências

0 2

1 5

2 7

3 8

4 3



Calcularemos a média aritmética da variável transformada Y. Para isso, multiplicaremos os valores obtidos pelas suas respectivas frequências:

yi Frequências yi.fi

0 2 0

1 5 5

2 7 14

3 8 24

4 3 12

A média será 0 5 14 24 12 55 2, 2

2 5 7 8 3 25i iy f

y kgfn

+ + + += = = =

+ + + +∑

.

Essa é a média da variável transformada Y!

Se 45

10XY −

= , então concluímos que 10 45X Y= ⋅ + .

Agora aplicamos as propriedades da média aritmética. A média de X será a média de Y multiplicada por 10 e adicionada 45 unidades.

Se X aY b= + , então X aY b= +

10 2,2 45 67X kgf= ⋅ + = .

Letra C

Deixe-me resumir o método (admitindo que escolheremos o primeiro ponto médio para a mudança de variável e que as amplitudes de todas as classes são iguais):

i) Construa a coluna da variável transformada Y, constituída pelos números naturais 0,1,2,3,4,5... (Você não precisa fazer o cálculo para descobrir os valores da variável Y. Eles sempre assumirão esses valores.)



ii) Multiplique os valores da variável transformada pelas respectivas frequências, some os valores e divida por n (n é o somatório das frequências). Assim, calculamos a média da variável transformada.

iii) Para calcular a média da variável original, devemos multiplicar a média aritmética encontrada pela amplitude e somar o ponto médio da primeira classe.

Vamos resolver novamente a questão utilizando o dispositivo prático.


40 – 50 2

50 – 60 5

60 – 70 7

70 – 80 8

80 – 90 3

Abrimos a coluna da variável transformada e multiplicamos pelas respectivas frequências.

Classes (em kgf) Frequências yi yi.fi

40 – 50 2 0 2x0=0

50 – 60 5 1 5x1=5

60 – 70 7 2 7x2=14

70 – 80 8 3 8x3=24

80 – 90 3 4 3x4=12

0 5 14 24 12 55 2, 22 5 7 8 3 25

i iy fy kgf

n+ + + +

= = = =+ + + +

∑

Agora, multiplicamos esse valor pela amplitude dos intervalos (10) e adicionamos o ponto médio da primeira classe (45).

10 2,2 45 67X kgf= ⋅ + =



Vamos calcular novamente a média aritmética das estaturas dos 40 alunos do Ponto dos Concursos.



150 154 4

154 158 9

158 162 11

162 166 8

166 170 5

170 174 3

Total 40

Já que as amplitudes são constantes (154 – 150 = ... = 174 -170 = 4 ), podemos aplicar o dispositivo prático com o auxílio da variável transformada.

Abrimos a coluna da variável transformada e multiplicamos pelas respectivas frequências.

Estaturas (cm)

if iy i iy f⋅

150 154 4 0 4 x 0 = 0

154 158 9 1 9 x 1 = 9

158 162 11 2 11 x 2 = 22

162 166 8 3 8 x 3 = 24

166 170 5 4 5 x 4 = 20

170 174 3 5 3 x 5 =15

Total 40 90i iy f⋅ =∑



90 2, 2540

i iy fy

n= = =∑

Agora, multiplicamos esse valor pela amplitude dos intervalos (4) e

adicionamos o ponto médio da primeira classe (150 154 152

2+

= ).

4 2,25 152 161X cm= ⋅ + = .

05. (Auditor IBGE – CESGRANRIO 2010) A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências das idades de um grupo de crianças.

Classes (em anos) fi

0 �- 2 5

2 �- 4 2

4 �- 6 4

6 �- 8 2

8 �- 10 7

A média das idades dessas crianças, em anos, é

(A) 5,0

(B) 5,2

(C) 5,4

(D) 5,6

(E) 5,8

Resolução

Já que as amplitudes são constantes (2 – 0 = 4 – 2 = ... = 10 – 8 = 2), podemos calcular a média aritmética com o auxílio da variável transformada.



i) Construa a coluna da variável transformada Y, constituída pelos números naturais 0,1,2,3,4,5...

ii) Multiplique os valores da variável transformada pelas respectivas frequências, some os valores e divida por n (n é o somatório das frequências). Assim, calculamos a média da variável transformada.

iii) Para calcular a média da variável original, devemos multiplicar a média aritmética encontrada pela amplitude e somar o ponto médio da primeira classe.

yi fi i iy f⋅

0 5 0

1 2 2

2 4 8

3 2 6

4 7 28

Total 20 44

44 2, 220

i iy fy

n= = =∑

Agora, multiplicamos esse valor pela amplitude dos intervalos (2) e

adicionamos o ponto médio da primeira classe (0 2 1

2+

= ).

2 2, 2 1 5,4X = ⋅ + = .

Letra C

06. (Estatístico – Pref. Manaus 2004 CESGRANRIO) Analise as afirmativas a seguir, a respeito da média aritmética.

I - a soma dos resíduos em relação à média aritmética é sempre igual a zero;

II - é em relação à média aritmética que a soma dos valores absolutos dos resíduos é mínima;



III - é em relação à média aritmética que a soma dos quadrados dos resíduos é mínima.

Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s):

(A) II, somente.

(B) I e II somente.

(C) I e III somente.

(D) II e III somente.

(E) I, II e III.

Resolução

Questão puramente teórica! Uma digna aula sobre média aritmética. Vamos analisar cada um dos itens:

I. A soma dos resíduos em relação à média aritmética é sempre igual a zero. (VERDADEIRO)

Já justifiquei essa propriedade com um exemplo. Ei-lo novamente.

Consideremos a sequência de dados (2,4,6,8,10,10,12,12).

A média aritmética é dada por

2 4 6 8 10 10 12 128

x + + + + + + +=

8x∴ =

Sabemos que a média aritmética desse conjunto de dados é 8x = . Denominamos desvio ou resíduo em relação à média a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética. Para o exemplo dado, temos:

1 1 5 5

2 2 6 6

3 3 7 7

4 4 8 8

6 2

4 2

2 4

0 4

d x x d x x

d x x d x x

d x x d x x

d x x d x x

= − = − = − =

= − = − = − =

= − = − = − =

= − = = − =



Facilmente verificamos que a soma dos desvios em relação à média é igual a zero. De fato,

6 4 2 0 2 2 4 0id =− − − + + + + =∑ .

Obviamente essa não foi uma demonstração matemática. Apenas ilustrei a propriedade através de um exemplo. De fato, qualquer que seja a distribuição de dados, a soma dos desvios em relação à média sempre é igual a zero!

II - é em relação à média aritmética que a soma dos valores absolutos dos resíduos é mínima. (FALSO)

A proposição é falsa, pois é em relação à mediana (estudaremos ainda nesta aula) que a soma dos valores absolutos dos resíduos é mínima.

III - é em relação à média aritmética que a soma dos quadrados dos resíduos é mínima. (VERDADEIRO)

Voltemos ao nosso exemplo: a sequência (2,4,6,8,10,10,12,12).

Os desvios em relação à media já foram calculados. Para calcular a soma dos quadrados, devemos elevar cada resíduo ao quadrado e depois somar.

2 2 2 2 2 2 2 2 2( 6) ( 4) ( 2) 0 2 2 4 4id = − + − + − + + + + +∑

2 96id =∑

A propriedade nos diz que, para este conjunto A, o valor 96 é um valor mínimo. Isso porque, se construirmos um conjunto dos desvios 'id formado pela

diferença entre os elementos ix do conjunto e uma constante que não seja a média, ou seja, um conjunto dos desvios em torno de um valor qualquer diferente da média e, feito isso, acharmos o conjunto 2( ')id e em seguida

calcularmos o seu somatório 2( ')id∑ , este último valor será maior do que 96.

Por exemplo, calculemos a soma dos quadrados dos desvios em relação ao número 5 (diferente da média aritmética 8).

2 2 2 2 2 2 2 2 2( ') ( 3) ( 1) 1 3 5 5 7 7id = − + − + + + + + +∑

2( ') 168id =∑



Assim, 2 2( ') ( )i id d>∑ ∑ .

Letra C

07. (MPE-RO CESGRANRIO 2005) A tabela apresenta uma distribuição de frequência dos salários dos 200 empregados de certa empresa.

Salário (R$) Frequência

260 – 520 50

520 – 1040 100

1040 – 1560 30

1560 - 2600 20

O salário médio, aproximadamente, vale:

(A) R$ 600,00

(B) R$ 780,00

(C) R$ 890,50

(D) R$ 1 040,00

(E) R$ 1430,00

Nessa questão as amplitudes não são constantes!! Portanto, não poderemos calcular a média aritmética com o auxílio da variável transformada.

Para calcular a média aritmética de uma distribuição de frequências, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio.

Abriremos inicialmente uma coluna para os pontos médios das classes (xi) e em seguida multiplicaremos esses valores pelas suas respectivas frequências.



Lembre-se que para calcular o ponto médio das classes, basta calcular a média aritmética dos extremos das classes, por exemplo, o primeiro ponto médio é 260 520 390

2+

= .

19.500 78.000 39.000 41.600 178.100 890,50200 200

i ix fx

n+ + +

= = = =∑

Letra C

08. (TCE/SC 2006 – FEPESE) Para um estudo sobre bolsas escolares a serem distribuídas em determinada região realizou-se uma pesquisa com 50 famílias, apurando-se o número de filhos de cada uma delas. Os dados estão representados na tabela abaixo:

Assinale a alternativa que representa a média do número de filhos na pesquisa realizada.

a) 1,94

Salário (R$) xi fi xi.fi

260 – 520 390 50 19.500

520 – 1040 780 100 78.000

1040 – 1560 1300 30 39.000

1560 - 2600 2080 20 41.600



b) 0,34

c) 1,62

d) 0,62

e) 1,34

Resolução

Neste caso, como as frequências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada, dada pela fórmula:

i ix fx

n⋅

= ∑

O modo mais prático de obtenção da média ponderada é abrir, na tabela, uma coluna correspondente aos produtos i ix f .

ix if i ix f

0 14 0

1 16 16

2 11 22

3 7 21

4 2 8

67

A primeira linha nos diz que existem 14 famílias com nenhum filho, totalizando 0 filhos.

A segunda linha nos diz que existem 16 famílias com 1 filho, totalizando 16 filhos.

A terceira linha nos diz que existem 11 famílias com 2 filhos, totalizando 22 filhos homens.

E assim sucessivamente. No total, essas 50 famílias, possuem juntas 67 filhos .

Temos, então:



∑ 6750 1,34

Letra E

09. (TCE/SC 2006 – FEPESE) Na Figura 1 é possível visualizar o resultado de uma pesquisa sobre o tempo despendido pelos funcionários de uma empresa no deslocamento de suas residências até o local de trabalho.

Assinale a alternativa que representa o tempo médio que os funcionários levam para se deslocarem de suas residências até a empresa.

a) 9,84 minutos

b) 7,84 minutos

c) 5,84 minutos

d) 8 minutos

e) 4 minutos

Resolução

Podemos resolver essa questão pelo “método tradicional” (pelos pontos médios) ou pelo método simplificado. Nesta questão, os valores são tão “pequenos” (e, além disso, são inteiros) que não vale a pena fazer pelo método simplificado. Teríamos apenas trabalho em construir a distribuição de frequências.

O ponto médio da



primeira classe é 2.

segunda classe é 6.

terceira classe é 10.

quarta classe é 14.

Devemos multiplicar cada ponto médio pela sua frequência, somar esses valores e dividir pelo total de observações (19+32+33+16=100).

Assim,

2 · 19 6 · 32 10 · 33 14 · 16100 7,84

Letra B

Mediana (Md)

A mediana é outra medida de posição definida como número que se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.

Dados não-agrupados

Dada uma série de valores, como, por exemplo:

5,10,13,12,7,8,4,3,9.

De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da ordenação (colocar os dados brutos em rol) dos valores.

3,4,5,7,8,9,10,12,13.

Em seguida, tomamos aquele valor central que apresenta o mesmo número de elementos à direita e à esquerda. Em nosso exemplo, esse valor é o número 8, já que, nessa série, há 4 elementos acima dele e quatro abaixo.

Temos então,

Md=8.



Se, porém a série dada tiver um número par de termos, a mediana será, por definição, qualquer dos números compreendidos entre os dois valores centrais da série. Convencionou-se utilizar o ponto médio.

Assim, a série de valores 2,6,7,10,12,13,18,21 tem para mediana a média aritmética entre 10 e 12.

Logo,

10 12 112

11

Md

Md

+= =

∴ =

Verificamos que, estando ordenados os valores de uma série e sendo n o número de elementos da série, o valor mediano será:

- o termo de ordem 12

n + , se n for ímpar.

- a média aritmética dos termos de ordem e 12 2n n

+ , se n for par.

Observações:

i) O valor da mediana pode coincidir ou não com um elemento da série. Quando o número de elementos da série é ímpar, há coincidência. O mesmo não acontece, porém, quando esse número é par.

ii) A mediana depende da posição e não dos valores dos elementos na série ordenada. Essa é uma das diferenças marcantes entre a mediana e a média (que se deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos).

iii) A mediana é também designada por valor mediano.

Dados Agrupados

Sem intervalos de classe

Neste caso, é o bastante identificar a frequência acumulada imediatamente superior à metade da soma das freqüências. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal frequência acumulada.

Xi fi fac

2 2 2

4 6 8



6 10 18

8 12 30

10 9 39

Verificamos facilmente que o número de elementos da distribuição é ímpar. Desta forma, temos apenas uma posição central.

Posição central: 39 1 202+

=

Temos então que a mediana será o termo da 20ª posição. Através da frequência acumulada temos que Md=8.

Xi fi fac

2 2 2

4 6 8

6 10 18

8 12 30

10 10 40

Neste segundo exemplo, o número de elementos da distribuição é par, e, como

vimos, teremos duas posições centrais: 40 =20 e 20 1 212

+ =

Novamente, através da frequência acumulada verificamos que as duas posições centrais são iguais a 8.

Assim, 8 8 82

Md += = .

E como último exemplo:

Xi fi fac

2 2 2

4 6 8



6 10 18

8 12 30

10 6 36

Como o número de elementos é par, teremos duas posições centrais.

36 =18 e 18 1 192

+ = .

O termo de posição 18 é igual a 6 e o termo de posição 19 é igual a 8. Temos então que a mediana será

6 8 72

Md += = .

10. (Economista - Instituto de Previdência do Estado de Santa Catarina – FEPESE/2006) Ao fazer um levantamento amostral do preço de combustível em 5 postos de abastecimento, foram obtidos os seguintes valores (em reais) para o litro da gasolina: 2,57; 2,36; 2,60; 2,37 e 2,44. Diante desses dados assinale a frase correta:

a) A diferença entre a média e a mediana é de R$ 0,03.

b) A média é uma medida que não leva em contra todos os valores do conjunto que está sendo analisado, entretanto, para os dados apresentados é uma alternativa para a análise estatística dos resultados, pois a amplitude total do conjunto de dados é bastante pequena.

c) A mediana dos dados obtidos é R$ 2,60.

d) A média é uma medida preferida nos estudos estatísticos, pois ela não é afetada pelos maiores valores do conjunto de valores dados.

e) Como todos os valores obtidos são diferentes pode-se afirmar que os dados obtidos tem 5 valores modais.

Resolução

Para calcular a média aritmética basta somar os valores e dividir por 5.



2,57 2,36 2,60 2,37 2,445 2,468

Para calcular a mediana devemos dispor os dados em rol (ordem crescente ou decrescente) e verificar o termo que fica “no meio”.

Rol: 2,36 ; 2,37 ; 2,44 ; 2,57 ; 2,60

Logo, a mediana é 2,44.

a) A diferença entre a média e a mediana é de 2,468 – 2,44 = 0,028.

A alternativa A é falsa. Porém, o gabarito oficial foi justamente esta alternativa. Considerando que a moeda Real trabalha com 2 casas decimais, “considerando” a média 2,47, então a diferença seria 2,47 - 2,44 = 0,03. Esta é a alternativa menos errada.

b) O cálculo da média leva em consideração todos os valores do conjunto. Falsa

c) Falsa, pois a mediana é 2,44.

d) Falsa. A média é afetada pelos maiores valores do conjunto de valores dados. Por exemplo, temos os salários de 5 pessoas:

R$ 200,00 ; R$ 150,00 ; R$ 400,00 ; R$ 550,00 ; R$ 24.700,00

A média é igual a R$ 5.200,00 (valor bastante afetado pelo valor extremo R$ 24.700,00).

“Estatística: a ciência que diz que se eu comi um frango e tu não comestes nenhum, teremos comido, em média, meio frango cada um.”

Pitigrilli – Italiano (1893-1975)-Escritor

e) Ainda não estudamos moda estatística. Mas já adiantando: quando todos os dados são diferentes, a distribuição é denominada amodal (sem moda). Falsa. Em tempo: moda é o termo que aparece com maior frequência em um rol.

Letra A (gabarito oficial (menos errada)).

E quanto ao cálculo da mediana em distribuições de frequências? Vejamos através das próximas questões resolvidas.




O valor aproximado, em kgf, do peso mediano do conjunto de pessoas é

(A) 67

(B) 68

(C) 69

(D) 70

(E) 71

Resolução

A mediana é outra medida de posição definida como número que se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.

No cálculo da mediana em uma distribuição de frequência não teremos a preocupação de determinarmos se o número de elementos é par ou ímpar. Os passos básicos para determinar a mediana de uma distribuição serão:

i) Descobrir a classe mediana. ii) Aplicar a fórmula da mediana para distribuição de frequências.

Para determinarmos a classe mediana, deveremos calcular o valor 2n . Em

seguida comparamos esse valor com os valores da frequência absoluta acumulada crescente. Procuraremos a classe cuja frequência acumulada seja

maior ou igual ao valor de 2n .

No nosso caso, n=2+5+7+8+3=25. Assim, 25 12,52 2n= = . Devemos construir a

coluna de frequência absoluta acumulada crescente.


40 – 50 2

50 – 60 5

60 – 70 7

70 – 80 8

80 – 90 3



E como se constrói essa coluna? Para a primeira classe devemos simplesmente repetir a frequência absoluta. Para as outras, devemos somar a frequência absoluta da classe com a frequência acumulada anterior. Deixe-me mostrar no exemplo:

Ou seja,

Para determinar a classe mediana, devemos comparar cada uma das frequências acumuladas com o valor 12,5. Quando encontrarmos o primeiro valor que for maior ou igual a 12,5 teremos determinado a classe mediana.

Classes (em kgf) Frequências Fac

40 – 50 2 2

50 – 60 5 2+5=7

60 – 70 7 7+7=14

70 – 80 8 8+14=22

80 – 90 3 3+22=25


40 – 50 2 2

50 – 60 5 7

60 – 70 7 14

70 – 80 8 22

80 – 90 3 25




Estamos prontos para aplicarmos a fórmula da mediana.

inf2 ANT

i

n facMd l h

f

⎡ ⎤−⎢ ⎥= + ⋅⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

Precisaremos dos seguintes valores:

Limite inferior da classe mediana ( inf 60l = ).

12,52n=

Frequência acumulada da classe anterior à classe mediana ( 7ANTfac = ).

Frequência absoluta da classe mediana ( 7if = )

Amplitude da classe mediana ( 70 60 10h = − = )

A mediana é dada por:

inf12,5 72 60 10 67,85 68

7

ANT

i

n facMd l h cm

f

⎡ ⎤−⎢ ⎥ −⎡ ⎤= + ⋅ = + ⋅ ≅ ≅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

Letra B


40 – 50 2 2

50 – 60 5 7

60 – 70 7 14

70 – 80 8 22

80 – 90 3 25

Classe mediana

(14 > 12,5)




0 �- 2 5

2 �- 4 2

4 �- 6 4

6 �- 8 2

8 �- 10 7

A mediana da distribuição de frequências apresentada é

(A) 5,5

(B) 5,6

(C) 5,7

(D) 5,8

(E) 5,9

Resolução

Os passos básicos para determinar a mediana de uma distribuição serão:


Para determinarmos a classe mediana, deveremos calcular o valor 2n . Em

seguida comparamos esse valor com os valores da frequência absoluta acumulada crescente. Procuraremos a classe cuja frequência acumulada seja

maior ou igual ao valor de 2n . No nosso caso, n = 20. Logo, 20 10

2 2n= = .

Devemos construir a coluna de frequência absoluta acumulada crescente.

Classes (em anos) fi Fac

0 �- 2 5 5

2 �- 4 2 7

4 �- 6 4 11



Vamos procurar a classe mediana. Basta olhar para a coluna de frequências

acumuladas e comparar com o valor 102n= . A primeira frequência acumulada

que for maior ou igual a 10 caracterizará a classe mediana. Verificamos facilmente que 11>10.

Coloquei em vermelho os valores que utilizaremos na fórmula da mediana.



102n=


6 �- 8 2 13

8 �- 10 7 20

Classes (em anos) fi Fac

0 �- 2 5 5

2 �- 4 2 7

4 �- 6 4 11

6 �- 8 2 13

8 �- 10 7 20

Classe mediana

(11 > 10)




Amplitude da classe mediana ( 6 4 2h = − = )


inf10 72 4 2 5,5

4

ANT

i

n facMd l h

f

⎡ ⎤−⎢ ⎥ −⎡ ⎤= + ⋅ = + ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

Letra A

(MPE-RO CESGRANRIO 2005) O enunciado a seguir refere-se às questões de números 13 e 14.

A tabela apresenta uma distribuição de frequência dos salários dos 200 empregados de certa empresa.


260 – 520 50

520 – 1040 100

1040 – 1560 30

1560 - 2600 20

13. O salário mediano vale, aproximadamente:

(A) R$ 600,00

(B) R$ 780,00

(C) R$ 890,50



(D) R$ 1 040,00

(E) R$ 1 430,00

Resolução

Os passos básicos para determinar a mediana de uma distribuição serão:


Para descobrir a classe mediana devemos calcular 2n . Como n = 200, temos

que 1002n= . E o que fazer agora? Construir a coluna das frequências

acumuladas.

Salário (R$) Frequência fac

260 – 520 50 50

520 – 1040 100 150

1040 – 1560 30 180

1560 - 2600 20 200

Novamente em vermelho os valores que utilizaremos na fórmula da mediana.



1002n=



Classe mediana

(150 > 100)



Amplitude da classe mediana ( 1040 520 520h = − = ). Observe que nessa questão as amplitudes não são constantes. Para o cálculo da mediana deveremos utilizar a amplitude da classe mediana!! Cuidado...


inf100 502 520 520 780

100

ANT

i

n facMd l h

f

⎡ ⎤−⎢ ⎥ −⎡ ⎤= + ⋅ = + ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

Letra B

14. O terceiro quartil, aproximadamente, vale:

(A) R$ 600,00

(B) R$ 780,00

(C) R$ 890,50

(D) R$ 1 040,00

(E) R$ 1 430,00

Resolução

O método para calcular o terceiro quartil (e as outras medidas separatrizes como decis, percentis e os outros quartis) é muito parecido com o da mediana.

Em tempo: os decis dividem a distribuição em 10 partes de mesma frequência. Os percentis dividem a distribuição em 100 partes de mesma frequência. Os quartis dividem a distribuição em 4 partes de mesma frequência. A mediana divide a distribuição em 2 partes de mesma frequência.

Diferença: ao invés de calcularmos o valor 2n calcularemos 3

4n . O

denominador é igual a 4 porque trata-se de um quartil (dividimos a distribuição em quatros partes). O numerador é 3n porque estamos calculando o terceiro quartil. Então, a única coisa que vai mudar na fórmula, é que ao invés de

utilizarmos 2n utilizaremos 3

4n . E para calcular a classe do terceiro quartil

deveremos procurar a frequência acumulada que é maior ou igual a 34n . A

fórmula do terceiro quartil ficará



3 inf

34 ANT

i

n facQ l h

f

⎡ ⎤−⎢ ⎥= + ⋅⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

Já que n = 200, então 3 3 200 1504 4n ⋅= = .

E o que fazer agora? Construir a coluna das frequências acumuladas.

Salário (R$) Frequência fac

260 – 520 50 50

520 – 1040 100 150

1040 – 1560 30 180

1560 - 2600 20 200

Novamente em vermelho os valores que utilizaremos na fórmula da mediana.



3 1504n=

Classe do terceiro quartil

(150=150)



Frequência acumulada da classe anterior à classe do terceiro quartil (50ANTfac = ).

Frequência absoluta da classe do terceiro quartil ( 100if = )

Amplitude da classe do terceiro quartil ( 1040 520 520h = − = ). Observe que nessa questão as amplitudes não são constantes. Para o cálculo do terceiro quartil deveremos utilizar a amplitude da classe do terceiro quartil!! Cuidado...

O terceiro quartil é dado por:

3 inf

3150 504 520 520 1040

100

ANT

i

n facQ l h

f

⎡ ⎤−⎢ ⎥ −⎡ ⎤= + ⋅ = + ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

Letra D

Moda

Foi Karl Pearson quem introduziu em Estatística pela primeira vez,no século XIX, o conceito de moda, talvez baseado no próprio significado da palavra.

A moda é definida como sendo aquele valor ou valores que ocorrem com maior frequência em um rol. Baseado neste contexto, um conjunto de valores pode apresentar mais de uma moda. Neste caso dizemos ser plurimodal, caso contrário, será unimodal, ou ainda, amodal (quando todos os valores das variáveis em estudo apresentarem uma mesma frequência).

i) Para dados não agrupados em classe

Para a identificação da moda em um conjunto ordenado de valores não agrupados em classe, basta verificar, no conjunto, aquele valore que aparece com maior frequência.

Exemplos:

X1={1,2,3,4,5,6} (Conjunto amodal)

X2={10,10,12,13,18} Mo=10 (Conjunto Unimodal)



X3={100,100,200,200,300,600} Mo=100 e Mo=200

(Conjunto bimodal)

ii) Para dados agrupados – não agrupados em classe

Quando os dados estiverem dispostos em uma Tabela de Frequência, não agrupados em classe, a localização da moda é imediata, bastando para isso, verificar na tabela, qual o valor predominante.

Estatura (m)

Freq.

1,60 3

1,62 8

1,64 12

1,70 20

1,73 10

1,80 7

1,83 3

1,88 1

Na tabela o valor modal é 1,70m, isto porque é o resultado que apresenta o maior número de alunos (20).

iii) Dados agrupados em classe

Tratando-se de dados agrupados em classe, a moda não é percebida tão facilmente como nos casos anteriores. Para tal, utilizamos diversos processos na sua obtenção. Mas qualquer que seja o processo adotado, o primeiro passo é identificar a classe que contém a maior frequência. A esta classe denominamos classe-modal.

Aprenderemos a determinar a moda da distribuição de frequências pelo método da moda bruta, pelo Método de Czuber e pelo Método de King.

Se a questão não especificar qual das fórmulas a ser empregada, pedindo apenas que se calcule a moda, usaremos a fórmula de Czuber.



Consequentemente, só empregaremos a fórmula de King quando assim for solicitado expressamente.

Moda Bruta

De todos os processos, este é o mais elementar, bastando, para isso, tomar o ponto médio da classe modal (aquela que contém a maior frequência).

Na próxima tabela, verificamos, de imediato, que a distribuição possui apenas uma Moda e, que ela está contida na classe 4 � 6 chamada Classe Modal. Logo, o ponto médio da classe modal o caso, Nota 5, é conhecida como Moda Bruta.

Notas Classe fi

0 � 2 27

2 � 4 16

4 � 6 34

6 � 8 17

8 �10 16

110if =∑

Processo de Czuber

O processo utilizado por Czuber leva em consideração as frequências anterior e posterior à Classe Modal.

Moc = Moda (Processos de Czuber)

1 máx antf fΔ = −

2 m áx postf fΔ = −

h = amplitude do intervalo de classe

il = Limite inferior da classe modal

Assim, a moda de Czuber é dada por



1

1 2C iMo l h

⎡ ⎤Δ= + ⋅⎢ ⎥Δ + Δ⎣ ⎦

Observação: A demonstração desta fórmula foi colocada por mim no site do Ponto dos Concursos no link

http://www.pontodosconcursos.com.br/artigos3.asp?prof=249&art=5103&idpag=4

No nosso exemplo,

1

2

34 16 1834 17 17

24i

hl

Δ = − =Δ = − ===

Logo,

184 2 5,028518 17

5,0285

C

C

Mo

Mo

⎡ ⎤= + ⋅ =⎢ ⎥+⎣ ⎦∴ =

Processo de King

No processo proposto por King, é considerada a influência sobre a classe modal das freqüências das classes anterior e posterior. A inconveniência deste processo é justamente não levar em consideração a frequência da classe modal.

postK i

ant post

fMo l h

f f⎡ ⎤

= + ⋅⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

No nosso exemplo,

17

1624

post

ant

i

f

fhl

=

===

Logo,



174 2 5,030317 16

5,0303

K

K

Mo

Mo

⎡ ⎤= + ⋅ =⎢ ⎥+⎣ ⎦∴ =

Propriedades da Moda

Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante c de todos os valores de uma variável, a moda do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante.

Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante c , a moda do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante.

15. (AFRFB 2009 ESAF) Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa amostra, marque a única opção correta:

29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28.

a) A média e a mediana das idades são iguais a 27.

b) A moda e a média das idades são iguais a 27.

c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08.

d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074.

e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27.

Resolução

Média aritmética:

Rol: 23, 23, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 26, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 28, 28, 28, 28, 29, 29, 29, 30, 31, 32, 32, 33, 34, 35, 36, 39, 41.

A mediana será o termo de ordem 37 1 19º2+

= . Logo, a mediana é 27.

ixx

n= ∑

1052 28,4337

x = ≅



A moda é definida como sendo aquele valor ou valores que ocorrem com maior frequência em um rol.

A moda é 27.

Letra E

16. (AFRF 1998) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomadas numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano.

4,5,5,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,10,10,10,10,10,10,10,10,11,11,12,12,13,13,14, 15,15,15,16,16,18,23.

Assinale a opção que corresponde ao preço modal.

a) 8 b) 23 c) 7 d) 10 e) 9

Resolução

Questão muito fácil!

Basta verificar o valor de maior frequência. Facilmente verifica-se que a moda é 8, pois ele tem a maior frequência (aparece mais vezes).

Letra A

17. (AFRF/ESAF/1996) Para efeito desta questão, considere os seguintes dados.

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA

EMPRESA ALFA, EM 01.01.90

Classes de Idades (anos) if Pontos Médios (PM)

19,5�24,5 2 22

24,5�29,5 9 27

29,5�34,5 23 32



34,5�39,5 29 37

39,5�44,5 18 42

44,5�49,5 12 47

49,5�54,5 7 52

Total 100

Marque a opção que representa a moda das idades dos funcionários em 1º/01/90.

a) 35,97 b) 36,26 c) 36,76 d) 37,03 e) 37,31

Resolução

O primeiro passo é determinar a classe modal (maior frequência). A classe modal é a quarta classe 34,5�39,5, cuja frequência é 29. A frequência anterior à classe modal é 23, e temos que Δ1=29 – 23 = 6. A frequência posterior à classe modal é 18 e temos que Δ2=29 – 18 = 11.

O limite inferior da classe modal é 34,5 e a amplitude da classe modal é 5. Assim, a moda de Czuber será

Letra B

Medidas de dispersão ou variabilidade Discutimos diversas maneiras de obter um valor que fosse representativo para os demais em um dado conjunto. Muitas vezes apenas os cálculos ou apresentações de um valor específico para um conjunto qualquer não são suficientes para caracterizar uma distribuição ou um conjunto de valores.

O grau ao qual os dados numéricos tendem a dispersar-se (afastar-se) em torno de um valor chama-se variação ou dispersão dos dados. Dispõe-se de várias medidas de dispersão. Estudaremos as mais importantes.

1

1 2C iMo l h

⎡ ⎤Δ= + ⋅⎢ ⎥Δ + Δ⎣ ⎦

634,5 5 36,266 11CMo ⎡ ⎤= + ⋅ =⎢ ⎥+⎣ ⎦



Desvio Absoluto Médio (Dm)

Aprendemos que a soma algébrica dos desvios tomados em relação à média é nula.

Assim, não nos importaria “criar” uma medida de dispersão que utilize a soma algébrica dos desvios, pois essa, como sabemos, é sempre zero.

Temos duas alternativas a tomar: trocar o sinal dos desvios negativos (calcular o módulo dos desvios) ou elevar os desvios negativos ao quadrado (pois todo número elevado ao quadrado não é negativo).

Ao tomar a primeira posição, damos origem ao desvio absoluto médio e ao tomar a segunda posição damos origem à variância.

O desvio absoluto médio também é chamado apenas de desvio médio ou desvio absoluto.

Desvio médio é a média aritmética dos valores absolutos dos desvios da distribuição, em relação a uma medida de tendência central: média ou mediana. Na presente aula limitar-nos-emos apenas em relação à média aritmética.

1

n

ii

X XDm

n=

−=∑

Quando os dados se apresentarem ordenados em uma tabela de frequência com dados agrupados em classe ou dados isolados ponderados, utilizaremos a seguinte fórmula:

1

n

i ii

X X fDm

n=

− ⋅=∑

Denominamos desvio em relação à média a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética.

(2,4,6,8,10,10,12,12)

A média aritmética dessa lista de números é igual a 8. Por exemplo, o desvio em relação à média do primeiro número é 2 – 8 = - 6.

1 1 5 5

2 2 6 6

3 3 7 7

4 4 8 8

6 2

4 2

2 4

0 4

d x x d x x

d x x d x x

d x x d x x

d x x d x x

= − = − = − =

= − = − = − =

= − = − = − =

= − = = − =



Para calcular o desvio absoluto médio, devemos considerar o valor absoluto (módulo) dos valores acima obtidos.

Onde di é a diferença entre cada valor e a média aritmética.

Vejamos um exemplo do cálculo do desvio absoluto médio em uma distribuição de frequências. O primeiro passo é calcular a média aritmética da distribuição (se possível utilizando o método simplificado). Em seguida, devemos calcular cada desvio em relação à média, tomar seus valores absolutos, multiplicar cada resultado pela frequência da classe, somar todos os valores e dividir por n.


1 5

2 6

3 7

4 8

6 2

4 2

2 4

0 4

d d

d d

d d

d d

= =

= =

= =

= =

idDam

n= ∑

6 4 2 0 2 2 4 48

Dam + + + + + + +=

3Dam =

1

n

i ii

X X fDam

n=

− ⋅=∑



18. (AFRF 2002.2/ESAF) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100, obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte:

Classes Frequência (f)

29,5-39,5 4

39,5-49,5 8

49,5-59,5 14

59,5-69,5 20

69,5-79,5 26

79,5-89,5 18

89,5-99,5 10

Assinale a opção que corresponde ao desvio absoluto médio do atributo X.

a) 16,0 b) 17,0 c) 16,6 d) 18,1 e) 13,0

Resolução

O primeiro passo, como foi dito, é calcular a média aritmética da distribuição. Já que as amplitudes são constantes (iguais a 10), então poderemos utilizar o método breve. Lembrando que devemos abrir uma coluna para a variável transformada y, que é formada pela sequência dos números naturais.

Classes (f) yi

29,5-39,5 4 0

39,5-49,5 8 1

49,5-59,5 14 2



59,5-69,5 20 3

69,5-79,5 26 4

79,5-89,5 18 5

89,5-99,5 10 6

Para calcular a média aritmética, devemos multiplicar os valores da variável transformada pelas suas respectivas frequências. Somar os valores e dividir por “n”.

Classes (f) yi yi.f

29,5-39,5 4 0 0

39,5-49,5 8 1 8

49,5-59,5 14 2 28

59,5-69,5 20 3 60

69,5-79,5 26 4 104

79,5-89,5 18 5 90

89,5-99,5 10 6 60

Essa é a média da variável transformada. Para calcular a média da variável original, devemos multiplicar a média aritmética encontrada pela amplitude e somar o ponto médio da primeira classe.

350 3,5100

y = =

1x y h x= ⋅ +



Para calcular o desvio absoluto médio, devemos calcular o módulo da diferença entre cada ponto médio e a média aritmética.

Calculamos o primeiro ponto médio, que é a média aritmética entre 29,5 e 39,5. Logo, o primeiro ponto médio é igual a 34,5.

Para calcular os próximos pontos médios, basta adicionar a amplitude das classes. Ou seja, o próximo ponto médio é igual a 34,5 + 10 = 44,5.

Classes (f) Xi

29,5-39,5 4 34,5

39,5-49,5 8 44,5

49,5-59,5 14 54,5

59,5-69,5 20 64,5

69,5-79,5 26 74,5

79,5-89,5 18 84,5

89,5-99,5 10 94,5

A média aritmética é igual a 69,5. O desvio da primeira classe é 34,5 – 69,5 = - 35. O módulo desse desvio é 35. Faremos da mesma maneira o cálculo nas próximas classes.

Classes (f) Xi │Xi-X│

29,5-39,5 4 34,5 35

39,5-49,5 8 44,5 25

49,5-59,5 14 54,5 15

59,5-69,5 20 64,5 5

69,5-79,5 26 74,5 5

3,5 10 34,5x = ⋅ +

69,5x =



79,5-89,5 18 84,5 15

89,5-99,5 10 94,5 25

O próximo passo é multiplicar cada desvio pela sua respectiva frequência.

Classes (f) Xi │Xi-X│ │Xi-X│.f

29,5-39,5 4 34,5 35 140

39,5-49,5 8 44,5 25 200

49,5-59,5 14 54,5 15 210

59,5-69,5 20 64,5 5 100

69,5-79,5 26 74,5 5 130

79,5-89,5 18 84,5 15 270

89,5-99,5 10 94,5 25 250

Estamos prontos para calcular o desvio absoluto médio. Basta somar os valores da última coluna e dividir por n.

Letra E

Desvio padrão e Variância

De todas as medidas de dispersão apresentadas até aqui, o Desvio Padrão é o mais utilizado, e cuja definição nada mais é do que a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios.

O conceito de desvio padrão está intimamente ligado ao estudo da variância. Essas duas medidas de dispersão apresentam uma

1300 13100

Dam = =



peculiaridade: teremos que prestar atenção se questão será com amostras ou com a população.

Suponhamos que desejamos conhecer alguma coisa sobre determinada população – por exemplo, a média salarial, o desvio padrão das alturas, o percentual de intenções de voto para um determinado candidato - e essa população é composta de milhares (talvez milhões) de elementos, de tal modo que seria muito difícil pesquisar o valor correto, pois seria inviável pesquisar todos os elementos. Nesse caso, temo de recorrer aos valores encontrados em uma amostra!!

Seja qual for o caso, o fato é que, em muitas situações, precisamos obter as informações de uma amostra. O valor da população, chamado de parâmetro populacional, é desconhecido. O que é possível de se obter é um valor da amostra, que supostamente nos dá uma ideia do valor correto (populacional) do parâmetro. Esse valor amostral é chamado de estimador do parâmetro populacional. Por exemplo, queremos saber a média de idade dos estudantes do Ponto dos Concursos. Como há muitos estudantes, recorremos a uma amostra de, digamos 150 alunos. A média da amostra encontrada foi de 24 anos. Essa é a nossa estimativa! Mas a média de idade dos estudantes do Ponto dos Concursos é realmente 24 anos? Não dá para saber, a não ser que todos os estudantes do Ponto fossem pesquisados.

Portanto, são coisas diferentes o parâmetro populacional e o estimador e, portanto, devem ser representados de maneiras diferentes, por exemplo:

( ) ( )

X média amostral estimadormédia populacional parâmetro populacionalμ

==

E não é só uma diferença de valores!! O parâmetro populacional é, em geral, um valor fixo. O estimador depende da amostra.

A principal propriedade desejável de um estimador é a de que esse estimador, na média, acerte o valor correto. Ou seja, se pudéssemos repetir a experiência infinitas vezes, o valor médio das estimativas encontradas em cada experimento seria o valor correto do parâmetro populacional.

A esperança (trataremos a esperança com detalhes neste curso) do estimador deve ser o parâmetro populacional. Se isso ocorre, dizemos que o estimador é não viesado (não viciado). Se, entretanto, o estimador erra, em média, dizemos que ele é viesado (viciado).

Pois bem, o desvio padrão é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios.



No caso do rol (população), aplicaremos a seguinte fórmula:

∑


∑ ·

São fórmulas muito parecidas com a do desvio absoluto médio. A diferença é que no lugar de tomar os valores absolutos dos desvios, devemos elevar os desvios ao quadrado. E do resultado final, extrair a raiz quadrada.

E se estivermos trabalhando com amostras. A única diferença é que o denominador da fórmula não será “n”! Será “n-1”!!

∑ · é um estimador não viciado (não viesado) da variância.

Utilizaremos a seguinte notação: se estivermos trabalhando com população, a letra indicadora do desvio padrão será a letra grega sigma σ. O desvio padrão amostral será designado pela letra latina s.

Lembrando mais uma vez: se estivermos trabalhando com amostras, na fórmula do desvio padrão (e também da variância que veremos adiante) o denominador deverá ser trocado por n-1.

E quanto as fórmulas da variância??

Se você sabe como calcular o desvio padrão, automaticamente já sabe calcular a variância. Basta não extrair a raiz quadrada.

Variância populacional

∑ ·

Variância Amostral

∑ ·1

Em suma, a variância é o quadrado do desvio padrão e o desvio padrão é a raiz quadrada da variância!!!



Vejamos alguns exemplos.

19. (Auditor IBGE - CESGRANRIO 2010) No último mês, Alípio fez apenas 8 ligações de seu telefone celular cujas durações, em minutos, estão apresentadas no rol abaixo.

5 2 11 8 3 8 7 4

O valor aproximado do desvio padrão desse conjunto de tempos, em minutos, é

(A) 3,1

(B) 2,8

(C) 2,5

(D) 2,2

(E) 2,0

Resolução

Nesse caso, não estamos trabalhando com uma amostra. Pois Alípio fez apenas 8 ligações de seu telefone celular. Então, na fórmula do desvio-padrão o denominador será o próprio n (o número de elementos da população). Estamos trabalhando com um parâmetro populacional.

22 ( )ix x

nσ

−= ∑

Devemos, portanto, calcular a média aritmética dos elementos da população e finalmente aplicarmos a fórmula do desvio-padrão populacional.

5 2 11 8 3 8 7 4 68

μ + + + + + + += =

xi ix x− ( )2

ix x−

5 5 – 6 = -1 (-1)2 = 1

2 2 – 6 = -4 (-4)2 = 16

11 11 – 6 = 5 52 = 25

8 8 – 6 = 2 22 = 4



3 3 – 6 = -3 (-3)2 = 9

8 8 – 6 = 2 22 = 4

7 7 – 6 = 1 12 = 1

4 4 – 6 = -2 (-2)2 = 4

E o desvio-padrão será 2 1 16 25 4 9 4 1 4 64 8

8 8σ + + + + + + +

= = = .

Podemos calcular o valor aproximado da 8 utilizando o método de Newton-Raphson. Para aprender com detalhes o método de Newton-Raphson basta acessar o link que disponibilizei no site do Ponto: http://www.pontodosconcursos.com.br/artigos3.asp?prof=249&art=4951&idpag=4.

Em resumo, o método de Newton-Raphson diz que toda raiz quadrada pode ser aproximada por uma fração em que o numerador é formado por uma soma de dois números: o próprio número e o quadrado perfeito mais próximo. Já no denominador, você vai multiplicar a raiz quadrada do quadrado perfeito por 2.

No nosso caso, o quadrado perfeito mais próximo de 8 é 9 (32). Então o numerador será 8+9. E no denominador sempre devemos multiplicar a raiz quadrada do quadrado perfeito por 2.

2 8 9 178 2,832 3 6

σ += ≅ = ≅

⋅

Letra B

20. (PETROBRAS 2008 – Administrador Júnior – CESGRANRIO) Do total de funcionários de uma empresa, foi retirada uma amostra de seis indivíduos. A tabela abaixo apresenta o tempo trabalhado na empresa, em anos completos, por cada um deles.

X1 X2 X3 X4 X5 X6

3 7 2 2 3 1

A variância dessa amostra é

(A) 3,7



(B) 4,0

(C) 4,4

(D) 5,0

(E) 5,5

Resolução

22 ( )

1ix x

sn−

=−

∑é um estimador não viciado (não viesado) da variância.

Lembre-se que quando trabalhamos com amostras (desvio padrão e variância) o denominador das fórmulas serão sempre n-1.

Voltemos agora à nossa questão.

X1 X2 X3 X4 X5 X6

3 7 2 2 3 1

Queremos calcular a variância dessa amostra.

Primeiramente calculemos a média dessa amostra.

3 7 2 2 3 1 36

x + + + + += =

Calculemos agora os quadrados dos desvios dos valores da amostra em relação à média.

xi ix x− ( )2

ix x−

3 3 - 3 = 0 02 = 0

7 7 - 3 = 4 42 = 16

2 2 - 3 = -1 (-1)2 = 1

2 2 - 3 = -1 (-1)2 = 1



3 3 - 3 = 0 02 = 0

1 1 – 3 = -2 (-2)2 = 4

Assim, a variância amostral é dada por:

22 ( ) 0 16 1 1 0 4 22 4, 4

1 6 1 5ix x

sn− + + + + +

= = = =− −

∑

Letra C

Está lembrado da nossa pesquisa com uma amostra de 40 alunos do Ponto, em que pesquisamos a estatura deles?

Vamos calcular o desvio padrão e a variância dessa amostra.

Estaturas de 40 alunos do Ponto

Estaturas (cm)

if ix

150 154 4 152

154 158 9 156

158 162 11 160

162 166 8 164

166 170 5 168

170 174 3 172

Total 40

Já tivemos a oportunidade de calcular a média aritmética 161 cmx = .

Para calcular o desvio padrão e a variância, devemos calcular o quadrado dos desvios em relação a média. Por exemplo: o primeiro ponto médio é igual a 152, portanto seu desvio é igual a 152 – 161 = -9. Devemos calcular (-9)2 = 81. Em seguida devemos multiplicar esses valores pelas suas respectivas frequências. Obtemos a seguinte tabela:



if ix ( )2

ix X− ( )2

i ix X f− ⋅

4 152 81 324

9 156 25 225

11 160 1 11

8 164 9 72

5 168 49 245

3 172 121 363

40 1240=∑

Lembrando que no cálculo dessas duas medidas de dispersão, ao trabalhar com amostras, devemos colocar n-1 no denominador.

( )2

2 1 1240 31,791 40 1

n

i ii

X X fS

n=

− ⋅= = =

− −

∑

31,79 5,638S = =

(Tente calcular um valor aproximado do desvio padrão utilizando o método de Newton-Raphson).

Esse exemplo foi um pouco trabalhoso!! Por isso, aprenderemos algumas propriedades do desvio padrão e da variância e um método simplificado para o cálculo dessas medidas.

O desvio padrão goza de algumas propriedades parecidas com as da média aritmética.

Propriedades da Variância

i) Somando-se ou subtraindo-se uma constante qualquer a cada elemento de um conjunto de valores, a variância não se altera.

ii) Se multiplicarmos ou dividirmos uma constante qualquer a cada elemento de um conjunto de valores, a variância ficará multiplicada ou dividida por essa constante.



Por exemplo, se os valores triplicam, a variância é multiplicada por 9 (32). Se os valores são quadruplicados, a variância é multiplicada por 16 (42).

Em relação à adição e à subtração, tem-se que a variância não é influenciada. Isso porque a variância é uma medida de dispersão – se somarmos o mesmo valor a todos os valores de X, eles continuarão dispersos, espalhados da mesma forma, apenas mudarão de posição.

É válida, portanto, a seguinte relação:

2var( ) var( )aX b a X+ = ⋅

Temos propriedades muito parecidas o desvio padrão.

Propriedades do Desviopadrão

i) Somando-se ou subtraindo-se uma constante qualquer a cada elemento de um conjunto de valores, o desvio padrão não se altera.

ii) Se multiplicarmos ou dividirmos uma constante qualquer a cada

elemento de um conjunto de valores, o desvio padrão ficará multiplicado ou dividido por essa constante.

Isso porque o desvio-padrão, da mesma forma que a variância, é uma medida de dispersão.

Por exemplo, imagine que a média aritmética das idades de 100 pessoas é igual a 20 anos. Daqui a 5 anos, todas as pessoas ficarão 5 anos mais velhas. Ou seja, nós adicionamos 5 às idades de todas as 100 pessoas. Dessa forma, a média aritmética que hoje é igual a 20 anos, daqui a 5 anos será 20+5=25 anos.

Da mesma maneira, se triplicarmos as idades de todas as 100 pessoas, ou seja, se multiplicamos todas as idades por 3, a média aritmética também será multiplicada por 3. A média que originalmente era igual a 20 anos será igual a 20x3=60 anos.

Nesse exemplo das 100 pessoas, daqui a 5 anos as idades estarão igualmente espalhadas. Por exemplo, se seu irmão é 4 anos mais velho do que você, ele sempre será 4 anos mais velho do que você. Suas idades estarão sempre com o mesmo grau de afastamento. Assim, a adição e a subtração não alteram o desvio-padrão e a variância.

São válidas, então, as seguintes expressões:



i) ( ) ( )dp aX b a dp X+ = ⋅

21. (PETROBRAS 2006 – Administrador Pleno – CESGRANRIO) Se Y = 2X+1 e a variância de X vale 2, a variância de Y é igual a:

(A) 2

(B) 4

(C) 5

(D) 8

(E) 9

Resolução

É importantíssimo conhecermos algumas propriedades da variância:

i) Somando-se ou subtraindo-se uma constante qualquer a cada elemento de um conjunto de valores, a variância não se altera.

ii) Se multiplicarmos ou dividirmos uma constante qualquer a cada elemento de um conjunto de valores, a variância ficará multiplicada ou dividida por essa constante.

Por exemplo, se os valores triplicam, a variância é multiplicada por 9 (32). Se os valores são quadruplicados, a variância é multiplicada por 16 (42).

Em relação à adição e à subtração, tem-se que a variância não é influenciada. Isso porque a variância é uma medida de dispersão – se somarmos o mesmo valor a todos os valores de X, eles continuarão dispersos, espalhados da mesma forma, apenas mudarão de posição.

É válida, portanto, a seguinte relação:

2var( ) var( )aX b a X+ = ⋅

Assim, 2var(2 1) 2 var( ) 4 2 8X X+ = ⋅ = ⋅ = .

Poderíamos raciocinar da seguinte maneira:

Como chegamos à variável Y a partir da variável X? Multiplicamos os valores de X por 2 e em seguida adicionamos 1 ao resultado encontrado.



Assim, a variância (que é igual a 2) multiplicada por 4 é igual a 8.

Letra D

Método simplificado para o desvio padrão e variância

Há casos em que é muito trabalhoso calcular a média aritmética, em seguida calcular os desvios em relação à média, elevar esses valores ao quadrado, etc. Ufa! Cansou só de ler...

Por isso, existe um método simplificado para o cálculos dessas medidas de dispersão. Esse método dispensa o cálculo dos desvios!! O método é descrito a partir das seguintes fórmulas:

Fórmula Desenvolvida do desvio padrão para distribuição de frequências

No caso de estarmos trabalhando com os elementos uma população:

1· ·

∑ ·

No caso de estarmos trabalhando com os elementos de uma amostra:



( )2

211

i ii i

X fS X f

n n

⎡ ⎤⋅⎢ ⎥= ⋅ −⎢ ⎥−⎣ ⎦

∑∑

Simplificado????? Este método está parecendo muito complicado!!!! Calma...

Se não fosse simplificado eu nem falaria nele... ☺

Para começar: qual a diferença entre ∑ · e ∑ · ?

∑ · Você deve elevar o ponto médio (valor da variável) ao quadrado, multiplicar pela frequência e em seguida somar os valores.

∑ · Você deve multiplicar o ponto médio (valor da variável) pela frequência, somar esses valores e elevar o resultado ao quadrado.

Como é que vamos utilizar essas fórmulas? No lugar de trabalhar com a variável original, trabalharemos com a variável transformada. Sim, aquela mesma da média aritmética, que é formada pela sucessão dos números naturais. Então, na fórmula, no lugar de trabalhar com a variável X, trabalharemos com a variável transformada Y (0,1,2,3,4...). Calculamos o desvio padrão e a variância da variável transformada.

Na média aritmética, para fazer o caminho da volta, nós multiplicávamos a média da variável transformada pela amplitude da classe e depois adicionávamos o primeiro ponto médio.

Aqui é bem mais fácil!!

O caminho da volta:

Desvio padrão: basta multiplicar pela amplitude. Variância: basta multiplicar pelo quadrado da amplitude.

Vamos calcular novamente o desvio padrão e a variância dos 40 alunos do ponto com o método simplificado.

Utilizaremos a fórmula desenvolvida juntamente com a variável transformada:

( )2211

i ii i

X fS X f

n n

⎡ ⎤⋅⎢ ⎥= ⋅ −⎢ ⎥−⎣ ⎦

∑∑



No lugar da variável X, utilizaremos a variável Y formada pela sucessão dos números naturais.

Estaturas de 40 alunos do Ponto

Estaturas (cm)

if ix

150 154 4 152

154 158 9 156

158 162 11 160

162 166 8 164

166 170 5 168

170 174 3 172

Total 40

if ix iy i iy f⋅ 2iy 2

i iy f⋅

4 152 0 0 0 0

9 156 1 9 1 9

11 160 2 22 4 44

8 164 3 24 9 72

5 168 4 20 16 80

3 172 5 15 25 75

40 90=∑ 280=∑

Qual o significado de cada uma das colunas desta tabela? Dê uma olhada na fórmula:

( )2

211

i ii i

X fS X f

n n

⎡ ⎤⋅⎢ ⎥= ⋅ −⎢ ⎥−⎣ ⎦

∑∑





Já que estamos trabalhando com a variável transformada:

∑ · Você deve elevar Y ao quadrado (coluna 5), multiplicar pela frequência (coluna 6) e em seguida somar os valores (coluna 6 – última linha).

∑ · Você deve multiplicar Y pela frequência (coluna 4), somar esses valores (coluna 4 – última linha) e elevar o resultado ao quadrado.

Cálculo da Variância da Variável Transformada y

( )2

2 211

i iy i i

y fS y f

n n

⎡ ⎤⋅⎢ ⎥= ⋅ −⎢ ⎥−⎣ ⎦

∑∑

[ ]2 1 280 202,5 1,987139yS = − =

O valor 202,5 foi obtido elevando 90 ao quadrado e dividindo o resultado por 40.

O caminho da volta:

Variância: basta multiplicar pelo quadrado da amplitude.

Assim, 2 21,9871 4 31,79S = × =

E o desvio padrão é a raiz quadrada da variância.

31,79 5,638S = =

22. (Auditor do Governo do Estado do Amapá – FGV/ 2010) Os dados a seguir são as quantidades de empregados de cinco pequenas empresas: 6, 5, 8, 5, 6. A variância da quantidade de empregados dessas cinco empresas é igual a:

(A) 0,8.

(B) 1,2.

(C) 1,6.



(D) 2,0.

(E) 2,4.

Resolução

Podemos calcular a variância dessa população pelo método tradicional ou pelo método simplificado.

Método Simplificado

1· ·

∑ ·



Nesse caso, as frequências são todas iguais a 1. Logo, a fórmula fica assim:

1·

∑

∑ Você deve elevar o ponto médio (valor da variável) ao quadrado, em seguida somar os valores.

∑ Você deve somar os valores e elevar o resultado ao quadrado.

6 5 8 5 6 186

6 5 8 5 6 900

Assim,

15 · 186

9005

15 · 6 1,2

Letra B

23. (AFRF 1998/ESAF) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomadas numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano.

4,5,5,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,10,10,10,10,10,10,10,10, 11,11,12,12, 13,13,14, 15,15,15,16,16,18,23.



Os valores seguintes foram calculados para a amostra:

490iX =∑ e ( )2

2 66850

ii

XX − =∑∑ .

Assinale a opção que corresponde à mediana e à variância amostral, respectivamente (com aproximação de uma casa decimal).

a) 9,0 e 14,0 b) 9,5 e 14,0 c) 9,0 e 13,6 d) 8,0 e 13,6 e) 8,0 e 15,0

Resolução

Quanto à mediana não há problema: são 50 preços (número par). Assim, a mediana será a média aritmética entre o 25º e o 26º termos. A mediana é igual a 9.

E quanto à variância amostral? A ESAF foi muito generosa!! Privilegiou quem sabia a fórmula desenvolvida. Quem não sabia... Sinto muito! Pois calcular os desvios, elevá-los ao quadrado, depois somar...Acabou o tempo da prova!

Esse foi o presente da ESAF!!

Agora, lembre-se que tratando de amostras o denominador deve ser n-1.

Letra C

( )2

2 66850

ii

XX − =∑∑

( )2

2 211

ii

XS X

n n

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥−⎣ ⎦

∑∑

2 1 66850 1

S = ⋅−

2 13,6S =



Uma observação importante: já que a variância é o quadrado do desvio padrão, então a sua unidade de medida será o quadrado da medida do desvio padrão. Logo, se estamos trabalhando com alturas em metros, então a unidade da variância será m2; se estamos trabalhando com massas em kg, a unidade da variância será kg2,...

24. (Companhia Catarinense de Águas e Saneamento – Economista – 2006 – FEPESE) Sobre medidas de dispersão, é correto afirmar:

a) O desvio padrão é medido em quadrados da unidade da variável original.

b) O desvio padrão é a raiz quadrada da covariância entre duas variáveis.

c) A variância tem relação linear com os afastamentos da média.

d) Maior variância significa que a média da amostra é mais elevada.

e) A variância não é expressa em unidades da variável original.

Resolução

a) O desvio padrão é medido na mesma unidade da variável. Falso. b) O desvio padrão é a raiz quadrada da variância da variável original.

Falso. c) A variância não tem relação linear com os afastamentos (desvios) da

média, pois elevamos os desvios ao quadrado. Falso. d) Maior variância significa maior afastamento em relação à média. Falso. e) Verdadeiro.

Letra E

Medida de dispersão relativa

De uma maneira geral, as medidas de dispersão relativas nos oferecem um grau maior de confiabilidade do que as absolutas. Além disso, permite-nos comparar diversas distribuições, mesmo sendo referentes a fenômenos distintos. E os resultados analíticos são efetuados entre uma Medida de Dispersão Absoluta e uma medida de tendência central (média, mediana,...), e seu resultado final é expresso em termos relativos ou percentuais.

Coeficiente de Variação de Pearson (CVP)

PSCVX

=



Esta medida de variação relativa ou percentual proposta por Pearson nada mais é do que um quociente entre o desvio padrão de cada distribuição com suas respectivas médias aritméticas. O coeficiente de variação de Pearson tem uma relação direta com a característica de homogeneidade de um conjunto. Se estivermos realizando uma comparação entre duas distribuições distintas, aquele que apresentar menor coeficiente de variação será o conjunto mais homogêneo.

Exemplo: Suponhamos que determinado fornecedor “A” de parafusos tenha enviado ao Departamento de Compras de uma empresa uma amostra de 2000 parafusos, com medidas de seu comprimento em milímetros variando entre 101 e 113 milímetros. O Departamento de Compras efetuou uma análise em suas médias e calculou seu respectivo desvio padrão, encontrando as seguintes especificações:

a) Comprimento médio do parafuso: 107,9 mm

b) Desvio Padrão: 2,72 mm

Admitindo-se um fornecedor “B”, que apresentou um lote deste mesmo parafuso com o mesmo número de peças, com média de 108 milímetros e desvio padrão de 1,08 milímetros, qual o lote que você escolheria se fosse o comprador?

Resolução

Aplicando-se o Coeficiente de Variação de Pearson, temos:

2,72 2,52%107,91,08 1%108

PA

PB

CV

CV

= =

= =

O resultado final denota claramente que o lote do Fornecedor “B” apresenta menor dispersão relativa do que do Fornecedor “A”. Logo, pela análise do coeficiente de variação, o lote escolhido seria do fornecedor “B”, pois ele é mais homogêneo.

25. (Analista Financeiro – Badesc – 2006 – FEPESE) Com base nas informações abaixo, assinale a alternativa verdadeira:



a) a média aritmética de y é menor do que a moda de y. b) a mediana de x é menor do que a mediana de y. c) a variabilidade, medida pelo desvio-padrão das séries, é menor na série x do que na y. d) a variabilidade, medida pelo coeficiente de variação das séries, é menor na série x do que na série y.

Resolução

A média aritmética de y é 25/5=5. A moda de y é igual a 4. A mediana de y é igual 4. A mediana de x é igual a 5. A média de x é igual a 30/5=6.

a) Falsa, pois 5 > 4. b) Falsa, pois 5 > 4. c) Falsa, pois o desvio padrão de x é maior do que o desvio padrão de y. d) Verdadeira. O coeficiente de variação é obtido dividindo o desvio

padrão pela média aritmética. Assim, o coeficiente de variação de x é igual a 3,2/6=0,533... e o coeficiente de variação de y é igual a 3/5=0,6. Letra D



Relação das questões comentadas nesta aula

01. (Economista - Instituto de Previdência do Estado de Santa Catarina – FEPESE/2006) Verifique os conjuntos A, B, C e D abaixo, no formato de rol e assinale a alternativa correta.

a) A amplitude total do conjunto C é igual a 0,28.

b) Não é possível calcular a amplitude total do conjunto D, pois estamos diante de um rol decrescente.

c) A amplitude de todos os conjuntos é igual a 7.

d) A amplitude total do conjunto A é 2,1.

e) A amplitude total do conjunto B é o dobro da amplitude total do conjunto A.

02. (Auditor Interno do Poder Executivo- Secretarias de Estado da Fazenda e da Administração – 2005 – FEPESE) Os pesos de 80 pacientes internados em um hospital estão relacionados na tabela abaixo.

Com referência a essa tabela, determine a amplitude total. Assinale a única alternativa correta.

a) 49

b) 53



c) 79

d) 80

e) 97

03. (Economista - Instituto de Previdência do Estado de Santa Catarina – FEPESE/2006) Em uma pesquisa realizada em uma empresa prestadora de serviços de limpeza, obteve-se a distribuição de freqüência apresentada na tabela que segue. Analise os dados e assinale a alternativa correta.

a) Somente 5% dos empregados recebem o salário com valor superior a R$ 1.400,00.

b) O valor médio de salário da empresa é de R$ 799,00.

c) A porcentagem de empregados que ganham salários dentro da primeira classe estabelecida é de 10%.

d) A porcentagem de empregados que ganham menos que R$ 1.100,00 por mês é de 50 %.

e) 25% dos empregados recebem um salário entre R$ 1.100,00 e R$ 1.200,00.



40 – 50 2

50 – 60 5

60 – 70 7



70 – 80 8

80 – 90 3

O peso médio do conjunto de pessoas, em kgf, é

(A) 60

(B) 65

(C) 67

(D) 70

(E) 75



0 �- 2 5

2 �- 4 2

4 �- 6 4

6 �- 8 2

8 �- 10 7

A média das idades dessas crianças, em anos, é

(A) 5,0

(B) 5,2

(C) 5,4

(D) 5,6

(E) 5,8

06. (Estatístico – Pref. Manaus 2004 CESGRANRIO) Analise as afirmativas a seguir, a respeito da média aritmética.



I - a soma dos resíduos em relação à média aritmética é sempre igual a zero;

II - é em relação à média aritmética que a soma dos valores absolutos dos resíduos é mínima;

III - é em relação à média aritmética que a soma dos quadrados dos resíduos é mínima.

Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s):

(A) II, somente.

(B) I e II somente.

(C) I e III somente.

(D) II e III somente.

(E) I, II e III.

07. (MPE-RO CESGRANRIO 2005) A tabela apresenta uma distribuição de frequência dos salários dos 200 empregados de certa empresa.


260 – 520 50

520 – 1040 100

1040 – 1560 30

1560 - 2600 20

O salário médio, aproximadamente, vale:

(A) R$ 600,00

(B) R$ 780,00

(C) R$ 890,50

(D) R$ 1 040,00

(E) R$ 1430,00



08. (TCE/SC 2006 – FEPESE) Para um estudo sobre bolsas escolares a serem distribuídas em determinada região realizou-se uma pesquisa com 50 famílias, apurando-se o número de filhos de cada uma delas. Os dados estão representados na tabela abaixo:

Assinale a alternativa que representa a média do número de filhos na pesquisa realizada.

a) 1,94

b) 0,34

c) 1,62

d) 0,62

e) 1,34

09. (TCE/SC 2006 – FEPESE) Na Figura 1 é possível visualizar o resultado de uma pesquisa sobre o tempo despendido pelos funcionários de uma empresa no deslocamento de suas residências até o local de trabalho.



Assinale a alternativa que representa o tempo médio que os funcionários levam para se deslocarem de suas residências até a empresa.

a) 9,84 minutos

b) 7,84 minutos

c) 5,84 minutos

d) 8 minutos

e) 4 minutos

10. (Economista - Instituto de Previdência do Estado de Santa Catarina – FEPESE/2006) Ao fazer um levantamento amostral do preço de combustível em 5 postos de abastecimento, foram obtidos os seguintes valores (em reais) para o litro da gasolina: 2,57; 2,36; 2,60; 2,37 e 2,44. Diante desses dados assinale a frase correta:

a) A diferença entre a média e a mediana é de R$ 0,03.

b) A média é uma medida que não leva em contra todos os valores do conjunto que está sendo analisado, entretanto, para os dados apresentados é uma alternativa para a análise estatística dos resultados, pois a amplitude total do conjunto de dados é bastante pequena.

c) A mediana dos dados obtidos é R$ 2,60.

d) A média é uma medida preferida nos estudos estatísticos, pois ela não é afetada pelos maiores valores do conjunto de valores dados.



e) Como todos os valores obtidos são diferentes pode-se afirmar que os dados obtidos tem 5 valores modais.


O valor aproximado, em kgf, do peso mediano do conjunto de pessoas é

(A) 67

(B) 68

(C) 69

(D) 70

(E) 71



0 �- 2 5

2 �- 4 2

4 �- 6 4

6 �- 8 2

8 �- 10 7

A mediana da distribuição de frequências apresentada é

(A) 5,5

(B) 5,6


40 – 50 2

50 – 60 5

60 – 70 7

70 – 80 8

80 – 90 3



(C) 5,7

(D) 5,8

(E) 5,9

(MPE-RO CESGRANRIO 2005) O enunciado a seguir refere-se às questões de números 13 e 14.

A tabela apresenta uma distribuição de frequência dos salários dos 200 empregados de certa empresa.


260 – 520 50

520 – 1040 100

1040 – 1560 30

1560 - 2600 20

13. O salário mediano vale, aproximadamente:

(A) R$ 600,00

(B) R$ 780,00

(C) R$ 890,50

(D) R$ 1 040,00

(E) R$ 1 430,00

14. O terceiro quartil, aproximadamente, vale:

(A) R$ 600,00

(B) R$ 780,00

(C) R$ 890,50

(D) R$ 1 040,00

(E) R$ 1 430,00

15. (AFRFB 2009 ESAF) Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa amostra, marque a única opção correta:



29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28.

a) A média e a mediana das idades são iguais a 27.

b) A moda e a média das idades são iguais a 27.

c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08.

d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074.

e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27.

16. (AFRF 1998) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomadas numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano.

4,5,5,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,10,10,10,10,10,10,10,10,11,11,12,12,13,13,14, 15,15,15,16,16,18,23.

Assinale a opção que corresponde ao preço modal.

a) 8 b) 23 c) 7 d) 10 e) 9

17. (AFRF/ESAF/1996) Para efeito desta questão, considere os seguintes dados.

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA

EMPRESA ALFA, EM 01.01.90

Classes de Idades (anos) if Pontos Médios (PM)

19,5�24,5 2 22

24,5�29,5 9 27

29,5�34,5 23 32

34,5�39,5 29 37

39,5�44,5 18 42

44,5�49,5 12 47



49,5�54,5 7 52

Total 100

Marque a opção que representa a moda das idades dos funcionários em 1º/01/90.

a) 35,97 b) 36,26 c) 36,76 d) 37,03 e) 37,31

18. (AFRF 2002.2/ESAF) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100, obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte:

Classes Frequência (f)

29,5-39,5 4

39,5-49,5 8

49,5-59,5 14

59,5-69,5 20

69,5-79,5 26

79,5-89,5 18

89,5-99,5 10

Assinale a opção que corresponde ao desvio absoluto médio do atributo X.

a) 16,0 b) 17,0 c) 16,6 d) 18,1 e) 13,0

19. (Auditor IBGE - CESGRANRIO 2010) No último mês, Alípio fez apenas 8 ligações de seu telefone celular cujas durações, em minutos, estão apresentadas no rol abaixo.



5 2 11 8 3 8 7 4

O valor aproximado do desvio padrão desse conjunto de tempos, em minutos, é

(A) 3,1

(B) 2,8

(C) 2,5

(D) 2,2

(E) 2,0

20. (PETROBRAS 2008 – Administrador Júnior – CESGRANRIO) Do total de funcionários de uma empresa, foi retirada uma amostra de seis indivíduos. A tabela abaixo apresenta o tempo trabalhado na empresa, em anos completos, por cada um deles.

X1 X2 X3 X4 X5 X6

3 7 2 2 3 1

A variância dessa amostra é

(A) 3,7

(B) 4,0

(C) 4,4

(D) 5,0

(E) 5,5

21. (PETROBRAS 2006 – Administrador Pleno – CESGRANRIO) Se Y = 2X+1 e a variância de X vale 2, a variância de Y é igual a:

(A) 2

(B) 4

(C) 5

(D) 8

(E) 9



22. (Auditor do Governo do Estado do Amapá – FGV/ 2010) Os dados a seguir são as quantidades de empregados de cinco pequenas empresas: 6, 5, 8, 5, 6. A variância da quantidade de empregados dessas cinco empresas é igual a:

(A) 0,8.

(B) 1,2.

(C) 1,6.

(D) 2,0.

(E) 2,4.

23. (AFRF 1998/ESAF) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomadas numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano.

4,5,5,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,10,10,10,10,10,10,10,10, 11,11,12,12, 13,13,14, 15,15,15,16,16,18,23.

Os valores seguintes foram calculados para a amostra:

490iX =∑ e ( )2

2 66850

ii

XX − =∑∑ .

Assinale a opção que corresponde à mediana e à variância amostral, respectivamente (com aproximação de uma casa decimal).

a) 9,0 e 14,0 b) 9,5 e 14,0 c) 9,0 e 13,6 d) 8,0 e 13,6 e) 8,0 e 15,0

24. (Companhia Catarinense de Águas e Saneamento – Economista – 2006 – FEPESE) Sobre medidas de dispersão, é correto afirmar:

a) O desvio padrão é medido em quadrados da unidade da variável original.

b) O desvio padrão é a raiz quadrada da covariância entre duas variáveis.

c) A variância tem relação linear com os afastamentos da média.

d) Maior variância significa que a média da amostra é mais elevada.

e) A variância não é expressa em unidades da variável original.

25. (Analista Financeiro – Badesc – 2006 – FEPESE) Com base nas informações abaixo, assinale a alternativa verdadeira:



a) a média aritmética de y é menor do que a moda de y. b) a mediana de x é menor do que a mediana de y. c) a variabilidade, medida pelo desvio-padrão das séries, é menor na série x do que na y. d) a variabilidade, medida pelo coeficiente de variação das séries, é menor na série x do que na série y.



Gabaritos 01. E 02. A 03. D 04. C 05. C 06. C 07. C 08. E 09. B 10. A 11. B 12. A 13. B 14. D 15. E 16. A 17. B 18. E 19. B 20. C 21. D 22. B 23. C 24. E 25. D



Aula 6 – Senado Federal Diagramas de Euler‐Venn .............................................................................................................. 2

Verdades e Mentiras ................................................................................................................... 13

Problemas de Associação Lógica ................................................................................................. 45

Problemas Gerais de Raciocínio Lógico – FGV ............................................................................ 63


Gabaritos ..................................................................................................................................... 79



Olá pessoal!

Estudaremos hoje os diagramas lógicos e problemas gerais de Raciocínio Lógico tais como verdades/mentiras, problemas de associação lógica, dentre outros.

Na nossa última aula que será na próxima semana, estudaremos as estruturas lógicas (conectivos, argumentos, negação, equivalências, etc.).

Diagramas de EulerVenn

O estudo das proposições categóricas pode ser feito utilizando os diagramas de Euler-Venn. É habitual representar um conjunto por uma linha fechada e não entrelaçada.

A

Relembremos o significado, na linguagem de conjuntos, de cada uma das proposições categóricas.

Todo A é B ↔ Todo elemento de A também é elemento de B.

Nenhum A é B ↔ A e B são conjuntos disjuntos, ou seja, não possuem elementos comuns.

Algum A é B ↔ Os conjuntos A e B possuem pelo menos 1 elemento em comum.

Algum A não é B ↔ O conjunto A tem pelo menos 1 elemento que não é elemento de B.

Vejamos como representar cada uma das proposições categóricas utilizando os diagramas de Euler-Venn.

Todo A é B

A proposição categórica “Todo A é B” é equivalente a:

A é subconjunto de B. A é parte de B. A está contido em B.



B contém A. B é universo de A. B é superconjunto de A.

Se sabemos que a proposição “Todo A é B” é verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas?

“Algum A é B” é necessariamente verdadeira. “Nenhum A é B” é necessariamente falsa. “Algum A não é B” é necessariamente falsa.

Algum A é B

A proposição categórica “Algum A é B” equivale a “Algum B é A”.

Se “algum A é B” é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas?

“Nenhum A é B” é necessariamente falsa.

“Todo A é B” e “Algum A não é B” são indeterminadas.

Observe que quando afirmamos que “Algum A é B” estamos dizendo que existe pelo menos um elemento de A que também é elemento de B.

Nenhum A é B

A proposição categórica “Nenhum A é B” equivale a:

Nenhum B é A. Todo A não é B. Todo B não é A. A e B são conjuntos disjuntos.

Se “nenhum A é B” é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas?

“Todo A é B” é necessariamente falsa. “Algum A não é B” é necessariamente verdadeira. “Algum A é B” é necessariamente falsa.

Algum A não é B



Observe que “Algum A não é B” não equivale a “Algum B não é A”. Por exemplo, dizer que “Algum brasileiro não é pernambucano” não equivale a dizer que “Algum pernambucano não é brasileiro”.

Se “algum A não é B” é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas?

“Nenhum A é B” é indeterminada, pois poderia haver elementos na interseção dos conjuntos A e B.

“Algum A é B” é indeterminada, pois pode haver ou não elementos na interseção dos conjuntos A e B.

“Todo A é B” é necessariamente falsa.

01. (FNDE/2007/FGV) Considere a afirmação “Todo corintiano é feliz”. A partir dessa afirmação, pode-se concluir que:

a) todo homem feliz é corintiano. b) todo palmeirense é infeliz. c) toda pessoa que não é corintiana não é feliz. d) um infeliz certamente não é corintiano. e) existem infelizes que são corintianos.

Resolução

A expressão “Todo corintiano é feliz” pode assim ser representada:

A alternativa A é falsa, pois podem existir pessoas felizes que não são corintianas.

A alternativa B é falsa, pois nada podemos afirmar sobre os palmeirenses.

A alternativa C é falsa, pois podem existir pessoas que não são corintianas e são felizes.



A alternativa D é verdadeira, pois o infelizes estão “fora” do conjunto das pessoas felizes. E como todo corintiano é feliz, podemos afirmar que os infelizes não são corintianos.

A alternativa E é falsa, pois os infelizes não são corintianos.

Letra D

02. (SAD/PE/2008/FGV) Considere a afirmação: “Toda cobra venenosa é listrada”. Podemos concluir que: a) Toda cobra listrada é venenosa. b) Toda cobra que não é listrada não é venenosa. c) Toda cobra que não é venenosa não é listrada. d) Algumas cobras venenosas não são listradas. e) Algumas cobras que não são listradas podem ser venenosas.

Resolução

Questões idênticas! Mesma banca e anos consecutivos.

A expressão “Toda cobra venenosa é listrada” pode assim ser representada:

Desenhei algumas cobras. Obviamente as cobras que não são listradas estão fora do conjunto das cobras listradas.


a) Toda cobra listrada é venenosa. A alternativa A é falsa, pois podem existir cobras listradas que não são venenosas (por exemplo, a cobra 2).

b) Toda cobra que não é listrada não é venenosa.

A alternativa B é verdadeira. Por exemplo, as cobras 3 e 4.



c) Toda cobra que não é venenosa não é listrada. A alternativa C é falsa, pois existem cobras que não são venenosas e que são listradas (por exemplo, a cobra 2). d) Algumas cobras venenosas não são listradas. Esta alternativa é falsa, já que todas as cobras venenosas são listradas. e) Algumas cobras que não são listradas podem ser venenosas.

Esta alternativa é falsa, já que nenhuma cobra não-listrada pode ser venenosa. Letra B

03. (TRF 2004/FCC) Considerando “todo livro é instrutivo” como uma proposição verdadeira, é correto inferir que:

a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. c) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa. d) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa. e) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

Resolução

Diante do diagrama e da teoria exposta, concluímos facilmente que a resposta correta é a letra B. Se todo livro é instrutivo, podemos afirmar que algum livro é instrutivo.

04. (IPEA 2004/FCC) Considerando “toda prova de Lógica é difícil” uma proposição verdadeira, é correto inferir que: a) “nenhuma prova de Lógica é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira. b) “alguma prova de Lógica é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira. c) “alguma prova de Lógica é difícil” é uma proposição verdadeira ou falsa. d) “alguma prova de Lógica não é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira. e) “alguma prova de Lógica não é difícil” é uma proposição verdadeira ou falsa. Resolução Questão idêntica à anterior.



Ora, se todas as provas de lógica são difíceis, podemos garantir que alguma prova de lógica é difícil.

Letra B

05. (TRT/2006/FCC) As afirmações seguintes são resultados de uma pesquisa feita entre os funcionários de certa empresa. “Todo indivíduo que fuma tem bronquite”. “Todo indivíduo que tem bronquite costuma faltar ao trabalho”. Relativamente a esses resultados, é correto concluir que:

a) existem funcionários fumantes que não faltam ao trabalho. b) todo funcionário que tem bronquite é fumante. c) todo funcionário fumante costuma faltar ao trabalho. d) é possível que exista algum funcionário que tenha bronquite e não falte habitualmente ao trabalho. e) é possível que exista algum funcionário que seja fumante e não tenha bronquite.

Resolução

Pelo diagrama exposto, percebemos que todo funcionário fumante costuma faltar ao trabalho.

Letra C

06. (TRT-PR 2004/FCC) Sabe-se que existem pessoas desonestas e que existem corruptos. Admitindo-se verdadeira a frase "Todos os corruptos são desonestos", é correto concluir que: a) quem não é corrupto é honesto. b) existem corruptos honestos. c) alguns honestos podem ser corruptos. d) existem mais corruptos do que desonestos. e) existem desonestos que são corruptos. Resolução



Vamos analisar cada uma das alternativas de per si. a) Esta alternativa é falsa, pois podem existir pessoas que não são corruptas e que são desonestas. b) Esta alternativa é falsa, pois todo corrupto é desonesto. c) Esta alternativa é falsa, pois todo corrupto é desonesto. d) Esta alternativa é falsa, pois podem existir pessoas que não são corruptas e que são desonestas. e) Esta alternativa é verdadeira, pois todos os corruptos são desonestos e, portanto, existem desonestos corruptos. Letra E 07. (TCE-PB 2006/FCC) Sobre as consultas feitas a três livros X, Y e Z, um bibliotecário constatou que:

Todas as pessoas que haviam consultado Y também consultaram X. Algumas pessoas que consultaram Z também consultaram X.

De acordo com suas constatações, é correto afirmar que, com certeza: a) pelo menos uma pessoa que consultou Z também consultou Y. b) se alguma pessoa consultou Z e Y, então ela também consultou X. c) toda pessoa que consultou X também consultou Y. d) existem pessoas que consultaram Y e Z. e) existem pessoas que consultaram Y e não consultaram X. Resolução A proposição “Todas as pessoas que haviam consultado Y também consultaram X” é representada assim:



Algumas pessoas que consultaram Z também consultaram X. Isto significa que há elementos comuns aos conjuntos X e Z. Porém, não sabemos qual a relação que existe entre o conjunto Z e o conjunto Y. Por essa razão, deixaremos uma parte do conjunto Z pontilhada para demonstrar esta incerteza.

Observe que não sabemos se o conjunto Z e o conjunto Y possuem elementos comuns. Vamos analisar as alternativas. a) pelo menos uma pessoa que consultou Z também consultou Y. Não temos certeza se os conjuntos Z e Y possuem elementos comuns. Esta alternativa é falsa. b) se alguma pessoa consultou Z e Y, então ela também consultou X. Esta alternativa é verdadeira. Se alguma pessoa consultou Z e Y, então esta pessoa consultou Y. Se esta pessoa consultou Y, então ela também consultou X. Concluímos que se alguma pessoa consultou Z e Y, então ela também consultou X. c) toda pessoa que consultou X também consultou Y. Esta alternativa é falsa. Podemos apenas afirmar que toda pessoa que consultou Y também consultou X. d) existem pessoas que consultaram Y e Z. Não temos certeza se os conjuntos Z e Y possuem elementos comuns. Esta alternativa é falsa. e) existem pessoas que consultaram Y e não consultaram X. Esta alternativa é falsa, pois todas as pessoas que haviam consultado Y também consultaram X. Resposta: Letra B 08. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Considere o diagrama a seguir, em que U é o conjunto de todos os professores universitários que só lecionam em faculdades da cidade X, A é o conjunto de todos os professores que lecionam na faculdade A, B é o conjunto de



todos os professores que lecionam na faculdade B e M é o conjunto de todos os médicos que trabalham na cidade X.

Em todas as regiões do diagrama, é correto representar pelo menos um habitante da cidade X. A respeito do diagrama, foram feitas quatro afirmações: I. Todos os médicos que trabalham na cidade X e são professores universitários lecionam na faculdade A. II. Todo professor que leciona na faculdade A e não leciona na faculdade B é médico. III. Nenhum professor universitário que só lecione em faculdades da cidade X, mas não lecione nem na faculdade A e nem na faculdade B, é médico. IV. Algum professor universitário que trabalha na cidade X leciona, simultaneamente, nas faculdades A e B, mas não é médico. Está correto o que se afirma APENAS em (A) I. (B) I e III. (C) I, III e IV. (D) II e IV. (E) IV.

Resolução


I. Todos os médicos que trabalham na cidade X e são professores universitários lecionam na faculdade A.



O item I é falso, como pode bem ser visto no diagrama acima. A região pintada de vermelho possui pelo menos um elemento que é médico que trabalha na cidade X (pois é elemento de M), é professor universitário que só leciona em faculdades da cidade X e não leciona na faculdade A.

II. Todo professor que leciona na faculdade A e não leciona na faculdade B é médico.

O item II é falso, como pode ser visto no diagrama acima. A região pintada de vermelho possui pelo menos um elemento que leciona na faculdade A, não leciona na faculdade B e não é médico.

III. Nenhum professor universitário que só lecione em faculdades da cidade X, mas não lecione nem na faculdade A e nem na faculdade B, é médico.



A região pintada de vermelho indica o conjunto das pessoas que só lecionam em faculdades da cidade X (elementos de U), não leciona nem na faculdade A e nem na faculdade B e não são médicos. O item III é falso.

IV. Algum professor universitário que trabalha na cidade X leciona, simultaneamente, nas faculdades A e B, mas não é médico.

De acordo com a região pintada de vermelho, percebemos que todos os professores universitários que trabalham na cidade X e que lecionam simultaneamente nas faculdades A e B não são médicos. O item IV é verdadeiro.

Letra E



Verdades e Mentiras

É muito comum em provas de concursos ocasiões envolvendo pessoas verazes e mentirosas, ou situações em que ocorreu, por exemplo, um crime em que há culpados e inocentes. Faremos uma breve exposição de algumas dicas que poderão ajudar o estudante a descobrir quem é quem em cada uma das questões.

Vamos começar com a situação preferida da FGV. Depois colocarei uma exposição geral da matéria para que tenhamos condições de resolver qualquer questão.

Guilherme diz: “Thiago é culpado”.

Vitor diz: “Guilherme está mentindo”.

Ora, se Guilherme estiver dizendo a verdade, Vitor estará mentindo ao chamar Guilherme de mentiroso. Se Guilherme estiver mentindo, Vitor estará dizendo a verdade ao chamar Guilherme de mentiroso.

Conclusão: Se em alguma questão uma pessoa A chamar a pessoa B de mentirosa, ou dizer que ela não tem razão, ou que está enganada, teremos uma pessoa veraz e uma pessoa mentirosa. É impossível termos dois verazes ou dois mentirosos.

Esta é sem dúvida a maior dica para resolver questões da FGV sobre verdades e mentiras.

09. (MEC/2008/FGV) Perguntou-se a três pessoas qual delas se chamava Antônio. A primeira pessoa respondeu: “Eu sou Antônio”. A seguir, a segunda pessoa respondeu: “Eu não sou Antônio”. Finalmente, a terceira respondeu: “A primeira pessoa a responder não disse a verdade”. Sabendo-se que apenas uma delas se chama Antônio e que duas delas mentiram, é correto concluir que Antônio: a) foi o primeiro a responder e que somente ele disse a verdade. b) foi o primeiro a responder e que a segunda pessoa foi a única a dizer a verdade. c) foi o primeiro a responder e que a terceira pessoa foi a única a dizer a verdade. d) foi o segundo a responder e que somente ele disse a verdade. e) foi o segundo a responder e que a terceira pessoa foi a única a dizer a verdade. Resolução Temos o seguinte texto: Primeiro: “Eu sou Antônio”. Segundo: “Eu não sou Antônio”. Terceiro: “A primeira pessoa a responder não disse a verdade”. A terceira pessoa chamou a primeira de mentirosa. Ora, vimos que quando esse fato ocorre é impossível que ambos sejam mentirosos ou ambos sejam verazes. Dessa forma, ou o primeiro é mentiroso, ou o terceiro é mentiroso, mas não ambos.



Primeira pessoa Terceira pessoa

1ª possibilidade Veraz Mentirosa

2ª possibilidade Mentirosa Veraz

O texto nos informou que das três pessoas apenas duas mentiram. Sabemos que entre o primeiro e o terceiro há apenas um mentiroso. Concluímos então que o outro mentiroso, com certeza, é o segundo. Segundo: “Eu não sou Antônio”. Sabemos que o segundo é mentiroso, portanto ele se chama Antônio. Consequentemente, o primeiro também é mentiroso, pois ele não se chama Antônio (Antônio é o segundo) e o terceiro diz a verdade.

Primeira pessoa Segunda pessoa (Antônio)

Terceira pessoa

Mentirosa Mentiroso Veraz

Letra E

10. (Senado Federal/2008/FGV) Um crime é cometido por uma pessoa e há quatro suspeitos: André, Eduardo, Rafael e João. Interrogados, eles fazem as seguintes declarações:

André: “Eduardo é o culpado”. Eduardo: “João é o culpado”. Rafael: “Eu não sou culpado”. João: “Eduardo mente quando diz que eu sou culpado”.

Sabendo que apenas um dos quatros disse a verdade, o culpado:

a) é certamente André. b) é certamente Eduardo. c) é certamente Rafael. d) é certamente João. e) não pode ser determinado com essas informações.

Resolução

Vejamos a frase de João...

João: “Eduardo mente quando diz que eu sou culpado”.

Como João afirma que Eduardo mente, podemos concluir que um dos dois diz a verdade enquanto o outro mente.



1ª possibilidade 2ª possibilidade André

Eduardo Mentira Verdade Rafael João Verdade Mentira

Como o texto afirma que apenas um dos quatro disse a verdade, concluímos que André e Rafael são mentirosos.

1ª possibilidade 2ª possibilidade André Mentira Mentira

Eduardo Mentira Verdade Rafael Mentira Mentira João Verdade Mentira

Rafael é mentiroso!! Vejamos o que ele diz...

Rafael: “Eu não sou culpado”.

Como ele é mentiroso e ele afirma que não é o culpado, concluímos que ele é o culpado.

Letra C

11. (FNDE/2007/FGV) Quatro irmãos, André, Bernardo, Carlos e Daniel, reparam que seu pai, quando chegou em casa, colocou em cima da mesa da sala quatro bombons. Logo ao retornar à sala, o pai viu que um dos bombons tinha desaparecido e perguntou às crianças quem tinha sido o autor do delito.

André disse: “Não fui eu”. Bernardo disse: “Foi Carlos quem pegou o bombom”. Carlos: “Daniel é o ladrão do bombom”. Daniel: “Bernardo não tem razão”.

Sabe-se que apenas um deles mentiu. Então:

a) André pegou o bombom. b) Bernardo pegou o bombom. c) Carlos pegou o bombom. d) Daniel pegou o bombom. e) não é possível saber quem pegou o bombom.

Resolução

Daniel diz que Bernardo não tem razão (está chamando Bernardo de mentiroso). Desta forma, concluímos que um dentre eles é veraz enquanto o outro é mentiroso.



1ª possibilidade 2ª possibilidade André

Bernardo Mentira Verdade Carlos Daniel Verdade Mentira

Nesta questão temos apenas um mentiroso. Concluímos então que André e Carlos falam a verdade.

1ª possibilidade 2ª possibilidade André Verdade Verdade

Bernardo Mentira Verdade Carlos Verdade Verdade Daniel Verdade Mentira

Carlos diz a verdade e vejamos o que ele disse:

“Daniel é o ladrão do bombom”.

A resposta é: Daniel é o ladrão do bombom.

Letra D

Vejamos agora a situação geral sobre problemas envolvendo verdades e mentiras.

Neste tipo de exercício temos o seguinte:

· Um tipo de pessoa que sempre diz a verdade

· Um tipo de pessoa que sempre mente

· Um tipo de pessoa que pode tanto mentir quanto falar a verdade (este terceiro tipo de pessoa não está presente em todos os problemas)

Geralmente pretende-se descobrir informações como:

· Quem está mentindo e quem está dizendo a verdade;

· Quantas pessoas estão mentindo e quantas estão dizendo a verdade;

· Outras informações, independentemente de quem esteja mentindo e de quem esteja dizendo a verdade.

As bancas costumam colocar dois tipos de problema de “mentira e verdade”. No primeiro tipo de problema, cada uma das pessoas que mente/fala a verdade faz uma declaração sobre sua própria natureza ou sobre a natureza de outra pessoa. Geralmente a resolução do problema passa por uma consideração inicial sobre uma das pessoas (ou seja: damos um “chute”, para termos um ponto de partida).

No segundo tipo de problema, é possível detectarmos as chamadas “respostas-chave”. São respostas que, de imediato, nos permitem tirar conclusões úteis.

Verdade e mentira: exercícios do primeiro tipo



12. (CGU 2004/ESAF) Três homens são levados à presença de um jovem lógico. Sabe-se que um deles é um honesto marceneiro, que sempre diz a verdade. Sabe-se, também, que um outro é um pedreiro, igualmente honesto e trabalhador, mas que tem o estranho costume de sempre mentir, de jamais dizer a verdade. Sabe-se, ainda, que o restante é um vulgar ladrão que ora mente, ora diz a verdade. O problema é que não se sabe quem, entre eles, é quem. À frente do jovem lógico, esses três homens fazem, ordenadamente, as seguintes declarações:

O primeiro diz: “Eu sou o ladrão.”

O segundo diz: “É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão.”

O terceiro diz: “Eu sou o ladrão.”

Com base nestas informações, o jovem lógico pode, então, concluir corretamente que:

a) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o terceiro.

b) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o segundo.

c) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o segundo.

d) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o terceiro.

e) O marceneiro é o primeiro e o ladrão é o segundo

Resolução:

Este exercício acima é o padrão deste tipo de problema. A resolução é sempre da mesma forma. Precisamos fazer uma consideração sobre uma das pessoas. Um chute. Isto mesmo, vamos “chutar”.

Dados do enunciado:

· O marceneiro sempre diz a verdade.

· O pedreiro sempre mente.

· O ladrão pode tanto mentir quanto dizer a verdade.

Vamos criar uma lista das conclusões a que conseguirmos chegar. Estas conclusões serão a base para avaliarmos cada informação do enunciado, permitindo que tiremos novas conclusões.

Inicialmente, nossa lista está em branco:

Conclusões



Vamos fazer uma consideração sobre a primeira pessoa. Vamos supor que ela seja mentirosa.

Hipótese: o primeiro homem é mentiroso.

Tudo que fizermos daqui pra frente será com base nessa consideração. É como se já soubéssemos que o primeiro homem mentiu.

Podemos atualizar a listagem de conclusões.

Conclusões

Premissa O primeiro homem é mentiroso

Na verdade, não é bem correto dizer que esta é nossa primeira conclusão. Não sabemos se, de fato, o primeiro homem é mentiroso. É apenas uma hipótese. Simplesmente decidimos tomar isso como verdade.

Vamos começar a ler as informações da questão. A primeira informação do enunciado é:

1. O primeiro diz: “Eu sou o ladrão.”

Análise: Sabemos que o primeiro homem é mentiroso (esta é nossa premissa). Conclusão: o primeiro homem não é o ladrão.

Conclusões


1ª conclusão O primeiro homem não é o ladrão

Voltemos ao enunciado. A segunda informação é:

2. O segundo diz: “É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão.”

Análise: Sabemos que o primeiro homem não é o ladrão (ver 1ª conclusão). Portanto, o segundo homem está mentindo.

Conclusões



2ª conclusão O segundo homem está mentindo



Se os dois primeiros mentiram, então nenhum deles é o marceneiro (que sempre diz a verdade). O marceneiro só pode ser a terceira pessoa.

Conclusões: o terceiro homem fala a verdade e é o marceneiro

Conclusões




3ª conclusão O terceiro homem fala a verdade

4ª conclusão O terceiro homem é o marceneiro

A terceira informação dada é:

3. O terceiro diz: “Eu sou o ladrão.”

Análise: Sabemos que o terceiro homem diz a verdade (com base na 3ª conclusão). Portanto, o terceiro homem é o ladrão.

Conclusões




3ª conclusão O terceiro homem fala a verdade

4ª conclusão O terceiro homem é o marceneiro

5ª conclusão O terceiro homem é o ladrão

Disto, chegamos a uma contradição. Nossa quarta conclusão foi que o terceiro homem é o marceneiro. E nossa quinta conclusão foi que o terceiro homem é o ladrão. Isto é um absurdo. O terceiro homem não pode ser marceneiro e ladrão ao mesmo tempo.

Só chegamos a um absurdo porque a suposição inicial não foi correta.

Vamos mudar a hipótese inicial?

Bom, se o primeiro homem não mentiu, só temos uma opção: ele disse a verdade.

Agora nossa hipótese é: o primeiro homem disse a verdade.



Conclusões

Hipótese O primeiro homem é verdadeiro

Vamos reler as informações do enunciado.

1. O primeiro diz: “Eu sou o ladrão.”

Análise: Sabemos que o primeiro homem é verdadeiro (esta é nossa nova premissa). Conclusão: o primeiro homem é o ladrão.

Conclusões


1ª conclusão O primeiro homem é o ladrão

Segunda informação:

2. O segundo diz: “É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão.”

Análise: Sabemos que primeiro homem é o ladrão (ver primeira conclusão). Portanto, o segundo homem está falando a verdade.

Conclusões



2ª conclusão O segundo homem está falando a verdade

Se os dois primeiros disseram a verdade, então nenhum deles é o pedreiro (que sempre mente). O pedreiro só pode ser a terceira pessoa. Conclusão: o terceiro homem é mentiroso e é o pedreiro.

Conclusões




3ª conclusão O terceiro homem é mentiroso



4ª conclusão O terceiro homem é o pedreiro

Por exclusão, o segundo homem é o marceneiro.

Conclusões




3ª conclusão O terceiro homem é mentiroso

4ª conclusão O terceiro homem é o pedreiro

5ª conclusão O segundo homem é o marceneiro

Terceira informação:


Análise: Sabemos que esta afirmação é falsa, pois o ladrão é o primeiro (ver 1ª conclusão). E realmente era para ser algo falso, pois o terceiro homem é mentiroso, conforme a 3ª conclusão.

Nesta segunda hipótese não chegamos a nenhum absurdo. Ela representa a resposta correta:

· O ladrão é o primeiro

· O marceneiro é o segundo

· O pedreiro é o terceiro

Letra B

13. (AFC CGU 2006/ESAF) Pedro encontra-se à frente de três caixas, numeradas de 1 a 3. Cada uma das três caixas contém um e somente um objeto. Uma delas contém um livro; outra, uma caneta; outra, um diamante. Em cada uma das caixas existe uma inscrição, a saber:

Caixa 1: “O livro está na caixa 3.”

Caixa 2: “A caneta está na caixa 1.”

Caixa 3: “O livro está aqui.”

Pedro sabe que a inscrição da caixa que contém o livro pode ser verdadeira ou falsa. Sabe, ainda, que a inscrição da caixa que contém a caneta é falsa, e que a inscrição



da caixa que contém o diamante é verdadeira. Com tais informações, Pedro conclui corretamente que nas caixas 1, 2 e 3 estão, respectivamente,

a) a caneta, o diamante, o livro.

b) o livro, o diamante, a caneta.

c) o diamante, a caneta, o livro.

d) o diamante, o livro, a caneta.

e) o livro, a caneta, o diamante.

Resolução

Aqui não temos exatamente pessoas que mentem/falam a verdade. Temos inscrições que podem ser verdadeiras ou falsas. Mas a idéia de resolução é a mesma.

Dados do exercício:

· A caixa com o diamante tem inscrição verdadeira

· A caixa com a caneta tem inscrição falsa

· A caixa com o livro tem uma inscrição que pode ser verdadeira ou falsa

Nossa lista de conclusões, inicialmente, está em branco.

Conclusões

E vamos ao nosso “chute inicial”. Vamos supor que a inscrição da caixa 1 seja verdadeira.

Conclusões

Hipótese A inscrição da caixa 1 é verdadeira.

A primeira informação dada foi:

1. Inscrição da caixa 1: “O livro está na caixa 3.”

Análise: Sabemos que a caixa 1 é verdadeira (essa é nossa premissa). Conclusão: o livro está na caixa 3.



Conclusões


1ª conclusão O livro está na caixa 3


2. Inscrição da caixa 2: “A caneta está na caixa 1.”

Até daria para, já agora, tirarmos uma conclusão sobre esta informação acima. Mas vamos deixá-la para depois. Vocês verão que, com isso, nossa análise ficará bem fácil.


3. Inscrição da caixa 3: “O livro está aqui.”

Análise: sabemos que, realmente, o livro está na caixa 3 (ver 1ª conclusão). Portanto, a inscrição da caixa 3 é verdadeira.

Observem que foi mais fácil passar direto para a informação 3, pois ela, a exemplo da informação 1, já analisada, também se refere à caixa 3. E para a caixa 3 nós já temos uma conclusão.

Conclusões



2ª conclusão A inscrição da caixa 3 é verdadeira

Como as inscrições das caixas 1 e 3 são verdadeiras, nenhuma delas contém a caneta (pois a caixa com a caneta tem inscrição falsa). A caixa com a caneta só pode ser a caixa 2. Conclusão: a caixa 2 contém a caneta e tem uma inscrição falsa.



Conclusões




3ª conclusão A caneta está na caixa 2

4ª conclusão A inscrição da caixa 2 é falsa.

Por exclusão, a caixa 1 contém o diamante.

Conclusões





4ª conclusão A inscrição da caixa 2 é falsa.

5ª conclusão O diamante está na caixa 1

Agora sim, vamos voltar à segunda informação.


Análise: agora que já descobrimos o que tem em cada caixa, fica fácil dizer que esta afirmação acima é falsa (pois, de acordo com a 5ª conclusão, na caixa 1 está o diamante). E, realmente, era para ser uma informação falsa, pois a inscrição da caixa 2 é falsa (ver 3ª conclusão).

Reparem que não chegamos a nenhum absurdo.

O conteúdo de cada caixa é:

· Caixa 3: livro

· Caixa 2: caneta

· Caixa 1: diamante.

Letra: C

Aí vem a pergunta: mas Professor, e se a gente tivesse chutado que a inscrição da caixa 1 é falsa?



Bom, aí chegaríamos a um absurdo.

Caso esta fosse nossa hipótese, teríamos:

Conclusões

Hipótese A inscrição da caixa 1 é falsa

Primeira informação:

1. Inscrição da caixa 1: “O livro está na caixa 3.”

Análise: Sabemos que a inscrição da caixa 1 é falsa. Conclusão: o livro não está na caixa 3.

Conclusões


1ª conclusão O livro não está na caixa 3

Novamente, vamos pular a segunda informação.


3. Inscrição da caixa 3: “O livro está aqui.”

Análise: Sabemos que o livro não está na caixa 3. Portanto, a inscrição da caixa 3 também é falsa.

Conclusões



2ª conclusão A inscrição da caixa 3 é falsa

Como as caixas 1 e 3 são falsas, nenhuma delas pode ser a caixa que contém o diamante (pois a caixa com o diamante tem uma inscrição verdadeira). Logo, o diamante só pode estar na caixa 2. Conclusão: o diamante está na caixa 2 e a caixa 2 tem uma inscrição verdadeira.



Conclusões








Análise: sabemos que a caixa 2 é verdadeira. Então, de fato, a caneta está na caixa 1.

Conclusões







Por exclusão, a caixa 3 só pode conter o livro.

Conclusões










E chegamos a uma contradição. Nossa primeira conclusão foi de que o livro não está na caixa 3. E nossa última conclusão foi que o livro está na caixa 3. Esta situação é absurda. E só chegamos a uma situação absurda quando a hipótese inicial é errada!

14. (CVM 2001/ESAF) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram:

– “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos.

– “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário.

– “Foi a Mara”, disse Manuel.

– “O Mário está mentindo”, disse Mara.

– “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria.

Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi:

a) Mário b) Marcos c) Mara d) Manuel e) Maria

Resolução:

Somente uma pessoa mentiu. Observem que a afirmação de Manuel é a mais simples de ser analisada. Ele se refere apenas à Mara. Ele diz que Mara foi quem entrou sem pagar. Por este motivo, vamos fazer nossas hipóteses sobre Manuel.

Hipótese: Manuel está mentindo e os demais estão dizendo a verdade.

Conclusões

Hipótese Manuel é o único mentiroso

Como só sabemos algo a respeito de Manuel, vamos analisar sua declaração. Manuel afirma que Mara entrou sem pagar. Sabemos que Manuel é mentiroso. Logo, Mara pagou para entrar.

Conclusões


1ª conclusão Mara pagou para entrar



Mara afirma que Mário está mentindo. Sabemos que Mara é verdadeira (pois Manuel é o único mentiroso). Logo, Mário está mentindo.

Conclusões


1ª conclusão Mara pagou para entrar

2ª conclusão Mário está mentindo

E chegamos a uma contradição. Segundo nossa hipótese, o único mentiroso é o Manuel. E nossa segunda conclusão foi que Mário está mentindo. Isto é absurdo.

Portanto, nossa hipótese está errada. Na verdade, Manuel está dizendo a verdade. Ora, se Manuel está dizendo a verdade, então Mara entrou sem pagar.

Letra: C

Interessante observar que, nesta segunda hipótese, não chegamos a nenhuma contradição. Para não deixar dúvidas, seguem as demais conclusões:

· Marcos diz que não foi ele nem o Manuel que entraram sem pagar. Sabemos que Mara entrou sem pagar. Marcos está dizendo a verdade.

· Mário diz que foi o Manuel ou a Maria que entrou sem pagar. Sabemos que quem entrou sem pagar foi Mara. Conclusão: Mário está mentindo.

· Mara diz que Mário está mentindo. Sabemos que realmente ele é mentiroso. Conclusão: Mara diz a verdade.

· Maria diz que foi o Marcos ou a Mara. Sabemos que foi a Mara quem entrou sem pagar. Conclusão: Maria diz a verdade.

Notem que apenas Mário mentiu, o que está de acordo com o enunciado (há apenas 1 mentiroso).

Outra forma de resolução, um pouco mais demorada, seria a seguinte. Poderíamos chutar quem entrou sem pagar e ver quantas pessoas estariam mentindo. Primeiro, chutaríamos que Marcos entrou sem pagar. Concluiríamos que haveria mais de 1 mentiroso (absurdo).

Depois, chutaríamos que Mário entrou sem pagar. Concluiríamos que haveria mais de 1 mentiroso (absurdo).

E assim por diante.



15. (MTE 2003/ESAF) Um professor de Lógica percorre uma estrada que liga, em linha reta, as vilas Alfa, Beta e Gama. Em Alfa, ele avista dois sinais com as seguintes indicações:

“Beta a 5 km” e “Gama a 7 km”. Depois, já em Beta, encontra dois sinais com as indicações: “Alfa a 4 km” e “Gama a 6 km”. Ao chegar a Gama, encontra mais dois sinais: “Alfa a 7 km” e “Beta a 3 km”. Soube, então, que, em uma das três vilas, todos os sinais têm indicações erradas; em outra, todos os sinais têm indicações corretas; e na outra um sinal tem indicação correta e outro sinal tem indicação errada (não necessariamente nesta ordem). O professor de Lógica pode concluir, portanto, que as verdadeiras distâncias, em quilômetros, entre Alfa e Beta, e entre Beta e Gama, são, respectivamente:

a) 5 e 3 b) 5 e 6 c) 4 e 6 d) 4 e 3 e) 5 e 2

Resolução:

As indicações de placa são:

Alfa: beta a 5 km e gama a 7 km

Beta: alfa a 4 km e gama a 6 km

Gama: alfa a 7 km e beta a 3 km

Hipótese: as placas de alfa são verdadeiras.

Conclusões

Hipótese As duas placas de Alfa são verdadeiras

Como as placas de alfa são verdadeiras, então: a distância entre alfa a beta é de 5 km; a distância entre alfa e gama é de 7 km; por diferença, a distância entre beta é gama é de 2 km.



Conclusões


1ª conclusão Distância de alfa a beta: x = 5 km

2ª conclusão Distância de alfa a gama: x+y = 7 km

3ª conclusão Distância de beta a gama: y = 2 km

A primeira placa de beta afirma que a distância entre alfa e beta é de 4 km, o que é falso. A segunda placa de beta afirma que a distância entre beta e gama é de 6 km, o que é falso. Conclusão: as duas placas de beta são falsas

Conclusões





4ª conclusão As duas placas de Beta são falsas

A primeira placa de gama afirma que a distância entre alfa e gama é de 7 km, o que é verdadeiro. A segunda placa de gama afirma que a distância entre beta e gama é de 3 km, o que é falso. Conclusão: gama tem uma placa verdadeira e uma falsa

Conclusões





4ª conclusão As duas placas de Beta são falsas

5ª conclusão Gama tem uma placa verdadeira e uma falsa

Não chegamos a nenhuma contradição. Obtivemos 1 cidade com duas placas verdadeiras (alfa), 1 cidade com duas placas falsas (beta) e 1 cidade com uma placa falsa e outra verdadeira (gama). Foi exatamente a condição imposta no enunciado.



Qualquer outra hipótese feita quanto às placas de alfa resultaria em contradição.

Letra: E

16. (MPU 2004/ESAF) Fernanda atrasou-se e chega ao estádio da Ulbra quando o jogo de vôlei já está em andamento. Ela pergunta às suas amigas, que estão assistindo à partida, desde o início, qual o resultado até o momento. Suas amigas dizem-lhe:

Amanda: “Neste set, o escore está 13 a 12”.

Berenice: “O escore não está 13 a 12, e a Ulbra já ganhou o primeiro set”.

Camila: “Este set está 13 a 12, a favor da Ulbra”.

Denise: “O escore não está 13 a 12, a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante”.

Eunice: “Quem vai sacar é a equipe visitante, e a Ulbra está ganhando este set”.

Conhecendo suas amigas, Fernanda sabe que duas delas estão mentindo e que as demais estão dizendo a verdade. Conclui, então, corretamente, que

a) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante.

b) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante.

c) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante.

d) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra não está vencendo este set, e a Ulbra venceu o primeiro set.

e) o escore está 13 a 12, e a Ulbra vai sacar, e a Ulbra venceu o primeiro set.

Resolução:

Chute: Amanda é mentirosa.

Conclusões

Hipótese Amanda é mentirosa

Vamos avaliar a frase de Amanda. Ela diz que o escore está 13 a 12. Como Amanda mente, então o escore não está 13 a 12.



Conclusões


1ª conclusão O escore não está 13 a 12

Vamos agora para a frase de Camila.


Sabemos que o escore não está 13 a 12. Portanto, Camila está mentindo, pois afirma justamente o contrário.

Conclusões



2ª Conclusão Camila está mentindo

Pronto. Já achamos as duas amigas mentirosas. Concluímos que as demais falam a verdade.

Conclusões




3ª Conclusão Berenice, Denise e Eunice falam a verdade

Vejamos a frase de Berenice:


Como Berenice fala a verdade (ver 3ª conclusão), então tudo que ela disse acima é correto. Ou seja, o escore não está 13 a 12 (o que já sabíamos) e Ulbra ganhou o primeiro set.



Conclusões





4ª Conclusão Ulbra ganhou o primeiro set

Agora vamos para Denise.


Denise também fala a verdade. Logo, tudo que ela disse acima é correto.

Conclusões





4ª Conclusão Ulbra ganhou o primeiro set

5ª Conclusão Ulbra está perdendo este set

6ª Conclusão Quem vai sacar é a equipe visitante

Por fim, a frase de Eunice.


Eunice também fala a verdade. Logo, tudo o que ela disse acima está correto.



Conclusões



2ª conclusão Camila está mentindo

3ª conclusão Berenice, Denise e Eunice falam a verdade

4ª conclusão Ulbra ganhou o primeiro set

5ª conclusão Ulbra está perdendo este set

6ª conclusão Quem vai sacar é a equipe visitante

7ª conclusão Ulbra está ganhando este set

E chegamos a uma contradição! A 5ª conclusão foi que Ulbra está perdendo este set. A última conclusão foi que Ulbra está ganhando este set.

Só chegamos a uma conclusão porque a hipótese inicial foi errada. Devemos alterar nosso chute.

Nova hipótese: Amanda é verdadeira.

Conclusões

Hipótese Amanda é verdadeira

Vamos avaliar a frase de Amanda. Ela diz que o escore está 13 a 12. Como Amanda diz a verdade, então o escore realmente está 13 a 12.

Conclusões


1ª conclusão O escore está 13 a 12

Berenice e Denise dizem que o escore não está 13 a 12. Mas sabemos que é justamente o contrário. Logo, Berenice e Denise mentem.



Conclusões



2ª conclusão Berenice mente

3ª conclusão Denise mente

Pronto, achamos as duas mentirosas. As demais amigas são todas verdadeiras.

E o que é que as demais amigas falam? Elas falam o seguinte:



Como elas são verdadeiras, tudo o que está dito acima é correto.



2ª conclusão Berenice mente

3ª conclusão Denise mente


5ª conclusão A equipe visitante vai sacar.

Não chegamos a nenhuma contradição. O quadro acima representa a resposta correta.

Letra: B

Resoluções Alternativas Uma das maiores dificuldades que os alunos encontram ao estudar Raciocínio Lógico é a falta de sistematização das resoluções. Talvez por isso muita gente ache que, dentre as matérias de exatas que caem em concursos, RL é a mais difícil.

Em matemática financeira, por exemplo, temos exercícios cujas resoluções são mais “padronizadas”. Grosso modo, se a questão é de juros compostos, aplicamos a fórmula de juros compostos. Se a questão é de juros simples, aplicamos a fórmula de juros simples. E assim por diante. Cada tipo de questão tem sua fórmula associada.

Em RL isso nem sempre acontece. Há questões que apresentam diversas formas de resolução. Por isso, nas questões acima, tentamos mostrar resoluções que seguem certos padrões.



Qual a vantagem disso? A vantagem é dar ao aluno um pouco mais de segurança para resolver a questão.

Qual a desvantagem? Muitas vezes, a solução “padronizada” não é a mais rápida.

Nas questões de verdade/mentira isso acontece muito. É meio demorado ficar testando hipóteses.

Assim, para aqueles com um pouco mais de facilidade na matéria, vamos agora apresentar algumas soluções alternativas, mais rápidas, que dispensam o chute inicial.

Solução alternativa para o exercício 12

Três homens são levados à presença de um jovem lógico. Sabe-se que um deles é um honesto marceneiro, que sempre diz a verdade. Sabe-se, também, que um outro é um pedreiro, igualmente honesto e trabalhador, mas que tem o estranho costume de sempre mentir, de jamais dizer a verdade. Sabe-se, ainda, que o restante é um vulgar ladrão que ora mente, ora diz a verdade. O problema é que não se sabe quem, entre eles, é quem. À frente do jovem lógico, esses três homens fazem, ordenadamente, as seguintes declarações:










Observem que o primeiro e o segundo homens fazem declarações iguais. Portanto, ou ambos mentem, ou ambos dizem a verdade. Já o terceiro homem faz uma declaração oposta às dos demais. Sua natureza é diferente da natureza dos dois primeiros.

Ou o terceiro homem é o único verdadeiro ou é o único mentiroso.

Se tivéssemos um único verdadeiro, este seria o marceneiro, que diria “eu sou o marceneiro”. O marceneiro nunca diria “eu sou o ladrão”.

Como o terceiro homem disse “eu sou o ladrão”, então o terceiro homem é o único mentiroso. Por conseqüência, os dois primeiros são verdadeiros.



Se só há um mentiroso, ele é o pedreiro. Portanto, o terceiro homem é o pedreiro. Como o primeiro homem disse a verdade, então ele é o ladrão. Por exclusão, o segundo homem é o marceneiro.

Notem que, se o candidato visualizasse logo de início que, necessariamente, o primeiro e o segundo homens têm a mesma natureza, a resolução ficaria bem mais rápida.


Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram:







a) Mário

b) Marcos

c) Mara

d) Manuel

e) Maria

Note que Mara acusa Mário de estar mentindo. Como só há um mentiroso, então um dos dois deve ser o mentiroso. Ou Mara mente ou Mário mente.

E aqui está o detalhe: mesmo sem sabermos quem dos dois é o mentiroso, já podemos concluir que é um deles. Logo, todos os demais estão dizendo a verdade.

Portanto, concluímos que Manuel diz a verdade.

Manuel afirma que a Mara entrou sem pagar. Como Manuel diz a verdade, concluímos que Mara entrou sem pagar.




Um professor de Lógica percorre uma estrada que liga, em linha reta, as vilas Alfa, Beta e Gama. Em Alfa, ele avista dois sinais com as seguintes indicações:


a) 5 e 3

b) 5 e 6

c) 4 e 6

d) 4 e 3

e) 5 e 2

Aqui ainda vamos usar a técnica do chute inicial. Só vamos direcionar um pouco o chute.

Podemos montar a seguinte tabela:

Cidade Alfa – Beta Beta – Gama Alfa – Gama

Alfa 5 2 7

Beta 4 6 10

Gama 4 3 7

Os números em azul representam as indicações das placas. Os números em vermelho representam distâncias deduzidas a partir das demais placas da cidade.

Observem que a placa com a indicação de 7 km, referente ao trecho Alfa-Gama, repete. Ela aparece tanto na cidade Alfa quanto na cidade Gama. Então vamos centrar nossa análise justamente nesta placa.

Vamos supor que esta placa é falsa (chute inicial!)

Se ela for falsa, então a cidade Beta é quem apresenta duas placas verdadeiras. Como conseqüência, as cidades Alfa e Gama só apresentam placas falsas, o que vai contra ao disposto no comando da questão.



A vantagem desse procedimento é que rapidamente concluímos que nosso chute inicial foi errado. Ou seja, não perdemos muito tempo com uma hipótese errada.

Continuando a resolução.

Concluímos que a distância entre Alfa e Gama é de 7 km. Com isso, Alfa e Gama apresentam placas verdadeiras. Portanto, as duas placas de Beta são falsas.

Se as duas placas de Beta são falsas, então a distância entre Alfa e Beta não é de 4 km. Logo, a distância entre Beta e Gama não é de 3 km. Portanto, a segunda placa de Gama é falsa.

Como uma das cidades apresenta duas placas verdadeiras, por exclusão, concluímos que a segunda placa de Alfa é verdadeira.

Solução alternativa para o exercício 16.

Fernanda atrasou-se e chega ao estádio da Ulbra quando o jogo de vôlei já está em andamento. Ela pergunta às suas amigas, que estão assistindo à partida, desde o início, qual o resultado até o momento. Suas amigas dizem-lhe:














Quase todas as amigas se pronunciam sobre o escore deste set. Amanda e Camila dizem que o escore está 13 a 12. Berenice e Denise afirmam que o escore não está 13 a 12.

Se o escore estiver realmente 13 a 12, então Berenice e Denise são as duas mentirosas.

Se o escore não estiver 13 a 12, então Amanda e Camila são as duas mentirosas.

Seja qual for o escore, portanto, as mentirosas serão duas destas quatro amigas acima mencionadas (ou Amanda e Camila; ou Berenice e Denise). Conclusão: Eunice, que não se manifestou sobre o escore, diz a verdade.

Conclusões

1ª conclusão Eunice diz a verdade

Se Eunice diz a verdade, então, a partir de sua afirmação, temos as seguintes conclusões:

· Quem vai sacar é a equipe visitante

· Ulbra está ganhando este set. Conclusões




Agora, reparem que Denise afirma que a Ulbra está perdendo este set. Sabemos que isto é falso. Denise está mentindo. Conclusão: as mentirosas são Denise e Berenice.

Conclusões




4ª conclusão As duas mentirosas são Denise e Berenice

Descobertas as mentirosas, temos que Amanda e Camila também dizem a verdade. Com base nas suas afirmações, concluímos que o escore está 13 a 12 neste set



Conclusões




4ª conclusão As duas mentirosas são Denise e Berenice

5ª conclusão O escore está 13 a 12 neste set.

1 Verdade e mentira: exercícios do segundo tipo Ainda vamos trabalhar com exercícios de mentira e verdade. Eles poderiam muito bem ser resolvidos a partir de “chutes”. Mas uma forma de encurtar a resolução é identificar as “respostas-chave”. São respostas que nos darão conclusões imediatas.

17. (MPU 2004/ESAF) Sócrates encontra-se em viagem por um distante e estranho país, formado por apenas duas aldeias, uma grande e outra pequena. Os habitantes entendem perfeitamente o português, mas falam apenas no idioma local, desconhecido por Sócrates. Ele sabe, contudo, que os habitantes da aldeia menor sempre dizem a verdade, e os da aldeia maior sempre mentem. Sabe, também, que “Milango” e “Nabungo” são as palavras no idioma local que significam “sim” e “não”, mas não sabe qual delas significa “sim” e nem, conseqüentemente, qual significa “não”. Um dia, Sócrates encontra um casal acompanhado de um jovem. Dirigindo-se a ele, e apontando para o casal, Sócrates pergunta:

– Meu bom jovem, é a aldeia desse homem maior do que a dessa mulher?

– Milango –, responde o jovem.

– E a tua aldeia é maior do que a desse homem? –, voltou Sócrates a perguntar.

– Milango –, tornou o jovem a responder.

– E, dize-me ainda, és tu da aldeia maior? – perguntou Sócrates.

– Nabungo –, disse o jovem.

Sócrates, sorrindo, concluiu corretamente que

a) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande.

b) o jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da pequena.

c) o jovem mente, e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena.

d) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena.

e) o jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande.



Resolução:

Observe atentamente a terceira pergunta. Sócrates pergunta ao jovem se ele é da aldeia maior. Acontece que os habitantes da aldeia maior sempre mentem. Portanto, perguntar ao jovem se ele é da aldeia maior é o mesmo que perguntar: Você é mentiroso?

Neste exercício, a resposta a esta pergunta é uma “resposta chave”. Por quê? Porque ela vai permitir que tiremos uma conclusão imediata, como veremos a seguir.

A pergunta é: jovem, você é mentiroso?

Se o jovem só disser a verdade, ele responderá que não, ele não é mentiroso. Ele estará sendo sincero ao responder negativamente.

Se o jovem for mentiroso, ele também responderá “não”. Ele estará mentindo. Ele dirá que não é mentiroso, embora o seja.

Deste modo, não importa se o jovem é verdadeiro ou mentiroso. Ele, com certeza, responderá que “não”.

ATENÇÃO:

Perguntas do tipo: “você é mentiroso?”

Não importa se a pessoa é verdadeira ou mentirosa. Ela sempre responderá: NÃO

Continuando com o problema. Sabemos que a resposta à terceira pergunta é: não. Disto, tiramos duas conclusões imediatas:

· Nabungo = não

· Milango = sim

Com estas informações, podemos analisar as demais respostas do jovem. Ele faz as seguintes afirmações:

· O homem é de uma aldeia maior que a da mulher (ver primeira resposta)

· A aldeia do jovem é maior que a do homem (ver segunda resposta)

· O jovem é da aldeia menor (ver terceira resposta)

O enunciado deixa bem claro que só existem duas aldeias: a maior e a menor (ou ainda: a grande e a pequena). Portanto, fica evidente que o jovem está mentindo. Não é possível que ele seja da aldeia pequena e, ao mesmo tempo, sua aldeia seja maior que a do homem.

Conclusão: o jovem mente e, consequentemente, é da aldeia grande.

Já sabendo que o jovem é da aldeia grande, vamos analisar a segunda resposta.



Na segunda resposta, o jovem afirma que sua aldeia é maior que a aldeia do homem. Ou seja, ele afirma que o homem é da aldeia pequena.

Como o jovem é mentiroso, então, na verdade, o homem é da aldeia grande.

Já sabendo que o homem e o jovem são da aldeia grande, vamos analisar a primeira resposta.

Na primeira resposta, o jovem afirma que a aldeia do homem é maior que a aldeia da mulher. Ou seja, ele afirma que a mulher é da aldeia pequena.

Como o jovem é mentiroso, então a mulher é da aldeia grande.

Letra E

18. (CGU 2006 /ESAF) Um professor de lógica encontra-se em viajem em um país distante, habitado pelos verdamanos e pelos mentimanos. O que os distingue é que os verdamanos sempre dizem a verdade, enquanto os mentimanos sempre mentem. Certo dia, o professor depara-se com um grupo de cinco habitantes locais. Chamemo-los de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon. O professor sabe que um e apenas um no grupo é verdamano, mas não sabe qual deles o é. Pergunta, então, a cada um do grupo quem entre eles é verdamano e obtém as seguintes respostas:

Alfa: “Beta é mentimano”

Beta: “Gama é mentimano”

Gama: “Delta é verdamano”

Delta: “Épsilon é verdamano”

Épsilon, afônico, fala tão baixo que o professor não consegue ouvir sua resposta. Mesmo assim, o professor de lógica conclui corretamente que o verdamano é:

a) Delta b) Alfa c) Gama d) Beta e) Épsilon

Resolução

Observe a resposta de Gama. Ela é uma resposta chave.

Só existe 1 verdamano. Este verdamano, quando for se referir a qualquer outro habitante, vai, corretamente, informar que se trata de um mentimano.



Conclusão: um verdamano nunca vai apontar para um outro habitante e dizer que se trata de um verdamano (já que só ele é verdamano, de acordo com o enunciado).

Portanto, a partir da resposta de Gama, concluímos que ele é mentiroso.

Ora, se Gama é mentiroso, então Beta diz a verdade, uma vez que Beta afirma que Gama é mentimano.

Logo, o verdamano é Beta.

Letra D

19. (MPU 2004-2/ESAF) Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência Artificial, está examinando um grupo de cinco andróides – rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon –, fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde, mas Dr. Turing, distraído, não ouve a resposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declarações:

Beta: “Alfa respondeu que sim”.

Gama: “Beta está mentindo”.

Delta: “Gama está mentindo”.

Épsilon: “Alfa é do tipo M”.

Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir corretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual a

a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

Resolução:

Dr. Turing perguntou a Alfa se ele é mentiroso. A resposta a esta pergunta é uma resposta “chave”.

Mesmo sem que ele tenha ouvido o que o andróide disse, pôde concluir que a resposta foi “não”. A resposta para este tipo de pergunta é sempre “não” (não importa se o indivíduo sempre mente ou sempre diz a verdade).

Disto, temos:

· Beta diz que Alfa respondeu “sim”. Sabemos que Alfa respondeu “não”. Conclusão: Beta está mentindo.

· Gama diz que Beta está mentindo. Sabemos que Beta realmente está mentindo. Conclusão: Gama diz a verdade.

· Delta diz que Gama está mentindo. Sabemos que Gama diz a verdade. Conclusão: Delta está mentindo

· Épsilon diz que Alfa é mentiroso. Não temos como concluir nada.



Agora vem o grande detalhe desta questão! Não se pediu para identificar quem mente e quem diz a verdade. A pergunta foi: quantos são os andróides do tipo V. Apenas isto. Não precisamos descobrir quais são eles.

Entre os andróides Beta, Gama e Delta, apenas Gama diz a verdade.

Faltam ainda os andróides Alfa e Épsilon pra gente analisar.

Se Alfa for do tipo V, então Épsilon mentiu. Conclusão: Épsilon é do tipo M.

Caso contrário, se Alfa for do tipo M, então Épsilon disse a verdade. Conclusão: Épsilon é do tipo V.

Tanto em um caso como no outro, Alfa e Épsilon são de tipos diferentes. Um deles é V e o outro é M. Não sabemos quem é quem.

Portanto, são dois andróides do tipo V. Um deles é Gama. O outro é Alfa ou Épsilon.

Letra B

Problemas de Associação Lógica

São questões envolvendo um grupo de pessoas ou objetos, cada um com uma determinada característica. Nosso papel será determinar quem tem qual característica. Por essa razão, apelidaremos tais questões de “Dá a César o que é de César”. Veremos as principais técnicas durante a resolução das questões.

20. (FNDE/2007/FGV) Três amigas encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o da outra é branco. Elas calçam sapatos dessas mesmas cores, mas somente Ana está com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. Márcia está com sapatos azuis. Desse modo:

a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto. b) o vestido de Júlia é branco e seus sapatos são pretos. c) os sapatos de Júlia são pretos e o vestido de Márcia é branco. d) o vestido de Márcia é preto e os sapatos de Ana são brancos. e) o vestido de Ana é azul e os sapatos de Júlia são brancos.

Resolução

Faremos novamente uma tabela para associar cada mulher à cor do seu vestido e à cor do seu sapato.



Vestido Sapato Ana

Júlia

Márcia

Márcia está com sapatos azuis. Sabemos que o sapato de Júlia não é branco. Concluímos que os sapatos brancos são de Ana. Ora, Ana possui sapatos e vestido de mesma cor. Assim, o seu vestido também é branco. Por exclusão, os sapatos de Júlia são pretos. Como somente Ana possui sapato e vestido de mesma cor, o vestido de Júlia é azul e o vestido de Márcia é preto.

Vestido Sapato Ana Branco Branco

Júlia Azul Preto

Márcia Preto Azul

Letra D O vestido de Márcia é preto e os sapatos de Ana são brancos.

21. (TRT-24ª Região 2006/FCC) Alice, Bruna e Carla, cujas profissões são advogada, dentista e professora, não necessariamente nesta ordem, tiveram grandes oportunidades para progredir em sua carreira: uma delas foi aprovada em um concurso público; outra recebeu uma ótima oferta de emprego e a terceira, uma proposta para fazer um curso de especialização no exterior. Considerando que:

- Carla é professora. - Alice recebeu proposta para fazer o curso de especialização no exterior. - A advogada foi aprovada em um concurso público.

É correto afirmar que:

a) Alice é advogada. b) Bruna é advogada. c) Carla foi aprovada no concurso público. d) Bruna recebeu a oferta de emprego. e) Bruna é dentista.

Resolução



Construiremos uma tabela para associar cada mulher à sua profissão e à sua oportunidade para progredir na carreira.

Profissão OportunidadeAlice

Bruna

Carla

Com as duas primeiras informações, podemos preencher a profissão de Carla e a oportunidade de Alice.

Profissão Oportunidade Alice Curso de

especialização

Bruna

Carla Professora

A terceira frase nos diz que a advogada foi aprovada em concurso público. Sabemos que Alice não foi aprovada em concurso público e que Carla não é advogada. Portanto, a terceira frase se refere a Bruna.

Profissão Oportunidade Alice Curso de

especialização

Bruna Advogada Concurso público

Carla Professora

Por exclusão, temos que Alice é dentista e Carla recebeu uma ótima oferta de emprego.

Profissão Oportunidade Alice Dentista Curso de

especialização

Bruna Advogada Concurso público



Carla Professora Oferta de emprego

Letra B Bruna é advogada.

22. (Prefeitura de Jaboatão 2006/FCC) As afirmações abaixo referem-se às praias que 5 amigos pernambucanos costumam frequentar:

- Antônio e João não frequentam a praia de Boa Viagem. - Maurício e Francisco não frequentam a praia de Maria Farinha nem a de Piedade. - Duarte não frequenta a praia do Pina nem a de Candeias. - Antônio não frequenta a praia de Maria Farinha. - Duarte não frequenta a praia de Maria Farinha nem a de Piedade. - Francisco não frequenta a praia de Candeias.

Nessas condições, considerando que cada um deles frequenta uma única praia, aquele que frequenta a praia:

a) de Piedade é Antônio. b) do Pina é Duarte. c) de Boa Viagem é Francisco. d) de Candeias é João. e) de Maria Farinha é Maurício.

Resolução

Seguiremos uma estratégia um pouco diferente. Não vale a pena utilizarmos uma tabela semelhante às das questões anteriores. Temos muitas informações sobre as praias que eles não frequentam. A tabela que faremos terá o seguinte aspecto: escreveremos na primeira coluna os nomes dos personagens e na primeira linha o nome das praias frequentadas.

Boa Viagem

Maria Farinha

Piedade Pina Candeias

Antônio

João

Maurício

Francisco

Duarte



Usaremos a seguinte notação: quando não houver associação entre o personagem e a característica (no caso, a praia frequentada), marcaremos uma bolinha. Se houver associação entre o personagem e a característica, marcaremos um X.

Boa Viagem

Maria Farinha


Antônio

João

Maurício

Francisco

Duarte

Acabamos de preencher todas as informações do texto. Perceba que Duarte, por exclusão, frequenta Boa Viagem (marcaremos um X). Maria Farinha só pode ser frequentada por João (marcaremos um X).

Boa Viagem

Maria Farinha


Antônio

João

Maurício

Francisco

Duarte

A praia de Boa Viagem é frequentada por Duarte. Concluímos que nem Maurício nem Francisco frequentam Boa Viagem (preenchemos com bolinhas). João frequenta Maria Farinha e, portanto, não frequenta nem Piedade, nem Pina, nem Candeias (preenchemos com bolinhas).

Boa Viagem

Maria Farinha


Antônio

João



Maurício

Francisco

Duarte

Desta nova tabela, concluímos que Piedade é frequentada por Antônio (logo, ele não frequenta nem Pina nem Candeias) e Francisco frequenta o Pina (logo, Maurício não frequenta o Pina).

Boa Viagem

Maria Farinha


Antônio

João

Maurício

Francisco

Duarte

Para finalizar, temos que Maurício frequenta Candeias.

Boa Viagem

Maria Farinha


Antônio

João

Maurício

Francisco

Duarte

Letra A Antônio frequenta a praia de Piedade.

23. (Agente Administrativo DNOCS 2010/FCC) Três Agentes Administrativos − Almir, Noronha e Creuza − trabalham no Departamento Nacional de Obras Contra as Secas: um, no setor de atendimento ao público, outro no setor de compras e o terceiro no almoxarifado. Sabe-se que: − esses Agentes estão lotados no Ceará, em Pernambuco e na Bahia; − Almir não está lotado na Bahia e nem trabalha no setor de compras; − Creuza trabalha no almoxarifado;



− o Agente lotado no Ceará trabalha no setor de compras. Com base nessas informações, é correto afirmar que o Agente lotado no Ceará e o Agente que trabalha no setor de atendimento ao público são, respectivamente, (A) Almir e Noronha. (B) Creuza e Noronha. (C) Noronha e Creuza. (D) Creuza e Almir. (E) Noronha e Almir.

Resolução

Construiremos uma tabela para associar cada agente administrativo com o seu setor e o seu estado de lotação.

Setor Estado Almir

Noronha

Creuza

Creuza trabalha no almoxarifado;

Setor Estado Almir

Noronha

Creuza almoxarifado

Almir não trabalha no setor de compras. Por exclusão, quem trabalha no setor de compras é Noronha e Almir trabalha no setor de atendimento ao público.

Setor Estado Almir Atendimento

Noronha Compras

Creuza Almoxarifado



Sabemos que o Agente lotado no Ceará trabalha no setor de compras. Como Noronha trabalha no setor de compras, então ele está lotado no Ceará. Sabemos que Almir não está lotado na Bahia, portanto, é Creuza quem está lotada na Bahia. Por exclusão, Almir está lotado em Pernambuco.

Setor Estado Almir Atendimento Pernambuco

Noronha Compras Ceará

Creuza Almoxarifado Bahia

Com base nessas informações, é correto afirmar que o Agente lotado no Ceará e o Agente que trabalha no setor de atendimento ao público são, respectivamente, Noronha e Almir. Letra E 24. (Agente de Estação – Metro – SP 2007/FCC) Um pequeno restaurante oferece a seus clientes três opções de escolha do prato principal − carne assada, salada de batatas ou frango frito – e três opções de escolha da sobremesa − fruta da época, pudim de leite ou goiabada com queijo. Três amigos − Aluísio, Júnior e Rogério – foram a esse restaurante e constatou-se que: − cada um deles se serviu de um único prato principal e uma única sobremesa; − Rogério comeu carne assada; − um deles, que é vegetariano, comeu uma fruta da época como sobremesa; − Aluísio escolheu goiabada com queijo como sobremesa. Nessas condições, é correto afirmar que (A) Aluísio comeu salada de batatas. (B) Aluísio é vegetariano. (C) Rogério comeu pudim de leite. (D) Júnior comeu frango frito. (E) Júnior comeu pudim de leite.

Resolução

Construiremos uma tabela para associar cada cliente com o seu prato escolhido e a sua sobremesa.

Prato SobremesaAluísio

Júnior

Rogério



Rogério comeu carne assada;

Aluísio escolheu goiabada com queijo como sobremesa.

Prato Sobremesa Aluísio Goiabada com

queijo

Júnior

Rogério Carne Assada

As opções são: prato principal − carne assada, salada de batatas ou frango frito – e três opções de escolha da sobremesa − fruta da época, pudim de leite ou goiabada com queijo.

Um deles, que é vegetariano, comeu uma fruta da época como sobremesa.

Ora, não estamos falando de Rogério, porque ele comeu carne assada. Também não estamos falando de Aluísio, porque sua sobremesa foi goiabada com queijo.

A frase acima se refere a Júnior. Concluímos que Júnior come uma fruta de época como sobremesa e a salada de batatas.

Prato Sobremesa Aluísio Goiabada com

queijo

Júnior Salada de batatas

Fruta de época


Para completar a tabela, Aluísio comeu frango frito e Rogério comeu pudim de leite.

Prato Sobremesa



Aluísio Frango frito Goiabada com queijo

Júnior Salada de batatas

Fruta de época


Pudim de leite

(C) Rogério comeu pudim de leite.

25. (Aneel/2004/Esaf) Fátima, Beatriz, Gina, Sílvia e Carla são atrizes de teatro infantil e vão participar de uma peça em que representarão, não necessariamente nesta ordem, os papéis de Fada, Bruxa, Rainha, Princesa e Governanta. Como todas são atrizes versáteis, o diretor da peça realizou um sorteio para determinar a qual delas caberia cada papel. Antes de anunciar o resultado, o diretor reuniu-as e pediu que cada uma desse seu palpite sobre qual havia sido o resultado do sorteio. Disse Fátima: “Acho que eu sou a Governanta, Beatriz é a Fada, Sílvia é a Bruxa e Carla é a Princesa”. Disse Beatriz: “Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa”. Disse Gina: “Acho que Silvia é a Governanta ou a Rainha”. Disse Sílvia: “Acho que eu sou a Princesa”. Disse Carla: “Acho que a Bruxa sou eu ou Beatriz”. Neste ponto, o diretor falou: “Todos os palpites estão completamente errados; nenhuma de vocês acertou sequer um dos resultados do sorteio”! Um estudante de Lógica, que a tudo assistia, concluiu então, corretamente, que os papéis sorteados para Fátima, Beatriz, Gina e Sílvia foram, respectivamente:

a) rainha, bruxa, princesa, fada. b) rainha, princesa, governanta, fada. c) fada, bruxa, governanta, princesa. d) rainha, princesa, bruxa, fada. e) fada, bruxa, rainha, princesa.

Resolução

“Todos os palpites estão completamente errados; nenhuma de vocês acertou sequer um dos resultados do sorteio”!

Com estas palavras, o diretor nos dá o norte na resolução da questão. Quando, por exemplo, Fátima diz que acha que é a governanta, concluímos que ela não é a governanta. Podemos construir a seguinte tabela.

Fada Bruxa Rainha Princesa Governanta



Fátima

Beatriz

Gina

Sílvia

Carla

Disse Fátima: “Acho que eu sou a Governanta, Beatriz é a Fada, Sílvia é a Bruxa e Carla é a Princesa”. Disse Beatriz: “Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa”. Disse Gina: “Acho que Sílvia é a Governanta ou a Rainha”. Disse Sílvia: “Acho que eu sou a Princesa”. Disse Carla: “Acho que a Bruxa sou eu ou Beatriz”.

Aproveitando o comentário do diretor, modificaremos o diálogo acima e transformá-lo-emos no seguinte conjunto de frases:

Disse Fátima: “Eu não sou a Governanta, Beatriz não é a Fada, Sílvia não é a Bruxa e Carla não é a Princesa”. Disse Beatriz: “Fátima não é a Princesa e não é a Bruxa”. Disse Gina: “Sílvia não é a Governanta e não é a Rainha”. Disse Sílvia: “Eu não sou a Princesa”. Disse Carla: “A Bruxa não sou eu e não é Beatriz”.

Temos então a seguinte tabela.


Fátima

Beatriz

Gina

Sílvia

Carla

Por essa tabela, concluímos que Gina é a bruxa e que Sílvia é a fada.




Fátima

Beatriz

Gina

Sílvia

Carla

Se Gina é a bruxa, inferimos que ela não é a fada, nem a rainha, nem a princesa nem a governanta. Analogamente, se a fada é Sílvia, concluímos que ninguém mais pode ser a fada.


Fátima

Beatriz

Gina

Sílvia

Carla

Com esta nova disposição da tabela, concluímos facilmente que a princesa é Beatriz (logo, Beatriz não é a rainha nem a governanta).


Fátima

Beatriz

Gina

Sílvia

Carla

Temos então que a governanta é Carla e a rainha é Fátima.




Fátima

Beatriz

Gina

Sílvia

Carla

Um estudante de Lógica, que a tudo assistia, concluiu então, corretamente, que os papéis sorteados para Fátima, Beatriz, Gina e Sílvia foram, respectivamente Rainha, Princesa, Bruxa e Fada. Letra D.

26. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Seis pessoas, entre elas Marcos, irão se sentar ao redor de uma mesa circular, nas posições indicadas pelas letras do esquema abaixo. Nesse esquema, dizemos que a posição A está à frente da posição D, a posição B está entre as posições A e C e a posição E está à esquerda da posição F.

Sabe-se que: - Pedro não se sentará à frente de Bruno. - Bruno ficará à esquerda de André e à direita de Sérgio.



- Luís irá se sentar à frente de Sérgio. Nessas condições, é correto afirmar que (A) Pedro ficará sentado à esquerda de Luís. (B) Luís se sentará entre André e Marcos. (C) Bruno ficará à frente de Luís. (D) Pedro estará sentado à frente de Marcos. (E) Marcos se sentará entre Pedro e Sérgio.

Resolução

Em uma mesa circular o que interessa não é a posição absoluta de cada pessoa e sim a posição relativa: quem está à frente de quem, quem está à direita de quem, etc.

Vamos colocar Bruno, por exemplo, na posição D.

Como Bruno esta à esquerda de André, então André está na posição E. Como Bruno está à direita de Sérgio, então Sérgio está na posição C.

Luís está à frente de Sérgio, portanto, Luís está na posição F.



Como Pedro não está à frente de Bruno, então Pedro está na posição B. Por exclusão, Marcos está na posição A.

(B) Luís se sentará entre André e Marcos. Letra B 27. (SEFAZ-SP 2009/FCC) O setor de fiscalização da secretaria de meio ambiente de um município é composto por seis fiscais, sendo três biólogos e três agrônomos. Para cada fiscalização, é designada uma equipe de quatro fiscais, sendo dois biólogos e dois agrônomos. São dadas a seguir as equipes para as três próximas fiscalizações que serão realizadas.



Sabendo que Pedro é biólogo, é correto afirmar que, necessariamente, (A) Valéria é agrônoma. (B) Tânia é bióloga. (C) Rafael é agrônomo. (D) Celina é bióloga. (E) Murilo é agrônomo.

Resolução

Vamos observar o segundo grupo de fiscalização. Sabemos que neste grupo deve haver dois biólogos e dois agrônomos. Como Pedro é biólogo, apenas um dentre Tânia, Valéria e Murilo é biólogo. Vamos testar cada uma das possibilidades:

i) Tânia é bióloga?

Se Tânia for bióloga, então Valéria e Murilo são agrônomos. Contradição, pois no primeiro grupo de fiscalização em que Valéria e Murilo figuram (eles são agrônomos) devemos ter dois biólogos: Celina e Rafael. Temos, portanto, 4 biólogos, a saber: Celina, Rafael, Tânia e Pedro. Devemos descartar esta possibilidade de Tânia ser bióloga.

ii) Valéria é bióloga?

Se Valéria for bióloga, então Tânia e Murilo são agrônomos. Contradição, pois no terceiro grupo de fiscalização em que Tânia e Murilo figuram (eles são agrônomos) devemos ter dois biólogos: Celina e Rafael. Temos, portanto, 4 biólogos, a saber: Celina, Rafael, Valéria e Pedro. Devemos descartar esta possibilidade de Valéria ser bióloga.

iii) Por exclusão, concluímos que Murilo é biólogo.

Murilo sendo o biólogo, Tânia e Valéria são agrônomas.

Letra A

C

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a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10

Resolução

O leitor apressado poderia ter o seguinte raciocínio: A lesma durante o dia sobe 5 m e, à noite, escorrega 3 m. “Logo”, ela sobe 2 m por dia. Em 6 dias ela consegue sair do poço. Cuidado! Perceba que no último dia, ao subir os 5 m, ela consegue sair do poço e não precisa mais escorregar. Vejamos passo a passo:

1º dia: Sobe 5 m e depois desce 3 m. Posição final: 2 m. 2º dia: Sobe 5 m e depois desce 3 m. Posição final: 4 m. 3º dia: Sobe 5 m e depois desce 3 m. Posição final: 6 m. 4º dia: Sobe 5 m e depois desce 3 m. Posição final: 8 m.

Chegando a 8 m do fundo do poço, durante o 5º dia ela sobe mais 5 m e, portanto consegue sair do poço.

Resposta: 5 dias.

Letra A

Desconfie de questões que, a priori, parecem ser fáceis demais. Leia novamente! Preste um pouquinho mais de atenção.

30. (Senado Federal/2008/FGV) Em um saco há 100 moedas idênticas em tamanho e forma. Uma delas, porém, é falsa, sendo mais leve que uma moeda verdadeira. As moedas verdadeiras têm todas o mesmo peso. Com uma balança de pratos, o número mínimo de pesagens que permite descobrir com certeza a moeda falsa é:

a) 5 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

Resolução

O raciocínio imediato é dividir as 100 moedas em dois grupos de 50 moedas. A moeda falsa estará no prato que subir, pois a moeda falsa é mais leve. RACIOCÍNIO



PRECIPITADO! Raciocinando assim, na primeira pesagem eliminamos apenas 50 moedas. E qual o melhor raciocínio? Dividir as moedas em 3 grupos. Colocamos dois grupos de igual quantidade nos pratos e deixamos moedas fora da balança.

Dessa forma, dividindo as 100 moedas em 3 grupos temos dois grupos com 33 moedas e um grupo com 34 moedas. Colocamos então 33 moedas no primeiro prato, 33 moedas no segundo prato e deixamos 34 moedas do lado de fora. Se a balança desequilibrar, a moeda falsa estará no prato que subir.

Eliminaremos então 33 + 34 = 67 moedas. Se a balança equilibrar, concluímos que a moeda falsa está fora da balança. Eliminaremos então 33 + 33 = 66 moedas. Na pior das hipóteses, eliminaremos 66 moedas. Um rendimento bem melhor do que no primeiro raciocínio, que eliminamos apenas 50 moedas.

Então, na pior das hipóteses, temos 34 moedas. Raciocinando da mesma forma, dividimos 34 em três grupos. Dois grupos com 11 moedas e um grupo com 12 moedas. Se a balança equilibrar, a moeda falsa estará fora da balança; se a balança desequilibrar, a moeda estará no prato que subir. Na pior das hipóteses, os pratos se equilibram e então eliminamos 11 + 11 = 22 moedas. Ficamos então com 12 moedas, que dividimos em três grupos de 4 moedas.

Não temos pior das hipóteses agora: tanto faz os pratos se equilibrarem ou não. Eliminaremos 8 moedas. Ficamos então com 4 moedas. Colocamos 1 moeda em cada prato e deixamos 2 fora da balança. Se tivermos sorte, a balança desequilibra e achamos a moeda falsa. Caso contrário, faremos mais uma pesagem com as duas moedas que sobraram. Total: 5 pesagens.

Letra A

31. (FNDE/2007/FGV) Uma aldeia tem 1 000 índios, todos vestidos da mesma forma, mas numerados de 1 a 1 000. Todos só falam a verdade, mas, para qualquer pergunta, só podem responder sim ou não. Uma pessoa chega à aldeia e, para saber quem é o chefe, deve fazer perguntas a qualquer índio, já sabendo quais são as duas únicas respostas possíveis. O número mínimo de perguntas que devem ser feitas para que se tenha a certeza de conhecer o chefe da aldeia é:

a) 10 b) 20 c) 500 d) 100 e) 50

Resolução

Não podemos usar o raciocínio da questão anterior, pois os índios só respondem sim ou não. Não temos outra saída: dividiremos os 1 000 índios em dois grupos de 500 índios. Perguntamos então a um índio qualquer: O chefe pertence ao seu grupo? Se ele responder que sim, eliminamos o outro grupo. Caso contrário, se ele disser que não, eliminamos o grupo desse índio. Restam-nos 500 índios. Procedemos da mesma maneira. Dividimos em dois grupos de 250 índios. Indagamos a um índio qualquer se



o chefe pertence ao seu grupo e, então, eliminamos 250 índios. Os 250 índios restantes, dividimos em dois grupos de 125 índios e eliminamos, analogamente, 125 índios. Dividimos os 125 índios restantes em dois grupos: um com 63 índios e outro com 62 índios. Na pior das hipóteses, o chefe está no grupo com 63 índios. Dividimos os 63 índios em dois grupos: um com 32 índios e outro com 31 índios. Na pior das hipóteses, o chefe estará no grupo com 32 índios. Novamente, dividimos os 32 índios em dois grupos de 16; os 16 que restarem dividimos em dois grupos de 8; os 8 índios restantes dividimos em dois grupos de 4 índios; os 4 índios dividimos em dois grupos de 2 índios, e finalmente ficamos com dois índios. Escolhemos um deles e perguntamos: Você é o chefe? Conseguimos descobrir o chefe fazendo 10 perguntas.

Letra A

32. (FNDE/2007/FGV) Um saco contém 30 bolinhas brancas, 22 bolinhas vermelhas e 16 bolinhas pretas, todas iguais em tamanho e peso. No escuro, você deve retirar do saco certo número de bolinhas de forma que tenha a certeza de ter, pelo menos, uma bolinha branca. O número mínimo de bolinhas que você deve retirar do saco para ter essa certeza é:

a) 42 b) 17 c) 23 d) 39 e) 3

Resolução

Para termos a certeza de retirar pelo menos uma bolinha branca, devemos raciocinar em casos extremos. Poderia acontecer de retirarmos a bolinha branca na primeira tentativa, mas isso seria muita sorte! Não é certeza. Poderia acontecer o caso de retirarmos as 22 bolinhas vermelhas e em seguida as 16 bolinhas pretas. Retiramos então 38 bolinhas das quais nenhuma é branca. Restam agora no saco apenas as 30 bolinhas brancas. Com certeza a próxima bolinha a ser retirada é branca. Precisamos então de 38+1=39 bolinhas.

Letra D

33. (FNDE/2007/FGV) Em um baú há 15 lenços brancos, 25 vermelhos e 12 pretos. O número mínimo de lenços que devem ser retirados do baú para que se possa garantir que, entre os lenços retirados, haja pelo menos quatro da mesma cor é:

a) 44 b) 10 c) 12 d) 4 e) 45

Resolução



Não devemos pensar baseados na sorte. Queremos certeza. Dessa forma, poderia acontecer o caso extremos de tirarmos 3 lenços brancos, 3 lenços vermelhos e 3 lenços pretos. Dessa forma, já temos 9 lenços e não conseguimos retirar 4 da mesma cor. O próximo lenço retirado com certeza será branco ou vermelho ou preto. Precisamos então de 3 + 3 + 3 + 1 = 10 lenços.

Letra B


01. (FNDE/2007/FGV) Considere a afirmação “Todo corintiano é feliz”. A partir dessa afirmação, pode-se concluir que:

a) todo homem feliz é corintiano. b) todo palmeirense é infeliz. c) toda pessoa que não é corintiana não é feliz. d) um infeliz certamente não é corintiano. e) existem infelizes que são corintianos.

02. (SAD/PE/2008/FGV) Considere a afirmação: “Toda cobra venenosa é listrada”. Podemos concluir que: a) Toda cobra listrada é venenosa. b) Toda cobra que não é listrada não é venenosa. c) Toda cobra que não é venenosa não é listrada. d) Algumas cobras venenosas não são listradas. e) Algumas cobras que não são listradas podem ser venenosas.

03. (TRF 2004/FCC) Considerando “todo livro é instrutivo” como uma proposição verdadeira, é correto inferir que:

a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. c) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa. d) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa. e) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

04. (IPEA 2004/FCC) Considerando “toda prova de Lógica é difícil” uma proposição verdadeira, é correto inferir que: a) “nenhuma prova de Lógica é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira. b) “alguma prova de Lógica é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira. c) “alguma prova de Lógica é difícil” é uma proposição verdadeira ou falsa. d) “alguma prova de Lógica não é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira. e) “alguma prova de Lógica não é difícil” é uma proposição verdadeira ou falsa.

05. (TRT/2006/FCC) As afirmações seguintes são resultados de uma pesquisa feita entre os funcionários de certa empresa. “Todo indivíduo que fuma tem bronquite”.



“Todo indivíduo que tem bronquite costuma faltar ao trabalho”. Relativamente a esses resultados, é correto concluir que:

a) existem funcionários fumantes que não faltam ao trabalho. b) todo funcionário que tem bronquite é fumante. c) todo funcionário fumante costuma faltar ao trabalho. d) é possível que exista algum funcionário que tenha bronquite e não falte habitualmente ao trabalho. e) é possível que exista algum funcionário que seja fumante e não tenha bronquite.

06. (TRT-PR 2004/FCC) Sabe-se que existem pessoas desonestas e que existem corruptos. Admitindo-se verdadeira a frase "Todos os corruptos são desonestos", é correto concluir que: a) quem não é corrupto é honesto. b) existem corruptos honestos. c) alguns honestos podem ser corruptos. d) existem mais corruptos do que desonestos. e) existem desonestos que são corruptos. 07. (TCE-PB 2006/FCC) Sobre as consultas feitas a três livros X, Y e Z, um bibliotecário constatou que:

Todas as pessoas que haviam consultado Y também consultaram X. Algumas pessoas que consultaram Z também consultaram X.

De acordo com suas constatações, é correto afirmar que, com certeza: a) pelo menos uma pessoa que consultou Z também consultou Y. b) se alguma pessoa consultou Z e Y, então ela também consultou X. c) toda pessoa que consultou X também consultou Y. d) existem pessoas que consultaram Y e Z. e) existem pessoas que consultaram Y e não consultaram X. 08. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Considere o diagrama a seguir, em que U é o conjunto de todos os professores universitários que só lecionam em faculdades da cidade X, A é o conjunto de todos os professores que lecionam na faculdade A, B é o conjunto de todos os professores que lecionam na faculdade B e M é o conjunto de todos os médicos que trabalham na cidade X.

Em todas as regiões do diagrama, é correto representar pelo menos um habitante da cidade X. A respeito do diagrama, foram feitas quatro afirmações:



I. Todos os médicos que trabalham na cidade X e são professores universitários lecionam na faculdade A. II. Todo professor que leciona na faculdade A e não leciona na faculdade B é médico. III. Nenhum professor universitário que só lecione em faculdades da cidade X, mas não lecione nem na faculdade A e nem na faculdade B, é médico. IV. Algum professor universitário que trabalha na cidade X leciona, simultaneamente, nas faculdades A e B, mas não é médico. Está correto o que se afirma APENAS em (A) I. (B) I e III. (C) I, III e IV. (D) II e IV. (E) IV.

09. (MEC/2008/FGV) Perguntou-se a três pessoas qual delas se chamava Antônio. A primeira pessoa respondeu: “Eu sou Antônio”. A seguir, a segunda pessoa respondeu: “Eu não sou Antônio”. Finalmente, a terceira respondeu: “A primeira pessoa a responder não disse a verdade”. Sabendo-se que apenas uma delas se chama Antônio e que duas delas mentiram, é correto concluir que Antônio: a) foi o primeiro a responder e que somente ele disse a verdade. b) foi o primeiro a responder e que a segunda pessoa foi a única a dizer a verdade. c) foi o primeiro a responder e que a terceira pessoa foi a única a dizer a verdade. d) foi o segundo a responder e que somente ele disse a verdade. e) foi o segundo a responder e que a terceira pessoa foi a única a dizer a verdade. 10. (Senado Federal/2008/FGV) Um crime é cometido por uma pessoa e há quatro suspeitos: André, Eduardo, Rafael e João. Interrogados, eles fazem as seguintes declarações:

André: “Eduardo é o culpado”. Eduardo: “João é o culpado”. Rafael: “Eu não sou culpado”. João: “Eduardo mente quando diz que eu sou culpado”.

Sabendo que apenas um dos quatros disse a verdade, o culpado:

a) é certamente André. b) é certamente Eduardo. c) é certamente Rafael. d) é certamente João. e) não pode ser determinado com essas informações.

11. (FNDE/2007/FGV) Quatro irmãos, André, Bernardo, Carlos e Daniel, reparam que seu pai, quando chegou em casa, colocou em cima da mesa da sala quatro bombons.



Logo ao retornar à sala, o pai viu que um dos bombons tinha desaparecido e perguntou às crianças quem tinha sido o autor do delito.

André disse: “Não fui eu”. Bernardo disse: “Foi Carlos quem pegou o bombom”. Carlos: “Daniel é o ladrão do bombom”. Daniel: “Bernardo não tem razão”.

Sabe-se que apenas um deles mentiu. Então:

a) André pegou o bombom. b) Bernardo pegou o bombom. c) Carlos pegou o bombom. d) Daniel pegou o bombom. e) não é possível saber quem pegou o bombom.

12. (CGU 2004/ESAF) Três homens são levados à presença de um jovem lógico. Sabe-se que um deles é um honesto marceneiro, que sempre diz a verdade. Sabe-se, também, que um outro é um pedreiro, igualmente honesto e trabalhador, mas que tem o estranho costume de sempre mentir, de jamais dizer a verdade. Sabe-se, ainda, que o restante é um vulgar ladrão que ora mente, ora diz a verdade. O problema é que não se sabe quem, entre eles, é quem. À frente do jovem lógico, esses três homens fazem, ordenadamente, as seguintes declarações:










13. (AFC CGU 2006/ESAF) Pedro encontra-se à frente de três caixas, numeradas de 1 a 3. Cada uma das três caixas contém um e somente um objeto. Uma delas contém um livro; outra, uma caneta; outra, um diamante. Em cada uma das caixas existe uma inscrição, a saber:

Caixa 1: “O livro está na caixa 3.”

Caixa 2: “A caneta está na caixa 1.”

Caixa 3: “O livro está aqui.”

Pedro sabe que a inscrição da caixa que contém o livro pode ser verdadeira ou falsa. Sabe, ainda, que a inscrição da caixa que contém a caneta é falsa, e que a inscrição



da caixa que contém o diamante é verdadeira. Com tais informações, Pedro conclui corretamente que nas caixas 1, 2 e 3 estão, respectivamente,

a) a caneta, o diamante, o livro.

b) o livro, o diamante, a caneta.

c) o diamante, a caneta, o livro.

d) o diamante, o livro, a caneta.

e) o livro, a caneta, o diamante.

14. (CVM 2001/ESAF) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram:







a) Mário b) Marcos c) Mara d) Manuel e) Maria

15. (MTE 2003/ESAF) Um professor de Lógica percorre uma estrada que liga, em linha reta, as vilas Alfa, Beta e Gama. Em Alfa, ele avista dois sinais com as seguintes indicações:


a) 5 e 3 b) 5 e 6 c) 4 e 6 d) 4 e 3 e) 5 e 2



16. (MPU 2004/ESAF) Fernanda atrasou-se e chega ao estádio da Ulbra quando o jogo de vôlei já está em andamento. Ela pergunta às suas amigas, que estão assistindo à partida, desde o início, qual o resultado até o momento. Suas amigas dizem-lhe:












17. (MPU 2004/ESAF) Sócrates encontra-se em viagem por um distante e estranho país, formado por apenas duas aldeias, uma grande e outra pequena. Os habitantes entendem perfeitamente o português, mas falam apenas no idioma local, desconhecido por Sócrates. Ele sabe, contudo, que os habitantes da aldeia menor sempre dizem a verdade, e os da aldeia maior sempre mentem. Sabe, também, que “Milango” e “Nabungo” são as palavras no idioma local que significam “sim” e “não”, mas não sabe qual delas significa “sim” e nem, conseqüentemente, qual significa “não”. Um dia, Sócrates encontra um casal acompanhado de um jovem. Dirigindo-se a ele, e apontando para o casal, Sócrates pergunta:

– Meu bom jovem, é a aldeia desse homem maior do que a dessa mulher?

– Milango –, responde o jovem.

– E a tua aldeia é maior do que a desse homem? –, voltou Sócrates a perguntar.

– Milango –, tornou o jovem a responder.

– E, dize-me ainda, és tu da aldeia maior? – perguntou Sócrates.

– Nabungo –, disse o jovem.

Sócrates, sorrindo, concluiu corretamente que



a) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande.

b) o jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da pequena.

c) o jovem mente, e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena.

d) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena.

e) o jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande.

18. (CGU 2006 /ESAF) Um professor de lógica encontra-se em viajem em um país distante, habitado pelos verdamanos e pelos mentimanos. O que os distingue é que os verdamanos sempre dizem a verdade, enquanto os mentimanos sempre mentem. Certo dia, o professor depara-se com um grupo de cinco habitantes locais. Chamemo-los de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon. O professor sabe que um e apenas um no grupo é verdamano, mas não sabe qual deles o é. Pergunta, então, a cada um do grupo quem entre eles é verdamano e obtém as seguintes respostas:

Alfa: “Beta é mentimano”

Beta: “Gama é mentimano”

Gama: “Delta é verdamano”

Delta: “Épsilon é verdamano”

Épsilon, afônico, fala tão baixo que o professor não consegue ouvir sua resposta. Mesmo assim, o professor de lógica conclui corretamente que o verdamano é:

a) Delta

b) Alfa

c) Gama

d) Beta

e) Épsilon

19. (MPU 2004-2/ESAF) Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência Artificial, está examinando um grupo de cinco andróides – rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon –, fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde, mas Dr. Turing, distraído, não ouve a resposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declarações:

Beta: “Alfa respondeu que sim”.

Gama: “Beta está mentindo”.

Delta: “Gama está mentindo”.

Épsilon: “Alfa é do tipo M”.



Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir corretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual a

a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

20. (FNDE/2007/FGV) Três amigas encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o da outra é branco. Elas calçam sapatos dessas mesmas cores, mas somente Ana está com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. Márcia está com sapatos azuis. Desse modo:

a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto. b) o vestido de Júlia é branco e seus sapatos são pretos. c) os sapatos de Júlia são pretos e o vestido de Márcia é branco. d) o vestido de Márcia é preto e os sapatos de Ana são brancos. e) o vestido de Ana é azul e os sapatos de Júlia são brancos.

21. (TRT-24ª Região 2006/FCC) Alice, Bruna e Carla, cujas profissões são advogada, dentista e professora, não necessariamente nesta ordem, tiveram grandes oportunidades para progredir em sua carreira: uma delas foi aprovada em um concurso público; outra recebeu uma ótima oferta de emprego e a terceira, uma proposta para fazer um curso de especialização no exterior. Considerando que:

- Carla é professora. - Alice recebeu proposta para fazer o curso de especialização no exterior. - A advogada foi aprovada em um concurso público.

É correto afirmar que:

a) Alice é advogada. b) Bruna é advogada. c) Carla foi aprovada no concurso público. d) Bruna recebeu a oferta de emprego. e) Bruna é dentista.

22. (Prefeitura de Jaboatão 2006/FCC) As afirmações abaixo referem-se às praias que 5 amigos pernambucanos costumam frequentar:

- Antônio e João não frequentam a praia de Boa Viagem. - Maurício e Francisco não frequentam a praia de Maria Farinha nem a de Piedade. - Duarte não frequenta a praia do Pina nem a de Candeias. - Antônio não frequenta a praia de Maria Farinha.



- Duarte não frequenta a praia de Maria Farinha nem a de Piedade. - Francisco não frequenta a praia de Candeias.

Nessas condições, considerando que cada um deles frequenta uma única praia, aquele que frequenta a praia:

a) de Piedade é Antônio. b) do Pina é Duarte. c) de Boa Viagem é Francisco. d) de Candeias é João. e) de Maria Farinha é Maurício.

23. (Agente Administrativo DNOCS 2010/FCC) Três Agentes Administrativos − Almir, Noronha e Creuza − trabalham no Departamento Nacional de Obras Contra as Secas: um, no setor de atendimento ao público, outro no setor de compras e o terceiro no almoxarifado. Sabe-se que: − esses Agentes estão lotados no Ceará, em Pernambuco e na Bahia; − Almir não está lotado na Bahia e nem trabalha no setor de compras; − Creuza trabalha no almoxarifado; − o Agente lotado no Ceará trabalha no setor de compras. Com base nessas informações, é correto afirmar que o Agente lotado no Ceará e o Agente que trabalha no setor de atendimento ao público são, respectivamente, (A) Almir e Noronha. (B) Creuza e Noronha. (C) Noronha e Creuza. (D) Creuza e Almir. (E) Noronha e Almir.

24. (Agente de Estação – Metro – SP 2007/FCC) Um pequeno restaurante oferece a seus clientes três opções de escolha do prato principal − carne assada, salada de batatas ou frango frito – e três opções de escolha da sobremesa − fruta da época, pudim de leite ou goiabada com queijo. Três amigos − Aluísio, Júnior e Rogério – foram a esse restaurante e constatou-se que: − cada um deles se serviu de um único prato principal e uma única sobremesa; − Rogério comeu carne assada; − um deles, que é vegetariano, comeu uma fruta da época como sobremesa; − Aluísio escolheu goiabada com queijo como sobremesa. Nessas condições, é correto afirmar que (A) Aluísio comeu salada de batatas. (B) Aluísio é vegetariano. (C) Rogério comeu pudim de leite. (D) Júnior comeu frango frito. (E) Júnior comeu pudim de leite.

25. (Aneel/2004/Esaf) Fátima, Beatriz, Gina, Sílvia e Carla são atrizes de teatro infantil e vão participar de uma peça em que representarão, não necessariamente nesta ordem, os papéis de Fada, Bruxa, Rainha, Princesa e



Governanta. Como todas são atrizes versáteis, o diretor da peça realizou um sorteio para determinar a qual delas caberia cada papel. Antes de anunciar o resultado, o diretor reuniu-as e pediu que cada uma desse seu palpite sobre qual havia sido o resultado do sorteio. Disse Fátima: “Acho que eu sou a Governanta, Beatriz é a Fada, Sílvia é a Bruxa e Carla é a Princesa”. Disse Beatriz: “Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa”. Disse Gina: “Acho que Silvia é a Governanta ou a Rainha”. Disse Sílvia: “Acho que eu sou a Princesa”. Disse Carla: “Acho que a Bruxa sou eu ou Beatriz”. Neste ponto, o diretor falou: “Todos os palpites estão completamente errados; nenhuma de vocês acertou sequer um dos resultados do sorteio”! Um estudante de Lógica, que a tudo assistia, concluiu então, corretamente, que os papéis sorteados para Fátima, Beatriz, Gina e Sílvia foram, respectivamente:

a) rainha, bruxa, princesa, fada. b) rainha, princesa, governanta, fada. c) fada, bruxa, governanta, princesa. d) rainha, princesa, bruxa, fada. e) fada, bruxa, rainha, princesa.

26. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Seis pessoas, entre elas Marcos, irão se sentar ao redor de uma mesa circular, nas posições indicadas pelas letras do esquema abaixo. Nesse esquema, dizemos que a posição A está à frente da posição D, a posição B está entre as posições A e C e a posição E está à esquerda da posição F.

Sabe-se que: - Pedro não se sentará à frente de Bruno. - Bruno ficará à esquerda de André e à direita de Sérgio. - Luís irá se sentar à frente de Sérgio. Nessas condições, é correto afirmar que (A) Pedro ficará sentado à esquerda de Luís. (B) Luís se sentará entre André e Marcos. (C) Bruno ficará à frente de Luís. (D) Pedro estará sentado à frente de Marcos. (E) Marcos se sentará entre Pedro e Sérgio.



27. (SEFAZ-SP 2009/FCC) O setor de fiscalização da secretaria de meio ambiente de um município é composto por seis fiscais, sendo três biólogos e três agrônomos. Para cada fiscalização, é designada uma equipe de quatro fiscais, sendo dois biólogos e dois agrônomos. São dadas a seguir as equipes para as três próximas fiscalizações que serão realizadas.

Sabendo que Pedro é biólogo, é correto afirmar que, necessariamente, (A) Valéria é agrônoma. (B) Tânia é bióloga. (C) Rafael é agrônomo. (D) Celina é bióloga. (E) Murilo é agrônomo.

28. (MPU 2004/ESAF) Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro. Há também um paulista, um carioca e um baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton, à direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim,

a) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista.

b) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano.

c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista.

d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista.

e) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano.

29. (Senado Federal/2008/FGV) Uma lesma está no fundo de um poço com 12 m de profundidade. Durante o dia ela sobe 5 m e, à noite, escorrega 3 m. O número de dias necessários para ela sair do poço:

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10



30. (Senado Federal/2008/FGV) Em um saco há 100 moedas idênticas em tamanho e forma. Uma delas, porém, é falsa, sendo mais leve que uma moeda verdadeira. As moedas verdadeiras têm todas o mesmo peso. Com uma balança de pratos, o número mínimo de pesagens que permite descobrir com certeza a moeda falsa é:

a) 5 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

31. (FNDE/2007/FGV) Uma aldeia tem 1 000 índios, todos vestidos da mesma forma, mas numerados de 1 a 1 000. Todos só falam a verdade, mas, para qualquer pergunta, só podem responder sim ou não. Uma pessoa chega à aldeia e, para saber quem é o chefe, deve fazer perguntas a qualquer índio, já sabendo quais são as duas únicas respostas possíveis. O número mínimo de perguntas que devem ser feitas para que se tenha a certeza de conhecer o chefe da aldeia é:

a) 10 b) 20 c) 500 d) 100 e) 50

32. (FNDE/2007/FGV) Um saco contém 30 bolinhas brancas, 22 bolinhas vermelhas e 16 bolinhas pretas, todas iguais em tamanho e peso. No escuro, você deve retirar do saco certo número de bolinhas de forma que tenha a certeza de ter, pelo menos, uma bolinha branca. O número mínimo de bolinhas que você deve retirar do saco para ter essa certeza é:

a) 42 b) 17 c) 23 d) 39 e) 3

33. (FNDE/2007/FGV) Em um baú há 15 lenços brancos, 25 vermelhos e 12 pretos. O número mínimo de lenços que devem ser retirados do baú para que se possa garantir que, entre os lenços retirados, haja pelo menos quatro da mesma cor é:

a) 44 b) 10 c) 12 d) 4 e) 45



Gabaritos

01. D 02. B 03. B 04. B 05. C 06. E 07. B 08. E 09. E 10. C 11. D 12. B 13. C 14. C 15. E 16. B 17. E 18. D 19. B 20. D 21. B 22. A 23. E 24. C 25. D 26. B 27. A 28. B 29. A 30. A 31. A 32. D 33. B

CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES

1


Aula 7 – Senado Federal Proposições ................................................................................................................................... 2

Proposições simples e compostas ................................................................................................. 6

Modificador ................................................................................................................................... 6

Conjunção qp ∧

.......................................................................................................................... 7

Disjunção Inclusiva qp ∨

............................................................................................................ 8

Condicional qp→

...................................................................................................................... 9

Bicondicional p q↔

................................................................................................................. 10

Argumentos ................................................................................................................................. 18

Condição suficiente e condição necessária ................................................................................. 27

Equivalências lógicas ................................................................................................................... 29

Negação das Proposições Usuais ................................................................................................ 34

Sentenças abertas, quantificadores ............................................................................................ 37


Gabaritos ..................................................................................................................................... 54


2


Proposições

O conceito de proposição é fundamental para o estudo de toda a lógica formal.

Chama-se proposição, ou sentença, toda oração declarativa que pode ser classificada em verdadeira ou falsa, mas não as duas. Letras são usualmente utilizadas para denotar proposições. As letras convencionais para esse propósito são p, q, r, s... O valor lógico de uma proposição verdadeira é representado por V; e o de uma proposição falsa, por F.

Por sinal, esses são os únicos valores lógicos que existem na Lógica Aristotélica.

São exemplos de proposições:

p : Todo recifense é pernambucano.

q : O Brasil está situado na Europa.

s : Existe vida fora da Terra.

A proposição p é verdadeira (V);

a proposição q é falsa (F);

e a proposição s não sabemos o seu valor lógico, mas ela, apesar de ainda não sabermos classificá-la, possui um valor lógico V ou F, sendo, portanto, uma proposição. Ou seja, nós não sabemos se existe ou não vida fora da Terra, mas com certeza: existe ou não existe. Nós, humanos, é que somos ignorantes e ainda não sabemos. Posso afirmar apenas uma coisa: “Existe vida fora da Terra” é uma proposição verdadeira ou falsa – não há outra possibilidade.

Considere as frases:

1. Qual seu nome? 2. Leia isto atenciosamente. 3. X + 1 = 2 4. Eu sou mentiroso.

As frases acima não são consideradas proposições lógicas. As frases 1 e 2 não são declarativas, são interrogativa e imperativa, respectivamente.

Imagine que a frase 3 seja uma proposição. Qual o seu valor lógico? Depende!! Depende de que? Do valor de X. Se X for igual a 1, então ela é verdadeira, caso contrário será falsa!! Portanto, não é verdadeira nem falsa, pois não foi dado um valor para x (por isso, é chamada de sentença aberta ou função proposicional).


3


A frase 4 não pode ser classificada em V ou F, pois teríamos um paradoxo. Suponha que tenhamos imposto que seu valor lógico seja V. Seria um absurdo, pois um mentiroso não declara verdade. Suponha agora que o seu valor lógico seja F. Se é falso dizer que ele é um mentiroso, concluímos que ele é veraz. Absurdo novamente, pois a proposição é falsa. A frase 4 não pode ser verdadeira nem falsa, portanto não é uma proposição lógica.

01. (ICMS-SP/2006/FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica.

I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia.

A frase que não possui essa característica comum é a a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. Resolução A frase I é exclamativa, portanto não é uma proposição lógica. A frase II não possui verbo, não sendo assim uma proposição. A frase III é interrogativa e a frase V é imperativa. Não são, portanto, proposições. Portanto a característica comum entre as frases I, II, III e V é que elas não são proposições. A única proposição é a frase IV, pois é uma oração declarativa, que podemos classificar em V ou F, apesar de não sabermos o seu valor lógico. Letra D 02. (PM-BA 2009/FCC) Define-se sentença como qualquer oração que tem sujeito (o termo a respeito do qual se declara alguma coisa) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação que segue há expressões e sentenças: 1. Tomara que chova! 2. Que horas são? 3. Três vezes dois são cinco. 4. Quarenta e dois detentos. 5. Policiais são confiáveis. 6. Exercícios físicos são saudáveis. De acordo com a definição dada, é correto afirmar que, dos itens da relação acima, são sentenças APENAS os de números (A) 1, 3 e 5. (B) 2, 3 e 5.


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(C) 3, 5 e 6. (D) 4 e 6. (E) 5 e 6.

Resolução

A FCC conceitua sentença como proposição. A frase 1 é exclamativa, a frase 2 é interrogativa, a frase 4 não possui predicado e, portanto, não são sentenças. As sentenças (proposições lógicas) são as frases 3, 5 e 6.

Letra C

03. (SEFAZ/SP 2006/FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica.

I – Que belo dia!

II – Um excelente livro de raciocínio lógico.

III – O jogo terminou empatado?

IV – Existe vida em outros planetas do universo.

V – Escreva uma poesia.

A frase que não possui esta característica comum é a:

a) I

b) II

c) III

d) IV

e) V

Resolução.

A frase I é uma exclamação. Não é proposição.

A frase II contém uma opinião sobre o livro, não sendo possível julgar em verdadeiro ou falso. Não é proposição.

A frase III é uma pergunta, que também não é proposição.

A frase IV pode ser julgada em verdadeiro ou falso. É uma proposição.

A frase V é uma ordem. Não é proposição.

Só a frase IV é proposição.

Letra D


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Um importante tipo de sentença que não é proposição é a chamada sentença aberta ou função proposicional.

Exemplo:

05 =−x

Não podemos julgar esta frase em verdadeiro ou falso, simplesmente porque não é possível descobrir o valor de x. Se x valer 5, de fato, 05 =−x .

Caso contrário, se x for diferente de 5, a igualdade acima está errada.

“x” é uma variável, pode assumir inúmeros valores.

Quando a sentença possui uma variável, nós dizemos que ela é uma sentença aberta. Ela tem um termo que varia, o que impede julgá-la em verdadeiro ou falso. Logo, não é proposição.

Basicamente é isto: sempre que a frase não puder ser julgada em verdadeiro ou falso, não é uma proposição.

04. (ICMS-SP/2006/FCC) Considere as seguintes frases: I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.

II. 5

x y+ é um número inteiro.

III. João da Silva foi o secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000. É verdade que APENAS: a) I e II são sentenças abertas. b) I e III são sentenças abertas. c) II e III são sentenças abertas. d) I é uma sentença aberta. e) II é uma sentença aberta. Resolução A frase I é uma sentença aberta, pois “Ele” pode, nesta questão, estar se referindo a um homem qualquer. Não podemos classificá-la em V ou F, pois não sabemos sobre quem estamos falando. A frase I seria uma proposição se, por exemplo, o locutor apontasse para uma pessoa e falasse “Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005”. A frase II é, sem dúvida, uma sentença aberta, pois há duas variáveis e infinitos valores que podem tornar a frase verdadeira ou falsa. Já a frase III não é uma sentença aberta, pois facilmente podemos verificar o sujeito e classificá-la em V ou F. Letra A


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Proposições simples e compostas

Estudaremos métodos de produzir novas proposições a partir de proposições simples. Uma proposição é simples quando declara algo sem o uso de conectivos. Quando “ligamos” duas ou mais proposições simples, obtemos as denominadas proposições compostas. Os “entes” lógicos que ligam as proposições são denominados conectivos lógicos.

Exemplos de proposições simples:

p : O número 2 é primo. (V)

q : 15 : 3 = 6 (F)

r : O retângulo é um polígono regular. (F)

A partir de proposições simples dadas podemos construir novas proposições compostas mediante o emprego de operadores lógicos chamados conectivos, como “e” (símbolo 6), “ou” (símbolo v), os condicionais “se... então” (símbolo �), “se e somente se” (símbolo �) e o modificador “não” (o símbolo pode ser � ou ¬).

Exemplos:

p : A Lua é um satélite da Terra, e Recife é a capital de Pernambuco.

q : Carlos é solteiro ou Pedro é estudante.

r : Se um quadrilátero tem todos os lados congruentes, então é um losango.

s : Um quadrilátero é um quadrado se e somente se for retângulo e losango.

O que precisamos saber para resolver questões envolvendo proposições compostas?

i) A regra que rege cada um dos conectivos lógicos.

ii) Argumentar.

Vamos começar com as regras de cada conectivo e do modificador.

Modificador


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Dada uma proposição p qualquer, uma outra proposição chamada negação de p pode ser formada escrevendo-se “É falso que...” antes de p ou, se possível, inserindo a palavra “não”. Simbolicamente, a negação de p é designada por p~ ou p¬ .

Exemplo:

p : Paris está na França.

p~ : É falso que Paris está na França.

p~ : Paris não está na França.

p~ : Não é verdade que Paris está na França.

Conjunção qp ∧

Duas proposições quaisquer podem ser combinadas pela palavra “e” para formar uma proposição composta, que é chamada de conjunção das proposições originais. Simbolicamente representamos a conjunção de duas proposições p e q por qp ∧ .

A conjunção qp ∧ é verdadeira se p e q são ambas verdadeiras; se ao

menos uma delas for falsa então qp ∧ é falsa.

Exemplo:

p : João é gordo e Mário é alto.

Suponha que a proposição João é gordo seja verdadeira e que Mário não seja alto. Dessa forma,

p p~

V F

F V


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A conjunção “João é gordo e Mário é alto” é falsa, pois a proposição “Mário é alto” é falsa. A composta só seria verdadeira se ambas as proposições “João é gordo” e “Mário é alto” fossem verdadeiras.

Disjunção Inclusiva qp ∨

Duas proposições quaisquer podem ser combinadas pela palavra “ou” para formar uma proposição composta que é chamada de disjunção inclusiva das proposições originais. Simbolicamente, a disjunção das proposições p e q é designada por qp ∨ .

A disjunção inclusiva qp ∨ é verdadeira se ao menos uma das

proposições p ou q é verdadeira; qp ∨ é falsa se e somente se ambas p e

q são falsas.

Exemplo:

p : Vou à festa ou não me chamo Fulano.

Considere que Fulano afirmou: Vou à festa ou não me chamo Fulano. Fulano foi à festa. Portanto, a proposição “Vou à festa” é verdadeira. A proposição “não me chamo Fulano” é falsa, pois quem a disse foi Fulano.

Temos o seguinte esquema:

A disjunção “Vou à festa ou não me chamo Fulano” só seria falsa se ambas as proposições “Vou à festa” e “Não me chamo Fulano” fossem falsas. Como a proposição “Vou à festa” é verdadeira, temos que a composta é verdadeira. Assim,


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Condicional qp→

Quando duas proposições são conectadas com a palavra “se” antes da primeira e a inserção da palavra “então” entre elas a proposição resultante é composta e é também chamada de implicação. Simbolicamente, qp→ . Em

uma proposição condicional, o componente que se encontra entre o “se” e o “então” é chamado de antecedente e o componente que se encontra após a palavra “então” é chamado consequente. Por exemplo, na proposição “Se vou à praia, então tomo banho de mar”, “vou à praia” é o antecedente e “tomo banho de mar” é o consequente.

O condicional qp→ é falso somente quando p é verdadeira e q é falsa;

caso contrário, qp→ é verdadeiro.

Coloquemos um exemplo para resumi-lo.

Se Guilherme é recifense, então Guilherme é pernambucano.

Guilherme é recifense Guilherme é pernambucano

1º caso verdadeira verdadeira

2º caso verdadeira falsa

3º caso falsa verdadeira

4º caso falsa falsa

Analisemos cada um deles.

1º caso � antecedente e consequente verdadeiros. Aqui, se efetivamente Guilherme for recifense e também for pernambucano, não há dúvida, a proposição condicional é considerada verdadeira.

2º caso � antecedente verdadeiro e consequente falso. Nessa situação, temos Guilherme como uma pessoa que nasceu no Recife e não nasceu em Pernambuco. A condicional é considerada falsa.

3º caso � antecedente falso e consequente verdadeiro. Guilherme não nasceu no Recife, mas nasceu em Pernambuco. Isso é totalmente permitido, visto que Guilherme poderia ter nascido em Petrolina, por exemplo. A proposição condicional é verdadeira.

IIIRRRAAA222222


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4º caso� antecedente e consequente falsos. Guilherme não nasceu no Recife nem em Pernambuco. Situação totalmente aceitável, visto que Guilherme poderia ter nascido em qualquer outro lugar do mundo.


Conectando duas proposições p, q através do conectivo bicondicional, obtemos uma nova proposição p q↔ , que se lê “p se e somente se q”. O

bicondicional equipara-se à conjunção de dois condicionais qp→ e

q p→ .

Por exemplo, a proposição composta “Hoje é Natal se, e somente se hoje é 25 de dezembro” significa que “Se hoje é Natal, então hoje é 25 de dezembro” e “Se hoje é 25 de dezembro, então hoje é Natal”.

O bicondicional p q↔ é verdadeiro quando p e q são ambos verdadeiros ou

ambos falsos, e falso, quando p e q têm valores lógicos diferentes.

No nosso exemplo acima,

Podemos resumir tudo o que foi dito com a seguinte tabela-verdade.

p q qp ∧ qp ∨ qp→ p q↔

V V V V V V

V F F V F F

F V F V V F

F F F F V V


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Ou ainda, para facilitar o processo mnemônico, podemos memorizar as regras que tornam as compostas verdadeiras.

Conjunção qp ∧ As duas proposições p, q devem ser verdadeiras

Disjunção qp ∨ Ao menos uma das proposições p, q deve ser verdadeira. Não pode ocorrer o caso de as duas serem falsas.

Condicional qp→ Não pode acontecer o caso de o antecedente ser verdadeiro e o consequente ser falso. Ou seja, não pode acontecer V(p)=V e V(q)=F. Em uma linguagem informal, dizemos que não pode acontecer VF, nesta ordem.

Bicondicional p q↔ Os valores lógicos das duas proposições devem ser iguais. Ou as duas são verdadeiras, ou as duas são falsas.

Falei anteriormente que para resolver questões envolvendo proposições deveríamos saber:

i) A regra que rege cada um dos conectivos lógicos.

ii) Argumentar.

Deixe-me resolver algumas questões sobre os conectivos e em seguida ensinarei e resolverei questões sobre argumentos.

(TCU/2004/Cespe) Considere que as letras P, Q e R representam proposições, e os símbolos ¬ , ∧ e � são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam “não”, “e” e “então”, respectivamente. Na lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos, esses operadores estão definidos, para cada valoração atribuída às letras proposicionais, na tabela abaixo:

P Q ¬P P ∧ Q P � Q

V V F V V V F F F F F V V F V F F V F V


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Suponha que P representa a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens a seguir: 05. A sentença “Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia” pode ser corretamente representada por ¬P � (¬R ∧ ¬Q)

06. A sentença “Hoje choveu e José não foi à praia” pode ser corretamente representada por P ∧ ¬Q 07. Se a proposição “Hoje não choveu” for valorada como F e a proposição José foi à praia for valorada como V, então a sentença representada por ¬P � Q é falsa.

08. O número de valorações possíveis para (Q ∧ ¬R) � P é inferior a 9. Resolução 05. A proposição “Hoje não choveu” é a negação da proposição P e deve ser representada por ¬P. A sentença “Maria não foi ao comércio” é a negação de R e, portanto, é representada por ¬R. Analogamente, a proposição “José não foi à praia” é representada por ¬Q. Concluímos que a composta “Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia” é representada por ¬P � (¬R ∧ ¬Q) e o item está certo. 06. Usando o raciocínio do item 1, temos que o item 05 também é certo. 07. P: Hoje choveu. ¬P: Hoje não choveu. Q: José foi a praia. O antecedente (¬P) da condicional ¬P � Q foi valorado como F. Sabemos que quando o antecedente de uma condicional é falso, a composta condicional é verdadeira. Segue-se que o item está errado. Vale a pena lembrar que uma composta condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso, em qualquer outro caso, a condicional é verdadeira. 08. Vale a pena lembrar que o número de linhas de uma tabela-verdade (valorações) composta de n proposições simples é igual a 2n. Como n=3, temos que o número de valorações possíveis para a proposição composta (Q ∧ ¬R) � P é igual a 23=8. O item está certo. 09. (Gestor Fazendário-MG/2005/Esaf) Considere a afirmação P: P: “A ou B” Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações: A: “Carlos é dentista”. B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”. Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo: a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.


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c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto. d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. Resolução A proposição P é a disjunção das proposições A, B (conectivo ou). O texto nos informou que P é falsa, e sabemos que a disjunção A ou B só é falsa quando ambas, A e B são falsas. A proposição A é falsa e daí concluímos que Carlos não é dentista. A condicional B é falsa. Uma proposição condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso; donde Enio é economista (antecedente verdadeiro) e Juca não é arquiteto (consequente falso). Lembre-se sempre: uma proposição composta pelo conectivo “se...,então...” só é falsa quando ocorre VF. E como o enunciado nos disse que B é falsa, então ocorreu VF. B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”. O antecedente é verdadeiro, logo Enio é economista. O consequente é falso, logo Juca não é arquiteto. Letra B 10. (TRF-1ª Região/2006/FCC) Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos livres. Se não há atos livres, então todos os nossos atos têm causa. Logo: a) alguns atos não têm causa se não há atos livres. b) todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres. c) todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres. d) todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres. e) alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa.

Resolução

Vimos que o bicondicional qp↔ (se e somente se) equipara-se à conjunção

de dois condicionais qp→ e q p→ .

Letra C

11. (ALESP 2010/FCC) Paloma fez as seguintes declarações: − “Sou inteligente e não trabalho.” − “Se não tiro férias, então trabalho.” Supondo que as duas declarações sejam verdadeiras, é FALSO concluir que Paloma


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(A) é inteligente. (B) tira férias. (C) trabalha. (D) não trabalha e tira férias. (E) trabalha ou é inteligente.

Resolução

O enunciado já informou que as duas proposições são verdadeiras.

“Sou inteligente e não trabalho.”

Esta é uma proposição composta pelo conectivo “e”. Lembra quando uma frase composta pelo “e” é verdadeira? Quando as duas proposições componentes são verdadeiras. Desta maneira, concluímos que “Sou inteligente” é verdade e “Não trabalho” também é verdade.

Se “não trabalho” é verdade, então “trabalho” é falso.

Letra C

Vamos analisar a segunda proposição.

“Se não tiro férias, então trabalho.”

Já sabemos que a proposição “não trabalho” é verdade. Portanto, a sua negação é falsa.

Ora, para que uma proposição composta pelo conectivo “se..., então...” seja verdadeira, não pode acontecer de o antecedente ser verdadeiro e o consequente ser falso. Em suma, não pode acontecer VF nesta ordem. Como o consequente é falso, o antecedente não pode ser verdadeiro, portanto deve ser falso.

Conclui-se que a proposição “não tiro férias” é falsa. Isto quer dizer que “tiro férias” é verdade.

12. (Petrobras/2007/Cespe) Julgue o item que se segue.


F


F F


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Considere as proposições abaixo: p: 4 é um número par; q: A Petrobras é a maior exportadora de café do Brasil.

Nesse caso, é possível concluir que a proposição p ∨ q é verdadeira.

Resolução

Temos que a proposição p é verdadeira, enquanto que a proposição q é falsa.

A disjunção p ∨ q só é falsa se ambas p, q são falsas. Se ao menos uma delas for verdadeira, a composta também será verdadeira. Portanto, a

proposição p ∨ q é verdadeira e o item está certo.

13. (SADPE/2008/FGV) Considere as situações abaixo:

I. Em uma estrada com duas pistas, vê-se a placa:

Como você está dirigindo um automóvel, você conclui que deve trafegar pela pista da esquerda. II. Você mora no Recife e telefona para sua mãe em Brasília. Entre outras coisas, você diz que “Se domingo próximo fizer sol, eu irei à praia”. No final do domingo, sua mãe viu pela televisão que choveu no Recife todo o dia. Então, ela concluiu que você não foi à praia. III. Imagine o seguinte diálogo entre dois políticos que discutem calorosamente certo assunto: - A: Aqui na Câmara tá cheio de ladrão. - B: Ocorre que eu não sou ladrão. - A: Você é safado, tá me chamando de ladrão. Em cada situação há, no final, uma conclusão. Examinando a lógica na argumentação: a) são verdadeiras as conclusões das situações I e II, apenas. b) são verdadeiras as conclusões das situações II e III, apenas. c) são verdadeiras as conclusões das situações I e III, apenas. d) as três conclusões são verdadeiras. e) as três conclusões são falsas. Resolução

p q p ∨ q V F V


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I. Caminhões � Pista da Direita F

Vimos anteriormente que “se não ocorre p a condicional qp→ é verdadeira

qualquer que seja o valor verdade de q.” Ou seja, se o antecedente for falso, nada podemos concluir a respeito do consequente. A condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso (não pode acontecer VF). Portanto, se você está dirigindo um automóvel, poderás dirigir na pista da direita ou da esquerda. O item é FALSO. Da mesma forma, se houver um veículo na pista da direita (o consequente é verdadeiro), não podemos concluir que o veículo é um caminhão.

II. Domingo próximo fizer sol � eu irei à praia. F A situação é idêntica ao item anterior. Se o antecedente é falso, nada podemos concluir sobre o consequente. O item é FALSO. Destacamos novamente que se o consequente for verdadeiro, nada pode afirmar sobre o antecedente, ou seja, se o indivíduo foi à praia, não podemos concluir se no domingo fez sol ou não.

III. O terceiro item obviamente é FALSO, pois nem o político A chamou o político B de ladrão, nem o político B chamou o político A de ladrão. O político A apenas afirmou que “na Câmara tá cheio de ladrão” e o político B afirmou que ele próprio não era um dos ladrões.

Letra E

14. (SADPE/2008/FGV) Leonardo disse a Fernanda: – Eu jogo futebol ou você não joga golfe. Fernanda retrucou: – isso não é verdade. Sabendo que Fernanda falou a verdade, é correto concluir que: a) Leonardo joga futebol e Fernanda joga golfe. b) Leonardo joga futebol e Fernanda não joga golfe. c) Leonardo não joga futebol e Fernanda joga golfe. d) Leonardo não joga futebol e Fernanda não joga golfe. e) Leonardo não joga futebol ou Fernanda joga golfe. Resolução Fernanda nos disse a verdade. Ela afirmou que a proposição enunciada por Leonardo, que é uma disjunção, é falsa. Vimos que uma disjunção qp ∨ é falsa se e somente se ambas p e q são falsas.


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Temos então o seguinte esquema: F

Eu jogo futebol ou você não joga golfe F F

Conclusão: Leonardo não joga futebol (pois a proposição “Eu jogo futebol” é falsa) e Fernanda joga golfe (pois a proposição “Você não joga golfe” é falsa).

Letra C

15. (SADPE/2008/FGV) Sejam p, q e r proposições simples cujos valores lógicos (verdadeiro ou falso) são, a princípio, desconhecidos. No diagrama abaixo, cada célula numerada deve conter os resultados lógicos das proposições compostas formadas pelo conectivo condicional (�), em que as proposições nas linhas são os antecedentes e nas colunas, os consequentes. Os resultados das células 3, 4 e 7 já foram fornecidos.

Com relação à tabela, é correto afirmar que o valor lógico da célula: a) 1 é falso. b) 2 é falso. c) 5 é falso. d) 6 é verdadeiro. e) 8 é verdadeiro. Resolução

A célula 4 nos informa que a proposição composta q p→ é falsa. Uma

proposição condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso (VF nesta ordem). Portanto, a proposição q é verdadeira e a proposição p é falsa. A célula 7 nos informa que a proposição composta r p→ é verdadeira. Para que a composta r p→ seja verdadeira “não pode

acontecer VF, nesta ordem”. Ou seja, não pode ocorrer o fato de o antecedente ser verdadeiro e o consequente falso. Como o consequente p é falso, concluímos que o antecedente não pode ser verdadeiro, portanto deve ser falso. A proposição r é falsa. Completemos então a tabela lembrando que a proposição p é falsa, ou seja V(p)=F; a proposição q é verdadeira, ou seja , V(q)=V e V(r)=F. Lembre-se de que, quando o antecedente é falso, a composta condicional é sempre verdadeira. Portanto, se o antecedente for a proposição p ou a proposição r, a composta será verdadeira independentemente de qual seja o consequente. Logo as células 1,2,3,7,8,9 são todas verdadeiras. Nas


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células 4, 5 e 6, onde o antecedente é a proposição q cujo valor lógico é V, a composta só será falsa quando o consequente for falso (VF), ou seja, quando o consequente for a proposição p ou a proposição r.

p q r p V V V q F V F r V V V

Letra E

Vamos aplicar esses conhecimentos sobre conectivos e proposições em questões envolvendo argumentos.

Argumentos

E o que é um argumento?

“A expressão concreta do raciocínio lógico é o argumento. Um argumento se sustenta ou cai à medida que o raciocínio que incorpora é bom ou ruim. Cada argumento é composto de dois elementos básicos, dois diferentes tipos de proposições: uma proposição ‘premissa’ e uma proposição ‘conclusão’. Uma premissa é uma proposição que sustenta. É o ponto inicial de um argumento que contém a verdade conhecida, da qual parte o processo inferencial. Uma conclusão é uma proposição sustentada, a proposição aceita como verdade na base da premissa.” (D.Q. McInerny)

Argumento é toda afirmação de que uma sequência finita de proposições,

chamadas premissas, nPPPP ,...,,, 321 tem como consequência uma proposição

final Q, chamada conclusão do argumento. Diz-se que um argumento é válido se e somente se a conclusão for verdadeira, todas as vezes que as premissas forem verdadeiras. Desse modo, a verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão. A validade de um argumento depende tão somente da relação existente entre as premissas e a conclusão. Um argumento não válido é chamado de sofisma ou falácia. Um argumento composto de duas premissas e uma conclusão é chamado de silogismo.

Vejamos um exemplo para sedimentar a teoria.

Jair está machucado ou não quer jogar. Mas Jair quer jogar, logo:

a) Jair não está machucado nem quer jogar. b) Jair não quer jogar nem quer jogar. c) Jair não está machucado e quer jogar.


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d) Jair está machucado e não quer jogar. e) Jair está machucado e quer jogar.

O enunciado nada fala sobre a verdade das proposições expostas. Perguntamo-nos: Quem é Jair? Quem está nos falando que Jair está machucado? Isto é verdade? Como podemos inferir uma conclusão se não tenho certeza sobre o valor lógico das premissas? Em suma, como testar a validade de um argumento? Existe um teste semântico, isto é, um teste que se baseia nos valores de verdade das suas premissas e conclusão. Um argumento é válido se, e só se, não for possível ter conclusão falsa e

premissas verdadeiras. Portanto, para termos um argumento válido devemos supor que as premissas são verdadeiras. Se (e este é um grande se) as premissas forem verdadeiras, então a conclusão também será.

Ora, se admitimos a proposição “Jair quer jogar” como verdadeira, devemos assumir a proposição “Jair não quer jogar” como falsa. Temos então o seguinte esquema:

Perguntamo-nos: Quando é que uma disjunção (proposição composta pelo conectivo “ou”) qp ∨ é verdadeira? Se ao menos uma das proposições p ou

q é verdadeira; qp ∨ é falsa se e somente se ambas p e q são falsas. No

nosso caso, temos uma disjunção que é verdadeira, e uma das proposições que a compõe é falsa. Concluímos que a outra proposição “Jair está machucado” é verdadeira.

Letra E

Jair está machucado e quer jogar.

Temos então o seguinte argumento VÁLIDO.


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Jair está machucado ou não quer jogar. Mas Jair quer jogar, logo:

Jair está machucado e quer jogar.

Não estamos afirmando que premissas do enunciado são verdadeiras nem que a conclusão também o seja. Dizemos apenas que, SE as premissas forem verdadeiras, então a conclusão também será verdadeira.

Proposições são verdadeiras ou falsas. Argumentos são válidos ou inválidos. A validade de um argumento depende da conexão das premissas com a conclusão, não do valor lógico das premissas que formam o argumento.

Então,comrminaravalidadedeumargumento?

Admita que as premissas sejam verdadeiras, mesmo que não sejam. Há a possibilidade de, considerando-se as premissas verdadeiras, a conclusão ser falsa? Se isso pode acontecer (premissas verdadeiras e conclusão falsa) então o argumento é inválido, um sofisma, uma falácia. Se não, então o argumento é válido.

Utilizaremos agora as ferramentas que temos a disposição (proposições, conectivos e argumentação) para resolver algumas questões de concursos.

16. (Aneel/2004/Esaf) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim:

a) estudo e fumo. b) não fumo e surfo. c) não velejo e não fumo. d) estudo e não fumo. e) fumo e surfo.

O que esta questão está nos pedindo? Que escolhamos uma conclusão adequada para que o argumento seja válido. Devemos então, de acordo com a teoria exposta, assumir que as premissas são verdadeiras. Temos o seguinte esquema:

A proposição “Não velejo” é verdadeira. Como a proposição “Velejo” é a sua negação, temos que seu valor lógico é falso.


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A proposição acima é uma disjunção e, para que seja verdadeira, ao menos uma das proposições que a compõe deve ser verdadeira. Como a proposição “Velejo” é falsa, concluímos que “Não estudo” é verdadeira. “Estudo”, que é a negação de “Não estudo”, é, portanto, falsa.

Analogamente, a proposição “Surfo” é verdadeira e a sua negação “Não surfo” é falsa.

Da mesma maneira, temos que a proposição “Fumo” é verdadeira.

Conclusão: Surfo, não estudo, fumo, não velejo.

Letra E

Observação: Daqui em diante, por motivos tipográficos, também para evitar uma “poluição visual”, não colocaremos mais as chaves nas proposições compostas que assumiremos como verdadeiras. Estará implícito, levando em consideração a teoria exposta. Simplesmente aplicaremos as regras dos conectivos para que as compostas sejam verdadeiras. Por exemplo:

Em resumo, as seguintes regras tornam as proposições compostas verdadeiras.

Conjunção qp ∧ As duas proposições p, q devem ser verdadeiras

Disjunção qp ∨ Ao menos uma das proposições p, q deve ser verdadeira. Não pode ocorrer o caso de as duas serem falsas.

Condicional qp→

Não pode acontecer o caso de o antecedente ser verdadeiro e o consequente ser falso. Ou seja, não pode acontecer V(p)=V e V(q)=F. Em uma linguagem informal,


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dizemos que não pode acontecer VF, nesta ordem.


Os valores lógicos das duas proposições devem ser iguais. Ou as duas são verdadeiras, ou as duas são falsas.

17. (CGU/2003-2004/Esaf) Ana é prima de Bia, ou Carlos é filho de Pedro. Se Jorge é irmão de Maria, então Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto de Beto. Ora, Jorge é irmão de Maria. Logo:

a) Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto. b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia. c) Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro. d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto. e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro.

Resolução

Relembrando o que falamos a respeito de argumentação. Em um argumento válido, é impossível ao assumirmos que as premissas sejam verdadeiras que a conclusão seja falsa. Dessa forma, admitiremos que TODAS as proposições, simples e compostas, são verdadeiras. Para tal, deveremos aplicar as regras de cada um dos conectivos. Assim, supomos que a proposição “Jorge é irmão de Maria” é verdadeira. Ora, uma proposição condicional não pode ter o antecedente verdadeiro e o consequente falso. De fato, na proposição condicional “Se Jorge é irmão de Maria, então Breno não é neto de Beto”, o antecedente é verdadeiro. Para não ocorrer VF, o consequente não pode ser falso, deve ser verdadeiro. Assim, “Breno não é neto de Beto” é verdade. A sua negação é falsa. Novamente, na condicional “Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto de Beto”, o consequente é falso. Para não ocorrer VF, o antecedente não pode ser verdadeiro, deve ser falso. Consequentemente “Carlos é filho de Pedro” é falso. Para que uma disjunção seja verdadeira, ao menos uma das proposições que a compõe deve ser verdade. Na composta “Ana é prima de Bia ou Carlos é filho de Pedro”, tem-se que “Carlos é filho de


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Pedro” é falsa. Dessa forma, “Ana é prima de Bia” deve ser verdade. Temos então que Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro.

Letra E

As questões que seguem apresentam uma peculiaridade em relação às questões anteriormente resolvidas. Até agora, as questões apresentavam uma proposição simples, que servia de passo inicial para a nossa estratégia de argumentação. As próximas questões não apresentam proposições simples. A solução geral é a seguinte: escolha uma proposição qualquer e dê o seu palpite: escolha V ou F. Se o seu palpite der certo, ótimo! Caso contrário, troque-o. Se você escolheu V, troque por F e vice-versa.

18. (CGU/2003-2004/Esaf) Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso, ou Homero é honesto. Logo,

a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo. d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo. e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.

Resolução

Esta questão não apresenta a proposição simples que usualmente aparece em questões de argumentação. Adotaremos então a estratégia descrita acima. Escolheremos uma proposição qualquer e arbitrariamente daremos um valor lógico a ela. Por exemplo, escolheremos a primeira “Homero não é honesto” e diremos que ela é verdadeira. Não há razão específica para termos feito essa escolha. Como estamos assumindo que “Homero não é honesto” é uma proposição verdadeira, a sua negação “Homero é honesto” é falsa. Para que a disjunção “Beto não é bondoso,ou Homero é honesto” seja verdadeira, a proposição “Beto não é bondoso” deve ser verdadeira e, consequentemente, a sua negação “Beto é bondoso” é falsa. Analogamente, “Júlio não é justo” é verdade, e sua negação “Júlio é justo” é falsa. Dessa forma, “Homero é honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso” é uma proposição composta


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falsa, pois é uma disjunção em que todas as proposições que a compõem são falsas. Ora, mas, para testarmos a validade de um argumento, temos que ter TODAS as premissas verdadeiras. Temos então que trocar a nossa escolha inicial. Admitiremos então que a proposição “Homero não é honesto” seja falsa. Construiremos então o seguinte esquema:

Letra C

19. (Técnico/MPU/Administrativa/2004/Esaf) Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles é médico, outro é professor e o outro é músico. Sabe-se que: 1) ou Ricardo é médico, ou Renato é médico;, 2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico; 3) ou Renato é músico, ou Rogério é músico; 4) ou Rogério é professor, ou Renato é professor. Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério e Renato são respectivamente:

a) professor, médico, músico. b) médico, professor, músico. c) professor, músico, médico. d) músico, médico, professor. e) médico, músico, professor.

Resolução

Utilizando a mesma estratégia da questão anterior, escolhemos uma proposição qualquer e arbitrariamente damos um valor lógico a ela.


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Escolhemos (ao acaso) a proposição “Ricardo é médico” e diremos que ela é verdadeira. Como cada um deles possui uma única profissão, a proposição “Ricardo é professor” é falsa. Assim, para que a disjunção seja verdadeira, “Rogério é músico” tem que ser uma proposição verdadeira (uma disjunção é verdadeira quando pelo menos uma das proposições que a compõe é verdadeira). Sendo “Rogério é músico” uma verdade, “Rogério é professor” é falsa. Portanto, “Renato é professor” é verdade. Não tivemos proposições compostas falsas, nenhuma contradição. O nosso palpite foi correto, por acaso.

Letra E

20. (Ipea 2004/FCC) Quando não vejo Lúcia, não passeio ou fico deprimido. Quando chove, não passeio e fico deprimido. Quando não faz calor e passeio, não vejo Lúcia. Quando não chove e estou deprimido, não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje:

a)vejo,enãoestoudeprimidoenãochove,efazcalor.b)nãovejo,eestoudeprimido,echove,efazcalor.c)nãovejo,eestoudeprimido,enãochove,enãofazcalor.d)vejo,enãoestoudeprimido,echove,efazcalor.e)vejo,eestoudeprimido,enãochove,efazcalor.

Resolução

“Passeio” é verdade; “não passeio” é falso. Preenchemos as chaves do esquema acima onde aparecem essas proposições. Olhemos para a quarta premissa: o consequente é falso, e, assim, o antecedente também o é. Observe que o consequente da segunda premissa é uma conjunção e uma das proposições que compõe essa conjunção (não passeio) é falsa. Ora, sabemos que uma conjunção só é verdadeira quando ambas as proposições simples componentes são verdadeiras. Como esse fato não ocorre, a conjunção “não


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passeio e fico deprimido” é falsa. Consequentemente o antecedente “chove” é falso e a sua negação “não chove” é verdade. Coloquemos nossa atenção agora na quarta premissa. O consequente “não passeio” é falso e assim temos queoantecedente(queéaconjunção“Nãochovstoudeprimido”)tambémé falso.Temos então uma conjunção falsa em que uma das proposições que a constitui (“não chove”) é verdadeira. Para que a conjunção seja falsa, a outra componente “estou deprimido” deve ser falsa. Vamos para a primeira premissa. O consequente da condicional “Quando não vejo Lúcia, não passeio ou fico deprimido” é uma disjunção que é falsa, pois ambas as proposições componentes (“não passeio”, “fico deprimido”) são falsas. Dessa forma, o antecedente “não vejo Lúcia” deve ser falsa (para que a proposição condicional seja verdadeira não deve ocorrer VF). Finalmente indo para a terceira premissa, o consequente “não vejo Lúcia” é falso, logo o antecedente “Não faz calor e passeio” também é falso. Temos então uma conjunção falsa e uma das proposições que a constitui (“passeio”) é verdadeira. A outra, “não faz calor” deve então ser falsa e, consequentemente, a sua negação “faz calor” é verdadeira.

Letra A

21. (AFRE-MG/2005/Esaf) O reino está sendo atormentado por um terrível dragão. O mago diz ao rei: “O dragão desaparecerá amanhã se e somente se Aladim beijou a princesa ontem”. O rei, tentando compreender melhor as palavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lógico da corte:

1) Se a afirmação do mago é falsa e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem? 2) Se a afirmação do mago é verdadeira e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem? 3) Se a afirmação do mago é falsa e se Aladim não beijou a princesa ontem, posso concluir corretamente que o dragão desaparecerá amanhã?

O lógico da corte, então, diz acertadamente que as respostas logicamente corretas para as três perguntas são respectivamente:

a) não, sim, não. b) não, não, sim. c) sim, sim, sim. d) não, sim, sim. e) sim, não, sim.

Resolução O dragão desaparecerá amanhã↔Aladim beijou a princesa ontem.


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Na primeira pergunta, o rei supõe que a afirmação do mago é falsa. Uma proposição bicondicional só é falsa quando os valores lógicos das proposições componentes são diferentes. Como ele também supõe que o dragão desaparecerá amanhã, conclui-se que Aladim não beijou a princesa ontem. Portanto, a resposta para a primeira pergunta é não.

Na segunda pergunta, o rei supõe que a afirmação do mago é verdadeira. Ora, uma proposição bicondicional só é verdadeira quando os valores lógicos das duas proposições são iguais. Ou as duas são verdadeiras, ou as duas são falsas. O rei supõe também que o dragão desaparecerá amanhã. Portanto, Aladim beijou a princesa ontem e a reposta para a segunda pergunta é sim.

Na terceira pergunta, a suposição do rei é que a afirmação do mago é falsa (os valores lógicos das proposições componentes da bicondicional devem ser diferentes) e que Aladim não beijou a princesa ontem. Portanto, o dragão desaparecerá amanhã e a resposta para a terceira pergunta é sim.

Letra D

Condição suficiente e condição necessária

Diz-se que p é condição suficiente de (ou para) q sempre que p q→ . Em

outras palavras, uma condição suficiente aparece como antecedente de uma proposição condicional. Usando a mesma expressão, q se diz condição necessária de (ou para) p. Em outras palavras, uma condição necessária aparece como consequente de uma condicional. Por exemplo, a proposição “Se João é pernambucano, então João é brasileiro” pode ser lida das seguintes maneiras:

João ser pernambucano é condição suficiente para João ser brasileiro.


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João ser brasileiro é condição necessária para João ser pernambucano.

Diz-se que p é condição necessária e suficiente de (ou para) q, ou que q é condição necessária e suficiente de (ou para) p sempre que p q↔ . Por

exemplo, a proposição “Uma pessoa é recifense se, e somente se, nasceu no Recife” pode ser lida das seguintes maneiras:

Ser recifense é condição necessária e suficiente para ter nascido no Recife.

Ter nascido no Recife é condição necessária e suficiente para ser recifense.

Em resumo:

22. (MEC/2008/FGV) Com relação à naturalidade dos cidadãos brasileiros, assinale a alternativa logicamente correta: a) Ser brasileiro é condição necessária e suficiente para ser paulista. b) Ser brasileiro é condição suficiente, mas não necessária para ser paranaense. c) Ser carioca é condição necessária e suficiente para ser brasileiro. d) Ser baiano é condição suficiente, mas não necessária para ser brasileiro. e) Ser maranhense é condição necessária, mas não suficiente para ser brasileiro. Resolução a) Brasileiro ↔ paulista. Falso, pois pode ocorrer o caso de uma pessoa ser brasileira e não ser paulista. Contradição, pois os valores lógicos das proposições componentes de uma bicondicional devem ser iguais. Uma proposição bicondicional equipara-se a dois condicionais: Se uma pessoa é brasileira, então ela é paulista e, se uma pessoa é paulista, então ela é brasileira. b) Brasileiro →paranaense. Falso, pois pode ocorrer o caso de uma pessoa ser brasileira e não ser paranaense. Como vimos, não pode ocorrer VF em uma condicional. c) Carioca ↔ brasileiro. Falso, pela mesma razão da alternativa A.

p q→ p é condição suficiente para q q é condição necessária para p

p q↔ p é condição necessária e suficiente para q

q é condição necessária e suficiente para p


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d) Baiano → brasileiro. Verdadeiro, pois é impossível que uma pessoa seja baiana e não seja brasileira. Neste caso é impossível ocorrer VF. É impossível que o antecedente seja verdadeiro e o consequente falso. e) Brasileiro →maranhense. Falso, pela mesma razão da alternativa B.

Letra D

23. (Bacen/2006/FCC) Sejam as proposições: p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. q: fazer frente ao fluxo positivo. Se p implica q, então:

a) Fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. b) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é condição suficiente e nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo. c) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição necessária para fazer frente ao fluxo positivo. d) Fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. e) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para fazer frente ao fluxo positivo.

Resolução

Dizer que p implica q, significa dizer que Se p, então q. Ou seja, temos uma proposição do tipo � � �.

Sabemos que:

p é condição suficiente para q.

q é condição necessária para p.

Portanto:

A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para fazer frente ao fluxo positivo.

Fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária para A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central.

Letra E

Equivalências lógicas


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Duas proposições são logicamente equivalentes se e somente se p q↔ é uma

tautologia. E o que é tautologia? É uma proposição que é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições componentes.

Numa linguagem coloquial, podemos dizer que duas proposições são equivalentes quando dizem “a mesma coisa, de formas diferentes”.

Quando p é equivalente a q escrevemos p q⇔ .

Voltemos ao conceito de equivalência. Dissemos que Duas proposições são logicamente equivalentes se e somente se p q↔ é uma tautologia. E tautologia

é a proposição que é sempre verdadeira. E quando é que uma proposição bicondicional (se e somente se) é sempre verdadeira? Quando os valores de p e q são sempre iguais: ou ambas são verdadeiras, ou ambas são falsas.

Vamos mostrar, por exemplo, que a proposição p q↔ equivalente a

( ) ( )p q q p→ ∧ → . Ou seja, que [ ]( ) ( ) ( )p q p q q p↔ ⇔ → ∧ → . Construímos a

tabela-verdade e verificamos se os valores lógicos das duas proposições são sempre iguais.

p q p q→ q p→ ( ) ( )p q q p→ ∧ → p q↔

V V V V V V

V F F V F F

F V V F F F

F F V V V V

Assim, acabamos de mostrar que uma proposição bicondicional equivale à conjunção de dois condicionais.

Há algumas equivalências notáveis que são muito cobradas em concursos. Vamos enunciar as equivalências, demonstrá-las e aplicá-las.

Teorema: As proposições p q→ , ~ ~q p→ e ~ p q∨ são logicamente

equivalentes.

Demonstração:

p q ~ q ~ p p q→ ~ ~q p→ ~ p q∨

V V F F V V V

V F V F F F F

F V F V V V V

F F V V V V V


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Como os valores lógicos das três proposições são iguais, elas são ditas logicamente equivalentes.

Em uma linguagem informal, poderíamos construir o seguinte algoritmo para construir essas proposições equivalentes notáveis, dada a proposição condicional p q→ .

~ ~q p→ Negue o antecedente e o consequente, troque a ordem e mantenha o conectivo “se...,então”

~ p q∨ Negue apenas o antecedente e troque o conectivo por “ou”.

Por exemplo, dada a proposição “Se bebo, então não dirijo”, temos que as seguintes proposições são equivalentes a ela:

i) Se dirijo, então não bebo.

ii) Não bebo ou não dirijo.

24. (Agente Penitenciário SJDH-BA 2010/FCC) Uma afirmação equivalente à afirmação “Se bebo, então não dirijo” é (A) Se não bebo, então não dirijo. (B) Se não dirijo, então não bebo. (C) Se não dirijo, então bebo. (D) Se não bebo, então dirijo. (E) Se dirijo, então não bebo. Resolução

Como foi dito anteriormente, há duas proposições equivalentes (notáveis):

i) Se dirijo, então não bebo.

ii) Não bebo ou não dirijo.

Letra E

25. (Polícia Civil 2007/Ipad) A sentença “Penso, logo existo” é logicamente equivalente a:

a) Penso e existo. b) Nem penso, nem existo. c) Não penso ou existo.


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d) Penso ou não existo. e) Existo, logo penso

Resolução

Dada a proposição “penso � existo”, temos, trivialmente, duas proposições equivalentes a ela:

i) Se não existo, então não penso. (Nega o antecedente e o consequente, troca a ordem e mantém o conectivo.)

ii) Não penso ou existo. (Nega o antecedente e troca o conectivo por “ou”).

Letra C

26. (MPOG/2006/Esaf) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que:

a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro.

Resolução Dada uma proposição p q→ podemos construir uma proposição logicamente equivalente negando o antecedente e trocando o conectivo por “ou” obtendo a proposição ~ p q∨ . Podemos seguir o caminho contrário; dada uma proposição com o conectivo “ou”, construímos uma equivalente negando a primeira proposição e trocando o conectivo por “se..., então”. Assim, a proposição “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é equivalente a “Se André não é artista, então Bernardo não é engenheiro”, que, por sua vez, é equivalente a “Se Bernardo é engenheiro, então André é artista”. Letra D

27. (Aneel/2006/Esaf) Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo: a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar. b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar. c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar. d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar. e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar. Resolução


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Temos que: i) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa não estudar. ii) Elisa não estudar é condição necessária para Elaine não ensaiar. Como não há alternativas com essas proposições, procederemos da seguinte maneira. Construiremos uma proposição equivalente à proposição dada e em seguida escreveremos na linguagem de condição suficiente e condição necessária. A proposição “Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda” é equivalente a “Se Elisa estuda, então Elaine ensaia”. Temos que: i) Elisa estudar é condição suficiente para Elaine ensaiar. ii) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar. Letra E

28. (TCE/MG/2007/FCC) São dadas as seguintes proposições:

(1) Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas, então ele é eficiente. (2) Se Jaime não trabalha no Tribunal de Contas, então ele não é eficiente. (3) Não é verdade que, Jaime trabalha no Tribunal de Contas e não é eficiente. (4) Jaime é eficiente ou não trabalha no Tribunal de Contas.

É correto afirmar que são logicamente equivalentes apenas as proposições de números

a) 2 e 4 b) 2 e 3 c) 2, 3 e 4 d) 1, 2 e 3 e) 1, 3 e 4

Resolução

Chamando de p : “Jaime trabalha no Tribunal de Contas” e de q : “Jaime é eficiente”, as proposições (1), (2), (3) e (4) podem, simbolicamente, ser reescritas das seguintes maneiras: (1) p q→ (2) ~ ~p q→ (3) ~ ( ~ )p q∧ (4) ~q p∨

Vamos então construir a tabela-verdade e verificar quais são equivalentes.

p q ~ p ~ q ~p q∧ (1): p q→ (2):~ ~p q→ (3):~ ( ~ )p q∧ (4): ~q p∨


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V V F F F V V V V

V F F V V F V F F

F V V F F V F V V

F F V V F V V V V

Observe que as proposições (1), (3) e (4) possuem as mesmas valorações e, portanto, são equivalentes. Letra E

29. (Administrador DNOCS 2010/FCC) Considere a seguinte proposição: “Se uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho, então ela não melhora o seu desempenho profissional.” Uma proposição logicamente equivalente à proposição dada é: (A) É falso que, uma pessoa não melhora o seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (B) Não é verdade que, uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento profissional e não melhora o seu desempenho profissional. (C) Se uma pessoa não melhora seu desempenho profissional, então ela não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (D) Uma pessoa melhora o seu desempenho profissional ou não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (E) Uma pessoa não melhora seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.

Resolução

Temos, trivialmente, duas proposições equivalentes a ela:

i) Se a pessoa melhora o seu desempenho profissional, então ela faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (Nega o antecedente e o consequente, troca a ordem e mantém o conectivo.)

ii) Uma pessoa faz cursos de aperfeiçoamentos na sua área de trabalho ou ela não melhora o seu desempenho profissional. (Nega o antecedente e troca o conectivo por “ou”).

O que a FCC fez foi trocar a ordem das proposições no caso ii. Isto é perfeitamente permitido, já que a o conectivo “ou” permite a troca da ordem das frases sem alterar o seu sentido.

Letra E

Negação das Proposições Usuais


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Dada uma proposição p qualquer, uma outra proposição, chamada negação de p, pode ser formada escrevendo-se “É falso que ...” antes de p ou, se possível, inserindo a palavra “não”. Simbolicamente, a negação de p é designada por p~ ou p¬ . Para que p~ seja uma proposição, devemos ser capazes de

classificá-la em verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos postular (decretar) o seguinte critério de classificação: A proposição p~ tem sempre o valor

lógico oposto de p , isto é, p~ é verdadeira quando p é falsa e p~ é

falsa quando p é verdadeira.

Exemplo:

p : Paris está na França.

p~ : É falso que Paris está na França.

p~ : Paris não está na França.

p~ : Não é verdade que Paris está na França.

Para evitar dúvidas, enunciaremos as “fórmulas” de negação das proposições compostas e, em seguida, aplicaremos nas diversas questões de concurso.

Negação das proposições usuais

Afirmação Negação

p ~ p

p q∧ ~ ~p q∨

p q∨ ~ ~p q∧

p q→ ~p q∧

p q↔ ( ~ ) ( ~ )p q q p∧ ∨ ∧

� � ~�

~� � �

p p~

V F

F V


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p v q

Como você pode observar, existem várias maneiras de negar uma proposição composta pelo “se e somente se”. Sinceramente, não acho que você deva perder tempo com essa negação.

Poderíamos montar esta tabela em uma linguagem informal para um melhor entendimento do leitor iniciante.


p q∧ Negue as duas proposições e troque o conectivo “e” pelo conectivo “ou”

p q∨ Negue as duas proposições e troque o conectivo “ou” pelo conectivo “e”

p q→ Afirme o antecedente, troque o conectivo condicional pelo conectivo “e” e negue o

consequente.

As fórmulas de negação do conectivo “e” e do conectivo “ou” são comumente denominadas “Leis de De Morgan”.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1: Conjunção qpqp ~~)(~ ∨⇔∧

Afirmação: Vou ao cinema e vou ao teatro.

Negação: Não vou ao cinema ou não vou ao teatro.

Exemplo 2: Disjunção qpqp ~~)(~ ∧⇔∨

Afirmação: Eu te ensino Lógica ou meu nome não é Guilherme.

Negação: Não te ensino Lógica e meu nome é Guilherme.

Exemplo 3: Condicional ~ ( ) ~p q p q→ ⇔ ∧


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Afirmação: Se for beber, então não dirija.

Negação: Bebo e dirijo.

Sentenças abertas, quantificadores

Observe as seguintes expressões:

a)2 6 0x + = b) 3 0x − >

Elas contêm variáveis e seus valores lógicos (verdadeira ou falsa) dependem do valor atribuído à variável.

a) 2 6 0x + = é verdadeira se trocarmos x por 3− e é falsa para qualquer outro valor atribuído a x b) 3 0x − > é verdadeira, por exemplo, para 8x = e falsa, por exemplo, para 1x = .

Expressões que contêm variáveis são chamadas de sentenças abertas ou funções proposicionais. Como já comentamos no início da aula, tais expressões não são proposições, pois seus valores lógicos dependem dos valores atribuídos às variáveis. Entretanto, temos duas maneiras de transformar funções proposicionais em proposições: atribuir valor às variáveis ou utilizar quantificadores.

Quantificadores são palavras ou expressões que indicam que houve quantificação. São exemplos de quantificadores as expressões: existe, algum, todo, cada, pelo menos um, nenhum. Note que os dicionários, de modo geral, não registram “quantificador”. Esse termo, no entanto, é de uso comum na Lógica.

Uma proposição é dita categórica quando é caracterizada por um quantificador seguido por uma classe ou de atributos,um elo e outra classe de atributos. Vejamos exemplos de proposições quantificadas.

Proposição universal afirmativa Todo recifense é pernambucano.

Proposição universal negativa Nenhum recifense é pernambucano.


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Observe que a proposição universal negativa “Nenhum recifense é pernambucano” equivale a dizer que “Todo recifense não é pernambucano”. Dessa forma, a expressão “nenhum” pode ser substituída pela expressão “todo... não ...”.

O quantificador universal é indicado pelo símbolo ∀ , que se lê: “todo”, “qualquer que seja”, “para todo”.

O quantificador existencial é indicado pelo símbolo ∃ , que se lê: “algum”, “existe”, “existe pelo menos um”, ”pelo menos um”, “existe um”.

Note que uma função proposicional (ou sentença aberta) quantificada é uma proposição. Então, como proposições, podem ser negadas.

Negação de proposições quantificadas

Em resumo, temos o seguinte quadro para negação de proposições quantificadas.


Particular afirmativa (“algum...”) Universal negativa (“nenhum...” ou “todo... não ...”)

Universal negativa (“nenhum...” ou “todo... não...”)

Particular afirmativa (“algum...”)

Universal afirmativa (“todo...”) Particular negativa (“algum... não”)

Particular negativa (“algum... não”) Universal afirmativa (“todo...”)

Vejamos alguns exemplos:

p : Algum político é honesto.

p : Existe político honesto.

~ p : Nenhum político é honesto.

~ p : Todo político não é honesto.

Proposição particular afirmativa Algum recifense é pernambucano.

Proposição particular negativa Algum recifense não é pernambucano.


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q : Nenhum brasileiro é europeu.

q : Todo brasileiro não é europeu.

~ q : Algum brasileiro é europeu.

~ q : Existe brasileiro que é europeu.

r : Todo concurseiro é persistente. ~ r : Algum concurseiro não é persistente. ~ r : Existe concurseiro que não é persistente.

t : Algum recifense não é pernambucano. t : Existe recifense que não é pernambucano. ~ t : Todo recifense é pernambucano.

Observação: Como saberemos se uma questão qualquer se refere à negação? De três maneiras:

i) A questão explicitamente pede a negação de uma proposição dada. ii) A questão fornece uma proposição verdadeira e pede uma falsa. iii) A questão fornece uma proposição falsa e pede uma verdadeira.

30. (AFC/2002/Esaf) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. Resolução Comentamos que quando uma questão nos fornece uma proposição falsa e nos pede uma verdadeira, deveremos assinalar a negação da proposição dada. Assim, quando a questão fala que “não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto”, temos que a proposição “Pedro é pobre e Alberto é alto” é falsa. Para assinalarmos uma proposição verdadeira, deveremos negar a proposição dada. Lembremos: para negar uma proposição composta pelo conectivo “e”, negamos as duas proposições constituintes e trocamos o conectivo “e” pelo conectivo “ou” (Lei de De Morgan). Dessa forma, a negação de “Pedro é pobre e Alberto é alto” é “Pedro não é pobre ou Alberto não é alto”. Letra A

Afirmação Pedro é pobre e Alberto é alto Negação Pedro não é pobre ou Alberto não é alto


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31. (Fiscal Trabalho/1998/Esaf) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva. b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva. c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva. e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. Resolução Para negar uma proposição condicional: afirme o antecedente, troque o conectivo condicional pelo conectivo “e” e negue o consequente. Assim, a negação de “se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é “está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. Letra E

Afirmação Se estiver chovendo então eu levo o guarda-chuva Negação Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva

32. (TRT/9ª Região/2004/FCC) A correta negação da proposição "todos os cargos deste concurso são de analista judiciário. é: a) alguns cargos deste concurso são de analista judiciário. b) existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário. c) existem cargos deste concurso que são de analista judiciário. d) nenhum dos cargos deste concurso não é de analista judiciário. e) os cargos deste concurso são ou de analista, ou no judiciário. Resolução A negação de uma proposição universal afirmativa (“todo...”) é a particular negativa (“algum... não”). Lembrando que o quantificador existencial “algum” equivale à expressão “existe”. Dessa forma, a correta negação da proposição dada é “existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário”. Para negar uma proposição com a expressão “todo...”, troca-se o quantificador por “algum/existe” e modifica-se o verbo, nega-se o verbo. Letra B

Afirmação Todos Os cargos deste concurso são de analista judiciário. Negação Existem Cargos deste concurso que não são de analista judiciário.


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33. (TJ/PE/2007/FCC) Considere a afirmação abaixo. Existem funcionários públicos que não são eficientes. Se essa afirmação é FALSA, então é verdade que:

a) nenhum funcionário público é eficiente. b) nenhuma pessoa eficiente é funcionário público. c) todo funcionário público é eficiente. d) nem todos os funcionários públicos são eficientes. e) todas as pessoas eficientes são funcionários públicos.

Resolução

Como vimos, quando o enunciado nos fornece uma proposição falsa e nos pede uma proposição verdadeira, devemos obter a sua negação. Assim, a negação de uma proposição particular negativa (”algum... não”) é a proposição universal afirmativa (todo...). Temos então que a negação de “Existem funcionários públicos que não são eficientes” é “todo funcionário público é eficiente”. Em outras palavras, para negar uma proposição com a expressão “existe/algum”, trocamos o quantificador por “todo” e modificamos o verbo, negamos o verbo. Como a negação de “não ser eficiente” é “ser eficiente”, temos o resultado acima. Letra C Afirmação Existem funcionários públicos que não são eficientes. Negação Todo funcionário público é eficiente.

34. (Bacen) Assinale a frase que contradiz a seguinte sentença: “Nenhum pescador é mentiroso”.

a) Algum pescador é mentiroso. b) Nenhum pescador é mentiroso. c) Todo pescador não é mentiroso. d) Algum mentiroso não é pescador. e) Algum pescador não é mentiroso.

Resolução

A negação de uma proposição universal negativa é a proposição particular afirmativa. Em outras palavras, para negar uma proposição com a expressão “nenhum”, troque o quantificador por “algum” e mantenha o verbo. Assim, a negação de “nenhum pescador é mentiroso” é “algum pescador é mentiroso”. Observe que a proposição “nenhum pescador é mentiroso” equivale a “todo pescador não é mentiroso”; vimos na questão 3 que, para negar uma proposição com a expressão “todo”, trocamos o quantificador por “algum/existe” e modificamos o verbo.


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Letra A

Afirmação Nenhum Pescador é mentiroso. Negação Algum Pescador é mentiroso.

Afirmação Todo Pescador não é mentiroso. Negação Algum Pescador é mentiroso.

35. (Agente de Estação – Metro – SP 2010/FCC) Considere as proposições simples: p: Maly é usuária do Metrô e q: Maly gosta de dirigir automóvel A negação da proposição composta p ∧ ~ q é: (A) Maly não é usuária do Metrô ou gosta de dirigir automóvel. (B) Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel. (C) Não é verdade que Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel. (D) Não é verdade que, se Maly não é usuária do Metrô, então ela gosta de dirigir automóvel. (E) Se Maly não é usuária do Metrô, então ela não gosta de dirigir automóvel. Resolução Lembre-se que o símbolo ∧ representa o conectivo “e”. Para negar uma proposição composta pelo “e”, negue as duas proposições e troque o conectivo “e” pelo conectivo “ou”. Desta forma, a negação de p ∧ ~ q é ~ p ˅ q. ~p : Maly não é usuária do Metrô. q: Maly gosta de dirigir automóvel. ~ p ˅ q: Maly não é usuária do Metrô ou Maly gosta de dirigir automóvel. Letra A 36. (METRO-SP 2009/FCC)São dadas as seguintes proposições simples: p : Beatriz é morena; q : Beatriz é inteligente; r : Pessoas inteligentes estudam. Se a implicação �� ~ � ~� é FALSA, então é verdade que (A) Beatriz é uma morena inteligente e pessoas inteligentes estudam. (B) Pessoas inteligentes não estudam e Beatriz é uma morena não inteligente. (C) Beatriz é uma morena inteligente e pessoas inteligentes não estudam. (D) Pessoas inteligentes não estudam mas Beatriz é inteligente e não morena. (E) Beatriz não é morena e nem inteligente, mas estuda.


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Resolução

O enunciado fornece uma proposição falsa e pede uma verdadeira. Devemos negar a proposição dada. E como negamos uma proposição composta pelo “se..., então...”?

Afirme o antecedente, troque o conectivo condicional pelo conectivo “e” e negue o consequente.

Na proposição �� ~ � ~� o antecedente é �� ~ e o consequente é ~�.

Afirmamos o antecedente �� ~. Colocamos o conectivo “e”.

�� ~ �

Negamos o consequente ~�. Ora, a negação de ~� é a proposição �.

�� ~ � �

� : Beatriz é morena; ~: Pessoas inteligentes não estudam. q: Beatriz é inteligente; �� ~ � �: Beatriz é morena e pessoas inteligentes não estudam e Beatriz é inteligente.

(C) Beatriz é uma morena inteligente e pessoas inteligentes não estudam. 37. (SAD/PE/2008/FGV) A negação da frase “Todos os homens dirigem bem” é: a) todos os homens dirigem mal. b) todas as mulheres dirigem bem. c) todas as mulheres dirigem mal. d) nenhum homem dirige bem. e) existem homens que dirigem mal. Resolução A negação de uma proposição universal afirmativa (“todo...”) é a particular negativa (“algum... não”). Lembrando que o quantificador existencial “algum” equivale à expressão “existe”. Dessa forma, a correta negação da proposição dada é “existem homens que não dirigem bem (dirigem mal)”. Para negar uma proposição com a expressão “todo...”, troca-se o quantificador por “algum/existe” e modifica-se o verbo, nega-se o verbo. Letra E

Afirmação Todos os homens dirigem bem.


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Negação Existem Homens que não dirigem bem (dirigem mal)


01. (ICMS-SP/2006/FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica.

I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia.

A frase que não possui essa característica comum é a a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. 02. (PM-BA 2009/FCC) Define-se sentença como qualquer oração que tem sujeito (o termo a respeito do qual se declara alguma coisa) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação que segue há expressões e sentenças: 1. Tomara que chova! 2. Que horas são? 3. Três vezes dois são cinco. 4. Quarenta e dois detentos. 5. Policiais são confiáveis. 6. Exercícios físicos são saudáveis. De acordo com a definição dada, é correto afirmar que, dos itens da relação acima, são sentenças APENAS os de números (A) 1, 3 e 5. (B) 2, 3 e 5. (C) 3, 5 e 6. (D) 4 e 6. (E) 5 e 6.

03. (SEFAZ/SP 2006/FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica.

I – Que belo dia!

II – Um excelente livro de raciocínio lógico.

III – O jogo terminou empatado?

IV – Existe vida em outros planetas do universo.


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V – Escreva uma poesia.

A frase que não possui esta característica comum é a:

a) I

b) II

c) III

d) IV

e) V

04. (ICMS-SP/2006/FCC) Considere as seguintes frases: I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.

II. 5

x y+ é um número inteiro.

III. João da Silva foi o secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000. É verdade que APENAS: a) I e II são sentenças abertas. b) I e III são sentenças abertas. c) II e III são sentenças abertas. d) I é uma sentença aberta. e) II é uma sentença aberta. (TCU/2004/Cespe) Considere que as letras P, Q e R representam proposições, e os símbolos ¬ , ∧ e � são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam “não”, “e” e “então”, respectivamente. Na lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos, esses operadores estão definidos, para cada valoração atribuída às letras proposicionais, na tabela abaixo:

P Q ¬P P ∧ Q P � Q

V V F V V V F F F F F V V F V F F V F V

Suponha que P representa a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens a seguir: 05. A sentença “Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia” pode ser corretamente representada por ¬P � (¬R ∧ ¬Q)


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06. A sentença “Hoje choveu e José não foi à praia” pode ser corretamente representada por P ∧ ¬Q 07. Se a proposição “Hoje não choveu” for valorada como F e a proposição José foi à praia for valorada como V, então a sentença representada por ¬P � Q é falsa.

08. O número de valorações possíveis para (Q ∧ ¬R) � P é inferior a 9. 09. (Gestor Fazendário-MG/2005/Esaf) Considere a afirmação P: P: “A ou B” Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações: A: “Carlos é dentista”. B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”. Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo: a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto. d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. 10. (TRF-1ª Região/2006/FCC) Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos livres. Se não há atos livres, então todos os nossos atos têm causa. Logo: a) alguns atos não têm causa se não há atos livres. b) todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres. c) todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres. d) todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres. e) alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa.

11. (ALESP 2010/FCC) Paloma fez as seguintes declarações: − “Sou inteligente e não trabalho.” − “Se não tiro férias, então trabalho.” Supondo que as duas declarações sejam verdadeiras, é FALSO concluir que Paloma (A) é inteligente. (B) tira férias. (C) trabalha. (D) não trabalha e tira férias. (E) trabalha ou é inteligente. 12. (Petrobras/2007/Cespe) Julgue o item que se segue. Considere as proposições abaixo: p: 4 é um número par; q: A Petrobras é a maior exportadora de café do Brasil.


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Nesse caso, é possível concluir que a proposição p ∨ q é verdadeira.

13. (SADPE/2008/FGV) Considere as situações abaixo:

I. Em uma estrada com duas pistas, vê-se a placa:

Como você está dirigindo um automóvel, você conclui que deve trafegar pela pista da esquerda. II. Você mora no Recife e telefona para sua mãe em Brasília. Entre outras coisas, você diz que “Se domingo próximo fizer sol, eu irei à praia”. No final do domingo, sua mãe viu pela televisão que choveu no Recife todo o dia. Então, ela concluiu que você não foi à praia. III. Imagine o seguinte diálogo entre dois políticos que discutem calorosamente certo assunto: - A: Aqui na Câmara tá cheio de ladrão. - B: Ocorre que eu não sou ladrão. - A: Você é safado, tá me chamando de ladrão. Em cada situação há, no final, uma conclusão. Examinando a lógica na argumentação: a) são verdadeiras as conclusões das situações I e II, apenas. b) são verdadeiras as conclusões das situações II e III, apenas. c) são verdadeiras as conclusões das situações I e III, apenas. d) as três conclusões são verdadeiras. e) as três conclusões são falsas. 14. (SADPE/2008/FGV) Leonardo disse a Fernanda: – Eu jogo futebol ou você não joga golfe. Fernanda retrucou: – isso não é verdade. Sabendo que Fernanda falou a verdade, é correto concluir que: a) Leonardo joga futebol e Fernanda joga golfe. b) Leonardo joga futebol e Fernanda não joga golfe. c) Leonardo não joga futebol e Fernanda joga golfe. d) Leonardo não joga futebol e Fernanda não joga golfe. e) Leonardo não joga futebol ou Fernanda joga golfe. 15. (SADPE/2008/FGV) Sejam p, q e r proposições simples cujos valores lógicos (verdadeiro ou falso) são, a princípio, desconhecidos. No diagrama abaixo, cada célula numerada deve conter os resultados lógicos das proposições compostas formadas pelo conectivo condicional (�), em que as proposições nas linhas são os antecedentes e nas colunas, os consequentes. Os resultados das células 3, 4 e 7 já foram fornecidos.


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Com relação à tabela, é correto afirmar que o valor lógico da célula: a) 1 é falso. b) 2 é falso. c) 5 é falso. d) 6 é verdadeiro. e) 8 é verdadeiro. 16. (Aneel/2004/Esaf) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim:

a) estudo e fumo. b) não fumo e surfo. c) não velejo e não fumo. d) estudo e não fumo. e) fumo e surfo.

17. (CGU/2003-2004/Esaf) Ana é prima de Bia, ou Carlos é filho de Pedro. Se Jorge é irmão de Maria, então Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto de Beto. Ora, Jorge é irmão de Maria. Logo:

a) Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto. b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia. c) Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro. d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto. e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro.

18. (CGU/2003-2004/Esaf) Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso, ou Homero é honesto. Logo,

a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo. d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo. e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.

19. (Técnico/MPU/Administrativa/2004/Esaf) Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles é médico, outro é professor e o outro é músico. Sabe-se que: 1) ou Ricardo é médico, ou Renato é médico;, 2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico; 3) ou Renato é músico, ou Rogério é músico; 4) ou Rogério


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é professor, ou Renato é professor. Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério e Renato são respectivamente:

a) professor, médico, músico. b) médico, professor, músico. c) professor, músico, médico. d) músico, médico, professor. e) médico, músico, professor.

20. (Ipea 2004/FCC) Quando não vejo Lúcia, não passeio ou fico deprimido. Quando chove, não passeio e fico deprimido. Quando não faz calor e passeio, não vejo Lúcia. Quando não chove e estou deprimido, não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje:

a)vejo,enãoestoudeprimidoenãochove,efazcalor.b)nãovejo,eestoudeprimido,echove,efazcalor.c)nãovejo,eestoudeprimido,enãochove,enãofazcalor.d)vejo,enãoestoudeprimido,echove,efazcalor.e)vejo,eestoudeprimido,enãochove,efazcalor.

21. (AFRE-MG/2005/Esaf) O reino está sendo atormentado por um terrível dragão. O mago diz ao rei: “O dragão desaparecerá amanhã se e somente se Aladim beijou a princesa ontem”. O rei, tentando compreender melhor as palavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lógico da corte:

1) Se a afirmação do mago é falsa e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem? 2) Se a afirmação do mago é verdadeira e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem? 3) Se a afirmação do mago é falsa e se Aladim não beijou a princesa ontem, posso concluir corretamente que o dragão desaparecerá amanhã?

O lógico da corte, então, diz acertadamente que as respostas logicamente corretas para as três perguntas são respectivamente:

a) não, sim, não. b) não, não, sim. c) sim, sim, sim. d) não, sim, sim. e) sim, não, sim.

22. (MEC/2008/FGV) Com relação à naturalidade dos cidadãos brasileiros, assinale a alternativa logicamente correta: a) Ser brasileiro é condição necessária e suficiente para ser paulista. b) Ser brasileiro é condição suficiente, mas não necessária para ser paranaense.


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c) Ser carioca é condição necessária e suficiente para ser brasileiro. d) Ser baiano é condição suficiente, mas não necessária para ser brasileiro. e) Ser maranhense é condição necessária, mas não suficiente para ser brasileiro.

23. (Bacen/2006/FCC) Sejam as proposições: p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. q: fazer frente ao fluxo positivo. Se p implica q, então:

a) Fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. b) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é condição suficiente e nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo. c) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição necessária para fazer frente ao fluxo positivo. d) Fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. e) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para fazer frente ao fluxo positivo.

24. (Agente Penitenciário SJDH-BA 2010/FCC) Uma afirmação equivalente à afirmação “Se bebo, então não dirijo” é (A) Se não bebo, então não dirijo. (B) Se não dirijo, então não bebo. (C) Se não dirijo, então bebo. (D) Se não bebo, então dirijo. (E) Se dirijo, então não bebo. 25. (Polícia Civil 2007/Ipad) A sentença “Penso, logo existo” é logicamente equivalente a:

a) Penso e existo. b) Nem penso, nem existo. c) Não penso ou existo. d) Penso ou não existo. e) Existo, logo penso.

26. (MPOG/2006/Esaf) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que:

a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro.


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d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro.

27. (Aneel/2006/Esaf) Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo: a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar. b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar. c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar. d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar. e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar. 28. (TCE/MG/2007/FCC) São dadas as seguintes proposições:

(1) Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas, então ele é eficiente. (2) Se Jaime não trabalha no Tribunal de Contas, então ele não é eficiente. (3) Não é verdade que, Jaime trabalha no Tribunal de Contas e não é eficiente. (4) Jaime é eficiente ou não trabalha no Tribunal de Contas.

É correto afirmar que são logicamente equivalentes apenas as proposições de números

a) 2 e 4 b) 2 e 3 c) 2, 3 e 4 d) 1, 2 e 3 e) 1, 3 e 4

29. (Administrador DNOCS 2010/FCC) Considere a seguinte proposição: “Se uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho, então ela não melhora o seu desempenho profissional.” Uma proposição logicamente equivalente à proposição dada é: (A) É falso que, uma pessoa não melhora o seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (B) Não é verdade que, uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento profissional e não melhora o seu desempenho profissional. (C) Se uma pessoa não melhora seu desempenho profissional, então ela não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (D) Uma pessoa melhora o seu desempenho profissional ou não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (E) Uma pessoa não melhora seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.


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30. (AFC/2002/Esaf) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. 31. (Fiscal Trabalho/1998/Esaf) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva. b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva. c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva. e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. 32. (TRT/9ª Região/2004/FCC) A correta negação da proposição "todos os cargos deste concurso são de analista judiciário. é: a) alguns cargos deste concurso são de analista judiciário. b) existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário. c) existem cargos deste concurso que são de analista judiciário. d) nenhum dos cargos deste concurso não é de analista judiciário. e) os cargos deste concurso são ou de analista, ou no judiciário. 33. (TJ/PE/2007/FCC) Considere a afirmação abaixo. Existem funcionários públicos que não são eficientes. Se essa afirmação é FALSA, então é verdade que:

a) nenhum funcionário público é eficiente. b) nenhuma pessoa eficiente é funcionário público. c) todo funcionário público é eficiente. d) nem todos os funcionários públicos são eficientes. e) todas as pessoas eficientes são funcionários públicos.

34. (Bacen) Assinale a frase que contradiz a seguinte sentença: “Nenhum pescador é mentiroso”.

a) Algum pescador é mentiroso. b) Nenhum pescador é mentiroso. c) Todo pescador não é mentiroso. d) Algum mentiroso não é pescador. e) Algum pescador não é mentiroso.


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35. (Agente de Estação – Metro – SP 2010/FCC) Considere as proposições simples: p: Maly é usuária do Metrô e q: Maly gosta de dirigir automóvel A negação da proposição composta p ∧ ~ q é: (A) Maly não é usuária do Metrô ou gosta de dirigir automóvel. (B) Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel. (C) Não é verdade que Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel. (D) Não é verdade que, se Maly não é usuária do Metrô, então ela gosta de dirigir automóvel. (E) Se Maly não é usuária do Metrô, então ela não gosta de dirigir automóvel. 36. (METRO-SP 2009/FCC)São dadas as seguintes proposições simples: p : Beatriz é morena; q : Beatriz é inteligente; r : Pessoas inteligentes estudam. Se a implicação �� ~ � ~� é FALSA, então é verdade que (A) Beatriz é uma morena inteligente e pessoas inteligentes estudam. (B) Pessoas inteligentes não estudam e Beatriz é uma morena não inteligente. (C) Beatriz é uma morena inteligente e pessoas inteligentes não estudam. (D) Pessoas inteligentes não estudam mas Beatriz é inteligente e não morena. (E) Beatriz não é morena e nem inteligente, mas estuda.

37. (SAD/PE/2008/FGV) A negação da frase “Todos os homens dirigem bem” é: a) todos os homens dirigem mal. b) todas as mulheres dirigem bem. c) todas as mulheres dirigem mal. d) nenhum homem dirige bem. e) existem homens que dirigem mal.


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Gabaritos

01. D 02. C 03. D 04. A 05. Certo 06. Certo 07. Errado 08. Certo 09. B 10. C 11. C 12. Certo 13. E 14. C 15. E 16. E 17. E 18. C 19. E 20. A 21. D 22. D 23. E 24. E 25. C 26. D 27. E 28. E 29. E 30. A 31. E 32. B 33. C 34. A 35. A 36. C 37. E

ponto dos concursos senado matematica e raciocinio logico[1]

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